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MatemáticaElementar III

Domingos Anselmo Moura da SilvaGenilce Ferreira Oliveira

Dário Souza Rocha

Manaus 2006

FICHA TÉCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice−GovernadorOmar Aziz

ReitorLourenço dos Santos Pereira Braga

Vice−ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró−Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto

Pró−Reitor de Extensão e Assuntos ComunitáriosAdemar R. M. Teixeira

Pró−Reitor de Ensino de GraduaçãoCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró−Reitor de Pós−Graduação e PesquisaWalmir de Albuquerque Barbosa

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

NUPROMNúcleo de Produção de Material

Coordenador GeralJoão Batista Gomes

Projeto GráficoMário Lima

Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior

Revisão Técnico−gramaticalJoão Batista Gomes

Silva, Domingos Anselmo Moura da.

S586m Matemática elementar III / Domingos Anselmo Moura da Silva,Genilce Ferreira Oliveira, Dario Souza Rocha. – Manaus/AM: UEA,2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

125 p.: il. ; 29 cm.

Inclui bibliografia

1. Matemática – Estudo e ensino. I. Oliveira, Genilce Ferreira. II.Rocha, Dario Souza. III. Título.

CDU (1997): 51

CDD (19.ed.): 510

SUMÁRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE I – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

TEMA 01 – A função e o cotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Funções injetivas e sobrejetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13TEMA 03 – Funções inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

UNIDADE II – Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

TEMA 04 – Funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19TEMA 05 – Função composta e sua linguagem formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

UNIDADE III – Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

TEMA 06 – Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 07 – Potência com expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 08 – Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

UNIDADE IV – Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

TEMA 09 – Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35TEMA 10 – Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36TEMA 11 – Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

UNIDADE V – Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

TEMA 12 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41TEMA 13 – Logarítmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41TEMA 14 – Bases Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 15 – Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 16 – Propriedades dos logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 17 – Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

UNIDADE VI – Equações e inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

TEMA 18 – Módulo de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 19 – Equações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 20 – Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

UNIDADE VII – Funções modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

TEMA 21 – Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

UNIDADE VIII – Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

TEMA 22 – Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 23 – Seqüência de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

UNIDADE IX – Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

TEMA 24 – Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83TEMA 25 – Fórmula do termo geral de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85TEMA 26 – PA monótona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88TEMA 27 – Extremos e meios em uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 TEMA 28 – Representação prática dos termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 TEMA 29 – Interpolação aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 TEMA 30 – Soma dos n primeiros termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

UNIDADE X – Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

TEMA 31 – Progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 TEMA 32 – Fórmula do termo geral da PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 TEMA 33 – Classificação das progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 TEMA 34 – Representação prática de três termos em PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111TEMA 35 – Interpolação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 TEMA 36 – Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 TEMA 37 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Domingos Anselmo Moura da SilvaLicenciado e Bacharel em Matemática - UFAM

Mestre em Matemática - UFAM

Genilce Ferreira OliveiraLicenciada em Matemática - UFAM

Especialista em Matemática - UFAM

Dário Souza Rocha Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM

Especialista em Matemática - UFAM

PERFIL DOS AUTORES

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada

à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do

Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-

der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em

dinamismo técnico−científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-

cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-

tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história

da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-

tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-

no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios

que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga

Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

UNIDADE IFunções

TEMA 01

A FUNÇÃO E O COTIDIANO

Como o homem percebeu que tudo e todosestão relacionados de forma que nenhumefeito tem origem numa única causa?

Ao lermos um jornal ou uma revista, diaria-mente nos deparamos com gráficos, tabelas eilustrações. Estes são instrumentos muito uti-lizados nos meios de comunicação. Um textocom ilustrações é muito mais interessante,chamativo, agradável e de fácil compreensão.Não é só nos jornais ou nas revistas queencontramos gráficos. Os gráficos estão pre-sentes nos exames laboratoriais, nos rótulosde produtos alimentícios, nas informações decomposição química de cosméticos, nas bulasde remédios, enfim, em todos os lugares. Aointerpretarmos esses gráficos, verificamos anecessidade dos conceitos de plano carte-siano.

O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é ex-plicado pela recombinação genética dos alelos(a,b,o), e este é um bom exemplo de uma apli-cação do conceito de produto cartesiano. Umaaplicação prática do conceito de relação é adiscussão sobre a interação de neurônios (cé-lulas nervosas do cérebro).

Ao relacionarmos espaço em função do tem-po, número do sapato em função do tamanhodos pés, intensidade da fotossíntese realizadapor uma planta em função da intensidade deluz a que ela é exposta ou pessoa em funçãoda impressão digital, percebemos quão impor-tantes são os conceitos de funções para com-preendermos as relações entre os fenômenosfísicos, biológicos, sociais...

Vamos ler um pouco mais.

As necessidades do homem, com os mais vari-ados propósitos, fizeram dele, através dos tem-pos, um estudioso dos problemas naturais,bem como das suas causas e dos seus efeitos.

Essa busca nos fez perceber que tudo e todosestão relacionados de tal forma que nenhumefeito tem origem numa única causa.

Para perceber essa relação, vamos usar comoexemplo uma flor, que aos olhos de um admi-rador representa a beleza, o amor e a paz, eaos olhos de um sensível observador, a ima-gem do nosso mundo, com fatores individu-ais, físicos, econômicos, humanos e sociais.

Na linguagem do dia−a−dia, é comum ouvir-mos frases como “Uma coisa depende daoutra” ou “Uma está em função da outra”. Nãoé raro também abrirmos revistas ou jornais eencontramos gráficos sobre os mais variadosassuntos, mostrando a dependência entre osfatores em estudo.

A idéia de um fator variar em função do outro ede se representar essa variação por meio degráficos, de certa forma, já se tornou familiarem nossos dias. No entanto essa forma de re-presentação não foi sempre assim. O conceitode função sofreu várias interpretações até che-gar ao modernamente utilizado.

No século XVIII, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646−1716) considerou como função as quantidadesgeométricas variáveis, relacionadas com umacurva.

Posteriormente, Leornhard Euler enfatizou me-nos a representação analítica e deixou antevercomo conceito de função toda variável quedependa de outra, ou seja, se a segunda vari-ar, a primeira também irá variar.

Já no século XIX, matemáticos como Dirichlete Lagrange deram novas contribuições para oestudo das funções.

A Idéia de Função

O canto dos grilos é um som familiar no camponuma noite quente. O ritmo em que os griloscantam depende da temperatura: quando estáquente, eles cricrilam mais do que em qual-quer outro tempo. A tabela abaixo mostra co-mo o ritmo e a temperatura estão relacionados.

(*) A relação entre graus Farenheit (F) e graus

Celsius (C) é dada pela equação: F = C x 1,8 + 32

Temperatura emGraus Farenheit (*) 50 60 70 80

Número de cricrilosem 15s 10 20 30 40

11

Matemática Elementar III – Funções

Para cada temperatura desta tabela, existe umcorrespondente número de cricrilos em quinzesegundos. Observe que, para cada temperatu-ra, existe um único número correspondente. Ummatemático diria que o número de cricrilos emquinze segundos é uma função da temperatura.

Uma maneira de representar uma função écom uma tabela exposta acima. Uma outra ma-neira é escrever uma fórmula. Na tabela acima,cada número da segunda linha é o correspon-dente número da primeira linha menos 40. Sechamamos F a temperatura em graus Fahre-nheit e n representa o número de cricrilos em15 segundos, podemos escrever.

n = F − 40 ou F = n + 40

As duas letras nas fórmulas acima são variá-veis. Na primeira, n varia de acordo com a vari-ação de F, isto é, n é função de F. na segunda,F varia de acordo com a variação de n, isto é Fé função de n.

A fórmula de uma função permite-nos escrevera correspondente tabela. Basta escrever osnúmeros que queremos para a primeira linha esubstituí-los na fórmula para achar o númerocorrespondente da segunda linha.

Por exemplo, uma fórmula para a temperaturaem graus Celsius, C, como uma função doritmo do canto dos grilos em 15 segundos, n, é

C = 0,6n + 4

Para ver isso, basta observar que F = C x 1,8 + 32.Como:

F = n + 40, temos: C x 1,8 + 32 = n + 40, ouC x 1,8 = n + 40 − 32 = n + 8, ou ainda:C = 0,6n + 4 (*)

Para escrever a tabela dessa função, escolhe-mos alguns números n: 0, 10, 20, 30, 40 esubstituímos então esses números na fórmu-la(*) para encontrar os correspondentes nú-meros de segunda linha.

Substituindo n = 0, obtemos C = 0,6 x 0 + 4 = 4

Substituindo n = 10, obtemos C = 0,6 x 10 +14 = 10

Substituindo n = 20, obtemos C = 0,6 x 20 +14 = 16

Substituindo n = 30, obtemos C = 0,6 x 30 +4 = 22

Substituindo n = 40, obtemos C = 0,6 x 40 + 4 = 28

A tabela é :

Resumindo, se temos dois conjuntos S e T, poruma função ou aplicação de S em T, enten-demos uma correspondência (ou regra, oumecanismo), que associa para cada elementoS um único elemento de T. O conjunto S éusualmente chamado de domínio da função, eo conjunto T é chamado de contradomínio.

Notação e vocabulário

Já foram discutidos vários aspectos da teoriados conjuntos: operações, elementos, etc. Nes-te capítulo, olhamos a teoria dos conjuntos sobum outro ponto de vista. Na verdade, cuidamosde aplicações de um conjunto noutro.

Por quê?

Por várias razões, como poderemos ver adian-te. É uma noção útil e leva−nos para resultadosimportantes. Podemos descrever muitos fatosmatemáticos como estudo de funções apropri-adas. Em outras palavras, o conceito de apli-cação (ou função) que já estamos a estudar émuito usado e constitui-se num dos pontosmais importante da matemática.

A seguir, vamos tratar de alguns conceitos so-bre funções. Para facilitar nossa comunicação,vamos introduzir alguma notação e vocabu-lário.

Seja f uma função de um conjunto S para T.Podemos denotar esse fato com a notação:

f : S → T

Se s é um elemento de S e t ∈ T é o elementoque está associado pela função f a s, denota-mos este fato por: t = f(s). Chamamos t comosendo a imagem de s pela função f. Algumasvezes, dizemos que t é o valor que f assume ems, ou que f leva s em t. Chamamos o conjunto

Im f = {t∈T|existe s∈S; f(s) = t} de imagem dafunção f.

Temperatura emGraus Farenheit (*) 0 10 20 30 40

Número de cricrilosem 15 s 4 10 16 22 28

12

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 02

FUNÇÕES INJETIVAS E SOBREJETIVAS

Seja S o conjunto das pessoas que moram na

rua A, e seja N o conjunto dos inteiros posi-

tivos. Se s é um dos residentes da rua A, defi-

nimos f(s) como sendo o número da residência

de s na rua A . Portanto, se o Sr. Silva mora na

casa de número 25 da rua A,

f (Sr. Silva) = 25. Observe que, se Maria é a

esposa do Sr. Silva, então f(Maria) = 25.

Consideramos o conjunto S das pessoas resi-

dentes na rua A e N o conjunto dos inteiros

positivos. Suponha que o sistema da identifi-

cação da polícia seja perfeito, de modo que

cada pessoa tenha sua carteira de identidade

com o respectivo número, independente se é

homem, mulher, criança. Definimos a função

g : S → N por g(s) = número da carteira de

identidade da pessoa s. Observe que, quais-

quer duas pessoas distintas, s1 e s2, são tais

que g(s1) ≠ g(s2). Observe, então, que esta

função aqui definida é distinta da função f

definida acima, quanto a esse aspecto. Lá, f(Sr.

Silva) = f(Maria). Isto é, dois elementos distin-

tos de S podem ter a mesma imagem. Aqui,

ocorre que elementos distintos de S têm ima-

gens distintas. Nesse caso, dizemos, então,

que g é injetiva ( ou injetora).

Assim, h : S → T é injetiva (ou injetora) se, e

somente se, para todo par

s1 , s2 ∈ S, com s1 ≠ s2 ⇒ h(s1) ≠ h(s2).

Ou, equivalentemente, dizemos que h é injetiva

se, e somente se, para todo par

s1, s2 ∈ S, com h(s1) = h(s2) ⇒ s1 = s2

Exemplos

Exemplo 1:

Sejam os conjuntos A= { 0, 1, 2, 3}, B= {2, 4,

6, 8, 10} e f: A → B uma função, definida por

f(x) = 2x + 2.

Observe, no diagrama de flecha, que elemen-tos distintos do conjunto A estão em corres-pondência com elementos distintos do con-junto B.

Então, a função é injetora.

Exemplo 2

Mostre que a função polinomial do 1.o grau éinjetiva.

Solução:

Seja f uma função polinomial do 1.o grau, de-finida por f(x) = ax+b, onde, a, b ∈ R e a ≠ 0

Dizemos que f é injetiva ⇔ ∀ x1, x2∈IR, comf(x1) = f(x2) ⇒ x1= x2

Sendo assim,

f(x1) = f (x2) ⇒ ax1 + b = ax1 +b ⇒ ax1 = ax2

⇒ x1 = x2

∴ f é injetiva

Exemplo 3:

Sejam N conjunto dos inteiros positivos e T con-juntos dos inteiros positivos ímpares. Definimos

f : N → T por f(n) = 2n − 1, para cada n ∈ N.Assim,

f(1) = 2.1 − 1 = 2 − 1 = 1

f(10) = 2.10 − 1 = 20 − 1 = 19

f(35) = 2.35 − 1 = 70 − 1 = 69

f define uma função de N em T. Observe que,como no Exemplo 2, f é injetiva, ou seja,

∀n,m ∈ N, se f(n) = f(m), então

2n − 1 = 2m − 1 ⇒ 2n = 2m ⇒ n = m.

13

Matemática Elementar III – Funções

Exemplo 4:

A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 éinjetora, pois sempre que tomamos dois va-lores diferentes para x, obtemos dois valoresdiferentes para f(x) (Veja o exemplo 2).

Exemplo 5:

A função f:IR → IR definida por f(x) = x² + 5não é injetora, pois para x = 1, temos f(1) = 6e para x = −1, temos f(−1) = 6.

Mostraremos, a seguir, que a função f doexemplo 3 possui uma propriedade que a fun-ção do Exemplo 1 não possui. De fato, seja xqualquer inteiro positivo ímpar; podemos es-crever x como sendo

x = 2r – 1

para algum inteiro positivo r. Agora, f(r) = 2r −1 = x. Isso significa dizer que qualquer elemen-to de T aparece como imagem de um elemen-to de N. Esta propriedade de f é muito impor-tante, e dizemos que f é uma função sobrejeti-va (ou sobrejetora).

Então, uma função f :S → T é sobrejetiva (ousobrejetora ) se, para qualquer t ∈ T, existe umelemento s ∈ S tal que, f (s) = t.

Equivalentimente,dizemos que f é sobrejetivase, e somente se, o conjunto imagem da fun-ção f é igual ao contradomínio da função f.

Exemplo 6:

A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 ésobrejetora, pois todo elemento de IR é ima-gem de um elemento de IR pela função, ou

seja, ∀ y ∈ IR existe ∈ IR tal que

f(x) = f( ) = y.

Exemplo 7:

Mostre que a função f: IR → IR+ definida porf(x) = x2 é sobrejetiva.

Solução:

Basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ a ∈ IR tal quef(a) = b.

Tome a = . Sendo assim f(a) = a2 = ( )2 = b,para qualquer b ∈ IR+.

Então, concluímos que f é sobrejetiva.

Exemplo 8:

A função f:IR → IR definida por f(x) = 2x não ésobrejetora, pois o número −1 é elemento docontradomínio IR e não é imagem de nenhumelemento do domínio.

Exemplo 9:

Para qualquer conjunto não vazio podemosdefinir i : S → S por i(s) = s, para cada s ∈ S.Esta função aplica cada elemento de S sobreele próprio. A função i é chamada função iden-tidade. Algumas vezes, notamos a função iden-tidade por id.

É fácil ver que a função identidade é injetiva esobrejetiva.

Para refletir

Definimos f : Z → N por:

(i) f(n) = 1, se n é para todo inteiro negativo.

(ii) f(0) = 101

(iii) f(n) = n, se n é inteiro positivo.

A função f é injetiva? É sobrejetiva?

Reforçando:

Dizemos que uma função é sobrejetora (ousobrejetiva) se, para qualquer t ∈ T, existe umelemento s ∈ S tal que, f (s) = t, equivalente-mente, se o conjunto imagem for igual ao con-junto C(f), ou seja, Im(f) = C(f).

14

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 03

FUNÇÕES INVERSÍVEIS

Dados dois conjuntos S e T não-vazios, podeexistir uma função f : S → T tal que f seja inje-tiva e sobrejetiva. Nesse caso, f é chamadauma função bijetiva ou bijetora ou uma bijeção.

Essa definição sugere uma certa simetria emrelação ao fato de ser bijetiva. Isto é, a defini-ção fala de uma função bijetiva f de S para T.Mas, nesse caso, também existe uma funçãobijetiva de T para S, e essa função será chama-da de a inversa de f, sendo usualmente deno-tada por f−1.

Vamos mostrar, em seguida, que se f : S → Té bijetiva, então existe g : T → S bijetiva.

Demonstração:

De fato, como f é bijetiva, em particular f ésobrejetiva. Logo, dado qualquer elemento t deT, existe algum s de S tal que f(s) = t. Como f étambém injetiva, s é único; isto é, s é o únicoelemento de S com a propriedade de que f(s)= t. Ou seja, não existe ambigüidade em levar-mos t naquele elemento s tal que t = f(s). Esseelemento s será chamado g(t). Essa regraassocia cada elemento de T num único ele-mento de S, em outras palavras, define umafunção g: T → S. Esta função é chamada ainversa de f e é comumente denotada por f−1.

Exemplos

Exemplo 1:

Seja g : Z → Z tal que g(s) = s – 6. É fácil ver queg é injetiva e sobrejetiva. Qual é a inversa de g?

Solução:

Considere t um elemento de Z.Sabemos que g−1(t) = x, tal que g(x) = t. Mas,g(x) = x – 6 = t. Portanto x = t + 6. Assim, g−1(t) = t + 6, para todo t ∈ Z.

Exemplo 2:

Afirmo que a função f: IR+ → IR+ definida porf(x)= x2 é bijetiva, ou seja, f é injetiva e sobre-jetiva.

Solução:

De fato, basta mostrar que ∀ a,b ∈ IR+, coma ≠ b ⇒ f(a) ≠ f (b).

Sendo a,b ∈ IR+, quaisquer, com a ≠ b. Temos,então, que ou a > b, ou a < b, em qualquer doscasos a2 ≠ b2 ⇒ f(a) ≠ f (b). Logo f é injetiva.

Afirmo que f é sobrejetiva.

De fato, basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ pelomenos um a ∈ IR+ tal que f(a) = b.

Tome a = . Sendo assim, f(a) = a2 = ( )2

= b, para qualquer b ∈ IR+.

Assim, concluímos que f é sobrejetiva.

Exemplo 3:

Na expressão não podemos atribuir o

valor 2 para x, pois teríamos que

consiste em uma impossibilidade matemática.

Assim, para que a fórmula possa repre-

sentar uma função, teríamos de eliminar a pos-sibilidade de x vir a ser 2. Desse modo, podeser definida f : IR – {2} → IR, tal que

f(x) = é uma função bem definida. Nesse

caso, IR – {2} é o domínio da função, e IR é ocontradomínio.

A função f definida acima é injetiva?

Sim. De fato, para cada x, y ∈ IR – {2}, comx ≠ y, suponha por absurdo que f(x) = f(y), isto

significa que = , ou seja,

(x + 1).(y − 2) = (x − 2). (y + 1), e portanto 3x= 3y, que resulta em x = y, que é uma con-tradição. Logo, x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) , concluímosque a função é injetiva.

f é sobrejetiva?

Não. Pois não existe s∈IR tal que f(s) = 1. De

fato, se 1 = f(s) = teríamos 3 = 0, que é

uma contradição.

Agora considere g : IR − {2} → IR – {1}, tal que

g(x) = . Pelo que vimos acima, g é injeti-

va e sobrejetiva.

15

Matemática Elementar III – Funções

Sendo assim, temos que a função g tem umainversa, que vamos denotar por g−1 a qualvamos determinar .

Fazendo g(x)= = y, temos = y ⇒

y(x − 2) = x + 1 ⇒ yx − 2 = x + 1 ⇒

yx − x = 1 + 2y ⇒ x(y − 1) = 1 + 2y ⇒ x =

Portanto g−1(y) =

Para refletir

Quando podemos dizer que duas funções f e gsão iguais?

Duas funções f e g são iguais se, e somentese, f(x) = g(x), para todo x ∈ D(f), D(f) = D(g)e C(f) = C(g).

Para refletir

Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi-tivos e

f : IR+ → IR+uma função, tal que f(x) =1/x,para cada x ∈ IR+. A função f é injetiva? Ésobrejetiva?

16

UEA – Licenciatura em Matemática

UNIDADE IIFunções Compostas

19

TEMA 04

FUNÇÕES COMPOSTAS

No estudo de funções, há um caso muito inte-ressante que vale a pena estudar pela suaoportunidade de generalização e conseqüenteutilidade.

Sejam S um conjunto não-vazio e f, g duas fun-ções definidas de S para S, isto é, f,g: S → S. Ses ∈ S, então g(s) ∈ S e, como qualquer ele-mento de S, pode ser aplicado pela função f,resultando no elemento f(g(s)) ∈ S. A partirdessa observação, podemos definir a chama-da função composta, denotada por fog, defini-da como fog: S → S, tal que (fog) (x) = f(g(x)),para cada x ∈ S.

Observe o diagrama de flecha abaixo:

Sendo h, g e f funções, definimos assim afunção h por gof, ou seja, h = gof

TEMA 05

FUNÇÃO COMPOSTA E SUA LINGUAGEM

FORMAL

Considerando as funções f: A → B e g: B → C,

temos que a função composta de g com f é a

função gof: A → C, sendo (go f) (x) = g (f(x)).

Exemplos

Exemplo 1:

Sejam f,g: IR → IR funções definidas por

f(s) = 5s + 6 e g(s) = . Determine fog e

gof.

Solução:

Sendo assim, temos: (f o g) (s) = f(g(s)) = f( ) = 5( )+ 6 =

= e (gof)(x) =

g(f(x)) = g(5x+6)= =

OBSERVAÇÃO:

De modo geral, gof ≠ fog, como no exemplo

acima, temos:

(fog) (0) = f(g(0)) = f(1) = 5.1 + 6 = 11 e

(gof) (0) = g(f(0)) = g(6) =

Observe que fog ≠ gof, isto é, a composição de

funções não comuta.Exemplos 2:

Matemática Elementar III – Funções Compostas

Dadas as funções f, g, h : IR → IR definidas

por: f(x) = x+2, g(x) = x2 – 1 e h(x) = .

Determine as funções compostas gof, fog,hof e fof.

Solução:

a) Vamos determinar gof :

(gof)(x) = g(f (x) ) = g(x + 2) = ( x + 2)2 – 1= x2 + 4x + 4 – 1= x2 + 4x + 3

portanto (gof)(x) = x2 + 4x + 3

b) Vamos determinar fog:

(fog)(x) = f(g(x) = (x2 – 1) = x2 – 1 + 2 = x2+1

c) Vamos determinar hof:

(hof)(x) = h(f(x)) = h(x + 2) =

=

d) Vamos determinar f o f:

(fof)(x) = f(f(x))= f(x+2) = (x+2) + 2 = x+4

Exemplo 3:

Seja f: IR → IR uma função real.

Se f (x – 3) = x2 – 4x + 1, determine f(x).

Solução:

Sendo f (x – 3) = x2 – 4x + 1, faça

x – 3 = u → x= u + 3, logo

f(u) = (u + 3)2 – 4. (u + 3) +1

= u2 + 6u + 9 – 4u – 12+1

= u2 +2u – 2

Assim, concluímos que f(x) = x2 + 2x – 2

Exemplo 4:

Sejam f e g duas funções reais, tais que

Imf ⊂ Dg. Se g (f(x))= x2 – x + 1 e g(x) = ,

determine f(x).

Solução:

Sendo g(x) = , temos que g(f (x)) =

Dessa forma, = x2 – x + 1 ⇒ f(x) – 1 =

= 2(x2 – x + 1) ⇒ f(x) – 1 = 2x2 – 2x + 2 ⇒ f(x)= 2x2 – 2x + 3

Exemplo 5:

Sejam f e g duas funções reais, tais queImf ⊂ Dg. Se g(f(x)) = x2 – x – 3 e f(x) = 3 – x,determine g(x).

Solução:

Sendo f(x) = 3 – x ⇒ x = 3 – f(x).

Logo, substituindo x = 3 – f (x) em

g(f(x)) = x2 − x − 3, temos

g(f(x)) = (3 – f(x))2 – (3 – f(x)) – 3

g(f(x)) = 9 – 6 f(x) + (f(x))2 – 6 + f(x)

g(f(x)) = (f(x))2 – 5 f(x) +3

Dessa forma, concluímos que g(x) = x2 – 5x + 3

IMPORTANTE:

Sendo f : S → T uma aplicação bijetiva de Ssobre T, podemos definir a inversa de f, aqual vamos denotar por f−1, onde f−1 é umaaplicação de T em S (f−1 : T → S), ou seja,

f(s) = t ⇔ f−1(t) = s ∀ s ∈ S e ∀ t ∈ T

Exemplo 6:

Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi-

tivos e f : IR+

→ IR+, tal que f(x) = , para

cada x ∈ IR+. Temos que f é injetiva e sobreje-tiva. Quem é f−1?

Solução:

Vamos mostrar um fato surpreendente :

f(x) = f−1(x) para cada x de IR+, ou seja,

f = f−1. De fato, f−1(x) = s ⇔ f(s) = x. Sendo

f(s) = = x, concluímos que S = .

Logo, f−1(x) = S = = f(x)

De modo geral, se f : S → T é uma função bi-jetiva, onde f−1 é a inversa de f. Pergunta–se:

Que função resultará de f−1of e fof−1?

Se s ∈ S, então (f−1of)(s) = f−1(f(s)). Entretanto,pela definição de f−1 se t = f(s), então f−1 (t) = s.

Em outras palavras, (f−1 o f) (s) = f−1 (f(s))

= f−1 (t) = s.

20

UEA – Licenciatura em Matemática

21

Ou seja: (f−1of)(s) = s, para todo s ∈ S. Isso sig-nifica dizer que (f−1of) =ids, que é a aplicaçãoidentidade de S sobre ele próprio.

De modo análogo, para cada t ∈ T, (fof−1) (t) = t.Ou seja, f o f−1 = idT, que é a identidade de Tsobre T.

Essas duas relações, fof−1= idT e f−1of = ids

facilitam o entendimento de que f−1: T → S éuma aplicação bijetiva.

De fato, suponha que f−1(t1) = f−1(t2), com t1, t2

∈ T. Aplicando f em cada lado da igualdade,obtemos:

f (f−1( t1)) = f (f−1( t2)), que é a mesma coisa de:(fof−1) (t1) = t1 = (fof−1) (t2) = t2 ⇒ t1 = t2

Portanto f−1 é, de fato, injetiva.

Por que f−1 é sobrejetiva?

Seja s ∈ S, queremos exibir algum elemento t∈ T tal que s = f−1(t). Para isso, seja t = f(s),então f−1(t) = f−1(f(s)) = (f−1of) (s) = idS(s) = s.

Logo, f−1 é sobrejetiva.

PARA REFLETIR

Sejam f e f−1 duas funções, tais que f−1 seja ainversa de f. Mostre que f é bijetiva se, esomente se, f−1 é bijetiva.

PROPRIEDADES IMPORTANTES

As aplicações identidades idS, idT têm algumaspropriedades algébricas importantes, quecomentaremos a seguir.

Propriedade 1:

Seja f : S → T uma função e seja idT: T → T aaplicação identidade de T. Pelas definições def e idT, mostre idTof = f

Demonstração:

Se s ∈ S, então (idTof ) (s) = idT (f (s) ) = f (s).Ou seja, (idTof ) (s) = f(s), para todo s ∈ S. Istosignifica que idTof = f.Propriedade 2:

Sejam g: S → T e f : T → W duas funções. Nessascondições, podemos definir: fog : S → W.

