MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO · 6/8/2003 · Matemática - Problemas, questões, ... O raciocínio lógico quantitativo é a matemática cobrada por situações

ConcursosPúbSicos , Bruno Viliar

MATEMÁTICA E

RACIO CÍNIO LÓGICO

QUANTITATIVO

Teoria e treinamento prático

e d ; i t o r a Gjupa MÉTODOEditoról

SAO PAULO

© EDITORA MÉTODO Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional

Rua Dona Brigida, 701, Vila Mariana - 04111-081 - São Paulo - SP Tel.: (11) 5CÍ80-0770 / (21) 3543-0770 - Fax: (11) 5080-0714

Visite nosso site: vwww.ediiorametodo.coin.brmetodo@grupogen. com.br

Capa:Marcelo S. Brandão

Foto de Capa:Rodolfo Clíx (íotosclixé terra.com.br)

CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ

Vi!lar, BrunoMatemática e raciocinio lógico quantitativo: teoria e treinamento prático / Bruno Villar. - Rio

de Janeiro: Forense; São Paulo: MÉTODO, 2009.

Bibliografia1. Matemática - Problemas, questões, exercicios. 2. Lógica simbólica e matemática -

Problemas, questões, exercícios. 3. Serviço público - Brasi! - Concursos. II. Título, lil. Série.

09*5251. CDD: 510CDU: 51

ISBN 978-85-309-3053-0

A Editora Método se responsabiliza pelos vicias; do produto no que concerne à sua edição (impressão e apresentação a fim ide possibilitar ao consumidor bem manuseá-lo e lê-lo). Os vícios relacionados à atualização da obra, aos conceitos doutrinários, às concepções ideológicas e referências indevidas são de responsabilidade do autor e/ou atuaüzador.Todos os direitos reservados. Nos termos da Lei que resguarda os direitos autorais, é proibida a reprodução total ou parcial de qualquer forma ou por qualquer meio, eletrônico ou mecânico, inclusive através de processos xerográficos, fotocópia e gravação, sem permissão por escrito do autor e do editor.

Impresso no Brasil Prínted in Brazil

2010

http://www.ediiorametodo.coin.br

Agradeço a Deus e aos mesfres pela iluminação m s momentos de escrita dessa humilde obrai

Dedico à minha família e aos meus amigos: João Neto, Ranilson Menezes, Falcão e Juliana Pinho, por todo o apoio fornecido e as palavras de carinho.

Agradeço também a Rafael Barreto, Pedro Barreto\ Cesar Tavolieri, Renato Saraiva, Isaías do Canno

Filho e Vauledir Ribeiro Santos.

Gostaria de dedicar esse frabalho especialmente aos meus queridos ahmos e à Editora Método^

por transformar esse projeto em realidade,

APRESENTAÇÃO

“Leva tempo para alguém ser bem-sucedido porque o êxito não é mais do que

a recompensa natural pelo tempo gasto em fazer algo direito. ” - Joseph Ross

Esta obra íem como objetivo eliminar os medos e dificuldades em relação à matemática e ao raciocínio lógico quantitativo.

O raciocínio lógico quantitativo é a matemática cobrada por situações problemas; a matemática, por sua vez, poderá ser vista, a partir da leitura desta obra, como uma matéria de aplicação de fórmulas.

Tivemos a preocupação de apontar todas as dicas e truques usados e explicados em sala de aula, expondo as matérias de maneira clara e objetiva, trazendo as questões mais cobradas em concursos públicos, voltadas para o que pedem o CESGRANRIO, CESPE, FCC, NCE, ESAF, entre outros.

Fique atento a essas dicas, pois elas têm a finalidade de ajudar a ganhar tempo na resolução das questões das provas e de entender como cada assunto é cobrado pelas bancas de concursos. Leia cada questão comentada com calma, questionando-se, e depois faça o treinamento do concursando. Se ;errar, relaxe a mente e tente de novo, pois “Matemática é uma questão de prática” (Bruno Villar).

Para qualquer dúvida ou sugestão: [email protected]: www.brunovillar.blogspot.com

B r u n o V il l a r

mailto:[email protected]

http://www.brunovillar.blogspot.com

SUMÁRIC

- introdução... ...................................................................... ........................ 1- Representação de um conjunto........ j.............................................. 1- Relação de pertinência ....................... i.............................................. 2- Reíação de inclusão..............................;.............................................. 2- Subconjunto ................................. ........................................................ 3

- Operações de conjuntos........................ i............................................... 3- União .......................................................i.............................................. 3

- Jntersecção ............................................. í.............................................. 4- Diferença ..... .......................................... 1.............................................. 4- Reunião de elementos ...................... i .............................................. 5

- Treinamento comentado................ .................................................. 5- Treinamento do concursando.......... i............................................... 9

- Critérios de dtvisibiüdade...................... l............................................... 11

- Números p rim os..................................... ................................................. 14- Reconhecimento de número primo J................................................. 14

~ Conjuntos numéricos ............................ ............ .................................... 15- Conjunto dos números naturais (N) .L............................................ 15

- Treinamento comentado.................. ;............................................... 15- Treinamento do concursando.......... i............................................... 18

~ Conjunto dos números inteiros (Z) ............................................... 22

X MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Villar

- Conjunto dos números racionais (Q ) ................................ 23- Conjunto dos números irracionais (l ou Q') ................... 25- Conjunto dos números reais (R) ......................................... 25

- Treinamenio finai do capítulo .......................................................... 26

- Mínimo Múltiplo Comum {M.M.C) ...................................................... 31- Cálculo do M.M.C. - Método simplificado .................................... 31- Problemas envolvendo o M.M.C. .............. ...... ................ ............... 33

- Treinamento comentado................ ........................................ 33- Treinamento do concursando ....... ........... ..................................... 39

- Máximo Divisor Comum (M .D .C )......................................................... 41- Cálculo do M.D.C.................................................................................... 41- Problemas.............................................................................................. 43

- Treinamento comentado .................... ................................... 44- Treinamento do concursando.......................................... .............. 46

- Fração .......................................................................................................... 48- Noção de fração ...................................................... ............................ 48- Operações de frações.................. ....................................................... 49

- Treinamento comentado ........................ .......................... . 51- Treinamento do concursando........................................................ 55- Treinamento final do capítulo .... .................................................... 58

- Equação do 1 g r a u ......................... ................................. ..................... 63- Cálculo de uma equação do 1.° grau ............................................. 63

- Problemas envolvendo equação do 1.° grau ................................ 65- Treinamento comentado ........................................................ 66- Treinamento do concursando......................................................... 77

- Sistema de equações do 1 ,° g ra u ........................................................ 80- Cálculo de um sistema de equação com duas variáveis................ 80

- Treinamento comentado ......................................................... 82- Treinamento do concursando......................................................... 87

SUMÁRIO XI

1

- Equação do 2 ° g ra u ....................................... 90

- Resolução de uma equação do 2 ° grau .. 91- Equações incompletas................................ 91

- Equação completa ...................................... 92- Treinamento comentado.......................... 99- Treinamento do concursando .................. 103- Treinamento finai do capítulo ................. 106

| g B T i £ m f f M Í M N ^ E I R A - BÁSICA-';:;-.::

• Ir

Razão.............................................. .............................................................. 113- Razões especiais ................................................................................. 113

- Treinamento comentado.................................................................. 114- Proporção.............................................................................................. 114

- Propriedade fundamental da proporção....................................... 115- Treinamento comentado ................................................................. 115- Treinamento do concursando......................................................... 121

Números proporcionais.......................................................................... 124- Números diretamente proporcionais.............................................. 124- Números inversamente proporcionais ........................................... 124- Divisão em partes proporcionais..................................................... 124- Divisão em partes diretamente proporcionais ............................. 124

- Treinamento comentado.................................................................. 125- Divisão em partes inversamente proporcionais............................ 126

- Treinamento comentado...... ......... ................................................. 126~ Treinamento do concursando.......................................................... 128

Divisão composta .................................................................................... 131- Treinamento comentado.................................................................. 131- Treinamento do concursando.................. ..... .................................. 133

Grandezas................................................................................................... 134- Grandezas diretamente proporcionais ............................................ 134- Grandezas inversamente proporcionais.......................................... 135- Regra de três simples......................................................................... 135- Passos utilizados na resolução de uma regra de três simples .... 136

- Treinamento comentado.................................................................. 136- Treinamento do concursando.......................................................... 139

xn MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

- Regra de três com posta.......................... ............................................... 141- Treinamento comentado.................. ............................................... 142- Treinamento do concursando ............. :..r............................ 145

i- Porcentagem ............................... .............. ............................................... 147

- Treinamento comentado.................................................................. 150- Treinamento do concursando.......... ............................................... 154

- Transformação de fração em porcentagem................................... 157- Treinamento comentado................. i.............................................. 158

- Operações comerciais......................................................................... 159- Treinamento comentado.............. .................................................. . 160- Treinamento do concursando......... ,.............................................. 162

- Desafios de porcentagem................... i............................................. 163

~ Juros Sim ples............................................ ............................................... 167- Noções iniciais (Nomenclatura atual) i....................... ...................... 167- Capitalização Simples {juros simples) i............................................. 167

- Treinamento básico comentado.....;......... ..................................... 168- Treinamento comentado................. i.......... ................................... 169- Treinamento do concursando..........i...................................... ....... 174

- Juros Compostos .................................. ;............................................. 176- Treinamento comentado................. ;....... ................... .................. 177- Exercício do concursando................ ............................................... 179- Treinamento finai do capítulo ......... ............................................... 181

- Função polinomial do 1.° grau ................ ;........................................... 189- Definição ................................................... .... :..................................... 189

- Treinamento comentado....... ........................................................... 189

- Construção do Gráfico ...................................................................... 191- Treinamento comentado ................... ............................................... 192- Treinamento do concursando.......................................................... 197

- Função poiinomíaí do 2 ° grau ou quadrática ................................. 198

- Definição ............................................... ............................................... 198- Gráfico ................................................... ............................................... 198

- Zero e Equação do 2 ° G rau ............. ............................................... 199

- Coordenadas do vértice da parábola ............................................. 200

SUMÁRIO XIII

- Treinamento comentado...................;...................... ...................... 201- Treinamento do concursando...........;............................................ 204- Treinamento final do capítulo ..........i............................................. 205

Seqüências numéricas ........................„..á............................................... 211- Treinamento comentado ............... ..... ............................................. 212- Treinamento do concursando....... .....i..,.,......................................... 215

Progressões Aritm éticas.............. ............i.............................................. 216- Cálculo da razão ................................................................................. 216- Fórmula do termo geral de uma P.A. i............................................. 217

- Treinamento comentado............... ..................... .............................. 217- Soma dos "n" primeiros termos de uma P.A................................... 219

- Treinamento comentado.......- Treinamento do concursando

219222

Progressões Geométricas................................ ....................................... 224- Cálculo da constante da RG............. ....L........................................... 224

~ Fórmüia do termo geral ...................... ;............................................. 225- Treinamento comentado.............. ;............................................. 225

- Soma dos "n" primeiros termos de uma RG..................................... 226- Soma idos infinitos termos de uma RG........................................

- Treinamento comentado.............. i..........................................- Treinamento do concursando............ i..........................................

226227228

- Treinamento final do capítulo ..... „ .J .............................................. 229

mm

Princípio'Fundamentai de Contagem (PFC) ................................... 233- Treinamento comentado ................... i..... ......................................... 234- Treinamento do concursando..... .......................... .......................... 245Fatorial ......................................... .....i.......................................... 247- Treinamento básico ........................ .....1............................................ 248- Treinamento comentado.............. ............................ ....................... 249Combinação.......................................................................................... 252- Treinamento comentado.............................................................. 253

XIV MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viliar

- Treinamento do concursando........................................................... 259- Permutação ............................................................................................ 261~ Permutação sem repetição de elementos..................................... 261

- Treinamento comentado.................................................................. 262- Permutação com elementos repetidos.......................................... 262

- Treinamento comentado....... ........................................................... 263- Permutação circular.......................................... ................................. 263

- Treinamento comentado................................................................... 263- Treinamento do concursando....... .............. ..................................... 264

- Probabilidade ....................................................................................... 267- Conceitos iniciais ................................................................................ 267- Probabilidade de ocorrer um evento P(A) .................................... 268

- Treinamento comentado .................................................................. 268- Probabilidade da união de dois eventos: regra da adição ou regra

do "ou".................................................................................................... 269- Treinamento comentado...........i....................................................... 270

- A probabilidade de dois eventos P (A O B): regra da multiplicação ou regra do "e".................................................... ..................... 271

- A probabilidade de dois eventos............... .................................... 271- Probabilidade condicional ................................................................. 275

- Treinamento comentado........................... ...................................... 27S- Treinamento do concursando......................................................... 278

- Distribuição binomial das probabilidades.............. ....................... 279- Treinamento comentado.......................... ....................................... 279- Treinamento do concursando ......................................................... 280- Treinamento do concursando......................................................... 281

- Sistema métrico decimal ............................................................ 287

- M e tro .................................................................................................... 287

- Múltiplos e submúltiplos do m e tro ....................................................... 287

- Medidas de te m p o .................................................................................. 288- Múltiplos e submúltiplos do segundo................................................ 289

- Medidas de massa.................................................. ............................ . 289- Quilograma ..................................................................................... 289

SUMÁRIO XV

- Múltiplos e submúltipios do g ram a................................................. 290

- Superfície e área ....................................................................................... 290- Metro quadrado ................................................................... ................ 290

- Medidas de v o lu m e ................................................................................. 290- Metro cúbico ......................................................................................... 291- Múltiplos e submúitlplos do metro cúbico ..................................... 291

- Treinamento comentado................................................................... 291- Treinamento do concursando.......................................................... 292

- Figuras planas ................... .......... ............................................................. 294- Triângulo ................................................................................................ 294- Quadrado............................................................................................... 295- Retângulo .............................................................................................. 295- Trapézio .................................................................................................. 296- Circunferência ....... ............................................................................... 296- Área do círculo ..................................................................................... 297

- Figuras espaciais ...................................................................................... 297~ Prisma ......... .................................................................... ....................... 297- Áreas ....................................................................................................... 297- Paralelepípedo ...................................................................................... 298- Cubo ....................................................................................................... 299- Cilindro................................................................................................... 299- C one........................................................................................................ 300~ Pirâmides................................................................................................ 302- Esfera ...................................................................................................... 303

- Treinamento comentado .................................................................. 303- Treinamento final do capítulo ................ .......................................... 305

- M a tr iz ........ .................................................................................................. 311

- Introdução............................................................................................ 311

- Notação geral....................................................................................... 312

- Forma genérica de uma matriz........................................................ 313- Construção de uma matriz a partir de uma lei de formação...... 315

- Treinamento Comentado ................................................................ 315

XVI MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W/ar

Classificação das m atrizes........................ ............................................. 316

- Operações envolvendo matrizes.......... ;....................................'........ 316

- Igualdade de matrizes..................... ................................................... 319

Operações de matrizes........................................................................... 319

r Adição ............................ ........................ .............................................. 319- Multiplicação de um número real por uma m atriz..................... 320

- Multiplicação ......................................... i.............................................. 320- Treinamento comentado.................... i................. ........................... 322- Treinamento do concursando.......................................................... 326

Determinantes................................................... ........................................ 328

- Determinante de 1.3 o rdem .................. ............................................. 328

- Determinante de 2.a ordem ................i............................................. 328- Treinamento comentado..................... ......................................... . 329

- Determinante de matriz de 3.a ordem ........................................... 330- Treinamento comentado..................... ........................................... . 331

Propriedades dos determ inantes........... ............................................. 332

- 1. Matriz Transposta ........................................................................... 332

- 2. Fila Nula ............................................. ............................................ 332

- 3. Multiplicação de uma fila por uma constante .......................... 332

- 4. Multiplicação de uma Matriz por uma constante...................... 333

- 5. Filas paralelas iguais ........................ ............................................. 334

- 6. Filas paralelas proporcionais .................... ............ ...................... 334

- 7. Troca de filas paralelas.. ............................. .................................. 334

- 8. Produto de Matrizes......................... .............................................. 334

- 9. Matriz triangular............................... .............................................. 335- Treinamento comentado.................... ............................................. 335- Treinamentodo concursando ............................................................ 342

Matriz inversa {A'1) ............................... ...... ............................................. 344

- Método do concursando..................... 4 ........................................... 344- Treinamento do concursando..............J............................................ 345

Noções de geometria p lan a ......................:............................................ 346

- Ângulos....................... ........................................................................... 346

- Triângulos ................... .......................................................................... 348

- Semelhança de Triângulos ................................................................. 349

- Relações Métricas no Triângulo Retângulo .................................... 350

SUMÁRIO XVII

- Teorema de Pítágoras: a2 = b2 + c2 ................................................... 350

- Quadriláteros ............... ............................~......................................... 351- Paraieiogramo ......................................... ............................................ 351- Paraieiogramos Notáveis............ ................ ..................................... 351- Polígonos reguiares............................ .....1......................................... 352- Principais polígonos reguiares......................................................... 352

- Treinamento comentado ..... .............. .....i.......................................... 356

- Estiío FCC - Raciocínio lógico quantitativo...................................... 361

- Estilo ESAE - Raciocínio quantitativo 373

C O NJUNTO S

INTRODUÇÃO

Não existe uma definição de conjunto, pois se trata de um conceito primitivo. Mas podemos dizer que conjunto é uma reunião de elementos que possuem uma propriedade comum.

Representação de um conjunto

1. Enumeração dos elementos Exemplo: A = (0, 1,2, 3, 4}

2. Diagrama de Venn Exemplo:

3. Uso de uma propriedadeExemplo: o conjunto Á = (janeiro, junho, julho} pode ser represen

tado da seguinte forma:A = (x/x é mês do ano cujo nome começa pela letra j }

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brnno Vtilar

Essa propriedade usada deve ser uma propriedade comum e que permita a outra pessoa descobrir os elementos.

Conjunto vazioi é um conjunto que não possui elementos. E representado por { } ou 0 .

Cuidado: {0 } essa forma representa um conjunto unitário.

Conjunto unitário: é um conjunto que ipossui apenas um elemento.

Relação de pertinência

Essa relação é utilizada para sabermos se um elemento pertence ou não a um conjunto qualquer.

Símbolos: e pertence e não pertence.Esses símbolos só podem ser usados na relação de elementos.

Exemplo:

Dado o conjunto A = {.0, 1, 2, 3, 4,j 5}, temos as seguintes relações:

1 e A e 7 í A

A ordem é elemento - símbolo - conjunto (1 e A)

Relação de inclusão

Essa relação é usada para saber se um conjunto está contido no outro.

Símbolos: cr está contido e <t não está contido3 contém e D não contém

A c B ou B d A

Dica: A "boca" é voitada para o conjunto maior.

Cap. 1 - CONJUNTOS 3

Essa relação é usada somente entre conjuntos, por isso:1 <z A não existe, pois o símbolo de inclusão não pode ser usado

na relação entre elemento e conjunto.{1} c A - essa é a relação verdadeira.

Subconjunto

Subconjunto:! quando todos os elementos ide um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A c: B.

Observações:

• Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja, A cr A.° O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto,

ou seja, { } c: A.

O número de subconjuntos de um conjunto A é dado pela fórmula: 2n, em que n representa a quantidade de elementos distintos de um conjunto A.

Determine a quantidade de subconjuntos que podemos formar a partir do conjunto A =! {a, b, c, d}.

Resolução:O conjunto A possui 4 elementos distintos, logo: 24= 22.2.2 = 16

subconjuntos.

OPERAÇÕES DE CONJUNTOS

União

Dados os conjuntos A e B, define-se como união deles o conjunto representado por A u B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, ou seja: A u B = {x/x e A ou x e B}.

4 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

A U 8

Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e o conjunto B - {3, 4, 5}. Determine o conjunto A U B.

Resposta: A U B — {I, 2, 3, 4, 5}

Intersecção

Dados os conjuntos Ae B, define-se como intersecção deles o conjunto representado por A n B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B , simultaneamente, ou seja: A n B = {x/x e A e x e B}.

a r \ B

Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e o conjunto B = {3, 4, 5}. Determine o conjunto A n B.

Resposta: A n B = {3}

Diferença

Dados os conjuntos A e B , define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja, A - B = (x/x e A e x B}.


A-B

Considere o conjunto A = (1, 2, 3} e o conjunto B - (3, 4, 5}. Determine o conjunto A - B .

Resposta: A - B = {1,2}

Reunião de elementos

n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B)

Esse tipo de questão pode ser respondido pelo diagrama lógico.

Treinamento comentado

1. Uma empresa divide-se unicamente em dois departamentos A e B. Sabe-se que19 funcionários trabalham em A, 13 funcionários trabalham em B e existem 4 funcionários que trabalham em ambos os departamentos. O total de funcionários dessa empresa é:(A) 24(B) 28(C) 30(D) 34(E) 38

RESOLUÇÃO:í.° degrau: resumo do enunciado.

A = 19, B = 1 3 e A e B = 4

2 ° degrau: montagem do diagrama.

Dica: sempre começar pela intersecção.


AB

Conclusão:Somente A = 15 *Somente B = 9A e B ao mesmo tempo = 4Total: 15 + 9 + 4 = 28. Resposta: ietra B.

2. (FCC) Uma pesquisa com os funcionários de uma empresa sobre a disponibilidade de horário para um dia de jornada extra (sábado e/ou domingo) é mostrada na tabela abaixo:

Disponibilidade quantidade de funcionáriosApenas sábado 25No sábado 32No domingo 37

Dentre os funcionários pesquisados, o totaí dos que manifestaram jornada extra “apenas” no domingo é igual a:(A) 7(B) 14(C) 27(D) 30(E) 37

RESOLUÇÃO:1° degrau: resumo do enunciado.

Apenas no sábado 25, no sábado 32 e no domingo 37.Como no sábado são 32 e apenas no sábado 25, logo 7 trabalham sábado e domingo. ■

■D

Sendo assim, somente no domingo 30. Resposta: letra D.

C ap .1 -C O N JU N T O S 7

3. (CESPE) Considere que os livros L, IVl e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatosque se preparam para esse concurso usando esses livros revelou que:

10 candidatos utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N;90 utilizaram o livro L;20 utilizaram os íivros L e M;25 utilizaram os livros M e N ;15 utilizaram os três iivros.

Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itensseguintes.1) Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L

e M.2) Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses

livros.3) Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses

livros.4) O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi

inferior a 105.

RESOLUÇÃO:J°degrau: resumo do enunciado.

10 candidatas utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N;90 utilizaram o livro L;20 utilizaram os livros L e M;25 utilizaram os livros M e N ;,15 utilizaram os três livros.

2.° degrau: construção do diagrama.

8 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTiTATIVO - Bruno Villar

Vamos agora encontrar a intersecção dos conjuntos.

Podemos observar que o espaço L e N não foi fornecido, mas pode ser cal-

Falta encontrar o espaço somente M. Agora, iremos subtrair o total de elementos pelos elementos utilizados. 200 escolheram pelo menos um livro.

M = 200 - 15 - 60 - 10 - 5 - 10 - 20 = 80

Conclusão:

Somente L - 10.

Somente M = 80.

Somente N ■== 20.

Somente L e M = 5.

Somente L e N = 60.

Somente M e N = 10.

Os três livros = 15.


1) Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M.

Item errado, foram 5.

2) Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros.

Nesse caso, devemos somar todos que usaram somente L ou somente M ou somente N.Resultado: 10 + 80 + 20 =110, item certo.

3) Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros.

Nesse caso, pelo menos 2, podem ser 2 ou 3 livros.Resultado: 5 + 60 + 10 + 15 = 90. Item certo.

4) O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105.

Nesse caso, todos que usaram o livro M. Se fosse somente M a resposta seria 80. Resultado: 80+ 5 + 10 + 15 = 110. Item errado.

Treinamento do concursando

1. (CESPE) Suponha que, dos usuários da Internet no Brasil, 10 milhões naveguempor meio do Internet Explorer, 8 milhões, por meio do IVJoziila e 3 milhões, por ambos, Mozilla e Internet Explorer. Nessa situação, o número de usuários que navegam pelo Internet Explorer ou pelo R/Jozilia é igual a 15 milhões.

2. Em uma cidade há apenas três jornais: X, Y e Z, Uma pesquisa de mercado sobrea preferência de leitura da população da cidade revelou que: 150 leem o jornal X; 170 leem o jornal Y; 210 leem o jornal Z; 90 não leem jornal algum; 10 leem os três jornais; 40 leem os jornais X e Y; 30 leem os jornais X e Z; 50 leem os jornais Y e Z . O total de pessoas entrevistadas foi 510. y .

3. Considere que um conjunto de empregados de uma empresa tenha respondidointegralmente ao teste apresentado e tenha sido verificado que 15 deles fizeram uso da opção “às vezes", 9 da opção “raramente” e 13 da opção “sempre”. Além disso, 4 desses empregados usaram as opções “às vezes" e "raramente”, 8 usaram as opções “às vezes” e "sempre”, 4 usaram as opções “raramente” e “sempre”, e 3 usaram “às vezes”, "sempre” e “raramente". Nessa situação, é correto afirmar que menos de 30 empregados dessa empresa responderam ao teste.


