Matemática Básica Rev 02

Matemtica Bsica

SENAI CIMATEC

Matemtica Bsica

Salvador, 2012

Copyright 2009 por SENAI DR BA. Todos os direitos reservados

Departamento Regional da Bahia - DR/SENAI

Elaborador: Adriano Curvelo Pena jnior

Reviso Gramatical: Carla Roberta Cruz Prado

Reviso Pedaggica: Ana Cristina Luz Santos

Normalizao: Rita de Cssia Machado da Silva

Catalogao na fonte (NDI Ncleo de Documentao e Informao) ______________________________________________________________

SENAI-DR BA. Matemtica Bsica. Salvador, 2012. 45 p. il. (Rev.02).

1. Matemtica l. ttulo

CDD 510 ______________________________________________________________

SENAI CIMATEC Av. Orlando Gomes, 1845 - Piat

Salvador Bahia Brasil CEP 41650-010

http://www.senai.fieb.org.br

Matemtica Bsica

APRESENTAO

Com o objetivo de apoiar e proporcionar a melhoria contnua do padro de qualidade e produtividade da indstria, o SENAI BA desenvolve programas de educao profissional e superior, alm de prestar servios tcnicos e tecnolgicos. Essas atividades, com contedos tecnolgicos, so direcionadas para indstrias nos diversos segmentos, atravs de programas de educao profissional, consultorias e informao tecnolgica, para profissionais da rea industrial ou para pessoas que desejam profissionalizar-se visando inserir-se no mercado de trabalho.

Este material didtico foi preparado para funcionar como instrumento de consulta. Possui informaes que so aplicveis de forma prtica no dia a dia do profissional, e apresenta uma linguagem simples e de fcil assimilao. um meio que possibilita, de forma eficiente, o aperfeioamento do aluno atravs do estudo do contedo apresentado no mdulo.

Por ser um material dinmico, que merece constante atualizao e melhorias, caso o leitor encontre erros, inconsistncias, falhas e omisso de algum contedo, favor entrar em contato com a rea de Materiais e Metrologia do SENAI CIMATEC. Estamos sempre favorveis para melhoraria do nosso material didtico.

Matemtica Bsica

SUMRIO

1 CONJUNTO DOS NMEROS REAIS ..................... 1

1.1 NMEROS INTEIROS ........................... 1 1.2 CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS ......... 1

1.3 SUBCONJUNTOS DE ................................. 2 1.4 REPRESENTAO GEOMTRICA DOS

NMEROS INTEIROS ................................................. 2 1.5 OPOSTO OU SIMTRICO DE UM NMERO

INTEIRO ..................................................................... 3

2 RAZO ......................................................... 5

2.1 TERMOS DE UMA RAZO ............................ 5 2.2 TIPOS DE RAZES ........................................ 5

2.2.1 Razes Especiais .............................................................. 5

3 PROPORO ................................................ 7

3.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORES ............................................................ 7

4 REGRA DE TRS SIMPLES .............................. 8

4.1 NMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 8 4.2 NMEROS INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS: ...................................................... 9 4.3 GRANDEZAS DIRETAMENTE

PROPORCIONAIS ....................................................... 9 4.4 GRANDEZAS INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS ....................................................... 9

5 PORCENTAGEM ............................................... 10

6 GEOMETRIA PLANA ......................................... 12

7 SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDAS ............ 15

7.1 MEDIDAS DE COMPRIMENTO ................... 15 7.2 MEDIDA DE CAPACIDADE .......................... 16 7.3 MEDIDA DE MASSA ................................... 17 7.4 MEDIDAS DE SUPERFCIE .......................... 18 7.5 MUDANA DE UNIDADE DE REAS ........... 19 7.6 MEDIDA DE VOLUME ................................ 21 7.7 MUDANA DE UNIDADE ........................... 22

8 EQUAES ...................................................... 25

8.1 EQUAES DO 1 GRAU COM UMA VARIVEL ................................................................ 25

8.1.1 Sistemas de Equaes do 1 Grau ............................ 26 8.2 EQUAES DO 2 GRAU COM UMA

VARIVEL ................................................................ 27

REFERNCIAS ..................................................... 33

Matemtica Bsica

1

CONJUNTO DOS NMEROS REAIS 1

1 CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

o conjunto formado pela unio do conjunto dos nmeros racionais com o dos nmeros irracionais.

R = Q U I

Conclumos que:

N R Z R Q R I R N Z Q R Q e I so disjuntos ( Q I = ) 1.1 NMEROS INTEIROS

Ao operar com nmeros naturais (0, 1, 2, 3, ..), observamos que a subtrao

somente tinha sentido quando o primeiro nmero (minuendo) era maior ou igual ao segundo (subtraendo), como nos exemplos abaixo:

8 - 5 = 3 6 - 0 = 6 3 - 3 = 0

Nos casos em que o primeiro nmero era menor que o segundo, a subtrao tornava-se impossvel de ser realizada. Veja os exemplos:

5 - 8 = ? 0 - 8 = ? 1 - 6 = ?

Para tornar sempre possvel a subtrao, foi criado o conjunto dos nmeros inteiros que a reunio dos nmeros negativos, o zero e os nmeros positivos.

1.2 CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS

O conjunto dos nmeros inteiros indicado pela letra , logo temos que:

= { ...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Note que: O conjunto dos nmeros naturais () est contido no conjunto dos nmeros inteiros, isto , ( l-se: est contido em ).

Competncias e Habilidades:

Compreender os conceitos e propriedades aritmticas.

Resolver problemas que envolvam operaes com os conjuntos numricos.

Estabelecer relaes entre conjuntos e operar com eles.

Reconhecer, representar e operar todos os conjuntos numricos, considerando inclusive os nmeros complexos na forma algbrica.

Expressar-se com correo e clareza, na linguagem matemtica, usando a terminologia correta.

Aplicar conhecimentos e mtodos matemticos em situaes reais de vida.

Matemtica Bsica

2

Os nmeros inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal +.

Exemplos:

a) +6 = 6 b) +30 = 30 c) +1 = 1 d) +15 = 15

1.3 SUBCONJUNTOS DE

Subconjuntos de significam: Conjuntos que esto contidos em . Vejamos alguns:

Conjunto dos nmeros inteiros no nulos (ou diferentes de zero)

* = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }

Observaes: O asterisco (*) indica que o nmero zero foi retirado do conjunto.

Conjuntos dos nmeros inteiros positivos

*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } note que *+ = *

Conjunto dos nmeros inteiros negativos

Z*- = { ..., -3, -2, -1} ou { -1, -2, -3, ... }

Conjunto dos nmeros inteiros no positivos

Z- = { ..., -3, -2, -1, 0} ou { 0, -1, -2, -3, ... }

Conjuntos dos nmeros inteiros no negativos

+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } note que + =

EXERCCIOS

1. Usando os smbolos (pertence) e (no pertence), complete:

a) -4........ g) 12.......... Z*-

b) -2........ *

h) 0.......... Z*-

c) 0......... *

j) -1...........

d) -6........ *+ j) +9.......... e) -8........ . Z- k) -3.......... IN

f) -20........ + l) 4........... *+

1.4 REPRESENTAO GEOMTRICA DOS NMEROS INTEIROS

Os nmeros inteiros podem ser representados sobre uma reta. Para isso, desenhamos uma reta e, sobre ela, marcamos o ponto zero, que a origem da mesma.

A partir do ponto zero, marcamos direita e esquerda pontos com a mesma distncia.

Os pontos esquerda do zero correspondem aos nmeros negativos e, os direita, correspondem aos nmeros positivos.

Vejamos:

(essa reta denominada: reta numerada ou reta numrica) Comparao de nmeros inteiros

Comparar dois nmeros analisar:

a) Qual deles o maior; b) Se eles so iguais; c) Qual deles o menor.

Para tanto, usamos os smbolos:

l-se: menor do que >

Dados dois nmeros inteiros, o menor deles aquele que, na reta numerada, est esquerda do outro.

O nmero zero no positivo, nem negativo.

Matemtica Bsica

3

Exemplos:

a) -2 > -4 d) 6 < 7 b) -5 < 1 e) +8 > -25 c) -10 < -1 f) -6l7 > -618

Note que:

Todo nmero positivo maior do que qualquer nmero negativo.

