GABARITO

1Matemática C

Matemática C – Semiextensivo – V. 2

Exercícios

01) Através da observação direta do gráfico, podemos concluir que:

a) País 5. b) País 1. c) 600 habitantes. d) 400 habitantes. e) 400 – 40 = 360 habitantes.

04) C

Através do gráfico, podemos construir a seguinte tabela:

Número defaltas por dia

(x )i

Númerode dias

(f )i

Número de faltaspor dia x número de dias

(x )i . fi

0

1

2

3

4

5

Total

8

5

3

6

2

3

27

0

5

6

18

8

15

52

Observe que na última linha da tabela temos, para um total de 27 dias, 52 faltas.

05) a) 4 592 toneladas b) 27,5%

a) Como a matéria orgânica é a parte do lixo que pode ser transformada em composto orgânico (adubo), temos: 57,4% de 8000 toneladas = 4592 toneladas.

b) 110400

= 0,275 . 100 = 27,5%

06) E

Através do gráfico, podemos concluir que:

Região Sul: taxa extrema pobreza 1995 13 6

2008 5 5

→→

, %

, %

Fazendo 13,6 ––– 100% 5,5 ––– 5,5% 13,6 . x = 5,5 . 100 ⇒ x ≅ 40,4%, ou seja, a taxa extrema

de pobreza, caiu na região Sul: 100 – 40,4 ≅ 59,6%.

02) Através da observação direta do gráfico, podemos concluir que:

a) 55 anos. b) 20. c) 35 anos. d) 12. e) 18.

03) E

a) Falso. Pois para que a média fosse 30% as barras que representam a população de homens deveriam estar distribuídas próximos da altura 30% no gráfico.

b) Falso. Pois a porcentagem de meninas obesas no período de 1999-2002 é de 15%, enquanto que a porcentagem de meninas obesas no período de 1988-1994 é de 10%.

c) Falso. Pois pelo gráfico menos de 20% das meninas estavam obesas no período de 1999-2002.

d) Falso. Pois através da observação do gráfico não podemos concluir que mais de 50% da população pesquisada estava obesa.

e) Verdadeiro. Pois observando o gráfico temos que a população de mulheres obesas no período de 1988-1994 é maior que 25%, enquanto que a população de mulheres obesas no período de 1976-1980 é de pouco mais de 15%.

GABARITO

2 Matemática C

07) B

Através dos dados fornecidos pela tabela e pelo gráfico, temos:

Classe Númerode famílias

(f )i

Frequência relativa - fr (%)i

A

B

C

D

E

Total (n)

250

500

2250

1500

500

5000

0,05 x 100 = 5%

0,1 x 100 = 10%

0,45 x 100 = 45%

0,3 x 100 = 30%

0,1 x 100 = 10%

100%

(fr = x 100)if

ni

Da tabela que relaciona a classe e a faixa de renda, temos: famílias com renda acima de R$3060,00 → classes A, B e C.

Logo: 5% + 10% + 45% = 60%.

09) E

Do gráfico, podemos concluir que o consumo diá-rio de cigarros e o número de casas de câncer de pulmão são grandezas relacionadas. O aspecto do gráfico mostra que não há proporcionalidade direta ou inversa nessa relação.

10) D

Analisando o gráfico, observamos que existem 23 020 . 103 = 23 020 000 pessoas economicamente ativas em maio de 2009. Portanto em junho de 2009, com o aumento de 4% da população economicamen-te ativa, temos:

23  000 . (1 + 0,04) = 23 020 000 . (1,04) = 23 020 800 pessoas economicamente ativas.

11) A

Pelo enunciado, o casal que adquirir o pacote pro-mocional pagará 150 reais nos três primeiros dias; 150 – 20 = 130 reais no quarto dia; 130 – 20 = 110 reais no quinto dia; 110 – 20 = 90 reais no sexto dia e também nos dois últimos dias.

Logo, o pacote promocional custará: 150 . 3 + 130 + 110 + 3 . 90 = 960 reais, enquanto a

hospedagem por sete dias fora da promoção custa 7 . 150 = 1050.

Portanto a economia será de: 1050 – 960 = 90 reais.

12) B

A figura a seguir mostra a rota seguida pelo avião AII, que partiu de Brasília e seguiu uma direção que forma um ângulo de 135° no sentido horário com a rota Brasília–Belém.

