Matemática A Exame Nacional 1ª fase 2010

Prova Escrita de Matemática A

12.º Ano de Escolaridade

Prova 635/1.ª Fase 13 Páginas

Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

2010

VERSÃO 1

Na folha de respostas, indique, de forma legível, a versão da prova.

A ausência dessa indicação implica a classificação com zero pontos das respostas aos itens do

Grupo I.

Prova 635.V1 • Página 1/ 13

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, excepto nas respostas que impliquem

a elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que podem ser, primeiramente,

elaborados a lápis, sendo, a seguir, passados a tinta.

Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica, sempre que for necessário.

Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo que

pretende que não seja classificado.

Escreva, de forma legível, a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respectivas respostas. As

respostas ilegíveis ou que não possam ser identificadas são classificadas com zero pontos.

Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item,

apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.


Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas:

• o número do item;

• a letra que identifica a única opção correcta.

Não apresente cálculos, nem justificações.

A prova inclui, na página 4, um Formulário.

As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.



Comprimento de um arco de circunferência

α r (α – amplitude, em radianos, do ângulo aocentro; r – raio)

Áreas de figuras planas

Losango:

Trapézio: × Altura

Polígono regular: Semiperímetro × Apótema

Sector circular: (α – amplitude, em radianos,do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone: π r g(r – raio da base; g – geratriz)

Área de uma superfície esférica: 4 π r2

(r – raio)

Volumes

Pirâmide: × Área da base × Altura

Cone: × Área da base × Altura

Esfera: π r3

(r – raio)

Trigonometria

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

tg (a + b) =

Complexos

(ρ cis θ )n = ρ n cis (nθ )

Probabilidades

Regras de derivação

Limites notáveis

0

0

0

lim

senlim

lim

ln( )lim

ln0lim

( )lim

x

x

x

x

x

n

x

x

p

en

x

x

e

x

x

x

x

x

ep

x

11

1

11

11

→

→

→

→+∞

→+∞

+ =

=

−=

+=

=

= + ∞ ∈

2

1

2

( )

( )

( ) ( )

(sen ) cos

(cos ) sen

(tg )cos

( )

( ) ln ( \ )

(ln )

(log ) ( \ )ln

n n

u u

u u

a

u v u v

u v u v u v

u v u vuv vu n u u n

u u u

u u u

uu

ue u e

a u a a a

uu

uu

u au a

−

+

+

′ ′ ′+ = +

′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅

′ ′⋅ − ⋅′ =

′ ′= ⋅ ⋅ ∈

′ ′= ⋅

′ ′=− ⋅

′′ =

′ ′= ⋅

′ ′= ⋅ ⋅ ∈ 1

′′ =

′′ = ∈ 1

⋅

1

...

( ) ... ( )

( , ), :

( ) ,

( ) ,

( ) , 3

n n

n n

p x p x

p x p x

X N

P X

P X

P X

1 1

2 21

= + +

= − + + −

− < < + ≈0 6827

−2 < < + 2 ≈0 9545

−3 < < + 3 ≈0 997

Se é então

µ

σ µ µ

µ σ

µ σ µ σ

µ σ µ σ

µ σ µ σ

+ 2cis cis , 0,...,

θ πρ θ ρ= ∈ −1nn k k n

n

tg a + tg b—————–1 – tg a . tg b

4—3

1—3

1—3

α r2

——2

Base maior + Base menor———————————

2

Diagonal maior × Diagonal menor———————————————

2

Formulário


GRUPO I

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleccione a única opção correcta.

Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção seleccionada.

Não apresente cálculos, nem justificações.

1. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e Bdois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω ).

Sabe-se que:

• P (A) = 30% ;

• P (A ∪ B) = 70% ;

• A e B são incompatíveis.

Qual é o valor de P (B )?

(A) 21% (B) 40% (C) 60% (D) 61%

2. Num grupo de dez trabalhadores de uma fábrica, vão ser escolhidos três, ao acaso, para frequentarem

uma acção de formação. Nesse grupo de dez trabalhadores, há três amigos, o João, o António e o

Manuel, que gostariam de frequentar essa acção.

Qual é a probabilidade de serem escolhidos, exactamente, os três amigos?

(A) (B) (C) (D)

3. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte.

Qual das igualdades seguintes é verdadeira, considerando os valores da tabela?