Todo nmero negativo menor do que zero.

Todo nmero positivo maior do que zero.

Dados dois nmeros negativos, o maior o que est mais prximo do zero.

Dados dois nmeros positivos, o maior o que est mais afastado do zero.

EXERCCIOS

2. Usando os smbolos < , = , > , compare os nmeros inteiros abaixo:

a) -30.........1 f) 3............-10 b) 8.........-88 g) 0...........-16 c) 6..........-6 h) 0..............4 d) -15.......-16 i) -2.............-2 e) -11......-14

1.5 OPOSTO OU SIMTRICO DE UM NMERO INTEIRO

Na reta numerada, nmeros opostos so aqueles que esto a uma mesma distncia do ponto zero, um direita e o outro esquerda.

Exemplos: a) - ( +1 ) = -1 b) - ( -4 ) = 4 c) - ( -25 ) = 25 d) - ( +2 ) = -2

Exemplos:

a) O oposto de 1 1 b) O oposto de -4 4

c) O simtrico de -25 25 d) O oposto de zero o prprio zero.

Em outras palavras, o oposto de um nmero qualquer ele mesmo com o sinal trocado, exceto o zero.

Observao importante: Quase sempre, ao invs de

perguntarmos, por exemplo: Qual o oposto de -2? Faremos usando smbolos matemticos, assim:

- ( -2 ), l-se: o oposto de -2.

Note que o oposto sempre indicado com o sinal ( - ) antes dos parnteses.

EXERCCIOS

3. Determine:

a) O oposto de +8.......................... b) O simtrico de 10.................... c) O oposto de 49.......................... d) - ( -16 ) =................................... e) - ( +15 ) =.................................. f) - ( -11 ) =...................................

MDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NMERO INTEIRO

Mdulo ou valor absoluto de um nmero inteiro o prprio nmero sem o sinal, isto , o mdulo de um nmero inteiro sempre um nmero positivo, com exceo do zero, cujo mdulo ele mesmo.

O mdulo de um nmero a qualquer indicado por a entre barras.

Exemplos:

a) +5 = 5 b) -6 = 6 c) -5= 5 d) -35 = 35 e) +8 = 8 f ) 0 = 0

EXERCCIOS

4. Determine:

a) | - 725 | =

Matemtica Bsica

4

b) | +100 | = c) |+75 | = d) O valor absoluto de -21 e) |-33 | = f) O mdulo de - 21

5. Usando os smbolos < , = , > , complete:

a) | -6 | ............ | + 2 | b) | +10 | .........| - 12 | c) | -5 | .............| +5 | d) | - 31| ......... 100 e) | 0 | ...........| - 4 | f ) - 5............... | -10 |

TEXTO COMPLEMENTAR

A Origem dos Nmeros

Tudo indica que os nmeros surgiram por motivos

religiosos e pela necessidade de contar. Enquanto viviam como nmades, os homens no tinham necessidade de contar, pois tudo o que precisavam retiravam da natureza. Ao se tornar sedentrio, o homem fixou-se no solo e deixou de viver exclusivamente da coleta de alimentos, da pesca e da caa. Para fixar-se em um determinado local, era preciso produzir tudo o que a natureza fornecia para a sua sobrevivncia, sem esgotar os recursos naturais disponveis. Surgiram assim a agricultura e a criao de animais domsticos, garantindo a sobrevivncia dos grupos humanos em um mesmo local.

Houve, portanto, uma profunda modificao na vida humana. O homem passou a ter necessidade de controlar a sua produo e, para isso, era necessrio contar. A agricultura exigia o conhecimento do tempo, das estaes do ano e das fases da lua. No campo era preciso controlar o rebanho para saber quantos animais possuam. Ao soltar os animais durante o dia, guardavam em um recipiente uma pedrinha para cada animal que saa do cercado. tardinha, para cada animal que era recolhido, tiravam

uma pedra do recipiente. Caso no sobrasse ou faltasse alguma pedra, tinham a certeza que todos os animais estavam ali. Surgia dessa forma a correspondncia biunvoca (um a um), que permitia o controle do rebanho. Por sinal, a palavra clculo deriva do latim calculus que significa pedrinha. Esse tipo de correspondncia no era feito somente com pedras, mas tambm com marcas nas paredes, ossos, ns em cordas, desenhos nas paredes das cavernas, entre outros. Ainda hoje utilizamos esse processo para contar. Observem como o garom registra a quantidade de cervejas em uma mesa de bar, por exemplo.

O ser humano tem uma capacidade de reconhecimento imediato de certa quantidade de elementos. Essa capacidade chamada de senso numrico, e para a espcie humana essa quantidade chega at quatro. "Distinguimos, sem erro e numa rpida vista, um, dois, trs e mesmo quatro elementos. Mas a para nosso poder de identificao dos nmeros. "Histria Universal dos Algarismos", Georges Ifrah. Vale lembrar que senso numrico no contagem, pois at os animais possuem tal atributo. Se deixarmos sempre um ovo no ninho de uma galinha, mesmo que retiremos o restante, ela voltar ao ninho para botar outros ovos, porm se deixarmos o ninho vazio de ovos, ela abandona o ninho e procura outro local para pr os ovos. A sabedoria do homem do campo ensina que no devemos retirar o ovo "inds" do ninho. Isto nos leva a crer que o senso numrico da galinha resume-se a uma unidade, pois ela incapaz de perceber se foi retirado ou acrescentado algum ovo do ninho alm dessa unidade. A contagem um ato exclusivamente humano, pois exige um processo mental.

Acesso em: http://pt.wikiversity.org/wiki/Portal:Forma%C3%A7%C3%A3o_B%C3%A1sica/Matem%C3%A1tica/Origem_dos_n%C3%BAmeros

Matemtica Bsica

5

RAZO 2

2 RAZO

Razo o quociente indicado entre os nmeros que medem determinadas grandezas em uma mesma unidade.

Exemplos:

1. Uma garrafa de cerveja tem capacidade para 600 ml e uma garrafa de refrigerante tem capacidade para 300 ml.

600 300

A razo entre as capacidades da garrafa maior para a menor : 2

Isso significa que na garrafa de cerveja possvel colocar duas vezes o que cabe em uma garrafa de refrigerante.

2.1 TERMOS DE UMA RAZO

a : b antecedente consequente

2.2 TIPOS DE RAZES

Inversa: o antecedente de uma o consequente da outra e vice-versa.

Ex.: a) 43

e 34

ou 3 :4 e 4:3

Iguais: se as fraes que representam duas razes so equivalentes, ento as razes dizem-se iguais.

Ex.: a) 8

12 e

46

b) 53

e 2012

Pense e responda!

Num tanque de combustvel de um carro

flex, um motorista abasteceu com 30 litros de lcool e 12 litros de gasolina. Encontre as razes:

a) Entre o volume de lcool e o volume de gasolina.

b) Entre o volume de lcool e o volume total do tanque

c) Entre o volume de gasolina e o volume de lcool. d) Entre o volume de gasolina e o volume total do tanque.

2.2.1 Razes Especiais


Aplicar conceitos e propriedades de razo.

Selecionar conjunto de informaes sobre fatos reais ou imaginrios na resoluo de problemas.

Diferenciar os diversos tipos de razo.

Ler, interpretar e transcrever da linguagem corrente para a linguagem simblica e vice-versa.



Matemtica Bsica

6

Escala: a escala de um desenho a razo entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real, medidos numa mesma unidade.

Exemplos: a) A escala 1: 1000 significa que os

comprimentos verdadeiros so 1000 vezes maiores que os correspondentes comprimentos do desenho. Assim, 5 cm (desenho) equivale a 5.000 cm (real) ou 50 m.

Num mapa, a distncia entre duas cidades est representada por 2,5 cm. Se a escala usada 1: 10.000.000, qual a distncia entre as duas cidades?

Resposta: Considerando-se uma escala 1: 10.000.000 ento, 1 cm no mapa equivale a 10.000.000 cm (100 Km).

Logo, 2,5 cm no mapa correspondem distncia real que ser de 25.000.000 cm (250 Km).