Sendo assim, temos que duas questões po-dem ocorrer naturalmente:

(i) Se f e g são injetiva, fog é injetiva?

(ii) Se f e g são sobrejetiva, fog e sobrejetiva?

Demonstração:

A resposta é afirmativa para ambas as questões:

(i) Suponha que as funções g : S → T e f: T → Wsão injetivas. Sejam s1, s2 ∈ S tais que:

(fog) (s1) = (fog) (s2).

Queremos saber se s1 = s2.

Para isso, (fog) (s1) = (fog) (s2) ⇒f(g (s1)) = f(g (s2)).

Como f é injetiva, temos que g (s1) = g(s2). Como g é injetiva, s1 = s2. Logo, fog é in-jetiva.

(ii) Suponha que ambas as funções g : S → Te f: T → W são sobrejetivas.

Queremos mostrar que dado w ∈ W, existeso ∈ S tal que (fog) (so) = w.

De fato, como f é sobrejetiva, existe to ∈ Ttal que f(to) = w.

Agora, como g: S → T é sobre, existe so ∈S tal que g(so) = to .

Mas, então:

(fog) (so) = f(g(so)) = f(to) = W.

Portanto, f o g é sobrejetiva.

PARA REFLETIR

Se g: S → T e f: T → W são ambas bijetivas,então f o g : S → W é bijetiva

Matemática Elementar III – Funções Compostas

22

UEA – Licenciatura em Matemática

]

OS PRIMEIROS GRÁFICOS

Em 476, com a queda do último imperadorromano do Ocidente frente aos bárbaros, teminício, na Europa, o período histórico deno-minado Idade Média. Nessa reviravolta, aIgreja Católica foi a única instituição ocidentala permanecer razoavelmente bem-estruturada.

Precisando de pessoal para suas fileiras a fimde perpetuar-se, teve de fundar escolas emseus mosteiros, já que o ensino também sedesintegrara. Até por volta da metade do sé-culo XI, as escolas dos mosteiros foram asúnicas da Europa. O ensino ministrado ali erabastante precário, especialmente nos primei-ros séculos do período medieval.

No caso da matemática, por exemplo, apenasalguns rudimentos da Aritmética e Geometriaeram estudados. Mas, a partir do século XII, osaber clássico, especialmente o grego, já ha-via sido resgatado substancialmente, e a se-de de conhecimento, gerada em circunstân-cias mais favoráveis, era muito grande. Issolevou à fundação das primeiras universidades– a primeira foi a de Bolonha, em 1088, comuma faculdade de Direito.

Várias outras universidades foram fundadasnas décadas seguintes, mas os cursos ofere-cidos não passavam de quatro: Artes Liberais(básico), Direito, Medicina e Teologia.

De modo geral, os primeiros mestres dessasuniversidades escolheram Aristóteles comoguia científico infalível. Afinal, ele escreverasobre quase tudo de maneira bastante con-vincente para os intelectuais da época, aindanão habituados ao método experimental.

Mas a obra de Aristóteles não consideravacertos aspectos, o que acabou prejudicandoo desenvolvimento da ciência.

Aristóteles negava, por exemplo, a velocidadeinstantânea, e isso se tornou um obstáculo àrepresentação matemática dos fenômenosdo movimento.

É claro que nem todos os intelectuais da épo-ca aceitavam os ensinamentos de Aristótelescegamente. Entre os que se opunham a eles,

o mais eloqüente foi Roger Bacon (1214-1292), um homem cuja vasta cultura o levava

a enfatizar a importância da matemática e dométodo experimental para o desenvolvimentoda ciência. Ele previu, entre outros inventos, oautomóvel, o submarino e o avião. Contudo,devido a interesses pessoais e à ignorância, avisão científica de Aristóteles manteve-se pre-ponderante até por volta do século XVII.

No fim da Idade Média, porém, verificou−secerta efervescência positiva nas universida-des européias representada, por exemplo,pelas tentativas de transformar as idéias deAristóteles sobre movimento em resultadosquantitativos.

Um fruto dessa linha de investigação é a cha-mada Lei da Velocidade Média, enunciadapela primeira vez por William de Hentisbery,do Merton College, de Oxford, no início do sé-culo XIV. Em linguagem moderna, essa lei es-tabelece que, ao fim de um intervalo de tem-po t, a velocidade de um corpo que sai dorepouso em movimento uniformemente ace-lerado, com aceleração a, é dada por v = at.Paralelamente, outros intelectuais do MertonCollege começaram a explorar a idéia de re-presentar a velocidade, bem como outrasquantidades variáveis, por meio da Geometria.

O mais bem-sucedido nesse intento foi o fran-cês Nicole Orêsme (1325−1382). Formado emteologia pela universidade de Paris, Oresmerevelar-se-ia um intelectual versátil e profundo,tendo sido considerado o maior matemáticodo século XIV e o maior economista do perío-do medieval. Antecipose a Copérnico no quese refere à teoria do movimento da Terra, con-trariando, assim, os ensinamentos de Aristó-teles sobre essa questão.

Oresme expôs seu método para representargeometricamente fenômenos de uma variávelnuma obra publicada em 1350. Sua idéia con-sistia em construir o que ele chamava de con-figuração, ou seja, uma figura geométrica for-mada de um eixo sobre o qual marcava va-lores da variável, que ele chamava de longi-tudes, e uma sucessão de segmentos cons-truídos verticalmente sobre o eixo, cujas medi-das eram chamadas de latitudes, para marcaros valores correspondentes às longitudes.

A figura era construída respeitando-se a pro-porcionalidade dos valores envolvidos. Como

se nota, as coordenadas atuais, abscissas e

23

ordenadas, têm como antecessores as latitudese as longitudes de Oresme.

Oresme estudou o caso em que a velocidade deum corpo cresce uniformemente com o tempo apartir de um valor AO. Numa situação comoessa, as latitudes correspondem aos instantesde tempo, e as longitudes às velocidades.

A constatação a que chegou Oresme nessecaso é que as extremidades das latitudes situ-am-se sobre o segmento AB, em que B é alongitude correspondente ao repouso. Issosignifica, em linguagem moderna, que o grá-fico é uma linha reta.

Oresme chegou a sugerir a extensão de suasidéias para a terceira dimensão. Nesse caso,os gráficos seriam superfícies em vez de retasou curvas. O mais notável, entretanto, é queele foi além, insinuando a quarta dimensão,possivelmente pela primeira vez na história damatemática.

1. (ESAL−MG) Se f(x) = x2 + 1, então f(f(x)) éigual a:

a) x4 + 2x2 + 2

b) x4 + 2

c) x4 + 1

d) x + 1

e) 1

2. (INATEL−MG) Sendo f(x) = x2 + 2x e g(x) = 3x + 4 a função fog é:

a) 9x2 + 20x + 24

b) x2 + 30 x + 24

c) 9 x2 + 30 x + 24

d) x2 + 20 x + 24

e) n.d.a.

3. (FISS−MG) Se f(x) = 2x − 1, então f(f(x)) é igual a:

a) 4x − 3

b) 4x − 2

c) 4x2 + 1

d) 4x2 − 1

e) 4x2 − 4x + 1

4. (FEI−SP) Se g(1 + x) = , então g(3) vale:

a) 0

b) 3

c) 1/2

d) 3/10

e) 2/5

5. (UNIFENAS) Sendo f(x) = então f(f(x)) vale

a) −1b) 1

c)

d)

e) x

6. (UEL − PR)Dados os conjuntos A = {0; 1; 2},B {1; 2; 3; 4} e C = {0; 1; 2; 3; 4} sejam asfunções f: A → B e g:B → C definidas porf(x) = x + 1 e g(x) = 4 − x. Nessas condições,a função gof é igual a:

a) {(0, 2) ; (1, 3) ; (2, 1)}

b) {(0, 1) ; (1, 2) ; (2, 3)}

c) {(0, 3) ; (1, 2) ; (2, 1)}

d) {(0, 3) ; (1, 1) ; (2, 2)}

e) {(0, 1) ; (1, 3) ; (2, 2)}

7. (CEFET−PR) Se f(g(x)) = 4 x2 − 8x + 6 eg(x) = 2x − 1, então f(2) é igual a:

a) −2

b) −1

c) 3

d) 5

e) 6

8. (FGV−SP) Considere as funções f(x) = 2x + 1e g(x) = x2 − 1. Então, as raízes da equaçãof(g(x)) = 0 são:

a) inteiras;

b) negativas;

Matemática Elementar III – Funções Compostas

c) racionais não inteira;

d) inversas uma da outra;

e) opostas.

9. (CESGRANRIO) Sejam A = {1, 2, 3} e f : A →A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f (3) = 2. Oconjunto solução de f(f(x)) = 3 é:a) {1}

b) {2}

c) {3}

d) {1, 2, 3}

e) ∅

10. (UFMG) Sejam A { 0, 1, 2, 3, 4 } e f : A → A umafunção dada por f(x) = x + 1 se x ≠ 4 e f( 4) =1. Determine x ∈ A tal que (fofofof)(x) = 2 é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

24

UEA – Licenciatura em Matemática

UNIDADE IIIEquações Exponenciais

27

TEMA 06

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Como surgiu a notação exponencial ?

A utilização de numerais indo-arábicos como

expoentes de uma base nem sempre foi tão

óbvia como nos dias de hoje.

Hoje, a idéia de se escrever xx = x² ou x.x.x =

x³ parece-nos óbvia, mas a utilização de

numerais indo-arábicos como expoentes de

uma de-terminada base, na forma utilizada

hoje, ocorreu somente por volta de 1637,

sendo atribuída ao grande matemático francês

René Descartes.

A história já nos mostrou, várias vezes, que

soluções brilhantes dependem de experimen-

tos, erros e acertos realizados por outros.

Nesse caso, não foi diferente; há registro da

utilização de potências aproximadamente em

1000 a.C., em algumas tabelas babilônicas.

Por volta de 1360, o bispo francês Nicole Ores-

me deixou manuscritos com notações utilizan-

do potências com expoentes racionais e irra-

cionais e regras sistematizadas para operar com

potências. Ainda na França, em 1484, o médi-

co Nicolas Chuquet utilizou potências com

expoente zero.

Além desses, outros matemáticos contribuíram

para o desenvolvimento da notação exponen-

cial, até que Descartes nos deixasse a notação

de potência utilizada hoje.

Um sistema de numeração posicional, na sua

escrita usual, ‘‘esconde” o que podemos

chamar de forma polinômica de um número.

No entanto é nela que ele se estrutura, levando

em conta a sua base de agrupamento e rea-

grupamentos.

Observamos que, no sistema indo-arábico,

cuja base é 10, 1989 ‘‘esconde” a expressão:

1 . 10³ + 9 . 10¹ + 9 . 10, assim como sua re-

presentação no sistema babilônico, de base

60, ‘‘esconde” a expressão 33 . 60¹ + 9 . 60.

TEMA 07

POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL

Sejam a um número real e n um número natu-ral. A potência de base a e expoente n é onúmero an tal que :

Dessa definição decorre que:

a1 = 1

a2 = a . a

a3 = a . a . a

De modo geral, para p natural e p ≥ 2, temosque ap é o produto de p fatores iguis a a.

Exemplos:

1) 25 = 2.2.2.2.2 = 32

2) 32 = 3.3.3 = 32

3) 52 = 5.5 = 25

4) 106 = 10.10.10.10.10.10 = 1000000

5) 43 = 4.4.4 = 64

PROPRIEDADES DA PÔTENCIA

Se a∈IR, b∈IR, m∈IN e n∈IR, então valem asseguintes propriedades:

i) am . an = am+n

ii) am : an = am−n

iii) (am)n = am.n

iv) (a/b)m = am/bm, onde b ≠ 0

v) a−m = 1/am, onde a ≠ 0

Matemática Elementar III – Equações exponenciais

TEMA 08

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Equações exponenciais são, simplesmente,equações com incógnita no expoente.

Exemplos:

1) 3x = 81 (a solução é x = 4)

2) 2x − 5 = 16 (a solução é x = 9)

3) 16x − 42x − 1 − 10 = 22x − 1 (a solução é x = 1)

4) 32x − 1 − 3x − 3x − 1 + 1 = 0 (as soluções sãox’ = 0 e x’’ = 1)

Os dois métodos fundamentais utilizados naresolução de equações exponenciais são:

• Método de redução a uma base comum.

• Método que utiliza o conceito e as pro-priedades de logaritmos.

Trataremos aqui apenas do primeiro método.

Método de redução a uma base comum

Este método, como o próprio nome diz, con-siste no uso de técnicas que permitam, pormeio de transformações baseadas nas pro-priedades de potências, reduzir ambos osmembros de uma equação a uma potência demes-ma base. É claro que o método só poderáser utilizado caso seja possível a redução.Sendo assim, teremos que ab = ac ⇔ b = c(0 < a ≠ 1), ou seja, que potências iguais e demesma base têm expoentes iguais.

Resolva as equações.

1.

2. 8x2 − 1 = 4x + 1

⇒ (23)x2 − x= (22)x + 1 ⇒ 23(x2 − x) = 22(x + 1)

⇒ 3(x2 − x) = 2(x + 1) ⇒ 3x2 − 3x = 2x + 2

⇒ 3x2 − 3x − 2x − 2 = 0 ⇒ 3x2 − 5x − 2 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, vem:

3. 3x − 1 − 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 306

Colocando 3x − 1 em evidência, teremos

3x − 1(1 − 3 + 32 + 33) = 306 ⇒3x − 1. 34 = 306 ⇒

⇒ 3x − 1 = 9 ⇒ 3x − 1 = 32 ⇒ x − 1 = 2 ⇒ x = 3

4. 4x − 20 . 2x + 64 = 0

⇒ (22)x − 20 . 2x + 64 = 0

⇒ (2x)2 − 20 . 2x + 64 = 0

Fazendo y = 2x obtemos:

Substituindo y1 e y2 na equação acima, temosque:x = 2 e x = 4

5. 4x + 2 . 14x = 3 . 49x

Dividindo por 49x, temos:

Fazendo , vem:

y2 + 2y − 3 = 0 ⇒ y1 = 1 e y2 = −3 (não con-vém. Por quê?)

= 1 ⇒ x = 0

S = {0}

28

UEA – Licenciatura em Matemática

29

6. 3x = 81

Como 3x = 81, podemos escrever 3x = 34 ⇒x = 4.

7. 9x = 1

9x = 1 ⇒ 9x = 90 ⇒ x = 0.

8. 23x − 1 = 322x

23x − 1 = 322x ⇒ 23x − 1 = (25)2x ⇒ 23x − 1 = 210x ⇒

3x − 1 = 10x ⇒ 7x − 1 ⇒ x =

9. Resolva a equação 32x − 6 . 3x − 27 = 0.

Vamos resolver esta equação por meio de umatransformação:

32x − 6 . 3x − 27 = 0 ⇒ (3x)2 − 6 . 3x − 27 = 0

Fazendo 3x = y, obtemos:

y2 − 6y − 27 = 0; aplicando Bhaskara, encon-tramos y’= −3 e y’’ = 9

Para achar o x, devemos voltar os valores paraa equação auxiliar 3x = y:

y’ = −3 ⇒ 3x’ = −3 ⇒ não existe x’, pois potên-cia de base positiva é positiva

y’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’=2

Portanto a solução é x = 2

10. 3x − 1 = 81

Vamos transformar a equação dada numa igual-dade de porências de mesma base:

3x − 1 = 81 ⇒ 3x − 1 = 34

Igualando as expoentes, temos:

x − 1 = 4 ⇒ x = 5

Logo, a soloção x igual a 5.

1. Determinar os valores de x para os quais 2x = 32.

2. Determinar os valores de x para os quais 2x = 1.

3. Resolver a equação 27x = 243.

4. Resolver a equação 625x = 25.

5. Determinar o valor de x para o qual .

6. Determinar o valor de x para o qual

7. Qual é o conjunto-solução da equação expo-nencial 5x + 2 = 125x?

8. Determinar o conjunto-solução de 2x = 5x.

9. Qual é o conjunto-solução de 73x − 9 − 49 = 0?

10. Determinar o conjunto-solução da equação4x + 3(2x + 1) = 16.

11. Determinar o conjunto-solução da equação22x − 12 . 2x = −32

12. Se é a raiz quadrada de 3, obter o conjun-to-solução da equação ( )x + 1 = 243.

13. Determinar o conjunto-solução da equação3x . 7x = (441)1/4.

14. Determinar o conjunto-solução da equação3x − 34 − x = 24

15. Determinar o conjunto-solução do sistemacom as duas equações exponenciais:3x + y = 81 e 3x − y = 1

16. Determine o conjunto-solução do sistema deequações:32x + y = 4 e 2x + y

17. Resolver o sistema de equações:

18. Determinar o conjunto-solução para a equação5x = 625.

19. Obter o conjunto-solução para a equação

.

20. Determinar o conjunto-solução para a equação22x + 3 = 16.

21. Determinar as soluções para a equação3x2 − 5x + 6 = 1.

22. Determinar todas as soluções para a equação4x4 − 13x2 + 36 = 1.

3

3

Matemática Elementar III – Equações exponenciais

30

UEA – Licenciatura em Matemática

HISTÓRIA E IDÉIAS DE APLICAÇÕES

Conta a lenda que um rei solicitou aos seussúditos que lhe inventassem um novo jogo, afim de diminuir o seu tédio. O inventor do mel-hor jogo teria direito a realizar qualquer dese-jo. Um dos seus súditos inventou, então, ojogo de xadrez.

O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-seobrigado a cumprir a sua promessa. Chamou,então, o inventor do jogo e disse que ele po-deria pedir o que desejasse. O astuto inventorpediu então que as 64 casas do tabuleiro dojogo de xadrez fossem preenchidas commoedas de ouro, seguindo a seguintecondição: na primeira casa, seria colocadauma moeda e em cada casa seguinte seriacolocado o dobro de moedas que havia nacasa anterior.

O Rei considerou o pedido fácil de ser aten-dido e ordenou que providenciassem opagamento. Tal foi sua surpresa quando ostesoureiros do reino lhe apresentaram asuposta conta, o que corresponde a aproxi-madamente 9 223 300 000 000 000 000 =9,2233.1018 moedas de ouro. O rei estavafalido!

A lenda apresenta-nos uma aplicação defunções exponenciais, especialmente dafunção y = 2x.

As funções exponenciais são aquelas quecrescem ou decrescem muito rapidamente.Elas desempenham papéis fundamentais naMatemática e nas ciências envolvidas comela, como Física, Química, Engenharia,Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia eoutras.

Um exemplo de aplicação da teoria das expo-nenciais é encontrado no estudo de taxas dejuros e aplicações financeiras, em que elasdesempenham um importante papel.

23. (CESGRANRIO − RJ) Se 8x = 32, então x éigual a:

a) 5/2

b) 5/3

c) 3/5

d) 2/5

e) 4

24. (UEPG−PR) Se 8x − 9 = 16x/2, então é igual a:

a) 1

b) 2

c) 4

d) 5

e) n.d.a.

25. (PUC−SP) O valor de x que satisfaz a equação33x − 1 . 92x+3 = 273 − x é:

a) 1

b) 3

c) 5/2

d) 1/3

e) 2/5

26. (FUVEST−SP) Sendo x = (22)3, y = 223 e z = 232, calcule x . y . z :

a) 221

b) 210

c) 223

d) 24

e) 220

27. (VUNESP−SP) Se ,então:

a) m = 0,1

b) m = (0,1)2

c) m = (0,1)3

d) m = (0,1)4

e) m = (0,1)5

31

28. (UFRN) Se 2x = 2048, então, x vale :

a) 7

b) 11

c) 13

d) 17

e) 19

29. (PUC−SP) Se , então os valores de x

são:

a) 1 e 3

b) 2 e 3

c) 1 e 2

d) 1 e 4

e) 2 e 4

30. (FCC−BA) A solução da equação 0,52x = 0,251 − x é um número x, tal que:

a) 0 < x < 1

b) 1 < x < 2

c) 2 < x < 3

d) x > 3

e) x < 0

31. (CEFET−PR) Se (73)−x + 2 = , x1/2 valerá:

a)

b) −9

c) 49

d)

e) 1

32. (UEL−PR) Se 2x = u e 3−x = t, o valor daexpressão 12x + 18−x é:

a)

b)

c)

d) u2 + t2

e) u3 + t3

33. (UFMG) A soma das raízes da equação

é:

a) 0

b) −1

c) 1

d) 7

e) 8

34. (UFPA) A raiz da equação

é um número:

a) irracional negativo;

b) irracional positivo;

c) par;

d) inteiro negativo;

e) inteiro positivo.

35. (PUC−RS) Se 3x − 32 − x = 23, então 15 − x2 vale:

a) 16

b) 15

c) 14

d) 11

e) 6

36. (UFBA) O conjunto-solução da equação2x − 2−x = 5 (1 − 2−x) é:

a) {1; 4}

b) {1 ; 2}

c) {0; 1}

d) {0; 2}

e) ∅

37. (UEPG−PR) A soma das raízes da equação32x − 12 . 3x + 27 = 0 pertence ao intervalo:

a) [10, 12]

b) [0, 3]

c) [1, 2]

d) (10, 12)

e) (1, 3)

3

Matemática Elementar III – Equações exponenciais

32

UEA – Licenciatura em Matemática

38. (UFPR) Se 2x + 2−x = 3, então o valor de 8x + 8−x é:

a) 12

b) 18

c) 21

d) 24

e) 27

39. (FUVEST−SP) Se 416 . 525 = x . 10n, com 1 ≤ x <10, então n é igual a:

a) 24

b) 25

c) 26

d) 27

e) 28

40. (FGV−SP) A equação 4x + 6x = 2.9x tem comosolução o conjunto:

a) {1}

b) {2}

c) {3}

d) {0}

e) n.d.a.

41. (UECE) Se 7m − 32n = 1672 e − 3n = 22,então mn é igual a:

a) 16

b) 64

c) 128

d) 256

e) n.d.a.

42. (PUC − MG) A expressão é igual a:

a) 2x

b) 2−x

c) 2−3

d) 7

e) 8

43. (UFCE) A soma das raízes da equação xf(x) = 1,em que f(x) = x2 − 7x + 12, é igual a:

a) 5

b) 6

c) 8

d) 9

e) 10

44. (CESGRANRIO−RJ) Os números inteiros x e ysatisfazem 2x + 1 + 2x = 3y + 2 − 3y . Então, x é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

UNIDADE IVFunções Exponenciais

35

TEMA 09

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelasnas quais temos a variável aparecendo emexpoente.

Definição: A função f:IR → IR+ definida porf(x)=ax, com a IR+ e a1, é chamada funçãoexponencial de base a. O domínio dessa fun-ção é o conjunto IR (reais) e o contradomínio éIR+ (reais, maiores que zero).

Observações e propriedades

A função exponencial é definida somente parabase a positiva, uma vez que se a é negativo,teremos valores da imagem ax não pertencenteao conjunto dos números reais. Por exemplo,para a = −2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadra-da de −2, que pertence ao conjunto dos nú-meros complexos, contradizendo a definiçãoda função exponencial.

A base também tem de ser diferente de 1porque para todo x real teríamos como ima-gem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 eleva-do a x é igual a 1 para qualquer que seja o x.Em outras palavras, a imagem seria o conjuntounitário {1}, o que também contradiz a defi-nição. E a não pode ser zero, pois teríamosuma indeterminação para x = 0.

A função obtida acima é denominada de fun-ção constante, f(x) = c, x real, em que c = 1.

Qualquer que seja a função exponencial,temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ouseja, o par ordenado (0, 1) pertence à funçãopara todo a no conjunto dos reais positivosdiferente de 1. Isto significa que o gráfico carte-siano da função exponencial corta o eixo y noponto de ordenada 1.

Definição: Uma função f é dita crescente sedados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio,então as imagens correspondentes obedecemà relação f(x1) < f(x2).

Definição: Uma função f é dita descrescentese x1 < x2 então f(x1) > f(x2).

No caso da função exponencial ela é cres-cente se, e sómente se, a > 1. E descres-cente se, e somente se, 0 < a < 1. A demons-tração da propriedade não será feita aqui.

A função exponencial é injetora, pois paratodo par x1 e x2 ∈IR com x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).Esta propriedade é decorrência direta da pro-priedade acima.

Como a base a é maior que zero, temos queax > 0 para todo x real. Daqui segue que oconjunto-imagem da função exponencial é oconjunto dos números reais positivos,sendoassim temos que a função exponencial ésobrejetiva. E portanto a função exponencial ebijetiva, logo, admite inversa.

Sendo o conjunto imagem IR+, conclui-se quea curva representativa (gráfico) da função estátoda acima do eixo dos x.

Gráfico da Função Exponencial

A função exponencial f:IR → IR+ definida porf(x)=ax, com a∈IR+ e a ≠ 1 tem como represen-tação gráfica as seguintes curvas:

Exponencial crescente: base a > 1

Exponencial decrescente: base 0 < a < 1

Matemática Elementar III – Funções exponenciais

36

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 10

TEOREMAS

Principais Teoremas sobre as FunçõesExponenciais.

Teorema 1. Dados a e x pertencentes ao con-junto dos reais, a > 1, então:

ax > 1 ⇔ x > 0

Não será apresentada a demonstração quedepende de outros fatos não tratados aqui.

Teorema 2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aoconjunto dos reais, a > 1, então:

ax1 > ax2 ⇔ x1 > x2

Demonstração:

Daqui, pelo teorema 1, temos:x1 − x2 > 0 ⇔ x1 > x2

Teorema 3. Dados a e x pertencentes ao con-junto dos reais, 0 < a < 1, então:

ax > 1 ⇔ x < 0

Demonstração:

Como 0 < a < 1, então > 1

Pelo teorema 1, vem que:

Teorema 4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aosconjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2

A demonstração deste teorema leitor fica acargo do leitor.

Exemplo:

A partir do gráfico da função f(x) = 2x, e sendog(x)=2x + 2 e h(x) = 2−x, descreva, grafica-mente, o que ocorre com g = g(x) e h = h(x)em relação a f = f(x).

Para refletir

1. Observe o gráfico das funções f(x) = 2x,f1(x) = 2x + 1, f2(x) = 2x + 2 e f3(x) = 2x+3. Oque ocorre com f1(x), f2(x), f3(x) em relação af(x) = 2x?

2. Sejam as funções f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x

ilustradas abaixo.

Em cada caso, escolha uma das opções apre-sentadas.

a) Se a variável x é positiva e assume valorescrescentes muito grandes, a função f(x) =2x admite valores: muito próximo de zero oumuito grandes.

b) Se a variável x é negativa e assume valoresabsolutos crescentes muito grandes, a fun-ção f(x) = 2x admite valores: muito próximode zero ou muito grandes.

c) Se a variável x é positiva e assume valorescrescentes muito grandes, a função g(x) =2−x admite valores: muito próximo de zeroou muito grandes.

d) Se a variável x é negativa e assume valoresabsolutos crescentes muito grandes, a fun-ção g(x) = 2−x admite valores: muito próxi-mo de zero ou muito grandes.

TEMA 11

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de inequações exponenciais todainequação em que a incógnita aparece emexpoente.

Exemplos de inequações exponenciais:

1) 3x > 81 (a solução é x > 4).

2) 22x − 2 ≤ 2x2 − 1 (que é satisfeita para todo xreal).

3) (que é satisfeita para x ≤ −3).

4) 25x − 150 . 5x + 3125 < 0 (que é satisfeitapara todo x real).

Resolvendo Inequações

Para resolver inequações exponenciais, deve-mos realizar dois passos importantes:

1.o redução dos dois membros da inequação apotências de mesma base;

2.o aplicação da propriedade:

a > 1

am > an ⇒ m > n(am ≥ an ⇒ m ≥ n)

(as desigualdades têm mesmo sentido).

0 < a < 1

am > an m < n(am ≥ an ⇒ m ≤ n)

(as desigualdades têm sentidos diferentes).

