IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 1 de 6 CONSTRUINDO E
INTERPRETANDO GRFICOS ATRAVS DE DERIVADAS [i] Critrio da Derivada
Primeira: a)Paradeterminarquaissoosextremosrelativosdeumafuno) (x f
,devemosencontrarosvaloresparaosquaisa derivada de uma funo igual a
zero, ou seja,0 ) ( = ' x f . Veja o esquema abaixo: b) Para
determinar se os extremos relativos de uma funo) (x fso valores de
mximo ou de mnimo, analisamos: 0 ) ( < ' x fparac x < ) (x f
decrescente 0 ) ( > ' x fparac x > ) (x f crescente Logo,) (x
ftem mnimo relativo em c 0 ) ( > ' x fparac x < ) (x f
crescente 0 ) ( < ' x fparac x > ) (x f decrescente Logo,) (x
ftem mximo relativo em c [ii] Critrio da Derivada Segunda: Note que
no exemplo ao lado, emambos os lados do ponto P, o grfico dafuno
crescente,masesquerdadePaconcavidadeestparacimaedireitadePa
concavidadeestparabaixo.Opontoemqueumafunomudasuaconcavidade
chamado ponto de inflexo, nesse caso, o ponto P.
a)Paradeterminaro(s)ponto(s)deinflexo[casoexista(m)],devemosencontraro(s)ponto(s)emqueaderivada
segunda se anula, ou seja,0 ) ( = ' ' x f .
b)Paradeterminaraconcavidadedeumafuno,ouseja,seafunocncavaparacimaoucncavaparabaixo,
analisamos:
Com) (x f 'crescendo, a funo) (x f cncava para cima Com) (x f
'decrescendo, a funo) (x f cncava para baixo Assim, conclumos que:-
Se0 ) ( > ' ' x f , ) (x f cncava para cima. - Se0 ) ( < ' '
x f , ) (x f cncava para baixo. c + c c + P IFSC / Clculo IProf.
Jlio Csar TOMIO Pgina 2 de 6 Exemplo: Construa o grfico da funo4 3
) (2 3+ = x x x fe identifique os pontos crticos. Note que: + = + +
) 4 3 ( lim2 3x xx e = + ) 4 3 ( lim2 3x xx. EXERCCIOS Construindo
e Interpretando Grficos Atravs de Derivadas 1) Construa o grfico da
funo3 3 ) (3+ = x x x f , indicando os extremos relativos e os
pontos de inflexo. 2) Construa o grfico da funo2 2 ) (2 4+ = x x x
f , indicando os extremos relativos e os pontos de inflexo. 3)
Construa o grfico da funo10 4 ) (3 4+ = x x x g , indicando os
extremos relativos e os pontos de inflexo. 4) Construa o grfico da
funo 364 ) (3xx x h = , determinando todos os pontos crticos. 5)
Construa o grfico da funo xe x y ). 3 (2 = , indicando os extremos
relativos e o ponto de inflexo. IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar
TOMIO Pgina 3 de 6 RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS
RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 1)2) 3) 4) 5) PROBLEMAS DE OTIMIZAO
[MXIMOS E MNIMOS] EXEMPLO 1: Quais devem ser as dimenses [em cm] de
uma lata com capacidade de 1 litro e com a forma de um cilindro
reto,demodoqueseutilizeomnimodematerial?Observao:Ignoreaespessuradomaterialeodesperdciona
fabricao. EXEMPLO 2: Suponha que, numa empresa, a receita seja
definida porx x R 9 ) ( = e que o custo de produo seja definido
porx x x x C 15 6 ) (2 3+ =
,ambosemreais,ondexrepresentamilharesdeunidadesdeumproduto.Qualonvelde
produo que maximiza o lucro? Para refletir:As cincias tm as razes
amargas, porm os frutos so doces. [Aristteles] IFSC / Clculo IProf.
Jlio Csar TOMIO Pgina 4 de 6 EXERCCIOS Problemas de Otimizao
[Mximos e Mnimos] 1) Uma caixa aberta deve ser feita com uma folha
de papelo, medindo8cmdelargurapor15cmdecomprimento,
cortando-sequadradosiguaisdos4cantosedobrando-seos lados. Qual deve
ser o tamanho dos quadrados cortados para a obteno de uma caixa com
o mximo volume?