(A) P (X = 0) = P (X > 1)

(B) P (X = 0) = P (X = 2)

(C) P (X = 0) = P (X = 3)

(D) P (X < 2) = P (X = 3)

3—–10C3

1—–10C3

3—–10A3

1—–10A3

xi 0 1 2 3

P (X = xi )1

—5

1—2 2a a

4. Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. xOy , parte do gráfico de uma função afim f , de

domínio R

Figura 1

Seja h a função definida por

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h″, segunda derivada

de h ?

O x

y

–1O x

y

1

(D)(C)

O x

y

O x

y

(B)(A)

( ) ( ) xh x f x e= +

O x

y

f


5. Na Figura 2, está representada, num referencial o.n. xOy , parte do gráfico de uma função f , contínua,

de domínio

Tal como a Figura 2 sugere, a recta de equação x = 1 é assimptota do gráfico de f

Figura 2

Qual é o valor de ?

(A) –∞ (B) 3 (C) 0 (D) +∞

6. Seja g a função, de domínio , definida por

Considere, num referencial o.n. xOy , um triângulo [OAB ] tal que:

• O é a origem do referencial;

• A é um ponto de ordenada 5;

• B é o ponto de intersecção do gráfico da função g com o eixo das abcissas.

Qual é a área do triângulo [OAB ]?

(A) (B) (C) (D)ln2—2

5 ln2——

21

—2

5—2

( ) ln( )g x x= + 2] , [− 2 +∞

lim( )x

xf x−→1

3

1 x

y

O

] , [− ∞ 1


7. Em C, conjunto dos números complexos, considere

Para qual dos valores seguintes de θ podemos afirmar que z é um número imaginário puro?

(A) (B) (C) (D)

8. Na Figura 3, está representada, no plano complexo, a sombreado, parte do semiplano definido pela

condição Re(z ) > 3

Figura 3

Qual dos números complexos seguintes tem a sua imagem geométrica na região representada a

sombreado?

(A)

(B)

(C)

(D) cisπ 3 3 2

cisπ 3 2

cisπ 3 3 6

cisπ 3 6

O 3

Im( )z

Re( )z

π58

π8

π2

π−

2

cis ,z = 3 − ∈ 8

com πθ θ


GRUPO II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as

justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.

1. Em C, conjunto dos números complexos, considere e

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

1.1. Determine o número complexo

(i designa a unidade imaginária, e designa o conjugado de z2 )

Apresente o resultado na forma trigonométrica.

1.2. Mostre que

2. Dos alunos de uma escola, sabe-se que:

• a quinta parte dos alunos tem computador portátil;

• metade dos alunos não sabe o nome do director;

• a terça parte dos alunos que não sabe o nome do director tem computador portátil.

2.1. Determine a probabilidade de um aluno dessa escola, escolhido ao acaso, não ter computador

portátil e saber o nome do director.

Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

2.2. Admita que essa escola tem 150 alunos. Pretende-se formar uma comissão de seis alunos para

organizar a viagem de finalistas.

Determine de quantas maneiras diferentes se pode formar uma comissão com, exactamente, quatro

dos alunos que têm computador portátil.

cos senz zπ π2

1 2

+ = 6 + 4 + 2 7 7

z2

( )i zw

z

71

2

3 − ×=

z i2 = 2 +ciszπ

1

= 7


3. Considere o problema seguinte:

«Num saco, estão dezoito bolas, de duas cores diferentes, de igual tamanho e textura, indistinguíveis ao

tacto. Das dezoito bolas do saco, doze bolas são azuis, e seis bolas são vermelhas.

Se tirarmos duas bolas do saco, simultaneamente, ao acaso, qual é a probabilidade de elas formarem um

par da mesma cor?»

Uma resposta correcta para este problema é

Numa composição, explique porquê.

A sua composição deve incluir:

• uma referência à regra de Laplace;

• uma explicação do número de casos possíveis;

• uma explicação do número de casos favoráveis.

4. Na Internet, no dia 14 de Outubro de 2009, pelas 14 horas, colocaram-se à venda todos os bilhetes de

um espectáculo. O último bilhete foi vendido cinco horas após o início da venda.

Admita que, t horas após o início da venda, o número de bilhetes vendidos, em centenas, é dado,

aproximadamente, por


4.1. Mostre que , para qualquer

4.2. Determine quanto tempo foi necessário para vender 2400 bilhetes.

Apresente o resultado em horas e minutos.

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos,

use três casas decimais, apresentando os minutos arredondados às unidades.

