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Matemática Aplicada a Mecânica

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2007 SENAI/RO Departamento Regional Nenhuma parte desta publicao poder ser reproduzida sem prvia autorizao escrita do SENAI/RO

Federao das Indstrias do Estado de Rondnia Presidente do Sistema FIERO/SESI/SENAI/IEL Euzbio Andr Guareschi Diretor Regional do SENAI/RO Vivaldo Matos Filho Diretora de Operaes Adir Josefa de Oliveira Equipe Tcnica 1 Ervamary Robaina Francisco Humberto Ferreira de Oliveira Marcos Brauna Rsivel Oliveira Louzada

Ficha Catalogrfica S474t SPARKER HEMNIFIN. Tecnologia Hidrulica Industrial. Carerei, So Paulo, 2007. 356 p.: il. 1. Tecnologia Hidrulica Industrial. I. Ttulo.

Verso Ago. 2007

Servio Nacional de Aprendizagem Industrial Departamento Regional de Rondnia www.fiero.org.br / www.ro.senai.br Rua Rui Barbosa, 1112 Arigolndia. CEP 78902-240 Porto Velho RO Fone: (69) 3216-3400 Fax: (69) 3216-3424/3427

A relao dos participantes da equipe tcnica varia de acordo com o material didtico ou documento.

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Federao das Indstrias do Estado de Rondnia Presidente do Sistema FIERO/SESI/SENAI/IEL Euzbio Andr Guareschi Diretor Superintendente do SESI/RO Valdemar Camata Junior Diretor Regional do SENAI/RO Vivaldo Matos Filho Diretora da Escola Centro de Formao Profissional Marechal Rondon Elsa Ronsoni Mendes Pereira

Ficha Catalogrfica Editorao Eletrnica: Ervamary Robaina Composio e Montagem: Equipe de Elaborao e Composio de Material Didtico SENAI. Departamento Regional de Rondnia. Matemtica Aplicada / elaborado pela equipe Elaborao de Material Didtico. Impresso SENAI - RO. Porto Velho: O Departamento, 2007. 93p.: il.

S474

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UTILIZAO DE MATERIAL DIDTICO

O SENAI deseja, por meio dos diversos materiais didticos nivelados em um contexto nacional, aguar a sua curiosidade, responder s suas demandas de informaes e construir links entre os diversos conhecimentos e competncias, to importantes para sua formao profissional. Alm dos esforos e dedicao de todo o grupo do SENAI DR/RO na confeco de material didtico estamos tambm utilizando as obras divulgadas no site www.senai.br/ recursosdidaticos desenvolvidas por outros Departamentos Regionais, reservados os direitos patrimoniais e intelectuais de seus autores nos termos da Lei n. 9610, de 19/02/1998. Tal utilizao se deve ao fato de que tais obras vm de encontro as nossas necessidades, bem como tm a funo de enriquecer a qualidade dos recursos didticos fornecidos aos nossos alunos como forma de aprimorar seus conhecimentos e competncias.

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SumrioNmeros Inteiros ...................................................................................................7 Nmeros Naturais ..................................................................................................7 Adio .................................................................................................................7 Subtrao .............................................................................................................7 Multiplicao ........................................................................................................7 Mnimo Mltiplo Comum ....................................................................................... 11 Critrios de Divisibilidade ...................................................................................... 12 Mnimo Mltiplo Comum ....................................................................................... 13 Fraes .............................................................................................................. 17 Nmeros Racionais .............................................................................................. 17 Nmeros Mistos .................................................................................................. 21 Extrao de Inteiros ............................................................................................. 21 Simplificao de Fraes ...................................................................................... 22 Reduo de Fraes ao mesmo Denominador .......................................................... 22 Comparao de Fraes ....................................................................................... 23 Fraes com o Mesmo Numerador ......................................................................... 24 Adio e Subtrao de Fraes ............................................................................. 25 Multiplicao de Fraes ...................................................................................... 25 Diviso de Fraes Ordinrias ............................................................................... 26 Partes Fracionrias de um Nmero ......................................................................... 26 Nmeros Decimais ............................................................................................... 33 Operaes com Nmeros Decimais ........................................................................ 35 Medidas de Comprimento ..................................................................................... 42 Leitura de Comprimentos ...................................................................................... 42 Mudanas de Unidade .......................................................................................... 43 Proporcionalidade ................................................................................................ 46 Inverso de uma razo ........................................................................................... 47 Clculo de uma razo ........................................................................................... 47 Proporo ........................................................................................................... 47 Propriedade fundamental das propores ................................................................ 48 Grandezas proporcionais ....................................................................................... 49 Grandezas diretamente proporcionais ..................................................................... 49 Grandezas inversamente proporcionais ................................................................... 50 Regra de Trs ...................................................................................................... 52 Regra de Trs Simples .......................................................................................... 52 Regra de Trs Composta ....................................................................................... 54 Porcentagem ....................................................................................................... 57 Nmeros Inteiros Relativos .................................................................................... 59 Nmeros Opostos ou Simtricos ............................................................................ 59 Valor Absoluto .................................................................................................... 59 Casos Particulares ............................................................................................... 64 Radiciao .......................................................................................................... 65 Raiz Quadrada de Nmeros Racionais. .................................................................... 66 Unidade de Volume .............................................................................................. 68Departamento Regional SENAI - RO

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Mltiplos e Submltiplos do Metro Cbico ............................................................... 69 Prismas e Cilindro ................................................................................................ 71 Paraleleppedo Retngulo ...................................................................................... 72 Cilindro de Revoluo ........................................................................................... 72 Pirmides Retas e Cones Circulares Retos ............................................................... 72 Cone .................................................................................................................. 74 Tronco de Pirmide, Tronco de Cone e Esfera .......................................................... 74 Teorema de Pitgoras ........................................................................................... 77 Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo .................................................... 79 Tangente de um ngulo ........................................................................................ 83 Unidade Dimensionais .......................................................................................... 87 Sistemas Mtricos Decimal ................................................................................... 87 Definio do Metro .............................................................................................. 88 Unidades No Oficiais .......................................................................................... 89 Normas Gerais de Medio ................................................................................... 89 Transformao De Medidas .................................................................................. 90

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Nmeros Inteiros Nmeros Naturais Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto. Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na bolsa. Na volta do rebanho, a ltima ovelha devia corresponder ltima pedrinha. Tinham assim, a noo dos nmeros naturais, embora no lhes dessem nomes nem os representassem por smbolos. Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o mundo, os smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O conjunto dos nmeros naturais representado pela letra IN e escreve-se: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Operaes Fundamentais Com Nmeros Naturais Adio a operao que permite determinar o nmero de elementos da unio de dois ou mais conjuntos:

Subtrao a operao nmeros naturais: que837 - 158

permite

determinarMinuendo Subtraendo

diferena

entre

dois

Multiplicao

679

Resto ou diferena

A multiplicao muitas vezes definida como parcelas iguais: Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 x 2 (trs parcelas iguais a 2)381 x 23 1143 + 762_ 8763Departamento Regional SENAI - RO

uma

adio

Multiplicando Fatores Multiplicando

Produto

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Ateno: Qualquer nmero Exemplo: 4 x 0 = 0 Diviso a operao que permite determinar o quociente entre dois nmeros. A diviso a operao inversa da multiplicao. Exemplo: 18 4 = 72 72 4 = 18 Termos Da Diviso:Dividendo 4051 - 40__ 051 - 48 03 8 506 Divisor Quociente

natural

multiplicado

por

zero

zero.

Resto

Ateno: Quando o dividendo mltiplo do divisor, dizemos que a diviso exata. Exemplo: 16 8=2 mltiplo do divisor, dizemos que a

Quando o dividendo no diviso aproximada ou inexata. Exemplo: 16 5 = 3 (resto = 1)

Numa diviso, em nmeros naturais, o divisor tem de ser sempre diferente de zero, isto , no existe diviso por zero no conjunto de nmeros naturais (IN). Nmeros Naturais - Exerccios 1) Complete as sucesses numricas seguintes: Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35a) b) 7, 14, 21, ......, ......, ......, ...... 9, 18, 27, ......, ......, ......, ......

c) 11, 22, 33, ......, ......, ......, ...... d) 12, 24, 36, ......, ......, ......, ...... e) 15, 30, 45, ......, ......, ......, ......

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2) Resolva: a) 4 + 577 + 12 + 1.004 = b) 285 + 122 + 43 + 8 + 7.305 = c) 7.815 + 427 + 2.368 + 864 =3) Escreva as denominaes dos termos e do resultado da adio:623 + 321 944 ................................... ................................... ...................................

4) Complete as sucesses numricas seguintes: Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22...

a) b) c) d)

50, 45, ......, ......, ......, ......, ...... 50, 44, ......, ......, ......, ......, ...... 80, 72, ......, ......, ......, ......, ...... 108, 96, ......, ......, ......, ......, ......

