MATEMÁTICA – 6o ANO PROF – PADRÃO – VOL II · da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. ... concursos e os Desaﬁ ando são os mais difíceis, ... divisão, potenciação

MATEMÁTICA – 6o ANOPROF – PADRÃO – VOL II

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Ciências:D. Geométrico:Espanhol:Geografia:História:Inglês:Matemática:Português:Redação:

Autores:

Alba AlencarThiago SantosMizael SouzaJoão Paulo PradoMichelle Trugilho Maria Izadora ZarroRicardo PereiraLuiza MarçalCláudia Pires

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO FUNDAMENTAL 2016/2017

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2016/2017 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico inovador, o projeto gráfi co é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a passagem das informações. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas para favorecer a aprendizagem.

Veja algumas páginas:

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Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso “conversa” com o site galeracult.com.br, além de vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confi ra os fundamentos pedagógicos do material e suas justifi cativas:

Fundamento 01: Apresentar um conteúdo em termos de ementa e nível de acordo com os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCNs), refl etidos pelos principais concursos do país do referido segmento, assim como do segmento subsequente (Ensino Médio).

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs, porém existe a possibilidade de reordenação, pois o material é constituído de cadernos independentes, que possibilitam a construção de acordo com a vontade da escola parceira. Para isso, basta a escola utilizar o nosso cronograma – que está apresentado a seguir – e escolher a nova ordem dos cadernos, inclusive trocando de séries, caso seja necessário. Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Após a contextualização, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria vista e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Sinais de Pontuação, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar para compreensão dos alunos dos erros de comunicação gerados por má emprego da pontuação, reconheçam e saibam empregar corretamente os sinais de pontuação.


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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, através do diálogo entre este e outros saberes,

não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Fundamental II é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Educação Financeira, Noções de Nutrição, Noções de Direito, Empreendedorismo, entre outros, são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto galeracult.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específi co e o conteúdo é exposto por um personagem fi ccional criado pelo time da Irium Educação. Esses personagens são jovens e possuem características e linguagem próprias da adolescência, o que gera identifi cação com os alunos. Para os professores, fi ca a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento onde alguns alunos, com certeza, irão se identifi car. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os educandos a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a música do Cazuza foi utilizada para exemplifi car uma Oração Subordinada Adverbial e, com isso, acaba sendo conectada a história do próprio compositor, enriquecendo o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04: Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fi m de tornar o aprendizado

mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafi o para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplifi cações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na capa de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais signifi cado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) – entre a imagem principal e a seção “Objetivos” – propõe uma refl exão sobre o conceito de História. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende desconstruir o conceito vulgar de História. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma tirinha para exemplifi car uma oração subordinada adverbial.


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Fundamento 05: Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fi m de

sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno – na primeira impressão, - para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do leitor, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos tem difi culdade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06: Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fi m de tirar o melhor do

proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refl etem a clássica abordagem dos concursos e os Desafi ando são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafi ando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07: Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links

com sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e refl exão.

Descrição: O material possui também exercícios não ortodoxos. As questões “tradicionais” são testes para verifi car se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, refl exões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do fi lho, pois podem ajuda-los nas pesquisas e refl exões sugeridas pela atividade.

Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou refl exões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao fi nal ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do fi lho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.


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Fundamento 08: Oferecer informações sintetizadas, a fi m de atender momentos de revisão do

conteúdo.

Descrição: No fi nal de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentado uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO6º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I

1º bimestre

EF2MAT601: Conhecendo os diferentes sistemas de numeração• Sistema de numeração: operações básicas com números naturais• Numeração romana

EF2MAT602: Sistema de numeração Indo-arábico• Problemas de contagem: resolução de problemas de contagem envolvendo quantidade de números e algarismos• Número x numeral: regras de contagem – ordens e clases• Valor absoluto e valor relativo

EF2MAT603: O uso dos números naturais• Números naturais: estudo dos números naturais e suas propriedades• Adição e subtração de naturais: estudo das operações adição e subtração

2º bimestre

EF2MAT604: Operações com números naturais: multiplicação, divisão, potenciação e radiciação

• Multiplicação e divisão de naturais: estudo das operações multiplicação e divisão• Potenciação e radiciação de naturais: estudo das potências entre números naturais

EF2MAT605: Divisibilidade: múltiplos e divisores• Múltiplos de um número: estudo dos múltiplos de um número• Divisores de um número: estudo dos divisores de um número

EF2MAT606: Números Primos e Compostos• Reconhecer um número primo e composto• Decomposição em fatores primos: transformação de um número num produto de números primos e seus fatores• Critérios de divisibilidade: regras de divisibilidade dos primeiros números


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3º bimestre

EF2MAT607: MDC e MMC• Entender o conceito de MDC• Cálculo do MMC: métodos de resolução• Problemas envolvendo MDC e MMC

4º bimestre

EF2MAT608: Conjuntos• Teoria dos conjuntos: conceito de um conjunto, diagrama de Venn• Relação de inclusão e pertinência: reconhecer subconjuntos e elementos• União e interseção de conjuntos: as operações entre conjuntos união e interseção• Diferença e complementar de conjuntos: as operações entre conjuntos diferença e complementar

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO6º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA II

1º bimestre

EF2MAT612: Figuras Geométricas Espaciais• Geometria dos sólidos: reconhecimento – identifi cação dos sólidos geométricos• Geometria dos sólidos: planifi cações – planifi cação de alguns sólidos• Elementos da geometria plana: pontos, retas horizontais e verticais – segmentos e ângulos

EF2MAT613: Figuras Geométricas Planas• Figuras planas: reconhecimento de fi guras planas e polígonos• Polígonos e seus elementos: poligonais e não poligonais, lados e vértices• Medida do lado de um quadrado com área conhecida: obtenção geométrica da raiz quadrada de um quadrado perfeito• Perímetro e área de polígonos

EF2MAT614: Circunferência e Círculo• Conceito de circunferência e círculo: circunferência, círculo, raio e diâmetro

2º bimestre

EF2MAT615: Grandezas e medidas• Unidades de comprimento: conhecer e relacionar as medidas de comprimento• Unidades de área: conhecer e relacionar as medidas de superfície• Unidades de volume: conhecer e relacionar as medidas de volume• Unidades de capacidade: conhecer e relacionar as medidas de capacidade• Relação entre volume e capacidade: aprender a relacionar capacidade e volume

3º bimestre

EF2MAT609: Conhecendo as Frações


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• Conceituação de frações: o conceito de frações / elementos / notação• Comparação e simplifi cação de frações

EF2MAT610: Operações com Frações • Adição e subtração de frações• Multiplicação e divisão de frações• Problemas envolvendo as operações elementares: problemas sobre as primeiras operações• Potenciação e radiciação de frações• Expressões fracionárias: resolução de expressões com frações

4º bimestre

EF2MAT611: Números Decimais e Dízimas Periódicas• Frações decimais e divisão continuada• Adição e subtração de números decimais: comparação, adição e subtração de decimais• Multiplicação e divisão exata de números decimais: procedimento para multiplicação e divisão de decimais• Potenciação e radiciação de números decimais: cálculo de potenciação e radiciação para números naturais• Dízimas periódicas: transformação em frações


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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO FUNDAMENTAL 2016/20176º ano

MATEMÁTICA I

2o bimestre:

Aula: 11Tópico: Operações com números naturais: multiplicação, divisão, potenciação e radiciaçãoObjetivos: Aprender a realizar operações de multiplicação e divisão com números naturaisSubtópicos: Multiplicação; DivisãoExercícios: Praticando 1 ao 10Para casa: Estudo das operações Potenciação e Radiciação

Aula: 12Tópico: Operações com números naturais: multiplicação, divisão, potenciação e radiciaçãoObjetivos: Aprender a realizar operações de potenciação e radiciação com números naturaisSubtópicos: Potenciação; RadiciaçãoExercícios: Praticando 11 ao 19Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula: 13Tópico: Operações com números naturais: multiplicação, divisão, potenciação e radiciaçãoObjetivos: Observar e resolver problemas envolvendo essas operaçõesSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula: 14Tópico: DivisibilidadeObjetivos: Entender o conceito de múltiplos e divisores; Perceber a aplicação de múltiplos e divisores no nosso dia a diaSubtópicos: Múltiplos de um número; MMC; Conceito de divisorExercícios: Praticando 1 ao 9Para casa: Estudo dos Critérios de divisibilidade

10

Aula: 15Tópico: DivisibilidadeObjetivos: Conhecer as regras de divisibilidadeSubtópicos: Critérios de divisibilidadeExercícios: Praticando 10 ao 15Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula: 16Tópico: DivisibilidadeObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula: 17Tópico: Números primos e compostosObjetivos: Reconhecer um número primo e um número compost; Executar a decomposição de um número em fatores primosSubtópicos: Números primos; Decomposição de um número em fatores primosExercícios: Praticando 1 ao 6Para casa: Estudo do Cálculo do número de divisores

Aula: 18Tópico: Números primos e compostosObjetivos: Aprender a calcular a quantidade de divisores de um número primoSubtópicos: Cálculo do número de divisoresExercícios: Praticando 7 ao 10Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula: 19Tópico: Números primos e compostosObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula: 20Tópico: RevisãoObjetivos:Subtópicos: RevisãoExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral


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MATEMÁTICA II

2o bimestre:

Aula: 11Tópico: Grandezas e medidasObjetivos: Conhecer as principais medidas de comprimento e suas conversõesSubtópicos: Metro e seus múltiplos e submúltiplos; Leitura das medidas de comprimento; Mudanças de unidadeExercícios: xPara casa: Estudo das Unidades de área