,t ∈ 0 5 ( ) log ( )N t t4= 16 3 + 1

( ) log ( ) log ( ), ,N t t t t34 4

= 8 3 + 1 − 8 3 + 1 ∈ 0 5

12×11 + 6×518×17


5. Considere uma função f , de domínio ]0, 3[ , cuja derivada f ′, de domínio ]0, 3[ , é definida por

Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo às

capacidades gráficas da sua calculadora.

Na sua resposta, deve:

• reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na

calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

• indicar os intervalos de monotonia da função f ;

• assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento às centésimas.

6. Considere a função f , de domínio , definida por


6.1. Prove que a recta de equação , com , é uma assimptota oblíqua do gráfico de f

6.2. Determine o valor de b , de modo que f seja contínua em x = 0

a ≠ 0y ax b= +

( ) ,

sen( )

xax b e x

f x a b

x xx

x

+ + ≤ 0= ∈ − 2 0 < ≤ 2

se

com

se

π

] , ]π− ∞ 2

( ) xf x ex1′ = −


7. Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n. xOy , uma circunferência e o triângulo [OAB ].

Sabe-se que:

• a circunferência tem diâmetro [OA];

• o ponto A tem coordenadas (2, 0);

• o vértice O do triângulo [OAB ] coincide com a origem do referencial;

• o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior.

Figura 4

Para cada posição do ponto B, seja α a amplitude do ângulo AOB, com


7.1. Mostre que o perímetro do triângulo [OAB ] é dado, em função de α , por

7.2. Determine o valor de α para o qual o perímetro do triângulo [OAB ] é máximo.

FIM

( ) ( cos sen )f = 2 1 + +α α α

,π

α ∈ 0 2

O A

B

1

y

α

x


COTAÇÕES

GRUPO I

........................................................................ (8 × 5 pontos) .................................................... 40 pontos

GRUPO II

1.

1.1. ....................................................................................................................... 15 pontos

1.2. ....................................................................................................................... 15 pontos

2.

2.1. ....................................................................................................................... 15 pontos

2.2. ....................................................................................................................... 10 pontos

3. ............................................................................................................................... 15 pontos

4.

4.1. ....................................................................................................................... 10 pontos

4.2. ....................................................................................................................... 15 pontos

5. ............................................................................................................................... 15 pontos

6.

6.1. ....................................................................................................................... 15 pontos

6.2. ....................................................................................................................... 10 pontos

7.

7.1. ....................................................................................................................... 10 pontos

7.2. ....................................................................................................................... 15 pontos——————————————

160 pontos

______________

TOTAL ............................................................. 200 pontos


Prova Escrita de Matemática A

12.º Ano de Escolaridade

Prova 635/1.ª Fase 11 Páginas

Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

2010COTAÇÕES

GRUPO I

.................................................................... (8 × 5 pontos) .................................... 40 pontos

GRUPO II

1. 1.1. ................................................................................................... 15 pontos1.2. ................................................................................................... 15 pontos

2.2.1. ................................................................................................... 15 pontos2.2. ................................................................................................... 10 pontos

3. ............................................................................................................ 15 pontos

4.4.1. ................................................................................................... 10 pontos4.2. ................................................................................................... 15 pontos

5. ............................................................................................................ 15 pontos

6.6.1. ................................................................................................... 15 pontos6.2. ................................................................................................... 10 pontos

7.7.1. ................................................................................................... 10 pontos7.2. ................................................................................................... 15 pontos

160 pontos_____________

TOTAL............................................... 200 pontos

Prova 635 • Página C/1/ 11

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março

CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO

A classificação a atribuir a cada resposta resulta da aplicação dos critérios gerais e dos critérios específicosde classificação apresentados para cada item e é expressa por um número inteiro, previsto na grelha declassificação.

As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos.No entanto, em caso de omissão ou de engano na identificação de uma resposta, esta pode ser classificadase for possível identificar, inequivocamente, o item a que diz respeito.

Se o examinando responder a um mesmo item mais do que uma vez, não eliminando, inequivocamente, a(s)resposta(s) que não deseja que seja(m) classificada(s), deve ser considerada apenas a resposta que surgirem primeiro lugar.

A ausência de indicação inequívoca da versão da prova (Versão 1 ou Versão 2) implica a classificação comzero pontos das respostas aos itens de escolha múltipla.

Nos itens de escolha múltipla, a cotação total do item é atribuída às respostas que apresentem, de formainequívoca, a única opção correcta.