2

1

1817

4

3

5 6 7 8

9

13

10

11

12

15

16

14

DF 135°

(Belo Horizonte)

08) A

Para a solução desta questão considere o gráfico a seguir:

* São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Recife, Porto Alegre, Salvador, Fortaleza, Curitiba e Goiânia.

** Passageiro total mensal/frota/25

CAPITAIS BRASILEIRAS - SISTEMA DE ÔNIBUS URBANO*Passageiros transportados por veículos/dia**

1995 a 2008

650

600

550

500

450

400

350

Out/

95

Abr/

96

Out/

96

Abr/

97

Out/

97

Abr/

98

Out/

98

Abr/

99

Out/

99

Abr/

00

Out/

00

Abr/

01

Out/

01

Abr/

02

Out/

02

Abr/

03

Out/

03

Abr/

04

Out/

04

Abr/

05

Out/

05

Abr/

06

Out/

06

Abr/

07

Out/

07

Abr/

08

Out/

08

Passageiro/veículos

631

581569

568

555

505

506

451

446422

400

435 438

440

447428

391 393 404

407 410

410

418

415 411

463441

Em abril de 2001 o número de passageiros era de 321,9 milhões e o índice de produtividade era de 400; logo, sendo f o tamanho da frota, em milhões de veícu-

los, temos que: 3219,

f = 400 ⇒ f = 

3219400

, ⇒ f = 0,80475

Em outubro de 2008, o índice era de 441; sendo n o número de passageiros transportados (em milhões), temos que:

nf = 441 ⇒ n = 441 . f ⇒ n = 441 . 0,80475 ⇒ n ≅ 354,9

GABARITO

3Matemática C

A próxima figura a seguir mostra a rota seguida pelo avião AII, que partiu de Belo Horizonte (13) e seguiu uma direção que forma um ângulo de 90° no sentido anti-horário com a rota do avião AII.

2

1

1817

4

3

5 6 7 8

9

13

10

11

12

15

16

14

DF 135°

(Belo Horizonte)

pode-se concluir que Carlos fez uma conexão em Belo Horizonte (13) e, em seguida, embarcou para Salvador (9).

13) E

Temos, marcado no gráfico, o ano de início da guerra no Iraque com o valor de 417,4 na ordenada. Observando a legenda, vemos que a unidade do eixo é bilhões de dó-lares, portanto o gasto é de: US$417 400  000 000,00.

14) A

Do gráfico, temos que 9,8% das 250  000 pessoas pesquisadas em Porto Alegre, estão desempregadas.

O número de desempregados entre os pesquisados em março de 2010 é dado por:

9 8100, . 250 000 = 24 500, ou seja, 24 500 pessoas.

15) E

Analisando o gráfico, constata-se que o número total de micros infectados durante a semana foi de 285 mil (15 + 103 + 89 + 15 + 8 + 35 + 20 = 285).

16) D

Analisando o gráfico, constata-se que no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%.

17) C

Analisando o gráfico, verifica-se que o único período em que houve queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro foi entre os anos de 2003 e 2006.

18) A

Note que houve um alargamento das faixas interme-diárias e da parte de cima da pirâmide etária para as projeções do ano de 2030 em relação ao ano de 1990. Essas faixas representam as faixas de adultos e idosos. Dessa forma, podemos concluir que o processo de envelhecimento da população do Brasil está relaciona-do com a expectativa de vida do brasileiro, conforme melhoram as suas condições de vida.

19) B

Analisando o gráfico, pode-se concluir que, de 1950 (20 milhões) a 1980 (80 milhões), a população urbana aumentou em mais de 50 milhões de habitantes.

20) D

Analisando o gráfico, verifica-se que a área desmatada por ano foi maior entre 1994 e 1995 do que entre 1997 e 1998.

21) C

Analisando o gráfico, constata-se que no período de 2000-2001 a curva apresenta um decrescimento acen-tuado nas quatro setores, o que caracteriza o "apagão".

22) a) 69,84% b) x = 5 169 221,1 e Md = 4 063 397 Sem SP: x = 3 504 441 e Md = 2 880 474,5 c) 52 . 5 = 260 dias 70% de 10 483 071 = 7 338 150

N = 7 338 150

260 = 28 224 passageiros

a) O total de passageiros embarcados/desembarcados do ranking é de 51 692 211, já o total de passageiros embarcados/desembarcados na região Sudeste (Guarulhos, Congonhas, Galeão, Santos Dumont e Pampulha) é de 36 106 460.