Aula: 12Tópico: Grandezas e medidasObjetivos: Conhecer as principais medidas de área e suas conversõesSubtópicos: Unidades de área Exercícios: xPara casa: Estudo das Medidas de volume

Aula: 13Tópico: Grandezas e medidasObjetivos: Conhecer as principais medidas de volume e capacidade e suas conversõesSubtópicos: A diferença entre volume e capacidade; A medida de volumeExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 10

Aula: 14Tópico: Grandezas e medidasObjetivos: Conhecer as principais medidas de volume e capacidade e suas conversõesSubtópicos: A medida de capacidadeExercícios: xPara casa: Estudo das Unidades de massa e tempo

Aula: 15Tópico: Grandezas e medidasObjetivos: Conhecer as principais medidas de massa e tempo e suas conversõesSubtópicos: Unidades de massa e tempoExercícios: Praticando 11 ao 27Para casa: Aprofundando e Desafiando

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Aula: 16Tópico: Grandezas e medidasObjetivos: Conhecer as principais medidas de comprimento e suas conversõesSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula: 17Tópico: Grandezas e medidasObjetivos: Reconhecer um número primo e um número compost; Executar a decomposição de um número em fatores primosSubtópicos: Números primos; Decomposição de um número em fatores primosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Aprofundando e Desafiando

Aula: 18Tópico: Grandezas e medidasObjetivos: Aprender a calcular a quantidade de divisores de um número primoSubtópicos: Cálculo do número de divisoresExercícios: Aprofundando e Desafiando Para casa: Pesquisando

Aula: 19Tópico: Grandezas e medidasObjetivos:Subtópicos: RevisãoExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral

Aula: 20Tópico: Revisão bimestralObjetivos:Subtópicos: RevisãoExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral

EF2M

AT6-

04

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS: MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

1

Praticando:1) Propriedade comutativa

2) a) 4 x 4b) 5 x 3c) 6 x 0d) 2ae) 5X

3) (3 x 2)x(2 x 3) = 6 x 6

4) Como o maior resto possível é sempre igual ao divisor menos uma unidade (r = d – 1) e o res-to é x, então x = d – 1, logo o divisor será d = x + 1.

5) Como um é o dobro do outro, um é x e o outro é 2x, portanto a divisão do maior pelo menor será de 2x : x = 2.

6) Dividendo = d x q + r

7) Para que o quociente não se altere, o resto deve ser o maior possível.

Como o divisor é 8, o maior resto possível é 7. Já temos o resto de 3, então para chegar ao

maior resto possível, que, no caso é 7, podemos aumentar em 4 unidades.

8) Esse número que desejamos é o dividendo (D), então devemos lembrar que D=d x q +r. Pelo enunciado vemos que o divisor é 39, ou seja, d=39. Como o resto e o quociente são iguais, q = r. Assim, D=39 x r +r.

D = 39r + r

D = 40rLogo, o número desejado deve ser 40 vezes o

resto ou 40 vezes o quociente, pois resto e quo-ciente são iguais.

9) Para resolver isso, vamos fazer um exemplo:2 x 3 = 6Se escolhermos o 2 para ser multiplicado por

2, temos:4 x 3 = 12Veja que o produto ficará duas vezes maior.

10) a) A divisão é exata quando o resto é igual a zero.b) O 21 é o dividendo.c) O divisor é 9.d) O quociente é 27.e) A divisão é aproximada quando o resto é dife-rente de zero.f) Não, o resto pode ser no máximo uma unida-de menor do que o divisor, mas não igual, pois, se for igual, permite-se continuar a divisão.g) Como a divisão não é exata, os restos podem ser 1, 2 e 3.h) D = d x q + ri) Como o resto é o maior possível, logo r = d –1, então, r = 7 – 1, r = 6.

11)

Efetue Base Expoente Potênciaa) 32 3 2 9, pois 3 x 3 = 9b) 25 2 5 32, pois 2 x 2 x 2 x

2 x 2 = 32

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Operações com números naturais: multiplicação, divisão, potenciação e radiciação

Objetivos de aprendizagem:• Aprender a realizar operações de multipli-

cação e divisão com números naturais;

• Aprender a realizar operações de potencia-ção e radiciação com números naturais;

• Observar e resolver problemas envolvendo essas operações.

EF2M

AT6-

04OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS: MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

2

c) 53 5 3 125, pois 5 x 5 x 5 = 125

d) 44 4 4 256, pois 4 x 4 x 4 x 4 = 256

12) a) 24

b) 35

c) 212

d) 53

13) a) 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32b) 33 = 3 x 3 x 3 = 27c) 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625d) 471 = 47

14) a) 23 + 5 = 28 = 256b) 33 + 6 = 39 = 19683c)77 – 3 = 74 =2401d) 11(9 – 4) = 115 = 161051e)93 x 2 = 96 = 531441f) 43 x 5 =415 = 1073741824g) Cubo de 2 = 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Triplo de 2 = 3 x 2 = 6Diferença = 8 – 6 = 2

h) Quadrado de 4 = 42 = 4 x 4=16Dobro de 4= 2 x 4 = 8Soma= 16 + 8 = 24

15)

Efetue Índice Radicando Raiz

a) 16 2 16 4, pois 4 x 4=16

b) 273 3 27 3, pois 3 x 3 x 3

= 27

c) 2564 4 256 4, pois 4 x 4 x 4

x 4 = 256

d) 2435 5 243 3, pois 3 x 3 x 3 x

3 x 3 = 243

16) a) 81 = 9

b) 3433

= 7

c) 6254

= 5

d) 2568

= 2

17) a) 95 = 59049b) 114 = 14641

18) a) 25 = 5, pois 5 x 5 = 25b) 100 = 10, pois 10 x 10 = 100c) 27

3 = 3, pois 3 x 3 x 3 = 27

d) 2163

= 6, pois 6 x 6 x 6 = 216e) 16

4 = 2, pois 2 x 2 x 2 x 2 = 16

f) 6254

= 5, pois 5 x 5 x 5 x 5=625g) 1100

= 1, 1 x 1 x...x 1 =1

19) a) Lembre-se o quadrado perfeito é um nú-mero que possui raiz quadrada, logo o quadra-do perfeito mais próximo de 37 é 49

√36 = 6√49 = 7Logo, 49 – 37 = 12. Devemos adicionar 12 a 37

para obter um quadrado perfeito.b) Cubo de 5 = 53 = 125

O quadrado perfeito que vem antes de 125 é 121, veja

√121 =11√144 = 12Logo, 125 – 121 = 4. Devemos diminuir 5 de

125 para obter um quadrado perfeito.

Aprofundando:1) Como são 80 km por hora, em 6 horas terão sido percorridos 80 x 6 = 480.

Assim, 520 – 480 = 40. Logo faltarão 40 km para completar o percurso.

Fazendo a regra de três:80km ---- 1 h40 km ---- x80x = 40X = 40/80 = 1/2 = 0,5 h ou 30 minutosPortanto, a viagem durará 6 horas e 30 mi-

nutos.

2) Basta multiplicar 4 x 3 x 8 = 12 x 8 = 96 lápis.

3) Exercício fora do caderno correto, ele deve es-tar no caderno de subtração.

4) Divisor = 18 Quociente = quádruplo do divisor = 4 x 18 = 72Resto = maior possível = divisor – 1 = 18 – 1 = 17Dividendo = Divisor x Quociente + Resto = 18

x 72 + 17 = 1296 + 17 = 1313

EF2M

AT6-

04

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS: MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

3

5) Ducentésima quadragésima oitava letra = 248Como a palavra FORTE tem 5 letras, então

basta dividir 248 por 5:248 5 3 49

Como temos o quociente 49, isso significa di-zer que escrevemos a palavra FORTE 49 vezes e depois escrevemos as 3 primeiras letras, ou seja, termina na letra R.

Letra C.

6) A e E.

7) Como não foram recebidos livros no fim de semana, então foram recebidos livros em 5 dias, logo fazemos 5 x 9 x 36 = 45 x 36 = 1620

8)

Hoje Eu PrimasIdade X + 7 X cada uma

X + x + x +7 = 763x + 7 = 763x = 76 – 73x = 69X = 23Minha idade hoje = 23 + 7 = 30Idade das primas hoje = 23Minha idade daqui a 3 anos = 30 + 3 = 33Idade das primas há 3 anos = 23 – 3 = 20Diferença = 33 – 20 =13 anos Letra A

9)

Efetue Base Expoente Potência

a) 113 11 3 1331, pois 11 x 11 x 11 = 1331

b) 45 4 5 1024, pois 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024

10) a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2^6=64b) 8 x 8 x 8 x 8 = 4096c) 17 x 17 x 17 = 4913

11) a) 2 x 2 x 2 = 8b) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243c) 5 x 5 x 5 = 125

d) 12 x 12 = 144e) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2= 256f) 4 x 4 x 4 = 64g) 1 x 1 x ... x 1 = 1h) 1, todo número elevado a zero é 1.

