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TRF 2 a Região – RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSORA: KARINE WALDRICH Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 1 1. Aula 1 - Conjuntos numéricos: racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal. Conjuntos numéricos complexos ...............................................................2 1.1 Conjuntos Numéricos: Racionais, Reais e Complexos ........................... 2 1.1.1 Conjuntos Numéricos Racionais................................................... 2 1.1.2 Conjuntos Numéricos Reais ........................................................ 3 1.1.3 Conjuntos Numéricos Complexos................................................. 4 1.1.4 Demais detalhes sobre Conjuntos ................................................ 8 1.2 Operações com frações e decimais .................................................... 9 2. Exercícios comentados ....................................................................... 14 3. Memorex ......................................................................................... 43 4. Lista das questões abordadas em aula ................................................. 46 5. Gabarito .......................................................................................... 51 Aula 1

Matemática e Raciocínio Lógico - Aula 01

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Ensino do raciocinio lógico

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1. Aula 1 - Conjuntos numéricos: racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal. Conjuntos numéricos complexos ............................................................... 2

1.1 Conjuntos Numéricos: Racionais, Reais e Complexos ........................... 2 1.1.1 Conjuntos Numéricos Racionais ................................................... 2 1.1.2 Conjuntos Numéricos Reais ........................................................ 3 1.1.3 Conjuntos Numéricos Complexos ................................................. 4 1.1.4 Demais detalhes sobre Conjuntos ................................................ 8

1.2 Operações com frações e decimais .................................................... 9

2. Exercícios comentados ....................................................................... 14

3. Memorex ......................................................................................... 43

4. Lista das questões abordadas em aula ................................................. 46

5. Gabarito .......................................................................................... 51

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1. Aula 1 - Conjuntos numéricos: racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal. Conjuntos numéricos complexos

A aula de hoje é uma revisão de assuntos do 2o Grau.

Nem por isso deve ser estudada menos. Esses assuntos vêm sendo fortemente cobrados em concursos da FCC. Dêem especial atenção ao que veremos hoje!

1.1 Conjuntos Numéricos: Racionais, Reais e Complexos

Começaremos a aula de hoje falando sobre os conjuntos.

1.1.1 Conjuntos Numéricos Racionais

Observem o seguinte diagrama:

Por este diagrama, vocês podem perceber que os números Racionais englobam também os números Inteiros e os Naturais.

É impossível falar dos números Racionais sem falar dos números Inteiros e dos Naturais.

Os números Inteiros são aqueles que não são frações. Por exemplo, = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Normalmente, o conjunto dos números Inteiros é expresso pela letra .

NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Ex: 1,333333 (...); 2/5; 11 ...

NÚMEROS INTEIROS (Z)

Ex: -2; -1; 0; 1; 2

NÚMEROS NATURAIS (N)

Ex: 0; 1; 2

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Assim, sabemos que 34

não é um número inteiro, pois ele é uma fração.

Dentro dos números Inteiros, como o diagrama mostra, existem os números Naturais. São todos os Inteiros positivos, incluindo o Zero. O conjunto dos números Naturais é expresso por = {0, 1, 2, ...}.

Portanto, 34

não é um número Natural. Assim como –2.

Por fim, temos os números Racionais. Eles são os números Inteiros mais as frações. Qualquer número que possa ser expresso por uma fração é um número Racional. Normalmente, o conjunto dos números Racionais é chamado de , isso porque Q vem de quociente.

Assim, 34

é um número Racional. -34

também.

E 1,33333333...? Será que é um número Racional?

Sim, pois 1,33333333... pode ser expresso sob a forma de fração. É o número 43

.

Números como o 1,33333333... são chamados de dízimas periódicas. São números resultantes de divisões de frações.

No entanto, 1,376983987... não é número racional.

É, sim, um número Irracional. Números Irracionais são números que não são dízimas periódicas e possuem número infinito de casas decimais.

Os números Irracionais não podem ser expressos por frações.

1.1.2 Conjuntos Numéricos Reais

O conjunto dos números Reais é formado pelos números Racionais mais os números Irracionais.

Basicamente, qualquer número que possa ser extraído de uma raiz é um número Real.

O conjunto dos números Reais é denotado por .

Ficam de fora os números Complexos.

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1.1.3 Conjuntos Numéricos Complexos

Quem já resolveu uma Equação de 2o Grau e, após resolver o Delta (Δ = b2 – 4ac), encontrou um número negativo?

Normalmente, dizemos que a Equação, neste caso, não possui raízes Reais.

Foi então, que um cientista chamado Gauss (isso não cai em concurso, claro, mas fui pesquisar quem por curiosidade mesmo) criou um grupo de números que ele chamou números complexos.

A base dos números complexos é o conhecimento de quê:

i = 1−

Assim, por exemplo, se você resolve uma Equação de 2o Grau e chega no seguinte Delta:

Δ = -4

Lembrando que as raízes de uma Equação de 2o Grau são:

bx =

2a− ± Δ

A Equação não terá raízes Reais, mas no plano complexo, denotado pela letra , podemos resolver o Δ da seguinte maneira:

Δ = -4

Δ = 4 . 1−

Δ = 2i

Viram como é simples? Basta isolar o 1− e substituir pela letra i. Ou seja, assim a Equação de 2o Grau passa a não ter raízes Reais, e sim raízes pertencentes ao Conjunto de Números Complexos.

Vamos chamar de z um número qualquer do Conjunto de Números Complexos ( ). z pode ser expressado assim:

z = a + bi

a e b são números Reais. Assim, qualquer número pode ser expressado sob a forma de z.

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Por exemplo:

9 = 9 + 0i

a = 9 b = 0

4i = 0 + 4i

a = 0 b = 4

2 + 2 =2 + 2 + 0i

a = 2 + 2 b = 0

2 + 2− = 2 + 2 i

a = 2 b = 2

E assim por diante.

a é também chamado de parte real de z, e b é chamado de parte imaginária de z.

Também há uma maneira mais simples de expressar z, que é através de parênteses. Para o número 4i, por exemplo, onde a = 0 e b = 4, temos:

4i = (0,4)

Bem, existem algumas operações com os números complexos. Já adianto que elas são simples e intuitivas, na maioria das vezes basta utilizar o i como se fosse um número qualquer. Sempre lembrando que, se i = 1− , i2 = 1.

• Adição e Subtração de números complexos:

Soma-se a parte real e a parte imaginária, separadamente:

Exemplo: 2 + i e –5 + 7i

Soma: (2 – 5) + (1 + 7)i = -3 + 8i Subtração: (2 – (-5)) + (1 – 7)i = 7 – 6i

Simples, não acharam?

