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MATEMÁTICA Aula 29 Matrizes e Determinantes

Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

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Page 1: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

MATEMÁTICA

Aula 29

Matrizese

Determinantes

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Multiplicação de Matrizes

O produto existe se:

A m x n . B n x p Existência do Produto

=

Multiplicação de Matrizes

A ordem da matriz produto é:

A m x n . B n x p = AB m x p Ordem do Produto

ORDEM

Page 3: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

Exemplo:

˙˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È

-=

187065

B4321

A

A 2 x 2 . B 2 x 3 Existe o Produto

=

˙˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È

-=

187065

B4321

A

A 2 x 2 .B 2 x 3 = AB 2 x 3 =

ORDEM

˙˚

˘ÍÎ

È

Page 4: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

A.B = =˙˚

˘ÍÎ

È˙˚

˘ÍÎ

È

- 103065

.4321

11

p11 = 1.5 + 2.3 = 11

A.B = 11 6

p11 = 1.5 + 2.3 = 11

p12 = 1.6 + 2.0 = 6

˙˚

˘ÍÎ

È

˙˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È˙˚

˘ÍÎ

È

- 103065

.4321

Page 5: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

A.B = 11 6 2

p11 = 1.5 + 2.3 = 11

p12 = 1.6 + 2.0 = 6

p13 = 1.0 + 2.1 = 2

A.B = 11 6 2

-3

p21 = -3.5 + 4.3 = -3

˙˚

˘ÍÎ

È=˙˚

˘ÍÎ

È˙˚

˘ÍÎ

È

- 103065

.4321

˙˚

˘ÍÎ

È=˙˚

˘ÍÎ

È˙˚

˘ÍÎ

È

- 103065

.4321

Page 6: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

A.B = 11 6 2

-3 -18

p21 = -3.5 + 4.3 = -3

p22 = -3.6 + 4.0 = -18

A.B = 11 6 2

-3 -18 4

p21 = -3.5 + 4.3 = -3

p22 = -3.6 + 4.0 = -18

p32 = -3.0 + 4.1 = 4

˙˚

˘ÍÎ

È=˙˚

˘ÍÎ

È˙˚

˘ÍÎ

È

- 103065

.4321

˙˚

˘ÍÎ

È=˙˚

˘ÍÎ

È˙˚

˘ÍÎ

È

- 103065

.4321

Page 7: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

˙˚

˘ÍÎ

È

--=˙

˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È

-=

41832611

B.A187065

B4321

A

B 2 x 3 . A 2 x 2 Não Existe o Produto

g

Exemplo de aplicação:

Jaqueta 1 Jaqueta 2

Botões Pequenos 2 4

Botões Grandes 6 3

Page 8: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

Março Abril

Jaqueta 1 10 12

Jaqueta 2 7 9

Jaqueta 1 Jaqueta 2 Março Abril

B.Pequenos 2 4 Jaq. 1 10 12

B.Grandes 6 3 Jaq. 2 7 9

˙˚

˘ÍÎ

È

++

++=˙

˚

˘ÍÎ

È˙˚

˘ÍÎ

È

2772216036242820

971210

.3642

Page 9: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

Jaqueta 1 Jaqueta 2 Março Abril

B.Pequenos 2 4 Jaq. 1 10 12

B.Grandes 6 3 Jaq. 2 7 9

Matriz Transposta

˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

=fi˙˚

˘ÍÎ

È=

zcybxa

Azyxcba

A t

Note que: “o que é linha em A vira coluna em tA ”.

˙˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È˙˚

˘ÍÎ

È

99816048

971210

.3642

Page 10: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

Propriedades da Transposta

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(K.A)t = K.At

(A.B)t = Bt . At

Page 11: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

Matriz Inversa

Definição:

Determinantes

Ordem 1

A = [a11]

det A = |a11| = a11

A = [10] fi det A = |10| = 10

nn

1

n

1

nn IA.AA.A == --

˙˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È˙˚

˘ÍÎ

È

-

-=˙

˚

˘ÍÎ

È

-

-˙˚

˘ÍÎ

È

1001

4131

.1134

1134

.4131

Page 12: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

Determinantes

Ordem 2

A = 2221

1211

2221

1211

aaaa

aaaa

˙˚

˘ÍÎ

È

a12.a21 a11.a22

det A = a11.a21 – a12.a21

A = 4312

4312

˙˚

˘ÍÎ

È

1.3 2.4

det A = 8 – 3 = 5

Page 13: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

M = xsenxcosxcosxsen

xsenxcosxcosxsen -

˙˚

˘ÍÎ

È -

- cos2x sen2x

det M = sen2x – (-cos2x)

det M = sen2x + cos2x = 1

Determinantes

Ordem 3

SECUNDÁRIO PRINCIPAL

det A = Principal - Secundário

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

Page 14: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

Considere as matrizes ˜̃¯

ˆÁÁË

Ê

-=˜

˜¯

ˆÁÁË

Ê

+=

xyz4

Bezy2

0xA2

Se A = Bt, qual o determinante da matriz

˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê -

25411z1yx

?

Page 15: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

Resolução:

A = Bt

˜̃¯

ˆÁÁË

Ê

-=˜

˜¯

ˆÁÁË

Ê

+=

xzy4

zy20xA

2

ÔÔ

Ó

ÔÔ

Ì

Ï

-=fi-=+

=

=

=

fi

2xxzy2z0y4x2

˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê --

=˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁ

Ë

Ê -

254112102

25411z1yx

Page 16: Matemática - Aula 29 - Matrizes e Determinantes

0)14(14541202

254112102

=---=

---

-4 -10 0 -4 0 -10

-14 -14