5) Efetue as subtraes: a) 196 - 74 = b) 937 - 89 = c) 4.800 - 2.934 = d) 100.302 - 97.574 = e) 1.301.002 - 875.037 = 6) Em uma subtrao, o subtraendo 165 e o resto 428. Qual o minuendo? 7) Qual o nmero que somado a 647 igual a 1.206? 8) De 94.278 subtraia 62.574. Tire a prova. 9) Efetue mentalmente: a) 7x 1 = g) 81 x 100 = b) 810 x 1 = h) 365 x 100 = c) 8 x 10 = i) 5 x 1000 = d) 72 x 10 = k) 170 x 100 = e) 1.705 x 10 = l) 3.800 x 1000 = f) 9 x 100 =

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10) Complete: a) Um produto sempre uma adio de ...........................iguais. b) O produto de vrios fatores zero, quando pelo menos um de seus fatores for ............................... 11) Complete: a) 4 x 5 x 0 = b) 6 x 0 x 9 = c) 0 x 5 x 8 = d) 1 x ...... x 8 = 0 e) 7 x 9 x...... = 0 f) .....x 4 x 8 = 0 12) Escreva os termos da diviso:............................... 107 07 ...................... 2 5 21 ............................ ............................

13) Efetue: a) 810 4 = b) 408 4 = c) 560 8 = d) 12.018 6 = 14) O nmero 9 est contido em 3.663 ............................ vezes. 15) Arme, efetue e verifique a exatido das operaes atravs de uma prova. a) 8.750 + 3 + 1.046 = b) 37.600 - 28.935 = c) 2.091 . 45 = d) 9.327 . 814 = e) 3.852 . 208 = f) 68.704 . 74 = g) 1.419 . 87 = h) 4.056 . 68 = 16) Resolva os problemas: a) Um reservatrio contm 400 litros de gua e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operaes:

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retiramos 70 litros colocamos 38 litros retiramos 193 litros colocamos 101 litros colocamos 18 litros Qual a quantidade de gua que ficou no reservatrio? b) Em uma escola estudam 1.920 alunos distribudos igualmente em 3 perodos: manh, tarde e noite. Pergunta-se: Quantos alunos estudam em cada perodo? Quantos alunos estudam em cada sala, por perodo, se h 16 salas de aula? Mnimo Mltiplo Comum Mltiplos e Divisores Mltiplos de um Nmero Mltiplo de um nmero natural o produto desse nmero por um outro nmero natural qualquer. Exemplo: M (2) { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} M (5) { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} Ateno: Zero mltiplo de todos os nmeros. Qualquer nmero natural mltiplo de si mesmo. O conjunto de mltiplos de um nmero infinito. Divisores de um Nmero vezes. so: Um nmero divisor de outro quando est contido neste outro certo nmero de Um nmero pode ter mais de um divisor. Por Exemplo, os divisores do nmero 12 1, 2, 3, 4, 6, e 12. O conjunto dos divisores de 12 representamos assim: D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Se um nmero mltiplo de outro, ele divisvel por este outro.Departamento Regional SENAI - RO

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Ateno: Zero no divisor de nenhum nmero. Um divisor de todos os nmeros. Critrios de Divisibilidade Sem efetuarmos a diviso podemos verificar se um nmero divisvel por outro. Basta saber alguns critrios de divisibilidade: a) Por 2: Um nmero divisvel por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6, ou 8. Ou seja, quando ele Exemplo: 14, 356, ... b) Por 3: Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 3. Exemplo: 252 divisvel por 3 porque 2 + 5 + 2 = 9 e 9 mltiplo de 3. c) Por 4: Um nmero divisvel por 4 quando os dois ltimos algarismos forem 0 ou formarem um nmero divisvel por 4. Exemplo: 500, 732, 812 d) Por 5: Um nmero divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5.

par.

Exemplo: 780, 935 e) Por 6: Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e por 3. Exemplo: 312, 732 f) Por 9: Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 9. Exemplo: 2.538, 7.560 g) Por 10: Um nmero divisvel por 10 quando termina em zero.

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Exemplo: 1.870, 540, 6.000 Mnimo Mltiplo Comum Chama-se Mnimo Mltiplo Comum de dois ou mais nmeros ao menor dos mltiplos comuns a esses nmeros e que seja diferente de zero. Exemplo: Consideremos os nmeros 3 e 4 e escrevamos alguns dos seus mltiplos. Teremos: M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...} M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...} Observamos que h elementos comuns entre esses dois conjuntos. Portanto a interseo entre eles ser: M(3) M(4) = {0, 12, 24, 36, ...} m.m.c. (3, 4) = 12 12 o menor mltiplo comum de 3 e 4. So processos prticos para o clculo do m.m.c. de dois ou mais nmeros: Decomposio em Fatores Primos e Decomposio Simultnea. Antes, porm, de calcular o m.m.c. de algum nmero, vamos ver o que NMERO PRIMO. Nmero Primo todo nmero que possui somente dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo. Exemplo:1 1 1

1313

O nmero 5 primo, porque tem apenas dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo (5) O nmero 13 primo, porque tem apenas dois divisores:Departamento Regional SENAI - RO

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a unidade (1) e ele mesmo (13). O nmero 9 no primo, porque tem mais de 2 divisores: 1, 3 e 9. Observe agora, os Exemplos:1 2 1 3

4 8

5 15

1 o nico divisor comum a 8 e 15, por isso dizemos que 8 e 15 so primos entre si. Dois ou mais nmeros so primos entre si, quando s admitem como divisor comum a unidade. Agora, vamos recordar o que decompor um nmero em fatores primos. A decomposio em fatores primos feita atravs de divises sucessivas por divisores primos. Exemplo:30 2 15 3 5 5 1

O menor divisor primo de 30 2: 30 : 2 = 15 O menor divisor primo de 15 3: 15 : 3 = 5 O menor divisor primo de 5 5: 5 : 5 = 1

Para decompor um nmero em seus fatores primos: 1) Dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo; 2) Dividimos o quociente pelo seu menor divisor primo; 3) E assim sucessivamente, at encontrarmos o quociente 1. 1 Processo: Para determinar o m.m.c. atravs da decomposio em fatores primos ou fatorao, procedemos da seguinte forma:

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Decompomos

fatores

primos

nmeros

apresentados.

Exemplo: 15 e 2015 3 5 5 1 20 2 10 2 5 51

2. Multiplicamos os fatores primos comuns e no comuns com seus maiores expoentes. 15 = 3 x 5 20 = 2 x 5

3. O produto ser o m.m.c. procurado: m.m.c. = (15, 20) = 2 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60 2 Processo: Podemos tambm determinar o m.m.c. atravs da decomposio simultnea (fatorao dos nmeros ao mesmo tempo). Exemplo: a) Calcular o m.m.c. (12, 18). Soluo: decompondo os12 - 18 2 6 9 2 3 - 9 3 1 - 3 3 1 - 1

nmeros

fatores

primos,

teremos:

Portanto: m.m.c. = 2 x 3 ou 2 x 2 x 3 x 3 = 36

b) Determinar o m.m.c. (14, 45, 6)14 - 45 - 6 2 7 - 45 - 3 3 7 - 15 - 1 3 7 - 5 - 1 5 7 - 1 - 1 7 1 - 1 - 1

Dividendo

4051 - 40__ 051 - 48 03

8 506

Divisor Quociente

Portanto:Resto

m.m.c. = 2 . 3 . 5 . 7 ou 2 . 3 . 3 . 5 . 7 = 630Departamento Regional SENAI - RO

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Ateno: O m.m.c. de nmeros primos entre si igual ao produto desses nmeros. Mnimo Mltiplo Comum - Exerccio 1) Escreva at 6 mltiplos dos nmeros: a) b) c) d) e) M M M M M (3) = ................................................................. (4) = ................................................................. (5) = ................................................................. (10) = ............................................................... (12) = ...............................................................

2) Escreva os divisores dos nmeros dados: a) b) c) d) e) D D D D D (8) = ................................................................ (12) = ............................................................... (36) = ............................................................... (15) = ............................................................... (24) = ...............................................................