São classificadas com zero pontos as respostas em que é assinalada:

– uma opção incorrecta;

– mais do que uma opção.

Não há lugar a classificações intermédias.

Os critérios de classificação dos itens de resposta aberta apresentam-se organizados por etapas e/ou porníveis de desempenho. A cada nível de desempenho e a cada etapa corresponde uma dada pontuação. Nocaso de, ponderados todos os dados contidos nos descritores, permanecerem dúvidas quanto ao nível aatribuir, deve optar-se pelo nível mais elevado de entre os dois tidos em consideração.

Nos itens de resposta aberta, com cotação igual ou superior a quinze pontos e que impliquem a produção deum texto, a classificação a atribuir traduz a avaliação simultânea das competências específicas da disciplinae das competências de comunicação escrita em língua portuguesa. A avaliação das competências decomunicação escrita em língua portuguesa contribui para valorizar a classificação atribuída ao desempenhono domínio das competências específicas da disciplina. Esta valorização é cerca de 10% da cotação do iteme faz-se de acordo com os níveis de desempenho descritos no quadro seguinte.

No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio específico da disciplina, aclassificação a atribuir é de zero pontos. Neste caso, não é classificado o domínio da comunicação escritaem língua portuguesa.

Níveis Descritores

3

Composição bem estruturada, sem erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, ou

com erros esporádicos, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de

sentido.

2Composição razoavelmente estruturada, com alguns erros de sintaxe, de pontuação e/ou de

ortografia, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.

1Composição sem estruturação aparente, com erros graves de sintaxe, de pontuação e/ou de

ortografia, cuja gravidade implique perda frequente de inteligibilidade e/ou de sentido.

A classificação da prova deve respeitar integralmente

os critérios gerais e os critérios específicos a seguir apresentados.


Havendo escolas em que os alunos já contactam com as novas regras ortográficas, uma vez que o AcordoOrtográfico de 1990 já foi ratificado e dado que qualquer cidadão, nesta fase de transição, pode optar pelaortografia prevista quer no Acordo de 1945, quer no de 1990, são consideradas correctas, na classificaçãodas provas de exame nacional, as grafias que seguirem o que se encontra previsto em qualquer um destesnormativos.

As respostas aos itens de resposta aberta que apresentem pontos de vista diferentes dos mencionados noscritérios específicos de classificação devem ser classificadas, se o seu conteúdo for consideradocientificamente válido e estiver adequado ao solicitado. Nestes casos, os elementos cientificamente válidosdevem ser classificados, seguindo procedimentos análogos aos previstos nos descritores apresentados.

No quadro seguinte, apresentam-se os critérios de classificação a aplicar em situações não descritasanteriormente.

* Em situações em que o critério é aplicável tanto a etapas como a passos, utiliza-se apenas o termo «etapas», por razões desimplificação da apresentação.

Situação Classificação

1. Classificação de um item cujo critério se apresentaorganizado por etapas.

A cotação indicada para cada etapa é a pontuação máximaque lhe é atribuível.

A classificação da resposta resulta da soma das pontuaçõesdas diferentes etapas, à qual se subtrai ou subtraem,eventualmente, um ou dois pontos, de acordo com oprevisto nas situações 14 e/ou 19.

2. Pontuação de uma etapa dividida em passos. A cotação indicada para cada passo é a pontuação máximaque lhe é atribuível.

A classificação da etapa resulta da soma das pontuaçõesdos diferentes passos.

3. Classificação de um item ou pontuação de uma etapacujo critério se apresenta organizado por níveis dedesempenho.

A resposta é enquadrada numa das descriçõesapresentadas. À classificação/pontuação correspondentesubtraem-se, eventualmente, um, dois ou três pontos, deacordo com o previsto nas situações 9, 10 e/ou 19.

4. Utilização de processos de resolução que não estãoprevistos no critério específico de classificação.

É aceite e classificado qualquer processo de resoluçãocientificamente correcto.O critério específico deve ser adaptado ao processo deresolução apresentado, mediante a distribuição da cotaçãodo item pelas etapas* percorridas pelo examinando. Estaadaptação do critério deve ser utilizada em todos osprocessos de resolução análogos.

5. Apresentação apenas do resultado final, embora aresolução do item exija cálculos e/ou justificações.

A resposta é classificada com zero pontos.

