20
Gabarito 1 Matemática D Matemática D – Extensivo – V. 8 Resolva Aula 29 29.01) O R A 16 3 C h – R h R B 8 3 Em ABC, temos: (16 3 ) 2 = h 2 + (8 3 ) 2 768 = h 2 + 192 576 = h 2 24 = h Em OBC, encontramos: R 2 = (8 3 ) 2 + (24 – R) 2 R 2 = 192 + 576 – 48R + R 2 48R = 768 R = 16 29.02) B O raio da esfera é o mesmo do cilindro; a altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera. Área da esfera: A e = 4S R 2 Área do cilindro: A c = 2S R 2 + 2S R . 2R = 6S R 2 A A R R e c 4 6 2 2 S S = 2 3 29.03) C R H = 2 R Aula 30 30.01) B V octaedro = 8 Á V pirâmide = 4 Altura da pirâmide: a 2 Base: a/2 a/2 2 = a 2 4 + a 2 4 Á 2 = a 2 2 V pirâmide = 4 1 3 . A B . H = 4 1 3 . 2 . a 2 = 4 1 3 . a 2 2 . a 2 = 4 a 3 = 48 Á V cubo = 48 30.02) S = 16 S 4 S R 2 = 16 S R = 2 a = 4 V = 4 3 = 64 30.03) E Aresta = 2 . raio a = 2R V cubo = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 V cone = 1 3 . S R 2 . H = SR 2 3 . 2R = 2 3 3 SR V cubo – V cone = 1 – S 12 8R 3 = 2 3 3 SR = 1 – S 12 8R 3 . 1 12 É Ë Ê Ù Û Ú S = 1 12 S 8R 3 = 1 R 3 = 1 8 Á R = 1 2 a = 2 . 1 2 = 1 Diagonal da face = a 2 = 2 Volume: V c = S R 2 . H Área lateral: A = 4 . . H = = 4 . 2R . H = 8RH = A V RH RH R 8 8 2 S S

Matemática D – Extensivo – V. 8 - energia.com.br · Gabarito Matemática D 1 Matemática D – Extensivo – V. 8 Resolva Aula 29 29.01) O R A 16 3 C h – R h R B 8 3 Em ABC,

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Gabarito

1Matemática D

Matemática D – Extensivo – V. 8

Resolva

Aula 29

29.01)

O

R

A

16 3

C

h – R

h

R

B 8 3

Em ABC, temos:

(16 3 )2 = h2 + (8 3 )2

768 = h2 + 192576 = h2

24 = hEm OBC, encontramos:

R2 = (8 3 )2 + (24 – R)2

R 2 = 192 + 576 – 48R +R 2

48R = 768R = 16

29.02) BO raio da esfera é o mesmo do cilindro; a alturado cilindro é igual ao diâmetro da esfera.

Área da esfera: Ae = 4 R2

Área do cilindro: Ac = 2 R2 + 2 R . 2R = 6 R2

AA

RR

e

c

46

2

2 = 2

3

29.03) C

R �

H

� = 2 R

Aula 30

30.01) BVoctaedro = 8 Vpirâmide = 4

Altura da pirâmide: a2

Base:

�a/2

a/2

�2 = a2

4 + a2

4 �2 =

a2

2Vpirâmide = 4

13

. AB . H = 4

13

. �2 . a2

= 4

13

. a2

2 . a

2 = 4

a3 = 48 Vcubo = 4830.02) S = 16

4 R2 = 16R = 2a = 4V = 43 = 64

30.03) EAresta = 2 . raioa = 2RVcubo = a3 = (2R)3 = 8R3

Vcone = 13

. R2 . H = R2

3 . 2R = 2

3

3R

Vcubo – Vcone = 1 – 12

8R3 = 23

3R = 1 – 12

8R3 . 112

= 112

8R3 = 1

R3 = 18

R = 12

a = 2 . 12

= 1

Diagonal da face = a 2 = 2

Volume: Vc = R2 . HÁrea lateral:

A � = 4 . � . H == 4 . 2R . H = 8RH =

AV

RH

R H R� 8 8

2

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Gabarito

2 Matemática D

Aula 31

31.01) C

55

55 3

3

RR

Obtemos dois cones de raio R = 4 e altura 3.