12) a) Quadrado de 3 = 3^2=9

Dobro de 3 = 2 x 3 = 6Diferença = 9 – 6 = 3

b) Quadrado de 7 = 7^2=49Dobro de 7 = 2 x 7 = 14Soma = 49 + 14 = 63

c) Para obter o algarismo 1 seguido de 7 zeros, devemos elevar 10 a 7.d) (2 + 3)2 – (22 + 32)2 = (5)2 – (4 + 9) = 25 – 13 = 12e) x5 = 243, para resolver basta calcular a raiz:

2435

= 3, pois 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243.f) Triplo do quadrado de 6 = 3 x 62 = 3 x 36 = 108

Metade do cubo de 8 = 83/2 = 512/2 = 256256 – 108 = 148

13) Retirar os destacados de vermelho

Efetue Índice Radicando Raiz

49 = 7 2 49 7, pois 7 x 7 = 49

1253

= 5 3 125 5, pois 5 x 5 x 5 = 125

814

= 4 81 3, pois 3 x 3 x 3 x 3 = 81

305

= 2 5 32 2, pois 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

14) a) √64 = 8b) 1000

3 = 10

c) 2564

= 4d) 112

= 1

15) a) √36=6, pois 6 x 6 =36b) √169 = 13, pois 13 x 13 = 169c) √225 = 15, pois 15 x 15 = 225d) √361 = 19, pois 19 x 19 = 361e) √256 = 16, pois 16 x 16 = 256f) √289 = 17, pois 17 x 17 = 289g) √529 = 23, pois 23 x 23 = 529h) √784 = 28, pois 28 x 28 = 784

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AT6-

04OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS: MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

4

I) √1764 = 42, pois 42 x 42 = 1764J) √1000000 = 1000, pois 1000 x 1000 = 1000000k) 83

= 2, pois 2 x 2 x 2 = 8l) 343

3 = 7, pois 7 x 7 x 7 = 343

m) 27003

= 30, pois 30 x 30 x 30=27000n) 160000

4 = 20, pois 20 x 20 x 20 x 20 = 160000

o) 114

= 1 , pois 1 x 1 x .... x 1 = 1p) 5 17 x 17 x 17 x 17 x 17) =5 175 = 17

16) a) √121 = 11, √36 = 6 e √100 = 1011 + 6 – 10 = 17 – 10 = 7

b) √225 = 15, √49 = 7 e √169 = 1315 – 7 + 13 = 8 + 13 = 21

c) √4 = 2, 83

= 2, 164

= 2 e 325

= 22 x 2 x 2 x 2 = 16

d) √√16 + √25 =√(4 + 5) = √9 = 3e) 243

5 / 1024

5 = 355

/ 455 = 3/4

f) 49/ 3433

= 733 = 7/7 = 1

17) O quadrado mais próximo de 63 é 64 (√64 = 8), logo devemos adicionar 1.

18) O cubo perfeito mais próximo de 1435 é 1331 (113 = 1331), logo devemos diminuir 1435 – 1331 = 104.

Desafiando:1) X = 223 = 22 x 2 x 2 = 28

Y = (22)3 = 22 x 3 = 26

X – y = 28 – 26= 256 – 64 = 192

2) a) 32 x 23 = 736 jogadoresb) 32 x (23 + 17) = 32 x 40 = 1280 pessoas.

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05

DIVISIBILIDADE: MÚLTIPLOS E DIVISORES

5

Praticando:1) a) M(3)={0,3,6,9...}b) M(13)={0,13,26}c) M(7)={21,28, 35, 42,49}d) M(19)={190, 209, 228, 247, 266, 285}e) M(21)={63, 84, 105, 126, 147}f) M(11)={506, 517, 528, 539, 550, 561, 572, 583, 594, 605, 616, 627, 638, 649, 660, 671, 682, 693, 704, 715, 726, 737, 748, 759, 770, 781, 792, 803, 814, 825, 836, 847, 858, 869, 880, 891, 902, 913, 924, 935, 946, 957, 968, 979, 990}

2) a) 3218 não é múltiplo de 7, pois ao realizar a divisão de 3218 por 7, não temos uma divisão exata.

3218 741 45685

b) 3145 não é múltiplo de 15, pois ao realizar a divisão de 3145 por 15, não temos uma divisão exata.

3145 15145 20910

c) M(7)={203, 210,217, 224, 231, 238, 245, 252, 259, 266, 273, 280, 287, 294}d) Basta dividir cada número por 12 e quando a divisão for exata, esses números são múltiplos de 12.

276 1236 230

350 12110 292

1.219 12019 101

7

4.320 1272 36000

Com isso, apenas 276 e 4320 são múltiplos de 12.

3) O primeiro múltiplo de 15 acima de 100 é 105, mas 105 não é múltiplo de 4, logo iremos aumentar de 15 em 15 e testar se os números obtidos são múltiplos de 4

105 + 15 = 120 – é múltiplo de 4O menor múltiplo de 15 maior de 100 que

também é múltiplo de 4 é 120.

4) a) A={0,12,24,36, 48, 60, 72...}B ={0,18,36,72,...}A∩B={0,36, 72...}

b) 36

5) Vamos testar:M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10} – soma: 0 + 2 + 4 + 6 +

8 + 10 = 30M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15} – soma: 0 + 3 + 6 + 9

+ 12 + 15 = 45M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20} – soma: 0 + 4 + 8 +

12 + 16 + 20 = 60M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25} – soma: 0 + 5 + 10

+ 15 + 20 + 25 = 75M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30} – soma: 0 + 6 + 12

+ 18 + 24 + 30 = 90M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35} – soma: 0 + 7 + 14 +

21 + 28 + 35 = 105O número é 7.


Divisibilidade: múltiplos e divisores

Objetivos de aprendizagem:• Entender o conceito de múltiplos e divisores;• Perceber a aplicação de múltiplos e diviso-

res no nosso dia a dia;• Conhecer as regras de divisibilidade.

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05DIVISIBILIDADE: MÚLTIPLOS E DIVISORES

6

6) a) D(5)={1,5}b) D(14)={1,2,7,14}c) D(32)={1,2,4,8,16, 32}d)D(38)={1,2,19, 38}

7) a) D(36) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}D(37) = {1,37}D(40) = {1,2,4,5,8,10,20,40}

b) D(16) = {8,16}D(36) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}Logo, os divisores de 16 que não são diviso-

res de 36 são 8 e 16.c) D(30) = {1,2,3,5,6,10,15,30}

D(45) = {1,3,5,9,15,45}Os divisores comuns são 1,3,5 e 15.

8) Consertar o enunciado: menor número natural de dois algarismos (acrescentar) divisível por 8.

Maior número natural de três algarismos di-visível por 2: 998

Menor número natural de dois algaris-mos (acrescentar) divisível por 8: 16

Soma: 998 + 16 = 1014

9) Perceba que 235 não é divisível por 15:

235 1585 1510

O múltiplo mais próximo é encontrado ao perceber que o resto é 10, precisamos de um resto 15 para continuar a divisão, então basta somar 5, logo será 235 + 5 = 240.

10) Colocar na primeira parte, antes dos crité-rios de divisibilidade.

M(7)={0,7,14,21,28,35,42,49}

11) M(12)={0,12,24,36,48,60,72...}12) a) M(2)={0,2,4,6,8,10...}b) M(17)={0,17,34,51}c) O primeiro múltiplo de 9 maior que 10 é 18, logo M(9)={18,27,36}d) O primeiro múltiplo de 11 maior que 27 é 33, logo M(11)={33, 44, 55, 66}

e) O primeiro múltiplo de 7 maior que 50 é 56, logo M(7)={56, 63, 70, 77}f) O primeiro múltiplo de 16 maior que 151 é 160, logo M(16)={160, 176, 192}g) O primeiro múltiplo de 13 maior que 400 é 403, logo M(13)={403, 416, 429, 442}h) O primeiro múltiplo de 26 maior que 280 é 286, logo M(26)={286, 312, 338}

13) a) Para saber se 1728 é múltiplo de 12, pode-mos verificar se ele é múltiplo de 3 e 4, ao mes-mo tempo.

Por 3: 1+7+2+8=18 e 18 é múltiplo de 3, então 1728 é múltiplo de 3.

Por 4:Os dois últimos algarismos da direita são 28 e 28 é múltiplo de 4, logo 1728 é múltiplo de 4.

Portanto, 1728 é múltiplo de 12.b) Como não temos regra, então basta dividir:

345 765 492

Logo, 345 não é múltiplo de 7.c) Como não temos regra, então basta dividir:

1445 1785 850

d) Para ser múltiplo de 21, deve ser múltiplo de 3 e 7 ao mesmo tempo

Por 3: 147 – 1+4+7=12 – múltiplo de 3385 – 3+8+5=16 – não é múltiplo de 3, nem

precisa verificar por 77401 – 7+4+0+1=12 - múltiplo de 3504 – 5+0+4=9 - múltiplo de 3Por 7:

147 707 210

7407 7040 1057512

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7

504 714 720

Logo, são múltiplos de 21 os números 147 e 504.

14) Vamos dividir 68 por 13,

68 133 5

Como o resto foi de 3, então precisamos so-mar 10 para termos um número múltiplo de 13.

15) Vamos dividir 123 por 11,

123 1113 112

Como o resto foi de 2, então precisamos re-tirar 2 para termos um número múltiplo de 11.

Aprofundando:1) Os múltiplos de 3 entre 70 e 80 são: 72, 75 e 78. Dentre eles, o único que é múltiplo de 8 é 72, logo, a idade é de 72 anos.

2) O menor número de 3 algarismos é 100, mas vemos que não é divisível por 8:

100 820 124

Como o resto é 4, devemos somar 4 para ob-termos um múltiplo de 8, que será 104.

3) Maior número de 3 algarismos é 999 e vemos que ele não é múltiplo de 26:

999 26219 3811

Como o resto foi de 11, então precisamos re-

tirar 11 para termos um número múltiplo de 26, que será 988.

4) a) Para 4538 ser múltiplo de 12, deve ser múl-tiplo ao mesmo tempo de 3 e 4:

Por 3: 4+5+3+8=20, não é múltiplo de 3, logo não é múltiplo de 12.b) Para 10.564 ser múltiplo de 9, verificamos 1 + 0 + 5 + 6 + 4 = 16, logo não é múltiplo de 9c)

1543 5113 30

Como o resto é 13, então devemos subtrair 1543 – 13=1530.d)

265 4213 6

Como o resto é 13, então devemos subtrair 265 – 13=252.