3) Escreva um algarismo para que o nmero fique divisvel por 3: a) 134 .............. b) 73 ................ 4) Risque os nmeros divisveis: a) por dois: 7120 - 621 - 162 - 615 - 398 - 197 - 1009 - 74 b) por trs: 4414 - 173 - 315 - 222 - 302 - 706 - 207 c) por cinco: 217 - 345 - 1642 - 700 - 325 - 801 - 12434 - 97 d) por dez: 153 - 140 - 1000 - 315 - 304 - 12360 - 712

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5) Escreva, no quadrado, um algarismo conveniente para que o nmero formado seja divisvel por: a) b) c) d) dois e trs: 4 0 cinco: 5 7 cinco e dez: 8 4 dois e cinco: 1 5

6) Determine usando a fatorao: a) m.m.c. (12, 15) = b) m.m.c. (6, 12, 15) = c) m.m.c. (36, 48, 60) = 7) Calcule: a) b) c) d) Fraes Nmeros Racionais Consideremos a operao 4 : 5 = ? onde o dividendo no mltiplo do divisor. Vemos que no possvel determinar o quociente dessa diviso no conjunto dos nmeros porque no h nenhum nmero que multiplicando por 5 seja igual a 4. A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar um outro conjunto que permite efetuar a operao de diviso, quando o dividendo no fosse mltiplo do divisor. Criouse, ento, o conjunto dos Nmeros Racionais. Nmero racional todo aquele que escrito na forma onde a e b so nmeros b inteiros e b diferente de zero. So exemplos de nmeros racionais:3 , 5 1 , 2 4 , 3 10 , 5 12 , 24 36 18a

m.m.c. m.m.c. m.m.c. m.m.c.

(5, 15, 35) = (54, 72) = (8, 28, 36, 42) = (4, 32, 64) =

A seguir, estudaremos o conjunto dos nmeros racionais fracionrios, tambm chamados de fraes.Departamento Regional SENAI - RO

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Conceito de Frao: Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operao por uma frao. Veja:

A figura foi dividida em trs partes iguais. Tomamos duas partes. Representamos, ento, assim: E lemos: dois teros. O nmero que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro foi dividido, chama-se DENOMINADOR. O nmero que fica sobre o trao e indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR. Leitura e Classificaes das Fraes Numa frao, l-se, em primeiro lugar, o numerador e, em seguida, o denominador. a) Quando o denominador um nmero natural entre 2 e 9, a sua leitura feita do seguinte modo:1 2 1 5 1 8 - um meio 1 3 1 6 1 9 - um tero 1 4 1 7 - um quarto2 3

- um quinto

- um sexto

- um stimo

- um oitavo

- um nono

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b) Quando o denominador 10, 100 ou 1000, a sua leitura feita usando-se as palavras dcimo(s), centsimo(s) ou milsimo(s).1 - um dcimo 10 20 - vinte milsimos 1000 7 - sete centsimos 100

c) Quando o denominador maior que 10 (e no potncia de 10), l-se o nmero acompanhado da palavra avos.1 - um quinze avos 15 13 85 3 29 - trs vinte e nove avos

- treze oitenta e cinco avos

Fraes Ordinrias e Fraes Decimais As fraes cujos denominadores so os nmeros 10, 100, 1000 (potncias de 10) so chamadas Fraes Decimais. As outras so chamadas Fraes Ordinrias. Exemplos:3 , 10 1 , 5 5 , 100 8 , 17 23 1000 10 41 so fraes decimais so fraes ordinrias

Fraes Prprias Observe as fraes abaixo:1 2 2 3

Essas fraes so menores do que a unidade. So chamadas Fraes Prprias. Nas fraes prprias, o numerador menor do que o denominador. Fraes Imprprias Observe as fraes abaixo:

7 4

4 3

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Essas fraes so maiores que o inteiro, portanto so Fraes Imprprias. Nas fraes imprprias, o numerador maior que o denominador. Fraes Aparentes Observe:

12/6 ou 2 inteiros

3/3 ou 1 inteiro

As fraes acima representam inteiros. Elas so chamadas Fraes Aparentes. Nas fraes aparentes, o numerador sempre mltiplo de denominador, isto , o numerador divisvel pelo denominador. Uma frao aparente tambm imprpria, mas nem toda frao imprpria parente. Fraes Equivalentes/Classe de Equivalncia. Observe as figuras:2 3 4 6 6 9

As fraes 2 , 4 e 6 representam o mesmo valor, porm seus termos so 3 6 9 nmeros diferentes. Estas fraes so denominadas Fraes Equivalentes. Para obtermos uma frao equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo nmero (diferente de zero) . Exemplo: 2 x 5 10 2 10 igual a , pois = 5 x 5 25 5 25

18 igual a 21

18 3 6 6 , pois = 21 3 7 7Departamento Regional SENAI - RO

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O conjunto de fraes equivalentes a uma certa frao chamase CLASSE DE EQUIVALNCIA. Exemplo: Classe de equivalncia de1 = 2 2 3 4 5 6 1 , , , , , 4 6 8 10 12 2

Nmeros Mistos Os nmeros mistos so formados por uma parte inteira e uma frao prpria. 1inteira Representamos assim: 1 Extrao de Inteiros o processo de transformao de frao imprpria em nmero misto. Observe a figura:1 21 E lemos: um inteiro e um meio. 2

Podemos representar essa frao de duas maneiras:15

1 4

5 44

Para transformar em nmero misto, ou seja, para verificar quantas vezes cabe 5 4 4 em ,procede-se assim:4

5 1

4 1

1 1 4

resto

s dividir o numerador pelo denominador. O quociente ser a parte inteira. O ser o numerador e conserva-se o mesmo denominador.

Transformao de Nmeros Mistos em Fraes Imprprias. Observe o exemplo e a ilustrao: Transformar 11 em frao imprpria. 4

Soluo: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o outro quarto.

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1 1 4 4 + 1 = 5 4 4 4 1 4 1 1 4 ou 5 4

Resumidamente, procede-se assim: Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.1

Simplificao de Fraes

1 4

(1 4 + 1) 4

5 4

Simplificar uma frao significa transforma-la numa frao equivalente com os termos respectivamente menores. Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo nmero natural (diferente de 0 e de 1). Exemplo: Simplificar 816 82 42 22 = = = 16 2 8 2 4 2 1 2

Quando uma frao no pode mais ser simplificada, diz-se que ela IRREDUTVEL ou que est na sua forma mais simples. Nesse caso, o numerador e o denominador so primos entre si. Reduo de Fraes ao mesmo Denominador Reduzir duas ou mais fraes ao mesmo denominador significa obter fraes equivalentes s apresentadas e que tenham todas o mesmo nmero para denominador. Exemplo: As fraes 1 , 2 e 3 so equivalentes a 6 , 8 e 9 respectivamente.2 3 412 12 12

Para reduzirmos duas ou mais fraes ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos: 1 - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das fraes que ser o menor denominador comum. 2 - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das fraes dadas.

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3 - Multiplica-se o quociente encontrado em cada diviso pelo numerador da respectiva frao. O produto encontrado o novo numerador. Exemplo: Reduzir ao menor denominador comum as fraes:1 , 2 3 , 4 7 6

Soluo: 1 - m.m.c. (2, 4, 6) = 12 o denominador.2, 4, 6 2 1, 2, 3 2 1, 1, 3 3 1, 1, 1 12

2 12 2 = 6 12 4 = 3 12 6 = 2 31 6 12 = 6 129 , 12

33 12

9 12

72 14 = 12 12

Portanto:

6 , 12

14 a resposta. 12

Comparao de Fraes Comparar duas fraes significa estabelecer uma relao de igualdade ou desigualdade entre elas. Fraes com o mesmo Denominador Observe:5 8 3 8 1 8 5 8 3 8 1 8

Percebe-se que :

Ento:

Se duas ou mais fraes tem o mesmo denominador, a maior a que tem maior numerador.Departamento Regional SENAI - RO

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Fraes com o Mesmo Numerador Observe:

3 16 3 8 3 4

Percebemos que:

3 16

1 2

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Adio e Subtrao de Fraes A soma ou diferena de duas fraes uma outra frao, obtida a partir do estudo dos seguintes casos: 1 As Fraes tem o mesmo Denominador. Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador. Exemplo:2 5 6 7 + 1 5 4 7 = = 2+1 = 5 64 7 3 5 2 7

2 As Fraes tem Denominadores diferentes. Reduzem-se as fraes ao mesmo denominador e procedese como no 1 caso. Exemplo:2 + 3 = 8 + 9 = 17 3 4 12 12 12 3, 4 3, 2 3, 1 1, 1 2 2 3 12

3Nmeros Mistos. Transformam-se os nmeros mistos em fraes imprprias e procede-se como nos 1 e 2 casos. Exemplo: + +2 1 3 x 7 3 + 5 4 + 1 1 4 x = 28 + 15 = 43 = 12 12 12 3 7 12

Ateno: Nas operaes com fraes, conveniente simplificar e extrair os inteiros do resultado sempre que possvel. Multiplicao de Fraes A multiplicao de duas ou mais fraes igual a uma outra frao, obtida da seguinte forma: O numerador o produto dos numeradores e o denominador o produto dos denominadores. Numa multiplicao de fraes, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la.Departamento Regional SENAI - RO

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Exemplo:2 /1 3

/ 315

2 1

1 5

2 5

/ 62 / 51

// 10 2 / 31

/ 62 / 93

2 1

2 3

8 3

= 2

2 3

Diviso de Fraes Ordinrias O quociente da diviso de duas fraes uma outra frao obtida da seguinte forma: Multiplica-se a primeira pela frao inversa da segunda. Para isso, exige-se: 3 - Transformar os nmeros mistos em fraes imprprias. 4 - Transformar os nmeros inteiros em fraes aparentes. 5 - Simplificar. 6 - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. 7 - Extrair os inteiros. Exemplo:3 48

5 7

3 4

33 4

7 5

21 1 = 1 20 20// 3311 4 1 / 31 = 3 11 = 2 4 4

Ateno:

1 3 = 4

3 = 1

Quando houver smbolo de polegada ou de outra unidade emambos os termos da frao, esse smbolo deve ser cancelado.