V = 2 . 13

. . 42 . 3 = 32

31.02) A

1 11

11

H = 1R = 1Vcilindro = . 12 . 1 =

31.03) E

R = 6 e r = 5

Vtronco cone = . H3

. (R2 + R . r + r2) =

= . 63

2

. (36 + 30 + 25)

Vcilindro = . 32 . 6 = 54Vsólido = 182 – 54 = 128

Testes

Aula 29

29.01) D

Vesfera = 43

3R

Cilindro: raio = R; altura = 2R

Vcilindro = . R2 . 2R = 2 R3

Vc = 2 R3 = 32

. 43

3R =

= 32

. Ve =

= 1,5 . Ve == 150% . Ve

29.02)

O

A

2R

C

h –

h

R

B

4

p

4

p

4

p

g = 2REm ABC, temos:(2R)2 = h2 + R2

4R2 = h2 + R2

h2 = 3R2

h = R 3Em OBC, encontramos:

42

= R2 + R 3 42

16 = R2 + 3R2 – 8 3 16R

2 28 3 4R R R

2 3 = R

AT = R . (g + R) == R . (2R + R) = 3 R2

= 3 . 4 3. = 36

29.03) BCilindroAB = 25

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Gabarito

3Matemática D

R2 = 25R = 5

25 30º

cos 30º = �25

32

= �25

5 3 = �

Prisma

AB = �2 34

75 34

A � = 3 . � . H = 3 . 5 3 . 10 =

= 150 3

AT = A � + 2AB =

= 150 3 + 75 32

= 375 32

29.04) B

A Acone cilindro� � ; g = 4

R . g = 2 R . H

4R = 2R . HH = 2

29.05)

Dh – r

E

r

B C

A

g

r

R

Como g = 2R, então:g2 = R2 + h2

4R2 = R2 + h2

h = 3R2

h = R 3ABC ~ ADE

gh r

Rr

2Rh r

Rr

2r = h – r3r = h

3r = R 3

r = R 33

Assim:

3 3 2

33

gr

R

R

. = 6

29.06) Ve = 43

R3

Cilindro: raio = R; atura =2R

Vc = R2 . 2R = 2 R3

Logo:

3 . VV

R

Re

c

3

432

3

3. = 2

29.07) B

2R

2R

(2R)2 = 5764R2 = 576 R = 12

(2r)2 = 242 + 242

4r2 = 1152

r2 = 288 r = 12 229.08) Vc = 30

R2 . H = 30R2 . 2R = 30R3 = 15

H = 2R

R

Ve = 43

R3 = 43

. 15 = 20

2 2 20V . = 40

29.09) EVcilindro = R2 . H = 7,086

Vcone = 13

. 7,086 = 2,362

29.10) ECilindro equiláteroH = 2R

AT = 2 R . (H + R) =

= 2 . (2R + R) = 6 R2

6 R2 = 24R2 = 4 R = 2

4

42r

(2r)2 = 42 + 42

4r2 = 16 + 16r2 = 8

r = 2 2

V = 43

(2 2 )3 =

= 43

. 8 . 2 2 = 64 23

29.11) D

r = 6 3

Cone equiláterog = 2r

g = 12 3g2 = h2 + r2

432 = h2 + 108h = 18

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Gabarito

4 Matemática D

D

O

R

B C

A

R

12 3h – r

36

AOD ~ ACB

R h R

6 3 12 32

2R = h – R3R = h3R = 18R = 6

Ve = 43

. 63 = 288

29.12) CVcubo = 27a3 = 27 a = 3

R = 32

e H = 3

Vcilindro = . 32

2

. 3 = 274

29.13) DAresta do cubo = h

Base

h2R

h

h

(2R)2 = h2 + h2

4R2 = 2h2

R2 = 24

2h

R = h 22

AL = 2 R . h =

= 2 22

. h . h =

= h2 2

29.14) C

12

86

Como os catetos medem 6 e 8, ahipotenusa mede 10.Como está inscrito num círculo,2R = 10 R = 5.