5)

321 1413 22

Como o resto é 13, então adicionar 1 para ob-termos um múltiplo de 14, que será 322.

6)

386 1511 25

Como o resto é 11, então adicionar 4 para ob-termos um múltiplo de 15, que será 390.

7) 346aa)a = 0,2,4,6 ou 8b) 3 + 4 + 6 = 13 para ser múltiplo de 3, a soma deve ser um múltiplo de 3, então pode ser:

2 = 13 +2 = 155= 13+5=188=13+8=21A=2,5 ou 8

c) Os dois últimos números da direita deve ser múltiplos de 4, então podemos ter

0 = 34604 = 34648 = 3468A = 0,4 ou 8

d) a = 0 ou 5, pois o número divisível por 5 deve terminar em zero ou 5.

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8

e) Para ser divisível por 6, deve ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo:

Por 2: a=0,2,4,6 ou 8Por 3: a=2,5 ou 8Logo, temos em comum 2 e 8, portanto a=2

ou 8.f) 3 + 4 + 6 = 13 para ser múltiplo de 9, a soma deve ser um múltiplo de 9, então pode ser:

5 = 13 + 5 = 18A = 5

g) a = 0, pois o número divisível por 10 deve ter-minar em zero.

8) Menor número de 3 algarismos: 100Para ser divisível por 2, deve terminar em

0,2,4,6 ou 8Para ser divisível por 5, deve terminar em 0

ou 5Logo, deve terminar em zero: 1A0, devemos

descobrir quem é A.Para ser múltiplo de 3, a soma deve ser um

múltiplo de 3, então A pode ser: 2 = 1+2+0=35=1+5+0=68=1+8+0=9Para ser divisível por 8, devemos ter os 3 últi-

mos algarismos da direita um múltiplo de 8, no caso podemos escolher 2 ou 8. Como queremos o menor, a=2.

Logo, o número será 120, que é divisível por 6 também.

Maior número de 3 algarismos: 999Para ser divisível por 2, deve terminar em

0,2,4,6 ou 8Para ser divisível por 5, deve terminar em 0

ou 5Logo, deve terminar em zero: 9A0, devemos

descobrir quem é A.Para ser múltiplo de 3, a soma deve ser um

múltiplo de 3, então A pode ser: 0 = 9+0+0=93=9+3+0=126=9+6+0=159=9+9+0=18Para ser divisível por 8, devemos ter os 3 últi-

mos algarismos da direita um múltiplo de 8, no caso, podemos escolher apenas o 6. Logo, a=6.

Logo, o número será 960, que é divisível por 6 também.

9) 69abPara ser divisível por 5, deve terminar em 0

ou 5, mas como deve ser divisível também por 4, então b=0, pois não há número múltiplo de 4 que termine em 5.

Para ser divisível por 2, devemos ter os 4 úl-timos algarismos da direita um múltiplo de 4 ou terminar em 00, no caso, podemos escolher:

A = 0, 2, 4, 6 ou 8.

10) Para ser múltiplo de 9, a soma deve ser um múltiplo de 9, então pode ser: 5+6+*+7=18, veja que a soma é um múltiplo de 9.

Como queremos o menor algarismo, será o próprio zero.

11) 10*76Soma dos algarismos de ordem ímpar:

6+*+1=7+*Soma dos algarismos de ordem par: 7+0=7Lembre-se que a diferença deve ser um múl-

tiplo de 11, vamos considerar o próprio 11:(7+*)-7=11(7+*)=11+7(7+*)=18*=18-7=11, não podemos colocar dois alga-

rismos, então vamos considerar que o múltiplo formado é 0:

(7+*)-7=0(7+*)=7*=7-7=0*=0

12) 2a78Para ser múltiplo de 9, a soma deve ser um

múltiplo de 9, então pode ser: 2+a+7+8=17, veja que para a soma ser um múltiplo de 9, devemos somar 1, 17+1=18.

Logo, a=1.

13) 6a4.100Esse número já é divisível por 4, pois termina

em 00.Para ser múltiplo de 3, a soma deve ser um

múltiplo de 3: 6+a+4+1+0+0=11+aPara ser múltiplo de 9, a soma deve ser um

múltiplo de 9: 11+aPara atender as duas condições, 11 + a = 18, logo a = 7

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05


9

14) 53a8: Se colocarmos o 0, 5308 ao ser dividido por

3, dá resto 1.Se colocarmos 1, teremos 5318 ao ser dividi-

do por 3, dá resto 2.A=1a83a: Se colocarmos 0, teremos 0830 ao ser

dividido por 3, dá resto 2.A=0a83: Se colocarmos 0, teremos 083 ao ser di-

vidido por 3, dá resto 2.A=059a: Se colocarmos 0, teremos 590 ao ser di-

vidido por 3, dá resto 2.A=03a744: Se colocarmos 0, teremos 30744 ao

ser dividido por 3, dá resto 0.Se colocarmos 1, teremos 31744 ao ser dividi-

do por 3, dá resto 1.Se colocarmos 2, teremos 32744 ao ser divi-

dido por 3, dá resto 2.A=2

15) a) Tirando o zero.M(4)={4,8,12}12, pois termina em 2, a soma dos algarismos

é 1+2=3 e os 2 últimos algarismos são múltiplos de 4.b) Tirando o zero.

M(5)={5,10,15,20,25,30,35,40,45}45, pois termina em 5, e a soma dos algaris-

mos 4+5=9, sendo múltiplo de 3 e 9.c) M(10)={10,20,30,40,50,60}, tirando o zero.

60, pois termina em zero, os 2 últimos algaris-mos são múltiplos de 4 e é divisível por 2 (termi-na em zero) e 3 (a soma dos algarismos 6+0=6) ao mesmo tempo.d) M(8)={8,16,24,32,40,48,56,64,72}, tirando o zero.

72, pois é divisível por 8, é divisível por 2 (é par) e a soma dos algarismos é 7+2=9, sendo múltiplo de 3 e 9.e)M(12)={12,24}, tirando o zero.

24, pois a soma dos algarismos é 2+4=6, sen-do múltiplo de 3 e é divisível por 4,8 e 12.

16) a) 3 algarismos: Vejamos números divisíveis por 6.

Divisíveis por 3: 102,105,108,111,114 , 117, 120, mas que precisam ser pares: 102, 108, 114, 120.

Por fim, devemos observar os que terminam em zero para serem divisíveis por 5: 120.

Logo, é 120.4 algarismos: Vejamos números divisíveis por 6. Divisíveis por 3: 1002,1005,1008,1011,1014 ,

1017, 1020, mas que precisam ser pares: 1002, 1008, 1014, 1020.

Por fim, devemos observar os que terminam em zero para serem divisíveis por 5: 1020.

Logo, é 1020.b) 3, 8 e 12

3 algarismos:Primeiro veremos os que são divisíveis por 3:

102,105,108,111,114 , 117, 120.Divisíveis por 8: 104, 112,120.Divisíveis por 12: 120.Logo, é 120.4 algarismos:Divisíveis por 12: 1008, 1020.Divisíveis por 8: 1008.Primeiro veremos os que são divisíveis por 3:

1008, 1020.Logo, é 1008.

c) 4,7,8,103 algarismos:Divisíveis por 7: 105,112,119,126,133,140Divisíveis por 4: 112, 140Divisíveis por 8: 112, 140Divisíveis por 10: 140Logo, é 140.4 algarismos:Divisíveis por 7 terminam em zero:1050,1120Divisíveis por 4: 1120Divisíveis por 8: 1120Divisíveis por 10: 1120Logo, é 1120.

d) 3 algarismos:Divisíveis por 13: 108,117, 126, 135,144, 156Divisíveis por 8: 144, 156Divisíveis por 3: 144, 156Divisíveis por 2: 144, 156Logo, é 156.

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10

4 algarismos:Divisíveis por 13: 1008,1017, 1026, 1035,1044,

1560Divisíveis por 8: 1560Divisíveis por 3: 1560Divisíveis por 2: 1560Logo, é 1560.

e) 3 algarismos:Divisíveis por 9 que terminam em zero (divi-

sível por 5): 180Divisíveis por 12: 180Divisíveis por 3: 180Logo, é 1804 algarismos:Divisíveis por 9 que terminam em zero (divi-

sível por 5): 1080Divisíveis por 12: 1080Divisíveis por 3: 1080Logo, é 1080

17) 1 + 2 + 3 = 62 + 3 + 4 = 93 + 4 + 5 = 12Veja que sempre a soma dos algarismos dará

um múltiplo de 3.

Desafiando:1) Colocar no Aprofundando

Número entre 80 e 90 que seja divisível por 9, logo será 81, pois 81:9=9

Letra A.

2)

386 1586 2511

Como o resto é 11, devemos adicionar 4 para que tenhamos um número divisível por 15. Ro-drigo e Fernanda

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06

NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

11

Praticando:1) 19,23,37,43,47,61,89,97

2) a) Falso, o número 2 é primo e parb) Falso, isso ocorre apenas com o 2. Lembre--se que os números primos são ímpares em sua maioria, então o consecutivo é par.c) Verdadeiro, pois os números primos de 3 alga-rismos são ímpares, então o consecutivo é par.d) Verdadeiro, pois temos o exemplo do 3 e 2.e) Falso, os divisores são finitos, apenas os múl-tiplos são infinitos.

3) 147 x 28 = 7056Como o número é par, ele é divisível por 2,

então o resto da divisão será zero.