Assim, 36 106 46051692 211

≅ 0,6984 . 100 = 69,84%.

b) Calculando a média do número de passageiros transportados, temos:

xx

ni= =∑ 51692 211

10 = 5 169 221,1

Calculando mediana do número de passageiros temos:

GABARITO

4 Matemática C

como n = 10 (par), precisamos calcular os elementos centrais, colocando os dados em rol, temos:

T Tn2

102

= = T5 = 3 243 433

T Tn2

1102

1+

+

= = T6 = 4 883 361

Logo Md = T T5 6

23 243 433 4 883 361

2+

=+ =

= 4 063 397 Refazendo os cálculos sem considerar os aeroportos

de São Paulo, temos:

x = ≅28 035 529

83 504 441

Md = T T4 5

22 517 516 3 243 433

2+

=+

= 2 880 474,5

c) Considerando que 1 ano tem 52 semanas, temos 52 . 5 = 260 dias úteis.

70% de 10 . 483 . 071 ≅ 7 338 150. Logo, considerando N o número de passageiros que

circulam em Congonhas num dia útil, temos:

N = 7 338 150260

≅ 28 224 passageiros.

23) a) 220 b) R$690,90 c) R$641,17

A partir do gráfico, podemos montar a seguinte tabela:

300

500

700

900

1000

500

700

900

1100

1300

Total

50

85

40

25

20

220

400

600

800

1000

1200

20 000

51 000

32 000

25 000

24 000

152 000

Valor doaluguel

Quantidade deapartamentos

(f )i

xi . fixi

Lembre-se que: xi = ponto médio do intervalo (representa o intervalo).

a) x = 220

b) xx f

fi i

i

= =∑∑

. 152 000220

≅ 690,90

c) Md = Imd +

nF

f

ant

md

2−

. h = 500 + 110 50

85−

. 200

Md = 500 + 141,17 = 641,17

24) a) tabela b) média: 76,32%; mediana: 75,49%.

a)

59

67

75

83

91

67

75

83

91

99

5

8

8

3

3

27

5

13

21

24

27

63

71

79

87

95

315

568

632

261

285

2061

1

2

3

4

5

Total

Int. de classe Xi . fiXifAfiClasse

b) xx f

fi i

i

= =∑∑

. 206127

≅ 76,3%

Md = Imd +

nF

f

ant

md

2−

. h = 75 + 13 5 13

8, −

. 8

Md = 75 + 0,5 = 75,5%

25) D

De acordo com o gráfico: O número de meninas no curso de informática é

1 + 2 + 1 + 3 + 3 = 10. O número de meninos no curso de informática é

2 + 1 + 4 + 2 + 1 = 10. Portanto, o número de meninos é igual ao número de

meninas.

26) B

Analisando o gráfico, pode-se concluir que o número de vendas da loja Só Conforto ultrapassou o da loja Pise Bem nos meses de fevereiro, julho e outubro, ou seja, em 30% dos meses considerados.

27) C

De acordo com o gráfico, há 10 alunos com 16 anos de idade, 23 alunos com 17 anos, 20 com 18 anos, 5 com 19 anos e 2 com 20 anos.

Portanto, a média das idades dos alunos é dada por:

x =+ + + +

+ + + +10 16 23 17 20 18 5 19 2 20

10 23 20 5 2. . . . .

x =104660

= 17,4333... ⇒ x ≅ 17 anos e 5 meses.

28) a) V – V – V – F b) x = 12,0175 . 200 = 2 403,50 Md = 11,41 . 200 = 2 282,00

GABARITO

5Matemática C

S = 4,78 . 200 = 956,00 c) Sul/Sudeste: x = 3,89 (média); S = 0,904 (desvio padrão); CV = 23,23% (coeficiente de variação) Norte/Nordeste: x = 1,97 (média); S = 0,335 (desvio padrão); CV = 17% (coeficiente de variação)

a) I. Verdadeiro. Renda média familiar em Belém: 7,52 . 200 = R$1 504,00. Percentual gasto com habitação: 31,15% de R$1504,00 ≅ R$468,00. II. Verdadeiro. Renda per capita no Recife: 2,26 . 200 = R$452,00. Percentual gasto com transporte: 13,95% de R$452,00 = R$63,05. III. Verdadeiro. •Rendamédiafamiliar: Fortaleza = 9,34 . 200 = R$1 868,00 Goiânia = 7,42 . 200 = R$1 484,00 •Gastoscomsaúde: Fortaleza = 12,01% de R$1868,00 ≅ R$224,35 Goiânia = 12,01% de R$1484,00 ≅ R$178,23 IV. Falso. Renda média familiar paulista: 15,62 . 200 = R$3 124,00 R$3 124,00 – 31,15% (gasto com habitação) = R$2 150,87 R$2 150,87 – 25,12% (gasto com alimentação) = R$1 610,57

b) Média: x =

+ + + + + + + + + +7 52 10 76 23 83 12 59 12 06 9 34 7 42 12 73 9 08 6 06 1. , , , , , , , , , 77 2 16 6212