6. Utilização de processos de resolução que não respeitamas instruções dadas [exemplo: «usando métodosanalíticos»].

A etapa em que a instrução não é respeitada é pontuadacom zero pontos, bem como todas as etapas subsequentesque dela dependam, salvo se houver indicação emcontrário no critério específico de classificação.

7. Ausência de apresentação dos cálculos e/ou dasjustificações necessárias à resolução de uma etapa*.

A etapa é pontuada com zero pontos, bem como todas asetapas subsequentes que dela dependam, salvo se houverindicação em contrário no critério específico declassificação.

8. Ausência de apresentação explícita de uma dada etapa. Se a resolução apresentada permitir perceber, inequi-vocamente, que a etapa foi percorrida, a mesma épontuada com a cotação total para ela prevista.

9. Transposição incorrecta de dados do enunciado. Se o grau de dificuldade da resolução não diminuir, ésubtraído um ponto à pontuação da etapa. Se o grau dedificuldade da resolução da etapa diminuir, a pontuaçãomáxima a atribuir a essa etapa deve ser a parte inteira demetade da cotação prevista.


Situação Classificação

10. Ocorrência de um erro ocasional num cálculo. É subtraído um ponto à pontuação da etapa em que o erroocorre.

11. Ocorrência de um erro que revela desconhecimento deconceitos, de regras ou de propriedades.

A pontuação máxima a atribuir a essa etapa deve ser aparte inteira de metade da cotação prevista.

12. Ocorrência de um erro na resolução de uma etapa. A etapa é pontuada de acordo com o erro cometido.

As etapas subsequentes são pontuadas de acordo com osefeitos do erro cometido:

– se o grau de dificuldade das etapas subsequentes nãodiminuir, estas são pontuadas de acordo com os critériosespecíficos de classificação;

– se o grau de dificuldade das etapas subsequentesdiminuir, a pontuação máxima a atribuir a cada umadelas deve ser a parte inteira de metade da cotaçãoprevista.

13. Resolução incompleta de uma etapa. Se, à resolução da etapa, faltar apenas o passo final, ésubtraído um ponto à pontuação da etapa; caso contrário,a pontuação máxima a atribuir deve ser a parte inteira demetade da cotação prevista.

14. Apresentação de cálculos intermédios com um númerode casas decimais diferente do solicitado e/ouapresentação de um arredondamento incorrecto.

É subtraído um ponto à classificação total da resposta,salvo se houver indicação em contrário no critérioespecífico de classificação.

15. Apresentação do resultado final que não respeita aforma solicitada [exemplos: é pedido o resultado naforma de fracção, e a resposta apresenta-se na formade dízima; é pedido o resultado em centímetros, e aresposta apresenta-se em metros].

É subtraído um ponto à pontuação da etapa corres-pondente à apresentação do resultado final.

16. Omissão da unidade de medida na apresentação doresultado final [exemplo: «15» em vez de «15 metros»].

A etapa relativa à apresentação do resultado final épontuada com a cotação total para ela prevista.

17. Apresentação do resultado final com aproximação,quando deveria ter sido apresentado o valor exacto.

É subtraído um ponto à pontuação da etapa corres-pondente à apresentação do resultado final.

18. Apresentação do resultado final com um número decasas decimais diferente do solicitado, e/ouapresentação do resultado final incorrectamentearredondado.

É subtraído um ponto à pontuação da etapa corres-pondente à apresentação do resultado final, salvo sehouver indicação em contrário no critério específico declassificação.

19. Utilização de simbologias ou de expressõesinequivocamente incorrectas do ponto de vista formal.

É subtraído um ponto à classificação total da resposta,excepto:

– se as incorrecções ocorrerem apenas em etapas jápontuadas com zero pontos;

– nos casos de uso do símbolo de igualdade onde, emrigor, deveria ter sido usado o símbolo de igualdadeaproximada.


CRITÉRIOS ESPECÍFICOS DE CLASSIFICAÇÃO

GRUPO I

1. a 8. ............................................................... (8 × 5 pontos) ..................................................... 40 pontos

As respostas correctas são as seguintes.

GRUPO II

É de aceitar qualquer processo de resolução cientificamente correcto, ainda que não esteja previsto nestescritérios específicos, nem no Programa (ver n.º 4 dos critérios gerais).