1. 4x − 1 + 4x − 4x + 1 >

Resolução:

A inequação pode ser escrita assim:

Multiplicando ambos os lados por 4, temos:

4x + 4 . 4x − 16 . 4x > −11, ou seja:

(1 + 4 − 16) . 4x > −11 ⇒ −11 . 4x > −11 e daí,4x < 1.

Porém 4x < 1 ⇒ 4x < 40.

Como a base (4) é maior que 1, obtemos:

4x < 40 ⇒ x < 0.

Portanto S = IR− (reais negativos).

2. Determinar o conjunto solução para adesigualdade 25x − 7 > 8.

Resolução:

A inequação 25x − 7 > 8 pode ser escrita como

25x − 7 > 23 ⇒ 5x − 7 > 3 ⇒ 5x > 10

Portanto temos S = {x∈IR| x > 2}.

1. (UFCE) Se f(x) = 161+1/x, então f(−1) + f(−2) +f(−4) é igual a:

a) 11;

b) 13;

c) 15;

d) 17;

e) n.d.a.

2. (UFMG) Se , então

f(0) − f (3/2) é igual a:

a) 5/2;

b) 5/3;

c) 1/3;

d) −1/2;

e) −2/3.

3. (PUC−SP) Se y = 10x é um número entre 1000e 100 000, então x está entre:

a) −1 e 0;

b) 2 e 3;

c) 3 e 5;

d) 5 e 10;

e) 10 e 100.

37

Matemática Elementar III – Funções exponenciais

38

UEA – Licenciatura em Matemática

4. (PUC−MG) Seja a função f(x) = ax. É corretoafirmar que :

a) ela é crescente se x > 0;

b) ela é crescente se a > 0;

c) ela é crescente se a > 1;

d) ela é decrescente se a ≠ 1;

e) ela é decrescente se 0 < x < 1.

5. (FGV−SP) Assinale a afirmação correta:

a) (0,57)2 > (0,57)3

b) (0,57)7 < (0,57)8

c) (0,57)4 > (0,57)3

d) (0,57)0,57 > (0,57)0,50

e) (0,57)−2 < 1

6. (UEL − PR) Os números reais x são soluçõesda inequações 251 − x < 1/5 se, e somente se:

a) x > −3/2;

b) x > 3/2;

c) −3/2 < x < 3/2;

d) x < 3/2;

e) x < −3/2.

7. (PUC−RS) Seja a função f: IR → IR definida porf(x) = 2x . Então, f(a+1) − f (a) é igual a:

a) 2;

b) 1;

c) f(a);

d) f(1);

e) 2 f(a).

8. (PUC−MG) Os valores de a IR que tornam afunção exponencial f(x) = (a − 3)x decrescentesão:

a) 0 < a < 3;

b) 3 < a < 4;

c) a < 3 e a ≠ 0;

d) a > 3 e a ≠ 4;

e) a < 3.

9. (FATEC−SP) Seja f IR → IR onde f(x)=2x/2. Oconjunto de valores de x para os quais f(x) <1/8 é:

a) (3, 8);

b) (∞, −1/3 );

c) (∞, −6);

d) (−1/3, 0);

e) IR − { 0, 8 }.

10. (PUC−MG) Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a soluçãoda inequação f(x) > g(2 − x) é:

a) x > 0;

b) x > 0,5;

c) x > 1;

d) x > 1,5;

e) x > 2

11. (FGV−SP) A solução da inequaçãoé:

a) x ≤ 0

b) −5 ≤ x ≤ 0

c) 0 ≤ x

d) x ≤ −5 ou 0 ≤ x

e) n.d.a.

12. (MACK−SP) Assinale a única afirmação corre-ta:

a) 0,212 > 0,213

b) 0,210,21 > 0,210,20

c) 0,217 < 0,218

d) 0,214 > 0,213

e) 0,21−2 < 1

UNIDADE VFunções Logarítmicas

41

TEMA 12

INTRODUÇÃO

A Matemática, por ser uma ciência de base,apresenta inúmeras aplicações em outros cam-pos de estudo e em outras ciências. Qualquerque seja o ramo do conhecimento humano aoqual direcionemos nossas habilidades, iremosdefrontar-nos, cedo ou tarde, com a Matemá-tica e os seus “mistérios”. Os logaritmos sãobons exemplos desta aplicabilidade da Mate-mática. Eles surgiram a partir da necessidadehumana de resolver problemas com númerosmuito grandes, como os que temos ao estudarastronomia, ou números muito pequenos,como os que aparecem no estudo das molé-culas. A fim de facilitar operações de multipli-cação e divisão entre os números, foram de-senvolvidas as teorias sobre logaritmos. Nestedesenvolvimento, merece destaque o mate-mático Jonh Napier (1550−1617), que, apósvinte anos de trabalho, publicou as obrasDescrição das normas dos logaritmos maravi-lhosos e Cálculo das normas dos logaritmosmaravilhosos.

Na atualidade, com o advento das calculado-ras e dos computadores, os logaritmos perder-am muito da sua utilidade inicial. No entantomuitas aplicações foram desenvolvidas combase na teoria dos logaritmos. Entre elas, po-demos destacar o cálculo do nível de intensi-dade sonora, a escala Richter, para avaliar aintensidade de terremotos, e os cálculos de phe poh na Química.

O princípio dos logaritmos baseia-se no fato dealgumas operações serem mais acessíveis doque outras. Desse modo, com a utilização doslogaritmos, podemos transformar multiplica-ções em somas, divisões em subtrações epotências em multiplicações.

TEMA 13

LOGARITMO

Definição

Chamamos de logaritmo de a, na base b, aonúmero real c, com a > 0 e 0 ≤ b ≠ 1 , ou seja,logb a = c.

Onde:

a = logaritmando;

b = base;

c = logaritmo.

Uma observação importante sobre o estudodos logaritmos diz respeito ao seu domínio oucampo de existência. Só existem logaritmos denúmeros positivos, com bases também positi-vas e diferentes de 1. Ou seja, para calcular ologb a = c é necessário que a > 0 e 0 ≤ b ≠ 1.

Sendo assim, dizemos que logba = c ⇒ a = bc

Exemplos

1. Determine log6 36

Resolução:

Faça

log6 36 = x ⇒ 6x = 36 ⇒ 62 = 6x ⇒ x = 2

2. O domínio da função f(x) = log3 (x − 5) érestrito pela sua condição de existência. Abase 3 já é positiva e diferente de 1, deve-mos então ver a restrição imposta ao loga-ritmando, ou seja:

x – 5 > 0 –> x > 5, assim: D = {x IR| x > 5}

3. Determine log2 4

Resolução:

Faça

log2 4 = x ⇒ 4 = 2x ⇒ 22 = 2x ⇒ x = 2

4. Determine log3 90

Resolução:

Faça

log3 9 = x ⇒ 9 = 3x ⇒ 32 = 3x ⇒ x = 2

Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas

42

UEA – Licenciatura em Matemática

5) Calcular x na igualdade log5 (x –1) = log5 7

Resolução:

CE: x –1 > 0 ⇒ x > 1

Como as bases são iguais, os logaritman-

dos devem ser iguais; logo:

log5 (x – 1) = log5 7 ⇒ x – 1 = 7 ⇒ x = 8

Resposta: x = 8

ALGUNS LOGARITMOS ESPECIAIS:

1. O logaritmo da unidade, em qualquer base,

é nulo, ou seja, loga 1 = 0.

2. O logaritmo de um valor, na mesma base, é

sempre igual a 1, ou seja, loga a = 1.

3. O logaritmo de uma potência, cuja base

seja igual à base do logaritmo, será igual ao

expoente da potência.

loga an = n.

4. Se loga n = loga m ⇒ n = m. Esta pro-

priedade é muito utilizada na solução de

exercícios envolvendo equações nas quais

aparecem logaritmos (equações logarítmi-

cas).

5. b elevado ao logaritmo m na base b é igual

a m, ou seja, blogb m = m.

TEMA 14

BASES ESPECIAIS

Entre as bases de logaritmos, duas destacam-

se, tanto pela sua aplicabilidade prática quan-

to pela sua importância no trato com logarit-

mos. Estas duas bases são a base dez e a

base e.

Quando um logaritmo apresenta a base dez,

dizemos que se trata de um logaritmo decimal.

A base dez, por convenção, não precisa ser

escrita.

Exemplos:

a) log10 8 = log 8.

b) log10 5 = log 5.

O número e, é conhecido como número de

Euler e vale aproximadamente 2,718...

Quando um logaritmo possui base e, ele é

chamado de logaritmo neperiano, e represen-

tado por ln. Desse modo:

loge b = ln b.

43

TEMA 15

MUDANÇA DE BASE

Em algumas situações, podemos encontrar no

cálculo vários logaritmos em bases diferentes.

Como as propriedades logarítmicas só valem

para logaritmos numa mesma base, é neces-

sário fazer, antes, a conversão dos logaritmos

de bases diferentes para uma única base con-

veniente. Essa conversão chama-se mudança

de base. Para fazer a mudança de uma base a

para uma outra base b,usa−se:

onde a, b, x ∈IR*+ com a ≠ 1, b ≠ 1.

Exemplo:

Se log2 x = a e log2 z = b, com a ≠ 0, então o

valor do logx z é?

Resolução:

Como log2 x = a e log2 z = b estão na base 2,

vamos passar logx z para a base 2. Sendo

assim, temos:

TEMA 16

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Foi dito, no início deste texto, que os logarit-mos permitem transformar multiplicações emsomas e subtrações em divisões, entre outrasalterações que visam facilitar o trato dosnúmeros.

Essas transformações são possíveis com a uti-lização das propriedades dos logaritmos, asquais veremos a seguir.

1. Logaritmo do produto: (a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y>0)Loga (x . y) = loga x + loga y

2. Logaritmo do quociente: (a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0)

3. Logaritmo da potência:(a > 0, a ≠ 1, x > 0 e m ∈ IR)Loga xm = m . loga x

Caso particular:

Exemplos:

1. Calcular o valor de log3 (9 . 27)

Resolução:

Aplicando a propriedade do logaritmo doproduto, temos:

log3 (9 . 27) = log3 9 + log3 27 = log3 32+log3 33 = 2 + 3 = 5

Resposta: 5.

2. Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcular:

a) log 24

b) log 72

Resolução:

a) log 24 = log (23 . 3) = log 23 + log 3 =3 log 2 + log 3 = 3x + y

b) log 72 = log 9.8 = log 9 + log 8 =log 32 + log 23 = 2 log 3 + 3 . log 2 = 2y + 3x

Respostas: a) 3x + y

b) 2y + 3x

Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas

44

UEA – Licenciatura em Matemática

3. Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcular

log2 6

Resolução:

Como log 2 e log 3 estão na base 10, va-

mos passar log2 6 para a base 10:

Resposta:

4. Resolva o sistema:

Resolução:

Condições de existência: x > 0 e y > 0

Da primeira equação, temos:

log x + log y = 7 ⇒ log y = 7 − log x

Substituindo log y na segunda equação,

temos:

3.log x − 2.(7 − log x) = 1 ⇒ 3.log x −14 +

2.log x = 1 ⇒ 5.log x = 15 ⇒ log x = 3

⇒ x = 103

Substituindo x = 103 em log y = 7 − log x

temos:

log y = 7 − log 103 ⇒ log y = 7 − 3 ⇒log y = 4 ⇒ y=104.

Como essas raízes satisfazem as condições

de existência, então o conjunto-solução é

S ={(103; 104)}.

Outra forma de resolução:

log x = 3 ⇒ x = 103

substituindo log x = 3 e, log x + log y = 7,

temos que 3 + log y = 7 ⇒ log y = 4 ⇒y=104

TEMA 17

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função f:IR+ → IR definida por f(x)=logax,onde a ∈IR com a ≠ 1 e a > 0, é chamadafunção logarítmica de base a. O domínio dessafunção é o conjunto IR+ (reais positivos, maio-res que zero), e o contradomínio é IR (reais).

Construindo Gráfico

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃOLOGARÍTMICA

Temos 2 casos a considerar:

• quando a > 1;• quando 0 < a < 1.

Caso 1: a > 1

ƒ é crescente, pois, para quaisquer

x1, x2 com x1 < x2 ⇒ ƒ(x1) < ƒ(x2).

Caso 2: 0 < a < 1

ƒ é decrescente, pois, para quaisquer

x1, x2 com x1 < x2 ⇒ ƒ(x1) > ƒ(x2).

45

Exemplos:

1. Esboce o gráfico das funções abaixo:

f(x) = log2 x

f(x) = log1/2 x

Nos dois exemplos, podemos observar que

a) O gráfico nunca intercepta o eixo vertical.

b) O gráfico corta o eixo horizontal no ponto(1, 0); a raiz da função é x=1.

c) y assume todos os valores reais, portanto oconjunto-imagem é Im(f)=IR.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a > 1

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2 > x1 ⇒ y2 > y1 (as desigualdades têm omesmo sentido).

0 < a< 1

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2 > x1 ⇒ y2 < y1

(as desigualdades têm sentidos diferentes).

Como conseqüência da definição de função lo-garítimica e da análise dos gráficos, podemosconcluir que:

• O gráfico da função logarítmica passa peloponto (1,0), ou seja f(1) = 0.

• O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupapontos dos quadrantes II e III.

• Quando a > 1, a função logarítmica é cres-cente.

• Quando 0 < a < 1, a função logarítmica édecrescente.

• Se a > 1, os números reais maiores que 1têm logaritmo positivo, e os números reaiscomprieendidos entre 0 e 1 têm logaritmonegativo.

• Se 0 < a < 1, os números reais maioresque 1 têm logaritmo negativo, e os númerosreais compreendidos entre 0 e 1 têm loga-ritmo positivo.

• A função logarítmica é injetiva e sobrejetiva;sendo assim, temos que ela é bijetiva.

Relação importante entre a função exponencial e a função logarítmica

Seja f:IR → IR+ definida por f(x) = ax, ondea∈IR com a1 e a > 0, a função exponencial debase a e seja g:IR+ → IR definida por g(x) =logax, onde a∈IR com a1 e a > 0, a funçãologarítmica de base a.

Sendo o contra-domínio da função exponen-cial igual ao domínio da função logarítmica,então a função composta g o f = idIR.

Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas

De fato temos que (g o f)(x) = g(f(x)) = g(ax) =loga ax = x

Portanto g o f = idIR.

Sendo o contradomínio da função logarítmicaigual ao domínio da função exponencial, entãoa função composta f o g = idIR+.

De fato, temos que (f o g)(x) = f(g(x)) = f(loga x)= aloga x = x

Portanto f o g = idIR+.

Donde se conclui que a função exponencial éa função inversa da função logarítmica, e vice-versa.

LOGARITMOS – INTRODUÇÃO

1. (MACK–SP) Se log3 1/27 = x, então o valor dex é:

a) −9; b) −3;

c) −1/3; d) 1/3;

e) 3.

2. (UDESCO–SC) Na base decimal, log 1000, log10 e log 0,01 valem respectivamente:

a) 2, 1 e −3 b) 1, 0 e −2

c) 3, 1 e −2 d) 4, −2 e −3

e) 3, 0 e −2

3. (UFPA) A expressão mais simples para alogax é:

a) a b) x (x > 0)

c) logax d) logxa

e) ax

4. (CESGRANRIO–RJ) Se log (2x − 5) = 0, entãox vale:

a) 5; b) 4;

c) 3; d) 7/3;

e) 5/2.

5. (FV–RJ) O valor de log9 27 é igual a:

a) 2/3; b) 3/2;

c) 2; d) 3.

e) 4.

6. (PUC–SP) Se , então x + y é igual a:

a) 5/3;; b) 10/9;

c) 8/9; d) 2/3;

e) 5/9.

7. (UPF–RS) O valor numérico real da expressão

é:

a) −5; b) 4;

c) 5; d) 8;

e) impossível.

8. (ULBRA) Se log16 N = −1/2, o valor de 4N é:

a) 1; b) 4;

c) 1/4; d) 16;

e) 1/16.

9. (FEMPAR–PR) Se 2x − y = 1 e x − 3y = −7, log4

(xy+8y) é igual a:

a) 0,5; b) 2,5;

c) 2,0; d) 1,5;

e) 1,0.

10. (UNESP–SP) Em que base o logaritmo de umnúmero natural n, n > 1 coincide com o pró-prio número n?

a) nn b) 1/n

c) n2 d) n

e) n1/n

11. (UFSM–RS) Seja K a solução da equação log4

( log2 x ) = −1. O valor de k4 é:

a) 1/8; b) 1/2;

c) 1; d) 4;

e) 2.

46

UEA – Licenciatura em Matemática

47

12. (UEBA) O número real x, tal que logx (9/4) = 1/2 é:

a) 81/16; b) −3/2;

c) 1/2; d) 3/2;

e) −81/16.

13. (UFMG) Seja loga 8 = − 3/4, a > 0. O valor dabase a é:

a) 1/16 b) 1/8

c) 2 d) 10

e) 16

14. (PUC−PR) O logaritmo de na base 1/625 éigual a:

a) 7; b) 5;

c) 1/7; d) −1/28;

e) n.d.a.

15. (UERJ) O valor de 4log29 é:

a) 81; b) 64;

c) 48; d) 36;

e) 9.

16. (PUC−SP) Se x + y = 20 e x − y = 5, então log(x2 − y2) é igual a:

a) 100; b) 2;

c) 25; d) 12,5;

e) 15.

17. (UEPG−PR) A solução da equação log2 0,5 +log2 x − log2 = 2 está contida no intervalo:

a) [10, 12]; b) [5, 7];

c) [2, 4]; d) [0, 1];

e) [8, 9].

18. (UFRN) Se a equação x2 + 8x + 2 log a = 0possui duas raízes reais e iguais, então, a éigual a:

a) 10 b) 102

c) 104 d) 106

e) 108

19. (UECE) Se , então 5k + 5−k éigual a:

a) 6; b) 8;

c) 12; d) 16;

e) 18.

20. (FATEC–SP) Se x, y IR são tais que e

logy−1 4 = 2, então x + y é:

a) 0; b) −1;

c) −2; d) 1 ou −4;

e) −6 ou –2.

LOGARITMOS − PROPRIEDADES

1. (UEPG−PR) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47,então log 60 vale:

a) 1,77; b) 1,41;

c) 1,041; d) 2,141;

e) 0,141.

2. (FURG−RS) Sendo log x = a e log y = b, então

log é igual a:

a) a + b/2

b) b/2a

c) − a

d)

e) /a

3. (UFRJ) Considerando que log 2 = 0,3010300,log 125 é:

a) 376,29000; b) 188,15000;

c) 1,9030900; d) 2,9818000;

e) 3,0969100.

4. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845,qual será o valor de log 28?

a) 1,146; b) 1,447;

c) 1,690; d) 2,107;

e) 1,107.

Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas

48

UEA – Licenciatura em Matemática

5. (PUC−SP) Se log 2 = 0,3010, então log 5 éigual a:

a) 0,6990; b) 0,6880;

c) 0,6500; d) 0,6770;

e) 0,6440.

6. (FUVEST−SP) Se log2 b − log2 a = 5, então oquociente b/a vale:

a) 10 b) 25

c) 32 d) 64

e) 128

7. (FURG–RS) Qual é o valor de m na expressão

, sendo log a = 2,16172, log b = 0,15172

e log t = 0,10448.

a) m = 100; b) m = 10;

c) m = −20; d) m = − 10;

e) m = 1000.

8. (FAAP−SP) Sabendo-se que log2 y = log2 3 +log2 6 − 3log2 4, o valor de y real é:

a) −3; b) 9/8;

c) 3/2; d) 9/32;

e) 9/16.

9. (ACAFE−SC) Dado o sistema

temos x + y igual a:

a) −2; b) 1;

c) 2; d) 3;

e) 4.

10. (UM–SP) Sendo log3 ( −2) = a, então o valorde log3 ( + 2 ) é igual a:

a) 2 − a; b) 2 + a;

c) 1 − a; d) 1 + a;

e) 3 − a.

11. (FUVEST–SP) Sendo loga 2 = 0,69 e loga 3 =1,10, o valor de loga é:

a) 0,62; b) 0,31;

c) −0,48; d) 0,15;

e) 0,14.

12. (FCMSC–SP) Usando a tabela, o valor de log75 é:

a) 1,147; b) 1,3011;

c) 1,5564; d) 1,6818;

e) 1,8752.

13. (PUC–SP) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47,

então log é igual a:

a) 0,12; b) 0,22;

c) 0,32; d) 0,42;

e) 0,52.

14. (UFCE) Utilizando-se a tabela abaixo, conclui-se que o valor de log é:

a) 0,3 b) 1,26

c) 1,58 d) 1,99

e) 2,51

15. (UFBA) Sendo log 2 = 0,301 e x = 53., então o valor de log x é:

a) 2,997; b) 3,898;

c) 3,633; d) 4,398;

e) 5,097.

16. (PUCCAMP–SP) Se log 5 = 3n, log 3 = m e, então x vale:

a) m + n

b)

c)

d)

e) 3n + m

N log N

1,26 0,1

1,58 0,2

1,99 0,3

2,51 0,4

3,16 0,5

x log x

2 0,3010

6 0,7782

49

Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas

17. (UFRS) O valor de log (217,2) − log (21,72) é:

a) −1;

b) 0;

c) log(217,2 − 21,72);

d) .

18. (FMU-SP) O valor de 3 . log 3 + log 5 é:

a) log 30; b) log 135;

c) log 14; d) log 24;

e) log 45.

19. (UEL–PR) Dado log 4 = 0, 602, o valor de log325 é:

a) 15,050; b) 13,725;

c) 11,050; d) 9,675;

e) 7,525.

20. (FCC–SP) Se log 5 = 0,70, o valor de log 250 é:

a) 2,40; b) 2,70;

c) 2,80; d) 3,40;

e) 3,80 X.

21. (FATEC–SP) Se log 2 = r e log 3 = s, então log(23 . 34 . 52) é igual a:

a) r − 2s

b) r3 + s4

c) 3r + 4s − 2

d) 2 + r + 4s

e) r3 + s4 + 2 (r + s)

22. (PUC–SP) Se log 2 = x e log 3 = y, então log375 é:

a) y + 3x b) y + 5x

c) y − x + 3 d) y − 3x + 3

e) 3(y + x)

23. (UEL–PR) Dados os números reais x e y taisque log x − log y = 4, é verdade que:

a) x = 104 . y b) x = 4y

c) x = d) x2 = y

e) x = 104 + y

24. (UEPG–PR) A expressão log1/381 + log 0,001 +

log vale:

a) −4/3; b) 4/3;

c) −20/3; d) −21/3;

e) −19/3.

25. (PUC–BA) A expressão log 2/3 + log 3/4 + log

4/5 − log 14/55 é equivalente a:

a) log 77; b) log 18;

c) log 7; d) log 4;

e) log (11/7).

LOGARITMOS – EQUAÇÕES

1. (CESGRANRIO–RJ) Se log (2x − 5) = 0, então

x vale:

a) 5; b) 4;

c) 3; d) 7/3;

e) 5/2.

2. (FGV–SP) A equação logx (2x +3) = 2 apre-

senta o seguinte conjunto-solução:

a) {−1, 3}; b) {−1};

c) {3}; d) {1, 3};

e) n.d.a.

3. (UEL–PR) É correto afirmar que no universo IR

o conjunto solução da equação log3 (−x2 −10x)

= 2:

a) é ∅;

b) é unitário;

c) tem dois elementos irracionais;

d) tem dois elementos inteiros;

e) tem dois elementos racionais e não inteiros.

4. (ESAL–MG) O valor de x tal que log648 = x é:

a) 2; b) 3;

c) 2/3; d) 1/2;

e) 3/2.

5. (PUC–SP) Quanto à solução da equação(logx)2 − 3. log x + 2 = 0, é verdade que:

a) só uma delas é real;

b) a maior delas é 1000;

c) a menor delas é 100;

d) a menor delas é 10;

e) a maior delas é 1.

6. (UEPG–PR) Sendo (log2 x)2 − 3 log2 x − 4 = 0,então o produto entre as raízes da equaçãovale:

a) −8; b) 16;

c) −1/4; d) 4;

e) 8.

7. (CONSART–SP) A solução da equação log8x + log8 (3x−2) = 1 é dada por:

a) −4/3; b) 1/2;

c) −2; d) 2;

e) n.d.a.

8. (PUC–SP) O conjunto verdade da equação2. log x = log 4 + log (x + 3) é:

a) {−2, 6}; b) {−2};

c) {2, −6}; d) ∅;

e) {6}.

9. (CEFET–PR) A soma das raízes da equaçãolog2x − logx4 = 0 é:

a) 1000; b) 1001;

c) 101; d) 10001;

e) 11.

10. (UFSC) Indica-se por log x o logaritmo decimaldo número x. Se 4 + log x = 4 . log 4, então xé igual a:

a) 16; b) 2,56;

c) 0,4; d) 0,256;

e) 0,0256.

11. (UNIMEP–SP) O logaritmo na base 2, do nú-mero x2 − x é igual a 1. O valor de x que satis-faz a sentença é:

a) 2 ou −1; b) −1 ou 0;

c) 1; d) 0;

e) 3.

12. (PUC–SP) Aumentando um número x de 16unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de2 unidades. Então x é:

a) 2; b) 1;

c) 3; d) 4;

e) 5.

13. (UEBA) No universo IR, a solução da equaçãolog2 x + log2 (x +1) = 1 é um número:

a) ímpar;

b) entre 0 e 1;

c) maior que 3;

d) múltiplo de 3;

e) divisível por 5.

14. (UECE) O conjunto solução da equação log2 4x − log4 2 = 0 é:

a) { /4}; b) { /2};

c) { }; d) {2 };

e) n.d.a.

15. (CEFET–PR) Se

então b2 é igual a:

a) 1; b) 4;

c) 8; d) 3;

e) 9.

16. (UEPG–PR) Se log2 x + log8 x = 1, então x vale:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) n.d.a.

17. (MACK–SP) Se loga (a2 . x) = 1, a > 0, a 1,então o valor de x é:

a) a b) 1/a

c) a2 d) 1/a2

e)

50

UEA – Licenciatura em Matemática

51

18. (FGV–SP) A solução da equação é:

a) x= log2 (12/5)

b) x = log2 (5/12)

c) x = log5/12 2

d) x = log12/5 2

e) x = log12 5

19. (CEFETR–PR) Se log2 x − log4 x = −1/2, entãoxx é igual a:

a) 1/4; b) 4;

c) ; d) 1/2;

e) .

20. (PUC–PR) A solução da equação

, em módulo, é:

a) 2; b) −2;

c) 4; d) 0;

e) 6.

21. (FUVEST−SP) O conjunto solução da equaçãox . (log5 3x + log5 21) + log5 (3/7)x = 0 é:

a) ∅; b) {0};

b) {1}; d) {0, 2};

e) {0, −2}.

LOGARITMOS – INEQUAÇÕES

1. (PUC–MG) A desigualdade log2 (5x − 3) < log27é verdadeira para:

a) x > 0; b) x > 2;

c) x < 3/5; d) 3/5 < x < 2;

e) 0 < x < 3/5.

2. (UFPA) Qual o valor de x na inequaçãolog1/2 x > log1/2 2?

a) x > 1/2; b) x < 1/2;

c) x > 2; d) x < 2 e x > 0;

e) x = 2.

3. (PUC–RS) Se log1/3 (5x − 2) > 0, então x per-tence ao intervalo:

a) (0, 1); b) (0, 1);

c) (2/5, 3/5); d) (2/5, ∞);

e) (4, 3/5).

4. (FGV–SP) A solução da inequação log1/3(x2 − 9) > 0 é:

a) x < − 3 ou x > 3;

b) −2 < x < 2;

c) −2 < x < 2;

d) −2 < x < −1 ou 0< x < 2;

e) x < −2 ou x > 2.

5. (UECE) O domínio da função real log2x x é:

a) x < −1 ou x > 1;

b) 0 < x ≠ 1;

c) 1 < x;

d) −3x < −1;

e) n.d.a.

