MATEMÁTICA – 9o ANO PROFESSOR – VOLUME I · MATEMÁTICA – 9o ANO PROFESSOR – VOLUME I. Direção Executiva: Fabio Benites ... EF2MAT908: Potenciação e radiciação •

MATEMÁTICA – 9o ANOPROFESSOR – VOLUME I

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia:D. Geométrico:Espanhol:Física:Geografia:História:Inglês:Matemática:Português:Química:Redação:

Autores:

Bruno ZeitoneThiago SantosVerônica LouroCollyerJoão Paulo PradoMichelle Trugilho Maria Izadora ZarroLuanna RamosLuiza MarçalWendel MedeirosCláudia Pires

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO FUNDAMENTAL 2016/2017

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2016/2017 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico inovador, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a passagem das informações. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas para favorecer a aprendizagem.

Veja algumas páginas:

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Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso “conversa” com o site galeracult.com.br, além de vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01: Apresentar um conteúdo em termos de ementa e nível de acordo com os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento, assim como do segmento subsequente (Ensino Médio).

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs, porém existe a possibilidade de reordenação, pois o material é constituído de cadernos independentes, que possibilitam a construção de acordo com a vontade da escola parceira. Para isso, basta a escola utilizar o nosso cronograma – que está apresentado a seguir – e escolher a nova ordem dos cadernos, inclusive trocando de séries, caso seja necessário. Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Após a contextualização, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria vista e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Sinais de Pontuação, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar para compreensão dos alunos dos erros de comunicação gerados por má emprego da pontuação, reconheçam e saibam empregar corretamente os sinais de pontuação.


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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, através do diálogo entre este e outros saberes,

não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Fundamental II é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Educação Financeira, Noções de Nutrição, Noções de Direito, Empreendedorismo, entre outros, são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto galeracult.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto por um personagem ficcional criado pelo time da Irium Educação. Esses personagens são jovens e possuem características e linguagem próprias da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento onde alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os educandos a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a música do Cazuza foi utilizada para exemplificar uma Oração Subordinada Adverbial e, com isso, acaba sendo conectada a história do próprio compositor, enriquecendo o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04: Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado

mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na capa de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) – entre a imagem principal e a seção “Objetivos” – propõe uma reflexão sobre o conceito de História. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende desconstruir o conceito vulgar de História. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma tirinha para exemplificar uma oração subordinada adverbial.


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Fundamento 05: Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de

sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno – na primeira impressão, - para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do leitor, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos tem dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06: Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor do

proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07: Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links

com sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão.

Descrição: O material possui também exercícios não ortodoxos. As questões “tradicionais” são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajuda-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade.

Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.


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Fundamento 08: Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do

conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentado uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO9º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I

1º bimestre

EF2MAT906: Aprendendo técnicas de produtos notáveis e fatoração• Produtos Notáveis• Fatoração

EF2MAT908: Potenciação e radiciação• Potenciação• Radiciação• Racionalização

2º bimestre

EF2MAT911: Estruturando e aplicando equações do 2o grau• Equações do 2o Grau com Uma Variável• Resolução de Equações do 2o Grau Completas• Discussão das Raízes e Relação Entre Raízes e Coeficientes• Problemas e Sistemas do 2o Grau• Equações Biquadradas• Equações Irracionais

3º bimestre

EF2MAT913: Estabelecendo conceitos básicos sobre funções• Relações Entre Conjuntos• Funções

EF2MAT914: As funções de 1o grau e suas aplicações• Função Polinomial de 1o Grau• Gráfico da Função do 1o Grau


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4º bimestre

EF2MAT915: As funções de 2o grau• Função Polinomial de 2o Grau• Gráfico da Função do 2o Grau• Problemas de Máximo e Mínimo

EF2MAT916: Análise combinatória e probabilidade• Introdução à Análise Combinatória• Probabilidade

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conteúdo.


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MATEMÁTICA II

1º bimestre

EF2MAT918: Introduzindo os conceitos de polígonos• Polígonos Regulares

EF2MAT919: Aprendendo um pouco mais sobre triângulos • Triângulos• Cevianas de um Triângulo• Congruência de Triângulos

EF2MAT920: Observando os conceitos e as propiedades dos quadriláteros• Quadriláteros: Trapézios• Quadriláteros: Paralelogramos

2º bimestre

EF2MAT921: Linhas proporcionais e semelhanças• Feixe de Retas Paralelas• Aplicação do Teorema de Tales• Semelhança

EF2MAT922: Relações entre as medidas de um triângulo retângulo• Relações Métricas no Triângulo Retângulo

3º bimestre

EF2MAT923: Estudando a matemática de circunferências e círculos• Circunferência e Círculo• Ângulos na Circunferência


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EF2MAT925: Aprendendo sobre polígonos regulares inscritos e circunscritos• Polígonos Regulares Inscritos à Circunferência• Polígonos Regulares Circunscritos à Circunferência

4º bimestre

EF2MAT926: Medindo áreas de figuras planas e estudando sólidos• Área de Quadriláteros• Área de Triângulos• Área do Círculo e Suas Partes• Área de Polígonos Inscritos e Circunscritos• Área de Figuras Semelhantes e Cálculo de Áreas por Exclusão• Sólidos

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MATEMÁTICA III

1º bimestre

EF2MAT907: Múltiplos e divisores: suas características e aplicações• Múltiplos e Divisores• Números Primos• Máximo Divisor Comum• Mínimo Múltiplo Comum

2º bimestre

EF2MAT901: O universo da matemática das frações• Números Fracionários• Problemas Envolvendo Frações• Números Decimais• Dízimas Periódicas

EF2MAT902: Razões e proporções• Razões e Proporções• Números Proporcionais• Divisão Proporcional• Regra de Três Simples e Composta

3º bimestre

EF2MAT903: Mergulhando no universo da Matemática Financeira• Porcentagem• Operações com Lucro e Prejuízo• Acréscimos e Descontos Sucessivos• Juros Simples e Compostos


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4º bimestre

EF2MAT904: Noções de Estatística• Noções de Estatística• Estatística• Médias

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Fundamento 05: Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de sensibilizá-

lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.



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Fundamento 06: Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor do proveito

desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.








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Fundamento 08: Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do conteúdo.


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ENSINO FUNDAMENTAL 2016/20179o ano

MATEMÁTICA

1o bimestre:

Aula 01Tópico EF2MAT906: Aprendendo técnicas de produtos notáveis e fatoração

Objetivos Compreender os principais produtos notáveis e seus desenvolvimentos.Subtópicos Produtos notáveis; Quadrado da soma de dois termos; Quadrado da diferença de dois termos; Produto da soma pela diferença de dois termos; Cubo da soma de dois termos; Cubo da diferença.Exercícios Praticando 1 ao 7.Para casa Praticando 8 ao 16.


Objetivos Compreender os principais produtos notáveis e seus desenvolvimentos.Subtópicos Produtos da forma (x + a).(x + b) ou produto de Stevin; Quadrado da soma de três termos.Exercícios Praticando 17 e 18.Para casa Resenha dos subtópicos Fatoração; Fatoração com fator comum; Fatoração por agrupamento; Diferença de dois quadrados; Soma de dois cubos; Diferença de dois cubos.


Objetivos Aprender a identificar fatores comuns e padres algébricos para realizar processos de fatoração de expressões.Subtópicos Fatoração; Fatoração com fator comum; Fatoração por agrupamento; Diferença de dois quadrados; Soma de dois cubos; Diferença de dois cubos.Exercícios Praticando 19 ao 27.Para casa Resenha dos subtópicos Fatoração; Fatoração com fator comum; Fatoração por agrupamento; Diferença de dois quadrados; Soma de dois cubos; Diferença de dois cubos; Trinômio quadrado perfeito; Trinômio do 2º grau.


Objetivos RevisãoSubtópicos xExercícios Aproundando e Desafiando.Para casa Pesquisando.


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Aula 05Tópico EF2MAT908: Potenciação e radiciação

Objetivos Compreender o conceito de radiciação a partir da operação de multiplicação, e suas propiedades.Subtópicos O que é uma potência; Propriedades.Exercícios Praticando 1 ao 10.Para casa Leitura do subtópico: O que é uma radiciação; e Propriedades.


Objetivos Reconhecer a radiciação como processo inverso à potenciação e verificar suas propiedades.Subtópicos O que é uma radiciação; e Propriedades.Exercícios Praticando 11 ao 20.Para casa Leitura do subtópico: Simplificação de radicais; e Operações com radicais.


Objetivos Utilizar os conceitos de potenciação e radiciação para desenvolver o processo de racionalização de frações com denominadores irracionais.Subtópicos Simplificação de radicais; e Operações com radicais.Exercícios Praticando 21 ao 30.Para casa Aprofundando e Desafiando.


Objetivos RevisãoSubtópicos xExercícios Aprofundando e Desafiando.Para casa Pesquisando.



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Aula 10Tópico Revisão

Objetivos Revisão para as provas.Subtópicos xExercícios Coletânea dos exercícios do bimestre.Para casa x

MATEMÁTICA II

1o bimestre:

Aula 01Tópico EF2MAT918: Introduzindo os conceitos de polígonos

Objetivos Conhecer alguns dos principais polígonos e seus respectivos nomes; • Aprender relações que determinam quantidade de diagonais.Subtópicos Polígonos; Gênero de um polígono; Diagonais de um polígono.Exercícios Praticando 1 ao 3.Para casa Resenha dos subtópicos; Soma dos ângulos internos de um polígono; Soma dos ângulos externos; Polígonos regulares.


Objetivos Aprender relações que envolvem os ângulos internos e externos; Saber o que é um polígono regular e algumas propriedades iniciais.Subtópicos Soma dos ângulos internos de um polígono; Soma dos ângulos externos;Polígonos regulares.Exercícios Praticando 4 ao 7.Para casa Aprofundando e Desafiando.


Objetivos RevisãoSubtópicos XExercícios Aprofundando e Desafiando.Para casa Pesquisando.


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Aula 04Tópico EF2MAT919: Aprendendo um pouco mais sobre triângulos

Objetivos Saber o que é um triângulo, sua condição de existência e conhecer suas possíveis classificações, quanto aos lados e aos ângulos.Subtópicos Teorema (Lei de Tales); Propriedade do ângulo externo; Condição de existência de um triângulo; Classificação dos triângulos.Exercícios Praticando 1 ao 7.Para casa Praticando 8 ao 11.


Objetivos Cevianas de um triângulo.Subtópicos Verificar as principais relações angulares de um triângulo; Apresentar as cevianas e suas propriedades.Exercícios xPara casa Praticando 12 ao 17.


Objetivos Identificar os principais casos de congruência entre triângulos.Subtípicos Casos de congruência.Exercícios Praticando 18 ao 21.Para casa Aprofundando e Desafiando.



Aula 08Tópico EF2MAT920: Observando os conceitos e as propiedades dos quadriláteros

Objetivos Reconhecer e comparar os diversos tipos de quadriláteros e suas classificações; Estabelecer relações entre medidas de comprimento e ângulos dos quadriláteros.Subtópicos Quadrilateros: trapézios; Trapézio; Base média e mediana de Euler.Exercícios xPara casa Praticando 1 ao 7.

