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Gabarito
1Matemática D
Matemática D – Extensivo – V. 8
Resolva
Aula 29
29.01)
O
R
A
16 3
C
h – R
h
R
B 8 3
Em ABC, temos:
(16 3 )2 = h2 + (8 3 )2
768 = h2 + 192576 = h2
24 = hEm OBC, encontramos:
R2 = (8 3 )2 + (24 – R)2
R 2 = 192 + 576 – 48R +R 2
48R = 768R = 16
29.02) BO raio da esfera é o mesmo do cilindro; a alturado cilindro é igual ao diâmetro da esfera.
Área da esfera: Ae = 4 R2
Área do cilindro: Ac = 2 R2 + 2 R . 2R = 6 R2
AA
RR
e
c
46
2
2 = 2
3
29.03) C
R �
H
� = 2 R
Aula 30
30.01) BVoctaedro = 8 Vpirâmide = 4
Altura da pirâmide: a2
Base:
�
�
�
�a/2
a/2
�2 = a2
4 + a2
4 �2 =
a2
2Vpirâmide = 4
13
. AB . H = 4
13
. �2 . a2
= 4
13
. a2
2 . a
2 = 4
a3 = 48 Vcubo = 4830.02) S = 16
4 R2 = 16R = 2a = 4V = 43 = 64
30.03) EAresta = 2 . raioa = 2RVcubo = a3 = (2R)3 = 8R3
Vcone = 13
. R2 . H = R2
3 . 2R = 2
3
3R
Vcubo – Vcone = 1 – 12
8R3 = 23
3R = 1 – 12
8R3 . 112
= 112
8R3 = 1
R3 = 18
R = 12
a = 2 . 12
= 1
Diagonal da face = a 2 = 2
Volume: Vc = R2 . HÁrea lateral:
A � = 4 . � . H == 4 . 2R . H = 8RH =
AV
RH
R H R� 8 8
2
Gabarito
2 Matemática D
Aula 31
31.01) C
55
55 3
3
RR
Obtemos dois cones de raio R = 4 e altura 3.
V = 2 . 13
. . 42 . 3 = 32
31.02) A
1 11
11
H = 1R = 1Vcilindro = . 12 . 1 =
31.03) E
R = 6 e r = 5
Vtronco cone = . H3
. (R2 + R . r + r2) =
= . 63
2
. (36 + 30 + 25)
Vcilindro = . 32 . 6 = 54Vsólido = 182 – 54 = 128
Testes
Aula 29
29.01) D
Vesfera = 43
3R
Cilindro: raio = R; altura = 2R
Vcilindro = . R2 . 2R = 2 R3
Vc = 2 R3 = 32
. 43
3R =
= 32
. Ve =
= 1,5 . Ve == 150% . Ve
29.02)
O
A
2R
C
h –
h
R
B
4
p
4
p
4
p
g = 2REm ABC, temos:(2R)2 = h2 + R2
4R2 = h2 + R2
h2 = 3R2
h = R 3Em OBC, encontramos:
42
= R2 + R 3 42
16 = R2 + 3R2 – 8 3 16R
2 28 3 4R R R
2 3 = R
AT = R . (g + R) == R . (2R + R) = 3 R2
= 3 . 4 3. = 36
29.03) BCilindroAB = 25
Gabarito
3Matemática D
R2 = 25R = 5
25 30º
�
cos 30º = �25
32
= �25
5 3 = �
Prisma
AB = �2 34
75 34
A � = 3 . � . H = 3 . 5 3 . 10 =
= 150 3
AT = A � + 2AB =
= 150 3 + 75 32
= 375 32
29.04) B
A Acone cilindro� � ; g = 4
R . g = 2 R . H
4R = 2R . HH = 2
29.05)
Dh – r
E
r
B C
A
g
r
R
Como g = 2R, então:g2 = R2 + h2
4R2 = R2 + h2
h = 3R2
h = R 3ABC ~ ADE
gh r
Rr
2Rh r
Rr
2r = h – r3r = h
3r = R 3
r = R 33
Assim:
3 3 2
33
gr
R
R
. = 6
29.06) Ve = 43
R3
Cilindro: raio = R; atura =2R
Vc = R2 . 2R = 2 R3
Logo:
3 . VV
R
Re
c
3
432
3
3. = 2
29.07) B
2R
2R