, ,+ =

x = 12,0175 (em salários mínimos) x = 12,0175 . 200 = R$2 403,50 (média salarial) Mediana: Rol: 6,06; 7,42; 9,08; 9,34; 10,76; 12,06; 12,59; 12,73; 15,62; 17,20; 23,83. Como n = 12 é par, temos que calcular os termos centrais. T n

2

= T6 = 10,76

T n2

1+

= T7 = 12,06

Md = 10 76 12 062

, ,+ = 11,41 (em salários mínimos)

Md = 11,41 . 200 = R$2282,00 (salário mediano) Desvio padrão: Considere a tabela:

56,5504115,7776567,8689158,5081145,443687,235655,0564

162,052982,446436,7236

295,8400243,9844

2007,4879

xi

2xi

7,5210,7623,8312,5912,069,347,42

12,739,086,06

17,2015,62

144,21

GABARITO

6 Matemática C

S = x

n

x

ni i2 2

∑ ∑−

S = 2007 487912

144 2112

2, ,

−

S = 22 87, S ≅ 4,78 (em salários mínimos) S ≅ 4,78 . 200 = R$956,00

c) Região Sul/Sudeste:

Xi2

Xi

Belo Horizonte

Curitiba

Florianópolis

Porto Alegre

Rio de Janeiro

São Paulo

2,69

3,57

3,34

3,88

5,60

4,27

23,35

7,2361

12,7449

11,1556

15,0544

31,3600

18,2329

95,7839

Capital

x = 23 356,

≅ 3,89.

S = 95 78396

23 352

2, ,

−

≅ 0,904

C.V. = 0 9043 89,,

. 100 ≅ 23,23%

Região Norte/Nordeste:

Xi2

Xi

Belém

Fortaleza

Recife

Salvador

1,95

2,24

2,26

1,43

7,88

3,8025

5,0176

5,1076

2,0449

15,9726

Capital

x = 7 886,

≅ 1,97.

S = 15 97264

7 884

2, ,

−

≅ 0,335

C.V. = 0 335197,,

. 100 ≅ 17%

c) Nacional

xi2

xi

Belém

Belo Horizonte

Brasília

Curitiba

Florianópolis

Fortaleza

Goiânia

Porto Alegre

Recife

Salvador

Rio de Janeiro

São Paulo

1,95

2,69

6,40

3,57

3,34

2,24

1,86

3,88

2,26

1,43

5,60

4,27

39,49

3,8025

7,2361

40,9600

12,7449

11,1556

5,0176

3,4596

15,0544

5,1076

2,0449

31,3600

18,2329

156,1761

Capital

S = 156 176112

39 4912

2, ,

−

S ≅ 1,48

Nas regiões Norte/Nordeste a renda per capita varia pouco de ca-pital para capital. O mesmo ocorre nas regiões Sul/Sudeste, porém há uma disparidade grande quando comparamos as regiões Sul/Sudeste com as regiões Norte/Nordeste, por isso o desvio padrão nacional é bem maior.

29) B

xx

ni=∑ =

23 28 32 26 25 17 23 188

+ + + + + + + = 24

30) C

rol: 17, 18, 23, 23, 25, 26, 28, 32. Mo = 23

Md = T T4 5

223 25

2482

+=

+= = 24

31) A

Calculemos inicialmente a média aritmética do número mínimo de infrações em cada linha da tabela:

1 7 4 10 7 15 10 13 13 5

7 10 15 13 534750

. . . . .+ + + ++ + + +

= = 6,94

GABARITO

7Matemática C

Agora calculemos a média aritmética do número máxi-mo de infrações em cada linha da tabela:

3 7 6 10 9 15 12 13 15 550

44750

. . . . .+ + + += = 8,94

32) I, III e IV

I. Verdadeiro. Os dados de 2006 a 2008 estão dispos-tos em ordem crescente.

II. Falso. Pois x =+ + +52 52 50 48

4 = 50,5 toneladas.