4) 139+437+54=630Como o número termina em zero, ele é divisí-

vel por 5, então o resto da divisão por 5 será zero.

5) 397+485=882Como a soma dos algarismos é 8+8+2=18 um

número divisível por 3, então o resto da divisão será 0.

6) 387x59 = 22833Como a soma dos algarismos é 2+2+8+3+3=18

um número divisível por 3, então o resto da di-visão será 0.

7) a)

12 26 23 31

b)

30 215 35 51

c)

72 236 218 29 33 31

d)

108 254 227 39 33 31

e)

189 363 321 37 71

f)

650 2325 565 513 131


Números primos e compostos

Objetivos de aprendizagem:• Reconhecer um número primo e um núme-

ro composto;

• Executar a decomposição de um número em fatores primos;

• Aprender a calcular a quantidade de diviso-res de um número.

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06NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

12

8) a)

136 2 218 2 49 3 3-6-123 3 9-18-361

Divisores: 1,2,3,4,6,9,12,18,36b)

190 2 245 3 3-615 3 9-185 5 5-10-15-30-45-901

Divisores: 1,2,3,5,6,9,10,15, 18,30,45,90c)

1120 2 260 2 430 2 815 3 3-6-12-245 5 5-10-20-40-15-30-60-1201

Divisores: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,60,120

9) a)

60 230 215 35 51

60 = 22 x 3 x 5Produto dos consecutivos dos expoentes:

(2+1).(1+1).(1+1)=3 x 2 x 2 = 12b)

144 272 236 218 29 33 31

144 = 24 x 32

Produto dos consecutivos dos expoentes: (4+1).(2+1)=5x3=15

c)

420 2210 2105 335 57 71

420 = 22 x 3 x 5 x 7Produto dos consecutivos dos expoentes:

(2+1).(1+1) (1+1) (1+1) = 3x2x2x2 = 24d)

960 2480 2240 2120 260 230 215 35 51


(6+1).(1+1) (1+1)=7x2x2=28e) Produto dos consecutivos dos expoentes: (5+1).(2+1) (3+1) = 6x3x4 = 72f) Produto dos consecutivos dos expoentes: (11+1).(3+1) (2+1) = 12x4x3 = 144

10) a) Produto dos consecutivos dos expoentes: (3+1).(x+1) (2+1)=4(x+1)3=12(x+1)=36

12x+12=3612x=36-1212x=24X = 2

b) Produto dos consecutivos dos expoentes: (x+1).(2+1) (1+1) (2+1)

(x+1)3.2.318(x+1)=5418x+18=5418x=36X = 2

EF2M

AT6-

06


13

Aprofundando:1) Par

Exemplos: 17 – 13 = 4, 19 – 17 = 2

2) Primos: 157, 277

3) a)

30 215 35 511

b)

231 377 711 111

c)

1001 7143 1113 131

4) Exemplo: 11,13,17,19=60Exemplo 2: 47,53,59,61=220Divisível por 2.

5) c) 227 e) 463 h) 797

6) Primos: {113, 373, 787}

7)

197 2171 98

197 3172 65

197 5472 39

197 7571 28

197 118710 17

197 13672 15

197 176710 11

Esse número é primo

8) 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

9) 4,6,8,10,12,14,16,20,22,24,26,28,30,32,34,40,48,50,54,60,68,72,80,90,100b) 6,9,12,15,21,24,30,33,39,45,48,54,60,72,87,90c) 4,8,12,16,20,24,28,32,40,48,60,68,72,80,100d) 5,10,15,20,30,35,40,45,50,55,60,80,90,100e) 6,12,24,30,48,54,60,72,90f) 8,16,24,32,40,48,72,80,g) 9,45,54,72,90h) 10,20,30,40,50,60,80,90,100

22,33,55J) 12,24,48,60,72l) 15,30,45,60,90m) 20,40,60,80,100n) 30,60,90

10)

2 3 4 5 9 10 1147 1 2 3 2 2 7 3128 0 2 0 3 2 8 7385 1 1 1 0 7 5 0480 0 0 0 0 3 0 7693 1 0 1 3 0 3 0

11) 67AB

Para ser divisível por 5, B=0 ou 5Se b=0, então

EF2M

AT6-


14

67a0 – 6+7+a+0=13+aPara ser divisível por 3, podemos ter:a=2, pois 13+2=15a=5, pois 13+5=18a=8, pois 13+8=21

Se b=5, então67a0 – 6+7+a+5=18+aPara ser divisível por 3, podemos ter:a=0, pois 18+0=18a=3, pois 18+3=21a=6, pois 18+6=24a=9, pois 18+9=27

12) 64a7aPara ser divisível por 2: a=0,2,4,6,8Como deve ser divisível por 3, então:

6+4+a+7+a=17+2aA=0, 17+2x0=17 – não pode, pois a soma não

deu um número múltiplo de 3.A=2, 17+2x2=17+4=21 – podeA=4, 17+2x4=17+8=25– não pode, pois a soma

não deu um número múltiplo de 3.A=6, 17+2x6=17+12=29– não pode, pois a

soma não deu um número múltiplo de 3.A=8, 17+2x8=17+16=33– podePara ser divisível por onze, devemos fazer: Primeiro caso: 64272Soma dos algarismos de ordem ímpar:

2+2+6=10, como é menor do que 11, então so-mamos 11+10=21

Soma dos algarismos de ordem par: 7+4=11Lembre-se que a diferença deve ser um múlti-

plo de 11: 21-11=10, que não é um múltiplo de 11.Segundo caso: 64878Soma dos algarismos de ordem ímpar:

8+8+6=22Soma dos algarismos de ordem par: 7+4=11Lembre-se que a diferença deve ser um múl-

tiplo de 11: 22-11=11, que é um múltiplo de 11.Logo, a=8.

13) 7m5mp2,5 e 9Para ser divisível por 5, p=0 ou 5Como também queremos um número divisí-

vel por 2, então p=0

7m5m0Para ser divisível por 9, a soma dos algaris-

mos deve ser um múltiplo de 9:7+m+5+m+0=12+2mEntão m pode ser:M=3, pois 12+2m=182m=18-122m=6M=3Fazendo 12+2m=272m=27-122m=15Não dá número inteiro.Logo, m=3 e p=0

13) a) 47k3Se k=9, então 4793:3=1597 e resto 2

b) 31k7Se k=9, então 3197:4=799 e resto 1

c) 894kSe k=9, então 8949:5=1789 e resto 4Então o k=8, pois 8948:5=1789 e resto 3

d) 4k2k6kSe k=9, então 492969:9=54774 e resto 3Se k=8, então 482868:9=53652 e resto zeroSe k=7, então 472767:9=52529 e resto 6Se k=6, então 462666:9=51407 e resto 3Se k=5, então 452565:9=50285 e resto zeroSe k=4, então 442464:9=49162 e resto 6Se k=3, então 432363:9=48040 e resto 3Se k=2, então 422262:9=52529 e resto zeroSe k=1, então 412161:9=45795 e resto 6Se k=0, então 402060:9=44673 e resto 3Veja que não tem como dar resto 7, acredito

que seja seis o correto.

15) A soma deve terminar em zero, pois é divisí-vel por 10, isso também satisfaz que o número seja divisível por 2 e 5. Terminando em zero, ve-mos que o número de 3 algarismos deve termi-nar em 8.

3 8 7 2+ a b 83 8 + a 8 + b 0

EF2M

AT6-

06


15

Veja que para um número ser divisível por 3 e 9, a soma dos algarismos deve ser um múltiplo de 9, então:

3+(8+a)+(8+b)=27, veja que 3+8+8=19, então o próximo múltiplo é 27.

19+a+b=27A+b=27-19A+b=8Como queremos o menor número de 3 alga-

rismos, a=1, logo b=7Portanto o número é 178.

16) 35a2bPara ser divisível por 5, b deve ser 0 ou 5.B=035a20=3+5+a+2+0=10+a Para ser divisível por 3 e 9, essa soma pode ser10+a=18A=8B=535a25=3+5+a+2+5=15+a Para ser divisível por 3 e 9, essa soma pode ser15+a=18A=18-15A=315+a=27A=27-15A=12 (não pode!)Como A tem que ser o menor, então a=3

17) 5a8bO B=0, pois isso satisfaz que o número seja

divisível por 2 e 5.Para ser divisível por 3 e 9, essa soma pode

ser5+A+8+0=13+a13+a=18A=18-13A=6Logo, a=6 e b=0

18) 7a5bComo ao dividir por 10 deixa resto 2, significa

que b=2.Como é divisível por 3, então:7+a+5+2=14+a

14+a=15A=15-14A=1

14+a=18A=18-14A=4

14+a=21A=21-14A=7O maior será a=7

19) 3251A2 -> 03-> 3+2+5+1+A=11+a=12, menor múltiplo,

logo a=12-11, a=15-> 09-> 3+2+5+1+A=11+a=18, menor múltiplo,

logo a=18-11, a=710-> 0

20) Faltam dados.a)

24 212 26 23 31

b)

38 219 191

c)

56 228 214 27 71

d)

96 248 224 212 26 23 31

EF2M

AT6-


16

e)

180 290 245 315 35 51

f)

240 2120 260 230 215 35 51

g)

320 2160 280 240 220 210 25 51

h)

539 777 711 111

936 2468 2234 2117 339 313 131

j)

1024 2512 2256 2128 264 2

32 216 28 24 22 21

k)

1440 2720 2360 2180 290 245 315 35 51

l)

4500 22250 21125 3375 3125 525 55 51

21) a)

24 212 26 23 31

24 = 23 x 3

30 215 35 51

30=2x3x5Logo, 24x 30 = 23x3 x 2x3x5=24x32x5

EF2M

AT6-

06


17

b)

