PB Reviso geral do Ensino MdioReviso do Ensino FundamentalPotenciaoPropriedades1) a051(paraa0) 5) (an)m5anm5(am)n2) a2n51an(paraa0) 6) (a?b)n5an?bn3) an?am5an1m7)ababnnn54)aanm 5an2m

Potncia de expoente racional: a anmn m5 a anmn m5 Notao cientfica:xestemnotaocientficasex510n,com110.Produtos notveis(a1b)(a2b)5a22b2(a1b)25a212ab1b2(a2b)25a222ab1b2(a1b1c)25a21b21c212ab12ac12bc(a1b)35a313a2b13ab21b3(a2b)35a323a2b13ab22b3Fatorao de expresses algbricasFator comum em evidncia:ax1ay1az5a(x1y1z)Agrupamento:ax1ay1bx1by5a(x1y)1b(x1y)55 (x1y)(a1b)Diferena de quadrados:a22b25(a1b)(a2b)Trinmio quadrado perfeito:a212ab1b25(a1b)2a222ab1b25(a2b)2Trinmio do 2 grau:ax21bx1c5a(x2x1)(x2x2),emquex1ex2soasrazesdotrinmioCubos: a31b35(a1b)(a22ab1b2)a32b35(a2b)(a21ab1b2)a313a2b13ab21b35(a1b)3a323a2b13ab22b35(a2b)3Trigonometria no tringulo retnguloTeorema de Pitgoras:a25b21c2Razes trigonomtricas:sen5bacos5catg5bcbcabcangulos notveis:30 45 60sen12

22

32

cos32

22

12

tg3313 Observao:Se1b590(ouseja,complementares),entosen 5 cos b e sen b 5 cos .Relaes fundamentais: sen21cos251 tgsen 5 cosTestes1.(Vunesp)Aexpresso 0 25 1634, 12equivalea:a) 1,65. c)0,825. e)0,525.b)1,065. d)0,625.2.(Fuvest-SP) Se 416 ? 525 5 ? 10n, com 1 < 10,entoniguala:a) 24. b)25. c)26. d)27. e)28.3.(Unifor-CE)Aexpresso(x21)21(x21)3equiva-lentea:a) x31x222. c)x322x21x. e)x31x222x.b)x312x211. d)(x21)5.4.(UFC-CE)SejaA513 2 1eB513 2 2, entoA1Biguala:a) 22 2 .c)22 3 .e)2 3 .b)3 2 .d)3 3 .5.(Uneb-BA)Ovalordaexpresso2 3 6 32 3 6 220 17 1715 17 15? ?? ?11:a) 12. b)48. c)6. d)1. e)36.6.(Fuvest-SP)2 21028 30315a)258.c)28. e)2105813.b)259.d)29.27. (FGV-SP)Simplificando-seafrao m mm m225 10 5 obtm-se:a) 111. c) mm 5 1 ( ) .e) mm.15b) mm 5 1 ( ) .d) mm.158. (Fuvest-SP)Adiferenaentreocubodasomadedois nmeros inteiros e a soma de seus cubos pode ser: a)4.c) 6.e) 8.b) 5.d) 7.9. (Fuvest-SP) A diferena entre os quadrados de dois n-meros naturais 21. Um dos possveis valores da soma dos quadrados desses dois nmeros :a)29.c) 132.e) 252.b) 97.d) 184. 10. (Ufscar-SP)Sejammendoisnmerosreais.Adesi-gualdade m2 n2 2mn vale:a)somente para m 0, n 0.b) para todos os m e n reais.c)somente para m 0, n 0.d) somente para m n 0.e)somente para m e n inteiros. 11. (Fatec-SP)Sabe-sequea22bcb2c240e a b c 10 com a, b e c nmeros reais. Ento, o valor de a b c igual a:a)1.b) 2.c) 4.d) 10.e) 20. 12. (Fuvest-SP) Os vrtices de um tringulo ABC, no plano cartesiano,soA(1,0),B(0,1)eC 0 3 , .( ) Ento,o nguloBAC

mede:a)60.c) 30.e) 15.b) 45.d) 18. 13. (UFC-CE) Sejam e os ngulos agudos de um trin-gulo retngulo. Se sen sen e se a medida da hipo-tenusa 4 cm, a rea desse tringulo (em cm2) :a)2.c) 8.e) 16.b) 4.d) 12. 14. (FGV-SP) A figura representa uma fileira de n livros idn-ticos, em uma estante de 2 metros e 20 centmetros de comprimento.B CA60D1 2 3 n ...2,2 mAB DC 20 cm e AD BC 6 cm Nas condies dadas, n igual a: a)32.c) 34.e) 36.b) 33.d) 35. 15. (UFC-CE) Sejam , e os ngulos de um tringulo. Se as medidas desses ngulos so diretamente proporcionais a 1, 2 e 3, respectivamente, e a bissetriz do ngulo mede duas unidadesdecomprimento(u. c.),amedidadopermetro desse tringulo :a)3 3 2( )u. c.d)3 3 1 ( ) u. c.b)( ) 3 1 u. c.e)( ) 3 3 1 u. c.c)3 3u. c.Questes dissertativas 16. (Fuvest-SP) a)Qual a medida de 222?b) Calcule 8 9230 5 , . 17. (Unicamp-SP)Dadososdoisnmerospositivos,33 e 44, determine o maior. 18. (Vunesp) Se x 1x , calcule em funo de :a)x2 12x;b) x3 13x. 19. (Fuvest-SP) a)Se x 1x b, calcule x2 12x.b) Resolva a equao x2 5x 8 5 12x x 0. 20. (Unicamp-SP) Um ciclista pedala uma bicicleta com ro-das de mesmo dimetro e com distncias entre os eixos de 1,20 m. Num determinado instante ele vira o guido em 30 e o mantm nesta posio para andar em crculo. Calcule os raios dos crculos descritos pelas rodas dian-teira e traseira da bicicleta.Conjuntos, conjuntos numricos e funesConjuntosNmero de subconjuntos de um conjunto A com n ele-mentos: p(A) 2nOperaesUnio ()Diferena ()A BABA BABB AAB 3 Interseco ()Complementar emrelao ao universoA BABUAA. ou Ac ou cAUNmero de elementos da unio:n(A B) n(A) n(B) n(A B).Conjuntos numricosRQZNNZQR FunesDados dois conjuntos no vazios A e B, uma funo de A em B uma regra que diz como associar cada ele-mento x A a um nico elemento y B.Usamos a seguinte notao:f: A B ouA f Bque se l: f uma funo de A em B.Ay = f(x)Bfx y A: domnio de f: D(f) B: contradomnio de f: CD(f) O conjunto dos y obtidos a imagem de f: Im(f ) domnioxy0 2 415grfico de fimagemD(f) {x | 2 x 4} [2, 4]Im(f) {y | 1 y 5} [1, 5]Tipos de funes Funo injetiva: f: A B tal que x1 x2 em A f(x1) f(x2) em B Funo sobrejetiva: f: A B tal que Im(f) B Funobijetiva:f:ABtalquefinjetivae sobrejetiva simultaneamente Funo compostaDadas as funes f: A B e g: B C, denominamosfunocompostadegefafunogof:AC, que defnida por (g o f)(x) g(f(x)), x A. Afg o fgxBf(x)Cg(f(x)) Funo inversaDadaumafunof:AB,bijetiva,denomina-sefuno inversa de f a funo g: B A tal que, se f(a) b, ento g(b) a, com a Aeb B.Ag = f1g(y) = xouf1(y) = xxfBf(x) = y4 reta y = xff1321102 3 4yxS existe funo inversa de uma funo bijetiva.Testes 21. (UFBA) A representao do complementar de (M N) P, em relao a P, est indicada pela regio colorida de:a) MUNP4b) MUNPc) MUNPd) MUNPe) MUNP 22. (PUC-PR) Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte:tm casa prpria: 38tm curso superior: 42tm plano de sade: 70 tm casa prpria e pla-no de sade: 34tm casa prpria e cur-so superior: 17tm curso superior e plano de sade: 24tm casa prpria, plano de sade e curso superior: 15Qual a porcentagem dos empregados que no se enqua-dramemnenhumadassituaesanteriores?(Sugesto: Utilize o diagrama de Venn para facilitar os clculos.) a)25% c) 35%e) 45%b) 30%d) 40% 23. (UFMG) Em uma pesquisa de opinio, foram obtidos estes dados:40% dos entrevistados leem o jornal A.55% dos entrevistados leem o jornal B.35% dos entrevistados leem o jornal C.12% dos entrevistados leem os jornais A e B.15% dos entrevistados leem os jornais A e C.19% dos entrevistados leem os jornais B e C.7% dos entrevistados leem os trs jornais.135 pessoas entrevistadas no leem nenhum dos trs jornais.casa cursosuperiorplano de sadecasa cursosuperiorplano de sadeConsiderando-seessesdados,corretoafirmarqueo nmero total de entrevistados foi:a)1 200.b) 1 500.c)1 250.d) 1 350. 24. (PUC-SP) So dados os conjuntosA {x lN | x par}, B {x ZZ | 1 x 6} eC {x lN | x 4}. O conjunto X, tal que x B eB X A C, :a){0, 1, 3, 5}.d) {0, 3, 5}.b) {1, 1, 3, 5, 6}.e){1, 1, 3, 5}.c){1, 3, 5}. 25. (UEL-PR) Observe os seguintes nmeros:I) 2,212121...IV) 3,1416 II) 3,212223...V) 4III) 5Assinale a alternativa que identifica os nmeros irracionais.a)IeII.c) IIeIII.e) IIIeV.b) IeIV.d) IIeV. 26. (UFPB) Sejam os reais y1 0,333..., y2 5,0131313... e y30,202002000...Almdisso,consideram-seasso-masS1y1y2,S2y1y3eS3y1y2y3. Ento, podemos afirmar que:a)y1 irracional.c)S1 irracional.e) S3 racional.b) y2 irracional.d) S2 irracional. 27. (UFC-CE) Sejam M e N conjuntos que possuem um ni-co elemento em comum. Se o nmero de subconjuntos de M igual ao dobro do nmero de subconjuntos de N, o nmero de elementos do conjunto M N :a)o triplo do nmero de elementos de M.b) o triplo do nmero de elementos de N.c)o qudruplo do nmero de elementos de M.d) o dobro do nmero de elementos de M.e)o dobro do nmero de elementos de N. 28. (ITA-SP) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A B contenha 12 elementos. Ento, o nmero de elementos de P(B/A) P() igual a:a)8.c) 20.e) 9.b) 16. d) 17.Observao: Se X um conjunto, P(X) denota o con-junto de todos os subconjuntos de X.A/B {x A; xB}. 29. (Epcar-MG)DadososconjuntosA{1,0,1,2}e B {0, 1, 2, 3, 4}, assinale dentre as relaes seguintes a alternativa que representa uma funo de A em B.a){(1, 0), (0, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 4)}b) {(1, 1), (0, 1), (1, 0), (1, 2)}c){(0, 1), (1, 0), (2, 1), (2, 4)}d) {(1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)} 30. (Faap-SP)Duranteumms,onmeroydeunidades produzidasdeumdeterminadobememfunodon-mero x de funcionrios empregados de acordo com a lei 5 y 50 x . Sabendo que 121 funcionrios esto em-pregados, o acrscimo de produo com a admisso de 48 novos funcionrios : a)550.c) 100.e) 200.b) 250.d) 650. 31. (Fuvest-SP) Os grficos de duas funes polinomiais P e Q esto representados na figura a seguir.QP1 123 402 4yx5 7 8 63Ento, no intervalo [4, 8], P(x) Q(x) 0 para: a)2 x 4.b) 2 x 1ou5 x 8.c)4 x 2ou2 x 4. d) 4 x 2ou5 x 8.e)1 x 5. 32. (Unifesp) Seja f: ZZ ZZ uma funo crescente e sobre-jetora, onde ZZ o conjunto dos nmeros inteiros. Sabendo que f(2) 4, uma das possibilidades para f(n) :a)f(n) 2(n 4).d) f(n) n.b) f(n) n 6. e)f(n) n2.c)f(n) n 2. 33. (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as esco-lasdeensinomdiodeNatalePoconjuntoformado pelos nmeros que representam a quantidade de profes-sores de cada escola do conjunto E.Se f: E P a funo que a cada escola de E associa seu nmero de professores, ento:a)f no pode ser uma funo bijetora.b) f no pode ser uma funo injetora.c)f uma funo sobrejetora. d) f necessariamente uma funo injetora. 34. (Unifesp) H funes y f(x) que possuem a seguinte propriedade: a valores distintos de x correspondem va-lores distintos de y. Tais funes so chamadas injetoras. Qual, dentre as funes cujos grficos aparecem abaixo, injetora?a) 1yxb) 1yxc) 1yxe) 1yxd) 1yx 35. (Fuvest-SP) A figura abaixo representa o grfico de uma funo da forma f(x) x abx c, para 1 x 3.1131132yx315Pode-se concluir que o valor de b :a)2.c) 0.e) 2.b) 1.d) 1. 36. (Mack-SP) Se [1, 2] o conjunto imagem de uma funo f(x), ento o conjunto imagem de g(x) 2 f(x) 1 :a)[1, 2].c) [1, 5].e) [4, 1].b) [2, 1].d) [0, 4]. 37. (Vunesp) Seja TC a temperatura em graus Celsius e TF a mesma temperatura em graus Fahrenheit. Essasduases-calasdetemperaturaestorelacionadaspelaequao 9TC 5TF 160. Considere agora TK a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius esto rela-cionadas pela equao TK TC 273. A equao que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin :a)TF TK.1135d) TF 9 2 6575TK.b) TF 9 2 4575TK.e)TF 9 2 6175TK.c)TF 9 2 2975TK. 38. (Ufscar-SP) As funes f e g associam, a cada nmero natural, o resto da diviso do nmero por 3 e por 6, res-pectivamente. Sendo assim, para todo nmero natural x, g(f(x)) igual a:a)f(x). c)2f(x).e) f(x) g(x).b) g(x).d) 2g(x).6 39. (UFPB) Considere a funo f: [0, 2] [0, 3], definida porf(x) x xx x20 12 1 1 2,,. Afunoinversadef est melhor representada no grfico:a) yx11232 30b) 0yx11232 3c)yx110232 3d)yx11232 30e) 0yx11232 3 40. (AFA-SP)Sejaf:[1,)[3,)afunodefinida por f(x) 3x2 6x. Se g: [3, ) [1, ) a funo inversa de f, ento [g(6) g(3)]2 :a)5.c)5 26 .b) 26 . d) 5 26 . 41. (ESPM-SP)Sefegsofunesreaisdefinidaspor f(x) x x se xx se x22 4 13 4 1,, eg(x)x3,ento para K f o gf o g( )( )53, temos:a)K 0.c) K 2.e) K 4.b) K 1.d) K 3. 42. (Fatec-SP) Seja f a funo de IR em IR representada no grfico abaixo.0yx32O grfico da funo g, de IR em IR, definida porg(x) f(f(x)), intercepta o eixo das:a)ordenadas no ponto (0, 3).b) abscissas no ponto1030 , .c)ordenadas no ponto (0, 4).d) abscissas no ponto490 , . e)ordenadas no ponto (0, 6). 