Concentrao de Solues (sistema qumico homogneo): a razo entre a massa da substncia trabalhada e o volume total da soluo dado em litros.

C = m / v

Ex: a) Determinar a massa de cloreto de sdio necessria para se preparar 2 litros de uma soluo de concentrao 4 g.

4 g/L = L

m

2 = 8 g

Velocidade: a razo entre um espao (d) percorrido e o tempo (t) gasto para percorr-lo. V = d / t

Ex.: Um automvel percorreu 240 km em 3 horas. Qual a velocidade desse automvel?

V = 240 km / 3 h = 80 km

Densidade demogrfica de uma regio: a razo entre o nmero de habitantes e a rea dessa regio.

Ex: Em 1990 a populao brasileira era de, aproximadamente, 150 milhes de habitantes. Considerando que a rea do Brasil de 8 547 403 Km2, qual era a densidade demogrfica do Brasil em 1990?

Densidade demogrfica = rea

populaon.

Soluo:

8547403150000000

= 17,5 hab/ Km2

Densidade de um material (propriedade fsica da matria): a razo entre uma certa massa de um material e o volume ocupado por ela.

Ex: Um pedao de cortia com volume de 18 cm3 tem massa igual a 4,32g. Qual a densidade da cortia?

Soluo: volumemassa

=

1832,4

= 0,24g/ cm3

Matemtica Bsica

7

PROPORO

3

3 PROPORO

Proporo a igualdade de duas razes.

a) Sejam os nmeros 9, 12, 21 e 28. Pode-se verificar que a razo do primeiro para o segundo (9: 12) e a razo do terceiro para o quarto (21: 28) so iguais. Tem-se ento:

9: 12 = 21: 28 ou 129

=

2821

que se l : " 9 est para 12, assim como 21 est para 28 ".

Os nmeros 9, 12, 21 e 28, so chamados termos da proporo. Os nmeros 9 e o 28 so chamados de extremos e o 12 e o 21so chamados de meios.

3.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORES

Se quatro nmeros formam uma proporo, ento o produto dos extremos igual ao produto dos meios.

Exemplos:

a) 108

=

1512

extremosx 120158 =

meiosx 1201012 =

b) 34

=

68

extremosx 2464 =

meiosx 2483 =

Competncias e Habilidades: Aplicar conceitos e propriedades de

proporo. Compreender uma proporo como

uma igualdade entre duas razes. Selecionar conjunto de informaes

sobre fatos reais ou imaginrios na resoluo de problemas.

Ler, interpretar e transcrever da linguagem corrente para a linguagem simblica e vice-versa.



Matemtica Bsica

8

4 REGRA DE TRS SIMPLES

uma tcnica de clculo, mediante o qual so resolvidos problemas que envolvem duas grandezas diretas e inversamente proporcionais. A tcnica para resolver problemas consiste em obter, com os trs dados e a incgnita procurada, uma proporo e dela tirar o valor desejado.

Ex.: a) Se 15 m de certo tecido custam R$90, 00, quanto custam 32 m deste tecido?

Soluo: Tem-se a seguinte disposio prtica:

15 m --------- 90,00 32 m --------- x

Obs.: Se as grandezas fossem inversamente proporcionais, as flechas teriam sentidos contrrios e inverteramos a 1a razo. Veja o prximo exemplo:

b) Se com 8 mquinas gastam 6 dias para fazerem um aterro, quanto tempo gastariam 12 mquinas iguais s primeiras para realizarem o mesmo aterro?

Soluo: mquinas dias 8 6 12 x

128

=

6x 12x = 6.8 x =

1248

= 4 dias

Como nesse exemplo as grandezas comprimento e custo so diretamente proporcionais, assinalamos essa variao na disposio prtica mediante flechas no mesmo sentido e aplicamos a propriedade fundamental das propores para resolver o problema:

A proporo resultante :

15 90,00 32 x

Resposta: 32 m de tecido custaro R$192,00.

4.1 NMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Os nmeros racionais x, y e z so diretamente proporcionais aos nmeros racionais a, b, e c quando se tem:

a

x=

by

=

c

z

Ex.: As massas de cobre e zinco que formam a liga metlica lato so diretamente proporcionais aos nmeros 7 e 3. Quantos kg de cobre e quantos kg de

REGRA DE TRS SIMPLES 4


Aplicar conceitos e propriedades de razo e proporo. Diferenciar grandezas diretamente proporcionais de grandezas inversamente proporcionais. Selecionar conjunto de informaes sobre fatos reais ou imaginrios na resoluo de problemas Ler, interpretar e transcrever da linguagem corrente para a linguagem simblica e vice-versa Expressar-se com correo e clareza, na linguagem matemtica, usando a terminologia correta. Aplicar conhecimentos e mtodos matemticos em situaes reais de vida.

Matemtica Bsica

9

zinco so necessrios para obter 40 kg de lato?

Soluo: 7

)(acobre=

3)(bzinco

= x

7a

= x e 3b

= x

a = 7 x e b = 3x; a (massa do cobre) + b (massa de zinco) = 40

Logo: 7x + 3x = 40 10 x = 40 x = 4, ento temos:

Cobre: 7 .4 = 28 kg Zinco : 3. 4 = 12 kg

4.2 NMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:

Os nmeros racionais x, y e z so inversamente proporcionais aos nmeros racionais a, b e c, quando se tem: x. a = y. b = z.c

Ex.: Uma empresa distribuiu um prmio de R$ 4.500,00 entre trs funcionrios em partes inversamente proporcionais ao nmero de faltas que cada um teve durante o ano. Sabendo-se que A teve 6 faltas; B, 3 faltas; e C, 8 faltas, qual a parte do prmio que coube a cada um?

Soluo: Considerando a, b, e c a quantia que cada funcionrio recebeu respectivamente, temos: a. 6 = b. 3 = c.8 = x e a + b + c = 4 500, 00 Logo:

a . 6 = x a = 6x

; b . 3 = x

b = 3x

e c.8 = x c = 8x

Ento:

6x

+ 3x

+ 8x

= 4.500 24

384 xxx ++=4.500

24

15x = 4.500

X=7.200 a=1200; b=2400; c= 900

4.3 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas so diretamente proporcionais se a razo entre dois valores de uma delas igual razo entre os dois valores correspondentes da outra.

Ex.: a) O trajeto percorrido por um automvel e litros de combustvel consumido.

b) O comprimento de tecido produzido por um tear e tempo gasto para o trabalho.

4.4 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas so inversamente proporcionais se a razo entre dois valores de uma delas igual ao inverso da razo entre os dois valores correspondentes da outra.

Ex.: a) A velocidade de um automvel de So Paulo a Campinas e o tempo gasto nesse trajeto.

b) Quantidade de gua despejada por uma torneira em um tanque e o tempo gasto para ench-lo.

Pense e responda!

Um tanque de soda custica encontra-se com um espao vazio de 60m3. Por quantas horas mais este tanque poder receber produto sem transbordar, considerando que a propulso da unidade de 6T/h de soda ? (Dado: Densidade da soda custica d = 2.000 kg/m3).

Matemtica Bsica

10

5 PORCENTAGEM

So os resultados que se obtm ao calcular tantos por cento ou tantos centsimos de uma quantidade qualquer, isto , toda frao de denominador 100,

exemplo 100

a , pode ser indicada a %

(que se l a por cento).

Ex.: a) 10027

= 27% (vinte e sete por cento)

b) 20% + 15% = 10020

+10015

=

1001520 +

=

35%

c) %50 10050

1010

.

105

10025%25 ====

OBS.: Na prtica trabalhamos com porcentagem sempre utilizando-a como uma frao de certo nmero.

d) 15% de 300 = 10015

x 300 = 45

e) 10% dos 30% de 3400 =

10010

.

10030

.3400 = 102

f) Um equipamento que mede temperatura tem uma escala em porcentagem e est indicando 60%. Se o range desta escala em graus 120, qual o valor indicado em graus?

Soluo: Vlido = 60 . 100120

= 72 graus.

g) Um tanque que possua 20.000 litros de combustvel teve seu volume reduzido, devido queda de temperatura, a 90% do volume inicial. Qual o novo volume?