38 219 191

38=2 x 19

60 230 215 35 51

60=22x3x5

72 236 218 29 33 31

72=23x3238 x 60 x 72 = 2 x 19 x 22x3x 5 x 23x 32=26 x

33 x 5 x 19c) 32 x 40 x 108

32 216 28 24 22 21

32 = 25

40 220 210 25 51

40 = 23 x 5

108 254 227 39 33 31

108 = 22 x 3332 x 40 x 108 = 25 x 23 x 5 x 22 x 33 = 210 x 33 x 5

d)

22 211 111

22 = 2 x 11

33 311 111

33 = 3 x 11

55 511 111

55 = 5 x 11

77 711 111

77 = 7 x 1122 x 33 x 55 x 77 = 2 x 11 x 3 x 11 x 5 x 11 x 7 x

11 = 114 x 2 x 3 x 5 x 7e)

12 26 23 31

12 = 22 x 3

20 210 25 51

20 = 22 x 5

21 37 71

21 = 3 x 7122 x 203 x 212 = (22 x 3)2 x (22 x 5)3 x (3 x 7)2 = 24

x 32 x 26 x 53 x 32 x 72 = 210 x 34 x 53 x 72

f)

15 35 51

15 = 3 x 5

EF2M

AT6-


18

18 29 33 31

18 = 2 x 32

28 214 27 71

28 = 22 x 715n x 18n x 28n = (3 x 5)n x (2 x 32)n x (22 x 7)n =

3n x 5n x 2n x 32n x 22n x 7n =22n + n x 32n + nx 5n x 7n = 23n x 33n x 5n x 7n

23) a)

72 236 218 29 33 31

72 = 23 x 32

Produto dos consecutivos dos expoentes: (3 + 1).(2 + 1) = 4 x 3 = 12b)

96 248 224 212 26 23 31

96 = 25 x 3 Produto dos consecutivos dos expoentes:

(5+1).(1+1)=6 x 2=12c)

360 2180 290 245 315 35 51

360 = 23x32x5

Produto dos consecutivos dos expoentes: (3+1).(2+1)(1+1)=4 x 3 x 2 = 24d)

450 2225 375 325 55 51

450 = 2 x 32 x 52

Produto dos consecutivos dos expoentes: (1 + 1).(2 + 1)(2 + 1) = 2 x 3 x 3 = 18e)

600 2300 2150 275 325 55 51

600 = 23 x 3 x 52

Produto dos consecutivos dos expoentes: (3+1).(1+1)(2+1)=4 x 2 x 3 = 24f)

740 2370 2185 537 371


(2+1).(1+1)(1+1)=3 x 2 x 2 = 12g)

840 2420 2210 2105 335 57 71


(3+1).(1+1)(1+1)(1+1)=4 x 2 x 2 x 2 = 32

EF2M

AT6-

06


19

h)

1120 2560 2280 2140 270 235 57 71


(5+1).(1+1)(1+1)=6 x 2 x 2 = 24i)

1560 2780 2390 2195 365 513 131


(3+1).(1+1)(1+1)(1+1)=4 x 2 x 2 x 2 = 32j)

1800 2900 2450 2225 375 325 55 51

1800=23 x 32 x 52

Produto dos consecutivos dos expoentes: (3 + 1).(2 + 1)(2 + 1) = 4 x 3 x 3 = 36

24) a) 80 240 220 210 25 51

80 = 24 x 54 x (1+1) = 4 x 2 = 8 divisores pares

b)

100 250 225 55 51

100=22 x 52

2 x (2+1)= 2 x 3 = 6 divisores paresc)

390 2195 365 513 131

390 = 2 x 3 x 5 x 13 1 x (1+1) x (1+1) x (1+1) = 1 x 2 x 2 x 2 = 8 divi-

sores paresd)

480 2240 2120 260 230 215 35 51

480 = 25 x 3 x 5 5 x (1+1) x (1+1) = 5 x 2 x 2 = 20 divisores pares

e)

680 2340 2170 285 517 171

680 = 23 x 5 x 17 3 x (1+1) x (1+1) = 3 x 2 x 2 = 12 divisores pares

EF2M

AT6-


20

25) a)

54 227 39 33 31

54 = 2 x 33

3+1 = 4 divisores ímpares b)

234 2117 339 313 131

234 = 2 x 32 x 13(2+1)x(1+1) = 3x2 = 6 divisores ímpares

c)

275 555 511 111

275 = 52 x 11(2+1) x (1+1)= 3 x 2 = 6 divisores ímpares

d)

616 2308 2154 277 711 111

616 = 23 x 7 x 11(1+1)x(1+1)=2 x 2 = 4 divisores ímpares

e)

1428 2714 2357 3119 717 171

1428 = 22 x 3 x 7 x 17(1+1)x(1+1) x(1+1)=2 x 2 x 2 = 8 divisores ím-

pares

26) a) (2+1)(n+1)(1+1)=3(n+1)2=6(n+1)6(n+1) = 18N + 1 = 18/6N + 1 = 3N = 2

b) (3+1)(2+1)(n+1)=4 x 3 x (N+1)=12(n+1)12(n + 1) = 36N + 1 = 36/12N + 1 = 3N = 2

c) (4+1)(n+1)(n+1)=5 x (n+1) x (N+1)=5(n+1)(n+1)5(n+1)(n+1) = 45(n+1)(n+1) = 45/5(n+1)(n+1) = 9Como n + 1 = n + 1, então n + 1 = 3, logo n = 2

d) 12 = 22x3(22x3)3x52x13n

26x33x52x13n

(6+1)(3+1)(2+1)(n+1)=7 x 4 x 3 x (N+1)=84(n+1)84(n+1)=168(n+1)=168/84N+1=2N=1

e) 24= 23x3(23x3)nx72x2323nx3nx72x23(3n + 1)(n + 1)(2 + 1)(1 + 1)= (3n + 1)(n + 1) x 3 x

2 = 6(3n + 1)(n + 1)6(3n+1)(n+1)=126(3n+1)(n+1)=126/6(3n+1)(n+1)=21Perceba que 3 x 7=21Então n+1=3 e 3n+1=7, logoN+1=3N=3-1N=2

f) (23)nx33x13x173n x (3+1)(1+1)(1+1)= 3n x 4 x 2 x 2 = 48n48n=144N=144/48N=3

g) (22)px(3x7)nx31n22px3nx7nx31n

Todos divisores: (2p+1)(n+1)(n+1)(n+1)=27Divisores ímpares: (n+1)(n+1)(n+1)=27, como

(n+1)3=27

EF2M

AT6-

06


21

Então (n+1)=27(n+1)=3N+1=3N=3-1N=2Logo, (2p+1)(n+1)(n+1)(n+1)=27(2p+1)27=27(2p+1)=27/27(2p+1)=12p=1-12p=0P=0

27) a) 23 x 32 = 72b) 28 x 32 = 69,2c) 27 x 34 = 10368

28) a) 22 x 32 x 52 = 180b) 23 x 32 x 5 - 360

29) 32 x 22 x 7 = 1575 30)

1320 2660 2330 2165 355 511 111

1320 = 23x3x5x11Divisores pares: 3 x (1+1) x (1+1) x(1+1) = 3 x 2

x 2 x 2=24 divisores pares

31)

180 290 245 315 35 51

180 = 22 x 32 x 5Divisores ímpares: (2+1)(1+1) = 3 x 2 = 6

32) sem solução

Desafiando:1) Questão para ser colocada no capítulo de MMC, pois a resolução pede esse método.

1 + 0 + 0 + 1 = 2Letra A

2) Questão para ser colocada no capítulo de MMC, pois a resolução pede esse método.

Como 3,11 e 13 são primos entre si, calcula-mos o MMC(3,11,13)=3 x 11 x 13 = 33 x 13 = 429

Como 429 é menor que 500, multiplicamos 429x2=858

A som dos valores absolutos é 8+5+8=21

EF2M

AT6-


22

EF2M

AT6-

15

GRANDEZAS E MEDIDAS

23

Praticando:1) Letra km hm dam m dm cm mma) 34,98 cm = 3498 mm 3 4 98,0

b) 187,35 hm = 18735 m 18 7 3 5,0

c) 768,45 dam = 7684500 mm 7 6 8 4 5 0 0,

d) 46,87 m = 4687 cm 4 6 8 7,0

e) 0,789 m = 7,89 dm 0 7, 8 9f) 789m = 0,789 km 0, 7 8 9g) 456,78 hm = 45,678 km 45, 6 7 8

h) 34000m = 340 hm 34 0, 0 0i) 1876,55dm = 1,87655 hm 1, 8 7 6 5 5

j) 64,444 dam = 0,64444 km 0, 6 4 4 4 4

2) 2 x (1,2 hm + 6000 cm - 2 x 0,4 dam) - 0,002 kmConversão km hm dam m dm cm mm1,2 hm=12000 cm 1 2 0 0 0,00,4 dam=400 cm 0 4 0 0,00,002 km=200 cm 0 0 0 2 0 0,0

2 x (12000 cm + 6000 cm - 2 x 400 cm) – 200 cm2 x (18000 cm - 800 cm) – 200 cm2 x (17200 cm) – 200 cm34400 – 200 cm = 34200 cm

Conversão km hm dam m dm cm mm

34200 cm =0,34200 km 0, 3 4 2 0 0

34200 cm = 34,200 dam 3 4, 2 0 0

Letra C

3) a) três quilômetros e vinte e cinco decâmetros = 3,25 kmb) um metro e quarenta e dois centímetros = 1,42 mc) doze decímetros e seis centímetros = 12,6 dm

d) vinte e nove metros e 60 centímetros = 29,60e) zero decâmetros e sessenta e seis centíme-tros = 0,066 dam