(2R)2 = 5764R2 = 576 R = 12
(2r)2 = 242 + 242
4r2 = 1152
r2 = 288 r = 12 229.08) Vc = 30
R2 . H = 30R2 . 2R = 30R3 = 15
H = 2R
R
Ve = 43
R3 = 43
. 15 = 20
2 2 20V . = 40
29.09) EVcilindro = R2 . H = 7,086
Vcone = 13
. 7,086 = 2,362
29.10) ECilindro equiláteroH = 2R
AT = 2 R . (H + R) =
= 2 . (2R + R) = 6 R2
6 R2 = 24R2 = 4 R = 2
4
42r
(2r)2 = 42 + 42
4r2 = 16 + 16r2 = 8
r = 2 2
V = 43
(2 2 )3 =
= 43
. 8 . 2 2 = 64 23
29.11) D
r = 6 3
Cone equiláterog = 2r
g = 12 3g2 = h2 + r2
432 = h2 + 108h = 18
Gabarito
4 Matemática D
D
O
R
B C
A
R
12 3h – r
36
AOD ~ ACB
R h R
6 3 12 32
2R = h – R3R = h3R = 18R = 6
Ve = 43
. 63 = 288
29.12) CVcubo = 27a3 = 27 a = 3
R = 32
e H = 3
Vcilindro = . 32
2
. 3 = 274
29.13) DAresta do cubo = h
Base
h2R
h
h
(2R)2 = h2 + h2
4R2 = 2h2
R2 = 24
2h
R = h 22
AL = 2 R . h =
= 2 22
. h . h =
= h2 2
29.14) C
12
86
Como os catetos medem 6 e 8, ahipotenusa mede 10.Como está inscrito num círculo,2R = 10 R = 5.
Acilindro� = 2 . 5 . 12 = 120
Aprisma� = 6 . 12 + 8 . 12 + 10 . 12 =
= 288
120288
512
29.15) Ah = 12; r = 5g2 = 144 + 25g = 13
D
O
R
B C
A
R
1312 – R
5
AOD ~ ACB
R R5
1213
13R = 60 – 5R18R = 60
R = 6018
103
29.16) 60g = 2RAB = R2
4 = R2
R = 2 g = 4g2 = h2 + R2
16 = h2 + 4
h = 12
h = 2 3
h
R
01. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. A altura é a mes-ma.
02. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. A área da baseé a mesma.
04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
AL = 2 . R . h =
= 2 . 2 . 2 3 = 8 308. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
AL = Rg = . 2 . 4 = 816. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
Vcilindro = . R2 . h =
= . 4 . 2 3 = 8 332. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
Vcilindro = 8 3
Vcone = 13
. 4 . 2 3 =
= 8 33
VVcilindro
cone
8 38 3
3
= 3
29.17)
H
gH
R
R = 3 H
Acilindro� = 2 . R . H =
= 2 . 3 H . H = 2 3 H2
Coneg2 = H2 + R2
g2 = H2 + ( 3 H)2
g2 = 4H2 g = 2H
Gabarito
5Matemática D
Acone� = Rg = . 3 H . 2H = 2 . 3 H2
2 32 3
2
2
HH
= 1
29.18) B
Aesfera = 4 R2
CilindroRaio = RAltura = 2R
AT = 2 R . (H + R) = 2 R . (2R + R) = 6 R2
4
6
2
2
R
R = 2
3
29.19) BH = 10Vsobra = 20Vcilindro – Vcone = 20
. R2 . H – R H2
3 = 20
23
202R H
R2 103. = 10
R2 = 3 R = 329.20) C
Cubos: AT = 6a2
Cilindro
R = a2
H = a
AT = 2 R . (H + R)
AT = 22
. a . (a + a2
)
AT = a . 32a
= 3
2
2a
Razão = 6
32
2
2
a
a =
4
Aula 30
30.01) AO poliedro é um octaedro regular.