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• Multiplicação de números complexos:

A multiplicação de números complexos também é tranquila, e obedece às regras gerais de multiplicação.

Vou utilizar como exemplo os mesmos números complexos lá de cima:

Exemplo: 2 + i e –5 + 7i

(2 + i).(–5 + 7i) = 2.(-5) + 2.7i + i.(-5) + i.7i

-10 + 14i -5i + 7i2

i2 = -1, então:

-10 + 14i -5i + 7(-1)

-10 + 14i -5i – 7

-17 + 9i

Assim, para multiplicar números complexos, basta ter em mente que i2 = -1, e substituir quando necessário.

• Potenciação de números complexos:

Se, por definição, temos que i = 1− ,, então:

i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2.i = -1.i = -i i4 = i2.i2=-1.-1=1 i5 = i4. 1=1.i= i i6 = i5. i =i.i=i2=-1 i7 = i6. i =(-1).i=-i ...

Assim por diante.

Percebam que, a partir do i4, a sequência 1, i, -1, -i se repete.

Então, se uma questão de concurso perguntar: Qual o valor de i367? Como fazer?

A maneira mais fácil é dividir 367 por 4. O resto deverá estar entre 0 e 3, claro.

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Im

Re

Im

Re

Portanto, i367 será igual a iresto da divisão 367/4.

367/4 = 91 mais 3 de resto. Ou seja, i367 = i3 = -i.

• Interpretação Geométrica dos Números Complexos:

É possível expressar os números complexos em um plano geométrico. Já vi cair em concurso (tem até uma questão nos exercícios dessa aula). É simples:

Representando o número 2 + 3i:

3

2

A parte imaginária (Im = 3i) é representada no eixo vertical. Já a parte real (Re = 2) é representada no eixo horizontal.

θ

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1.1.4 Demais detalhes sobre Conjuntos

Conjuntos é um assunto cheio de detalhes... que nunca caem em concurso. A maioria das questões de conjuntos em concurso envolvem os conceitos que vimos até aqui, e outros de Lógica em si, em que se usa o raciocínio e não algum conhecimento prévio.

Não vou fazer repetição do que já vimos, então vou passar para vocês basicamente o que eu acho mais importante, que é a noção de intervalos. Acho bem difícil cair uma questão só disso, mas está contemplado no edital e é um conhecimento importante para outros assuntos (funções, estatística, etc).

Pensem, por exemplo, na média que vocês tinham que fazer para passar nas matérias do colégio. Na colégio em que estudei, por exemplo, a média para passar era 7,0.

Então, falando em termos de intervalo, o intervalo de notas que eu poderia tirar era igual a [7,0;10,0].

O que isso significa? Que eu poderia tirar qualquer nota entre 7,0 e 10,0 – incluindo esses extremos. Quando o colchete está assim (virado para dentro), os extremos estão inclusos.

Vamos supor que não fosse assim. Digamos que exista um colégio em que a nota para aprovação seja superior a 7,0, mas sem incluir o 7,0 propriamente dito. Por exemplo, quem ficasse com média 7,0 estaria reprovado, mas quem tirasse 7,1 passaria.

Poderíamos expressar o intervalo de notas que um aluno poderia tirar da seguinte forma: ]7,0;10,0].

Esse intervalo é o que chamamos de intervalo aberto à esquerda e fechado à direita. Quando um dos lados é aberto, significa que o número próximo à ele não está incluso no intervalo.

A tabela abaixo traz outras variações dos intervalos.

Intervalos Numéricos Tipo de intervalo Descrição Simbologia

Fechado Os dois extremos estão incluídos

[p;q] = {x R | p ≤ x ≤q}

Fechado à esquerda O extremo à esquerda está incluído, o extremo à direita está excluído

[p;q[ = {x R | p ≤ x < q}

Fechado à direita O extremo à direita está incluído, o extremo à

esquerda está excluído

]p;q] = {x R | p < x ≤q}

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Aberto Ambos extremos estão excluídos

]p;q[ = {x R | p < x < q}

Semifechado O intervalo vai de infinito até um valor p ou q,

incluindo estes

]- ;q] = {x R | x ≤ q}

(neste caso, x é menor ou igual a q)

[p;+ ] = {x R | x ≥p}

(neste caso, x é maior ou igual a p)

Semiaberto O intervalo vai de infinito até um valor p ou q,

excluindo estes

]- ;q[ = {x R | x < q}

(neste caso, x é menor do que q)

]p;+ [ = {x R | x > p}

(neste caso, x é maior do que p)

1.2 Operações com frações e decimais

Operações com frações são arroz de festa em concurso. Caem toda hora. Fora que outros assuntos da Matemática e do Raciocínio Lógico muitas vezes incluem frações, então acaba caindo dentro de outras questões também...

Inicialmente, cabe lembrar que a “parte de cima” da fração é o numerador, e a “parte de baixo” é o denominador, como no esquema abaixo:

27

Na adição, subtração, multiplicação e divisão com frações alguns cuidados devem ser tomados. Vamos analisar cada uma das quatro operações:

• Adição e Subtração de frações:

Numerador

Denominador

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Na adição e subtração de frações, o importante é manter todos os denominadores iguais. Essa é a regra principal. E como fazer isso? Vejam a soma abaixo: 27 + 1

9 + 3

5 Para reduzir os três denominadores a um só, devemos encontrar o famoso MMC – Mínimo Múltiplo Comum. O MMC é o menor número divisível pelos três denominadores, tendo zero como resto. Na verdade, o menor número divisível por qualquer número é o zero (pois podemos dividir o zero por qualquer número e ter zero como resto). Então, o MMC é o menor múltiplo comum, a exceção do zero. No nosso exemplo, temos três denominadores: 7, 9 e 5. Cada um tem os seus múltiplos. São eles (já excluímos o zero):

• Múltiplos de 7: {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196, 203, 210, 217, 224, 231, 238, 245, 252, 259, 266, 273, 280, 287, 294, 301, 308 315, 322, 329, ...}

• Múltiplos de 9: {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270, 279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, ...}

• Múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 300, 305, 310, 315, 320, 325, ...}

Percebam que o menor número que é divisível pelos três números é 315. Mas como descobrir isso sem precisar escrever todos esses números? Na hora da prova vocês não podem perder esse tempo todo. Para isso, utilizamos a Fatoração. Na fatoração, dividimos o número pelo menor número primo possível, e seguir na divisão, até que se chegue a um quociente igual a 1. Vamos fazer com os nossos denominadores (7, 9 e 5). Fatorando o 7: 7 7 1 Notem que como o 7 é um número primo, a fatoração do 7 é igual a ele mesmo. Fatorando o 9:

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9 3 3 3 1

Fatoração do 9 = 32.