6. (VUNESP–SP) O par ordenado de númerosreais que não corresponde a um ponto do grá-fico de y = log x é:

a) (9, 2 log 3);

b) (1, 0);

c) (1/2, − log 2);

d) (1/8, − 3log 2);

e) (−32, −2log 5).

7. (PUC–MG) O domínio da função f(x) = log5 (−x2 + 3x + 10) é:

a) IR* b) IR*

c) x −2 e x 5 d) x < −2 ou x > 5

e) −2 < x < 5 X

8. (PUC–SP) O domínio da função log (x + 3) é oconjunto solução:

a) x > −3; b) x >6;

c) 3 < x < 6; d) 3 x < 6;

e) 3 x 6.

Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas

9. (CESCEA–SP) O domínio de definição da fun-ção log(x2 + 2) é:

a) x < −3 ou x > 8;

b) −1 < x < 1;

c) x −2 ou x 5;

d) −2 x < −1 ou 1 < x 5;

e) IR.

10. (PUC–SP) Se y = logx−2(x2 − 4x), para que yexista devemos ter x:

a) igual a 4;

b) menor que 4;

c) maior que 4;

d) igual a 2;

e) nada disso.

LOGARITMOS – MUDANÇA DE BASE

1. Se logba = c, então loga b é igual a:

a) −c; b) 2c;

c) 1/c; d) 2/c;

e) −2c.

2. Sendo log3 2 = x, então log9 4 é igual a:

a) x; b) −x;

c) 2x; d) x2;

e) x−2.

3. (UEL–PR) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, ovalor de log2 3 é:

a) 1,6 b) 0,8

c) 0,625 d) 0,5

e) 0,275

4. (CEFET–PR) Sabendo que log 2 = 0,3010, ovalor de log100 4 é:

a) 0,3010; b) 0,6020;

c) 0,1505; d) 0,4515;

e) 0,7525.

5. (UEPG–PR) Sendo log 7 = b, então log100 343é igual a:

a) 3b; b) 2b;

c) b; d) 2b/3;

e) 3b/2.

6. (MACK–SP) Se x = log27169 e y = log313,então:

a) x = 2y/3; b) x=3y/2;

c) x=3y; d) x=y/3;

e) n.d.a.

7. (PUC–SP) Se log8 x = m e x > 0, então log4 x éigual a:

a) m/2; b) 3m/4;

c) 3m/2; d) 3m.

8. (VUNESP–SP) Se x = log8 25 e y = log2 5, então:

a) x = y; b) 2x = y;

c) 3x = 2y; d) x = 2y;

e) 2x = 3y.

9. (FUVEST–SP) Se x = log4 7 e y = log16 49,então x − y é:

a) log4 7; b) log16 7;

c) 1; d) 2;

e) 0.

10. (PUC–SP) Se log 2 = 0,301, o valor de log100

1280 é:

a) 1,0535; b) 1,107;

c) 1,3535; d) 1,5535;

e) 2,107.

11. (CESCEM–SP) O logaritmo de um número nabase 16 é 2/3. Então, o logaritmo desse nú-mero na base 1/4 é:

a) −4/3 X; b) −3/4;

c) 3/8; d) 3;

e) 6.

52

UEA – Licenciatura em Matemática

UNIDADE VIEquações e inequações modulares

55

TEMA 18

MÓDULO DE UM NÚMERO

O módulo (ou valor absoluto) de um númeroreal x, que se indica por |x|, é definido da se-guinte maneira:

Geometricamente, o módulo de um número re-al x, na reta real, é igual à distância do pontoque representa o número x ao ponto de origem,independente de suas posições relativas.

Então:

• Se x é positivo ou zero, |x| é igual ao pró-prio x.

Exemplo:

|2| = 2; ; |37| = 37

• Se x é negativo, |x| é igual a −x.

Exemplo:

|−7| = −(−7) = 7;

Propriedades envolvendo módulo

Admitiremos, sem demonstrar, algumas pro-priedades dos módulos:

1. Para todo x ∈ IR, temos |x| ≥ 0 e |x| = 0⇔ x = 0

2. Para todo x ∈ IR, temos |x| = |−x|

3. Para todo x ∈ IR, temos |x2| = |−x2| = x2

4. Para todo x e y ∈ IR, temos |x.y| = |x|.|y|

5. Para todo x e y∈ IR, temos |x+y||≤|x|+|y|

6. Para todo x e y ∈ IR, temos ||x|−|y| ≤ |x − y|

TEMA 19

EQUAÇÕES MODULARES

Toda equação que contiver a incógnita em ummódulo num dos membros será chamadaequação modular.

Exemplos:

a) |x2 − 5x| = 1

b) |x + 8| = |x2 − 3|

Observe que:

Se |f(x)| = r com r ≥ 0, teremos f(x) = r ouf(x) = −r

Se |f(x)| = |g(x)|, teremos f(x) = g(x) ou f(x) =− g(x)

1. Resolver a equação |3x − 1| = 2.

Resolução:

Temos que analisar dois casos:

Caso 1: 3x − 1 = 2

Caso 2: 3x − 1 = −2

Resolvendo o caso 1:

3x − 1 = 2

3x = 2 + 1

x = 1

Resolvendo o caso 2:

3x − 1 = −2

3x = −2 + 1

Resposta:

Matemática Elementar III – Equações e inequações modulares

56

UEA – Licenciatura em Matemática

2. Resolver a equação |x2 − 5x| = 6.

Resolução:

Temos que analisar dois casos:

Caso 1: x2 − 5x = 6

Caso 2: x2 − 5x = −6

Resolvendo o caso 1:

x2 − 5x = 6

x2 − 5x − 6 = 0

Δ = (−5)2 − 4 . 1 . (−6)

Δ = 49

.

Resolvendo o caso 2:

x2 − 5x = − 6

x2 − 5x + 6 = 0

Δ = (−5)2 − 4.1.6

Δ = 1

.

Resposta: S = {−1, 2, 3, 6}

3. Resolver a equação |x − 6| = |3 − 2x|.

Resolução:

Temos que analisar dois casos:

Caso 1: x − 6 = 3 − 2x

Caso 2: x − 6 = −(3 − 2x)

Resolvendo o caso 1:

x − 6 = 3 − 2x

x + 2x = 3 + 6

3x = 9 ⇔ ⇔ x = 3

Resolvendo o caso 2:

x − 6 = −(3 − 2x)

x − 6 = −3 + 2x

x − 2x = −3 + 6

−x = 3 ⇔ x = −3

Resposta: S = {−1, 2, 3, 6}

PARA EXERCITAR

1. Resolva as equações modulares que seguem.

a) |2 − 3x| = 4

b)

c) |3x − 4| = x + 1

d) |5x − 4|=|2 − x|

e) |x2 − 7x + 8| = 2

f) x2 − 2|x| − 48| = 0

57

TEMA 20

INEQUAÇÕES MODULARES

Chamamos de inequações modulares asinequações em que aparecem módulos de ex-pressões que contém a incógnita.

Representando geometricamente, o módulo deum número real x é igual à distância do pontoque representa, na reta real, o número x aoponto de origem, como sabemos. Assim:

• Se |x| < a (com a > 0), significa que a dis-tância entre x e a origem é menor que a, istoé, x deve estar entre −a e a, ou seja, |x| < a ⇔ −a < x < a.

• Se |x| > a (com a > 0), significa que a dis-tância entre x e a origem é maior que a, istoé, deve estar à direita de a ou à esquerda de−a na reta real, ou seja:

|x| > a ⇔ x < −a ou x > a.

1. Resolver a inequação |2x − 6| < 2.

Para resolver essa equação, apresentamosdois métodos diferentes:

Resolução:

Método 1:

|2x − 6| < 2 ⇔ −2 < 2x − 6 < 2

−2 + 6 < 2x < 2 + 6

4 < 2x < 8

2 < x < 4

Método 2:

|2x − 6| < 2 ⇔ −2 < 2x − 6 < 2 ⇔

Resposta: S = {x∈IR|2 < x < 4}

2. Dê o conjunto-solução da inequação |x2 − 2x + 3| ≤ 4.

Resolução:

|x2 − 2x + 3| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x2 − 2x + 3 ≤ 4.

Então, temos duas inequações (que devem sersatisfeitas ao mesmo tempo):

Resolvendo a inequação 1:

x2 − 2x + 3 ≤ −4

x2 − 2x + 3 + 4 ≥ 0x2 − 2x + 7 ≥ 0Δ = (−2)2 − 4.1.7

Δ = 4 − 28 = −26

Como Δ < 0, ou seja, x2 − 2x + 7 = 0 não pos-sui raízes reais e o coeficiente do termo x2 é 1(que é maior que zero) a solução da inequaçãox2 − 2x + 7 ≥ 0 é S1 = IR.

Resolvendo a inequação 2:

x2 − 2x + 3 ≤ 4

x2 − 2x + 3 − 4 ≤ 0

x2 − 2x − 1 ≤ 0

Δ = (−2)2 − 4.1.(−1)

Δ = 4 + 4 = 8

Matemática Elementar III – Equações e inequações modulares

S2 = {x∈IR|1 − ≤ x ≤ 1 + }

Assim, a solução do sistema é

S = S1 ∩ S2.

Resposta: S = {x∈IR|1 − ≤ x ≤ 1 + }

3. Resolver a inequação |4x − 10|≥ 6.

Resolução:

|4x − 10|≥ 6 ⇔

Resolvendo a Inequação 1:

4x − 10 ≤ −6

4x ≤ −6 + 10

⇔ x ≤ 1

S1 = {x∈IR|x ≤ 1}.

Resolvendo a Inequação 2:

4x − 10 ≥ 6

4x ≥ 6 + 10

⇔ x ≥ 4

S2 = {x∈IR|x ≥ 4}.

Assim a solução de é S = S1 ∪ S2.

Resposta: S = {x∈IR|x ≤ 1 ou x ≥ 4}.

MÓDULO E RAIZ QUADRADA

Consideremos os números reais x e y. Temos,

por definição, que se, e somente se,

y2 = x, com y ≥ 0. Donde podemos concluir

que é verdadeiro somente para

x ≥ 0.

Se tivermos x < 0, não podemos afirmar que

, pois isso contradiz a definição.

Por exemplo, se x = −3, teríamos: ,o que é um absurdo, pois o primeiro membro

é positivo e o segundo negativo. Usando a

definição de módulo, podemos escrever:

que é verdadeiro para todo x real.

Devemos proceder da mesma forma em re-lação a todas as raízes de índice par, como porexemplo:

,

e em geral temos:

, com x∈IR e n∈ IN*.

Com relação às raízes de índice ímpar, pode-mos escrever:

,

e em geral:

com x∈IR e n∈IN.

Para exercitar

1. Resolva em IR as Inequações.

a) |x + 5| < 2

b)

c)

d) |x2 + 5x + 6| < 2

e) 2 ≤ |x + 5| ≤ 10

58

UEA – Licenciatura em Matemática

UNIDADE VIIFunções modulares

61

Matemática Elementar III – Funções Modulares

TEMA 21

FUNÇÃO MODULAR

Seja g: A→IR, com A ⊂ IR, uma função.

Chamamos de função modular a função f: A → IR, com A ⊂ IR, definida por f(x) = |g(x)|, ou seja:

Observe, então, que a função modular é umafunção definida por duas sentenças.

Exemplos:

1. A função f: IR → IR, tal que f(x) = |x|.

2. A função f: IR → IR, tal que f(x) = |x2 − 3|.

3. A função f: IR* → IR, tal que .

A função modular associa-se diretamente àidéia de valor absoluto de um número, que éo próprio número, caso este seja positivo ounulo, ou seu oposto, se o número for negati-vo. No início do século XIX, o matemáticosuíço Jean Robert Argand (1768-1822) intro-duziu a nomenclatura módulo para o valorabsoluto de um número. Posteriormente, omatemático alemão Karl Theodor WilhelmWeirstrass introduziu a notação |x|. Nessaépoca, o conceito de função e a sua nomen-clatura já eram utilizados sistematicamente, oque fez que sua extensão para idéia de fun-ção modular fosse natural.

Determinação do domínio

Vamos determinar o domínio de algumas fun-ções utilizando inequações modulares:

1. Determinar o domínio da função .

Resolução:

Sabemos que só é possível em IR se

|x| − 3 ≠ 0.

Então |x| − 3 ≠ 0 ⇔ |x| ≠ 3 ⇔ x ≠ 3 ou x ≠ −3

Resposta: Df ={x∈IR| x ≠ −3 ou x ≠ 3}

2. Determinar o domínio da função

Resolução:

Sabemos que só é possível em IR se

2 − |x − 1| ≥ 0. Então:

−|x − 1| ≥ −2

|x − 1| ≤ 2

−2 + 1 ≤ x ≤ 2 + 1

−1 ≤ x ≤ 3

Resposta: Df ={x∈IR| −1 ≤ x ≤ 3}

CONSTRUINDO GRÁFICOS

1. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráficoda função f(x) = |x|. Não devemos esquecerque Df = IR. Vamos elaborar uma pequenatabela onde vamos achar, pela função, a ima-gem de alguns números:

Observando o gráfico, concluímos que o con-junto Imf = IR+

x y = f(x)

−2 2

−1 1

0 0

1 1

2 2

62

UEA – Licenciatura em Matemática

2. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráficoda função f(x) = |x + 1|. Não devemos esque-cer que Df = IR. Vamos elaborar uma pequenatabela onde vamos achar, pela função, a ima-gem de alguns números:

Observando o gráfico, concluímos que o con-junto Imf = IR+

3. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráficoda função f(x) = |x + 1|. Não devemos esque-cer que Df = IR. Vamos elaborar uma pequenatabela e achar nela, pela função, a imagem dealguns números:

Observando o gráfico, concluímos que o con-junto Imf = IR−

4. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráficoda função f(x) = |x2 − 1|. Não devemos esque-cer que Df = IR. Vamos elaborar uma pequenatabela e nela achar, pela função, a imagem dealguns números:

Observando o gráfico, concluímos que o con-

junto Imf = IR+

Para exercitar

1. Construa o gráfico e dê o conjunto imagem da

função definida por f(x) = |x − 3|.

2. Construa o gráfico e dê o conjunto imagem da

função definida por f(x) = −|x − 2|.

3. Dada a função definida por f(x) = |x − 1| − 2,

construa o gráfico e dê o conjunto imagem.

Curiosidade

Formando Letras

A partir de funções matemáticas, brincar e for-

mar figuras com seus respectivos gráficos, li-

mitando os valores de x do domínio a serem

utilizados.

Podemos usar funções modulares cujo gráfico

descreve, com seu traçado, algumas das letras

que conhecemos.

A função , por

exemplo, tem com gráfico a letra W (figura 1).

Já a função g(x) = |2x|, com −1 ≤ x ≤ 1, tem

como gráfico correspondente a letra V (figura 2).

x y = f(x)

−2 3

−1 0

0 1

1 0

2 3

x y = f(x)

−3 −2

−2 −1

−1 0

0 −1

1 −2

x y = f(x)

−3 2

−2 1

−1 0

0 1

1 2

63

Matemática Elementar III – Funções Modulares

Figura 1

Figura 2

RESOLVA

a) Construa o gráfico da função abaixo, verifi-cando a letra formada pelo seu traçado.

b) Determine o conjunto imagem dessa fun-ção.

1. O volume de água em um tanque varia com otempo de acordo com a seguinte equação:

V = 10 − |4 − 2t| − |2t − 6|, t ∈IR+

Nela, V é o volume medido, em m3, após thoras, contadas a o partir de 8h de uma manhã.Determine os horários inicial e final dessa ma-nhã em que o volume permanece constante.

Resolução:

4 − 2t = 0 ⇔ t = 2

2t − 6 = 0 ⇔ t = 3

Se:

• 0 ≤ t ≤ 2, então V = 10 − 4 + 2t − 6 + 2t

V = 4t

• t ≥ 3, então V = 10 − 2t + 4 − 2t + 6

V = 20 − 4t

• 2 < t < 3, então V = 10 − 2t + 4 − 6 + 2t

V = 8

Assim, temos que o volume é constante

(V = 8m3) no intervalo 2 < t < 3. Como o tem-

po inicial é t = 8h, temos:

2 < t < 3

2 + 8 < t < 3 + 8

10 < t < 11

Resposta: O volume permanece constante das

10h às 11h da manhã.

2. Sejam as funções f(x) = |x − 1|e

g(x) = x2 + 4x − 4.

I. Calcule as raízes de f(g(x)) = 0.

II. Esboce o gráfico de f(g(x)), indicando os

pontos em que o gráfico intercepta os eixos

cartesianos.

Resolução:

a) f(g(x)) = |(x2 + 4x − 4) − 1|

f(g(x)) = |x2 + 4x − 5|

f(g(x)) = 0

|x2 + 4x − 5| = 0

x2 + 4x − 5 = 0 ⇒

Portanto as raízes são −5 e 1

b) x y = f(x)

−5 0

−2 9

0 5

1 0

64

UEA – Licenciatura em Matemática

3. O produto de todas as raízes da equação

|x2 − 8| − 4 = 0 é:

a) 4 d) −48

b) –4 e) 48

c) –8

Resolução:

|x2 − 8| − 4 = 0 ⇔ |x2 − 8| = 4

Assim:

• x2 − 8 = 4 ⇔ x2 = 12 ⇔

• x2 − 8 = −4 ⇔ x2 = 4 ⇔

O produto das raízes é

4. Relativamente à função real definida por

f(x) = 1 − |x − 1|, de [0,2] em [0,1], considere

as afirmações:

I. A área limitada pelo seu gráfico e o eixo das

abscissas é 1.

II. Trata-se de uma função sobrejetora.

III. A soma das raízes da equação f(x) = 0,5 é 2.

Então:

a) Somente I e II são verdadeiras.

b) Somente II e III são verdadeiras.

c) Somente I e III são verdadeiras.

d) Todas são verdadeiras.

e) Somente III é verdadeira.

Resolução:

Façamos um esboço do gráfico de f(x), com0 ≤ x ≤ 2:

I. A área da figura limitada pelo gráfico de f eo eixo das abscissas é:

(VERDADEIRA)

II. O contradomínio de f é [0,1].

O conjunto imagem de f é [0,1]. Logo, trata-se de uma função sobrejetora.

(VERDADEIRA)

III. Pelo gráfico, podemos concluir que:

f(x) = 0,5 ⇔ x = 0,5 ou x = 1,5

As raízes da equação f(x) = 0,5 são os nú-meros 0,5 e 1,5; portanto a soma dessasraízes é 2.

(VERDADEIRA)

5. A soma das raízes da equação |x|2 + 2|x| − 15 = 0 é:

a) 0 d) 6b) –2 e) 2 c) –4

Resolução:

Fazendo |x| = y, vem :

|x|2 + 2|x| − 15 = 0 ⇔

Assim:|x| = y1 ⇒ |x| = y1 ⇒ |x| = 3 ⇒

|x| = y2 ⇒ |x| = −5 ⇒ x não existe.

Então a soma das raízes é:

3 + (−3) = 0

65

Matemática Elementar III – Funções Modulares

4. Resolva a equação |x2 − 3x| = 10 no conjuntodos números reais.

5. (Fatec–SP) Resolva a equação|3x2 − 4| = x2 − 4 no conjunto dos númerosreais.

6. Determine os números inteiros que satisfazema inequação |5x − 4| < 7.

7. (Fuvest–SP) Seja f(x) = |2x2 − 1|, x∈IR. Deter-mine os valores de x para os quais f(x) < 1.

8. (PUC–SP) Quais são os números inteiros quesatisfazem a sentença 3 ≤ |2x − 3| ≤ 6?

9. Considere a função definida por f(x) = |x2 − 6x + 8|; construa seu gráfico e res-ponda:

a) Qual é o domínio e o conjunto imagem des-sa função?

b) Para que valores de x tem-se f(x) ≥ 0?

10. Dada a função .

a) Calcule f(−2), f(2), f(−1), f(1), f(−10), f(10).

b) Diga se é possível atribuir a x o valor zero.

c) Dê o domínio da função.

d) Dê o conjunto imagem da função.

11. Para x ≠ 0, a função assume dois

valores distintos . Quais são eles?

12. Dada a função , quais valores que

ela assume para x ≠ 0?

13. Construa o gráfico e dê o conjunto imagem decada uma das funções.

a) f(x) = |x + 3|

b) f(x) = |x| + 3

c) f(x) = |x − 3|

d) f(x) = |x| − 3

14. (UPF–RS) A soma das raízes da equação|2x + 5| = 6.

a) −5 b) 9

c) 4,5 d) 6

e) 0,5

15. (UEL–PR) O conjunto solução da inequação|x| ≤ 3, tendo como universo o conjunto dosnúmeros inteiros, é:

a) {−3, 3};

b) {−1, 0, 1};

c) {−2, −1, 0, 1, 2};

d) {−3, -2, -1, 0, 1, 2, 3};

e) {0, 1, 2, 3}.

16. (ACAFE–SC) A equação modular

admite, como solução, somente:

a) uma raiz positiva e uma negativa;

b) duas raízes negativas;

c) duas raízes positivas;

d) uma raiz positiva;

e) uma raiz negativa.

16. (UEPG-PR ) No conjunto IR, a desigualdade|x − 5| < 7 é verdadeira para:

a. x < 12;

b) X > −2;

c) −2 < x < 12;

d. −2 ≤ x ≤ 12;

e. n.d.a.

18. (CESGRANRIO) Seja f a função definida no intervalo aberto (−1, 1) por . Então

é:

a) 1/2; b) 1/4;

c) −1/2; d) −1;

e) −2.

66

UEA – Licenciatura em Matemática

19. (S. CASA–SP) As funções f(x) = |x| e g(x) = x2 − 2 possuem dois pontos em comum.A soma das abscissas destes pontos é:a) 0;

b) 3;

c) −1;

d) −3;

e) 1.

20. (PUC-MG) a solução da equação |3x − 5| = 5x− 1 é:

a) {−2} b) {3/4}

c) {1/5} d) {2}

e) {3/4, −2}

21. (FGV–SP) Quantos números inteiros não-nega-tivos satisfazem a inequação |x − 2| < 5?

a) infinitos; b) 4;

c) 5; d) 6;

e) 7.

22. (ACAFE) Se |a − b| = 6 e |a + b| = 2, o valorde |a4 − 2a2b2 + b4| é:

a) 8;

b) 12;

c) 24;

d) 64;

e) 144.

23. (INATEL–MG) A função definida por

se x ≠ 0 e f(x) = 0 se x = 0. Então, podemosafirmar que a imagem f(x) é:

a) {−1, 0, 1};

b) real;

c) {0};

d) {−1,1};

e) n.d.a.

24. (ITA-SP) Sabendo-se que as soluções daequação |x|2 −|x| − 6 = 0 são raízes da equa-ção x2 − ax + b = 0, podemos afirmar que:

a) a = 1 e b = 6;

b) a = 0 e b = −6;

c) a = 1 e b = −6;

d) a = 0 e b = −9 ;

e) não existem a e b tais que x2 − ax + b = 0contenha todas as raízes da equação dada.

25. (ITA–SP) Considere a equação |x| = x − 6.Com respeito à solução real dessa equação,podemos afirmar que:

a) a solução pertence ao intervalo [1, 2];

b) a solução pertence ao intervalo {−2, −1];

c) a solução pertence ao intervalo (−1, 1);

d) a solução pertence ao complementar daunião dos intervalos anteriores;

e) a equação não tem solução.

Para refletir

1. Dois matemáticos conversavam. O matemáticoZ diz ao matemático Y:

– Minha filha está fazendo x anos hoje. Seeu subtrair 20 do triplo desse valor e dividir oresultado por 2, o resultado, em módulo, émenor que 3. Você consegue me dizer quantosanos ela está fazendo?

– Não, pois existe mais de um valor possí-vel para x.

– Ah! Eu ia esquecendo: x é um númeropar. Agora você consegue?

– Não, pois existem dois valores possíveis.– É o menor deles.– Agora eu sei. Ela faz hoje 6 anos.

Como o matemático Y conseguiu chegar a es-sa conclusão?

2. Márcia e Lourdinha estavam resolvendo umproblema. Nele, era procurado um número par,ao qual ambas chamaram de x. Trabalhandocom uma condição fornecida pelo problema,Márcia chegou à conclusão de que deveriaocorrer isto: |3x − 2| < 10. Trabalhando comoutra condição fornecida pelo problema,Lourdinha chegou à conclusão de que deveriaocorrer isto: |5 − 2x| < 5.

Ambas estavam certas. Qual o valor de x?

67

Matemática Elementar III – Funções Modulares

SÉRIE FINAL

1. (UFRJ) Seja f a função real dada por f(x) = ax2 + bx + c, com a > 0. Determine a, be c sabendo que as raízes da equação |f(x)| = 12 são −2, 1, 2 e 5. Justifique.

2. (FUVEST) a) Esboce, para x real, o gráfico da função

f(x)=|x − 2|+|2x + 1|− x − 6. O símbolo|a| indica o valor absoluto de um númeroreal a e é definido por |a|=a, se a ≥ 0 e|a|= −a, se a < 0.

b) Para que valores reais de x, f(x) > 2x + 2?

3. ( FUVEST) Seja m ≥ 0 um número real e sejam fe g funções reais definidas por f(x) = x2 − 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.

a) Esboçar, no plano cartesiano representadoa seguir, os gráficos de f e de g quandom = 1/4 e m = 1.

b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quandom = 1/2.

c) Determinar, em função de m, o número deraízes da equação f(x) = g(x).

4. (UFES Sejam f e g as funções definidas paratodo x∈IR por f(x)=x2 − 4x + 4 e g(x) =|x − 1|.

a) Calcule f(g(x)) e g(f(x)).

b) Esboce os gráficos das funções compostasfog e gof.

5. (UNIRIO) Sejam as funções

f : IR → IRx → y= I x I

e

g : IR → IR

x → y = x2 − 2x − 8

Faça um esboço gráfico da função fog.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

(UFSC) Na questão a seguir escreva nos pa-rênteses a soma dos itens corretos.

6. Considere a função f: IR → IR dada porf(x)=|2x + 5|.

Determine a soma dos números associados àsproposições CORRETAS.

01. f é injetora.

02. O valor mínimo assumido por f é zero.

04. O gráfico de f intercepta o eixo y no pontode coordenadas (0,5).

08. O gráfico de f é uma reta.

16. f é uma função par.

Soma ( )

7. No gráfico a seguir, está representada a funçãodo 1.o grau f(x). O gráfico que melhor represen-ta g(x)=|f(x)| − 1 é:

a) b)

c) d)

e)

8. (FUVEST) O módulo |x| de um número real xé definido por |x| = x, se x ≥ 0, e |x| = −x, sex < 0. Das alternativas a seguir, a que melhorrepresenta o gráfico da função f(x) = x.|x|−2x + 2 é:

a) b)

68

UEA – Licenciatura em Matemática

c) d)

e)

9. (MACKENZIE) A melhor representação gráfica

da função real definida por , x ≠ 0é:

a) b)

c) d)

e)

10. ( MACKENZIE) Se y = x − 2 + |x − 2| x ||, x ∈IR, então o menor valor que y pode assumir é:

a) −2; b) −1;

c) 0; d) 1;

e) 2.

11. ( MACKENZIE) O número de soluções reais da

equação é:

a) 0; b) 1;

c) 2; d) 3;

e) maior que 3.

12. ( MACKENZIE) Dada a função real definida aseguir, então a melhor representação gráficade y = f(|x|) é:

a) b)

c) d)

e)

13. ( MACKENZIE) Na figura 1, temos o esboço dográfico de uma função f, de IR em IR. O melhoresboço gráfico da função g(x)=f(|x|) é:

a) b)

c) d)

e)

14. (PUC–MG) O gráfico da função f(x) = |x| + 2é constituído por:

a) duas semi-retas de mesma origem;

b) duas retas concorrentes;

c) duas retas paralelas;

d) uma única reta que passa pelo ponto (0, 2).

