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trigonometria
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Profa. Denise Ortigosa StolfColgio Trilnge Inovao Rua Mato Grosso 420-E Fone/Fax: (49) 3322.4422 Chapec Santa Catarina CEP. 89801-600
Aulas
SumrioPotenciao ...............................................................................................................................................2 Radiciao .................................................................................................................................................4 Bibliografia ...............................................................................................................................................8
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POTENCIAOSlide 1 Slide 4Potncia de um nmero real com expoente inteiro negativoPara todo nmero racional a, com a 0, definimos:
PotenciaoProfa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
a n =
1 1 1 = , em que n um nmero natural e o inverso de a. an a a
n
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Potncia de um nmero real com expoente natural
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Sinal de uma potncia de base no nula
A potncia a n do nmero inteiro a, definida como um produto de n fatores iguais. O nmero a denominado a base e o nmero n o expoente.
Expoente Par mpar
Base positiva Potncia positiva Potncia positiva
Base negativa Potncia positiva Potncia negativa
a = a 4243 1 a a ... a 4 4n n vezes
a multiplicado por a n vezes
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Slide 3a n a m = a n+ m
Propriedades1) Produto de potncias de mesma base
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Potncias de 10Para facilitar a escrita de nmero com muitos dgitos iguais a zero, podemos utilizar potncias de 10. Quando temos um nmero multiplicado por uma potncia de base 10 positiva, indica que iremos aumentar o nmero de zeros direita ou movimentar para direita a vrgula tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
2) Quociente de potncias de mesma base
a n : a m = a n m3) Potncia de uma potncia
(a )
n m
= a n m
54 x 105 = 5400000 2050 x 102 = 205000 0,00021 x 104 = 2,1 0,000032 x 10 3 = 0,032
Acrescentamos 5 zeros direita do 54 Acrescentamos 2 zeros direita do 2050 Movimentamos a vrgula 4 casas para a direita Movimentamos a vrgula 3 casas para a direita
4) Potncia de um produto ou de um quociente
( a b) n = a n b n ( a : b) n = a n : b n3
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3 Slide 7Quando temos um nmero multiplicado por uma potncia de base 10 negativa, indica que iremos diminuir o nmero de zeros direita ou movimentar a vrgula para esquerda tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:54 x 10-5 = 0,00054 2050 x 10 -2 = 20,5 0,00021 x 10 = 0,000000021-4
Slide 9Um nmero escrito na notao cientfica o produto de um nmero entre 1 e 10 por uma potncia de 10.
Movimentamos a vrgula 5 casas para a esquerda Movimentamos a vrgula 2 casas para a esquerda. Lembrando que 20,5 = 20,50 Movimentamos a vrgula 4 casas para a esquerda
Assim, a distncia do Sol Terra, em notao cientfica, aproximadamente 1,5108 km e a espessura de um vrus 810-4 mm.
0,000032 x 10 -3 = 0,000000032 Movimentamos a vrgula 3 casas para a esquerda 32500000 x 10-4 = 3250 Diminumos 4 zeros que estavam direita
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Notao cientficaFsicos, qumicos, bilogos, engenheiros, astrnomos e outros cientistas utilizam nmeros com muitos zeros. Como j vimos, estes nmeros podem ser escritos de vrias maneiras, usando potncias de 10. A distncia do Sol Terra, por exemplo, , aproximadamente, 150000000 km e pode ser indicada por 15010 6 Km ou 15107 Km ou 1,510 8 Km ou 0,1510 9 Km. A espessura de um vrus , aproximadamente, 0,0008 mm ou 810-4 mm ou 0,810-3 mm ou 0,00810-1 mm. Nos trabalhos cientficos, para facilitar os clculos e a comunicao, quando aparecem nmeros com muitos zeros, esses nmeros so escritos numa forma padro chamada notao cientfica.
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BibliografiaANDRINI, lvaro; VASCONCELLOS, Maria Jos. Novo praticando matemtica. So Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio Jos Lopes. Matemtica hoje feita assim. So Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo matemtica. So Paulo: tica, 2005. EDIES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Ararib: Matemtica. So Paulo: Moderna, 2007. GIOVANNI, Jos Ruy; GIOVANNI JUNIOR, Jos Ruy. Matemtica: pensar e descobrir. So Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, Jos Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, Jos Ruy. A conquista da matemtica. So Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemtica em construo. So Paulo: tica, 2004. GUELLI, Oscar. Matemtica: uma aventura do pensamento. So Paulo: tica, 1998. IMENES, Luiz Mrcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemtica paratodos. So Paulo: Scipione, 2006. MIANI, Marcos. Matemtica no plural. So Paulo: IBEP, 2006. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemtica: idias e desafios. So Paulo: Saraiva, 1997.