Acilindro� = 2 . 5 . 12 = 120

Aprisma� = 6 . 12 + 8 . 12 + 10 . 12 =

= 288

120288

512

29.15) Ah = 12; r = 5g2 = 144 + 25g = 13

D

O

R

B C

A

R

1312 – R

5

AOD ~ ACB

R R5

1213

13R = 60 – 5R18R = 60

R = 6018

103

29.16) 60g = 2RAB = R2

4 = R2

R = 2 g = 4g2 = h2 + R2

16 = h2 + 4

h = 12

h = 2 3

h

R

01. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. A altura é a mes-ma.

02. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. A área da baseé a mesma.

04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

AL = 2 . R . h =

= 2 . 2 . 2 3 = 8 308. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

AL = Rg = . 2 . 4 = 816. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

Vcilindro = . R2 . h =

= . 4 . 2 3 = 8 332. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

Vcilindro = 8 3

Vcone = 13

. 4 . 2 3 =

= 8 33

VVcilindro

cone

8 38 3

3

= 3

29.17)

H

gH

R

R = 3 H

Acilindro� = 2 . R . H =

= 2 . 3 H . H = 2 3 H2

Coneg2 = H2 + R2

g2 = H2 + ( 3 H)2

g2 = 4H2 g = 2H

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Gabarito

5Matemática D

Acone� = Rg = . 3 H . 2H = 2 . 3 H2

2 32 3

2

2

HH

= 1

29.18) B

Aesfera = 4 R2

CilindroRaio = RAltura = 2R

AT = 2 R . (H + R) = 2 R . (2R + R) = 6 R2

4

6

2

2

R

R = 2

3

29.19) BH = 10Vsobra = 20Vcilindro – Vcone = 20

. R2 . H – R H2

3 = 20

23

202R H

R2 103. = 10

R2 = 3 R = 329.20) C

Cubos: AT = 6a2

Cilindro

R = a2

H = a

AT = 2 R . (H + R)

AT = 22

. a . (a + a2

)

AT = a . 32a

= 3

2

2a

Razão = 6

32

2

2

a

a =

4

Aula 30

30.01) AO poliedro é um octaedro regular.

AT = 8 . �2 34

= 2 �2 3

2 �2 3 = 16 3

�2 = 8 � = 2 2Seccionando o cubo, temos:

2 2

a/2

a/2

2 22 2

2 2

(2 2 )2 = a2

4 + a2

4

8 = a2

216 = a2

a = 4V = a3 = 43 = 64

30.02) a

a

3

26 = 2 a = 12

R = a2

= 6

13

. V = 13

. 43

63 =

= 49

. 216 =

= 9630.03) D

AT = 546a2 = 54 a = 3

Cone

R = 32

; H = 3

V = 13

. 32

2

. 3 =

= 3 . 94

= 274

30.04) 23Pirâmide

AB = 24 3

6 34

2� = 24 3

�2 = 16 � = 4

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Gabarito

6 Matemática D

Base

RRR R R

R4

4

4

4

4

4

R = 4Como o cilindro é equilátero, H = 8.01. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

x8

4

x2 = 64 + 16x2 = 80

x = 4 502. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

V = 13

AB . H = 13

. 24 3 . 8 = 64 3

04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.08. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

AT = 2 . R . (H + R) =

= 2 . 4 . (8 + 4) = 9616. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

V = . R2 . H = . 16 . 8 = 12830.05) D

6a2 = 864 a = 12

Cone

R = a2

= 6; H = 12

V = 13

. 62 . 12 = 144

30.06) BEsfera inscrita

R = a2

Esfera circunscrita

R = D2

= a 32

43

32

43 2

3 34

4

3

3

3

3

.

.