15. (PUC–RS) Considerando a função f definida porf(x) = x2 − 1, a representação gráfica da funçãog dada por g(x) = |−f( x )| − 2 é:

a) b)

c) d)

e)

69

Matemática Elementar III – Funções Modulares

16. (UEL) Seja f: R → R dada por f(x) = |x2| + |x|.O gráfico da função g: R → R, definida porg(x) = −f(x+1), é:

a) b)

c) d)

e)

17. (UFC) Seja f uma função real de variável realcujo gráfico está representado adiante.

Se g(x) = 2 f(x) −1, assinale a alternativa cujográfico melhor representa |g(x)|.

a)

b) c)

d) e)

18. (UFES)

O gráfico acima representa a função:

a) f(x) = ||x| − 1|b) f(x) = |x − 1| + |x + 1| − 2c) f(x) = ||x| + 2| − 3d) f(x) = Ix − 1|e) f(x) = ||x| + 1| − 2

19. (Ufg) Seja R o conjunto dos números reais.Considere a função f: IR → IR, definida porf(x)=|1−|x||. Assim,

( ) f(−4) = 5;( ) o valor mínimo de f é zero;( ) f é crescente para x no intervalo [0,1];( ) a equação f(x) = 1 possui três soluções

reais distintas.

20. (UFLAVRAS) O gráfico da expressão |x| + |y| = 4 é dado por:

a) b)

c) d)

e)

21. (UFPE) Na figura a seguir, temos o gráfico deuma função f(x) definida no intervalo fechado[−4, 4]. Com respeito à função g(x)=f(|x|), éincorreto afirmar:

a) O ponto (−4, −2) pertence ao gráfico de g.b) O gráfico de g é simétrico com relação ao

eixo 0y das ordenadas.c) g(x) se anula para x igual a −3, −1, 1 e 3.d) g(−x) = g(x) para todo x no intervalo [−4, 4].e) g(x) ≥ 0 para todo x no intervalo [−4, 4].

70

UEA – Licenciatura em Matemática

22. (UFRN) Um posto de gasolina encontra-se locali-zado no km 100 de uma estrada retilínea. Umautomóvel parte do km 0, no sentido indicado nafigura abaixo, dirigindo-se a uma cidade a 250kmdo ponto de partida. Num dado instante, x deno-ta a distância (em quilômetros) do automóvel aokm 0. Nesse instante, a distância (em quilôme-tros) do veículo ao posto de gasolina é:

a) |100 + x| b) x − 100

c) 100 − x d) |x − 100|

23. (UFRS) Identifique os gráficos que correspon-dem a y = logx e y = |logx|, nessa ordem.

a) I e II b) I e III

c) I e IV d) II e III

e) V e IV

24. (UFRS) Para −1 < x < 1/2, o gráfico da funçãoy=|x + 1|+|2x − 1| coincide com o gráfico dafunção y= ax + b. Os valores de a e b são,respectivamente,

a) −1 e −1 b) 2 e −1

c) −1 e 2 d) 1/2 e −1

e) −1/2 e 1

Augustin Louis Cauchy

* 21 de agosto de 1789, em Paris, França.

+ 23 de maio de 1857, em Sceaux

(próximo a Paris), França.

Quando Augustin-Louis Cauchy era uma cri-ança, Paris era um lugar difícil de se viver de-vido aos eventos relativos à Revolução Fran-cesa. Quando Cauchy completou quatroanos, o pai dele, receoso de ser morto emParis, mudou-se com a família para Arcueil.

Logo eles voltaram a Paris, e o pai de Cau-chy era participante ativo em sua educação.Laplace e Lagrange visitavam regularmente acasa da família Cauchy, e Lagrange em parti-cular parecia ter um interesse maior na edu-cação matemática do jovem Cauchy. Lagran-ge aconselhou ao pai de Cauchy a primeirodar uma boa base em línguas para depoiscomeçar os estudos de Matemática. Em1802, Augustin-Louis entrou na École Cen-trale du Panthéon, onde passou dois anosestudando línguas clássicas.

Em 1804, Cauchy tomou aulas de Matemáticae fez o exame de admissão para a ÉcolePolytechnique em 1805. Ele foi examinado porBiot e ficou em segundo lugar. Lá teve aulascom Lacroix, de Prony e Hachette, sendotutorado em Análise por Ampère. Em 1807,graduou-se e entrou na escola de engenhariaÉcole des Ponts et Chaussées. Ele era um estu-dante excepcional e, por seu trabalho prático,foi designado para trabalhar sob as vistas dePierre Girard, no projeto do Canal Ourcq.

71

Matemática Elementar III – Funções Modulares

Em 1810, Cauchy arrumou seu primeiroemprego em Cherbourg: foi trabalhar no portopara a frota de invasão Inglesa de Napoleão.Ele levou consigo uma cópia de MéchaniqueCéleste, de Laplace e de Thèorie des Fonc-tions. Apesar da carga intensa de trabalho noporto, Cauchy dedicou-se intensamente à pes-quisa matemática e provou, em 1811, que osângulos de um poliedro convexo são determi-nados por suas faces. Ele submeteu seu pri-meiro trabalho neste tópico e, então, encoraja-do por Legendre e Malus, submeteu outrosobre polígonos e poliedros em 1812. Cauchysentia que deveria retornar a Paris se quisessedeixar sua marca na pesquisa. Infelizmente,Cauchy voltou pelos motivos errados: prova-velmente uma severa depressão.

De volta a Paris, Cauchy investigou funçõessimétricas e submeteu um artigo sobre estetópico em novembro de 1812, que foi publica-do no Journal of the École Polytechnique, em1815. Contudo ele deveria voltar a Cherbourgem fevereiro de 1813, quando tivesse reco-brado sua saúde, mas isso não se encaixavanas suas ambições matemáticas. Seu pedidoa de Prony para ser um professor associadona École des Ponts et Chaussées foi recusa-do, mas foi-lhe permitido continuar como en-genheiro no projeto do Canal Ourcq, em vezde voltar a Cherbourg.

O que realmente Cauchy desejava era umacarreira acadêmica. Então, inscreveu-se paraum posto no Bureau des Longitudes. Legen-dre ficou com a vaga. Também falhou ao seinscrever para a seção de geometria do Ins-titute, indo a vaga para Poinsot.

Outros postos ficaram vagos; um, em 1814,foi a Ampère, e uma vaga em Mecânica noInstitute, que era de Napoleão Bonaparte, foipara Molard. Na última eleição, Cauchy nãorecebeu um único voto! Contudo sua produ-ção matemática continuava grande. Em 1814,publicou um trabalho sobre integrais defini-das que, posteriormente, viria a se tornar abase da teoria de funções complexas.

Em 1815, Cauchy perdeu para Binet umcadeira em Mecânica na École Polytechni-

que, mas foi apontado como professor assis-tente de Análise. Ele era responsável pelosegundo ano de curso. Em 1816, ele ganhouo Grand Prix of the French Academy of Sci-ence por um trabalho em ondas. Ele sóatingiu realmente a fama quando submeteuum trabalho ao Institute, resolvendo uma dasafirmações de acerca de números poligonaisfeita a Mersenne. Graças à ajuda política,Cauchy agora ocupava um posto na Acade-my of Sciences.

Em 1817, Cauchy substituiu Biot – que saíraem expedição – em seu posto no Collège deFrance. Lá deu aulas sobre métodos de inte-gração desenvolvidos por ele, mas ainda nãopublicados. Cauchy foi o primeiro a fazer umestudo rigoroso das condições de conver-gência de séries infinitas, além de sua rigo-rosa definição de integral. Seu texto Coursd’analyse, de 1821, foi escrito para estudan-tes da École Polytechnique e tratava do de-senvolvimento dos teoremas básicos doCálculo, tão rigorosamente quanto possível.

Em 1826, começou um estudo do cálculo deresíduos em Sur un nouveau genre de calculanalogue au calcul infinétesimal enquantoque em 1829, em Leçons sur le CalculDifférential, ele define pela primeira vez umafunção e uma variável complexas.

Em 1830, os eventos políticos em Paris e osanos de trabalho intenso começaram a co-brar seu preço, e Cauchy decidiu tirar umasférias. Ele deixou Paris em setembro de 1830,antes da revolução de Julho, e passou algumtempo na Suíça. Lá ele foi um ajudante en-tusiástico na organização da AcadémieHelvétique, mas este projeto colapsou, poisele foi flagrado em eventos políticos.

Eventos políticos na França significavam queCauchy deveria jurar lealdade ao novo regime,mas tendo falhado em retornar a Paris, ele per-deu todas as suas posições. Em 1831,Cauchy foi a Turim e, durante algum tempo,por oferecimento do Rei de Piemonte, ocupouuma cadeira de Física teórica. Ele ensinou emTurim em 1832. Menabrea assistiu a essasaulas em Turim e escreveu que os cursos

72

UEA – Licenciatura em Matemática

eram muito confusos, passando repentina-mente de uma idéia à outra, de uma fórmu-la à próxima, sem nenhum esforço de daruma conexão entre elas. Suas apresen-tações eram nuvens obscuras, iluminadasde tempos em tempos por um brilho depura genialidade. ... dos trinta colegascomigo, eu era o único a perceber isso.

Cauchy voltou a Paris em 1838 e recuperousua posição na Academia, mas não suasposições como professor por ter recusadojurar lealdade. De Prony morreu em 1839 esua posição no Bureau des Longitudestornou-se vaga. Cauchy era fortemente apoia-do por Biot e Arago, mas Poisson opunha-seradicalmente a ele. Cauchy foi eleito, mas,tendo-se recusado a jurar lealdade, não foiindicado e não poderia participar de reuniõesou receber um salário.

Em 1843, Lacroix morreu, e Cauchy tornou-se candidato para sua cadeira no Collège deFrance. Liouville e Libri eram também can-didatos. Cauchy teria facilmente sido indica-do, mas suas atividades políticas e religiosas(como ajudar os Jesuítas), foram fatores cru-ciais. Libri foi escolhido, claramente o maisfraco dos três matematicamente falando, eLiouville escreveu no dia seguinte que eleestava

profundamente humilhado como homem ecomo matemático pelo que aconteceraontem no Collège de France.

Durante este período, a produção matemáti-ca de Cauchy foi menor do que no período deexílio auto-imposto. Ele fez trabalhos impor-tantes na área de Equações Diferenciais eaplicações à Física Matemática. Ele tambémescreveu sobre Astronomia Matemática, es-pecialmente por ser candidato a posições noBureau des Longitudes. O texto em 4 volumesExercises d’analyse et de physique mathema-tique, publicado entre 1840 e 1847, mostrou-se extremamente importante.

Quando Louis Philippe foi deposto em 1848,Cauchy recuperou suas posições naUniversidade. A cadeira ocupada por Libri vagou(fugiu, acusado de roubar livros), sendo nova-

mente disputada por Liouville e Cauchy. Liouvilleganhou, azedando a relação entre os dois.

Os últimos anos da vida de Cauchy foram par-ticularmente amargos, por ter-se envolvido comDuhamel a respeito de um resultado sobre cho-ques inelásticos. Foi provado que Cauchy esta-va errado, mas ele nunca admitiu isso.

Inúmeros termos em Matemática levam onome de Cauchy: o teorema da integral deCauchy, a teoria de funções complexas, oteorema de existência de Cauchy-Kovalevskaya, as equações de Cauchy-Riemman e as seqüências de Cauchy. Eleproduziu 789 trabalhos em Matemática, umfeito extraordinário.

Uma coleção com seus trabalhos, Oeuvrescomplètes d’Augustin Cauchy (1882-1970), foipublicada em 27 volumes.

UNIDADE VIIISeqüências

75

Matemática Elementar III – Seqüências

TEMA 22

SEQÜÊNCIAS

O estudo das progressões teve a contribuiçãode vários matemáticos ao longo do tempo

A CONTRIBUIÇÃO DE FIBONACCI

Entre as valiosas contribuições para o estudodas progressões, poderíamos lembrar as se-qüências do italiano Leonardo de Pisa, maisconhecido como Fibonacci (1180-1250) e a fór-mula da soma de uma P.A. descrita pelo ale-mão Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Na seqüência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21, 34, 55, 89,144...), cada termo, a partir doterceiro, é obtido pela soma dos dois termosimediatamente anteriores; a razão entre doistermos consecutivos, a partir do 6.o termo

dá-nos a conhecida razão de ouro que

exerceu forte influência na arquitetura e naarte.

Pathernon: Apresenta a relação áurea em sua arquitetura

A COLMEIA

Ao comentar os padrões e os desenhos encon-trados na natureza, mencionamos que um dospadrões atraentes é encontrado no favo demel. Os alvéolos de cera destinados a serreceptáculos de mel têm perfil hexagonal, for-mando um padrão contínuo que preenche oespaço sem deixar interstícios, A únicamaneira alternativa simples de se conseguireste efeito é com alvéolos de perfil retangular,de preferência quadrado, no interesse darigidez.

Por que as abelhas escolhem o padrão hexago-nal? A resposta matemática é que a determi-nação do formato leva em conta economia eeficiência.

A colmeia é um padrão no espaço. O planogenealógico da abelha é um padrão no tem-po. O matemático que interferiu no primeiropôs a mão também no segundo. O zangão,macho da abelha, nasce de um ovo que nãofoi fecundado. O ovo fecundado somente gerafêmeas – rainhas ou operárias. Se utilizarmosesse fato da vida para compor um plano ge-nealógico que mostre a linhagem do zangãopor várias gerações, chegaremos como o ilus-trado a seguir.

Apurando os totais de todos os machos, todasas fêmeas e todas as abelhas de ambos ossexos que constituem cada geração, verifi-camos que temos a série de Fibonacci sobre-posta e repetida três vezes – uma parte para osmachos, uma para as fêmeas e uma para dosdois sexos combinados.

Não somente o entomólogo, por meio de suasabelhas, estabelece contato com os númerosáureos. O botânico também os encontra emdiferentes áreas de seus estudos – na dis-posição das folhas, na estrutura das pétalas,nos flósculos da família das compostas e nadisposição das axilas nos ramos da planta. Ébem raro encontrar espécimes perfeitos, quecorrespondam com precisão ao padrãomatemático. A margarida do campo pode ter33 ou às vezes 56 pétalas, que por pouco nãoempatam com os números de fibonacci, 34 e55, mas seria incomum a margarida quetivesse um número de pétalas entre digamos40 e 50.

Encontramos uma relação diferente com osnúmeros de Fibonacci no número de axilas dotalo de uma planta à medida que ela se desen-

76

UEA – Licenciatura em Matemática

volve. A figura abaixo representa um caso ide-almente simples, em que os talos e as flores daespirradeira estão dispostos esquematica-mente. Vê-se um novo galho que brota da axilae outros galhos que dele crescem. Desde queos galhos velhos e os novos sejam somados,encontra-se um número de Fibonacci em cadaplano horizontal.

Espirradeira: Apresenta, em suas bifurcações, a seqüência de Fibonacci

Leonardo de Pisa

* 1175, em Pisa, Itália

+ 1250, provavelmente em Pisa, Itália.

Leonardo de Pisa ou Leonardo Pisanoviveu de 1175 a 1250. Este matemático ita-liano ficou conhecido por ter criado os Nú-meros de Fibonacci e por ter introduzido, naEuropa, o moderno sistema decimal posi-cional arábico, ideal para escrever e manipu-lar números (algarismos).

Se hoje usamos os dígitos de 0 a 9 e osalinhamos da direita para a esquerda paraindicar quantidades cada vez maiores, deve-mos isso à divulgação feita por Fibonacci.

O pai de Leonardo, gerente de um escri-tório comercial em Bugia, no norte da África,tinha o apelido de Bonacci (homem de boanatureza). Isto explica o apelido Fibonacci,filho de Bonacci. O jovem viajou muitas vezescom o pai, tendo a oportunidade de conheceros algarismos hindus usados pelos árabes.Mais do que os algarismos, o que chamou aatenção de Fibonacci foi o sistema de nume-ração, a facilidade dos cálculos que ofereciae sua notória superioridade em relação aosnúmeros romanos. Resolveu, então, viajarpelos países mediterrâneos para estudar comos mais conhecidos matemáticos árabes deseu tempo, retornando a Pisa somente ao re-dor de 1200.

Em 1202, com 27 anos de idade, publi-cou Liber Abaco (Livro dos Ábacos ou Livrodos Cálculos). Esclareceu o sistema posi-cional decimal dos números usado pelosárabes, inclusive a importância do númerozero. Este livro mostrou a praticidade do novosistema numérico, especialmente quandoaplicado na contabilidade comercial, na con-versão de pesos e medidas, no cálculo deporcentagens e de câmbio, além de inúmerasoutras aplicações. O livro foi aceito com entu-siasmo pelos letrados da época e teve impac-to profundo no pensamento europeu. Apesardisso, os números decimais só começaram aser usados depois da invenção da imprensa,quase três séculos mais tarde.

Um dos grandes legados de Fibonaccifoi o estudo e a divulgação dos famosos Nú-meros de Fibonacci, uma série criada pormatemáticos indianos e que, até hoje, é mate-rial de estudo para muitos amadores e profis-sionais da área.

77

Matemática Elementar III – Seqüências

TEMA 23

SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS

Relembrando

Função real – Uma função f sobre um conjunto x

com imagem no conjunto y, denotada por f: X → Y,

associa a cada x ∈ X um único elemento y ∈ Y,

para todos os elementos de X. O que caracteri-

za o nome da função é o contradomínio Y dela.

Se Y é um conjunto de:

1. números reais, temos uma função real;

2. vetores, temos uma função vetorial;

3. matrizes, temos uma função matricial;

4. números complexos, a função é complexa.

O conjunto dos números naturais será indica-

do por:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Definição – Seqüência de números reais (ou

sucessão) é uma função f: N → R que associa

a cada número natural n um número real f(n).

O valor numérico f(n) é o termo de ordem n da

seqüência. Do modo como definimos a se-

qüência, o domínio de f é um conjunto infinito,

mas o contradomínio poderá ser finito ou infini-

to. O domínio de uma seqüência é indicado

por D(f) = N, e a imagem de uma seqüência

por Im(f) = {a1, a2, a3, ...}.

Muitas vezes, a seqüência (função) é confundi-

da com a Imagem da função (conjunto de nú-

meros); no entanto esta confusão até mesmo

colabora para o entendimento do significado

de uma seqüência no âmbito do Ensino Médio.

Um fato importante é que a função determina a

regra que os elementos do conjunto imagem

devem seguir.

1. Para a seqüência f: N → R definida porf(n) = 2n + 1, determinar:

a. Os 4 primeiros termos da sequência.

b. A imagem de f.

c. O n-ésimo termo da sequência.

Solução:

a) f(n) = 2n + 1

f(1) = 2 x 1 + 1 = 3

f(2) = 2 x 2 + 1 = 5

f(3) = 2 x 3 + 1 = 7

f(4) = 2 x 4 + 1 = 9

b) Im(f) = {3, 5, 7, 9, ..., 2n + 1, ...}

c) f(n) = 2n + 1

2. Apresente o conjunto imagem da seqüência fque indica a altura de um avião que levantavôo do solo numa proporção de 3 metros porminuto.

Solução:

Quando t=0, o avião está no chão.

a0 = 0,

a1 = 1 × 3,

a2 = 2 × 3,

a3 = 3 × 3,

........,

an = 3n,

logo, f(n) = 3n, onde n representa os minutos.

Im(f)={0, 3, 6, 9, 12, ..., 3n, ...}

EXEMPLOS IMPORTANTES DE SEQÜÊNCIAS REAIS

Função identidade: Seja f: N → R definida porf(n) = n. Esta função pode ser representadagraficamente de várias formas, sendo queduas delas estão mostradas abaixo, com o dia-grama de Venn-Euler (esquerda) e o gráficocartesiano (direita). Neste caso, D(f) = N eIm(f) = {1, 2, 3, ...}

78

UEA – Licenciatura em Matemática

Seqüência de números pares

Seja f: N → R definida por f(n) = 2n. Nesse

caso Im(f) = {2,4,6,...}. Duas representações

gráficas para essa seqüência são:

Seqüência de números ímpares

A função f: N → R definida por f(n) = 2n − 1,

está representada abaixo, e a sua imagem é

Im(f) = {1,3,5,.....}.

Seqüência dos recíprocos

A seqüência dos recíprocos (ou inversos) dos

números naturais

f: N → R é definida por . Nesse caso,

.

Seqüência constante

Uma sequência constante é uma função f: N →R definida, por exemplo, por f(n) = 3 e pode

ser representada graficamente por:

Neste caso, Im(f) = {3}.

Sequência nula

A sequência nula f: N → R é definida por f(n) = 0. A imagem é o conjunto Im(f) = {0}. f pode ser vista graficamente como:

Seqüência alternada

Uma seqüência alternada f: N → R pode serdefinida por f(n) = (−1)nn. Essa seqüência denúmeros fica alternando o sinal de cada termo,sendo um negativo e o seguinte positivo, eassim por diante. A imagem é o conjunto:

Im(f) = {−1,+2,−3,+4,−5,+6}

Seqüência aritmética

A seqüência aritmética f: N → R é definida por:f(n) = a1 + (n − 1)r e pode ser vista como nosgráficos abaixo:

Neste caso:

Im(f) = {a1,a1 + r, a1 + 2r, a1 + (n − 1)r, ....}.

Seqüência geométrica

Uma sequência geométrica é uma função f: N→ R definida por: f(n) = a1.qn − 1 que pode seresboçada graficamente por:

79

Matemática Elementar III – Seqüências

Im(f) = {a1,a1,q,a1 . q2,....,a1 . qn − 1,....}.

Sequência recursiva

Uma sequência é recursiva se o termo de or-dem n é obtido em função dos termos dasposições anteriores.

Exemplo: A importante sequência de Fibo-nacci, definida por f: N → R tal que f(1) = 1 ef(2) = 1 com f(n + 2) = f(n) + f(n + 1) para n≥ 1, é uma sequência recursiva.

O conjunto imagem é Im(f) = {1,1,2,3,5,8,13,21,34,....}.

f(1) = 1

f(2) = 1

f(3) = f(1)+ f(2) = 1 + 1 = 2

f(4) = f(2)+ f(3) = 1 + 2 = 3

f(5) = f(3)+ f(4) = 2 + 3 = 5

f(6) = f(4)+ f(5) = 3 + 5 = 8

f(7) = f(5)+ f(6) = 5 + 8 = 13

f(8) = f(6)+ f(7) = 8 + 13 = 21

f(9) = f(7)+ f(8) =13 + 21 = 34

.... .... ....

As seqüências de Fibonacci aparecem de umaforma natural em estudos de Biologia, Arqui-tetura, Artes e Padrões de beleza. O livro A di-vina proporção, Huntley, Editora Universidadede Brasília, trata do assunto.

Observação: O gráfico de uma seqüência nãoé formado por uma coleção contínua de pon-tos mas por uma coleção discreta. Eventual-mente, usamos retas ou curvas entre dois pon-tos dados para melhor visualizar o gráfico, masnão podemos considerar tais linhas como re-presentativas do gráfico da seqüência.

Toda vez que nos referirmos a uma seqüênciaf: N → R tal que f(n) = an, simplesmente usare-mos (a1,a2,a3,...,an − 1,an,...)

Seqüências finitas e infinitas

Quanto ao número de elementos da imagem,uma seqüência poderá ser finita ou infinita.

Seqüência Finita: Uma seqüência é finita se oseu conjunto imagem é um conjunto finito.

Exemplos:

As sequências f: N → R definidas por

são finitas e

as suas imagens são, respectivamente:

Seqüência Infinita: Uma seqüência é infinitase o seu conjunto imagem é um conjunto infi-nito.

Exemplos:

Exemplo 1: As seqüências f: N → R definidaspor

f(n) = 2n,g(n) = (−1)nn,

h(n) = sin(n),k(n) = cos(3n)

são infinitas, pois suas imagens possuem infi-nitos termos.

Exemplo2: Seja a seqüência infinita f: N → R,cujo conjunto imagem é dado porIm(f) = {5,10,15,20,....}. Observamos que

f(1) = 5 = 5 x 1,

f(2) = 10 = 5 x 2,

f(3) = 15 = 5 x 3,

........,

f(n) = 5n

Este é um exemplo de uma seqüência aritméti-ca, o que garante que ela possui uma razão r= 5, o que permite escrever cada termo como

f(n) = f(1) + (n − 1)r

No âmbito do Ensino Médio, essa expressão éescrita como:

an = a1 + (n − 1)r

UNIDADE IXProgressões Aritméticas

83

TEMA 24

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Uma seqüência muito útil é a seqüência arit-mética, que possui domínio infinito. Essa se-qüência é conhecida, no âmbito do EnsinoMédio, como uma Progressão Aritmética.

Encontramos freqüentemente grandezas quesofrem variações iguais em intervalos de tem-po iguais. Veja, por exemplo, o seguinte pro-blema:

Uma empresa produziu, no ano 2000, 100 milunidades de um certo produto. Quantasunidades produzirá, anualmente, de 2000 a2005, se o aumento anual de produção forestabelecido em 20 mil unidades?

Esquematizando o problema da seguinte for-ma, teremos:

• Produção em 2000: 100 mil unidades.

• Produção em 2001 = produção em 2000 +20 mil unidades = 100 mil unidades +20 milunidades = 120 mil unidades.

• Produção em 2002 = produção em 2001 +20 mil unidades = 120 mil unidades + 20mil unidades = 140 mil unidades.

• Produção em 2003 = produção em 2002 +20 mil unidades = 140 mil unidades + 20mil unidades = 160 mil unidades.

• Produção em 2004 = produção em 2003 +20 mil unidades = 160 mil unidades + 20mil unidades = 180 mil unidades.

• Produção em 2005 = produção em 2004 +20 mil unidades = 180 mil unidades + 20mil unidades = 200 mil unidades.

Nessas condições, a produção nesse períodoserá representada pela seqüência (100 mil, 120mil, 140 mil, 160 mil, 180 mil, 200 mil).

Notamos que, nessa seqüência, cada termo, apartir do segundo, é obitido do anterior soman-do-se a este um número fixo 20 mil.

Seqüência desse tipo são chamadas de pro-gressões aritméticas. O aumento de cada

termo para o seguinte é sempre o mesmo e échamado de razão da progressão.

Definição

Progressão Aritmética (PA) é toda seqüênciade números reais na qual a diferença entrecada termo (a partir do segundo) e o termoanterior é constante. Essa diferença constanteé chamada de razão da progressão e é repre-sentada por r.

Notação para a PA:

(a1, a2, a3, ..., an, ....)

ou

C = (a1, a2, a3, ..., an, ....)

Exemplos:

1. A seqüência de números reais, dada por(2,4,6,8,...,2n,....) com n∈N é uma PA derazão r = 2

2. A seqüência de números reais, dada por(1,3,....,2n − 1,....) com n∈N é uma PA derazão r = 2

Na seqüência, apresentamos os elementos bási-cos de uma Progressão Aritmética da forma:

(a1,a2,a3,....,an,....)

1. n indica uma posição na sequência. n é oíndice para a ordem do termo geral an naseqüência.

2. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê aíndice n.

3. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê aíndice 1.

4. a2 é o segundo termo da PA, que se lê aíndice 2.

5. r é a razão da PA, e é possível observar que

an = a1 + r,

a3 = a2 + r,

..........,

an = an − 1 + r,

..........

A razão de uma Progressão Aritmética pode serobtida subtraindo o termo anterior (antecedente)

Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas

84

UEA – Licenciatura em Matemática

do termo posterior (conseqüente), ou seja:

a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = .... = an = an − 1 + r

Progressão Aritmética finita – Surge aqui oconceito de Progressão Aritmética finita: é umacoleção finita de números reais com as mes-mas características que uma da ProgressãoAritmética.

Tal progressão pode ser demonstrada por:

C = (a1,a2,a3,....,an,....,am − 1,am)

ou

(a1,a2,a3,....,an,....,am − 1,am)

Na seqüência, apresentamos os elementosbásicos de uma Progressão Aritmética daforma:

C = (a1,a2,a3,....,an,....,am − 1,am)

1. m é o número de termos da PA.

2. n indica uma posição na sequência. n é oíndice para a ordem do termo geral an noconjunto C.

3. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê aíndice n.

4. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê aíndice 1.