4) Perímetro = soma dos ladosQuadrado = 4 lados iguais = 4LPerímetro= 4L17 m = 4LL=17/4L= 4,25 m

5) Comprimento = 40,5 mLargura = 3/5 de 40,5 m = 3/5 x 405/10 = 3 x

81/10=243/10=24,3 mPerímetro = soma dos ladosRetângulo = 2 x comprimento + 2 x larguraPerímetro =2 x comprimento + 2 x largura = 2

x 40,5 m + 2 x 24,3 mPerímetro = 81 + 48,6Perímetro = 129,6 m

6) Lado do quadrado = 13,7 m = Perímetro = 4 x 13,7 = 54,8 m = 5480 cmMetade do perímetro = 54,8/2=27,4 m = 274 dm

Conversão km hm dam m dm cm mm54,8 m = 5480 cm 5 4 8 0,027,4 m = 274 dm 2 7 4,0

7) Devemos contar quantos quadradinhos há dentro da figuraa) 56 quadrados inteiros

6 quadrados na metade = 3 quadrados inteirosTotal = 56 + 3 = 59 cm2

b) 17 quadrados inteiros10 quadrados na metade = 5 quadrados in-

teirosTotal = 17 + 5 = 22 cm2


Grandezas e medidas

Objetivos de aprendizagem:• Conhecer as principais unidades de medida

de comprimento e suas conversões;

• Conhecer as principais unidades de medida de área e suas conversões;

• Conhecer as principais unidades de medida de volume e capacidade e suas conversões;

• Conhecer as principais unidades de medida de massa e tempo e suas conversões.

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15GRANDEZAS E MEDIDAS

24

c) 44 quadrados inteiros7 quadrados na metade = 3,5 quadrados in-

teiros

8) a) Sala = 4 x 5 = 20 m2

Quarto = 5 x 5 = 25 m2

Cozinha = 3 x 2 = 6 m2

Banheiro= 2 x 2 = 4 m2

b) 20 + 25 + 6 + 4 = 55 m2

9) Metro cúbico

10) Letra Km3 Hm3 Dam3 M3 Dm3 Cm3 Mm3

a) 6 m3 = 6000 dm3

6 000,0

b) 50 cm3 = 50000 mm3

50 000,0

c) 3,632 m3 = 3632000 cm3

3 632 000

d) 65 dm3 = 0,065 m3

0, 065

e) 800 mm3 = 0,800 cm3

0, 800

11)

Letra Kl Hl Dal l Dl Cl Mla) 8,4 cl em 1 (conser-tar 1 para l) = 0,084 l

0, 0 8 4

b) 156 dal em l=1560 l 1 5 6 0,0c) 50 ml em cl= 5 cl 5, 0d) 0,17 cl em ml = 17 ml 0 17,

e) 0,417 dal em hl = 0,0417 hl

0, 0 4 1 7

f) 27,401 ml em l = 0,0027401 l

0, 0 0 27401

Para saber isso, devemos dividir 84l por 0,05 l:84/0,05 = 84/5/100 = 84/1 x 100/5 = 84 x 20 = 1680 cálices

13)

Letra Km3 Hm3 Dam3 M3 Dm3 Cm3 Mm3

a) 6,14 dm3 =6140 cm3

6 140,0

b) 0,0062 km3 =6200 dam3

0 006 200,0

c) 1,0057 hm3 =1005700 m3

1 005 700,0

d) 85.425 dm3 =0,085425 dam3

0, 085 425

e) 1005,7 m3 =1,0057 dam3

1, 005 7

14) Volume do paralelepípedo= 1 cm x 20 cm x 24 cm = 480 cm3

15) Volume do cubo = 1,5 m x 1,5 m x 1,5 m = 3,375 m3

16) Volume do paralelepípedo= 3m x 6m x 8m = 144m3

17) Devemos descobrir o volume de um cubinho primeiro:

Volume do cubinho = 2 cm x 2 cm x 2cm = 8 cm3

Agora dividimos o volume do grande cubo a ser construído pelo volume do cubinho: 216 cm3/8cm3 = 27 cubinhos

18)

Letra Kl Hl Dal l Dl Cl Ml3,97 kl = 39700 dl 3 9 7 0 0491 ml = 0,0491 dal 0, 0 4 9 145,86 cl = 0,004586 hl 0, 0 0 4 5 863,97 dal =3970 cl 3 9 7 0,01,07ml =0,00107 l 0, 0 0 107

19) Primeiro convertemos de litros para milili-tros = 2l = 2000 ml

Agora dividimos: 2000/350 = 200/35 = 40/7 = 5,7 latas

Como o número foi decimal, vamos conside-rar que é necessário 6 latas para encher uma garrafa, mas devemos ressaltar que sobrará um pouco da última lata.

20)

Conversão para litros Kl Hl Dal l Dl Cl Ml12 x 15 ml = 180 ml=0,180 l 0, 1 8 025 x 20 cl = 500 cl=5 l 5, 0 05 x 12 dl = 60 dl=6 l 6, 0

Soma = 0,180 + 5 + 6 = 11,180 lComo o balde tem capacidade de 20 litros,

então falta:20 – 11,180 = 8,820 l

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GRANDEZAS E MEDIDAS

25

21) Como sabemos que 1 l = 1dm3, façamos a transformação de metros cúbicos para decíme-tros cúbicos

Conversão Km3 Hm3 Dam3 M3 Dm3 Cm3 Mm3

a) 72 m3 = 72000 dm3

72 000,0

Como temos 72000 dm3, então temos 72000 l de gasolina.

22)

Conversão Kg Hg Dag g Dg Cg Mga) 4/5 kg = 0,8 kg = 800 g 0 8 0 0b) 7 1/2 dg = 15/2 dg = 7,5 dg = 0,00075kg

0, 0 0 0 7 5

c) 1000 dag = 10 kg 10, 0 0d) 3/8 hg = 0,375 hg = 37,5 g 0 3 7, 5

23) Lembre-se que 1 t = 1000 kga) 6 t = 6 x 1000 = 6000 kgb) 2,4 t = 2,4 x 1000 = 2400 kgc) 0,036 t = 0,036 x 1000 = 36 kg

Conversão Kg Hg Dag g Dg Cg Mgd) 500 g = 0,500 kg 0, 5 0 0e) 9437 cg = 0,09437 kg 0, 0 9 4 3 7f)1 mg = 0,000001 kg 0, 0 0 0 0 0 1

24) 2,5 h = 2 horas + 0,5 h 1 hora = 60 minutos2 horas = 2 x 60 = 120 minutos0,5 h = 5/10 x 60 min = 1/2 x 60 = 30 minutos2,5 h = 2 horas + 0,5 h = 120 minutos + 30

minutos = 150 minutos

25) Fortaleza = 8 h e 1/4 = 8h e 1/4 x 60 min = 8h e 15 min

Recife = 1 11/2 h= 13/2 h = 6,5 h = 6h e 0,5 h = 18h e 30 min

6h = 18 h0,5 h = 5/10 x 60 min = 1/2 x 60 = 30 minutosTempo de voo = 18h e 30 min - 8h e 15 min

=(18 -8)h e (30-15)min = 10h e 15 min

26) 1 quinzena = 15 dias 1 dia = 24 h1 quinzena = 15 x 24 = 360 horas

27) Início = 14:452,6 horas = 2 h e 0,6h = 2h e 36 min0,6 h = 6/10 x 60 min= 3/5 x 60 = 3 x 12 = 36

min

+1 h14 h 45 min+ 2 h 36 min17 h 81 min = 60 min + 21 min = 1 h e 21

min 11 min

Término = 17h e 21 min

Aprofundando:1) a) Como é um quadrado, devemos multiplicar o lado por 4: 4 x 0,425 dm = 1,7 dm

Conversão km hm dam m dm cm mm4,25 cm = 0,425dm 0, 4 25

b)Conversão km hm dam m dm cm mm

2,5 dm = 25 cm 2 5,02 dm = 20 cm 2 0,200 mm = 20 cm 2 0, 0

Os 2 retângulos são iguais, logo o perímetro é:2 x (2 x comprimento + 2 x largura) = 2 x ( 2 x

25 + 2 x 20) = 2 x (50 + 40) = 2 x 90 = 180 cmc)

Conversão km hm dam m dm cm mm7 km = 70 hm 7 0,0150 dam = 15 hm 1 5, 0

Como é um retângulo = 2 x comprimento + 2 x largura

2 x comprimento + 2 x largura = 2 x 70 + 2 x 15 = 140 + 30 = 170 hm

2) Devemos saber quantos segundos há em uma 1 hora:

1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos1hora = 60 x 60 = 3600 segundosPara descobrir quanto percorre em uma

hora, basta multiplicar:340 x 3600 = 1224000 mComo é pedido em quilômetros, basta con-

verter:

Conversão km hm dam m dm cm mm1224000 m = 1224 km 1224, 0 0 0

O som percorre 1224 km em uma hora.

