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Maximos e Mınimos Relativos Maximos e Mınimos Absolutos Funcoes Crescentes e Decrescentes

MAT140 - Calculo I - Maximos e Mınimos Locaise Globais, Pontos Crıticos e o Teste da Derivada

Primeira

4 de novembro de 2015

MAT140 - Calculo I - Maximos e Mınimos Locais e Globais, Pontos Crıticos e o Teste da Derivada Primeira UFV


Vimos que a derivada de uma funcao em um ponto e a inclinacao dareta tangente ao grafico da funcao neste ponto. Usaremos agora aderivada como ferramenta para auxiliar no esboco de graficos. Para isso,precisaremos de algumas definicoes e teoremas.



DefinicaoA funcao f tera um valor maximo relativo em c se existir um intervaloaberto contendo c, no qual f (x) esteja definida, tal que f (c) ≥ f (x) paratodo x no intervalo. Neste caso, dizemos que f (c) e valor maximorelativo de f .

Exemplo



ExemploSeja f (x) = x3

3 − x.

f tera um maximo relativo em −1. Pois, −1 ∈ (−1.5,−0.5) ef (−1) ≥ f (x), ∀x ∈ (−1.5,−0.5).



DefinicaoA funcao f tera um valor mınimo relativo em c se existir um intervaloaberto contendo c, no qual f (x) esteja definida, tal que f (c) ≤ f (x) paratodo x no intervalo. Neste caso, dizemos que f (c) e valor mınimorelativo de f

Exemplo



ExemploSeja f (x) = x3

3 − x.

f tera um mınimo relativo em 1. Pois, 1 ∈ (0.8, 1.2) e f (1) ≤ f (x),∀x ∈ (0.8, 1.2)).



TeoremaSe f (x) foi definida para todos os valores x no intervalo aberto (a, b) e sef tiver um extremo relativo em c, onde a < c < b, entao f

′(c) = 0 se

f′(c) existir.

ObservacaoA interpretacao geometrica deste teorema e que se f tiver um extremorelativo em c, e se f

′(c) existir, entao o grafico de f precisara ter uma

reta tangente horizontal no ponto onde x = c.



ExemploConsidere a funcao definida por f (x) = (x − 3)3.

f′(x) = 3(x − 3)2 e assim f

′(3) = 0, mas f (x) < 0 para x < 3 e

f (x) > 0 para x > 3. Logo, f nao tem um extremo relativo em x = 3.



ExemploConsidere a funcao f (x) = (x − 3)2.

f′(x) = 2(x − 3) e assim, f

′(3) = 0. Como f (x) > f (3) = 0 para x ∈ R,

entao f tem um mınimo relativo em 3.



DefinicaoSe c for um numero no domınio da funcao f e se f

′(c) = 0 ou f

′(c) nao

existir, entao c sera chamado de numero crıtico de f e o ponto (c , f (c))sera chamado de ponto crıtico de f .

ExemploEncontre os numeros crıticos da funcao f (x) = x

43 + 4x

13 .

f′(x) = 4

3x13 + 4

3x−23

= 43x−23 (x − 1)

= 4(x−1)3(x

23 )

Quando f′(−1) = 0 e f

′(x) nao existe para x = 0. Logo, −1 e 0 sao os

numeros crıticos da funcao f .



DefinicaoA funcao f tera um valor maximo absoluto num intervalo, se existir algumnumero c neste intervalo, tal que f (c) ≥ f (x) para todo x no intervalo.Em tal caso, f (c) sera o valor maximo absoluto de f no intervalo.

DefinicaoA funcao f tera um valor mınimo absoluto num intervalo, se existir algumnumero c neste intervalo, tal que f (c) ≤ f (x) para todo x no intervalo.Em tal caso, f (c) sera o valor mınimo absoluto de f no intervalo.



ExemploSeja f (x) = 2x definida no intervalo [−1, 4).



Nao ha valor maximo absoluto em [−1, 4) pois limx→4− f (x) = 8, masf (x) e sempre menor que 8 no intervalo. A funcao tem um valor mınimoabsoluto em −2.