5. a2 é o segundo termo da PA, que se lê aíndice 2.

6. am é o último elemento da PA.

7. r é a razão da PA, e é possível observar que:

a2 = a1 + r,

a3 = a2 + r,

..........,

an = an − 1 + r,

........,

an = am − 1 + r

8. A razão de uma Progressão Aritmética po-de ser obtida subtraindo o termo anterior(antecedente) do termo posterior (conse-qüente), ou seja:

a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = .... = an − an − 1 = r

Observação:

Trataremos, aqui, uma Progressão Aritméticafinita como sendo uma PA.

1. A PA definida por C = (2,5,8,11,14) possui ra-zão r = 3, pois:

2 + 3 = 5, 5 + 3 = 8, 8 + 3 = 11, 11 + 3 = 14

2. A PA definida por M = (1,2,3,4,5) possui razãor = 1, pois:

1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5

3. A PA definida por M) = (3,6,9,12,15,18) possuirazão r = 3, pois:

6 − 3 = 9 − 6 = 12 − 9 = 15 − 12 = 3

4. A PA definida por M = (0,4,8,12,16) possuirazão r = 4, pois:

4 − 0 = 8 − 4 = 12 − 8 = 16 − 12 = 4

PARA EXERCITAR

1. Qual a razão em cada uma das progressõesaritméticas abaixo?

a) (1, 2, 3, 4, ... )

b) (10, 17, 24, ... )

c) (−5, −4, −3, ...)

d) (10, 1, −8, ...)

e) (−5, −10, −15, ...)

f) (1/2, 1, 3/2, ...)

g) ( x, x + 2, x + 4, ...)

Média aritmética

Dados n números reais x1, x2, x3, ..., xn, defini-mos a média aritmética entre esses números,denotada pela letra x com um traço sobre ela,x−, como a divisão entre a soma dessesnúmeros e o número de elementos:

Na Progressão Aritmética, cada termo é a mé-dia aritmética entre o antecedente e o conse-qüente do termo tomado, daí a razão de taldenominação para este tipo de seqüência.

1. Dada a PA (2, x, 10, y, 18, 22, z, 30), calcule x;y; z.

Solução:

2. Determine x para que a seqüência (3x − 4; x + 12; 9x − 12) forme uma PA

Solução:

PARA EXERCITAR

1. Determinar x na PA

2. Calcule o valor x em cada caso:

a)

b)

TEMA 25

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA

Consideremos a PA com razão r, definida porP = {a1,a2,a3,....,an − 1,an,....}

Observamos que:

a1 = a1 = a1 + 0r

a2 = a1 + r = a1 + 1r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = a1 + 3r

................

an = an − 1 + r = a1 + (n − 1)r

e obtemos a fórmula do termo geral da PA:

an = a1 + (n − 1)r

Com o material apresentado, podemos obterqualquer termo de uma Progressão Aritmética(PA), sem precisar escrevê-la completamente.

1. Seja a PA com razão r = 5, dada por C ={3,8,....,a30,....,a100}. O trigésimo e o centésimotermos desta PA podem ser obtidos, substituin-do os dados da PA na fórmula do termo geralan = a1 + (n − 1)r. Assim:

a30 = 3 + (30 − 1)3 = 90

e a100 = 3 + (100 − 1)3 = 300

2. Sendo a7 = 21 e a9 = 27 termos de PA, deter-mine sua razão:

Solução:

Sendo

a7 = a1 + (7 − 1)r ⇒ 21 = a1 + 6r

a9 = a1 + (9 − 1)r ⇒ 27 = a1 + 8r

Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duasequações, ou seja, temos um sistema de equa-ções. Vamos isolar o a1 na primeira equação esubstituir na segunda:

85

Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas

86

UEA – Licenciatura em Matemática

a1 = 21 − r agora, substtituindo na segunda

27 = (21 − 6r) + 8r

27 = 21 + 2r ⇒ 27 − 21 = 2r

6 = 2r ⇒ = r ⇒ r = 3

3. Determinar o quinto termo da PA definida por

C={a + b, 3a − 2b,...}.

Solução:

Temos que

a1 = a+b, a2 = 3a − 2b e a razão é r = (3a − 2b) − (a+b) = 2a − 3b.

Substituindo na fórmula do termo geral, obtemos

a5 = a + b + (5 − 1)(2a − 3b) = a + b + 8a −12b = 9a − 11b

Assim, o quinto termo é a5 = 9a − 11b.

4. Um garoto, dentro de um carro em movimen-to, observa a numeração das casas do outrolado da rua, começando por 2, 4, 6, 8. Derepente, passa um ônibus em sentido con-trário, obstruindo a visão do garoto de formaque quando ele voltou a ver a numeração, jáestava em 22.

a) Pode-se afirmar que a sequência de númerosé uma sequência aritmética? Por quê?

b) Quantos números o garoto deixou de ver?

Solução:

a) Sim, pois temos que o primeiro número queo garoto vê é 2, que chamaremos de a1, osegundo é a2 = 4, o terceiro é a3=6, ...

E podemos observar que

a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = 2.

Logo concluímos que a numeração que ogaroto vê está na forma de uma ProgressãoAritmética de razão r = 2.

b) Para saber quantos números o garoto ficousem ver, basta calcular os termos da PA esubtrair pelos termos que o garoto já tinhavisto.

Assim, 22 = 2 + (n − 1)2 = 11, logo n = 11portanto a PA possui 11 termos até o nú-mero 22.

Subtraindo o total de termos da PA pelostermos já vistos, obtemos:

11 − 5 = 6

Assim, o garoto ficou sem ver a numeraçãode seis casas.

5. Para inserir todos os múltiplos de 5, que estãoentre 21 e 623, montaremos uma tabela.

Solução:

Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é a1 = 25, o últi-mo múltiplo de 5 é an = 620 e a razão é r = 5.Substituindo os dados na fórmula an = a1 + (n− 1)r, obteremos 620 = 25 + (n − 1)5 de ondesegue que n=120, assim o número de múlti-plos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120. Sendoassim, temos que a PA procurada será

C5 =( 25, 30, 35, ..., 615, 620 )

6. Quantos múltiplos de 3 existem entre 100 e500?

Temos que o primeiro múltiplo de 3 maior que100 é a1 = 102

Solução:

O último múltiplo de 3 pertencente ao intervalodado é 498, que indicaremos por an, pois nãoconhecemos sua posição na seqüência.Assim, an = 498

Retomando, queremos determinar o númerode termos (n) da seqüência (102,105,...,498).Pelo termo geral da P.A., temos:

an = a1 + (n − 1)r ⇒ 498 = 102 + (n − 1).3⇒ n = 3

7. Calcular o número de termos da PA definidapor (5,10,...,785 ).

Solução:

Como a1=5, an=785 e r=5, então,

785 = 5+(n − 1)5 = 5n, logo,

n = 157.

Portanto o número de termos desta PA derazão r = 5 entre 5 e 785 é igual a 157.

21 25 30 ... 615 620 623

a1 a2 ... an − 1 an

87

1. (MACK–SP) O trigésimo primeiro termo de umaprogressão aritmética de primeiro termo 2 erazão 3 é:

a) 63; b) 65;

c) 92; d) 95;

e) 98.

2. (FEI–SP) A razão de uma PA de 10 termos, cujoprimeiro termo é 42 e o último é –12, vale:

a) −5; b) −9;

c) −6; d) −7;

e) 0.

3. O termo geral de uma PA é dado por an = 2n – 1.Então, o terceiro termo da PA vale:

a) 2; b) 3;

c) 5; d) 6;

e) 4.

4. (MACK–SP) O produto das raízes da equaçãox² + 2x − 3 = 0 é a razão de uma PA deprimeiro termo 7. O 100.o termo dessa PA é:

a) −200; b) −304;

c) −290; d) −205;

e) −191.

5. (PUC–PR) Se em uma PA de 7 termos, derazão K, retirarmos o segundo, terceiro, quintoe sexto termos, a sucessão restante é uma PAde razão:

a) k; b) 2k;

c) k/2; d) 3k;

e) 5k.

6. O número de termos n de uma PA finita, cujoprimeiro termo é 1, o último 17 e cuja razão é r= n − 1, vale:

a) 4; b) 5;

c) 7; d) 8;

e) 12.

7. Numa PA de n termos e razão r, temos a1= −2/15, an = 2/3 e r . n = 1. Então, r e n valem,respectivamente:

a) 1/5 e 5; b) 1/3 e 3;

c) 1/6 e 6; d) 1/7 e 7;

e) 1/9 e 9.

8. (UFPA) Numa progressão aritmética, temos a7 = 5 e a15 = 61. Então, a razão pertence aointervalo:

a) [8,10]; b) [6,8[;

c) [4,6[; d) [2,4[;

e) [0,2[.

9. A razão de uma PA, na qual a3 + a5 = 20 ea4 + a7 = 29, vale:

a) 3; b) 5;

c) 7; d) 9;

e) 11.

10. (FGV–SP) A soma do 4.º e 8.º termos de PA é20; o 31.º termo é o dobro do 16.º termo.Determine a PA:

a) (−5, −2, 1, ...)

b) (5, 6, 7, ...)

c) (0, 2, 4, ...)

d) (0, 3, 6, 9, ...)

e) (1, 3, 5, ...)

11. A soma do 2.º e do 4.º termos de uma PA é 15e a soma do 5.º e 6.º termos é 25. Então, o 1.ºtermo e a razão valem respectivamente:

a) 7/3 e 3; b) 7/4 e 4;

c) 7/2 e 2; d) 7/5 e 5;

e) 7/6 e 6.

12. (PUC–PR) Calculando o número de termos deuma PA, onde o primeiro termo é 0,5 , o últimotermo é 45,5 e a razão é 1,5, obtém-se:

a) 45; b) 38;

c) 43; d) 31;

e) 57.

Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas

13. (UFRS) O número de múltiplos de 7 entre 50 e1206 é:

a) 53; b) 87;

c) 100; d) 165;

e) 203.

14. (FAAT) A quantidade de números compreendi-dos entre 1 e 5000, que são divisíveis por 3 e7, é:

a) 138; b) 238;

c) 137; d) 247;

e) 157.

TEMA 26

PA MONÓTONA

Progressões Aritméticas Monótonas

Quanto à monotonia, uma PA pode ser:

1. Crescente:

se para todo n ≥ 1: r > 0, an < an + 1

2. Constante:

se para todo n ≥ 1: r = 0, an + 1 = an

3. Decrescente:

se para todo n ≥ 1: r = 0, an + 1 < an

Exemplos:

Exemplo 1:

A PA definida por C = (2,4,6,8,10,12) é cres-cente, pois r = 2 e, além disso, a1 < a2 < ... <a5 < a6.

Exemplo 2:

A PA finita G=(2,2,2,2,2) é constante.

Exemplo 3:

A PA definida por (2,0,−2,−4,−6) é decrescentecom razão r = −2 e a1 > a2 > ... > a4 > a5.

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UEA – Licenciatura em Matemática

PARA EXERCITAR

1. Verificar se as progressões abaixo são PA.Quando for, diga se é crescente ou decres-cente:

a) (100, 101, 109, 110, 119, 120...)

b) (10, 20, 30, 40, 50, 60...)

c) (−15, −10, −5, 0, 5, 10...)

d) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...)

e) (10, 6, 2, −2, −6...)

f) (16, 25, 36, 43, 52, 61...)

2. Em uma PA com m termos, mostrar que a ra-zão r pode ser escrita na forma

.

TEMA 27

EXTREMOS E MEIOS EM UMA PA

Em uma Progressão Aritmética (finita) dadapor C = (a1,a2,a3,....,am), os termos a1 e am sãodenominados extremos enquanto os demais:a2, a3, ..., am − 2, am − 1 são os meios aritméticos.

Exemplo:

Na PA definida por C=(1,3,5,7,9,11), os núme-ros 1 e 11 são os extremos, e os números 3, 5,7 e 9 são os meios aritméticos.

Termos eqüidistantes dos extremos

Em uma PA com m termos, dois termos sãoeqüidistantes dos extremos se a soma dosseus índices é igual a m+1 e, sob essas con-dições, são eqüidistantes dos extremos os pa-res de termos a1 e am, a2 e am − 1, a3 e am − 2, ...

Se a PA possui um número de termos m que é

par, temos pares de termos eqüidistantes

dos extremos.

Exemplos:

Exemplo 1:

A PA definida por C = (4,8,12,16,20,24), possuium número par de termos, e os extremos sãoa1 = 4 e a6 = 24, assim:

a2 + a5 = 8 + 20 = 28 = a1 + a6

a3 + a4 = 12 + 16 = 28 = a1 + a6

a4 + a3 = 16 + 12 = 28 = a1 + a6

a5 + a2 = 20 + 8 = 28 = a1 + a6

Se o número m de termos é impar, temos

pares de termos eqüidistantes e ainda teremos

um termo isolado de ordem que é

eqüidistante dos extremos.

a1 a2, a3, ..., am − 2, am − 1 am

meios aritméticos

89

Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas

90

UEA – Licenciatura em Matemática

Exemplo 2:

Na PA C = (1,3,5,7,9) os números 1 e 9 são osextremos da PA, e os números 3, 5 e 7 são osmeios da PA. O par de termos eqüidistantesdos extremos é formado por 3 e 7, e, alémdisso, o número 5 que ficou isolado também éeqüidistante dos extremos.

Exemplo 3:

A PA definida por C=(4,8,12,16,20) possui umnúmero ímpar de termos, e os extremos são a1

= 4 e a5 = 20, logo

a2 + a4 = 8 + 16 = 24 = a1 + a5

a3 + a3 = 12 + 12 = 24 = a1 + a5

a4 + a2 = 16 + 8 = 24 = a1 + a5

TEMA 28

REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DOS TERMOSDE UMA PA

Para facilitar a resolução de alguns problemasem PA, utilizaremos as seguintes notações :

a) três termo em P.A.: (x−r, x, x+r)

b) quatro termos em P.A.: (x, x+r, x+2r, x+3r)

c) cinco termos em P. A.: (x−2r, x−r, x, x+r,x+2r)

1. Dividir 195 em três partes que formem umaprogressão aritmética, de modo que a terceiraexceda a primeira de 120.

Solução:

A escolha de três elementos em PA deve ser:

x – r, x e x + r.

Como o problema requer a divisão de 195 emtrês partes, então a soma de (x - r) + x + (x +r) = 195 e portanto

3x = 195, o que dá x = 65.

Como também o terceiro termo é igual aoprimeiro mais 120, temos:

x + r = x – r + 120 e daí x + r – x + r = 120ou 2r = 120 ou r = 60.

Logo, o primeiro termo x – r é 65 – 60 = 5, osegundo é 65 e o terceiro x + r é 65 + 60 =125.

As três partes de 195 são 5, 65 e 125.

2. Obter uma PA de três termos cuja soma é iguala 12 e cujo produto seja igual a 60.

Solução:

Representando os termos em PA, temos

(x − r, x, x + r), logo,

x − r +x + x + r = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4

91

(x − r).x.(x + r) = 60 ⇒ x(x2 − r2) = 60 ⇒

⇒ 4 = 4(42 − r2) = 60 ⇒ 42 − r2 = 15 ⇒

−r2 = −1 ⇒ r = ± 1

Assim, obtivemos duas soluções:

(3,4,5) para x = 4 e r = 1 e

(5,4,3,) para x = 4 e r = −1.

3. A soma dos cinco termos consecutivos de umaPA crescente é 15, e o produto dos extremos éigual a 5. Determinar esses termos.

Solução:

Representando os cinco termos em PA, temos:

(x − 2r, x − r, x, x + r, x + 2r), logo,

x − 2r + x − r + x + x +r + x + 2r = 15 ⇒ 5x= 15 ⇒ x = 3

(x − 2r).(x + 2r) = 5 ⇒ x2 − 4r2 = 5 ⇒

⇒ 32 − 4r2 = 15 ⇒ 9 − 4r2 = 15 ⇒

r2 = 1 ⇒ r = ± 1

Como a PA é crescente, r = 1. Assim, a solu-ção é:

PA (1,2,3,4,5)

PARA EXERCITAR

1. Determine três números em PA, sabendo que oelemento central é 4 e o produto entre eles é28.

2. A soma dos quadrados de três números em PAcrescente é igual a 116, e o produto dos ter-mos extremos é 32. Qual é a PA?

3. Encontre cinco números em PA, cuja somaseja 30, e o produto do primeiro pelo terceiroseja 18.

4. Escreva cinco números em PA, sabendo que asoma dos termos extremos é 18 e o produto dosegundo pelo quarto termo é igual a 56.

5. As medidas dos lados de um triângulo retângu-lo estão em PA, de razão 3. Qual a hipotenusa?

6. Uma dívida deve ser paga em três prestações,de forma que esses valores estejam em PA.

Sabendo que a 3.a prestação deve ter R$100,00 a mais do que a 1.a e que a soma dasduas últimas deve ser igual a R$ 1050,00,determine o valor da divida.

7. Uma ancião pediu a um matemático que o aju-dasse a resolver o seguinte problema de he-rança:

A quantia de 1800 U.M. (unidades monetárias)deveria ser dividida entre seus quatro filhos, demodo que as quantias distribuídas estivessemem PA e fossem proporcionais às idades dosfilhos. O ancião, porém, esqueceu as idadesde dois de seus filhos, lembrando apenas queo menor tem seis anos e que o maior, 66 anos.Como será dividida a herança? Determine tam-bém a idade dos outros dois filhos.

Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas

92

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 29

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar k meios aritméticos entre os núme-ros a e b significa obter uma PA com k+2 ter-mos cujos extremos são a e b, sendo que a éo primeiro termo, e b é o (último) termo deordem k+2. Para realizar a interpolação, bastadeterminar a razão da PA.

1. Para interpolar 6 meios aritméticos entre a = −9e b = 19, é o mesmo que obter uma PA tal que

a1 = −9, am = 19 e m = 8. Como ,

então e assim a PA

C = ( −9, −5, −1, 3, 7, 11, 15, 19 )

2. Interpolar 10 meios aritméticos entre 5 e 38:

Solução:

Para interpolar 10 números entre 5 e 38, teremos:

5 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 38

Isso quer dizer que a PA terá 12 termos, então:

a1 = 5 e a12 = 538 r = ?, logo,

a12 = a1 + (12 − 1)r

38 = 5 + 11r

38 − 5 = 11r

33 = 11r ⇒ ⇒ r = 3

Dessa forma, os meios aritméticos procuradossão 8,11,14,17,20,23,26,29,32 e 35

4. Quantos meios devemos interpolar entre 112 e250 para termos uma PA de razão 23?

Solução:

Temos,

a1 = 112, an = 250 e r = 23, logo,

an = a1 + (n − 1)r

250 = 112 + (n − 1)23

250 − 112 = 23n − 23

138 + 23 = 23n

161 = 23n ⇒ n = ⇒ n = 7

Sendo assim, devemos interpolar 7 meios arit-méticos.

1. Interpolando-se 6 meios aritméticos entre 100e 184, a razão encontrada vale:

a) 11; b) 12;

c) 15; d) 17;

e) 19.

2. (POLI) Inscrevendo-se nove meios aritméticosentre 15 e 45, o sexto termo da PA será igual á:

a) 18; b) 24;

c) 36; d) 27;

e) 30.

3 A quantidade de meios aritméticos que se po-de inserir ente 15 e 30, tal que a razão tenhavalor 3, é:

a) 3; b) 2;

c) 4; d) 5;

e) 9.

4. (PUC) A quantidade de meios aritméticos quese devem interpolar entre -a e 20a, a fim de seobter uma PA de razão 7, é

a) 3 a −2 b) 3 a −1

c) 3 a d) 3 a + 2

e) 3 a + 2

5. (CEFET-PR) Inserindo-se K meios aritméticosentre 1 e K2, obtém-se uma progressão aritmé-tica de razão:

a) 1 b) k

c) k − 1 d) k+1

e) k2

93

TEMA 30

SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DEUMA PA

Em uma PA, a soma de dois termos eqüidis-tantes dos extremos é igual à soma dos ex-tremos desta PA. Assim:

a2 + am − 1 = a3 + am − 2 = a4 + am − 3 = ....

.... = an + am − n + 1 = ... = a1 + am

Seja a soma Sn dos n primeiros termos da PA,dada por

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an − 2 + an − 1 + an

Como a soma de números reais é comutativa,escrevemos:

Sn = an + an − 1 + an − 2 + ... + a3 + a2 + a1

Somando, membro a membro, as duas últimasexpressões acima, obtemos:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an − 1) + ... +

+ (an − 1 + a2) + (an + a1)

Como todas as n expressões em parêntesessão somas de pares de termos eqüidistantesdos extremos, segue que a soma de cadatermo sempre será igual a (a1 + an), então:

2Sn = (a1 + an)n

Assim, temos a fórmula para o cálculo da somados n primeiros termos da PA.

1. Determine a soma dos 30 primeiros termos daPA definida por C = (2,5,8,....).

Solução:

Sendo a1 = 2, r = 3 e n = 30, vamos determi-nar o termo a30. Fazendo uso da fórmula dotermo geral, temos:

a30 = 2 + (30 − 1)3 = 2 + 29 . 3 = 89

Aplicando a fórmula da soma, obtida acima,temos:

2. O primeiro termo de uma PA é 100, e o trigési-mo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros ter-mos?

Solução:

a1 = 100, a30 = 187 n = 30 S30 = ?

Aplicando a fórmula da soma, temos:

3. Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12primeiros termos desta PA:

Solução:

a1 = 21, r = 7 S12 = ?

Colocando na fórmula da soma, vemos queestá faltando um dado. Qual o valor de a12?Então, antes de tudo, devemos calcular o valorde a12.

a12 = a1 =+ (12 − 1)7

a12 = 21 + 77

a12 = 98

Agora sim, podemos colocar na fórmula dasoma:

4. A soma dos n primeiros termos de uma PA édada por Sn = n2 + 2n. Calcule o 13.o termodesta PA :

Solução:

Para calcularmos o 13.o termo desta PA, deve-mos saber o valor do primeiro termo (a1) e ovalor da razão; para isso, vamos utilizar a fór-mula dada.

Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas

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UEA – Licenciatura em Matemática

O que devemos fazer é substituir primeiro “n”por 1; isso dá

S1 = 12 + 2 . 1

S1 = 3.

Como S1 significa a soma de todos os termosaté a1, e como não existe nenhum antes de a1,o resultado encontrado é o próprio valor dele(a1 = 3).

Se substituirmos “n” por 2, temos:

S2 = 22 + 2 . 2

S2 = 8

S2 significa a soma de todos os termos até a2,então é igual a a1 + a2. Como já sabemos ovalor de a1, vem:

S2 = a1 + a2 = 8

3 + a2 = 8

a2 = 5

Se a1 = 3 e a2 = 5, a razão só pode ser 2.Agora, podemos achar o 13.o termo: é só subs-tituir na fórmula do termo geral:

an = a1 + (n − 1)r

a13 = 3 + (13 − 1)2

a13 = 3 + 24

a13 = 27

5. Um operador de máquina chegou 30 minutosatrasado ao seu posto de trabalho, mas comoa máquina que ele monitora é automática,começou a trabalhar na hora programada.

a) Sabendo-se que a máquina produz 10n

peças por minuto, em que n é o número deminutos, quantas peças a máquina produ-ziu até a chegada do operador?

b) Sabendo-se que depois de 1 hora amáquina produz a mesma quantidade depeças, quantas peças terá feito a máquinaao fim do expediente de 4 horas?

Solução:

a. Sabemos que a máquina produz 10n peçaspor minuto, o que quer dizer que a cadaminuto a produção de peças aumenta.

Também sabemos que o operador chegou

30 minutos atrasado ao seu posto.

Portanto, se olharmos os minutos como ter-mos de uma seqüência finita de números eidentificarmos por an o número total depeças produzidas até o termo n (an = 10n),teremos que a produção das peças está emfunção dos termos ou que depende dos ter-mos da seqüência.

Assim, teremos que:

para n = 1, a1 = 10,

para n = 2, a2 = 100 e

para n = 3, a3 = 1000.

Observamos também que

Desse modo, temos uma seqüência de nú-meros em Progressão Geométrica de razão10.

Portanto, para obter o total de peças pro-duzidas até a chegada do operador, bastaaplicar os dados acima na fórmula da Somade uma PG finita.

b. Para calcularmos quanto a máquina pro-duziu em 4 horas, primeiro teremos que cal-cular quanto ela produziu em 1 hora;depois, multiplicarmos por 4.

Sabemos que depois de uma hora o totalde peças por hora é constante.

Assim,

Logo, o total de peças produzidas durante 4horas é:

1. (UFPI) A soma dos números pares de 2 a 400é igual á:

a) 7432; b) 8200;

c) 40200; d) 80200;

e. 20400.

2. Em uma PA, a soma dos termos é 70, o pri-meiro termo é 10 e a razão é 5. O número determos é:

a) 10; b) 8;

c) 4; d) 12;

e) 16.

3. (FATEC–SP) Se o tremo geral de uma PA éan = 5n − 13, com n imagem imagem imagemimagem imagem imagem imagem imagemimagem IN*, então a soma de seus 50primeiros termos é:

a) 5850; b) 5725;

c) 5650; d) 5225;

e) 5150.

4. (PUC) A soma dos n primeiros termos de umaPA é n2 + 2n. O 10.º termo dessa PA vale:

a) 17; b) 18;

c) 19; d) 20;

e) 21.

5. A soma dos termos de uma PA, cujo primeirotermo é 4, o último termo é 46 e a razão é igualao número de termos é:

a) 50; b) 100;

c) 175; d) 150;

e) 195.

6. (FGV) A soma dos 50 primeiros termos de umaPA, na qual a6 + a45 = 160, vale:

a) 3480; b) 4000;

c) 4320; d) 4200;

e) 4500.

7. O número de termos que devemos tomar naPA (−7, −3, ...) a fim de que a soma valha3150 é:

a) 38; b) 39;

c) 40; d) 41;

e) 42.

8. (PUC–RS) Um teatro têm 18 poltronas na pri-meira fila, 24 na segunda, 30 na terceira eassim na mesma seqüência , até a vigésimafila, que é a última. O número de poltronasdesse teatro é:

a) 92; b) 150;

c) 1500; d) 132;

e) 1320.

9. (FATEC) A soma de todos os números natu-rais, não nulos, não maiores que 600 e nãomúltiplos de 5, é:

a) 180300; b) 141770;

c) 144000; d) 136415;

e) 147125.

10. (FGV–SP) Sabendo que a soma do segundo edo quarto termos de uma progressão aritméti-

ca é 40 e que a razão é do primeiro termo,

a soma dos dez primeiros temos será:

a) 350; b) 270;

c) 400; d) 215;

e) 530.

11. (MACK–SP) Se a soma dos 10 primeiros ter-mos de uma progressão aritmética é 50 e asoma dos 20 primeiros termos é 50, então asoma dos 30 primeiros termos é:

a) 0; b) 50;

b) 150; d) 25;

e) 100.

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Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas

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UEA – Licenciatura em Matemática

Johann Carl Friedrich Gauss

* 30 de Abril de 1777, em Braunschweig, Alemanha

+ 23 de Fevereiro de 1855, em Göttingen, na Alemanha

Carl Friedrich Gauss nasceu num casebre,em Brunswick (Braunschweig, Alemanha).Seu pai Gerhard Diederich era jardineiro e pe-dreiro. Severo e brutal, tudo fez para impedirque seu filho desenvolvesse seu grande po-tencial, foi salvo por sua mãe Dorothea e seutio Friederich, o qual logo percebeu a inte-ligência do sobrinho.

Tinha memória fotográfica tendo retido asimpressões da infância e da meninice nítidasaté a sua morte. Ressentia-se de que seu tioFriederich, um gênio, perdera-se pela morteprematura. Aos dois anos, impressionava atodos que acompanharam o seu desenvolvi-mento. Antes dos três anos, corrigiu umalonga soma que seu pai fazia, ao seu lado,em voz alta, do pagamento aos trabalhadoressob sua responsabilidade. Gerhard ouviu sur-preso o menino dizer: “Pai, a conta está erra-da, deveria ser...” Repetindo a conta, viu queo menino estava certo.