Soluo: Vfinal = 10090

x 20.000 =

18.000 litros.

h) Qual a massa de cloreto de sdio que devemos utilizar para preparar 250 ml de uma soluo de concentrao 10g/L, sabendo-se que o sal tem uma pureza de 80% em peso?

Soluo: Inicialmente calcula-se a massa de NaC1 necessria para se preparar os 250mL da soluo atravs de uma regra de trs simples:

1 000 mL(1L) ........... 10g 250 mL ........... x x = 2,5g (massa pura)

PORCENTAGEM 5

Competncias e Habilidades: Aplicar conceitos e propriedades de porcentagem. Compreender uma porcentagem como uma regra de trs em que um dos termos o nmero 100. Selecionar conjunto de informaes sobre fatos reais ou imaginrios na resoluo de problemas. Ler, interpretar e transcrever da linguagem corrente para a linguagem simblica e vice-versa. Expressar-se com correo e

clareza, na linguagem matemtica, usando a terminologia correta.


Matemtica Bsica

11

Agora calculamos a massa que deve ser pesada para se preparar a soluo, levando-se em considerao o grau de pureza, atravs de outra regra de trs:

80% .................2,5 g x = 3,125g

100% .............. x

Obs.: Este raciocnio acima apresentado bastante utilizado em clculos qumicos. Observe que a massa final corresponde massa pura mais uma determinada quantidade que corresponde s impurezas. A interpretao do resultado a seguinte: para se ter uma soluo de NaCl que seja exatamente 10 g/L, teremos que pesar uma quantidade a mais do que a necessria (2,5 g) em funo do grau de pureza do sal.

Pense e responda!

O custo de produo de um produto composto por: 30% para mo

de obra, 50% para matria prima e 20% para energia eltrica. Admitindo que haja um reajuste de 20% no preo de mo de obra, 35% no preo de matria prima e 5% no preo da energia eltrica, determine o reajuste percentual que sofrer o custo de produo do referido produto.

Matemtica Bsica

12

6 GEOMETRIA PLANA

Figuras planas

So figuras cujos pontos esto em um mesmo plano.

A figura convexa quando dois pontos da figura definem sempre um segmento inteiramente contido nela. Na figura cncava isto no ocorre.

Ex.: Convexa Ex.: Cncava

Figuras planas equivalentes possuem a mesma rea.

Geometria das Figuras Planas

Tringulo o polgono que possui trs lados e trs ngulos.

Classificao

Equiltero - Quando todos os lados so iguais.

Issceles - Quando possuem dois lados iguais.

Escaleno - Quando todos os lados so diferentes.

Acutngulo - Quando seus ngulos so agudos. (Menor que 90).

Retngulo - Quando tem um ngulo reto (mede 90).

Obtusngulo - Possui um ngulo maior que 90.

rea do Tringulo (S)

Vemos que a rea do tringulo metade da rea do paralelogramo.

Frmula geral:

S = 2.hb

Quando no temos a altura, usamos a frmula de Hero:

Classificao

( )( )( )cpbpappS =

Diz-se: a, b e c so os lados e p o semipermetro (metade da soma dos lados).

QUADRILTEROS

So polgonos formados por quatro lados.

CLASSIFICAO:

Paralelogramos - possuem os lados opostos paralelos dois a dois.

Retngulos - possuem os quatro ngulos retos.

GEOMETRIA PLANA 6

Matemtica Bsica

13

Suas diagonais so congruentes e cortam-se ao meio.

Quadrado - alm de ngulos retos, possuem os quatro lados iguais.

Suas diagonais so perpendiculares, congruentes e cortam-se ao meio.

Classificao

Issceles - os lados paralelos so iguais.

h = altura b = base menor B = base maior

Escaleno - os lados transversais no so congruentes.

Retngulo - um dos lados transversais perpendicular aos lados paralelos.

O a de qualquer trapzio :

S = 2

)..( hhB

CIRCUNFERNCIA - O CONJUNTO DOS PONTOS DO PLANO EQUIDISTANTES DE UM PONTO CHAMADO

CENTRO.

Classificao:

Corda e Dimetro

A corda o segmento determinado por dois pontos de circunferncia.

O dimetro a corda mxima da circunferncia.

Matemtica Bsica

14

Arco - O arco a parte da circunferncia compreendida entre dois de seus pontos.

Para em graus.

Para em radianos:

Volume das principais figuras

Crculo - O crculo constitudo por todos os pontos da circunferncia e mais os pontos interiores.

Paraleleppedo

V = largura x comprimento x altura V = l x c x h

Cubo

V = largura x comprimento x altura V = a

Cilindro

Volume = pi x r2 x h

Cone

V = pi x r2 x h 3

Esfera

V = 34

piR

Matemtica Bsica

15

7 SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDAS

7.1 MEDIDAS DE COMPRIMENTO

Inicialmente, o homem primitivo utilizou partes do corpo para medir. Essas medidas, que ainda encontramos no nosso cotidiano, so:

Polegada ()

Equivale a 2,54cm. 1 = 2,54cm

A polegada muito utilizada na medida de: Televisores, canos, parafusos, porcas, chaves de fenda, dentre outros.

P

Equivale a 30,48cm.

Utilizada na aviao.

Jarda

Equivale a 91,44cm.

Essas unidades, por razes bvias, foram substitudas pela unidade padro hoje que o metro, smbolo m.

Portanto, a unidade padro de comprimento o metro.

As unidades de comprimento so usadas para medir comprimento (tamanho).

As unidades padro de comprimento, o metro, apresentam mltiplos e submltiplos.

Mltiplos so as unidades maiores que o metro.

Submltiplos so as unidades menores.

Veja na tabela, os mltiplos e submltiplos do metro, smbolos e equivalncias em relao ao metro.

Mltiplos Unidade Submltiplos

Quil-metro

Hect-metro

Dec-metro metro

Dec-metro

Cent-metro

Mil-metro

km hm dam m dm cm mm

1 000 m

100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDAS 7

Competncias e Habilidades: Compreender a utilizao das

unidades de medida. Relacionar unidade a respectiva

grandeza. Estabelecer relaes entre as

unidades derivadas. Analisar a necessidade da utilizao

das unidades de medida. Expressar-se com correo e

clareza, na linguagem matemtica, usando a terminologia correta.


Matemtica Bsica

16

Observe que cada unidade de comprimento 10 vezes maior que cada unidade imediatamente inferior. Isto :

1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m

1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm

Mudana de unidade

a) Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicao por 10 (desloca a vrgula um algarismo para a direita).

Exemplos:

6,25 dam = (6,25 x 10)m = 62,5 m dam > m

16,89 m = (16,89 x 10)dm = 168,9 dm m > dm

b) Para passar de unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma diviso por 10 (desloca a vrgula um algarismo para a esquerda).

Exemplo: 639,3 cm = (639,3 10) = 63,93 dm

9,75 m = (9,75 10) = 0,975 dam m < dam

Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivamente uma das regras anteriores.

Vejamos:

Converter para metros:

1,7 km

28,6 hm

129 cm

548 mm

60,07 dam

33,35 dm

9,78 km

9,613 mm

7.2 MEDIDA DE CAPACIDADE

Para medir quantidade de litros e gases dentro de um recipiente, usamos como unidade o litro, cujo smbolo l (letra l minscula), que um volume praticamente igual a um dm. Assim, a unidade principal de capacidade o litro.

O litro o volume equivalente a um decmetro cbico.

Do mesmo modo que nas unidades de medidas estudadas anteriormente, voc poderia estabelecer mltiplos e submltiplos do litro.

1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l

1 ml = 0,1 cl = 0,01 dl = 0,001 ml

Portanto, cada unidade imediatamente superior 10 vezes maior que a inferior.

Observe na tabela:

Mudana de Unidade

a) As mudanas de unidade de capacidade so feitas de modo semelhante s mudanas de unidade de comprimento.

Veja os exemplos:

Converter 5,375 km para m 5,375 km = 53,75 hm = 537,5

dam = 5 375 m

Converter 37,6 dm para hm 37,6 dm = 3,76 m = 0,376

dam = 0,0376 hm

1 l = dm

Matemtica Bsica

17

Converter 6,84 l em dl (maior menor) (x10) 6,84 l = (6,84 x 10)dl = 68,4 dl, pois l 10 vezes maior que dl.