.a

a

a

a = 3 3

30.07) B

Vcubo = 3

a3 = 3

Raio da esfera = D2

= a 32

VE = 43

. a 32

3

= 43

3 38

3

2

. .a

= 32

. . a3

= 32

. . 3

= 32

30.08) ACilindro:R = 3; H = 4

AL = 2 . 3 . 4 = 24Cone:R = 3; H = 4g2 = 9 + 16 g = 5AL = . 3 . 5 = 15

2415

= 85

30.09) D

Esfera: R = D2

= a 3

2

V = 43

. a a32

43

3 38

33

2

. .

V = a3 32

30.10) DNa base do tetraedro, temos:

30º

x

�/2

cos 30o = �2x

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Gabarito

7Matemática D

32

= �2x

x 3 = �

x = �3

. 33

x = � 33

Altura do tetraedro

x

�H

�2 = x2 + H2

�2 = � 33

2

+ H2

�2 = 39

2� + H2

H2 = 69

2� H =

� 63

Em ABC, encontramos:

( 3 )2 = (H – 3 )2 + x2

3 = � �63

3 33

2 2

3 = � �6 3 33

39

22 .

3 = 6 6 18 27 39

2 2� � �

27 = 9 �2 – 6 � . 3 2 + 27

9 �2 – 18 2 9 �

� – 2 2 = 0

� = 2 2

V = 13

. AB . H

V = 13

. � �2 34

63

. =

= 13

. �3 3 24 3..

=

= �3 212

=

= ( ) .2 2 212

3 =

= 8 2 2 212

2

3

. . . = 83

30.11) C

Na questão anterior deduzimos o valor de H e xxxxx.

H = � 63

x = � 33

Assim, em ABC, obtemos:32 = (H – 3)2 + x2

9 = � �63

3 33

2 2

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Gabarito

8 Matemática D

9 = � �6 93

39

22 .

9 = 6 18 6 81 39

2 2� � �

81 = 9 �2 – 18 6 � + 81

9 �2 – 18 6 � = 0 9 �

� – 2 6 = 0

� = 2 6

Soma de todas as arestas:

6 . � = 6 . 2 6 = 12 630.12) C

Vcubo = a3

Esfera

R = D2

= a 32

Ve = 43

. a a32

43

3 38

33

2

. . = . .a3 32

. .a

a

3

3

32 = 3

2

30.13) a = 2

Esfera inscritaR = 1

V2 = 43

. 13 = 43

Esfera circunscrita

R = D2

= a 32

= 3

V1 = 43

. ( 3 )3 = 43

. 3 3 = 4 3

VV

1

2

= 4 343

= 3 3

30.14) Vcubo = 24 3

a3 = 24 3

Esfera

R = D2

= a 32

R3 = a 32

3

R3 = a3 3 38

.

R3 = 24 3 3 38

3

.

R3 = 27R = 3

30.15) AEsfera

R = D2

R = a 32

a = 23R . 3

3

a = 2 33

R

V = a3 = 2 33

3R = 8 3 3

27

3

9

. .R = 8 39

3. R

30.16) E

Seccionando o centro da esfera, temos:

23

23

� B

C

A

D

(6 2 )2 = �2 + �2

72 = 2 �2

� = 6

Na pirâmide ABCDV, obtemos H = raio = 3 2 .

Voctaedro = 2Vpirâmide = 2 . 13

. AB . H =

= 23

. 62 . 3 2 = 72 2

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Gabarito

9Matemática D

30.17) E

43

. R3 = 36

R3 = 27 R = 3

Esfera

R = D2

= a 32

a 32

= 3

a = 63

. 33

a = 6 33

a = 2 3

Vcubo = (2 3 )3 = 8 . 3 3 = 24 3

3624 3

3

2

. 33

= 3 32 3

32

..

