156
MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA Rio de Janeiro 2011 3 a edição

Matem Financ Basica 2011.Indd

Embed Size (px)

Citation preview

MATEMÁTICA FINANCEIRABÁSICA

Rio de Janeiro2011

3a edição

REALIZAÇÃO

Escola Nacional de Seguros – FUNENSEGASSESSORIA TÉCNICA

Hugo César Said Amazonas – 2011/2010CAPA

Coordenadoria de Comunicação SocialDIAGRAMAÇÃO

Info Action Editoração Eletrônica

Ficha catalográfi ca elaborada pela Biblioteca da FUNENSEG.

E73m Escola Nacional de Seguros. Matemática fi nanceira básica/assessoria técnica de Hugo César Said Amazonas. – 3. ed. – Rio de

Janeiro: Funenseg, 2011. 156 p.; 28 cm

1. Matemática fi nanceira. I. Amazonas, Hugo César Said. II. Título.

0010-0957 CDU 511(072)

É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou de partes dele,sob quaisquer formas ou meios, sem permissão expressa da Escola.

aseada nos princípios que a regem desde sua criação, em 1971, a Escola Nacional de Seguros promove diversas iniciativas no âmbito educacional, que contribuem para um mercado de seguros, previdência complementar, capitalização e resseguro cada vez mais qualifi cado.

Essa é a fi losofi a presente em nossas ações, que compreendem a elaboração de cursos, exames, pesquisas, publicações e eventos, e que confi rmam nossa condição de principal provedora de serviços voltados à educação continuada dos profi ssionais dessa indústria.

Em um mercado globalizado, mudanças de paradigmas são constantes e, para seguir esse movimento, o investimento em treinamento e atualização é apontado por especialistas como essencial.

A Escola Nacional de Seguros, que nasceu de uma proposta do próprio mercado, está à sua disposição para compartilhar todo nosso conhecimento e experiência, bens intangíveis e inestimáveis, que o acompanharão em sua jornada.

Todo o acervo de conhecimentos e maturidade na formação de profi ssionais e gestores de alto nível se refl ete na qualidade do material didático elaborado pela equipe da Escola. Formada por especialistas em seguros com sólida trajetória acadêmica, o saber disponível em nosso material didático é um grande aliado para o voo profi ssional de cada um de nós.

B

Sum

ário

SUMÁRIO 5

1 REVISÃO DE MATEMÁTICA, 7

O Uso de Frações e a Divisão, 7 Frações Próprias, 8 Frações Impróprias, 9 Fatorar, Exponenciar e Radiciar, 9 Fatorar, 9 Exponenciar, 10 Radiciar, 10 Exponenciando e Radiciando com Calculadoras, 11 Exponenciando e Radiciando com a Planilha Eletrônica, 15 Porcentagens, 15 O Signifi cado das Porcentagens, 15 O Denominador 100, 16 Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens, 16 Maneiras de se Expressar as Porcentagens, 17 Equações do 1o Grau, 18 Fixando Conceitos, 21

2 CONCEITOS BÁSICOS, 27 A Matemática Financeira, 27 Valor do Dinheiro no Tempo, 27 Fluxo de Caixa, 27 Esquema – Representação Gráfi ca do Diagrama do Fluxo de Caixa – DFC, 28 Juro(s), 28 Taxa de Juro(s), 28 Esquema, 29 Formulação Matemática, 29 Regimes de Juros de Capitalização, 29 Conceitos Financeiros Diversos, 30 Fixando Conceitos, 33

3 JUROS SIMPLES, 35 Juros Simples, 35 Taxas Proporcionais, 37 Juros Simples Comercial e Juros Simples Exatos, 39 Valor Futuro (a Juros Simples), 40 Fixando Conceitos, 47

6 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

4 DESCONTO SIMPLES, 51 Taxas de Desconto, 51 Desconto Comercial, 53 Cálculo do Desconto Comercial, 53 Fixando Conceitos, 57

5 JUROS COMPOSTOS, 61 Juros Compostos, 61 Convenções ou Notações Utilizadas em Juros Compostos, 62 Taxas Equivalentes, 64 Fixando Conceitos, 77

6 DESCONTO COMPOSTO, 83 Desconto Racional Composto, 83 Encontrando o Valor Atual, 83 Fixando Conceitos, 93

TESTANDO CONHECIMENTOS, 97

ANEXOS, 99 Anexo 1 – Convenções/Notações, 101 Anexo 2 – Regra Prática para Estabelecer Taxas Equivalentes, 103 Anexo 3 – Solução Utilizando uma Calculadora HP-12C, 105

GABARITO, 107

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA, 155

Revi

são

de M

atem

átic

a

UNIDADE 1 7

REVISÃO DE MATEMÁTICA

O Uso de Frações e a Divisão

A s frações expressam sempre uma divisão de um número por outro. Os termos de uma fração são o numerador e o denominador. O numerador corresponde ao dividendo, enquanto o denominador corresponde ao divisor. O resultado de uma fração equivale ao quociente

da divisão.

Suponha que eu tenha sete cartões de visita em meu bolso e que cinco desses cartões sejam escuros e os demais sejam claros. Qual a porcentagem de cartões escuros em relação ao total?

Vamos, primeiramente, representar grafi camente o número de cartões escuros e claros, e a relação deles com o total de cartões.

Na parte superior da fi gura que se segue, está representado o número total de cartões (sete).

Na parte inferior, estão representados os números de cartões escuros (cinco) e claros (dois).

Além da representação gráfi ca, a relação entre 5 (cartões escuros) e 7 (total de cartões) pode ser expressa sob a forma de fração ou armando-se uma conta de divisão.

5 = 0,714 equivale a 5 7 7 0,714

1

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA8

Frações Próprias

É quando o denominador é maior que o numerador, signifi cando que o resultado é inferior à unidade. No exemplo anterior, o denominador “7” é maior do que o numerador “5”. O quociente “0,714” (o resultado) é menor do que a unidade.

Exemplos de frações próprias:

• 270 dias é fração do ano comercial (360 dias), pois é menor do que o tempo de um ano e representa 3/4 ou 0,75 do ano.

• um semestre (180 dias) é fração do ano comercial, pois é menor do que o tempo de um ano (um semestre é 1/2 – metade – do ano ou 0,5 do ano).

• um trimestre (90 dias) é fração do ano comercial, pois é menor do que o tempo de um ano (um trimestre é 1/4 do ano ou 0,25 do ano).

• um mês (30 dias) é fração do ano, pois é menor do que o tempo de um ano (um mês é 1/12 do ano ou 0,0833 do ano).

• um dia é fração do mês, pois ele é menor do que o tempo de um mês (um dia é 1/30 do mês ou 0,0333 do mês).

• uma hora é fração do dia, pois ela é menor do que o tempo de um dia (uma hora é 1/24 do dia ou 0,041667 do dia).

• um minuto é fração de uma hora, pois ele é menor do que o tempo de uma hora (um minuto é 1/60 da hora ou 0,016667 da hora).

Vamos agora representar o trimestre como fração do ano.

Quando agrupamos os doze meses do ano em grupos de três, obtemos quatro períodos ou quatro trimestres. Cada trimestre representa a quarta parte de um ano ou 1/4 ou 0,25 ou 25% do ano.

1o trimestre janeiro fevereiro março2o trimestre abril maio junho3o trimestre julho agosto setembro4o trimestre outubro novembro dezembro

4 trimestres = 1 ano

trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4

um ano

UNIDADE 1 9

Frações Impróprias

É quando o numerador é maior que o denominador, signifi cando que o resultado é maior do que a unidade (maior do que um).

Contudo, já que costumamos representar as relações entre as quantidades sob a forma de fração, colocando uma quantidade no numerador e outra no denominador, também chamamos de fração essa forma de dividir (no caso, impropriamente, daí o nome fração imprópria).

Exemplos de frações impróprias:

• um ano e um semestre é uma vez e meia o tempo de um ano ( 3 ou 1,5 ano). 2• um ano é duas vezes o tempo de um semestre. • um dia é 24 vezes o tempo de uma hora.• uma hora é 60 vezes o tempo de um minuto.

Observação

Repare que todos os resultados das frações impróprias são maiores do que a unidade (maiores do que um).

Fatorar, Exponenciar e Radiciar

Fatorar

É apresentar um número sob a forma de um produto de outros números, chamados fatores. Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 125 num produto de fatores:

125 = 5 × 5 × 5

Decomposição do número 40:

40 = 2 × 2 × 2 × 5

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA10

Exponenciar

É elevar um número a uma potência.

Aproveitando os resultados da fatoração, temos que:

625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 54

No caso acima, o “5” é chamado de “base”, e o número de vezes que ele é multiplicado (“4”) é o “expoente”.

Como se pode ver, nós fi xamos a base (o “5”) e somamos o número de vezes que ele foi multiplicado (o “4” é o expoente).

Vejamos outro exemplo de exponenciação:

8 = 2 × 2 × 2 = 23

No caso acima, o “2” é chamado de “base”, e o número de vezes que ele é multiplicado (“3”) é o “expoente”.

Radiciar

Radiciar é achar a raiz de um número, ou seja, dividir sucessivamente um número por outro, uma quantidade de vezes defi nida, e produzir sempre resto zero. A quantidade de vezes que efetuamos as divisões é chamada de índice.

Exemplo:

O valor da raiz quadrada é o resultado que se encontra ao dividirmos um número por outro, duas vezes, sendo o resto igual a zero.

Qual o número que ao dividir 64 duas vezes sucessivamente produz resto zero?

Esse número é 8, pois 82 = 64 (8 × 8 = 64).

Na radiciação, o símbolo √ é o radical, “2” é o índice, “64” é o radicando e “8” é a raiz.

Podemos escrever 2, sob a forma de fração 2/1. Assim, o índice é “2”, e “1” é o expoente do radicando “64”.

2√ 641 = 8 ou 64 1/2 = 8 (observe que o resultado “8” é um número inteiro)

UNIDADE 1 11

Qual o número que ao dividir 64 três vezes sucessivamente produz resto zero?

Esse número é 4, pois 43 = 64 (4 × 4 × 4 = 64).

Quando o índice é “2” ou quando não há um índice especifi cado no radical, chamamos de raiz quadrada.

No cálculo abaixo, “3” é o índice, “64” é o radicando, e “4” é a raiz, pois 43 = 4 × 4 × 4 = 64.

3√ 641 = 4 ou 641/3 = 4 (observe que o resultado “4” é um número inteiro)

Quando o índice é “3”, chamamos de raiz cúbica. No exemplo anterior, “4” é a raiz cúbica de 64.

Ambos os resultados produziram raízes cujos números são inteiros (8 e 4), mas isso acontece muito pouco.

Na maioria dos casos, ao radiciarmos um número o resultado não é um número inteiro. Isto é, a fatoração não produz um único fator que se repete.

Exponenciando e Radiciando com Calculadoras

Os cálculos de exponenciação e de radiciação são semelhantes. Eles envolvem a digitação da base (o número que se quer exponenciar) e do expoente (o valor que representa o número de vezes que se quer exponenciar). Vimos que a diferença entre exponenciar e radiciar é que, na radiciação, o expoente é um número não inteiro. Por essa razão, devemos ter cuidado ao digitarmos o expoente fracionário, pois as calculadoras e planilhas eletrônicas possuem internamente uma ordem preestabelecida de realizar as operações.

Há várias regras e macetes para acharmos a raiz de um número, qualquer que seja o seu índice (o número de divisões sucessivas). Mas, em vez de memorizar fórmulas e regras e quebrar a cabeça fazendo contas, devemos aproveitar o progresso técnico e usar uma calculadora fi nanceira, uma calculadora científi ca ou planilhas do tipo Excel. As calculadoras possuem uma tecla de exponenciação, onde “y” (a base) é o número que se deseja exponenciar e “x” é o expoente.

yx é a tecla de expoente

O cálculo da raiz (de qualquer índice) de um número pode ser feito sempre se utilizando um expoente que é uma fração, na qual o denominador é o índice e o numerador é 1.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA12

Assim, para acharmos a raiz índice 32 ou raiz 32a (trigésima segunda) do número 40, elevamos 40 ao expoente fracionário (1/32). Aqui o numerador “1” é o expoente de 40 e o denominador 32 é o índice. Veja o exemplo:

32

401/32 é o mesmo que √ 401 = 1,122185

• Como usar a calculadora científi ca para achar a raiz índice 32 do número 40:

1. primeiro ache o valor da fração 1/32 (ou 1 dividido por 32), que será o nosso expoente = 0,03125, conforme calculado anteriormente

2. digite 40 e aperte a tecla yx

3. digite o nosso expoente 0,03125 e aperte a tecla =4. o resultado é 1,122185 (observe que o resultado não é um número inteiro)

• Como usar a calculadora HP 12C® para achar a raiz índice 32 do número 40:

1. digite 40 e aperte a tecla ENTER2. digite 32 3. aperte a tecla 1/x e depois aperte a tecla yx

4. o resultado é 1,122185

Elevando-se o número 1,122185 ao expoente 32 resulta no número 40. Confi ra esse resultado, utilizando a função yx da sua calculadora científi ca, conforme feito a seguir:

1. digite 1,122185 2. aperte a tecla yx

3. digite 32 e aperte a tecla =4. o resultado é 40

• Como usar a calculadora HP 12C® para realizar esse mesmo cálculo:

1. digite 1,122185 e aperte a tecla ENTER2. digite 323. digite yx 4. o resultado é 40

Ou seja, exponenciação e radiciação são operações inversas (uma “vai” e a outra “vem”, e vice-versa, como a soma com a subtração, e a multiplicação com a divisão).

UNIDADE 1 13

Aplicação prática 1

Achar a raiz índice 32 ou raiz 32a (trigésima segunda) de 4.567,88, usando sua calculadora fi nanceira ou científi ca.

32

√ 4.567,881 = 1,301266 ou 4.567,88 1/32 = 1,301266

Resposta: 1,301266 (observe que a raiz não é um número inteiro)

• Usando a calculadora científi ca:

1. primeiro ache o valor da fração 1/32 (ou 1 dividido por 32), que será o nosso expoente = 0,03125, conforme calculado anteriormente

2. digite 4567,88 e aperte a tecla yx

3. digite o nosso expoente 0,03125 e aperte a tecla =4. o resultado é 1,301266

• Usando a calculadora fi nanceira HP 12C®:

1. digite 4567,88 e aperte a tecla ENTER2. digite 32 e aperte a tecla 1/x3. aperte a tecla yx

4. o resultado é 1,301266

Isto signifi ca que o número 1,301266 elevado ao expoente 32 resulta no número 4.567,88.

1,30126632 = 4.567,88

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA14

Aplicação prática 2

Qual o número que ao dividir 8.888 duas vezes sucessivamente produz resto zero? Esse número é 94,27619 (use sua calculadora fi nanceira ou científi ca, elevando 8.888 à potência 1/2 ou 0,5). 2

√ 8.8881 = 94,27619

• Usando a calculadora científi ca:

1. digite 8888 e aperte a tecla yx

2. digite o expoente 0,5 e aperte a tecla =3. o resultado é 94,27619

• Usando a calculadora fi nanceira HP 12C®:

1. digite 8888 e aperte a tecla ENTER2. digite 2 e aperte a tecla 1/x3. aperte a tecla yx

4. o resultado é 94,27619

Qual o número que ao dividir 8.888 três vezes sucessivamente produz resto zero? Esse número é 20,71419 (use sua calculadora fi nanceira ou científi ca, elevando 8.888 à potência 1/3 ou 0,33). Use o exemplo anterior como guia. 3

√ 8.8881 = 20,71419

Qual o número que ao dividir 8.888 nove vezes sucessivamente produz resto zero? Esse número é 2,746351 (use sua calculadora fi nanceira ou científi ca, elevando 8.888 à potência 1/9, ou 0,111). 9√ 8.8881 = 2,746351

UNIDADE 1 15

Porcentagens

O Signifi cado das Porcentagens

Imagine que você encomendou 100 cartões de visita e que 5 cartões vieram com defeito.

Isto signifi ca que, “em 100 cartões de visita.” – ou em cada cento – 5 cartões apresentam defeito. Daí as expressões “por cento”, “percentagem”, “porcentagem”.

Se eu comprei 100 cartões e o percentual de cartões defeituosos é igual a 3%, conclui-se que 3 cartões estavam com defeito. Se eu comprei 200 cartões e o percentual de defeituosos é igual a 3%, conclui-se que 6 (seis) cartões estavam com defeito, pois (200 × 0,03 = 6).

Exponenciando e Radiciando com a Planilha Eletrônica

Para achar a raiz índice 32 do número 40, utilizando a planilha EXCEL, procedemos da seguinte forma:

• digitamos, na sequência (ver reprodução da planilha), o sinal de igual “=”; o número “40”; o sinal de expoente “^”; o símbolo “abre parênteses”; o número “1”; o sinal de divisão “ / ”; o número “32”; o símbolo “fecha parênteses” e, por último, pressionamos a tecla “entra”. Obtém-se o mesmo resultado encontrado ao utilizarmos a calculadora: 1,122185.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA16

Imagine agora que você atrasou o condomínio no valor de R$ 150,00 e deve pagar multa de 2%.

Para calcular o valor da multa, multiplique R$ 150,00 por 2% (0,02).

R$ 150,00 × 0,02 = R$ 3,00 (valor da multa).

O valor total a ser pago é igual a R$ 150,00 + R$ 3,00 = R$ 153,00

O Denominador 100

Toda vez que tivermos uma fração e o denominador for 100, estaremos diante de uma porcentagem.

• 1/100 (1% ou 0,01) – lê-se “um por cento”, “um centésimo”;• 5/100 (5% ou 0,05) – lê-se “cinco por cento”, “cinco centésimos”;• 10/100 (10% ou 0,1) – lê-se “dez por cento”, “um décimo”;• 50/100 (50% ou 0,5) – lê-se “cinquenta por cento”, “um meio”, “metade”;• 100/100 (100% ou 1) – lê-se “cem por cento”, “um inteiro”;• 150/100 (150% ou 1,5) – lê-se “cento e cinquenta por cento”, “um e meio”; e• 200/100 (200% ou 2) – lê-se “duzentos por cento”, “dois”.

Estamos bastante acostumados a efetuar as quatro operações fundamentais (somar, subtrair, multiplicar e dividir).

Façamos, porém, uma pequena revisão de conceitos que aprendemos nos ensinos fundamental e médio. Vamos efetuar algumas operações utilizando números escritos sob a forma de porcentagens ou nas suas formas decimais equivalentes.

Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar Porcentagens

Exemplos:

• Somar: 5% + 10% = 0,05 + 0,1 = 0,15 ou 15%.

• Subtrair: 10% – 4% = 0,1 – 0,04 = 0,06 ou 6%.

• Multiplicar: 10% × 5% = 0,1 × 0,05 = 0,005 ou 0,5% (lê-se cinco milésimos ou meio por cento). Como você vê, 10% × 5% não é igual a 50%!

Quando desejamos multiplicar porcentagens com o objetivo de acumular os resultados, devemos efetuar os cálculos utilizando fatores, isto é, somando-se “um” ao valor das porcentagens, multiplicando os fatores e, após, deduzindo-se “um” do resultado.

UNIDADE 1 17

Multiplicar Acumulando: 10% × 5%, acumulando o resultado.

(1 + 0,10) × (1,05) – 1 = (1,1 × 1,05) – 1 = 1,155 – 1 = 0,155 ou 15,5%

Quando queremos multiplicar acumulando um percentual a um valor, basta transformar essa porcentagem em fator e multiplicar ao valor.

Utilizando o exemplo da multa do condomínio, visto anteriormente. Primeiro calculamos a multa de 2% e depois somamos ao valor principal. Essa operação poderia ser feita em uma só operação:

R$ 150,00 × 1,02 = R$ 153,00

Dividir: 10% ÷ 5% = 0,1 ÷ 0,05 = 0,02 ou 2%

Quando desejamos dividir porcentagens com o objetivo de desacumular os resultados, devemos efetuar os cálculos utilizando fatores, isto é, somando-se “um” ao valor das porcentagens, dividindo-se os fatores e, após, deduzindo-se “um” do resultado.

Dividir (Des) Acumulando: 10% ÷ 5%, (des) acumulando-se os resultados.

(1 + 0,10) ÷ (1 + 0,05) – 1 = 1,04761905 – 1 = 0,04761905 ou 4,76%

Maneiras de se Expressar as Porcentagens

Há várias maneiras de se expressar porcentagens:

• 5% ou “5:100” (cinco dividido por cem) ou 5 ÷ 100 ou 0,05 (cinco centésimos);

• 10% ou “10:100” (dez dividido por cem) ou 10 ÷ 100 ou 0,10 (um décimo); e

• 3,33% ou “3,33:100” (três vírgula trinta e três dividido por cem) ou 3,33 ÷ 100 ou 0,0333 (trezentos e trinta e três décimos de milésimos).

Quando efetuamos o cálculo com máquina de calcular, podemos fazê-lo usando a tecla de porcentagem. É importante, entretanto, que você saiba o signifi cado dos resultados, como no caso da multiplicação anteriormente observado.

18 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Equações do 1o GrauChamamos de equação do 1º grau toda equação que pode ser representada sob a forma ax + b = 0, em que a e b são constantes reais e a é diferente de 0. A letra x recebe o nome de incógnita e é o valor que queremos encontrar para satisfazer a igualdade.

Exemplo 1

Uma aplicação fi nanceira rendeu de juros de R$ 100,00. Esses juros somados ao valor aplicado totalizaram R$ 400,00.

Podemos representar essa aplicação em forma de equação:

x + 100 = 400, onde x é o valor aplicado, 100 são os juros ganhos e 400 é o saldo fi nal da aplicação.

Para resolvermos essa equação utilizamos as seguintes regras:

1. tudo que tem a incógnita, neste caso x, fi ca de um lado do sinal de igual e tudo que não tem a incógnita fi ca do outro lado do sinal de igual.

2. quando um termo muda de lado, ele troca de sinal. Se ele está somando, passa para o outro lado subtraindo e vice-versa; se está multiplicando, passa para o outro lado dividindo e vice-versa.

Então,x = 400 – 100, o valor 100, que estava somando do lado esquerdo do sinal de igual, passou para o lado direito subtraindo.

Fazendo a operação 400 – 100, temos que:x = 300

Substituindo x na equação inicial, teremos que: 300 + 100 = 400, ou seja, 400 = 400 a igualdade foi satisfeita.

UNIDADE 1 19

Exemplo 2

Os juros de uma aplicação fi nanceira equivalem a 1/3 do valor aplicado. Quanto devo aplicar para meu saldo fi nal ser de R$ 400,00?

Escrevendo em forma de equação, teremos (chamaremos o valor aplicado, que é a nossa incógnita, de P) que:

P + P/3 = 400; o valor aplicado P mais os juros ganhos, que equivale a 1/3 do valor aplicado, é igual a 400.

Podemos escrever assim:

P + 1/3 × P = 400

Calculando 1/3, temos que:

P + 0,333333 × P = 4001,333333 × P = 400

Passando o 1,333333 para o outro lado do sinal de igual:

P = 400 ÷ 1,333333 (o valor 1,333333, que estava multiplicando, passa para o outro lado dividindo)P = 300,00

As equações funcionam como se fossem uma balança, e o sinal de igual é o ponto de equilíbrio, portanto:

a) adicionando um mesmo número a ambos os lados de uma equação, ou subtraindo um mesmo número de ambos os lados, a igualdade se mantém.

x + 100 = 400, se subtrairmos 100 de ambos os lados: x + 100 – 100 = 400 – 100 x = 300

b) dividindo ou multiplicando ambos os lados de uma equação por um mesmo número, não nulo, a igualdade se mantém.

P + P ÷ 3 = 400, se multiplicarmos por 3 ambos os lados: (P + P ÷ 3) × 3 = 400 × 3 3 × P + 3 ÷ 3 × P = 1.200 3 × P + P = 1.200 4 × P = 1.200, dividindo por 4 ambos os lados: 4 × P ÷ 4 = 1.200 ÷ 4 P = 300

20 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Fixa

ndo

Con

ceit

os

FIXANDO CONCEITOS 1 21

[1] João pediu uma pizza em casa. A pizza foi fatiada em 8 pedaços e ele comeu 5. Como podemos representar em forma de fração o que sobrou da pizza?

(a) 1/8(b) 3/8(c) 4/8(d) 5/8(e) 7/8

[2] Classifi que as frações a seguir em (P) próprias ou (I) impróprias:

( ) 2/3 ( ) 5/2 ( ) 8/5 ( ) 12/15 ( ) 25/6

A sequência correta é:

(a) P-I-P-I-P(b) P-P-I-I-P(c) P-I-I-P-I(d) I-P-P-I-I(e) I-P-P-I-P

[3] Decomponha o número 30 em fatores:

(a) 2 × 2 × 2(b) 2 × 2 × 3(c) 2 × 3 × 3(d) 2 × 3 × 5(e) 2 × 5 × 5

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA22

[4] Selecione a correta decomposição do número 54:

(a) 2 × 32

(b) 2 × 33

(c) 2 × 34

(d) 22 × 32

(e) 5 × 10

[5] Qual o número cuja decomposição é 2 × 32 × 5?

(a) 30(b) 40(c) 60(d) 80(e) 90

[6] Determine o número que ao dividir 125 três vezes sucessivamente produz resto zero:

(a) 3(b) 5(c) 7(d) 9(e) 15

[7] Calcule a raiz quadrada do número 49:

(a) 7(b) 9(c) 20(d) 24(e) 30

[8] Escreva o número 256 como potência de base 2:

(a) 25

(b) 26

(c) 27

(d) 28

(e) 29

FIXANDO CONCEITOS 1 23

[9] Calcule a raiz cúbica de 216:

(a) 4(b) 5(c) 6(d) 7(e) 8

[10] A forma fatorada de um número é 23 × 3 × 52. Qual é esse número?