43. (Unit-SE) Seja f a funo de A em IR definida por f(x) 1 2x. Se o conjunto imagem de f o intervalo [3, 11[, o conjunto A :a)]5, 2]. c) ]5, 1].e) [1, 5[.b) [2, 5[.d) [1, 5[.Questes dissertativas 44. (FGV-SP) Numa cidade do interior do estado de So Paulo, uma prvia eleitoral entre 2 000 filiados revelou as seguintes informaes a respeito de trs candidatos A, B e C, do Partido da Esperana (PE), que concorreram a trs cargos diferentes:I) Todos os filiados votaram e no houve registro de voto em branco, tampouco de voto nulo. II) 280 filiados votaram a favor de A e de B.III) 980 filiados votaram a favor de A ou de B, mas no de C.IV) 420 filiados votaram a favor de B, mas no de A ou de C. V) 1 220 filiados votaram a favor de B ou de C, mas no de A.VI) 640 filiados votaram a favor de C, mas no de A ou de B.VII) 140 filiados votaram a favor de A e de C, mas no de B.Determine o nmero de filiados ao PE que:a)votaram a favor dos trs candidatos;b) votaram a favor de apenas um dos candidatos.7 45. (UFRJ) Uma amostra de 100 caixas de plulas anticon-cepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi enviada para a fiscalizao sanitria. No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas, por conterem plu-las de farinha. No teste de quantidade, 74 foram apro-vadas e 26 reprovadas por conterem um nmero me-nordeplulasqueoespecificado.Oresultadodos doistestesmostrouque14caixasforamreprovadas em ambos os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes? 46. (Unicamp-SP) O ndice I de massa corporal de uma pes-soa adulta dado pela frmula I Mh2,onde M a mas-sadocorpo,dadaemquilogramas,ehaalturada pessoa,emmetros.OndiceIpermiteclassificaruma pessoa adulta de acordo com a seguinte tabela:Homens Mulheres Classicao20 I 25 19 I 24 Normal25 I 30 24 I 29 Levemente obesoI 30I 29 Obesoa)Calcule o ndice I para uma mulher cuja massa de 64,0 kg e cuja altura de 1,60 m. Classifique-a segundo a tabela acima.b) Qual a altura mnima para que um homem cuja massa de 97,2 kg no seja considerado obeso? 47. (Vunesp) Uma funo de varivel real satisfaz a condi-o f(x 2) 2f(x) f(1); qualquer que seja a vari-vel x. Sabendo que f(3) 6, determine o valor de:a)f(1);b) f(5). 48. (EEM-SP) Uma funo f: lR* lR satisfaz a seguinte propriedade: f(a b) f(a) f(b).a)Determine f(1).b) Sabendo que f(2) 1, determine f(8). 49. (Ufscar-SP) Uma pesquisa ecolgica determinou que a populao(S)desaposdeumadeterminadaregio, medida em centenas, depende da populao (m) de in-setos,medidaemmilhares,deacordocomaequao S(m) 65 m8.A populao de insetos, por sua vez, variacomaprecipitao(p)dechuvaemcentmetros, de acordo com a equao m(p) 43p 7,5.a)Expresse a populao de sapos como funo da pre-cipitao.b) Calcule a populao de sapos quando a precipitao de 1,5 cm. 50. (UFMG) Sejam f(x) x2 3x 4 e g(x) ax b duas funes. Determine as constantes reais a e b para que (f o g)(x) (g o f)(x) para todo x real.Funo amUmafunof:chama-sefunoafim quandoexistemdoisnmerosreaisaebtalque f(x) ax b, para todo x .Se a 0, f(x) b funo constante.Se b 0, f(x) ax funo linear.Geometricamente, b a ordenada do ponto onde a reta, que grfico da funo f(x) ax b, intersecta o eixo Oy, pois para x 0 temos f(0) a 0 b b.0(0, b)xyyxy2y1P1P2x1x2P1(x1, y1)eP2(x2, y2)a yxy yx x 2 12 1O nmero a chama-se inclinao ou coeficiente angu-lar dessa reta em relao ao eixo horizontal Ox.Funo afim crescente, decrescentee zero da funoa 0 funo crescente0(r, 0)r o zero da funoyxx r f(x) 0x r f(x) 0x r f(x) 0a 0 funo decrescente0(r, 0)r o zero da funoyxx r f(x) 0x r f(x) 0x r f(x) 0 Testes(Faap-SP) Considere o seguinte enunciado para as questes 51 e 52:A variao de temperatura y 5 f(x) num intervalo de tempo x dada pela funo f(x) 5 (m2 2 9)x2 1 (m 1 3)x 1 m 2 3. 51. Calculemdemodoqueogrficodafunosejauma reta paralela ao eixo x. a)3b) 9c) 0d) 23e) 2952. Calculemdemodoqueogrficodafunosejauma reta e f(x) seja crescente.a)23b) 9c) 3d) 29e) 053.(Mack-SP)Amelhorrepresentaogrficadafuno f(x) 5 x xx232 622 :a) 0f(x)x1 326d) 0f(x)x1 31232b) 0f(x)x33e) 0f (x)x3c) 0f(x)x1 31354. (AFA-SP) Seja f uma funo real do primeiro grau com f(0) 5 1 1 f(1) e f(21) 5 2 2 f(0). Ento, o valor de f(3) : a)23.b) 22,5.c) 22.d) 21,5. (Faap-SP) Considere o seguinte enunciado para as questes 55 e 56: AtaxadeinscrionumclubedenataodeR$ 150,00 paraocursode12semanas.Seumapessoaseinscreve aps o incio do curso, a taxa reduzida linearmente.55. Calcule quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 5 sema-nas aps o incio do curso.a)R$ 62,50 d) R$ 78,50b) R$ 50,50 e)R$ 87,50c)R$ 74,5056. Expresse a taxa de inscrio em funo do nmero de se-manas transcorridas desde o incio do curso.a)T 5 12,50(12 2 x)d) T 5 12,50(x 1 12)b) T 5 12,50xe)T 5 12,50x 1 12c)T 5 12,50x 2 1257. (FGV-SP) Uma funo f(x) tal que f(2) 5 0,4 e f(3) 5 20,6. Admitindo que para x entre 2 e 3 o grfico seja um seg-mento de reta, podemos afirmar que o valor de k, tal que f(k) 5 0, : a)2,40.b) 2,35.c) 2,45.d) 2,50.e) 2,55.58. (PUC-SP) Um grupo de amigos criou uma nova unidade demedidaparatemperaturas:ograuPatota.Estabelece-ram, ento, uma correspondncia entre as medidas de tem-peraturas em graus Celsius (C), j conhecidas, e em graus Patota (P), mostradas na tabela abaixo:C P20 4060 48 Lembrando que a gua ferve a 100 C, ento, na unidade Patota ela ferver a: a)96.b) 88.c) 78.d) 64.e) 56.59. (Epcar-MG) Um botijo de gs contm 13 kg de gs. Em mdia, consumido, por dia, 0,5 kg do seu contedo. O esboodogrficoquemelhorexpressaamassayde gs no botijo, em funo de x (dias de consumo) :a) 12yx13c) yx2613b) yx1326d) yx131260. (FGV-SP) Atualmente, o valor de um computador novo R$ 3 000,00. Sabendo que seu valor decresce linearmen-te com o tempo, de modo que daqui a 8 anos seu valor ser zero, podemos afirmar que daqui a 3 anos (conta-dos a partir de hoje) o valor do computador ser:a)R$ 1 875,00.d) R$ 1 850,00.b) R$ 1 800,00.e)R$ 1 900,00.c)R$ 1 825,00.9 61. (UEL-PR) Uma papelaria faz cpias xerogrficas e cobra de acordo com a seguinte tabela de preos:Nmero de cpias Preo por cpia (em reais)20 ou menor 0,10Maior que 20 at 50 0,08Maior que 50 at 100 0,05Maior que 100 0,04 Segundoessatabela,umapessoaaofotocopiar,por exemplo, 28 cpias, pagar R$ 0,08 a cpia. Se y for o preo total e x a quantidade de cpias, a funo preo pode ser representada pelo grfico:a) 2345671020 50 100 120yxb) 2345671020 50 100 120yxc) 2345671020 50 100 120yxd) 2345671020 50 100 120yxe) 2345671020 50 100 120yx 62. (FGV-SP) Uma fbrica de camisas tem um custo mensal dado por C 5 000 15x, onde x o nmero de cami-sasproduzidasporms.Cadacamisavendidapor R$ 25,00. Atualmente, o lucro mensal de R$ 2 000,00. Para dobrar esse lucro, a fbrica dever produzir e ven-der mensalmente:a)o dobro do que produz e vende.b) 100 unidades a mais do que produz e vende.c)200 unidades a mais do que produz e vende.d) 300 unidades a mais do que produz e vende.e)50% a mais do que produz e vende. 63. (Vunesp) A poligonal ABCD da figura abaixo o grfico de uma funo f cujo domnio o intervalo 1 x 7. Sabe-se que AB paralelo a CD e BC paralelo ao eixo dos x. 2A02B CD1 4 7yxNessas condies, f(7) f(4,5) igual a:a) 32 .b) 53 . c) 1710 .d) 95 . e) 2.10 64. (UEL-PR) Enquanto a camada de oznio protege a vida na Terra, o gs oznio na baixa atmosfera pode compro-meter a qualidade do ar. O grfico a seguir refere-se ao nmero de violaes da qualidade do ar na Regio Me-tropolitana de So Paulo, no perodo compreendido entre 1995 e 1999. Percebe-se um momento em que a quanti-dade de violaes da concentrao de oznio foi idntica quantidade de violaes de monxido de carbono. 19951711479653612118135231CO (monxido de carbono)2941996 1997 1998 1999Nmero de violaes por anooznio Assinale a alternativa que fornece o valor mais aproxima-do dessa quantidade de violaes.a)83b) 87c) 91d) 97e) 99 65. (Fuvest-SP)Sejafafunoqueassocia,acadanmero real x, o menor dos nmeros x 3 e x 5. Assim, o valor mximo de f(x) :a)1.b) 2.c) 4.d) 6.e) 7. 66. (UEL-PR)Osgrficosabaixorepresentamaposios, em metros, de dois mveis, em funo do tempo t, dado em segundos. 1301 3 5 7s (m)Mvel At (s) 1357901 3 5 7s (m)t (s)Mvel B Supondoqueoltimosegmentorepresentadoem cadagrficoseprolongueindefinidamente,correto afirmar que:a)nos10segundosiniciais,oespaopercorridopelo mvel A maior do que o percorrido pelo mvel B.b) depois dos 5 segundos iniciais, a velocidade do mvel A o dobro da de B.c)nos primeiros 2 segundos, a velocidade do mvel A o triplo da de B.d) depois dos 5 segundos iniciais, os dois mveis tm a mesma velocidade.e)os dois mveis esto em constante movimento. 67. (UFMG) O conjunto soluo da inequao 3x a 7 {x lR | x 2}. Ento, o valor de a :a)1.b) 2.c) 7.d) 10.e) 13. 68. (UFV-MG) Duas empresas dispem de nibus com 60 lugares. Para uma excurso, a guia Dourada cobra uma taxa fixa de R$ 400,00 mais R$ 25,00 por passageiro, en-quanto a Cisne Branco cobra uma taxa fixa de R$ 250,00 mais R$ 29,00 por passageiro. O nmero mnimo de ex-cursionistasparaqueocontratocomaguiaDourada fique mais barato que o contrato com a Cisne Branco : a)37.b) 41.c) 38.d) 39.e) 40. 69. (Ibmec-SP)Umpacotede4pilhasrecarregveiscusta R$25,00.Umrecarregadordepilhas,comcapacidade pararecarregar4pilhasdeumavez,custaR$ 95,00e gera R$ 0,20 de custo de energia eltrica cada vez que utilizado para recarregar 4 pilhas. Uma pilha comum cus-ta R$ 0,80 e tem durao igual ao tempo que uma pilha recarregvel pode ser utilizada num aparelho at preci-sar de uma nova carga. Se um fotgrafo que utiliza 4 pi-lhas comuns por semana decidir comprar as 4 pilhas re-carregveis e o recarregador, ento ele ter recuperado o dinheiro investido nesta compra:a)em menos de 3 meses.b) em mais de 3 e menos de 6 meses.c)em mais de 6 e menos de 9 meses.d) em mais de 9 meses e menos de um ano.e)em mais de um ano. 70. (Mack-SP)Afiguramostraosesboosdosgrficosdas funes A(x) e B(x), que fornecem os preos que as copia-doras A e B cobram para fazer x cpias de uma folha. 1230720200 540B(x)A(x)1400R$x11 Para fazer 360 cpias, a copiadora A cobra:a)R$ 7,00 a menos que B.b) R$ 5,00 a mais que B.c)R$ 10,00 a menos que B.d) 32 do que cobra B. e)o mesmo preo cobrado por B. 71. (Mack-SP)Umaempresadetelefoniacelularoferece planosmensais,de60e100minutos,apreosfixose proporcionais. Para cada minuto em excesso, cobrada uma tarifa de R$ 3,00. Um usurio optou pelo plano de 60 minutos, a um custo mensal de R$ 105,00. No primei-roms,eleutilizou110minutos.Seeletivesseoptado pelo plano de 100 minutos, teria economizado:a)R$ 40,00.d) R$ 55,00. b) R$ 45,00.e)R$ 60,00.c)R$ 50,00. 72. (Fuvest-SP) Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela pri-meira hora de uso, R$ 3,00 por hora adicional e tem uma despesadiriadeR$320,00.Considere-seumdiaem que sejam cobradas, no total, 80 horas de estacionamen-to. O nmero mnimo de usurios necessrio para que o estacionamento obtenha lucro nesse dia :a)25.b) 26.c) 27.d) 28.e) 29.Questes dissertativas 73. (Unicamp-SP) Para transformar graus Fahrenheit em graus centgrados usa-se a frmula C 59(F 32), onde F o nmero de graus Fahrenheit e C o nmero de graus centgrados. a)Transforme 35 graus centgrados em graus Fahrenheit.b)Qualatemperatura(emgrauscentgrados)emqueo nmerodegrausFahrenheitodobrodonmerode graus centgrados? 