Converter 81,75 l em dal (menor maior) (x10) 81,75 l = (81,75 10)dal = 8,175 dal

Converter 9 472 l em kl (menor muito maior) (mult. sucessivamente por 10) 9 472 l = 947,2 dal = 94,72 hl = 9,472

kl

EXERCCIOS

1) Converter para litros.

a) 2 kl g) 5 m

b) 3,5 hl c) 9,48 dal i) 0,5 m

d) 175 dl

e) 643 cl

f) 915 ml

2) Transforme em m.

a) 10 000 l

b) 123,6 l

c) 3 500 l

7.3 MEDIDA DE MASSA

Massa a medida da quantidade de matria que o corpo tem.

Note que:

A unidade principal (padro) de massa o grama (g). Entretanto, para expressar quantidades grandes essa unidade deixa de ser prtica.

Do mesmo modo que as unidades de medidas anteriores, voc poder estabelecer mltiplos e submltiplos do grama.

Observe a tabela

Mudana de Unidade

a) As mudanas de unidade de massa so feitas de modo semelhante s mudanas de unidade de comprimento e capacidade.

Veja:

Converter 6,82 dag em g (maior menor) 6,81 dag = (6,81 x 10)g = 68,1 g.

Converter 12,79 dg em g (menor maior) 12,79 dag = (12,79 10)g = 1,279 g.

Converter 9,325 g em kg (menor muito maior) 9 325 g = 932,5 dag = 93,25 hg = 9,325 kg (x simult. por 10)

EXERCCIOS

1) Expresse em gramas. a) 3,75kg

b) 216mg c) 2,5kg

2) Uma tonelada smbolo t tem 1 000kg, expresse em kg.

a) 3 t

b) 16,2t

Matemtica Bsica

18

c) 4,65t 3) Expresse em toneladas.

a) 4 000kg

b) 6 500kg

c) 650 kg

FIQUE ATENTO!

Veja a equivalncia entre peso e massa.

Por exemplo, a massa de um homem de 72 kg e o seu peso, aqui no Brasil/Salvador/Bahia, de aproximadamente 720N (Newton, que a unidade de medida de peso, que por sua vez recebe esse nome em homenagem a Isaac Newton Fsico inventor.

Agora a sua vez de verificar o seu peso aproximado, basta multiplicar a sua massa (em kg) por 10.

7.4 MEDIDAS DE SUPERFCIE

A medida de uma superfcie chama-se rea. O metro quadrado, smbolo m, a unidade padro ou fundamental das medidas de superfcie. Voc viu que, em uma figura plana, podemos medir o contorno, ou seja, o seu permetro. Para isso, voc usou as unidades de comprimento que so: metro, centmetro, milmetro, quilmetro, polegada, etc.

Numa figura plana podemos tambm medir a sua regio, ou seja, a superfcie que o contorno delimita.

Nesse caso, medimos a rea da figura (representa-se a rea a ser calculada por A ou S).

Medir a rea (ou superfcie) de uma figura significa compar-la com outra superfcie tomada como unidade e estabelecer quantas vezes a unidade cabe na superfcie dada.

Exemplos:

U cabe 12 vezes em S1, isto , S1= 12U

U cabe 9 vezes em S2, isto , S2 = 9U

Veja este outro exemplo:

O que comumente se chama de peso de um corpo , na realidade, a massa do corpo.

O Peso de um corpo a resultante da ao da fora da gravidade sobre a massa de um corpo. Como voc j deve ter ouvido falar, a gravidade no a mesma em todos os pontos da terra. Um corpo pode ter diferentes pesos, conforme o local da terra onde ele se encontra.

No entanto, a massa constante. Ela, sendo a quantidade da matria que o corpo possui, ser sempre a mesma em qualquer ponto da Terra.

MASSA PESO Na prtica, a medida de massa

feita por balanas. Usualmente se emprega a palavra peso para significar massa, diz-se pesagem em vez de medio de massa (no daria certo

Matemtica Bsica

19

Podemos ento encontrar a medida de S, com a unidade U, aproximada por falta ou por excesso.

Para obter maior aproximao, ns dividimos a unidade de medida em partes cada vez menores, como voc j fez para medidas de comprimento, massa e capacidade. Voc pode observar que uma superfcie uma grandeza de duas dimenses: comprimento e largura.

Como foi observado no incio desse item, a medida de uma superfcie chamada rea da superfcie. A unidade fundamental para medida de superfcie o metro quadrado m.

Vejamos os seus mltiplos e submltiplos e suas equivalncias na tabela abaixo:

Observe que cada unidade de rea 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

7.5 MUDANA DE UNIDADE DE REAS

A mudana de unidade de reas feita de modo semelhante s mudanas de unidade de comprimento, massa e capacidade. S que aqui cada unidade 100 vezes maior ou menor que a outra, enquanto que nas unidades citadas acima cada unidade 10 vezes maior ou menor que a outra.

Vejamos: a) Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicao por 100, ou seja, devemos deslocar a vrgula dos algarismos para a direita. Ex: 615,2 hm =(615,23 x 100)dam = 61 523 dam

5,516 cm = (5,516 x 100) mm = 551,6 mm

b) Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma diviso por 100, isto , devemos deslocar a vrgula dois algarismos parar a esquerda. Ex.: 6,75 cm = (6,75 100) m = 0,0675 m 15,423m=(15,423 100)dam = 0,15423 dam

c) Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivamente uma das regras anteriores.

converter 50,15 dam para dm (maior menor) x 100 50,15 dam = 5 015 m = 501 500 dm

converter 200 cm para m (menor maior) 100 200 cm = 2 dm = 0,02 m

COMO CALCULAR?

1) Converta para metros quadrados.

a) 20 715 dm d) 0,589 hm b) 672 cm e) 5 km c) 0,75 dam f) 205,415 mm

Veja agora algumas unidades de medidas agrrias. Para medir grandes extenses tambm so usados outros mltiplos do metro quadrado.

a) Hectare smbolo: ha b) Are smbolo: a c) Centiare Smbolo: ca

1 ha = 100 a = (100 x 100)m 1 ca = 0,01 a = (0,01 x 100)m = 1 m

Respostas do exerccio 1:

a) 207,15 m d) 5 890 m

Matemtica Bsica

20

b) 0,0672 m e) 5 000 000 m

c) 75 m f) 0,000 205 415 m Vejamos como calcular a rea de

algumas figuras planas.

Quadrado

rea = lado x lado A = l x l = l

Retngulo

Tringulo

rea = base x altura 2 A =

2.hb

Losango

rea = Diag. Maior x diag. Menor 2

A = 2.dD

Trapzio

rea =(B. Maior + b. Menor) x altura 2

A = 2

).( hbB +

2) Calcular a rea da figura abaixo, supondo as medidas em cm.

Resoluo:

a) rea do quadrado: A = 15 15 A = 225

b) rea do retngulo: A = 20 . 45 = A = 900

c) rea do tringulo: A = 210.45

A = 225 d) rea total: A = 225 + 900 + 225 = 1350

EXERCCIOS

1. Calcule a rea das figuras, supondo as medidas em cm:

Matemtica Bsica

21

2. Calcule a rea da figura supondo as medidas em cm.

3. Calcule a rea dos polgonos, supondo as medidas em cm:

a)

b)

Respostas do exerccio 1, respectivamente:

a) 49 cm b) 18 cm c) 12 cm d) 7,5 cm e) 20 cm f) 15 cm

Resposta do exerccio 2:

Respostas do exerccio 3:

a) 17 = a + 15 a = 289 225 a = 64 a = 8 cm

b) h2 + 32 = 52 h2 = 16 h = 4 cm

7.6 MEDIDA DE VOLUME

Voc j observou que todo objeto, com os quais temos contato na nossa vida diria, ocupam certa poro de espao.

Pois bem, o espao ocupado por um corpo chamado volume.

Este volume tem 3 dimenses denominadas arestas: comprimento, largura e altura.

Na prtica, escolhe-se como volume unitrio o volume de um cubo cujas arestas medem 1m. Assim, a unidade fundamental de volume o metro cbico, smbolo: m.

Metro cbico (m) o volume de um cubo com 1m de aresta.

