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representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.

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APLICAÇÕES PRÁTICAS DAS PARÁBOLAS

Faróis de carros:

Antenas parabólicas:

Radares:

Lançamentos de projéteis

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O sinal do coeficiente do termo dominante

O sinal do coeficiente do termo dominante desta

função polinomial indica a concavidade da

parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a

concavidade estará voltada para cima e se a<0

estará voltada para baixo.Ex.: A parábola, que é o gráfico da função f(x)=x²+2x-3, pode ser vista no desenho.

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Para construir esta parábola dá-se valores para x

e obtém-se os respectivos valores para f(x). A

tabela a seguir mostra alguns pares ordenados

de pontos do plano cartesiano onde a curva

deverá passar:

x -3 -2 -1 0 1 2

y 0 -3 -4 -3 0 5

Como a>0, a concavidade ("boca") da nossa

parábola estará voltada para cima.

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Relacionamento entre o discriminante e a concavidade

Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do

discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante

da função polinomial.

a > 0 concavidade (boca) para cima

a < 0 concavidade (boca) para baixo

D > 0,a parábola corta o eixo x em dois pontos diferentes.

D = 0 ,a parábola corta o eixo x num único ponto.

D < 0, a parábola não corta o eixo x.

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Máximos e mínimos com funções quadráticas

Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas

está relacionada com a questão de máximos e mínimos.

Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m.

Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a

medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy,

mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18, assim:

A(x) = x(18-x)

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Esta parábola corta o eixo OX nos pontos

x=0 e x=18 e o ponto de máximo dessa

curva ocorre no ponto médio entre x=0 e

x=18, logo, o ponto de máximo desta curva

ocorre em x=9.

Observamos que este não é um retângulo

qualquer mas é um quadrado pois x=y=9 e a

área máxima será A=81m²

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Exercícios

1.Construir o gráfico cartesiano de cada uma das funções do segundo grau:

a) f(x) = x²-3x-4

b) f(x) = -3x²+5x-8

c) f(x) = 4x²-4x+1

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Coordenadas do vértice

A coordenada x do vértice da parábola

pode ser determinada por . 

Exemplo: Determine as coordenadas do

vértice da parábola y = x²-4x + 3

Temos: a=1, b=-4 e c=3

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Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a

coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da

coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da

parábola

y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

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Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º

grau os valores de x para os quais ela se

anula.

y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima

acabamos de determinar as coordenadas

de seus vértices, as raízes da função

serão x=1 e x` = 3.

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Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Aplicando a resolução de equações do 2º

grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função

y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a

fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0

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Acharemos que x = -2 e x`= -3.

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Concavidade da parábola

Quando a>0, a concavidade da

parábola está voltada para cima

(carinha feliz) e quando a<0, a parábola

está voltada para baixo (carinha

triste).

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Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a

parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y

será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

x²+2x+1=0

x = x` = -b/2a =-1

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

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3)Encontre o vértice, o eixo de simetria do gráfico , a

imagem de cada uma das funções. Classifique o vértice

como um ponto de máximo ou de mínimo da função

dada.

Exercícios de aprendizagem

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2.Esboce o gráfico e determine o domínio e o conjunto-imagem de cada função abaixo:

a) y= x² - 2x – 3

b) y= -4x² + 8x

c) y= 2x² -2x + 1

d) y= x² -2x + 1

e) y= -x² -9

3.Esboce o gráfico e determine o valor máximo (ou mínimo) e o ponto de máximo (ou o de mínimo) de cada função abaixo:

a) y= x² -8x+7

b) y= -2x² + 2x -3

c) y= -x² + 2x +8

d) y= 3x² -2x +1 18

4.Discuta a variação de sinal das funções abaixo:

a) f(x)= x² -5x + 4

b) f(x)= -x² + x + 2

c) Y= x²/2 – x + ½

d) f(x)= -x² + 6x -9

e) f(x) = 3x² -x +1

f) f(x)= -2x²/3+ x – 4/3

5.Dada a função f(x)=x²-5x+6,calcule:

c)f(1)d)f(-1)e)f(2)f)f(-1/2)g)f(0)h)f(3)

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6. Dada a função f(x)= x² -4x -5, determine os valores reais de x para que se tenha:

a) f(x)= 7

b) f(x)= 0

c) f(x)= -57. Calcule K de modo que a função y= kx² -2x + 3 admita 2 como zero.

8.Dada a função f(x)= ax² + bx + 10, calcule a e b sabendo que suas raízes são -2 e 5.

9.Determine V(xv; yv),vértices da parábola das seguintes funções:

b)y= x² - 6x + 5

c)y=3x² -2x + 2

d)y= x² -x -2

e)y= x² - 420