74. (Unicamp-SP)Opreoaserpagoporumacorridade txiincluiumaparcelafixa,denominadabandeirada,e uma parcela que depende da distncia percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilmetro rodado cus-ta R$ 0,86, calcule:a)o preo de uma corrida de 11 km;b) a distncia percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida. 75. (FGV-SP) Um vendedor recebe mensalmente um salrio fixodeR$800,00maisumacomissode5%sobreas vendas do ms. Em geral, a cada duas horas e meia de trabalho ele vende o equivalente a R$ 500,00.a)Qualseusalriomensalemfunodonmeroxde horas trabalhadas por ms?b) Se ele costuma trabalhar 220 horas por ms, o que prefervel:umaumentode20%nosalriofixo,ou umaumentode20%(de5%para6%)nataxade comisso? 76. (FGV-SP) Quando uma famlia tem uma renda mensal de R$ 5 000,00, ela consome R$ 4 800,00 por ms. Quando a renda de R$ 8 000,00, ela consome R$ 7 200,00.a)Chamando de x a renda mensal e de C o consumo, obtenha C em funo de x, sabendo que o grfico de C em funo de x uma reta.b) Chama-sepoupanamensaldafamlia(P)renda mensal menos o correspondente consumo. Obtenha P em funo de x e encontre os valores da renda para os quais a poupana maior que R$ 1 000,00. 77. (Ufes) Um fabricante de bons opera a um custo fixo de R$ 1 200,00 por ms (correspondente a aluguel, seguro e prestaes de mquinas). O custo varivel por bon de R$ 2,00. Atualmente so comercializadas 1 000 unida-des mensalmente, a um preo unitrio de R$ 5,00. Devi-doconcorrncianomercado,sernecessriohaver umareduode30%nopreounitriodevenda.Para manter seu lucro mensal, de quanto dever ser o aumen-to na quantidade vendida? 78. (Vunesp) Como resultado de uma pesquisa sobre a rela-o entre o comprimento do p de uma pessoa, em cent-metros, e o nmero (tamanho) do calado brasileiro, Carla obteve uma frmula que d, em mdia, o nmero inteiro n (tamanhodocalado)emfunodocomprimentoc,do p,emcentmetros.Pelafrmula,tem-sen[x],onde [x] 54c7indicaomenorinteiromaiorouigual ax.Porexemplo,sec9cm,entox18,25e n [18,25] 19. Com base nessa frmula:a)determine o nmero do calado correspondente a um p cujo comprimento 22 cm.b) se o comprimento do p de uma pessoa c 24 cm, ento ela cala 37. Se c 24 cm, essa pessoa cala 38 ou mais. Determine o maior comprimento possvel, emcentmetros,quepodeteropdeumapessoa que cala 38. 79. (Unicamp-SP) O custo de uma corrida de txi consti-tudo por um valor inicial Q0, fixo, mais um valor que varia proporcionalmente distncia D percorrida nessa corri-da. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorri-dos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 8,25, e que em outra corrida, de 2,8 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,25.a)Calcule o valor inicial Q0.b) Se,emumdiadetrabalho,umtaxistaarrecadou R$ 75,00em10corridas,quantosquilmetrosseu carro percorreu naquele dia? 80. (Fuvest-SP) Uma funo f satisfaz a identidade f(ax)af(x)paratodososnmerosreaisaex.Alm disso,sabe-sequef(4)2.Considereaindaafuno g(x) f(x 1) 1 para todo o nmero real x.a)Calcule g(3).b) Determine f(x), para todo x real.c)Resolva a equao g(x) 8.12Funo quadrticaUma funo f: chama-se quadrtica quan-doexistemnmerosreaisa,bec,coma0,talque f(x) ax2 bx c para todo x .f: x ax2 bx cForma cannicaf(x) a(x m)2 k, em que m ba 2 ek f(m) 442ac ba Zeros da funo quadrticax b b aca 242 (frmulaqueforneceasrazes da equao do 2 grau ax2 bx c 0)Observaes:1)O nmero b2 4ac chamado discriminante da funo quadrtica f(x) ax2 bx c.2)Quando 0, a funo f(x) ax2 bx c tem dois zeros reais diferentes.Quando 0, a funo f(x) ax2 bx c tem um zero real duplo.Quando 0, a funo f(x) ax2 bx c no tem zeros reais.Relaes entre coeficientes e razes da equao quadrtica ax2 bx c 0 (a0)Existindozerosreaistalquex ba 2e x ba ,2 obtemos:S x x baP x x caForma fatoradaax2 bx c a(x x)(x x) a(x2 Sx P)Grfico da funo quadrtica0(0, c)(x, 0)(x, 0)V (vrtice)eixo de simetriaparbolayxO grfico da funo quadrtica uma parbola.Concavidade da parbolaa 0yx0a 0yx0VrticeO vrtice de uma parbola dada porf(x) ax2 bx c, a 0 pode ser calculado assim:V [ ba a 2 4, ] .xV ba 2yV 4aMximos e mnimosValor mximo: a 00yVxVyxValor mnimo: a 00yVxVyx13Nmero de zeros e concavidade 0 0 0a 00yx0x = xyx0x xyxa 00yx0x = xyx0x xyxTestes 81. (FGV-SP) Seja a funo f(x) x2. O valor de f(m n) f(m n) :a)2m2 2n2.c) 4mn.e) 0.b) 2n2.d) 2m2. 82. (Faap-SP)Umreservatrioestsendoesvaziadopara limpeza. A quantidade de gua no reservatrio, em litros, thorasapsoescoamentotercomeado,dadopor V 50(80 t)2. A quantidade de gua que sai do reser-vatrio nas cinco primeiras horas de escoamento :a)281 250 litros.d) 38 750 litros. b) 32 350 litros.e)320 000 litros.c)42 500 litros. 83. (UFBA) Sendo f(x) (x 3)(x 2) uma funo real, pode-se afirmar:01)O conjunto imagem da funo ], 3[.02)O grfico da funo intercepta o eixo das abscissasnos pontos (2, 0) e (3, 0).04)A funo crescente no intervalo [3, 2].08)O grfico da funo tem vrtice no ponto [ ]12254, . 16)Para todo x 2, f(x) 0.32)O eixo de simetria do grfico da funo x 32 . Marque como resposta a soma dos itens corretos. 84. (Vunesp)Onmerodediagonaisdeumpolgono convexodexladosdadoporN(x) x x232. Se o polgono possui 9 diagonais, seu nmero de lados :a)10.b) 9.c) 8.d) 7.e) 6. 85. (UEL-PR) O Partenon, construdo em Atenas, na Grcia Antiga, exemplifica o estilo e as propores que se en-contramemquasetodosostemplosgregos.Doponto de vista da geometria, sua fachada retangular (ver figu-raabaixo)epossuimedidasespeciais,obtidasdase-guinte maneira: toma-se um segmento de comprimento L e divide-se em duas partes, de tal forma que a razo entre o segmento todo (L) e a parte maior (x) seja igual razoentreapartemaioreapartemenor.Aparte maior seria a base do retngulo, e a menor, a altura. As-sinale a alternativa que indica essa razo. a) 25 1 b) 5 12c) 3 52

d) 25 3 e) 25 3 86. (Fuvest-SP) Sejam x1 e x2 as razes da equao 10x2 33x 7 0. O nmero inteiro mais prximo do nmero 5x1x2 2(x1 x2) :a)33.b) 10.c) 7.d) 10.e) 33. 87. (FEI-SP) A equao x2 x c 0 possui duas razes reais r e s tais que r 2s. Os valores de r e s so, res-pectivamente:a) 23 e 13 . c) 13 e 16 .e) 6e3.b) 2e1.d) 2e1.14 88. (UFPB)Sef:lRlRumafunoquadrtica,cujo grfico est desenhado abaixo, ento:a)f(x) x2 2x 3.b) f(x) x2 2x 3.c)f(x) x2 2x 3.d) f(x) x2 2x 3.e)f(x) x2 2x 3. 89. (UFMG)Observeafigura,querepresentaogrficode y ax2 bx c.yx Assinale a nica afirmativa falsa em relao a esse grfico:a)ac negativo.c)b positivo.b) b2 4ac positivo.d) c negativo. 90. (UEL-PR)Sejamasfunesquadrticasdefinidaspor f(x) 3x2 kx 12. Seus grficos no cortam o eixo das abscissas se, e somente se, k satisfizer condio:a)k 0.d) 0 k 12.b) k 12.e)4 3 k 4 3 .c)12 k 12. 91. (Ufac) Dada a equao 2x2 6x 3m 0, assinale a alternativa correta:a)As razes sero reais e iguais, se m 12 .b) As razes sero reais e desiguais, se m 32 .c)As razes no sero reais, se m 12 .d) A equao nunca ter razes reais.e)As razes sero nulas, se m 0. 92. (UEL-PR)Afunorealf,devarivelreal,dadapor f(x) x2 12x 20, tem um valor:a)mnimo, igual a 16, para x 6.b) mnimo, igual a 16, para x 12.c)mximo, igual a 56, para x 6.d) mximo, igual a 72, para x 12.e)mximo, igual a 240, para x 20. 93. (FGV-SP) Sabe-se que o custo por unidade de mercado-ria produzida de uma empresa dado pela funo C(x)x10000x160,ondeC(x)ocustopor unidade,emR$,exototaldeunidadesproduzidas. 041 1 3f(x)x041 1 3f(x)xNascondiesdadas,ocustototalmnimoemquea empresa pode operar, em R$, igual a:a)3 600,00.c) 4 000,00.e) 4 400,00.b) 3 800,00.d) 4 200,00. 94. (Fuvest-SP) O valor, em reais, de uma pedra semipreciosa sempre numericamente igual ao quadrado de sua massa, em gramas. Infelizmente uma dessas pedras, de 8 gramas, caiuesepartiuemdoispedaos.Oprejuzofoiomaior possvel. Em relao ao valor original, o prejuzo foi de:a)92%.b) 80%.c) 50%.d) 20%.e) 18%. 95. (UFPB) O grfico da funo y f(x) 1200152x x,representado na figura abai-xo, descreve a trajetria de um projtil, lanado a partir da origem.0H y = f(x)y (km)x (km)A Sabendo-se que x e y so dados em quilmetros, a altu-ramximaHeoalcanceAdoprojtilso,respectiva-mente:a)2 km e 40 km.d) 10 km e 2 km. b) 40 km e 2 km.e)2 km e 20 km.c)2 km e 10 km. 96. (UFSC) Assinale a nica proposio correta. A figura a seguir representa o grfico de uma parbola cujo vrtice o ponto V. A equao da reta r :01)y 2x 2.02)y x 2.04)y 2x 1.08)y 2x 2.16)y 2x 2. 97. (Fuvest-SP)Suponhaqueumfiosuspensoentreduas colunasdemesmaalturah,situadasdistnciad(ver figura), assuma a forma de uma parbola.dh h Suponha tambm que: I)a altura mnima do fio ao solo seja igual a 2.II)aalturadofiosobreumpontonosoloquedista d4de uma das colunas seja igual a h2 . Se h 38 d,ento d vale:a)14.b) 16.c) 18.d) 20.e) 22.(0, 3)V(1, 0) (3, 0)yxr(0, 3)V(1, 0) (3, 0)yxr1598.(UFPB) O domnio da funo f(x) x x28 16 :a)lR {0}. b) {x lR | x 0}. c){x lR | x 1}.d){x lR | 5 x 0}.e)lR.99.(UFPE)Sendoxumnmerorealtalquex7ou x 3, assinale a alternativa correta.a)(x 3)(x 7) 0b) (x 3)(x 7) 0c)(x 3)(x 7) 0d) x2 49e)x2 9100.(FGV-SP) O custo dirio de produo de um artigo C502x0,1x2,ondexaquantidadediria produzida.Cadaunidadedoprodutovendidapor R$ 6,50. Entre que valores deve variar x para no haver prejuzo?a)19 x 24b) 20 x 25c)21 x 26d) 22 x 27e)23 x 28Questes dissertativas101.(Unicamp-SP) Uma piscina, cuja capacidade de 120 m3, leva 20 horas para ser esvaziada. O volume de gua na piscina, t horas aps o incio do processo de esvaziamento, dado pela funo V(t) a(b t)2 para 0 t 20 e V(t) 0 para t 20.a)Calcule as constantes a e b.b) Faa o grfico da funo V(t) para t [0, 30].102.(UFC-CE) As razes da equao x2 px q 0, onde p e q so constantes, so os cubos das razes da equao x2 x 1 0. Determine os valores de p e q.103.(Vunesp) Considere um retngulo cujo permetro 10 cm e onde x a medida de um dos lados. Determine:a)a rea do retngulo em funo de x;b)ovalordexparaoqualareadoretnguloseja mxima.104.(Ufes)Umamicroempresafabricaevendejaquetas. Todas as jaquetas produzidas so comercializadas e o preodevendaR$75,00porunidade.Seocusto total dirio para fabricar x jaquetas dado em reais por C(x) x2 25x 100, determine:a)o nmero de jaquetas a serem produzidas para que o lucro total dirio seja mximo;b) o lucro total dirio mximo.105.(FGV-SP) Num parque de diverses A, quando o preo de ingresso R$ 10,00, verifica-se que 200 frequenta-dores comparecem por dia; quando o preo R$ 15,00, comparecem 180 frequentadores por dia.a)Admitindo que o preo (p) relaciona-se com o n-mero de frequentadores por dia (x) atravs de uma funo do 1 grau, obtenha essa funo.b) Num outro parque B, a relao entre p e x dada porp800,4x.Qualopreoquedeverser cobrado para maximizar a receita diria?106.(UFRJ)Umaviotemcombustvelparavoardurante4 horas. Na presena de um vento com velocidade v km/h na direo e sentido do movimento, a velocidade do avio de (300 v) km/h. Se o avio se desloca em sentido contrrio ao do vento, sua velocidade de (300 v) km/h. Suponha que o avio se afaste a uma distncia d do ae-roporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo o combustvel, e que durante todo o trajeto a velocidade do vento constante e tem a mesma direo que a do movi-mento do avio.a)Determine d como funo de v.b)Determine para que valor de v a distncia d m-xima.107.