Fatoração do 5:

5 5 1

Temos, então, a regra de ouro do MMC:

Seguindo essa regra, temos que o MMC (7, 5, 9) = 7 x 32 x 5 = 315.

Resgatando nossa soma inicial:

27 + 1

9 + 3

5

Agora, substituímos os denominadores pelo MMC. Em seguida, para cada fração, dividimos pelo denominador original e multiplicamos pelo numerador, da seguinte forma:

Fatores não comuns a todas as fatorações

Entra no cálculo do MMC

REGRA DE OURO DO MMC

Entra no cálculo do MMC com o maior expoente

Fatores comuns a todas as fatorações

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27 + 1

9 + 3

5

2 x 32 x 5 + 1 x 7 x 5 + 3 x 32 x 7315

Fazendo a soma, chega-se no resultado de 314315 .

• Multiplicação e divisão de frações:

A multiplicação de frações é obtida diretamente, apenas multiplicando os numeradores e denominadores entre si.

Exemplo:

35

x 49 = 3 x 4

5 x 9 = 4

5 x 3 = 4

15

Já a divisão de frações é encontrada pela inversão da fração pela qual se quer dividir, seguida da multiplicação tradicional. Uma maneira mais fácil é através do “Extremos pelos Meios”, ou seja:

3549

= 3 x 95 x 4

= 2720

÷

Extremos Meios

X Primeiro passo:

DIVIDIR

315 ÷ 7 = 32 x 5

Segundo passo:

MULTIPLICAR

2 X 32 x 5

=

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Bem, passemos às questões.

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2. Exercícios comentados

“Sucessão dos números naturais” sabemos o que é. Afinal:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}

Mas e o que é Algarismo? Algarismo é o símbolo que compõe o número. São algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Com estes símbolos, formamos todos os números existentes. Por exemplo, o número “35” é formado de 2 algarismos – o “3” e o “5”.

Se o Alfonso da questão escreveu 4250 algarismos, ele escreveu vários números também. E para saber qual foi o último número escrito por ele, precisamos repetir sua façanha e escrever todos os algarismos novamente?

Não. Basta termos em mente de quantos algarismos os números são formados. Vejamos a tabela abaixo:

Sequência Quantidade de

algarismos por

número

Quantidade total de números

Quantidade total de

algarismos

0 – 9 1 10 10 10 – 99 2 90 180

100 – 999 3 900 2700 1000 – 9999 4 9000 36000

Alfonso escreveu 4250 algarismos... Isso quer dizer que o último número está entre 1000 e 9999 (pois se ele tivesse escrito 9999 números já seriam 36000 algarismos).

Questão 1 – FCC/TCE-SP/AFF/2010

De gosto muito duvidoso, Alfonso, a fim de distrair-se, estava escrevendo a sucessão dos números naturais – começando do zero - quando sua esposa o chamou para jantar, fazendo com que ele interrompesse a escrita após escrever certo número. Considerando que, até parar, Alfonso havia escrito 4 250 algarismos, o último número que ele escreveu foi (A) 1 339. (B) 1 353. (C) 1 587. (D) 1 599. (E) 1 729.

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Para saber o último número, precisamos saber a quantidade de algarismos entre os números 1000 e 9999. Para isso, basta somar a quantidade total de algarismos existente até 999, e diminuir este resultado de 4250. Como os números entre 1000 e 9999 possuem 4 algarismos, basta dividirmos a quantidade encontrada por 4:

2700 + 180 + 10 = 2890

4250 – 2890 = 1360

13604

= 340

Assim, sabemos que Alfonso escreveu 340 algarismos entre 1000 e 9999. O primeiro algarismo é 1000, o segundo é 1001... assim por diante. Dessa forma, quando ele escrever o número 1339, terá escrito 4250 algarismos.

Resposta: Letra A.

Essa questão contempla aspectos de Compreensão, que veremos intensamente na aula 4. Mas achei importante trazê-la para esta aula pois, com ela, podemos revisar/aprender passo a passo a operação matemática da divisão entre números.

Questão 2 – FCC/TCE-SP/AFF/2010

Considere que os números inteiros que aparecem na tabela abaixo foram dispostos segundo determinado padrão.

1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 0 2 4 6 8 7 9 11 13 15

14 16 18 20 22 21 23 25 27 29 28 30 32 34 36

Se esse padrão fosse mantido indefinidamente, qual dos números seguintes com certeza NÃO estaria nessa tabela?

(A) 585 (B) 623 (C) 745 (D) 816 (E) 930

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Reparem que, em cada coluna, a linha seguinte é a soma do número da linha anterior + 7. Vejam só a coluna 1:

1ª Coluna 0

7 (0 + 7) 14 (0 + 7 + 7 ou 0 + 2x7)

21 (0 + 7 + 7 + 7 ou 0 + 3x7) 28 (0 + 7 + 7 + 7 + 7 ou 0 + 4x7)

O mesmo ocorre nas demais colunas:

2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 2 4 6 8

9 (2 + 7) 11 (4 + 7) 13 (6 + 7) 15 (8 + 7) 16 (2 + 2x7) 18 (4 + 2x7) 20 (6 + 2x7) 22 (8 + 2x7) 23 (2 + 3x7) 25 (4 + 3x7) 27 (6 + 3x7) 29 (8 + 3x7) 30 (2 + 4x7) 32 (4 + 4x7) 34 (6 + 4x7) 36 (8 + 4x7)

Desta forma, temos as seguintes relações:

1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 0 2 4 6 8

7 (0 + 7) 9 (2 + 7) 11 (4 + 7) 13 (6 + 7) 15 (8 + 7) 14 (0 + 2x7) 16 (2 + 2x7) 18 (4 + 2x7) 20 (6 + 2x7) 22 (8 + 2x7) 21 (0 + 3x7) 23 (2 + 3x7) 25 (4 + 3x7) 27 (6 + 3x7) 29 (8 + 3x7) 28 (0 + 4x7) 30 (2 + 4x7) 32 (4 + 4x7) 34 (6 + 4x7) 36 (8 + 4x7)

. . . . . .. .. .. .. .. ... ... ... ... ...

(0 + nx7) (2 + nx7) (4 + nx7) (6 + nx7) (8 + nx7)

Desta forma, para um número estar em alguma das colunas, ele deve, obrigatoriamente, obedecer a alguma das relações encontradas:

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O número que não obedecer à relação acima será a resposta da nossa questão.