Antes disso ele já aprendera a ler e a somarsozinho. Aos sete anos, entrou para a escola.Seu diretor Butner utilizava o espancamentocomo método de ensino. Aos dez anos, elefoi admitido na classe de aritmética. Na pri-meira aula, sem que os alunos ali presentes

jamais tivessem ouvido falar de uma pro-gressão aritmética, Butner deu-lhes um longoproblema de soma, cujo resultado, através deuma fórmula, poderia ser encontrado emalguns segundos. O problema era o seguinte:81297 + 81395 + 81693 + ......... + 100899,em que a diferença de um número para opróximo era sempre a mesma (aqui 198), eum determinado número de termo (aqui 100)para ser somado, o que tornava a obtençãodo resultado simples, caso se soubesse este“macete”.

Disse o professor: “Quem for terminando, vácolocando a lousa sobre a minha mesa.”Terminado o ditado, Gauss colocou sua lousana mesa. Ele pensou: “mais um aluno idiota”.Quando foi verificar as respostas na lousa deGauss estava apenas um único número, ocerto. Ele descobrira, instantaneamente, omacete. Todos os outros alunos tinham enor-mes somas... erradas. Butmer ficou tão atôni-to com a proeza de um menino de dez anosque pagou do próprio bolso livros de aritméti-ca para ele, que os absorvia instantanea-mente. Reconhecendo que fora ultrapassadopelo aluno, passou o ensino para seu jovemassistente, Johann Martin Bartels (1769-1856), apaixonado pela matemática. EntreBartels com dezessete anos e o aluno de deznasceu uma boa amizade que durou toda avida. Eles estudavam juntos, ajudando-se umao outro em suas dificuldades.

O encontro de Gauss com o teorema binômioinspirou-o para alguns de seus maiores tra-balhos, tornando-se ele o primeiro “rigorista”.Insatisfeito com o que ele e Bartels encon-travam em seus livros. Gauss foi além e ini-ciou a análise matemática.

Nenhum matemático anterior tinha a menorconcepção do que é agora aceitável comoprova, envolvendo o processo infinito. Ele foio primeiro a ver que a “prova” que pode levara absurdos como “menos 1 é igual ao infinito”não é prova nenhuma. Mesmo que, emalguns casos, uma fórmula dê resultadosconsistentes, ela não tem lugar na matemáti-ca, até que a precisa condição sob a qual ela

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continuará a submeter-se, consistentemente,tenha sido determinada. O rigor imposto porGauss à análise superou toda a matemática,tornando-a totalmente diferente dos que oantecederam.

Aos doze anos, ele já olhava com desconfi-ança para os fundamentos da geometriaEuclidiana; aos dezasseis, já havia tido seuprimeiro vislumbre de uma geometria dife-rente da de Euclides. Um ano mais tarde,começou uma busca crítica das provas, nateoria dos números, que tinham sido aceitaspor seus predecessores, e tomou a decisãode preencher os vazios e completar o quetinha sido feito pela metade. Aritmética, ocampo de seus primeiros triunfos, tornou-seseu estudo favorito e o campo de sua obra-prima. Para que a prova fosse absoluta-mente certa, Gauss acrescentou uma fecun-da e engenhosa matemática que nunca foisuperada.

Bartels apresentou-o a alguns influenteshomens em Brunswick que, impressionados,levaram-no para que Carl Wilhelm Ferdinand,Duque de Brunswick, o conhecesse. ODuque de Brunswick imediatamente asse-gurou que sua educação no CollegiumCarolinum continuaria até ser completada.Nos três anos em que ali esteve, dominou osmais importantes trabalhos de LeonhardEuler, Lagrange e, acima de tudo, o Princípiode Newton. Por seus estudos redescobriu, efoi o primeiro a provar, “a jóia da aritmética,”o “theorema aurum”, conhecido como a lei dareciprocidade do quadrado, que Euler tinhainduzido e Legendre tentara provar sem qual-quer resultado. Com a idade de quinze anos,fez um grande avanço em línguas clássicasestudando sozinho e com a ajuda de amigosmais velhos. Teve a oposição de seu pai, masDorothea Gauss venceu a resistência do mari-do, e o Duque patrocinou dois anos de cursono Gymnasium. Ali ele assombrou a todospor sua maestria nos clássicos.

Tinha inventado (aos dezoito anos) o métodode mínimos quadrados, que hoje é indispen-sável em pesquisas geodésicas, e em todos

os trabalhos em que o “mais provável” valor,de alguma coisa que é medida, é deduzidoapós um grande número de medidas. Gaussdividiu o mérito com Legendre que publicou ométodo independentemente em 1806. Estetrabalho foi o começo do interesse de Gaussna teoria dos erros de observação. A lei deGauss da normal distribuição de erros e suacurva em formato de sino que a acompanha,é hoje familiar para todos que trabalham comestatística.

A decisão sobre o seu verdadeiro caminho,se o da filologia ou da matemática foi feita em30 de Março de 1796, quando começou seudiário científico, que representa um dos maispreciosos documentos da história damatemática. O estudo de línguas passou aser um passatempo para o resto de sua vida.O diário só foi conhecido pela ciência em1898, quarenta e três anos depois de suamorte, quando a Sociedade Real deGöttingem pediu-o emprestado a um neto deGauss para estudo crítico. Ali se encontramdezenove pequenas páginas e contém 146extremamente resumidos registros dedescobertas ou resultados de cálculos, o últi-mo deles datado de de 1814.

Nem todas as descobertas de Gauss noperíodo prolífico de 1796 a 1814 foram ano-tadas, mas muitas das que ele rascunhouchegam para estabelecer a prioridade deGauss em vários campos (funções elípticas,por exemplo), temas que alguns de seus con-temporâneos recusaram-se a acreditar queele os havia precedido.

Muito ficou encerrado anos ou décadas nestediário. Nunca reivindicou a autoria de des-cobertas a que ele se antecipara (algumas setornaram importantes campos da matemáticano século XIX). No diário, há anotações muitopessoais, como por exemplo, no dia 10 dejulho de 1798, há o seguinte registro: EYPH-KA! NUM = v + v + v. Traduzindo-se: Eureka!Todo numero positivo é a soma de trêsnúmeros triangulares.

Embora o sentido de alguns registros estejaperdido para sempre, a maior parte é suficien-

Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas

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UEA – Licenciatura em Matemática

temente clara, algumas nunca publicadas,disse ele, por considerar seus trabalhos cien-tíficos apenas como resultado de profundacompulsão de sua natureza. Publicá-los parao conhecimento de outros lhe era inteira-mente indiferente. Disse também que um talvolume de novas idéias trovejaram em suamente, antes de ter completado vinte anos ,que, dificilmente, poderia controlá-las, só ha-vendo tempo de registrar uma pequenafração delas.

Gauss apresentava provas sintéticas e con-clusões indestrutíveis de suas descobertas àsquais nada poderia ser acrescentando ou reti-rado. Uma catedral não é uma catedral –disse – até que o último andaime tenha sidoretirado. Com este ideal diante de si, Gausspreferia polir sua obra muitas vezes, em vezde publicar um grosseiro esboço. Seu princí-pio era: uma árvore com poucos frutos madu-ros (Pauca sed matura). Os frutos deste es-forço em busca da perfeição estavam, na ver-dade, maduros, mas nem sempre facilmentedigeríveis. Todos os passos pelos quais o goltinha sido atingido tinham sido omitidos, nãoera fácil para seus seguidores redescobrir aestrada pela qual ele tinha caminhado. Con-seqüentemente, alguns de seus trabalhostiveram que esperar por intérpretes altamentequalificados antes que o mundo da matemáti-ca pudesse entendê-los.

Só os matemáticos do século XIX conscienti-zaram-se quanto Gauss tinha previsto antesde 1800. Caso ele tivesse divulgado o quesabia, é possível que a matemática estariameio século mais adiantada do que seencontra. Niels Henrik Abel e Jacobi poderi-am ter começado de onde Gauss terminou,ao invés de terem que redescobrir o queGauss já sabia antes que eles tivessemnascido. Os três anos (outubro de 1795 asetembro de 1798) na Universidade deGöttingen foram os mais prolíficos da vida deGauss. Graças a generosidade do DuqueFerdinand, o jovem não teve que se preocu-par com finanças. Em, setembro de 1798, foipara a Universidade de Helmstedt, tendo

sido precedido por sua fama, hospedou-sena casa do professor de Matemática JohannFriedrick Pfaff (1765-1825).

No outono europeu de 1798, aos 21 anos,finalizou a Disquisitiones. O livro só foi publi-cado em setembro de 1801. Em agradeci-mento por tudo que Ferdinand lhe haviafeito, Gauss dedicou seu livro ao Duque –Sereníssimo Pricipi ac Domino CaroloGuiliermo Ferdinando. Foi uma justa home-nagem àquele que o salvara tantas vezes(arranjando alunos, pagando pela impres-são de sua dissertação do dutorado (Uni-versidade de Helmstedt, 1799), assegurouuma modesta pensão que lhe permitiria con-tinuar seu trabalho científico livre dos obs-táculos da pobreza...) Gauss escreveu emsua dedicatória “Sua bondade libertou-mede outras responsabilidades e permitiu queeu me dedicasse exclusivamente a este tra-balho.”

Disquisitiones representou seu adeus àmatemática pura, como seu interesse exclusi-vo. O livro é de difícil leitura, até mesmo paraespecialistas, mas os tesouros que contémestão agora disponíveis graças ao trabalhodo amigo e discípulo de Gauss, Peter GustavLejeune Dirichlet (1804-1859).

Expandiu sua atividade para incluir os aspec-tos matemáticos e práticos na astronomia,geodésica e eletromagnetismo. O segundogrande estágio da carreira de Gausscomeçou no primeiro dia do século deze-nove, também um grande marco na históriada filosofia e astronomia quando GiuseppePiazzi (1746-1826) de Palermo, no dia daabertura do século dezenove, reconheceu oque tinha sido inicialmente tomado por umpequeno cometa aproximando-se como umnovo planeta – mais tarde denominado oprimeiro do fervilhante número de menoresplanetas hoje conhecidos. A descobertadeste novo planeta originou um sarcásticoataque aos astrônomos que presumiam aexistência de um oitavo planeta. Disse Hegel:“Poderiam eles dar alguma atenção àfilosofia? Se o fizessem, reconheceriam ime-

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Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas

diatamente que só podem existir sete plane-tas, nem mais nem menos. Sua busca, por-tanto, é uma estúpida perda de tempo”.

Gauss desprezava os filósofos que se ocu-pavam de assuntos científicos, por eles nãocompreendidos. E levou a sério a existênciade Ceres. Seus amigos e seu pai estavamimpacientes para que o jovem Gauss encon-trasse algum trabalho lucrativo, agora que oDuque já dera por terminada sua ajuda. Estenovo planeta descoberto encontrava-se numaposição que tornava extremamente difícil suaobservação. Calcular sua órbita com tão es-cassos detalhes disponíveis poderia serquase impossível. Mas para o jovem cuja me-mória inumana capacitava-o a dispensar umatábua de logaritmos quando ele estava apres-sado toda esta aritmética infinda – logística,não aritmética – não assustava. Era, ao con-trário, um desafio tentador, que lhe daria famae dinheiro. Após vinte anos de trabalho, Ceresfoi redescoberta, precisamente onde os en-genhosos e detalhados cálculos de Gausstinham predito que ela seria encontrada.Pallas, Vesta e Juno, planetas insignificantesforam rapidamente captados pelos telescó-pios. Cálculos que haviam tomado três diasde trabalho a Leonhard Euler (tendo sido ditoque um deles o teria levado à cegueira) eramagora simples exercícios de algumas labo-riosas horas. Gauss prescreveu o método e arotina. Em 1809, ele publicou sua segundaobra-prima Teoria do Movimento dos CorposCelestiais Girando a volta do Sol, na qual seencontra uma exaustiva explanação da deter-minação das órbitas dos planetas e cometas.

Gauss não estava isento de inimigos. Foiridicularizado por aqueles que consideravamum desperdício de tempo computar a órbitade um planeta insignificante. Trinta anosdepois, quando Gauss assentou os funda-mentos da teoria matemática de eletromag-netismo e inventou o telégrafo elétrico foi,mais uma vez, ridicularizado.

O Duque de Bruswick aumentou a pensão,possibilitando seu casamento em outubro de1905, com a idade de vinte e seis anos, com

Johanne Osthof de Brunswick, transformandosua vida, como ele próprio disse a um amigo,numa eterna primavera com novas e bri-lhantes cores.

A morte do Duque Brunswick obrigou-o aencontrar algum forma de sobrevivência parasustentar sua família. Não foi difícil. Em 1807,ele foi designado diretor do Observatório deGöttingen com o privilégio – e dever, quandonecessário – de ensinar matemática aosalunos. O salário era modesto, mas sufi-ciente para suas necessidades e as de suafamília. O luxo nunca o atraiu, e sua vida nãose mo-dificara nos últimos vinte anos, tendoassim permanecido até a sua morte: em seuestúdio, uma pequena mesa com coberturaverde, uma mesa alta pintada de branco, umsofá estreito e, depois do seu septuagésimoaniversário, uma cadeira de braços comuma capa de veludo. Isso era tudo de queele precisava.

A péssima situação da Alemanha sob a pi-lhagem dos franceses e a perda de sua pri-meira mulher arruinaram a saúde de Gauss.Sua predisposição para hipocondria, agrava-da pelo trabalho incessante, piorou seu esta-do. Sua infelicidade nunca foi dividida comseus amigos. Para seu diário matemático, eleconfidenciou: “a morte seria mais querida doque tal vida”.

Então, quase exatamente após seu segundocasamento, o grande cometa de 1811, oprimeiro observado por Gauss, no crepús-culo do dia 22 de Agosto, brilhou sem sefazer anunciar. Foi a oportunidade de testaros instrumentos que Gauss tinha inventadopara dominar os planetas menores.

Seus instrumentos provaram ser adequados.Enquanto o povo supersticioso da Europa,com olhos apavorados, seguia o espetáculoquando o cometa arrastava sua cimitarra defogo na sua aproximação do Sol, vendo nabrilhante lâmina um aviso do céu de que o Reidos Reis estava irado com Napoleão e cansa-do da crueldade do tirano, Gauss teve a sa-tisfação de ver o cometa seguir a rota por elecalculada até o ultimo centímetro. Por seu

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lado, o crédulo povo viu comprovada suapredição, quando o Grande Exército deNapoleão Bonaparte foi destruído nas planí-cies geladas da Rússia. Este foi um dos rarosmomentos em que a explicação popular cabenos fatos dos quais resultam conseqüênciasmais importantes do que a científica.

Gauss obteve avanços significativos emgeometria e na aplicação da matemática paraa teoria Newtoniana da atração e eletromag-netismo. Como foi possível a um único ho-mem realizar tão colossal massa de trabalhoda mais alta categoria? Com sua modéstiacaracterística, Gauss declarou que “se outrostivessem pensado nas verdades matemáticastão profunda e continuamente quanto eu, elespoderiam, ter feito minhas descobertas”.

Ele disse que, durante quatro anos, rara-mente se passava uma semana sem que elenão despendesse algum tempo para fazeralguma descoberta. A solução finalmentevinha por si mesma como um relâmpago.Não se pode imaginar, entretanto, que aresposta tivesse surgido por si mesma comouma nova estrela, sem as horas despendidasem sua busca. Algumas vezes, depois depassar dias ou semanas sem qualquer resul-tado em alguma pesquisa, depois de umanoite de insônia, o resultado surgia inteiro,brilhando em sua mente. A capacidade paraintensa e prolongada concentração era partedo seu segredo.

A Geodesia deve a Gauss a invenção doheliótropo, um engenhoso aparelho pelo qualpoderiam ser transmitidos sinais pratica-mente instantâneos através da luz refletida.Os instrumentos astronômicos também rece-beram notável avanço por meio de suas nasmãos. E, como último exemplo da engenhosi-dade de Gauss, em 1833 ele inventou o telé-grafo elétrico, que ele e seu companheiro detrabalho Wilhem Weber (1804-1891) usavampara trocar mensagens.

Dava pouca importância ao uso prático desuas invenções. Gauss nunca foi atraído peloreconhecimento público oficial, embora suacompetência em estatística, seguro e aritméti-

ca política teriam feito dele um bom ministrode finanças.

Até sua última doença, ele encontrou comple-ta satisfação na ciência como simples re-creação. Tinha também grande interesse pelaliteratura européia, que lia nos originais, jáque dominava muitas línguas. O estudo delínguas estrangeiras e de novas ciências(inclusive botânica e mineralogia) era seupassatempo. Com a idade de sessenta e doisanos, ele começou um intensivo estudo deRusso sem a orientação de ninguém. Em doisanos, ele estava mantendo correspondênciacom amigos cientistas de São Petersburgointeiramente em russo. Na opinião dos russosque o visitavam em Göttingen, ele tambémfalava perfeitamente. Ele também tentou oSânscrito, mas não gostou. Atraia-o especial-mente a literatura inglesa, embora seu aspec-to mais sóbrio nas tragédias de WilliamShakespeare fosse demais para a aguda sen-sitividade do grande matemático para todasas formas de sofrimento. Ele buscava livrosmais felizes. Os livros de Sir Walter Scott (seucontemporâneo) eram devorados tão logopublicados. Uma grande gargalhada do as-trônomo matemático saudou o escorregão deSir Walter quando escreveu “a lua cheia le-vanta-se a noroeste” ´e ele levou dias cor-rigindo todas as cópias que encontrava.

Seu terceiro hobby, política mundial, tomava-lhe uma ou duas horas por dia. Visitando omuseu literário regularmente, ele se mantinhainformado de todos os eventos, lendo os jor-nais que o museu assinava. A maior fonte daforça de Gauss era sua serenidade científica,livre de ambição pessoal. Toda o seu inter-esse estava voltado para o avanço damatemática. Rivais duvidavam de sua declar-ação de que os tinha antecipado nadescoberta que faziam. Não dizia isso comjactância, mas como um fato real e não sepreocupava em comprovar a prioridade pormeio da apresentação de seu diário. Apenasdeclarava, apoiando-se em seus própriosméritos. Seus últimos anos foram cheios dehonrarias, mas não da felicidade que ele teria

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Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas

merecido. Pela primeira vez, em mais de vinteanos, ele deixou Göttingen no dia 16 dejunho, para ver a estrada de ferro que estavasendo construída entre sua cidade e Cassel.Gauss sempre tivera agudo interesse pelaconstrução e operação de estradas de ferro;agora, ele veria uma sendo construída. Nocaminho, os cavalos dispararam; ele foi atira-do para fora da carruagem. Não ficou ferido,mas muito chocado. Recuperando-se, aindateve o pra-zer de assistir à abertura das cer-imônias quando a estrada de ferro chegou aGöttingen, em 31 de julho de 1854.

No começo do ano seguinte, surgiram os sin-tomas de gota. Inteiramente consciente, prati-camente até o fim, morreu pacificamente namanhã de 23 de fevereiro de 1855.

Gauss é um dos matemáticos mais impor-tantes da história, intitulado Princeps mathe-maticorum, deixou trabalhos importantes emvárias disciplinas matemáticas e em outrasciências, com uma grande preocupação coma utilidade prática das teorias desenvolvidas.Gauss formou-se em 1795-98 na Universi-dade de Göttingen com uma bolsa de estu-dos do Duque de Braunschweig; em 1801,Gauss publicou sua Disquisitiones arithmeti-cae, que é considerado como o maior avançoprogressivo na matemática desde a época daGrécia antiga. A publicação mais importanteentre os trabalhos astronômicos foi a Theoriamotus corporum coelestium de 1809, em queGauss desenvolveu também o ‘Método dosMínimos Quadrados’ para o ajustamento deerros de observações. A partir de 1816,Gauss trabalhou também em levantamentostopográficos e trigonométricos do reinado deHannover, inventou o heliotropo, um espelhosolar para marcar pontos de triangulação, eaplicou seu método dos mínimos quadradospara a compensação dos erros de mediçãodos cálculos das redes de triangulação, edesenvolveu métodos para o cálculo de pro-jeções cartográficas, Projeção Gauss-Krüger.Para o cálculo simples de áreas, usando ascoordenadas dos pontos limites, Gaussdesenvolveu a Fórmula de área de Gauss.Além de outros trabalhos fundamentais na

ótica, mecânica, física e geometria, Gauss tra-balhou na Geodésia, desenvolvendo as fór-mulas básicas da teoria de potencial e dageometria diferencial de superficies curvas,publicado em 1827, na sua Disquisitiones criasuperficies curvas, que foi o fundamento paraas formulas do cálculo de ângulos e distân-cias na superfície do elipsóide terrestre.

UNIDADE XProgressões Geométricas

105

TEMA 31

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Enquanto a população humana cresce em pro-gressão geométrica, a produção de alimentoscresce em progressão aritmética.

(Thomas Malthus)

Introdução

A taxa de crescimento relativo de uma gran-deza é dada pela razão entre o seu aumento eseu valor inicial. Assim, uma grandeza quepassa do valor a para o valor b tem taxa de

crescimento relativo igual a .

Por exemplo, a taxa de crescimento relativo deuma grandeza que passa do valor 5 para o valor

8 é igual a 60%, pois %.

Neste tema, trataremos de seqüências quevariam com taxa de crescimento relativo cons-tante. Examine, por exemplo, a seguinte situ-ação-problema.

Em 2003, uma empresa produziu 200 milunidades de certo produto. Quantas unidadesproduzirá no período de 2003 a 2008, se oaumento de produção anual for sempre de10% em relação ao ano anterior?

Esquematizando o problema da seguinte for-ma, teremos:

• produção em 2003 = 200000l

• produção em 2004 = produção em 2003.1,10 = 200000 . 1,10 = 220000

• produção em 2005 = produção em 2004.1,10 = 220000. 1,10 = 242000

• produção em 2006 = produção em 2005.1,10 = 242000. 1,10 = 266200

• produção em 2007 = produção em 2006.1,10 = 266200. 1,10 = 292820

• produção em 2008 = produção em 2007.1,10 = 292820. 1,10 = 322102

Nessas condições, a produção anual, nesseperíodo, será representada pela seqüência(200000, 220000, 242000, 266200, 292820,322102).

Notamos que, nessa seqüência, cada termo, apartir do segundo, é obtido multiplicando otermo anterior por um número fixo (no caso1,10 ), ou seja, a produção anual teve uma taxade crescimento relativa constante de 10% emrelação do ano anterior.

Seqüências com tipo de lei de formação sãochamadas progressões geométricas. No exem-plo dado, o valor 1,10 é chamado de razão daprogressão geométrica e indicado por q (noexemplo, q = 1,10). Dizemos que os termosdessa seqüência estão progressão geométrica.

Definição

Progressão geométrica (PG)é toda seqüênciade números reais não-nulos em que é con-stante o quociente da divisão de cada termo (apartir do segundo) pelo termo anterior. Essequociente constante é chamado razão (q)daprogressão. Ou seja, uma PG é uma seqüênciana qual a taxa de crescimento relativo de cadotermo para o seguinte é sempre a mesma.

Notação

Sendo uma seqüência uma progressão geo-métrica, vamos denotar a mesma por:

(a1,a2,a3,a4,...,an−1,an,...) ou

A = (a1,a2,a3,a4,...,an−1,an,...)

Exemplos

1. A seqüência (2,10,50,250,...) é uma PG, emque o primeiro termo é a1 = 2 e a razãoq = 5. Obeserve que a2 = a1.5 = 2.5 = 10;a3 = a2.5 = 10.5 = 50 e assim por diante.

2. A seqüência (6,−12,24,−48,96) é uma PGde cinco termos, em que o primeiro termo éa1 = 6 e a razão q = −2, pois:

a1 = 6; a1.(−2) = 6.(−2) = −12;

a3 = a2 .(−2) = (−12) . (−2) = 24;

a4 = a3 .(−2) = 24 . (−2) = −48;

a5 = a4 .(−2) = (−48) . (−2) = 96

De modo geral, se a seqüência dada por

Matemática Elementar III – Progressões Geométricas

106

UEA – Licenciatura em Matemática

(a1,a2,a3,a4,...,an−1,an,...) for uma PG, temosque:

1. n indica uma posição na sequência n e tam-bém o índice para a ordem do termo geralan na seqüência.

2. an é o n-ésimo termo da PG, que se lê aíndice n.

3. a1 é o primeiro termo da PG, que se lê aíndice 1

4. a2 é o segundo termo da PG, que se lê aíndice 2.

5. q é a razão da PG, que pode ser obtida peladivisão do termo posterior pelo termo anterior,

ou seja,

1. Seja a PG finita, definida por G=(2,4,8,16,32).Obtemos a razão q=2 da PG com a divisão doconseqüente pelo antecedente, pois:

2. Para a PG definida por , a

divisão de cada termo posterior pelo anterior é

, pois:

3. Para a PG definida por T=(3,9,27,81), temos:

4. Obter a razão de cada PG:

a) (5,15,45,...)

b) (−12,−3,−0,75)

c)

Solução:

Para achar a razão, basta dividir um termo, apartir do segundo, por seu antecessor. Assim:

a)

b)

c)

5. Para a PG A = (10,100,1000,10000,...) temos:

6. Dados o termo a1 e a razão q, determinar oscinco primeiros termos de cada PG:

a) a1 = 4; q = 3

b) a1 = 20; q = −2

c)

d)

Solução:

Para determinar cada termo da PG, basta mul-tiplicar o termo anterior pela razão q. Portanto:

a) (4,12,36,108,324)

b) (20,-40,80,-160,320)

c)

d)

PARA EXERCITAR

1. Verifique se cada seqüência dada é uma PG.Em caso positivo, dê o valor da razão q.

a) (1,3,9,27,81,..)

b) (2,4,6,8,10,12,..)

c) (5,−10,20,-40,80,−160)

d)

2. As sequências são PG. Determine a razão decada uma delas:

a) (2,8,....)

b)

c) (−10,30,.....)

d)

Média geométrica

Dados n números reais positivos x1, x2, x3, ...,xn, definimos a média geométrica entre essesnúmeros, denotada pela letra g, como a raiz n-ésima do produto entre os números, isto é:

Na Progressão Geométrica, cada termo é amédia geométrica entre o antecedente e o con-seqüente do termo tomado, daí a razão de taldenominação para este tipo de seqüência.

TEMA 32

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PG

Sendo a seqüência (a1,a2,a3,a4,...,an−1,an,...)uma PG, observe que:

a1 = a1 = a1.q0

a2 = a1.q = a1.q1

a3 = a2.q = a1.q2

a4 = a3.q = a1.q3

.................

an = an − 1 . q = a1.qn − 1

.................

A partir disso, obtemos uma fórmula para otermo geral da PG, dada por:

an = a1qn − 1

1. Para obter o termo geral da progressão geo-métrica definida por E = (4,16,64,..),

tomamos a1 = 4 e a2 = 16. Assim .

Substituindo esses dados na fórmula do termogeral da progressão geométrica, obtemos:

an = a1qn − 1 = 41 . 4n − 1 = 4(n − 1)+1 = 4n

2. Para obter o termo geral da PG tal que a1 = 5e q = 5, basta usar a fórmula do termo geral daPG, para escrever:

an = a1qn − 1 = 51 . 5n − 1 = 5(n − 1)+1 = 5n

3. Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 asua razão, calcule o termo de ordem 8.

Solução:

a1 = 32, q = 2, a8 = ? e n = 8

Vamos usar a fórmula do termo geral:

an = a1qn − 1

a8 = a1q8 − 1

107

Matemática Elementar III – Progressões Geométricas

108

UEA – Licenciatura em Matemática

a8 = 32 × 27

a8 = 32 × 128

a8 = 4096

4. (FUVEST) Numa progressão geométrica dequatro termos positivos, a soma dos dois pri-meiros vale 1, e a soma dos dois últimos vale9. Calcule a razão da progressão.

Solução:

Temos, que:

a1 + a2 = 1

a3 + a4 = 9

q = ?