30.18) Esfera

R = D2

= a 32

R = 2 32

= 3

V = 43

. ( 3 )3 = 43

. 3 3 = 4 3

30.19) E12a = 24 a = 2

Esfera

R = a2

= 22

= 1

V = 43

. 13 = 43

30.20) AV = 36

43

. R3 = 36

R = 3

Área

4 . 32 = 36

Esfera

R = D2

= a 32

3 = a 32

a = 63

. 33

a = 2 3

Área

6(2 3 )2 = 72

3672

= 2

Aula 31

31.01) E

A

C

R

x x

x x

D

1

1

B

Em ABC, encontramos:22 = x2 + x2

4 = 2x2

x = 2

Em ABD, temos:x2 = 12 + R2

2 = 1 + R2

R = 1

Vsólido = 2Vcone = 2 . 13

. 12 . 1 = 23

31.02) C

R60º

H

33

sen 60o = H3 3

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Gabarito

10 Matemática D

32

= H3 3

H = 92

cos 60o = R3 3

12

= R3 3

R = 3 32

V = 13

. 3 32

2

. 92

= 13

. 274

92

3

. =

= 818

31.03) E

44

2 2

2 2

Vsólido = Vcilindro – 2Vcone =

= . R2 . H – 23

. R2 . H =

= . 4 . 4 – 23

. . 4 . 2 = 16 – 163

323

31.04) D1 – D2 – E3 – A4 – B5 – C

31.05) 07

44

2 2

2 2AD

C B

01. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Quadrado de lado 4.02. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Círculo igual ao da base.

04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Os lados AD e BC são paralelos.08. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

ATcilindro = 2 . 2 . (4 + 2) = 24

Aesfera = 4 . 22 = 16

16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.Vcilindro = . 22 . 4 = 16

Vcone = 13

. 22 . 4 = 163

31.06) B

y y

x

x

B

A

C

D

V = . x2 . y

yB

x

A

C

D

V = . y2 . xAretângulo = xy

x y y xxy

2 2 = 10

xy x y

xy

( ) = 10

x + y = 10

Perímetro2x + 2y = 2 . (x + y) = 2 . 10 = 20

31.07) E

Note que o cone MNA tem volume igual ao buracocônico PQB.Assim, o volume do sólido é igual ao volume deum cilindro de altura � e raio hhhhh.V = . h2 . �

31.08)

BA D8 C6

6 6

6

Se girássemos 360o, obteríamos um cilindro e umaesfera.Nesse caso, encontramos:

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Gabarito

11Matemática D

V = . . .6 8 4

36

2

2 3

V = 288 2882

= 288

Assim, temos:

V6

2886

= 48

31.09) B

x x

x23

(3 2 )2 = x2 + x2

18 = 2x2

x2 = 9 x = 3

V = 13

. x2 . x = 3

. x3 = 3

. 27 = 9

31.10) A

RH

2 60º

sen 60o = R2

32 2

R

R = 3

cos 60o = H2

12 2

H

H = 1

V = 13

. ( 3 )2 . 1 =

31.11) A

aaaa

aa

A

B R C

a/2

Em ABC, obtemos:

a2 = a2

2

+ R2

a2 = a2

4 + R2

R2 = 34

2a

R = a 32

Vsólido = Vcilindro – 2Vcone =

= . R2 . H – 2 13

. R2 . H =

= . a 32

2

. a – 2 . 13

. a 32

2

. a2

=

= 34 4

3 3. .a a = 24 2

3 3. .a a

Atotal = Alateral cilindro + 2Alateral cone =

= 2 . R . H + 2 . R . g =

= 2 32

. a . a + 2 32

. a . a =

= . a2 . 3 + . a2 . 3 =

= 2 . a2 . 331.12) D

1010

1010

Secção meridiana

10

20

Área = 200

Secção paralela ao eixo

b

Ax

B

C

b

1010

Área da secção10 . b = 80% de 200

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Gabarito

12 Matemática D

10b = 160b = 16

Vista superior

8

x

8

10

BA

16

102 = 82 + x2

x = 631.13) A

1

1

R

2 2

2

( 2 )2 = 12 + R2

R = 1Vsólido = Vcilindro + 2Vcone =

= . 12 . 2 + 2 . 13

. 1 . 1 =

= 2 + 23

= 83

31.14)