(Vunesp) Em um acidente automobilstico, foi isolada uma regio retangular, como mostrado na figura: yxSe 17 m de corda (esticada e sem sobras) foram sufi-cientesparacercartrsladosdaregio,asaber,os dois lados menores de medida x e um lado maior de medida y, dados em metros, determine:a)area(emm2)daregioisolada,emfunodo lado menor;b)amedidadosladosxeydaregioretangular, sabendoqueareadaregioerade36m2,ea medida do lado menor era um nmero inteiro.108.(Fuvest-SP) Seja f(x) ax2 (1 a)x 1, onde a um nmero real diferente de zero. Determine os valo-res de a para os quais as razes da equao f(x) 0 so reais e o nmero x 3 pertence ao intervalo fe-chado compreendido entre as razes.109.(FGV-SP) A receita mensal (em reais) de uma empre-saR20 000p2 000p2,ondepopreode venda de cada unidade (0 p 10).a)Qual o preo p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$ 50 000,00?b)Para que valores de p a receita inferior aR$ 37 500,00?110.(UFPE)Seaequaoy 2 322x px define umafunorealyf(x)cujodomniooconjunto dos reais, encontre o maior valor que p pode assumir.16Mdulo, funo modular, logaritmo, funo logartmicaMdulo de um nmero realOmduloouvalorabsolutodeumnmerorealr, querepresentamospor|r|,igualarser0eigual a r se r 0.|r| r, se r 0e|r| r, se r 0Observao: Para todo x , temosx2 |x|.Propriedades1)Para todo r , temos |r| |r|.2)Para todo x , temos |x2| |x|2 x2.Funo modularDenomina-se funo modular a funo f, de em , tal que f(x) |x|, ou seja:f(x) x para xx para x,, 00Funo exponencialDado um nmero real a (a 0 e a 1), denomina-mos funo exponencial de base a uma funo f de em * definida por f(x) ax ou y ax.Grcos da funo exponenciala 10 a 1(0, 1)0f(x) = axyx

(0, 1)0f(x) = axyxEquao: ax ay x yInequao: ax ay x y se ax y se a , , 10 1 Logaritmo de um nmeroDados os nmeros reais positivos a e b, com a 1, se b ac, ento o expoente c chama-se logaritmo de b na base a, ou seja:loga b c ac b, com a e b positivos e a 1Nessa equivalncia, temos:Forma logartmica Forma exponencialloga b cc: logaritmoa: base do logaritmob: logaritmandoac b b: potnciaa: base da potnciac: expoenteCondio de existncia: loga b existe quando esomente quando ba e a 00 1 . Consequncias da denio de logaritmoConsiderando as condies de existncia, temos:1)loga 1 04)loga aN N2)loga a 15)loga x loga y x y3)a NaN logPropriedadesConsiderando as condies de existncia, temos:1)loga (M N) loga M loga N2)loga MN loga M loga N3)loga MN N loga M4)logb N loglogaaNb (mudana de base)Funo logartmicaDado um nmero real a (a 0 e a 1) denomina-se funo logartmica de base a uma funo f de * em definida por f(x) loga xouy loga x.Observao:Afunologartmicaainversadafuno exponencial.Grcos da funo logartmicaa 10 a 10(1,0)y = loga xyx

0(1, 0)y = loga xyxEquao: loga x loga y x yInequao: loga x loga y x y se ax y se a , , 10 117Testes111.(ESPM-SP)Qualogrficoquemelhorrepresentaa funo f: IR IR tal que f(x) |x 1| 3? a) 1yxb) 31yxc) 11yxd) 31yxe) 2yx112.(Fuvest-SP) O mdulo |x| de um nmero real x defi-nido por |x| x, se x 0, e |x| x, se x 0. Das alternativas abaixo, a que melhor representa o grfico da funo f(x) x |x| 2x 2 :a) 11yxb) 11yxc) 11yxd) 11yxe) 11yx113.(Unifesp) Considere a funo f(x) 1, se 0 x 22, se 2 x 0 . A funo g(x) |f(x)| 1 ter o seguinte grfico:a) 2 221yxb) 2 221yxc) 2 21yx18d) 2 21yxe) 2 221yx114.(FGV-SP) Multiplicando os valores inteiros de x que satis-fazem simultaneamente as desigualdades |x 2| 3 e |3x 2| 5, obtemos:a) 12.b)60.c) 12.d) 60.e) 0.115.(UFC-CE) A soma dos inteiros que satisfazem a desi-gualdade |x 7| |x 2| |x 2| :a) 14.b) 0.c) 2.d) 15.e) 18.116.(Fuvest-SP) Seja f(x) 22x 1. Se a e b so tais que f(a) 4f(b), pode-se afirmar que:a)a b 2.c)a b 3.e)a b 1.b) a b 1.d)a b 2.117.(UEL-PR) Se o nmero real K satisfaz equao 32x 4 3x 3 0, ento K2 igual a:a)0ou12 . c) 12ou1.e) 1ou3.b) 0ou1.d) 1ou2.118.(AFA-SP) O conjunto soluo da inequao(0,5)x(x 2) (0,25)x 1,5 : a){x IR | x 1}.c) {x IR | 1 x 3}. b) {x IR | x 3}.d) {x IR | x 1oux 3}.119.(Unifesp) O valor de log2 [ ]2 4 6 2 ...! nn :a) n2.b) 2n.c) n.d) 2 log2 n.e)log2 n.120.(UFMG) Seja n 82log 15 log 452 2. Ento, o valor de n : a) 52.b) 83.c) 25.d) 53.121.(UEL-PR) Admitindo-se que log5 2 0,43 e log5 3 0,68, obtm-se para log5 12 o valor:a)1,6843.c) 1,54.e) 0,2924.b) 1,68.d) 1,11.122.(UFC-CE) O valor da soma log10 12 log10 23 log10 34 ... log10 99100 :a) 0.b) 1.c) 2.d) 2.e) 3.123.(UFC-CE) O nmero real x, positivo e diferente de 1, que satisfaz equao logx (2x) log2 x 3 log2x igual a: a)23. b) 2.c) 2 23. d) 4.e) 4 23.124.(PUC-SP) Se 27 92x yyx log, ento x y igual a:a) 53 . b) 109. c) 89 . d) 23 . e) 59 .125.(Mack-SP) O domnio da funo real definida porf(x) 31 3 2xx :a)]0,1[.c) ]2,3[.e) ]4,5[.b) ]1,2[.d) ]3,4[.126.(Ufscar-SP) Se a rea do tringulo retngulo ABC, indi-cado na figura, igual a 3n, conclui-se que f(n) igual a: nf(x) = 2xCAB2ny = f(x)xa) 2.b)2 2 . c) 3.d) 3 2 . e) 4.127.(Mack-SP)Afiguramostraoesboodogrficoda funo y loga (x b): a31yxA rea do retngulo assinalado : a) 1.b) 12 . c) 34 . d) 2.e) 43 .128.(FGV-SP) Daqui a t anos, o nmero de habitantes de uma cidade ser N 40 000(1,02)t. O valor de t para que a populao dobre em relao de hoje :a) loglog ,.2102d) 22102loglog ,. b) 50.e) 2(log 2)(log 1,02).c)(log 2)(log 1,02).19129.(Ufscar-SP) A altura mdia do tronco de certa espcie de rvore, que se destina produo de madeira, evo-lui, desde que plantada, segundo o seguinte modelo matemtico:h(t)1,5log3(t1),comh(t)em metros e t em anos. Se uma dessas rvores foi cortada quandoseutroncoatingiu3,5mdealtura,otempo (em anos) transcorrido do momento da plantao at o do corte foi de:a) 9.b) 8.c) 5.d) 4.e) 2.Questes dissertativas130.(FGV-SP)AeBsosubconjuntosdoconjuntodos nmeros reais (IR) definidos por A {x IR | 2x 1 |x 1| |x|} e B {x IR | 2 ||x 1| 2|}. Determine o intervalo realquerepresentaA.B.,sendoA.eB.oscomple-mentares de A e B, respectivamente, em relao a IR.131.(Fuvest-SP)a)Esboce, para x real, o grfico da funo f(x) |x 2| |2x 1| x 6. O smbolo |a| indicaovalorabsolutodeumnmerorealae definido por |a| a, se a 0 e |a| a, se a 0.b) Para que valores reais de x f(x) 2x 2?132.(Fuvest-SP) Seja m 0 um nmero real e sejam f e g funes reais definidas por f(x) x2 2|x| 1 e g(x) mx 2m.a)Esboce, num plano cartesiano, os grficos de f e de g quando m 14 em 1.b) Determine as razes de f(x) g(x) quando m 12 . c)Determine, em funo de m, o nmero de razes da equao f(x) g(x).133.(Vunesp) Resolva as equaes exponenciais, determi-nando os correspondentes valores de x.a)7(x 3) 7(x 2) 7(x 1) 57b) 13131320x x 1 x 2 77 134.(UFC-CE) Sendo a e b nmeros reais positivos tais que log3a 224 e log3b 218, calcule o valor de ab .135.(IME-RJ)Considerandolog2aelog3b,em funodeaeb,determineologaritmodonmero 11,255 no sistema de base 15.136.(FGV-SP)a)Resolva a equao log (x 2) log (x 2) 2.b) Quais as razes da equao xlog x 100x?137.(Unicamp-SP) Resolva o sistema log x log y 4xy 82 4. 138.(FGV-SP)Ogerentedeproduodeumaindstria construiuatabelaabaixo,relacionandoaproduo dos operrios com sua experincia.Experincia (meses)0 6Produo (unidades por hora)200 350AcreditaogerentequeaproduoQserelaciona experincia t, atravs da funo Q(t) 500 Aekt, sendo e 2,72 e k um nmero real, positivo.a)Considerando que as projees do gerente de pro-duo dessa indstria estejam corretas, quantos me-sesdeexperinciaseronecessriosparaqueos operrios possam produzir 425 unidades por hora?b) Desse modo, qual ser a mxima produo possvel dos operrios dessa empresa?139.(Vunesp)Umaescalalogartmicafoiconstrudapara representar valores muito pequenos de uma varivel x, usando a frmula y log10 x. A tabela mostra dois desses valores:x x1... x2...y log10 x 1,9 ... 4,9 ...a)Por quanto devemos multiplicar x2 para obter x1?b) Sex30,0000001,qualdeveserovalorcorres-pondente y3 nessa escala?ProgressesProgresso aritmtica (PA)Razo: r an an 1Termo geral: an a1 (n 1)rouan ap (n p)rTrs termos consecutivos na PA (..., a, b, c, ...): 2b a cNotao especial de PA de trs termos: PA (x r, x, x r)Equidistncia de termos:ax ay ap aq x y p qSoma dos n primeiros termos: Sn ( ) a a nn 12Observao: S1 a1eSn Sn 1 anProgresso geomtrica (PG)Razo: q aann 120Termo geral: an a1qn 1 ou an apqn pTrs termos consecutivos na PG (..., a, b, c, ...): b2 acNotao especial de PG de trs termos: PG xqx xq , ,Equidistncia de termos: ax ay ap aq x y p qSoma dos n primeiros termos: Sn a1 qqn 11Limite da soma (para |q| 1): S aq11 Testes140.(Vunesp)Considereassequncias(an)e(bn)defini-das por an 1 2n e bn 1 3n, n 0. Ento, o valor de a11b6 :a) 211 36.c) 515.e) 630.b) (12)5.d) 615. 141.(Vunesp) Os coelhos se reproduzem mais rapidamen-te que a maioria dos mamferos. Considere uma col-niadecoelhosqueseiniciacomumnicocasalde coelhos adultos e denote por an o nmero de casais adultos desta colnia ao final de n meses. Se a1 1, a2 1 e, para n 2, an 1 an an 1, o nmero de casais de coelhos adultos na colnia ao final do quinto ms ser:a) 13.b) 8.c) 6.d) 5.e) 4.142.(Unifesp) A soma dos termos que so nmeros primos da sequncia cujo termo geral dado por an 3n 2, para n natural, variando de 1 a 5, :a) 10.b) 16.c) 28.d) 33.e) 36.143.(UEL-PR)Umaprogressoaritmticadentermostem razo igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem mpar, os de ordem par formaro uma progresso: a)aritmtica de razo 2.b) aritmtica de razo 6.c)aritmtica de razo 9.d) geomtrica de razo 3.e)geomtrica de razo 6.144.(Ufscar-SP)Umafunofdefinidarecursivamentecomo f(n 1)5f(n) 25 . Sendo f(1) 5, o valorde f(101) :a) 45.c) 55.e) 65.b) 50.d) 60.145.(Unirio-RJ) Dado um tringulo retngulo cujos catetos medem2cm,construmosumsegundotringulore-tngulo onde um dos catetos est apoiado na hipote-nusa do primeiro, e o outro cateto mede 2 cm. Cons-trumos um terceiro tringulo com um dos catetos me-dindo 2 cm e o outro apoiado na hipotenusa do segun-dotringulo.Secontinuarmosaconstruirtringulos sempre da mesma forma, a hipotenusa do 15 tringulo medir:a)15 cm.c) 14 cm.e) 8 2cm.b) 15 2 cm.d) 8 cm.146.(Fuvest-SP) Em uma progresso aritmtica de termos positivos,ostrsprimeirostermosso1a,a,11 a . O quarto termo dessa PA :a) 2.b) 3.c) 4.d) 5.e) 6.147.(Unifesp) Se os primeiros quatro termos de uma pro-gresso aritmtica so a, b, 5a, d, ento o quociente db igual a: a) 14 . b) 13 . c) 2.d) 73 . e) 5.148.(UFS-SE) No ms de maio de 1996, uma pessoa colo-cou R$ 100,00 em sua caderneta de poupana e, to-dososmeses,vemfazendodepsitos,cadamscolo-candoR$20,00amaisdoquenomsanterior.Dessa forma, ao efetuar o 14 depsito, ter depositado a quan-tia total de:a)R$ 280,00.d) R$ 3 220,00. b) R$ 380,00.e)R$ 3 240,00.c)R$ 1 610,00.149.(UFC-CE) A soma dos 15 primeiros termos de uma pro-gresso aritmtica 150. O 8 termo desta PA :a) 10.b) 15.c) 20.d) 25.e) 30.150.(UFPB) Uma escada foi feita com 210 blocos cbicos iguais, que foram colocados uns sobre os outros, for-mando pilhas, de modo que a primeira pilha tinha ape-nas 1 bloco, a segunda, 2 blocos, a terceira, 3 blocos, e assim sucessivamente, at a ltima pilha, conforme a figura abaixo.A quantidade de degraus dessa escada :a) 50.b) 40.c) 30.d) 20.e) 10.151.(Fuvest-SP)AsequnciaanumaPAestritamente crescente,determospositivos.Ento,asequncia bn 3an, n 1, uma:a)PG crescente.b) PA crescente.c)PG decrescente.d) PA decrescente.e)sequncia que no uma PA e no uma PG.21152.