(a) 200(b) 300(c) 400(d) 500(e) 600

[11] Calcule o valor da expressão 32 + 52 + 13:

(a) 9(b) 19(c) 30(d) 35(e) 65

[12] Utilizando números decimais, como podemos representar 7%?

(a) 0,0007(b) 0,007(c) 0,07(d) 0,7(e) 7

[13] Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gol 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador marcou?

(a) 3(b) 4(c) 5(d) 6(e) 7

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA24

[14] Um trabalhador gasta 25% do seu salário para o pagamento de contas da casa, 18% em alimentação e 12% na mensalidade escolar dos fi lhos. Qual a porcentagem do salário que ainda resta depois desses gastos?

(a) 30%(b) 40%(c) 45%(d) 50%(e) 55%

[15] Calcule a expressão 20% × 15%:

(a) 0,03%(b) 0,3%(c) 3%(d) 30%(e) 300%

[16] Uma loja de roupas em liquidação abaixou o preço de seus produtos em 10%. Se um vestido custava R$ 150,00, quanto passou a custar?

(a) R$ 50,00(b) R$ 75,00(c) R$ 100,00(d) R$ 115,00(e) R$ 135,00

[17] Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos, respectivamente?

(a) 10 e 90(b) 40 e 60(c) 50 e 50(d) 60 e 30(e) 70 e 30

[18] Por quanto devo vender um relógio que comprei por R$ 150,00 se desejo lucrar 25% sobre o preço de compra?

(a) R$ 187,50(b) R$ 197,50(c) R$ 207,50(d) R$ 217,50(e) R$ 227,50

FIXANDO CONCEITOS 1 25

[19] Uma televisão de 29 polegadas foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo. Sabendo que a televisão custou R$ 1.600,00, qual foi o preço de venda?

(a) R$ 1.180,00(b) R$ 1.280,00(c) R$ 1.340,00(d) R$ 1.580,00(e) R$ 1.620,00

[20] O funcionário de uma empresa do mercado de seguros recebe uma promoção salarial de 5% em determinado mês. Nesse mesmo mês, acontece o acordo coletivo da classe e os salários são reajustados em 3%. Quanto esse funcionário recebeu, em percentual, de aumento?

(a) 3,00%(b) 5,00%(c) 8,00%(d) 8,15%(e) 15,00%

[21] Determine o valor de y na equação 18y – 43 = 65:

(a) 5(b) 6(c) 7(d) 8(e) 9

[22] Calcule o valor de y na equação -2y = -4 + 3y:

(a) -4(b) -4/5(c) 1(d) 4/5(e) 4

[23] Calcule o valor de y na equação 2y – 8 = 3y – 10:

(a) -2(b) -2/5(c) 2(d) 3(e) 4

[24] Qual o valor de y, que atende à igualdade 23y – 16 = 14 – 7y ?

(a) 1(b) 2(c) 3(d) 4(e) 5

26 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

[25] Calcule o valor de y na equação 2(2y + 7) + 3(3y – 5) = 3(4y + 5) -1:

(a) 10(b) 12(c) 15(d) 17(e) 20

[26] Calcule o valor de y na equação 3 – 7(1 – 2y) = 11 – (y – 45):

(a) 4(b) 8(c) 14(d) 20(e) 30

[27] Um número multiplicado por 5, somado a 31, apresenta o resultado 81. Que número é esse?

(a) 10(b) 15(c) 20(d) 21(e) 45

[28] Determine o valor de m na equação 16 + 3 × 5 + 2m = 5(m – 1):

(a) 10(b) 12(c) 15(d) 20(e) 23

[29] A população de uma cidade X é o triplo da população da cidade Y. Se a soma da população das duas cidades é 100.000 pessoas, quantos habitantes existem na cidade Y?

(a) 15.000(b) 18.000(c) 20.000(d) 25.000(e) 30.000

Con

ceit

os B

ásic

os

UNIDADE 2 27

2 CONCEITOS BÁSICOS

A Matemática Financeira

A matemática financeira estuda e avalia as alterações ocorridas nos fluxos de caixa ao longo do tempo, isto é, entradas e saídas de dinheiro. Trata, essencialmente, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, fornecendo técnicas para se compararem as quantias

movimentadas em datas distintas, efetuando análises e comparações através de relações formais. Dominar os fundamentos básicos da matemática fi nanceira, bem como conhecer e utilizar as ferramentas adequadas, capacita os usuários a tomarem decisões quanto a investimentos e a empréstimos, otimizando os seus recursos e avaliando as melhores alternativas disponíveis.

Valor do Dinheiro no TempoUm dos fundamentos da atividade fi nanceira é a variação do valor do dinheiro ao longo do tempo. Por exemplo: é melhor ter hoje R$ 100,00 do que dispor desse valor numa data futura qualquer. Independentemente da existência de infl ação, alguém que disponha de R$ 100,00, hoje, pode aplicá-los a uma certa taxa de juros, por menor que seja e, numa data futura, ter os mesmos R$ 100,00, mais algum valor complementar. Como consequência disso, o dinheiro tem valor diferenciado ao longo do tempo, o que signifi ca que somente podem ser comparados valores quando em uma mesma data. Esta data é conhecida como data focal.

Fluxo de CaixaDenomina-se fl uxo de caixa o conjunto de recebimentos e pagamentos, ocorridos ou a ocorrer, durante um certo intervalo de tempo. Para a representação gráfi ca, os recebimentos – denominados entradas, são informados com uma seta voltada para cima; e os pagamentos – denominados desembolsos, são representados com uma seta voltada para baixo e distribuídos ao longo de uma linha horizontal (que representa o tempo).

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA28

Esquema – Representação Gráfi ca do Diagrama doFluxo de Caixa – DFC

Juro(s)O cálculo de juros faz parte de toda a atividade econômica. Quando se diz que uma geladeira custa R$ 600,00 à vista e é vendida em 3 parcelas de R$ 220,00, isso signifi ca que a diferença entre o valor de R$ 660,00 do pagamento a prazo e R$ 600,00 do pagamento à vista refere-se ao valor dos juros que o comprador está pagando (R$ 60,00).

Mas por que se pagam juros? Porque alguém que tinha disponibilidade de dinheiro (capital) adiantou esse dinheiro para que a geladeira estivesse à disposição do comprador. Por esse empréstimo, essa pessoa cobra um determinado valor que se denomina juros.

Se alguém recebe um determinado valor a título de juros, isso implica que outra pessoa pague o mesmo valor por esses juros.

Taxa de Juro(s)A taxa de juros é a razão entre os juros pagos no fi nal do período e o valor originalmente aplicado. Matematicamente, é representada por i. Usa-se i para identifi car a taxa de juros, que pode ser expressa em fração decimal, ou na forma percentual (i = 5% → i = 5 ÷ 100 → i = 0,05).

Exemplo

O investidor A aplica R$ 1.000,00, no 1o dia do mês, no Banco K. No 1o dia do mês subsequente, o Banco K devolve ao investidor A R$ 1.050,00. Juros = R$ 1.050,00 – R$ 1.000,00 = R$ 50,00Taxa de Juros no Período = (50,00 ÷ 1.000,00) = 0,05 ou 5%

Os números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 representam os períodos de tempo em que ocorrem as movimentações: entradas (1, 3, 4 e 5) e saídas (0 e 2).

0

12

3 4 5

UNIDADE 2 29

Esquema

Formulação Matemática

i = Juros ou i (%) = Juros × 100 Capital Capital

R$ 1.000,00 – aplicação(Saída de Caixa)

R$ 1.050,00 – resgate(Entrada de Caixa)

Período

• Transforma-se uma taxa decimal em percentual multiplicando-se o valor da taxa por 100.• Transforma-se uma taxa percentual em decimal dividindo-se o valor da taxa por 100.

Exemplos de formas idênticas de expressão das taxas de juros

Taxas Percentual Forma Decimal Fração

2% ao mês 2% a.m. 0,02 a.m. 2/100 a.m.

15% ao ano 15% a.a. 0,15 a.a. 15/100 a.a.

Embora os modos de expressão acima apresentados sejam semelhantes, a forma mais comum de expressar uma taxa de juros é a forma percentual com o período abreviado.Exemplo: 2% a.m., 15% a.a. etc.

Regimes de Juros de Capitalização

A maneira como o cálculo dos juros é efetuado defi ne o regime dos juros. Podem ser dois os regimes de capitalização: juros simples e juros compostos.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA30

Conceitos Financeiros Diversos Existem outros conceitos básicos em matemática fi nanceira, os quais devem fi car claros, bem como a nomenclatura utilizada:

• Valor Presente ou Principal (P) – Valor Atual ou Capital Inicial. Corresponde ao valor do dinheiro na Data Zero do Fluxo de Caixa, ou no instante presente. Em algumas literaturas e máquinas fi nanceiras, adota-se a nomenclatura PV ou, ainda, VP;

• Valor Futuro ou Montante (F) – valor do dinheiro em uma data futura. Este Valor Futuro é o Valor Principal acrescido dos Juros (j) incorridos no período. Em algumas literaturas e máquinas fi nanceiras, adota-se a nomenclatura FV ou ainda VF;

• Juros (j) – remuneração do capital empregado: – para o investidor: remuneração do investimento; – para o tomador: custo do capital obtido no empréstimo;

• Tempo de Investimento (n) – como se denomina o número de períodos da aplicação (tempo);

• Período de Capitalização – conceito associado à periodicidade de remuneração associada à captação de juros no regime de juros compostos.

Exemplo: mensal, bimestral, trimestral, anual. Devemos lembrar que, em regime de juros compostos, o incremento (juros) passa a fazer parte do

capital somente depois de vencido o período de capitalização. Exemplo: você coloca na caderneta de poupança um valor qualquer: se retirá-lo antes de vencer o

período de capitalização (mensal), nada receberá do banco;

• Taxa de Juros (i) – índice que determina a remuneração do capital num determinado tempo (dia, mês, ano...), também conhecido por taxa efetiva do investimento;

• Prestações Uniformes (PMT) – valor de cada prestação, associado a séries uniformes;

• Desconto (D) – refere-se ao valor fi nanceiro que deve ser subtraído do valor nominal quando antecipamos o pagamento de um documento (título, nota promissória, cheque...);

• Taxa de Desconto (id) – índice de decréscimo do valor nominal de um documento quando antecipamos seu pagamento;

• Ano Civil – período de 365 dias ou 366 (para os anos bissextos), com meses de 28(29), 30 ou 31 dias, também chamado de ano-calendário;

• Ano Comercial – ano de 360 dias, considerando-se todos os meses com 30 dias. É muito utilizado em operações fi nanceiras.

UNIDADE 2 31

Convenções/Notações

Descrição Nomenclatura Adotada Outras Nomenclaturas

Valor Presente, Principal ou Capital Inicial P PV, VP, A

Valor Futuro ou Montante F FV, VF, M

Juros Simples ou Compostos J –

Tempo n t

Prazo de Carência m c

Taxa de Juros i r, k

Taxa de Juros Anual aa ao ano

Taxa de Juros Semestral as ao semestre

Taxa de Juros Trimestral at ao trimestre

Taxa de Juros Mensal am ao mês

Desconto D –

Taxa de Desconto id forma decimal da taxa

Prestações Uniformes PMT A

Recebimento R rec

Pagamento G pg, P

Valor Atual de uma Série A P A

Montante de uma Anuidade SF S

Comentário

No Brasil, adota-se, normalmente, o ano civil para a contagem dos dias e o ano comercial (com 360 dias) para o cálculo das taxas de juros. Estes juros são também conhecidos como juros bancários. Quanto aos meses, consideram-se todos os meses como tendo 30 dias. É, por exemplo, o caso da caderneta de poupança, que paga juros mensais, independentemente da quantidade de dias do mês, que pode variar de 28 a 31 dias.

• Critérios adotados nos cálculos Neste material, todas as vezes que surgirem operações envolvendo frações, serão consideradas

quatro casas decimais para o cálculo da resposta, exceto nas situações que envolvam potências (exponenciações – aplicáveis a juros compostos), quando serão utilizadas seis casas decimais.

Observação

Na utilização de calculadoras fi nanceiras ou científi cas para operações em sequência, normalmente não se “zeram” as memórias, o que pode redundar em cálculos que ofereçam respostas com ligeiras diferenças (de aproximação), em relação aos resultados aqui expressos.

32 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

• Critério de arredondamento Adotaremos o critério internacional de arredondamento de valores:

Último Dígito Resultado Exemplo 0, 1, 2, 3, 4 Eliminar 125,852 → 125,85

5 Somar 1 ao que fi ca, após eliminar o número 5 125,85 → 125,90

6, 7, 8, 9 Somar 1 ao que fi ca, após eliminar o último dígito 125,9 → 126,00

Fixa

ndo

Con

ceit

os

FIXANDO CONCEITOS 2 33

[1] Considere as afi rmativas abaixo:

I. Juros é uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, pela utilização de dinheiro de um credor.

II. A taxa de juros é o índice que determina a remuneração do capital num determinado tempo.III. A matemática fi nanceira estuda e avalia as alterações ocorridas nos fl uxos de caixas ao longo

do tempo.IV. Os regimes de juros de capitalização são: juros simples e juros compostos.

Agora assinale as afi rmativas corretas:

(a) São corretas somente as afi rmativas I e III.(b) São corretas somente as afi rmativas II e IV.(c) São corretas somente as afi rmativas I, II e III.(d) São corretas somente as afi rmativas I, II e IV.(e) Todas as afi rmativas estão corretas.

[2] No primeiro dia do mês, João aplicou R$ 3000,00. Ao fi nal do mês, o valor da aplicação dele era de R$ 3050,00. Qual foi a taxa de juros utilizada?

(a) 2%(b) 3%(c) 4%(d) 5%(e) 10%

34 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

[3] No fi nal de uma aplicação, Maria recebeu a quantia de R$ 2.229,95. Sabendo que a taxa de juros foi de 3%, quanto Maria recebeu de juros?

(a) R$ 45,32(b) R$ 51,45(c) R$ 56,97(d) R$ 62,01(e) R$ 64,95

[4] Se aplicar R$ 1.500,00 no início do mês, quanto receberei no fi nal da aplicação, sabendo que a taxa de juros é de 4%?

(a) R$ 1.300,00(b) R$ 1.560,00(c) R$ 1.580,00(d) R$ 1.600,00(e) R$ 1.650,00

Juro

s Si

mpl

es

UNIDADE 3 35

JUROS SIMPLES

Juros Simples

N o regime de capitalização a juros simples, os juros de cada período são calculados tendo sempre como base o valor do capital inicial.

Exemplo: Suponha uma pessoa que quer investir R$ 1.000,00 e entrega, em 1o de janeiro, esse valor ao Banco A, que lhe promete juros simples de 10% ao ano. Qual será o seu saldo credor ao fi nal de 3 anos?

O quadro a seguir resume o rendimento do investimento:

Data Base Cálculo (Capital) Juros de Cada Ano Saldo Final

Ano 1 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.100,00

Ano 2 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.200,00

Ano 3 1.000,00 10% de 1.000,00 = 100,00 1.300,00

3

0 1 2 3 4 5 ...

J (Juros)}Valor PresenteP

t

R$

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA36

Aplicação prática

O Banco A aplicou o dinheiro do cliente à taxa de 10% ao ano, sobre o capital inicial (R$ 1.000,00), mas não permitiu que o cliente retirasse os juros nem o remunerou por esses juros, que fi caram à disposição do banco durante todo o tempo da aplicação. Como foi apurado o valor R$ 1.300,00?

O capital (R$ 1.000,00) é multiplicado pela taxa (10%). Apura-se R$ 100,00. Em seguida, esse valor é multiplicado por 3, que é o número de anos em que o dinheiro fi cou aplicado, e encontramos os juros.

Juros = Capital × Taxa × Tempo de Aplicação

Cálculo adotando a simbologia:

P – principal ou capital inicial (no exemplo R$ 1.000,00)j – juros simplesn – tempo de aplicação (no exemplo, 3 anos)i – taxa de juros no período (no exemplo 10%)

Na maioria dos exercícios de matemática fi nanceira, são fornecidas algumas variáveis para se encontrar o valor da variável que se procura.

j = P × i × n, é a fórmula do cálculo dos juros simples.

Essa fórmula só pode ser aplicada se o tempo de aplicação n for expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i, considerado o prazo em ano, taxa ao ano, prazo em mês, taxa ao mês etc.

Aplicação prática

1. Uma pessoa tomou emprestada a importância de R$ 2.000,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 40% ao ano. Qual o valor dos juros simples a ser pago?

Dados:P = 2.000n = 2 anosi = 40% a.a. = 40 ÷ 100 = 0,4 a.a.

Cálculo:j = P × i × nj = 2.000 × 0,40 × 2 = 1.600

Resposta: O valor dos juros simples a ser pago é de R$ 1.600,00.

UNIDADE 3 37

2. Qual o valor dos juros simples a receber por uma aplicação de R$ 2.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês.

Dados:P = 2.000n = 3 mesesi = 1,5% a.m. = 1,5 ÷ 100 = 0,015 a.m.

Cálculo:j = P × i × nj = 2.000 × 0,015 × 3 = 90,00

Resposta: O valor dos juros simples a receber é de R$ 90,00.

Taxas ProporcionaisDenominam-se taxas proporcionais aquelas que, aplicadas a um mesmo valor presente (principal), geram um mesmo valor futuro (montante), para um mesmo intervalo de tempo.

Exemplo

Calcular a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

O primeiro passo é reduzir o tempo a uma mesma unidade. Lembrando que 1 ano = 12 meses, temos: 30% está para 12 meses, assim como x está para 1 mês (Regra de Três).

Ou seja:30% ÷ 12 = x ÷ 1x = 30% ÷ 12 = 2,5%

Logo: 2,5% é a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

2,5% 2,5%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mês

Ano

2,5%

• Duas taxas são proporcionais quando os seus valores guardam uma proporção com o tempo a que elas se referem. Para fazer o cálculo, é preciso reduzir o tempo a uma mesma unidade.

• Problemas envolvendo taxas proporcionais podem ser resolvidos por meio de “Regra de Três”.• Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o período (n) ou a taxa (i), alterando uma

ou outra variável, uma vez que as relações são proporcionais.• Estes conceitos são válidos apenas e tão somente para Taxas de Juros Simples.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA38

Aplicação prática

1. Calcule a taxa mensal proporcional a 300% ao ano.

Como 1 ano = 12 meses, temos: 300% ÷ 12 = x ÷ 1 = x = 25%

Resposta: 25% ao mês é proporcional a 300% ao ano.

2. Apurar a taxa anual proporcional a 6% ao trimestre.

Como: 1 ano = 4 trimestres, temos: 6% × 4 = 24%

Resposta: 6% ao trimestre é proporcional a 24% ao ano.

3. Qual a taxa semestral proporcional a 4% ao bimestre?

Como: 1 semestre = 3 bimestres, podemos escrever: 4% × 3 = 12%

Resposta: 12% ao semestre é proporcional a 4% ao bimestre.

4. Qual é a relação de proporcionalidade entre as taxas de juros anuais (i.a.), semestrais (i.s.), trimestrais (i.t.), mensais (i.m.) e diárias (i.d.).

Resposta: i.a. = 2 × i.s.; i.a. = 4 × i.t.; i.a. = 12 × i.m.; i.a. = 360 × i.d.;

5. Quais são as taxas de juros: anual, semestral, trimestral e mensal proporcionais à taxa diária de 0,10%?

Taxa ao dia = 0,10% = 0,10 ÷ 100 = 0,0010Taxa ao ano = 0,0010 × 360 = 0,36 → 0,36 × 100 = 36,0% a.a.Taxa ao semestre = 0,0010 × 180 = 0,18 → 0,18 × 100 = 18,0% a.s.Taxa ao trimestre = 0,0010 × 90 = 0,09 → 0,09 × 100 = 9,0% a.t.Taxa ao mês = 0,0010 × 30 = 0,030 → 0,03 × 100 = 3,0% a.m.

Resposta: 36,0% a.a.; 18,0% a.s.; 9,0% a.t.; 3,0% a.m.

Atenção

Para o cálculo de Juros Simples Comercial:

2 semestres 3 quadrimestresUM ANO TEM 4 trimestres 6 bimestres 12 meses 360 dias

UNIDADE 3 39

Juros Simples Comercial e Juros Simples Exatos• Juros Simples Comercial – são os juros cujo cálculo considera o ano comercial (com 360 dias) e o

mês comercial (com 30 dias).

• Juros Simples Exatos – neste caso, considera-se o número exato de dias do ano (365 ou 366, caso o ano seja bissexto).

Aplicação prática

1. Um empréstimo de R$ 6.000,00, realizado em 20/07 foi pago em 25/11 do mesmo ano. Sendo a taxa de 18,25% ao ano, qual o valor total dos juros simples exatos a ser pago?

Inicialmente, determina-se o número de dias:

De 20/07 a 31/07 – 11 dias * 01/08 a 31/08 – 31 dias 01/09 a 30/09 – 30 dias 01/10 a 31/10 – 31 dias 01/11 a 25/11 – 25 diasTotal: 128 dias

* No cálculo de períodos fi nanceiros, para se apurar o valor dos juros ou do montante futuro, não se considera a data inicial. No exemplo, é o dia 20/07.

Dados: P = 6.000,00n = 128 dias; n = 128 ÷ 365 = 0,3507 anosi = 18,25% a.a. = 0,1825 a.a.

Cálculo:j = 6.000 × 0,1825 × 0,3507 = 384,02

Resposta: O valor dos juros simples exato a ser pago é de R$ 384,02.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA40

2. A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 66.000,00 para que, em 3 meses e 10 dias, obtenham-se juros simples de R$ 11.000,00?

Dados:P = 66.000,00j = 11.000i = mensaln = 3 meses e 10 dias = 100 dias = (100 ÷ 30) meses (atenção: divide-se por 30 dias, isto é, 1 mês, porque se deseja saber a taxa mensal).j = P × i × nSendo os juros de R$ 11.000,00, pode-se escrever:11.000 = 66.000 × i × 100 ÷ 30i = 11.000 ÷ (66.000 × (100 ÷ 30))i = 0,05 a.m. = 5% a.m.

Resposta: A taxa é de 5% ao mês.

Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o período (n) ou a taxa (i), alterando uma ou outra variável, uma vez que as relações são proporcionais.

Valor Futuro (a Juros Simples)No caso do cliente que aplicou R$ 1.000,00 no banco e obteve R$ 300,00 de juros, quando terminar o período de aplicação ele terá R$ 1.300,00. Esse valor é chamado de Valor Futuro (ou montante) e engloba o valor presente do capital (P), acrescido dos juros auferidos no período.

O Valor Futuro – F é, portanto, a soma do capital investido ou aplicado mais os juros obtidos na aplicação durante um determinado período de tempo.

Sendo:F = P + j

Lembrando que j = P × i × n, então o valor futuro (F) é: F = P + P × i × n

Colocando P em evidência, temos que:F = P (1 + i × n)

UNIDADE 3 41

Aplicação prática

1. Qual o valor futuro que receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês, em regime de juros simples?

Dados:P = 28.000n = 15 mesesi = 3% a.m. = 0,03 a.m.Como:F = P (1 + i × n)Então:F = 28.000 (1 + 0,03 × 15)F = 28.000 (1 + 0,45)F = 28.000 × 1,45F = 40.600

Este problema poderia ser resolvido de outro modo: j = 28.000 × 0,03 × 15 = 12.600Como: F = P + jF = 28.000 + 12.600 = 40.600

Resposta: F = R$ 40.600,00

2. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, em regime de juros simples?

Dados:F = 14.800n = 18 meses ÷ 12 = 1,5 anosi = 48% a.a. = 0,48 a.a.F = P (1 + i × n)14.800 = P (1 + 0,48 × 1,5)14.800 = P (1 + 0,72)14.800 = P (1,72)P = 14.800 ÷ 1,72P = 8.604,65

Resposta: O capital inicial necessário é de R$ 8.604,65.

3. Quanto rende, a juros simples, um capital de R$ 100.000,00, investido a 9% ao mês durante 8 meses?

Dados: P = 100.000 i = 9% a.m. = 0,09 a.m. n = 8 mesesComo: j = P × i × n

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA42

j = 100.000 × 0,09 × 8j = 72.000

Resposta: Rende R$ 72.000,00 de juros.

4. Quais os juros simples de uma aplicação de R$ 200.000,00, a 4,8% ao mês, pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias:

Dados:P = 200.000i = 4,8 ÷ 100 = 0,048 ao mêsn = 2 anos, 3 meses e 12 diasOu seja: 720 dias + 90 dias + 12 dias = 822 dias = 822 ÷ 30 = 27,4 meses

O número de dias (822) é dividido por 30, para se apurar a quantidade de meses. Como a taxa é mensal, o tempo também terá de ser expresso em meses. Desse modo, apuram-se os juros simples da aplicação.

j = 200.000 × 0,048 × 27,4j = 263.040

Resposta: Os juros são de R$ 263.040,00.

5. Um capital foi aplicado a juros simples, a uma taxa de 3% ao mês. No fi nal de 1 ano, 4 meses e 6 dias rendeu de juros R$ 97.200,00. De quanto era esse capital?

Dados:j = 97.200i = 3 ÷ 100 a.m. = 0,03 a.m.n = 1 ano, 4 meses e 6 dias = 360 + 120 + 6 = 486 dias ÷ 30 = 16,2 meses

CálculoP = ?j = P × i × n97.200 = P × 0,03 × 16,2P = 200.000

Resposta: O capital era de R$ 200.000,00.

6. Um investidor empregou, durante 2 anos, 3 meses e 20 dias a quantia de R$ 70.000,00. Sabendo-se que essa aplicação rendeu juros simples de R$ 75.530,00, qual foi a taxa simples mensal da aplicação?