III. Verdadeiro. Pois o valor 52 é o que possui a maior frequência no conjunto de dados.

IV. Verdadeiro. Pois:

x2000–2004 =

48 52 54 52 525

+ + + + = 51,6 toneladas.

x2005–2008 =

50 48 52 544

+ + + = 51 toneladas.

V. Falso. Pois rol: 48, 48, 50, 52, 52, 52, 52, 52, 54, 54.

Md = T T5 6

252 52

2+

=+ = 52 toneladas.

33) A

xx f

fAi i

i

= =∑∑

. 189030

= 63.

xx f

fBi i

i

= =∑∑

. 119020

= 59,5.

34) B

xx f

fi i

i

=∑∑

. = 565 16 765 8 965 4 1165 2

30. . . .+ + +

x = 2135030

≅ 711,67

Md = Imd +

nF

f

ant

md

2−

. h = 465 + 15 016−

. 200

Md = 465 + 187,50 = 652,50

35) a) rol: 2,5; 3; 3,5; 4. Média: x = 3,25. Desvio padrão: S = 0,559.

Organizando os dados em um rol, temos:x: 2,5; 3; 3,5; 4.

a) x = 2 5 3 3 5 44

, ,+ + + = 3,25

d = ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , )2 5 3 25 3 3 25 3 5 3 25 4 3 254

2 2 2 2− + − + − + −

d = 1254, = 0,559

b) C = [2,13; 4,37]. Logo, pertencem ao intervalo so-mente os dados 3, 3,5 e 4.

C = [x – 2d, x + 2d] = [2,13, 4,37] Logo, pertencem ao intervalo somente os valores 3;

3,5 e 4.

36) E

Primeiramente, vamos calcular as NPi, i = 1, 2, 3, 4 e 5.

NPi = ( )x MS

i i

i

− . 100 + 500

NP1 = ( )3 11− . 100 + 500 = 700

NP2 = ( )2 11− . 100 + 500 = 600

NP3 = ( )5 22− . 100 + 500 = 650

NP4 = ( )5 32− . 100 + 500 = 600

NP5 = ( )8 5

2−

. 100 + 500 = 650

Calculando a NPG3, temos:

NPG3 = 700 600 650 600 6505

+ + + + = 640

Finalmente, vamos NPF deste candidato:

NPF = NPG NPG NPG1 2 32

4+ + .

NPF = 690 680 2 6404

26504

+ +=

. ( ) = 662,5

37) Considere a tabela quanto às vendas:

xi2

xi

1

2

3

4

5

6

7

Σ

10

13

18

19

25

30

35

150

100

169

324

361

625

900

1225

3704

Ano

xx

ni=∑ =

1507

≅ 21,43

S = x

n

x

ni i2 2

∑ ∑−

=

37047

1507

2

−

GABARITO

8 Matemática C

S ≅ 8,36

CV = Sx

. 100

CV = 8 362143,,

. 100 ≅ 39,0%

Agora, considere a tabela quanto às despesas em publicidade:

xi2

xi

1

2

3

4

5

6

7

Σ

3

3

5

6

8

9

13

47

9

9

25

36

64

81

169

393

Ano

x = 477

≅ 6,71

S = 3937

477

2

−

S ≅ 3,33

CV = 3 336 71,,

. 100 ≅ 49,6%

Logo, podemos concluir que a dispersão das despesas com publicidade (49,6%) é superior à dispersão das vendas (39%).

38) A duração média de uma chamada é de 9,35 minutos e S = 8,85

Considere a seguinte tabela:

0

5

10

20

30

5

10

20

30

50

2 000

1 500

1 000

300

200

5 000

2,5

7,5

15

25

40

5 000

11 250

15 000

7 500

8 000

46 750

Int. de classe xi . fixifi

Total

12 500

84 375

225 000

187 500

320 000

829 375

xi2 . fi

xx f

fi i

i

=∑∑

. =

46 7505000

= 9,35 minutos.

S = x f

f

x f

fi i

i

i i

i

2 2. .∑

∑∑∑

−

= 829 375

500046 7505000

2

−

S = 78 4525, ≅ 8,85 minutos

39) B

Da tabela, o candidato com pontuação mais regular é Marco, pois obteve o menor desvio padrão.