a2 = R2 + a2

2

a2 = R2 + a2

4

a2 – a2

4 = R2

34

2a = R2

R = a 32

Vsólido = 2Vcone =

= 2 . 13

. R2 . H =

= 23

. a 32

2

. a2

=

= 23

34 2

2. . .a a =

= 4

. a3 =

= 4

. 603

3

=

= 4

60. = 15

31.15) E

a

a

C

Ba aA

D

x

2a

tg D^ = ax

56

= ax

x = 65a

Vsólido = Vcilindro – Vcone =

= . a2 . 2a – 13

. a2 . 65a =

= 2 . a3 – 25

85

3 3. .a a

31.16) B

Vsólido = Vcilindro – Vcone =

= . (2 � )2 . � – 13

. �2 .

� =

= 4 . �3 – . .� �3 3

311

331.17) D

I

II

III2 2

2 2

2 2

2

2 2

22

VI = . 22 . 2 = 8VII = . 42 . 2 = 32

VIII = . 22 . 2 = 8

Vsólido = 8 + 32 + 8Vsólido = 48

31.18) 14

C BD

A

6

01. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

Área = AB AC.2

24 = 62. AC AC = 8

AB . AC = 6 . 8 = 4802. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. É triângulo retângu-

lo.

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Gabarito

13Matemática D

04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

C BD

10

b 6a

ba

A

8

ADB ~ CAB

ADAC

ABCB

AD8

610

AD = 4,8

08. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

AL = 10 . 5 + 6 . 5 + 8 . 5 = 12016. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

V = 13

. . 62 . 8

V = 9631.19) C

Como BC = 6 é diâmetro, então OB = OC

= OA = 3.Vsólido = Vesfera – 2Vcone =

= 43

. 33 – 2 . 13

. 32 . 3 =

= 36 – 18 = 1831.20) C

Ao redor do cateto maior, temos:

cc

aab

V = 13

. c2 . b = 4

c2 . b = 12

b = 122c

Ao redor do cateto menor, encontramos:

c

a

a

b

b

V = 13

. b2 . c = 6

b2 . c = 18

122

2

c . c = 18

1444c

. c = 18

1443c

= 18

c3 = 8 c = 2; b = 3

Logo, a2 = 22 + 32 a = 13

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Gabarito

14 Matemática D

32.01) B

–2 1–1 20

y

x

Vsólido = Vesfera maior – 2Vesfera menor =

= 43

. 23 – 2 . 43

. 13 =

= 323

83

243

= 8

32.02) Vcubo = a3

Vprisma = AB . H = a3

a2 34

. H = a3

H = 43a . 3

3

H = 4 33

a

32.03) H = 3

Base

sen 60o = 3�

32

3�

� = 2

V = AB . H = 6 . 4 34

. 3 =

V = 18

32.04)

6 6

6

QP

3

3

S

a) No triângulo PQS, PS = 62

= 3 e QS é igual à

altura de um triângulo equilátero.

QS = � 32

= 6 32

= 3 3

Assim, temos:

QS2 = QP

2 + PS

2

(3 3 )2 = QP2 + 32

27 = QP2 + 9

QP = 18

QP = 3 2

b) A

D

CB

PER

6

6

6

� = 6

Pelo item aaaaa, AC é igual à altura de um triângu-lo equilátero.

AC = � 32

= 6 32

= 3 3

BC é igual ao raio do círculo inscrito no triân-gulo equilátero.

BC = r = 13

. h = 13

. 3 3 = 3

Na questão 30.10, deduzimos a altura do tetra-edro.

AB = � 63

6 63

= 2 6

Aula 32

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Gabarito

15Matemática D

Assim, pela semelhança entre ABC e ADE,obtemos:

BCDE

ACAE

3 3 32 6R R

3R = 2 6 – R

4R = 2 6 R = 62

32.05) 4401. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. Um polígono é convexo quando

o segmento de reta que liga dois pontosquaisquer do polígono está completamenteno interior do polígono. Veja, por exemplo,

que PQ não está inteiramente contido nopolígono.

02. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

D

A

BC F

2

6

3 1 3

3E

1

tg C^ = 3

3 = 1 C

^ = 45o

04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.SABCDE = SEFBA + SFDC =

= 3 . 1 + 3 32.

= 3 + 4,5= 7,5

08. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. O sólido será formado por um ci-lindro, com R = 1 e H = 3, e por um cone,

com R = 3, H = 3 e g = 3 2 . A área dosólido é dada pela área total do cone maisa lateral do cilindro.

S = ATcone + A

cilindro� =

= . 3(3 + 3 2 ) + 2 . 1 . 3 =

= 9 + 9 2 + 6 =

= 15 + 9 2 =

= (15 + 9 2 )

16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

D

E E'

6 6C C'

3 3A1B

D'

2 2

Pelo item 02, temos:

CD2 = 32 + 32

CD = 3 2Assim, o perímetro é:

CC EE ED E D CD C D’ ’ ’ ’ ’ ’ =

= 12 + 6 + 2 + 2 + 3 2 + 3 2 =

= 22 + 6 232. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Conforme item 08, V = Vcone + Vcilindro=

= 13

. 32 . 3 + . 1 . 3 = 12 .

64. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. Em torno de BC, V = 12 .

Em torno de AB :

22 3 32

1 66

3

Vsólido = Vtronco cone – Vcilindro

Vcilindro = . 32 . 2 = 18

Vtronco = . H3

. (R2 + R . r + r2) =

= . 33

. (62 + 6 . 3 + 32) =

= . (36 + 18 + 9) == 63Vsólido = 63 – 18 = 45

32.06) ENa base, temos:

A

CB

30º

60º

0

R R

x

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Gabarito

16 Matemática D

Como o ângulo inscrito mede 30o, o central mede60o. Assim, OBC é equilátero e R = x.Vcilindro = . R2 . H = . x2 . H

32.07) Um semi-octaedro de aresta � é uma pirâmide qua-drangular regular.

��

� �

��

B

C

A

H

x

Note que xxxxx é a metade da diagonal da base.

x = � 22

Assim, em ABC, obtemos �2 = H2 + � 22

2

.

�2 = H2 + 24

2�

H2 = 24

2�

H = � 22

Vpirâmide = 13

. AB . H =

= 13

. �2 . � 22

= �3 26

Voctaedro = 2 . �3 26

= �3 23

Observe agora que, se o tetraedro dado tem ares-

ta aaaaa, o octaedro terá aresta a2

.

a/2a a

a

Assim, encontramos:

V =

a2

2

3

3

. =

a3

82

3

. = a3 2

24.

32.08) 1401. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta.

1100

30. = 0,3

Novo comprimento = 30 + 0,3 = 30,302. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. Cada azulejo tem área:

20 . 40 = 800 cm2 = 0,08 m2

50 azulejos 50 . 0,08 = 4 m2

04. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.

VI = 3

. R2 . H

Duplicando o raio da base, temos:

V = 3

. (2R)2 . H =

= 4 . 3

2. .R H = 4VI

Duplicando a altura, obtemos:

V = 3

. R2 . 2H = 23

. R2 . H = 2 . VI

08. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.V = 288

43

. R3 = 288

R = 6Altura = 2R = 12

2R

R

32.09) ASi = 1440o

360o . (V – 2) = 1440V – 2 = 4V = 6Octaedro regular

A = 12

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Gabarito

17Matemática D

32.10) CBase

60º

2

��

sen 60o = 2�

32

= 2�

� = 43

Vprisma = AB . H = �2 34

. H = 163

34

. . H = 4 33

. H

Vágua =

4 33

22 3

3

..

HH

A água assume a forma de um prisma cuja base é:

h

x

Vágua = x h.2

. H = 2 33

. H

x . h = 4 33

(I)

Por outro lado, são semelhantes os triângulos abaixo.