4. Denota-se respectivamente por A e B o conjunto de todos os atletas da delegação olímpica argentina e brasileira em Atenas, e por M o conjunto de todos os atletas que irão ganhar medalhas nessas Olimpíadas. O diagrama mais adequado para representar possibilidades de intersecção entre os três conjuntos é:

< 0 2 3

O o >M

GABARITO

01 - c 02 - C

03 - C 0 -A 1 m


CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

É possíve! esíabelecer algumas regras que permitem verificar se umnúmero natural qualquer é divisível por outro, de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando o0, 2, 4, 6 ou 8. Os números divisíveis por 2 pares.

1.540, 1.908.764...

Essas regras são chamadas

Exemplo: 22,

* Divisibilidade por 3

algarismo da unidade for são denominados números

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo: 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6, que é divisível por 3.

• Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois algarismos'da direita for divisível por 4 ou terminar em 00.

Exemplo: 124 termina em 24, que é divisível por 4.


Um número é divisível por 5 quando o último algarismo da unidade for 0 ou 5.

Exemplo: 15,.125, 1:050...

• Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.

Exemplo: 180 é divisível por 2 e por 3, logo também é divisível por 6.

12 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÚGICO QUANTITATIVO - Bruno Vrilar

8 Dívisibilidade por 7

Para descobrir se um número é divisível por 7, devemos realizar o seguinte processo: (

Retirar o algarismo da direita e subtrair o dobro do algarismo da direita pelo número restante; se o resultado obtido for divisível por 7, então o número é divisível por 7.

Exemplo:245O último algarismo da direita é o cinco.24 - 2.5 = 24 - 10 = 14, que é divisível por 7.Não esqueça: dobrar é multiplicar por 2.

° Dívisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo: 135 é divisível por 9, pois 1 + 3 + 5 = 9, que é divisível por 3.

• Dívisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando o último algarismo da unidade for 0.

Exemplo: 120, 1.450.

Esses critérios servem de auxílio na parte de simplicação de fração.Simplificar é dividir os termos de uma fração por um mesmo nú

mero.

Exemplo: = -y8 ‘ 4

Somente é permitido simplificar em dupla, ou seja, dividir o número de cima e o de baixo por um mesmo número.

Exemplo: - l £ f l - = ^6 6 3


Como escolhemos os números 14 e 6 para simplificar, o número 10 deve ser mantido, pois não há outro número para simplificar em dupla.


Para descobrir se um número é divisível por 11, devemos realizar o seguinte processo:

Retirar o algarismo da direita e subtraí-lo do número restante; se o resultado obtido for divisível por 11, então o número é divisível por 11.

Exemplos:

a) 12112 — 1 = 11

b) 1331133 — 1 = 132

Se, ainda assim, você não tiver certeza de que o número é divisível por 11, poderá repetir o processo com o resultado obtido:

13213 - 2 = 11

° Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 quando o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar em um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13.Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, com a diferença de que, nesse caso, utilizamos a soma em vez da subtração.

Exemplo: 11711 + 4.7 = 11 + 28 - 3939 é divisível por 13, logo 117 é divisível por 13.


° Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando for divisível por 3 e 5 ao mesmo tempo. j

Exemplo: 180 é divisível por 3 e por 5, logo também é por 15.

NÚMEROS PRIMOS

São números que possuem apenas dois divisores: o 1 e o próprio número.

Exemplos de números primos:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...

SE LIGUE!O número 2 é o único número primo par.O número 1 não é primo.

Reconhecimento de número primo

Esse método garante se o número é primo ou não.

Exemplo:

O número 103 é primo?

Vamos aprender o processo de reconhecer- se um número é primo.

1.° Passo: calcular a raiz quadrada do número.

VÍÕ3 = 10O número 103 não possui raiz quadrada exata, logo, passou pela

primeira etapa.

2.° Passo: dividir o número 103 pelos números primos menores que 10 (resultado da raiz), os quais são: 2, 3, 5 e 7.


103 : 2 = Não.O número 103 termina em 3, logo não é divisível por 2.

103 : 3 = Não.A soma dos algarismos de 103 é 1 + 0

por 3.+ 3 = 4 e 4 não é divisível

103 : 5 = Não.O número 103 termina em 3, logo não e divisível por 5.

103 : 7 = Não.10 - 2.310 - 6 = 4 ç 4 não é divisível por 7.

Como o número 103 não é divisível por nenhum dos números, então podemos garantir que ele é um número primo.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos números naturais (N)

Os números naturais são usados para quantificar e ordenar os elementos de uma coleção e também como código para identificar pessoas, bem como números de telefones, RG etc. O conjunto dos números naturais pode ser representado da seguinte maneira:

N = (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

SE LIGUE! |O conjunto dos números naturais é cobrado em questões que envolvem contagem de números de páginas ou dias da semana. ;


1. (CEF-2004) Um livro tem 300 páginas, numeradas de 1 a 300. A quantidade de vezes que o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro é:(A)160

16 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno W/ar

(B)154(C)150(D)142 {E)140

RESOLUÇÃO:De 1 a 99, o algarismo 2 aparece 20 vezes.Obs.: 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25/26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.

Vamos dividir o intervalo de 1 a 300 em centenas.1 a 99 = 20100 a 199 = 20200 3 299 = 100 + 20 = 120

Cuidado: no intervalo de 200 a 299, temos 100 números e o algarismo 2 vem semprena primeira posição, por isso aparece 100 vezes.Não podemos esquecer de que o algarismo 2 também vai aparecer na segunda eterceira posições {200 a 299), logo mais 20 vezes.

Resposta: 20 + 20 + 120 = 160.

2. (TRF/FCC) Um técnico, responsável pela montagem de um livro, observou que, na numeração de suas páginas, haviam sido usados 321 algarismos. O número de páginas desse livro era:(A) 137(B)139(C)141(D)143(E)146

RESOLUÇÃO:

Números Quantidade de algarismos

í a 9 (9 números de um algarismo) 1 .9 = 9

10 a 99 {90 números de dois algarismos) 2 . 90 = 180

Podemos concluir que utilizamos 180 algarismos para escrever 99 números (1 a 99).Se escrevermos até o número. 99, então o próximo número será 100; passaremos, assim, a usar 3 algarismos em cada número.

rCap. 1 - CONJUNTOS 17

Tínhamos 321 e gastamos 189, logo: 321 - 189 = 132.Não esqueça de que agora iremos escrever números de 3 algarismos (100,101,102...) , ;

x é número de 3 algarismos.

3.x = 132 'x= 132 = 4 4 ■■■ ■■ ■

344 números de 3 algarismos.

Resposta: 99 + 44 = 143.

SELiGUE! ■-A fórmuia é: o número de algarismos do número vezes a quantidade de números, sendo o resultado o total de algarismos.Exemplo:De 10 a 99 temos 90 números de 2 algarismos cada.2 . 90 = 180 (total de algarismos utilizados).

3. (FCC) Se o dia 08 de março de um certo ano foi uma terça-feira, então o dia 30 de juiho desse mesmo ano foi{A} uma quarta-íeira.(8) uma quinta-feira.(C) uma sexta-feira.(D) um sábado.{£) um domingo.

RESOLUÇÃO:

Terça Quarta Quinta Sexta Sábado j Domingo Segunda1 ; 2 3 4 ■ 5 . 1 6 7

Março: 24 (contando dia 8)Abrii: 30Maio: 31Junho: 30Julho: 30Total de dias = 145

18 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

Vamos dividir 145 por 7, pois a semana tem 7 dias.145 1.7 • v05 205 ! .

Nesse caso temos 20 semanas e 5 dias.O dia 5 representa o sábado pela tabela iniciai. Resposta: letra D.


1. (TRT 6.a região - 06) Se X é o menor número natural que tem cinco algarismose Y é o maior número natural que tem quatro algarismos distintos, a diferença X - Y é um número:(A) divisível por 4(B) múltiplo de 6(C) maior que 150(D) quadrado perfeito(E) primo

2. (TRF) Um técnico, responsável pela montagem de um iivro, observou que, nanumeração de suas páginas, haviam sido usados 225 algarismos. O número de páginas desse livro era:(A) 111(B) 124(C) 141(D) 143(E) 146

3. (TRF-1.3 REGIÃO-2006) Assinale a alternativa que completa a série seguinte:C3, 6G, L10, ...(A) C4(B) 13M(C) 91(D) 15R(E) 6Y

4. (CEF) No diagrama abaixo tem-se o algoritmo da adição de dois números naturais,no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e W.1 2 X 5 Y + Z 3 0 21 7 4 W 1

Cap. 1 - CONJUNTOS 19I

Determinando-se; esses algarismos para que a soma seja verdadeira. Verifica-se que(A) X + Z = W(B) Y - W = X(C) X = 2(D) Y = 8(E) Z = 4

5. (INSS) Um motorista parou em um posto para abastecer seu caminhão com óleodiesel. Ele pagou com uma nota de R$ 100,00 e recebeu R$ 5,75 de troco. Se o litro do óleo diesel custava R$ 1,45, quantos litros ele comprou?(A) 55(B) 58(C) 65(D) 75 <E) 78

6. Um feirante compra maçãs ao preço de R$ 0,75 para cada duas unidades e asvende ao preço de R$ 3,00 para cada seis unidades. O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de R$ 50,00 é:(A) 40(B) 52 <C) 520(D) 400(E) 600

7. (TRF) Sgbe-se que um número inteiro e positivo N é composto de três algarismos. Se o produto de N por 9 termina à direita de N é:(A) 11(B) 12(C) 13(D) 14(E) 15

8. (TRT 4.a região - 06) No esquema seguinte têm-se indicadas as operações que devem ser sucessivamente efetuadas, a partir de um número X, a fim de obter- se como resultado finai o número 12.

subtrair 12 multiplicar por 3

por 824, a soma dos algarismos

É verdade que o número X é:

(A) primo.

20 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Wlar

(B) par.(C) divisível por 3.(D) múitiplo de 7.(E) quadrado perfeito

9. (FCC) X9 e 9X representam números naturais de dois algarismos. Sabendo-se que X9+9X-10Q é o número natural de dois algarismos ZW, é correto dizer que Z - W é igual a(A) 5(B) 4(C) 3(D) 2(E) 1

10. (PM-2007) Uma lesma encontra-se no fundo de um poço de 15 metros de profundidade. Suponha que durante o dia ela suba exatamente 3 metros e à noite, quando está dormindo, ela escorrega exatamente 1 metro pela parede do poço* Nessas condições, quantos dias essa lesma levaria para ir do fundo ao topo desse poço?(A) 10(B) 9(C) 6(D) 7<E) 6

11. (TRF-2.3 Região-2007) No esquema abaixo se tem o algoritmo da adição de dois números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas ietras A, B, C, D e E.

A 1 4 B 6 + 1 0 C 8 P

6 E 8 6 5

Determinando-se corretamente o valor dessas letras, então, A + B - C + D - E é igual a(A) 25(B) 19(C) 17(D) 10(E) 7

12. (PM-Maranhão-2006) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou o número 525. A seguir, foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número negativo. Quantas vezes ela apertou a tecla correspondente ao 6?(A) 93(B) 92(C) 88


(D) 87(E) 54

13. (TRT 4.a região - 06) Seja N um número inteiro cujo produto por 9 é iguai a um número natural em que todos os afgarismos são iguais a 1. A soma dos algarismos de N é:

(A) 27(B) 29(C) 33(D) 37(E) 45

14. (PM-20G7) Observe que na sucessão seguinte, os números foram colocados obedecendo a uma lei de formação:

4 8 S X 7 14 11

4 12 10 y 28 84 82

Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a(A) 40(B) 42(C) 44 (O) 46(E) 48

15. (TRT FCC 2006) Se um Hvro tem 400 páginas numeradas de 1 a 400, quantas vezes o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro?

(A) 160(B) 168(C) 170(D) 176(E) 180

GABARITO

1 - A 2 - A 3 - D

4 - A 5 - C 6 - D

7 - D 8 - E 9 - E

10 - C 11 - C 12 - C

13 - D 14 - A 15 - E

22 MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

Conjunto dos números inteiros (Z)

Os números inteiros - que podem ser: positivos ou negativos - são usados para reprejsentar ganhos ou perdas, para representar o oposto de um número ou o sentido contrário que se deve dar a uma dada trajetória.

O conjunto dos números inteiros podei ser representado assim:Z = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,

Subconjuntos de Z

Conjunto dos números inteiros não nulosZ* = -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos números inteiros não negativosZ = {0, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos números inteiros positivos Z \= {1, 2, 3, ...}

Conjunto dos números inteiros não positivos Z- — {—, -3, -2, -1, 0}

Conjunto dos números inteiros negativos Z-* = -3, -2, -1}

Operações com números inteiros

A) Adição de números inteiros.

A .l) Números com sinais iguais.Nesse caso conserva-se o sinal e somàm-se os números.

Exemplos:5 + 3 = 8 -4 - 3 = -7 -12 - 25 = -37


Você deve se perguntar: menos com menos não é mais? Essa regra só é utilizada na multiplicação ou divisão de números inteiros.

A.2) Números com sinais diferentes.Nesse caso conserva-se o sinal do número maior e efetua-se a sub

tração dos números.

Exemplos:5 - 3 = 2 -4 + 2 - -2 |12 - 35 = -23

B) Multiplicação ou divisão de números inteiros

Nesse caso lisamos o quadro de sinais:

~ - = +

- + = -

Exemplos:3.4 —'124. (-7) = -28 (-12).(-3) = 36

é positivo e, com sinais di-Resumo: com sinais iguais, o resultado ferentes, o resultado é negativo.

Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais (Q) podem ser representados em forma fracionária ou decimal, são usados em problemas que envolvem as partes de um todo, um quociente, a razão entre dois números inteiros etc.

Chama-se de número racional todo número que pode ser colocado na forma de fração p/q, com p Ç Z, q £ Z*.


:|'Todo número inteiro é racional.Ex: -2, -5, 0, 1, 2.

*Todo número- decimal exato é racional.Ex: 0,5 é racional, pois pode ser colocado na forma 5/10.

*Todo número decimal periódico é racional.Ex: 0,444=4/9 0,5555=5/9

*Dica: Transformar uma dízima periódica em fraçao.

A) Dízima periódica simples.Nesse caso, para cada algarismo do número que se repete embaixo

colocamos um 9.

a) 0,444...Nessa dízima, temos apenas um algarismo que se repete, o 4.0 444 — Û * 7 T T • • » -----

9

b) 0,243243243243...Nessa dízima, temos três algarismos que se repetem.

0,243243243243... = M L 999

B) Dízima periódica composta.número — pnp

Nesse caso devemos usar a fórmula: — ^----- q

PP P”P

PNP: parte não periódica, ou seja, não se repete.PP: parte periódica, isto é, se repete.

Para cada algarismo que se repetir colocamos um 9 e para cada algarismo que não se repetir colocamos um 0.

Exemplos:

a) 0,45555...

C ap .1-C O N JU N TO S 25

0 algarismo que se repete é o 5; parando no primeiro algarismo, temos o número 45 formado.

1 PP e 1 PNP

4 5 - 4 ^ ü 90 90

b) 0,2434343...O número que se repete é o 43, logo o número formado é 243.2 PP e 1 PNP

2 4 3 -2 = 241 990 990

c) 0,21424242...O número que se repete é o 42, logo o número formado é 2142.2 PP e 2 PNP

2142-21 = 2121 9900 9900

Conjunto dos números Irracionais (I ou Q’)

Os gregos antigos reconheciam uma espécie de número que não é nem inteiro nem fracionário, posteriormente identificado como irracional.

Qual o resultado da operação

4 l + V3= V5 Errado

j l . S = 46 Certo

Conjunto dos números reais (R)

De forma mais abrangente a esse universo de conjuntos numéricos, temos o conjunto dos números reais. O conjunto dos números reais é formado pela união dos racionais com os irracionais. R = Q u Q \

26 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VMar

Treinamento final do capítulo

1. (CEF CESGRANRIO 2008) Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111,quantas vezes o [algarismo 1 é escrito?(A) 481(B) 448(C) 420(D) 300(E) 289

2. (CEF FCC 2004) Uma pessoa, ao efetuar a multiplicação de 2 493 por um certonúmero inteiro, encontrou o produto 668 124. Só então notou que, ao copiar os números para efetuar a operação, ela trocou, por engano, o algarismo das dezenas do multiplicador, escrevendo 6 aoj invés de 3. Assim, o verdadeiro produto seria(A) 643 194(B) 618 264(C) 598 274(D) 593 334(E) 568 404

3. Considere um número N com exatamente dois algarismos diferentes de zero, eseja P o conjunto de todos os números distintos de dois aigarismos formados com os algarismos de N, incluindo o próprio N. A soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por(A) 2(B) 3(C) 5 (0) 7(E) 11

4. (FCC) Sendo x e y números naturais, o resultado da divisão de x por y, obtidocom auxílio de uma calculadora, foi a dt2ima periódica 3,333„.Dividindo-se y por x nessa calculadora, o resultado obtido será igual a(A) 1,111...(B) 0,9(C) 0,333...(D) 0,3(E) 0,111...

5. (FCC TRF 2006) Ao dividir o número 762 pon um número inteiro de dois algarismos, Natanael enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como resultado, obteve o quociente 13 e o resto 21. Se não tivesse se enganado e efetuasse corretamente a divisão, o quociente e o resto que ele obteria seriam, respectivamente, iguais a(A) 1 e 12


(B) 8 e 11(C) 10 e 12(D) 11 e 15(E) 12 e 11

6. (FCC) Observe a seqüência de contas:

1 2 + 3 . 5 - 1 = 1 6

2 2 - 4 . 5 - 2Í= -20

3 2 + 5 . 5 - 3 = 244 2 - 6 . 5 - 4Í— -32

5 2 + 7 . 5 - 5 = 32

Mantendo-se o padrao indicado, o resultado da conta correspondente à linha 437 será

(A) 1934(B) 1782(C) 1760(D) 1750(E) 2630

7. (FCC) O número i 0,0202 pode ser lido como(A) duzentos e dois milésimos.(B) duzentos e dois décimos de milésimos.(C) duzentos e dois centésimos de milésimos.(D) duzentos e dois centésimos.(E) duzentos e dois décimos de centésimos.

8. (CESGRANRIO) Observando o calendário de um certo ano, Gabriel percebeu que havia dois mesès consecutivos que totalizavam 60 dias, Se esse ano começa em uma segunda-feira, então termina em uma i(A) segunda-feira.:;(B) terça-feira.(C) quarta-feira.(D) quinta-feira.(E) sexta-feira.

9. (CESGRANRIO) Os anos bissextos têm, ao contrário dos outros anos, 366 dias. Esse dia a mais é colocado sempre no final do mês de fevereiro, que, nesses casos, passa a terminar no dia 29. O primeiro dia de 2007 caiu em uma

/i


segunda-feira. Sabendo que 2007 não é ano bissexto, mas 2008 será, em que dia da semana começará o ano de 2009?(A) Terça-feira.(B) Quarta-feira, j(C) Quinta-feira.(D) Sexta-feira.(Ê) Sábado.

10. (FCC) A figura indica um quadrado de 3 linhas e 3 colunas contendo três símbolos diferentes:

íinha

coiuna

Sabe-se que:- Cada símboio significa um número;

- A soma dos correspondentes números representados na 1.a linha é 16;

- A soma dos correspondentes números representados na 3.a coluna é 18;

- A soma de todos os correspondentes números no quadrado è 39;

Nas condições dadas, o valor numérico do símbolo © é:

(A) 8 <B) 6(C) 5(D) 3(E) 2

11. (FCC) No caixa de uma lanchonete há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos, sendo 15 unidades de cada tipo. Usando essas moedas, de quantos modos distintos uma pessoa pode receber de troco a quantia de R$ 1,00?(A) 9(B)8(C) 7(D) 6(E) 5


12. (FCC) Uma pessoa tem R$ 14,00 em sua carteira apenas em cédulas de 1, 2 e 5 reais, sendo menos uma de cada valor. Se X é o total de cédulas que ela possui, quantos são os possíveis valores de X?(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E)8

13. (FCC PM iViARANHAO 2006) Um refeitório dispõe de 102 lugares, alguns em mesas de 2 lugares e outros em mesas de 4 lugares. Se o número de mesas de 2 lugares é um múltiplo de 7, então o número total de mesas pode ser múltiplo de(A) 17(B) 15(C) 14(D) 10(E) 8

14. (TRT FCC 2006) Uma pessoa dispõe apenas de moedas de 5 e 10 centavos, totalizando a quantia de R$ 1,75. Considerando que ela tem pelo menos uma moeda de cada tipo, o total de moedas que ela possui poderá ser no máximo igual a(A) 28(B) 30(C) 34(D) 38(E) 40

15. De quantos modos é possível formar um subconjunto, com exatamente 3 elementos, do conjunto {1,2,3,4,5,6} no qual NAO haja elementos consecutivos?(A) 4(B) 6(C) 8(D) 18(E) 20

16. (ESAF) Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estudam canto é(A) exatamente 16.(B) no mínimo 6.(C) exatamente 10.(D) no máximo 6.(E) exatamente 6.

30 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W/ar

17. (ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios; O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possuí 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X H Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a:(A) 4(B) 6(C) 8(D) vazio(E) 1

18. (ESAF) Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no de inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é igual a(A) 30(B) 10(C) 15(D) 5(E) 20

19. (ESAF) Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646... em representação decimal?(A) 2.521 / 990(B) 2.546 / 999(C) 2.546 / 990(D) 2.546 / 900(E) 2.521 / 999

GABARITO

1 - B 2 - D 3 - E

4 - D 5 - C 6 - C

7 - 8 8 - B 9 - C

10 - E 11 - D 12 - B

13 - D 1 4 - C ; 15 - A

1 6 -B 17 - B 18 - A

1 9 - A

MÚLIIPliOS E DIVISORES

MINIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

O M.M.C. é o menor múltiplo comum de dois ou mais númerosnaturais, diferentes de zero.

Exemplo: Múltiplos de Múltiplos de

4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24...}6 = {6, 12, 18, 24, 30...} |:

O M.M.C. é 12 (menor múltiplo comum)

Cálcuío do M.M.C. - Método simplificado

Objetivo: procurar números comuns.

L°) Calcule p M.M.C. dos números abaixo:

A) 2 e 3

2, 3

1, 31, 1

Processo prático.Existe algum número que divide 2 e 3 ao mesmo tempo?

32 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÔG1CO QUANTITATIVO - Bruno Viiiar

Se a resposta for não, então o M.M.C. é o produto desses números. Logo, o M.M.C. de 2 e 3 é 6 (2.3 = 6).

B) 5 e 8 íExiste algum número que divide 5 e 8 ao mesmo tempo?

'Não! Logo, o M.M.C é 5.8 = 40.

C) 4 e 10

4, 10 2

2, 5

Existe algum número que divide 4 e 10 ao mesmo tempo?Sim! O número 2. Nesse caso, continuamos a divisão, pois temos

um número comum.

Existe algum número que divide 2 e 5 ao mesmo tempo? Não!Logo o M.M.C. é 2.2.5 = 20.

Obs.: Como não há número comum para 2 e 5, e pelo outro número2 ser comum, podemos dizer que o M.M.C. será o produto dos termos comuns com os termos que não são comuns.

D) 100 e 120Nesse caso, podemos cortar o número 0, pois ambos os números

terminam em 0.

Existe algum número que divide 10 e 12 ao mesmo tempo? Sim! O número 2.

10, 12

5, 6

Existe algum número que divide 5 e 6 ao mesmo tempo?Não! Não há número comum (não esqueça de que realizamos o

processo até encontrar os números que não possuem número divisível comum).

Cap. 2 - MÚLTIPLOS E DIVISORES 33

M.M.C = 2.5.6 = 60, porém o M.M.C. é 600 (acrescentando no final o algarismo 0, que foi cortado inicialmente).

E) 6, 8 e 10No caso de termos três números, devemos procurar os números co

muns em dupla.

Existe algum número que divide 6 e 8 ao mesmo tempo?Sim! O número 2.

6, 8, 10

3, 4, 5

Existe algum número que divide 3 e 4 ao mesmo tempo? Não!



Logo o M.M.C. é 3.4.5.2 = 120.

Problemas envolvendo o M.M.C.

Os problemas que envolvem o M.M.C. possuem as seguintes características:

- Situação repetitiva (cíclica), isto é, mantém o padrão.

- Afirma um encontro e pergunta sobre o próximo encontro.

