Mat02282 - Análise Estatística Não Paramé viali/estatistica/mat2282/material/apostilas/... · aceitação

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M a t 0 2 2 8 2 - A n l i s e E s t a t s t i c a N o P a r a m t r i c a

A p o s t i l a d e T e s t e s d e H i p t e s e s P a r a m t r i c o s

M a t 0 2 2 8 2 ( A n l i s e E s t a t s t i c a N o P a r a m t r i c a ) - P r o f . L o r V i a l i , D r .

SUMRIO

1. INTRODUO 3

1.1. Generalidades 3

1.2. Metodologia do teste de hipteses 3

1.3. As hipteses 4

1.4. A escolha do teste estatstico 5

1.5. Conceitos adicionais do teste de hipteses 5

1.6. A distribuio amostral 9

1.7. Testes estatsticos paramtricos 9

1.8. Etapas do teste de hipteses 9

2. TIPOS DE TESTES PARAMTRICOS 12

2.1. Testes para uma amostra 12

2.1.1. Teste para a mdia de uma populao 12

2.1.2. Teste para a proporo 16

2.1.3. Teste para a varincia 17

2.2. Testes para duas amostras independentes 18

2.2.1. Teste para a igualdade entre as varincias de duas populaes 19

2.2.2. Teste para a diferena entre duas mdias populacionais 20

2.3. Duas amostras relacionadas (dependentes) 26

2.3.1. Teste para a diferena entre duas propores 27

3. REFERNCIAS 30

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1. INTRODUO

1.1. GENERALIDADES

Um dos principais assuntos da Estatstica moderna a inferncia estatstica. A inferncia

estatstica dividida em dois grandes tpicos: a estimao de parmetros de uma populao e os testes

de hipteses.

No desenvolvimento dos mtodos da estatstica moderna, as primeiras tcnicas de inferncia

que apareceram foram as que faziam diversas hipteses sobre a natureza da populao da qual se

extraram os dados. Como os valores relacionados com a populao so denominados parmetros,

tais tcnicas estatsticas foram denominadas de paramtricas.

1.2. METODOLOGIA DO TESTE DE HIPTESES

Nas cincias do comportamento, efetua-se levantamentos a fim de determinar o grau de

aceitao de hipteses baseadas em teorias do comportamento. Formulada uma determinada hiptese

particular necessrio coletar dados empricos e com base nestes dados decide-se ento sobre a

validade ou no da hiptese. A deciso sobre a hiptese pode levar a rejeio, reviso ou aceitao da

teoria que a originou.

Para se chegar a concluso que uma determinada hiptese dever ser aceita ou rejeitada,

baseado em um particular conjunto de dados, necessrio dispor de um processo objetivo que permita

decidir sobre a veracidade ou falsidade de tal hiptese.

A objetividade deste processo deve ser baseada na informao proporcionada pelos dados, e

como estes dados, em geral, envolvem apenas parte da populao que se pretende atingir, no risco que

se est disposto a correr de que a deciso tomada no esteja correta.

A metodologia para a deciso sobre a veracidade ou falsidade de uma determinada hiptese

envolve algumas etapas.

1. Definir a hiptese de igualdade (H0).

2. Escolher a prova estatstica (com o modelo estatstico associado) para tentar rejeitar H0.

3. Definir o nvel de significncia () e um tamanho de amostra (n).

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4. Determinar (ou supor determinada) a distribuio amostral da prova estatstica sob a

hiptese de nulidade.

5. Definir a regio de rejeio.

6. Calcular o valor da prova estatstica, utilizando os valores obtidos na(s) amostra(s). Se tal

valor estiver na regio de rejeio, rejeitar, ento a hiptese nula, seno a deciso ser que

a hiptese nula no poder ser rejeitada ao nvel de significncia determinado.

1.3. AS HIPTESES

Uma hiptese estatstica uma suposio ou afirmao que pode ou no ser verdadeira,

relativa a uma ou mais populaes. A veracidade ou falsidade de uma hiptese estatstica nunca

conhecida com certeza, a menos que, se examine toda a populao, o que impraticvel na maior

parte das situaes.

Desta forma, toma-se uma amostra aleatria da populao de interesse e com base nesta

amostra estabelecido se a hiptese provavelmente verdadeira ou provavelmente falsa. A deciso de

que a hiptese provavelmente verdadeira ou falsa tomada com base em distribuies de

probabilidade denominadas de distribuies amostrais. Em estatstica trabalha-se com dois tipos de

hiptese.