ExemploA funcao f definida por f (x) = x

1−x2 nao possui valor maximo absoluto enem valor mınimo absoluto em (−1, 1). Observe que lim

x→1−f (x) =∞ e

limx→−1+

f (x) = −∞



Podemos falar de um valor extremo absoluto de uma funcao mesmo quenao seja especificado um intervalo. Em tal caso, estaremos nos referindoao extremo absoluto da funcao em todo o seu domınio.

Definicaof (c) sera o valor maximo absoluto da funcao f se c estiver no domıniode f e se f (c) ≥ f (x) para todos os valores de x no domınio de f .

Definicaof (c) sera o valor mınimo absoluto da funcao f se c estiver no domınio def e se f (c) ≤ f (x) para todos os valores de x no domınio de f .



ExemploConsidere a funcao f (x) = −x2 − 2x − 8. O grafico de f (x) e dado por

Como f (x) ≤ f (−1) = −7, ∀x ∈ R a funcao f tem um valor maximoabsoluto em f (−1) = −7.



Teorema (Teorema do Valor Extremo)Se a funcao f for contınua no intervalo fechado [a, b], entao f tera umvalor maximo absoluto e um valor mınimo absoluto em [a, b].

O valor maximo absoluto e o valor mınimo absoluto de uma funcaocontınua em um intervalo [a, b] podem ser encontrados atraves do seguinteprocedimento:



1-Ache os valores da funcao nos numeros crıticos de f em (a, b).2-Ache os valores de f (a) e f (b).3-O maior dentre os valores das etapas 1 e 2 sera o valor maximoabsoluto e o menor sera o mınimo absoluto.



ExemploVamos determinar os extremos absolutos (maximos e mınimos absolutos)

da funcao f (x) = (x − 2)23 no intervalo [1, 5].

Como f e contınua, o teorema do valor extremo pode ser aplicado. Como

f′(x) =

2

3(x − 2)13

e f′(x) 6= 0, para todo x real, e f

′(x) nao existe para x = 2, concluımos

que o 2 e o unico numero crıtico de f . Assim, os extremos absolutos dafuncao ocorrem em x = 2 ou nos extremos do intervalo.

Como f (1) = 1, f (2) = 0 e f (5) = 3√

9, podemos concluir que f (2) = 0 eo valor mınimo absoluto e f (5) = 3

√9 e o valor maximo absoluto de f .



DefinicaoUma funcao f definida em um intervalo sera crescente naquele intervalose, e somente se,

f (x1) < f (x2) sempre que x1 < x2,

onde x1 e x2 sao quaisquer numeros no intervalo.

DefinicaoUma funcao f definida em um intervalo sera decrescente naqueleintervalo se, e somente se,

f (x1) > f (x2) sempre que x1 < x2,

onde x1 e x2 sao quaisquer numeros no intervalo.



Analisando a funcao acima no intervalo [x1, x4], podemos concluir quefuncao e crescente nos intervalos [x1, x2], [x3, x4] e decrescente no intervalo[x2, x3].



TeoremaSeja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b] e derivavel nointervalo aberto (a, b):

1. Se f′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entao f sera crescente em [a, b].

2. Se f′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), entao f sera decrescente em

[a, b].



ExemploDetermine os intervalos onde f (x) = x3 − 12x − 5 e crescente e f edecrescente.A funcao f e contınua e derivavel em qualquer ponto. A primeiraderivada e dada por

f′(x) = 3x2 − 12

= 3(x2 − 4)= 3(x − 2)(x + 2)



Assim, f′(x) > 0 nos intervalos (−∞,−2), (2,∞) e f

′(x) < 0 no intervalo

(−2, 2).Pelo teorema acima, f e crescente nos intervalos (−∞,−2], [2,∞)



Teorema (Teste da Derivada Primeira)Seja f uma funcao contınua em todos os pontos do intervalo aberto(a, b), contendo o numero c e suponha que f

′exista em todos os pontos

do intervalo (a, b) exceto possivelmente em c.