3" 4" 3" 3 9 = = 4 4 4" 16 3 Partes Fracionrias de um NmeroObserve:2 de 15 = 3 2 / 31 // 15 5 1

Exemplo:

= 10

Para determinar partes fracionrias de um nmero, devemos multiplicar a parte fracionria pelo nmero dado.

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Fraes - Exerccios 1) Observando o desenho, escreva o que se pede:

a) O inteiro foi dividido em ................. partes iguais. b) As partes sombreadas representam ................... partes desse inteiro. c) A frao representada : ......................... d) O termo da frao que indica em quantas partes o inteiro foi dividido o .................. e) O termo da frao que indica quantas dessas partes foram tomadas o .................. 2) Escreva as fraes representadas pelos desenhos:a) c)

3) Represente com desenho as seguintes fraes:7 8 2 3 1 9

5 4

1 2

4) Complete com a palavra correta: a) Fraes prprias so fraes cujo numerador ....................... que o denominador. b) Fraes prprias representam quantidades ...................... que a unidade. c) Fraes imprprias so fraes cujo numerador ........................ que o denominador. d) Fraes imprprias representam quantidades ......................... que a unidade. pizza. 5) Numa pizzaria, Lus comeu1 de uma pizza e Camila comeu 2 2 4

mesma

a) Quem comeu mais?......................................................... b) Quanto sobrou da pizza? ................................................Departamento Regional SENAI - RO

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6) Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO): a) ( ) Toda frao imprpria maior do que 1. b) ( ) Toda frao imprpria pode ser representada por um nmero misto. 1 c) ( ) uma frao.3 3 d) ( ) uma frao. 1

7) Faa a leitura de cada uma das fraes seguintes:a) b) c) d) 3 ................................................................................... 4 5 ................................................................................... 8 1 ................................................................................... 2 5 ............................................................................... 100

8) Classificar as fraes seguintes em prpria, imprpria ou aparente:a) b) c) d) e) 2 .................................................................... 3 5 .................................................................... 2 8 .................................................................... 4 12 .................................................................. 15 24 .................................................................. 6

9) Circule as fraes equivalentes a:a) 2 5 6 7 = 10 25 = 2 5 3 4 18 21 5 20 7 9 8 20 30 35 6 15 1 7

10) Numere a 2a coluna de acordo com a 1a: 1. frao ordinria 2. frao decimal( ) 1 2 ( ) 7 10 ( ) 359 1000 ( ) 6 35Departamento Regional SENAI - RO

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11) Transforme os nmeros mistos em fraes imprprias:a) d) 2 1 7 = 9 1 = 8 b) e) 3 1 = 2 3 = 4 c) 5 7 13

12) Extraia os inteiros das fraes:a) b) c) d) e) 17 = 5 38 = 7 87 = 4 25 = 13 42 = 19

13) Simplifique as fraes, tornando-as irredutveis:a) b) c) d) 4 = 6 6 = 15 8 = 14 14 = 28 9 = 361 5 , = 4 6 1 3 , = 8 16 3 6 , = 5 8 1 5 3 , , = 2 16 12 3 6 3 , , = 4 16 5

14) Reduza as fraes ao mesmo denominador:a) b) c) d) e)

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15) Compare as fraes, escrevendo-as em ordem crescente:a) b) c) 2 3 1 10 , , , ; 4 4 4 4 3 3 3 3 3 , , , , 6 10 2 1 12 1 3 2 1 3 , , , , 10 8 5 8 15

5 1 5 1 d) 1 , 1 , , 1 ; 16 8 6 5

Compare as fraes apresentadas em cada item, escrevendo, entre elas, os sinais < ou > ou = :a) d) g) j) 1 5 6 4 3 4 2 7 4 5 7 5 5 4 3 35 b) e) h) 3 2 3 9 2 7 7 3 1 9 2 15 c) f) i) 5 2 1 5 7 11 4 3 1 6 3 5

17) Circule a maior frao:a) c) 3 2 ou 5 3 3 5 ou 4 6 b) d) 1 2 ou 2 9 6 3 ou 10 6

18) Circule as fraes menores do que um inteiro:1 3 9 8 2 12 8 12 7 4 9 5

19) Observe as figuras e escreva as fraes representadas:

Complete: Essas fraes representam o mesmo valor, porm seus termos so nmeros diferentes. Essas fraes so denominadas ................................................. 30Departamento Regional SENAI - RO

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20) Numere a 2a coluna de acordo com a frao equivalente na 1a:(a) (b) (c) (d) 6 9 1 2 7 8 ( ( ( ((

) ) ) )

28 32 25 40 16 64

21) Torne as fraes irredutveis:a) b) c) 24 = 32 100 = 128 12 = 15d) e) f) 4 = 32 48 = 64 25 = 100

1 4 5 (e) 8

2 3 8 ) 16

22) Circule as fraes irredutveis:1 , 3 4 , 6 12 , 15 12 , 13 7 , 8 18 , 24 1 8

23) Determine a soma:a) 5 3 7 + + 16 16 16 b) 2 4 1 + + 2 3 5 c) 3 7 15 + + 16 8 32

24) Efetue as adies e simplifique o resultado quando possvel:a) b) 2 + d 1 3 + 1 = 2 4c) d) 25 1 + 1 + 1= 3 4 2 1 2 1 + + = 2 3 4

13 1 + 1+ 5 = 16 8

25) Quanto falta a cada frao para completar a unidade? Exemplo:a) c) 1 4 5 32 5 8 8 8 5 8 = 3 8 b) d) 13 16 17 64

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26) Efetue as subtraes indicadas:a) b) c) 15 3 = 10 10 7 5 = 9 9 8 2 = 5 7d) e) 3 5 4 1 1 = 13 2 2 1 = 3 8

27) Resolva:a) b) c) 1 3 1 x x = 2 5 4 2 9 14 x x = 5 7 27 5 3 7 x x = 21 10 15d) e) 3 2 x 2 x = 4 5 3 1 5 3 x x = 2 16 5

28) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em sentido longitudinal medindo cada uma 53 ? ? 4

29) Calcule:a) b) c) d) e) 2 3 4 6 1 2 1 = 2 3 1 3 2 = 2 5 2 1 5 = 3 2 1 1 5 = 3 2

f) g) h) i) j)

1 7= 3

3 1 = 10 5 2 de 32 = 4 5 de 350 = 7 1 de 930 = 3

15 5= 16

30) Leia com ateno os problemas e resolva: a) Um carro percorre 8 Km com 1 litro de gasolina. Quantos quilmetros percorrer com 101 litros? 2

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b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu

3 5

deles. Ele quer colocar o

restante, igualmente em 10 caixas. Quanto deve colocar em cada caixa?

c) Coloquei

6 de minhas ferramentas em uma caixa, 2 em outra caixa e o restante 12 4

deixei fora das caixas. Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das caixas?

d) Joo encheu o tanque do seu carro. Gastou

2 da gasolina para trabalhar e 1 para 5 5

passear no final de semana. Quanto sobrou de gasolina no tanque?

e) Numa oficina havia 420 veculos, eram caminhes. Quantos caminhes havia 4 na oficina?

f) Em uma caixa, os lpis esto assim distribudos: 121

correspondem aos lpis

vermelhos, so lpis azuis e 1 so pretos. Que frao corresponde ao total de lpis na 5 4 caixa?

Nmeros Decimais Conceito e Leitura J estudamos que uma frao decimal, quando o seu denominador o nmero 10 ou potncia de 10. Exemplos:5 10 L-se cinco dcimos

45 L-se quarenta e cinco milsimos 1000Departamento Regional SENAI - RO

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As fraes decimais podem ser representadas atravs de uma notao decimal que mais conhecida por nmero decimal. Exemplos:1 = 0,1 10 1 = 0,01 100 L-se um dcimo L-se um centsimo

1 = 0,001 L-se um milsimo 1000

Essa representao decimal de um nmero fracionrio obedece ao princpio da numerao decimal que diz: Um algarismo escrito direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro....Milhar Centena Dezena Unidade Simples Dcimo Centsimo Milsimo...

... 1000

100

0,1

0,01

0,001...

