MATEMÁTICA

Aula 28

Matrizes

Esqueleto Numérico Chinês

3 2 1 39 2 3 1 34 1 2 3 26

Esse esqueleto numérico, corresponde ao sistema de equações abaixo,tendo sido suprimidas as variáveis. A resolução desse sistema é feita atravésda manipulação do esqueleto numérico que hoje chamamos de matriz.

Sistema de equações Lineares Correspondente

3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26

A seguir temos uma tabela dos primeiros colocados em um dos grupos docampeonato brasileiro. Essa tabela é um a matriz de ordem 4 x 5 (lê-sequatro por cinco).

Clube PG J V E D

Corínthians 18 7 6 0 1

Vasco 17 7 5 2 0

Grêmio 11 6 3 2 1

Bahia 10 6 2 4 0

Com vinte elementos, na matemática é comumente representa entreparênteses

ou entre colchetes

Para identificar um elemento, usaremos uma letra minúscula do nossoalfabeto com dois sub índices que indicam a posição desse elemento.

5 = a23 (linha 2 e coluna 3)

10 = a41 (linha 4 e coluna 1)

˜̃˜˜˜

¯

ˆ

ÁÁÁÁÁ

Ë

Ê

042610123611025717106718

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

042610123611025717106718

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

042610123611025717106718

Uma matriz pode ser representada de duas formas:

- Pela tabela de m linhas e n colunas:

A =

- Forma abreviada :

A = ( )mxnija

com

Exemplo de aplicação

Como podemos escrever uma matriz A = ( )3x2ija

definida por ÓÌÏ

=

≠-=

jise1jiseji

aij ?

Do texto obtemos a ordem:

A = ( )3x2ija fi ordem 2x3

A = ˙˚

˘ÍÎ

È

232221

131211

aaaaaa

˙˙˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍÍÍ

Î

È

mn2m1m

n33231

n22221

n11211

a...aa............a...aaa...aaa...aa

{ }{ }n,...,3,2,1j

m,...,3,2,1iŒ

Œ

Calculo dos elementos da primeira linha:

a11 = 1 + 1 = 2

a12 = 1 – 2 = -1

a13 = 1 – 3 = -2

fi A = ˙˚

˘ÍÎ

È -- 212

a21 = 2 – 1 = 1

a22 = 2 + 2 = 4

a32 = 3 – 2 = 1

fi A = ˙˚

˘ÍÎ

È --

141212

ÓÌÏ

=+

≠-=

jisejijiseji

aij fi

ÓÌÏ

=+

≠-=

jisejijiseji

aij fi

Matrizes especiais

Matriz Linha

A1xn = [ ]n1131211 a...aaa

A1x4 = [ ]8521 -

Matriz Coluna

Amx1 =

˙˙˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍÍÍ

Î

È

1m

31

21

11

a:

aaa

A3x1 = ˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

352

Matriz nula

0mxn =

˙˙˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍÍÍ

Î

È

0...000:...:::0...0000...0000...000

02x5 = ˙˚

˘ÍÎ

È

0000000000

Matriz Quadrada

An =

A2 = ˙˚

˘ÍÎ

È

2431

O conjunto dos elementos que tem os dois índices iguais, formam adiagonal principal.

A4 =

A2 = ˙˚

˘ÍÎ

È

2431

{aij | i = j} = Diagonal Principal

O conjunto dos elementos que tem soma dos índices igual a n+1, formam adiagonal secundária.

A4 =

A2 = ˙˚

˘ÍÎ

È

2431

{aij | i+j = n+1} = Diagonal Secundária

˙˙˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍÍÍ

Î

È

nn3n2n1n

....

n3333231

n2232221

n1131211

a...aaa

:...:::a...aaaa...aaaa...aaa

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

Matriz Diagonal

A4 =

A3 =

Matriz Identidade

A4 = A2 =

Igualdade de Matrizes

Duas matriz A e B são iguais, se e somente se, o elemento que ocupa aposição ij de A é igual ao elemento que ocupa a posição ij de B:

Amxn = Bmxn ¤ aij = bij

para todo .nj1emi1 ££££

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

44

33

22

11

a0000a0000a0000a

˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

000000000

˙˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍÍ

Î

È

1000010000100001

˙˚

˘ÍÎ

È

1001

Exemplo de aplicação

˙˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È

ywzx

2431

Da igualdade entre as matrizes temos:

x=1, y=2, z=3 e w=4.

Adição de Matrizes

Amxn + Bmxn = Smxn ¤ sij = aij + bij

para todo .nj1emi1 ££££

A adição de duas matrizes dá uma outra matriz, em que cada elemento éa soma dos elementos correspondentes em A e B.

Exemplo de aplicação

˙˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È+˙

˚

˘ÍÎ

È

812106

6875

2431

Exercício

Três amigos saíram juntos para comer no sábado e no domingo. Astabelas a seguir resumem quantas garrafas de refrigerante cada umconsumiu e como a despesa foi dividida:

S = ˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

213010321

e D = ˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

211120302

S refere-se às despesas de sábado e D às despesas de domingo.

S= ˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

213010321

e D= ˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

211120302

Cada elemento aij das matrizes nos dá o número de refrigerantes que ipagou a j, sendo Paulo o número 1, Sandra o número 2 e Edna o número 3.

S= ˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

213010321

e D= ˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

211120302

No sábado, por exemplo, Paulo pagou 1 refrigerante que ele próprio bebeu,2 de Sandra e 3 de Edna (primeira linha da matriz S). Quem bebeu mais no fim de semana?

Matriz Oposta

Dada a matriz A, indica-se como oposta a matriz –A em que cadaelemento é o oposto do correspondente em A.

A = (aij)mxn fi -A = (-aij)mxn

para .nj1emi1 ££££

Exemplo de aplicação

A = ˙˚

˘ÍÎ

È

-

-

4321

fi -A = ˙˚

˘ÍÎ

È

-

-

4321

Subtração de Matrizes

A subtração de matrizes corresponde à adição com a oposta.

Amxn – Bmxn = A + (-B) = (aij – bij)mxn

para .nj1emi1 ££££

Exemplo de aplicação

A – B = ˙˚

˘ÍÎ

È

--=˙

˚

˘ÍÎ

È-˙

˚

˘ÍÎ

È

1121

3510

2431

Multiplicação de número por Matriz

Dada a matriz A e um número real K, chama-se matriz produto de K porA a matriz obtida pelos elementos de A todos multiplicados por k.

k.A = (k.aij)mxn

com .nj1emi1 ££££

Exemplo de aplicação

3. ˙˚

˘ÍÎ

È

--=˙

˚

˘ÍÎ

È

-- 61293

2431

Exercício

Sendo A = ˙˚

˘ÍÎ

È

3721

e B = ˙˚

˘ÍÎ

È

3302

, obter X e Y tal que ÓÌÏ

=-

=+

BYXAYX

Respostas

1) Edna com 11 refrigerantes.

2) ˙˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È=

3302

B3722

A

ÓÌÏ

=-

=+

BYXAYX

2X = A + B fi X = )BA(2

1+

X = ˙˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È

3512

61024

21

X + Y = A (1ª equação)

fi Y = A – X

fi Y = ˙˚

˘ÍÎ

È=˙

˚

˘ÍÎ

È-˙

˚

˘ÍÎ

È

0210

3512

3722

+