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RADICIAOSlide 1 Slide 4
RadiciaoProfa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
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Raiz ensima de um nmero realConsideremos um nmero real a e um nmero natural n, com n = 2. Vamos examinar o conceito de raiz ensima desse nmero, indicada pela expresso:
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2 Caso: O ndice n mpar.
Temos dois casos a examinar: 1 Caso: O ndice n par. Atravs dos exemplos dados, podemos dizer: Dado um nmero real a e sendo n um nmero natural mpar, a expresso n a um nico nmero real b tal que bn = a.
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J vimos que no se define a raiz quadrada de um nmero real negativo, pois ao elevarmos um nmero real ao quadrado no obtemos um nmero real negativo. Esse fato se estende quando temos a raiz quarta ou a raiz sexta ou a raiz oitava,... e assim por diante, de um nmero real negativo. Assim:
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Radical aritmtico e suas propriedades
Podemos dizer que: Quando o nmero real a positivo (a > 0) e n um nmero natural par, diferente de zero, dizemos que a expresso n a igual ao nmero real positivo b tal que bn = a. Quando o nmero real a negativo (a < 0) e n um nmero natural par, diferente de zero, dizemos que a expresso n a no definida no conjunto dos nmeros reais.
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5 Slide 7Propriedades
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Simplificando radicais: extrao de fatores do radicando
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Se um ou mais fatores do radicando tm o expoente igual ao ndice do radical, esses fatores podem ser extrados do radicando e escritos como fatores externos (sem o expoente). 12
6 Slide 13Introduzindo um fator externo no radicando
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Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrev-lo com um expoente igual ao ndice do radical.
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Adicionando, algebricamente, dois ou mais radicaisObserve os seguintes exemplos:
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Multiplicando e dividindo expresses com radicais de mesmo ndice e de ndices diferentes Se os ndices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais.
OBS.:
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Veja agora como simplificar algumas expresses:
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Se os ndices forem diferentes, devemos reduzir os radicais ao mesmo ndice para depois efetuar as operaes.
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7 Slide 19Produtos notveis
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Potenciao de uma expresso com radicais
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Simplificando expresses com radicais
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Racionalizando denominadores de uma expresso fracionria
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Potncias com expoente fracionrio
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8 Slide 25BibliografiaANDRINI, lvaro; V ASCONCELLOS, Maria Jos. Novo praticando matemtica. So Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio Jos Lopes. Matemtica hoje feita assim. So Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo matemtica. So Paulo: tica, 2005. EDIES EDUCATIV DA EDITORA MODERNA. Projeto Ararib: AS Matemtica. So Paulo: Moderna, 2007. GIOVANNI, Jos Ruy; GIOVANNI JUNIOR, Jos Ruy. Matemtica: pensar e descobrir. So Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, Jos Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, Jos Ruy. A conquista da matemtica. So Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemtica em construo. So Paulo: tica, 2004. GUELLI, Oscar. Matemtica: uma aventura do pensamento. So Paulo: tica, 1998. IMENES, Luiz Mrcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemtica paratodos. So Paulo: Scipione, 2006. MIANI, Marcos. Matemtica no plural. So Paulo: IBEP, 2006. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemtica: idias e desafios. So Paulo: Saraiva, 1997.
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BIBLIOGRAFIAANDRINI, lvaro; VASCONCELLOS, Maria Jos. Novo praticando matemtica. So Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio Jos Lopes. Matemtica hoje feita assim. So Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo matemtica. So Paulo: tica, 2005. EDIES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Ararib: Matemtica. So Paulo: Moderna, 2007. GIOVANNI, Jos Ruy; GIOVANNI JUNIOR, Jos Ruy. Matemtica: pensar e descobrir. So Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, Jos Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JUNIOR, Jos Ruy. A conquista da matemtica. So Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemtica em construo. So Paulo: tica, 2004. GUELLI, Oscar. Matemtica: uma aventura do pensamento. So Paulo: tica, 1998. IMENES, Luiz Mrcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemtica paratodos. So Paulo: Scipione, 2006. MIANI, Marcos. Matemtica no plural. So Paulo: IBEP, 2006. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemtica: idias e desafios. So Paulo: Saraiva, 1997.