AT = 8 . �2 34
= 2 �2 3
2 �2 3 = 16 3
�2 = 8 � = 2 2Seccionando o cubo, temos:
2 2
a/2
a/2
2 22 2
2 2
(2 2 )2 = a2
4 + a2
4
8 = a2
216 = a2
a = 4V = a3 = 43 = 64
30.02) a
a
3
26 = 2 a = 12
R = a2
= 6
13
. V = 13
. 43
63 =
= 49
. 216 =
= 9630.03) D
AT = 546a2 = 54 a = 3
Cone
R = 32
; H = 3
V = 13
. 32
2
. 3 =
= 3 . 94
= 274
30.04) 23Pirâmide
AB = 24 3
6 34
2� = 24 3
�2 = 16 � = 4
Gabarito
6 Matemática D
Base
RRR R R
R4
4
4
4
4
4
R = 4Como o cilindro é equilátero, H = 8.01. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
x8
4
x2 = 64 + 16x2 = 80
x = 4 502. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
V = 13
AB . H = 13
. 24 3 . 8 = 64 3
04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.08. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.
AT = 2 . R . (H + R) =
= 2 . 4 . (8 + 4) = 9616. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
V = . R2 . H = . 16 . 8 = 12830.05) D
6a2 = 864 a = 12
Cone
R = a2
= 6; H = 12
V = 13
. 62 . 12 = 144
30.06) BEsfera inscrita
R = a2
Esfera circunscrita
R = D2
= a 32
43
32
43 2
3 34
4
3
3
3
3
.
.
.a
a
a
a = 3 3
30.07) B
Vcubo = 3
a3 = 3
Raio da esfera = D2
= a 32
VE = 43
. a 32
3
= 43
3 38
3
2
. .a
= 32
. . a3
= 32
. . 3
= 32
30.08) ACilindro:R = 3; H = 4
AL = 2 . 3 . 4 = 24Cone:R = 3; H = 4g2 = 9 + 16 g = 5AL = . 3 . 5 = 15
2415
= 85
30.09) D
Esfera: R = D2
= a 3
2
V = 43
. a a32
43
3 38
33
2
. .
V = a3 32
30.10) DNa base do tetraedro, temos:
30º
x
�/2
cos 30o = �2x
Gabarito
7Matemática D
32
= �2x
x 3 = �
x = �3
. 33
x = � 33
Altura do tetraedro
x
�H
�2 = x2 + H2
�2 = � 33
2
+ H2
�2 = 39
2� + H2
H2 = 69
2� H =
� 63
Em ABC, encontramos:
( 3 )2 = (H – 3 )2 + x2
3 = � �63
3 33
2 2
3 = � �6 3 33
39
22 .
3 = 6 6 18 27 39
2 2� � �
27 = 9 �2 – 6 � . 3 2 + 27
9 �2 – 18 2 9 �
� – 2 2 = 0
� = 2 2
V = 13
. AB . H
V = 13
. � �2 34
63
. =
= 13
. �3 3 24 3..
=
= �3 212
=
= ( ) .2 2 212
3 =
= 8 2 2 212
2
3
. . . = 83
30.11) C
Na questão anterior deduzimos o valor de H e xxxxx.
H = � 63
x = � 33
Assim, em ABC, obtemos:32 = (H – 3)2 + x2
9 = � �63
3 33
2 2
Gabarito
8 Matemática D
9 = � �6 93
39
22 .
9 = 6 18 6 81 39
2 2� � �
81 = 9 �2 – 18 6 � + 81
9 �2 – 18 6 � = 0 9 �
� – 2 6 = 0
� = 2 6
Soma de todas as arestas:
6 . � = 6 . 2 6 = 12 630.12) C
Vcubo = a3
Esfera
R = D2
= a 32
Ve = 43
. a a32
43
3 38
33
2
. . = . .a3 32
. .a
a
3
3
32 = 3
2
30.13) a = 2
Esfera inscritaR = 1
V2 = 43
. 13 = 43
Esfera circunscrita
R = D2
= a 32
= 3
V1 = 43
. ( 3 )3 = 43
. 3 3 = 4 3
VV
1
2
= 4 343
= 3 3
30.14) Vcubo = 24 3
a3 = 24 3
Esfera
R = D2
= a 32
R3 = a 32
3
R3 = a3 3 38
.
R3 = 24 3 3 38
3
.