1.1. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Escrever o numerador da fracção na forma algébrica ...................................... 4 pontos

Escrever ....................................................... 2 pontos

Escrever cisπ = –1........................................................ 1 pontos

Obter 3 + i ..................................................................... 1 pontos

Escrever ...................................................................................... 2 pontos

Calcular na forma algébrica..................................................................... 4 pontos

Multiplicar ambos os termos da fracção por 2 + i ............... 1 pontos

Obter 1 + i ................................................................................. 3 pontos

Calcular 1 + i na forma trigonométrica ......................................................... 4 pontos

Escrever ........................................................ 2 pontos

Indicar (ou equivalente) ................................. 2 pontos

Escrever o resultado na forma pedida ................................ 1 pontosciswπ = 2 4

argwπ

=4

w = 2

ii

3 +2 −

–z i2 = 2

cis cisπ

π7 = 7

Itens 1 2 3 4 5 6 7 8

Versão 1 B C B A C A D B

Versão 2 C B C D B D A C


1.2. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Escrever .............................................................. 1 pontos

Escrever ...................................................... 2 pontos

Determinar ...................................................................................... 5 pontos

Escrever .......... 2 pontos

Obter (ver nota) 3 pontos

Obter .................................................................... 2 pontos

Obter ..................................................................... 2 pontos

Utilizar a Fórmula Fundamental da Trigonometria ... 1 pontos

Concluir que ................................. 2 pontos

Nota – Caso o examinando escreva apenas , esta etapa deveser pontuada com 2 pontos.

2.1. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, quatro processos:

No que se segue, vamos designar por A o acontecimento «o aluno tem computador

portátil» e por B o acontecimento «o aluno sabe o nome do director». Podem ser admitidas

outras designações para os acontecimentos.

1.º Processo:

Escrever ......................................................................................... 1 pontos

Escrever ............................................................. 1 pontos

Escrever .................................................................................. 1 pontos

Calcular ................................................................................. 4 pontos

Calcular ........................................... 4 pontos

Calcular o valor pedido ....................................................... 4 pontos( )P A B7

∩ =15

1 1( ) ( )

30 3P A B P A B

∩ = ∩ = ou

( )P A B1

∩ =6

( | )P A B1

=3

( ) ( )P B P B1 1

= =2 2

ou

( )P A1

=5

( ) ( )z z z z z z2

1 2 1 2 1 2+ = + × +

cos senz z2

1 2

+ = 6 + 4 + 2 7 7π π

sen cosπ π2 2

+ = 1 7 7

sen senπ π2

+ 2 + 1 7 7

cos cosπ π2

+ 4 + 4 7 7

cos senz zπ π

2 22

1 2

+ = + 2 + + 1 7 7

cos senz z iπ π

1 2

+ = + 2 + + 1 7 7

z z2

1 2+

cis cos seniπ π π = + 7 7 7

cisz z iπ

1 2

+ = + 2 + 7


2.º Processo:

Escrever ........................................................................................ 1 pontos

Escrever ............................................................. 1 pontos

Escrever .................................................................................. 1 pontos

Calcular .............................................................................. 4 pontos

Calcular ................................................................................ 2 pontos

Calcular ................................................................................ 2 pontos

Calcular o valor pedido ........................................................ 4 pontos

3.º Processo:

Escrever .................................................... 6 pontos

Escrever ............................................................. 1 pontos

Calcular ............................................................................... 4 pontos

Calcular o valor pedido ........................................................ 4 pontos

4.º Processo:

Seja N o número de alunos da escola.

Referir que o número de alunos que têm computador portátil é ............... 1 pontos

Referir que o número de alunos que não têm computador portátil é ...... 1 pontos

Referir que o número de alunos que não sabem o nome do director é .......... 1 pontos

Referir que é o número de alunos que não sabem o nome

do director e têm computador portátil ................................................................. 4 pontos

Referir que há alunos que não têm computador portátil e não

sabem o nome do director ....................................................................................... 4 pontos

–N N N

=2 6 3

N N1× =

3 2 6

N

2

N45

N

5

( )P A B7

∩ =15

( )P A B1

∩ =30

( ) ( )P B P B1 1

= =2 2

ou

( ) ( ) ( )P A B P B P A B∩ = − ∩

( )P A B7

∩ =15

( | )P A B14

=15

( | )P A B1

=15

( )P A B1

∩ =30

( | )P A B1

=3

( ) ( )P B P B1 1

= =2 2

ou

( )P A1

=5


Referir que o número de alunos que não têm computador portátil e sabem

o nome do director é ........................................................... 2 pontos

Concluir que o valor pedido é .................................................................... 2 pontos

2.2. ................................................................................................................................................. 10 pontos

Calcular, correctamente, o número de alunos que têm

computador portátil .............................................................. 1 pontos

Escrever a expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ................................ 7 pontos

Calcular o valor pedido (195 671 700) (ver nota 2) .................................... 2 pontos

Notas:

1. Indicam-se a seguir possíveis respostas do examinando, no que respeita à escrita da expressão,com a respectiva pontuação a atribuir.