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Aula 09Tópico EF2MAT920: Observando os conceitos e as propiedades dos quadriláteros

Objetivos Reconhecer e comparar os diversos tipos de quadriláteros e suas classificações; Estabelecer relações entre medidas de comprimento e ângulos dos quadriláteros.Subtópicos Paralelogramos.Exercícios Praticando 8 ao 15.Para casa Aprofundando e Desafiando. Pesquisando.


Objetivos Revisão para as provas bimestrais.Subtópicos xExercícios Coletânea dos exercícios do bimestre.Para casa x

MATEMÁTICA III

1o bimestre:

Aula 01Tópico EF2MAT907: Múltiplos e divisores: suas características e aplicações

Objetivos Estebelecer critérios de divisibilidade para um conjunto determinado de divisores.Subtópicos O que são múltiplos e divisores; Critérios de divisibilidade.Exercícios Praticando 1 ao 4.Para casa Resenha do subtópico: Números primos.


Objetivos Entender o que é um número primo.Subtópicos Números primosExercícios Praticando 5 ao 9Para casa Resenha do subtópico Produto dos divisores


Objetivos Expressar um número qualquer a partir do produto de fatores primos.Subtópicos Produto dos divisores.Exercícios Praticando 10 e 11.Para casa Resenha do subtópico: Máximo divisor comum.


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Objetivos Identificar o MMC entre dois ou mais números.Subtópicos Máximo divisor comum.Exercícios XPara casa Praticando 12 ao 17.


Objetivos Identificar o MDC entre dois ou mais números.Subtópicos Mínimo múltiplo comum.Exercícios xPara casa Praticando 18 ao 22.


Objetivos Revisão.Subtópicos xExercícios Aprofundando 1 ao 15.Para casa Aprofundando 16 ao 30.


Objetivos RevisãoSubtópicos xExercícios Aprofundando 16 ao 30.Para casa Aprofundando 31 ao 40.


Objetivos RevisãoSubtópicos xExercícios Aprofundando 31 ao 40.Para casa Aprofundando 41 ao 49. Desafiando.


Objetivos RevisãoSubtópicos xExercícios Aprofundando 41 ao 49. Desafiando.Para casa Revisão bimestral.

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Objetivos Revisão para as provas bimestrais.Subtópicos xExercícios Coletânea dos exercícios do bimestre.Para casa x

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ORIENTADOR METODOLÓGICO: APRENDENDO TÉCNICAS DE PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO

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ORIENTADOR METODOLÓGICO

Aprendendo técnicas de produtos notáveis e fatoração

Objetivos (títulos de destaque):• Compreender principais produtos notáveis e seus desenvolvimentos;• Aprender a identificar fatores comuns e padrões algébricos para realizar processos de

fatoração de expressões.

Praticando (títulos de destaque):1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, logo, temos que adicionar a expressão b2

2) a2 + b2 = 34 e ab = 15, logo: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 3 4 + 2.15 = 34 + 30 = 64

3) a2 + b2 = 100 e (a + b)2 = 196 => a2 + 2ab + b2 = 196 => 100 + 2ab = 196 => 2ab = 96 => ab = 48.

4) E = 2x + 3 => E2 = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9

Gabarito: D

5) X – y = 7 e xy = 60 => (x – y)2 = 72 => x2 + y2 - 2xy = 49 => x2 + y2 – 2.60 = 49 => x2 + y2 = 49 + 120 => x2 + y2 = 169.

Gabarito: C

6) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, logo: devemos sub-trair a expressão 2ab

7) (2a – 3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2

Gabarito: D

8) X + y = 11 e x – y = 5 => x2 – y2 = (x + y).(x – y) = 11.5 = 55

Gabarito: B

9) (3x + 5).(3x – 5) = (3x)2 – 52 = 9x2 – 25

Gabarito: C

10) Calculando de acordo com o modelo, temos:

a) 41.39 = (40 + 1).(40 – 1) = 402 – 12 = 1600 – 1 = 1599

b) 57.63 = 63.57 = (60 + 3).(60 – 3) = 602 – 32 = 3600 – 9 = 3591

c) 42.34 = (38 + 4).(38 – 4) = 382 – 42 = 1444 – 16 = 1428

d) 32.28 = (30 + 2).(30 – 2) = 302 – 22 = 900 – 4 = 896

11) (x2 + 1)3 = x6 + 3x4 + 3x2 + 1

Gabarito: C

12) (1 + xy)3 = 1 + 3xy + 3x2 y2 + x3 y3

Gabarito: A

13) a) 8x3 + 60x2 + 150x + 125b) x3 + 3x + 3/x + 1/x3

14) (2 – m)3 = 8 – 12m + 6m2 – m3

Gabarito: D

15) (- c – d)3 = - c3 – 3c2d - 3cd2 – d3

Gabarito: D

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06ORIENTADOR METODOLÓGICO: APRENDENDO TÉCNICAS DE PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO

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16) Calculando o cubo da diferença, temos:

a) (x2 - 3x)3 = x6 – 9x5 + 27x4 – 27x3

b) (3x – 2)3 = 27x3 – 54x2 + 36x – 8

17) Calculando os produtos, temos:

a) (x + 2).(x + 4) = x2 + 6x + 8

b) (x – 5).(x – 3) = x2 – 8x + 15

c) (x + ½).(x – ¼) = x2 +( ¼)x – 1/8

d) (x + a).(x – 2b) = x2 + x(a – 2b) – 2ab

18) Desenvolvendo as expressões, temos:

a) (2x + y – z)2 = 4x2 + y2 + z2 + 4xy – 4xz – 2yz

b) (x + 2y + 3)2 = x2 + 4y2 + 9 + 4xy + 6x + 12y

c) (2x – 3y – z2)2 = 4x2 + 9y2 + z4 – 12xy – 4xz2 + 6yz2

19) X + y = 15 => 4x + 4y = 4.(x + y) = 4.15 = 60

Gabarito: C

20) – 18a – 27c = - 9.(2a + 3c)

Gabarito: D

21) 2πR - 2πr = 2π.( R – r)

Gabarito: D

22) 22x2y2 – 11xy2 = 11xy2 (2x – 1)

Gabarito: A

23) a + b = 15 e x + y = 6, então:ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y).(a + b) = 6.15 = 90

Gabarito: C

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24) a + b = 12 e x + y = 4, então:ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y).(a + b) = 4.12 = 48

25) 7x + 7y + 7z – ax – ay – az = 7(x + y + z) – a(x + y + z) = (x + y + z).(7 – a)

Gabarito: D

26) Fatorando as expresses, temos:

a) x2 – 64 = x2 – 82 = (x + 8).(x – 8)

b) 4a2 – 1962n = (2a)2 – (14n)2 = (2a + 14n).(2a – 14n); OBS => Substituir 496 por 196

c) 1 – a14 = 12 – (a7)2 = (1 + a7).(1 – a7)

d) a10 - 25b12 = (a5)2 – (5b6)2 = (a5 + 5b6). (a5 - 5b6)

e) (a + b)2 – c2 = (a + b + c).(a + b – c)

f) x2 – (a + 1)2 = (x + a + 1).(x – a – 1)

g) (x + 3)2 – (3x – 4)2 = (x + 3 + 3x – 4).(x + 3 – 3x + 4) = (4x - 1).(- 2x + 7)

h) a2 – (b – c)2 = (a + b – c).(a – b + c)

27) Fatorando, temos:

a) x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2).(x2 + 2x + 4)

b) a3 – 1 = a3 – 13 = (a – 1).(a2 + a + 1)

c) a2m - 1 = (am)2 – 12 = (am + 1).(am – 1)

d) 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y).(4x2 – 2xy + y2)

e) (2m + 1)3 + (m + 2)3 = (2m + 1 + m + 2).[(2m + 1)2 – (2m+1).(m+2) + (m+2)2]= 3.(m + 1).(3m2 + 3m + 3) = 3.(m + 1).3(m2 + m + 1) = 9.(m + 1).(m2 + m + 1)

f) y3 – x3 = (y – x).(y2 + xy + x2)

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28) Fatorando as expresses, temos:a) x2 + 6x + 5 = (x + 1).(x + 5)

b) x2 – 6x – 16 = (x + 2).(x – 8)

c) x2 + 5x – 50 = (x + 10).(x – 5)

d) x2 – 14x + 33 = (x – 11).(x – 3)

Aprofundando:1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, logo, temos que adicionar a expressão 2ab

2) (2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2

Gabarito: D

3) (10x + 0,1)2 = 100x2 + 2x + 0,01

Gabarito: B

4) (1 + xyz)2 = 1 + 2xyz + x2 y2 z2

Gabarito: D

5) (- 2x – 3)2 = 4x2 + 12x + 9

Gabarito: A

6) (2a2 + b/3). (2a2 + b/3) = 4a4 + (4a2b)/3 + b2/9

7) a2 + b2 + c2 = (a + c)2 = a2 + 2ac + c2 => b2 = 2ac => b = √2ac

Gabarito: E (OBS: trocar a letra E pela ex-pressão: √2ac)

8) x + 1/x = 10 => (x + 1/x)2 = 102 => x2 + 2 + 1/x2 = 100 => x2 + 1/x2 = 100 – 2⇒ x2 + 1/x2 = 98

Gabarito: A

9) (x – y)2 – (x + y)2 = (x – y + x + y).(x – y – x – y) = (2x).(-2y) = - 4xy

Gabarito: D

10) Considerando as expresses, temos:

I) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ≠ a2 – b2 (F)

II) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 => a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab (V)

III) (a + b)2 – (a – b)2 = (a + b + a – b).(a + b –a + b) = 2ª.2b = 4ab (V)

Gabarito: C

11) (2a + b)2 – (a – b)2 = (2a + b + a – b).(2a + b –a + b) = 3a.(a + 2b) = 3a2 + 6ab

Gabarito: B

12) (3x)2 + (10 + 3x).(10 – 3x) = 9x2 + 100 – 9x2 = 100

Gabarito: C

13) Simplificando as expressões, temos:

a) (a – 3)2 + (a – 3).(a + 3) = a2 – 6a + 9 + a2 – 9 = 2a2 – 6a = 2a.(a – 3)

b) (2x + 7y).(2x – 7y) + (x – 7y)2 = 4x2 - 49y2 + x2 – 14y + 49y2 = 5x2 – 14y

c) (a – 2)2 + (a + 2).(a – 2) – (a + 2)2 = (a – 2 + a + 2).(a – 2 – a – 2) + a2 – 4 = 2a.(-4) + a2 – 4 = a2 – 8a – 4

d) (3x – y)2 – x.(x – y).(x + y) + x.(x2 + 6y) = (9x2 – 6xy + y2) – x.(x2 – y2) + x.(x2 + 6y) = (9x2 – 6xy + y2) + (- x3 + xy2 + x3 + 6xy) = 9x2 + xy2 + y2

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a) (x + 3).(x – 3) = x2 – 9

b) (a – 1).(a + 1) = a2 – 1

c) (3x + 2).(3x – 2) = 9x2 – 4

d) (5a + b).(5a – b) = 25a2 – b2

e) (a2 – 5).(a2 + 5) = a4 – 25

f) [(3/4).x + y].[(3/4).x – y] = (9/16). x2 – y2

g) [(3/4) + (b/3)].[(3/4) – (b/3)] = (9/16) – (b2/9)