Em um nmero decimal: Os algarismos escritos esquerda da vrgula constituem a parte inteira. Os algarismos que ficam direita da vrgula constituem a parte decimal. Exemplo: Parte inteira

12,63

Parte decimal

L-se doze inteiros e sessenta e trs centsimos. Para fazer a leitura de um nmero decimal, procede-se da seguinte maneira: 1- Enuncia-se a parte inteira, quando existe. 2- Enuncia-se o nmero formado pelos algarismos da parte decimal, acrescentando o nome da ordem do ltimo algarismo. Exemplos: a) 0,438 - L-se: quatrocentos e trinta e oito milsimos. b) 3,25 - L-se: trs inteiros e vinte cinco centsimos. c) 47,3 - L-se: quarenta e sete inteiros e trs dcimos.

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Observaes: 1- O nmero decimal no muda de valor se acrescentarmos ou suprimirmos zeros direita do ltimo algarismo. Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 2- Todo nmero natural pode ser escrito na forma de nmero decimal, colocandose a vrgula aps o ltimo algarismo e zero (s) a sua direita. Exemplo: 34 = 34,000 1512 = 1512,00 Transformao de Frao Decimal em Nmero Decimal Para escrever qualquer nmero fracionrio decimal, na forma de Nmero Decimal, escreve-se o numerador da frao com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Exemplos:a) 25 = 2,5 10 135 = 0,135 1000 b) 43 = 0,043 1000 2343 = 23,43 100

Transformao de Nmero Decimal em Frao Decimal Para se transformar um nmero decimal numa frao decimal, escrevem-se no numerador os algarismos desse nmero e no denominador a potncia de 10 correspondente quantidade de ordens (casas) decimais. Exemplos:a) 0,34 = 34 100 b) 5,01 = 501 100

c) 0,01 =

1 100

d) 21057 = ,

21057 1000

Operaes com Nmeros Decimais Adio e Subtrao Para adicionar ou subtrair dois nmeros decimais, escreve-se um abaixo do outro, de tal modo que as vrgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionamse ou subtraem-se como se fossem nmeros naturais. Observaes: Costuma-se completar as ordens decimais com zeros direita do ltimo algarismo.Departamento Regional SENAI - RO

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Exemplos:a) 3,97 + 47,502 = 51,472 3,970 + 47,502 51,472

b) 4,51 - 1,732 = 2,778

4,510 - 1,732 2,778

No caso de adio de trs ou mais parcelas, procede-se da mesma forma que na de duas parcelas. Exemplos:4,310 5,200 + 17,138 26,648

Multiplicao Para multiplicar nmeros decimais, procede-se da seguinte forma: 1 Multiplicam-se os nmeros decimais, como se fossem naturais; 2 No produto, coloca-se a vrgula contando-se da direita para a esquerda, um nmero de ordens decimais igual soma das ordens decimais dos fatores. Exemplo:0,012 x 1,2 = 0,012 x 1,2 0024 + 0012 0,0144 4 ordens decimais 3 ordens decimais + 1 ordem decimal

Para multiplicar um nmero decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se a vrgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros do multiplicador. Exemplos: a) 2,35 x 10 = 23,5 b) 43,1 x 100 = 4310 c) 0,3145 x 1000 = 314,5 36Departamento Regional SENAI - RO

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Para multiplicar trs ou mais fatores, multiplicam-se os dois primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim por diante at o ltimo fator. Exemplo: 0,2 0,51 0,12 = 0,01224 Diviso Para efetuarmos a diviso entre nmeros decimais procedemos do seguinte modo: 1) igualamos o nmero de casas decimais do dividendo e do divisor acrescentando zeros; 2) eliminamos as vrgulas; 3) efetuamos a diviso entre os nmeros naturais obtidos. Ateno: Se a diviso no for exata, para continua-la colocamos um zero direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vrgula no quociente. 1 Exemplo: 3,927 . 2,31 = 1,73,927 2,310 16170 1,7 0000 47,76 24,00 23 7 1,99 2 16 00

2 Exemplo: 47,76 . 24 = 1,99

Para dividir um nmero decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca-se a vrgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor. Exemplos: a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vrgula uma ordem para esquerda. 47,235 . 10 = 4,7235 b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vrgula duas ordens para a esquerda. 58,4 . 100 = 0,584 Quando a diviso de dois nmeros decimais no exata, o resto da mesma ordem decimal do dividendo original. Exemplo:39,276 0,7 = 56,108 39,276 0,700 42 56,108 07 060 0,004

resto 0,004

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Nmeros Decimais - Exerccios 1) Escreva com algarismos, os seguintes nmeros decimais: a) b) c) d) e) Um inteiro e trs dcimos.............................................. Oito milsimos............................................................... Quatrocentos e cinqenta e nove milsimos ................. Dezoito inteiros e cinco milsimos................................. Vinte cinco inteiros e trinta e sete milsimos .................

2) Represente em forma de nmeros decimais: a) b) c) d) 97 centsimos = 8 inteiros e 5 milsimos = 2 inteiros e 31 centsimos = 475 milsimos =

3) Observe os nmeros decimais e complete com os sinais:

>a) b) c) d) e)

-4

-3 < +1

+2 > -3

c) -1 > -3

Operaes com nmeros Inteiros Relativos Adio 1) Adio de nmeros positivos Observe os exemplos: a) ( +2 ) b) ( +1 ) c) ( +6 ) + + + ( +5 ) = +7 ( +4 ) = +5 ( +3 ) = +9

Verificando os resultados anteriores, podemos concluir que: A soma de dois nmeros positivos um nmero positivo. 2) Adio de nmeros negativos Observe os exemplos: a) ( -2 ) + ( -3 ) = -5 b) ( -1 ) + ( -1 ) = -2 c) ( -7 ) + ( -2 ) = -9 Verificando os resultados acima, podemos concluir que: A soma de dois nmeros negativos um nmero negativo.

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3) Adio de nmeros com sinais diferentes Observe os exemplos: a) ( +6 ) b) ( +2 ) c) ( -10) + + + ( -1 ) = +5 ( -5 ) = -3 ( +3) = -7

Observe que o resultado da adio tem o mesmo sinal que o nmero de maior valor absoluto. Concluso: A soma de dois nmeros inteiros de sinais diferentes obtida subtraindo-se os valores absolutos dando-se o sinal do nmero que tiver maior valor absoluto. Subtrao A operao de subtrao uma operao inversa da adio. Exemplos: a) (+8) - (+4) b) (-6) - (+9) c) (+5) - (-2 ) Concluso: Para subtrairmos dois nmeros relativos, basta que adicionemos ao primeiro o simtrico do segundo. Expresses com nmeros Inteiros Relativos Lembre-se que os sinais de associao so eliminados, obedecendo seguinte ordem: 1- Parnteses Exemplos:1) +10 - (-4+6) +10 - (+2) +10 - 2 = +8 2) (+7-1) + (-3+1-5) (+6) + (-7) +6 -7 = -1 3) 10 + [-3+1-(-2+6)] 10 + [-3+1-(+4)] 10 + [-3+1-4] 10 + [-6]10 - 6 = +4

= = =

(+8) + (-4) = +4 (-6) + (-9) = -15 (+5) + (+2) = +7

2- Colchetes

3- Chaves

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Multiplicao Consideremos os seguintes casos: 1) Multiplicao de dois nmeros positivos: a) (+5) . (+2) = +10 b) (+3) . (+7) = +21 ( ( ( ( + + ) ) ) ) . . . . ( ( ( ( + + )=+ )=+ )=)=-

Concluso: O produto de dois nmeros positivos um nmero positivo. 2) Multiplicao de dois nmeros negativos: a) (-3) . (-5) = +15 b) (-8) . (-2) = +16 c) (-7) . (-1) = +7 Concluso: O produto de dois nmeros negativos um nmero positivo.