R3 = 27R = 3
30.15) AEsfera
R = D2
R = a 32
a = 23R . 3
3
a = 2 33
R
V = a3 = 2 33
3R = 8 3 3
27
3
9
. .R = 8 39
3. R
30.16) E
Seccionando o centro da esfera, temos:
�
23
23
�
� B
C
A
D
(6 2 )2 = �2 + �2
72 = 2 �2
� = 6
Na pirâmide ABCDV, obtemos H = raio = 3 2 .
Voctaedro = 2Vpirâmide = 2 . 13
. AB . H =
= 23
. 62 . 3 2 = 72 2
Gabarito
9Matemática D
30.17) E
43
. R3 = 36
R3 = 27 R = 3
Esfera
R = D2
= a 32
a 32
= 3
a = 63
. 33
a = 6 33
a = 2 3
Vcubo = (2 3 )3 = 8 . 3 3 = 24 3
3624 3
3
2
. 33
= 3 32 3
32
..
30.18) Esfera
R = D2
= a 32
R = 2 32
= 3
V = 43
. ( 3 )3 = 43
. 3 3 = 4 3
30.19) E12a = 24 a = 2
Esfera
R = a2
= 22
= 1
V = 43
. 13 = 43
30.20) AV = 36
43
. R3 = 36
R = 3
Área
4 . 32 = 36
Esfera
R = D2
= a 32
3 = a 32
a = 63
. 33
a = 2 3
Área
6(2 3 )2 = 72
3672
= 2
Aula 31
31.01) E
A
C
R
x x
x x
D
1
1
B
Em ABC, encontramos:22 = x2 + x2
4 = 2x2
x = 2
Em ABD, temos:x2 = 12 + R2
2 = 1 + R2
R = 1
Vsólido = 2Vcone = 2 . 13
. 12 . 1 = 23
31.02) C
R60º
H
33
sen 60o = H3 3
Gabarito
10 Matemática D
32
= H3 3
H = 92
cos 60o = R3 3
12
= R3 3
R = 3 32
V = 13
. 3 32
2
. 92
= 13
. 274
92
3
. =
= 818
31.03) E
44
2 2
2 2
Vsólido = Vcilindro – 2Vcone =
= . R2 . H – 23
. R2 . H =
= . 4 . 4 – 23
. . 4 . 2 = 16 – 163
323
31.04) D1 – D2 – E3 – A4 – B5 – C
31.05) 07
44
2 2
2 2AD
C B
01. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Quadrado de lado 4.02. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Círculo igual ao da base.
04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Os lados AD e BC são paralelos.08. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.
ATcilindro = 2 . 2 . (4 + 2) = 24
Aesfera = 4 . 22 = 16
16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.Vcilindro = . 22 . 4 = 16
Vcone = 13
. 22 . 4 = 163
31.06) B
y y
x
x
B
A
C
D
V = . x2 . y
yB
x
A
C
D
V = . y2 . xAretângulo = xy
x y y xxy
2 2 = 10
xy x y
xy
( ) = 10
x + y = 10
Perímetro2x + 2y = 2 . (x + y) = 2 . 10 = 20
31.07) E
Note que o cone MNA tem volume igual ao buracocônico PQB.Assim, o volume do sólido é igual ao volume deum cilindro de altura � e raio hhhhh.V = . h2 . �
31.08)
BA D8 C6
6 6
6
Se girássemos 360o, obteríamos um cilindro e umaesfera.Nesse caso, encontramos:
Gabarito
11Matemática D
V = . . .6 8 4
36
2
2 3
V = 288 2882
= 288
Assim, temos:
V6
2886
= 48
31.09) B
x x
x23
(3 2 )2 = x2 + x2
18 = 2x2
x2 = 9 x = 3
V = 13
. x2 . x = 3
. x3 = 3
. 27 = 9
31.10) A
RH
2 60º
sen 60o = R2
32 2
R
R = 3
cos 60o = H2
12 2
H
H = 1
V = 13
. ( 3 )2 . 1 =
31.11) A
aaaa
aa
A
B R C
a/2
Em ABC, obtemos:
a2 = a2
2
+ R2
a2 = a2
4 + R2
R2 = 34
2a
R = a 32
Vsólido = Vcilindro – 2Vcone =
= . R2 . H – 2 13
. R2 . H =