Na prtica, frequentemente, necessrio subdividir essa unidade para poder medir determinando volume. Lembra-se das medidas de rea? semelhante. Veja a tabela a seguir, os mltiplos de submltiplos do metro cbico e suas equivalncias.

Matemtica Bsica

22

Cada unidade 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

7.7 MUDANA DE UNIDADE

feita de modo semelhante s mudanas de superfcie, s que multiplicando-se ou dividindo-se por 1000.

1) Mudana de uma unidade para outra imediatamente inferior.

Devemos fazer uma multiplicao por 1000, isto , devemos deslocar a vrgula 3 algarismos para a direita.

Exemplos:

a) 5,283dam=(5,283x1000)m=5283 m b) 6,75m= (6,75 x 1000)dm = 6750 m

2) Mudana de uma unidade para outra imediatamente superior.

Devemos fazer uma diviso por 1000, isto , devemos deslocar a vrgula 3 algarismos para a esquerda.

Exemplos:

a)67,86cm=(67,861000)dm= 0,06786 dm

b) 7975dm=(79751000)m = 7,975 m 3) Mudana de uma unidade para

outra qualquer.

Basta aplicar sucessivamente uma das regras anteriores.

Exemplos:

a) converter 75,5 dam para dm (maior menor) x 1 000 7,5 dam = 76 500 m = 76 500 000 dm

b) converter 91744cm para m (menor maior) 1 000 91744 cm = 91,744 dm = 0,091744 m

4) Expresse em metros cbicos:

a) 30 dm f) 67 811 cm b) 1 985 cm g) 0,15 km c) 1,2 dam h) 7 671 400 mm d) 7 576 dam i) 0,8754 hm e) 9,235132 h

VERIFICAO DA APRENDIZAGEM

1) Num tanque de combustvel h 10 litros de leo e 25 litros de querosene. Encontre as razes:

a) entre o volume de leo e o volume de querosene;

b) entre o volume de leo e o volume da mistura;

c) entre o volume de querosene e o volume da mistura.

2) Uma pessoa comprou bilhetes de duas rifas para concorrer a uma Cesta de Natal. Da primeira, numerada de 1 a 300, adquiriu 20 bilhetes e da segunda, numerada de 1 a 450, adquiriu 30 bilhetes. Em qual das duas rifas a chance de ganhar maior?

3) O que mais denso: um pedao de ferro de 78g que ocupa um volume de 0,0l0 L ou um pedao de alumnio de 54900 mg que ocupa um volume de 20 ml?

4) Uma carreta transporta 15 T de um produto cuja densidade de 1,15 g/cm3. Este produto poder ser transferido completamente para um tanque de forma cilndrica que possui 4 m de altura 2 m de dimetro? So dados: Volume do cilindro: pi r2 h Valor de pi 3,14

Matemtica Bsica

23

5) A planta de um reservatrio de catalizador est numa escala 1: 200. Se, na planta, a largura e o comprimento do reservatrio medem respectivamente 5 e 4 cm, qual a rea total do mesmo ?

6) Em uma maquete a altura de uma torre de destilao de 90 cm. Na realidade, a torre tem 27 metros de altura. Qual foi a escala usada para fazer a maquete?

7) Num guia rodovirio uma estrada que liga a cidade A at a B tem 2,6 cm. Se a escala 1 : 1 000 000, qual a distncia real de A para B ?

8) A gua do mar contm 2,5 gramas de sal para cada 100 gramas de gua. Quantos gramas de sal teremos em 5Kg de gua do mar?

9) O elevador de uma empilhadeira possui carga mxima de 7 engradados pesando cada um 80 Kg. Quantas engradados, pesando 35000 g cada um, atingiriam a carga mxima desse elevador ?

10) Trs torneiras enchem um tanque em 12 horas. Quantas torneiras iguais sero necessrias para encher o mesmo tanque em 9 horas?

11) A fim de engarrafar gua destilada para venda no varejo, so necessrias 100 garrafas com capacidade de 600 cm3 cbicos. Quantos vasilhames de 1l seriam necessrios para engarrafar a gua?

12) Num livro de 315 pginas, h 40 linhas por pgina. Se em cada pgina houvesse 30 linhas, com quantas pginas ficaria o livro?

13) Com 4 costureiras, uma fbrica confecciona 120 calas em um ms. Para confeccionar a mesma quantidade de peas em 10 dias, quantas costureiras sero necessrias?

14) Uma escola de 1 grau fornece merenda escolar para 1800 crianas e possui, no incio do ano, ingredientes suficientes para alimentar os alunos por 230 dias. Decorridos 52 dias, ingressam, na escola, mais 336 estudantes. Se a

escola no receber produtos adicionais, pode fornecer merenda para todas as crianas por mais quantos dias?

15) Em um paralelogramo, a base mede 10 cm. Sabendo que a medida da altura a metade da medida da base, determine a rea desse paralelogramo.

16) A base de um tringulo mede 18 cm. A medida da altura igual 3a parte da medida da base. Qual a rea desse tringulo?

17) Um piso quadrado de cermica tem 15 cm de lado. Qual a rea desse piso?

18) Num trapzio, a base maior mede 24 cm. A medida da base menor igual 2/3 da medida da base maior, e a medida da altura igual metade da medida da base menor. Determine a rea do trapzio.

19) Um vitral composto de 80 peas triangulares iguais, de base 25 cm e altura 16 cm. Qual , em metros quadrados, a rea desse vitral?

20) O picadeiro de um circo redondo e tem rea de 314 m2.

a) Qual a medida do raio do picadeiro? b) Qual a medida do dimetro do picadeiro?

21) O ptio de uma escola tem a forma retangular e suas dimenses so 40 m e 32 m. Nesse ptio foi construda uma quadra de basquete. Sabendo-se que as medidas oficiais de uma quadra de basquete so 20 m por 12 m, qual a rea livre que restou desse ptio?

22) Uma parede tem 8 m de comprimento por 2,75 m de altura. Com uma lata de tinta, possvel pintar 10 m2 de parede? Quantas latas de tinta sero necessrias para pintar essa parede?

23) Uma caminhonete transporta caixas de 22,3 kg cada uma. A carga mxima que ela pode transportar 1500 kg. Pergunta-se:

Matemtica Bsica

24

a) Ao transportar 120 caixas, qual foi o excesso de carga em quilogramas?

b) Qual o maior nmero de caixas que poder transportar numa viagem sem excesso de peso?

24) Um vitral possui 10 losangos cujas diagonais medem, respectivamente, 6 m e 12m. Determine a rea destes losangos e a rea do vitral.

25) Uma das unidades de capacidade usadas no comrcio de tintas, para medir volume de lquidos, o galo. Cada galo corresponde a 3,8 L. Um pintor precisa de uma lata ltex de 18 L e mais 2 gales para fazer um servio, mas a loja no tem latas de 18L Quantos gales o pintor deve comprar?

26) Uma caixa dgua tem forma cbica com 1 metro de aresta. Quanto baixa o nvel ao retirarmos 1 L de gua da caixa dgua?

27) Calcule, em litros, o volume de uma caixa dgua em forma de prisma reto, de aresta lateral 6 m , sabendo que a base um losango cujas medidas das diagonais so 7m e 10m?

28) As dimenses de um paraleleppedo retngulo so 8m, 6m e 2m. Qual a sua rea e seu volume totais?

29) O tonel representado abaixo est ocupado em 60% da sua capacidade. Qual a quantidade de gua nele contida?

30) Um copinho de sorvete, em forma de cone, tem 10cm de profundidade, 4cm de dimetro no topo e tem a colocado duas conchas semicirculares de sorvete, tambm de 4cm de dimetro. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, haver ou no transbordamento do lquido?

Matemtica Bsica

25

8 EQUAES

Equao toda sentena matemtica aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam nmeros desconhecidos.

8.1 EQUAES DO 1 GRAU COM UMA VARIVEL

Exemplo: x + 3 = 12 4

Forma geral: ax = b, em que x representa a varivel (incgnita) e a e b so nmeros racionais, com a 0. Dizemos que a e b so os coeficientes da equao (ax = b, a forma mais simples da equao do 1 grau).