Mas como vamos descobrir isso? Basta fazer a operação inversa. A operação inversa da multiplicação é a divisão. A divisão compreende quatro “partes” importantes. São elas: dividendo, divisor, quociente e resto. O dividendo é o resultado da multiplicação do divisor versus o quociente, adicionado do resto:

No nosso caso, o Dividendo é o número apresentado na alternativa, o Divisor é o número 7, e o Quociente é o 7. O resto, para a alternativa pertencer à tabela, só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Se o resto for outro número que não estes, a alternativa representa um número que em hipótese alguma poderia pertencer à tabela, ou seja, a resposta da nossa questão! Esquematizando, a divisão fica:

Número pertencente à

tabela =

0

2

4

6

8

+nx7

=

+

DivisorDividendo

QuocienteResto

7Número

pertencente à tabela

nResto: 0, 2, 4, 6, 8

x

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Vamos para as alternativas?

(A) 585

Como o resto é 4, o número 585 pertence à tabela.

(B) 623

Como o resto é 0, o número 623 pertence à tabela.

(C) 745

Vejam só! O resto é igual a 3. Com este resto, o número pode pertencer à tabela proposta? Não... Ou seja, ele é o gabarito da questão!

(D) 816

7585

83Resto: 4

7623

89Resto: 0

7745

106Resto: 3

7816

116Resto: 4

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Como o resto é 4, o número 816 pertence à tabela.

(E) 930

Como o resto é 0, o número 623 pertence à tabela.

Resposta: Letra C

Nessa questão, temos uma multiplicação que resulta em um número com 3 números racionais.

Fazemos da seguinte maneira:

7623

89Resto: 0

Questão 3 – FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2010

Desenvolvendo obtém-se um número da forma x + y z , em que x, y e z são racionais. Nessas condições a soma x + y + z é um número

(A) cubo perfeito. (B) menor que 50. (C) primo. (D) maior que 70. (E) divisível por 6.

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2 2 2

3 3

( 27 3 2).( 27 3 2)

27. 27 27. 3 27. 2 3. 27 3. 3 3. 2 2. 27 2. 3 2. 2

27 81 54 81 3 6 54 6 2

27 9 2.3 9 3 6 2.3 6 2

27 9 3 6 9 3 6 3 6 6 2

50 8 6

+ + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+

Portanto:

x = 50 y = 8 z = 6

x + y + z = 64

Agora analisamos as alternativas:

(A) cubo perfeito.

Cubo perfeito é um número com raiz cúbica. 64 realmente é um cubo perfeito, pois:

33 64 4.4.4 4= =

Muita gente não sabia o que era um cubo perfeito na hora da prova, e mesmo assim acertou a questão, através da eliminação das demais alternativas. Alternativa verdadeira.

(B) menor que 50.

64 é maior que 50. Alternativa falsa.

(C) primo.

Números primos são aqueles que não são divisíveis por nenhum outro número além de si mesmo e do 1.

64 é divisível por 32, 16, 8, 4, 2 e 1. Portanto, 64 não é primo. Alternativa falsa.

(D) maior que 70.

64 não é maior que 70. Alternativa falsa.

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(E) divisível por 6.

64 não é divisível por 6. Alternativa falsa.

Resposta: Letra A.

Essa questão é uma variação do que vimos na teoria, sobre o expoente de i.

Primeiramente, vou explicar o que é o 50

1

n

n

i=∑ .

O símbolo ∑ indica somatório. O número que está embaixo indica onde

começa o somatório. O número acima indica onde termina. E o número ao lado indica o que se está somando.

No caso de 50

1

n

n

i=∑ , pede-se o somatório de in, em que n começa no 1 e termina

no 50.

É um jeito mais simples de escrever algo que ficaria muito grande. Então, temos que:

50

1

n

n

i=∑ = i1 + i2 + i3 + i4... + i49 + i50.

Entendido?

Passando à resolução da questão, já sabemos que in, independente do valor de n, pode ser igual a 1, i, -1 e –i.

Somatório de i1 até i1 = i

Questão 4 – FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2010

Sabe-se que se i é unidade imaginária do conjunto dos números complexos, então, para cada número natural n, a potência in é igual a 1, i,

-1 ou - i. Usando essa informação, é correto afirmar que a soma é igual a:

(A) 0 (B) -1 – i (C) 1 + i (D) 1 – i (E) i - 1

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Somatório de i1 + i2 = i - 1 Somatório de i1 + i2 + i3 = i – 1 - i = -1 Somatório de i1 + i2 + i3 + i4 = i – 1 – i + 1 = 0 Somatório de i1 + i2 + i3 + i4 + i5 = i

Portanto, o somatório também obedece a um ciclo. Ele só pode ter 4 valores:

- i: quando o expoente for equivalente a um resto 1; - i - 1: quando o expoente for equivalente a um resto 2; - -1: quando o expoente for equivalente a um resto 3; - 0: quando o expoente não tiver resto (for multiplo de 4).

50/4 = 48 + 2 de resto.

Ou seja, para saber o somatório de i1 até i50 basta fazer o somatório de i49 e i50.

i49 = i i50 = -1

Portanto, o somatório 50

1

n

n

i=∑ é igual a i – 1.

Resposta: letra E.

Essa questão fala sobre a soma de números complexos.

Questão 5 – FCC/BAHIAGÁS/Analista de Processos Organizacionais/2010

Considere:

O resultado da operação + é:

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Im

Re

Im

Re

Um dos números está expresso sob a forma geométrica. Então, para realizar a soma, temos que transformar essa forma geométrica para a forma algébrica:

10 60ºQ = ∠&

Esse símbolo ∠ indica o ângulo em relação à base do plano complexo. Temos, então:

Para transformar 10 60º∠ em algo da forma a + bi, precisamos calcular o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo de 60º. O 10 é a hipotenusa deste triângulo:

Cateto oposto

Cateto adjacente

10

60º

10

60º

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Im

Re

360º

2

32 10

10 35 3

2

CatetoOpostosen

Hipotenusa

CatetoOposto

CatetoOposto

= =

=

= =

Assim, como o cateto oposto vale 5 3 , essa é a parte imaginária do número complexo na forma algébrica.

Fazemos o mesmo, utilizando o cosseno, para descobrir o valor da parte real:

1cos60º

212 10

5

CatetoAdjacenteHipotenusa

CatetoAdjacente

CatetoAdjacente

= =

=

=

Assim, o número complexo, na forma algébrica, vale 5 + 5 3 i:

5 3

5

Portanto, temos a soma dos seguintes números complexos:

10 10P i=& +

5 5 3Q = +&

10

60º

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Para somar dois números complexos, soma-se, separadamente, a parte real e a parte imaginária de cada um deles:

(10 5) (10 5 3)

15 (10 5 3)

P Q

i

i

+

+ + +

+ +

&&

Portanto, a resposta é a letra D.

Resposta: letra D.

A questão diz que, numa seção, trabalham 23 pessoas, entre homens e mulheres. A questão quer saber o número de mulheres.