= . a 32
2
. a – 2 . 13
. a 32
2
. a2
=
= 34 4
3 3. .a a = 24 2
3 3. .a a
Atotal = Alateral cilindro + 2Alateral cone =
= 2 . R . H + 2 . R . g =
= 2 32
. a . a + 2 32
. a . a =
= . a2 . 3 + . a2 . 3 =
= 2 . a2 . 331.12) D
1010
1010
Secção meridiana
10
20
Área = 200
Secção paralela ao eixo
b
Ax
B
C
b
1010
Área da secção10 . b = 80% de 200
Gabarito
12 Matemática D
10b = 160b = 16
Vista superior
8
x
8
10
BA
16
102 = 82 + x2
x = 631.13) A
1
1
R
2 2
2
( 2 )2 = 12 + R2
R = 1Vsólido = Vcilindro + 2Vcone =
= . 12 . 2 + 2 . 13
. 1 . 1 =
= 2 + 23
= 83
31.14)
a2 = R2 + a2
2
a2 = R2 + a2
4
a2 – a2
4 = R2
34
2a = R2
R = a 32
Vsólido = 2Vcone =
= 2 . 13
. R2 . H =
= 23
. a 32
2
. a2
=
= 23
34 2
2. . .a a =
= 4
. a3 =
= 4
. 603
3
=
= 4
60. = 15
31.15) E
a
a
C
Ba aA
D
x
2a
tg D^ = ax
56
= ax
x = 65a
Vsólido = Vcilindro – Vcone =
= . a2 . 2a – 13
. a2 . 65a =
= 2 . a3 – 25
85
3 3. .a a
31.16) B
Vsólido = Vcilindro – Vcone =
= . (2 � )2 . � – 13
. �2 .
� =
= 4 . �3 – . .� �3 3
311
331.17) D
I
II
III2 2
2 2
2 2
2
2 2
22
VI = . 22 . 2 = 8VII = . 42 . 2 = 32
VIII = . 22 . 2 = 8
Vsólido = 8 + 32 + 8Vsólido = 48
31.18) 14
C BD
A
6
01. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.
Área = AB AC.2
24 = 62. AC AC = 8
AB . AC = 6 . 8 = 4802. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. É triângulo retângu-
lo.
Gabarito
13Matemática D
04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
C BD
10
b 6a
ba
A
8
ADB ~ CAB
ADAC
ABCB
AD8
610
AD = 4,8
08. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
AL = 10 . 5 + 6 . 5 + 8 . 5 = 12016. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.
V = 13
. . 62 . 8
V = 9631.19) C
Como BC = 6 é diâmetro, então OB = OC
= OA = 3.Vsólido = Vesfera – 2Vcone =
= 43
. 33 – 2 . 13
. 32 . 3 =
= 36 – 18 = 1831.20) C
Ao redor do cateto maior, temos:
cc
aab
V = 13
. c2 . b = 4
c2 . b = 12
b = 122c
Ao redor do cateto menor, encontramos:
c
a
a
b
b
V = 13
. b2 . c = 6
b2 . c = 18
122
2
c . c = 18
1444c
. c = 18
1443c
= 18
c3 = 8 c = 2; b = 3
Logo, a2 = 22 + 32 a = 13
Gabarito
14 Matemática D
32.01) B
–2 1–1 20
y
x
Vsólido = Vesfera maior – 2Vesfera menor =
= 43
. 23 – 2 . 43
. 13 =
= 323
83
243
= 8
32.02) Vcubo = a3
Vprisma = AB . H = a3
a2 34
. H = a3
H = 43a . 3
3
H = 4 33
a
32.03) H = 3
Base
sen 60o = 3�
32
3�
� = 2
V = AB . H = 6 . 4 34
. 3 =
V = 18
32.04)
6 6
6
QP
3
3
S
a) No triângulo PQS, PS = 62
= 3 e QS é igual à
altura de um triângulo equilátero.
QS = � 32
= 6 32
= 3 3
Assim, temos:
QS2 = QP
2 + PS
2
(3 3 )2 = QP2 + 32
27 = QP2 + 9
QP = 18
QP = 3 2
b) A
D
CB
PER
6
6
6
� = 6
Pelo item aaaaa, AC é igual à altura de um triângu-lo equilátero.