Treinamento com entado

1. (TRT 24.a região - 03) Numa frota de veículos, certo tipo de manutenção é feita no veículo A a cada 3 dias, no veículo B a cada 4 dias e no veículo C a cada6 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 2 de junho de 2003 foi feita a manutenção dos três veículos, a próxima vez que a manutenção dos três ocorreu no mesmo dia foi em:(A) 05/06/03(B) 06/06/03 <C) 08/06/03


(D) 14/06/03(E) 16/06/03

RESOLUÇÃO:Situação repetitiva: cada 3, cada 4 e cada 6 dias.

3, 4 e 6

Existe algum número que divide 3 e 4 ao mesmo tempo? Não!Existe aígum número que divide 4 e 6 ao mesmo tempo? Sim! O número 2.

3, 4, 6 23, 2, 3

Não conta o número repetido, logo consideramos apenas 2 e 3.


M.M.C = 2.2.3 = 12 dias.02/06 + 12 dias = 14/06. .

Resposta: letra D. : v

2. (FCC) Vivaldo costuma sair com duas garotas: uma a cada 6 dias e a outra a cada 9 dias. Quando as datas coincidem, ele adia os encontros com ambas para 6 e 9 dias depois, respectivamente. Se em 18/05/98 ele adiou os encontros com duas, em virtude da coincidência das datas, a próxima vez que eie teve de adiar os encontros foi em:(A) 15/06/98(B) 12/06/98(C) 10/06/98(D) 06/06/98(E) 05/06/98

RESOLUÇÃO:Situação repetitiva. " ■

6, 9


6, 9 3 : A .2, 3 : ’

rCap. 2 - MÚLTIPLOS E DIVISORES 35


M.M.C = 2.3.3 = 18 dias. * '18/05 + 18 = 36/05, porém maio só tem 31 dias. Logo estamos em 05/06 (36-37 = 5)

Cuidado: Devemos observar se o mês é de 30 ou 31 dias!Resposta: letra E.

3. (FCC) Sistematicamente, Fábio e Cintia vão a um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provável encontro dos dois nesse restaurante acorrerá em:(A) 9 de dezembro: de 2004(B) 10 de dezembro de 2004(C) 8 de janeiro de 2005(D) 9 de janeiro de 2005 (£) 10 de janeiro de 2005

RESOLUÇÃO:Situação repetitiva,

15 e 18


15, I8|35 6


M.M.C. = 3.5.6 = 90 dias.

Fique esperto!90 dias não significam 3 meses, pois temos 30 e 31 dias.

Início: 10/10/2004! ’+ 3 (meses)10/01/2005

Outubro 1 Novembro 31 dias 30 dias

Dezembro Janeiro31 dias /


1

Temos 2 meses de -31 dias, por isso devemos retirar dois dias, isto é, o excesso.

10/01/2005 y -2 (dias)08/01/2005

Resposta: letra C.

04. (PM-2006) A verificação do funcionamento de três sistemas de segurança é feita periodicamente: o do tipo A a cada 2 horas e meia, o do tipo B a cada 4 horas e o do tipo C a cada 6 horas, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se em 15/08/2001, às 10 horas, os três sistemas foram verificados, uma outra coincidência no horário de verificação dos três ocorreu em:(A) 22/08/2001 às 22 horas.(8) 22/08/2001 às 10 horas.(C) 20/08/2001 ás 12 horas.(D) 17/08/2001 às 10 horas.(E) 15/08/2001 às 22 horas e 30 minutos.

RESOLUÇÃO:Situação repetitiva.Nesse caso temos que transformar o tempo, pois não podemos calcular o M.M.G de 2h30 (duas horas e meia).

A - 2h e 30 = 150 minutos B = 4h = 240 minutos C = 6h = 360 minutos

150,240,360Temos todos os números terminando em 0, logo podemos calcular com 15, 24 e 36.

15, 24 e 36

Existe algum número que divide 15 e 24 ao mesmo tempo? Não!Existe aigum número que divide 15 e 36 ao mesmo tempo? NâolExiste algum número que divide 24 e 36 ao mesmo tempo? Sim! O número 12.

15, 24 36Í125, 2, 3|

Csp. 2 - MÚLTIPLOS E DiVISORES 37




M.M.C = 5.2.3.12 = 360 (não esqueça de colocar 0 no finai). Sendo assim, 3600. 3600 minutos = 60 horas = 2 dias e 12 horas.

início: 15/08/2001, às 10 horas

15/08/2001 às 10 horas±2__________ _±1217/08/2001 às 22h

Não temos essa resposta, e agora? Tenha calma, pois a questão não pediu o próximo encontro, que seria essa resposta, e sim pediu outra coincidência. Por isso devemos jogar dois dias e 12 horas até encontrar uma alternativa.

17/08/2001 às 22h +2__________+1219/08/2001 34h, o dia só tem 24 horas. Logo estamos em: 20/08/2001 àslOh.

Novamente não temos essa alternativa!

20/08/2001 às 10 h.+2_______________________ -1-12

22/08/2001 às / 22h

Agora temos a resposta, letra A.

5. Um executivo querendo se organizar, precisa agrupar uma série de pastas que estão em seu poder. Percebe«se que se montar grupos de 3 pastas, fica 1 sobrando, caso agrupe de 4 em 4 pastas, sobram 2. Montando grupo de 5 pastas, restam 3 e, caso agrupe de 6 em 6 pastas, restam 4. Quantas pastas tem o executivo, sabendo-se que são menos de 100?(A) 56(B) 57(C) 58(D) 59(E) 60

38 MATEMÁTICA E RACIOClNiO LÓGICO QUANTJTATiVO - Bruno Villar

RESOLUÇÃO:3 em 3 pastas sobra 1

4 em 4 pastas sobram 2



Podemos observar que para completar o grupo precisamos de 2 pastas.3 -1= 2

4-2 = 2

5-3 - 2

6-4 = 2

x + 2 é múltiplo de (3, 4, 5, 6) = 60.

x + 2 = 60

x « 60 - 2

x = 58

6. Quantos múltiplos de 3 ou 7 temos de 1 a 1000?

RESOLUÇÃO:Devemos ter cuidado, pois precisamos calcular a quantidade de múltiplos de 3, 7 e21 (M.M.C. de 3 e 7)

n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B)

Múltiplos de 31000 : 3 = 333 múltiplos de 3.

Múltiplos de 7 ..1000 : 7 = 142 múltiplos de 7. ' •

Múltiplos de 21 (o elemento comum)1000:21 =47 múltiplos de 21.

Resposta: 333 + 142 - 47 = 428.



1. (TTN) Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá a volta completa napista em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terão dado cada um, até o momento em que passarão juntos na linha de chegada?(A) 66, 60, 55(B) 62, 58, 54(C) 60, 55, 50(D) 60, 45, 40(E) 40, 36, 32

2. Numa pista circular três ciclistas saem juntos dé um mesmo ponto. O primeirocompleta cada volta em: 1 min 30 segundos, o segundo em 1 min 40 segundos e o terceiro, em 1 min 50 segundos. O tempo gasto pelos três ciclistas para se encontrarem novamente é de(A) 2h 20min(B) 2h 25min(C) 2h 35min {D} 2h 40min(E) 2h 45min

3. (FCC) Uma determinada cidade realiza periodicamente duas festas: a festa dauva e a festa do tomate. A festa da uva acontece a cada 15 meses e a festa do tomate, a cada 18 meses. Se as duas aconteceram juntas em abril de 1998, então quando elas acontecerão novamente?(A) 10/1998(B) 6/2005(C) 8/2004(D) 10/2005(E) 10/2004

4. (PM-2001/ FCC) Três policiais trabalham no regime de plantão. José tira um plantão de 6 em 6 dias, Flavío de 8 em 8 dias e Felipe de 10 em 10 dias, inclusive sábado, domingos e feriados. Se no dia 12/06/02 eles trabalharam juntos, a próxima coincidência de datas em seus plantões será, novamente, em:(A) 12/10/2002(B) 10/10/2002(C) 11/08/2002(D) 12/08/2002(E) 12/12/2002

5. Em uma caixa há um certo número de laranjas. Se contarmos as laranjas de 12em 12, de 20 em 20, ou de 25 em 25, encontraremos sempre o mesmo número de laranjas. Qual a menor quantidade possível de laranjas que há na caixa?(A) 120

40 MATEMÁTICA E RACiOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil!ar

(B) 220(C) 300(D) 420(E) 600

6. (TRE) Um médico receitou dois remédios a um paciente: um para ser tomado -a cada 12 horas e outro a cada 15 horas. Se às 14 horas no dia 10/10/2000o paciente tomou ambos os remédios, ele voltou a tomá-los juntos novamente às:(A) 17h do dia 11/10/2000(B) 14h do dia 12/10/2000(C) 18h do dia 12/10/2000(D) 2h do dia 13/10/2000(E) 6h do dia 13/10/2000

7. (TJ) Dois vigilantes de um prédio público fazem ronda, um em cada bloco, respectivamente em 10 e 12 minutos. Se ambos iniciaram a ronda às 18 horas, darão inicio à nova ronda, simultaneamente, às:(A) 19h e 30(B) 19h(C) 20h e 30(D) 21h(E) 21h e 30

8. Très funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi:(A) 18/11/02(B) 17/09/02(C) 18/08/02(D) 17/07/02(E) 18/06/02

9. Alberto foi ao médico e este lhe receitou quatro medicamentos, A, B C e D, quedevem ser tomados da seguinte forma: O medicamento A deve ser tomádo de 3 em 3 horas, o medicamento B de 6 em 6 horas, o medicamento C de 5 em 5 horas, e o medicamento D de 4 em 4 horas. Se Alberto tomou todos os medicamentos juntos, às 10 horas da manhã de uma sexta-feira, quando estará ingerindo todos os medicamentos juntos novamente?(A) às 10 horas da manhã de domingo.(B) ás 10 horas da noite de domingo.(C) às 10 horas da manhã de segunda-feira.(D) às 10 horas da noite de segunda-feira.(E) às 12 horas da manhã de terça-feira.


10. Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida?(A) 6(B) 7(C) 8(D) 9(E) 10

GABARITO

01 - A 02 - E 03 - A0 4 - 8 05 - C 06 - E

0 7 - 8 08 - E 09 - B10 - D

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

Divisor de um número natural não nulo.E o número natural que o divide exatamente.

Exemplo:2 é divisor de 8 ou 8 é divisível por 2 .

Todo número inteiro não nulo é divisível por 1 e ele mesmo, porisso todo número possui pelo menos dois divisores.

Dois números naturais (diferentes de zero) sempre têm divisores comuns, sendo o M.D.C. o maior divisor comum entre eles.

Exemplo:M.D.C. (6 , 12) = 6 .M.D.C. (4, 10) = 2.

Cálculo do M.D.C.*

Dica: utilizar apenas número comum, Isto é, que divide todos os números ao mesmo tempo.


FIQUE LIGADO!No M.M.C buscamos um número que divida pelo menos a dupia, porém no M.D.C só pode ser utilizpdo um número qüe divida todos os números ao mesmo tempo.

1.°) Calcule o M.D.C. dos números abaixo.

A) 36 e 90Procurar um número que divida 36 e 90 ao mesmo tempo.Existe algum número que divide 36 e 90 ao mesmo tempo? Sim! O

número 18.

36, 902, 5

18

Existe algum número que divide 2 e 5 ao mesmo tempo? Não! No M.D.C. só multiplicamos os termos comuns.Nesse caso o M.D.C. é 18.

B) 72 e 120Existe algum número que divide 72 e 120 ao mesmo tempo? Sim!

O número 6 .Obs.: Vamos utilizar números comuns menores. Quanto maior for o

número comum utilizado, menor será a conta.

72, 120 12, 20


12, 20

3, 5

Existe algum número que divide 3 e 5 ao mesmo tempo? Não! M.D.C. = 6.4 = 24.Obs.: 6 e 4 são números divisíveis comuns.

Cap. 2 - MÚLTIPLOS E DIVISORES 43rC) 121 e 143Existe algum número que divide 121 e 143 ao mesmo tempo? Sim!

O número 11.Obs.: Se tiver dificuldade de encontrar o

meros primos, usando os critérios de divisibilidade.

11 I

número, comece pelos nú-

121, 14311 13

Existe algum número que divide 11 e 13 Nesse caso o M.D.C. é 11.

D) 15, 20 e 45Existe algum número que divide 15, 20 e

O número 5.

15, 20, 45 3, 4, 9

Existe algum O M.D.C. é 5.

ao mesmo tempo? Não!

45 ao mesmo tempo? Sim!

número que divide 3, 4 e 9 ao mesmo tempo? Não!

E) 5 e 7Existe algum número que divide 5 e 7 aó mesmo tempo? Não!O M.D.C. será 1 (pois todos os números são divisíveis por 1,

então quando os será 1).

Problemas

números não possuírem o divisor comum, o M.D.C

NOÇÃO: . 'Os problemas envolvendo M.D.C são sobre divisão de coisas ou objetos de tamanhos diferentes em partes iguais e no maior tamanho possível.

44 MATEMÃTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

FIQUE ESPERTO!Há questões que escrevem "menor quantidade" no lugar de "maior tamanho possível". Lembre-se: para que a quantidade seja a menor possível, o tamanho deve sero maior possível]Nas questões de M.D.C. só temos duas perguntas sobre ò elemento (tamanho ou

-quantidade) ou sobre arrumação (quantidade de iotes, caixas etc.).


1. (Pró-técnico) Cortando-se dois fios de 345m e 330m em pedaços iguais e do maior tamanho possível, o número de pedaços obtidos é:(A) 15(B) 22(C) 35(D) 38(E) 45

RESOLUÇÃO:Divisão de coisas de tamanhos diferentes em partes iguais e no maior tamanho possível.

330 e 345

Existe algum número que divide 330 e 345 ao mesmo tempo? Sim! O número 5. :

330, 345 5 66, 69


66, 69 3 • \ ' ;22, 23

Existe algum número que divide 22 e 23 ao mesmo tempo? Nãol

O M.D.C é 3.5 = 15.

15 é o tamanho de cadá pedaço.Porém, como a questão pediu a quantidade de pedaços, a resposta é 22 + 23 =45.

Cap. 2 - MÚLTIPLOS E DIVISORES 45rSE LIGUE!Os números que não possuem divisor comum representam a quantidade de pedaços.

Resposta: 45, pois a questão pediu o total de pedaços. Letra E.

2. Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento, sendo esse comprimento o maior possível. Se uma tábua tem 90 centímetros e a outra tem 126 centímetros, quai deve ser o comprimento de cada pedaço se toda a madeira deve ser aproveitada?(A) 36 cm(B) 12 cm(C) 18 cm(D) 9 cm(E) 90 cm

RESOLUÇÃO:90 é 126Existe algum número que divide 90 e 126 ao mesmo tempo? Sim) O número 6.

90, 126 15, • 21

Existe aígum número que divide 15 e 21 ao mesmo tempo? Sim! O número 3.

15, 2135, 7

• Existe aígum numero que divide 5 e 7 ao mesmo tempo? Não!

M.D.C = 6.3 = 18. .Quantidade de pedaços: 5 + 7 = 12.

Resposta: 18 (tamanho de cada pedaço). Letra C.

3. (T.R.E) Uma repartição pública recebeu 143 microcomputadores e 104 impressoras para distribuir a algumas de suas seções. Esses aparelhos serão divididos em lotes, todos com igual quantidade de aparelhos. Se cada lote deve ter um único tipo de aparelho, o menor número de lotes formados deverá ser:(A) 8

46 MATEMÁTICA E RAClOClNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Brvno Villar

(B) 11(C) 19(D) 20(E) 21

“RESOLUÇÃO:104 e 143Existe algum número que divide 104 e 143 ao mesmo tempo? Sim! O número 13.

104, 1 4 3

11, 8

13

O total de lotes é: 11 + 8 -1 9 .

Resposta: letra C.


1. (T.R.T) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidosde analgésico e 156 comprimidos de antibióticos. Deverá distribuí-ios em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o inúmero de recipientes necessários para essa distribuição é:(A) 24(B) 16(C) 12(D) 8(E)4

2. (TRE-BA) Todos os funcionários de um Tribunal devem assistir a uma palestrasobre “Qualidade de vida no trabalho", que será apresentada várias vezes, cadavez para um grupo distinto. Um técnico foi incumbido de formar os grupos,obedecendo aos seguintes critérios:

- todos os grupos devem ter igual númerp de funcionários;- em cada grupo, as pessoas devem ser do mesmo sexo;~ o total de grupos deve ser o menor possível.

Se o total de funcionários é composto de 225: homens e 125 mulheres, o número de palestras que deve ser programado é(A) 10(B) 12(C) 14


(D) 18(E) 25

3. (FCC) No almoxarifado de,certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azu! e 160 com tinta vermelha, Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas do modo que cada pacote contenha apenas caneta com tinta de mesma cor. Se todos os pacòtes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é;

(A) 8(B) 10(C) 12(D) 14(E) 16

4. (TRT-SP) Dispõe-se de dois lotes de boletins informativos distintos: um, com 336unidades, e outrò, com 432 unidades. Um técnico judiciário foi incumbido de empacotar todos os boletins dos lotes, obedecendo as seguintes instruções:

- Todos os pacotes devem conter a mesma quantidade de boletins;- Cada pacote deve ter um único tipo de boletim;

Nessas condições, o menor número de pacotes que ele poderá obter é:

(A) 12(B) 16(C) 18(D) 24(E) 32

5. (VUNESP) Em um colégio de São Paulo, há 120 alunos na 1.a série do EnsinoMédio, 144, na 2:.a e 60, na 3.a. Na semana cultural, todos esses alunos serão organizados em ; equipes com o mesmo número de elementos, sem que se misturem alunos de séries diferentes. O número máximo de alunos que pode haver em cada equipe é iguai a(A) 7.(B) 10.(C) 12.(D) 28.(E) 30.

6. (VUNESP 2009) Ém um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados(A) 5 grupos.(B) 8 grupos.(C) 10 grupos.

48 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(D) 12 grupos.(E) 13 grupos.

GABARITO

01 - A 02 - C 0 Ui 1 n

04 - B 05 - C 06 - A

FRAÇÃO

É uma divisão de dois números inteiros a e b, com b ^ 0 .

-7- ou a : b b

Temos: a = numerador e b = denominador

Noção de fração:

í-;’. " ■' ' '

SE LIGUE!O numerador representa a quantidade de partes utilizadas. Por isso o numerador nesse caso é 3, pois são 3 partes pintadas.O denominador representa o total de partes. Por isso o denominador é 4, pois o quadrado foi dividido em 4 quadrados iguais.

Cuidado:

^ = indeterminação.

Cap. 2 - MÚLTIPLOS E DIVISORES 49r

Operações de frações

Adição ou subtração

Adição ou subtração de denominadores iguais.

Processo: Conservar o denominador e somar ou subtrair os numeradores.

Adição ou subtração de denominadores diferentes.

Processo:1.° Tirar o M.M.C. dos denominadores.2° Colocar o resultado do M.M.C. no denominador da nova fração e

dividir o denominador da nova fração pelo denominador de cada fração. Multiplicar, então, pelo numerador da respectiva fração.

1.° Tirar o M.M.C. dos denominadores.M.M.C. de 5 e 8 = 40 (não possui divisor comum, logo o produto

deles é o M.M.C.).

2.° Colocar o resultado do M.M.C. no denominador da nova fração e dividir o denominador da nova fração pelo denominador de cada fração. Multiplicar, então, o resultado pelo numerador da respectiva fração.

Exemplos:1 + 6 = 74 4 4

1 + 2 + 1 3 + 2 + 4 _ _35 55 5 5

8.2 + 5.3 16 + 15 3140 40 40

50 MATEMÁTICA E RACiOCiNIO LÓGICO QÜANTITATIVO - Brvno W/ar

CUIDADO:Nesse caso não cortamos o denominador, só cortamos o denominador quando estamos calculando uma equação fracionária.

Multiplicação

a.cb ' d b.d

Exemplos:

2 _ 3.2 7 5.7

6_

37

? ? 2.40 80— de 40 = 4 . 40 = ------ = — =16.5 5 5 5

SE LIGUEIAs expressões do e de entre dois números representam o sinal de multiplicação. Simplificação: Processo de divisão de uma fração peío mesmo número, isto é, dividiro numerador e o denominador por um mesmo inúmero.

2 , „ n 2.40 9 40’ 2.8 164 de 40= ----- rs - ---- - — -1 6 .5 5 : 5 1 i

Antes de multiplicar verifique se é possível simplificar, pois diminui o cálcuío.

Divisão

a_. c_ b ' d

d_ __ a.d c b.c

Processo: conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.

1 = 217_ 4 3 *4“

1.73.2

C ap .2 -M ÚLTIPLOS E DIVISORES 51rTreinamento comentado

(TRT 6.3 região2006) Certo dia, do total de documentos entregues em diferentes setores de uma unidade <do Tribunal Regional do Trabalho, sabe-se que: A terça parte foi distribuída por Josué, os 2/5 por Rogério e os demais por Anacleto.Nessas condições, os documentos distribuídos fração do total que foi distribuído pelos três?(A) 11/15(B) 2/3(C) 8/15(D) 3/5(E) 4/15

por Anacleto eqüivalem a que

RESOLUÇÃO:

Rogério: 2. 5

Josué: 1 3

%_ + 1 ~ 3.2+5.1 _ 6+5 _ 22 foi feito por Rogério e Anacleto juntos.15 15 15

Logo Anacleto fe io restante ~L (15 -11 = 4).I. - . 15 ■,

Resposta: letra E.

2. (Pítô-2001) Um soldado iniciou seu plantão quando eram decorridos 2/5 do dia e encerrou quando eram decorridos 7/9 do mesmo dia. Se nesse dia ele parou 1 hora e 50 minutos para almoçar, ele trabalhou, nesse dia, um período de:(A) 7h(B) 7h e 4 minutos(C) 7h e 14 minutos(D) 7h e 28 minutos(E) 7h e 36 minutos

RESOLUÇÃO:

= f!h.

Final: 1 do dia J l , 24= lMl = 119 1 9 9 3

52 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viüar

Tempo gasto: final - início.

56 _ 48 _ 5 .56,-3 ,48 ^ 2 8 0 -1 4 4 _ 136T 5 15 15 15

J 36 [151 9 horas '

íNumerador da fração.

Tempo gasto: 9h e — h, ou seja, 9h e 4 minutos.■ 1 5 . ' :

Obs.: — . 60 = ~ 4 minutos. Não esqueça: Ih = 60 minutos.15 15

9h e 4 minutos - lh e 50 mim (almoço) ~ 7h 'e i 4 minutos.

Resposta: letra C.

3. Uma torneira enche um tanque em 3 horas e outra torneira enche o mesmo tanque em 2 horas. Se as duas forem abertas juntas, em quanto tempo esse tanque ficará completamente cheio?(A) 40 minutos(B) 1 hora e 12 minutos(C) 2 horas(D) 2 horas e 15 minutos(E) 3 horas

RESOLUÇÃO:1.a opção:Como as torneiras gastam tempos diferentes para encher o mesmo tanque, então, temos velocidades diferentes.Tendo como base 1 hora (a base será o numerador e o tempo total o denominador da fração).

Torneira 1 :1 3

Torneira 2: J_2


6 h = 1 e I h = 1 hora e 12 minutos 5 56 [5_

I 1

2.a opção:Essa fórmula só pode ser utilizada para duas torneiras. Caso a questão envolva três torneiras, aplicamos a fórmula com duas e depois esse resultado com a torneira que sobrou.

4. Uma torneira é capaz de encher um tanque por completo em 2 horas. A válvula deste tanque é capaz de esvaziá-lo por completo em 5 horas. Estando0 tanque vazio, ambas foram abertas simultaneamente. Depois de 3 horas de funcionamento a válvula entupia por completo. Após o entupimento, o tanque transbordará em:(A) 20 minutos(B) 15 minutos(C) 12 minutos(D) 10 minutos(E) 6 minutos

RESOLUÇÃO:Nesse caso as torneiras trabalham juntas por 3 horas.

1 . I = 5 .3 -2 .3 _ 1 5 -6 _ 92 5 10 10 10

produto dos tempos soma dos tempos

2-3 = 6 h = 1h e 12 minutos

Porém, se uma torneira estiver enchendo e a outra esvaziando:

produto dos tempos diferença dos tempos


Logo falta — para o tanque estar completo.

Velocidade . tempo = tanque cheio

Õbs.: ~ (o numerador é a base {uma hora) e o denominador é o tempo total da

torneira que enche). > '

i,= ±2 10

Fazendo uma proporção temos:

lOt = 2

2 2 "120 ' —t = — h = — . 60 — ----- = 12 minutos.10 10 10

Resposta: letra C.

5. Trabalhando sozinho, Carlos construiria um muro em 15 dias. Tendo trabalhado apenas 1 dia, Carlos foi substituido por Pedro; que trabalhou sozinho 6 dias. Finalmente Carlos juntou-se a Pedro e, em mais 2 dias de trabalho conjunto, terminaram o muro. Em quanto tempo Pedro construiria o muro trabalhando sozinho?(A) 8 dias(B) 10 dias(C) 12 dias(D) 18 dias(E) 20 dias

RESOLUÇÃO:Carlos trabalhou um dia sozinho;

Pedro trabalhou seis dias sozinho;

Carlos e Pedro juntos mais 2 dois.