3) Multiplicao de dois nmeros de sinais diferentes: a) b) c) d) (+3) . (-2) (-5) . (+4) (+6) . (-5) (-1) . (+7) = = = = -6 -20 -30 -7

Concluso: O produto de dois nmeros inteiros de sinais diferentes um nmero negativo. Multiplicao com mais de dois nmeros Relativos Multiplicamos o primeiro nmero pelo segundo. O produto obtido pelo terceiro e, assim, sucessivamente, at o ltimo fator. Exemplos:a) (+3) . (-2) . (+5) (-6) . (+5) = -30b) (-5) . (+4) . (-9) (-20) . (-9) = +180

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Diviso Voc sabe que a diviso a operao inversa da multiplicao. Observe: a) b) c) d) (+12) (-12) (+12) (-12 ) : : : : (+4) = (+3) (-4) = (+3) (-4) = (-3 ) (+4) = (-3 ) porque porque porque porque (+3) (+3) (-3 ) (-3) . . . . (+4) = +12 (-4 ) = -12 (-4 ) = +12 (+4) = -12

Diviso (+) : (+) = + Observaes: 1) A diviso nem sempre possvel em Z (+9) : (-2 ) = ( Z) (-) : (-) = + (+) : (-) = (-) : (+) = -

2) O zero nunca pode ser divisor (+5) (-2 ) Exerccios: Calcule: a) ( +5) + ( 3) ( +2) + ( 1) =b) 10 + {5 (3 + 1)} = c)

: :

0 0

impossvel impossvel

23 {1 + [5 (+3 2 + 1)]} =

d) ( +5 3) : 1 + 3 = e)

( ) ( 16 : 8) . ( +3 . 4) =

Potenciao e Radiciao Seja: 5x5x5

Essa multiplicao tem todos os fatores iguais. Podemos escrev-la assim: 5 x 5 x 5 = 5 = 125Departamento Regional SENAI - RO

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L-se: cinco terceira potncia ou cinco ao cubo. No exemplo:EXPOENTE

53 = 125BASE

POTNCIA

5 a base (fator que se repete) 3 o expoente (indica o nmero de fatores iguais) 125 a potncia O resultado da potenciao chama-se potncia. Casos Particulares 1) Todo nmero elevado ao expoente 1 igual ao prprio nmero. Exemplos: 8 = 8 3 = 3 15 = 15 2) Todo nmero elevado ao expoente zero igual a 1. Exemplos:7 40 0

= 1 = 1

= 1

Propriedades das Potncias 1) Multiplicao de Potncias de Mesma Base. Observe:3 x 3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 32 5 7

Logo:3 x 3 = 3 = 3 Concluso: Conservamos a base e somamos os expoentes.2 5 2+7 7

No exemplo: ( -4 ) = -64 a base - 4 o expoente 3 a potncia (resultado) - 64 64Departamento Regional SENAI - RO

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Propriedades: Para as operaes com potncias indicadas de mesma base, valem as mesmas propriedades j estudadas no conjunto IN . 1) Observe:5 . 5 = 5.5.5.5.5.5.5 =53 4 7

Voc notou que:5 . 5 = 53 4 3+4

De um modo geral:a .a =am n m+n

2) Observe:6 6 =5 2

/ / 66666 = 63 / / 665-2 3

Voc notou que:6 6 = 65 2

= 6

De um modo geral:a a =am n m+n

3) Observe:(5 ) = 5 .5 .5 = 52 3 2 2 2 2+2+2

= 5

De um modo geral:(a ) = am n m.n

Radiciao Vamos perguntar: Qual o nmero que elevado ao quadrado igual a 9 ? ( ) = 9 Soluo: (3 = 9) Essa operao a operao inversa da potenciao e chamada radiciao. Representa-se: 2 L-se: raiz quadrada de 9 3 3 = 9 29 = 3 O smbolo indica equivalncia. Outros exemplos: 2 5 = 25 2 25 = 5 L-se: raiz quadrada de 25 53 = 27 3 3

27 = 3

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L-se: raiz cbica de 27 32 = 4 4

16 = 216

L-se: raiz quarta de 16 2 Nomenclatura No exemplo:ndice2

radical9 = 3

raiz

radicando

a) 2 o ndice b) 9 o radicando c) 3 a raiz d) o radical

No necessrio escrever o ndice 2 no radical para a raizquadrada. Raiz Quadrada de Nmeros Racionais. Pela definio de raiz quadrada, j estudada para os nmeros naturais, temos:4 2 2 , pois = 3 9 3 Ento: 4 = 9 4 92

= 2 3

4 9

Para se extrair a raiz quadrada de uma frao, extrai-se a raiz quadrada do numerador e a raiz quadrada do denominador. Exerccios - Potenciao e Radiciao 1) Escreva na forma de potncia: a) b) c) d) 7 4 9 2 . . . . 7 4 9 2 = .4= .9.9.9= .2.2=

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2) Calcule o valor das potncia:a) 2 = b) 7 = c) 5 = d) 3 = e) 4 = f) 2 =4 3 2 2 2 3

g) 8 = h) 5 = i) j) l) 3 = 2 =4 2 5 4 3

m) 6 = n) 1 = o) 3 = p) 1 = q) 13 = r) 10 =2 2 8 5 5

k) 0 = 2 =

3) Calcule o valor das expresses:a) 2 + 10 = b) 5 + 3 . 4 = c) 5 + 4 - 1 = d) 3 - 6 + 2 =4 3 2 2 2 3

4) Complete:a) 8 = b) 0 = c) 3 =1 6 0

d) 0f)

72 1

g) 10 = h) 10 = i) 10 =3 2

e) 14 =172

5) Observe e complete:a) 2 . 2 =................................... = b) 5 . 5 =................................... = c) 7 . 7 =.................................... = d) 3 . 3 =................................... = e) 9 . 9 . 9 = ............................. = f) 4 . 4 . 4 = .............................. =6 2 2 4 2 5 2 2 3 5

h) 5 5 = ................................... = i) j) 3 3 =.................................. = a a =.................................. =4 2 6 5 7 7

k) ( 7 ) = ..................................... = 3 9 l) ( 2 ) = ..................................... =

m) ( a ) = ..................................... =

5 3

g) 8 8 =.................................. =

6) Calcule:a) 2 3 4 72

3 5 1 3

2 3

7) Determine o valor das expresses numricas:a) 1 1 + 2 22 2 3

2 9 = 3 8 3 2 5 52 2

3 b) 1 5

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Exerccios - Radicais 1) Complete:a) b) c)2 2 2

= ....................................pois 3 =2 2

d) e)

2 2

49 = ....................................pois 7 = 49 4 = ....................................pois 2 =2

16 = ....................................pois 4 = 16 36 = ....................................pois 6 = 36

2) Complete:a) b) c)3

= .............................pois 2 =

d) e)

64 = .............................pois 43 = 81 =..............................pois 34 =

16 = .............................pois 24 = 27 = .............................pois 33 =

Figuras Espaciais, Volume Introduo Os objetos com os quais temos contato na vida diria ocupam uma certa poro do espao. So chamados slidos geomtricos ou figuras geomtricas espaciais. Slido geomtrico ou figura geomtrica espacial todo conjunto de pontos, subconjunto do espao, em que seus pontos no pertencem todos a um mesmo plano. Para voc saber a quantidade de espao ocupado por um slido, deve compar-lo com outro tomado como unidade. O resultado da comparao um nmero, denominado volume do slido. Unidade de Volume Ns podemos escolher, em princpio, qualquer slido como unidade de volume. Na prtica, escolhe-se como volume unitrio o volume de um cubo. O cubo de aresta igual a 1m de comprimento, a unidade fundamental de volume e chama-se metro cbico: m3. Observe as figuras abaixo.

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Mltiplos e Submltiplos do Metro Cbico Unidade fundamental: metro cbico, que o volume de um cubo com 1m de aresta. Smbolo: m (3 ! trs dimenses da figura espacial). Freqentemente, na prtica, necessrio subdividir essa unidade, para poder medir determinado volume. Da necessidade de subdiviso ou ampliao da unidade fundamental, surgem os mltiplos e submltiplos do metro cbico. Os mltiplos e submltiplos do metro cbico so os volumes dos cubos que tm para arestas os mltiplos e submltiplos do metro.

Os principais mltiplos e submltiplos do metro cbico so:

Pelo fato das unidades de volume variarem de 1.000 em 1.000,ao invs de voc escrever: 35,24 dm, conveniente escrever: 35,240 dm L-se: trinta e cinco decmetros cbicos e duzentos e quarenta centmetros cbicos: Mudana de Unidade A vrgula se desloca de trs em trs algarismos como mostra o exemplo: 0,065 000 dam = 65,000 m - 65 000 dm acrescenta-se zeros, quando necessrio.Departamento Regional SENAI - RO

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Volume - Exerccios 1) Coloque a unidade correspondente: 4,250 m = 4 250 000 ................. 3 265 mm = 3,265 .................... 0,072500 dm = 72 500 .............. 4 275 cm = 0,004 275 ............... 2) Faa a leitura das seguintes medidas, conforme exemplo: a) 4,725 dam = 4 dam e 725 m b) 3452,370 dm = ............... e ............... c) 0,0003 cm = ............... d) 48,725683 dam = ............... e) 3,480 mm = ............... f) 87,350 m = ............... 3) Faa as redues indicadas, das seguintes medidas: a) 523,775 m .................................... b) 0,328472 dam.................................... c) 0,003 cm .................................... d) 45 hm .................................... e) 58976 dm .................................... f) 4,379 cm .................................... 4) Faa as converses indicadas: a) b) c) d) 523,450 dm = ................................ cm 2,576 400 m = ................................ dm 0,075 dm = ................................ mm 51,325 cm = ................................ mm mm m dam dm m dm

5) Faa as operaes indicadas: a) 4,350 m - 235,200 dm = ..................... m b) 825,030 dm + 52 354 cm = ..................... cm

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Prismas e Cilindro So slidos limitados por dois polgonos congruente e paralelose por tantos paralelogramos quantos so os lados dospolgonos.