15) a = (√2 + 1)3 e b = (√2 - 1)3 => a + b = (√2 + 1)3 + (√2 - 1)3 =((√2 + 1) + (√2 - 1)).( (√2 + 1)2 - (√2 + 1). (√2 - 1) + (√2 - 1)2) = 2√2.(2 + 2√2 + 1 -2 + 1 + 2 - 2√2 + 1) = 2√2.5 = 10√2

a – b = ((√2 + 1) - (√2 - 1)).( (√2 + 1)2 + (√2 + 1). (√2 - 1) + (√2 - 1)2) = 2.(2 + 2√2 + 1 +2 - 1 + 2 - 2√2 + 1) = 2.7 = 14

16) (a – 2)3 = a3 -6a2 + 12a – 8 e (a + 3)3 = a3 + 9a2 + 27a + 27 => temos que adicionar o poli-nômio: 15a2 + 15a + 35 ao cubo da diferença (a – 2)3

17) x3 – (x – 1)3 = x3 – (x3 – 3x2 + 3x – 1) = 3x2 – 3x + 1

Gabarito: B


a) (x – 1).(x + 7) = x2 + 6x – 7

b) (x – 8).(x – 10) = x2 – 18x + 80

c) (x + 2a).(x + 3a) = x2 + 5ax + 6a2

d) (x + ¾).(x – 1/3) = x2 + (5/12).x – ¼

19) 19) Desenvolvendo as expressões, temos:a) (x2 + x + 6)2 = x4 + x2 + 36 + 2x3 + 12x2 + 12x = x4 + 2x3 + 13x2 + 12x + 36

b) (x + y + 3)2 = x2 + y2 + 32 + 2xy + 6x + 6y = x2 + y2 + 2xy + 6x + 6y + 9

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c) (2x – y – 1)2 = 4x2 + y2 + 1 – 4xy – 4x + 2y = 4x2 + y2 – 4xy – 4x + 2y + 1

d) (x – 4y + 3)2 = x2 + 16y2 + 9 – 8xy + 6x – 24y = x2 + 16y2 – 8xy + 6x – 24y + 9

20) Fatorando as expresses, temos:

a) 19x + 19y = 19.(x + y)

b) 6x3 – 5x2 = x2.(6x – 5)

c) 4x – 3y + 6 = 4x + 3(2 – y)

d) 6x – 8y – 10z = 2.(3x – 4y – 5z)

Gabarito: C

21) x3 + x4 – x5 = x3.(1 + x – x2)

Gabarito: C

22) Xy = 20 e x – y = 8 => x2y – xy2 = xy.(x – y) = 20.8 = 160

Gabarito: D

23) Xy = 10 e 2x – y = 6 => 2x2y – xy2 = xy.(2x – y) = 10.6 = 60

24) (1/3).x + (1/9).x2 = (1/3).x[1 + (1/3).x]

Gabarito: B

25) Fatorando as expressões, temos:

a) – 80x2 + 50x = 10x.( - 8x + 5)

b) 3a/7 – 3c/7 + 3/7 = (3/7).(a – c + 1)

c) (1/2).x2 + (1/4).x – (1/8) = (1/2).(x2 + (½).x – (1/4))

d) x5y3z2 + x2y4z5 = x2y3z2(x3 + yz3)

e) – 4x5 – 8x4 – 5x3 = - x3.(4x2 + 8x + 5)

f) 4πg + 12π = 4π(g + 3)

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26) ax – a – x + 1 = a.(x – 1) – (x – 1) = (a – 1).(x – 1)OBS: ax – a – x + 1 => expressão correta

Gabarito: B

27) a + 2b = 5 e 2x – y = 2, então: 2ax – ay + 4bx – 2by = a.(2x – y) + 2b.(2x – y) = (a + 2b).(2x – y) = 5.2 = 10

28) Fatorando as expressões, temos:a) am + bm + an + bn = m(a + b) + n( a + b) = (a + b).(m + n)

b) ax + 5x + ay + 5y = x(a + 5) + y(a + 5) = (x + y).(a + 5)

c) 3ax – 3a + bx – b = 3a(x – 1) + b(x – 1) = (x – 1).( 3a + b)

d) 3a – 3b + am – bm = 3(a – b) + m(a – b) = (a – b).(3 + m)

e) x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2(x + 3) + 2(x + 3) = (x2 + 2).(x + 3)

f) ax + 2bx + ay + 2by = x(a + 2b) + y(a + 2b) = (x + y).(a + 2b)

g) a3 – a2 + a – 1 = a2 (a – 1) + 1.(a – 1) = (a2 + 1).(a – 1)

h) x3 + x2 + X + 1 = x2 (x + 1) + (x + 1) = (x + 1).(x2 + 1)

i) 10ab – 2b + 15a – 3 = 2b(5a – 1) + 3(5a – 1) = (2b + 3)(5a – 1)

29) Fatorando as expressões, temos:a) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

b) 64x2 + 80x + 25 = (8x)2 + 2.8x.5 + 52 = (8x + 5)2

c) y2 + 5y + 6 = (y + 3).(y + 2)

d) 1 – 10xy2 + 25x2 y4 = 12 – 2.1.5xy2 + (5xy2) 2 = (1 – 5xy2)2

e) x2 – 2x – 15 = (x – 5).(x + 3)

f) 4 – 5a + a2 = (a – 1).(a – 4)

g) a2 + 2ab + b2 + a + b = (a + b)2 + (a + b) = (a + b).(a + b + 1)

h) a2 + 2ab + b2 – 1 = (a + b)2 – 12 = (a + b + 1).(a + b – 1)

i) 9y2 – 42y + 49 = (3y)2 – 2.3y.7 + 72 = (3y – 7)2

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a) x5 – 9x3 = x3.(x2 – 9) = x3.(x + 3).(x – 3)

b) 2m3 – 686 = 2.(m3 – 73) = 2.(m - 7).(m2 + 7m + 49)

c) x6 – 64 = (x2)3 – (22)3 = (x2 – 22).(x4 + 4x2 + 16) = (x + 2).(x – 2).(x4 + 4x2 + 16)

d) a2 – 1 + 2ab + b2 = (a + b)2 – 1 = (a + b + 1).(a + b – 1)


a) c2 – 2bc – a2 + b2 = (c – b)2 – a2 = (c – b + a).(c – b – a)

b) 4a2 c2 - a4 + 2a2 b2 - b4 = (2ac)2 – (a2 – b2)2 = (2ac + a2 – b2).(2ac – a2 + b2)

c) x2 y2 + xy – 12 = x2 y2 – 9 + xy – 3 = (xy)2 – 32 + (xy – 3) = (xy + 3).(xy – 3) + (xy – 3).1 = (xy – 3). (xy + 3 + 1) = (xy – 3).(xy + 4).

d) a4 + a2 + 1 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 + a + 1).(a2 – a + 1)

e) 4a4 + 8a2b2 + 9b4 = (2a2)2 + 12a2b2 + (3b2)2 – (2ab)2 = (2a2 + 3b2)2 – (2ab)2 = (2a2 + 3b2 + 2ab).(2a2 + 3b2 – 2ab)

f) a3 – 3a + 2 = (a3 – a) + (- 2a + 2) = a.(a2 – 1) – 2.(a – 1) = a.(a + 1).(a – 1) – 2.(a – 1) = (a – 1).(a2 + a – 2)

g) 2x3 – 3x2 – 27 = x3 – 3x2 + x3 – 33 = x2.(x – 3) + (x – 3).(x2 + 3x + 9) = (x – 3).(x2 + x2 + 3x + 9) = (x – 3).(2x2 + 3x + 9)

Desafiando (títulos de destaque):1) (x2y + 1/2)2 = x4 y2 + x2y + 1/4 , logo: devemos somar x2y.

2) (2a – 3ab)2 = 4a2 – 12a2b + 9a2b2. Logo: devemos somar 3a2 + 3a2b2.

Gabarito: A

3) (2x – 1)3 + (x – 1)2 = 8x3 – 12x2 + 6x – 1 + x2 – 2x + 1 = 8x3 – 11x2 + 4x.

Gabarito: D

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4) 3a2 x2 + 3ax3 = 3ax2(a + x) = 3.14.9 = 378.

5) Fatorando as expressões, temos:a) – c5 – c4 - 5c3 - 5c2 = - c4(c + 1) – 5c2(c + 1) = (c + 1).(c4 + c2).(-1) = (-1).c2.(c + 1).(c2 + 1).

b) Ac + 2bc – ad – 2bd = a.(c – d) + 2b.(c – d) = (a + 2b).(c – d)

c) Xz + y + x + yz = x.(z + 1) + y.(z + 1) = (z + 1).(x + y)

d) P3 – 5p2 + 4p – 20 = p2.(p – 5) + 4.(p – 5) = (p – 5).(p2 + 4).

e) xy + x/2 + y/2 + 1/4 = (4xy + 2x + 2y + 1)/4 = [2x.(2y + 1) + (2y + 1).1]/4 = [(2x + 1).(2y + 1)]/4

f) C2 – c + cx – x = c.(c – 1) + x.(c – 1) = (c + x).(c – 1).

6) Fatorando as expressões, temos:a) 25.(x – y)2 – 4.(x + y)2 = [5(x – y)]2 – [2(x + y)]2 = (5x – 5y)2 – (2x + 2y)2 = (5x – 5y + 2x + 2y).(5x – 5y – 2x – 2y) = (7x – 3y).(3x – 7y).

b) X8 – y8 = (x4)2 – (y4)2 = (x4 + y4).((x2)2 – (y2)2) = (x4 + y4).(x2 + y2).(x + y).(x – y).

c) 16x6m – 4y4a = (4x3m)2 – (2y2a)2 = (4x3m + 2y2a).(4x3m – 2y2a)

d) 2x3 – 3x2 – 27 = x3 – 3x2 + x3 – 33 = x2.(x – 3) + (x – 3).(x2 + 3x + 9) = (x – 3).(x2 + x2 + 3x + 9) = (x – 3).(2x2 + 3x + 9).

e) 8x3 – y15 = (2x)3 – (y5)3 = (2x – y5).(4x2 + 2xy5 + y10)

f) X2 y3 /4 – 25a2y = y.(xy/2)2 – y.(5a)2 = y.[(xy/2)2 – (5a)2] = y.[(xy/2 + 5a).(xy/2 – 5a)] = y/4.(xy + 10a).(xy – 10a).

g) 2a6b – 16a3b = 2a3b.(a3 – 23) = 2a3b.(a – 2).(a2 + 2a + 4).

h) X9 + 1 = (x3)3 + 13 = (x3 + 1).(x6 – x3 + 1) = (x + 1).(x2 – x + 1).(x6 – x3 + 1).

i) X6 – 64 = (x2)3 – (22)3 = (x2 – 22).(x4 + 4x2 + 16) = (x + 2).(x – 2).(x4 + 4x2 + 16)

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ORIENTADOR METODOLÓGICO: MÚLTIPLOS E DIVISORES: SUAS CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES

1


Múltiplos e divisores

Objetivos (títulos de destaque):• Estabelecer critérios de divisibilidade para um conjunto determinado de divisores;• Apresentar um método para o cálculo de múltiplos e divisores de um número;• Entender o que é um número primo;• Expressar um número qualquer a partir do produto de fatores primos;• Identificar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e/ou o Máximo Divisor Comum (MDC) en-

tre dois ou mais números.

