Mat Caderno3

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ESTUDANDO Funes trigonomtricas

Para o VestiBuLArAs abscissas dos pontos de interseco do grfico da funo f, domnio [1, 1 `[ com o eixo das abscissas so as razes da equao f(x) 5 0:

1 (Unesp) Considere a representao grfica da funo3sx definida por f(x) 5 sen ____ 3 @ 21 1 dlllll #. x21 2y Gr co da funo f(x), sem escala

s A funo f ter valor mximo se cos x 1 __ for mnimo, 3 ou seja, igual a 21; logo: s cos x 1 __ 5 cos (s 1 2ks) 5 21 ] 3 s 2s ] x 1 __ 5 s 1 2ks ] x 5 ___ 1 2ks, k 9 b 3 3 2s } x 5 ___ 3 4s a) P(4) 5 500 1 0,5 3 4 1 20 cos ___ ] 6 } P(4) 5 492 Portanto, em 2004 o valor do PIB era de 492 bilhes de dlares. s(x 1 12) 5 500 1 0,5 (x 1 12) 1 20 cos ________ 2 6 sx 2 500 1 0,5x 1 20 cos ___ 5 6 Exerccio 2

@

#

@

#

2 (UFC-CE) Determine o menor valor real positivo de xpara o qual a funo real de varivel real definida por s f(x) 5 7 2 cos x 1 __ atinge seu valor mximo. 3

@

#

3 (UFPE, adaptada) O PIB (Produto Interno Bruto, que re-

@ #

presenta a soma das riquezas e dos servios produzidos por uma nao) de certo pas, no ano 2000 1 x, dado, em x bilhes de dlares, por P(x) 5 500 1 0,5x 1 20 cos , 6 onde x um inteiro no negativo.

@ #

a) Determine, em bilhes de dlares, o valor do PIB doExerccio 3 pas em 2004. b) Em perodos de 12 anos, o PIB do pas aumenta do mesmo valor, ou seja, P(x 1 12) 2 P(x) constante. Determine esta constante (em bilhes de dlares).

b) P(x 1 12) 2 P(x) 5

E

@ #R @ ##T

@

#

sx xs sx 5 6 1 20 cos ___ cos 2s 2 sen ___ sen 2s 2 cos ___ 6 6 6 sx sx ___ 2 cos ___ 5 6 1 20 cos 6 6 } P (x 1 12) 2 P (x) 5 6

@ @ @ #

@ ## 5

4 (Unesp) No hemocentro de um certo hospital, o nmero

a) S(1) 5 2 ] 2 5 H 2 cos (1 2 1) __ 5 H 2 cos 0 ] b) 3 5 3 2 cos (t 2 1) __s ] cos (t 2 1) __ 5 0 ] 6 s s __ 5 cos __ 1 ks ] ] cos (t 2 1) 6 2 s s __ 5 __ 1 ks ] t 5 4 1 6k ] (t 2 1) 6 2 }H521153

s 6

R

de doaes de sangue tem variado periodicamente. Admita que, neste hospital, no ano de 2001, este nmero, de janeiro (t 5 0) a dezembro (t 5 11), seja dado, aproximas damente, pela expresso S(t) 5 H 2 cos (t 2 1) __ , com 6 H uma constante positiva, S(t) em milhares e t em meses, 0 < t < 11. Determine:

E

R

Exerccio 4

T

s 6

R

T

R

a) a constante H, sabendo que no ms de fevereiro houve 2 mil doaes de sangue.

E

R

@

#

b) em quais meses houve 3 mil doaes de sangue.

5 (Unesp) Do solo, voc observa um amigo numa roda-

-gigante. A altura h em metros de seu amigo em relao ao s solo dada pela expresso h(t) 5 11,5 1 10 sen ___(t 2 26) , 12

} t 5 4 (maio) ou t 5 10 (novembro)

E

R

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Reproduo proibida. Art.184 do Cdigo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3sx ] ____ 5 ks, k 9 b ou 3 2k x 5 2 ] x 5 ___, k > 2 9 b 3 Desse modo, as coordenadas dos quatro primeiros pontos de interseco de f com o eixo das abscissas so 8 10 4 P 5 __, 0 , Q 5 (2,0), R 5 __, 0 e S 5 ___, 0 3 3 3