De modo geral, o volume do prisma e do cilindro calculado multiplicando-se a rea da base pela medida da altura, isto :V = B . H

onde B representa a rea da base, e H, a medida da altura. Veja a seguir como calcular o volume de alguns prismas (cubo, paraleleppedo) e ainda do cilindro. Cubo o slido limitado por seis faces quadradas congruentes. O volume do cubo calculado elevando-se a medida da aresta ao cubo, isto :V = a3

Se a = 20 cm, ento: V V V V = = = = a 20 20 x 20 x 20 8 000 cm

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Paraleleppedo Retngulo o slido geomtrico que possui seis faces retangulares congruentes, duas a duas. O volume do paraleleppedo retngulo determinado pelo produto de suas trs dimenses, isto :

V = a b c

Se a = 10 cm

b = 5 cm

c = 3 cm V = ....................... cm3

teremos: V = 10 x 5 x 3 Cilindro de Revoluo

o slido gerado por um retngulo que gira em torno de um dos lados. O seu volume obtido multiplicando-se rea da base ( r ) pela medida da altura H.

V = r2 . H

onde r (raio) metade do dimetro (D) Se D = 20 cm Como: V = r . H V = ............ 10 ............ V = .............

r = 10 cm

H = 20 cm

Pirmides Retas e Cones Circulares Retos Pirmides so slidos que tm por base um polgono Veja como calcular o volume da pirmide e do cone. 72Departamento Regional SENAI - RO

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Veja como calcular o volume da pirmidi e do cone. Pirmide o slido limitado por um polgono qualquer e por tringulos que tm vrtice comum. O polgono a base e os tringulos so as faces da pirmide. As pirmides so classificadas de acordo com as bases. O segmento de reta perpendicular base, a partir do vrtice comum, chama-se altura da pirmide. Voc calcular o volume da pirmide multiplicando um tero da rea da base pela altura, isto :

V =

1 3

V =

BH 3

onde B representa a rea da base, e H a medida da altura. Exemplo: Calcule o volume da pirmide de base retangular abaixo representada.V = B . H 3 V = (100 . 50) . 75 33

V = .................................................. mm

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o slido gerado por um tringulo retngulo que gira em torno de um de seus catetos. Percebeu? O volume do cone obtido pelo produto de um tero da rea da base1 2 r pela altura (H). 3V = 1 2 r H 3 e V =

Cone

r2 H 3H = 10 cm

Se D = 12 cm ento V = 1 2 r H 3

R = 6 cm V =

1 2 ............ 6 .............. 3

V = ...................

Tronco de Pirmide, Tronco de Cone e Esfera Sem definir, vamos apresentar para voc esses slidos geomtricos e tambm as respectivas frmulas para o clculo dos seus volumes. Tronco de pirmide

V =

H ( AB + A b + 3

AB . A b )

onde: H AB Ab = medida da leitura = rea da base maior = rea da base menor

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Tronco de coneV =

H (R2 + r 2 + R . r ) 3onde: H R r 3,14 = medida da leitura = media do raio maior = medida do raio menor R = r = D 2 d 2

EsferaV = 4 r3 3 ou V = D3 6

onde: r D 3,14 = medida do raio da esfera = dimetro r = D 2

Prismas e Cilindro - Exerccios 1) Calcule o volume das seguintes figuras espaciais, dadas as dimenses em milmetros. a)

Resposta: V = .............................. mmDepartamento Regional SENAI - RO

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Resposta: V = .............................. mm c)

Resposta: V = .............................. mm d)

Resposta: V = .............................. mm e)

Resposta: V = .............................. mm 76Departamento Regional SENAI - RO

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Resposta: V = .............................. mm g)

Resposta: V = .............................. mm h)

Resposta: V = .............................. mm Tpicos Especiais Teorema de Pitgoras Pitgoras foi um matemtico grego do sc. VI a.C. Ele descobriu uma relao mtrica que, at hoje, um dos mais famosos e importantes teoremas da Matemtica. Veja o enunciado do teorema de Pitgoras. Em qualquer tringulo retngulo, a somados quadrados dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa.Departamento Regional SENAI - RO

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Usando uma figura, escrevemos o teorema de Pitgoras de um modo bem simples:

.b + c = a

b a

onde: tringulo retngulo o tringulo que apresenta um ngulo de 90. catetos so os lados que formam o ngulo reto. hipotenusa o lado oposto ao ngulo reto. Exemplo: Conhecendo as medidas de dois lados de um tringulo retngulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado, usando o teorema de Pitgoras.82 2

+ 6

= a

2 2

= 64 + 36 a

= 100 a =

100

= 10

8 a

Portanto, a = 10. Observao: Considere um tringulo de lados a, b e c, com b + c = a. Nada dissemos sobre seus ngulos, mas pode-se demonstrar que esse tringulo tem um ngulo reto. Em outras palavras, o recproco do teorema de Pitgoras tambm vlido. Teorema de Pitgoras - Exerccios 1) Nesses tringulos retngulos, conhecemos as medidas dos catetos. Calcule as medidas das hipotenusas: a)

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2) Nesses tringulos retngulos, conhecemos as medidas de um cateto e da hipotenusa. Calcule a media do outro cateto. a)

12b)

61 60Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo Estudaremos, agora, um meio de calcular os lados e os ngulos de um tringulo retngulo mediante relaes, chamadas Relaes Trigonomtricas. Consideremos o tringulo retngulo ABC. B o ngulo agudo considerado.

BC a hipotenusa. AB o cateto oposto ao ngulo C AC o cateto adjacente (vizinho, contguo ou junto) ao ngulo C .

ADepartamento Regional SENAI - RO

.15

B79

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B o ngulo agudo considerado.

BC a ........................................ AB o ............................. ao ngulo B AC o ............................... adjacente (vizinho, contguo ou junto) ao ngulo B .

ASeno de um ngulo Agudo Seja o ngulo agudo A

, de lados AB e AC.

B B B

Os seguimentos BC, BC, BC,.... perpendiculares a AB ,determinam tringulos retngulos semelhantes: ABC ABC ABC ................... Tendo em vista a semelhana entre os tringulos, podemos estabelecer que os lados correspondentes so proporcionais valendo, ento, as seguintes razes de mesmo valor:m (BC) m (BC) m (B C ) = = m ( AB) m ( AB) m ( AB)

O valor comum dessas razes chama-se seno da medida do ngulo A e indica-se:RAZES DE SEMELHANAm (BC) m ( AB) = m (B C ) m ( AB ) = m (B C) m ( AB )

NOME medida do cateto oposto sen o de A medida da hipotenusa

cat. op. sen o A hip.Observe os exemplos e complete as igualdades: 80Departamento Regional SENAI - RO

INDICAO cat. op. sen o A hip.

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sen x =

b a

sen 70 = sen 20 =

c b d b

sen 30 = sen 60 =

50mm 100mm 86,6mm 100mm

c sen y = a

sen x = ............

sen 75 = .......... sen 15 = ..........

sen 30 = .......... sen 60 = ...........

sen y = ............

Co-Seno de um ngulo Agudo Seja ngulo agudo A , de lados AB e AC.

B B B

Os seguimentos BC, BC, BC,... perpendiculares a AB determinam tringulos retngulos semelhantes (caso A . A): ABC ABC ABC ...................

Em virtude da semelhana entre os tringulos, podemos estabelecer que os lados correspondentes so proporcionais valendo, ento, as seguintes razes do mesmo valorDepartamento Regional SENAI - RO

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m ( AC) m ( AC ) m ( AC ) = = = ........ m ( AB) m ( AB ) m ( AB)

O valor comum dessas razes chama-se seno da medida do ngulo A e indica-se:RAZES DE SEMELHANA NOME medida do cateto adjacente co sen o de A medida da hipotenusa

INDICAO cat. adj. cos A hip.

m ( AC) m ( AC ) m ( AC ) = = m ( AB) m ( AB ) m ( AB )

cat. adj. co sen o A hip.

Obeserve os exemplos e complete as igualdades:

cos Y = ........... cos Z = ............

cos P = ............ cos R = ............

cos 8

99mm 100mm 13,9mm 100mm

cos 1230 = ............

cos 82 =

cos 6730 = ............

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Tangente de um ngulo Seja um ngulo agudo A , de lados AB e AC.

B B B

Os seguimentos BC, BC, BC, .... perpendiculares a AB ,determinam tringulos retngulos semelhantes (caso A . A): ABC ABC ABC ...................

Tendo em vista a semelhana entre os tringulos, podemos estabelecer que os lados correspondentes so proporcionais valendo, ento, as seguintes razes do mesmo valor:m (BC) m (B C ) m (B C ) = = = ......... m ( AC) m ( AC ) m ( AC )

se:

O valor comum dessas razes chama-se tangente da medida do ngulo A e indica-

RAZES DE SEMELHANA

NOME tan gente de A medida do cateto oposto medida do cateto adjacente

m (BC) m (B C ) m (BC ) = = m ( AC) m ( AC ) m ( AC )

cat. op. tg. A cat. adj.