Conclusão: Carlos trabalhou no total 3 dias e Pedro trabalhou 8 dias.

3 8Carlos: — , Pedro: - , t representa o tempo sozinho.15 /


3 8— + - = i (muro completo) 15 /

3/ + 15.8 = 1.15/15/

3t + 120 = 15t 3t - 15t = -120 -12t = - l 20(-l)

12t= 120

Resposta: letra B.


1 . Uma torneira enche; um tanque em 9 horas e um ralo esvazia o tanque, comple-tamente cheio, em 12 horas. Se a torneira e o rafo forem abertos juntos, em quanto tempo esse tanque ficará completamente cheio?(A) 12 horas(B) 24 horas(C) 30 horas(D) 36 horas(E) 56 horas

2. Uma torneira enche um tanque em 2 horas, outra torneira enche, o mesmo tanque, em 3 horas e uma terceira torneira enche o mesmo tanque em 6 horas. Se as três torneiras forem abertas juntas em quanto tempo esse tanque ficará completamente chêio?(A) 30 minutos(B) 1 hora(C) 2 horas(D) 2 horas e 10 minutos(E) 3 horas

3. (TRT 22.a região — 04) Para encher um tanque com água dispões-se de duas torneiras ! e II. Considere que, abrindo*se apenas l, o tanque estaria cheio após 12 minutos, enquanto que il sozinha levaria 15 minutos para enchê-lo. Assim sendo, se i e li fossem abertas simultaneamente, o tanque estaria cheio em:(A) 6 minutos e 10 segundos(B) 6 minutos e 15 segundos


(C) 6 minutos e 25 segundos(D) 6 minutos e 30 segundos(E) 6 minutos e 40 segundos

4. (TRF-2007) Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaramum lote de processo em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa

.em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de:(A) 6 horas(B) 6 horas e 54 minutos(C) 6 horas e 54 minutos(D) 7 horas e 12 minutos(E) 8 horas e meia

5. (FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente:(A) 1 hora e 40 minutos(B) 2 horas 2 minutos e 2 segundos(C) 2 horas e 20 minutos(D) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos(E) 2 horas e 54 minutos

6. (FCC) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos 5/18 de um dia eretornou à sua casa decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de casa durante um período de:(A) 14 horas e 10 minutos.(B) 13 horas e 50 minutos.(C) 13horas e 30 minutos.(D) 13 horas e 10 minutos.(E) 12 horas e 50 minutos

7. (FCC) Suponha que a jornada de trabalho de uma pessoa seja de 8 horas diárias.Certo dia, ela chegou ao trabalho quando eram decorridos 11/36 do dia, saiu para almoçar às 12 horas e 15 minutos e retornou ao trabalho às 13 horas. Se foi para casa quando eram decorridos 2/3 do mesmo dia, então sua jornada:(A) foi integralmente cumprida(B) foi excedida em 10 minutos(C) foi excedida em 5 minutos(D) deixou de ser cumprida, pois faltaram 10 minutos(E) deixou de ser cumprida, pois faltaram 5 minutos

8. (FCC-2Q01)Certo dia, Jairo comentou com seu colega Luiz:“Hoje eu trabalhei o equivalente a 4/9 do dia, enquanto você trabalhou apenas o equivalente a 7/20 do dia.”


Com base nessa informaçao, quanto tempo Jairo trabalhou a mais que Luiz?(A) 1 hora e 50 minutos.(B) 2 horas e 16 minutos.(C) 2 horas e 48 minutos.(D) 3 horas e 14 minutos.(E) 3 horas e 36 minutos.

9. (TRF) Operando ininterruptamente, uma máquina é capaz de tirar X cópias deum texto em 6 horas, enquanto que, nas mesmas condições, outra copiadoraexecutaria o mesmo serviço em 4 horas. Se essas duas máquinas operassem juntas, que fração das X cópias elas tirariam após 2 horas de funcionamento ininterrupto?(A) 5/12(B) 1/2(C) 7/12(D) 2/3(E) 5/6

10. (TRF-1.a Região) Certo dia, um técnico judiciário trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitação de um texto. Se ele conclui essa tarefa quando eram decorridos 11/16 do dia, então ele iniciou a digitação do texto às:(A) 13h e 40 min(B) 13h e 20 min(C) 13h(D) 12h e 20 min(E) 12h e 10 mín

11. Para encher um tanque com água dispões-se de duas torneiras I e N. Considere que, abrindo-se apenas l, o tanque estaria cheio após 12 minutos, enquanto que I! sozinha levaria 15 minutos para enchê-lo. Assim sendo, se I e li fossem abertas simultaneamente por cinco minutos, em quanto tempo a torneira ! sozinha gastará para terminar de encher o tanque?(A) 1 minuto e 40 segundos(B) 2 minutos(C) 2 minutos e 20 segundos(D) 3 minutos(E) 4 minutos

12. (CESPE) Considere-se que, entre os condenados a penas alternativas em 2006, 1/4 está sendo punido por crimes contra a honra, 1/8 por furto e, 1/13 por uso de drogas. Nessa situação, menos da metade dos condenados a penas alternativas em 2006 praticaram outros crimes cuja punição é a pena alternativa.

13. Suponha que, em três meses, o porto de Aratu tenha exportado 1.200.000 toneladas de produtos, do seguinte modo: desse totai 1/8 foi exportado no primeiro mês; no segundo mês, 1/3 a mais do que foi exportado no primeiro mês; e o

58 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VWar-------------- ;---------------------- ------------ - [

restante, no terceiro mês. Com base nessas informações, jufgue os itens que se seguem.( ) No terceiro mês, foram exportados mais que do total exportado nos 3 meses.( ) No primeiroj mês, foram exportadas mais de 175.000 toneladas.

( ) No segundo mês, o total exportado foi inferior a 250.000 toneladas.

GABARITO

01 - E 02 - D 03 - B

04 - E 05 - E 06 - B

07 - E 08 - B 09 - A

10 - D 11 - B 12 - E

13 - E-E-C


1. (CEF CESGRANRIO 2008) Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1e 1000?(A) 90(B) 142(C) 220(D) 229(E) 232

2. (UNB) Um médico receitou ao paciente três medicamentos distintos, para seremtomados, cada um, em intervalos de 1h 20min, 1h 30mtn e 2h. Se à meia-noite ele tomou os três medicamentos, então ele voltará, novamente, a tomá-los ao mesmo tempo às:(A) 10 h 20 min(B) 12 h 00 min(C) 13 h 20 min(D) 13 h 50 min(E) 14 h 30 min

3. (VUNESP 2009) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada(A) 1 h 24 min.

Cap. 2 -M Ú LTIPLO S E DiVISORES 59

(B) 1 h 18 min.(C) 1 h 12 min.(D) 1 h 06 min.(E) 1 h. ;

4. (VUNESP) Maria Eduarda e Heloísa desejam comprar èm sociedade uma lanchonete.Uma delas possuí a terça parte do valor pedido pelo estabelecimento, e a outra, a sexta parte. Somando-se as quantias que as duas possuem, ainda faltam R$27.600,00. Então, ppde-se afirmar que o valor total da lanchonete é de(A) R$ 50.800,00.(B) RS 51.400,00.(C) RS 52.600,00.(D) R$ 53.700,00.(E) R$ 55.200,00.

5. (MF 2009 ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, no máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, no máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?(A) 12 horas.(B) 30 horas.(C) 20 horas.(D) 24 horas.(E) 16 horas.

6. (CESGRANRIO) Marcelo precisava realizar uma tarefa em 3 dias, trabalhando 6horas pòr dia. Entretanto, no primeiro dia ele trabalhou 5/6 do tempo previsto e, no segundo dia; 11/12. Quantas horas a mais Marcelo terá que trabalhar no terceiro dia para que a tarefa seja concluída dentro do prazo?(A) 1 hora e 18 minutos.(B) 1 hora e 30 minutas,(C) 3 horas e 12 minutos.(D) 4 horas e 18 minutos.(E) 7 horas e 30 minutos.

7. (FCC) Um técnico judiciário deve cumprir uma jornada diária de 8 horas de trabalho. Certo dia, ele chegou ao trabalho quando eram decorridos 23/72 do dia, saiu às 11h38min para almoçar e retomou suas atividades às 12h50min. Se saiu do trabalho quando eram decorridos 2/3 desse mesmo dia, então, nesse dia,(A) sua jornada foi cumprida.(B) ele deixou de cumprir 38 minutos de sua jornada.(C) ele deixou de cumprir 52 minutos de sua jornada.(D) eie excedeu sua jornada em 18 minutos.(E) eie excedeu sua jornada em 24 minutos.

60 MATEMÁTICA E RACiOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

8. (FCC) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível degavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quántas gavetas deverá usar?(A) 33

~(B) 48(C) 75(D) 99(E) 165

9. (FCC) Um funcionário demora 6 horas para fazer um certo serviço, enquanto outro leva 8 horas para fazê-lo. Que fração desse serviço os dois fariam juntos em 3 horas?(A) 1/14(B) 1/7(C) 2/3(D) 3/4(E) 7/8

10. (FCC) Simplificando-se a expressão 5 - 1/5 x 4 + 11/6 obtém-se um número(A) negalivo.(B) compreendido entre 0 e 2.(C) compreendido entre 2 e 4.(D) compreendido entre 4 e 6.(E ) m aior do que 6.

(CESPE) Texto para as questões 11 e 12.Considere que foram gastos R$ 1.563,00 para abastecer com café e açúcar a copa de um escritório de advocacia.Sabendo-se que cada pacote de 500 g de café custou R$ 5,85 e que cada pacote de 5 kg de açúcar custou R$ 4,25 e ainda que as quantidades de pacotes de açúcar e de pacotes de café estão, nessa ordem, na proporção 2/3, julgue os itens seguintes.

11 . O mínimo múltiplo comum entre os números que representam as quantidades de pacotes de café e de açúcar é inferior a 300,( ) Certo ( ) Errado

12. O máximo divisor comum entre os números que representam as quantidadesde pacotes de café e de açúcar é superior a 50.( ) Certo ( ) Errada

Cap. 2 - MÚLTIPLOS E DIVISORES 61í : '13. (FCC) Em um determinado banco, o funcionário Antônio, trabalhando sozinho,

realiza uma tarefa em 10 dias. Dando inicio ao trabalho e tendo trabalhado sozinho apenas 2 dias, no terceiro dia Antônio junta-se ao funcionário Bernardo e em 3 dias de trabalho concíuíram a tarefa. Supondo constante o desempenho desenvolvido por esses füncionários para realizarem seus trabalhos, tem-se que Bernardo, trabalhando sozinho, realizaria toda a tarefa em(A) 10 dias.(B) 8 dias.(C) 6 dias.(D) 5 dias.(E) 4 dias.

14. (FCC) Um número de 1 a 10 foi mostrado para três pessoas. Cada pessoa fez a seguinte afirmação sobre o número:Pessoa I: o número é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.Pessoa H: o número é impar.

Pessoa fil: o número é múltiplo de 5.Considerando que apenas duas pessoas dizem a verdade, o total de números distintos que podem ter sido mostrados às três pessoas é:

(A) 2(B) 3(C)4(D) 5(E) 6

GABARITO

1 - c 2 - 8 3 _ c

4 - E 5 - E 6 - B

7 - C 8 - A 9 - E

tulo

11 - E 12 - C

13 - C 14 - B

EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES

EQUAÇÃO DO 1° GRAU

Equação é toda sentença aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo aqui, que em latim significa igual.

Exemplos:

2x - 8 — 0 4x (x-9) = 22

Equação do L° grau é toda equação da forma ax + b = 0, com a* 0. -

Cálculo de uma equação do 1.° grau

1.°) Resolva as equações abaixo:

A) 2x - 4 = x-7

Resolução: 2x - 4 = x-72x - x = -7 + 4

x = -3

SE LIGUE!Quando mudamos o número ou expressão de um membro, trocamos a operação: soma peía subtração, subtração pela soma e multiplicação pela divisão.

64 MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Villar

obs.: 4 (x - 3) == 4.x - 4.3 = 4x - 12.

obs.: o coeficiente .t não pode ser negativo, por isso multiplicamos por -1 a expressão.

C) - + 1 = 72 3

Resolução:Nesse caso, temos uma equação do 1.° grau fracionária.

L° passo:Tirar o M.M.C. de todos os denominadores da equação, de forma

que permaneça apenas um.Nesse caso aplicamos a regra de adição de fração com denominadores

diferentes.

M.M.C. de 2 e 3 = 6

3.* + 2(* + l) = 7.6 6

2 .° passo:Cancelar o denominador.

3x + 2x + 2 = 42 \ "

Não esqueça de que o denominador dever ser o mesmo para todos os numeradores da equação.

3.° passo:Resolver a equação que está no numerador.

B) 4 (x - 3) = 5x - 6

Resolução: 4 (x - 3) = 5x - 6 4x - 12 = 5x - 6

4x - 5x = -6 + 12-x = 6 (-1)

x = 6

3x + 2x + 2 = 42 5x = 42 - 2

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES 65

5x = 40 obs.: 5x é uma multiplicação (5.x), logo passamos4 0 o 5 para o outro membro dividindo.

x Tx = 8

D) £ . i ± i . L3 5 15

O M.M.C. de 3,5 e 15 = 15.

5.x — 3(jc + 3) = 7.1 15

5.x—3(x + 3) = 7.1------------------------- = dx - 3x ~ 9 = 7

H2x = 7 + 9 2x = 16

= —

2x = 8”

Problemas envolvendo equação do 1.° grau

Uma dos maiores dificuldade do concursando é interpretar o problema e reconhecer o assunto.

Toda questão que envolve uma equação informará uma quantidade desconhecida.

Linguagem algébrica Linguagem corrente

X Número desconhecido

2x O dobro de um número

3x 0 triplo de um número

4x 0 quádruplo de um número

X

2A metade de um número

66 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Villar

Linguagem algébrica Linguagem corrente

JC

l 3A terça parte de um número

x, x+1, x+2... Números consecutivos

2n Número par2n+1 Número impar

2n+2, 2n+4, 2n+6... Números pares consecutivos

2n+1, 2n+3, 2n+5... Números ímpares consecutivos

10 inverso de um número


1. A diferença entre o quádruplo de um número e a terça parte desse mesmo número é 187. Esse número é:(A) primo(B) múltipla de 11(C) múltiplo de 3(D) divisível por 4(E) múltiplo de 5

RESOLUÇÃO:

Quádruplo: 4x e terça parte = —.■■■■ ■■"■ v '

4x - — =187 ■■ :

: 3.4.x —x —187.3

12x - x = 56111x = 561 , .. .

x = 561';i

x = 51 V

51 é múltiplo de 3, pois 51 é divisível por 3. Resposta: letra C.

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES 67| : -

2. (INSS) Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a Então, o valor desse prêmio, em reais, era de(A) 2400,00(B) 1800,00(C) 2200,00(D) 1100,00(E) 2000,00

pessoas: a primeira recebeu terceira ganhou R$ 1.000,00.

1 .a Opção de resolução:

1 v1/4 do valor do prêmio = —4

1/3 do valor do prêmio = —3

SE LIGUE!As expressões do e de em matemática têm a função de multiplicação.

1 lxVaior do prêmio = x. Logo 1/4 do valor do prêmio = — jc = —4 4

]£ '+ l£ + io o o = x-4 ' 33 jf+ 4 x + 1 2 0 Q 0 = 12jc

X7x - 12x = -12000 -5x — -120G0(-1}5x = 12000 ■ ‘

x = 12000 = 24005 i • .V

Resposta: letra A..

2.a Opção de resolução:

Fração realizada pela pessoa Valor

l.a pessoa: —4 r

Não sabemos

2.a pessoa: j Não sabemos

3.a pessoa: não sabemos 1000

68 MATEMÁTICA E RACíOCÍNÍO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

4 3 1 2 12

Podemos concluir que a primeira e a segunda pessoa receberam juntas isto é,■■■■ c ■ 1 9

7 partes de 12. Logo a terceira pessoa recebeu jL (12 - 7 - 5).■12

A seguinte fração eqüivale ao que a terceira pessoa ganhou: a 1000.

que corresponde

2£ = 1000 {: 5, dividin 12

12

Obs.: os numeradores sempre devem possuir um divisor comum.

3. (TRE) Um funcionário do TRE arquivou 2/5 das laudas de um processo pela manhã e pela tarde mais 3/8 e no outro dia as 36 laudas restantes. Quantas laudas tinha esse processo?(A) 160(B) 220(C) 180(D) 240(E) 200

1 .a opção de resolução:

5 8

M.M.C. de 5 e 8 = 40'

8 .2a - + 5.3.V + 4 0 . 3 6 = 4 0 ' j c

4 0

8 .2 jc + 5 .3 .x + 4 0 .3 6 = 4 0 jc

— = 200. Logo: x = 12.200 = 2400. 12

16x + 15x + 1440 = 40x31x - 40x = -1440 -9x = -1440(-1} < 9x = 1440

íCap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES 69

9

Resposta: letra A.

2,a opção de resolução:

z. + £. = _ 16 + 1 5 _ . Logo a terceira parte é: J L (40 - 31 = 9).5 8 40 40 40 40

2l ~ 36 {;9}40

Jü_ = 4. Logo: x ~ 40.4 == Í60.40

Fique esperto: a 2.s opção é muito mais simples e evita utilizar os números de valores aítos.

4. Numa corrida, 2/9 dos atletas que dela participaram desistem depois de darem a primeira volta na pista; na segunda volta desiste 1/7 do que restou e terminam a corrida 18 corredores. Quantos atletas deram a largada?(A) 36(B) 54(C) 27(D) 42(E) 45 -

1 .a opção de resolução:Vamos observar essa questão com cuidado!

Resumo do texto:2/9 dos atietas que dela participaram, isto é, “£ desistiram depois da primeira volta. ; 91/7 do que restou ‘desistiu na segunda volta. Nesse caso não é l £ , pois a questão informou 1/7 do restante. 7

Obs.: Se na primeira volta n desistiram, logo restaram _ .9 ' - 9 .-.■■■

1/7 do que restou = — . Z £ = l£/ 9 9

70 MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno VtUar

— + — + 18 ~ x9 9

2x + \x + l8 .9 ~ 9x

? ■ -;y:: v :- ! -^ '7-í- 3x + 162 = 9x

3x - 9x = -162-6x = -162 {-!) • '6x = 162

x = lÉ r - 2 76

Resposta: letra C.

2.a opção de resolução:Quando a questão informar a fração do que restou ou fração restante, utilizaremoso método chamado de volta.

Fração usada Fração restante

.29 9

1 " 67

Não informado Obs.: 18 é o valor restante.

Fórmula: o produto das frações restantes é igual ao número restante.

Z ; £ = £ = 29 7 9J 3

“£ = 18 (:2)3

£ = 9. Logo: x = 9.3x = 27.3 '

A partir de agora vamos utilizar apenas a segunda opção.

5. (TRF-2007) Certo dia, Veridiana saiu às compras com uma certa quantia emdinheiro e foi a apenas três lojas. Em cada ioja ela gastou a quarta parte da quantia que possuía na carteira e, em seguida, usou R$ 5,00 para pagar o estacionamento onde deixou seu carro. Se após todas essas atividades ainda ihe


restaram R$ 49,00, a quantia que Veridiana tinha inicialmente na carteira estava compreendida entre:(A) RS 20,00 e R$ 50,00.(B) RS 50,00 e R$ 80,00.(C) R$ 80,00 e R$ 110,00.(D) R$ 110,00 e R$ 140,00.(E) RS 140,00 e RS 170,00.

RESOLUÇÃO:

1 .a loja: J_ do totaf.4 -

2.a loja: 1/4 do que possuía na carteira, iogo T/4 do resto.

1 . 2 . 2 •= zL4 '4 * 4 "64

TJx64

= 54 (:27)

jL = 2. Logo: x = 64.2 = 128, 64

Fraçao usada Fração restante

34

34 4.

I -43'ir:;-4 4

Resposta: letra D.

Esse processo é simples e ajuda a ganhar muito tempo ha prova!

6. (CEF) Certo dia um correntista fez três depósitos de yaíores, A, B e C reais, num total de R$ 3660,00. Se de C subtraímos B, obtemos R$ 305,00 e B corresponde a 3/5 de A. O menor desses três depósitos foi de:(A) RS 878,00(B) RS 915,00(C) RS 1021,35(D) RS 1220,00(E) RS 1326,35

72 MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

RESOLUÇÃO:Nesse caso temos três equações. ■

íA + B + C = 3660 C - B = 305

B = M5

Agora fique esperto, sempre vai ter um termo que aparece nas três equações. Devemos conservar esse termo e colocar outros em função dele.A variável que aparece nas três equações é a letra B. Logo devemos colocar as variáveis A e C em função de B.

Cr B> 305 v. .C = 305 + B . ■ ;;Y . /■/'. ;-:

b = 2A5 ’

Fazendo uma proporção temos: 5B = 3A

a = . >'3

Agora temos as variáveis A e C em função de B.

A + B + C = 3660

l ã. + B + 305 + B = 36603

UL + 2B = 3660 - 3053

UL + 2B = 33553

5B-i-3.2B = 3.3355X

5B + 6B = 10065 11B — 10065

B = 10065 = 915


S . * * . M U . _ 1!BS3 3 3

C s= 305 + B C = 305 + 915 = 1220

Resposta: letra B.

7. (TRT-BA) Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que tinha há 8 anos?(A) 15 anos.(B) 16 anos.(C) 24 anos.(D) 30 anos.(E) 32 anos.

RESOLUÇÃO:Questão que envolve tempo: passado, presente e futuro. É importante fazer a tabela abaixo.

Passado Presente Futurox-8 . X X +8

FIQUE ESPERTO:A idade no passado é x-8.A idade no presente é x.A idade no futuro é x+8.

A questão informa que a idade do futuro é o triplo da idade do passado.

Futuro = 3 V Passado x + 8 = 3 (x-8) x + 8 = 3x - 24x - 3x = -24 + 8 .

-2x = -16 (-1)2x = 16

X = 1 1 = 8

Cuidado: a idade no passado é x-8, por isso ficou 3(x-8). Lembre-se de que é o triplo da idade no passado e por isso são obrigatórios os parênteses.

74 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Vi/lar

8. (TRT 2.a região/2004) Um certo número de processos foi entregue a 5 técnicos judiciários, dando*se a cada um a metade de quantidade recebida pelo anterior. Se o último técnico recebeu 18 processos, quanto recebeu o terceiro?(A) 64(B) 72 I(C) 78

~ (D) 82(E) 86

RESOLUÇÃO:A questão informa que é metade do anterior, lago temos uma progressão geométrica.

1.° ■ 2-° 3.° 4.° ■ 5.°

Fração x " X X :• x ■ ' x2 : 4 . 8 16 32 ......

valor 18

— —->■ Observa que cada fração foi divida por 2.•o-----— Para voltar devemos multiplicar por dois {sentido contrário, operação inversa). ' • :• _r

1 ° ’ 2.° : 3.° 4 .0 5.°

Fração .X .V .v „ X X

2 ;■ 4 8 16 32

valor 144:2 = 288 72.2 = 144 36.2 = 72 18.2 = 36 18

O terceiro recebeu 72. Resposta: letra B.

9. (TRF-1.a região«20Ü6) Certo dia, um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento:~ nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total e mais meia página;- nos 15 minutos seguintes, a melade do número de páginas restantes e mais meia

página:- nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia

página.


Se, dessa forma, ele complementou a tarefa, o total de páginas do texto era um número, compreendido entre:(A) 5 e 8(B) 8 e 11(C) 11 e 14(D) 14 e 17(E) 17 e 20

RESOLUÇÃO:Nos primeiras 15 minutos digitou a metade do total e mais meia página:

ül + -L = '2 2 ■■■ 2 . . ■ . . .

A segunda parte será: *.±_It pois é a metade do total mais meia página. Logo te-4 ;:dvV:\v 7 y'.j

remos uma progressão geométrica.

Dica: a metade da segunda: JL . -Y-+1 =2 2 4

A terceira parte será: * ± i , a metade da segunda.! ■■ 8 ■■ ' '

Dica: a metade da terceira: X . * + 1 = *+ 12 4 , 8

A p y n r p s s ã n ç p rá : -Y -I-1 + .T - H 4. . t + 1 = y

■ ' 2 4 8 /.4(.r +1) -i- 2(.v +1) + l(.v +1} = S_y

84x + 4 -f- 2x + 2 + x + 1 = 8x 7x - 8x -7 -x = -7M) x = 7 i i

SE LIGUE: •Como as partes são; sempre a metade do resto, temos uma progressão geométrica.A expressão inicial’ficou ÜLhi devido à soma da meia página.