H + M = 23

Do total de homens, 5/14 usam óculos. Ou seja, o número de homens só pode ser múltiplo de 14. Se forem 14 homens, 5 usam óculos. Se forem 28 homens, 10 usam óculos, assim por diante.

Não pode ser 20 homens, por exemplo, pois nesse caso teríamos 5/14 de 20 homens usando óculos, o que resultaria em 7,14 homens usando óculos.

O mesmo acontece para qualquer outro número de homens, que não sejam múltiplos de 14.

Questão 6 – FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2010

Em uma seção do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo trabalham 23 pessoas, entre homens e mulheres. Se, nessa seção, 5/14 do número de funcionários do sexo masculino usam óculos, a quantidade de mulheres é um número

(A) par.

(B) primo.

(C) menor que 7.

(D) maior que 10.

(E) quadrado perfeito.

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Portanto, temos que o número de homens só pode ser 14, 28, 42...

Nesse caso, só pode ser 14 o número de homens, pois a questão fala que a soma de homens e mulheres é de 23 pessoas. Se forem 28 homens esse número já estará ultrapassado.

Assim, temos, na seção, 14 homens.

H + M = 23

M = 23 – 14 = 9

Vamos à análise das alternativas:

(A) par.

Falso, 9 não é par.

(B) primo.

Falso, como vimos, números primos só são divisíveis por si mesmo e por 1. 9 é divisível por 3.

(C) menor que 7.

Falso, 9 é maior que 7.

(D) maior que 10.

Falso, 9 é menor que 10.

(E) quadrado perfeito.

Correto. 9 é quadrado perfeito do número 3, afinal 32 = 9.

Resposta: Letra E.

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Essa questão mistura vários conhecimentos que já vimos, sobre os números inteiros e sobre as frações.

x e y são números inteiros e positivos. Ou seja, eles pertencem ao conjunto dos números naturais, = {0, 1, 2, ...} e não são decimais.

No entanto, na fração dada eles estão na forma decimal.

Então, é necessário multiplicar os números da fração até que se encontrem dois números inteiros, positivos e irredutíveis, tal como a questão exige.

Temos:

4

8

0,00125.100,75.10

xy

−=

Primeiramente, vamos reduzir os expoentes que estão na base 10.

10-8 é o mesmo que 10-4. 10-4. Em multiplicação de potências de mesma base, soma-se os expoentes.

Portanto:

4

4 4

4

0,00125.100,75.10 .10

0,001250,75.10

xy

xy

− −

=

=

Agora, temos que multiplicar o numerador e o denominador por um número que os torne inteiros, positivos e irredutíveis.

Questão 7 – FCC/TRT 12a Região/Técnico Judiciário/2010

Sejam x e y números inteiros e positivos tais que a fração x/y é irredutível, ou seja, o máximo divisor comum de x e y é 1. Se

então x + y é igual a

(A) 53. (B) 35. (C) 26. (D) 17. (E) 8.

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Vamos tomar como base o número que está no denominador, ele parece ser mais fácil, afinal 0,75*2 = 1,5 * 2 = 3. Ou seja, 0,75*4 = 3.

Além de multiplicar por 4, multiplicamos também por 104, pois temos 10-4 no denominador. Lembrando que 10-4.104 = 100 = 1.

Temos, então:

4

4 4 4

0,00125 0,00125 4.100,75.10 0,75.10 4.10

xx

y − −= =

4 4

12,5.40,75.4.10

xy − +=

12,5.43

xy

=

503

xy

=

50/3 é uma fração irredutível, de números inteiros e positivos, que satisfaz o que foi exigido pelo enunciado. Portanto:

x + y = 50 + 3 = 53

Resposta: Letra A.

Chamaremos Gertrudes de G e Rubem de R.

Questão 8 – FCC/BB/Escriturário/2011

Gertrudes e Rubem - funcionários de uma Agência do Banco do Brasil - receberam, cada um, uma mesma quantidade de folhetos para a divulgação de serviços e produtos oferecidos pelo Banco. Sabendo que, se Gertrudes repassar a terça parte de seu total de folhetos para Rubem, então ele terá que distribuir 64 folhetos a mais do que ela. É correto concluir que o total de folhetos que cada um recebeu inicialmente é um número compreendido entre

(A) 10 e 25. (B) 25 e 50. (C) 50 e 75. (D) 75 e 100. (E) 100 e 125.

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G recebeu x folhetos no início, assim como R.

No entanto, G repassou 1/3 dos folhetos para R. Assim, G ficou com:

G = 13

x x−

Já R, que recebeu os folhetos de G, ficou com 1/3x a mais de folhetos do que no começo:

R = 13

x x+

A questão informa que, dessa maneira, R ficou com 64 folhetos a mais do que G. Assim a diferença R – G é de 64 folhetos.

Temos, então:

64

1 164

3 3

1 164

3 3

264

3

2 192

96

R G

x x x x

x x x x

x

x

x

− =

⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ − + =

=

=

=

Inicialmente, cada um recebeu 96 folhetos, o que está compreendido entre 75 e 100.

Resposta: letra D.

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E é uma soma de frações, e deve ser um número inteiro.

Sendo apenas uma soma de frações, E deve ser no máximo 1. Afinal ele é a soma de uma metade, mais uma terça parte, mais um sete avos, e mais a parte determinada pela razão 1/x.

Mas, detalhe importante: E deve ser inteiro. Ou seja, ele só pode ser 1, pois se for menor do que 1 ou maior do que 1 não será inteiro.

Assim, temos:

1 1 1 12 3 7

1 1 1 11

2 3 7

1 1 1 11 ( )

2 3 7

Ex

x

x

= + + +

+ + + =

= − + +

Nesse ponto, fazemos o Mínimo Múltiplo Comum das frações:

Questão 9 – FCC/BB/Escriturário/2011

Se x é um número inteiro positivo tal que seja um número inteiro, então,

(A) existem infinitas possibilidades distintas para x. (B) x é múltiplo de 12. (C) x é maior do que 84. (D) x tem oito divisores. (E) E pode ser maior do que 2.

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1 2.3.7 3.7 2.7 2.32.3.7

1 42 21 14 642

1 142

42

x

x

x

x

− − −=

− − −=

=

=

Assim, para que E seja igual a 1, x deve ser igual a 42.

Se x for maior do que 42, E será menor do que 1, mas um número fracionário, e não inteiro, como pedido pela questão.

Se x for menor do que 42, E será maior do que 1. Mas ainda não chegará a 2, pois todos os números são frações de 1.

Vamos analisar as alternativas:

(A) existem infinitas possibilidades distintas para x.

Falso. x deve ser igual a 42 apenas, pois, do contrário, E não é um número inteiro.

(B) x é múltiplo de 12.