1. Se f′(x) > 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto

tendo c como extremo direito e se f′(x) < 0 para todos os valores

de x em algum intervalo aberto tendo c como extremo esquerdo,entao f tera um valor maximo relativo em c.

2. Se f′(x) < 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto

tendo c como extremo direito e se f′(x) > 0 para todos os valores

de x em algum intervalo aberto tendo c como extremo esquerdo,entao f tera um valor mınimo relativo em c.



Prova: (Para consulta)Seja (d , c) o intervalo para o qual f

′(x) > 0. Pelo teorema 3.3, f e

crescente em [d , c]. Agora, seja (c , e) o intervalo para o qual f′(x) < 0.

Pelo teorema 3.3, f e decrescente em [c , e]. Como f e crescente em[d , c), para x1 em [d , c] e x1 6= c, temos f (x1) < f (c). Analogamente,Como f e decrescente em [c , e], para x2 em [d , c] e x2 6= c, temosf (x2) > f (c). Logo f tem um valor maximo relativo em c.A demostracao do ıtem (2) e analoga.



ExemploDada a funcao

f (x) = x13 (x − 4),

vamos determinar os pontos crıticos, identificar os intervalos onde afuncao e crescente e decrescente e determinar os extremos locais eabolutos, caso existam.

Primeiramente, observe que f (x) = x43 − 4x

13

f′(x) = 4

3x13 − 4

3x−23

= 43x−23 (x − 1)

= 4(x−1)3x

23



Exemplo (Continuacao)Logo, f

′(x) = 0 para x = 1 e f

′(x) nao existe para x = 0. Portanto, os

numeros crıticos de f sao x = 0 e x = 1. Como f (0) = 0 e f (1) = −3,os pontos crıticos de f sao

(0, 0) e (1,−3).

Iremos agora determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.Como

3x23 > 0 para todo x 6= 0

o sinal de f′

dependera apenas da expressao 4(x − 1).Como

4(x − 1) > 0 para x > 1 e4(x − 1) < 0 para x < 1

.



Exemplo (continuacao)Portanto,

f′(x) > 0 para x > 1 e

f′(x)) < 0 para x < 1.

Pelo teste da derivada primeira, f nao apresenta um valor extremo emx = 0 (f

′nao muda de sinal) e f apresenta um mınimo local em

f (1) = −3.

Observe tambem que f e decrescente em (−∞, 1] e crescente em [1,∞).Portanto, f (x) > f (1), ∀x ∈ R. Logo, f (1) = −3 tambem e mınimoabsoluto.



ExemploDada a funcao

f (x) = (x2 − 3)ex ,

vamos determinar os pontos crıticos, identificar os intervalos onde afuncao e crescente e decrescente e determinar os extremos locais casoexitam.

Podemos notar que a funcao e contınua e derivavel.Logo,

f′(x) = (x2 − 3)

′ex + (x2 − 3)(ex)

′

= 2xex + (x2 − 3)(ex)

= (x2 + 2x − 3)ex



Exemplo (Continuacao)Como ex 6= 0, ∀x ∈ R,

f′(x) = 0⇔ (x2 + 2x − 3) = 0

Como(x2 + 2x − 3) = (x + 3)(x − 1),

(x2 + 2x − 3) = 0⇔ x = −3 ou x = 1.

Logo, os numeros crıticos de f sao x = −3 e x = 1 e os pontos crıticossao

(−3,−6e−3) e (1,−2e).



Exemplo (Continuacao)Observe o grafico da funcao f

′(x).



Exemplo (Continuacao)Logo,

f′(x) > 0 nos intervalos (−∞,−3) e (1,∞)

ef′(x) < 0 no intervalo (−3, 1).

f e crescente no intervalo (−∞,−3] e no intervalo [1,∞) e e decrescenteno intervalo (−3, 1). Pelo Teste da Derivada Primeira,

(−3,−6e−3) e um mınimo local e

(1,−2e) e um maximo local.


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