A hiptese nula a hiptese de igualdade. Esta hiptese denominada de hiptese de

nulidade e representada por H0 (l-se h zero). A hiptese nula normalmente formulada com o

objetivo de ser rejeitada. A rejeio da hiptese nula envolve a aceitao de outra hiptese

denominada de alternativa. Esta hiptese a definio operacional da hiptese de pesquisa que se

deseja comprovar. A natureza do estudo vai definir como deve ser formulada a hiptese alternativa.

Por exemplo, se o teste do tipo paramtrico, onde o parmetro a ser testado representado por ,

ento a hiptese nula seria: H0 : = 0 e as hipteses alternativas seriam:

H1 : = 1 (Hiptese alternativa simples) ou

H1: 0 ; > 0 ou < 0. (Hipteses alternativas compostas)

No primeiro caso, H1: 0, diz-se que o teste bilateral (ou bicaudal), se H1: > 0, diz-se

que o teste unilateral (ou unicaudal) direita e se H1: < 0, ento, diz-se que o teste unilateral (ou

unicaudal) esquerda.

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1.4. A ESCOLHA DO TESTE ESTATSTICO

Existem inmeros testes estatsticos tanto paramtricos quanto no paramtricos. Alguns itens

devem ser levados em conta na escolha da prova estatstica para determinada situao. A maneira

como a amostra foi obtida, a natureza da populao da qual se extraiu a amostra e o tipo de

mensurao ou escala empregado nas definies operacionais das variveis envolvidas, isto , o

conjunto de valores numricos e ainda o tamanho da amostra disponvel.

Uma vez determinados natureza da populao e o mtodo de amostragem ficar

estabelecido o modelo estatstico. Associado a cada teste estatstico tem-se um modelo estatstico e

condies de mensurao, o teste vlido sob as condies especificadas no modelo e pelo nvel da

escala de mensurao. Nem sempre possvel verificar se todas as condies do modelo foram

satisfeitas e neste caso tem-se que admitir que estas condies foram satisfeitas. Estas condies do

modelo estatstico so denominadas suposies ou hipteses do teste. Qualquer deciso tomada atravs

de um teste estatstico somente ter validade se as condies do modelo forem vlidas.

bvio que quanto mais fracas forem as suposies do modelo mais gerais sero as

concluses. No entanto, as provas mais poderosas, isto , as que apresentam maior probabilidade de

rejeitar H0 quando for falsa, so as que exigem as suposies mais fortes ou mais amplas.

1.5. CONCEITOS ADICIONAIS DO TESTE DE HIPTESES

Alm dos conceitos j vistos para o teste de hipteses necessrio ainda definir os erros

envolvidos e as regies de rejeio e de aceitao.

Para ilustrar estes conceitos ser suposto o seguinte teste a ser feito: Dispem-se de duas

moedas com aparncia idntica, s que uma (M1) equilibrada, isto , P(Cara) = P(Coroa) = 50%,

enquanto que a outra (M2) viciada de tal forma que favorece cara na proporo de 80%, ou seja,

P(Cara) = 80% enquanto que P(Coroa) = 20%. Supem-se que uma das moedas lanada e que com

base na varivel X = nmero de caras, deve-se decidir qual delas foi lanada. Neste caso o teste a ser

feito envolve as seguintes hipteses:

H0: A moeda lanada a equilibrada (M1), ou seja, p = 50%

H1: A moeda lanada a viciada (M2), ou seja p = 80%, onde p a proporo de caras.

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Tem-se que tomar a deciso de apontar qual foi a moeda lanada, baseado apenas em uma

amostra, por exemplo 5 lanamentos, de uma populao infinita de lanamentos possveis. A deciso,

claro, estar sujeita a erros, pois se est tomando a deciso em condies de incerteza.

A deciso ser baseada nas distribuies amostrais das duas moedas. A tabela 01 mostra as

probabilidades de se obter os valores: 0, 1, 2, 3, 4 e 5, da varivel X = nmero de caras, em 5

lanamentos de cada uma das moedas.

Tabela 01 - Probabilidades de se obter cara em 5 lanamentos de uma moeda

x P(X = x) sob H0 P(X = x) sob H1

0 1/32 3,125% 1/3125 0,032%

1 5/32 15,625% 20/3125 0,6