(Udesc) Se o primeiro termo vale 2 e a razo 3, ento ostermosgeraisdaprogressoaritmticaedapro-gresso geomtrica correspondentes so:a)2 3n e 2 33n.d) 3 2n e 3 2n.b) 2 3n e 32n 1.e)3n 1 e 2 33n.c)3n 1 e 2 3n.153.(Ufscar-SP)Umabolacaideumaalturade30 me salta, cada vez que toca o cho, dois teros da altura daqualcaiu.Sejah(n)aalturadabolanosaltode nmero n. A expresso matemtica para h(n) :a)30 [ ]23n. c) 20n.e)[ ]23n.b) 23(30)n. d)23n. 154. (Fuvest-SP)Trsnmerospositivos,cujasoma30, esto em progresso aritmtica. Somando-se, respec-tivamente, 4, 4 e 9 aos primeiro, segundo e tercei-rotermosdessaprogressoaritmtica,obtemostrs nmerosemprogressogeomtrica.Ento,umdos termos da progresso aritmtica :a) 9.b) 11.c) 12.d) 13.e) 15.155.(Fuvest-SP)Umaprogressoaritmticaeumapro-gresso geomtrica tm, ambas, o primeiro termo igual a4,sendoqueosseusterceirostermossoestrita-mente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o se-gundotermodaprogressoaritmticaexcedeose-gundo termo da progresso geomtrica em 2. Ento, o terceiro termo das progresses :a) 10.b) 12.c) 14.d) 16.e) 18.156. (Vunesp) Considere um tringulo equiltero cuja me-dida do lado 4 cm. Um segundo tringulo equiltero construdo,unindo-seospontosmdiosdoslados do tringulo original. Novamente, unindo-se os pontos mdios dos lados do segundo tringulo, obtm-se um terceiro tringulo equiltero, e assim por diante, infini-tasvezes.Asomadospermetrosdainfinidadedetringulos formados na sequncia, incluindo o tringu-lo original, igual a:a)16 cm.c) 20 cm.e) 32 cm.b) 18 cm.d) 24 cm.157.(Ufscar-SP) Numa progresso geomtrica, o primeiro termo 5x e a razo 5. Se a soma dos quatro primeiros termos 3 900, pode-se afirmar que 55x 2 igual a:a) 125 . c) 1.e) 25.b) 15 . d) 5.158. (Vunesp) No incio de janeiro de 2004, Fbio montou umapginanainternetsobrequestesdevestibula-res. No ano de 2004, houve 756 visitas pgina. Su-pondoqueonmerodevisitaspgina,duranteo ano,dobrouacadabimestre,onmerodevisitas pgina de Fbio no primeiro bimestre de 2004 foi:a) 36.b) 24.c) 18.d) 16.e) 12.159. (UFTM-MG) A soma dos infinitos termos de uma pro-gressogeomtricadecrescenteiguala13,5ea soma dos dois primeiros termos igual a 12. Nessas condies,otermonumericamenteigualrazoda sequncia o:a)quarto.c) sexto.e) oitavo.b) quinto.d) stimo.Questes dissertativas160.(Fuvest-SP)Umasequnciadenmerosreaisa1,a2, a3, satisfaz lei de formao:an 1 6an, se n mparan 1 13 an,se n parSabendo que a1 2:a)escreva os oito primeiros termos da sequncia;b) determine a37 e a38.161.(UFC-CE)Osladosdeumtringuloretnguloesto emprogressoaritmtica.Determineatangentedo menor ngulo agudo desse tringulo.162.(UFPB) Qual a quantidade de mltiplos de 3 no inter-valo [3 455; 3 740]?163.(UFRJ) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inaba-lvel pacincia, deseja bater o recorde mundial de cons-truo de castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, queestoapoiadasemumamesa.Afiguraaseguir apresenta um castelo com trs nveis.6 25 4Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 nveis. Determine o nmero de cartas que ele vai utilizar.22164.(Unicamp-SP) A Anatel determina que as emissoras de rdio FM utilizem as frequncias de 87,9 a 107,9 MHz, e quehajaumadiferenade0,2 MHzentreemissoras com frequncias vizinhas. A cada emissora, identificada por sua frequncia, associado um canal, que um n-mero natural que comea em 200. Desta forma, emis-sora cuja frequncia de 87,9 MHz corresponde o canal 200; seguinte, cuja frequncia de 88,1 MHz, corres-ponde o canal 201, e assim por diante. Pergunta-se:a)Quantas emissoras FM podem funcionar (na mes-ma regio), respeitando-se o intervalo de frequn-cias permitido pela Anatel? Qual o nmero do canal com maior frequncia?b) Os canais 200 e 285 so reservados para uso ex-clusivodasrdioscomunitrias.Qualafrequncia docanal285,supondoquetodasasfrequncias possveis so utilizadas?165.(Unifesp) Em uma sequncia de 8 nmeros, a1, a2, ... , a7, a8, os cinco primeiros termos formam uma progres-soaritmtica(PA)deprimeirotermo1;ostrslti-mos formam uma progresso geomtrica (PG) de pri-meiro termo 2. Sabendo que a5 a6ea4 a7:a)determine as razes da PA e da PG;b) escreva os oito termos dessa sequncia.166.(Ufes) Em um rebanho de 15 000 reses, uma foi infec-tada pelo vrus mc1. Cada animal infectado vive dois dias, ao final dos quais infecta outros trs animais. Se cada rs infectada uma nica vez, em quanto tempo o mc1 exterminar a metade do rebanho?(Dado: log3 15 001 8,75.)167.(Vunesp) Vrias tbuas iguais esto em uma madeirei-ra. A espessura de cada tbua 0,5 cm. Forma-se uma pilhadetbuascolocando-seumatbuanaprimeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quan-tas j houverem sido colocadas anteriormente.pilha na 1 vez pilha na 2 vez pilha na 3 vezDetermine, ao final de 9 dessas operaes:a)quantas tbuas ter a pilha;b) a altura, em metros, da pilha.168.(UFC-CE) Considere a funo real de varivel real de-finida por f(x) 2x. Calcule o valor def(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) ...169.(UFRJ) Uma progresso geomtrica de oito termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produ-to de seus termos vale 36. Ache a razo da progresso.Geometria planangulosFigura plana formada por duas semirretas de mes-ma origem.ngulo raso: ngulo de medida 180ngulo reto: ngulo de medida 90ngulo agudo: ngulo cuja medida est entre 0 e 90nguloobtuso:ngulocujamedidaestentre90e 180nguloscongruentes:ngulosquetmamesma medida (smbolo: )nguloscomplementares:pardenguloscujasoma das medidas 90ngulos suplementares: par de ngulos cuja soma das medidas 180ngulosadjacentes:ngulosquepossuamumlado comumeasregiesdeterminadasporelesnotm mais pontos comunsngulosformadosporduasretasparalelascortadas por uma transversal:rtsAbAaAdAcAfAgAhAer e s: retas paralelast: reta transversalBa e Bc: ngulos opostos pelo vrticeBa e Be: ngulos correspondentesBa e Bg: ngulos alternos externosBc e Be: ngulos alternos internosBc e Bf: ngulos colaterais internosBa e Bh: ngulos colaterais externosTringulosPolgonoquetemtrslados(consequentemente tem trs vrtices e trs ngulos internos).Classicao de tringulosQuanto aos ngulos Quanto aos ladosAcutngulo: possui trs ngulos agudos.Equiltero: trs lados de mesma medida. Retngulo: possui dois ngulos agudos e um reto.Issceles: dois lados de mesma medida. Obtusngulo: possui dois ngulos agudos e um obtuso.Escaleno: trs lados de medidas diferentes entre si.23Propriedades dos tringulosIssceles: Os ngulos da base tm a mesma medida.Equiltero:ostrsngulosinternostmamesma medida, igual a 60.Retngulo:teoremadePitgoras(oquadradoda hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos).Soma dos ngulos internos + + = 180ngulo externoee = + Congruncia de tringulos1o caso: LAL 2o caso: ALA3o caso: LLL4o caso: LAAoDesigualdade triangularAomaiornguloope-seomaiorladoe,reciproca-mente, ao maior lado ope-se o maior ngulo.A medida de cada lado de um tringulo deve ser menor do que a soma das medidas dos outros dois lados.QuadrilterosPolgonodequatroladose,portanto,dequatro vrtices e quatro ngulos internos.Quaisquer Soma dos ngulos internos: 360 Duas diagonaisParalelogramosQuadrilteros formados por dois pares de lados pa-ralelos.Propriedades1)Emtodoparalelogramo,doisngulosopostosso congruentes e dois ngulos no opostos so suple-mentares (soma das medidas: 180).2)Em todo paralelogramo, os lados opostos so con-gruentes.3)Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.24TrapziosQuadrilteros que tm apenas um par de lados pa-ralelos: base maior e base menor.Trapzio retnguloTodotrapzioquetemdoisngulosretos.Nele, umdosladosquenobaseperpendicularsduas bases.Trapzio isscelesTodotrapzioquetemdoisladosnoparalelos congruentes.Polgonos convexosDiagonais: d n n ( ) 32Soma dos ngulos internos: Si (n 2) 180Soma dos ngulos externos: Se 360Polgonos regularesngulo interno: ai Sni ( ) nn2 180 ngulo externo: ae Sn ne 360ae ai 180Cevianas particulares e pontos notveis de um tringuloCeviana Definio Ponto notvelMedianaSegmento que tem como extremidades um vrtice do tringulo e o ponto mdio do lado oposto a esse vrtice.Baricentro: encontro das medianas do tringulo; centro de gravidade (ponto de equilbrio) do tringulo.BissetrizSegmento que tem uma extremidade em um vrtice do tringulo, divide o ngulo ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vrtice.Incentro:encontro das bissetrizes internas ao tringulo; centro da circunferncia inscrita no tringulo, pois equidista dos trs lados.AlturaSegmento com uma extremidade em um vrtice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ngulos retos.Ortocentro: ponto de encontro das retas que contm as alturas, podendo pertencer ao exterior do tringulo.MediatrizReta que passa pelo ponto mdio de um lado do tringulo e perpendicular a ele.Circuncentro: ponto de encontro das mediatrizes dos lados do tringulo; centro da circunferncia circunscrita ao tringulo, pois equidista dos trs vrtices.Teorema de Talesra cb dst Teorema da bissetriz de um ngulo interno de um tringuloASxc byB C Semelhana de tringulos abc xyzaxbycz k (razo de semelhana)Casos de semelhana1o- caso: AA BAC EDF B A BDBB BE ABC DEF2o- caso: LLL AB C DE FABDEBCEFACDF ABC DEFr // s // tabcd ou acbd r // s // tabcd ou acbd AS:bissetrizxcyb AS:bissetrizxcyb 253o- caso: LALABC

DEFABDEBCEF ABC DEFB E Teorema fundamental da semelhanaADB CrEr //BC ADE ABCRelaes mtricas nos tringulos retngulosACbn mhcBDaTeorema de Pitgoras: a2 b2 c2Relaes mtricas b anc amh mnah bc222 CircunfernciaFigura geomtrica formada por todos os pontos de um plano equidistantes de um dado ponto desse plano, chamado centro.Posies relativas entre reta e circunfernciaTangentes(um nico ponto comum)Secantes(dois pontos comuns)Externas(nenhum ponto comum)CrtdC, t raioCrsdC, s raioCrudC, u raioPosies relativas entre duas circunfernciasSodadasemfunodonmerodepontosco-muns s circunferncias.ChamandodeO1eO2oscentroser1er2osres-pectivos raios, sendo r1 r2, obteremos:Pontos comunsPosi-o rela-tivaDistncia entre os centros em funo dos raiosFigura2Secan-tesr1 r2 d r1 r21Tangen-tes inter-nasd r1 r2Tangen-tes exter-nasd r1 r20Inter-nas concn-tricasd 0Inter-nas noconcn-tricasd r1 r2Exter-nasd r1 r226ngulos em uma circunfernciangulo centralOx xngulo inscritox x2

180ngulo retongulo de segmentoABCO ABBC ngulo de segmento.Relaes mtricas na circunfernciaCruzamento de duas cordasAPDCB PA PB PC PDDois segmentos secantes a partir de um mesmo pontoABCPDPA PB PC PDSegmento secante e segmento tangente a partir de um mesmo pontoABCP (PA)2 PB PCPolgonos regulares inscritos na circunfernciaAptemaumsegmentocomumaextremidade no centro da circunferncia circunscrita e outra no ponto mdio de um de seus lados.Sedesenharmosumacircunfernciainscritaaopo-lgono regular, o aptema coincidir com seu raio. QuadradoAr4rO a4B 4 r2a4 r 22HexgonoA6Ora6rB 6 ra6 r 32Tringulo equilteroArOa3MB C36 = r 3 r3a3 r2 Comprimento da circunfernciaRC 2R27reasrea da regio quadrada A 2rea da regio retangularbh A bhrea da regio limitada por um paralelogramobh A bhrea da regio triangularbh A bh2readaregiotriangularsendoconhecidosostrs lados (Frmula de Heron)acbp a b c 2 (semipermetro)A p p a p b p c ( )( )( ) rea da regio limitada por um tringulo equiltero A 234rea de uma regio triangular com o auxlio da TrigonometriaabA 12 ab sen rea da regio limitada por um trapziohbB A B b h ( )2rea da regio limitada por um losangoDd A D d 2 rea da regio limitada por um hexgono regular A 3 322rea de uma regio limitada por um polgono regularaptema n lados p: semipermetro A n a 2 A pa28rea do crculoRA R2rea do setor circularR