2)Umterrenoretangularcercadopor1500mdecerca.Quaisasdimensesdesseterrenoparaqueasuareasejaa
maior possvel? E qual a rea mxima?
3)Umtipgrafoquerimprimirboletinscom512cm2detextoimpresso,margenssuperioreinferiorde6cmemargens
laterais de 3 cm cada uma. Quais as dimenses da folha para
minimizar o gasto de papel?
4)Umarearetangularestlimitadaporumacercadearameemtrsdeseusladoseporumrioretonoquartolado.
Ache as dimenses do terreno de rea mxima que pode ser cercado com
1.000 m de arame.
5)Umterrenoretangulardevesercercadodeduasformas.Doisladosopostosdevemreceberumacercareforadaque
custaR$3,00ometro,enquantoosoutrosdoisrestantesrecebemumacerca-padrodeR$2,00ometro.Quaissoas
dimenses do terreno de maior rea que pode ser cercado com R$
6.000,00?
6)Oriodafiguraaseguirtemumalargurade100meopontoCestdeslocadode400mdopontoA,naoutra
margem. Deseja-se ir do ponto A ao ponto C, fazendo o percurso AB
remando e depois BC correndo pela margem.
Sabendoquesepoderemara40m/minecorrera100m/min,qualdeveserovalordosegmentoBCparaqueessa
travessia seja feita no menor tempo possvel? Qual o menor tempo que
ser gasto para executar tal travessia? Lembre-se que:
tSVAA=
7)Umrecipienteemformadeparaleleppedocombasequadradadeveterumvolumede2.250cm3.Omaterialparaa
base e a tampa do recipiente custa R$ 2,00 por cm2e o dos lados R$
3,00 por cm2. Quais as dimenses do recipiente de menor custo?
8)Umalatacilndricafechadatemcapacidadede1litro.Mostrequealatadereamnimaobtidaquandoaalturado
cilindro for igual ao dimetro da base.
9)Umgrupodeescoteirospossuiumapeadelonacircularde3mderaio.Cortando-seumsetorcircularpode-se
construir uma tenda de forma cnica. Quais as dimenses da tenda para
que seu volume seja mximo? 10) Uma folha de papel para um cartaz
tem 2 m2 de rea. As margens no topo e na base so de 25 cm e nas
laterais 15 cm. Quais as dimenses da folha para que a rea limitada
pelas margens seja mxima? 11) Um fazendeiro tem 200 bois, cada um
pesando 300kg. At agora ele gastou R$ 380.000,00 para cri-lose
continuar gastando R$ 2,00 por dia para manter cada boi.O gado
aumenta de peso a uma razo de 1,5 kg/dia. Seu preo de venda hoje R$
18,00 o quilograma, entretanto o preo cai 5 centavos por dia.
Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para ter o maior lucro
possvel? IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 5 de 6
12)Acheoraioeaalturadeumcilindrocircularretocomo maior volume, o
qual pode ser inscrito em um cone reto com 10 cm de altura e 6 cm
de raio.
13) Dois terrenos retangulares, com dimenses x e y e um lado
comum x, como mostra a figura, devem ser murados. Cada
terrenotemumareade400m2.Determinarasdimensesdecadaterrenoparaqueocomprimentodomurosejao
menor possvel. 14) Certa fbrica produz embalagens retangulares de
papelo. Um de seus compradores exige que as caixas tenham 1 m de
comprimento evolume de 2 m3. Quais as dimenses de cada caixa para
que o fabricante use amenor quantidade de papelo? 15) Um retngulo
inscrito num tringulo retngulo de catetos medindo
9cme12cm.Encontreasdimensesdoretngulocommaiorrea, supondo que a sua
posio dada na figura ao lado.
16)Umagricultordesejaconstruirumreservatriocilndrico,fechadoemcima,comcapacidadede6.280m3.Sabendo
que o custo da chapa de ao de R$50,00 o m2, determine: a) o raio e
a altura do reservatrio de modo que o custo seja mnimo; b) o custo
mnimo.