Dados:P = 70.000j = 75.530n = 2 anos, 3 meses e 20 dias (720 + 90 + 20) = 830 dias ÷ 30 = 27,6667 mesesi = ? (mensal)

UNIDADE 3 43

Como j = P × i × n75.530 = 70.000 × i × 27,6667i = 75.530 ÷ (70.000 × 27,6667)i = 0,039 = 3,9% a.m.

Resposta: A taxa mensal foi de 3,9%.

7. A quantia de R$ 25.000,00 acumulou, em 1 ano, 4 meses e 18 dias, um montante de R$ 47.410,00. Qual foi a taxa simples mensal da aplicação?

Dados:P = 25.000F = 47.410n = 1 ano, 4 meses e 18 dias = 360 + 120 + 18 = 498 dias → (498 ÷ 30) mesesCálculo:i = ? (mensal)F = P (1 + i × n)Então: 47.410 = 25.000 (1 + i × 498 ÷ 30)47.410 = 25.000 × 1 + i × 25.000 × 498 ÷ 3047.410 = 25.000 + i × 415.00047.410 – 25.000 = i × 415.00022.410 = i × 415.000 i = 22.410 ÷ 415.000i = 0,054 = 5,4% a.m.

Resposta: A taxa simples mensal foi de 5,4%.

Para o cálculo da taxa de juros, pode-se também utilizar a fórmula:

i = F – 1 × 1

P nLogo: i = (47.410 ÷ 25.000 –1) × (1 ÷ 498 ÷ 30)i = 0,054 = 5,4% a.m. 8. Quanto rende de juros simples um capital de R$ 12.000,00, aplicado a 84% a.a.,

durante 3 meses?

Dados: P = 12.000 i = 84% a.a. = 0,84 a.a. n = 3 meses = 3 ÷ 12 anos Como: J = P × i × nEntão: J = 12.000 × 0,84 × 3 ÷ 12J = R$ 2.520,00

Resposta: O valor dos juros é R$ 2.520,00.

[ ]

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA44

9. Um valor aplicado a certa taxa de juros simples rende, em 1 ano, 2 meses e 20 dias, um valor igual a 1/3 do principal. Qual a taxa anual dessa aplicação?

Dados:j = (1 ÷ 3) × P = P ÷ 3n = 1 ano, 2 meses e 20 dias = 360 + 60 + 20 = 440 dias → (440 ÷ 360) anosVariável desejada: i = ? (ao ano) Sendo: j = P × i × nEntão, P ÷ 3 = P × i × (440 ÷ 360)Multiplicando por 360 os dois lados da equação:360 × P ÷ 3 = P × i × (440 ÷ 360) × 360 120 × P = 440 × P × i120 × P = 440 × P × i (simplifi ca-se cortando o P)120 = 440 × ii = 120 ÷ 440i = 0,2727 = 27,27% a.a.

Resposta: A taxa anual é de 27,27%.

10. Quantos meses um capital de R$ 500,00, aplicado à taxa de 30% ao bimestre, leva para produzir R$ 1.050,00 de juros simples?

Dados:P = 500J = 1.050i = 30 ÷ 100 a.b. = 0,30 a.b.n = ?j = P × i × nLogo: 1.050 = 500 × 0,3 × nn = 7 bimestres ou 7 × 2 meses = 14 meses

Resposta: São necessários 14 meses para se obter esse valor de juros.

11. Qual o Valor Futuro de uma aplicação de R$ 10.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 3 anos?

Dados:P = 10.000n = 3 anos = 3 × 12 = 36 mesesi = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 a.m. = 0,025 a.m.Cálculo de F:Como F = P (1 + i × n), então: F = 10.000 (1 + 0,025 × 36)F = 19.000

Resposta: O Valor Futuro será de R$ 19.000,00.

UNIDADE 3 45

12. O capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a uma taxa (juros simples) de 0,5% ao dia. O investimento foi feito por um prazo de 116 dias. Qual o total de juros?

Dados:P = 10.000i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d.n = 116 diasj = P × i × n, logo:j = 10.000 × 0,005 × 116j = 5.800

Resposta: O total de juros é de R$ 5.800,00.

13. Em quantos anos um capital, aplicado a juros simples de 10% a.a., triplica?

Dados:P = P (capital qualquer)F = 3 P (triplo do capital inicial)F = P + J → J = F – P → J = 3P – P J = 2Pi = 10 ÷ 100 a.a. = 0,1 a.a.n = ?Como: j = P × i × n Logo: 2 P = P × 0,1 × n → n = 20

Resposta: O capital triplicará em 20 anos.

O cálculo do tempo de investimento pode também seguir a fórmula: n = F – 1 × 1

P i Logo: n = (3 ÷ 1 – 1) × (1 ÷ 0,1) n = 20 anos

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA46

14. Nos problemas em que não aparece o capital, você poderá usar o valor R$ 100,00 para facilitar sua resolução. Basta resolver a questão anterior usando este artifício:

Dados:P = 100,00F = 3 × P = 3 × 100 = 300,00F = P + J → J = F – PJ = 300 – 100J = 200i = 10 ÷ 100 a.a. = 0,1 a.a.n = ?Como J = P × i × nLogo, 200 = 100 × 0,1 × n → n = 20.

Resposta: O capital triplicará em 20 anos.

Fixa

ndo

Con

ceit

os

FIXANDO CONCEITOS 3 47

[1] Dada a taxa anual de 42%, a taxa mensal proporcional é de:

(a) 3,5% (b) 6% (c) 7% (d) 10,5% (e) 12%

[2] A taxa mensal proporcional a 30% ao ano é de:

(a) 1,5% (b) 2,5% (c) 3% (d) 3,5% (e) 6%

[3] A taxa anual proporcional a 8% ao trimestre é de:

(a) 16% (b) 24% (c) 32% (d) 36% (e) 38%

[4] Os juros simples de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias são de:

(a) R$ 1.125,00 (b) R$ 1.150,00 (c) R$ 1.175,00 (d) R$ 1.225,00 (e) R$ 1.250,00

[5] Aplicando R$ 2.800,00 por 1 ano, 5 meses e 3 dias, obtemos juros simples de R$ 2.872,80. Qual a taxa mensal simples dessa aplicação?

(a) 2% (b) 3% (c) 4% (d) 5% (e) 6%

[6] Que quantia aplicada durante 2 anos, 3 meses e 15 dias, à taxa simples de 2,75% ao mês, produz um montante de R$ 307.343,75?

(a) R$ 150.000,00 (b) R$ 175.000,00 (c) R$ 200.000,00 (d) R$ 225.000,00 (e) R$ 250.000,00

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA48

[7] Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado, à taxa simples de 3,5% ao mês, durante 6 meses. Ao fi nal desse tempo, o capital acumulado (F) é de:

(a) R$ 8.800,00 (b) R$ 9.300,00 (c) R$ 10.420,00 (d) R$ 11.380,00 (e) R$ 12.100,00

[8] A quantia de R$ 50.000,00, aplicada durante 5 meses, rendeu R$ 7.500,00 de juros simples. A taxa mensal é de:

(a) 3% (b) 4% (c) 5% (d) 6% (e) 7%

[9] Aplicando R$ 30.000,00 durante um certo tempo, a 40% ao ano, obtivemos R$ 24.000,00 de juros simples. O tempo de aplicação foi de:

(a) 1 ano (b) 2 anos (c) 3 anos (d) 4 anos (e) 5 anos

[10] Para obter R$ 6.000,00 de juros simples, aplicou-se a quantia de R$ 10.000,00 por 4 anos. A taxa anual dessa aplicação foi de:

(a) 5% (b) 10% (c) 15% (d) 20% (e) 25%

[11] Qual a taxa mensal que faz com que um capital, investido a juros simples durante 16 meses, tenha seu valor triplicado?

(a) 10% (b) 12,5% (c) 14,5% (d) 15% (e) 16,5%

[12] Um capital, aplicado a uma taxa de 12% a.m., rende juros simples que são iguais a 1/10 do seu valor inicial. Qual o total de dias em que esse capital foi aplicado?

(a) 5 dias (b) 10 dias (c) 15 dias (d) 20 dias (e) 25 dias

[13] Uma pessoa investiu um capital de R$ 60.000,00, durante 146 dias, à taxa de juros simples de 9% a.m. Os juros simples desse investimento foram de:

(a) R$ 22.530,00 (b) R$ 23.880,00 (c) R$ 26.280,00 (d) R$ 27.480,00 (e) R$ 28.260,00

[14] O capital que produziu um montante de R$ 86.400,00, investido a juros simples durante 8 meses, a 138% a.a., é de:

(a) R$ 30.000,00 (b) R$ 35.000,00 (c) R$ 40.000,00 (d) R$ 45.000,00 (e) R$ 50.000,00

FIXANDO CONCEITOS 3 49

[15] Um capital, aplicado a uma taxa de 90% a.a., renderá juros simples iguais a 1/20 do seu valor. O total de dias de aplicação desse capital será de:

(a) 10 dias (b) 20 dias (c) 30 dias (d) 40 dias (e) 50 dias

[16] O capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., gerou um montante de R$ 953.120,00. O total de meses em que esse capital foi aplicado a juros simples foi de:

(a) 6 meses (b) 7 meses (c) 8 meses (d) 9 meses (e) 10 meses

[17] A taxa mensal de um capital de R$ 480.000,00 que, aplicado em 3 meses e 20 dias, produziu R$ 4.400,00 de juros simples foi de:

(a) 0,25% (b) 2,5% (c) 25% (d) 27,5% (e) 31,25%

[18] Dois capitais, de R$ 11.000,00 e R$ 5.000,00, estiveram aplicados durante 3 anos a juros simples. O primeiro capital esteve aplicado à taxa de 7% a.a. e rendeu R$ 1.110,00 a mais do que o segundo. A taxa a que esteve aplicado o segundo capital foi de:

(a) 4% a.a. (b) 5% a.a. (c) 6% a.a. (d) 7% a.a. (e) 8% a.a.

[19] A soma de um capital com seus juros é igual a R$ 2.553,47. Qual o valor dos juros simples da aplicação, que durou 110 dias, à taxa de 7% a.a.:

(a) R$ 53,47 (b) R$ 54,38 (c) R$ 55,29 (d) R$ 56,12 (e) R$ 58,50

[20] Qual é o prazo necessário para se duplicar um capital aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m.?

(a) 20 meses (b) 22 meses (c) 24 meses (d) 25 meses (e) 30 meses

[21] Encontrar o capital que, acrescido de juros simples a 6,5% a.a., em 1 ano e 4 meses, gera um montante de R$ 7.824,00:

(a) R$ 7.200,00 (b) R$ 7.400,00 (c) R$ 7.600,00 (d) R$ 7.800,00 (e) R$ 7.900,00

[22] A taxa mensal de um capital de R$ 8.000,00, que, em 6 meses, gerou juros simples de R$ 2.640,00, foi de:

(a) 3,5% (b) 4,5% (c) 5,5% (d) 6,5% (e) 7,5%

[23] Um capital de R$ 32.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 12% a.a., rende R$ 4.800,00. O total de meses dessa aplicação é de:

(a) 11 meses (b) 12 meses (c) 13 meses (d) 14 meses (e) 15 meses

50 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

[24] Um capital de R$ 100.000,00, aplicado a uma taxa de 20% a.t., ao longo de 15 meses, rendeu de juros simples:

(a) R$ 20.000,00 (b) R$ 30.000,00 (c) R$ 50.000,00 (d) R$ 75.000,00 (e) R$ 100.000,00

[25] Os juros simples de uma aplicação de R$ 50.000,00, à taxa de 6% a.a., pelo prazo de 18 dias, são de:

(a) R$ 100,00 (b) R$ 120,00 (c) R$ 150,00 (d) R$ 180,00 (e) R$ 200,00

[26] O montante de uma aplicação de R$ 80.000,00, a juros simples de 3,5% a.m., pelo prazo de 9 meses, é de:

(a) R$ 100.000,00 (b) R$ 102.500,00 (c) R$ 105.200,00 (d) R$ 106.800,00 (e) R$ 108.000,00

[27] Os juros simples de uma aplicação de R$ 12.000,00, a 36% a.a., por um trimestre são de:

(a) R$ 1.080,00 (b) R$ 1.180,00 (c) R$ 1.280,00 (d) R$ 1.380,00 (e) R$ 1.480,00

[28] Os juros simples de uma aplicação de R$ 350.000,00, à taxa de 4% a.m., aplicados por 72 dias, são de:

(a) R$ 30.000,00 (b) R$ 31.200,00 (c) R$ 32.400,00 (d) R$ 33.600,00 (e) R$ 36.000,00

[29] Um capital, acrescido de seus juros de 21 meses, soma R$ 156.400,00. O mesmo capital, diminuído de seus juros de 9 meses, é reduzido a R$ 88.400,00. Calcular o capital e a taxa de juros simples desses investimentos.

(a) 100.125,32 e 1.95% a.m.(b) 103.795,74 e 1,98% a.m.(c) 105.540,26 e 2,01% a.m.(d) 108.800,05 e 2,08% a.m.(e) 109.645,47 e 2,12% a.m.

[30] Quanto se deve aplicar hoje em uma instituição fi nanceira, que paga juros simples de 6% a.m., para se obter R$ 200.000,00 no fi m de 39 dias?

(a) R$ 150.688,40 (b) R$ 168.800,36 (c) R$ 185.528,76 (d) R$ 190.000,00 (e) R$ 198.222,22

[31] O juro comercial simples de R$ 10.000,00, aplicado há 198 dias, à taxa de 6% ao ano, é de:

(a) R$ 166,67 (b) R$ 303,03 (c) R$ 313,33 (d) R$ 330,00 (e) R$ 600,00

Des

cont

o Si

mpl

es

UNIDADE 4 51

DESCONTO SIMPLES

Taxas de Desconto

B ancos e outras instituições fi nanceiras realizam operações de desconto de títulos diversos. Nesse caso, o credor do título recebe hoje o valor do título que tem vencimento futuro, mediante o pagamento de deságio e cessão dos direitos creditórios. Nessas operações, são

negociados títulos como notas promissórias (NP), duplicatas e outros.

Conceitos

Deságio – valor de desconto que se deduz de uma obrigação a ocorrer no futuro, para que essa possa ser quitada antecipadamente.

Cessão dos direitos creditórios – cessão do valor a receber numa data, por pessoa física ou jurídica, que pode ser negociado com terceiros.

n (período de antecipação)

F (Valor Nominal)

D (Desconto)

P

tempo

•P (Valor Atual)

R$

4

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA52

Quando alguém tem algo a pagar e outro tem algo a receber, podem ocorrer situações como:

• o devedor tem disponibilidade de recursos e opta por pagar antes da data predeterminada. Neste caso, o prazo de empréstimo é reduzido. Logo, é razoável que o devedor pague menos pelo empréstimo. Assim, ele se benefi cia com um abatimento correspondente aos juros que seriam gerados por esse dinheiro, durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; e

• pode ocorrer, também, que o credor (quem emprestou o dinheiro) necessite do dinheiro antes da data marcada. Como, quase sempre, o devedor não pode antecipar o pagamento, pois já se programou para pagar na data predeterminada, o credor vende seu título de crédito a um terceiro. Ora, esse agente também vai querer ser remunerado com os juros do capital que adiantar, considerando-se o intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento.

Em ambos os casos, há um benefício, defi nido pela diferença entre as duas quantidades – a que seria paga e a que efetivamente foi paga. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.

As operações citadas são denominadas operações de desconto.

Na operação de desconto, usamos alguns termos específi cos:

• data de vencimento – dia fi xado, no título, para pagamento da aplicação;

• valor nominal ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate (F) – valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento);

• valor atual ou valor presente ou valor descontado (P) – líquido pago (antes do vencimento);

• prazo (n) – o tempo em períodos (dias, meses ou anos), compreendido entre o dia em que se negocia o título e o seu vencimento. O prazo inclui o último dia (ou mês ou ano) e exclui o primeiro; e

• desconto (D) – pode ser entendido como sendo a diferença entre o valor nominal e o valor atual. O desconto pode ser feito, considerando-se, como capital, o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, temos um desconto comercial e, no segundo, um desconto racional.

Não abordaremos aqui o assunto desconto racional.

UNIDADE 4 53

Desconto ComercialÉ a modalidade de desconto mais utilizada. É denominada desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente aos juros simples, produzidos, pelo valor nominal do título, no período de tempo correspondente à taxa fi xada.

Cálculo do Desconto Comercial

Pela defi nição acima, têm-se:

P = F – D

D = F × id × n

onde:D = valor do desconto comercial (em moeda R$) F = valor nominal do título ou valor de face ou valor futuroP = valor presente, correspondente ao valor futuro, descontado o valor do desconto “D”id = taxa de desconto (na forma decimal)n = prazo de antecipação (tempo)

Nota: também neste caso, n e id devem estar na mesma unidade de tempo.

Outra fórmula para o cálculo:

P = F – D, como D = F × id × n, o cálculo do valor presente pode ser simplifi cado para a fórmula:

P = F × (1 – id × n)

Conclusão

O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois, para prazos longos, o valor do desconto pode ultrapassar o valor nominal do título.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA54

Aplicação prática

1. Um título de R$ 3.000,00 é descontado por fora, 6 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 2% ao mês. Considerando regime de capitalização de juros simples, qual o valor do desconto?

Dados:F = 3.000id = 2% a.m. = 0,02 ao mêsn = 6 mesesCálculo:D = F × id × nD = 3.000 × 0,02 × 6D = 360

Resposta: O desconto é de R$ 360,00.

2. Um título de R$ 5.000,00 foi descontado por R$ 3.750,00. Sabendo que o tempo de antecipação foi de 4 meses, qual a taxa mensal de desconto simples?

Dados:F = 5.000P = 3.750D = 5.000 – 3.750 = 1.250id = ?n = 4 mesesCálculo:D = F × id × n1.250 = 5.000 × id × 41.250 = 20.000 × id

id = 6,25% a.m.

Resposta: A taxa de desconto foi de 6,25% ao mês.

3. Qual o valor atual de um título de R$ 1.200,00, resgatado 8 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 42% ao ano, considerando-se os juros simples?

Dados:F = 1.200P = ?id = 42 ÷ 100 = 0,42 ao anon = 8 meses = 8 ÷ 12 anos (porque a taxa id é anual)Cálculo:P = F × (1 – id × n)P = 1.200 × (1 – 0,42 × 8 ÷ 12)P = 864

Resposta: O valor atual do título é R$ 864,00.

UNIDADE 4 55

Outro modo de calcular:D = F × id × nD = 1.200 × 0,42 × (8 ÷ 12)D = 336P = F – DP = 1.200 – 336 = 864

4. Calcule o valor do desconto simples de um título de R$ 1.720,00, descontado 3 meses e 20 dias antes do vencimento, a uma taxa de 38,7% ao ano.

Dados:F = 1.720D = ?id = 38,7 ÷ 100 = 0,387 ao anon = 3 meses e 20 dias = 90 + 20 = 110 diasou seja: n = (110 ÷ 360) anos (porque a taxa id é anual)Cálculo:D = F × id × nD = 1.720 × 0,387 × (110 ÷ 360)D = 203,39

Resposta: O valor do desconto é de R$ 203,39.

5. Uma promissória de R$ 1.480,00 foi resgatada, 4 meses antes do seu vencimento, por R$ 1.220,00. Qual a taxa anual da operação, considerando o regime de capitalização a juros simples?

Dados:F = 1.480P = 1.220D = 1.480 – 1.220 = 260id = ? (ao ano)n = 4 meses = 4 ÷ 12 anos (porque a taxa id desejada é anual)Cálculo:D = F × id × n260 = 1.480 × id × 4 ÷ 12id = 0,5270 = 52,70% a.a.

Resposta: A taxa anual é de 52,70%.

6. Calcule o valor de um título que foi resgatado por R$ 796,24, 6 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 7% ao mês em juros simples.

Dados:F = ?P = 796,24id = 7 ÷ 100 = 0,07 ao mêsn = 6 meses

56 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Cálculo:P = F (1 – id × n)796,24 = F (1 – 0,07 × 6)

Resposta: O valor do título é R$ 1.372,83.

7. Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 900,00, descontado 5 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 3% ao mês?

Dados:F = 900D = ?id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mêsn = 5 mesesD = F × id × nCálculo:D = 900 × 0,03 × 5D = 135

Resposta: O desconto é de R$ 135,00.

Fixa

ndo

Con

ceit

os

FIXANDO CONCEITOS 4 57

[1] Uma nota promissória de R$ 186.000,00, vencendo em 72 dias, sofreu R$ 3.199,20 de desconto comercial simples. A taxa anual usada nessa operação foi de:

(a) 6% (b) 7,6% (c) 8,6% (d) 9,2% (e) 10,4%

[2] O valor atual de um título de R$ 20.000,00, descontado a 5% a.a., em 6 meses, considerando juros simples é de:

(a) R$ 19.500,00 (b) R$ 20.000,00 (c) R$ 21.500,00 (d) R$ 22.000,00 (e) R$ 23.500,00

[3] O valor atual de um título que, descontado a 6% a.a., 4 meses antes do vencimento, produziu o desconto comercial simples de R$ 600,00 é de:

(a) R$ 28.200,00 (b) R$ 28.600,00 (c) R$ 29.200,00 (d) R$ 29.400,00 (e) R$ 30.000,00

[4] Devo a um amigo R$ 110.000,00. Desejo liquidar a dívida, endossando-lhe um título que possuo de R$ 90.000,00, vencendo em 1 mês e 25 dias. Se o desconto comercial simples for feito a 8% a.a., a quantia em dinheiro que devo dar é de:

(a) R$ 21.100,00 (b) R$ 24.800,00 (c) R$ 25.300,00 (d) R$ 28.900,00 (e) R$ 88.900,00

[5] Calcular o valor nominal de uma duplicata que, à taxa de 6% a.m., sofreu um desconto bancário ou comercial ou por fora de R$ 60,00, ao ser resgatado 2 meses antes de seu vencimento:

(a) R$ 300,00 (b) R$ 400,00 (c) R$ 500,00 (d) R$ 600,00 (e) R$ 700,00

[6] Para descontar uma nota promissória, a uma taxa de desconto comercial simples de 15% ao mês, 60 dias antes do vencimento, uma pessoa recebe o líquido de R$ 280,00. O valor nominal é de:

(a) R$ 100,00 (b) R$ 200,00 (c) R$ 300,00 (d) R$ 400,00 (e) R$ 500,00

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA58

[7] Um título de R$ 350,00 é descontado por R$ 245,00, 6 meses antes do vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples é de:

(a) 1% (b) 2% (c) 3% (d) 4% (e) 5%

[8] O valor do desconto comercial simples de um título de R$ 800,00, 3 meses e 18 dias antes do vencimento, a uma taxa de 4% ao mês, é de:

(a) R$ 115,20 (b) R$ 122,30 (c) R$ 124,50 (d) R$ 132,80 (e) R$ 135,40

[9] Uma letra de câmbio foi descontada por R$ 320,00, 8 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 1,5% ao mês. O valor nominal era de:

(a) R$ 341,41 (b) R$ 356,56 (c) R$ 363,64 (d) R$ 392,92 (e) R$ 402,02

[10] Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 6.072,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples foi de 4% ao mês, o tempo de antecipação foi de:

(a) 3 meses (b) 4 meses (c) 5 meses (d) 6 meses (e) 7 meses

[11] Uma letra de câmbio de valor nominal de R$ 4.700,00 foi resgatada 1 mês e 6 dias antes do seu vencimento, à taxa de 2,2% ao mês. O valor do desconto comercial simples foi de:

(a) R$ 112,20 (b) R$ 118,06 (c) R$ 121,09 (d) R$ 124,08 (e) R$ 125,09

[12] Uma nota promissória de R$ 18.600,00, vencendo em 272 dias, sofreu um desconto bancário de R$ 930,00. A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 0,25% (b) 0,35% (c) 0,45% (d) 0,55% (e) 0,65%

[13] Uma letra, descontada por fora à taxa de 2,5% ao dia, produziu o desconto comercial simples equivalente a 1/4 de si mesma. O prazo de antecipação foi de:

(a) 6 dias (b) 8 dias (c) 10 dias (d) 12 dias (e) 15 dias

[14] Um título de valor nominal de R$ 6.000,00 é resgatado 4 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial simples de 36% ao ano. O valor atual pago é de:

(a) R$ 5.080,00 (b) R$ 5.180,00 (c) R$ 5.280,00 (d) R$ 5.380,00 (e) R$ 5.480,00

FIXANDO CONCEITOS 4 59

[15] Um título de R$ 1.800,00 foi resgatado 9 meses antes do seu vencimento. Se a taxa de desconto simples foi de 2,75% ao mês, o valor do desconto comercial simples foi de:

(a) R$ 445,50 (b) R$ 450,80 (c) R$ 475,50 (d) R$ 490,30 (e) R$ 498,20

[16] Uma pessoa resgatou uma duplicata pela metade do preço 8 meses antes do seu vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 5% (b) 5,75% (c) 6% (d) 6,25% (e) 7,25%

[17] Uma nota promissória de R$ 16.000,00 foi resgatada por R$ 14.880,00 a 21 dias do seu vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 6% (b) 7% (c) 8% (d) 9% (e) 10%

[18] Um título de valor nominal de R$ 4.000,00 é resgatado por R$ 3.600,00, 5 meses antes de seu vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples utilizada nessa transação é de:

(a) 1,2% (b) 1,5% (c) 2% (d) 2,5% (e) 3%

[19] Um título de R$ 13.000,00 foi descontado por fora por R$ 9.100,00. Sabendo-se que foi resgatado 5 meses antes de seu vencimento, a taxa mensal de desconto foi de:

(a) 4% (b) 5% (c) 6% (d) 7% (e) 8%

[20] Uma nota promissória de R$ 1.530,00 foi descontada a uma taxa de desconto comercial simples de 8% ao ano, produzindo um desconto de R$ 71,40. O prazo da antecipação em meses foi de:

(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7

[21] Uma nota promissória foi paga 7 meses e meio antes do seu vencimento, sofrendo um desconto comercial simples à taxa de 8% ao mês. Sabendo-se que o devedor pagou R$ 4.800,00, podemos afi rmar que o valor nominal da promissória foi de:

(a) R$ 8.000,00 (b) R$ 9.000,00 (c) R$ 10.000,00 (d) R$ 11.000,00 (e) R$ 12.000,00

[22] Um título de R$ 640,00 foi resgatado 11 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 1,85% ao mês. O valor deste desconto foi de:

(a) R$ 130,24 (b) R$ 132,38 (c) R$ 141,12 (d) R$ 143,15 (e) R$ 144,20

[23] Um título de valor nominal de R$ 2.000,00 foi resgatado por um valor atual de R$ 1.820,00. Sabendo-se que a taxa mensal de desconto comercial simples é de 3% ao mês, então o prazo de antecipação foi de:

(a) 2 meses (b) 3 meses (c) 4 meses (d) 5 meses (e) 6 meses

60 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

[24] Em uma operação fi nanceira, o valor nominal do título é igual a 10 vezes o desconto comercial simples concedido. Sendo a taxa de desconto simples de 2% ao dia, o prazo de antecipação foi de:

(a) 3 dias (b) 4 dias (c) 5 dias (d) 6 dias (e) 7 dias

[25] O valor do desconto de um título de R$ 20.000,00, a 6% ao mês, em 1 ano é de:

(a) R$ 12.000,00 (b) R$ 12.600,00 (c) R$ 14.000,00 (d) R$ 14.400,00 (e) R$ 15.000,00

[26] Um título de R$ 4.200,00 foi resgatado por R$ 3.800,00, 8 meses antes do vencimento. A taxa mensal de desconto comercial simples foi de:

(a) 0,92% (b) 1% (c) 1,19% (d) 1,35% (e) 2%

[27] Deseja-se resgatar um título cujo valor nominal é de R$ 2.000,00, 4 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 30% ao ano, o desconto obtido na hora do resgate será de:

(a) R$ 120,00 (b) R$ 150,00 (c) R$ 180,00 (d) R$ 200,00 (e) R$ 220,00

[28] O valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.400,00, descontado 2 meses e 18 dias antes do vencimento, a uma taxa de 36% ao ano, é de:

(a) R$ 158,80 (b) R$ 161,30 (c) R$ 172,40 (d) R$ 187,20 (e) R$ 191,80

[29] O valor atual de um título de R$ 4.500,00, resgatado 6 meses e 12 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de 45% ao ano, é de:

(a) R$ 3.180,00 (b) R$ 3.340,00 (c) R$ 3.380,00 (d) R$ 3.400,00 (e) R$ 3.420,00

[30] O valor de um título que foi resgatado por fora por R$ 1.080,00, 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 0,5% ao dia, era de:

(a) R$ 2.400,00 (b) R$ 2.500,00 (c) R$ 2.600,00 (d) R$ 2.700,00 (e) R$ 2.800,00

[31] O valor nominal de um título, resgatado 16 meses antes do vencimento, é de R$ 6.000,00, e a taxa de desconto comercial simples é de 1,5% ao mês. O valor do desconto obtido foi de:

(a) R$ 1.145,00 (b) R$ 1.240,00 (c) R$ 1.350,00 (d) R$ 1.440,00 (e) R$ 2.832,00

[32] Um título de R$ 35.000,00 será resgatado 24 meses antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 8,75% ao ano, o desconto obtido na hora do resgate será de:

(a) R$ 5.836,23 (b) R$ 6.125,00 (c) R$ 7.437,00 (d) R$ 8.950,00 (e) R$ 9.128,30

Juro

s C

ompo

stos

UNIDADE 5 61

JUROS COMPOSTOS

Juros Compostos

Em relação aos juros simples, os juros produzidos por um capital são sempre os mesmos, qualquerque seja o período. O motivo disso é que os juros simples são sempre calculados sobre ocapital inicial, não importando o montante correspondente ao período anterior.

Exemplo

Um capital de R$ 100,00 aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juros simples:

Capital Inicial = R$ 100,00

Relembrando (Juros Simples): j = P × i × n

Mês Juros Simples Montante (F)

1 100 × 0,02 × 1 = 2,00 102,00 2 100 × 0,02 × 1 = 2,00 104,00 3 100 × 0,02 × 1 = 2,00 106,00

No regime de juros compostos, porém, os juros a cada período são calculados sobre o montante existente no período anterior. Dessa forma, os juros do período anterior são incorporados ao capital. Pode-se dizer, então, que, no regime de juros compostos, “os juros rendem juros”. Este é o regime mais utilizado.

Tomando o exemplo anterior, de acordo com a defi nição, temos:

Capital Inicial = R$ 100,00

5

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA62

Assim, no regime de juros compostos, os juros produzidos no fi m de cada período são somados ao capital que os produziu, passando os dois, capital e juros, a render juros no período seguinte.

Mês Juros Compostos Montante (F)

1 100,00 × 0,02 × 1 = 2,00 102,00 2 102,00 × 0,02 × 1 = 2,04 104,04 3 104,04 × 0,02 × 1 = 2,08 106,12

Juros compostos são aqueles que, a partir do segundo período, são calculados sobre o montante relativo ao período anterior.

Convenções ou Notações Utilizadasem Juros Compostos

J – juros compostosP – capital inicial → valor tomado emprestadoF – Valor Futuro ou Montante → valor do capital inicial acrescido de juros compostos i – taxa de juros compostosPeríodo de capitalização – ciclo de tempo necessário para gerar juros compostos Exemplo: na caderneta de poupança, este ciclo é de 30 dias.n – tempo de aplicação – quantidade de períodos de capitalização do investimento.

Veja outras nomenclaturas na Tabela (Anexo 1).

Comentário

Nos enunciados de exercícios e/ou aplicações práticas, quando não estiver defi nido o período de capitalização, este será entendido como sendo aquele apresentado no tempo de aplicação do investimento.

Entendendo como calcular o montante (Valor Futuro) de um investimento.

Supondo-se um investimento cujo capital inicial seja P, aplicado a uma taxa de juros compostos igual a “i” durante “n” períodos de capitalização, temos:

Período Juros Montante

1o J1 = P × i F1 = P + J1 = P + P × i = P (1 + i) → F1 = P (1 + i)

2o J2 = F1 × i F2 = F1 + J2 = F1+ F1× i = F1 (1 + i) → F2 = P (1 + i) × (1 + i) → F2 = P (1 + i)2

3o J3 = F2 × i F3 = F2 + J3 = F2+ F2× i = F2 (1 + i) → F3 = P (1 + i)2 × (1 + i) → F3 = P (1 + i)3

UNIDADE 5 63

Analisando a sequência anterior, podemos deduzir que, para “n” períodos, teremos:

Fn = P (1 + i)n

onde:F = montante ou Valor FuturoP = capital iniciali = taxa de juros compostosn = tempo de aplicação

Calcular os Juros Compostos de um Investimento (J)

Sabendo que, em qualquer investimento, o montante é sempre igual ao capital inicial adicionado aos juros, então, podemos escrever:Jn = Fn – P

Substituindo a fórmula do montante temos que:Jn = P (1 + i)n – P

Colocando o capital inicial em evidência:

Jn = P [(1 + i)n – 1]

onde: Jn = juros compostosP = capital iniciali = taxa de juros compostosn = tempo de aplicação

O fator (1 + i)n é chamado de fator de capitalização.

Importante

Essas fórmulas serão válidas exclusivamente se a taxa e o período estiverem na mesma unidade de tempo (ano, mês, dia...)

Aplicação prática

1) Qual o montante e os juros compostos de uma aplicação de R$ 4.000,00, a uma taxa de 2,5% a.m., pelo prazo de 14 meses, considerando o período de capitalização mensal?

Resolução:P = 4.000,00i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m.n = 14 mSabemos que Fn = P(1 + i)n

F = 4.000 × (1 + 0,025)14

F = 4.000 × (1,025)14 = 4.000 × 1,412974F = 5.651,90

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA64

Logo:J = F – PJ = 5.651,90 – 4.000,00 = 1.651,90

Outra forma de calcular os juros: J = P[(1 + i)n – 1]J = 4.000 [(1 + 0,025)14 – 1]J = 4.000 [0,412974]J = 1.651,90

Resposta: O montante do investimento é de R$ 5.651,90 e os juros compostos foram de R$ 1.651,90.

Observe que na aplicação prática anterior, o período (n) e a taxa (i) estão na mesma unidade de tempo (mês).

Taxas Equivalentes Denominam-se taxas equivalentes aquelas que, aplicadas a um mesmo capital, geram um mesmo valor futuro (montante), no mesmo intervalo de tempo.

Em juros compostos, calculamos a taxa equivalente, utilizando a seguinte fórmula:

1 + I = (1 + i)n

onde:I = taxa do período maiori = taxa do período menorn = relação de conversão entre os períodos envolvidos

Observação

Lembre-se de multiplicar o resultado, por 100 para apresentar a taxa percentual.

Aplicação prática

1. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?

Dados:Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 2 ÷ 100)12

I = (1,02)12 – 1I = 1,268242 – 1

UNIDADE 5 65

I = 0, 268242 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)I = 26,8242% a.a.

Resposta: A taxa anual equivalente a 2% a.m. é de 26,8242% a.a.

2. Qual a taxa mensal equivalente a 30% a.a.?

Dados:Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 30 ÷ 100 = (1 + i)12

1,30 = (1 + i)12

Dividindo os índices por 12, temos:(1,30)1÷12 = 1 + i1,022104 – 1 = ii = 0,022104 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 2,2104% a.m.

Resposta: A taxa mensal equivalente a 30% a.a. é de 2,2104% a.m.

3. Qual a taxa anual equivalente a 3% ao trimestre?

Dados:Períodos envolvidos (trimestre e ano). Menor: trimestre Maior: ano Relação de conversão: 4 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 3 ÷ 100)4

I = (1,03)4 – 1I = 1,125509 – 1I = 0,125509 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)I = 12,5509% a.a.

Resposta: A taxa anual equivalente a 3% a.t. é de 12,5509% a.a.

4. Qual a taxa diária equivalente a 70% ao trimestre?

Dados:Períodos envolvidos (dia e trimestre). Menor: dia Maior: trimestre Relação de conversão: 90 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 70 ÷ 100 = (1 + i)90

1,70 = (1 + i)90

Dividindo os índices por 90, temos:(1,70)1÷90 = 1 + i1,005913 – 1 = ii = 0,005913 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,591328% a.d.

Resposta: A taxa diária equivalente a 70% a.t. é de 0,591328% a.d.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA66

Comentários

• A solução de um problema de juros compostos passa pela observação das unidades, apresentadas na taxa e no período de capitalização. Lembre-se sempre de converter a taxa para a mesma unidade do período de capitalização ou transformar o tempo para o mesmo período de capitalização.

• Em problemas de juros compostos, é muito mais fácil converter a unidade de tempo, ou seja, use a taxa (i) dada pelo problema e mude a unidade de tempo.

Regra Prática para Estabelecer Taxas Equivalentes

• Vamos estabelecer as taxas equivalentes de 3% ao mês.• Some 1 a 3% = 1 + 0,03 = 1,03, que chamaremos de coefi ciente de capitalização.• Para encontrar as taxas equivalentes, basta elevar o coefi ciente à unidade de tempo desejada

(bimestre, trimestre etc) e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.

Taxa Unidade de Quantidade Elevar o Equivalente Tempo Desejada de Meses Coefi ciente Cálculo 3% a.m. bimestre 2 (1,03)² subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09 % a.b.

trimestre 3 (1,03)³ subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27 % a.t.

quadrimestre 4 (1,03)4 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.

semestre 6 (1,03)6 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41 % a.s.

ano 12 (1,03)12 subtrair 1 e multiplicar por 100 42,58 % a.a.

• Vamos fazer o caminho inverso do que foi feito na tabela anterior, usando uma taxa de 42,58% ao ano.

• Some 1 a 42,58% = 1 + 0,4258 = 1,4258 (coefi ciente de capitalização).• Para voltar de uma taxa equivalente, basta elevar o coefi ciente a 1 (um) sobre a

unidade de tempo desejada e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.

• Procure, através destes exemplos, converter taxas em outras unidades de tempo, como trimestre, bimestre etc.

Taxa Unidade de Elevar o Equivalente Tempo Desejada 1 Ano Tem Coefi ciente Cálculo 42,58% a.a. meses 12 (1,4258)1/12 subtrair 1 e multiplicar por 100 3% a.m.

bimestres 6 (1,4258)1/6 subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09% a.b.

trimestres 4 (1,4258)1/4 subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27% a.t.

quadrimestres 3 (1,4258)1/3 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.

semestres 2 (1,4258)1/2 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41% a.s.

UNIDADE 5 67

Exemplo

Qual será o montante de uma aplicação de R$ 4.000,00, a juros compostos, a uma taxa de 2,5% ao mês, pelo prazo de 14 meses?

Resolução:P = 4.000,00i = 2,5% a.m. = 2,5 ÷ 100 = 0,025 a.m.n = 14 mesesF = ?

Análise inicial: a taxa efetiva está no mesmo período de capitalização → não necessita de conversão.

Logo:F = P (1 + i)n

Substituindo os dados já conhecidos, temos:F = 4.000 × (1 + 0,025)14

F = 4.000 × (1,025)14

F = 4.000 × 1,412974F = 5.651,90

Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 5.651,90.

Aplicação prática

1. Quais os juros compostos de uma aplicação de R$ 20.000,00, a 4% ao ano, durante 8 meses?

Dados:P = 20.000,00J = ?n = 8 mesesi = 4% a.a.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade, portanto, devemos converter a taxa de ano para meses.Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 4 ÷ 100 = (1 + i)12

1,04 = (1 + i)12

(1,04)1÷12 = 1 + i1,003274 – 1 = ii = 0,003274 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,327374% a.m.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA68

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 20.000 × (1 + 0,003274)8

F = 20.000 × (1,003274)8

F = 20.000 × 1,026492F = 20.529,84Logo:J = F – P → 20.529,84 – 20.000,00 J = 529,84

Resposta: Os juros compostos são de R$ 529,84.

2. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.000,00, em regime de juros compostos, aplicado durante 6 meses, à taxa de 3,5% ao mês?

P = 6.000F = ?i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mêsn = 6 mesesComo F = P × (1 + i)n

Logo:F = 6.000 (1 + 0,035)6

F = 6.000 (1,035)6

F = 6.000 × 1,229255F = 7.375,53

Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 7.375,53.

3. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 19.752,14.

F = 19.752,14P = ?i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mêsn = 8 mesesF = P × (1 + i)n

19.752,14 = P (1 + 0,035)8

19.752,14 = P (1,035)8

19.752,14 = P × 1,31680919.752,14 ÷ 1,316809 = P → P = 15.000

Resposta: O capital aplicado foi de R$ 15.000,00.

UNIDADE 5 69

4. O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado, a juros compostos, por 2 dias, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante obtido?

P = 12.000,00F = ?n = 2 diasi = 36% a.a.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de ano para dias.Períodos envolvidos (dia e ano). Menor: dia Maior: ano Relação de conversão: 360 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 36 ÷ 100 = (1 + i)360

1,36 = (1 + i)360

(1,36)1 ÷ 360 = 1 + i1,000854 – 1 = ii = 0,000854 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,085449% a.d.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 12.000 × (1 + 0,000854)2

F = 12.000 × (1,000854)2

F = 12.000 × 1,001710F = 12.020,52

Resposta: O montante (Valor Futuro) é de R$ 12.020,52.

5. Quais os juros de uma aplicação de R$ 1.500,00, a juros compostos de 1,13% ao mês, durante um semestre?

F = ?P = 1.500i = 1,13 ÷ 100 = 0,0113 ao mêsn = 1 semestre = 6 mesesComo F = P × (1 + i)n

Então:F = 1.500 (1 + 0,0113)6

F = 1.500 (1,0113)6

F = 1.500 × 1,069744F = 1.604,62

Resposta: O valor dos juros é de 1.604,62 – 1.500 = R$ 104,62.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA70

6. Qual o montante de um capital de R$ 3.000,00, a juros compostos de 2% ao mês, durante 1 dia?

P = 3.000,00F = ?n = 1 dia (Período de capitalização = diário)i = 2% a.m.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de mês para dia. Períodos envolvidos (dia e mês). Menor: dia Maior: mês Relação de conversão: 30 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 2 ÷ 100 = (1 + i)30

1,02 = (1 + i)30

(1,02)1÷30 = 1 + i1,000660 – 1 = ii = 0,000660 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,066031% a.d.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 3.000 × (1 + 0,000660)1

F = 3.000 × (1,000660)1

F = 3.000 × 1,000660F = 3.001,98

Resposta: O montante (Valor Futuro) é de R$ 3.001,98

7. Um capital de R$ 8.000,00 pode produzir, com juros compostos, a uma taxa de 3% ao quadrimestre, durante 2 trimestres, um montante de:

P = 8.000,00F = ?n = 2 trimestres = 6 meses (Período de capitalização = mensal)i = 3% a.q.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de quadrimestre para mês.Períodos envolvidos (mês e quadrimestre). Menor: mês Maior: quadrimestreRelação de conversão: 4 (Quantos menores cabem dentro do maior?)

UNIDADE 5 71

Portanto: 1 + I = (1 + i)n

1 + 3 ÷ 100 = (1 + i)4

1,03 = (1 + i)4

(1,03)1÷4 = 1 + i 1,007417 – 1 = i i = 0,007417 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual) i = 0,741707% a.m.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 8.000 × (1 + 0,007417)6

F = 8.000 × (1,007417)6

F = 8.000 × 1,045336F = 8.362,69

Resposta: O montante (Valor Futuro) que se pode produzir é de R$ 8.362,69.

8. Qual o montante obtido em uma aplicação de juros compostos, de R$ 1.500,00, a uma taxa de 6% ao ano, durante 1 semestre?

P = 1.500,00F = ?n = 1 semestre = 6 meses (Período de capitalização = mensal)i = 6% a.a.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de ano para mês. Períodos envolvidos (mês e ano). Menor: mês Maior: ano Relação de conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 6 ÷ 100 = (1 + i)12

1,06 = (1 + i)12

(1,06)1÷12 = 1 + i1,004868 – 1 = ii = 0,004868 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,486755 a.m.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 1.500 × (1 + 0,004868)6

F = 1.500 × (1,004868)6

F = 1.500 × 1,029563F = 1.544,34

Resposta: O montante (Valor Futuro) obtido é de R$ 1.544,34.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA72

9. Em uma aplicação de R$ 4.300,00, a juros compostos de 5% ao mês, durante 6 dias, quanto se ganha de juros?

P = 4.300,00J = ?n = 6 dias (Período de capitalização = diário)i = 5% a.m.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de mês para dia.Períodos envolvidos (dia e mês). Menor: dia Maior: mêsRelação de conversão: 30 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 5 ÷ 100 = (1 + i)30

1,05 = (1 + i)30

(1,05)1÷30 = 1 + i1,001628 – 1 = ii = 0,001628 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,162766% a.d.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 4.300 × (1 + 0,001628)6

F = 4.300 × (1,001628)6

F = 4.300 × 1,009806F = 4.342,16Logo:J = F – P = 4.342,16 – 4.300,00J = 42,16

Resposta: Os juros são de R$ 42,16.

10. Uma aplicação em juros compostos de R$ 1.260,00, a uma taxa de 8% ao quadrimestre, durante 2 meses, gera um montante de?

P = 1.260,00F = ?n = 2 meses (Período de capitalização = mensal)i = 8% a.q.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de quadrimestre para mês.Períodos envolvidos (mês e quadrimestre). Menor: mês Maior: quadrimestre Relação de conversão: 4 (Quantos menores cabem dentro do maior?)

UNIDADE 5 73

Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 8 ÷ 100 = (1 + i)4

1,08 = (1 + i)4

(1,08)1÷4 = 1 + i1,019427 – 1 = ii = 0,019427 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 1,942655 a.m.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = C (1 + i)n

F = 1.260 × (1 + 0,019427)2

F = 1.260 × (1,019427)2

F = 1.260 × 1,039230F = 1.309,43

Resposta: O montante (Valor Futuro) gerado é de R$ 1.309,43.

11. O Valor Futuro, obtido pela aplicação em juros compostos, de R$ 6.000,00, a uma taxa de 1,5% ao trimestre, durante 3 dias, será de?

P = 6.000,00F = ?n = 3 dias (Período de capitalização = diário)i = 1,5% a.t.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de trimestre para dia.Períodos envolvidos (dia e trimestre). Menor: dia Maior: trimestreRelação de conversão: 90 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 1,5 ÷ 100 = (1 + i)90

1,015 = (1 + i)90

(1,015)1÷90 = 1 + i1,000165 – 1 = ii = 0,000165 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,016544% a.d.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 6.000 × (1 + 0,000165)3

F = 6.000 × (1,000165)3

F = 6.000 × 1,000496F = 6.002,98

Resposta: O Valor Futuro (montante) será de R$ 6.002,98.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA74

12. O montante obtido pela aplicação, em juros compostos de R$ 240,00, a uma taxa de 3,5% ao mês, durante um semestre, será de?

P = 240,00F = ?n = 1 semestre = 3 bimestres (Período de capitalização = bimestral)i = 3,5% a.m.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de mês para bimestre.Períodos envolvidos (mês e bimestre). Menor: mês Maior: bimestreRelação de conversão: 2 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 3,5 ÷ 100)2

1 + I = (1,035)2

I = 1,071225 – 1I = 0,071225 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)I = 7,122500% a.b.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 240 × (1 + 0,071225)3

F = 240 × (1,071225)3

F = 240 × 1,229255F = 295,02

Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 295,02.

13. Aplicaram R$ 20.000,00, a juros compostos de 17% ao ano, durante 3 anos. O valor dos juros recebidos foi de:

P = 20.000,00J = ?n = 3 anos (Período de capitalização = anual – deduzido)i = 17% a.a. = 17 ÷ 100 = 0,17 a.a.

Análise inicial: período de capitalização e taxa estão na mesma unidade; portanto, não há necessidade de converter a taxa. Substituindo na fórmula dos juros, temos:J = P [(1 + i)n – 1]J = 20.000 × [(1 + 0,17)3 – 1]J = 20.000 × [(1,17)3 – 1]J = 20.000 × [0,601613]J = 12.032,26

Resposta: Os juros recebidos foram de R$ 12.032,26.

UNIDADE 5 75

14. O montante de R$ 1.300,00, aplicado em juros compostos, a uma taxa de 12% ao semestre, durante 5 semanas, será de?

P = 1.300,00F = ?n = 5 semanas = 5 × 7 = 35 dias (Período de capitalização = diária)i = 12% a.s.

Análise inicial: período de capitalização e taxa não estão na mesma unidade; portanto, devemos converter a taxa de semestre para dia.Períodos envolvidos (dia e semestre). Menor: dia Maior: semestreRelação de conversão: 180 (Quantos menores cabem dentro do maior?)Portanto:1 + I = (1 + i)n

1 + 12 ÷ 100 = (1 + i)180

1,12 = (1 + i)180

(1,12)1÷180 = 1 + i1,000630 – 1 = ii = 0,000630 (Multiplicar por 100 para apresentar a taxa percentual)i = 0,062980% a.d.