Exemplos:

x - 4= 2 + 7,(varivel x) 2m + 6 = 12 3 ,(varivel m) -2r + 3 = 31, (varivel r) 5t + 3 = 2t 1 , (varivel t) 3(b 2) = 3 + b,(varivel b)

4 + 7 = 11, ( uma igualdade, mas no possui uma varivel, portanto, no uma equao do 1 grau) 3x 12 > 13, (possui uma varivel, mas no uma igualdade, portanto no uma equao do 1 grau).

Observao:

Devemos observar duas partes em uma equao, o 1 membro esquerda do sinal de igual e o 2 membro direita do sinal de igual.

Veja:

Conjunto Universo: Conjunto formado por todos os valores que a varivel pode assumir. Representamos pela letra U.

Conjunto Soluo: Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sentena verdadeira. Representamos pela letra S.

Exemplo: Dentre os elementos do conjunto F

= {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentena matemtica 2x 4 = 2 verdadeira.?

2(0) 4 = 2 Errado 2(2) 4 = 2 Errado 2(3) 4 = 2 Verdadeiro 2(6) 4 = 2 Errado 2(8) 4 = 2 Errado 2(9) 4 = 2 Errado

Devemos observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3}

EQUAES

8

Matemtica Bsica

26

8.1.1 Sistemas de Equaes do 1 Grau

SISTEMA COM DUAS EQUAES DO 1 GRAU COM DUAS VARIVEIS

Resolver um sistema de duas equaes do 1 grau com duas variveis, x e y, por exemplo, significa determinar o nico par ordenado (x, y) que a soluo do sistema.

Podemos encontrar a soluo de um sistema usando os mtodos da adio, substituio e comparao.

1) Um nmero mais a sua metade igual a 150. Qual esse nmero?

Soluo: n + n/2 = 150 2n/2 + n/2 = 300/2 2n + n = 300 3n = 300 n = 300/3 n = 100 Resposta: Esse nmero 100.

2) A diferena entre um nmero e sua quinta parte igual a 36. Qual esse nmero?

Soluo: x - x/5 = 36 (5 x - x)/5 = 36 4x /5 = 36 4x = 36.5 4x = 180 x = 180/4 x = 45 Resposta: Esse nmero 45.

3) O triplo de um nmero igual a sua metade mais 20. Qual esse nmero?

Soluo: 3 m = m/2 + 20 6m/2 = (m+40)/2 6m = m + 40 6m - m = 40 5m = 40 m = 40/5 = 8

m = 8

Resposta: Esse nmero 8.

4) O triplo de um nmero, mais 5, igual a 254. Qual esse nmero?

Soluo: 3p + 5 = 254 3p = 254 - 5 3p = 249 p = 249/3 p = 83 Resposta: Esse nmero 83.

5) O qudruplo de um nmero, diminudo de trs, igual a 99. Qual esse nmero?

6) Jlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades ser 72 anos?

7) Num ptio h bicicletas e carros num total de 20 veculos e 56 rodas. Determine o nmero de bicicletas e de carros.

8) A metade dos objetos de uma caixa mais a tera parte desses objetos igual a 75. Quantos objetos h na caixa?

9) Em uma fbrica, um tero dos empregados so estrangeiros e 90 empregados so brasileiros. Quantos so os empregados da fbrica?

10) Numa caixa, o nmero de bolas pretas o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o nmero de bolas de cada cor ficar igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre trs pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais

Matemtica Bsica

27

e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras?

12) Ao triplo de um nmero foi adicionado 40. O resultado igual ao quntuplo do nmero. Qual esse nmero?

www.mundovestibular.com.br/.../1/EQUACOES-DO-PRIMEIRO-GRAU/ Paacutegina1.html

8.2 EQUAES DO 2 GRAU COM UMA VARIVEL

Toda equao da forma ax + bx + c = 0, em que a, b e c so nmeros reais com a 0, chamada de equao do 2 grau. Quando b = 0 ou c = 0, tem-se uma equao do 2 grau incompleta.

A resoluo de equaes incompletas do 2 grau: Equaes do tipo ax + bx = 0

1) Resolver em R a equao x - 4x = 0

Colocando o fator x em evidncia, obtemos: x(x 4) = 0

Quando o produto de dois nmeros reais igual a zero, ento pelo menos um dos fatores igual a zero.

Portanto: x = 0 ou x 4 = 0 x = 4

Logo as razes so 0 e 4.

Verificao:

Para x = 0, temos: 0 - 4.0 = 0 0 = 0 (V) Para x = 4, temos: 4 - 4.4 = 16 16 = 0 (V) Portanto a soluo est correta.

2) Resolver em R a equao:

(2x + 5) + 3x = 25 4x + 20x + 25 +3x = 25 4x + 23x = 0 x(4x + 23) = 0 x = 0 ou 4x + 23 = 0 4x = -23

x = 423


4/2x 3x = 2 + 2/x, sendo x 0

x

xx

2)3)(2(4 =

x

x

22.2)2(2 +

x

x

264 =

x

x

244 +

Multiplicando os dois membros da equao por 2x, para eliminar os denominadores vem:

x

xx

2)64(2

= x

xx

2)44(2 +

4 6x = 4x + 4 4 6x - 4x 4 = 0 (-1) . (- 6x - 4x) = 0. (-1) 6x + 4x = 0 2x (3x + 2) = 0 2x = 0 ou

3x + 2 = 0 2x = 0

x = 20

x = 0 3x + 2 = 0 3x = -2

x = 32

A partir do enunciado, o nmero zero foi excludo da soluo dessa equao (x 0), ento: x = -2/3 soluo nica.


(x 2)(x + 21 ) = -1

x + 2x

- 2x - 22

= -1

x + 2x

- 2x - 1 = -1

2x + x - 4x - 2 = -2 2x - 3x = 0

Matemtica Bsica

28

x (2x - 3) = 0 x = 0 ou 2x 3 = 0 2x = 3

x = 23

Equaes do tipo ax + c = 0

5) Resolver em R a equao 2x - 18 = 0 Adicionamos 18 aos dois membros da equao: 2x - 18 + 18 = 0 + 18 2x = 18 Dividimos os dois membros da equao por 2

22x

=

218

x = 9

x = 9 x = 3

Ento +3 e -3 so as razes da equao.


2x + 4 = 0 2x = -4

x = 24

x = -2

x = 2

2 no um nmero real. Logo a equao apresentada no tem soluo real.

Equaes do tipo ax = 0

A equao do tipo ax = 0 admite uma nica soluo: x = 0

7) Resolver em R a equao 2x = 0

x = 20

x = 0

x = 0 x = 0

Exerccios:

Resolva as equaes em R:

a) 2x - 43

= x + 41

8x - 3 = 4x + 1 8x - 4 x - 3 1 = 0 4 x - 4 = 0 4 x = 4

x = 44

x = 1

x = 1 x = 1

b) 3

)1(2 x=

21

+ 2

6 x+

mmc (3, 2) = 6

6)1(4 x

=

6)6(33 x++

4x - 4 = 3 + 18 + 3x 4x - 3x - 4 - 3 - 18 = 0 x - 25 = 0 x = 25

x = 25 x = 5

c) 3

1x

-

31+x

= 1, sendo x 3 e x - 3

)3)(3()3(3

+

+

xx

xx= )3)(3(

)3)(3(+

+

xx

xx

x + 3 x + 3 = x + 3x 3x 9

Matemtica Bsica

29

x - 9 - 6 = 0 x - 15 = 0 x = 15

x = 15

A resoluo de equaes completas do 2 grau.

Equaes do tipo: ax + bx + c = 0

Qualquer equao do 2 grau pode ser resolvida atravs da frmula de Bhskara, o mtodo usado anteriormente serve para facilitar a resoluo de equaes incompletas em b e em c, principalmente as incompletas em b que so muito mais fceis de serem resolvidas daquela forma, pois o uso da frmula de Bhskara naquele caso tornaria a soluo mais complicada.