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3) Primeiro convertemos a medida do fundo para metros:

Conversão km hm dam m dm cm mm2 km = 2000 m 2 0 0 0

Agora calculamos o perímetro, pois quere-mos saber o contorno:

2 x 50 + 2 x 2000 = 100 + 4000 = 4100 mComo são duas voltas: 2 x 4100 = 8200 m

4) Como o comprimento é o dobro da largura, então c = 2l

O perímetro é 2 x comprimento + 2 x largura = 2 x 2l + 2 l = 4l+ 2l = 6l

Perímetro = 6l6l = 135 mL = 135 / 6L = 22,5 mPara encontrar o comprimento, devemos fa-

zer: c = 2lC = 2 x 22,5 = 45 mAgora convertemos para dam:

Conversão km hm dam m dm cm mmLargura = 22,5 m = 2,25 dam

2, 2 5

Comprimento = 45 m = 4,5 dam

4, 5

5) Perímetro do quadrado = 4 x lado = 4 x 500 = 2000 m

Como serão utilizados 4 fios = 4 x 2000 = 8000 m

Como o metro de arame custa R$ 3,20, então: Despesa = R$ 3,20 x 8000 = R$25.600,00

6) Veja o esquema abaixo:

Televisor

Como é pedido que sobre 10 cm nas laterais, significa dizer que cada dimensão será aumen-tada de 20 cm.

Comprimento da mesa = televisor + 20 cm = 50 + 20 = 70 cm

Largura da mesa = televisor + 20 cm = 50 + 20 = 70 cm

Área da mesa = comprimento novo x largura nova = 70 x 70 = 4900 cm2

7) Para saber a área de cada quadradinho, bas-ta dividir a área do tabuleiro por 64: 1600/64= 200/8=100/4= 25 cm2 a área de cada quadradinho.

8) Conversão Km2 Hm2 Dam2 M2 Dm2 Cm2 Mm2

a) 5m2 = 500 dm2

5 00

b) 17 km2 = 170000 dam2

17 00 00

c) 18,36 dam2 = 1836 m2

18 36,0

d) 8,37 dm2 = 0,0837 m2 (consertar enunciado, colocar metro quadrado)

0, 08 37

e) 0,013 dam2 =130 dm2

0 01 30,0

f) 3,1416 m2 = 31416 cm2

3 14 16,0


a) 1 dm3 = 0,000001 dam3

0, 000 001

b) 0,05 m3 = 50 dm3 0 050,0

c) 17/(2 ) cm3 = 8,5 cm3= 8500 mm3

8 500,0

d) 65 dm3 = 0,065 m3 0, 065

10) Vamos converter de dm para cm antes de calcular o volume:

Conversão km hm dam m dm cm mm6 cm = 0,6 dm 0, 6

Volume do cubo = 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216 dm3

11) a) Volume = 2,5 x 2,5 x 2,5 = 15,625 cm3b) Volume = 12 x 4 x 6 = 288 m3c) Volume = 15 x 3 x 6 = 270 m3

12) Vamos converter de dm para cm:

Conversão km hm dam m dm cm mm0,8dm = 8 cm 0 8,0

Volume do cubo de 8 cm = 8 x 8 x 8 = 512 cm3

Volume do cubo de 1 cm = 1 x 1 x 1 = 1 cm3

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GRANDEZAS E MEDIDAS

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Para saber quantos cubos de 1 cm3 cabem no cubo de 512 cm3, devemos fazer a divisão: 512 / 1 = 512 cubos.

13) Devemos calcular o volume do nadador, por isso, como o nível de água subiu 0,4 cm, o volu-me do nadador será o paralelepípedo com mes-mo comprimento da piscina, mesma largura da mesma e altura de 0,4 cm:

6 m10 m

0,4 cm

Vamos converter de cm para dm, já que a res-posta é dada em litros e 1 l = 1dm3.

Conversão km hm dam m dm cm mm0,4 cm = 0,04 dm 0, 0 46m = 60 dm 6 0,010 m = 100 dm 1 0 0,0

Agora calculamos o volume do nadador:Volume = 100 x 60 x 0,04 = 240 dm3 = 240 l

(letra B)

14) Conversão para litros Kl Hl Dal l Dl Cl Ml1/2 dal = 0,5 dal=5 l 0 5,03/4 hl = 0,75 hl=75 l 0 7 5,0

3/5 cl=0,6 cl = 0,006 l 0, 0 0 61/4 dl=0,25 dl=0,025 l 0, 0 2 5

a) 5l + 75l = 80 lb) 0,006 l + 0,025 l = 0,031 l

15) 9,6 dal - 0,4 hl = 96 l – 40 l = 56 l Conversão para litros Kl Hl Dal l Dl Cl Ml

9,6 dal=96 l 9 6,00,4 hl = 40 l 0 4 0,0

16) Vamos converter para ml, mas lembre-se que foi pedido para esvaziar a metade, então 600 dal/2 = 300 dal

Conversão Kl Hl Dal l Dl Cl Ml300 dal = 3000000 l 3 0 0 0 0 0 0

Para saber quantos copos são necessários, basta dividir: 3000000/80=37500 copos

17) Vamos converter tudo para cl:Conversão Kl Hl Dal l Dl Cl Ml

9,6 dal=9600 cl 9 6 0 0,00,4 hl = 4000 cl 0 4 0 0 0,0

9,6 dal - 0,4 hl = 9600 cl – 4000 cl = 5600 cl

18) Vamos converter para dm3, pois sabemos que 1 l = 1dm3.

1/2 m3 = 0,5 m3


0,5 m3 = 500 dm3 0 500,0

Logo, são 500 litros.

19) Vamos converter tudo para litros:Conversão Kl Hl Dal l Dl Cl Ml

56 dal = 560 l 5 6 0,03,6 hl = 360 l 3 6 0,0

Basta subtrair: 560 – 360 = 200 l


a) 5,3 m3= 5300 dm3

5 300,0

b) 5368,7 cm3 = 0,0053687 m3

0, 005 368 7

c) 0,002 hm3 = 2 dam3

0 002,0

Conversão Kl Hl Dal l Dl Cl Mld) 27,41 dl = 0,2741 dal 0, 2 7 4 1e) 427,4 cl = 0,4274 dal 0, 4 2 7 4

f) Nesse caso passaremos para dm3, pois sabe-mos que 1 l = 1dm3.


372,1 cm3

= 0,3721 dm3

0, 372 1

Logo temos 0,3721 litros g) Nesse caso passamos para litros, pois sabe-mos que 1 l = 1dm3.

Conversão Kl Hl Dal l Dl Cl Ml186,3 ml = 0,1863 l = 0,1863 dm3 0, 1 8 63


h) 0,431 m3 = 431000 cm3

0 431 000,0

i) Nesse caso passaremos para dm3, pois sabe-mos que 1 l = 1dm3.


0,000 000 5 hm3 = 500 dm3

0 000 000 500,

Então temos 500 l, mas como queremos dl

Conversão Kl Hl Dal l Dl Cl Ml500 l = 5000 dl 5 0 0 0

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J) 3/4 dam3 = 0,75 dam3 = 750 m3

0 750,0

21) As arestas são a, b e c e o volume será:Volume = a x b x c = abcSe duplicarmos teremos 2a, 2b e 2c com o se-

guinte volume:Volume = 2a x 2b x 2c = 8abcAumentará em 8 vezes.

22) O volume será maior porque nesse conside-ramos as medidas da parte externa, incluindo a madeira, enquanto que na capacidade pegamos as medidas internas, desconsiderando a madei-ra que compõe a caixa.

23) Volume = 20 cm x 10 cm x 6 cm = 1200 cm3

24) Volume = 12 m x 8 m x 3 m = 288 m3

Nesse caso passaremos para dm3, pois sabe-mos que 1 l = 1dm3.


288 m3 = 288000dm3

288 000,0

Logo, precisa-se de 288000 litros.

25)

Conversão Kg Hg Dag g Dg Cg Mg120 hg= 12 kg 12, 0

Como foi pedido que se considerasse 1 kg = 1l, para sabermos a capacidade, devemos sub-trair da lata cheia o volume dela vazia.

12 l – 1,6 l = 10,4 l

26) Primeiro dividimos 900g por 20: 900 / 20 = 45 g por saquinho.

Conversão Kg Hg Dag g Dg Cg Mg45 g = 4500 cg 4 5 0 0,0

27) Vamos converter para dm antes de calcular o volume:

Conversão km hm dam m dm cm mm2 m = 20 dm 2 0,0

25 mm = 0,25 dm 0, 2 5

Agora calculamos o volume: comprimento x largura x espessura = 20 x 0,9 x 0,25 = 4,5 dm3

Sabendo que cada dm3 de ferro pesa 7,2 kg, então multiplicamos: 4,5 x 7,2 = 32,4 kg.

28) 8 toneladas = 8000 kgBasta subtrair: 8000 – 5200 = 2800 kg

Desafiando:1) Como queremos o mínimo de cubinhos, deve-mos ter 4 cubos no comprimento, 4 na largura e 4 na altura, para formar um cubo, onde todas as dimensões são iguais logo devemos ter:

4 x 4 x 4 = 64Porém já há onze, então faltam: 64 – 11 = 53

(letra D)

2) Temos 14 caixas: 8 na parte inferior, 5 na pilha intermediária e 1 na pilha superior.

Basta multiplicar pelo peso: 14 x 25 = 350 Letra C

3) Vamos converter para dm, pois sabemos que 1 l = 1dm3.

Conversão km hm dam m dm cm mm3 m = 30 dm 3 0,0

Volume = 30 x 30 x 30 = 27000 dm3 ou 27000 litros.

Como só está cheia até 2/3 da capacidade, então: 27000 x 2/3=9000 x 2 = 18000 litros

4) Vamos converter para dm3Lembre-se que são 5 por caixa: 2 cm3 x 5 =

10 cm3


10 cm3 = 0,010 dm3 0, 010

Ppara saber quantas caixas são necessárias, basta fazer a divisão:

5/0,010 = 5/10/1000 = 5/1 x 1000/10 = 5 x 100 = 500 caixas

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MATEMÁTICA – 6o ANO PROF – PADRÃO – VOL II · da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. ... concursos e os Desaﬁ ando são os mais difíceis, ... divisão, potenciação