Substituindo na fórmula do montante, temos:F = P (1 + i)n

F = 1.300 × (1 + 0,000630)35

F = 1.300 × (1,000630)35

F = 1.300 × 1,022281F = 1.328,96

Resposta: O montante (Valor Futuro) será de R$ 1.328,96.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA76

Fixa

ndo

Con

ceit

os

FIXANDO CONCEITOS 5 77

[1] Uma pessoa toma R$ 300,00 emprestados, a juros compostos de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses. O montante a ser devolvido é de:

(a) R$ 365,19 (b) R$ 382,18 (c) R$ 397,22 (d) R$ 403,17 (e) R$ 421,31

[2] O montante de R$ 2.000,00, a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 15 meses, será de:

(a) R$ 3.220,38 (b) R$ 3.310,61 (c) R$ 3.350,70 (d) R$ 3.420,18 (e) R$ 3.580,91

[3] O montante de R$ 500,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fi m de 4 meses, será de:

(a) R$ 546,54 (b) R$ 558,18 (c) R$ 561,91 (d) R$ 572,12 (e) R$ 584,19

[4] O montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juros compostos, à taxa de 1,5% ao mês, será de:

(a) R$ 8.921,37 (b) R$ 9.020,38 (c) R$ 9.091,19 (d) R$ 9.189,28 (e) R$ 9.237,24

[5] O montante que resulta do capital de R$ 750,00, colocado a juros compostos, à taxa de 2,35% ao mês, no fi m de 6 meses, é de:

(a) R$ 851,71 (b) R$ 862,16 (c) R$ 873,18 (d) R$ 899,91 (e) R$ 902,32

[6] O montante produzido por R$ 1.200,00, em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês, durante 8 meses, será de:

(a) R$ 1.405,99 (b) R$ 1.410,21 (c) R$ 1.422,30 (d) R$ 1.431,12 (e) R$ 1.457,18

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA78

[7] O capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante composto de R$ 405,75 era de:

(a) R$ 320,00 (b) R$ 330,00 (c) R$ 340,00 (d) R$ 350,00 (e) R$ 360,00

[8] Um capital inicial, em regime de juros compostos, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 794,75. Esse capital era de:

(a) R$ 720,00 (b) R$ 730,00 (c) R$ 740,00 (d) R$ 750,00 (e) R$ 760,00

[9] O montante que resulta de R$ 300,00, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos, será de:

(a) R$ 1.320,92 (b) R$ 1.362,38 (c) R$ 1.400,85 (d) R$ 1.438,98 (e) R$ 1.480,86

[10] O montante de uma aplicação de R$ 800,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses, será de:

(a) R$ 1.188,15 (b) R$ 1.210,07 (c) R$ 1.238,14 (d) R$ 1.294,15 (e) R$ 1.318,92

[11] Os juros de uma aplicação de R$ 2.000,00, a 4,5% ao mês, durante 8 meses, são de:

(a) R$ 802,98 (b) R$ 810,18 (c) R$ 824,20 (d) R$ 836,30 (e) R$ 844,20

[12] O montante produzido pelo capital de R$ 680,00, em regime de juros compostos, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês, é de:

(a) R$ 708,30 (b) R$ 729,40 (c) R$ 789,40 (d) R$ 792,38 (e) R$ 802,38

[13] O montante obtido a partir de R$ 850,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses, é de:

(a) R$ 2.198,32 (b) R$ 2.204,68 (c) R$ 2.218,48 (d) R$ 2.227,32 (e) R$ 2.282,30

[14] O capital aplicado, a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo-se que após 8 meses rendeu um montante de R$ 1.975,22, era de:

(a) R$ 1.200,00 (b) R$ 1.400,00 (c) R$ 1.500,00 (d) R$ 1.600,00 (e) R$ 1.700,00

[15] O capital de R$ 1.800,00 foi aplicado, por 4 meses, a 20% ao ano. O valor futuro (montante) gerado será de:

(a) R$ 1.912,79 (b) R$ 2.318,94 (c) R$ 2.468,15 (d) R$ 2.498,13 (e) R$ 2.588,18

FIXANDO CONCEITOS 5 79

[16] O montante de uma aplicação de R$ 12.000,00, à taxa de juros de 22% ao ano, durante 8 meses, será de:

(a) R$ 13.701,07 (b) R$ 16.521,37 (c) R$ 16.692,30 (d) R$ 17.308,21 (e) R$ 17.492,38

[17] Aplicando-se certo capital durante 2 anos, à taxa de 24% ao ano, resgatou-se R$ 3.984,62 de valor futuro (montante). O valor do capital aplicado era de:

(a) R$ 2.400,00 (b) R$ 2.500,00 (c) R$ 2.591,45 (d) R$ 2.700,00 (e) R$ 2.800,00

[18] O capital de R$ 920,00 foi aplicado, durante 1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano. O valor futuro (montante) foi de:

(a) R$ 1.575,73 (b) R$ 1.642,94 (c) R$ 1.662,19 (d) R$ 1.672,18 (e) R$ 1.681,79

[19] O montante de um capital de R$ 500,00, ao fi m de 12 dias, com juros de 24% ao ano, será de:

(a) R$ 503,60 (b) R$ 799,18 (c) R$ 812,34 (d) R$ 824,57 (e) R$ 842,15

[20] O valor futuro, gerado por um capital inicial de R$ 6.000,00, a juros compostos de 5% a.m., durante 6 meses, é de:

(a) R$ 7.890,37 (b) R$ 7.990,38 (c) R$ 8.010,57 (d) R$ 8.030,57 (e) R$ 8.040,57

[21] O montante para um capital inicial de R$ 10.000,00, a juros compostos de 4% a.m., durante 8 meses, será de:

(a) R$ 13.510,38 (b) R$ 13.582,28 (c) R$ 13.598,12 (d) R$ 13.604,89 (e) R$ 13.685,69

[22] Foram colocados R$ 6.000,00, à taxa de juros compostos de 3% a.s., durante 4 quinzenas. Qual o valor futuro gerado?

(a) R$ 6.059,41 (b) R$ 7.308,92 (c) R$ 7.320,90 (d) R$ 7.438,30 (e) R$ 7.482,80

[23] Os juros compostos de R$ 25.000,00, aplicados durante 9 meses, à taxa de 6% a.m., serão de:

(a) R$ 15.980,14 (b) R$ 16.020,12 (c) R$ 16.075,80 (d) R$ 16.192,30 (e) R$ 17.236,97

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA80

[24] O valor futuro resultante de R$ 152.000,00, aplicados a juros compostos de 7% a.m., durante 30 meses, será de:

(a) R$ 861.332,15 (b) R$ 869.320,30 (c) R$ 872.429,18 (d) R$ 877.577,15 (e) R$ 1.157.062,77

[25] Um certo capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos, por 1 semestre, à taxa de 60% ao ano. O montante foi de:

(a) R$ 3.162,28 (b) R$ 7.882,18 (c) R$ 7.921,12 (d) R$ 7.962,15 (e) R$ 7.992,17

[26] O valor futuro (montante) produzido por R$ 4.200,00, em regime de juros compostos, à taxa de 22% ao mês, durante 18 dias, foi de:

(a) R$ 4.732,22 (b) R$ 4.898,29 (c) R$ 4.929,69 (d) R$ 4.948,72 (e) R$ 4.968,30

[27] O montante gerado por um capital de R$ 2.500,00, ao fi m de 6 meses, aplicado a juros de 24% ao ano, será de:

(a) R$ 2.609,00 (b) R$ 2.690,00 (c) R$ 2.783,88 (d) R$ 2.788,00 (e) R$ 2.809,00

[28] Aplicaram-se R$ 2.300,00, a juros compostos de 1,2% ao mês, durante 15 meses. O valor dos juros foi de:

(a) R$ 418,38 (b) R$ 424,80 (c) R$ 432,30 (d) R$ 444,90 (e) R$ 450,65

[29] Aplicamos R$ 820,00 a juros compostos de 2,3% ao semestre, durante 1 bimestre. O valor dos juros foi de:

(a) R$ 3,15 (b) R$ 4,94 (c) R$ 6,24 (d) R$ 7,18 (e) R$ 9,32

[30] A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de:

(a) 0,40% a.a. (b) 59,79% a.a. (c) 60% a.a. (d) 69,79% a.a. (e) 79,59% a.a.

[31] A taxa bimestral equivalente a 38% ao semestre é de:

(a) 6,90% a.b. (b) 11,33% a.b. (c) 12,66% a.b. (d) 16,67% a.b. (e) 18,33% a.b.

FIXANDO CONCEITOS 5 81

[32] A taxa trimestral equivalente a 28% ao bimestre é de:

(a) 15% a.t. (b) 44,82% a.t. (c) 82,38% a.t. (d) 109,72% a.t. (e) 142% a.t.

[33] A taxa semestral equivalente a 36% ao ano é de:

(a) 16,62% a.s. (b) 17,64% a.s. (c) 18% a.s. (d) 18,62% a.s. (e) 20% a.s.

[34] Ao aplicarmos R$ 48.000,00, pelo prazo de 27 meses, a uma taxa de juros de 1,00% ao mês, a juros compostos, o valor dos juros dessa aplicação será (desconsidere os centavos):

(a) R$ 12.960,00 (b) R$ 14.794,00 (c) R$ 60.960,00 (d) R$ 62.794,00 (e) R$ 71.106,00

[35] O montante produzido por R$ 100.000,00, a juros compostos de 2,5% a.m., por 12 meses, é de:

(a) R$ 130.000,00 (b) R$ 134.488,88 (c) R$ 153.345,86 (d) R$ 160.276,40 (e) R$ 165.234,92

[36] O juro devido a um capital de R$ 4.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 4,5% ao ano, por um prazo de 8 anos, é de:

(a) R$ 1.688,40 (b) R$ 2.250,00 (c) R$ 4.440,00 (d) R$ 5.440,00 (e) R$ 5.688,40

[37] Um capital de R$ 12.000,00 pode produzir, com juros compostos, a uma taxa de 4% ao trimestre, durante quatro quadrimestres, um montante de:

(a) R$ 13.498,37 (b) R$ 14.038,30 (c) R$ 14.791,96 (d) R$ 16.567,21 (e) R$ 22.475,77

82 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Des

cont

o C

ompo

sto

UNIDADE 6 83

O desconto composto é obtido em função de cálculos no regime de capitalização composta (exponencial). São dois os tipos de descontos: o comercial composto e o racional composto.

Neste curso, não abordaremos o desconto comercial composto por não haver aplicações práticas no Brasil.

Desconto Racional CompostoO desconto racional composto é dado pela diferença entre o valor nominal, ou de resgate de um título, e seu valor atual, calculado com base no regime de capitalização composta.

DESCONTO COMPOSTO

Encontrando o Valor Atual Em um investimento com capitalização composta, usando o Valor Atual como capital inicial (ambos sendo aqui representados por P) e uma taxa de desconto igual a id, durante um período n relativo à antecipação de seu vencimento, obtemos um montante igual ao Valor Nominal (F).

D = F – P (Fórmula I)

F (Valor Nominal)

P

n (Período)

Prazo de Antecipação

D (Desconto)

P

R$

6

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA84

A partir da fórmula de montante de desconto composto, temos que:

F = P (1 + id)n

Então:

P = F (1 + id)

n

Fórmula para calcular o Valor Atual onde:P = valor atual de resgate F = valor nominal do títuloid = taxa de desconton = prazo de antecipação do pagamento

Substituindo na fórmula 1, temos que:

D = F – P → F – F → F × (1 + id)n – F

(1 + id)n (1 + id)

n

Colocando F em evidência, temos que: D = F × [ (1 + id)n – 1]

(1 + id)n

Fórmula do Desconto Racional Compostoonde:D = desconto racional compostoF = valor nominal do títuloid = taxa de desconton = prazo de antecipação do pagamento

Exemplo

Calcule o valor do desconto composto racional de uma nota promissória, com valor de resgate de R$ 35.000,00, a vencer no prazo de 6 meses. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada foi de 5% a.m., calcular também o valor descontado da promissória.

Resolução:F = 35.000n = 6 meses (prazo de antecipação)id = 5 % a.m. = 5/100 = 0,05 a.m.

Desconto:

D = F × [ (1 + id)n – 1]

(1 + id)n

D = 35.000 × [(1 + 0,05)6 – 1] (1 + 0,05)6 D = 8.882,46

UNIDADE 6 85

Valor Atual: P = F (1 + id)

n

P = 35.000 (1 + 0,05)6

P = 26.117,54

Comentário

Chamaremos o desconto racional composto simplesmente de desconto composto, já que, no Brasil, apenas esta modalidade de desconto é praticada no regime de capitalização composta.

Aplicação prática

1. Um título de valor nominal de R$ 400,00 foi resgatado 5 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto composto de 2% ao mês. Qual o valor atual do título?

Resolução:F = 400P = ?id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mêsn = 5 meses Como P = F (1 + id)

n

Então:P = 400 ÷ (1 + 0,02)5

P = 400 ÷ (1,02)5

P = 362,29

Resposta: O Valor Atual (presente) do título é de R$ 362,29.

Nota: se for aplicado o valor presente (R$ 362,29) à taxa de 2% a.m., ao fi nal de 5 meses o montante gerado será de R$ 400,00.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA86

Solução utilizando a calculadora fi nanceira HP 12C®:Cálculo:Digitar: 400Apertar: Tecla FV. O valor 400 refere-se ao valor futuro → Visor: 400,00Digitar: 2Apertar: Tecla i. O valor 2 refere-se à taxa de juros. (Na utilização das funções fi nanceiras, a taxa de juros deve ser informada na forma percentual) → Visor: 2,00Digitar: 5Apertar: Tecla n. O valor 5 refere-se à quantidade de períodos. → Visor: 5,00Apertar: Tecla PV, e a máquina informa o valor da variável desejada: o valor presente. A resposta desejada aparecerá no visor: – 362,29.

2. Deseja-se resgatar um título de R$ 560,00, faltando 6 meses para o seu vencimento. Sendo a taxa de desconto composto de 1,28% ao mês, o seu valor atual será de:

Resolução:F = 560P = ?id = 1,28 ÷ 100 = 0,0128 ao mêsn = 6 mesesSendo: P = F ÷ (1 + id)

n

Então:P = 560 ÷ (1 + 0,0128)6

P = 560 ÷ 1,079299948P = 518,85

Resposta: O Valor Atual do título será de R$ 518,85.

3. Um título de R$ 1.480,00 foi resgatado 3 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto composto de 2,75% ao mês. O valor do desconto foi de:

Resolução:Dados:F = 1.480D = ?id = 2,75 ÷ 100 = 0,0275 ao mêsn = 3 meses

D = F × [(1 + id)

n – 1 =

1.480 [(1 + 0,0275)3– 1] = 115,68

(1 + id)n (1 + 0,0275)3

Resposta: O desconto obtido foi de R$ 115,68.

UNIDADE 6 87

4. O valor do desconto composto de um título de R$ 8.000,00, descontado 7 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 3,6% ao mês, é de:

Resolução:F = 8.000D = ?id = 3,6 ÷ 100 = 0,036 ao mêsn = 7 mesesP = F ÷ (1 + id)

n

P = 8.000 ÷ (1 + 0,036)7

P = 6.245,56D = F – P

Resposta: O desconto obtido é de 8.000,00 – 6.245,56 = R$ 1.754,44.

5. Uma duplicata, paga 5 meses antes do seu vencimento, com um desconto de 4% ao mês, fi cou reduzida a R$ 12.328,95. O valor da duplicata era de:

Resolução:F = ?P = 12.328,95id = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mêsn = 5 mesesComo P = F ÷ (1 + id)

n

Logo, 12.328,95 = F ÷ (1 + 0,04)5

F = 12.328,95 × 1,216653F = 15.000,05

Resposta: O valor da duplicata era de R$ 15.000,05.

6. Um título pago 8 meses antes do seu vencimento, com um desconto composto de 2,4% ao mês, fi cou reduzido a R$ 3.722,32. O valor do título era de:

Resolução:F = ?P = 3.722,32id = 2,4 ÷ 100 = 0,024 ao mêsn = 8 mesesP = F ÷ (1 + id)

n

Logo, 3.722,32 = F ÷ (1 + 0,024)8

3.722,32 = F ÷ (1,024)8 → 3.722,32 = F ÷ 1,208926F = 4.500,01

Resposta: O valor do título era de R$ 4.500,01.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA88

7. Um título de valor nominal de R$ 12.600,00 foi resgatado 1 ano antes do seu vencimento a uma taxa de desconto composto de 1,75% ao mês. O valor atual do título é de:

Resolução: F = 12.600P = ?id = 1,75 ÷ 100 = 0,0175 ao mêsn = 1 ano = 12 mesesP = F ÷ (1 + id)

n

Então:P = 12.600 ÷ (1 + 0,0175)12

P = 12.600 ÷ 1,231439P = 10.231,93

Resposta: O Valor Atual do título é de R$ 10.231,93.

8. Uma letra de R$ 18.000,00 foi sacada 1 ano e meio antes do seu vencimento a uma taxa de desconto composto de 12% ao semestre. O valor atual da letra é de:

Resolução:F = 18.000P = ?id = 12% ÷ 100 = 0,1200 semestre (Alinhando taxa e prazo de antecipação)n = 1 ano e meio = 3 semestresP = F ÷ (1 + id)

n

Então: P = 18.000 ÷ (1 + 0,12)3

P = 18.000 ÷ 1,404928P = 12.812,04

Resposta: O Valor Atual da letra é de R$ 12.812,04.

9. Uma promissória de R$ 5.000,00, que vence em 150 dias, vai ser trocada por outra que vence em 2 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 2,5% ao mês, qual o valor da nova promissória?

Resolução:F = 5.000P = ?id = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês150 dias = 5 meses n = 5 meses – 2 meses = 3 meses (antecipação)Como: P = F ÷ (1 + id)

n

P = 5.000 ÷ (1 + 0,025)3

P = 5.000 ÷ (1,025)3

P = 5.000 ÷ 1,076891P = 4.643,00

Resposta: O valor da nova promissória será de R$ 4.643,00.

UNIDADE 6 89

10. Um título de R$ 27.000,00, que vence em 1 ano, será trocado por outro a vencer em 8 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 2,15% ao mês, o valor do novo título será de:

Resolução:F = 27.000P = ?id = 2,15 ÷ 100 = 0,0215 ao mês1 ano = 12 mesesn = 12 meses – 8 meses = 4 meses (antecipação)P = F ÷ (1 + id)

n

P = 27.000 ÷ (1 + 0,0215)4

P = 27.000 ÷ (1,0215)4

P = 27.000,00 ÷ 1,088813P = 24.797,65

Resposta: O valor do novo título será de R$ 24.797,65.

11. Dois títulos, um de R$ 2.300,00, a vencer em 8 meses, e outro de R$ 3.400,00, que vence em 6 meses, deverão ser resgatados por um só pagamento, dentro de 3 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 2,8% ao mês, seu valor de resgate será de:

Resolução:(1o título):F1 = 2.300P1 = ?id = 2,8 ÷ 100 = 0,028 a.m.n = 8 meses – 3 meses = 5 meses (antecipação)P = F ÷ (1 + id)

n

P1 = 2.300 ÷ (1 + 0,028)5

P1 = 2.300 ÷ (1,028)5 P1 = 2.003,38

(2o título):F2 = 3.400P2 = ?id = 2,8 ÷ 100 = 0,028 a.m.n = 6 meses – 3 meses = 3 meses (antecipação)P = F ÷ (1 + id)

n

P2 = 3.400 ÷ (1 + 0,028)3

P2 = 3.400 ÷ (1,028)3

P2 = 3.129,68

Resposta: O valor de resgate será de 2.003,38 + 3.129,68 = R$ 5.133,06.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA90

12. Um título de valor nominal de R$ 4.000,00 foi descontado, a uma taxa de 60% ao ano, 1 ano antes do seu vencimento. Seu valor atual é de:

Resolução:F = 4.000P = ?id = 60 ÷ 100 = 0,60 a.a.n = 1 anoP = F ÷ (1 + id)

n

P = 4.000 ÷ (1 + 0,6)1

P = 4.000 ÷ (1,6)1 P = 2.500,00

Resposta: O Valor Atual é de R$ 2.500,00.

Comentário

Em problemas de desconto composto, é muito mais fácil converter a unidade de tempo, do prazo (n), sem a necessidade do cálculo da taxa equivalente.

13. O valor do desconto composto sofrido por um título de R$ 200,00, resgatado um bimestre antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês, é de:

Resolução:F = 200D = ?id = 3 ÷ 100 = 0,03 a.m.n = 1 bimestre = 2 meses

D = F × [(1 + id)n – 1] = 200 [(1 + 0,03)2 – 1

(1 + id)n (1 + 0,03)2

D = 200 × [1,0609 – 1] = 12,18 1,0609 1,0609

D = 11,48

Resposta: O valor do desconto composto é R$ 11,48.

UNIDADE 6 91

14. Duas promissórias, uma de R$ 650,00, que vence em 1 ano, e outra de R$ 1.230,00, a vencer em 10 meses, serão resgatadas por um só pagamento, dentro de 2 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 1,5% ao mês, o valor do pagamento único será de:

Resolução:(1a promissória):F1 = 650P1 = ?id = 1,5 ÷ 100 = 0,015 ao mês1 ano = 12 meses n = 12 meses – 2 meses = 10 meses (antecipação)P = F ÷ (1 + id)

n

P1 = 650 ÷ (1 + 0,015)10

P1 = 650 ÷ 1,160541P1 = 560,08

(2a promissória):F2 = 1.230P2 = ?id = 1,5 ÷ 100 = 0,015 ao mêsn = 10 meses – 2 meses = 8 meses (antecipação)P = F ÷ (1 + id)

n

P2 = 1.230 ÷ (1 + 0,015)8

P2 = 1.230 ÷ 1,126492P2 = 1.091,89

Resposta: O valor do pagamento único será de 1.091,89 + 560,08 = R$ 1.651,97.

15. Um título de R$ 30.000,00 foi resgatado, 4 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto composto de 4,8% ao mês. O valor do desconto foi de:

Resolução:F = 30.000D = ?id = 4,8 ÷ 100 = 0,048 ao mêsn = 4 meses

D = F × [(1 + id)n – 1]

(1 + id)n

D = 30.000 × [(1 + 0,048)4 – 1] (1 + 0,048)4

D = 30.000 × [1,206272 – 1] = 6.188,145 1,206272 1,206272

D = 5.129,98

Resposta: O valor do desconto foi de R$ 5.129,98.

92 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Fixa

ndo

Con

ceit

os

FIXANDO CONCEITOS 6 93

[1] O valor atual de um título de R$ 800,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês, é de:

(a) R$ 718,31 (b) R$ 722,08 (c) R$ 739,08 (d) R$ 741,13 (e) R$ 748,19

[2] O valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, é de:

(a) R$ 489,56 (b) R$ 491,18 (c) R$ 499,18 (d) R$ 519,24 (e) R$ 558,19

[3] O desconto composto, que um título de R$ 5.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês, é de:

(a) R$ 339,00 (b) R$ 341,00 (c) R$ 347,00 (d) R$ 352,00 (e) R$ 357,00

[4] Um título no valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano. O desconto concedido foi de:

(a) R$ 95,23 (b) R$ 102,20 (c) R$ 107,10 (d) R$ 112,80 (e) R$ 116,20

[5] Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 369,54 como valor atual. Sabendo-se que a antecipação foi de 4 meses e a taxa de desconto composto de 2% ao mês, o valor do desconto foi de:

(a) R$ 28,38 (b) R$ 30,46 (c) R$ 32,21 (d) R$ 38,18 (e) R$ 41,37

[6] Desejamos resgatar um título cujo valor nominal é de R$ 700,00, faltando, ainda, 3 meses para o seu vencimento. Sabendo que a taxa de desconto é de 3,5% ao mês, o valor atual é de:

(a) R$ 619,71 (b) R$ 622,18 (c) R$ 631,36 (d) R$ 638,92 (e) R$ 641,18

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA94

[7] O valor atual de um título de R$ 4.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano, é de:

(a) R$ 2.892,30 (b) R$ 2.940,11 (c) R$ 2.952,15 (d) R$ 2.968,13 (e) R$ 3.002,60

[8] O valor nominal de um título é de R$ 2.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 28% ao ano, o valor descontado será de:

(a) R$ 1.391,22 (b) R$ 1.398,19 (c) R$ 1.407,13 (d) R$ 1.418,38 (e) R$ 1.468,99

[9] O valor do desconto composto de um título de valor nominal de R$ 620,00, descontado 5 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% ao mês, será de:

(a) R$ 81,19 (b) R$ 85,18 (c) R$ 88,92 (d) R$ 90,30 (e) R$ 92,41

[10] O desconto obtido em um título de valor nominal de R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto composto de 30% ao ano, foi de:

(a) R$ 609,77 (b) R$ 669,12 (c) R$ 673,74 (d) R$ 681,18 (e) R$ 690,20

[11] Uma dívida paga 5 bimestres antes do vencimento se reduziu a R$ 3.736,30, com uma taxa de 6% ao bimestre. O valor da dívida era de:

(a) R$ 4.000,00 (b) R$ 4.500,00 (c) R$ 5.000,01 (d) R$ 5.500,00 (e) R$ 6.000,00

[12] Paguei R$ 2.043,53 por um título, com um desconto de 3% ao mês, quatro meses antes do vencimento. O valor do título era de:

(a) R$ 2.100,00 (b) R$ 2.200,00 (c) R$ 2.300,01 (d) R$ 2.400,00 (e) R$ 2.500,00

[13] O valor atual do capital que, ao fi m de 4 meses, equivale a R$ 600,00, à taxa de 2,5% ao mês, é de:

(a) R$ 537,48 (b) R$ 543,57 (c) R$ 549,12 (d) R$ 555,15 (e) R$ 560,10

[14] Um título de R$ 1.500,00 foi resgatado a 6 meses de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 6% ao bimestre, o valor atual é de:

(a) R$ 1.259,43 (b) R$ 1.262,38 (c) R$ 1.268,47 (d) R$ 1.272,72 (e) R$ 1.280,30

[15] Um título de valor nominal de R$ 2.000,00 sofreu um desconto composto de 40% ao ano, 2 anos antes do vencimento. O valor atual é de:

(a) R$ 952,30 (b) R$ 964,50 (c) R$ 969,30 (d) R$ 972,80 (e) R$ 1.020,41

FIXANDO CONCEITOS 6 95

[16] Um título foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês por R$ 676,46, a 3 meses do seu vencimento. O valor do título era de:

(a) R$ 730,00 (b) R$ 740,00 (c) R$ 750,00 (d) R$ 760,00 (e) R$ 780,00

[17] Uma letra que foi paga 5 meses antes do seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao mês, fi cou reduzida a R$ 2.465,79. O valor da letra era de:

(a) R$ 2.800,00 (b) R$ 2.900,00 (c) R$ 2.950,00 (d) R$ 3.000,01 (e) R$ 3.100,00

[18] Um título foi resgatado 1 ano e 6 meses antes do vencimento por R$ 2.303,70. A taxa trimestral de desconto foi de 4,5%. O valor do título era de:

(a) R$ 2.600,00 (b) R$ 2.700,00 (c) R$ 2.800,00 (d) R$ 2.900,00 (e) R$ 3.000,02

[19] Uma fi rma toma emprestada de um banco a importância de R$ 20.000,00, por um prazo de 10 meses, à taxa de 3,5% ao mês, em regime de juros compostos. Sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 3% ao mês, e desejando antecipar para 4 meses o pagamento, essa fi rma pagaria ao banco:

(a) R$ 23.425,30 (b) R$ 23.512,80 (c) R$ 23.627,09 (d) R$ 23.830,18 (e) R$ 23.929,15

[20] Um título no valor nominal de R$ 750,00, com vencimento em 5 meses, é trocado por outro com vencimento em 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 3% ao mês, o valor nominal do novo título é de:

(a) R$ 706,95 (b) R$ 709,18 (c) R$ 712,91 (d) R$ 714,15 (e) R$ 721,95

[21] Uma pessoa devedora de um título de R$ 1.000,00, a vencer em 6 meses, deseja substituí-lo por um outro com vencimento em 9 meses. Sendo a taxa de desconto composto de 3% a.m., o valor nominal do novo título será de:

(a) R$ 1.077,15 (b) R$ 1.088,30 (c) R$ 1.092,73 (d) R$ 1.098,38 (e) R$ 1.102,30

[22] Um título de crédito, cujo valor nominal é de R$ 80.000,00, foi liquidado 3 meses antes do vencimento. Qual seu valor atual, sendo a taxa de desconto composto de 2% a.m.?