Falso. 42 não é múltiplo de 12.

(C) x é maior do que 84.

Falso. 42 não é maior do que 84.

(D) x tem oito divisores.

Os divisores de 42 são: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. São, portanto, 8 divisores. Resposta correta.

(E) E pode ser maior do que 2.

Falso. Como vimos, é impossível E ser maior do que 1. Imaginem que E é uma pizza, formada por pedaços, mas que só pode ser servida inteira.

Você pede que a pizza seja ½ mussarela, 1/3 calabresa, 1/7 quatro queijos. O atendente da pizzaria fala: falta 1/x para completar a pizza.

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Já vimos que esse 1/x é 1/42. Se você pedir 1/43, o pedacinho restante vai ser menor, e a pizza (o E) vai vir menor do que 1. E se você pedir 1/41, a pizza vai vir maior do que 1. Mesmo que o x valha 1, os pedaços restantes somam ½ + 1/3 + 1/7, o que dá 41/42.

Ou seja, mesmo que x valha 1, a soma será 1 + 41/42. O que não dá 2.

Resposta: letra D.

Vamos aproveitar essa questão para falar um pouco sobre a ordem de resolução das operações com números.

A questão pergunta qual o valor inicial que Estanislau possuía no bolso. É importante, para resolvê-la, transformar em equações o que o enunciado diz em forma de frases. Vamos passo a passo (e é exatamente assim que vocês devem resolver a questão na hora da prova):

“Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso”: chamaremos este valor inicial de x.

“duplicou a quantia que tinha colocado na máquina”: 2x

“logo a seguir, perdeu 4 reais”: 2x - 4

Questão 10 – FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2010

Em uma viagem de turismo à Argentina, Estanislau ficou fascinado com as máquinas de caça níqueis de um cassino e, sabendo que poderia usar moedas brasileiras, resolveu testar a sua sorte em uma máquina. Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso: teve sorte e duplicou a quantia que tinha colocado na máquina; entretanto, logo a seguir, perdeu 4 reais. Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia com que ficara, mas, em seguida, perdeu outros 4 reais. Na quinta jogada, de novo a sorte duplicou a quantia com que ficara, após o que perdeu mais 4 reais. Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda, então, antes de começar a jogar, o total de moedas que tinha no bolso totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre

(A) 2,25 e 3,00. (B) 3,00 e 3,75. (C) 3,75 e 4,50. (D) 4,50 e 5,25. (E) 5,25 e 6,00.

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“Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia com que ficara”: 2.(2x – 4)

“mas, em seguida, perdeu outros 4 reais.”: 2.(2x – 4) – 4

“Na quinta jogada, de novo a sorte duplicou a quantia com que ficara”: 2.[2.(2x – 4) – 4]

“após o que perdeu mais 4 reais.”: 2.[2.(2x – 4) – 4] – 4

“Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda”: 2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0

“então, antes de começar a jogar, o total de moedas que tinha no bolso totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre”: x = ???

Nosso passo a passo nos conduziu à seguinte expressão:

2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0

Para resolvê-la, é importante sabermos a ordem de prioridade com as quais as operações dentro das expressões devem ser resolvidas. Algumas devem ser resolvidas por primeiro, outras em seguida e outras por último. O esquema abaixo demonstra essa prioridade:

Outra prioridade existente é relativa à presença de parênteses, colchetes ou chaves nas expressões:

1º Potenciação e Radiciação

PRIORIDADE DE RESOLUÇÃO DE OPERAÇÕES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Multiplicação ou Divisão

3º Adição ou Subtração

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Sabendo esses conceitos, basta aplicá-los à resolução da expressão:

2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0

2. [4x – 8 – 4] – 4 = 0

2. [4x – 12] – 4 = 0

8x – 24 – 4 = 0

8x – 28 = 0

8x = 28 → x = 288

= 3,5

Logo, a quantia está compreendida entre 3,0 e 3,75.

Resposta: Letra B.

1º Parênteses ( )

PRIORIDADES – PARÊNTESES, COLCHETES E CHAVES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Colchetes [ ]

3º Chaves { }

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Mais uma questão de simplificação de frações. Alguma dúvida de quê esse assunto é muito cobrado pela FCC?

A expressão é:

3 10212,15 0,0025

40 50⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ÷ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vou fazer sem muito segredo para vocês verem onde isso dá...

3 486 3 48912,15

40 40 40+⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Segunda parte:

102 101,8750,0025

50 50⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

Agora dividimos uma equação pela outra:

48940

101,87550

Podemos simplificar o 50 com o 40, sobram 5 e 4:

Questão 11 – FCC/TRE-AC/Técnico Judiciário/2010

Simplificando-se a expressão

obtém-se um número:

(A) quadrado perfeito. (B) divisível por 5. (C) múltiplo de 6. (D) primo. (E) ímpar.

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4894

101,8755

E agora? Na hora da prova, como fazer a divisão entre 489 e 101,875? Muito demorado e complicado...

Por isso, vou sugerir a vocês outro tipo de resolução, que considero mais eficiente na hora da prova: transformar os decimais em frações.

Começamos pela primeira parte:

312,15

40⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Para transformar o 12,15 em fração, multiplicamos por 100 o numerador e dividimos tudo por 100:

1215 3100 40

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

A primeira fração pode ser dividida por 5:

243 320 40

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Somando as duas frações:

486 3 48940 40 40

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

A segunda equação:

1020,0025

50⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

0,25 é ¼. 0,0025 é ¼ dividido por 100, ou seja, 0,0025 é 1/400.

102 150 400

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Somando as duas equações:

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102 1 816 1 81550 400 400 400 400

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Assim, a divisão fica:

48940815400

Extremos pelos meios:

489489.400 489.10 489040

815 40.815 815 815400

= = =

Agora não tem jeito, tem que fazer a divisão. 4890/815 é igual a 6.

Vamos à análise das alternativas:

(A) quadrado perfeito.

Falso. 6 não é quadrado perfeito.

(B) divisível por 5.

Falso. 6 não é divisível por 5.

(C) múltiplo de 6.

Verdadeiro. 6 é múltiplo de 6, o primeiro deles. Os múltiplos de 6 são 6, 12, 18, 24... assim por diante.

(D) primo.

Falso. 6 não é número primo.

(E) ímpar.

Falso. 6 é par.

A questão ficou um pouco mais fácil de ser resolvida transformando os decimais em frações. Mesmo assim são questões chatas, daquelas para se deixar para o final na hora da prova, se sobrar tempo.

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Resposta: Letra C.

Questão com frações.

Vamos analisar cada parte do enunciado e resolvendo aos poucos.

27 da receita anual do município deve ser aplicado em educação.

