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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
SEM COMPLICAÇÃO...
Afonso Carioca
IDENTIFICANDO OS COEFICIENTESSeja uma equação de 2º grau escrita na sua forma normal:
Identifiquemos os coeficientes numéricos “a”, “b” e “c”. Acompanhe no exemplo a seguir:
2ax bx c 0
25x 3x 8 0
Onde :
a 5 b 3 c 8
CALCULANDO O DISCRIMINANTEO discriminante da equação de 2º grau é dado pela expressão:
No nosso exemplo, temos:
2b 4ac
2
2
b 4ac
Susbtituindo :
3 4 5 8 9 160 169 169
APLICANDO A FÓRMULA DE BHÁSKARAVamos, agora, aplicar a Fórmula de Bháskara:
1
bx
2a
Substituindo :
3 169 3 13x
2 5 10
Assim :
3 13 16x
10
2
101 2 22
8 8 3 13 10x e x 1 x 1
5 5 10 10
8S ,1
5
EXEMPLO 01: 5x² - x - 6 = 0
2
22
1 1
2
5x x 6 0
Coeficientes :
a 5 b 1 c 6
Discri min ante :
b 4ac 1 4 5 6 1 120 121 121
Fórmula de Bháskara :
1 121b 1 11x
2a 2 5 10
Assim :
1 11 10x 1 x 1
10 10
e
1 11 12x
10
2
1022
6 6x
5 5
EXEMPLO 02: 4x² - 4x + 1 = 0
2
22
4x 4x 1 0
Coeficientes :
a 4 b 4 c 1
Discri min ante :
b 4ac 4 4 4 1 16 16 0 0
Fórmula de Bháskara :
4 0b 4 0 4x
2a 2 4 8
4
84
1 2 1 2
1
2
Assim :
b 1x x 0 x x
2a 2
EXEMPLO 03: x² - 4x + 5 = 0
2
22
x 4x 5 0
Coeficientes :
a 1 b 4 c 5
Discri min ante :
b 4ac 4 4 1 5 16 20 0 4
Fórmula de Bháskara :
b0 x i, i 1 unidade imaginária
2a 2a
Assim :
44b 4 4 2x i i i 2 i 2 i x 2 i
2a 2a 2 1 2 1 2 2 2
Raízes Complexa
1 2
s Conjugadas :
x 2 i e x 2 i
RELAÇÕES DE GIRARDDada uma equação de 2º grau ax² + bx + c = 0, existe duas relações entre suas raízes reais ou complexas e seus coeficientes “a”, “b” e “c”. Assim, temos:
Com essas relações podemos compor qualquer equação de 2º grau, uma vez conhecidas suas raízes e também podemos resolver equações de 2º grau sem o emprego da Fórmula de Bháskara. É o que veremos nos próximos slides.
1 2x e x
1 2
1 2
bx x
a
cx x
a
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAUExemplo 01: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 5.
Solução:
2
b b2 5 3 b 3a
a a
c c2 5 10 c 10a
a a
Fazendo :
a 1 b 3 e c 10
Assim :
x 3x 10 0 é a equação solicitada.
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAUExemplo 02: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e .
Solução:
ELIMINANDO2 2
OS DENOMINADORES
2
1 b 9 b 9a2 b
5 a 5 a 5
1 c 2 c 2a2 c
5 a 5 a 5
Fazendo :
9 2a 1 b e c
5 5
Assim :
9 2x x 0 5x 9x 2 0
5 5
5x 9x 2 0 é a equação solicitada.
1
5
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO D0 2º GRAUPoderíamos resolver os exemplos anteriores de uma outra forma, mas para issoprecisamos saber que toda equação de 2º grau que admite raízes racionais (fracionáriasou inteiras) pode ser decomposta em um produto de dois binômios de 1º grau.Assim:
Exemplo 01: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 5.
Solução:
1 2x e x
2
1 2ax bx c 0 a x x x x 0
1 2
2
1 2
2
Se x 2 e x 5
x x x x 0 x 2 x 5 0 x 5x 2x 10 0
x 3x 10 0 é a equação solicitada.
COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAUExemplo 02: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e .
Solução:
Analisando os dois métodos de solução, verificamos que o método da decomposição émais rápido. Mas você deve se sentir à vontade para escolher o método mais adequadoao seu aprendizado.
1
5
1 2
2
1 2
2 2
1Se x 2 e x
5
1 x 2x x x x 0 x 2 x 0 x 2x 0
5 5 5
Assim :
5x x 10x 2 0 5x 9x 2 0 é a equação solicitada.