Vamos substituir todos os termos das duasequações acima pelos seus equivalentes nafórmula do termo geral:

a2 = a1q

a3 = a1q2

a4 = a1q3

Trocando os valores das equações dadas pe-los termos acima, ficamos com o seguinte sis-tema de equações:

a1 + a1q = 1 ⇒ a1 (1 − q) = 1

a1q2 + a1q3 = 9 ⇒ a1 (q2 + q3) = 9

Vamos dividir a primeira equação pela segunda:

Logo:

q2 + q3 = 9(1 + q)

q2(1 + q) − 9(1 + q) = 0

(q2 − 9) (1 + q) = 0

Assim,

q2 − 9 = 0 ∴ q = 3 ou q = −3

Como o problema diz que os termos desta PGsão positivos, temos que a razão é positiva;logo, o valor da razão é 3.

5. Determinar o 10.o termo da P.G. .

Solução:

Sabemos que e q =3.

Assim, pela expressão do termo geral, pode-mos escrever:

6. Numa PG, o 4.o termo é igual a 32, e o 1.o termo

é igual a . Vamos determinar a razão da PG

e, em seguida, obter seu 8.o termo.

Como a4 = a1 . q3, vem:

Usando novamente a expressão do termo geral,determinemos o 8.o termo.

6. Determinar o primeiro termo de uma PG, emque a6 = 96 e q = 2.

Temos que:

a6 = 96, n = 6, q = 2, a1 = 2

substituímos esses valores na fórmula do ter-mo geral

an = a1 . qn − 1:

96 = a1 . 26 − 1 ⇒ 96 = a1 . 26 ⇒

96 = a1 . 32 ⇒ a1 = 3

7. Determinar o número de termos daPG (−1,−2,−4,.....,−512)

Solução:

a1 = −1, an = −512, n = ?

Calculamos a razão:

Sendo o último termo o próprio an, vamosaplicar a fórmula do termo geral an = a1qn − 1:

−512 = −1.2n − 1 ⇒ 29 = 2n − 1 ⇒ 9 = n − 1 ⇒

⇒ n = 10

8. Obter o valor de x, de modo que a seqüência8,x,2 forme, nessa ordem, uma PG.

Solução:

PG (8,x,2), x = ?

Numa PG, o quociente entre o termo, a partirdo segundo, e o seu antecessor é igual à ra-zão. Logo, podemos equacionar o problemada seguinte forma:

Nesse caso, o valor positivo de x é a chamadamédia geométrica entre 2 e 8.

x2 = 16 ⇒ x = ±4

O valor de x pode ser 4 ou −4

1. (PUC–SP) Se a seqüência (4x, 2x + 1, x − 1) éuma PG, então o valor de x é:

a) −1/8; b) −8;

c) −1; d) 8;

e) 1/8.

2. (UFSC) Se os números (a, a+1, a − 3) formam(nessa ordem) uma PG, então a razão dessaPG é:

a) −4; b) −1/5;

c) 2/3; d) 1;

e) 4.

3. (F. C. CHAGAS–BA) A seqüência (x, x − 1, x +2,...) é uma PG. O seu quarto termo é igual a:

a) x − 3; b) −81/4;

c) −27/4; d) 9/4;

e) 27/4.

4. (FUVEST–SP) O quinto e o sétimo termos deuma PG de razão positiva valem, respectiva-mente, 10 e 16. O sexto termo dessa PG é:

a. 13 b.

c. 4 d.

e. 10

5. Calcule:

a. o 5.o termo da PG (1,5,.....)

b. o 10.o termo da PG (9, 27, ...)

6. (UFSC) Na progressão geométrica

, qual é a posição do termo ?

7. As raízes da equação do 2.o grau x2 − 5x + 4 = 0são o 1.o e o 2.o termo de uma PG crescente.Determine o 6.o termo dessa PG.

8. Calcule o 1.o termo da PG (a1, a2, a3,...) em que:

a. a4 = 128 e q = 4

b. a6 = 103 e q = 10

109

Matemática Elementar III – Progressões Geométricas

TEMA 33

CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕESGEMÉTRICAS

Dependo da razão q, uma PG pode ser:

• Crescente – A PG é crescente quando q >1 e os termos são positivos ou quando 0 < q< 1 e os termos são negativos. Por exemplo:

a) (2,6,18,54,...) com q = 3

b) (−40,−20,−10,−5,...) com q =

• Decrescente – A PG é decrescente quan-do 0 < q < 1e os termos são positivos ouquando q > 1 e os termos são negativos.Veja os exemplos:

a) (200,100,50,25,...) em que q =

b) (−4,−12,−36,−108,...)em que q = 3

• Constante – A PG é constante quandoq = 1. Veja:

a) (10,10,10,10,10,...) em que q = 1

b) (3,3,3,3,3,3,3,...) em que q = 1

• Alternante – A PG é alternante quando q <0. Por exemplo:

a) (2,−4,8,−16,32,−64,...) em que q = −2

b) (−81,27,−9,3,...) em que q =

Mais Exemplos

Exemplo 1:

A PG definida por U = (5,25,125,625) é cres-cente, pois a1 < a2 < a3 < a4.

Exemplo 2:

A PG definida por O = (3,3,3,3) é constante,pois a1 = a2 = a3 = a4 = 3.

Exemplo 3:

A progressão geométrica definida por

N = (−2,−4,−8,−16) é decrescente, pois a1 > a2

> a3 > a4.

1. Identifique cada PG abaixo como crescente,decrescente, constante ou alternante:

a. (20,40,80,....)

b. (3,−9,27,−81,...)

c. (−7,−14,−28,.....)

d. (2,2,2,....)

e.

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UEA – Licenciatura em Matemática

111

TEMA 34

REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DE TRÊS TERMOS EM PG

Sendo q (q ≠ 0) a razão de uma PG e x umnúmero real, podemos formar uma PG de trêstermos:

1. Achar três números em PG crescente, sendo31 a sua soma e 125 o seu produto.

Solução:

Temos que S3 = 31, P3 = 125, PG crescente,logo q > 1.

Representando três termos em PG:

Da soma e do produto, temos,

Da segunda equação x3 = 125 ⇒ x = 5, subs-tituindo x na primeira equação:

Devemos considerar somente a solução q = 5,pois a PG, é crescente.

Substituindo x = 5 e q = 5 nas expressões

, teremos 1, 5 e 25.

2. Determinar três números em PG cujo produtoseja 1000 e a soma do 1.o com o 3.o termo sejaigual a 52.

Solução:

Quando queremos encontrar três termos em PGe conhecemos algumas informações sobre eles,

é interessante escrevê-los na forma .

Do enunciado, vem:

Substituindo q na segunda equação, temos:

Resolvendo essa equação do 2.o grau, vem

ou q = 5 para , temos (50,10,2)

para q = 5, temos (2,10,50)

1. (CONSART) A soma de 3 números em PG é

e o produto . O maior dos termos da PG

vale:

a) 4/9; b) 2/3;

c) 1; d) 3/2;

e) 9/4.

2. A soma de três números em progressão geo-métrica crescente é 26 e o termo do meio é 6.O maior desses números é dado por

a) 36 b) 18

c) 24 d) 12

e) n.d.a.

Matemática Elementar III – Progressões Geométricas

112

UEA – Licenciatura em Matemática

3. Determine a PG de três elementos, que sãonúmeros inteiros, sabendo que a soma deles éigual a 31 e a produto é 125.

4. Três números inteiros positivos estão em PGde tal forma que a soma deles é igual a 62 e omaior número é igual a 25 vezes o menor. Qualsão os três números?

5. As medidas dos lados de triângulo retânguloestão em PG. (Sugestão: aplicar a teorema dePitágoras)

TEMA 35

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar k meios geométricos entre dois nú-meros dados a e b significa obter uma PG comk+2 termos, cujos extremos são a e b, sendoque a é o primeiro termo da PG e b é o últimotermo da PG, que possui ordem k+2. Pararealizar a interpolação geométrica, basta deter-minar a razão da PG.

1. Para interpolar três meios geométricos entre 3e 48, basta tomar a1 = 3, an = 48, k=3 e n=5para obter a razão da PG. Como an = q1qn − 1,então 48 = 3q4, seguindo-se que q4 = 16,garantindo que a razão é q = 2. Temos, então,a PG:

R = (3, 6, 12, 24, 48)

2. Interpolar cinco meios geométricos entre e

486.

Solução:

Devemos formar uma PG de sete termos na

qual a1 = e a7 = 486:

Temos:

• Para q = 3, a PG é

• Para q = −3, a PG é

113

1. Insira quatro meios geométricos entre 6 e 192.

2. Entre os números 18 e x, foram inseridos doismeios geométricos. Obteve-se, assim, uma PGde razão 3. Qual é o valor de x?

3. Cinco meios geométricos foram inseridos entre4 e 2.916. Qual é a razão q da PG assim obti-da?

4. Entre os números 100 e 100.000, devem serescritos x números de modo que a seqüênciaobtida seja uma PG de razão 10. Calcule x.

5. (LAFENAS–MG) Inserindo-se quatro meiosgeométricos entre 1 e 243, a soma desses qua-tro termos inseridos vale:

a) 100; b) 130;

c) 220; d) 120;

e) 150.

6. (SANTO ANDRÉ) Inserindo-se 5 meios geométri-cos entre 8 e 5832, obtém-se uma seqüência. Oquinto termo dessa seqüência vale:

a) 648 b) 426

c) 712 d) 256

e) 1242

TEMA 36

FÓRMULA DA SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG

Seja a PG (a1,a1q,a1q2,....,a1qn − 1,....).

Indicamos a soma dos n primeiros termos des-sa PG, por:

Sn = a1 + a1q + a1q2 + ...+ a1qn − 1

Se q = 1, temos:

Sn = a1 + a1 + a1 + ...+ a1 = na1

Se q é diferente de 1, temos

Sn = a1 + a1q + a1q2 + ...+ a1qn − 1

Multiplicando ambos os membros da igual-dade acima pela razão q, obteremos

qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + a1q4 + ...+ a1qn − 1 +a1qn − 1

Dispondo estas expressões de uma forma ali-nhada, obteremos:

Sn = a1 + a1q + a1q2 +...+ a1qn − 1

qSn = a1q + a1q2 + ...+ a1qn − 1 + a1qn

Subtraindo, membro a membro, a segundaexpressão da primeira, obteremos

Sn − qSn = a1 − a1qn que pode ser simplificadaem Sn (1 − q) = a1 (1 − qn)

ou seja

Esta é a fórmula para a soma dos n primeirostermos de uma PG de razão q ≠ 1.

1. Para obter a soma dos todos os termos da PG(3,9,27,81) devemos obter a razão desta PG;como esta é obtida pela divisão do termo pos-

terior pelo termo anterior, temos que .

Como a1 = 3 e n = 4, substituímos os dados

Matemática Elementar III – Progressões Geométricas

114

UEA – Licenciatura em Matemática

na fórmula da soma dos termos de uma PGfinita, obtemos:

2. Vamos calcular o valor de x na igualdade 10x +20x + .... + 1280x = 7650 sabendo que os termosdo primeiro membro formam uma PG, e x ≠ 0.

Nesse caso,

a1 = 10x, q = 2, an = 1280x e Sn = 7650

Inicialmente, vamos determinar o valor de n:

an = a1qn − 1 ⇒ 1280x = 10x . 2n − 1 ⇒ 128 = 2n − 1

27 = 2n − 1 ⇒ n − 1 = 7 ⇒ n = 8

⇒ 7650 = 10x . 225 ⇒ 7650 = 2550 x ⇒ x = 3

Logo, x = 3

1. (FESP–SP) A soma dos seis primeiros termos

da PG é:

a) 12/33; b) 15/32;

c) 21/33; d) 21/32;

e) 2/3.

2. (PUC–MG) O número de bactérias em um meioduplica-se de hora em hora. Se, inicialmente,existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10horas o número de bactérias será:

a) 24 b) 27

c) 210 d) 213

e) 215

3. Numa PG, conhecemos S8 = 1530 e q = 2.Então a1 e a5 valem respectivamente:

a. 11 e 81; b. 4 e 94;

c. 2 e 92; d. 6 e 96;

e. 5 e 95.

4. Se S3 = 21 e S4 = 45 são respectivamente, assomas dos três e quatro primeiros termos deuma PG, cujo termo inicial é 3, então a somados 5 primeiros termos da progressão é:

a) 66;

b) 69;

c) 93;

d) 96;

e) 105.

115

TEMA 37

LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOSDE UMA PG

Introdução

Considere a seqüência

com n∈ IN*.

Observe que, à medida que o valor de n cresceindefinidamente (tendendo para o infinito), o

termo tende a zero. Indicamos assim:

ou, então, assim:

que lemos: limite de quando n tende a infini-

to é igual a zero.

Nas progressões geométricas em que0<|q|<1, a soma dos n primeiros termos temum limite finito quando n dende a infinito.Nesse caso, qn aproximama-se de zero para nsuficientemente grande, ou seja,

Sabemos que , q ≠ 1

Logo, , isto é,

, 0<|q|<1

1. Para obter a soma dos termos da PG definida

por , temos que a razão é e

a1 = 5. Dessa forma, basta aplicar na fórmula

, logo

2. Resolva a equação abaixo, sendo o conjuntouniverso igual a IR.

Solução:

Observe que a seqüência

é uma PG de razão e a1 = 1; sendo

assim, temos que

Portanto x = 512

1. (CEFET–PR) A soma dos termos da PG (2, 6,18,..., 486,...) é:

a) 278; b) 287;

c) 728; d) 782;

d) 827.

2. (PUC–PR) A soma dos termos da PG (1, 1/2,1/4, 1/8, ... ) é:

a) 2; b. 0;

c) 1,75; d. 3;

e) n.d.a.

3. (FEI–SP) O limite da soma

é igual a:

a) ∞; b) 2;

c) 7/2; d) 1/2;

e) 1.

Matemática Elementar III – Progressões Geométricas

4. (UFB) O valor de x na equação

é:

a) 1 b) 3/5

c) 4/3 d) 5/2

e) 45/8

5. (PUC–SP) Somando os n primeiros termos daseqüência ( 1, -1, 1, -1, ...) encontramos:

a) 0 quando o n é par; 1 quando n é ímpar;

b) n;

c) −n;

d) 1;

e) 0.

6. (UFPA) A soma da série infinita

é:

a) 6/5 b) 7/5

c) 5/4 d) 2

e) 7/4

Pierre de Fermat

* 17 de agosto de 1601, em Beaumont-de-Lomagne, França

+ 12 de janeiro de 1665, em Castres, França

O pai de Pierre Fermat era um prósperocomerciante de couro e segundo cônsul deBeaumont-de-Lomagne. Fermat tinha um ir-mão e duas irmãs, e foi quase criado em suacidade de nascimento. Embora haja poucaevidência acerca de sua educação, é quasecerto que tenha estudado no monastérioFranciscano local.

Ele esteve na Universidade de Toulouse an-tes de se mudar para Bordeaux, na segundametade dos anos 1620. Em Bordeaux, elecomeçou suas primeiras pesquisas matemáti-cas sérias; em 1629, ele deu uma cópia desua restauração do trabalho de Apolônio –Planos – a um dos matemáticos da institu-ição. Certamente em Bordeaux, ele esteve emcontato com Beaugrand; durante este perío-do, produziu importantes trabalhos sobremáximos e mínimos, dados a Etienne d’Es-pagnet, que claramente compartilhava comFermat o interesse pela Matemática.

De Bordeaux, Fermat foi para Orléans,onde estudou direito na Universidade. Ele for-mou-se advogado civil e comprou umescritório no parlamento, em Toulouse. Então,em 1631, Fermat era advogado e oficial dogoverno em Toulouse e por causa de seuescritório, mudou seu nome para Pierre deFermat.

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UEA – Licenciatura em Matemática

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Pelo resto de sua vida, ele viveu em Tou-louse; além de trabalhar lá, também trabalhouem sua cidade natal e em Castres. Sua car-reira foi meteórica, em parte por tempo deserviço e idade, em parte porque a pragalevou a maioria dos mais velhos. Ele mesmofoi atingido pela doença e ficou tão mal quesua morte foi prematuramente anunciada.

Naturalmente, Fermat estava preocupadocom Matemática, senão não estaria nestapágina! Ele manteve sua amizade com Be-augrand mesmo depois de mudar-se paraToulouse, mas lá ele encontrou um novo ami-go em Matemática, Carcavi. Fermat conheceuCarcavi por força de profissão, pois eramcolegas como advogados em Toulouse. Mastambém compartilhavam o amor pela Mate-mática, e Fermat contou a Carcavi sobre suasdescobertas.

Em 1636, Carcavi foi a Paris na condição debibliotecário real e fez contato com Mersennee seu grupo. O interesse de Mersenne foi culti-vado pelas descrições de Carcavi sobre o tra-balho de Fermat acerca de corpos em queda.Carcavi escreveu a Fermat, que respondeu em26 de abril de 1636, e, além de contar aMessenne sobre erros que ele acreditava terencontrado nos trabalhos de Galileu sobrequeda livre, ele também contou a Mersennesobre seus trabalhos em espirais e sobre arestauração do Planos. Seu trabalho em espi-rais foi motivado pela consideração do cami-nho descrito por corpos em queda livre, e eleusou métodos generalisados a partir de Sobreespirais, de Arquimedes. Fermat escreveu:

Eu também encontrei diversos tipos de análi-ses para problemas vários, tanto numéricoscomo geométricos, nos quais a análise deViète não seria suficiente. Eu repartirei tudocom você quando você o desejar e o faço semambição, da qual eu sou mais livre e estoumais distante do que qualquer homem nomundo.

É irônico que este contato inicial entreFermat e a comunidade científica tenha sidoem função do estudo dele sobre queda livre,já que Fermat tinha pouco interesse em apli-cações físicas da Matemática. Mesmo com

seus resultados em queda livre, ele estavamuito mais interessado em provar teoremassobre Geometria do que em sua relação como mundo real. Nesta primeira carta, contudo,havia dois problemas sobre máximos queFermat pediu a Mersenne que fossem passa-dos aos matemáticos de Paris. Aliás, este erao estilo de Fermat: desafiar outros a obterresultados que ele já havia obtido.

Roberval e Mersenne acharam que os pro-blemas propostos por Fermat nesta primeira(e em outras subseqüentes) carta eram extre-mamente difíceis e usualmente insolúveisusando as técnicas correntes. Eles pediram aFermat para divulgar seus métodos, e Fermatmandou seu Método para determinarMáximos e Mínimos e Tangentes a LinhasCurvas, sua restauração de Planos e suaaproximação algébrica à Geometria Intro-dução aos Planos e Sólidos aos matemáticosde Paris.

Sua reputação como um dos maiores mate-máticos do mundo veio rapidamente, mas ten-tativas de publicar seus trabalhos falhavam,principalmente porque Fermat de fato nuncaquis por seus trabalhos em uma forma apre-sentável. Contudo alguns de seus métodosforam publicados, como, por exemplo, no tra-balho de Hérigone, Cursus mathematicus, quecontinha um suplemento com os métodos deFermat para encontrar máximos e mínimos.

Esta sua maneira de desafiar outrosmatemáticos logo contribuiu para o acúmulode inimizades. Uma dessas controvérsiasenvolveu Descartes. Beaugrand enviou paraFermat o trabalho de Descartes intitulado LaDioptrique para avaliação, mas Fermat deupouca atenção, dado que estava no meio deuma correspondência com Roberval e Pascalsobre métodos de integração e centros demassa. Diante da insistência de Mersenne,Fermat emitiu a seguinte opinião sobre LaDioptrique: “tateando nas sombras”.

Ele afirmava que Descartes não deduziucorretamente sua lei de refração, já que erainerente às suas hipóteses. Dizer que Des-cartes ficou desagradado é um eufemismo.Rapidamente, Descartes encontrou uma

Matemática Elementar III – Progressões Geométricas

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UEA – Licenciatura em Matemática

razão para ficar ainda mais furioso, ao perce-ber que o trabalho de Fermat sobre máximos,mínimos e tangentes poderia ofuscar aqueleque considerava seu trabalho mais impor-tante, La Geómétrie.

Descartes atacou os métodos de Fermatpa-ra máximos, mínimos e tangentes.Roberval e Etienne Pascal envolveram-se nadiscussão e, eventualmente, tambémDesargues, a quem Descartes indicou comoárbitro. Fermat mostrou-se correto e eventual-mente Descar-tes admitiu isso escrevendo:

... vendo o último método que você usa paraencontrar tangentes a linhas curvas, possoavaliá-lo de uma única maneira, afirmando queé de fato muito bom e que, se você o tivesseexplicado deste jeito no princípio, eu não teriacontradito em hipótese alguma.

Várias razões contribuíram para que, entre1643 e 1654, Fermat ficasse fora de contatocom seus colegas em Paris. Primeiramente, apressão do trabalho, que o impedia de dedi-car tempo à Matemática. Segundo, uma guer-ra civil em 1648 que afetou Toulouse. Final-mente, a praga em 1651, que quase levouFermat à morte. Contudo foi neste períodoque Fermat trabalhou em teoria dos números.

Fermat é melhor lembrado quando associ-ado a seu trabalho em teoria dos números,em particular pelo Último Teorema de Fermat.Este teorema diz que

xn + yn = zn

não tem solução inteira não-nula para x, y ez quando n > 2. Fermat escreveu, na mar-gem da tradução de Bachet para AritméticaDiofantina:

Descobri uma demonstração realmente memo-rável, mas esta margem é muito pequena paracontê-la.

Atualmente, acredita-se que a dita “prova”de Fermat estava errada, embora não sepossa ter certeza completa. Em 1993, o ma-temático Inglês Andrew Wiles disse ter prova-do o teorema, mas, após uma revisão cuida-dosa, no fim de 1994, sua prova foi aceita.

Tentativas mal-sucedidas de provar este

teorema, nos últimos 300 anos, levaram avárias descobertas matemáticas, como, porexem-plo, a teoria dos anéis comutativos.

Fermat voltou a se corresponder com osmatemáticos franceses em 1654, quantoBlaise Pascal – filho de Etienne Pascal –escreveu-lhe para confirmar suas idéias sobreprobabilidade. A curta correspondência entreos dois serviu de fundação para a teoria dasprobabilidades e, por causa disso, eles sãoatualmente considerados fundadores doassunto.

Neste mesmo período, um dos alunos deDescartes estava organizando sua corres-pondência para publicação e pediu ajuda aFermat a respeito de sua correspondênciacom Descartes. Isso fez que Fermat repen-sasse os argumentos por ele usados 20 anosantes, sobre suas objeções à óptica de Des-cartes. Em particular, ele estava insatisfeitocom as descrições de Descartes para arefração da luz e, então, aproveitou a deixa eestabeleceu um princípio que de fato resultouna lei dos senos para a refração que Snell eDescartes propuseram. Fermat deduziu estalei a partir de um princípio fundamental porele proposto, o de que a luz sempre percorreo menor caminho possível. O princípio deFermat, hoje uma das mais básicas leis daóptica, não foi muito bem recebido pelos ma-temáticos da época.

Fermat também deixou grandes contri-buições em Teoria dos Números, que naépoca não era muito bem vista. Por causadisso, e também por sua desorganizaçãocom os escritos, suas idéias sobre Teoria deNúmeros acabaram não sendo discutidascom outros matemáticos da época.

Respostas de Exercícios

UNIDADE II – Funções Compostas

TEMA 5

FUNÇÃO COMPOSTA E SUA LINGUAGEM FORMAL

1. A 2. C3. A 4. E5. E 6. C7. C 8. E9. B 10. C

UNIDADE III – Equações Exponenciais

TEMA 8

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

1. x = 52. x = 03. x = 5/34. x = 1/2−5. x = −36. x = −27. {1}8. {0}9. {11/3}10. {1}11. {1}12. {9}13. {1/8}14. {3}15. {(2,2)}16. {(3/2,−1)}17. {(12/7, 5/14)}18. {4 }19. {−4}20. {1/2}21. x = 2 ou x = 322. 2, −2, 3, −323. B24. E25. E

26. C27. C28. B29. C30. A31. D32. B33. B34. E35. D36. E37. B38. B39. A40. D41. B42. D43. C44. D

UNIDADE IV – Funções Exponenciais

TEMA 11

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

1. B 2. C3. C 4. C5. A 6. B7. C 8. B9. D 10. B11. B 12. A

UNIDADE V – Funções Logarítmicas

TEMA 17

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

1. B 2. C3. B 4. C

121

Matemática Elementar III – Respostas de Exercícios

5. B 6. B7. B 8. A9. B 10. E11. E 12. A13. A 14. D15. A 16. B17. A 18. E19. C 20. A

LOG-PROPRIEDADES

1. A 2. D3. E 4. A5. C 6. C7. A 8. D9. E 10. C11. A 12. E13. B 14. C15. B 16. D17. C 18. D19. E 20. E21. D 22. D23. A 24. C25E

LOG-EQUAÇÕES

1. C 2. C3. D 4. D5. D 6. E7. D 8. E9. D 10. E11. A 12. A13. A 14. A15. E 16. A17. A 18. C19. C 20. E21. E

LOG-INEQUAÇÕES

1. D 2. D3. C 4. D5. B 6. E7. E 8. A9. E 10. C

LOG-MUDANÇA DE BASE

1. C 2. A

3. A 4. A5. E 6. A7. C 8. C9. E 10. D11. A

UNIDADE VI – Inequações Modulares

TEMA 20

INEQUAÇÕES MODULARES

1. a) −7< x < −3b) −1/2 ≤ x ≤ 3/2c) x < −11 ou x > 13d) −4< x < −1e) −3 ≤ x ≤ 5 ou −15 ≤ x ≤ −7

UNIDADE VII – Funções Modulares

TEMA 21

FUNÇÃO MODULAR

1. {x ∈ IR/ x ≥ 0} 2. {x ∈ IR/x ≥ 0}3. {x ∈ IR/ x ≥ −2} 4. {−2, 5 }5. ¢6. {0,1,2} 7. {x ∈ IR/ −1< x < 0 ou 0 < x < 1} 8. −1, 0, 3, 4 9. a) IR

b) para todo x real10. b) não

c) IRd) {−3,3}

11. 1 e −112. 0 e 213. a) [0, +∞]

b) [3, +∞] c) [0, +∞]d) [−3, +∞]

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UEA – Licenciatura em Matemática

14. A15. D16. D17. C18. D19. A20. D21. D22. E23. A24. D 25. D

UNIDADE IX – Progressões Aritméticas

TEMA 25

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA

1. C 2. C3. C 4. C5. D 6. B7. A 8. B9. A 10. C11. C 12. D13. D 14. B

TEMA 28

REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DOS TERMOS DE UMA PA

1. (1, 4, 7) ou (7, 4, 1)2. (−8,?6, −4) ou (4,6,8)3. (3,9/2,6,15/2,9)4. (−1, 4, 9, 14, 19) ou (19,14,9,4,−1)5. 156. R$ 1.500,00

TEMA 29

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

1. B 2. E

3. C 4. C5. C

TEMA 30

SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA

1. C 2. C3. B 4. E5. C 6. B7. E 8. D9. C 10. A11. A

UNIDADE X – Progressões Geométricas

TEMA 31

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

1. a) 3c) −2

2. a) 4b)2/3c) −3d) −3/4

TEMA 32

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PG

1. A2. A3. C4. D5. a) 625

b) 311

6. n= 67. a6 = 2568. a) 2

b) 10−2

123

Matemática Elementar III – Respostas de Exercícios

TEMA 34

REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DE TRÊS TERMOS EM PG

1. C 2. D3. (1, 5,25) 4. (2,10,50)

TEMA 35

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

1. (6,12,24,48,96,192 )2. 4863. 3 ou −34. 25. D6. A

TEMA 36

FÓRMULA DA SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG

1. D 2. D3. D 4. C

TEMA 37

LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG

1. C2. A3. C4. D5. A6. C

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UEA – Licenciatura em Matemática

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Ávila, G. Cálculo 1; funções de uma variável. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científico, 1982

Boyer, Carl B. História da Matemática, São Paulo, Edgar Blücher/Edusp,1974

Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, SBM, 1993

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REFERÊNCIAS