Exerccio 1

@ # 3sx 5 0 ou 21 1 ] sen @ 2 #____

3sx sen ____ @ 21 1 dlllll # 5 0 ] x21 2dlllll 5 x21

0 ]

P 1,0

Q

R

S x

@

#

@ #

@

#

Os pontos P, Q, R e S denotam os quatro primeiros pontos de interseco do grfico da funo f com o eixo das abscissas. Determine as coordenadas dos pontos P, Q, R e S, nessa ordem.

onde o tempo t dado em segundos e a medida angular em radianos.

a) Para t 5 0:

a) Determine a altura em que seu amigo estava quandoa roda comeou a girar (t 5 0). b) Determine as alturas mnima e mxima que seu amigo alcana e o tempo gasto em uma volta completa (perodo).

s h(0) 5 11,5 1 10 3 sen ___ 3 (0 2 26) 5 12 s 5 11,5 1 10 3 sen 22s 2 __ 5 6 s 1 5 11,5 1 10 3 sen 2__ 5 11,5 1 10 3 2__ 6 2

E

R

@ @ #

#

@ #

estudante de cincias exatas, observou o fenmeno das mars em determinado ponto da costa brasileira e concluiu que ele era peridico e podia ser aproximado pela expresso:

Exerccio 5

6 (Unesp) Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um

} h(0) 5 6,5 m

b) As alturas mxima e mnima so obtidas quando senmo, ou seja, 1 e 21. Desse modo, a altura mxima s E ___ 3 (t 2 26) R , respectivamente, mximo e mni12

@

#

O tempo gasto em uma volta completa igual ao perodo da f uno h(t); assim, em segundos: 2s _____ 5 24 s ___ 12

e u

Reproduo proibida. Art.184 do Cdigo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

7 ( Unifesp ) Considere a funo y 5 f(x) 5 1 1 sens @ 2sx 2 __ # definida para todo x real. 2

s 5s a) cos __ t 1 ___ 4

@6

#

51

A soluo geral : 6 15 } t 5 2___ 1 12k, k 9 b 2 s 5s t 5 __ t 1 ___ 5 0 1 2ks ] __ 5 2__ 1 2k 6 4 4

a) D o perodo e o conjunto imagem da funo f. b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1], taisExerccio 6 que y 5 1.

8 (PUC-SP) A figura a seguir mostra parte de uma ondasenoidal que foi isolada para uma pesquisa:y 3 10 3 3 4 3 7 3 13 3 x

1 0 1

O primeiro instante positivo acontece para k 5 1 e 9 vale __ s. 2 9 Assim, para t . 0 pode-se escrever: t 5 __ 1 12k, k 9 v. 2 b) A primeira mar alta ocorreu no primeiro instante s 5s positivo em que cos __t 1 ___ 5 1. De acordo com o 4 6 item a, 4,5 horas depois do incio da observao.

@

#

a) Tem-se:

Exerccio 7

Qual das alternativas melhor representa a equao da onda para o perodo apresentado? x s a) y 5 1 1 2 sen __ 2 __ 3 x b) y 5 1 1 2 sen __

@2 @2

# #

x d) y 5 1 1 2 sen __ x e) y 5 1 1 2 sen __

@3#

@2#6

@6#

x s c) y 5 1 1 2 sen __ 2 __

s s 2 1 < sen 2sx 2 __ < 1 ] 0 < 1 1 sen 2sx 2 __ < 2 2 2 }0 0 |sen x| 5 sen x Os grficos y 5 |sen x| e y 5 sen x coincidem. senx 0 |sen x| 5 2sen x Os grficos y 5 |sen x| e y 5 sen x so simtricos em relao ao eixo x. Assim, a funo f par, pois f(x) 5 f(2x) tem perodo igual a , Im f 5 [0, 1], Df 5 (2,1 ). 6, a funo f bijetora e, porRestrita ao intervalo 50, 2 tanto, possui inversa nesse intervalo.

Marqueasequnciacorreta. a) b) c) d) e) 2, 3, 1, 4 3, 2, 4, 1 4, 1, 3, 2 1, 4, 2, 3 2, 4, 1, 3

Exerccio 17

17 (Cefet-MG) Se a funo f descrita por f(x) 5 |sen x|,ento correto afirmar que f: a) b) c) d) e) uma funo mpar. uma funo peridica de perodo 2. possui domnio igual a D 5 [0, 2]. possui imagem igual a Im f 5 [21, 1]. possui funo inversa no domnio restrito D 5 50, 6. 2

Exerccio 18

O maior e o menor preo ocorrem, respectivamente, 2t 2t ] 5 1 e cos [ ] 5 21. Nesses quando cos [ 360 360 casos, p(t) 5 5 e p(t) 5 1, respectivamente. Portanto, a alternativa e est incorreta.