AC = � 32
= 6 32
= 3 3
BC é igual ao raio do círculo inscrito no triân-gulo equilátero.
BC = r = 13
. h = 13
. 3 3 = 3
Na questão 30.10, deduzimos a altura do tetra-edro.
AB = � 63
6 63
= 2 6
Aula 32
Gabarito
15Matemática D
Assim, pela semelhança entre ABC e ADE,obtemos:
BCDE
ACAE
3 3 32 6R R
3R = 2 6 – R
4R = 2 6 R = 62
32.05) 4401. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. Um polígono é convexo quando
o segmento de reta que liga dois pontosquaisquer do polígono está completamenteno interior do polígono. Veja, por exemplo,
que PQ não está inteiramente contido nopolígono.
02. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.
D
A
BC F
2
6
3 1 3
3E
1
tg C^ = 3
3 = 1 C
^ = 45o
04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.SABCDE = SEFBA + SFDC =
= 3 . 1 + 3 32.
= 3 + 4,5= 7,5
08. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. O sólido será formado por um ci-lindro, com R = 1 e H = 3, e por um cone,
com R = 3, H = 3 e g = 3 2 . A área dosólido é dada pela área total do cone maisa lateral do cilindro.
S = ATcone + A
cilindro� =
= . 3(3 + 3 2 ) + 2 . 1 . 3 =
= 9 + 9 2 + 6 =
= 15 + 9 2 =
= (15 + 9 2 )
16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.
D
E E'
6 6C C'
3 3A1B
D'
2 2
Pelo item 02, temos:
CD2 = 32 + 32
CD = 3 2Assim, o perímetro é:
CC EE ED E D CD C D’ ’ ’ ’ ’ ’ =
= 12 + 6 + 2 + 2 + 3 2 + 3 2 =
= 22 + 6 232. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Conforme item 08, V = Vcone + Vcilindro=
= 13
. 32 . 3 + . 1 . 3 = 12 .
64. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. Em torno de BC, V = 12 .
Em torno de AB :
22 3 32
1 66
3
Vsólido = Vtronco cone – Vcilindro
Vcilindro = . 32 . 2 = 18
Vtronco = . H3
. (R2 + R . r + r2) =
= . 33
. (62 + 6 . 3 + 32) =
= . (36 + 18 + 9) == 63Vsólido = 63 – 18 = 45
32.06) ENa base, temos:
A
CB
30º
60º
0
R R
x
Gabarito
16 Matemática D
Como o ângulo inscrito mede 30o, o central mede60o. Assim, OBC é equilátero e R = x.Vcilindro = . R2 . H = . x2 . H
32.07) Um semi-octaedro de aresta � é uma pirâmide qua-drangular regular.
��
� �
�
��
B
C
A
H
x
�
Note que xxxxx é a metade da diagonal da base.
x = � 22
Assim, em ABC, obtemos �2 = H2 + � 22
2
.
�2 = H2 + 24
2�
H2 = 24
2�
H = � 22
Vpirâmide = 13
. AB . H =
= 13
. �2 . � 22
= �3 26
Voctaedro = 2 . �3 26
= �3 23
Observe agora que, se o tetraedro dado tem ares-
ta aaaaa, o octaedro terá aresta a2
.
a/2a a
a
Assim, encontramos:
V =
a2
2
3
3
. =
a3
82
3
. = a3 2
24.
32.08) 1401. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta.
1100
30. = 0,3
Novo comprimento = 30 + 0,3 = 30,302. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. Cada azulejo tem área:
20 . 40 = 800 cm2 = 0,08 m2
50 azulejos 50 . 0,08 = 4 m2
04. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.
VI = 3
. R2 . H
Duplicando o raio da base, temos:
V = 3
. (2R)2 . H =
= 4 . 3
2. .R H = 4VI
Duplicando a altura, obtemos:
V = 3
. R2 . 2H = 23
. R2 . H = 2 . VI
08. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.V = 288
43
. R3 = 288
R = 6Altura = 2R = 12
2R
R
32.09) ASi = 1440o
360o . (V – 2) = 1440V – 2 = 4V = 6Octaedro regular
A = 12
Gabarito
17Matemática D
32.10) CBase
60º
2
�
��
sen 60o = 2�
32
= 2�
� = 43
Vprisma = AB . H = �2 34
. H = 163
34
. . H = 4 33
. H
Vágua =
4 33
22 3
3
..