(ou equivalente) ...................................................... 7 pontos

............................................................. 3 pontos

(ou equivalente) ...................................................... 2 pontos

Outras situações ............................................................................. 0 pontos

2. A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se na etapa anterior não tiverem sido atribuídoszero pontos.

3. .................................................................................................................................................... 15 pontos

A composição deve abordar os pontos seguintes:

• enunciar a regra de Laplace: a probabilidade de um acontecimento é o quociente entre onúmero de casos favoráveis e o número de casos possíveis, quando estes são todosequiprováveis (ou equivalente);

• explicar o número de casos possíveis: uma vez que é indiferente tirar 2 bolas,simultaneamente, ou tirar primeiro uma e depois a outra, sem repor a primeira bolaextraída, o número de casos possíveis corresponde a todos os arranjos de 2 das 18 bolas,em número de 18 × 17 (ver nota);

• explicar o número de casos favoráveis: pretendendo-se que as 2 bolas sejam da mesmacor, os casos favoráveis são de dois tipos – os arranjos de 2 das 12 bolas azuis e osarranjos de 2 das 6 bolas vermelhas, em número de 12 × 11 + 6 × 5 (ver nota).

A A30 1204 2×

C C C30 30 1204 4 2

+ou

C C30 1204 2×

1 ×150 = 30 5

715

N N N4 7− =

5 3 15


Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classificada a resposta a este item, de acordo comos níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa, descritosnos critérios gerais, e os níveis de desempenho no domínio específico da disciplina.

** Descritores apresentados nos critérios gerais.

Nota – Se o examinando apresentar uma explicação equivalente, considerada cientificamente válida,os elementos de resposta devem ser pontuados seguindo os mesmos procedimentosprevistos nos descritores apresentados.

4.1. ................................................................................................................................................. 10 pontos

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos:

1.º Processo:

Escrever ...................................... 4 pontos

Concluir que ............................................................ 6 pontos

2.º Processo:

Escrever .............................................................. 4 pontos

Obter ....................................................................... 2 pontos

Concluir que ............................................................ 4 pontos

4.2. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Escrever N(t ) = 24 (ver nota 1) ..................................................................... 3 pontos

Resolver a equação N(t ) = 24 ...................................................................... 8 pontos

Escrever ................................................ 2 pontos

Escrever ......................................................... 4 pontos

Escrever (ou equivalente) ........................... 2 pontos

Calcular o valor de t , em horas e minutos (t = 2 horas e 20 minutos)(ver notas 2 e 3)................................................................................................. 4 pontos

Notas:

1. Caso o examinando escreva N(t ) = 2400, a pontuação a atribuir, nesta etapa, deve serdesvalorizada em 2 pontos.

t

32−1 + 4

=3

t323 + 1 = 4

log ( )t43

3 + 1 =2

( ) log ( )N t t4= 16 3 + 1

( ) log ( )N t t 24= 8 3 + 1

( )( ) log

tN t

t

3

4

3 + 1 = 8 3 + 1

( ) log ( )N t t4= 16 3 + 1

( ) log ( ) log ( )N t t t4 4= 24 3 + 1 − 8 3 + 1

Descritores do nível de desempenho no domínioda comunicação escrita em língua portuguesa

Descritores do nível de desempenho no domínio específico da disciplina

Níveis*

1 2 3

Nív

eis

3 A composição aborda, correctamente, os três pontos. 13 14 15

2 A composição aborda, correctamente, apenas dois pontos. 8 9 10

1 A composição aborda, correctamente, apenas um ponto. 3 4 5


2. A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se na etapa anterior não tiverem sido atribuídoszero pontos.

3. Se o examinando concluir que os 2400 bilhetes estavam vendidos ao fim de cerca de 2 horas e20 minutos, a pontuação a atribuir, nesta etapa, não deve ser desvalorizada.