Testes170.(Cesesp-PE) Na figura abaixo as retas r e s so para-lelas e as retas t e v so perpendiculares. t vrsAssinale, ento, dentre as alternativas abaixo, a nica quecompletacorretamenteasentena:osngulos distintos e so...:a)opostos pelo vrtice.d) complementares.b) adjacentes.e)sempre congruentes.c)suplementares.171.(UFJF-MG) Na figura abaixo as retas r e s so paralelas e cortadas por uma reta t. O ngulo na figura vale: a)60.b) 55. t3x2x + 80rsc)50.d) 20.172.(Fuvest-SP)Nafigura,asretasressoparalelas,o ngulo 1 mede 45 e o ngulo 2 mede 55. A medida, em graus, do ngulo 3 :a) 50.b) 55. c) 60.d) 80.e) 100.123rsAR Rsetorgrausrad 236 2 20 AR Rsetorgrausrad 236 2 20173.(Unaerp-SP) As retas r e s so interceptadas pela trans-versal t, conforme a figura. x + 204x + 30trsO valor de x para que r e s sejam paralelas :a) 20.b) 26.c) 28.d) 30.e) 35.174.(Unirio-RJ)Asretasr1er2soparalelas.Ovalordo ngulo , apresentado na figura a seguir, : 130r1r2a) 40.b) 45.c) 50.d) 65.e) 130.175.(FGV-SP) Na figura, os pontos A e B esto no mesmo plano que contm as retas paralelas r e s. Assinale o valor de . 3060A40Bsra) 30b) 50c) 40d) 70e) 60176.(UFG-GO) Na figura abaixo as retas r e s so paralelas. 4xrsb1202xA medida do ngulo b :a)100.c) 110.e) 130.b) 120.d) 140.29177.(UFG-GO) Se dois lados de um tringulo medem res-pectivamente3dme4dm,podemosafirmarquea medida do terceiro lado : a)igual a 5 dm.b) igual a 1 dm.c)igual a7dm.d) menor que 7 dm.e)maior que 7 dm.178.(UFC-CE) Na figura, os segmentos de reta AB, AC e CD so congruentes, um ngulo externo, e um ngulo interno do tringulo ABD. ABD CAssinale a opo que contm a expresso correta de em termos de .a) 3d) 23b) 2e) 32c) 2179.(Fuvest-SP)Nafiguraabaixo,tem-sequeADAE, CD CF e BA BC.AEFDCB80Se o ngulo EDF mede 80, ento o ngulo ABC mede: a) 20.b) 30.c) 50.d) 60.e) 90.180.(UFMG) Com base nos dados dessa figura, pode-se afirmar que o maior segmento :a)AB.b) AE. ABCDE70706555c)EC.d) BC.e)ED.181.(Uerj) Se um polgono tem todos os lados iguais, ento todos os seus ngulos internos so iguais. Para mos-trar que essa proposio falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:a)losango.c)retngulo.b) trapzio.d) quadrado.182.(PUC-RJ) Os ngulos internos de um quadriltero me-dem3x45,2x10,2x15ex20graus.O menor ngulo mede: a) 90.b) 65.c) 45.d) 105.e) 80.183.(Unifesp)Emumparalelogramo,asmedidasdedois ngulos internos consecutivos esto na razo 1 : 3. O ngulo menor desse paralelogramo mede: a) 45.b) 50.c) 55.d) 60.e) 65.184.(Fuvest-SP)Umtrapzioretngulotembases5e2e altura 4. O permetro desse trapzio :a) 13.b) 14.c) 15.d) 16.e) 17.185.(Faap-SP) A medida mais prxima de cada ngulo ex-terno do heptgono regular da moeda de R$ 0,25 :a)60.b) 45.c)36. 25centavosd) 83.e)51.186.(Unitau-SP)Opolgonoregularconvexoemqueo nmero de lados igual ao nmero de diagonais o:a)dodecgono.d) hexgono. b) pentgono.e)heptgono.c)decgono.187.(Mack-SP) Os ngulos externos de um polgono regu-larmedem20.Ento,onmerodediagonaisdesse polgono :a) 119.b) 135.c) 152.d) 90.e) 104.188.(UFPB)Onmerodeladosdopolgonoquetem90 diagonais :a)20.d) 9. b) 5.e) nenhuma das respostas.c)15.189.(Ibmec-SP)Ummatemticogostariaderecobriro cho de sua sala com vrias peas de mesma forma e mesmo tamanho, colocando as peas uma ao lado da outra, sem deixar espaos e sem sobreposies. No serviriam para este recobrimento as peas com o for-mato de:a)tringulo equiltero.b) quadrado.c)losango.d) pentgono regular.e)hexgono regular.30190.(Fuvest-SP) Na figura abaixo, ABCDE um pentgono regular. ABC DEA medida, em graus, do ngulo : a) 32.b) 34.c) 36.d) 38.e) 40.191.(Mack-SP) Na figura, ABCDE um pentgono regu-lar, EF paralelo a AB e BF paralelo a AE. AFE D CBA medida do ngulo : a) 72.b) 54.c) 60.d) 76.e) 36.192.(Unifesp)Pentgonosregularescongruentespodem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cincopontas,conformedestacadonafigura.Nestas condies, o ngulo mede: a)108.b) 72.c)54. d) 36.e)18.193.(Ufscar-SP) A figura 1 representa um determinado en-caixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 he-xgono, 2 tringulos, 4 quadrados), sem sobreposies e cortes. Figura 1Figura 2Em relao aos 6 ladrilhos triangulares colocados per-feitamente nos espaos da figura 1, como indicado na figura 2, correto dizer que: a)2 so tringulos equilteros e 4 so tringulos iss-celes de ngulo da base medindo 15.b) 2 so tringulos equilteros e 4 so tringulos iss-celes de ngulo da base medindo 30.c)2sotringulosisscelesdengulodabaseme-dindo 50 e 4 so tringulos issceles de ngulo da base medindo 30.d) 2sotringulosequilterose4sotringulosre-tngulos issceles.e)2 so tringulos equilteros e 4 so tringulos es-calenos.194.(Fuvest-SP)Doisngulosinternosdeumpolgono convexomedem130cadaumeosdemaisngulos internos medem 128 cada um. O nmero de lados do polgono : a) 6.b) 7.c) 13.d) 16.e) 17.195.(Unitau-SP) O segmento da perpendicular traada de umvrticedeumtringuloretasuportedolado oposto denominado:a)mediana.d) altura.b) mediatriz.e) base.c)bissetriz.196.(Ufes) Um dos ngulos internos de um tringulo issce-les mede 100. Qual a medida do ngulo agudo for-mado pelas bissetrizes dos outros ngulos internos?a) 20.b) 40.c) 60.d) 80.e) 140.197.(UFMG) Nesta figura, o quadrado ABCD est inscrito no tringulo AMN, cujos lados AM e NA medem, res-pectivamente, m e n. MBCA ND Ento, o lado do quadrado mede:a) mnm n .c) m n.4b) m n2 28.d) mn2.198.(UEL-PR) Dado o trapzio da figura abaixo, considere o tringulo CDX obtido pelo prolongamento dos lados DA e CB do trapzio. AD CB 5 cm2 cm7 cmA medida da altura desse tringulo :a)7,0 cm.c) 6,0 cm.e) 5,0 cm.b) 6,5 cm.d) 5,5 cm.31199.(Mack-SP)NoterrenoABCdafigura,umapessoa pretende construir uma residncia, preservando a rea verde da regio assinalada. Se BC 80 m, AC 120 m e MN 40 m, a rea livre para a construo, em me-tros quadrados, de: A3030MBCNa)1 400.c) 1 800.e) 2 200.b) 1 600.d) 2 000.200.(Fuvest-SP)Dados:nguloMBBCnguloBBAC; AB 3, BC 2 e AC 4. Ento, MC igual a: a)3,5.AMB Cb) 2.c)1,5.d) 1.e)0,5.201.(Fuvest-SP) Na figura, as distncias dos pontos A e B reta r valem 2 e 4. As projees ortogonais de A e B sobre essa reta so os pontos C e D. Se a medida de CD 9, a que distncia de C dever estar o ponto E, do segmento CD, para que CBEA DBEB? a)3b) 4c)5Ar2C E DB4d) 6e)7202.(Mack-SP) A figura a seguir representa uma estrutura de construo chamada tesoura de telhado. Sua incli-nao tal que, a cada metro deslocado na horizontal, h um deslocamento de 40 cm na vertical. Se o com-primento da viga AB 5 m, das alternativas a seguir, a que melhor aproxima o valor do comprimento da viga AC, em metros, : ABCa) 5,4.b) 6,7.c) 4,8.d) 5,9.e) 6,5.203.(Mack-SP) Num tringulo retngulo, um cateto o dobro do outro. Ento a razo entre o maior e o menor dos seg-mentos determinados pela altura sobre a hipotenusa :a) 2.b) 3.c) 4.d) 32 .e)5 .204.(PUC-SP) A figura a seguir mostra a trajetria percor-ridaporumapessoaparairdopontoXaopontoY, caminhandoemterrenoplanoesemobstculos.Se ela tivesse usado o caminho mais curto para ir de X a Y, teria percorrido:a)15 m.b) 16 m.c)17 m. 5 m6 m17 mYX20 m9 md) 18 m.e)19 m.205.(UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de qua-drado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vrtices A, B, C, D, conforme a figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vrtice D fique sobre o lado AB (figu-ra2).SejaDestanovaposiodovrticeDexa distncia de A a D. A BFigura 1D C Figura 2Ax DBA funo que expressa a rea do tringulo retngulo sombreado em funo de x : a)A x x344142. d) A 441842. xb) A x x344184.e)A 441422. xc)A x x344184.206.(PUC-SP) Na figura, AB o dimetro da circunfern-cia. O menor dos arcos AC mede: a)100.b) 120.c)140. 40A BCd) 150e)160.32207.(Ucsal-BA) Na figura abaixo, o tringulo ABC iss-celes e BD a bissetriz do ngulo de vrtice B. A me-dida x do ngulo assinalado : a)55.b) 50.c)45. ABDC35xd) 40.e)35.208.(Fuvest-SP) O valor de x na figura abaixo :a) 203.b) 35 .c)1. x2310d) 4.e)5.209.(Vunesp)Emumaresidncia,humareadelazer com uma piscina redonda de 5 m de dimetro. Nessa rea h um coqueiro, representado na figura por um pontoQ.Sea distncia de Q (coqueiro) ao ponto de tangncia T (da piscina) 6 m, a distncia d QP, do coqueiro piscina, : PT6 md Q Oa) 4 m.b) 4,5 m. c) 5 m.d) 5,5 m.e) 6 m.210.(UFPB) Enquanto conversavam sobre matemtica, Vi-cente perguntou ao Ronaldo: Se meu carro tem rodas de 0,35 m de raio, quantas voltas dar uma delas num percurso de 70 m?. A resposta correta ser: a) 100.b) 101.c) 112.d) 125.e) 198.211.(UEL-PR) A bandeira de um time de futebol tem o for-matodeumretnguloMNPQ.OspontosA,BeC dividem o lado MN em quatro partes iguais. Os trin-gulos PMA e PCB so coloridos com uma determina-da cor C1, o tringulo PAB com a cor C2 e o restante da bandeira com a cor C3. Sabe-se que as cores C1, C2 e C3 so diferentes entre si. Que porcentagem da bandeira ocupada pela cor C1? a)12,5%b) 15%c)22,5% MQ PA B C Nd) 25%e)28,5%212.(UFC-CE) Na figura abaixo, cada quadradinho da ma-lha tem lado 1. A rea do quadriltero ABCD : CBDAa)18.c) 20.e) 22.b) 19.d) 21.213.(UFTM-MG) Na figura, J, B, D, E, G e I so pontos de tangncia de duas circunferncias de raio r em relao aos lados do retngulo ACFH. Sabendo que a distn-ciaentreoscentrosdascircunfernciasr,arazo entre a rea da parte sombreada da figura e a rea do retngulo ACFH :a) .28b) 2 112.c) .224 GBA CIH FED Jd) 424. e) .312214.(Fuvest-SP)Nafigura,OABumsetorcircularcom centro em O, ABCD um retngulo e o segmento CD tangente em X ao arco de extremos A e B do setor circular. Se AB 2 3e AD 1, ento a rea do se-tor OAB igual a: D CA BXOa) 3 . c) 43.e) 73.b) 23.d) 53.33Questes dissertativas215.(UFPE) Na figura a seguir, determine o ngulo que oposto ao lado de menor comprimento. 42966161454535251205842216.(Unicamp-SP) Um trapzio retngulo um quadrilte-roconvexoplanoquepossuidoisngulosretos,um ngulo agudo e um ngulo obtuso . Suponha que, emumtaltrapzio,amedidadesejaigualacinco vezes a medida de .a)Calcule a medida de , em graus. b) Mostre que o ngulo formado pelas bissetrizes de e reto.217.(UFC-CE)Considereafiguraaseguirnaqualos segmentosderetaABeCDsoperpendicularesao segmento de reta BC. Se AB 19 cm, BC 12 cm e CD 14 cm, determine a medida, em centmetros, do segmento de reta AD. AB CD218.(Ufscar-SP) Uma placa de ao quadrada vai ser trans-formadaemumoctgonoregular,recortando-seos quatro cantos do quadrado de forma a obter o maior polgono possvel, como mostra a figura. LxxSendo a medida do lado do quadrado igual a L, calcu-le, em funo de L:a)a medida de x;b) o permetro do octgono obtido. 219.(Vunesp) Uma esttua de 2 m de altura e um poste de 5 m de altura esto localizados numa ladeira de incli-nao igual a 45, como mostra a figura. A distncia da base do poste base da esttua 4 m, e o poste tem uma lmpada acesa na extremidade superior. 