Praticando (títulos de destaque):1) Aplicando os critérios de forma correta, temos:Por 2: 29543/2 => R = 1Por 3: (2 + 9 + 5 + 4 + 3) => 23/3 => R = 2Por 4: 43/4 => R = 3Por 5: Verificando o algarismo de 1ª ordem: 3 < 5 => R = 3Observando a sequência, temos: 1, 2, 3, 3Gabarito: D

2) Aplicando os critérios de forma correta, temos:Por 2: 29543/2 => R = 1Por 3: (2 + 9 + 5 + 4 + 3) => 23/3 => R = 2Por 4: 43/4 => R = 3Por 5: Verificando o algarismo de 1ª ordem: 3 < 5 => R = 3Por 8: 543/8 => R = 7Observando a sequência, temos: 1, 2, 3, 3, 5, 7, ...Gabarito: B

3) 222222222N => 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + N = 18 + N = 21 => N = 3

4) Utilizando o algoritmo da divisão, temos: 18095/7 => R = 0 (095 – 18 = 77/7 = 11 e R = 0)18095/11 => R = 0 [(5 + 0 + 1) – (8 + 9) = - 11/11 = 1 e R = 0)

5) Fatorando o número 400, temos:400 = 24.52 => (4 + 1).(2 + 1) = 5.3 = 15 divisoresGabarito: D

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07ORIENTADOR METODOLÓGICO: MÚLTIPLOS E DIVISORES: SUAS CARACTERÍSTICAS E APLICAÇÕES

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6) N = 25.3k => (5 + 1).(k + 1) = 48 => k + 1 = 48/6 => k + 1 = 7 => k = 6N = 25.36 = 32.729 = 23328Gabarito: A

7) 2x.32.5(possui 18 divisores) => (x + 1).(2 + 1).(1 + 1) = 18 => x + 1 = 18/6 => x = 2Gabarito: B

8) Fatorando 2860, encontramos:2860 = 22.5.11.13Calculando somente os divisores impares, temos: (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 2.2.2 = 8Gabarito: D

9) Fatorando 800, temos: 800 = 25.52

Calculando somente os divisores pares, te-mos: 5.(2 + 1) = 5.3 = 15Gabarito: A

10) Fatorando 45, encontramos:45 = 32.5 => (2 + 1).(1 + 1) = 3.2 = 6 divisores, logo:P =(√45)6 = 453 = 91125Gabarito: C

11) Fatorando 64, encontramos:64 = 26 => (6 + 1) = 7divisores, logo:P = (√64)7 = 87 = 221

Gabarito: B

12) Fatorando os números indicados, encon-tramos:2460 = 22.3.5.412640 =24.3.5.11820 = 22.5.41, Logo: O MDC(2460, 2640, 820) = 22.5 = 20Gabarito: B

13) Aplicando o método das divisões suces-sivas, temos:

1 2 3x y 120 40

120 40 0

De acordo com os dados da tabela, temos: Y = 120.2 + 40 = 280X = y.1 + 120 = 280 + 120 = 400Gabarito: B

14) 14) A = 2m – 1 .32.5m9000 = 23.32.53

MDC(A, 900) = 45 = 32.51, logo: m = 1Gabarito: A

15) Fatorando os valores, encontramos:168 = 23.3.7264 = 23.3.11312 = 23.3.13, logo:MDC(168, 264, 312) = 23.3 = 8.3 = 24 (compri-mento de cada parte)168/24 = 7; 264/24 = 11 e 312/24 = 13, logo:7 + 11 + 13 = 31 partesGabarito: D16) De acordo com as informações do pro-blema, temos que:X + y = 168 = 23.3.7 = 23.3.(2 + 5)MDC(x, y) = 24 = 23.3, logo:X = 23.3.2 = 24.3= 48Y = 23.3.5 = 120

17) De acordo com as informações do pro-blema, temos que:x.y = 11340 = 22.34.5.7 = 2.32.(2.32.5.7)MDC(x, y) = 18 = 2.32

Logo: Os números podem ser: x = 2.32.2.5 = 180y = 2.32.3.7 = 378

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18) Fatorando os números, temos: 24 = 23.336 = 22.32

70 = 2.5.7, logo:MMC(24, 36, 70) = 23.32.5.7= 2520Gabarito: B

19) MMC(120, 180) = 360, logo: 360 – 7 = 353Gabarito: A

20) 20) A = 22.33 e B = 23.32.11MMC(A, B) = 23.33.11 = 2376MDC(A, B) = 22.32 = 362376/36 = 66 = 2.3.11Gabarito: C

21) 12 = 22.340 = 23.548 = 24.3MMC(12, 40, 48) = 24.3.5 = 240 => 240 – 7 = 233Gabarito: D

22) MMC(A, B) = 9000 = 23.32.53

Sendo B = 500 = 22.53 => A = 23.32 = 8.9 = 72

Aprofundando:1) De acordo com as informações do pro-blema, temos que: Se somarmos 3 unidades teremos um número múltiplo de 6 e adicio-nando uma unidade, teremos um número múltiplo de 8. Logo:Gabarito: D

2) 5_6 => Múltiplos de 6 e 4 => 5 + x + 6 = x + 11 = 12 => x = 1;X + 11 = 15 => x = 4; x + 11 = 18 => x = 7.De acordo com as opções, temos x = 7Gabarito: D

3) 70ab => 7 + 0 + a + b = 9 => a + b = 2; a + b = 18 – 7 = 11 (a = 5 e b = 6)Gabarito: E

4) 21316 => 2 + 1 + 3 + 1 + 6 = 13 Para ser divisível por 5, o valor deve terminar em 0 ou 5 e para ser divisível por 9, a soma dos valores deve ser um múltiplo de 9. De acordo com as opções, podemos ter: 31 ou 36; 32316 – 31 = 21285 (2+1+2+8+5 = 18)Gabarito: B

5) De acordo com as informações do pro-blema, o resto da divisão com o novo número deve ser igual a 4. Como 8746 = 11.795 + 1 => Para o resto dá 4, basta somarmos 3 unidades.Gabarito: A

6) De acordo com as informações do proble-ma, o número em questão é ímpar e duas unidades acima de um determinado múltiplo de 7, que também deve ser ímpar. Esse núme-ro poderia ser 23, 37, 51, ... E o resto da divisão de todos esses valores por 14 é igual a 9.Gabarito: E

7) 14351 – X = 99k, então: 99k deve ser um múltiplo de 99 bem próximo de 14351. Esse nú-mero seria 14256, logo: X = 14351 – 14256 = 95Gabarito: E

8) 500241_ => 5+0+0+2+4+1 = 12 => 12 + 6 = 18. Ou seja, colocando o número 6, o núme-ro seria divisível por 2, 3, 4 e 9.Gabarito: E

9) 81A3A2/11 deixa resto 10 ( o maior possí-vel). Logo: 81A3A3 é divisível por 11 =>|8 + 2A – 7| = 11 => 2A = 10 => A = 5Gabarito: E

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10) N = 52.73OBS:(Faltando dados na questão)

11) 4n.3.5n => 22n.3.5n => (2n + 1).(1 + 1).(n + 1) = 56 => (2n + 1).(n + 1) = 28(2n + 1).(n + 1) = 7.4 => 2n + = 7 => n = 3 e n + 1 = 4 => n = 3, logo: n = 3Gabarito: D

12) D(108) = {1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54,108}. Dentre esses divisores, são primos: 2, 3Gabarito:A

13) X = 2.3.5.7.11... => (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1)... = 2.2.2.2.2.2.... = 241

Gabarito: B

14) N = 2.3.5.7.11... => (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1)... = 2.2.2.2.2.2.... = 2kGabarito: D

14) N = 2.3.5.7.11... => (1 + 1).(1 + 1).(1 + 1)... = 2.2.2.2.2.2.... = 2k Gabarito: D

15) N = 24.35.56 => Divisores de 10, 4.6.(5 + 1) = 4.6.6 = 144Gabarito: D

16) De acordo com as informações do pro-blema, temos:

3 6 1 3X = 340 Y = 108 16 12 4

16 12 4 0

Gabarito: 340 e 108

17) 17) De acordo com as informações do problema, temos que:

1 1 2X = 80 Y = 48 32 16

32 16 0

Gabarito: E

18) De acordo com as informações do pro-blema, temos que:

2 1 3 2X = 500 Y = 180 140 40 20

140 40 20 0

19) De acordo com as informações do pro-blema, temos:

1 2 6X = 1368 Y = 936 432 72

432 72 0

X + y = 1368 + 936 = 2304Gabarito: D

20) 20) 756 = 22.33.7; N = 2x.3y

MDC(756, N) = 75 OBS: Questão faltando dados ou com dados equivocados

21) 21) 301 = 5 + 296 = 5 + 8.37 411 = 4 + 407 = 4 + 11.37; logo, o maior valor encontrado, seria 37Gabarito: B

22) 22) 1233 = 9 + 1224 = 9 + 72.17511 = 7 + 504 = 7 + 72.7; logo, o maior valor seria 72Gabarito: B

23) 240 = 24.3.5270 = 2.33.5300 = 22.3.52MDC(240, 270, 300) = 2.3.5 = 30 cmGabarito: B

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24) 300 = 22.3.52

MDC(300, X) = 75 = 3.52 => X = 32.52 = 9.25 = 225, pois X > 75Logo: X = 225

25) MDC(X/7, Y/7) = 29X = 3Y => MDC(X, Y) = Y =>MDC(3Y/7, Y/7) = Y/7 = 29 => Y = 29.7 = 203 e X = 3.203 = 609

26) MDC(A, B, C) = 96 = 25.3MDC(A/48, B/48, C/48) = 2

27) N = 3.52.2a + 1

96 = 25.3240 = 24.3.5MDC(N, 96, 240) = 24 = 23.3De acordo com as informações: N = 23.3.52 => 2a + 1 = 3 => a = 1Gabarito: B

28) 28) X.Y = 2304 e MDC(X, Y) = 12 = 22.3 => MMC(X, Y) = 2304/12 = 192 = 26.3Logo: Podemos ter X = 12 e Y = 192 => X + Y = 204Gabarito: E

29) 29) X – Y = 126 e MDC(X, Y) = 18 = 2.32. Podemos ter: Y = 18 e X = 126 + 18 = 144

30) X.Y = 825 = 3.52.11 => X = 3.5 = 15 e Y = 5.11 = 55 por exemplo.Logo: MDC(X, Y) = 5Gabarito: C

31) X.Y = 1944 = 23.35 e MDC(X, Y) = 18 = 2.32

De acordo com as informações, podemos ter: Y = 36 e X = 54

32) X – Y = 135 e MDC(X, Y) = 5; Sendo X = 135 + Y. De acordo com as informações, X só será múltiplo de Y, se Y = 5. Para Y = 5 => X = 140; Para Y = 10 => X = 145.Logo: os menores números, seriam (5, 140); (10, 145).

