Mat2282 2 Ind - mat.ufrgs.br viali/estatistica/mat2282/material/laminaspi/Mat... · 2 Prof. Lorí Viali,

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    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica

    Prof. Lor Viali, Dr.http://www.mat.ufrgs.br/viali/

    viali@mat.ufrgs.brProf. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica

    Os testes O teste Qui-Quadrado

    O teste exato de Fisher

    O teste de Kolmogorov-Smirnov

    O teste de U de Mann-Whitney

    O teste de Wilcoxon

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    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica

    As variveis devem estar tabuladas em tabelas de contingncia. Para o caso de duas variveis tem-se uma tabela de dupla entrada.

    O teste qui-quadradoO teste de duas ou mais amostras

    independentes pode ser utilizado para verificar a dependncia ou independncia entre as variveis sendo consideradas.

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    H0 : As variveis so independentesH1 : As variveis so dependentes

    Hipteses e Clculo

    ( )

    E

    EO

    =ij

    k

    1=i

    l

    1=jijij

    2

    2

    -A varivel teste :

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    Expresso alternativa

    ( )

    nE

    O

    =

    =E

    EO

    =

    ij

    k

    1=i

    l

    1=j

    2ij

    ij

    k

    1=i

    l

    1=jijij

    2

    2

    -

    -A varivel teste :

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    r = nmero de linhas da tabela;

    L = nmero de colunas da tabela;

    Oij = freqncia observada na interseo da linha i com a coluna j.

    Eij = nmero de casos esperados na interseo da linha i com a coluna j.

    Onde:

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    Onde:

    = tamanho da amostra;k

    1=i

    l

    1=jijO=n

    2 a estatstica teste;

    pn=E ijij so as freqncias esperadas

    de cada clula ij da tabela.Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica

    pij a probabilidade de ocorrer uma observao na clula ij. Se as variveis so supostamente independentes (H0 Verdadeira), ento pij = pi.p.j, onde pi. a probabilidade marginal correspondente linha i e p.j a probabilidade marginal correspondente a coluna j.

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    Como no se conhecem as probabilidades marginais, elas devem ser estimadas atravs das correspondentes freqncias relativas. Ento:

    n

    ff=

    n

    f.

    n

    f.n

    =p.pn=pn=E

    j..ij..i

    j..iijij

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    k

    1=iijj.

    l

    1=jij.i f=f e f=f

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    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica

    A tabela mostra os resultados de uma avaliao de satisfao com a compra de um novo modelo de automvel de luxo. Teste a hiptese de que o novo modelo est agradando mais aos consumidores homens do que os consumidores mulheres.

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    520

    PoucoAvaliao

    2530

    Muito

    5Mulheres15Homens

    No SatisfeitoConsumidores

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica

    H0: Homens e mulheres esto igualmente satisfeitos.

    H1: Homens e mulheres no esto

    igualmente satisfeitos.

    Hipteses

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    2020515NS

    25255

    20P

    55552530M

    100100Total3535Mulheres6565Homens

    TotalConsumidores

    Totais marginais

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    2020713NS

    25258,75

    16,25P

    555519,2535,75

    M

    100100Total3535Mulheres6565Homens

    TotalConsumidores

    Freqncias Esperadas

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    0,8800,8800,5700,310NS

    2,4732,4731,6070,865

    P

    2,6422,6421,7120,925

    M

    5,9905,990Total3,9003,900Mulheres2,1002,100HomensTotalConsumidores

    Clculo do Qui-Quadrado

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    O grau de liberdade O grau de liberdade ::

    A estatA estatstica amostral stica amostral

    2=1312(=)1l)(1k(= )-).(---

    ( )990,5=

    E

    EO

    =ij

    2

    1=i

    3

    1=jijij

    2

    22

    -Ento:Ento:

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    Estes resultado 4,99% < 5% =

    significncia do teste. Rejeito H0.

    Qual a significncia deste resultado? Qual a significncia deste resultado?

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    Tipos de Qui-QuadradoO SPSS fornece ainda os seguintes valores do 2:Qui-Quadrado de Pearson;Corrigido de Yates ou Correo de Continuidade; Razo de verossimilhana;Teste exato de Fisher;Qui-Quadrado de Mantel-Haenszel ou teste de associao linear ou ainda associao linear porlinear.

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    Correo de Continuidade YatesObs.: S para tabelas 2x2

    E

    )]50,0EO,0[max(Q

    ij

    k

    1i

    l

    1jijij

    2

    C

    = = =

    -

    Sob a hiptese nula de independncia a estatstica QC tem uma distribuio assinttica Qui-Quadrado com (k -1).(l -1) G.L.

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    Razo de verossimilhana

    lnk

    1i

    l

    1j ij

    ijij

    2

    EO

    O2G= =

    =

    Quando as variveis das linhas e colunas so independentes a estatstica G2 tem uma distribuio assinttica Qui-Quadrado com(k -1).(l -1) G.L.

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    Qui-Quadrado de Mantel-Haenszel

    r)1n(Q 2MH =

    O Qui-Quadrado de Mantel-Haenszeltesta a hiptese de que existe um relacionamento linear entre as duas variveis. R2 a correlao de Pearson (r) entre as duas variveis.

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    Tabelas 2x2

    Nesse caso o c2 pode ser calculado por:

    c + ddc-nb + da + cTotal

    a + bba+Total-+

    )db)(ca)(dc)(ba()bcad(n 22

    ++++

    =

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    O teste exato de FisherO teste de Fisher til para analisar

    dados discretos (nominais ou ordinais), quando os tamanhos das duas amostras so pequenos.

    A cada indivduo nos grupos atribudo um dentre dois escores possveis. Os escores so freqncias em uma tabela 2x2.

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    As amostras podem ser quaisquer dois

    grupos independentes tais como: homens e

    mulheres, empregados e desempregados,

    catlicos e no-catlicos, pais e mes, etc.

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    Disposio dos dados na prova de Fisher.

    nB + DA + CTotal

    C + DDCGrupo II

    A + BBAGrupo I

    Total+-

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    Os cabealhos so arbitrariamente

    indicados com sinais de "mais" e "menos",

    podem indicar duas classificaes quaisquer:

    acima e abaixo da mediana, aprovado e

    reprovado, graduados em cincias e graduados

    em artes, a favor ou contra, etc.

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    A prova determina se os dois grupos

    diferem na proporo em que se enquadram,

    nas duas classificaes, ou seja, a prova

    determina se o Grupo I e o Grupo II diferem

    significativamente na proporo de sinais

    "mais" e "menos" atribudos a cada um.

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    A probabilidade de se observar

    determinado conjunto de freqncias em

    uma tabela 2x2, quando se consideram

    fixos os totais marginais, dada pela

    distribuio hipergeomtrica, isto :

    A estatstica teste

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    !D!C!B!A!n)!DC()!CA()!DC()!BA(

    BAn

    BDB

    ACA

    )xX(P

    ++++=

    =

    +

    +

    +

    ==

    Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Inst