(a) R$ 74.694,13 (b) R$ 74.981,18 (c) R$ 75.015,90 (d) R$ 75.128,30 (e) R$ 75.385,79

[23] Um título foi quitado 5 meses antes do vencimento por R$ 56.000,00, sofrendo desconto composto de 2% a.m. O valor nominal desse título era de:

(a) R$ 61.657,30 (b) R$ 61.770,90 (c) R$ 61.828,52 (d) R$ 61.918,94 (e) R$ 62.080,30

96 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

[24] O valor atual de um título de valor nominal igual a R$ 90.000,00, liquidado 2 meses antes do vencimento, com taxa de desconto composto de 4% a.m., é de:

(a) R$ 83.109,06 (b) R$ 83.180,12 (c) R$ 83.210,06 (d) R$ 83.320,10 (e) R$ 83.380,12

[25] Qual é o valor atual de um título de R$ 12.000,00, à taxa de 9% a.m., descontado 8 meses antes do vencimento:

(a) R$ 5.990,12 (b) R$ 5.994,38 (c) R$ 6.008,13 (d) R$ 6.022,40 (e) R$ 6.080,41

[26] Por uma duplicata de R$ 15.000,00, com vencimento em 3 anos e desconto composto de 20% ao ano, pagarei atualmente:

(a) R$ 8.591,15 (b) R$ 8.597,18 (c) R$ 8.610,28 (d) R$ 8.630,42 (e) R$ 8.680,56

[27] Uma letra que foi paga 4 meses antes do vencimento, com um desconto composto de 9% a.m., reduziu-se a R$ 75.600,00. O valor da letra era de:

(a) R$ 105.600,18 (b) R$ 105.720,91 (c) R$ 106.680,38 (d) R$ 106.715,57 (e) R$ 106.820,30

[28] Um título disponível, ao fi m de 8 meses, foi descontado a juros compostos de 11% a.m. e se reduziu a R$ 12.700,00. O valor do título era de:

(a) R$ 29.242,31 (b) R$ 29.255,91 (c) R$ 29.267,63 (d) R$ 29.278,13 (e) R$ 29.283,15

[29] Um título de R$ 85.000,00 é descontado 5 meses antes do vencimento a 8% a.m. Qual o desconto composto retido no resgate?

(a) R$ 27.080,92 (b) R$ 27.150,43 (c) R$ 27.220,12 (d) R$ 27.320,48 (e) R$ 27.381,15

[30] Antecipando em 6 meses o pagamento de um título, um corretor obteve um desconto racional composto, calculado com base na taxa de 2% a.m. Sendo R$ 25.000,00 o valor nominal do título, o corretor pagou por ele (desconsidere os centavos):

(a) R$ 18.750,00 (b) R$ 22.000,00 (c) R$ 22.199,00 (d) R$ 23.800,00 (e) R$ 24.500,00

[31] Havendo a possibilidade de ganhar 2% a.m., o desconto racional composto que se deve exigir na compra de um título no valor nominal de R$ 12.600,00, vencível em 4 meses, é de:

(a) R$ 252,60 (b) R$ 504,44 (c) R$ 787,50 (d) R$ 959,55 (e) R$ 1.008,42

Test

ando

Con

heci

men

tos

TESTANDO CONHECIMENTOS 97

[1] Uma empresa oferece as seguintes duplicatas para serem descontadas em um banco comercial: R$ 1.000,00, com vencimento em 30 dias; R$ 2.000,00, com vencimento em 60 dias; e R$ 3.000,00, com vencimento em 90 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 60% ao ano, o valor atual a ser creditado na conta da empresa será de:

(a) R$ 5.300,00 (b) R$ 5.350,00 (c) R$ 5.400,00 (d) R$ 5.450,00 (e) R$ 5.500,00

[2] Um título cujo valor nominal é de R$ 80.000,00, se descontado 8 meses antes de seu vencimento, com taxa de desconto comercial simples de 36% ao ano, será resgatado pelo valor de:

(a) R$ 19.200,00 (b) R$ 36.000,00 (c) R$ 45.500,00 (d) R$ 51.200,00 (e) R$ 60.800,00

[3] Um investidor tem disponível, para aplicação no mercado fi nanceiro, o capital de R$ 150.000,00 e aplica 3/5 desse capital, a juros compostos de 18% ao ano, durante 3 bimestres. Os juros obtidos com essa aplicação são de:

(a) R$ 7.765,02 (b) R$ 8.345,43 (c) R$ 8.409,89 (d) R$ 98.345,43 (e) R$ 98.409,89

[4] Uma pessoa física tem uma dívida de R$ 4.800,00 e resolve antecipar o pagamento de 2/3 dessa dívida. A taxa mensal de desconto composto é de 1,25% e o devedor resolve antecipar o pagamento 5 meses antes do vencimento do principal. Com base nesses dados, o valor atual pago por essa pessoa física, relativo aos 2/3 da dívida será de:

(a) R$ 3.007,29 (b) R$ 3.052,35 (c) R$ 3.063,27 (d) R$ 3.072,34 (e) R$ 3.085,36

[5] Um investidor dispõe da quantia de R$ 270.000,00 para investimentos e aplica 5/9 do capital a juros simples, e o restante a juros compostos de 24% ao ano, durante 5 bimestres. O montante obtido pela aplicação a juros compostos, após o quinto bimestre, é de:

(a) R$ 128.236,34 (b) R$ 136.234,22 (c) R$ 138.925,54 (d) R$ 142.394,32 (e) R$ 143.559,74

98 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

[6] Se o valor atual de um título, descontado 4 meses antes do vencimento a juros compostos de 2% ao mês, é de R$ 923,85, o valor nominal desse título é igual a:

(a) R$ 950,00 (b) R$ 960,00 (c) R$ 980,00 (d) R$ 1.000,00 (e) R$ 1.200,00

[7] Um título, com vencimento em 3 meses, é pago hoje por um valor igual a R$ 7.538,58. Sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 24% ao ano, o valor nominal desse título é igual a:

(a) R$ 7.800,000 (b) R$ 7.955,09 (c) R$ 8.500,0 (d) R$ 8.800,00 (e) R$ 9.000,00

[8] Dr. Ferreira, um respeitado médico da cidade de Barretos, observou, em seu extrato bancário, que sua aplicação a juros compostos rendeu 15% ao ano. A rentabilidade efetiva mensal daquela aplicação foi de:

(a) 1,01% a.m. (b) 1,17% a.m. (c) 1,23% a.m. (d) 1,25% a.m. (e) 1,29% a.m.

[9] A taxa mensal proporcional, a 540% a.a., é de:

(a) 10% a.m. (b) 30% a.m. (c) 45% a.m. (d) 60% a.m. (e) 70% a.m.

[10] A taxa bimestral, equivalente a 20% ao semestre, corresponde a:

(a) 5,5% a.b. (b) 6,27% a.b. (c) 6,75% a.b. (d) 7,25% a.b. (e) 8,25% a.b.

[11] Pretende-se, daqui a 6 meses, comprar um automóvel por R$ 25.000,00. Calcular a aplicação necessária em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de modo que o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação.

(a) R$ 20.121,22 (b) R$ 20.452,42 (c) R$ 22.395,16 (d) R$ 23.106,39 (e) R$ 24.856,51

ANEXOS 99

Anexos

1 Convenções/Notações

2 Regra Prática para Estabelecer Taxas Equivalentes

3 Solução Utilizando uma Calculadora HP-12C

100 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Ane

xo 1

ANEXO 1 101

Convenções/Notações

Descrição Nomenclatura Adotada Outras Nomenclaturas

Valor Presente, Principal ou Capital Inicial P PV, VP, A

Valor Futuro ou Montante F FV, VF, M

Juros Simples ou Compostos J –

Tempo n t

Prazo de Carência m c

Taxa de Juros i r, k

Taxa de Juros Anual aa ao ano

Taxa de Juros Semestral as ao semestre

Taxa de Juros Trimestral at ao trimestre

Taxa de Juros Mensal am ao mês

Desconto D –

Taxa de Desconto id forma decimal da taxa

Prestações Uniformes PMT A

Recebimento R rec

Pagamento G pg, P

Valor Atual de uma Série A P A

Montante de uma Anuidade SF S

102 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Ane

xo 2

ANEXO 2 103

Regra Prática para Estabelecer Taxas Equivalentes

• Vamos estabelecer as taxas equivalentes a 3% ao mês.• Some 1 a 3% = 1 + 0,03 = 1,03, que chamaremos de coefi ciente de capitalização.• Para encontrar as taxas equivalentes, basta elevar o coefi ciente à unidade de tempo desejada

(bimestre, trimestre etc) e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.

Taxa Unidade de Quantidade Elevar o Equivalente Tempo Desejada de Meses Coefi ciente Cálculo 3% a.m. bimestre 2 (1,03)² subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09% a.b.

trimestre 3 (1,03)³ subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27% a.t.

quadrimestre 4 (1,03)4 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.

semestre 6 (1,03)6 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41% a.s.

ano 12 (1,03)12 subtrair 1 e multiplicar por 100 42,58% a.a.

• Vamos fazer o caminho inverso do que foi feito na tabela anterior, usando uma taxa de 42,58% ao ano.

• Some 1 a 42,58% = 1 + 0,4258 = 1,4258 (coefi ciente de capitalização).• Para voltar de uma taxa equivalente, basta elevar o coefi ciente a 1 (um) sobre a

unidade de tempo desejada e fazer uma boa leitura do visor de sua calculadora.

• Procure, através desses exemplos, converter taxas em outras unidades de tempo como trimestre, bimestre etc.

Taxa Unidade de Elevar o Equivalente Tempo Desejada 1 Ano Tem Coefi ciente Cálculo 42,58% a.a. meses 12 (1,4258)1/12 subtrair 1 e multiplicar por 100 3% a.m.

bimestres 6 (1,4258)1/6 subtrair 1 e multiplicar por 100 6,09% a.b.

trimestres 4 (1,4258)1/4 subtrair 1 e multiplicar por 100 9,27% a.t.

quadrimestres 3 (1,4258)1/3 subtrair 1 e multiplicar por 100 12,55% a.q.

semestres 2 (1,4258)1/2 subtrair 1 e multiplicar por 100 19,41% a.s.

104 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Ane

xo 3

ANEXO 3 105

Solução Utilizando uma Calculadora HP-12C

A calculadora HP-12C tem teclas especiais para apoiar cálculos, envolvendo juros compostos, a saber:

• Observe as 5 teclas logo abaixo do visor. Elas são chamadas de pilha fi nanceira:

n → reservada para armazenar o número de períodos de capitalização do investimento;i → reservada para armazenar a taxa de juros compostos na mesma unidade do período de capitalização;PV → reservada para armazenar o capital inicial investido;PMT → reservada para obter as prestações de uma série uniforme;FV → reservada para armazenar o valor futuro (montante) de um investimento.

Exemplo

Qual o montante de uma aplicação de R$ 4.000,00, a juros compostos, a uma taxa de 2,5% ao mês, pelo prazo de 14 meses?

Resolução:P = 4.000,00i = 2,5% a.m.n = 14 mesesF = ?

1. aperte a tecla f e depois a tecla X<>Y, para limpar a memória fi nanceira;

2. digite 4.000 e tecle CHS, para trocar o sinal, e depois tecle PV;3. digite 2,5 e tecle i ;4. digite 14 e tecle n;5. tecle FV e no visor aparecerá o resultado, R$ 5.651,90.

106 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Gab

arit

o

GABARITO 107

Fixando Conceitos

Unidade 1

1) B Solução: A pizza completa tinha 8 fatias. Se João comeu 5 pedaços, sobraram 3 das 8 fatias.

Resposta: Sobraram 3/8 da pizza.

2) C Solução: Frações próprias são as frações em que o denominador é maior que o numerador. Frações

impróprias são as frações em que o denominador é menor que o numerador. Logo:

2/3 – Fração própria (P) 5/2 – Fração imprópria (I) 8/5 – Fração imprópria (I) 12/15 – Fração própria (P) 25/6 – Fração imprópria (I)

Resposta: A sequência correta é P-I-I-P-I.

3) D Solução: 30 | 2 15 | 3 5 | 5 1

Resposta: A decomposição do número 30 é 2 × 3 × 5.

4) B Solução: 54 | 2 27 | 3 9 | 3 3 | 3 1 54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 33

Resposta: A decomposição do número 54 é 2 × 33.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA108

5) E Solução: 2 × 32 × 5 = 2 × 3 × 3 × 5 = 90

Resposta: O número é 90.

6) B 3

Solução: √125 = 5

Resposta: O número é 5.

7) A Solução: √49 = 7

Resposta: A raiz quadrada de 49 é 7.

8) D Solução: 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Resposta: O número 256 em potência de 2 é 28.

9) C 3

Solução: √216 = 6

Resposta: A raiz cúbica de 256 é 6.

10) E Solução: 23 × 3 × 52 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 8 × 3 × 25 = 600

Resposta: O número é 600.

11) D Solução: 32 + 52 + 13 = 3 × 3 + 5 × 5 + 1 × 1 × 1 = 9 + 25 + 1 = 35

Resposta: O número é 35.

12) C Solução: 7% = 7/100= 0,07

Resposta: O valor em decimal de 7% é 0,07.

13) D Solução: 8% de 75 = 8/100 × 75 = 600/100 = 6

Resposta: O jogador fez 6 gols de falta.

14) C Solução: Total gastos = 25% + 18% + 12% = 0,25 + 0,18 + 0,12 = 0,55 ou 55% Resta = 100% – 55% = 1 – 0,55 = 0,45 ou 45%

Resposta: Resta ainda 45% do salário.

GABARITO 109

15) C Solução: 20% × 15% = 0,2 × 0,15 = 0,03 ou 3%

Resposta: A solução é 3%.

16) E Solução: 10% de R$ 150,00 = 150 × (10/100) = 150 × 0,1 = 15. O preço do vestido será 150 – 15 = 135

Resposta: O vestido passou a custar R$ 135,00.

17) B Solução: 40% de 100 = 100 × 0,4 = 40. Logo, 40 são meninas. Número de meninos = 100 – 40 = 60

Resposta: Temos na sala 40 meninas e 60 meninos.

18) A Solução: Valor venda = valor de custo + lucro V = 150 + (25/100 × 150) = 150 + 37,50 = 187,50 Ou V = 150 × 1,25 = 187,50

Resposta: O valor de venda deve ser de R$ 187,50.

19) B Solução: Valor venda = valor de custo – prejuízo V = 1600 – (20/100 × 1600) = 1600 – 320 = 1280

Resposta: O preço de venda foi de R$ 1.280,00.

20) D Solução: (1,05 × 1,03) – 1 = 1,0815 – 1 = 0,0815 = 8,15%

Resposta: O aumento foi de 8,15%.

21) B Solução: 18y – 43 = 65 18y = 65 + 43 18y = 108 y = 108/18 = 6

Resposta: O valor de y é 6.

22) D Solução: -2y = -4 + 3y -2y – 3y = -4 -5y = -4 (multiplicando os dois lados da equação por -1) 5y = 4 y = 4/5

Resposta: O valor de y é 4/5.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA110

23) C Solução: 2y – 8 = 3y – 10 2y – 3y = -10 + 8 -y = -2 (multiplicando os dois lados da equação por -1) y = 2

Resposta: O valor de y é 2.

24) A Solução: 23y – 16 = 14 – 7y 23y + 7y = 14 + 16 30y = 30 y = 1

Resposta: O valor de y é 1.

25) C Solução: 2(2y+7) + 3(3y-5) = 3(4y+5) -1 2 × 2y + 2 × 7 + 3 × 3y – 3 × 5 = 3 × 4y + 3 × 5 – 1 4y + 14 + 9y – 15 = 12y + 15 -1 4y + 9y – 12y = 15 – 1 – 14 + 15 13y – 12y = 15 y = 15

Resposta: O valor de y é 15.

26) A Solução: 3 – 7(1 – 2y) = 11 – (y – 45) 3 – 7 × 1 + 7 × 2y = 11 – y + 45 3 – 7 + 14y = 11 – y + 45 14y + y = 11 + 45 – 3 + 7 14y + y = 56 + 4 15y = 60 y = 4

Resposta: O valor de y é 4.

27) A Solução: Seja y o número desejado. y × 5 + 31 = 81 5y = 81 – 31 5y = 50 y = 10

Resposta: Esse número é 10.

GABARITO 111

28) B Solução: 16 + 3 × 5 + 2m = 5(m – 1) 16 + 15 + 2m = 5 × m – 5 × 1 31 + 2m = 5m – 5 2m – 5m = -5 – 31 -3m = -36 (multiplicando os dois lados por -1) 3m = 36 m = 36/3 = 12

Resposta: O valor de m é 12.

29) D Solução: População total = X + Y = 100.000 Relação entre X e Y → X = 3 × Y 3 × Y + Y = 100.000 4Y = 100.000 Y = 100.000/4 = 25.000

Resposta: A população da cidade Y é de 25.000 habitantes.

Unidade 2

1) E Resposta: Todas as afi rmativas estão corretas.

2) A Solução: Juros = R$ 3050 – R$ 3000 = R$ 50 Taxa de juros no período = 50 / 3000 = 0,02 ou 2%

Resposta: A taxa de juros foi de 2%.

3) E Solução: i = 3% Valor fi nal = 2.229,95 Capital = ? Juros = ? i = juros/capital i = (valor fi nal – capital)/capital 0,03 = (2.229,95 – capital)/capital capital × 0,03 = 2.229,95 – capital capital × 0,03 + capital = 2.229,95 capital × 1,03 = 2.229,95 capital = 2.229,95/1,03 = 2.165,00 Juros = valor fi nal – capital = 2.229,95 – 2.165,00 = 64,95

Resposta: O valor dos juros ganhos foi de R$ 64,95.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA112

Unidade 31) Como 1 ano = 12 meses, temos que:

i = 42% = 3,5% a.m. 12

Resposta: 3,5% ao mês é proporcional a 42% ao ano.

2) Como 1 ano = 12 meses, temos que:

i = 30% = 2,5% a.m. 12

Resposta: 2,5% ao mês é proporcional a 30% ao ano.

3) Como 1 ano = 4 trimestres, temos que:

i = 4 × 8% i = 32% a.a.

Resposta: 8% ao trimestre é proporcional a 32% ao ano.

4) Dados: P = 2.500 j = ? i = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês n = 1 ano 4 meses e 10 dias n = 360 + 120 + 10 = 490 dias = 490 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) Então: j = P × i × n j = 2.500 × 0,03 × 490 ÷ 30 j = 1.225

Resposta: O valor dos juros é de R$ 1.225,00.

4) B Solução: i = juros/capital i = 4% Juros = valor fi nal – capital Capital = 1.500,00 0,04 = (valor fi nal – 1.500,00)/1.500,00 0,04 × 1.500,00 = valor fi nal – 1.500,00 60 = valor fi nal – 1.500,00 Valor fi nal = 60 + 1.500,00 = 1.560,00

Resposta: O valor recebido no fi nal da aplicação será de R$ 1.560,00.

GABARITO 113

5) Dados: P = 2.800 j = 2.872,80 n = 1 ano, 5 meses e 3 dias n = 360 + 150 + 3 = 513 dias = 513 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) i = ? (mensal) Como j = P × i × n Então: 2.872,80 = 2800 × i × 513 ÷ 30 2.872,80 = 47.880 × i 2.872,80 ÷ 47,880 = i i = 0,06 i = 0,06 × 100 = 6%

Resposta: A taxa é de 6% ao mês.

6) Dados: P = ? F = 307.343,75 n = 2 anos, 3 meses e 15 dias n = 720 + 90 + 15 = 825 dias = 825 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) i = 2,75 = 0,0275 ao mês Como: F = P × (1 + i × n) Então: 307.343,75 = P × (1 + 0,0275 × 825 ÷ 30) 307.343,75 = P × (1 + 0,75625) 307.343,75 = 1,75625 × P 307.343,75 ÷ 1,75626 = P P = 175.000

Resposta: A aplicação foi de R$ 175.000,00.

7) Dados: P = 10.000 F = ? (capital acumulado) i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês n = 6 meses F= P × (1 + i × n) F = 10.000 (1 + 0,035 × 6) F = 10.000 (1 + 0,21) F = 10.000 × 1,21 F = 12.100

Resposta: O capital acumulado é R$ 12.100,00.

8) Dados: P = 50.000 j = 7.500 n = 5 meses i = ? (mensal) j = P × i × n 7.500 = 50.000 × i × 5 7.500 = 250.000 × i 7.500 ÷ 250.000 = i i = 0,03 i = 0,03 × 100 = 3%

Resposta: A taxa mensal é de 3%.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA114

9) Dados: P = 30.000 j = 24.000 i = 40 ÷ 100 = 0,4 ao ano n = ? Como j = P × i × n Então: 24.000 = 30.000 × 0,4 × n 24.000 = 12.000 × n 24.000 ÷ 12.000 = n n = 2

Resposta: O tempo da aplicação é de 2 anos.

10) Dados: P = 10.000 j = 6.000 n = 4 anos i = ? (ao ano) j = P × i × n Logo: 6.000 = 10.000 × i × 4 6.000 = 40.000 × i 6.000 ÷ 40.000 = i i = 0,15 i = 0,15 × 100 = 15%

Resposta: A taxa anual é de 15%.

11) Dados: P = P F = 3 P F = P + J J = F – P → J = 3P – P → J = 2P n = 16 meses i = ? (mensal) j = P × i × n Então: 2P = P × i × 16 2P = P × i × 16 (simplifi cando por P)

i = 2 → i = 0,125 16 i = 0,125 × 100 = 12,5%

Resposta: A taxa mensal é de 12,5%.

12) Dados: P = P j = P ÷ 10 i = 0,12% ÷ 30 = 0,004 ao dia (Divide-se por 30 para transformar mês em dias) n = ? (dias) j = P × i × n Logo: P ÷ 10 = P × 0,004 × n (simplifi cando por P) 1 ÷ 10 = 0,004 × n n = 1 ÷ (10 × 0,004) n = 1 ÷ 0,04 = 25 dias

Resposta: O capital esteve aplicado por 25 dias.

GABARITO 115

13) Dados: P = 60.000 i = 9 ÷ 100 = 0,09 ao mês j = ? n = 146 dias n = 146 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) j = P × i × n Logo: j = 60.000 × 0,09 × 146 ÷ 30 = j = 26.280

Resposta: Os juros recebidos são de R$ 26.280,00.

14) Dados: P = ? F = 86.400 n = 8 meses i = 138% ÷ 100 = 1,38 ao ano ÷ 12 anos = 11,5% a.m. (Divide-se por 12 para transformar ano em mês) F = P × (1 + i × n) Logo: 86.400 = P × ( 1 + 11,5/100 × 8) 86.400 = P × (1 + 0,92) 86.400 = P × 1,92

P = 86.400 → P = 45.000,00 1,92

Resposta: O capital investido é de R$ 45.000,00.

15) Dados: P = P j = P ÷ 20 i = 90 ÷ 100 = 0,9 ao ano ÷ 360 = 0,0025 ao dia (Divide-se por 360 para transformar ano em dias) n = ? (dias) j = P × i × n Logo: P ÷ 20 = P × 0,0025 × n

n = P = 1 = 20 20 × P × 0,0025 0,05 n = 20 dias

Resposta: O tempo de aplicação foi de 20 dias.

16) Dados: P = 740.000 F = 953.120 i = 3,6 ÷ 100 = 0,036 ao mês n = ? (meses) F = P (1 + i × n) Logo: 953.120 = 740.000 (1 + 0,036 × n) 953.120 ÷ 740.000 = 1 + 0,036 × n 1,288 = 1 + 0,036 × n 1,288 – 1 = 0,036 × n 0,288 = 0,036 × n 0,288 ÷ 0,036 × n n = 8

Resposta: O tempo de aplicação foi de 8 meses.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA116

17) Dados: P = 480.000 j = 4.400 n = 3 meses e 20 dias = n = 90 + 20 = 110 dias ou seja, n = 110 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) i = ? (ao mês) j = P × i × n Então: 4.400 = 480.000 × i × 110 ÷ 30 4.400 = 1.760.000 × i 4.400 ÷ 1.760.000 = i i = 0,0025 i = 0,0025 × 100 = 0,25%

Resposta: A taxa é de 0,25% ao mês.

18) Dados: P1 = 11.000 j1 = ? n = 3 anos i = 7 ÷ 100 = 0,07 ao ano j = P × i × n j1 = 11.000 × 0,07 × 3 j1 = 2.310 j1 – j2 = 1.110 Então: 2.310 – j2 = 1.110 2.310 – 1.110 = j2 j2 = 1.200 Logo: P2 = 5.000 j2 = 1.200 n = 3 anos i = ? j = P × i × n Então: 1.200 = 5.000 × i × 3 1.200 = 15.000 × i 1.200 ÷ 15.000 = i i = 0,08 i = 0,08 × 100 = 8%

Resposta: A taxa a que o 2o capital esteve aplicado é de 8% ao ano.

19) Dados: F = 2.553,47 = j + P j = ? P = ? n = 110 dias × 110 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) i = 7 ÷ 100 = 0,07 ao ano F = P × (1 + i × n) Então: 2.553,47 = P × ( 1 + 110 ÷ 360 × 0,07) 2.553,47 = P × (1,021388889) 2.553,47 ÷ 1,021389 = P P = 2.500,00 Valor dos juros = 2.553,47 – 2.500 = 53,47

Resposta: O valor dos juros a serem pagos é de R$ 53,47.