\ 2

10. (FCC/TRF 2.a região/2007) Pelo controle de entrada e saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, verificou-se em certa semana queo número de visitantes na segunda-feira correspondeu a do da terça-feira e

76 MATEMÁTICA E RACIOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar

este correspondeu a | do da quarta-feira. Na quinta-feira e na sexta-feira houveigual número de visitantes, cada um deies iguai ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda à sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o número de vipitantes na

(A) segunda-feira foi 120.(B) terça-feira foi 150.(C) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira.(D) quinta-feira foi igual ao da terça-feira.(E) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira.

RESOLUÇÃO:Resumo da questão:

Segunda = 3; de terça-feira.4

Terca = de quarta-feira.3

Quinta = sexta = 2 . segunda.

Vamos observar uma relação:

t = fazendo uma proporção temos: 2.q = 3.t. Logo: q = ÂL

Quinta = 2 . segunda e segunda é igual a Logo temos:4

Quinta = 2.M. = — 3t_. Conclusão: quarta é igual a quinta.4 4 2

Resposta: letra C.

Vamos montar a equação:

S + t + q + qui + sex = 750

5 = 3 '4

3

Quinta = sexta =? 2 * segunda.

rCap. 3 - EQUAÇÕES E SiSTEMA DE EQUAÇÕES 77

Coiocando em função de t, temos as seguintes relações:

S = 2L q = 3/_ qu| - sex =^2 . 3t_ = 3í4 2 4 2

Substituindo na equação, temos:

3/ + t + 3/ + 3 /+ 3/ = 7504 2 2 2 .....

3 /+ 4 / + 6t + 6t + 6/ - 3000

25 t= 3000

25

Segunda: 3, .120 = 90

Quarta = quinta = sexta: J..120 = 180


1. {TRE-BA} Certo dia, uma equipe de técnicos especializados em higiene dentaltrabalhou em um programa de orientação, aos funcionários do tribunal, sobre a prática da higiene bucaí. Sabe-se que 1/3 do totai de membros da equipe atuou no período das 8h às 10h e 2/5 do número restante, das iGh às 12 horas. Se no período da tarde a orientação foi dada pelos últimos 6 técnicos, o total da equipe era:(A) 12(B) 15(C) 18(D) 21(E) 24

2. (TRT 4.a região - 06) Um certo prêmio foi repartido entre 5 pessoas de modo quecada uma recebesse 1/3 da quantia recebida pela anterior. Se a terceira pessoa recebeu R$ 81,00, o total distribuído foi:(A) RS 729,99(B) RS 882,00(C) RS 918,00(D) RS 1.089,00(E) RS 1.260,00


3. (CORREIOS) Subtraindo-se do quádruplo do inverso de um número oito unidades,obtém-se menos dez. O valor desse número é(A) -6.(B) -2. |(C) 1/4.(D) 4.(E) 1/2.

4. (PfVI-2006) Certo mês, todos os agentes de um presídio participaram de programasde atualização sobre segurança. Na primeira semana, o número de participantes correspondeu a % do total e na segunda, ai V* do número restante. Dos que sobraram 3/5 participaram do programa na terceira semana e os últimos 54, na quarta semana. O número de Agentes desse Ipresídio é(A) 200(B) 240(C) 280(D) 300(E) 320

5. (TRT 4.a região - 06) Um armário tem quatro prateleiras. Do total de processosque um auxiliar judiciário deveria arquivar nesse armário, sabe-se que 1/5 foi colocado na primeira prateleira, 1/6 na segunda, 3/8 na terceira e os 62 processos restantes na quarta. Assim sendo, o total de processos arquivados era:(A) 240(B) 210(C) 204(D) 120(E) 105

6. (TRT-BA) O primeiro andar de um prédio vai ser reformado e os funcionários que lá trabalham serão removidos. Se 1/3 do totaí dos funcionários deverão ir para o segundo andar, 2/5 do total para o terceiro andar e os 28 restantes para o quarto andar, o número de funcionários que serão removidos é:(A) 50(B) 84(C) 105(D) 120(E) 150

7. (FCC) O estádio de futebol de uma cidade, depois de passar por obras durante 2anos, será reinaugurado com um grande jogo de início de campeonato regional, entre o time local e o time vencedor do campeonato anterior. Reformaram o campo, os vestiários, os banheiros e ampliaram a capacidade de receber torcedores. Num jogo com lotação máxima, o estádio pode receber 5/6 do total de torcedores em arquibancadas, 1/10 em cadeiras estofadas, e os 1000 torcedores restantes em camarotes. A lotação máxima de torcedores desse estádio é de:(A) 20.000


(B) 30.000(C) 7.500(D) 10.000(E) 15.000

8. Fernando e Orestes foram jogar vídeo game. Fernando: Quantas Fichas você comprou? Orestes: Comprei 3/5 do número de fichas que você comprou. Fernando: Então, se eu der a você 2 fichas, ficaremos com quantias iguais? Orestes: Isso mesmo. Quantas fichas cada um comprou?(A) 4 e 2(B) 5 e 3(C) 6 e 1(D) 10 e 6

9. Em um jogo da Seleção Brasileira de Basquete, Hòrtência, Paula e Janete marcaram juntas 55 pontos. Paula marcou a metade dos pontos de Hòrtência e Hòrtência marcou ò triplo dos pontos de Janete. O total de pontos marcados por Hòrtência foi:(A) 20(B) 23(C) 30(D) 42

10. {PIVI-ES CESPE) Considere a seguinte situação hipotética.Os policiais de uma cidade devem cumprir mandados de prisão. Sabe-se que, se x mandados forem cumpridos: por dia, em 12 dias restarão ainda 26 mandados para serem cumpridos e,ise x + 5 mandados forem cumpridos por dia, em 10 dias restarão22 para serem cumpridos.Nessa situação, a quantidade de mandados de prisão a serem cumpridos é superior a 300.

11. (PIWRB CESPE) Cònsidere-se que, em 2006, 2.700 veículos das marcas mencionadas no texto tenham passado pelo processo de blindagem e que a quantidade de Vectras tenha sido metade da de Coroilas; a de Hiliux tenha sido metade da de Vectras, e a da marca Passat, metade da de Hiliux. Nessa situação, é correto afirmar que mais de 1.500 veícufos da marca Cqrofla passaram pelo processode blindagem em 2006.

12. (PMRB CESPE) Paulo e José apostavam em um jogo de sinuca ao valor de R$ 5,00 a partida. No início do jogo, Paulo tinha R$ 230,00 e José, R$ 120,00. No final do jogo, Paulo e José ficaram com quantias iguais. Nessa situação, a diferença entre o número de partidas vencidas por José e o número de partidas vencidas por Paulo foi superior a 12.

13. (WIPE/AWI CESPE) Considere que, de uma gaveta de um arquivo, tenham sido3retirados, inicialmente, 35 requerimentos e, depois, mais — do que sobrou, fi-

80 MATEMÁTICA E RACiOClNtO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viitar--------------.-----------------------------------------------j

cando, ainda, 76 requerimentos nessa gaveta. Nessa situação, é correto afirmar que nessa gaveta havia mais de 220 requerimentos.

14. (MPE/AM CESPE) Uma das atividades de agentes administrativos do MPE/AM é o arquivamento de documentos, e cada um desses agentes tem uma quantidade determinada de documentos para arquivar diariamente. Se x documentos são arquivados por um agente administrativo em uma hora de trabalho, então, ao finai de sua jornada, que é de 6 horas, ficarão 35 documentos sem arquivar, e se ele arquivar apenas x + 3 documentos em duas horas, então, ao final de sua jornada, restarão 62 documentos para serem arquivados. Nessa situação, a quantidade de documentos que devem ser arquivados diariamente por um agente administrativo é superior a 110.

15. (Cesgranrio) Um botijão de 13 kg de gás de cozinha (GLP) é vendido por RS 30,58. Esse preço é composto de três partes: distribuição e revenda, tributos e preço de custo. Se o valor de distribuição e revenda supera em R$ 1,77 o preço de custo, e o preço de custo supera em R$ 5,09 a parte correspondente aos tributos, qual é, em reais, o preço de custo de um botijão de 13 kg?(A) 13,07(B) 12,49(C) 12,36(D) 11,54(E) 11,30

GABARITO

1 - B 2 - D 3 - B

4 - B 5 - A 6 - C7 - E 8 - D 9 - C10 - C 11 - E 12 - E

13 - C 14 - E 15 - E

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1.° GRAU

O sistema de equação do I,° grau com duas variáveis possui a mesma solução para as duas equações.

Cálculo de um sistema de equação com duas variáveis

Os métodos são: adição, substituição e comparação. Você deve ser perguntar: qual o melhor método? Depende do formato

da questão. Por hora vamos treinar o método da adição.


1.°) Resolva os sistemas abaixo:

\ x + y = 12

| x — y = 4

O processo da adição somente pode ser utilizado quando somarmos as duas equações e uma variável desaparecer.

Nesse caso é possível, pois y somado com -y é igual a zero.

x + y = 12

X — y = 4

Subsistindo o valor de x = 8 na primeira equação (podemos escolher a primeira ou a segunda equação)

Nesse caso não podemos somar as equações direto, pois nem x nem y irão desaparecer. Quando isso acontecer devemos realizar o seguinte processo:

1.° Passo:Escolher uma variável para ser anulada; nesse caso, escolheremos a

variável x.

2.° Passo:Multiplicar as equações pelos coeficientes invertidos de x.Na primeira equação temos 2x, logo o coeficiente de x é 2. A segunda

equação será multiplicada por 2 .

2 x = 1616

x = 8?

x + y = 12 8 + y = 12

y = 12 - 8 y = 4

82 MATEMÁTICA E RACíOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Villar

Na segunda equação temos 3x, logo o coeficiente de x é 3. A primeira equação será multiplicada por 3.

3.° Passo: ■

_ Como os coeficientes são 2 e 3, na hora de multiplicar devemos escolher um dos números para ser negativo. Lembre-se: se os coeficientes tiverem sinais iguais, o produto deve conter; um número negativo e outro positivo; se os coeficientes tiverem sinais diferentes, os números do produto devem ter sinais iguais. Não se esqueça de olhar o sinal!

2x + 3y = l 9(—3)3x + 5y = 31(2)

+ -6x - 9y = -57 6x +1 0 y = 62

y = 5 Obs.: (10 - 9 = 1) Y = 5 (62 - 57)

Escolhendo a primeira equação temos:

2x + 3y ~ 19 2x + 3.5 = 19 2x + 15 - 19 2x = 19 - 15 2x = 4


1. Em uma casa há gatos e pássaros em um total de 12 cabeças e 40 patas. Determine a quantidade de gatos dessa casa:(A) 5(B) 6

(C) 7(D) a <E) 9

Gap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES 83

RESOLUÇÃO:x = pássaros e y = gatos

«(1: expressão x + y = 12 {total de cabeças)II: expressão 2x {pássaro tem duas patas) e 4y (gato tem 4 patas): 2x + 4y ~ 40

f .r+_v = 12

[2x+4j' = 40

Escolhendo a variável y.

v = 12(—4) }2.r + 4;> = 40(1)

-4x - 4y = -48 2x + 4y = 40 -2x = -8(-2)

2x = 8

x = S_ = 4 9

2. Uma menina resolve fazer um teste de 48 questões. Cada questão acertada ela ganha R$ 5,00 e cáda questão errada ela perde R$ 2,00. Se ela ganhou R$ 86,00, determine a quantidade de questões acertadas pela menina.(A) 22 (8) 24(C) 26(D) 28(E) 32

RESOLUÇÃO:X: acertos e y: erros

x + y = 48 (total de questões é a soma dos acertos com os erros). 5x - 2y = 86 (5x é.o valor ganho e 2x é a quantia perdida).

Montando o sistema, temos:

.x + _}' = 48 5x - 2y = 86

84 MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

Anulando a letra y, temos:

| = 48( 2) f

[ 5a— 2v = 8 6 ( l )

~ + 2 x + /2-/ -9 6 5x - ^ = S6

7x — 182

x = IS2 = 26

Resposta: letra C.

3. (CEF) Na saída do trabalho, um grupo de amigos foi a uma padaria e três deles se encarregaram de pagar as despesas. O primeiro pagou RS 3,30 por3 cafés e 2 pães com manteiga. O segundo pagou RS 3,20 por 2 cafés e 3 pães com manteiga. O terceiro piagou, por 2 cafés e 1 pão com manteiga, a quantia de(A) R$ 1,80(B) RS 1,90(C) RS 2,00(D) R$ 2,10(E) RS 2,20

RESOLUÇÃO:c: café e p: pão com manteiga

O primeiro pagou RS 3,30 por 3 cafés e 2 pães com manteiga: 3 c + 2p - 3,30

0 segundo pagou R5 3,20 por 2 cafés e 3 pães com manteiga: 2c + 3p = 3,20

Descobrindo o valor do pão e do café, descobrimos o valor que o terceiro pagou.

7

Montando o sistema, temos:

i:3c+ 2p = 3,30 2c+ 3p = 3,20

Resolvendo o sistema, vamos anular a letra p.

t3 c+ 2p = 3,30(3)

2c + 3/7 = 3,20(-2)

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES 85r9c + õp = 9,90 -4c+-6p = -6,405c = 3,“"

c = M S = 0,705

Substituindo o valor de c na equaçao 3c + 2p = 3,30

3.0,70 + 2p = 3,30 2,10 + 2p = 3,30 2p = 3,30-2,10 2p = 1,20

O terceiro pagou, por 2 cafés e 1 pão com manteiga: 2.0,70 + 0,60 = 1,40 + 0,60 = 2,00.Resposta: letra C.

4. (FCC-2001) Um grupo de policiais encontrava-se em uma saia para assistir a uma projeção sobre segurança nas escolas. No primeiro intervalo ninguém entrou, mas retiraram-se 12 homens e 5 mulheres, restando na sala um número de mulheres igual ao dobro do de homens. No segundo intervalo, ninguém saiu, mas entraram 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao número de mulheres. Qual era o número de pessoas na sala no início da projeção?(A) 75(B) 73(C) 68(D) 65(E) 42

RESOLUÇÃO:Resumo da primeira relação:No primeiro intervalo ninguém entrou, mas retiraram-se 12 homens e 5 mulheres, restando na saia um número de mulheres igual ao dobro do de homens.h - 12: quantidade de homens que restaram e m - 5: quantidade de mulheres que restaram.O dobro do número de homens restantes é igual ao número de mulheres restantes. 2{h - 12} = m -5 2h - 24 = m - 5

2


Resumo da segunda relação:No segundo intervalo, ninguém saiu, mas entraram 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao número de mulheres.h - 12 +18 = h + 6 {Não esqueça de que os 18 homens devem ser somados aos

_ homens restantes, logo h -12).m - 5 + 2 = m - 3 ... .......V.O número de homens igual ao número de mulheresh + 6 = m - 3Retirando as duas equações, temos:I: 2h - 24 = m - 5 e U: h + 6 = m - 3

l: 2h - m = 19 e h - m = -9

J 2/i-m = 19.\ h - m = —9(—I)

+2h-.ní = 19-h + jrrf — 9 '

h - 28 ' ‘ i

II: h - m = -9

28 - m = -9-m = -9 - 28 : ’ ■. ■ \ i' '

-m = -37Í-1) ;m = 37Total: 28 + 37 = 65.

Resposta: letra D.

5. (FCC-2001) Um grupo de policiais em treinamento queria se sentar em bancos espalhados no pátio de um quartei, mas toda vez que 3 sentavam-se em um banco, sobravam 20 policiais em pé e quando sentavam 5 policiais em um banco, sobravam 6 bancos vazios; A quantidade de policiais do grupo era:

(A) 25(B) 50(C) 59(D) 65(E) 95


RESOLUÇÃO:Retirando a primeira relação:Toda vez que 3 sentavam-se em um banco, sobravam)20 policiais em pé.P = 3b + 20

Retirando a segundai relação:Quando sentavam 5 ;polrciais em um banco, sobravam 6 bancos vazios.Cuidado: a quantidade de bancos ocupada é b - 6. Se ligue: 5 vezes a quantidade de bancos ocupados!P = 5(b - 6)

Resolvendo o sistema usando o processo da comparação

P = P5{b - Ô) = 3b + 20 5b - 30 = 3b + 20 5b ~ 3b = 20 + 30 2b = 50

b = 52 = 252

Substituindo b = 25 P = 3.25 + 20 = 75 + 20 = 95.

Resposta: letra E.

na expressão P ~ 3b + 20, temos:


1. (FCC) Em um treino; de basquete, um jogador ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3 pbntos por cada cesta que erra. Em 10 tentativas, um jogador obteve 26 pontos. \ Logo, o número de cestas qué eie acertou foi:(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6(E) 7

2. (TRF 2.a região/2007) De acordo com um relatório; estatístico de 2006, um setor de certa empresa expediu em agosto um total de 1 347 documentos. Se a soma dos documentos expedidos em setembro e outubro foi o triplo do de agosto e

1

8 8 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

o número dos expedidos em setembro ultrapassou o de outubro em 853 unidades, a diferença entre a quantidade de documentos expedidos em setembro e a de agosto foi(A) 165(B) 247(C) 426

* (D) 427(E) 1 100

Texto para as questões 3 e 4.{CODEBA CESPE) Considere que, em um porto, existam 2 grupos de guardas portuários, A e B, e que cada guarda de um mesmo grupo trabalhe a mesma quantidade de horas por dia. Suponha que a soma de horas diárias trabalhadas por 3 guardas do grupo A com as horas diárias trabalhadas por 4 guardas do grupo B seja igual a 87 horas, e que a diferença entre as horas trabalhadas por 4 guardas do grupo B e as horas trabalhadas por 3 guardas do grupo A seja iguai a 33 horas.Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.3 - A soma das horas diárias trabalhadas por um guarda do grupo A com as horas

diárias trabalhadas por um guarda do grupo B é igual a 24 horas.4 - Os guardas do grupo A trabalham mais de 10 horas por dia.

5. (MPE/AM CESPE) Considere a seguinte situação hipotéticaConsidere que 740 espectadores tenham ocupado os camarotes e as cadeiras comuns do teatro para assistir a uma peça e que o preço de cada cadeira tenha sido de RS170.00 e o de cada camarote, para duas pessoas; de R$ 520,00. Considere, ainda, que cada camarote vendido tenha sido de fato ocupado por duas pessoas e que a renda obtida com a venda dos ingressos tenha sido de R$ 133.900,00. Nesse caso, é correto afirmar que mais de 660 pessoas assistiram à peça sentada nas cadeiras comuns do teatro.

6. (MPE/AM CESPE) Julgue o item a seguir: a renda mensal do casai Márcio e Lúciaé igual a R$ 4.600,00. Se Márcio pagar o aluguel do apartamento onde moram, que é de R$ 600,00, e Lúcia, a prestação do carro da família, que é de R$ 420,00, restará a cada um deles a mesma quantia. Nessa situação, a renda de Márcio é inferior a R$ 2.400,00 e a de Lúcia é superior a R$ 2.200,00.

7. O composto de uma substância A e de uma substância B é vendido por R$ 26,00por kg. A substância A é vendida por R$ 30,00 o kg e a substância B por R$20.00 o kg. O preço do composto é calculado em função das quantidades das substâncias e seus preços. Ás quantidades de A e de B no kg desse composto deverá ser, respectivamente(A) 2Q0g e 800g(B) 500g e 500g(C) 700g e 300g(D) 600g e 400g(E) 800g e 200g


8. Um copo cheio de água pesa 425 gramas. Joga-se a metade da água fora e seu peso cai para 250 gramas. Diante desses dados, o peso do copo vazio, é:(A) 55g(B) 60g(C) 65g(D) 70g(E) 75g

Texto para as questões de 9 a 12.O casal Pedro e Marisa, juntamente com o filho Júnior, de 6 anos de idade, foi a um restaurante que serve comida a quilo. A balança do restaurante estava cori) defeito e só funcionava para pesos superiores a 700 g. Assim, depois de se servirem, eles pesaram os pratos dois a dois e os resuitados foram os seguintes:Pedro e Marisa = 1,50 kg; Pedro e Júnior = 1,20 kg; Marisa e Júnior = 0,90 kg. Nessa situação, considerando que o restaurante cobra R$ 16,90 por 1 kg de comida, é correto afirmar que:09 - Pedro comeu tanto quanto Marisa e Júnior juntos.10 - A despesa com a refeição dos três foi superior a R$ 30,00.11 - Nenhum dos pratos pesou mais que 800 g.

12 - Dois dos pratos pesaram, cada um, mais que 850 g.

13. (FUNCAB 2009) Em uma sala existem rapazes e moças. O número de rapazes excede o número de moças em 10 unidades. Se saírem 10 moças da saia, permanecendo todos os rapazes, o número de rapazes passa a ser o dobro do número de moças. O número de pessoas existentes nessa sala é:A) 40 'B) 50C) 60D) 70E) 80

14. {CESPE/AUGE/MG-2G09) Em um concurso estadual, foram aprovados x candidatos, que serão distribuídos para trabalharem em y cidades do estado. Nahipótese de serem encaminhados 2 candidatos para cada cidade, sobrarão 70candidatos para serem distribuídos. Entretanto, no caso de serem encaminhados3 candidatos para cada cidade, será necessário convocar mais 40 candidatos classificados nesse concurso.Assinale a opção que apresenta corretamente o número y de cidades e o número x de candidatos, respectivamente.(A) 22 e 114(B) 30 e 130(C) 110 e 290(D) 120 e 320(E) 150 e 410

9 0 MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

15. (VUNESP) João e Antonio têm R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00, respectivamente. Se, todos os meses, João guardar R$ 250,00 e Antonio guardar R$ 125,00, pode-se afirmar que ambos terão a mesma importância após(A) 36 meses, j(B) 30 meses.(C) 24 meses.(D) 18 meses.(E) 16 meses.

GABARITO

01 - E 02 - E 03 - C

04 - E 05 - E 06 - C

07 - D 08 - E 09 - C

10 - C 11 - E 12 - E

13 - D 14 - C 15 - C

EQUAÇÃO DO 2.° GRAU

Equação do 2.° grau é toda equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ^ 0 , a, b, c e R.

As equações do 2.° grau são classificadas em completas e incompletas.

Completas: São todas as equações do tipo: ax3 + bx + c = 0, com a, b, c ^ 0.

Exemplos: x2 - 5x + 6 = 0

3x2 - 4x - 7 = 0

Incompletas: São equações que possuem b - 0 e/ou c = 0.

Exemplos: x2 - 4x = 0 (c = 0)

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES 91i : ;Resolução de uma equação do 2.° grau

Equações incompletas

A) ax2 + bx = 0

Dica: x = 0 ou x = -

1) Resolva as equações abaixo:

a) x2 - 4x = 0

Temos x3 e 4x,

x(x - 4) - 0 x = 0 ou x - 4 i= 0

x = 4 S = {0,4}

% ' ' Dica: x2 - 4x = 0 a = 1 e b - -4

o termo comum entre eles é o x, por isso temos:

Obs.: a.b = 0, logo temos a = 0 ou b = 0.

-4x == 0 ou x = temos x = 0 o u x = ------=4 .a 1

b) 2x2 - 8x = 0

a = 2 e b = -8

x = 0 ou x = - x = 0 ou x - 4

B) ax2 - c = 0

x - +

Dica: temos: duas raízes simétricas, porém a e c devem possuir sinais diferentes.

92 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Brvno Villar

Exemplo:

a) x2 - 4 = 0 x2 = 4 Ix = +V4

x = ± 2. Logo temos -2 e 2.

b) x2 + 16 — 0

x2 = -16

x = + V - 1 6

Cuidado: considerando 0 conjunto dos números reais, não temos raiz quadrada de número negativo. Nesse caso não temos raiz real.

Equação completa

Fórmula de Bhaskara

—ò+ V Ã x = — = —2 a

A = b2 - 4(a)(c).

Á (lê-se delta, e esse símbolo é 0 discriminante da equação).

RELAÇÃO:À > 0: a equação possui duas raízes reais diferentes.À ~ 0: a equação possui duas raízes reais iguais.À < 0: a equação não possui raiz real.

Resolva as equações abaixo:

a) x2 - 5x + 6 ~ 0

1.° passo: Encontrar os coeficientes, a = 1, b = -5 e c = 6 .


2° passo: Calcular o discriminante. A = b2 - 4(a)(c)A = (-5)* - 4(1 )(6) , A = = 2 5 - 2 4 A = 1

3.° passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara.

~ ò+Va x _ _

- (—5 ) ± v r

X 2.15+1

x= TX, - ^ | - 31 2 2

= 5 ^ 1 , 1 . . 2“ 2 2

As raízes são 2 e 3.

b) x2 - 4x - 572 = 0

1.° passo: Encontrar os coeficientes. a - 1 , b = - 4 e c = -572.