HH
A água assume a forma de um prisma cuja base é:
h
x
Vágua = x h.2
. H = 2 33
. H
x . h = 4 33
(I)
Por outro lado, são semelhantes os triângulos abaixo.
2
h
x
� = 43
x43
= h2
x = 23h
Substituindo em I, encontramos:
x . h = 4 33
23h . h = 4 3
3
h2 = 2 h = 232.11) Uma secção meridiana de uma esfera sempre con-
tém seu centro.
7
A3
4 D
B3
4 C
7 – x0
x R
R
Em OAB, R2 = 9 + x2.Em ODC, R2 = (7 – x)2 + 42.
9 + x2 = 49 – 14x + x2 + 1614x = 56x = 4R2 = 9 + 16R = 5
32.12) Ax > y
1o) xyy
S1 = 2 . y . xV1 = . y2 . x
2o)
x
y
S2 = 2 . x . yV2 = . x2 . yNote que S1 = S2 . Mas comox > y, V2 > V1, pois x2y > xy2.
Gabarito
18 Matemática D
32.13) B
C
�
2�
BA
C
R
�
R2 – R�
2�
R2 = (2 � – R)2 + �2
R2 = 4 �2 – 4 � . R + R2 + �2
4 � R = 5 �2 �
4R = 5�
R = 54�
32.14) A
A
B C3
6
6
36
A área do sólido é dada por:
A A A AL L B Bmaior menor maior menor( ) ( ) ( ) ( ) =
= . 9 . 6 3 + . 3 . 6 + [ . 92 – . 32] =
= 54 3 + 18 + 72 =
= 90 + 54 3 =
= 18 . (3 3 + 5)
32.15) C
611
V = 2 . 13
. 62 . 1
V = 2432.16) C
A
12
6
h
C
12
BD
6
h = � 32
= 12 32
h = 6 3
V = 13
. 62 . 6 32
V = 72 3ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação: Obtemos um cone, apesar de o giroser de 180o. Isso porque o giro é dado em tornoda altura.
32.17)
15
2r
15
24
302 = (2r)2 + 242
900 = 4r2 + 576324 = 4r2
r2 = 81r = 9
A = 2 . 9 . 24 = 432
S = 43236
= 12
Gabarito
19Matemática D
32.18) CH = 30
Base
30º
30º
20
18
18
20
Área de um triângulo
S = 18 202
10
. . sen 30º = 180 . 12
= 90
Área do paralelogramoAB = 2 . 90 = 180
V = AB . H = 180 . 30 = 5400 cm3 = 5,4 dm3
32.19) a
a
a
a
c
cc
c
b
bb
b
4a + 4b + 4c = 48 4a + b + c = 12 (I)
Base
a
a
Db b
Área: ab = 12
DiagonalD = 552 = a2 + b2
a2 + b2 = 25Note que:(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab(a + b)2 = 25 + 2 . 12(a + b)2 = 49 a + b = 7Substituindo em I, obtemos:a + b + c = 127 + c = 12 c = 5
Além disso, com ab
a b
12
7, concluímos que a =
3 e b = 4 (ou vice-versa, o que não interfere nocálculo do volume).Assim, V = abc = 3 . 4 . 5 = 60.
32.20) E
�h
�/2
h = � 32
V = 9 3
13
� �2
32
2
. = 9 3
�3
24 = 9
�3 = 216� = 6
32.21) D
h
hR
Vcone = 13
. R2 . h
Vcilindro = . R2 . 2h
13
2
2
2
. .
. .
R h
R h = 1
6
32.22) E
15
R
V = 15 �V = 1500 cm3
. R2 . 15 = 1500 . R2 = 100
R2 = 100
R = 10 .
Gabarito
20 Matemática D
R = 10
AL = 2 . 10 . 15
AL = 300
Aumentando em 10%, temos:
10100
. 300 = 30
Nova: AL = 300 + 30 = 330Papel
15
x
Área = 15x
Logo, 15x = 330 .
x = 22
32.23) E
h
h/4R
R/3
Vlata = . R2 . h
Vpote = . R h R h Vlata
3 4 36 36
2 2. . .
Número de potes = 36