2

h

x

� = 43

x43

= h2

x = 23h

Substituindo em I, encontramos:

x . h = 4 33

23h . h = 4 3

3

h2 = 2 h = 232.11) Uma secção meridiana de uma esfera sempre con-

tém seu centro.

7

A3

4 D

B3

4 C

7 – x0

x R

R

Em OAB, R2 = 9 + x2.Em ODC, R2 = (7 – x)2 + 42.

9 + x2 = 49 – 14x + x2 + 1614x = 56x = 4R2 = 9 + 16R = 5

32.12) Ax > y

1o) xyy

S1 = 2 . y . xV1 = . y2 . x

2o)

x

y

S2 = 2 . x . yV2 = . x2 . yNote que S1 = S2 . Mas comox > y, V2 > V1, pois x2y > xy2.

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Gabarito

18 Matemática D

32.13) B

C

2�

BA

C

R

R2 – R�

2�

R2 = (2 � – R)2 + �2

R2 = 4 �2 – 4 � . R + R2 + �2

4 � R = 5 �2 �

4R = 5�

R = 54�

32.14) A

A

B C3

6

6

36

A área do sólido é dada por:

A A A AL L B Bmaior menor maior menor( ) ( ) ( ) ( ) =

= . 9 . 6 3 + . 3 . 6 + [ . 92 – . 32] =

= 54 3 + 18 + 72 =

= 90 + 54 3 =

= 18 . (3 3 + 5)

32.15) C

611

V = 2 . 13

. 62 . 1

V = 2432.16) C

A

12

6

h

C

12

BD

6

h = � 32

= 12 32

h = 6 3

V = 13

. 62 . 6 32

V = 72 3ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação: Obtemos um cone, apesar de o giroser de 180o. Isso porque o giro é dado em tornoda altura.

32.17)

15

2r

15

24

302 = (2r)2 + 242

900 = 4r2 + 576324 = 4r2

r2 = 81r = 9

A = 2 . 9 . 24 = 432

S = 43236

= 12

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Gabarito

19Matemática D

32.18) CH = 30

Base

30º

30º

20

18

18

20

Área de um triângulo

S = 18 202

10

. . sen 30º = 180 . 12

= 90

Área do paralelogramoAB = 2 . 90 = 180

V = AB . H = 180 . 30 = 5400 cm3 = 5,4 dm3

32.19) a

a

a

a

c

cc

c

b

bb

b

4a + 4b + 4c = 48 4a + b + c = 12 (I)

Base

a

a

Db b

Área: ab = 12

DiagonalD = 552 = a2 + b2

a2 + b2 = 25Note que:(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab(a + b)2 = 25 + 2 . 12(a + b)2 = 49 a + b = 7Substituindo em I, obtemos:a + b + c = 127 + c = 12 c = 5

Além disso, com ab

a b

12

7, concluímos que a =

3 e b = 4 (ou vice-versa, o que não interfere nocálculo do volume).Assim, V = abc = 3 . 4 . 5 = 60.

32.20) E

�h

�/2

h = � 32

V = 9 3

13

� �2

32

2

. = 9 3

�3

24 = 9

�3 = 216� = 6

32.21) D

h

hR

Vcone = 13

. R2 . h

Vcilindro = . R2 . 2h

13

2

2

2

. .

. .

R h

R h = 1

6

32.22) E

15

R

V = 15 �V = 1500 cm3

. R2 . 15 = 1500 . R2 = 100

R2 = 100

R = 10 .

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Gabarito

20 Matemática D

R = 10

AL = 2 . 10 . 15

AL = 300

Aumentando em 10%, temos:

10100

. 300 = 30

Nova: AL = 300 + 30 = 330Papel

15

x

Área = 15x

Logo, 15x = 330 .

x = 22

32.23) E

h

h/4R

R/3

Vlata = . R2 . h

Vpote = . R h R h Vlata

3 4 36 36

2 2. . .

Número de potes = 36