2.° passo: Calcular o discriminante.A = b2 - 4(a)(c)A - (-4)2 - 4(l)(-572)A = 16 + 2288 A = 2304


- b W ÃX 2 a

94 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W /ar

X =— (-4 )± j2 3 0 4

2.1

x = 4+48 í2

x4 + 48 = 52

2 24_4B 44

x.2 2

As raízes são -22 e 26.

c) 2x2 + 3x - 54 = 0

1.° passo: Encontrar os coeficientes, a = 2, b = 3 e c = -54.

2 .° passo: Calcular o discrimmante.A = b2 - 4(a)(c)A = (3 f - 4(2)(54)A = 9 + 432 A = 441


_ — ò+ V Ã

2 a

-(3)+V441x

2.23+21

43 + 21 24

x4 4

x.

As raízes são -4,5 e 6 .


d) x2 + lOx + 25 = O

1.° passo: Encontrar os coeficientes, a = 1, b = -10 e c = 25.

2.° passo: Calcular o discriminante.A = b2 - 4(a)(c)A = (10)2 - 4(1)(25)A = 100 -100 !A = 0

Obs.: A = 0: temos duas raízes reais iguais


—ò+ V Ã

x 2 a

_ ~ ( io ) ± V o

2.1■10+0

x, = x2 = -1 0

e) x2 - 3x + 12

= "5

- 0

1.° passo: Encontrar os coeficientes.a = 1, b = -3 e c = 12.

2.° passo: Calcular o discriminante. A = b2 - 4(a)(c)A = (-3)2 - 4(1)(12)A = 9 - 48 A - -39

Obs.: A < 0: não temos raiz real.

Método do concursando!

96 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vitiar

a) x2 - 5x + 6 = 0í

1.° passo: Encontrar os coeficientes, a = 1, b = -5 e c = 6 .

2.° passo: Fatorar o produto, em números primos.Soma das raízes: -b = -(-5) = 5Produto das raízes: c = 6

Devemos procurar dois números que satisfaçam essas duas condições.

A fatoração do produto ajuda a encontrar esses dois números.

O resultado da fatoração foi 2 e 3.Temos: 2 + 3 = 5 e 2.3= 6 . Satisfaz as nossas condições. Logo 2 e

3 são as raízes da equação.

b) x2 + 7x + 12 = 0

Soma: ~b = (-7) - -1 Produto: c = 12

12

6

31

Nesse caso temos três números para combinar.2 e 2.3 = 2 e 6 (2 + 6 ~ 8 , não correspondente, pois a soma tem

que ser 7).2.2 e 3 = 4 e 3 (4 + 3 = 7, correspondente, pois a soma é 7).

rCap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES 97

SE LIGUE!Escolhemos um número e multiplicamos os demais, em seguida escolhemos dois números e multiplicamos os*demais, e assim sucessivamente.

As raízes são -3 e -4, pois a soma tem que ser -7.

* ................ .......................Dica: Quando o valor de c for positivo, devemos procurar dois números cuja soma seja igual a -b. Nesse caso as raizes terão sinais iguais e o sinal da "soma{-b)’’determÍnará o sinal das raízes.

c) x2 - 20x + 36 = 0

Soma: -b = -(-20) - 20Produto c = 36

36 2

1B 2

9 33 31

Vamos fazer a combinação*:

2 e 2.23.3 = 2 e 18 (a soma é 20)

Logo, 2 e 18 são raízes.

d) x2 - 3x - 180 = 0

Soma: -b — -(-3) = 3 Produto: c ~ -180

Nesse caso temos o c negativo, por isso uma raiz será positiva e a outra negativa. Lembre-se: para o produto ser negativo, os números devem ter sinais diferentes.

98 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno ViUar

Devemos procurar dois números cuja diferença seja = 3 (-b).

180 2

90 2

45 315 35 51

Combinações:

2 e 2.33.5 = 2 e 90 (90 - 2 = 88 , não correspondente, pois a diferença deve ser 3).

2.2 e 3.35 = 4 e 45 (45 - 4 = 42, não correspondente, pois a diferença deve ser 3).

2.23.3 e 3.5 = 12 e 15(15 - 12 = 6 , correspondente, pois a diferença é 3).

As raízes são 12 e 15, porém falta saber a raiz negativa.Sendo a soma 3, o sinal de menos deve ficar no número 12.Se ligue: 15 - 12 = 3 e 12 - 15 = -3.

Agora temos as raízes -12 e 15.

e) 2x2 + 3x - 54 = 0

Nesse caso, temos a ^ 1, porém o processo é o mesmo.

Soma: ~b = -(3) = -3Produto: c.a = -54.2 - -108

Obs.: sendo o produto negativo, deve-se procurar as raízes pela diferença.


108 2

54 2

27 39 33 31

Combinações:

2 e 2.3.3.3 = 2 e 54 (não correspondente, pois a diferença deve ser 3).

2.2 e 3.3.3 = 4 e: 27 (não correspondente, pois a diferença deve ser 3).

2.2.3 e 3.3 = 12 e 9 (correspondente, pois a diferença é 3).

Os valores são 12 e 9, como a soma é -3. Obs.: 12 - 9 = 3 e 9 - 12 = -3

As raízes são -12 e 9, porém falta o fechamento. Como multiplicamoso produto por 2 (o valor de a), devemos dividir as raízes por 2 .

12 * 9— = --6 e -~i 2

= 4,5

Agora sim temos as raízes da equação: -6 e 4,5.

Esse método é fácil e de grande ajuda. É preciso apenas estudar, e para isso foram dispostas equações de treinamento no final do livro.

Lembre-se: "Matemática é uma questão de


prática” (Bruno Vi liar).

1. (TRT-2006) Dois técnicos judiciários receberam, cada um, uma mesma quantidade de processos para arquivar e, ao finai do trabalho, anotaram os respectivos tempos, em horas, que gastaram na execução da tarefa. Se a soma e o produto dos dois tempos anotados eram numericamente iguais a 15 e 54, então quantas horas um gastou a mais que o outro para arquivar o seu tota! de processos?(A) 3


(B) 4(C) 5(D) 6(E)7

RESOLUÇÃO:A questão já informou a soma e o produto.

Soma - 15 Produto = 54

542793I

Combinação:

2 e 3.3.3 - 2 e 27 (não correspondente, pois a soma deve ser 15).2.3 e 3.3 = 6 e 9 (correspondente, pois a soma é 15).

A questão pediu a diferença dos tempos, logo 9 - 6 = 3.Resposta: letra A.

2. (FCC - CEF/2004) Em certo momento, o número de funcionários presentes em uma agência bancária era tal que, se ao seu quadrado somássemos o seu quádruplo, o resultado obtido seria 572. Se 10 deles saíssem da agência, o número de funcionários na agência passaria a ser(A) 12(B) 13(C) 14(D) 15 :(E) 16

RESOLUÇÃO:Resumo: o quadrado de um número = x2.O quádruplo = 4x.


5e ao quadrado somássemos o seu quádruplo, o resultado obtido seria 572.

X3 + 4x = 572 ,x3 + 4 x - 572 = 0

Soma: -b = -4 Produto: c = -572

572 2286 2

143 1311 11]

Como a diferença é 4, a diferença das raízes é pequena, logo é fácii a combinação.

2,11 e 2.13 = 22 e 26

22 - 26 = -4 e 26 - 22 = 4

As raízes são 22 e -26. Como não existe quantidade negativa de pessoas em uma agência, temos x = 22.

A questão informou que saíram 10 funcionários, logo 22 - 1 0 - 1 2 .Resposta: letra A.

3. (TRF) Uma pessoa sabe que, para o transporte de 720 caixas iguais, sua caminhonete teria que fazer no mínimo X viagens, levando em cada uma o mesmo número de caixas. Entretanto, ela preferiu usar sua caminhonete 3 viagens a mais e, assim, a cada viagem ela transportou 12 caixas a menos. Nessas condições o valor de X é:(A) 6(B) 9(C) 10(D) 12(E) 15

RESOLUÇÃO:

I .3 opçãox: número de viagens e y: número de caixas.


Resumo algébrico da questão

I: x.y = 720 !II: (x + 3).(y - 12) = 720

Isolando o y na I expressão temos: y = 720 ' ' • x

Substituindo a expressão y = 229- na ii expressão temos:x

( x + 3 ) ( 220. - 12} = 720jc 7

770 j j i_ ’ 720—12.xColocando a expressão -iáH - 12 no mesmo denominador obtemos: -------------x g ’ -v

(x -f 3) (Z-20~L2f ) « 720

Multiplicando os termos, temos:

720.x—12 r " +2160—3 6.x ■------------~ --------- :-------- = 720

X ' ■ 7--;

Fazendo uma proporção .temos:

-12X2 - 36x + 720x + 2160 = 720x-12X2 - 36 x + 2160 = 0 (: 12} *-x 2 - 3x + 180 = 0 (-1) x2 -f 3x - 180 = 0 '.As raízes são -15 e 12. Como x não pode ser negativo, então x = 12.

Resposta: letra D.

2.a opção: Saída pela resposta

Informações: " •

y = 720 y - 1 2 = J 20,-V .V + 3 ; :

Nesse caso iremos dividir 720 por x e depois por x + 3 se a diferença da resposta for 12, então encontramos a alternativa correta.

rCap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES 103

A) JC = 6

720 = 720 = 120 x 6

.720 - 720 = 720 = 80 x + 3 6 + 3 : 9

120 - 80 í* 12. Logo, não é a resposta correta.

B) x = 9

720 = 720 = 80 x 9

720 = J20. = 720 = 6q x + 3 9+3 12

80 - 60 5* 12. Logo, nao é a resposta correta.

C )x = 10

720 _ 720 x 10

= 72 720 720 720x+ 3 10+3 13

72 - 40 s* 12. Logo, não é a resposta correta.

D) 12

720 „ 720 x 12

60 720 720 720x + 3 12 + 3 15

= 48

60 - 48 = 12. Logo, a resposta correta é a letra D.


01. (BB-01 CESPE/2007} Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos elés. No momento da partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam jus ao quinhão do prêmio, Com a retirada dos amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00.1 ~ Se x é a ; quantidade de elementos

2.800.000 , p o QQQ _ 2.800.000do “grupo de amigos" entao

A quantidade de eiementos do grupo de amigos que fizeram jus ao prêmio é superior a 11.Cada um dos eiementos do “grupo de amigos" que efetivamente pagou a parcela correspondente ao jogo recebeu uma quantia superior a RS 250.000,00.


2. (BB-03 CESPE/2007) Um grupo de amigos saiu para assistir a um Filme no cinema do bairro. Lá chegando, constataram que o preço das entradas para todos, refrigerantes e pipoca era de R$ 585,00. Esse valor deveria ser dividido inicialmente jentre todos do grupo, mas, por delicadeza, os integrantes do grupo que moravam nesse bairro revolveram dividir entre eles o valor correspondente ao que cabia aos 4 integrantes que não moravam no bairro, o que acrescentou à despesa de cada um dos primeiros a quantia de R$ 20,00.Com base nessa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.1 - No grupo de amigos hqvia menos de 8 moradores do bairro onde fica o cinema e a

cada um deles coube uma despesa superior a R$ 70,00.2 - indicando por x a quantidade de pessoas do grupo de amigos e por y a quaniia que

cada um deles deveria iniciatmenle desembolsar, é correto afirmar que x e y são tais que x x y = 585 e 20x - 4y = 80.

3. (TRF-2007) Em fevereiro de 2007, Cesário gastou R$ 54,00 na compra de algunsrolos de fita adesiva, todos de um mesmo tipo. No mês seguinte, o preço unitário desse rolo aumentou em R$ 1,50 e, então, dispondo daquela mesma quantia, ele pôde comprar três rolos a menos do que havia comprado no mês anterior. Nessas condições, em março de 2007, o preço unitário de tal tipo de rolo de fita adesiva era(A) RS 4,00(B) RS 4,50(C) RS 5,00(D) R$ 5,50(E) RS 6,00

4. Alguns técnicos, designados para fazer a manutenção dos 48 microcomputadoresde certa empresa, decidiram dividir igualmente entre si a quantidade de micros a serem vistoriados. Entretanto, no dia em que a tarefa seria realizada, 2 dos técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos presentes vistoriar4 micros a mais que o previsto. Quantos técnicos executaram a tarefa?(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7 <E) 8

5. (BNB) A equação x3 + 13x + 40 = 0 tem duas raízes. Subtraindo a menor da maior obtém-se:(A) %(B) 1(C) 3/2(D) 3(E) -3

6. (CESPE PRF 2008) No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas muitasde trânsito recebidas, por ter cometido várias vezes um mesmo tipo de infração

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SiSTEMA DE EQUAÇÕES 105

de trânsito, e o valor de cada uma dessas muitas Foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor da multa pela mesma infração sofreu úm reajuste de R$ 40,00, eesse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais que em 2006, pagando um totalde R$ 6,720,00. Nessa situação, em 2006, o valor de cada muita era(A) inferior a RS 750,00.(B) superior R$ 750,00 e inferior a RS 850,00.(C) superior a RS 850,00 e inferior a RS 950,00.(D) superior a RS 950,00 e inferior a RS 1.050,00.(E) superior a RS 1.050,00.

7. (TFC) A importância de R$ 2.400,00 deve ser distribuída como prêmio a 20 jovens,entre moços e moças, da seguinte maneira: o total recebido pelos moços deve ser igual ao total recebido pelas moças e cada moço deve receber R$ 50,00 a mais que cada moça. Cada moço receberá, em reais, a importância de;(A) 60,00(B) 80,00(C) 100,00(D) 120,00(E) 150,00

8. (TRT-SF 2004) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi:

(A) 16(B) 18(C) 21(D) 25(E) 27

9. (PiVl-ES CESPE) Considere que as cadeias de um município mantenham 160 albergados igualmente distribuídos em cada uma das celas e que, com a reforma de 20 dessas celas, para manter todos os albergados, tenha sido necessário redistribuir para cada uma das celas restantes 4 albergados. Nessa situação, é correto afirmar que a quantidade total de celas nas cadeias desse município é superior a 45 e que, em cada cela, inicialmente, havia menos de 3 albergados.

10. (TRT-AM) Um técnico administrativo foi incumbido de arquivar 120 processos em X caixas, nas quais todos os processos deveriam ser distribuídos em quantidades iguais. Entretanto, ao executar a tarefa, ele usou apenas X-3 caixas e, com isso, cada caixa ficou com 9 processos a mais que o previsto inicialmente. Nessas condições, o número de processos colocados em cada caixa foi

I : :

(A) 24(B) 22(C) 21

106 MATEMÁTICA E RACiOCtNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Viilar

(D) 17(E) 15

GABARITO

01 - E-E-C 02 - E-C : 03 - E.

04 - A 05 - D 06 - B

07 - C 08 - E 09 - E

10 ~ A

Treinamento fina l do capítu lo ____________________________________

1. (CESGRANRIO) O Centro de Pesquisas da Retrofaras (Cenpes), que está sendoampliado, passará a ter 23 prédios de laboratórios. Se a quantidade atuai de prédios de laboratórios do Cenpes supera em 5 unidades a quantidade de prédios de laboratórios que ocuparão a parte nova, quantos prédios de laboratórios há atualmente?(A) 8(B) 9(C) 12(D) 13(E) 14

2. (FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si a tarefade digitar as 245 páginas de um texto. Entretanto, no dia da divisão, o grupo foi acrescido de mais dois técnicos e, assim, coube a cada membro do novo grupo digitar 14 páginas a menos do que j inicialmente previsto. O número de técnicos que cumpriu a tarefa era(A) 7(B) 6(C) 5

(D) 4(E) 3

3. (FCC) Pretende-se dividir a quantia de R$ 2 500,00 em duas partes tais que asoma da terça parte da primeira com o triplo da segunda seja igual a R$ 2700,00. A diferença positiva entre os valores das duas partes é de(A) R$ 700,00 (8) RS 800,00(C) RS 900,00(D) RS 1 000,00(E) R$ 1 100,00 ■


4. (FCC) Alguns processos a serem arquivados foram distribuídos a très técnicos judiciários, A, B e C, do seguinte modo: B recebeu o triplo de A e C recebeu a metade de B. Se a diferença entre a maior e a menor quantidade de processos distribuídos era de 48 unidades, o total de processos era(A) 132 | :(B) 148(C) 156(D) 168(E) 176

5. (FCC) Alguns técnicos judiciários decidiram dividir igualmente entre si as 300páginas de um texto a ser digitado. Entretanto, úm deles foi designado para outra atividade e, assim, coube a cada um dos outros digitar 15 páginas a mais que o combinado. Ò número de páginas que cada técnico digitou foi(A) 80(B) 75(C) 72(D) 65(E) 60

6. (FCC} Duas cestas idênticas, uma com íaranjas e outra com maçãs, são colocadas juntas em uma balança que acusa massa total igual a 32,5 kg. Juntando as laranjas e as maçãs em uma única cesta, a massa indicada na balança é igual a 31,5 kg. Nestas condições, a massa de duas cestas vazias, em kg, é igual a(A) 0,5(B) 1,0(C) 1,5 .(D) 2,0(E) 2,5

7. (FCC) Um lote de processos deve ser dividido entre os funcionários de uma seçãopara serem arquivados. Se cada funcionário arquivar 16 processos, restarão 8 a serem arquivados. Entretanto, se cada um arquivar 14 processos, sobrarão 32. O número de processos do lote é(A) 186(B) 190(C) 192(D) 194(E) 200

8. (CESGRANIO) Duto que vira horta Na quinta-feira^ a Petrobras terá a primeiracolheita de suas hortas fluminenses. O foco no cultivo de alimentos orgânicos está no projeto de agricultura familiar, iniciado pela estatal nas cidades de Duque de Caxias e Nova Iguaçu em dezembro de 2005.

Jornal O Giobo. 15 maio 2007.


Ao todo, 85 famílias fazem parte desse projeto. Se o número de famílias de Duque de Caxias corresponde ao tripio do número de famílias de Nova Iguaçu, menos 3, quantas são as famílias de Duque de Caxias?(A) 22 f(B) 42(C) 58(D) 63(E) 66

9. (CESGRANRIO) Numa refinaria trabalham homens e mulheres divididos em doisturnos. No primeiro turno, 3/5 dos trabalhadores são homens. No segundo turno, os homens representam 7/11 dos trabalhadores, Sabe-se, também, que são ao todo 696 homens e que no segundo turno trabalham 200 pessoas a mais do que no primeiro. Quantas pessoas trabalham no primeiro turno dessa refinaria?(A) 415(B) 460(C) 567(D) 615(E) 660

10. (CESGRANRIO) Para comprar um sanduíche, um refresco e um sorvete, gastei R$ 9,00. Se eu comprasse um refresco, três sorvetes e um sanduíche, gastaria R$ 15,00. Com a quantia necessária para comprar um sanduíche e um refresco, quantos sorvetes posso comprar?(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(E) 6

11. (CESGRANRIO) Uma empresa aluga saveiros para grupos de turistas por um preço fixo. Se o preço do aluguel for dividido igualmente entre 25 pessoas, cada uma pagará x reais. Se a divisão for entre 20 pessoas, o preço por pessoa será igual a (x + 5) reais. Sendo assim, pode-se concluir que o aluguei desses saveiros custa, em reais:(A) 600,00(B) 500,00(C) 450,00(D) 250,00(E) 200,00

12. (CESGRANRIO) "A WIBR, em um ano de contrato com o Orla Rio, coletou 15.519 litros de óleo de cozinha nos 309 quiosques das praias cariocas. A matéria-prima deu origem a 3 toneladas de sabão pastoso.”

Jornal O Globo, 22 jul. 2008.

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SiSTEMA DE EQUAÇÕES 109

I " “ "

Considere que a quantidade de óleo coletada nos primeiros seis meses tenha correspondido à metade da quantidade coletada nos últimos seis meses, mais 618 iitros. Quantos iitros de óleo foram coietados nos primeiros seis meses?(A) 4.967(B) 5.585(C) 6.687(D) 8.334(E) 9.934

13. (FCC) Do total de processos arquivados por um técnico judiciário, sabe-se que: 3/8 foram arquivados numa primeira etapa e 1/4 numa segunda. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o totai de processos era(A) 18 (8 ) 24(C) 27(D) 30(E) 34

14. (FCC) O chefe de uma seção de certa empresa dispunha de 60 ingressos para um espetáculo, que pretendia dividir igualmente entre seus funcionários. Como no dia da distribuição dos ingressos faltaram 3 funcionários, coube a cada 'um dos outros receber 1 ingresso a mais do que o previsto. O número de ingressos entregues a cada funcionário presente foi(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6(E)7

15. (FCC) No almoxarifado de uma empresa há canetas e borrachas num total de 305 unidades. Se o número de canetas é igual ao triplo do número de borrachas diminuído de 35 unidades, o número de canetas é:(A) 160(B) 190(C) 200(D) 220(E) 250

16. (FCC) Dispõe-se de aigumas pastas para acondicionar um certo número de documentos de um iote. Sabe-se que se forem colocados 30 documentos em cada pasta, sobrarão 36 documentos do lote; entretanto, se cada pasta receber 35 documentos, restarão apenas 11. O total de documentos do lote é um número(A) primo.

110 MATEMÁTICAE RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO -B ru n o VMar

(B) quadrado pérfeito.(C) cubo perfeito.(D) divisível por 5.(E) múltiplo d^ 6.

17. A soma das idades de Gabrieia e izabela é 63ianos. A divisão da idade de uma pela idade da outra é igual a 6. Se Gabrieia é mais velha que izabela, pode-se afirmar que sua idade é iguai a(A) 10 anos.(B) 18 anos.(C) 27 anos.(D) 54 anos.(E) 56 anos.

18. Um proprietário possui dois sítios vizinhos, com áreas diferentes, sendo que a área do sítio menor eqüivale a 3/4 da área do sítio maior. Ele pretende deixar um sitio para cada filho, e estipulou que o filho que ficar com o sítio maior deverá ceder 6 hectares (ha) para o irmão, e assim ambos ficarão com áreas iguais de terra. O sítio menor possui(A) 48 ha.(B) 44 ha.(C) 40 ha.(D) 36 ha.(E) 32 ha.

19. Na doceira, uma consumidora comprou uma dúzia de bombons e meia dúzia de trufas e pagou um total de R$ 42,00. Se ela tivesse comprado meia dúzia de bombons e uma dúzia de trufas, o valor pagó teria sido acrescido em R$ 6,00. Pode-se concluir, então, que o preço de umi bombom e de uma trufa, juntos, é iguai a(A) RS 3,50.(B) RS 4,00.(C) RS 4,50.(D) RS 5,00.(E) R$ 6,00.

20. Bento e Caio tinham, juntos, R$ 96,00. Bento emprestou R$ 20,00 a Caio e restou- lhe a metade da quantia com que Caio ficouL Originalmente, Bento tinha(A) RS 58,00(B) R$ 56,00(C) RS 54,00(D) RS 52,00(E) RS 50,00

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA OE EQUAÇÕES 111

21. (VUNESP 2009) Um determinado presídio abriga um total de 376 detentos em 72 celas. Sabe-se que uma parte dessas celas abriga 4 detentos por cela, e que a outra parte abriga 6 detentos por cela. O número de celas com 4 detentos é igua! a(A) 46.(B) 42.(C) 30.(D) 28.(E) 24.

22. (VUNESP 2009) Uma nova penitenciária foi projetada para acomodar 400 detentos em duas alas, sendo que a capacidade da alá maior corresponde a 5/3 da capacidade da aia menor. A ala maior foi projetada para acomodar(A) 150 detentos.(B) 180 detentos.(C) 240 detentos.(D) 250 detentos.(E) 280 detentos.

23. (VUNESP) Um motorista reservou uma determinada quantia em dinheiro para fazer uma pequena viagem. Gastou a metade da quantia total reservada para colocar combustível no carro, e 2/5 da quantia restante para pagar pedágios, ficando, ainda, com R$ 54,00. Para pagar os pedágios ele gastou um total de(A) R$ 24,00.(B) RS 36,00.(C) R$ 63,00.(D) R$ 72,00.(E) RS 90,00.

24. (VUNESP 2009) Quatro agentes penitenciários fizeram um determinado número total de horas extras no último mês. Sabe-se que Luís fez 1/5 desse total, que Mário fez o triplo dê Luís, que João fez 1/3 do que Luís fez e que Otávio fez 5 horas extras. Pode-se concluir, então, que o número de horas extras que Mário fez nesse mês foi(A) 2,5.(B) 7,5.(C) 15,5.(D) 22,5.(E) 37,5.

112

GABARITO

MATEMÁTICA E RACiOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

1 - E 2 - A 3 - E

<i•ef 5 - B 6 - D7 - E 8 - D 9 - B

10 - A 11 - B 12 - B

13 - B 14 - C 15 - D16 - E 17 - D 18 - D19 - D 20 - D 21 - D22 - D 23 - B 24 - D

MATEMATICA FINANCEIRA BASICA

RAZÃO

E uma divisão ou quociente de dois números inteiros a e b com b ^ O .

q_ b

a é chamado de antecedente e b é chamado de conseqüente.