5. .................................................................................................................................................... 15 pontos

Representar graficamente a função f ′ (ver nota 1) ........................................... 4 pontos

Assinalar, no gráfico, o zero de f ′ (x = 0,57) .................................................. 2 pontos

Estudar o sinal de f ′, com recurso a um quadro (ver nota 2)............................ 5 pontos

Primeira linha do quadro ....................................................... 1 pontos

Sinal de f ′ ........................................................................... 2 pontos

Relação entre o sinal de f ′ e a monotonia de f ............... 2 pontos

Indicar os intervalos de monotonia de f .............................................................. 2 pontos

Referir a existência do extremo de f ................................................................... 2 pontos

Notas:

1. Se o examinando representar graficamente a função f ′ num intervalo diferente de ]0, 3[ , apontuação a atribuir, nesta etapa, é de 2 pontos.

2. Se o examinando não recorrer a um quadro, mas apresentar uma justificação equivalente, apontuação a atribuir, nesta etapa, não deve ser desvalorizada.

6.1. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos:

1.º Processo:

Referir que a recta y= ax + b é assimptota do gráfico de f ,se ....................................................................... 5 pontos

Calcular .................................................................... 10 pontos

Escrever ...................... 3 pontos

Obter ................................................................... 3 pontos

Calcular ................................................................ 4 pontos

2.º Processo:

Calcular ......................................................................................... 6 pontos

Calcular .............................................................................. 6 pontos

Concluir que y = ax + b é assimptota do gráfico de f quando x →–∞ .. 3 pontos

lim ( ( ) )x

f x ax→−∞

−

( )limx

f xx→−∞

lim x

xe

→−∞

lim x

xe

→−∞

lim (( ) ( ))x

xax b e ax b

→−∞+ + − +

lim ( ( ) ( ))x

f x ax b→−∞

− +

lim ( ( ) ( ))x

f x ax b→−∞

− + = 0


6.2. ................................................................................................................................................. 10 pontos

Referir que f é contínua em x = 0 se ..... 1 pontos

Calcular ou ............................................................................ 2 pontos

Calcular ......................................................................................... 4 pontos

Levantar a indeterminação (ver nota) ................................... 2 pontos

Indicar o valor de .............................................. 2 pontos

Obter o valor de b .............................................................................................. 3 pontos

Nota – O examinando deve explicitar o limite notável, ou seja, exige-se que multiplique ambos ostermos da fracção por 2 ou que faça uma mudança de variável.

7.1. ................................................................................................................................................. 10 pontos

Referir que o perímetro do triângulo [OAB ] é igual a .... 1 pontos

Escrever ............................................................................................ 2 pontos

Justificar que ............................................... 2 pontos

Justificar que .............................................. 2 pontos

Concluir que ................................................... 3 pontos

7.2. ................................................................................................................................................. 15 pontos

Determinar f ′ ..................................................................................................... 5 pontos

Determinar (cos α)′ ............................................................ 2 pontos

Determinar (sen α )′ ........................................................... 2 pontos

Obter ................................ 1 pontos

Estudar o sinal de f ′, com recurso a um quadro (ver nota) ............................ 9 pontos

Primeira linha do quadro (relativa à variável α , de acordo

com o domínio da função) ..................................................... 1 pontos

Sinal de f ′ ............................................................................ 5 pontos

para ............................... 1 pontos

para ............................... 2 pontos

para ............................... 2 pontos

Relação entre o sinal de f ′ e a monotonia de f ................ 2 pontos

Assinalar o extremo relativo de f ............................................ 1 pontos

Indicar o valor de α para o qual o perímetro do triângulo é máximo .. 1 pontos

Nota – Se o examinando não recorrer a um quadro, mas apresentar uma justificação equivalente, apontuação a atribuir, nesta etapa, não deve ser desvalorizada.

πα

= 4

πα >

4( )f α′ < 0

πα <

4( )f α′ > 0

πα =

4( )f α′ = 0

( ) sen cosf α α α′ = −2 + 2

( ) ( cos sen )f α α α= 2 1 + +

senAB

OAα

= 2 senAB α=

cosOB

OAα

= cosOB α= 2

OA = 2

OB OA AB+ +

lim ( )x

f x+→0

lim ( )x

f x+→0

( )f 0lim ( )x

f x−→0

lim ( ) lim ( ) ( )x x

f x f x f− +→0 →0

= = 0


Documents

Matemática A Exame Nacional 1ª fase 2010