17)Sendo5.832cm3ovolumedeumreservatriodeguasemtampacombasequadrada,R$3,00porcm2opreodo
materialdabaseeR$1,50porcm2ovalordomaterialparaoslados,calculeasdimensesdessereservatriodemodo
que o custo total do material seja mnimo. 18) Uma forma lquida de
penicilina produzida a granel por uma indstria farmacutica, vendida
a granel a um preo de R$ 200,00 a unidade. Se o custo total de
produo para x unidades for C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x2 e se a
capacidade de produo da fbrica for, de no mximo, 30.000 unidades
por ms, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e
vendidas nesse perodo para que o lucro seja mximo? E qual o valor
do lucro mximo? 19) Uma certa indstria vende seu produto por R$
100,00 a unidade. Se o custo da produo total diria, em R$, para x
unidades for C(x) = 0,0025x2 + 50x + 100.000 e se a capacidade de
produo mensal for, de no mximo, 15000 unidades, quantas unidades
desse produto devem ser fabricadas e vendidas mensalmente para que
o lucro seja mximo? 20) Uma fbrica produz x milhares de unidades
mensais de um determinado artigo. Se o custo da produo desta fbrica
dado por C = 2x3 + 6x2 + 18x + 60, e o valor obtido na venda dado
porV = 60x 12x2, determinar o nmero timo de unidades mensais que
maximiza o lucro L = V C. IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO
Pgina 6 de 6 21) Suponha que o nmero de bactrias em uma cultura no
instantet dada por N = 5000.(25 + t.et/20). Ache o maior nmero de
bactrias durante o intervalo de tempo:0s ts 100. 22) Uma centena de
animais pertencendo a uma espcie em perigo esto colocados numa
reserva de proteo. Depois de
tanosapopulaopdessesanimaisnareservadadapor 2525 510022+ + +=tt tp
.Apsquantotempoapopulao ser mxima?
23)Umacaixasemtampa,debasequadrada,
deveserconstrudadeformaqueseuvolumeseja2500m3.Omaterialda base vai
custar R$ 1200,00 por m2 e o material dos lados, R$ 980,00 por m2.
Encontre as dimenses da caixa de modo que o custo material seja
mnimo. 24) Um cilindro deve ser fabricado para conter 6 litros. Que
medidas [raio e altura] devem ter esse cilindro para custar o mnimo
possvel, sabendo que: - O material do fundo custa R$ 5,00/dm2;- O
material da lateral custa R$ 3,00/dm2; - O material da tampa custa
R$ 2,00/dm2;- 1 litro = 1 dm3. 25) Um clube campestre ser
construdo, tendo uma rea de 12.100 m2. A prefeitura exige que
exista umpedao livre,
com25mnafrente,20mnosfundose12memcadaladodoterreno.Encontreasdimensesdolote[retangular]que
tenha rea mnima na qual possa ser construdo esse clube. RESPOSTAS
RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 01) 5/3
cm14) Largura= altura =m 02) 375 m por 375 me140.625 m215) 4,5 cm
por 6 cm 03) 22 cm por 44 cm16a) r = 10 meh = 20 m 16b)R$ 94.200,00
04) 250 m por 500 m17) Base de 18 cm por 18 cme altura de 18 cm 05)
500 m por 750 m18) 20.000 unidadeseR$ 700.000,00 06) x = 356,36 met
= 6,29 min19) 10.000 unidades 07) Base de 15 cm por 15 cmealtura de
10 cm20) 1.000 unidades 08) h = 2r = 10,8 cm21) 20 bactrias 09) r
=meh =m22) Aps 5 anos 10) 1,09 m por 1,83 m23) 15,98 me9,78 m 11)
66,67 dias24) r = 0,935 dmeh = 2,185 dm12) r = 4 cmeh = 10/3 cm25)
104,33 m por 195,62 m 13) x = ey = Para descontrair! Para
refletir:A lgebra generosa; ela freqentemente contribui com mais do
que foi pedido.Jean le Rond d Alembert (1717-1783)In Carl B. Boyer:
A History of Mathematics [Wiley, 1968, p. 481]