18 (Cefet-MG) Suponha que o preo do quilograma decaf, em reais, possa ser modelado pela expresso p(t) 5 3 1 2 cos [

2t ], com t [0, 360] correspon360Reproduo proibida. Art.184 do Cdigo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

dendo aos dias de um ano. Com base nessa modelagem, incorreto afirmar que: a) o preo alcanar o valor de 3,00 reais/kg em dois dias do ano. b) o maior preo ser alcanado no incio do ano. c) o menor preo ser alcanado no meio do ano. d) o preo recorde ser de 5,00 reais/kg. e) o menor preo ser de 1,50 real/kg.

(01) A descrio remete a uma funo linear, mas h(t) uma funo trigonomtrica. Portanto, a afirmativa falsa. 2k (02) sen 2t 5 1 t 5 5 k 2 10 2 0,3 5 9,7 ? 10 5 48,5 0,2t 1 0,3 > 10 t > 0,2 2 Portanto, para t > 48,5 existem valores de h(t) > 10. (04) h(t) 5 0,2t 1 0,03 ? sen (2t) ] ] h(14 1 k) 5 0,2 ? (14 1 k) 1 0,03 ? sen [2 ? ? (14 1 k)] ] ] h(14 1 k) 5 2,8 1 0,2k 1 0,03 ? sen [2 ? (14 1 k)] sen (2n) 5 0, ento 2,8 1 0,2k uma PA de razo 0,2 para k 5 1, 2, 3, ... (08) sen(2t) 5 0 para t 7 N ] h(t) 5 0,2t 1 0,03 ? sen (2t) 5 5 0,2t h(t 1 1) 5 0,2 ? (t 1 1) 1 0,03 ? sen (2t 1 2) 5 5 0,2t 1 0,2 1 0,03 ? sen [2(t 1 1)] 5 0,2t 1 0,2 1 0 5 5 0,2t 1 0,2 ] h(t 1 1) 5 h(t) 1 0,2 (16) t dado em dias. Portanto, 72 h correspondem a 3 dias. Em polegadas: h(3) 5 3 ? 0,2 1 0,03 ? sen 6 5 0,6 1 0 5 0,6.

19 (UEM-PR) O crescimento de plantas afetado pela luz

Exerccio 19

solar e, portanto, as taxas de crescimento de plantas no so constantes durante um perodo normal de 24 horas. Analisando dados empricos, o crescimento de uma certa espcie de planta em ambiente controlado foi modelado por uma funo h(t) 5 0,2t 1 0,03 ? sen (2t), em que h a altura da planta em polegadas, t o tempo em dias medido a partir de t 5 0 (meia-noite) de uma certa data. Em relao ao exposto, assinale o que for correto.

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(01) O grfico de h, em um sistema ortogonal de coordenadas, uma semirreta no primeiro quadrante partindo da origem. (02) A planta no ultrapassa a altura de 10 polegadas. (04) A sequncia dos nmeros h(14 1 k), obtida fazendo k 5 1, 2, 3, , uma progresso aritmtica de razo 0,2. (08) h(t 1 1) 5 h(t) 1 0,2, para todo t real no negativo. (16) Em 72 h, a planta cresce 0,6 polegada. Soma: 04 1 08 1 16 5 28 (Ufam) O encontro das guas um fenmeno que acontece na confluncia entre o rio Negro, de gua negra, e o rio Solimes, de gua barrenta. uma das principais atraestursticasdacidadedeManaus. As guas dos dois rios correm lado a lado sem se misturar por uma extenso de mais de 6 km. Esse fenmeno acontece em decorrncia da diferena de temperatura e densidade dessas guas, alm da diferena de velocidade das correntezas.

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A medio comeou a ser feita s 2 horas do primeiro dia (t 5 0) e terminou 48 horas depois (t 5 48). Os dados resultaram na funo F(t) 5 24 1 8 sen [

3 1 t], 2 12

Exerccio 20 Exerccio 21

Uma equ