“A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 27da sua

receita anual seja aplicada em educação.”: chamando a receita anual de

x, a parte correspondente à educação equivale a 27

x.

“Daquilo que sobra, 35 deve ser destinado à saúde”:

Receita para saúde = 35⎝⎜⎛x – 2

7x⎠⎟⎞

“Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante é dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com transporte e habitação.” Despesas com funcionários = Gastos com

transporte e habitação = 12⎝⎜⎛ x – 2

7x – 3

5⎝⎜⎛x – 2

7x⎠⎟⎞

Questão 12 – FCC/TCE-GO/Téc. Jud./2009

A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 27da sua receita

anual seja aplicada em educação. Daquilo que sobra, 35 deve ser destinado

à saúde. Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante é dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com transporte e habitação. Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com transporte e habitação, pode-se concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, foi

(A) 600 (B) 1.200 (C) 1.500 (D) 2.100 (E) 3.000

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“Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com transporte e habitação, pode-se concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, foi”: Gastos com transporte e habitação = 12⎝⎜⎛ x – 2

7x – 3

5⎝⎜⎛x – 2

7x⎠⎟⎞ = 300.000

12⎝⎜⎛x – 2

7x – 3

5x + 6

35x⎠⎟⎞ = 300.000

12

(35x – 10x – 21x + 6x)35

= 300.000

12

10x35

= ⎝⎜⎛ 5x35⎠⎟

⎞ = 300.000

x = 2.100.000

Como a questão pede o resultado em milhares de reais (1 milhar de real = 1000 reais), a resposta é 2.100.

Resposta: Letra D.

Essa questão pode ser facilmente resolvida através da análise das alternativas.

Se 38 dos equipamentos foram reparados por Eustáquio, é lógico que o

número de equipamentos deve ser um múltiplo de 8, certo? Caso contrário,

Questão 13 – FCC/TCE-GO/Téc. Jud./2009

Certo mês, do total de equipamentos que estavam em uma oficina, sabe-se

que: 38 foram reparados por Eustáquio,

512por Alceste e os demais por

Corifeu. Assim sendo, nesse mês, o total de equipamentos reparados nessa oficina poderia ser igual a

(A) 36 (B) 40 (C) 60 (D) 72 (E) 84

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poderia ser encontrado o valor de “meio equipamento”, e é lógico que não existe “meio equipamento”.

Dessa maneira, eliminamos as alternativas a, c e e.

Além disso, 5

12 foram reparados por Alceste. Tanto 72 (alternativa d) quanto 84 (alternativa e) são múltiplos de 12, podendo ser resposta da questão.

Passamos então para os equipamentos reparados por Corifeu, que é o restante dos equipamentos (os que não foram reparados nem por Eustáquio nem por Alceste). Traduzindo para uma equação (e chamando o total de equipamentos reparados na oficina de x), temos:

Total de equipamentos reparados por Corifeu = x – 3

8x – 5

12x

Total de equipamentos reparados por Corifeu = 24x – 9x – 10x

24 = 5

24x

Da mesma maneira como pensamos antes, o número total de equipamentos da oficina deve ser múltiplo de 24, para não haver possibilidade de “meio equipamento”. 84 não é múltiplo de 24, já 72 sim.

Resposta: letra D.

Mais uma questão para treinarmos as operações com frações.

O enunciado divide a vida do cidadão em fases, e pergunta o tempo de vida (ou existência) do mesmo. Esquematizando as informações (e chamando a existência total de e):

Questão 14 – FCC/TCE-AM/ACE/2008

Um cidadão viveu a sexta parte da sua existência como criança, um doze avos como jovem e uma sétima parte como adulto solteiro. Seis anos após ter se casado comprou um iate no qual viveu com a esposa por exatamente a metade da sua existência. Vendeu o iate tendo vivido ainda três anos. Quantos anos viveu o cidadão?

(A) 56 (B) 63 (C) 72 (D) 84 (E) 96

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Fase da vida Tempo de duração da fase (em anos)

Criança 16

e

Jovem 112

e

Adulto solteiro 17

e

Adulto casado antes da compra do iate

6

Adulto casado com iate 12

e

Adulto casado após ter vendido o iate

3

Desta forma, existência total = soma do tempo de duração de todas as fases.

e = 16

e + 112

e + 17

e + 6 + 12

e + 3

e – 16

e – 112

e – 17

e – 12

e = 9

Precisamos agora saber o MMC de 6, 12, 7 e 2, para encontrarmos o denominador comum de todas as frações. Fatorando cada um desses números, encontramos:

Fatoração de 6 = 2.3

Fatoração de 12 = 22.3

Fatoração de 7 = 7

Fatoração de 2 = 2

Relembrando a regra de ouro do MMC: mesmo fator utilizar aquele com maior expoente, e fatores diferentes incluir todos.

MMC (6, 12, 7, 2) = 22.3.7 = 84

Retornando à equação, dessa vez com o mesmo denominador:

84e – 14e – 7e – 12e – 42e84

= 9

9e84

= 9

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e = 84 anos de existência.

Resposta: Letra D.

Ficamos por aqui. Bons estudos e até a próxima aula.

Abraços,

Karine

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3. Memorex

Números Descrição Exemplos Inteiros São os números que não são

frações Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,

...}

OBS!

= não é um número inteiro

Naturais São os números inteiros positivos (inclusive o zero)

N = {0, 1, 2, ...}

OBS!

, -2 = não são números naturais

Racionais São os números (de qualquer sinal) que podem ser

expressados por frações

- = números racionais

1,333333... (e demais dízimas períodicas) = são números racionais

(1,333333... = )

OBS! 1,376983987... = não é

número racional = Número Irracional (são números que não são dízimas periódicas e

possuem número infinito de casas decimais)

Reais São todos os números racionais e irracionais

Todos os números que vimos acima são reais

Intervalos Numéricos Tipo de intervalo Descrição Simbologia

Fechado Os dois extremos estão incluídos

[p;q] = {x R | p ≤ x ≤q}

Fechado à esquerda O extremo à esquerda está incluído, o extremo à direita está excluído

[p;q[ = {x R | p ≤ x < q}

Fechado à direita O extremo à direita está incluído, o extremo à

]p;q] = {x R | p < x ≤q}

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esquerda está excluído Aberto Ambos extremos estão

excluídos ]p;q[ = {x R | p < x <

q} Semifechado O intervalo vai de infinito

até um valor p ou q, incluindo estes

]- ;q] = {x R | x ≤ q}

(neste caso, x é menor ou igual a q)

[p;+ ] = {x R | x ≥p}

(neste caso, x é maior ou igual a p)

Semiaberto O intervalo vai de infinito até um valor p ou q,

excluindo estes

]- ;q[ = {x R | x < q}

(neste caso, x é menor do que q)