33) BUC – conjunto dos múltiplos de 6 e A – Conjunto dos múltiplos de 8, logo:A

U

(BUC) = MMC(8, 6) = 24Gabarito: C

34) Se a é divisível por b, então a é múltiplo de b, logo: MMC(a, b) = aGabarito: B

35) 31 < MMC(6, K) < 41 => MMC(6, K) = 36. De acordo com as informações, temos que K = 36.Gabarito: B

36) MDC(X, Y) = 1 e MMC(X, Y) = 29403 = 35.112, sendo X = 121 = 112 =>121.Y = 1.29403 => Y = 29403/121 => Y = 35

Gabarito: D

37) 37) X.Y = 2160; MDC(X, Y) = 6 => MMC(X, Y) = 2160/6 = 360Gabarito: B

38) MMC(A, B) = 90 e A.B = 1350 => MDC(A, B) = 1350/90 = 15Gabarito: E

39) MMC(a, b) = 360 = 23.32.5 e a.b = 3600 = 24.32.52 => MDC(a, b) = 3600/360 = 10 = 2.5. De acordo com as informações, podemos ter: a = 2.32.5 = 90 e b = 23.5 = 40Logo: a + b = 90 + 40 = 130Gabarito: B

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40) Sendo X, o número que queremos encontrar, então X – 5, será um múltiplo comum de 12, 14, 15 e 18,12 = 22.314 = 2.715 = 3.518 = 2.32

logo: X – 5 = MMC(12, 14, 15, 18) = 22.32.5.7 = 1260 => X = 1260 + 5 = 1265Gabarito: A

41) DE acordo com as informações, podemos ter como resultados, os números 233 e 363, pois são os únicos valores, dentre as opções que divididos por 10 deixa resto 3. Logo, o nú-mero que atende as restrições do problema é: 233Gabarito: B

42) De acordo com as informações, temos dois candidatos: 235 e 245. Logo, o número que atende a todas as restrições: 235Gabarito: B

43) 20 = 22.540 = 23.5100 = 22.52

MMC(20, 40, 100) = 23.52 = 8.25 = 200 minutos = 3 horas e 20 minutos.De 8 às 18, se passaram 10 horas = 600 minutos, logo, ocorreram 3 embarquesGabarito: A

44) MDC(X, Y) = 6 = 2.3 e MMC(X, Y) = 60 = 22.3.5. Sendo o menor deles Y => Y = 22.3 = 12, logo: X = 2.3.5 = 30 (o maior deles)

45) X = 16.3K = 24.3K e Y = 2P.21 = 2P.3.7MMC(X, Y) = 672 = 25.3.7, logo: P = 5 e K = 1P – K = 5 – 1 = 4 = 4KGabarito: E

46) MMC(X, Y) = 3690 = 2.32.5.41 e X/Y = 6/41 => X/Y = (2.3.3.5)/(3.5.41) =>X = 2.32.5 = 90 e Y = 3.5.41 = 615

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47) 47) a>b; X = a2bc2 e Y = ab2

MDC(X, Y) = 21 = 3.7 e MMC(X, Y) =1764 = 22.32.72

MDC(X, Y) = a.b e MMC(X, Y) = a2.b2.c2

Logo: a = 3, b = 7 e c = 2 => a + b + C = 3 + 7 + 2 = 12

48) A = 2k .15 = 2k.3.5 e B = 4.3p = 22.3pMMC(A, B) = 360 = 23.32.5MMC(A, B) = 2k.3p.5 => k = 3 e p = 2K + p = 3 + 2 = 5Gabarito: COBS: trocar no enunciado da questão: 2k por 2k e 3p por 3p

49) X + Y = 320 = 26.5 e MMC(X, Y) = 600 = 23.3.52

De acordo com as informações, podemos ter: 120 e 200. Nestecaso, o MDC(X, Y) = 23.5 = 40Gabarito: D

Desafiando:1) Sendo N = abcd, onde: a + b +c + d = 3.kc = d/2 => d = 2c e c = 2a => d = 4a a + b + 2a + 4a = b + 7a = 3k. Sendo: a = 1 => c = 2 e d = 4 => b = 3k – 7, para k = 3 => b = 2logo: N = 1224Gabarito: A

2) A = 11k + 2 => A = 13 (o menor) e B = 11p + 3 => B = 14 (o menor)A3 + B2 = 133 + 142 = 2197 + 196 = 2393, então: 2393 – X = 11t, ou seja, 11t deve ser o múltiplo de 11 mais próximo de 2393, logo: 11t = 2387 =>X = 2393 – 2387 = 6Gabarito: B

3) a5 – 5a3 + 4a = a.(a4 – 5a2 + 4) = a.(a – 2).(a – 1).(a + 1).(a + 2)Como a > 2 => a = 3 (menor valor inteiro que não zera a expressão)Logo: 3.1.2.4.5 = 120, então: o valor seria divisível por 60 tambémGabarito: D

4) N = 2x – 1.5a.7x, possui 48 divisores ímpares, então:(a + 1).(x + 1) = 48

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Total de divisores: (x – 1 + 1).(a + 1).( x + 1) = x.(a + 1).(x + 1) = x .48Divisores pares: (x – 1). (a + 1).(x + 1) = (x – 1).48 => x > 1 => x = 2, 3, 4...Para x = 2, temos: (2 – 1).48 = 48Para x = 3, temos: (3 – 1).48 = 96De acordo com as alternativasGabarito: B

5) Fatorando os valores disponíveis, encontramos apenas o número 6237 com estas carac-terísticas.Gabarito: C

6) X + Y = 96 e MDC(X, Y) = 12 = 22.3De acordo com as informações, podemos ter: X = 36e y = 60Gabarito: C

7) 340 = 22.5.17260 = 22.5.13MDC(340, 260)= 22.5 = 4.5 = 20Gabarito: C

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ORIENTADOR METODOLÓGICO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

5


Potenciação e radiciação

Objetivos:• Compreender o conceito de potenciação a partir da operação de multiplicação, e suas

principais propriedades;• Reconhecer a radiciação como processo inverso à potenciação, e verificar suas propriedades;• Utilizar os conceitos de potenciação e radiciação para desenvolver o processo

de racionalização de frações com denominadores irracionais.

Praticando:1) 210 = 1024 (2 multiplicado por ele mesmo 10 vezes)38 = 656146 = 409655 = 312573 = 343Gabarito: E

2) (-3)5 = -243(-6)4 = 1296(-2)9 = -512(-5)6 = 15625-34 = -81Gabarito: D

3) (34)2 = 36 (F)-52 = -25 (F)-34 = -81 (F)3-2 = 1/9 (F)32.33 = 35 (F)38:32 = 34 (V)63:23 = 33 (V)93:32 = 34 (F)23.32 = 8.7 = 2.62 (V)32.3-2 = 30 = 1 (V)Gabarito: D

4) 66 + 66 + 66 + 66 + 66 + 66 = 6.66 = 67

Gabarito: B

5) (-5)1 = -519920 = 12-2 = 1/4

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08ORIENTADOR METODOLÓGICO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

6

4-1 = 1/46-2 = 1/36Gabarito: A

6) a = 2 e b = 3 => (2-a + 2-b)–1 = (2-2 + 2-3)–1 = (1/4 + 1/8)-1 = (3/8)-1 = 8/3Gabarito: B ;OBS: Na questão da apostila, -1 não está como expoente.

7) (-1)52 + 125 = (-1)25 + 110 = -1 + 1 = 0Gabarito: C

8) (-2)-2 = 1/4 => (1/4)/2 = 1/8Gabarito: D

9) 5.108.4.10-3 = 20.105 = 2.106

Gabarito: E

10) 2x = m e 2y = n => 4x-y = 4x.4-y = 22x.2-2y = (2x)2.(2y)-2 = m2.n-2 = m2/n2

Gabarito: D

11) √49 = 7 3√-27 = -34√16 = 23√125 = 53√-64) = -4Gabarito: E

12) 4√1024 = √32 = 4√24√128 = 2 4√8 = 12√531441) = 315√32) = 3√24√686 = 4√2.7.√7 = 4√14.√7Gabarito: B (OBS: Existe um equívoco com as respostas encontradas na apostila)

13) Em cada uma das raízes, estaremos calculando o valor de √9 = 3Gabarito: D

14) (√3 + √7).(√3 - √7) = (√3)2 – (√7)2 = 3 – 7 = -4Gabarito: C

15) 75/12 = 25/4 = 5/2Gabarito: D

16) 3√–1296/3√-162 = 3√-1296/-162 = 3√8 = 2

17) I) √-4.√-10 = √(-4).(-10) (V)II) √(-4).(-16) = √64 (V)III) √64 = 8 (F)Gabarito: D

18) (9/25)1/2 = √9/25 = 3/5

19) (27/125)-1/3 = (125/27)1/3 = 3√125/27 = 5/3Gabarito: D

20) De acordo com o conhecimento das pro-priedades sobre radiciação, temos que:n√m√a = n√m√ ≠ n+m√aGabarito: C

21) a)3√8 -2√12 + 5√27 - √32 - 3√75 + √48 = 6√2 - 4√3 + 15√3 - 4√2 - 15√3 + 4√3 = 2√2b) 3a√a - 8√a3 + 2/a √64a5 = 3a√a – 2a√a + 2/a.8a2√a = 17a√ac) √24 + √54 - √96 + √6 = 2√6 + 3√6 - 4√6 + √6 = 2√6d) 2√50 + 3√162 - 5√18 = 10√2 + 27√2 - 15√2 = 22√2e) √28 - √75 + 2√27 - √7 + √12 = 2√7 - 5√3 + 6√3 - √7 + 2√3 = √7 + 3√3

22) (√12).(√6) + 3 4√2500 - (3 4√64)/(6√8) - 3√√125 + 3√2 = 6√2 + 15√2–6 - √5 + 3√2 = 24√2 - √5 – 6

23) 3√a.4√a = a1/3 + 1/4 = a7/12 = 12√a7 )Gabarito: B

24) Passando todas as raízes para o mesmo índice e efetuando os devidos produtos, te-mos:a) 6√30b) 6√1080c) 6√750

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d) 6√150e) 6√180Gabarito: B

25) 8√0,0081x4 = 8√81x4/10000 = √3x/10 = √0,3xGabarito: B

26) Nesta questão, basta multiplicarmos cada fração (numerador e denominador) pelo denominador da fração, que é uma raiz. Assim, temos que:a) 7√2 = 7√2/2b) 6/√2 = 6√2/2c) 6/8√2 = 3√2/8d) 5/7√5 = 5√5/35e) 7/√7 = 7√7/49 = √7/7f) √2/3√2 = 1/3g) 2√2/√6 = 2√3 = 2√3/3h) 4/√6 = 2√6/3

27) Racionalizando os denominadores de forma correta, obtemos:a) 1/5√63 = 5√63/6b) 15/3√5 = 3 3√52/1c) 2/9√27 = 9√22/1d) 1/10√35 = 10√35/3e) 4/4√83 = 4√81/2f) 20/11√108 = 2 11√103/1

28) Racionalizando os denominadores de forma correta, temos:a) √3 +1/2b) 5 + √7 /6c) √7 – 2/1d) a(7- √21 /4e) 4 (3√6 )/1f) (√2 - 1 ).(2+ √3)/1g) 2√3 /3h) √a + √b2 /a-b