2 m4 m5 msombraX45ZYAdotando21,41esabendoquetantooposte quanto a esttua esto na vertical, calcule:a)ocomprimentoaproximadodasombradaesttua projetada sobre a ladeira;b) a rea do tringulo XYZ indicado na figura.220.(PUC-RJ)Oscatetosdeumtringuloretngulome-dem30 2 cme70 2 cm.Acheocomprimentoda bissetriz do ngulo reto desse tringulo. (Sugesto: Use semelhana de tringulos.)221.(UFPE) Seja ABC um tringulo tal queABBC5cmeAC8cm.Quantomede,em mm, a altura deste tringulo em relao ao lado AC?222.(UFRJ) Na figura, o tringulo AEC equiltero e ABCD um quadrado de lado 2 cm. Calcule a distncia BE. ABED C223.(UFSC)Nafigura,Oocentrodacircunferncia,o ngulo OAAB mede 50, e o ngulo OABC mede 15. De-termine a medida, em graus, do ngulo OAAC. AOCB34224.(UFPB) Na figura abaixo, o segmento AB tangen-te circunferncia de centro O. Se AB mede 30 cm eBCmede18cm,determineamedidadeCDem centmetros. ABCDO225.(UFRJ) Uma roda de 10 cm de dimetro gira em li-nha reta, sem escorregar, sobre uma superfcie lisa e horizontal. 10 mDetermine o menor nmero de voltas completas para a roda percorrer uma distncia maior que 10 m.226.(EEM-SP)Calculeareaconstrudadeumaparta-mento,cujaplantabaixaestrepresentadapeloes-quema abaixo (despreze a espessura das paredes). 5,5 m8,0 m2,0 m1,5 m 1,5 m 8,0 m3,5 m1,8 m5,5 mCozinhaTerraoBanheirosocialrea deservioSala dejantarBanhei-ro(sute)Sala deestarSuteDormitrio1,5 m1,0 m227.(UFPB) Na figura abaixo, o quadrado ABCD represen-taumpedaodepapelderea144cm2doqualfoi recortada uma pipa, na forma do polgono AECFA. Sa-bendo que E e F so os pontos mdios dos lados tBCu e tDCu, respectivamente, qual a rea, em cm2, do papel utilizado para fazer a pipa?F C DA BEF C DA BE228.(UFPE) Na(s) questo(es) a seguir escreva nos pa-rnteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso.( )Doistringulosequilterosquaisquersose-melhantes.( )Doistringulosretngulossosemelhantesse os catetos de um so proporcionais aos catetos do outro.( )Num tringulo qualquer, cada lado maior que a soma dos outros dois.( )Seasdiagonaisdeumquadrilteroseintercep-tam nos seus pontos mdios, ento esse quadril-tero um retngulo.( )Se pelo ponto mdio do lado AB de um tringu-lo ABC traarmos uma reta paralela ao lado BC, entoestaretainterceptaroladoACnoseu ponto mdio.TrigonometriaLei dos cossenosaxbx2 a2 b2 2ab cos Lei dos senosabcRasenbsencsen 2RGraus e radianos180 radSeno, cosseno e tangente sen2 x cos2 x 1 tg x sen xx cos35 Simetriax x x2 x Sinaissenocossenotangente Outras relaes trigonomtricas cotg x 1tgxxsen xcos sec x 1cos x cossec x 1sen x sec2 x 1 tg2 x cossec2 x 1 cotg2 xAdio e subtrao de arcos sen (a b) sen a cos b sen b cos a sen (a b) sen a cos b sen b cos a cos (a b) cos a cos b sen a sen b cos (a b) cos a cos b sen a sen btg(ab) tg a tgbtg a tgb 1 (paraosarcosemquea tangente for definida) tg (a b) tg a tgbtg a tgb 1 Arco duplo e arco metade sen 2a 2 sen a cos a cos 2a cos2 a sen2 a cos 2a 2 cos2 a 1 cos 2a 1 2 sen2 a tg 2a 212tg atg a Transformao em produto sen x sen y 2 sen x y 2 cos x y 2 sen x sen y 2 sen x y 2 cos x y 2 cos x cos y 2 cos x y 2 cos x y 2 cos x cos y 2 sen x y 2 sen x y 2Funo senoGrcoyx2 321122Caractersticas1)Funosenoafunodeemdefinidapor f(x) sen x.2)A funo seno tem D eIm [1, 1].3)A funo seno no injetiva nem sobrejetiva.4)A funo seno funo mpar, isto , sen x sen (x), x .5)A funo seno peridica de perodo p 2.Funo cossenoGrcoyx223211 2 0Caractersticas1)O domnio o mesmo: f: tal que f(x) cos x tem D .2)A imagem a mesma: f: tal que f(x) cos x tem Im [1, 1].3)O perodo o mesmo: a funo cosseno peridi-ca de perodo p 2.4)A funo cosseno tambm no nem injetiva nem sobrejetiva.5)Afunocossenopar,isto,cosxcos(x), x .36Senoides do tipo y a b sen (cx d) ouy a b cos (cx d)O domnio de qualquer senoide sempre D . O que varia a imagem e o perodo. Para obter a imagem, basta lembrar que 1 sen 1 e 1 cos 1 e substituir nas funes.Para obter o perodo, basta fazer p 2| |.cObservaes:1)Seb0,ogrficoficasimtricoaogrficocom b 0 (simetria em relao ao eixo x).2)Antes de desenhar o grfico, importante deixar oparmetrocpositivo.Paraisso,usamosapari-dade de seno e cosseno: sen (cx) sen (cx) e cos (cx) cos (cx).3)Se d 0, o grfico translada dc unidades.d positivo: o grfico translada para a direita.d negativo: o grfico translada para a esquerda.Testes 229.(Unirio-RJ) Deseja-se medir a distncia entre duas ci-dades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB 80 km e AC 120 km, onde A uma cidade conhecida, como mostra a figura abaixo. AB60CLogo, a distncia entre B e C, em km, :a)menor que 90.b) maior que 90 e menor que 100.c)maior que 100 e menor que 110.d) maior que 110 e menor que 120.e)maior que 120.230.(Mack-SP) Trs ilhas A, B e C aparecem num mapa, em escala 1 : 10 000, como na figura. Das alternati-vas, a que melhor aproxima a distncia entre as ilhas A e B :a)2,3 km. b) 2,1 km.c)1,9 km. A3010512 cmCBd) 1,4 kme)1,7 km.231.(Fuvest-SP) No quadriltero a seguir,BC CD 3 cm, AB 2 cm, ABDC 60 e ABBC 90.DA BCA medida, em cm, do permetro do quadriltero :a) 11.b) 12.c) 13.d) 14.e) 15.232.(UFPA) Qual a medida em radianos de um arco de 135?a) 4b) 2c) 34d) e) 54233.(Fuvest-SP) O permetro de um setor circular de raio R e ngulo central medindo radianos igual ao per-metro de um quadrado de lado R. Ento igual a: a) 3 .b) 2.c) 1.d) 23.e) 2 .234.(UFPB) Se sen x 2 107 e x est no segundo qua-drante, ento:a)tg x 6 107.b) tg x 6 1049.c)tg x 2 103.d) tg x 3 102.e)nenhuma das relaes anteriores verdadeira.235.(Fuvest-SP) O menor valor de 13 cos x , com x real, :a) 16 . b) 14 . c) 12 . d) 1.e) 3.236. (PUC-SP) A afirmao cos x 2a 15 verdadeira se, e somente se, a tal que:a)1 aoua 1.d) 2 a 3.b) 1 aoua 1.e)4 a 6.c)2 aoua 3.237.(AFA-SP) O valor desen 2 4...2...n, n lN, :a) 1.b) 0.c) 12 . d) 1.37238.(Ufac) O menor valor positivo de x que satisfaz a equa-o 2 sen x 1 0 :a) 6 . b) 4 . c) 3 .d) 2 . e) .239.(Fuvest-SP) O dobro do seno de um ngulo , 0 2, igual ao triplo do quadrado de sua tan-gente. Logo, o valor de seu cosseno :a) 23 .b) 32. c) 22. d) 12 . e) 33.240.(UFC-CE) Considere a equao cos2 x cos x 2 0. Pode-se afirmar que a soma de suas solues que per-tencem ao intervalo [0, 4] :a) 1.b) 1.c) 0.d) 4.e) 2.241.(PUC-PR)Todoxdointervalo[0,2]quesatisfaza equao 164164sen x5 sen x2pertence ao intervalo:a)0 x 72.d) 216 x 288.b) 72 x 144.e) 288 x 360.c)144 x 216.242.(UEL-PR) Se x [0, 2], ento cos x 12 se, e so-mente se, x satisfizer condio:a) 3 x 53.b) 3 x 2 .c) x 2.d) 2 x 32 ou 53 x 2.e)0 x 3 ou 53 x 2.243.(Udesc) A expresso mais simples para11cos x cossec xsec x2 22 :a)1.d) tg x.b) 1.e)sec2 x.c)0.244. (AFA-SP) O valor da expresso cos 35 (sen 25 cos 55) sen 35 (cos 25 sen 55) tg tgtg tg 1 31 141 3 14 :a) 2 32.c) 2 32.b) 3 22.d) 2 33. 245.(Fuvest-SP)Noquadriltero ABCDondeosngulosBe D so retos e os lados tm as medidas indicadas, o valor de sen BA :a) 55.c) 45 .e) 12 .b) 2 55.d) 25 .246.(Uece) Se x um arco do primeiro quadrante tal que tg x2 7 ,ento sen x igual a:a) 78. b) 76. c) 74. d) 76.247.(Vunesp) Se cos x a, para x [ ] 02, , e assumindo que a 0ea 1, o valor de tg 2x :a) 2a 12a 1 a22.d) 2 12 122a aa.b) 1 aa2. e)2a2 1.c)2a 1 a2 .248. (Fuvest-SP)Osnmerosreaissen 12,senae sen 512 formam,nestaordem,umaprogressoarit-mtica. Ento o valor de sen a :a) 14 . c) 24. e) 32.b) 36.d) 64.249.(Mack-SP)Afiguramostraosesboosdosgrficos das funes f(x) sen xk e g(x) cos (mx). Ento:yx110 23 43424a)m 2k.d) m k .b) |m| k.e) |m| 12 k.c)|m| 13 k.2x2xxxA CBD2x2xxxA CBD250.(UEL-PR) O conjunto imagem da funo y: IR IR,y 2|cos 2x| 1 :a)[0, 2].b) [1, 3].c)[1, 3].d) [2, 2].e)[2, 0].251.(Fuvest-SP) A figura a seguir mostra parte do grfico da funo:a)sen x.b) 2 sen x2 .c)2 sen x.d) 2 sen 2x.e)sen 2x.yx22420Questes dissertativas252.(Fuvest-SP) Na figura abaixo, O o centro da circun-ferncia de raio 1, a reta AB secante a ela, o ngulo mede 60 e sen 34. O ABa)Determine sen (OBAB) em funo de AB.b) Calcule AB.253.(Unifesp) Com base na figura a seguir, que represen-ta o crculo trigonomtrico e os eixos da tangente e da cotangente:a)calcule a rea do tringulo ABC, para 3 ;b) determine a rea do tringulo ABC, em funo de , 4 2 .A1yxB1C254.(UFPB) Se cos 0,6 e 02, , calcule o valor de 10 sen .255.(Vunesp)Numafbricadecermica,produzem-se lajotastriangulares.Cadapeatemaformadeumtringulo issceles cujos lados iguais medem 10 cm, eongulodabasetemmedidax,comomostraa figura.10 cmxa)Determine a altura h(x), a base b(x) e a rea A(x) de cada pea, em funo de sen x e cos x.b) Determine x, de modo que A(x) seja igual a 50 cm2.256.(UFMG) Determine todos os valores de x pertencen-tes ao intervalo (0, ) que satisfazem a equao 3 tg x 2 cos x 3 sec x.257.(Fuvest-SP) Determine as solues da equao(2 cos2 x 3 sen x)(cos2 x sen2 x) 0 que esto no intervalo [0, 2].258.(Vunesp) A relao y A 0,6 sen [(t 7)] expri-me a profundidade y do mar, em metros, em uma doca, s t horas do dia, 0 t 24, na qual o argumento expresso em radianos.a)Dado que na mar alta a profundidade do mar na doca 3,6 m, obtenha o valor de A.b) Considerando que o perodo das mars de 12 ho-ras, obtenha o valor de .Geometria espacialGeometria espacial de posioUma reta fica determinada por dois pontos distintos.Um plano fica determinado por: trs pontos no-colineares; duas retas paralelas distintas; duas retas concorrentes; uma reta e um ponto fora dela.38Posies relativas de duas retas no espao Duas retas no espaodistintascoincidentes (paralelas iguais)coplanaresreversasparalelasconcorrentesperpendicularesoblquasortogonaisno-ortogonaisPosies relativas de uma reta e um plano no espaoUma reta r e um plano no espaoa reta paralela ao plano (r//)a reta est contida no plano (r )a reta intersecta o planoa reta perpendicular ao plano(r )a reta oblqua ao plano (r )Posies relativas de dois planos no espaoDois planos no espaodistintoscoincidentes (paralelos iguais)paralelossecantesperpendicularesoblquosPoliedrosRelao de Euler: V A F 2PrismasParaleleppedo reto retangularabcDiagonal: D a b c2 2 2 rea total: AT 2(ab ac bc)Volume: V abcCuboaaaDiagonal: D a 3rea total: AT 6a2Volume: V a33940Prismas regulareshABAFAB:readabase(polgonode n lados)AF: rea de uma face (retngulo)h: alturarea lateral: AL n AFrea total: AT 2AB ALVolume: V AB hPirmidesPirmide regularAFABAB: rea da base (polgono de n lados)AF: rea da face (tringulo)rea lateral: AL n AFrea total: AT AB ALVolume: V A hB3Tronco de pirmideh1bBV hB Bb b13[ ] CilindrohABRAB R2AL 2RhAT 2R(R h)V R2hCilindro equiltero: h 2RConeg2 h2 R2AB R2AL RgAT R(g R)V Rh23Cone equiltero: h 2Rngulo do setor circular que equivale rea lateral: 2Rg (em radianos)hgRhgRTronco de coneh1r1g1r2AL g1(r1 r2)V hr r r r1121 2 223 ( )EsferaRA 4R2V 43 R3FusoRfusoarcoequatorialARfusograusrad4 36 22 0CunhaRRRRcunhaarcoequatorialRVRcunha graus rad4336 2 3 0Testes259.(UFPB)MarqueCnasafirmativascorretaseEnas erradas.1. () Trspontoscolinearesdeterminamsomente um plano.2. () Porumpontodeumaretardadapassaso-mente um plano Q, perpendicular a r.3. () Duas retas concorrentes determinam um plano.4. () A projeo de uma reta r sobre um plano sempre outra reta s.5. () Seumplanointerceptadoisplanosparalelos, as interseces so retas paralelas.6. () Umfeixedeplanosparalelosdeterminasobre duas transversais segmentos proporcionais.A sequncia correta obtida :a)ECCCEC.c)ECECCC.e) ECCECC.b) CCEECC.d) CCECCE.41260.