]p;+ [ = {x R | x > p}

(neste caso, x é maior do que p)

Fatores não comuns a todas as fatorações

Entra no cálculo do MMC

REGRA DE OURO DO MMC

Entra no cálculo do MMC com o maior expoente

Fatores comuns a todas as fatorações

=

+

DivisorDividendo

QuocienteResto

x

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1º Potenciação e Radiciação

PRIORIDADE DE RESOLUÇÃO DE OPERAÇÕES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Multiplicação ou Divisão

3º Adição ou Subtração

1º Parênteses ( )

PRIORIDADES – PARÊNTESES, COLCHETES E CHAVES EM UMA EXPRESSÃO

ALGÉBRICA

2º Colchetes [ ]

3º Chaves { }

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4. Lista das questões abordadas em aula

Questão 1 – FCC/TCE-SP/AFF/2010

De gosto muito duvidoso, Alfonso, a fim de distrair-se, estava escrevendo a sucessão dos números naturais – começando do zero - quando sua esposa o chamou para jantar, fazendo com que ele interrompesse a escrita após escrever certo número. Considerando que, até parar, Alfonso havia escrito 4 250 algarismos, o último número que ele escreveu foi (A) 1 339. (B) 1 353. (C) 1 587. (D) 1 599. (E) 1 729.

Questão 2 – FCC/TCE-SP/AFF/2010

Considere que os números inteiros que aparecem na tabela abaixo foram dispostos segundo determinado padrão.

1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 0 2 4 6 8 7 9 11 13 15

14 16 18 20 22 21 23 25 27 29 28 30 32 34 36

Se esse padrão fosse mantido indefinidamente, qual dos números seguintes com certeza NÃO estaria nessa tabela?

(A) 585 (B) 623 (C) 745 (D) 816 (E) 930

Questão 3 – FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2010

Desenvolvendo obtém-se um número da forma x + y z , em que x, y e z são racionais. Nessas condições a soma x + y + z é um número

(F) cubo perfeito. (G) menor que 50. (H) primo. (I) maior que 70. (J) divisível por 6.

Questão 4 – FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2010

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Sabe-se que se i é unidade imaginária do conjunto dos números complexos, então, para cada número natural n, a potência in é igual a 1, i, -1 ou - i.

Usando essa informação, é correto afirmar que a soma é igual a:

(A) 0 (B) -1 – i (C) 1 + i (D) 1 – i (E) i - 1

Questão 5 – FCC/BAHIAGÁS/Analista de Processos Organizacionais/2010

Considere:

O resultado da operação + é:

Questão 6 – FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira/2010

Em uma seção do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo trabalham 23 pessoas, entre homens e mulheres. Se, nessa seção, 5/14 do número de funcionários do sexo masculino usam óculos, a quantidade de mulheres é um número

(A) par.

(B) primo.

(C) menor que 7.

(D) maior que 10.

(F) quadrado perfeito.

Questão 7 – FCC/TRT 12a Região/Técnico Judiciário/2010

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Sejam x e y números inteiros e positivos tais que a fração x/y é irredutível,

ou seja, o máximo divisor comum de x e y é 1. Se então x + y é igual a

(A) 53. (B) 35. (C) 26. (D) 17. (E) 8.

Questão 8 – FCC/BB/Escriturário/2011

Gertrudes e Rubem - funcionários de uma Agência do Banco do Brasil - receberam, cada um, uma mesma quantidade de folhetos para a divulgação de serviços e produtos oferecidos pelo Banco. Sabendo que, se Gertrudes repassar a terça parte de seu total de folhetos para Rubem, então ele terá que distribuir 64 folhetos a mais do que ela. É correto concluir que o total de folhetos que cada um recebeu inicialmente é um número compreendido entre

(A) 10 e 25. (B) 25 e 50. (C) 50 e 75. (D) 75 e 100. (E) 100 e 125.

Questão 9 – FCC/BB/Escriturário/2011

Se x é um número inteiro positivo tal que seja um número inteiro, então,

(F) existem infinitas possibilidades distintas para x. (G) x é múltiplo de 12. (H) x é maior do que 84. (I) x tem oito divisores. (J) E pode ser maior do que 2.

Questão 10 – FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira/2010

Em uma viagem de turismo à Argentina, Estanislau ficou fascinado com as máquinas de caça níqueis de um cassino e, sabendo que poderia usar moedas brasileiras, resolveu testar a sua sorte em uma máquina. Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso: teve sorte e duplicou a quantia que tinha colocado na máquina; entretanto, logo a seguir, perdeu 4 reais. Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia com que ficara, mas, em seguida, perdeu outros 4 reais. Na quinta jogada, de novo a sorte duplicou a quantia com que ficara, após o que perdeu mais 4 reais. Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda, então, antes de

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começar a jogar, o total de moedas que tinha no bolso totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre

(A) 2,25 e 3,00. (B) 3,00 e 3,75. (C) 3,75 e 4,50. (D) 4,50 e 5,25. (E) 5,25 e 6,00.

Questão 11 – FCC/TRE-AC/Técnico Judiciário/2010

Simplificando-se a expressão

obtém-se um número:

(F) quadrado perfeito. (G) divisível por 5. (H) múltiplo de 6. (I) primo. (J) ímpar.

Questão 12 – FCC/TCE-GO/Téc. Jud./2009

A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 27da sua receita anual

seja aplicada em educação. Daquilo que sobra, 35 deve ser destinado à saúde.

Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante é dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com transporte e habitação. Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com transporte e habitação, pode-se concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, foi

(A) 600 (B) 1.200 (C) 1.500 (D) 2.100 (E) 3.000

Questão 13 – FCC/TCE-GO/Téc. Jud./2009

Certo mês, do total de equipamentos que estavam em uma oficina, sabe-se

que: 38 foram reparados por Eustáquio,

512por Alceste e os demais por Corifeu.

Assim sendo, nesse mês, o total de equipamentos reparados nessa oficina poderia ser igual a

(A) 36

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(B) 40 (C) 60 (D) 72 (E) 84

Questão 14 – FCC/TCE-AM/ACE/2008

Um cidadão viveu a sexta parte da sua existência como criança, um doze avos como jovem e uma sétima parte como adulto solteiro. Seis anos após ter se casado comprou um iate no qual viveu com a esposa por exatamente a metade da sua existência. Vendeu o iate tendo vivido ainda três anos. Quantos anos viveu o cidadão?

(A) 56 (B) 63 (C) 72 (D) 84 (E) 96

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5. Gabarito

1 – A

2 – C

3 – A

4 – E

5 – D

6 – E

7 – A

8 – D

9 – D

10 – B

11 – C

12 – D

13 – D

14 – D