29) 2-√2/√2-1 = (2-√2).(√2+1)/1 = 2√2 + 2 – 2 – √2 = √2Gabarito: A

30) √3-1/2-√2 = (√3-1).(2+√2)/(4-2) = (√6.(1+√2)-1.(1+√2) = (√6-1)(1+√2)/2

Aprofundando:1) 816 = 248 => 248/4 = 246 = 423

Gabarito: B

2) (-4)-2 = 1/16(-5)-3 = -1/125(-2)-1 = -1/2(-1)-4 = 1-5-2 = -1/25Gabarito: C

3) I) 31 = 3 (V)II) 23/2 = √23 (F)III) -3-2 = -1/9 (F)IV) 811/2 = +- 9 (V)Gabarito: C

4) De acordo com a definição, temos:[(-1)1.26 + (-1)26.1] = - 25[(-1)17.(-25) + (-1)-25.17] = 25 – 17 = 8[(-1)88.8 + (-1)8.88]= 8 + 88 = 96Gabarito: E

5) (4-1 - 3-1)-1 = (1/4 – 1/3)-1 = (-1/12)-1 = - 12Gabarito: A

6) X3 = 927; y5 = 928 e z9 = 9210

(xyz)45 = x45.y45.z45 = (x3)15.(y5)9.(z9)5 = (927)15.(928)9.(9210)5 =92105.9272.9250 = 92227

Gabarito: D

7) (-1)n = 1, se n é par e (-1)n = -1, se n for ímpar.Gabarito: A

8) De acordo com a expressão, temos:4.45/3.35 . 6.65/252-5 = 2n → (46/36).(66) = 2n → 212.26 = 2n => 218 = 2n => n = 18Gabarito: D

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9) De acordo com a expressão, temos:E = [(-a2)81.(-a-3)-64]/[a81.(-a3)72] => (-a)354/a

10) a2b = 5 => 2a6b – 4 = 2(a2b)3 – 4 = 2.53 – 4 = 2.125 – 4 = 250 – 4 = 246.Gabarito: B

11) 275 = (33)5 = 315 => 315.35 = 320. Logo, deveríamos multiplicar pela potência 35

12) (2a-2.b2.c0)/(a-1 – b-1) = (2a-2.b2.c0).(a.b)/(b – a) = 2b3/a(b – a)Gabarito: A

13) X = 2 e y = -2 => x – yx-y = 2 – (-2)2-(-2) = 2 – (-2)4 = 2 – 16 = -14Gabarito: A

14) 14) X = 10-3 => (0,1 . 0,001 . 10-1)/(10 . 0,0001) = (10-1.10-3.10-1)/(10.10-4) = 10-5/10-3 = 10-2 = 10.10-3 = 10.xGabarito: B

15) X = 2100 = 450; z = 550 => z > xY = 375 = 2725; z = 2525 => y > z, logo: x < z < yGabarito: B

16) M(elétron) = 1,7.10-27/1800 = 1,7.10-27/1,8.103 = 0,9.10-30 (aproximadamente)Gabarito: B

17) P = √8 = 6√512; r = 3√25 = 6√625 => r > pLogo: p < r < qGabarito: B

18) (x-1 + y-1)/(x-1.y-1) = (y + x):(xy)/(xy)-1 = y + xGabarito: C

19) 2*X = 100 => 2x + x2 = 100, logo: x = 6, pois 26 + 62 = 64 + 36 = 100Gabarito: E

20) N2 = (4.10-10)3.81.108/(12.10-9)4 = (43.34.10-22)/(34.44.10-36) = 4-1.1014 => N = (1/2).107 => N = 0,5.107 = 5.106 = 5000.000OBS: Não Há opção

21) 21) 1m = 1n => 1m – n = 10 => m – n = 0Gabarito: D (OBS: como a base, as outras alternativas também estariam corretas)

22) (xy.yx)/(xy.yx) = xy-x.yx-y = xy-x.y-(y-x) = (x/y)y-x

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Gabarito: D

23) (33-n + 3.32-n -9.31-n)/(9.32-n) = 33-n(2 -1)/(34-n) = (33.3-n)/(34.3-n) = 3-1 = 1/3Gabarito: B

24) (2n+3.2 – 2n+1.7)/(5.2n-4) = 2n+1.(23 – 7)/(5.2n-4) = (2n.2)/(5.2n.2-4) = 25/5 = 32/5OBS: Não há gabarito

25) I) x0 – 0x = 1 – 0 = 1 (F)II) 23 = 8 (F)III) 5x+2 = 5x.52 = 2.25 = 50 (V)IV) a = 2x+2 = 2x.22 = 4.2x => 8x = 23x = (2x)3 = (a/4)3 = a3/64 (F)Gabarito: D

26) OBS: parece que falta mais informações nesta questão

27) (6.12.18...300)/(2.6.10.14...98).(4.8.12...100) = 650.(1.2.3.4...50)/250.(1.2.3...50) = (6/2)50 = 350

Gabarito: A

28) A única que não está de acordo é: (-1)3 = -(-1)2n

Gabarito: D

29) Dentre as alternativas, a única correta seria: n√a:b = n√a/n√bGabarito: C

30) (34)-3/2 = 3-6

Gabarito: C

31) (-1/125)-2/3 = (-125)2/3 = (-5)2 = 25Gabarito: C

32) X1/2.x1/8 = x1/2 + 1/8 = x5/8 = 8√x5)Gabarito: E

33) Simplificando as expressões no numerador e denominador, temos: (5√32)2/(2)4 = 22/24 = 2-2 = (-2)-2

Gabarito: A

34) (x1/6.y5/6)-6.xy = (x-1.y-5).x.y = x0.y-4= y-4

Gabarito: E

35) (1/3)√27 + 3 6√27)+√108 - 9 5√√243 = √3/3 + 3√3 + 6√3 - 9√3 = √3/3. Logo, o valor que temos que multiplicar esse resultado pra ser igual a 1 é √3

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Gabarito: D

36) 36) (-1)k + (-1)k+1 = (-1)k + (-1)k.(-1)1 = (-1)k(1 + (-1)) = (-1)k.0 = 0Gabarito: C

37) a = 3√4 = 12√44 12 √256; b = 4√6 = 12√63 ) = 12√216) e c = 12√280b< a < cGabarito: B

38) Passando todas as raízes para o mesmo índice, temos:4√5 = 12√53 12√1253√3 = 12√34 = 12√81√2 = 12√26 ) = 12√64Estão em ordem decrescenteGabarito: A

39) X = 10√10) = 30√103 ) = 30√1000)Y = 3√2 = 30√210 = 30√1024Z = 15√35) = 30√352 ) = 30√1225Gabarito: C

40) Simplificando as expressões, temos:a) (a + b)/(a – b)b) OBS: trocar x2+y2 por x+y, torna a questão e o desenvolvimento dela muito mais coerentec) 2.√x2-1d) (x-1)/xe) (√2/2)a.c

41) n-1√a/n√a = (a/a1/n)1/(n-1) = (an-1/n)1/(n-1) = a1/n = n√aGabarito: B

42) [(a1/2.b1/4)/(a1/6.b1/6)].b1/4 = (a1/2-1/6.b1/4+1/4-1/6) = a1/3.b1/3 = 3√a.bGabarito: A

43) (31/3.31/6.51/3.31/6.51/3)/(33/5.53/5.31/15.51/15) = (32/3.52/3)/(32/3.52/3) = 1Gabarito: A

44) [(34.10-4)-3/2.(5.10-3)1/3]/5-2/3 = (3-6.106.51/3.10-1)/5-2/3 = 3-6.5.10-1.106 = (5/10).(10/3)6

= (1/2).(10/3)6

Gabarito: A

45) [219.(3.2 + 7).13.22]/(132.224] = (221.132)/(132.224) = 2-3 = 1/8Gabarito: D

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46) 9a3 – 3a = 3a.(3a2 -1); sendo a = 1/√3 = √3/3 => 3a.(3a2 -1) = √3.(3.1/3 – 1) = √3.0 = 0Gabarito: D

47) 47) Simplificando cada uma das expressões, obtemos:[(a + b + c).(a.b.c)/(ab + ac + bc)]1/2.[(ab + ac + bc).(a.b.c)/(a + b + c)]1/2 = [(a.b.c)2]1/2 = a.b.cGabarito: C

48) Racionalizando os denominadores, obtemos:a) 2√10 /10 = √10 /5b) 6√6 /6 = √6c) 9√3 /3 = 3√3d) √10 /2e) 20√5 = 2√5f) 2√6 /6 = √6 /2g) 20√10 /30 = 2√10 /3h) √7 /7i) 2√6 /10 = √6 /5j) 7√21 /14 = √21 /2

49) Racionalizando os denominadores, obtemos:a) 5 √43 /2b) a√a512

/a = √a512

c) √45 /(7.8) = √45 /56d) √493 /7e) √24 /(3/8) = √24 /24f) 15.√253 = 3√253

50) 1/√2 + 1/3√2 – 1/2√2 = (6 + 2 – 3)/6√2 = 5/6√2 = 5√2/(6.2) = 5√2/12Gabarito: E

51) Racionalizando cada um dos denominadores, obtemos:12.(√7 – 3)/4 – 5.(8 + 3√7)/1 = 3.(√7 – 3) – 5.(8 + 3√7)= 3√7 – 9 – 40 -15√7 = -12√7 – 49Gabarito: E

52) Racionalizando o denominador da expressão, obtemos:(3 - √3)/√6 = 3√2.(√3 – 1)/6 = √2.(√3 – 1)/2 = (√6 - √2)/2Gabarito: C

53) Racionalizando o denominador, obtemos:(1 + 4√2)/(1 – √2)

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Gabarito: C

54) Racionalizando o denominador da fração, temos:4.(√7 + √3)/(7 – 3) + √3 - √7 = √7 + √3 + √3 - √7 = 2√3Gabarito: C

55) (√(2-√3) ).(√6 - √2).(√3 + 2) = (√(2-√3) ).(3√2 + 2√6 - √6)= (√(2-√3) ).√2.(3 + √3) = (√(4-2√3) ).(3 + √3)

56) Racionalizando o denominador, temos: (1 + √2 - √3)/[(1 + √2)2 – (√3)2] = (1 + √2 - √3)/2√2 = (2 + √2 - √6)/4

57) Racionalizando o denominador, obtemos:(√2 + √3 + √5)/[(√2 + √3)2 – (√5)2] = (√2+ √3 + √5)/2√6 = (2√3 + 3√2 + √30)/12

58) Há um equívoco nesta expressão, pois o resultado da mesma é bem diferente das alternativas. 6/√2 = 6√2/2 = 3√2

59) 2/√2 = 2√2/2 = √2Gabarito: B

60) OBS: Parte da expressão está com valores equivocados, no lugar do número 2, será a variável x.Racionalizando o denominador, temos:[(1 – x).(1 - 4√x)]/(1 - √x); racionalizando novamente, temos:[(1 – x).(1 - 4√x).(1 + √x)/(1 – x) = (1 - 4√x).(1 + √x)Gabarito: B

61) Paulo: 1/2 – (1/3).(3/4) + 8:(-16/7) = 1/2 – 1/4 – 7/2 = -13/4 = -3,25 (acertou)Pedro: (2 + √3)2.(3 - √3)/(3.√3) = (7 + 4√3).(3 - √3)/3√3= (21 – 12 + 5√3)/3√3 = (9 + 5√3)/3√3 = (9√3 + 15)/9 = (3√3 + 5)/3Mariana: [(12.3√10) - (8.2√10)]/(2.10√10) = 20√10/20√10 = 1 (acertou)Gabarito: C