(UEL-PR) A reta r a interseco dos planos perpen-diculares e . Os pontos A e B so tais que A ,A, B , B. As retas AB e r:a)so reversas.b) so coincidentes.c)podem ser concorrentes.d) podem ser paralelas.e)podem ser perpendiculares.261.(UFRN)Nacadeirarepresentadanafiguraabaixo,o encostoperpendicularaoassentoeesteparalelo ao cho.N ML KG HI JE FSendo assim:a)Os planos EFN e FGJ so paralelos.b) HG um segmento de reta comum aos planos EFN e EFH.c)Os planos HIJ e EGN so paralelos.d) EF um segmento de reta comum aos planos EFN e EHG.262.(UEL-PR) Para explicar a natureza do mundo, Plato [...] apresenta a teoria segundo a qual os quatro ele-mentos admitidos como constituintes do mundo o fogo, o ar, a gua e a terra [...] devem ter a forma de slidos regulares. [...] Para no deixar de fora um slido regular, atribuiu ao dodecaedro a representa-odaformadetodoouniverso.(DEVLIN,Keith. Matemtica: a cincia dos padres. Porto: Porto Edi-tora, 2002. p.119.) As figuras a seguir representam esses slidos geom-tricos, que so chamados de poliedros regulares.Um poliedro um slido limitado por polgonos. Cada poliedro tem um certo nmero de polgonos em torno de cada vrtice. Uma das figuras anteriores representa umoctaedro.Asomadasmedidasdosngulosem torno de cada vrtice desse octaedro :a)180.c) 270.e) 324.b) 240.d) 300.Fogo Fogo Terra Terra Ar Ar Universo Universo gua gua263.(UFC-CE) Um poliedro convexo s tem faces triangu-lares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e 10 vr-tices, ento o nmero de faces triangulares :a) 12.b) 11.c) 10.d) 9.e) 8.264.(UEL-PR) Aumentando-se em 1 m a altura de um pa-raleleppedo,seuvolumeaumenta35m3 esuarea total aumenta 24 m2. Se a rea lateral do paraleleppe-do original 96 m2, ento o volume original :a)133 m3.c) 140 m3. e) 154 m3.b) 135 m3.d) 145 m3.265.(UFMG) O volume de uma caixa cbica 216 litros. A medida de sua diagonal, em centmetros, :a)0,8 3 . c)60.e) 900 3 .b) 6.d) 60 3 .266.(ITA-SP) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua rea lateral o dobro da rea de sua base. O volume deste prisma, em cm3, :a)27 3 . c) 12.e) 17 5 .b) 13 2 . d) 54 3 .267.(FEI-SP) De uma viga de madeira de seo quadrada de lado 10 cm extrai-se uma cunha de altura h 15 cm, conforme a figura. O volume da cunha :a)250 cm3.d) 1 000 cm3.b) 500 cm3.e)1 250 cm3.c)750 cm3.101015268.(Uece) A face ABC do tetraedro VABC um tringulo equiltero de lado 3 cm e a reta passando pelo vrtice Veperpendicularaestafaceintercepta-aemseu centro O. Se a aresta VA do tetraedro 5 cm, ento a medida, em cm, do segmento VO :a)15 . b)18 . c)20 . d)22 .269.(Uece) Numa pirmide quadrangular regular, uma ares- ta da base mede 2 2cm e uma aresta lateral mede 22cm. O volume dessa pirmide, em cm3, :a) 7 2 . b) 8 2 . c) 9 2 . d) 10 2 .270.(UEL-PR) As superfcies de um cubo e de um octae-dro regular interpenetram-se, dando origem figura F mostrada a seguir. Sobre cada face do cubo elevam-se pirmides que tm a base quadrada e as faces em for-madetringulosequilteros.Osvrticesdasbases daspirmidesestolocalizadosnospontosmdios 42das arestas do cubo e do octaedro. A aresta do cubo mede 2 cm. Qual o volume do slido limitado pela fi-gura F?a)12 cm3. b) 14 cm3.c)18 cm3. d) 16 cm3.e)20 cm3.271.(UFMG) Observe esta figura:CANDBMPNessafigura,estorepresentadosumcubo,cujas arestas medem, cada uma, 3 cm, e a pirmide MABC, quepossuitrsvrticesemcomumcomocubo.O pontoMsitua-sesobreoprolongamentodaaresta BDdocubo.OssegmentosMAeMCinterceptam arestas desse cubo, respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede 1 cm. Considerando-se es-sasinformaes,corretoafirmarqueovolumeda pirmide MNPD , em cm3:a) 16.b) 14.c) 12.d) 18.272.(UEL-PR) A capacidade aproximada de um aterro sa-nitrio com a forma apresentada na figura a seguir :a)1 135 m3.c) 2 187 m3.e) 3 768 m3.b) 1 800 m3.d) 2 742 m3.20 m3 msemicrculosemicrculo273.(UFV-MG) O interior de uma jarra um cilindro circular reto e contm V litros de gua. Se fosse reti rado 1 litro desta gua, o raio, o dimetro e a altura da gua, nesta ordem,formariamumaprogressoaritmtica.Se,ao contrrio, fosse adicionado 1 litro de gua na jarra, es-sas grandezas, na mesma ordem, formariam uma pro-gresso geomtrica. O valor de V : a) 6.b) 4.c) 9.d) 7.e) 5.274.(Udesc) Um cubo de lado h inscrito num cilindro de mesma altura. A rea lateral desse cilindro :a) h24. c) h222. e) 2h2.b) h224. d) h22 .275.(UEL-PR) Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raiodabasemedindo6cm.Qual,emcentmetros quadrados, sua rea lateral?a) 20b) 30c) 40d) 50e) 60276.(UFRGS) Uma panela cilndrica de 20 cm de dimetro estcompletamentecheiademassaparadoce,sem exceder sua altura de 16 cm. O nmero de doces em formatodebolinhasde2cmderaioquesepodem obter com toda a massa :a) 300.b) 250.c) 200.d) 150.e) 100.277.(UFPE) Considere um tanque com a forma de um cone invertidoderaiodabase6mealtura8m.Deixa-se cair dentro do tanque uma esfera de raio 3 m. Assinale a alternativa correspondente distncia do centro da esfera ao vrtice do cone.a) 4 mb) 2 mc) 5 md) 10 me) 6 mQuestes dissertativas278.(UFPE) Um poliedro convexo possui 10 faces com trs lados, 10 faces com quatro lados e 1 face com dez la-dos. Determine o nmero de vrtices deste poliedro.279.(Unicamp-SP) A figura abaixo a planificao de uma caixa sem tampa: 2xxx5x5a)Encontreovalordex,emcentmetros,demodo que a capacidade dessa caixa seja de 50 litros.b) SeomaterialutilizadocustaR$10,00pormetro quadrado, qual o custo de uma dessas caixas de 50 litros considerando-se apenas o custo da folha retangular plana?280.(Vunesp) Considere um prisma hexagonal regular, sen-do a altura igual a 5 cm e a rea lateral igual a 60 cm2.a)Encontre o comprimento de cada um de seus lados.b) Calcule o volume do prisma.43281.(UFMG) Considere um tetraedro regular de vrtices A, B, C e D, cujas arestas medem r. Considere, ainda, que M e N so pontos mdios das arestas BD e CD, res-pectivamente. Calcule a rea do tringulo AMN. 282.(Uerj) Observe as figuras a seguir: A B 4 m6 mFC DEhFigura I 4 mA3 m 3 m 3,4 mBE FF EC DC D6 m6 m Figura IIA figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a fi-gura II, sua respectiva planificao, composta de dois tra-pzios issceles congruentes e dois tringulos. Calcule:a)a distncia h da aresta AB ao plano CDEF;b) o volume do slido de vrtices A, B, C, D, E e D, mostrado na figura I, em funo de h.283.(UFPE)Nafiguraaseguirocubotemarestaiguala9cmeapirmidetemumvrticenocentrodeuma face e como base a face oposta. Se V cm3 o volume da pirmide, determine 13V.999284.(Unifesp) Um recipiente, contendo gua, tem a forma de um cilindro circular reto de altura h 50 cm e raio r15cm.Esterecipientecontm1litrodeguaa menos que sua capacidade total.a)Calcule o volume de gua contido no cilindro (use 3,14).b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, introduzida no cilindro e totalmente submersa, faa transbordarem exatamente 2 litros de gua?285.(Vunesp) Um retngulo de medidas 3 cm e 4 cm faz umarotaocompletaemtornodeseuladomaior, conforme a ilustrao.Adotando 3,14:a)encontre a rea total da figura gerada;b) encontre o volume da figura gerada. 4343286.(Ufes) O setor circular sombreado, com 6 cm de raio, transforma-se na superfcie lateral de um cone, aps co-lagem de seus bordos pontilhados, como ilustrado nas figuras a seguir: AO6B 3 OA B OA Ba)Qual a medida do raio da base desse cone?b) Qual o volume do cone tendo essa base e a super-fcie lateral descrita anteriormente?287.(Ufscar-SP) Em uma lanchonete, um casal de namora-dos resolve dividir uma taa de milk shake com as di-menses mostradas no desenho.a)Sabendo-se que a taa estava totalmentecheiaequeeles beberamtodoomilkshake, calcule qual foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. Ado-te 3.b) Se um deles beber sozinho at ametadedaalturadocopo, quanto do volume total, em porcentagem, ter be-bido?288.(UFRJ) Uma ampola de vidro tem o formato de um co-necujaalturamede5cm.Quandoaampolaposta sobre uma superfcie horizontal, a altura do lquido em seu interior de 2 cm (figura 1).5 cmFigura 2Figura 12 cmh cmDetermine a altura h do lquido quando a ampola vi-rada de cabea para baixo (figura 2). Lembrete:volu-me do cone (rea da base) (altura) 3Matrizes, determinantese sistemas linearesMatrizesMatriz uma tabela.Matriz m n m linhasn colunasElemento aij: est na linha i e na coluna j20 cm10 cm20 cm10 cm44Matriz quadradam n (ordem n)a bc ddiagonal principalMatriz identidade (In)I2 1 00 1;I3 1 0 00 1 00 0 1Matriz nula (0m n ou 0n)02 3 000000;02 0 00 0Matriz transpostaA matriz transposta de A a matriz At cujas linhas so ordenadamente as colunas de A.Multiplicao de matrizesAm n Bn p ABm pigualMatriz inversaA e A1 so inversas se A A1 I A1 A.DeterminantesDeterminante um nmero associado a uma ma-triz quadrada.Determinante de ordem 1|x| xDeterminante de ordem 2a bc d ad bc Determinante de ordem 3a b cd e fg h i aei bfg cdh ceg bdi afh Propriedades principais1)det At det A2)det A1 1det A3)det (AB) det A det B4)det(kA)kndetA(kumnmerorealena ordem de A)Sistemas linearesSistemapossveler ado SPD sistemaposs(tem soluo)det min ( :vel e er adoin er ado SPI(a soluo nica)det min )det min ( :insistemapossvel e indeterminado)tem initas solues)( :impossvel SI sistemaimpossvel)(no tem soluo)ax by cdx ey f D a bd e D0 SPDD 0 SPI ou SISistema homogneo (SH)Quando todos os termos independentes so nulos:ax bycx dy 00Testes289.(UFRGS) A matriz A (ai j), de segunda ordem, de-finida por ai j 2i j. Ento, A At :a) 0 33 0. d) 0 22 0 .b) 0 33 0 . e) 0 22 0 .c) 0 33 0 .290.(UFS-SE) So dadas as matrizes A 2 10 1 eB 1 21 0. A matriz X At 2B, onde At a matriz transposta de A, igual a:a) 4 25 1. d) 4 43 1.b) 2 21 1 . e) 4 43 1.c) 2 30 1.45291.(UEL-PR) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 4 e p q. Se a matriz AB 3 5, ento verda-de que:a)p 5 e q 5.d) p 3 e q 4. b) p 4 e q 5.e)p 3 e q 3.c)p 3 e q 5.292.(Vunesp) Se A, B e C forem matrizes quadradas quais-quer de ordem n, assinale a nica alternativa verdadeira:a)AB BA.b) Se AB AC, ento B C.c)Se A2 On (matriz nula), ento A On.d) ABC A(BC).e)(A B)2 A2 2AB B2.293.(Uece) Sejam as matrizes M1 e M2 a seguir e consi-dere a operao entre estas matrizes:M1 1 01 0, M2 p q1 1 eM2M1 M1M2 2 23 2 .Nessas condies p q igual a:a) 5.b) 6.c) 7.d) 8.294.(FGV-SP) Seja a matriz A 1 10 1.A soma dos ele-mentos da matriz A100 :a) 102.b) 118.c) 150.d) 175.e) 300.295.(UFV-MG) Sejam as matrizes 1 22 6 eM xy11, onde x e y so nmeros reais e M a matriz inversa de A. Ento o produto xy :a) 32 . b) 23 .c) 12 . d) 34 . e) 14 .296. (Vunesp) Considere a matriz A (ai j)2 2, definida por ai j 1 2i j, para 1 i 2, 1 j 2. O deter-minante de A :a) 22.b) 2.c) 4.d) 2.e) 4.297.(Uece) Se o determinante da matriz A 1 2 14 3 2n n 31 2 igual a 34 e o determinante da matriz B 1 2n 74 3n 1111 igual a 34,ento n1 n2 igual a:a) 4.b) 5.c) 6.d) 7.298.(Vunesp)SejaamatrizM a bc d ondea,b,c edIR.Seosnmerosa,b,ced,nestaordem, constituem uma PG