GABARITO 117

20) Dados: F = 2 × P F = P + J J = F – P J = 2 × P – P J = P i = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês n = ? (meses) j = P × i × n Então: P = P × 0,04 × n P ÷ P = 0,04 × n 1 = 0,04 × n 1 ÷ 0,04 = n n = 25

Resposta: O capital se duplica em 25 meses.

21) Dados: P = ? F = 7.824 i = 6,5 ÷ 100 = 0,065 ao ano n = 1 ano e 4 meses = 360 + 120 = 480 dias, ou seja, n = 480 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) F = P × (1 + i × n) 7.824 = P × (1 + 0,065 × 480 ÷ 360) 7.824 = P × (1 + 1,086667) 7.824 = P × 1,086667 7824 ÷ 1,086667 = P P = 7.200

Resposta: O capital é de R$ 7.200,00.

22) Dados: P = 8.000 j = 2.640 n = 6 meses i = ? (mensal) j = P × i × n Então: 2.640 = 8.000 × i × 6 2.640 = 48.000 × n 2.640 ÷ 48.000 = i i = 0,055 i = 0,055 × 100 = 5,5%

Resposta: A taxa mensal é de 5,5%.

23) Dados: P = 32.000 j = 4.800 i = 12 ÷ 100 = 0,12 ao ano ÷ 12 = 0,01 ao mês (Divide-se por 12 para transformar ano em mês) n = ? (mensal) j = P × i × n 4.800 = 32.000 × 0,01 × n 4.800 = 320 × n 4.800 ÷ 320 = n n = 15 meses

Resposta: O tempo da aplicação é de 15 meses.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA118

24) Dados: P = 100.000 j = ? i = 20 ÷ 100 = 0,2 ao trimestre n = 15 meses ÷ 3 = 5 trimestres (Divide-se por 3 para transformar meses em trimestres) j = P × i × n j = 100.000 × 0,2 × 5 j = 100.000

Resposta: O valor dos juros é de R$ 100.000,00.

25) Dados: c = 50.000 j = ? i = 6 ÷ 100 = 0,06 ao ano n = 18 dias = 18 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) j = P × i × n j = 50.000 × 0,06 × 18 ÷ 360 j = 150

Resposta: Os juros são de R$ 150,00.

26) Dados: P = 80.000 i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês n = 9 meses F = ? F = P × (1 + i × n) F = 80.000 (1 + 0,035 × 9) F = 80.000 (1,315) F = 105.200

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 105.200,00.

27) Dados: P = 12.000 j = ? i = 36 ÷ 100 = 0,36 ao ano ÷ 4 = 0,09 ao trimestre (Divide-se por 4 para transformar ano em trimestres) n = 1 trimestre j = P × i × n j = 12.000 × 0,09 × 1 j = 1.080

Resposta: Os juros são de R$ 1.080,00.

28) Dados: P = 350.000 j = ? i = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês n = 72 dias = 72 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) j = P × i × n j = 350.000 × 0,04 × 72 ÷ 30 j = 33.600

Resposta: Os juros são de R$ 33.600,00.

GABARITO 119

29) Dados: P = ? i = ? P + J1 = 156.400 (para n = 21 meses) P + (P × i × 21) = 156.400 P (1 + 21 × i) = 156.400 P = 156.400 ÷ (1 + 21 × i) (Fórmula I) P – J2 = 88.400 (para n = 9 meses) P – (P × i × 9) = 88.400 P (1 – 9 × i) = 88.400 P = 88.400 ÷ (1 – 9 × i) (Fórmula II) Igualando as equações acima temos que: 156.400 ÷ (1 + 21 × i) = 88.400 ÷ (1 – 9 × i) 156.400 × (1 – 9 × i) = 88.400 × (1 + 21 × i) 156.400 – 1.407.600 i = 88.400 + 1.856.400 i 156.400 – 88.400 = 1.856.400 i + 1.407.600 i 68.000 = 3.264.000 i i = 68.000 ÷ 3.264.000 → i = 0,0208333 (Multiplicar por 100 para obter taxa percentual) i = 2,08333% a.m. Substituindo a taxa calculada na Fórmula I, temos que: P = 156.400 ÷ (1 + 21 × i) = 156.400 ÷ (1 + 21 × 0,0208333) = 156.400 ÷ 1,4374993 P = 108.800,05

Resposta: O capital é de R$ 108.800,05 e a taxa, 2,08% a.m.

30) Dados: P = ? F = 200.000 i = 6% a.m. = 6% ÷ 100 = 0,06 a.m. n = 39 dias ÷ 30 = 1,3 dias F = P (1 + i × n) 200.000 = P (1 + 0,06 × 1,3) 200.000 = P × 1,078 P = 200.000 / 1,078 = 185.528,76

Resposta: O valor a ser aplicado é de R$ 185.528,76.

31) Dados: j = ? P = 10.000 i = 6% a.a. ÷ 100 = 0,06 a.a. n = 198 dias ÷ 360 = 0,55 ano j = P × i × n j = 10.000 × 0,06 × 0,55 = 330,00

Resposta: O juro comercial simples é de R$ 330,00.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA120

Unidade 4

1) Dados: F = 186.000 D = 3.199,20 id = ? (anual) n = 72 dias × 72 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) D = F × id × n 3.199,20 = 186.000 × id × 72 ÷ 360 3.199,20 = 37.200 × id 3.199,20 ÷ 37.200 = id id = 0,086 id = 0,086 × 100 = 8,6%

Resposta: A taxa anual é de 8,6%.

2) Dados: F = 20.000 P = ? n = 6 meses = 6 ÷ 12 anos id = 5 ÷ 100 = 0,05 ao ano P = F × (1 – id × n) P = 20.000 (1 – 0,05 × 6 ÷ 12) P = 20.000 (1 – 0,025) P = 20.000 × 0,975 P = 19.500,00

Resposta: O ValorAtual (presente) é de R$ 19.500,00.

3) Dados: D = 600,00 P = ? F = ? id = 6 ÷ 100 = 0,06 ao ano n = 4 meses = 4 ÷ 12 anos D = F × id × n 600 = F × 0,06 × 4 ÷ 12 600 = F × 0,02 600 ÷ 0,02 = F F = 30.000 P = F – D P = 30.000 – 600 = 29.400

Resposta: O Valor Atual (presente) é R$ 29.400,00.

GABARITO 121

4) Dados: F = 90.000 D = ? id = 8 ÷ 100 = 0,08 ao ano n = 1 mês e 25 dias = 30 + 25 = 55 dias = n = 55 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) D = F × id × n D = 90.000 × 0,08 × 55 ÷ 360 D = 1.100 P = 90.000 – 1.100 = 88.900. Como a dívida era de R$ 110.000, faltaram, ainda: 110.000 – 88.900 = 21.100,00.

Resposta: A quantia que devo dar é de R$ 21.100,00.

5) Dados: F = ? D = 60 n = 2 meses id = 6 ÷ 100 = 0,06 ao mês D = F × id × n 60 = F × 0,06 × 2 60 = F × 0,12 60 ÷ 0,12 = F F = 500

Resposta: O valor nominal do título é de R$ 500,00.

6) Dados: P = 280 F = ? id = 15 ÷ 100 = 0,15 ao mês n = 60 dias = 60 ÷ 30 = 2 meses P = F × (1 – id × n) 280 = F × (1 – 0,15 × 2) 280 = F × 0,7 280 ÷ 0,7 = F F = 400

Resposta: O valor nominal da nota promissória é de R$ 400,00.

7) Dados: F = 350 P = 245 D = 350 – 245 = 105 n = 6 meses id = ? (mensal) D = F × id × n 105 = 350 × id × 6 105 = 2.100 × id 105 ÷ 2.100 = id id = 0,05 id = 0,05 × 100 = 5%

Resposta: A taxa de desconto comercial simples é de 5% ao mês.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA122

8) Dados: F = 800 D = ? n = 3 meses e 18 dias = 90 + 18 = 108 dias id = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês = 0,04 ÷ 30 a.d. D = F × id × n D = 800 × 0,04 ÷ 30 × 108 D = 115,20

Resposta: O desconto simples é de R$ 115,20.

9) Dados: F = ? P = 320 n = 8 meses id = 1,5 ÷ 100 = 0,015 ao mês P = F × (1 – id × n) 320 = F × (1 – 0,015 × 8) 320 = F × (1 – 0,12) 320 = F × (0,88) 320 ÷ 0,88 = F F = 363,64

Resposta: O valor da letra de câmbio é de R$ 363,64.

10) Dados: F = 6.900 P = 6.072 D = F – P D = 6.900 – 6.072 = 828 id = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês n = ? (meses) D = F × id × n 828 = 6.900 × 0,04 × n 828 = 276 × n 828 ÷ 276 = n n = 3

Resposta: O tempo de antecipação foi de 3 meses.

11) Dados: F = 4.700 D = ? n = 1 mês e 6 dias = 30 + 6 = 36 dias = n = 36 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) id = 2,2 ÷ 100 = 0,022 ao mês D = F × id × n D = 4.700 × 0,022 × 36 ÷ 30 D = 124,08

Resposta: O valor do desconto comercial simples é de R$ 124,08.

GABARITO 123

12) Dados: F = 18.600 D = 930 n = 272 dias = 272 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) id = ? (mensal) D = F × id × n 930 = 18.600 × id × 272 ÷ 30 930 = 168.640 × id 930 ÷ 168.640 = id id = 0,0055 id = 0,0055 × 100 = 0,55%

Resposta: A taxa de desconto é de 0,55% ao mês.

13) Dados: D = F ÷ 4 id = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao dia n = ? (dias) D = F × id × n F ÷ 4 = F × 0,025 × n

n = 1 F

4 × 0,025 F n = 10

Resposta: O prazo de antecipação é de 10 dias.

14) Dados: i = 36% ao ano (36 ÷ 12)% ao mês = 3% ao mês = (3 ÷ 100) = 0,03 (Divide-se por 12 para transformar ano em meses) n = 4 meses F = 6.000,00 P = F (1 – id × n) P = 6.000 (1 – 0,03 × 4) P = 6.000 (1 – 0,12) P = 6.000 × 0,88 P = 5.280

Resposta: O valor presente (atual) pago é de R$ 5.280,00.

15) Dados: F = 1.800 D = ? n = 9 meses id = 2,75 ÷ 100 = 0,0275 ao mês D = F × id × n D = 1.800 × 0,0275 × 9 D = 445,50

Resposta: O valor do desconto simples é de R$ 445,50.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA124

16) Dados: D = F ÷ 2 n = 8 meses id = ? (mensal) D = F × id × n F ÷ 2 = F × id × 8 1 ÷ 2 = 1 × id × 8 0,5 = id × 8 id = 0,5 ÷ 8 = 0,0625 = 6,25% a.m

Resposta: A taxa de desconto comercial simples é de 6,25% a.m.

17) Dados: F = 16.000 P = 14.880 n = 21 dias = 21 ÷ 30 (Divide-se por 30 para transformar dias em meses) id = ? D = F – P D = 16.000 – 14.880 = 1.120 D = F × id × n 1.120 = 16.000 × id × 21 ÷ 30 1.120 = 11.200 × id 1.120 ÷ 11.200 = id id = 0,1 id = 0,1 × 100 = 10%

Resposta: A taxa de desconto comercial simples foi de 10% ao mês.

18) Dados: D = F – P D = 4.000 – 3.600 D = 400 D = F × id × n 400 = 4.000 × id × 5 20.000 × id = 400 id = 400 ÷ 20.000 id = 0,02 id = 0,02 × 100 id = 2% ao mês

Resposta: A taxa de desconto comercial simples é de 2% ao mês.

GABARITO 125

19) Dados: F = 13.000 P = 9.100 n = 5 meses id = ? (mensal) P = F × (1 – id × n) 9.100 = 13.000 × (1 – id × 5) 9.100 ÷ 13.000 = 1 – 5 × id

0,7 = 1 – 5 × id 5 × id = 1 – 0,7 5 × id = 0,3 id = 0,3 ÷ 5 id = 0,06 id = 0,06 × 100 = 6% Outro modo: D = F – P D = 3.900,00 D = F × id × n 3.900 = 13.000 × id × 5 3.900 = 65.000 × id id = 3.900 ÷ 65.000 = 0,06 id = 0,06 × 100 = 6%

Resposta: A taxa de desconto comercial simples é de 6% ao mês.

20) Dados: F = 1.530 D = 71,40 id = 8 ÷ 100 = 0,08 ÷ 12 ao ano (Como o prazo tem que ser em meses, dividimos a taxa anual por 12). n = ? meses D = F × id × n 71,40 = 1.530 × 0,08 ÷ 12 × n 71,40 = 10,2 × n 71,40 ÷ 10,2 = n n = 7

Resposta: A nota promissória foi paga com 7 meses de antecipação.

21) Dados: F = ? P = 4.800 id = 8 ÷ 100 = 0,08 ao mês n = 7,5 meses P = F × (1 – id × n) 4.800 = F × (1 – 0,08 × 7,5) 4.800 = F × (1 – 0,6) 4.800 = F × 0,4 4.800 ÷ 0,4 = F F = 12.000,00

Resposta: O valor da nota promissória era de R$ 12.000,00.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA126

22) Dados: F = 640 D = ? n = 11 meses id = 1,85 ÷ 100 = 0,0185 ao mês D = F × id × n D = 640 × 0,0185 × 11 D = 130,24

Resposta: O valor do desconto simples é de R$ 130,24.

23) Dados: F = 2.000 P = 1.820 D = F – P D = 2.000 – 1.820 = 180 id = 3% a.m. = 3 ÷ 100 = 0,03 D = F × id × n 180 = 2.000 × 0,03 × n 60 × n = 180 n = 180 ÷ 60 = 3

Resposta: O prazo de antecipação foi de 3 meses.

24) Dados: F = 10 × D id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao dia n = ? (dias) D = F × id × n D = 10 × D × 0,02 × n (simplifi cando por D) 1 = 10 × 0,02 × n 1 = 0,2 × n n = 1 ÷ 0,2 n = 5

Resposta: O título foi pago com 5 dias de antecedência.

25) Dados: F = 20.000 D = ? id = 6 ÷ 100 = 0,06 ao mês n = 1 ano = 12 meses D = F × id × n D = 20.000 × 0,06 × 12 D = 14.400

Resposta: O valor do desconto é de R$ 14.400,00.

26) Dados: F = 4.200 P = 3.800 D = 4.200 – 3.800 = 400 n = 8 meses id = ? D = F × id × n

GABARITO 127

400 = 4.200 × id × 8 400 = 33.600 × id 400 ÷ 33.600 = id id = 0,0119 id = 1,19%

Resposta: A taxa de desconto simples é de 1,19% ao mês.

27) Dados: F = 2.000 id = 30% ao ano = (30 ÷ 12)% ao mês = 2,5% ao mês = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês n = 4 meses D = F × id × n D = 2.000 × 0,025 × 4 D = R$ 200,00

Resposta: O desconto simples obtido foi de R$ 200,00.

28) Dados: F = 2.400 D = ? id = 36 ÷ 100 = 0,36 ao ano n = 2 meses e 18 dias = 78 dias = 78 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) D = F × id × n D = 2.400 × 0,36 × 78 ÷ 360 D = 187,20

Resposta: O valor do desconto é de R$ 187,20.

29) Dados: F = 4.500 P = ? n = 6 meses e 12 dias = 180 + 12 = 192 dias, ou seja, 192 ÷ 360 (Divide-se por 360 para transformar dias em anos) id = 45 ÷ 100 = 0,45 ao ano P = F × (1 – id × n) P = 4.500 (1 – 0,45 × 192 ÷ 360) P = 4.500 (1 – 0,24) P = 4.500 × 0,76 P = 3.420

Resposta: O Valor Atual do título é de R$ 3.420,00.

30) Dados: P = 1.080 F = ? n = 4 meses = 120 dias id = 0,5 ÷ 100 = 0,005 ao dia P = F × (1 – id × n) 1.080 = F × (1 – 0,005 × 120) 1.080 = F × (1 – 0,6) 1.080 = F × 0,4 1.080 ÷ 0,4 = F F = 2.700

Resposta: O valor do título é de R$ 2.700,00.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA128

31) Dados: D = ? F = 6.000 id = 1,5% a.m. ÷ 100 = 0,015 a.m. n = 16 meses D = F × id × n D = 6.000 × 0,015 × 16 D = 1.440,00

Resposta: O valor do título é R$ 1.440,00.

32) Dados: F = 35.000 id = 8,75% a.a. ÷ 100 = 0,0875 a.a. n = 24 meses = 2 anos D = ? D = F × id × n D = 35.000 × 0,0875 × 2 D = 6.125,00

Resposta: O desconto obtido será de R$ 6.125,00.

GABARITO 129

Unidade 51) Dados: P = 300 F = ? i = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês n = 10 meses F = P × (1 + i)n

F = 300 × (1 + 0,03)10

F = 300 × (1,03)10

F = 300 × 1,343916 F = 403,17

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 403,17.

2) Dados: P = 2.000 F = ? i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês n = 15 meses F = P × (1 + i)n

F = 2.000 × (1 + 0,035)15

F = 2.000 × (1,035)15

F = 2.000 × 1,675349 F = 3.350,70

Resposta: O montante é de R$ 3.350,70.

3) Dados: P = 500 F = ? i = 2,25 ÷ 100 = 0,0225 ao mês n = 4 meses F = P × (1 + i)n

F = 500 × (1 + 0,0225)4

F = 500 × (1,0225)4

F = 500 × 1,093083 F = 546,54

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 546,54.

4) Dados: P = 8.200 F = ? i = 1,5 ÷ 100 = 0,015 ao mês n = 8 meses F = P × (1 + i)n

F = 8.200 × (1 + 0,015)8

F = 8.200 × (1,015)8

F = 8.200 × 1,126493 F = 9.237,24

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 9.237,24.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA130

5) Dados: P = 750 F = ? i = 2,35 ÷ 100 = 0,0235 ao mês n = 6 meses F = P × (1 + i)n

F = 750 × (1 + 0,0235)6

F = 750 × (1,0235)6

F = 750 × 1,149548 F = 862,16 Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 862,16.

6) Dados: P = 1.200 F = ? i = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mês n = 8 meses F = P × (1 + i)n

F = 1.200 × (1 + 0,02)8

F = 1.200 × (1,02)8

F = 1.200 × 1,171659 F = 1.405,99

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 1.405,99.

7) Dados: P = ? F = 405,75 i = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês n = 5 meses F = P × (1 + i)n

405,75 = P × (1 + 0,03)5

405,75 = P × (1,03)5

405,75 = P × 1,159274 405,75 ÷ 1,159274 = P P = 350,00

Resposta: O Valor Presente (capital inicial) era de R$ 350,00.

8) Dados: P = ? F = 794,75 i = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês n = 4 meses F = P × (1 + i)n

794,75 = P × (1 + 0,025)4

794,75 = P × (1,025)4

794,75 = P × 1,103813 P = 720

Resposta: O Valor Presente era de R$ 720,00.

GABARITO 131

9) Dados: P = 300 F = ? i = 47 ÷ 100 = 0,47 ao ano n = 4 anos F = P × (1 + i)n

F = 300 × (1 + 0,47)4

F = 300 × (1,47)4

F = 300 × 4,669489 F = 1.400,85

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 1.400,85.

10) Dados: P = 800 F = ? i = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês n = 14 meses F = P × (1 + i)n

F = 800 × (1 + 0,03)14

F = 800 × (1,03)14

F = 800 × 1,512590 F = 1.210,07

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 1.210,07.

11) Dados: P = 2.000 F = ? i = 4,5 ÷ 100 = 0,045 ao mês n = 8 meses F = P × (1 + i)n

F = 2.000 × (1 + 0,045)8

F = 2.000 × (1,045)8

F = 2.000 × 1,422101 F = 2.844,20 J = F – P J = 2.844,20 – 2.000 = 844,20

Resposta: O valor dos juros é de R$ 844,20.

12) Dados: P = 680 F = ? i = 3,8 ÷ 100 = 0,038 ao mês n = 4 meses F = P × (1 + i)n

F = 680 × (1 + 0,038)4

F = 680 × (1,038)4

F = 680 × 1,160886 F = 789,40

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 789,40.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA132

13) Dados: P = 850 F = ? i = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês F = P × (1 + i)n

F = 850 × (1 + 0,025)40

F = 850 × (1,025)40

F = 850 × 2,685064 F = 2.282,30

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 2.282,30.

14) Dados: P = ? F = 1.975,22 i = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês n = 8 meses F = P × (1 + i)n

1.975,22 = P × (1 + 0,035)8

1.975,22 = P × (1,035)8

1.975,22 = P × 1,316809037 P = 1.975,22 ÷ 1,316809 = 1.500,00

Resposta: O Valor Presente (capital inicial) era de R$ 1.500,00.

15) Dados: P = 1.800 F = ? i = 20 ÷ 100 = 0,2 ao ano n = 4 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação Conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,2 = (1 + i)12

(1,20)1÷12 – 1 = i i = 0,015309 i = 1,530947 a.m. F = P × (1 + i)n

F = 1.800 × (1 + 0,0153)4

F = 1.800 × (1,0153)4

F = 1.800 × 1,062659 F = 1.912,79

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 1.912,79.

16) Dados: P = 12.000 F = ? i = 22 ÷ 100 = 0,22 ao ano n = 8 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação Conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,22 = (1 + i)12

(1,22)1÷12 = 1 + i i = (1,22)1÷12 – 1 i = 0,016709 i = 1,670896% a.m. F = P × (1 + i)n

GABARITO 133

F = 12.000 × (1 + 0,0167)8

F = 12.000 × (1,0167)8

F = 12.000 × 1,141756 F = 13.701,07

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 13.701,07.

17) Dados: P = ? F = 3.984,62 i = 24 ÷ 100 = 0,24 ao ano n = 2 anos F = P × (1 + i)n

3.984,62 = P × (1 + 0,24)2

3.984,62 = P × (1,24)2

3.984,62 = P × 1,5376 P = 3.984,62 ÷ 1,5376 P = 2.591,45

Resposta: O Valor Presente (capital inicial) é de R$ 2.591,45.

18) Dados: P = 920 F = ? i = 36 ÷ 100 = 0,36 ao ano n = 1 ano e 9 meses = 21 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,36 = (1 + i)12

(1,36)1÷12 = 1 + i i = (1,36)1÷12 – 1 i = 1,025955 – 1 i = 0,025955 i = 2,595483% a.m. F = P × (1 + i)n

F = 920 × (1 + 0,025955)21

F = 920 × (1,025955)21

F = 920 × 1,172747 F = 1.575,73

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 1.575,73.

19) Dados: P = 500 F = ? i = 24 ÷ 100 = 0,24 ao ano n = 12 dias Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: dia – Maior: ano – Relação conversão: 360 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,24 = (1 + i)360

(1,24)1÷360 = 1 + i i = (1,24)1÷360 – 1 = 0,000598 i = 0,059771% a.d. F = P × (1 + i)n

F = 500 × (1 + 0,000598)12

F = 500 × (1,000598)12

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA134

F = 500 × 1,007196 F = 503,60

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 503,60.

20) Dados: P = 6.000 F = ? i = 5 ÷ 100 = 0,05 ao mês n = 6 meses F = P × (1 + i)n

F = 6.000 × (1 + 0,05)6

F = 6.000 × (1,05)6

F = 6.000 × 1,340096 F = 8.040,57 Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 8.040,57.

21) Dados: P = 10.000 F = ? i = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês n = 8 meses F = P × (1 + i)n

F = 10.000 × (1 + 0,04)8

F = 10.000 × (1,04)8

F = 10.000 × 1,368569 F = 13.685,69

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 13.685,69.

22) Dados: P = 6.000 F = ? i = 3 ÷ 100 = 0,03 ao semestre n = 4 quinzenas = 2 meses (capitalização mensal) Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: semestre – Relação conversão: 6 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,03 = (1 + i)6 (1,03)1÷6 = 1 + i i = (1,03)1÷ 6 – 1 i = 0,004939 i = 0,493862% a.m. F = P × (1 + i)n

F = 6.000 × (1 + 0,004939)2

F = 6.000 × (1,004939)2

F = 6.000 × 1,009902 F = 6.059,41

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 6.059,41.

GABARITO 135

23) Dados: P = 25.000 F = ? J = ? i = 6 ÷ 100 = 0,06 ao mês n = 9 meses F = P × (1 + i)n

F = 25.000 × (1 + 0,06)9

F = 25.000 × (1,06)9

F = 25.000 × 1,689479 F = 42.236,97 J = F – P = 42.236,97 – 25.000 = 17.236,97

Resposta: O valor dos juros é de R$ 17.236,97.

24) Dados: P = 152.000 F = ? i = 7 ÷ 100 = 0,07 ao mês n = 30 meses F = P × (1 + i)n

F = 152.000 × (1 + 0,07)30

F = 152.000 × (1,07)30

F = 152.000 × 7,612255 F = 1.157.062,77

Resposta: O Valor Futuro é de R$ 1.157.062,77.

25) Dados: P = 2.500 F = ? i = 60 ÷ 100 = 0,6 ao ano n = 1 semestre = 6 meses (capitalização mensal) Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,60 = (1 + i)12

(1,60)1÷12 = 1 + i i = (1,6)1÷12 – 1 i = 0,039944 i = 3,994411% a.m. F = P × (1 + i)n

F = 2.500 × (1 + 0,039944)6

F = 2.500 × (1,039944)6

F = 2.500 × 1,264911 F = 3.162,28

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 3.162,28.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA136

26) Dados: P = 4.200 F = ? i = 22 ÷ 100 = 0,22 ao mês n = 18 dias Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: dia – Maior: mês – Relação conversão: 30 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,22 = (1 + i)30 (1,22)1÷30 = 1 + i i = (1,22)1÷30 – 1 i = 0,006650 i = 0,665038% a.d. F = P × (1 + i)n

F = 4.200 × (1 + 0,006650)18

F = 4.200 × (1,006650)18

F = 4.200 × 1,126720 F = 4.732,22

Resposta: O Valor Futuro é de R$ 4.732,22.