40) a) 42,8 b) 7,95 e 18,57%

Considere a tabela:

10

20

30

15

40

35

150

27,5

32,5

37,5

42,5

47,5

52,5

275

650

1125

637,5

1 900

1 835,5

6425

Int. de classe xi . fixifi

7 562,50

21 125,00

12 187,50

27 093,75

90 250,00

96 468,75

284 687,50

xi2 . fi

25

30

35

40

45

50

30

35

40

45

50

55

Total

a) x = 6425150

≅ 42,8 (US$)

b) S = 284 687 50

1506425150

2,−

≅ 7,95 (US$)

CV = 7 9542 8,,

. 100 ≅ 18,57%

41) S2(x) = 141,28 cm2 e S(x) = 11,89 cm

2

15

18

18

16

1

70

155

165

175

185

195

205

310

2 475

3 150

3 330

3 120

205

12 590

xi . fixifi

1 235,7551

3 311,0204

424,6530

476,0816

3 368,8979

632,1632

9 748,5714

Int. de classe

�

150

160

170

180

190

200

160

170

180

190

200

210

(x – x)2 . fii

GABARITO

9Matemática C

xx f

fi i

i

=∑∑

. = 12 590

70 ≅ 179,86

S2(x) = ( ) . ,x x f

fi i

i

−

−=

−∑∑

2

19748 5714

70 1 ≅ 141,28

S(x) = S x2( ) ≅ 11,88

S2(x) = 141,28 cm2 e S(x) = 11,89 cm

42) a) x = 29,73 Mo = 28,33 Md = 29,5 b) S2 = 79,98 S = 8,94 c) CV = 0,3008 ou 30,08%

4

7

8

6

5

30

15,5

22,5

29,5

36,5

43,5

62

157,5

236

219

217,5

892

xi . fixifi

810,3511

366,2478

0,4355

274,7267

947,6056

2399,3667

Int. de classe

12

19

26

33

40

19

26

33

40

47

(x – x)2 . fii

4

11

19

25

30

Fi

a) xx f

fi i

i

=∑∑

. =

89230

≅ 29,73

Md = Imd +

nF

f

ant

md

2−

. h = 26 + 15 11

8−

. 7 = 29,5

Mo = i + c . f f

f f fm ant

m ant post

o

o

−

− +2 . ( ) = 26 + 7 .

8 72 8 7 6

−− +. ( )

= 28,33

b) S2(x) = ( ) . ,x x f

fi i

i

−=∑

∑2

2399 366730

= 79,98

S(x) = S x2( ) = 79 98, = 8,94

c) CV = S xx( ) = 0,3008 = 30,08%

43) D

a) Correta. Pois pela definição de conjugado, se z = 1 + i, então z = 1 – i.

b) Correta. Pois |1 + i| = 1 12 2+ = 2.c) Correta. Pois (1 + i)2 – 2(1 + i) + 2 =

1 2 2 2 22+ + − − +i i i = 1 + i2 = 1 + (–1) = 1 – 1 = 0.

d) Incorreta. Pois (1 + i)–1 =

= 11

11

11

112 2( ) ( )

.( )( )+

=+

−−=−−i i

ii

ii

=

= 1

1 111 1

122

−− −

=−+=−i i i

( )e) Correta. Pois (1 + i)2 = = 12 + 2 . 1 . i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i.

44) A

i10 + i–100 = i10 + 1100i

= i2 + 10i = –1 + 1 = 0

45) A

(1 + i)n = (1 – i)n ⇒ ( )( )11+−ii

n

n = 1 ⇒

11+−

ii

n

= 1

Note que: 11+−ii =

11+−ii . ( )( )11++ii

= ( )1

2

2+ i = 1 2 1

2+ −i = i

Assim, in = 1 que se verifica para n múltiplo de 4, ou seja, n = 4k, k ∈ Z.

46) C

Sejam z1 = 4 – 3i, z2 = –2i e z3 = i

|z1| = 4 32 2+ −( ) = 25 = 5 z3 = i38 = i2 = –1 z

2 = +2i z

2 . z3 = 2i . i = 2i2 = –2 Logo, |z1| + z3

38 – z2 . z3 = 5 + (–1) – (–2) = 5 – 1 + 2 = 6.