62) De acordo com as informações, temos que:E = (a-1.b4)/(a3.b-1) = a-4.b5 = (10-3)-4.(-10-2)5 = 1012.10-10 = 102 = 100Gabarito: E

63) A - Simplificando a expressão, temos:

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Desafiando:1) Colocando todas as potências com um expoente comum, temos que:P = 360 = (35)12 ; q = 548 = (54)12 ; r = 636 = (63)12 e s = 724 = (72)12

P = (243)12; Q = (625)12;R = (216)12;S = (49)12;Logo: q > p > r > sGabarito: C

2) A = (3/2)3.312 = (35/2)3 = (243/2)3 = (121,5)3

B = (5/3)3.312 = (5.33)3 = (135)3

C = (53)3 = (125)3

D = (112)3 = (121)3

Logo: B > C > A > DGabarito: B

3) 2.550, terá como último algarismo, o número 0Gabarito: E

4) 4) Para n par, temos:K = 1 – (-1) + 1 – 1 = 2;Para n ímpar:K = 1 – (-1) – 1 + 1 = 2Gabarito: C

5) 10√b2 + 10√b5 ) = 10√b2 ).(1 + 10√b3) = 10√b2(1 + b3))Gabarito: C

6) Podemos reescrever a expressão como:[(√a - √b)2]1/2 = √a - √bGabarito: C

7) 2101.597 = 297.597.24 = (2.5)97.24 = 1097.16 (97 + 2 = 99 dígitos)Gabarito: C

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ORIENTADOR METODOLÓGICO: INTRODUZINDO OS CONCEITOS DE POLÍGONOS

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Introduzindo os conceitos de polígonos

Objetivos (títulos de destaque):• Reconhecer o que é um polígono e a noção de convexidade;• Conhecer alguns dos principais polígonos, e seus respectivos nomes;• Aprender relações que determinam quantidade de diagonais e somas de ângulos, inter-

nos e externos;• Saber o que é um polígono regular e algumas propriedades iniciais.

Praticando (títulos de destaque):1) Um decágono é um polígono de 10 lados, logo: d = n.(n – 3)/2, para n = 10, temos:d = 10.(10 – 3)/2 = 10.7/2 = 70/2 = 35

Gabarito: A

2) O número de diagonais que partem de cada vértice de um polígono de n lados é igual a n – 3 diagonais, logo: n – 3 = 8 => n = 11 lados

Gabarito: D

3) Para n = 8, temos: d = 8.(8 – 3)/2 = 4.5 = 20 diagonais

Gabarito: C

4) Si = 180o.(n – 2) => 180o.(n – 2) = 900o => n – 2 = 900o/180o => n – 2 = 5 => n = 7Logo: d = 7.(7 – 3)/2 = 7.4/2 = 7.2 = 14 diagonais

Gabarito: C

5) Sendo x o valor de um ângulo interno de um pentágono e y o valor de um dos ângu-los internos do losango, temos que: 3x + y = 360o, como x = 108o => y = 360o – 3.108o => y = 360o – 324o => y = 36o, com isso, o outro ângulo do losango será igual a: 180o – y = 180o – 36o = 144o

Gabarito: C

6) Sendo o valor de ae = 45o (ângulo externo do polígono), logo: ae = 360o/n => n = 360o/ae => n = 360o/45o => n = 8 lados (octógono).

Gabarito: B

7) d = n.(n – 3)/2 => n.(n – 3)/2 = 20 => n2 – 3n – 40 = 0 => n = 8 ou n = -5 => n = 8, logo:ai = [180o.(n – 2)]/n = [180o.(8 – 2)]/8 = 180o.6/8 = 135o

Gabarito: E

Aprofundando:1) d = 3n => n.(n – 3)/2 = 3n => n2 – 3n = 6n => n2 – 9n = 0 => n.(n – 9) = 0 => n = 0 ou n = 9, logo: n = 9 (eneágono).

Gabarito: C

2) n = d/6 => d = 6n => n.(n – 3)/2 = 6n => n2 – 3n = 12n => n2 – 15n = 0 => n.(n – 15) = 0 => n = 0 ou n = 15 (pentadecágono).

Gabarito: B

3) Si = 180o.(n – 2), para n = 8, Si = 180o.6 = 1080o. Como 6 dos 8 ângulos somados são iguais a 880o, então os outros dois somados serão iguais a 200o, ou seja:X + Y = 200o e X – Y = 20o (de acordo com o enunciado do problema), logo: 2X = 220o => X = 110o, então: Y = 200o – 110o => y = 90o

Gabarito: B

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18ORIENTADOR METODOLÓGICO: INTRODUZINDO OS CONCEITOS DE POLÍGONOS

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4) O aluno acertou na premissa e errou nas conclusões

Gabarito: E

5) D1 = (x – 1).(x – 1 – 3)/2 e D2 = (x + 1).(x + 1 – 3)/2 => D1 + D2 = 55 => (x – 1).(x – 4)/2 + (x + 1).(x – 2)/2 = 55 => x2 – 5x + 4 + x2 – x – 2 = 110 =>2x2 – 6x + 2 = 110 => x2 – 3x – 54 = 0 => x = 9 ou x = -6, logo: x = 9, então:D1 = 8.5/2 = 20 e D2 = 10.7/2 = 35 => D2 – D1 = 35 – 20 = 15

6) Sendo x, o número de lados do menor polígono e y, o número de lados do maior polígono, temos que: x/y = 2/3 => x = (2/3).y e [x.(x – 3)/2] = 1/3.[y.(y - 3)/2] => [(2/3).y.(2/3.(y) – 3)/2] = 1/6.(y.(y – 3)) => 1/9.(2y2 – 9y) = 1/6.(y2 – 3y) =>2.(2y2 – 9y) = 3.(y2 – 3y) => 4y2 – 18y = 3y2 – 9y => y2 – 9y = 0 => y.(y – 9) = 0 =>Y = 0 ou y = 9, logo: y = 9 (eneágono).

Gabarito: A

7) 180o (n – 2) + 180o .(n + 1 – 2) + 180o .(n + 2 – 2) = 1620o => 180o .(n -2 + n -1 + n) = 1620o => 180o .(3n – 3) = 1620o => 3n – 3 = 1620o/180o 3n – 3 = 9 => 3n = 12 => n = 4, logo: n + 1 = 5 e n + 2 = 6.

Gabarito: B

8) Sendo x, o valor de um dos ângulos internos do polígono Q e y, o valor de um dos ângulos internos do polígono P, temos que: y = x + 18, onde: x = 180o.(n – 2)/n e y = 180o.(n + 1 – 2)/(n + 1) = 180o.(n – 1)/(n + 1), logo:180o.(n – 1)/(n + 1) = 180o.(n – 2)/n + 18o => 180o.(n – 1)/(n + 1) = 18o.[10.(n – 2) + n)/n] => 10.(n – 1)/(n + 1) = (11n – 20)/n => (10n – 10).n = (11n – 20).(n + 1) =>10n2 – 10n = 11n2 – 9n – 20 => n2 + n – 20 = 0 => n = - 5 ou n = 4 => n = 4.Logo: n = 4 e n + 1 = 5

Gabarito: A

9) Um hexágono possui: d = 6.(6 – 3)/2 = 6.3/2 = 9 diagonais. Em cada vértice, este polígono possui, 9 diagonais, ou seja, n – 3 = 9 => n = 12 (dodecágono).Logo: ai = 180o.(n – 2)/n = 1800.(12 – 2)/12 = 1800o/12 = 150o

Gabarito: B

10) De acordo com as informações do problema, temos que:ae = 60o => 360o/n = 60o => n = 360o/60o => n = 6 lados (hexágono)

Gabarito: C

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11) 11) Como de cada vértice partem 15 diagonais, então: n – 3 = 15 => n = 18 lados, logo:ae = 360o/n = 360o/18 = 20o

12) De acordo com as informações do problema, formaremos um quadrilátero em que dois de seus ângulos serão iguais ao ângulo interno do polígono e os outros dois serão iguais a metade de cada ângulo interno do polígono, logo:X + X + 2X + 2X = 360o => 6X = 360o => X = 60o, logo: 2X = 120o (ângulo interno do polígono). Com isso, temos que: 180o .(n – 2)/n = 120o => 180n – 360 = 120n =>60n = 360 => n = 360/60 => n = 6 lados

Gabarito: D

13) De acordo com as informações do problema, formaremos um quadrilátero em que dois de seus ângulos serão iguais a metade do ângulo interno do polígono, um será igual a um quarto de seu ângulo interno e o outro, será igual ao ângulo interno do polígono, logo: X + 2X + 2X + 4X = 360 => 9X = 360 => X = 40o => 4X = 4.40o = 160o (ângulo interno do polígono), então: 180.(n – 2)/n = 160 => 180n – 360 = 160n => 20n = 360 => n = 360/20 => n = 18 lados

Gabarito: C

14) De acordo com as informações do problema, a figura formada será um pentágono em que dois dos seus ângulos internos serão iguais a 90o, dois iguais ao ângulo interno do polígono e o outro ângulo igual a 30o, logo:X + X + 90 + 90 + 30 = 540 (soma dos ângulos internos de um pentágono) =>2X = 540 – 210 => 2X = 330 => X = 165o, logo: 180.(n – 2)/n = 165 => 180n – 360 = 165n => 15n = 360 => n = 360/15 => n = lados. Então: d = n.(n – 3)/2 =>d = 24.(24 – 3)/2 = 12.21 = 252 diagonais.

Gabarito: D

15) De acordo com as informações do problema, a figura formada será um pentágono em que dois dos seus ângulos internos serão iguais a 90o, dois iguais ao ângulo interno do polígono e o outro ângulo igual a um quarto do ângulo interno do polígono, logo: X + 4X + 4X + 90 + 90 = 540 => 9X = 540 – 180 => 9X = 360o => X = 360/9 => X = 40o => 4X = 160o (ângulo interno), então: 180.(n – 2)/n = 160 => 180n – 360 = 160n => 20n = 360 => n = 18 lados, logo: d = 18.(18 – 3)/2 = 9.15 = 135 diagonais.

Gabarito: E

16) De acordo com as informações do problema, iremos forma um quadrilátero em que um dos ângulos internos será igual ao ângulo interno do pentágono (108o), dois dos ângulos internos será igual a 720 e o outro seria o ângulo formado por essas duas diagonais, logo:X + 72 + 72 + 108 = 360 (soma doa ângulos internos de um quadrilátero) =>X = 360 – 252 => X = 108o.

Gabarito: C

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17) Para n = 13, temos que: d = 13.(13 – 3)/2 = 13.10/2 = 13.5 = 65 diagonais.

Gabarito: C

18) 180.(n – 2) = 4.360 => 180n – 360 = 1440 => 180n = 1800 => n = 10 lados (decágono).

19) 180.(n – 3 – 2) + 180.(n – 2) + 180.(n + 3 – 2) = 3240 => 180n – 900 + 180n – 360 + 180n + 180 = 3240 => 540n – 1080 = 3240 => 540n = 4320 => n = 4320/540 => n = 8, então:N – 3 = 5; N = 8 e N + 3 = 11.