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕESAnalisando os dois exemplos, podemos observar que uma equação de 2º grau possuiraízes inteiras se o coeficiente numérico do termo x² for igual à unidade; se estecoeficiente for diferente de um, então, a equação de 2º grau apresenta pelo menos umaraiz fracionária. É claro que, nesses casos, também é satisfeita a condição de odiscriminante Δ ser maior ou igual a zero.
Desta forma, podemos resolver TODA equação de 2º grau onde ∆≥0, usando a Relaçõesde Girad. Para isto devemos analisar os seguintes casos:
1º) Caso: ∆≥0 e a = 1
Resolva a equação de 2º grau sem utilizar a Fórmula de Bháskara.
Para resolvermos este exemplo precisamos encontrar dois números que somados sejamiguais a – b, ou seja, sua soma seja igual a 1; e que multiplicados sejam iguais a c, ou seja, oseu produto seja igual a – 30. Observe, se o produto é negativo esses números têm sinaiscontrários e se a soma é positiva, o número de módulo maior é positivo. Encontrando osdivisores de 30, facilmente encontramos + 6 e – 5, como as raízes desta equação.
2x x 30 0
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES2º) Caso: ∆≥0 e a≠1
Resolva a equação de 2º grau sem usar a Fórmula de Bháskara.
Para resolvermos esta equação, primeiro devemos escrever a seguinte equação auxiliar:
que foi obtida ao multiplicarmos 12 e -2 cujo produto é o novo termoindependente; com isso recaímos no caso anterior.
Precisamos encontrar dois números inteiros cuja soma seja igual a 5 e o produto seja igual a– 24 e, entre os divisores de 24, encontramos os 8 e -3 que satisfazem essas condições. Epara encontramos as raízes da equação original basta dividirmos esses números por 12 esimplificarmos as frações . Assim, obtemos:
212x 5x 2 0
2x 5x 24 0
1
8x
4
1224
2 3e x
3
3
123
1 1 2S ;
4 4 3
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕESOutras simplificações também são importantes na resolução de uma equação do 2º grausem que seja necessária a aplicação da Fórmula de Bháskara.
1ª) Se a + b + c = 0
Se uma equação do 2º grau apresentar a soma de seus coeficientes igual azero, então, temos as seguintes raízes:
Veja o exemplo a seguir (você pode conferir resolvendo através da Fórmula de Bháskara).
1 2
cx 1 e x
a
2
1 2
3x 5x 2 0
a 3 b 5 c 2
Mas :
a b c 0 3 5 2 0
Logo :
c 2 2x 1 e x S ;1
a 3 3
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕESÉ importante notar que toda equação polinomial (de qualquer grau) cuja soma de seuscoeficientes seja igual a zero, uma de suas raízes será igual à unidade. Com estapropriedade conseguimos abaixar o grau de uma equação polinomial.
2ª) Se b = a + c
Se uma equação do 2º grau apresentar a relação b = a+c, então, ela terá as seguintes raízes:
Acompanhe o exemplo a seguir:
2
1 2
3x 5x 2 0
a 3 b 5 c 2
Mas :
b a c 5 3 2
Logo :
c 2 2x 1 e x S 1;
a 3 3
1 2
cx 1 e x
a
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES3ª) Se c = 0
Numa equação do 2º grau cujo termo independente de x esteja ausente, significa que c = 0.Assim, suas raízes são:
O exemplo a seguir esclarece esta situação:
1 2
bx 0 e x
a
2
1 2
5x 16x 0
a 5 b 16 c 0
Assim :
16b 16 16x 0 e x S 0;
a 5 5 5
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES4ª) Se b = 0
Se a equação de 2º grau apresentar o termo de 1º grau nulo, então suas raízes serão simétricas.
(i) Se a e c tiverem sinais diferentes, as raízes serão simétricas e reais.
(ii) Se a e c tiverem sinais iguais, as raízes serão complexas conjugadas.
2 2 2 2246x 24 0 6x 24 x 4 x 4 x 4 x 2
6
2 2 2 21255x 125 0 5x 125 x 25 x 25
5
Assim :
x 25 i 25i x 5i
CONSIDERAÇÕES FINAISO objetivo dessa aula é apresentar a Equação do 2º Grau de uma forma descomplicada eque incentive todos que tenham dificuldade em resolver este tipo de equação queprocure resolver o maior número possível de exercícios, seguindo os passosapresentados nesses slides.
Espero que este material seja útil em seus estudos e toda comunicação de eventuaiserros ou dúvidas deverão ser dirigidas para os seguintes endereços eletrônicos:
Muito Obrigado!
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AFONSO CARIOCA – AULAS PARTICULARES
RUA 96 Nº 45 – SETOR SUL – GOIÂNIA – GO
FONES: (62) 3092-2268 / 9216-9668 / 8109-4036