47) 58

(a + bi)2 = –3 + 4i ⇒ a2 + 2ab + b2i2 = –3 + 4i ⇒

⇒ a2 – b2 + 2abi = –3 + 4i ⇒ a b I

ab II

2 2 3

2 4

− =−=

( )

( )

De (I), temos:

2ab = 4 ⇒ ab = 42

⇒ ab = 2 ⇒ b = 2a

Substituindo em (II), temos:

a2 – b2 = –3 ⇒ a2 – 2

2

a

= –3 ⇒ a2 –

42a = –3 ⇒

⇒ a4 – 4 = –3a2 ⇒ a4 + 3a2 – 4 = 0 Fazendo x = a2, temos:

x2 + 3x – 4 = 0 ⇒ x

x1

2

4

1

=−

=

Assim, x = a2 ⇒ a

a

2

2

4

1

=−

=

GABARITO

10 Matemática C

a2 = –4 ou a2 = 1

a = −4 ∉ R a = ± 1 = ±1 ⇒ |a| = 1

Como b = 2a

, temos b = 21± = ±2 ⇒ |b| = 2

Logo, 8 . |a| + 25 . |b| = 8 . 1 + 25 . 2 = 8 + 50 = 58.

48) 55

01. Verdadeira. Pois |z| = ( )− +3 42 4 = 25 = 502. Verdadeira. Pois R ⊂ C.

04. Verdadeira. Pois se a = 14

, então

z = 1214

3.−

+ i = (3 –3) + i = i, que é um imagi-

nário puro.08. Falsa. Pois, por definição, um número imaginário é

um número complexo cuja parte real é zero.16. Verdadeira. Pois i10 = i2 = –1.32. Verdadeira. Pela definição de número complexo.

49) 4949

Podemos escrever S da seguinte maneira: S = ( ... ) (

. .

1 2 3 4 991

2 3+ + + + + + + +=P A com r

i i i� ����������� ����������� ++ + +=

i iP G com q i

4 99... ). .

� ����������� �����������

Calculando a soma dos termos, temos:

P.A. ⇒ Sn = ( )a an1

2+

. n ⇒ Sn = ( )1 992+ . 99 = 4950.

P.G. ⇒ Sn = a q

qi i

ii ii

n1

99 311

11

11

. ( ) . ( ) ( )−−

=−−

=−−

Sn = i ii

ii

ii

4

11

111

−−=−−=− −−( ) = –1

Logo, S = 4950 + (–1) = 4949.

50) 40

Fazendo z = x +yi, temos: z – i = x + yi – i = x + (y – 1) . i e z – 2 = x + yi – 2 = (x – 2) + yi Da igualdade 2|z – i| = |z – 2|, temos:

2|z – i| = |z – 2| ⇒ 2 . x y2 21+ −( ) = ( )x y− +2 2 2 ⇒ 4 . [x2 + (y – 1)2] = (x – 2)2 + y2 ⇒

3x2 + 3y2 + 4x – 8y = 0 ⇒ x+

23

2

+ y−

43

2

= 209

,

que é a equação da circunferência, com centro no

ponto −

23

43

, e raio 2 53

.

Assim, 9(a2 + b2 + r2) = 4 + 16 + 20 = 40

51) 4 + 3i

Fazendo z = x + yi, temos: 5z + z = 12 + 6i ⇒ 5(x + yi) + x – yi = 12 + 6i ⇒ 5x + 5yi + x – yi = 12 + 6i ⇒ 6x + 4yi = 12 + 6i ⇒

⇒ 6 12 2

4 632

x x

y y

= ⇒ =

= ⇒ =

Logo, z = 2 + 32

. i e 2z = 4 + 62

. i = 4 + 3i = 4 + 3i

52) 50

Como z = 2 – 5i e w = a + bi, temos: z + w = (2 – 5i) + (a + bi) = 2 – 5i + a + bi = = (a + 2) + (b – 5) . i. Como z + w é um número real, temos que b – 5 = 0, ou

seja, b = 5. z . w = ( 2 – 5i) . (a + bi) = 2a + 2bi – 5ai – 5bi2

z . w = (2a + 5b) + (2b – 5a)i Como z . w é um imaginário puro, temos que 2a + 5b = 0.

Substituindo b = 5 em 2a + 5b = 0, temos que a = – 252

.

Logo, b2 – 2a = 52 – 2 . −

252

= 25 + 25 = 50.