20) D = 4n => n.(n – 3)/2 = 4n => n2 – 3n = 8n => n2 – 11n = 0 => n.(n – 11) = 0 => n = 0 ou n = 11, logo: n = 11 lados.

21) Como se trata de um pentágono, temos que:2x – 20 + x + 25 + x + 2/3x + x + 15 = 540 => 6x – 60 + 3x + 75 + 3x + 2x + 3x + 45 = 1620 => 17x + 60 = 1620 => 17x = 1560 => x = 1560/17.

22) N = 360/20 = 18 lados, logo: d = 18.(18 – 3)/2 = 9.15 = 135 diagonais.

Gabarito: D

23) 23) (V)(F)(V)(F)(V)

24) 3x – 45 + 2x + 10 + 2x + 15 + x + 20 = 360 => 8x = 360 => x = 360/8 => x = 45, logo:3x – 45 = 90; 2x + 10 = 100; 2x + 15 = 105; x + 20 = 65.

Gabarito: B

25) ae = 360o/7 ≅ 51,4o.

Gabarito: E

26) Sendo x, um dos seus ângulos externos, temos que: x + 3x = 180 => 4x = 180 => x = 45o, logo: 360/45 = n => n = 360/45 => n = 8 (octógono).

Gabarito: C

27) n.(n-3)/2 + (n+5).(n+5-3)/2 = 68 => n.(n-3) + (n+5).(n+2) = 136 => 2n2 + 4n + 10 = 136 => n2 + 2n - 63 = 0 => n = -9 ou n = 7 => n = 7, logo: n+5 = 12. Então, temos: Heptágono e Dodecágono.

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28) De acordo com a figura, se ligarmos os vértices A, B, C, D e E, construímos um pentagrama, sendo os segmentos apresentados, as diagonais deste pentágono, então, temos que: A + B + C + D + E = 180o.

Gabarito: B

29) Conseguimos identificar polígonos com 5 lados e 6 lados, ou seja, pentágono e hexágonos.

Gabarito: D

30) D = 8.(8-3)/2 = 8.5/2 = 40/2 = 20 diagonais => 20/5 = 4 (número de lados do polígono que queremos encontrar), logo: quadrilátero.

Gabarito: B

31) De acordo com a tabela, temos que: x + 20 + 110 = 180 => x = 50o; z + 40 + 75 = 180 => z = 65o; y + 60 + 60 = 180 => y = 60, logo: x+y+z = 50 + 65 + 60 = 175o.

Gabarito: C

32) x + 3.108 = 360 => x = 360 – 324 => x = 36o

Gabarito: D

33) De acordo com a figura, podemos considera – la como sendo a junção de três hexágo-nos com um vértice em comum, que seria o centro da figura. E neste caso, o ângulo central seria igual a 360/3 = 120o.

Gabarito: D

34) n.(n-3)/2 : n = (n – 3)/2 = K (número inteiro) => n – 3 = 2k (número par) => n = 2k + 3 = 2k + 2 + 1 = 2(k+1) + 1 (número ímpar).

Gabarito: B

Desafiando (títulos de destaque):1) De acordo com a figura, temos que: 2β + 90 = 360 => β = 270/ = 135o e 4α = 180 => α = 45o, logo: α + β = 45 + 135 = 180o.

2) DE acordo com a construção da figura, teremos dois ângulos de 72o e um ângulo de 36o.

Gabarito: C

3) Neste caso, teríamos: 135 + 135 + x = 360 => x = 360 – 270 = 90o, logo, seria um quadrado.

Gabarito: B

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APRENDENDO UM POUCO MAIS SOBRE TRIÂNGULOS

3


Aprendendo um pouco mais sobre triângulos

Objetivos:• Saberoqueéumtriângulo,suacondiçãodeexistênciaeco-nhecersuaspossíveis

classificações,quantoaosladoseaosângulos;• Verificarasprincipaisrelaçõesangularesdeumtriângulo;• Apresentarascevianasesuaspropriedades;• Identificarosprincipaiscasosdecongruênciaentretriângulos.

Praticando:1)B

2)D

3)E

4)B

5)A

6)D

7)10cm

8)a)x=50o;y=80o

b)x=40o;y=40o

9)a)3b)12

10)D

11)36o

12)15cm

13)x=5o

14)E

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19APRENDENDO UM POUCO MAIS SOBRE TRIÂNGULOS

4

15)a)Vb)Vc)Fd)F

16)A

17)C

18)x-y=2

19)a)8cmb)10cm

20)x=3cm

21)Demonstração.

Aprofundando:1)C

2)E

3)A

4)D

5)C

6)75o

7)10o

8)16o

9)E

10)B

11)40o

12)E

13)C

14)C

15)A

16)C

17)A

18)D

19)Demonstração.

20)Demonstração.

21)180o

Desafiando:1)A

2)B

3)D

4)DemonstraçãoSugestão:traceosegmentoA---------------CeapliqueaLeideTalesnostriângulosABCeADC5)70o

6)Demonstração

7)Demonstração.

8)50o,60o,70o

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OBSERVANDO OS CONCEITOS E AS PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS

5


Observando os conceitos e as propriedades dos quadriláteros

Objetivos:• Reconhecerecompararosdiversostiposdequadriláterosesuasclassificações;• Estabelecerrelaçõesentremedidasdecomprimentoeângulosdosquadriláteros.

Praticando:1)74+X=180=>X=180–74=>X=106O

Gabarito:B

2)Comootrapézioéisóscelesteremosparesdeânguloscongruentes,logo:2x+2y=360,esendoumdelesmetadedasomadosoutros3,temosque:X=(x+2y)/2=>2x=x+2y=>x=2y,ouseja,omaiorânguloéodobrodomenor,logo:4y+2y=360=>y=360/6=>y=60O,então:x=120O.

Gabarito:B

3)Essasbissetrizesformamumtriângulocomângulosiguaisa103,45ex(ânguloqueque-remosdescobrir),logo:x+103+45=180=>x=180–148=32O,então,umdosângulosseráiguala2x=64Oeooutro,seráiguala180–64=116O.

Gabarito:A

4)Estesegmentoseráigualasemidiferençadasbasesdotrapézioeéconhecidocomome-dianadeEuler.

Gabarito:E

5)M=(2+6)/2=4cm

6)Deacordocomafigura,temosque:y=(16+10)/2=13cm16=(z+y)/2=>32=z+y=>z=32–y=32–13=19cm.10=(x+y)/2=>20=x+y=>x=20–y=20–13=7cm.

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20OBSERVANDO OS CONCEITOS E AS PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS

6

7)SendoB=12cmeb–(B–b)/2=3=>(2b–B+b)=6=>(3b–12)=6=>3b=18=>b=6cm,logo:(B+b)/2=(12+6)/2=18/2=9cm.

Gabarito:C

8)Sendoxoânguloagudoey,oânguloobtuso,temosque:x=2/3yex+y=180=>2y/3+y=180=>5y=540=>y=540/5=108O,logo:x=72O.

Gabarito:C

9)x/3+x=180=>4x/3=180=>4x=540=>x=540/4=>x=135oex/3=45O.

Gabarito:A

10)x/3+25=x/2+5=>x/2–x/3=20=>x/6=20=>x=120O.OBS: Não há alternativa com essa resposta. Poderia colocar, x/2 + 15. Neste caso, a resposta seria A.

11)(V)(F)(F)(V)(F)(F)

12)Somenteaafirmação:“umlosangopodenãoserumparalelogramo”,seráfalsa.

Gabarito:E

13)I)(V)II)(F)III)(V)IV)(F)V)(V)

Gabarito:D

14)Comotodoquadradoéumretânguloeumlosango,então,omelhordiagramaseráodaletrab.

Gabarito:B

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20

OBSERVANDO OS CONCEITOS E AS PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS

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15)Asdiagonaisiramformarumtriânguloisóscelescomângulosdabaseiguaisa36O,logo:36+36+x=180=>x=180–72=108O.

Gabarito:A

1)Osânguloscolateraisaosladosnãoparalelossãosuplementares,logo:x+110=180=>x=70ey=50=180=>y=130.Gabarito:C

2)112+x+x=180=>2x=180–112=68o(menorângulo),logo:Y+68=180=>Y=180–68=112o(maiorângulo).Gabarito:E

3)Nestecaso,omenorânguloserá38+35=73o,logo,omaiorânguloserá:180–73=107o.Gabarito:D

4)X+Y=180eX–Y=18=>2X=198=>X=99o,logo:Y=81o.Asbissetrizesirãoformarumtriângulodeângulosiguaisa45o,99o/2eZ(ânguloentreasbissetrizes),logo:z+45o+99o/2=180o=>2z+90+99=360=>2z=360–189=171=>z=171/2=85o30’.

5)Nestecasoiremosformarumtriânguloretânguloemqueahipotenusaseráadiagonal,umdoscatetosseráaalturaeooutrocateto,serápartedabasemaiordotrapézio,logo:umdoscatetosserá:B–(B–b)/2=(2B–B+b)/2=(B+b)/2ecomoaalturatambémseráigualabasemédiadotrapézio,então:tgx=1=>x=45o.

x(B+b)/2

(B+b)/2

6)Deacordocomasinformaçõesdoproblema,temosque:2x+x+2x=(B+b)/2=>5x=(B+b)/2=>x=(B+b)/10ecomoxéamedianadeEuler,então:(B–b)/2=(B+b)/10=>(B–b)=(B+b)/5=>5B–5b=B+b=>4B=6b=>2B=3b=>b/B=2/3.Gabarito:C

7)(B+b)/2=4.(B–b)/2=>(B+b)=4B–4b=>3B=5b=>B/b=5/3.Gabarito:E

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20OBSERVANDO OS CONCEITOS E AS PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS

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8)X–Y=1/10(2x+2y)=>10x–10y=2x+2y=>8x=12y=>2x=3y2x+2y=360=>3y+2y=360=>y=360/5=>y=72o.Gabarito:D

9)A)(V)B)(F)C)(F)D)(V)E)(F)F)(F)

10)Podemosutilizaro losango,queéumquadriláteroquepossuios ladoscongruentes,porémseusângulosinternosnãosãotodoscongruentes.Gabarito:C

11)Deacordocomnossosconhecimentossobrequadriláteros,aúnicaincorretaserialetraE.Gabarito:E

Desafiando:1)Sendoovalordomenorângulo:x+3x=180=>4x=180=>x=45oeB=b+10.Então,deacordocomafigura,temosque:

455 b s

b

H=5cm.

2)Pelaconstruçãodafigura,aalturaseráigualabasemédia.Gabarito:A

3)Pelaconstruçãodafigura,teremos,aprincípio,um“quadrilátero”deângulos internos:15o,150o,15oex(ânguloquequeremosdescobir),logo:15+15+150+x=360=>x=360–180=180o.Gabarito:D

4)OtriânguloformadoDQRseráisóscelescomosângulosdabasemedindo45o/cadaum.Comisso,omaiorângulodestetriânguloserá:45/2+45/2+x=180=>x=180–45=135o.Gabarito:D

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MATEMÁTICA – 9o ANO PROFESSOR – VOLUME I · MATEMÁTICA – 9o ANO PROFESSOR – VOLUME I. Direção Executiva: Fabio Benites ... EF2MAT908: Potenciação e radiciação •