SE LIGUE!Quando a expressão representar um razão deve ser pronunciada assim:

ba está para b A razão de a/b •

A razão é uma comparação entre grandezas.

Obs.: Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado.

Razões especiais

a) velocidade média

y m = distância tempo

114 MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

b) densidade de corpos

d s= mossa vohar\e

- c) densidade demográfica

_ população área

d) escala

comprimento do desenho Q — ; - comprimento real

Treinamento comentado_______ ___________________________________

1. Em uma sala de aufa há 150 aiunos, sendo 60 moças. Calcule:a) A razão entre o número de moças e o total de alunos.

Devemos seguir a ordem: m99as = ~ - - -3 = ~total 150 150; 15 5

b) A razão entre o número de rapazes e o número de moças.

Devemos seguir a ordem: r..?.P—ze.L - -^2.= = —total 150 150 5

Proporção

É uma igualdade de razoes.Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem,

dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1 .° para o2.° for igual à razão do 3.° para o 4.°. Assim:

/J y*V“ — — ou a:b — c:d (lê-se “a está para b assim como c está para d") b d

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção, a e d os extremos da proporção.

Cap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA 115

Propriedade fundamental da proporção

~ temos a.d = b.c (o produto dos extremos é igual ao produtob a

dos meios).


1. (INSS) A razão entre (o número de homens e de mulheres, funcionários da firmaW, é 2 , Sendo N o inúmero total de funcionários (o número de homens mais o

5número de mulheres}, um possível valor para N é:(A) 46 (8) 49(C) 50(D) 54(E) 56

RESOLUÇÃO:Nessas questões de razão temos proporção/com o objetivo de descobrir o total de

elementos.totalPodemos usar a seguinte fórmula:

As partes são 5 e 3.

soma das partes

x = j y _ ='n_5 + 3 8.

Entre as alternativas, quaí número é divisível por 87

Resposta: letra E.

2. Um certo metal é obtido fundindo-se 15 partes de cobre com 6 partes de zinco. Para obter-se 136,5 Kg desse metal, são necessários:(A) 91,8 kg de cobre(B) 41,5 kg de zinco ;(C) 92 kg de cobre(D) 45 kg de zinco (E} 97,5 kg de cobre


RESOLUÇÃO:K é o coeficiente de proporcionalidade.'

|K = ______ total _____ - 136,5 _ 136,5 _ ^

soma das partes 15 + 6 21

Zinco: K . parte de zinco ~ 6,5.6 ~ 39 kg.Cobre: K . parte de cobre = 15.6,5 ~ 97,5 kg.

Resposta: letra E.

3. (ESAF) Num galinheiro existem galinhas e galos na razão de 17/3. Sabendo-se que o número de galinhas supera em 210 o número de galos, a quantidade de galos é:(A) 30(B) 35(C) 40(D) 45(E) 48

RESOLUÇÃO:Galinhas = 210 + gaios.Galinhas - galos = 210.Cuidado, pois o total é obtido pela diferença. Nesse caso temos:

________total________diferença das partes

910 710K= _ = 151 7 -3 14

Galos: 3.15 = 45

Resposta: letra D.

4. (TRT/CG - 03) Uma empresa resolveu aumentar o seu quadro de funcionários. Numa 1." etapa contratou 20 mulheres, ficando o número de funcionários na razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Numa 2.° etapa foram contratados 10 homens, Ficando o número de funcionários na razão de 3 homens para cada 2 mulheres. Inicialmente, o total de funcionários dessa empresa era:(A) 90(B) 120


(C) 150(D) 180(E) 200

RESOLUÇÃO:1.a Relação: Numa l.a etapa contratou 20 mulheres, ficando o número de funcionários na razão de 4 homens para cada 3 mulheres.Na primeira razão, colocamos as letras e suas variações, por exemplo, a quantidade de mulheres, que foi aumentada em 20, seguindo a ordem dos dados.Na segunda razão colocamos os números correspondentes à proporcionalidade.

h _ 4m + 20 3

2.a Relação: Numa 2.a etapa foram contratados 10 homens, ficando o número de funcionários na razão de 3 homens para cada 2 mulheres.Â quantidade de homens foi aumentada em 10 (h + 10) e as mulheres se mantiveram. Agora, na segunda razão tivemos uma mudança dos números proporcionais.

/i + 10 _ 3 '

m + 20 2

Desenvolvendo a 1.a relação, temos:

h . 4■' 7/1 + 20 ■-■■■■■ 3.

Aplicando a propriedade fundamental.

3h = 4{m + 20}3h = 4m + 80 ;I: 3h - 4m = 80-

Desenvolvendo a 2.a relação, temos:

/; + 10 _ 3 m + 20 “ 2

2(h + 10) = 3(m + 20)2h + 20 = 3m + 60 2h - 3m = 60 - 20

II: 2h - 3m = 40

118 MATEMÁTICA E RAGlOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna W /ar

Montando o sistema com as duas equações temos:

3/j —4w = 80 i 2 h ~ 3 m = 40

Escolhendo a letra h para ser anulada, logo multiplicamos as equações pelos coeficientes invertidos, Não se esqueça do jogo de sinais: se os coeficientes tiverem sinais iguais, um dos números deve'ser negativo na multiplicação;

3// — 4 r n — 80(—2)2/í - 3m = 40(3)

+ -6h + 8m .= -160 6H - 9m = 120- m = -40 (-1) Obs.: a variável não pode assumir valor negativo,

m = 40

Escolhendo uma equação.3h - 4m = 80 3b - 4.40 = 80 3h - 160 = 80 3h = 80 + 160 3h » 240h *= 240 - 80

• ; 3Assim, 80 + 40 = 120.Resposta: letra B.

2.a relação: Saída pela resposta!

x: total (homens mais mulheres).

Na I.3 relação o total foi aumentado em 20 pessoas e os números proporcionais são 4 e 3.

1.a relação: .x + 20

4 + 3

Na 2,a relação foi aumentado em 10 pessoas, logo meros proporcionais são 3 e 2.

2.3 relação: x + 30 3 + 2

x + 20 + 10 = x + 30, e os nú-


Agora, a partir das respostas, encontre uma alternativa que possua uma divisão exata nas duas relações.

A) x = 90

90+20' 110 . , , . , ■ ----------- ---------1 TO nao e divisível por 7 (nao e uma divisão exata).4 + 3 7

B) x = 120

120+20 1401.a:

2.*:

4 + 3 7120+30 150

140 é divisível por 7, então vamos para a segunda relação.

= ------ 150 é divisível por 5, Logo a nossa resposta!3 + 2 ■ 5 ' ' '

5. (FCC) Há 8 anos a idade de “A" era o triplo da de “B" e daqui a 4 anos a idade de “B" será 5/9 da de “A”. Achar a razão entre as idades “A” e “B”.(A) 1/2 (S) 2/1(C) 3/2(D) 2/3 {E> 3/1

RESOLUÇÃO:1.a relação: Há 8 anos a idade e A era o triplo da de "B"As idades estão no passado, logo as idades são A - 8 e B - 8.

Cuidado: A idadè de A no passado é igual ao triplo da idade de B no passado. A - 8 = 3(B - 8)A - 8 ~ 3B - 24 . . . . .A = 38 -2 4 + 8 .A - 3 B - 1 6

2.a relação: daqui a 4 anos a idade de "B" será 5/9 da de "A".As idades estão no futuro, logos as idades são A + 4 e B + 4.

Cuidado: A idade de B no futuro é igual a 5/9 da idade de A no futuro.

120 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGtCO QUANTITATIVO - Bruna Viilar

B + 4 = | ( A + 4)

B + 4 =9

Aplicando a propriedade fundamentai da proporção, temos:

9(B + 4) = 5A + 20 Obs.: não esqueça que A = 3B - 16.9B + 36 = 5(3B - 16) + 20 9B + 36 = 15B - 80 + 20 9B - 15B = -60 - 36 -6B = -96 (-1)68 - 96 ,

'."96 ■B = — = 16. '

■6 ■ • ;V

A = 3B - 16"'A = 3.16 -16 'A = 48-16 A = 32

Resposta: — = — = 2/1B 16 ; \

B.

6. (FCC) Em uma etapa de certa viagem, um motorista percorreu 50 km. Na etapa seguinte, ele percorreu 300 km rodando a uma velocidade três vezes maior. Se ele gastou t horas para percorrer a primeira etapa, o número de horas que ele gastou para percorrer os 300 km da segunda etapa é igual a(A) 1/3(B) t/2(C) t(D) 21(E) 3t

RESOLUÇÃO:Na primeira etapa a velocidade foi:

V = distância — É2. 'V 1 — .tempo i

íCap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA 121

Na segunda etapa a velocidade foi três vezes maior que Vr

V = 3V *■ 2 1

. . , 50 1507 7 -

Na segunda etapa a distância foi de 300 km.

V = distânciatempo

150 =300; -V í x

150x = 300t ;x = 300/

■■■ 150 ■ x = 2t

Resposta: ietra D.


1. (TRE-BA) Dos 16 veículos que se encontravam em uma oficina, sabe-se que onúmero X, dos que necessitavam ajustes mecânicos, correspondia a 5/3 do número Y, dos que necessitavam de substituição de componentes elétricos. Se nenhum desses veículos necessitava dos dois tipos de conserto, então X - Y é:

(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5

2. (TTN) Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira estejapara a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira como6 está para 12. Nessas condições a terceira vale:(A) 120(B) 150(C) 320(D) 300(E) 250

122 MATEMÁTICA £ RAClOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Villar

3. (Aux.Adm.-Nossa caixa) Pretendendo comprar determinado modelo de televisão,Pedro fez uma pesquisa e constatou que os preços das lojas A e B para esse produto estão na razão de 7 para 6.. Se a diferença entre os dois preços é de R$ 160,00, en tão o preço menor é igual a:(A) R$ 860,00(B) R$ 960,00 <C) R$ 980,00(D) R$ 1.020,00(E) RS 1.120,00

4. (TRT-BA) Os salários de dois funcionários A je B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6800,00, qual és a diferença positiva entre os salários dos dois?(A) RS 200,00(B) RS 250,00(C) R$ 300,00(D) R$ 350,00(E) RS 400,00

5. (UFBA) De uma caixa contendo bolas brancas e pretas retiram-se 15 bolas brancas, ficando a relação de uma bola branca para duas bolas pretas. Em seguida, retiram-se 10 pretas, restando, na caixa, bolas na razão de 4 brancas para 3 pretas. Determine quantas bolas havia inicialmente na caixa.(A) 23(B) 16(C) 39(D) 32(E) 36

6. (TRF) Num dado momento, no aimoxarifado de certa empresa, havia dois tiposde impressos: A e B. Após a retirada de 80 unidades de A, observou-se que o número B estava para o de A na proporção de 9 para 5. Em seguida foram retiradas 100 unidades de B e a proporção passou a ser de 7 de B para cada de 5 de A. Inicialmente, o total de impressosf dos dois tipos era:(A) 780(B) 800(C) 840(D) 860(E) 920

7. A razão entre as idades de duas pessoas é atualmente, de 3/4. Há dez anos, essarazão era de 1/3. Pode-se afirmar que a diferença das idades é:(A) 1 ano(B) 3 anos


(C) 4 anos(D) 6 anos(E) 10 anos

8. (TRF-2007) Dos 343 funcionários de uma unidade | do tribunal regional federal,sabe-se que o número de homens está para o número de mulheres assim como5 está para 2. Assim sendo, nessa Unidade, a diferença entre o número de homens e o de mulheres é:(A) 245(B) 147(C) 125(E) 109(E) 98

9. (TRF FCC 2006) Vaífredo fez uma viagem de automóvel, em que percorreu 380km, sem ter feito qualquer parada. Sabe-se que em 3/5 do percurso o veículorodou à velocidade média de 120 km/h

;média de 90 km/h e no restante do percurso, à velocidade Assim, se a viagem teve início quando eram decorridos

69/144 do dia, Valfrédo chegou ao seu destino às(A) 14h18min(B) 14h36min(C) 14h44min(D) 15h18min(E) 15h36min

10. (ESAF MPU 2004) Sé Y é diferente de zero, e se para X, em termos percentuais, é igual a

= 4, então a razão de 2X-Y

(A) 75%.(B) 25%.(C) 57%.(D) 175%.(E) 200%.

GABARITO

1 - D 2 - D 3 - B

4 - E | 5 - C õ - A

7 - C [ 8 - B 9 - D

10 - D


NÚMEROS PROPORCIONAIS

Números diretamente proporcionais

Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando se tem:

x _ y za b c

Exemplo:

Verificar se os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos números 8 , 20 e 60.

Resolução: — = — = ^5. = 2, divisão constante. Logo os números4 10 30

são diretamente proporcionais.

Números inversamente proporcionais

Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando se tem:

x.a ~ y.b = z.c

Exemplo:Verificar se os números 2, 6 e 18 são inversamente proporcionais aos

números 9, 3 e 1.

Resolução: 2.9 = 6.3 = 18.1 “ 18, multiplicação constante. Logo os números são inversamente proporcionais.

Divisão em partes proporcionais

Divisão em partes diretamente proporcionais

Nesse caso aplicamos a fórmula: ----------j-5------ —r soma cias partes

Cap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA 125rTreinamento comentado

1. Divídlndo-se o vaior de R$ 9228,00 em partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 5, o valor correspondente a 3 é, em Reais,(A) 3460,00.(B) 3652,00.(C) 3845,00.(D) 3076,00.(E) 2307,00.

RESOLUÇÃO:Totai: 9228 e as partes são 3,4 e 5.

9228 _ 9228 76g3 + 4 + 5 12

O valor correspondente ao número 3 é: 3.769 = 2307.Resposta: letra E.

2. Divida o número 700 em partes diretamente proporcionais aos números 2 e

RESOLUÇÃO:Nesse caso temos um número fracionário, por isso devemos colocar as partes no mesmo denominador.

Aplicando a fórmula: total , temos:soma das partes

2 e = _ — __i . Nesse caso esquecemos o denominador e agora temos como2 ' 2 ■

partes proporcionais os números 4 e 3.r ?

Aplicando a fórmula: total , temos:. soma das partes

70Q = 7QQ — io o4 + 3 7

1.a parte: 4.100 = 400.

2.a parte: 3.100 = 300.

126 MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

3. (BANERJ) Repartiu-se certa quantia entre Adriana, Fabiana e Marcelo em partes3 4 3proporcionais a e respectivamente, Adriana recebeu $ 8.000,00 menos

do que Fabiaha. A quantia recebida por Marcelo corresponde a:(A) $ 72.000,00

- (B) S 64.000,00(C) $ 60.000,00(D) $ 50.000,00(E) $ 48.000,00

RESOLUÇÃO:

Colocam-se as partes no mesmo denominador: 3., í e l = 30,32 e 154 5 8 40

Resumo:Adriana tem 30 partes;Fabiana tem 32 partes;Marcelo tem 15 partes.

Adriana recebeu $ 8.000,00 menos do que Fabiana.

A partir dessa informação podemos concluir que Adriana recebeu 8000 a menos do que Fabiana e Adriana tem 2 partes a menos do que Fabiana,' por isso temos a ; seguinte conclusão:

2 partes = 80001 parte = 4000

Marcelo tem 15 partes. Logo: 15.4000 = 60000.

Divisão era partes inversamente proporcionais

Nesse caso, antes de aplicar a fórmula -------- devemos’ r soma das partesmverter as partes.

Treinamento comentado __________________

1. (TRT-BA) Três funcionários, A, B e C, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 420 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa

Cap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA 127rde seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se A, B e C trabalham no Tribunal há 3, 5 e 6 anos, respectivamente, o número de formulários que B deverá conferir é:(A) 100(B) 120(C) 200(D) 240(E) 250

RESOLUÇÃO:Nesse caso devemos inverter as partes.

A = i , B = i e C = i3 5 6

Colocando os termos no mesmo denominador, temos:

10 6 5 30

A = 10, B = 6 e C = 5. Cuidado, pois a partir de agora esses números são as partes.

420 42010+6 + 5 21

B = 6.20 = 120. Resposta: letra B.

= 20

2. (TRF-2007) Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45 minutas e resolveram dividir esta quantidade em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se o primeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, a idade do segundo, em anos, é:(A) 30 (8) 31(C) 32(D) 33(E) 35

RESOLUÇÃO:Nesse caso não iremos usar a fórmula, pois não temos uma parte. Logo, iremos usar a relação de números inversamente proporcionais.


Idade Minutas28 25

X 20(45 - 25 = 20)

' O produto entre eies é constante.

20x = 28.2520x = 700

700 x = ----- = 3520


1. (TRT) As sucessões -2; x; y + 1 e z; 5; 8 são inversamente proporcionais é ofator de proporcionalidade entre elas é 120. Então, o valor de x + y - z é:(A) -22(B) 98(C) 22(D) 15(E) -15

2. (PETROBRAS) Dividindo-se $ 3.800,00 em partes inversamente proporcionais a1,3 e 4, a menor parte corresponderá a:(A) $ 475,00(B) $ 520,00(C) S 600,00(D) S 620,00(E) $ 650,00

3. (Banco do Brasil) 165 balas foram distribuídas entre 3 irmãos, cujas idades somadas totalizam 33 anos. Sabendo-se que a distribuição foi diretamente proporcional à idade de cada um, que o mais moço recebeu 40 baias e do meio 50, calcular suas idades.(A) 6, 13 e 14(B) 7, 9 e 17(C) 3, 12 e 18(D) 6, 11 e 16(E) 8, 10 e 15

4. (PIVI-2001) Três policiais decidiram dividir um prêmio em partes inversamente proporcionais ao tempo de serviço dos três na corporação, todos diferentes e


que somados correspondem a 14 anos. O policial mais antigo com 8 anos de serviço recebeu R$200,00. Sabe-se que outro policia! possui o dobro do tempo do mais novo e a metade do mais antigo na corporação, qual foi o valor do prêmio em RÇ?(A) 1.800,00(B) 1.600,00(C) 2.000,00(D) 2.400,00(E) 1.400,00

5. (CEF/FCC 2004} Curiosamente, dois técnicos bancários observaram que, duranteo expediente de certo dia os números de clientes que Haviam atendido eram inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 36 e 48 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi:(A) 20(B) 18(C) 16(D) 14(E) 12

6. (TRE-BA) Dois técnicos em eletricidade, Artur e Boni, trabalham em uma mesma empresa: Boni hã 6 anos e Artur há mais tempo que Boni. Ambos foram incumbidos de instalar 16 aparelhos de áudio em alguns setores da empresa e dividiram a tarefa entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na mesma. Se Artur instalou 4 aparelhos, há quantos anos ele trabalha na empresa?(A ) 8 ' _

(B) 10(C) 12(D) 16(E) 18

7. (FCC TRF 2008) Certa noite, dois técnicos em segurança vistoriaram as 130 salasdo edifício de uma Unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de salas vistoriadas pelo mais jovem foi(A) 68(B) 66(C) 64(D) 62(E) 60

8. (FCC) Na oficina de determinada empresa há um certo número de aparelhos elétricos a serem reparados. Incumbidos de realizar tal tarefa, dois técnicos dividiram o totai de aparelhos entre si, na razão inversa de seus respectivos

I

130 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vtllar

tempos de serviço na empresa: 8 anos e 12 anos. Assim, se a um deles coube 9 aparelhos, o total reparado foi(A) 21(B) 20 I(C) 18

- (D) 15(E) 12

9. (BB FCC 2006) Três pessoas formaram, na data de hoje, uma sociedade com asoma dos capitais investidos iguai a RS 100 OOOjOO. Após um ano, o lucro auferido de R$ 7 500,00 é dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais iniciais investidos. Sabendo-se qúe o valor da parte do lucro que coube ao sócio que recebeu o menor valor é igual ao módulo da diferença entre os valores que receberam os outros dois, tem>se que o valor do capita! iniciai do sócio que entrou com maior valor é:(A) R$ 75 000,00(B) R$ 60 000,00(C) R$ 50 000,00(D) R$ 40 000,00(E) RS 37 500,00

10. (TRT-SP/2004) Três técnicos do TRT foram incumbidos de catalogar alguns documentos e dividiram entre si, na razão inversa de seus tempos de serviço público; 4 anos, 6 anos e 15 anos. Se àquele ique tem 6 anos de serviço coube catalogar 30 documentos, a diferença positivai entre os números de documentos catalogados pelos outros dois é:

(A) 28(B) 33<C) 39(D) 42(E) 55

GABARITO

1 - B 2 - C 3 - E4 - E 5 - E 6 - E7 - A 8 - D 9 - C10 - B .

Cap. 4 - MATEMÁTICA FSNANCESRA BÁSiCA 131

DIVISÃO COMPOSTA

Nesse caso a questão utiliza duas relações proporcionais e multiplicamos as relações;


1. (TRT 24.a região - 03) Caetano fundou uma empresa com um capital de R$300.000,00 e após 8 meses admitiu MHton como! Sócio, com R$ 120.000,00 de capital. Ao completar 1 ano de atividades da empresa, houve um lucrode R$ 170.000,00. Na divisão proporcional desse Milton foi:(A) R$ 20.000,00(B) R$ 40.000,00(C) RS 50.000,00(D) R$ 60.000,00(E) R$ 80.000,00

lucro, a parte que coube a

RESOLUÇÃO:

DP - capital DP-T tempoÇ = 300 000 ' • 12M = 120 000 ; . 4 Centrou após 8 rrleses, logo 4 meses)

DP-capital. DP - tempo

C = 300 000 : 1000 = 30 : 6 = 5. . 1 2 : 4 = 3 "120 000 : 1000 = 12 : 6 - 2 4 : 4 = 1 .

1.a parte: 5.3 = 152.a parte: 2.1 = 2 ■ :

. ) 170000 170000Aplicando a formula: —— :— = —— — = 10000; 15 + 2 17

M: 2.1000 = 20000 '

Resposta: letra A.

132 MATEMÁTICA E RACiOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Villar

2. (TRF) Dois funcionários de uma repartição pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas Idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é:

. (A) 48(B) 50(C) 52(D) 54(E) 56

RESOLUÇÃO:

DP: diretamente proporcional ÍP: inversamente proporcional

DP - idade IP - tempo de serviço

42

Nesse caso invertemos os números inversos, tornando diretos.1:

DP - idade DP - tempo de serviço27 : 1/342 ' 1/9

1 77l .a parte: 27. - = — = 93 3

2.a parte: 42. _ 42 _ 42J _ 14 9 9 9J 3

Colocando as partes no mesmo denominador: _9 e 21 27 e 14

1.3 parte: 27 e 2.B parte: 21.

162Aplicando a fórmula: 162

27 + 14 41

A questão pediu a diferença das partes: 27 - 14 = 13 {diferença das partes).13 . 4 = 52

Resposta: letra C.



1. (FCC) Certo mês, o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionáriosuma gratificação no valor de R$ 500,00. Essa quantia foi dividida entre eles, em partes que eram diretamente proporcionais aos respectivos números de horas de plantões que cumpriram no mês e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se um dos funcionários tinha 36 anos e cumpriu 24 horas de plantões e, o outro, de 45 anos, cumpriu 18 horas, coube ao mais jovem receber:(A) RS 302,50(B) RS 310,00(C) R$ 312,50(D) RS 325,00(E) RS 342,50

2. (TRF) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicosjudiciários do Tribunai Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária.

Idade (em anos) Tempo de Serviço (em anos)

João 36 8

Maria 30 12

Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o toíai de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunai. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era:(A) 39(B) 40(C) 41(D) 42(E) 44

3. (TRF 4.3 região - 2007) Um lote de 210 processos deve ser arquivado. Essa tarefa será dividida entre quatro técnicos judiciários de uma Secretaria da Justiça Federal, segundo o critério: Aluisio e Wilson deverão dividir entre si 2/5 do total de processos do lote na razão direta de suas respectivas idades: 24 e 32 anos; Rogério e Bruno deverão dividir os restantes entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na Secretaria: 20 e 15 anos. Se assim for feito, os técnicos que deverão arquivar a menor e a maior quantidade de processos são respectivamente,(A) Aluisio e Bruno(B) Aluisio e Rogério(C) Wilson e Bruno(D) Wilson e Rogério(E) Rogério e Bruno


GABARITO

uI 2 - D

3 - A

GRANDEZAS

Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, contado.Alguns exemplos de grandeza: volume, massa, superfície, comprimen

to, capacidade, velocidade, tempo, custo e produção.

Grandezas diretamente proporcionais

As grandezas diretamente proporcionais mantêm o mesmo padrão, isto é, se uma dobra a outra também, se uma reduz a terça parte a outra grandeza também reduz na mesma medida; e assim sucessivamente.

Exemplo:Vamos analisar a relação entre tempo e distância.