Demonstrao da frmula de Bhskara:

Dada a equao ax + bx + c = 0, multiplique os dois membros da equao por 4a: (4a )(ax + bx + c ) = (4a ) . 0 4ax + 4abx + 4ac = 0 4ax + 4abx = -4ac Adicione b aos dois membros da equao: 4ax + 4abx + b = -4ac + b Observe que o primeiro membro dessa igualdade um trinmio quadrado perfeito igual a (2ax + b) (2ax + b ) = b - 4ac Extraia a raiz quadrada dos dois membros da igualdade:

)2( bax + = acb 4 2ax + b = acb 4 2ax = - b acb 4

x = a

acbb2

4

= b - 4ac

Resolver em R a equao 2x - 10x + 12 = 0:

Temos a = 2 , b = -10 e c = 12, ento:

x = 2.2

12.2.4)10()10(

x = 4

9610010

x = 4410

x = 4210

x = 4

210 +=

412

= 3

x = 4

210 =

48

= 2

usual fazermos =b2 -4ac que denominamos de discriminante da equao, portanto:

Relaes entre os coeficientes e as razes

Relao de soma Sendo x1 e x2 as razes da equao do 2 grau, desejamos obter a relao de soma em funo dos coeficientes (a , b , c).

Relao de produto:

P = x1 . x2

P = a

b2

.

a

b2

P = 4

a

bbb +

Matemtica Bsica

30

P=4

)4(a

acbb =

44

a

acbb +=

44

a

ac=

a

c

Fatorao do trinmio do 2 grau Sendo r1 e r2 as razes do trinmio do segundo grau ax +bx + c , temos que:

ax + bx + c = a(x-r1)(x-r2)

Fatorar o trinmio do 2 grau

5x - 3x 2

Inicialmente determinamos as razes do trinmio. As razes so os nmeros que atribudos a varivel x anulam o trinmio, isto , 5x - 3x 2 = 0

x = 10

)2.(5.493

x = 10

4093 +

x = 10493

x = 1073

x = 10

73 +=

1010

= 1

x = 10

73 =

104

=

52

Resolver em R a equao:

x-2 = 2x-1

3x-1 x-3

Condies de existncia

3x-1 0 3x 0

x 31

x-3 0

x 3 )3)(13()3)(2(

xx

xx= )3)(13(

)13)(12(

xx

xx

X2 3x -2x +6= 6x2 2x -3x +1 X2 3x -2x +6 - 6x2 +2x +3x -1 =0

-5 X2 + 5 =0

5 X2 5=0

5 X2 = 5

X2 = 55

=1

X= 1

X= 1

S= {-1,+1}

Obtenha as equaes do 2 grau conhecendo as razes:

a) 2 e 3

(x 2)(x 3) = x - 3x 2x + 6 = x - 5x + 6 x - 5x + 6 = 0

b) -1 e -2

(x + 1)(x + 2) = x + 2x + x + 2 = x + 3x + 2 x + 3x + 2 = 0

c) 21

e31

(x -21 ) (x -

31 ) =

x - 3x

-

2x

+ 61

=

6x - 2x 3x + 1 = 6x - 5x + 1 6x - 5x + 1 = 0

d) 2 - 3 e 2 + 3 (x 2 + 3 )(x 2 - 3 ) = 0

x 2x + x3 - 2x + 4 + 2 3 + x3 - x32 - 3 = 0

Matemtica Bsica

31

x - 4x + 1 = 0


91

+ 3

1x

=

x94

Condio de existncia: x 0 O mmc dentre os denominadores 3, 3x e 3x o produto de todos os seus fatores, sendo que dentre fatores repetidos escolhido o de maior expoente,isto : mmc( 3,3x,3x) = 3x = 9x Multiplicando ambos os membros da equao por esse mmc, temos:

9xx(91

+3

1x

) = 9xxx9

4

99x

+39

x

x=

x

x

936

x + 3 = 4x x - 4x + 3 = 0 = (-4) - 4.1.3 = 4

x = 1.2

4)4(

x = 2

24

x = 2

24 +=

26

= 3

x = 2

24 =

22

= 1


23

-

442x

=

13x

Condio de existncia:

4x 4 0 4x 0

x 44

x 1 x - 1 0 x 1 x 1

x 1

Para o clculo do mmc dentre os denominadores, fatoramos cada um deles, obtendo: 2, 2(x 1) e (x + 1)(x 1). O mmc o produto de todos os fatores desses polinmios, sendo que dentre fatores repetidos escolhido o de maior expoente, isto : mmc[2, 2(x 1),(x + 1)(x 1)] = 2(x + 1)(x 1)

Exerccios resolvidos:

1)

( )( )

( )( )( )( )

( )( )33333

334

11

31

3341

31

94

2

+

++=

+

=

+

=

xx

xxx

xx

x

xxx

x

xx

x

( )

{ }4;4

4

16

16

934

934

2

2

2

+=

=

=

=

++=

+=

S

x

x

x

xxx

xxx

2)

)1)(1(4)1(2)1)(1(6

+

++

xx

xxx= )1)(1(4

12+ xx

6(x-1) - 2(x+1) = 12 6x - 6 - 2x - 2 = 12 6x - 2x - 8 - 12 = 0 6x - 2x - 20 = 0 3x - x - 10 = 0 = (-1) - 4.3.(-10) = 121

x = 3.2

121)1(

Matemtica Bsica

32

x = 6111

x = 6111+

=

612

= 2

x = 6111

= -

610

= -

35

S = { 2 , 35 }

3)

2)1( x

-

3)1( +xx

=

21

212 xx

-

3 xx +

=

21

6)(2)12(3 xxxx ++

=

63

3x - 6x + 3 -2x - 2x - 3 = 0 x - 8x = 0 x (x - 8) = 0 x = 0 ou

x = 8

4)

13x

+ 22

12

x

x=

15+x

x; x 1

)1)(1(212)1(6

+

++

xx

xx= )1)(1(2

)1(10+

xx

xx

6x + 6 + x 12 = 10x - 10x

10x - 17x + 6 = 0

x = 10.2

49)17( =

20717

x = 56

ou x = 21

S = {56

; 21 }

5) A rea de um retngulo igual a 440 m. Sabendo que a medida da base e a da altura desse retngulo so nmeros pares e consecutivos, determine seus valores.

A = x(x + 2) 440 = x + 2x x + 2x 440 = 0

x + 2x 440 = 0

x = 1.2

)440.(1.422

x = 2

17642 =

2422

x = 20 ou x = -22

- 22 no convm, pois x > 0

Matemtica Bsica

33

REFERNCIAS

CELESTINO, Josu ; Oliveira, Waldeck Gomes de. Apostila de matemtica. Lauro de Freitas: SENAI / CETIND, 1997.

CRESPO, Antonio Arnot. Estatstica fcil. 9.ed. So Paulo: Atlas, 1992.

CRESPO, Antnio Arnot .Estatstica fcil. So Paulo: Saraiva, 1990.

FONSECA, Jairo Simon da; Martins, Gilberto de Andrade. Estatstica. So Paulo: Atlas, 1992.

GIOVANNI, Jos Ruy et al. Conquista da matemtica. So Paulo: FTD, 1998.

GENTIL, Nelson et al. Matemtica para o 20 Grau. 5.ed. So Paulo: tica , 1996. v.1.

HOEL, Paul G. Estatstica elementar. So Paulo: Atlas, 1992.

IEZZI, Nelson et al. Fundamentos de matemtica elementar. 7.ed. So Paulo: Atual, 1991. 4v.

IEZZI Gelson et al. Matemtica e

realidade: 5aa 8a srie. 3. ed. So Paulo: Atual, 1996.

JAKUBOVIC, Jos et al. Equaes do 20 Grau. 11. ed. So Paulo: Atual,1998.

JAKUBOVIC, Jos et al . Propores. 11.ed. So Paulo: Atual ,1998.

JAKUBOVIC, Jos et al. lgebra. 11. ed. So Paulo: Atual,1998.

KTIA, Roku . Matemtica. So Paulo: Saraiva, 1998. v.1

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemtica idias e desafios: 5a a 8a srie. 5. ed. So Paulo : Saraiva, 1998.

PAIVA , Manoel . Matemtica. So Paulo: Moderna , 1995. v.1

SANGIORGI, Osvaldo. Matemtica: 5a a 8a srie. So Paulo: Companhia Editora Nacional, 1985.

BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de Matemtica. So Paulo: Moderna, 1995. v. nico.

www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercic

REFERNCIAS

Documents

Matemática Básica Rev 02