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INDICAO cat. op. tan gente A cat. adj.

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Observe os exemplos e complete as igualdades:

b tg X = c c tg W = b

tg C = ......................... tg B = ..........................

Exerccios Leia com ateno as questes, faa os clculos e marque a resposta certa: 1) Uma escola funciona em dois turnos. No matutino h 8 turmas de 35 alunos, no vespertino 7 turmas de 38 alunos. Qual o nmero total de alunos da escola? a) b) c) d) ( ( ( ( ) ) ) ) 88 alunos. 546 alunos. 1.095 alunos. 74.480 alunos.

2) Numa estante cabem 270 livros. Em cada prateleira so arrumados 45 livros. Quantas prateleiras so? a) b) c) d) ( ( ( ( ) 225 prateleiras ) 315 prateleiras ) 6 prateleiras ) 12.150 prateleiras3 4

3) Lus percorreu

da distncia entre sua casa e seu trabalho. Sabendo-se que

a distncia entre a casa de Lus e o seu trabalho de 1.200m, quanto falta para Luis percorrer at chegar ao trabalho? a) b) c) d) ( ( ( ( ) ) ) ) 900m. 1.600m. 600m. 300m.

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4) Dividiu-se uma chapa de ferro de 10 cada corte

1 8

em 5 pedaos iguais, perdendo-se em

1 . Qual o comprimento de cada pedao? 32 1 a) ( ) 2 2

b) ( c) ( d) (

) 1 ) 2 )1 1 16

5) Qual das fraes abaixo a menor:a) ( b) ( c) ( d) ( ) ) ) ) 6 5

7 3 3 9 5 2

6) Qual das solues abaixo est incorreta:a) ( b) ( c) ( d) ( ) ) ) ) 8 2 4 = 9 9 8 5 1 1 + = 4 3 3 6 6 10 8 1 2 + = 5 3 3 3 3 3 15 1 x 5 = 2 2 2

7) Quantos canos de 5 metros so necessrios para uma instalao de gs de 8km de comprimento? a) b) c) d) ( ( ( ( ) ) ) ) 160 canos. 1.600 canos. 40 canos. 16.000 canos.

8) Qual das operaes abaixo est incorreta? a) ( ) 38,5 x 1,26 = 49,510 c) ( ) 4,14 . 4,6 = 0,90 b) ( ) 2 - 0,4673 = 1,5327 d) ( ) 0,005 + 12,3 + 8,47 + 48 = 68,775

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Observe a figura abaixo e responda as questes que se seguem. = 3,14 unidade = m (metro).

9) O valor da rea : a) b) c) d) ( ( ( ( ) ) ) ) 34,465m 43,065m 39,820m 37,465m

10) O valor do permetro : a) b) c) d) ( ( ( ( ) ) ) ) 27,00m. 30,42m. 35,13m. 38,42m

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Unidade Dimensionais As unidades de medidas dimensionais representam valores de referencia, que permitem: Expressar as dimenses de objetos (realizaes de leituras de desenhos mecnicos); Confeccionar e, em seguida, controlar as dimenses desses objetos (utilizao de a de aparelhos e instrumentos de medidas). Exemplos: A altura de torre EIFFEL e de 300 metros; a espessura de um afolha de papel para cigarros de 30 micrmetros. A torre EIFFEL e a folha de papel so objetos. A altura e a espessura so grandezas. 300 metros e 30 micrmetros so unidades. Sistemas Mtricos Decimal Histrico: O metro, unidade fundamental do sistema mtrico, criado na Frana em 1975, praticamente igual dcima milionsima parte do quarto do meridiano terrestre ( fig.1); esse valor, escolhido por apresentar carter mundial, foi adotado, em 20 de maio de 1875, como unidade oficial de medidas por dezoito naes. Observao: A 26 de Junho de 1862, a lei imperial n 1157 adotava, no Brasil, o sistema mtrico decimal.

Figura 01

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Definio do Metro O metro definido por meio da radiao correspondente transio entre os nveis 2 p 10 e 5 d 5 do tomo de criptnio 86 e igual, por conveno, 1650763,73 vezes o comprimento dessa onda no vcuo. O 2 p 10 e 5 d 5 representa a radiao por usar na raia vermelha laranja do criptnio 86. Seu comprimento de onda de 0,6057 micrmetros. Metro Padro Universal O metro padro universal a distancia materializada pela gravao de dois traos no plano neutro de uma barra de liga bastante estvel, composta de 90% de platina e 10% de irdio, cujo seco, de mxima rigidez, tem a forma de um X (fig. 2).

Figura 02 Multiplos E Submultiplos do Metro

Dividendo

4051 - 40__ 051 - 48 03

8 506

Divisor Quociente

Resto

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Unidades No Oficiais Sistemas Ingls e Americano Os paises anglo-saxes utilizam um sistema de medidas baseado na jarda imperial (yard) e seus derivados no decimais, em particular a polegada inglesa (inch), equivalente a 25,399 956 mm temperatura de 0C. Os americanos adotam a polegadas milesimal, cujo valor foi fixado em 25,400 050 8 mm temperatura de 16 2/3C. Em razo da influencia anglo-saxnica na fabricao mecnica, emprega-se freqentemente, para as medidas industriais, temperatura de 20C, a polegada de 25,4 mm. Observao: Muito embora a polegada esteja com data de extino marcada, na Inglaterra, para 1975, ser aplicada em nosso curso, em virtude do grande nmero de maquinas e aparelhos utilizados pelas indstrias no Brasil que obedecem a esses sistemas. Normas Gerais de Medio Medio uma operao simples, porem s poder ser bem efetuada por aqueles que se preparam para tal fim. O aprendizado de medio dever ser acompanhado por um treinamento, quando o aluno ser orientado segundo as normas gerais de medio. Normas Gerais De Medio: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tranqilidade Limpeza Cuidado Pacincia Senso de Responsabilidade Sensibilidade Finalidade da posio medida Instrumento adequado Domnio sobre o instrumento

Recomendaes Os instrumentos de medio so utilizados para determinar grandezas. A grandeza pode ser determinada por comparao e por leitura em escala ou rgua graduada. E deve de todos os profissionais zela pelo bom estado dos instrumentos de medio, mantendo-se por maior tempo sua real preciso.Departamento Regional SENAI - RO

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Transformao De Medidas No decorrer do curso, sero introduzidos vrios tipos de transformao de medidas, os quais sero mencionados de acordo com a aprendizagem dos diversos sistemas de unidade de medidas. 1a . Transformao Transformar polegadas e milmetro. 1 CASO Transformar polegadas inteiras em milmetros. Para se transformar polegada inteira em milmetros, multiplica-se 25,4 mm, pela quantidade de polegadas por transformar. Ex: Transformar 3" em milmetros 25,4 x 3 = 76,2 mm

2 CASO Transformar frao de polegada em milmetro. Quando o numero for fracionrio, multiplica-se 25,4 mm pelo numerador da frao e divide-se o resultado pelo denominador. Ex: Transformar 5/8" em milmetros.

3 CASO Transformar polegadas inteiras e fracionaria em milmetro. Quando o nmero for misto, inicialmente se transforma o nmero misto em uma frao imprpria e, a seguir, opera-se como no caso 2 Caso. Ex: Transforma em milmetros.

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2a . Transformao Transformao milmetro em polegada. Para se transformar milmetro em polegadas, divide-se a quantidade de milmetros por 25,4 e multiplica-se o resultado por uma das divises da polegada, dando-se para denominar a mesma diviso tomada, e, a seguir, simplifica-se ao numerador. Ex: Transformar 9,525 mm em polegadas.

Simplificando a frao teremos:

Aplicando Outro Processo Multiplica-se a quantidade de milmetros pela constante 5,04, dando se como numerador a parte inteira do resultado da multiplicao a menor frao da polegada, simplificando-se a frao, quando necessrio. Ex: Transformar 9,525 mm em polegadas.

Simplificando a frao teremos:

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Referncias

Apostila de Clculo Tcnico - Teoria. Disciplina Instrumental. SENAI PR. Apostila de Clculo Tcnico - Exerccios. Disciplina Instrumental. SENAI PR. Apostila de Metrologia - Exerccios. Disciplina Instrumental. SENAI RO. Apostila de Matemtica Bsica. SENAI CEP da CIC. CENTRION, Marlia. JAKUBOVIC. Jos. LELLIS, Marcelo. Matemtica na Medida Certa. 5 srie. 9 edio. So Paulo - SP. Ed. Scipione. CENTRION, Marlia. JAKUBOVIC. Jos. LELLIS, Marcelo. Matemtica na Medida Certa. 6 srie. 9 edio. So Paulo - SP. Ed. Scipione. www.somatematica.com.br - Acesso em 01/12/06 23/12/06.

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