27) Dados: P = 2.500 F = ? i = 24 ÷ 100 = 0,24 ao ano n = 6 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,24 = (1 + i)12

(1,24)1÷12 = 1 + i i = (1,24)1÷12 – 1 i = 0,01808 i = 1,808758% a.m. F = P × (1 + i)n

F = 2.500 × (1 + 0,018088)6

F = 2.500 × (1,018088)6

F = 2.500 × 1,113553 F = 2.783,88

Resposta: O Valor Futuro (montante) é de R$ 2.783,88.

28) Dados: P = 2.300 J = ? i = 1,2 ÷ 100 = 0,012 ao mês n = 15 meses F = P × (1 + i)n

F = 2.300 × (1 + 0,012)15

F = 2.300 × (1,012)15

F = 2.300 × 1,195935 F = 2.750,65 J = F – P = 2.750,65 – 2.300 = 450,65

Resposta: O valor dos juros é de R$ 450,65.

GABARITO 137

29) Dados: P = 820 J = ? i = 2,3 ÷ 100 = 0,023 ao semestre n = 1 bimestre Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: bimestre – Maior: semestre – Relação conversão: 3 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,023 = (1 + i)3 (1,023)1÷3 = 1 + i i = (1,023)1÷3 – 1 i = 0,007609 i = 0,760863% a.b. F = P × (1 + i)n

F = 820 × (1 + 0,007609)1

F = 820 × (1,007609)1

F = 820 × 1,007609 F = 826,24 J = F – P = 826,24 – 820 = 6,24 Resposta: O valor dos juros é de R$ 6,24.

30) Dados: 5% ao mês → Converter ao ano (12 meses) Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 5 ÷ 100)12 1 + I = (1 + 0,05)12 I = (1,05)12 – 1 I = 1,795856 – 1 = 0,795856 i = 79,59% a.a. Utilizando a regra prática para estabelecer taxas equivalentes, temos que: Coefi ciente: (1 + i) = 1 + 5% = 1,05 (1,05)12 = 1,7959 (1,7959 – 1) × 100 = 79,59% a.a.

Resposta: A taxa equivalente é de 79,59% a.a.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA138

31) Dados: 38% ao semestre → Converter para bimestre Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: bimestre – Maior: semestre – Relação conversão: 3 1 + I = (1 + i)n

1 + 38 ÷ 100= (1 + i)3 1 + 0,38 = (1 + i)3

i = (1,38)1÷3 – 1 I = 1,113336 – 1 = 0,113336 i = 11,33% a.b. Utilizando a regra prática para estabelecer taxas equivalentes, temos que: Coefi ciente: (1 + 38%) = 1,38 Primeiro vamos converter ao mês: (1,38)1÷6 = 1,0551 (1,0551 – 1) × 100 = 5,51% a.m. Agora convertendo ao bimestre: (1,0551)2 = 1,1133 (1,1133 – 1) × 100 = 11,33% a.b.

Resposta: A taxa equivalente é de 11,33% a.b.

32) Dados: 28% ao bimestre → Converter para trimestre Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: trimestre – Maior: bimestre – Relação conversão: 3 ÷ 2 = 1,5 1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 28 ÷ 100)1,5 1 + I = (1 + 0,28)1,5

I = (1,28)1,5 – 1 I = 1,448155 – 1 = 0,448155 i = 44,82% a.t. Utilizando a regra prática para estabelecer taxas equivalentes, temos que: Coefi ciente: (1 + 28%) = 1,28 Primeiro vamos converter ao mês: (1,28)1÷2 = 1,1314 (1,1314 – 1) × 100 = 13,14% a.m. Agora convertendo ao trimestre: (1,1314)3 = 1,4482 (1,4482 – 1) × 100 = 44,82% a.t.

Resposta: A taxa equivalente é de 44,82% a.t.

GABARITO 139

33) Dados: 36% ao ano → Converter para semestre Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: semestre – Maior: ano – Relação conversão: 2 1 + I = (1 + i)n

1 + 36 ÷ 100= (1 + i)2 1 + 0,36 = (1 + i)2

i = (1,36)1÷2 – 1 I = 1,166190 – 1 = 0, 166190 i = 16,62% a.s. Utilizando a regra prática para estabelecer taxas equivalentes, temos que: Coefi ciente: (1 + 36%) = 1,36 (1,36)1÷2 = 1,1662 (1,1662 – 1) × 100 = 16,62% a.s.

Resposta: A taxa equivalente é de 16,62% a.s.

34) Dados: J = ? P = 48.000 n = 27 meses i = 1,00% a.m. J = P [(1 + i)n – 1] J = 48.000 [(1 + 0,01)27 – 1] J = 48.000 [(1,01)27 – 1] J = 48.000 [1,308209 – 1] = 14.794,03

Resposta: O valor do juros será de R$ 14.794,03.

35) Dados: P = 100.000 i = 2,5% a.m. ÷ 100 = 0,025 a.m. n = 12 meses F = P (1 + i)n

F = 100.000 (1 + 0,025)12

F = 134.488,88

Resposta: O montante será de R$ 134.488,88.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA140

36) Dados: J = ? P = 4.000 i = 4,5% a.a. ÷ 100 = 0,045 a.a. n = 8 anos J = P [(1 + i)n – 1] J = 4.000 [(1 + 0,045)8 – 1] J = 4.000 [(1,0454)8 – 1] J = 4.000 [1,422101 – 1] = 1.688,40

Resposta: O juro devido será de R$ 1.688,40.

37) Dados: F = ? P = 12.000 n = 4 quadrimestre i = 4% a.t. Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: trimestre – Maior: quadrimestre – Relação conversão: 4 ÷ 3 1 + I = (1 + i)n

1 + I = (1 + 0,04)4÷3

1 + I = (1,04)4÷3

I = (1,04)4÷3 – 1 I = 1,053686 – 1 = 0,053686 = 5,368578 % a.q. F = P (1 + i)n F = 12.000 (1 + 0,053686)4

F = 12.000 (1,053686)4

F = 12.000 × 1,232663 = 14.791,96

Resposta: O montante produzido é de R$ 14.791,96.

GABARITO 141

Unidade 61) Dados: F = 800 P = ? n = 4 meses id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 800 ÷ (1 + 0,02)4

P = 800 ÷ (1,02)4

P = 800 ÷ 1,082432 P = 739,08

Resposta: O Valor Atual do título é de R$ 739,08.

2) Dados: F = 1.120 P = ? n = 2 anos + 6 meses = 2,5 anos id = 36 ÷ 100 = 0,36 ao ano P = F ÷ (1 + id)

n

P = 1.120 ÷ (1 + 0,36)2,5

P = 1.120 ÷ (1,36)2,5 P = 1.120 ÷ 2,1570 P = 519,24

Resposta: O Valor Presente (atual) do título é de R$ 519,24.

3) Dados: F = 5.000 D = ? n = 3 meses id = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês

D = F × [ (1 + id)n – 1 ] = 5.000 [ (1 + 0,025)3 – 1 ]

(1 + id )n (1 + 0,025)3

D = 5.000 × 0,0768906 = 384,453 1,076891 1,076891

D = 357,00 Resposta: O valor do desconto composto é de R$ 357,00.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA142

4) Dados: F = 1.500 D = ? n = 3 meses id = 30 ÷ 100 = 0,30 ao ano Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,30 = (1 + i)12

(1,30)1÷12 = 1 + i i = (1,30)1÷12 – 1 i = 0,022104 i = 2,210445% a.m.

D = F × [ (1 + id)n – 1 ] = 1.500 [ (1 + 0,022104)3 – 1 ]

(1 + id )n (1 + 0,022104)3

D = 1.500 × 0,067790 = 101,684959 = 95,23 1,067790 1,067790 D = 95,23 Resposta: O valor do desconto composto é de R$ 95,23.

5) Dados: P = 369,54 F = ? D = ? n = 4 meses id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

369,54 = F ÷ (1 + 0,02)4

369,54 = F ÷ (1,02)4

369,54 = F ÷ 1,082432 F = 400 D = F – P D = 400 – 369,54 = 30,46

Resposta: O valor do desconto composto é de R$ 30,46.

6) Dados: F = 700 P = ? n = 3 meses id = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês P = F (1 + id)

n

P = 700 ÷ (1 + 0,035)3

P = 700 ÷ (1,035)3

P = 700 ÷ 1,108718 P = 631,36 Resposta: O valor presente (atual) do título é de R$ 631,36.

GABARITO 143

7) Dados: F = 4.000 P = ? n = 1 ano e 4 meses = 16 meses id = 24 ÷ 100 = 0,24 ao ano Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação conversão: 12) 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,24 = (1 + i)12

1,24 = (1 + i)12

(1,24)1÷12 = 1 + i i = (1,24)1÷12 – 1 = 0,018088 id = 1,808758% a.m. P = F ÷ (1 + id)

n

P = 4.000 ÷ (1 + 0,018088)16

P = 4.000 ÷ (1,018088)16

P = 4.000 ÷ 1,332178 P = 3.002,60

Resposta: O valor presente (atual) do título é R$ 3.002,60.

8) Dados: F = 2.000 P = ? n = 1 ano e 3 meses = 15 meses = 15 anos (Divide-se por 12 para transformar mês em anos) 12 id = 28 ÷ 100 = 0,28 ao ano P = F ÷ (1 + id)

n

P = 2.000 ÷ (1 + 0,28)15÷12

P = 2.000 ÷ (1,28)15÷12 P = 2.000 ÷ 1,361484 P = 1.468,99

Resposta: O valor de resgate foi de R$ 1.468,99.

9) Dados: F = 620 D = ? n = 5 meses id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês

D = F × [ (1 + id)n – 1 ] = 620 × [ (1 + 0,03)5 – 1 ]

(1 + id)n (1 + 1,003)5

D = 98,749926 = 85,18 1,159274 Resposta: O valor do desconto é de R$ 85,18.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA144

10) Dados: F = 3.800 P = ? n = 8 meses id = 30 ÷ 100 = 0,30 ao ano Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Maior: ano – Relação conversão: 12) 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,30 = (1 + i)12

1,30 = (1 + i)12

(1,30)1÷12 = 1 + i i = (1,30)1÷12 – 1 = 0,022104 id = 2,210445% a.m.

D = F × [ (1 + id)n – 1 ]

(1 + id)n

D = 3.800 × [ (1 + 0,022104)8 – 1 ]

(1 + 0,022104)8

D = 726,326016 = 609,77 1,191138

Resposta: O valor do desconto é de R$ 609,77.

11) Temos que: F = ? P = 3.736,30 n = 5 bimestres id = 6 ÷ 100 = 0,06 ao bimestre P = F ÷ (1 + id)

n

3.736,30 = F ÷ (1 + 0,06)5

3.736,30 = F ÷ (1,06)5

3.736,30 = F ÷ 1,338226 F = 3.736,30 × 1,338226 F = 5.000,01

Resposta: O valor da dívida era de R$ 5.000,01.

12) Dados: F = ? P = 2.043,53 n = 4 meses id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

2.043,53 = F ÷ (1 + 0,03)4

2.043,53 = F ÷ (1,03)4

2.043,53 = F ÷ 1,125509 F = 2.043,53 × 1,125509 F = 2.300,01

Resposta: O valor do título é de R$ 2.300,01.

GABARITO 145

13) Dados: F = 600 P = ? n = 4 meses id = 2,5 ÷ 100 = 0,025 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 600 ÷ (1,025)4

P = 600 ÷ 1,103813 P = 543,57

Resposta: O valor presente (atual) é de R$ 543,57.

14) Dados: F = 1.500 P = ? n = 6 meses = 3 bimestres id = 6 ÷ 100 = 0,06 ao bimestre P = F ÷ (1 + id)

n

P = 1.500 ÷ (1 + 0,06)3

P = 1.500 ÷ (1,06)3

P = 1.500 ÷ 1,191016 P = 1.259,43

Resposta: O valor presente (atual) é de R$ 1.259,43.

15) Dados: F = 2.000 P = ? n = 2 anos id = 40 ÷ 100 = 0,40 ao ano P = F ÷ (1 + id)

n

P = 2.000 ÷ (1 + 0,40)2

P = 2.000 ÷ (1,40)2 P = 2.000 ÷ 1,96 P = 1.020,41

Resposta: O Valor Atual é de R$ 1.020,41.

16) Dados: F = ? P = 676,46 n = 3 meses id = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

676,46 = F ÷ (1 + 0,035)3

676,46 = F ÷ (1,035)3

676,46 = F ÷ 1,108718 F = 676,46 × 1,108718 F = 750,00

Resposta: O valor do título era de R$ 750,00.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA146

17) Dados: F = ? P = 2.465,79 n = 5 meses id = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

2.465,79 = F ÷ (1 + 0,04)5

2.465,79 = F ÷ (1,04)5

2.465,79 = F ÷ 1,216653 F = 2.465,79 × 1,216653 F = 3.000,01

Resposta: O valor da letra era de R$ 3.000,01.

18) Dados: P = 2.303,70 F = ? id = 4,5 ÷ 100 = 0,045 ao trimestre n = 1 ano e 6 meses = 6 trimestres P = F ÷ (1 + id)

n

2.303,70 = F ÷ (1 + 0,045)6

2.303,70 =F ÷ (1,045)6

2.303,70 = F ÷ 1,302260 F = 2.303,70 × 1,302260 F = 3.000,02

Resposta: O valor do título era de R$ 3.000,02.

19) Temos: P = 20.000 F = ? n = 10 meses id = 3,5 ÷ 100 = 0,035 ao mês F = P × (1 + id)

n

F = 20.000 (1 + 0,035)10

F = 20.000 (1,035)10

F = 20.000 × 1,410599 F = 28.211,98 A fi rma deveria pagar R$ 28.211,98 daqui a 10 meses, mas, como vai antecipar o pagamento dentro de 4 meses (6 meses de antecipação), o valor será: F = 28.211,98 P = ? n = 6 meses id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 28.211,98 ÷ (1 + 0,03)6

P = 28.211,98 ÷ (1,03)6

P = 28.211,98 ÷ 1,194052 P = 23.627,09

Resposta: A fi rma pagará R$ 23.627,09.

GABARITO 147

20) Dados: F = 750 P = ? n = 5 meses – 3 meses = 2 meses (antecipação) id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 750 ÷ (1 + 0,03)2

P = 750 ÷ (1,03)2

P = 750 ÷ 1,0609 P = 706,95

Resposta: O novo valor do título será de R$ 706,95.

21) Dados: O título será pago com atraso; logo, será calculado o montante e não o valor atual. P = 1.000 F = ? n = 9 – 6 = 3 meses de atraso id = 3 ÷ 100 = 0,03 ao mês F = P × (1 + id)

n

F = 1.000 (1 + 0,03)3

F = 1.000 (1,03)3

F = 1.000 × 1,092727 F = 1.092,73

Resposta: O valor do novo título será de R$ 1.092,73.

22) Dados: F = 80.000 P = ? n = 3 meses id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 80.000 ÷ (1 + 0,02)3

P = 80.000 ÷ (1,02)3

P = 80.000 ÷ 1,061208 P = 75.385,79

Resposta: O valor do novo título será de R$ 75.385,79.

23) Dados: F = ? P = 56.000 n = 5 meses id = 2 ÷ 100 = 0,02 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

56.000 = F ÷ (1 + 0,02)5

56.000 = F ÷ (1,02)5

56.000 = F ÷ 1,104081 F = 56.000 × 1,104081 F = 61.828,52

Resposta: O valor nominal do título era de R$ 61.828,52.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA148

24) Dados: F = 90.000 P = ? n = 2 meses id = 4 ÷ 100 = 0,04 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 90.000 ÷ (1 + 0,04)2

P = 90.000 ÷ (1,04)2

P = 90.000 ÷ 1,0816 P = 83.210,06

Resposta: O valor presente (atual) do título é de R$ 83.210,06.

25) Dados: F = 12.000 P = ? n = 8 meses id = 9 ÷ 100 = 0,09 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

P = 12.000 ÷ (1 + 0,09)8

P = 12.000 ÷ (1,09)8

P = 12.000 ÷ 1,992563 P = 6.022,40

Resposta: O valor presente (atual) do título é de R$ 6.022,40.

26) Dados: F = 15.000 P = ? n = 3 anos id = 20 ÷ 100 = 0,2 ao ano P = F ÷ (1 + id)

n

P = 15.000 ÷ (1 + 0,2)3

P = 15.000 ÷ (1,2)3

P = 15.000 ÷ 1,7280 P = 8.680,56

Resposta: O Valor Atual do título é de R$ 8.680,56.

27) Dados: F = ? P = 75.600 n = 4 meses id = 9 ÷ 100 = 0,09 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

75.600 = F ÷ (1 + 0,09)4

75.600 = F ÷ (1,09)4

75.600 × 1,411582 = F F = 106.715,57

Resposta: O valor da letra era de R$ 106.715,57.

GABARITO 149

28) Dados: F = ? P = 12.700 n = 8 meses id = 11 ÷ 100 = 0,11 ao mês P = F ÷ (1 + id)

n

12.700 = F ÷ (1 + 0,11)8

12.700 = F ÷ (1,11)8

12.700 = F ÷ 2,304538 F = 12.700 × 2,304538 F = 29.267,63

Resposta: O valor da letra era de R$ 29.267,63.

29) Dados: F = 85.000 D = ? n = 5 meses id = 8 ÷ 100 = 0,08 ao mês

D = F × [ (1 + id)n – 1 ] = 85.000 × [ (1 + 0,08)5 – 1 ]

(1 + id)n (1 + 0,08)5

D = 85.000 × 0,469328 = 39.892,8865 1,469328 1,469328 D = 27.150,43

Resposta: O valor do desconto é de R$ 27.150,43.

30) Dados: P = ? F = 25.000 n = 6 meses i = 2% a.m. ÷ 100 = 0,02 a.m. P = F ÷ (1 + i)n P = 25.000 ÷ (1 + 0,02)6

P = 25.000 ÷ (1,02)6

P = 25.000 ÷ (1,126162) = 22.199,25

Resposta: O valor pago pelo título foi de R$ 22.199,25.

31) Dados: D = ? id = 2% a.m. ÷ 100 = 0,02 a.m. n = 4 meses F = 12.600 D = F × [(1 + id)

n – 1] ÷ (1 + id)n

D = 12.600 × [(1 + 0,02)4 – 1] ÷ (1 + 0,02)4

D = 1038,645216 ÷ 1,082432 D = 959,55

Resposta: O valor do desconto será de R$ 959,55.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA150

Testando Conhecimentos1) Dados: id = 60% a.a. ÷ 12 = 5% a.m. ÷ 100 = 0,05 F = 1.000 com vencimento para 30 dias → antecipar = n = 1 mês P1 = F × (1 – id × n) P1 = 1.000 × (1 – 0,05 × 1) P1 = 1.000 × (1 – 0,05) P1 = 1.000 × 0,95 P1 = 950,00 P2 = 2.000 com vencimento para 60 dias → antecipar = n = 2 meses P2 = 2.000 × (1 – 0,05 × 2) P2 = 2.000 × (1 – 0,1) P2 = 2.000 × 0,9 P2 = 1.800,00 P3 = 3.000 com vencimento para 90 dias → antecipar = n = 3 meses P3 = 3.000 × (1 – 0,05 × 3) P3 = 3.000 × (1 – 0,15) P3 = 3.000 × 0,85 P3 = 2.550,00 P1 + P2 + P3 = 950 + 1.800 + 2.550 = R$ 5.300,00

Resposta: O valor atual a ser creditado na conta da empresa é de R$ 5.300,00.

2) Dados: F = 80.000,00 id = 36% a.a. ÷ 12 = 3% a.m. ÷ 100 = 0,03 n = 8m P = ? P = F × (1 – id × n) P = 80.000 × (1 – 0,03 × 8) P = 80.000 × (1 – 0,24) P = 80.000 × 0,76 P = 60.800,00

Resposta: O título será resgatado pelo valor de R$ 60.800,00.

3) Dados: P = (3 ÷ 5) × 150.000 = 90.000 i = 18% a.a. n = 3 bimestres Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: bimestre – Maior: ano – Relação conversão: 6 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,18 = (1 + i)6

1,18 = (1 + i)6

(1,18)1÷6 = 1 + i i = (1,18)1÷6 – 1 = 0,027970 = 2,796975% a.b.

F = P (1 + id)n

F = 90.000 (1 + 0,027970)3

F = 90.000 × 1,086278 F = 97.765,02 Logo: J = F – P J = 97.765,02 – 90.000 J = 7.765,02

Resposta: O juro obtido com a aplicação é de R$ 7.765,02.

GABARITO 151

4) Dados: F = 2 ÷ 3 × 4.800 = 3.200 F = 3.200 id = 1,25 ÷ 100 a.m. = 0,0125 n = 5 meses P = F ÷ (1 + id)

n

P = 3.200 ÷ (1 + 0,0125)5

P = 3.200 ÷ 1,01255

P = 3.200 ÷ 1,064082 P = 3.007,29

Resposta: O Valor Atual pago é de R$ 3.007,29.

5) Dados: P = 4 ÷ 9 × 270.000 = 120.000 P = 120.000 i = 24% a.a. n = 5 bimestres Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: bimestre – Maior: ano – Relação de Conversão: 6 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,24 = (1 + i)6 1,24 = (1 + i)6

(1,24)1÷6 = 1 + i i = (1,24)1÷6 – 1 id = 0,036502 id = 3,650233% a.b. F = P × (1 + id)

n

F = 120.000 × (1 + 0,036502)5

F = 120.000 × (1,036502)5

F = 120.000 × 1,196331 F = 143.559,74

Resposta: O montante obtido é de R$ 143.559,74.

6) Dados: P = F ÷ (1 + id)

n id = 2% ÷ 100 a.m. = 0,02 n = 4m P = 923,85 923,85 = F ÷ (1,02)4

F = 923,85 × 1,082432 F = 1.000,00

Resposta: O valor nominal do título é de R$ 1.000,00.

MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA152

7) Dados: P = 7.538,58 F = ? id = 24 ÷ 100 = 0,24 ao ano n = 3 meses Usando a fórmula de cálculo de taxa equivalente: Menor: mês – Maior: ano – Relação de Conversão: 12 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,24 = (1 + i)12

1,24 = (1 + i)12

(1,24)1÷12 = 1 + i i = (1,24)1÷12 – 1 i = 0,018088 i = 1,808758% a.m. P = F ÷ (1 + id)

n

7.538,58 = F ÷ (1 + 0,018088)3

F = 7.538,58 × (1 + 0,018088)3

F = 7.538,58 × 1,055250 F = 7.955,09

Resposta: O valor nominal do título é de R$ 7.955,09.

8) Dados: Taxa Ano = 15% Período Menor: Mês Período Maior: Ano Relação de Conversão: 12 (Quantos menores cabem dentro do maior?) Aplicando a fórmula de conversão, temos que: 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,15 = (1 + i)12

1,15 = (1 + i)12

(1,15)1÷12 = 1 + i i = 1,011715 – 1 i = 1,171492 → i = 1,17% a.m.

Resposta: A taxa de rentabilidade efetiva mensal id = 1,17%.

9) Dados: Taxa Ano = 540% Taxa proporcional é um conceito associado a juros simples e obedece à relação de proporção existente entre os períodos envolvidos na conversão (1 ano tem 12 meses). Taxa Meses

Logo: 540% = 12 → id = 540 → id = 45% a.m. id 1 12

Resposta: A taxa mensal proporcional a 540% a.a. é de 45% a.m.

GABARITO 153

10) Dados: Taxa Semestral = 20% Taxa Bimestral = ? Taxa equivalente é um conceito associado a juros compostos e obedece à seguinte regra de conversão: Período menor: bimestre – Período maior: semestre – Relação de conversão: 3 (Quantos menores cabem dentro do maior?) Aplicando a fórmula de conversão, temos que: 1 + I = (1 + i)n

1 + 0,20 = (1 + i)3

1,20 = (1 + i)3

(1,20)1÷3 = 1 + i i = 1,062659 – 1 i = 0,062659 i = 6,27% a.b.

Resposta: A taxa de equivalente bimestral é de i = 6,27%.

11) Dados: Taxa aplicação = 13% a.m. Período: n = 6 meses Juros: J = 25.000,00 (valor do carro) Capital: P = ? Montante: F = P + J → F = P + 25.000 Como a taxa e o período estão na mesma unidade, não necessitamos realizar conversão. Aplicando a fórmula do montante em juros compostos, temos: F = P (1 + id)

n

P + 25.000 = P (1 + 13 ÷ 100)6

P + 25.000 = P (1,13)6

P + 25.000 = P × 2,081952 P × 2,081952 – P = 25.000 P (2,081952 – 1) = 25.000 P = 25.000 ÷ 1,081952 P = 23.106,39

Resposta: O capital necessário para realizar o investimento é de R$ 23.106,39.

154 MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Refe

rênc

ia B

iblio

gráf

ica

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 155

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática fi nanceira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 2006.

FUNENSEG. Matemática fi nanceira básica. Diretoria de Ensino e Produtos – assessoria técnica Hugo César Said Amazonas. 2. ed. Rio de Janeiro: Funenseg, 2010, 140 p.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática fi nanceira objetiva e aplicada. São Paulo: Saraiva, 1998.

SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática fi nanceira. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática fi nanceira. São Paulo: Atlas, 2000.