53) E

Como x = 1 – i, temos:

E = x–1 + x2 = 1x

+ x2 = 11− i

+ (1 – i)2

E = 12+ i

– 2i = 1 42

1 32

+ −=−i i i

E = 12

– 32

i

Obs.: 1) 11− i

= 11− i

. ( )( )11++ii

= 112 2

+−ii

= 12+ i

2) (1 – i)2 = 1 – 2i + i2 = –2i

54) E

y = (1 + i)48 – (1 + i)49

y = (1 + i)48 . [1 – (1 + i)] y = [(1 + i)2]24 . (1 – 1 – i) y = (2i)24 . (–i) y = 224 . i24 . (–i) y = 224 . 1 . (–i) y = –224 . i

GABARITO

11Matemática C

55) 1 35− i

12

12

22

2 22

2

2 2

−+=−+

−−=− − +−

=ii

ii

ii

i i ii

.( )( )

2 2 14 1

1 35

− − −− −

=−i i i

( )

56) x = 2 e y = 3

(3x + 4yi) + (5 + 6i) = 11 + 18i ⇒ ⇒ (3x + 5) + (4y + 6)i = 11 + 18i ⇒

⇒ 3 5 11 2

4 6 18 3

x x

y y

+ = ⇒ =+ = ⇒ =

57) C

z1 = 3 + 9i z2 = –5 – 7i z1 + z2 = –2 + 2i

ρ = ( )− +2 22 2 = 8 = 2 2

senb

a

o

θρ

θρ

θ= = =

= =− =−

⇒ =

2

2 2

22

2

2 2

22

135

cos

58) n = 4

Como queremos o menor valor inteiro positivo para n, temos:

– para n = 1 ⇒ z = (1 + i)1 = 1 + i – para n = 2 ⇒ z = (1 + i)2 = 12 + 2i + i2 = 2i – para n = 3 ⇒ z = (1 + i)3 = (1 + i)2 . (1 + i) = 2i . (1 + i)

= – 2 + 2i – para n = 4 ⇒ z = (1 + i)4 = (1 + i)2 . (1 + i)2 = 2i . 2i =

–4 Logo n = 4 é o menor valor inteiro positivo, tal que z = (1 + i)n é um número real negativo.

59) E

z = 3 + i

z' = 3 + 3i

z . z' = ( 3 + i) . (3 + 3i) = 2 3 + 6i

ρ = ( )2 3 62 2+ = 48 = 4 3

senb

a

o

θρ

θρ

θ= = =

= = =

⇒ =

6

4 3

3

3

32

2 3

4 3

12

60

.

cos

60) C

I. Verdadeira. Pois, se z = a + bi, temos que z = a – bi e z . z = (a + bi) . (a – bi) = a2 + b2, que é um número real.

II. Verdadeira. Pois, se z = a + bi, temos que

|z| =  a b2 2+ ≥ 0.

III. Falsa. Basta tomar z = –i cujo argumento vale 32π

.

61) D

Se z = cos π6

+ i sen π6

, então:

z3 = cos (3 . π6

) + i . sen (3 . π6

) = cos π2

+ i . sen π2

= i

z6 = (z3)2 = i2 = –1 z12 = (z6)2 = (–1)2 = 1 Logo, z3 + z6 + z12 = i + (–1) + 1 = i

62) – 3 – i

t . z = w

t = wz

w = 4 (cos 240° + i . sen 240°) z = 2 (cos 30° + i . sen 30°)

t = 42

. [cos(240 – 30) + i . sen (240 – 30)]

t = 2 . (cos 210° + i . sen 210°)

t = 2 . [– 32

+ i . (–12

)]

t = – 3 – i

63) D

O sistema é equivalente a:

( ) . ( )

( )

( ) . ( )w z w z i

z w i

w z w z i

z w

− + = +

− = +

⇒

− + = +− = −

4 12

2 4

4 2

2 4ii

Logo, (–2 + 4i) . (z + w) = 4 + 12i ⇒

z + w = 4 122 4+− +

ii = 2 – 2i

GABARITO

12 Matemática C

64) C

z = ( )11

21

2−+=−+

ii

ii = –1 – i

z = ρ(cos θ + i . sen θ)

ρ = ( )− +1 12 2 = 2

sen

bsen

a

θρ

θ

θρ

θ

θ= ⇒ =

−=−

= ⇒ =−=−

⇒ =

1

2

22

1

2

22

cos cos

222554

o =π

Logo, z = 254

54

cos .π π

+

i sen

65) B

z1 = 2 → w1 = i . z1 = 2i z2 = 5 → w2 = i . z2 = 5i z3 = 6 + 2i → w3 = 2i . z3 = 2i . (6 + 2i) = –4 + 12i

Im (z)

12

5

2

–4 Re (z)

AT = 3 42.

= 6

66) B

No plano de Argand–Gauss, temos:

2

1

2

–1

–2

–1

1

–2

z = 2 – i

Im (z)

Re (z)