Tempo (h) Distância {km)2 1203 1804 2405 300

Podemos observar que quando o tempo aumenta a distância também aumenta, mas o que faz as grandezas serem diretamente proporcionais é que quando uma dobra de valor a outra também dobra, mantém o mesmo padrão.

Uma das maiores dúvidas dos alunos é saber quando as grandezas são diretamente ou inversamente. Uma. grande dica é o seguinte: não existe comparação sem ter um parâmetro, por isso antes de comparar procure estabelecer um parâmetro para depois iniciar a comparação. Exemplo: na relação entre tempo-distância o parâmetro é a velocidade.

Principais grandezas diretamente proporcionais:Tempo - distância;Valor - quantidade;

Cap. 4 - MATEMÁTICA FiNANCEiRA BÁSiCA 1 35

Tempo - salário (valor por hora); Pessoas — produção;Tempo ~ produção. *

Grandezas inversamente proporcionais

O produto entre as grandezas inversamente proporcionais é igual, por isso, se uma grandeza dobrar, a outra se reduz à metade, no intuito de conservar o padrão. Podemos então concluir que se uma grandeza for multiplicada por um número a outra será dividida pelo mesmo número.

Exemplo:Vamos analisar a relação entre tempo e velocidade

Tempo (h) Velocidade (Km/h)2 no3 804 605 48

Podemos observar que quando o tempo aumenta a velocidade diminui, pois o produto entre os números é constante: 2.120 = 3.80 = 4.60 = 5.48. Logo^ quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção;

Principais grandezas inversamente proporcionais:Tempo - velocidade Tempo - pessoas Dia ~ hora

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.


Passos utilizados na resolução de uma regra de três simples:

1.°) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2.°) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3.°) M ontar a proporção e resolver a equação.

Treinamento comentado ___________

1. (UEFS) Se um veículo percorre 250 km em 4 horas, com a mesma velocidade, em 10 horas, ele percorrerá:(A) 625 km(B) 875 km(C) 1000 km(D) 1250 km(E) 2500 km

RESOLUÇÃO:

Distância (km) Tempo (h)

250 ■ '.'4

.'.'X

Distância e tempo são grandezas diretamente proporcionais, pois aumentando o tempo, a distância, também aumenta. Nesse caso o parâmetro é a velocidade (constante).'Quando as grandezas forem diretamente proporcionais utilizaremos a reíação fundamentai da proporção, isto é, o produto dos meios é igual ao produto dos meios.

^ 4X 10

4x = 250.10

x = 2500 - 6254

Resposta: íetra A.


I : :2. Uma empresa tem 500 funcionários e distribui, no almoço, durante 30 dias, suco

de frutas correspondente a uma unidade de polpa para cada.Considerando-se que a empresa tenha admitido mais 250 empregados, a quantidade de polpa já adquirida será suficiente para um número de dias igual a:(A) 15(B) 20(C) 25(D) 30(E) 35

RESOLUÇÃO:Nesse caso a quantidade de polpa é a mesma, então não interferi na questão.

Funcionários Dias

500 30750

Funcionários e dias são grandezas inversamente proporcionais, pais aumentando a quantidade de funcionários, a quantidade de dias de consumo da polpa diminui. Nesse caso o parâmetro é a quantidade de polpa.

Funcionários Dias500 ---------- ........... 307 5 0 v . , — _ ------------- X

Quando as grandezas forem inversamente proporcionais, o produto entre elas será constante.

750x = 500.30 750x = 15000x = 15000 = 20 dias

750 ■■ gy/

Resposta: letra B. ;

3. (TRT>6.a regiio-2006) Uma máquina gastou 27 minutos para tirar cópias das páginas de um documento. Se o serviço tivesse sido executado por outra máquina, cuja capacidade operacional fosse iguai a 3/4 da capacidade da primeira, então teriam sido gastos.(A) 36 minutos(B) 30 minutos e 40 segundos(C) 30 minutos

138 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Vtllar

(D) 27 minutos e 30 segundos(E) 20 minutos e 15 segundos

r e so lu ç ã o !

Tempo Capacidade

27 1

' X %

Se diminuir a capacidade, então o tempo deverá aumentar; por isso temos grandezas diretamente proporcionais.

Tempo Capacidade

•27 ---------- -------- 1

3.x = 27.143x = 27. 4 3x = 108

x = 108 = 363

Resposta: letra A.

4. (ANA ESAF 2009) Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em linha reta delimitado com 20 bandeirinhas igualmente espaçadas. A largada é na primeira bandeírinha e a chegada na última. O corredor que está na frente leva exatamente 13 segundos para passar pela 13.a bandeírinha. Se ele mantiver a mesma velocidade durante o restante do trajeto, o valor mais próximo do tempo em que ele correrá o percurso todo será de:(A) 17,54 segundos(B) 19 segundos(C) 20,58 segundos(D) 20 segundos(E) 21,67 segundos

RESOLUÇÃO:Nessa questão devemos ter cuidado! Pois em exatamente 13 segundos eie passa pela 13.° bandeira, porém não esqueça que eie largou da primeira bandeírinha. Conclusão: ele percorreu 12 bandeiras em 13 segundos.

rCap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA 139

Se eie saiu da primeira, iogp, para chegar à vigésima, ele percorre 19 bandeiras.

Tempo Bandeiras13x

Se aumentarmos o tempo, então o percurso também aumentará, logo grandezas diretamente proporcionais.

1 Tempo Bandeiras13 :. 12.:/.:'.'..X .-■VI.:.-,. 19

12x = 13.19 12x = 260

247x = ----- = 20,58 segundos.12

Resposta: letra C


1, Uma ponte é feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores for elevado para 24, o número de dias necessários para construção da mesma ponte será: i(A) 180 (8) 128(C) 100(D) 80(E)6°

2. (CEF) Um técnico bancário foi incumbido de digitar as 48 páginas de um texto.Na tabela abaixo, têm-se os tempos que ele leva, em média, para digitar tais páginas.

NÚMERO DE PÁGINAS TEMPO (MINUTO)

1 122 243 364 48

140 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Villar

Nessas condições, mantida a regularidade mostrada na tabela, após 9 horas de digitação desse texto, o esperado é que:(A) Ainda devam ser digitadas 3 páginas.(B) Todas as páginas tenham sido digitadas.(C) Ainda devam ser digitadas 9 páginas,(D) Ainda devam ser digitadas 8 páginas.(E) Ainda devam ser digitadas 10 páginas.

3. (TRANSPETRO) Luiz vai de bicicleta de sua casa para escola e percorre 4 kmem 20 minutos. Se, pedalando no mesmo ritmo, elo gasta de sua casa pra casa de sua avó 1h e 10 minutos, a distância, em quilômetros, entre as duas casas é de:(A) 14(B) 16(C) 18(D) 20(E) 22

4. Uma fábrica de TV produz diariamente 200 aparelhos. Foram admitidos mais 20 operários e a produção diária passou a ser de 240 aparelhos. O número de operários que trabalhavam na produção da empresa antes da ampliação era:(A) 80(B) 100(C) 120(D) 140(E) 180

5. (FCC) Um agente executou certa tarefa em 3 horas e 40 minutos de trabalho.Outro agente, cuja eficiência é de 80% da do primeiro, executaria a mesma tarefa se trabalhasse por um período de:(A) 2 horas e 16 minutos.(B) 3 horas e 55 minutos.(C) 4 horas e 20 minutos.(D) 4 horas e 35 minutos.(E) 4 horas e 45 minutos.

6. (TRF- 2007) Às 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanque continha 9 050 litros de água. Entretanto, um furo em sua base fez com que a água escoasse em vazão constante e, então, às 18 horas do mesmo dia restavam apenas 8 850 litros de água em seu interior. Considerando que o furo não foi consertado e não foi colocada água dentro do tanque, ele ficou totalmente vazio às(A) 11 horas de 02/06/2007.(B) 12 horas de 02/06/2007.


(C) 12 horas de 03/06/2007.(D) 13 horas de 03/06/2007.(E) 13 horas de 04/06/2007.

7. (TRF) Uma turma de 12 operários deveria executar certa obra. Depois de 5 diasde trabalho, 2 operários adoeceram e abandonaram o serviço. Em quantos dias os operários restantes poderão concluir o trabalho, se, quando os 2 operários se retiram, a turma completa já havia feito metade da obra?(A) 5 (8 ) 6(C) 7(D) 8(E) 9

8. (UFRB 2009) O gerente do SAC (serviço de atendimento ao consumidor) de umaempresa constatou que 30 atendentes são capazes de atender satisfatoriamente, em média, 108 clientes por hora. Quantos funcionários são necessários para que o SAC dessa empresa possa atender, em média, 144 clientes por hora, mantendo a mesma qualidade de atendimento?

I : '

ÍA) 36.(B) 38.(C) 39.(D) 40.(E) 42.

GABARITO

1 - D 2 - A 3 - A■4 - B 5 - D 6 - B7 - B 8 - D

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três possui dois métodos de resolução: o método da comparação (usa as setas, comparando as grandezas) e o método causa e efeito (que não precisa comparar as grandezas).

Vamos juntos aprender o método causa e efeito.

Primeiro devemos saber quais grandezas representam a causa e quais representam o efeito.

142 MATEMÁTICA E RACIOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W lar

Causa Efeito

Tempo (diar hora) Pessoas ôperários) Velocidade média Produtividade

ProduçãoÁreaGrau de dificuldade (da área ou produção}

ConsumoDistância


1. Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 6000 peças em 15 dias, trabalhando i4 horas por dia, é:(A) 2 <B) 8(C) 3(D) 16(E) 4

RESOLUÇÃO:1.°) Separar os quadros da causa de do efeito.

Causa Efeito ■

Funcionários (F) Produção-peça.Horas (H)Dias (D)

CAUSA EFEITO

F H D Peças

8 8 5- J 2000 •

X 4 15 6000

2.°} Fazer o grande x, entre a causa e o efeito.

. CAUSA EFEITO

F H :V D PeçasQ 9 ■ JÕOÓ

/] ‘ 1 s / > 00Q


Se a linha que parte do quadro da causa estiver em cima, efa passa para a linha de baixo, e vice-versa, fazendo o grande x. Os elementos que estão na linha do x ficam embaixo da fração. r

8.8.5.6000 1920000= 164.15.2000 12000

Veja que em nenhum momento comparamos as grandezas em diretas e inversas.

Dica especial: usando a simplificação dos termos--.límí

S.8.5.6000 8 -8 -5'6 000x = S.8.5.6000 _ 8*-8 -5J6 j)Q tf _ 2.8.1.6 _ 8X 6 = 48 =4.15.2000 4M 5 j-2í)0CT

Resposta: letra D.

t s&s 1.3.2

2. (FCC) Uma empresai deseja iniciar a coleta seletiva de resíduos em todas as suas unidades e, para tanto, encomendou a uma gráfica a impressão de 140 000 folhetos explicativos. A metade desses folhetos foi impressa em 3 dias por duas máquinas de mesmo rendimento, funcionando 3 horas por dia. Devido à uma avaria em uma delas, a outra deve imprimir os folhetos que faltam em 2 dias. Para tanto, deve funcionar diariamente por um período de:(A) 9 horas e meia.(B) 9 horas.(C) 8 horas e meia.(D) 8 horas.(E) 7 horas e meia.

RESOLUÇÃO:1.°} Separar os quadrois da causa e do efeito.

Causa

Máquinas (M) Horas (H)Dias (D)

CAUSA EFEITOM H D l Folhetos

2 3 3 70000 (metade dos foihetos)1 X 2 70000 (restante dos folhetos)

1 44 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viliar

2.°) Fazer o grande x, entre a causa e o efeito.

1 CAUSA EFEiTO

F H D Peças

3---------- — -3—---------- “~ -3-— :— 7O0CÍ)

-1--------------- -X ^ 7Ü000

X = 2-3-3.7-eflBfr = m = 3 . 3 - 9 horas;l.: !7 0 0 (» \ 2

Resposta: letra A.

3. Trabalhando 8 horas por dia, 3 jardineiros gastam 4 dias para podar um gramado de 800 m2. Em quanto tempo 2 jardineiros, trabalhando 6 horas por dia, podariam um gramado com 400 m3 e com o dobro de dificuldade anterior?

(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E) 8

RESOLUÇÃO:1.°) Separar os quadros da causa e do efeito.

Causa Efeito

Jardineiro (J) Produção-áreaHoras’ (H) Grau de dificuldadeDias (D)

CAUSA EFEiTO

J H D Área Grau de dificuldade

3 8 4' 800 1 (não informou/ escolhemos o valor)

2 6 X 400 2 (o dobro do anterior)

Csp. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA 1 45

í :--------------------------------------------------------------------------------

2.°) Fazer o grande x, entre a causa e o efeito.

CAUSA '*V .. EFEiTOF Peças Grau de dificuldade

... \v /

x = 3.8.4.400.2 _ 3.8.4.8-OQ- _ 3.4.8 _ >2".S _ g2.6.800.1 2.6.800- 2.6 y í

Resposta: letra E.


1. Na construção de uma obra 120 operários, trabalhando 8h/dia, levarão 100 diaspara terminar o trabalho. Como se deseja terminar a obra em 60 dias de 10h/ dia, o número de operários, para realizar o mesmo serviço é:(A) 80(B) 85(C) 90(D) 100(E) 160

2. {IBGE) Em uma fábrica, quatro máquinas idênticas são capazes de produzir vintepeças em dez horas. Se apenas duas déssas máquinas forem utilizadas, dez peças serão produzidas na seguinte quantidade de horas:(A) 4(B) 8(C) 10(D) 16(E) 20

3. Urna fábrica de confecções, onde trabalhavam 64 costureiras com turno de 6h/dia, produzia 240 blusas em 3 dias. Para reduzir os custos, foram dispensadas algumas costureiras, aumentando a carga horária de trabalho das restantes. Se a produção passou a ser de 100 biusas/dia, com a carga horária de cada costureira aumentada em 1/3, o número de trabalhadoras que foram dispensadas é:(A) 2(B) 3

146 MATEMÁTICA E RACIOClNíO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(C) 4(D) 5(E) 6

4. Certa tarefa pode ser realizada por 16 digitadores em 20 dias trabalhando 6 horasdiárias. Para executar metade desse trabaiho em 16 dias, 12 digitadores teriam

~ que trabalhar diariamente:(A) 3 horas(B) 6 horas(C) 5 horas(D) 4 horas(E) 7 horas

5. (FCC) Em uma gráfica, foram impressos 1 200 panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material ifoí impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de funcionamento. Para imprimir5 000 desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante15 horas

(A) 10 minutos e 40 segundos(B) 24 minutos e 20 segundos(C) 37 minutos e 30 segundos(D) 42 minutos e 20 segundos(E) 58 minutos e 30 segundos

6. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, auma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?(A) 6 horas(B) 8 horas(C) 10 horas(D) 12 horas(E) 14 horas

7. (TRT) Uma equipe de 10 datilógrafos prepara 5.000 páginas datilografadas, em 20 dias de trabalho, trabalhando 4 horas por dia. A equipe recebeu a incumbência de datilografar 6.000 páginas em 15 dias, mas teve dois de seus datilógrafos afastados por motivo de saúde. Nessas condições, para poder atender ao pedido no prazo determinado, a jornada de trabalho deve ser prorrogada em:(A) 2h(B) 2h e 30 min(C) 3h(D) 3h e 30 min(E) 4h


8. (TTN) 24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que formam dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora por dia?(A) 8(B) 11(C) 12(D) 21(E) 18

9. (MF 2009) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8horas por dia, uma òbra ficaria pronta em 24 dias. !Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias essa obra ficaria pronta?(A) 24(B) 16(C) 30(D) 15(E) 20

10. (VUNESP 2009) Na uma equipe de detentos re-oficina de trabalhos manuais, alizou 2/5 de um trabalho em 8 dias, trabalhando 6 horas por dia. Mantendo a mesma produtividade por hora e trabalhando 2 horas a mais por dia, essa mesma equipe terminará o projeto em mais(A) 8 dias.(B) 9 dias.(C) 10 dias.(D) 11 dias.(E) 12 dias.

GABARITO

1 - E 2 - C 3 - C4 - C 5 - C 6 - C7 - E ! 8 - D 9 - C10 - B

PORCENTAGEM

A porcentagem é muito utilizada no nosso cotidiano, porém muitas pessoas ainda têm dificuldades com porcentagem.

148 MATEMÁTICA E RACiOCiNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

A noção de porcentagem:

a% =100,ou 0 ,0a

Exemplos:

5% _ 5100

ou 0,05 (a vírgula corre duas casas para a esquerda)

32-1% - ü ou °’321 120% = ou 1,2

Vamos aprender o cálculo da porcentagem

Exemplos:

a) quanto é 40% de 120?

1.a opcão: -^— .120 = 4^ 1 ° = = 48100 100 100

2 .a opção: utilizando o método da regra de três simples. O número 120 é base, logo corresponde a 100%.

Valor Percentual (%)

120 100X 40

lOOx = 120.40 lOOx - 4800

x = 4 ^ = 48100

b) quanto é 17,5% de 32?

, , ~ 17,5 _ 17,5.32 560 , r1. opçao: rrzh-.j2 - —7 — = T7T7T = 5,6100 100 100

r Cap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

2.a opção: utilizando o método da regra de três simples. O número 32 é base, logo corresponde a 100%.

Valor Percentual (%)32 100X 17,5

lOOx = 32.17,5 lOOx = 560

x = 560 = 5 6 100 ’

c) quanto é 25% de 75?

1.° opção: utilizando a regra de três.O número 75 é base, logo corresponde a 100%.

Valor Percentual (%)75 10025 X

75x = 25.100 75x = 25Q0

x = 1500 = 33 3 3 o/ 75

2.a opção: usando a fórmula mnne} ° ,100base

25 100 = 2 |Ç 0 = 33330 /75 75

1) calcule:a) 15% de 30b) 12% de 24c) 120% de 45

149

1 50 MATEMÁTICA E RACIOCÍNíO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

d) 72% de 1420

e) 12% de 30í) Que peijCentual 20 é de 80?

g) Que percentual 120 é de 210?

h) Que percentual 10,5 é de 30?

GABARITO

a) 4,5 b) 2,88 c) 54d) 1022,4 e) 3,6 f) 25%g) 57,14% h) 35%


1. (UNEB) Uma pessoa contrata um advogado que consegue receber 85% do valor de uma questão avaliada em R$200 000,00 e cobra a título de honorários, 20% da quantia recebida. O valor recebido, em reais, por essa pessoa, já descontado os ônus advocatícios, foi:(A) 128 000(B) 153 000(C) 136 000(D) 170 000(E) 147 000

RESOLUÇÃO:1.a parte: o advogado consegue receber 85% da causa de 200000.

85% de 200000 = -^5_.200000 = 170QP-Q0Q. = 170 000 (valor recebido da causa)100 100

2.a parte: o advogado cobra 20% do valor recebido da causa.Percentual do advogado: 20%, e percentual do cliente: 80%.Como desejamos saber o valor que o cliente recebeu, vamos calcular 80% de 170000.

80 , i7onnn = 80,170000 = 13600000 _ -j 35000 100 100 ‘ 100

I


período da tarde em quatro2. (CEF) Certo dia, do totai de pessoas atendidas no caixas de um banco, sabe-se que o

- caixa 1 atendeu a 30%,

- caixa 2 não atendeu a 79% e

- caixa 3 não atendeu a 75%.

O número de pessoas atendidas peto caixa 4 corresponde a que porcentagem do total?(A) 21%(B) 22%

(C) 23%(D) 24%(E) 25%

RESOLUÇÃO:

Caíxa Atendeu Não atendeu,'1; . 30% 70%

'■■■ 2 79%

3 \ . 25% 75%

A soma- atendida peíos 4 caixas deve ser igual a 100%. 30 + 21 + 25 + X - 100 X + 76 = 100 x - i o o -76 x « 24%

Resposta: letra D'.

3. (UNEB) Em uma loja há a seguinte promoção “lieve 20 unidades e pague o preço de 17”. O desconto concedido por essa loja, sobre o preço de cada unidade é:(A) 10%(B) 17,5%(C) 15%(D) 20%(E) 17%

152 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO — Bruna Vitiar

RESOLUÇÃO:Se pagar por 20 unidades, está pagando-por 100%, então vamos ver que percentual representa 17 peças.

Peças Percentual

20 100

17 X

20x = 17.100

20x = 1700

x = 1200 _ 85%20

Se deveríamos pagar 100% e pagamos 85%, iogo 100 - 85 = 15% de desconto.

Resposta: letra C.

4. (TRF-2006) Em agosto de 2006, Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguei de sua casa. A partir de setembro de 2006, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em 35%. Nessas condições, para o reajuste, a porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar mensalmente é:(A) 22,5%(B) 25%(C) 27,5 %(D) 30%(E) 32,5%

RESOLUÇÃO:A questão apenas informa o percentual, por isso vamos supor que o salário de Josué seja 100. Sempre que a questão informar o percentual e não informar o vaior, vamos utilizar o número base 100. Não esqueça que qualquer percentual de 100 é o próprio número.

Exemplo: 15% de 100 = 15.

Salário de Josué = 100.

Logo o aluguel será: 20 {20% de 100 = 20%)

Cap. 4 - MATEMÁTICA FiNANCEIRA BÁSICA 153

Cálculo do novo salário:Salário de agosto = 100.Salário de setembro: 8% maior que o salário de agosto: 100 -f 8 (8% de 100) = 108.

Cálculo do novo aluguel:Aluguel de agosto: 20.Aluguei de setembro: 35% maior que o aluguel de agosto: 20 + 7 {35% de 20) = 20 + 7 = 27

Obs.: 35% de 20 = .20 = = 7100 100

Percentual do novo aluguel em relação ao salário:Que percentual 27 é de 108?

XL .100 = = 25%I0S ios

Resposta: íetra 8.

5. {ANA ESAF 2009) Em um ponto de um canal, passam em média 25 barcos por hora quando está chovendo e 35 barcos por hora quando não está chovendo, exceto nos domingos, quando a frequência dos barcos cai em 20%. Qual o valor mais próximo do número médio de barcos que passaram por hora neste ponto, em um Fim de semana, se choveu durante 2/3 das horas do sábado e durante 1/3 das horas do domingo?(A) 24,33(B) 26,83-(C) 25,67(D) 27,00(E) 30,00

RESOLUÇÃO:Vamos calcular o total de barcos do dia de sábado,25 barcos por hora quando está chovendo e 35 barcos quando não está chovendo. No dia de sábado 2/3 das horas choveram.

•=-.24 (total de horas do dia) = = — = 163 3 3

16 horas de chuva, logo 8 horas sem chover.

Chovendo: 25.16 = 400. Não chovendo: 35.8 = 280.

154 MATEMÁTICA E RACtOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bmno Villar

Total de sábado: 400 + 280 = 680.

Vamos calculai o total de barcos do dra de domingo.Agora, antes devemos observar que no dia de domingo ocorre uma redução de

- '.20%. .Chovendo por hora: 25 “ 5 (20% de 25) = 20.Não chovendo por hora: 35 ~ 7 (20% de 35) = 28.No dia de domingo choveu durante 1/3 do dia.

— 24 = = 24 83 3 3 ’

8 horas de chuva. Logo 16 horas sem chover.

Chovendo: 20.8 = 160.Não chovendo: 16.28 — 448.

Total do domingo: 160 + 448 = 608.

Totaí do final de semana: 680 + 608 = 1288.Total de horas do final de semana: 48 (2 dias).

Média por hora do final de semana: — — = 26,83.48

Resposta: ietra B.


1. (TRT-BA FCC 2003) Pedi certa quantia emprestada a meu irmão. Já lhe devolvi R$ 254,40, que correspondem a 80% do valorj que ele me emprestou. Se não há pagamento de juros o valor total da divida: é:(A) R$ 63,00(B) R$ 203,50(C) RS 318,00(D) RS 2035,20(E) RS 3180,00

2. (TRF-2007) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se que um técnico judiciário arquivou 8% no período da manhã e 8% do número restante à tarde.

Cap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSiCA 155

Relativamente ao total de processos que recebeu, o número daqueles que deixaram de ser arquivados corresponde a(A) 84,64%(B) 85,68%(C) 86,76%(D) 87,98%(E) 89,84%

3. (TRT BAHIA FCC 2003} Dos 120 funcionários convidados para assistir a uma palestra sobre doenças sexualmente transmissíveis; somente 72 compareceram. Em relação ao total de funcionários convidados, esse número representa:(A) 45%(B) 50%(C) 55%(D) 60%(E) 65%

4. (TRT SP FCC 2004) Do total de documentos de um lote, sabe-se que 5% devemser encaminhados ao setor de recursos humanos; 35% ao setor de recursos financeiros e os 168 restantes ao setor de materiais. O total de documentos desse lote é:(A) 240(B) 250(C) 280(D) 320(E) 350

5. (TRT 2.a região 2007 FCC) Sobre os 55 técnicos e auxiliares judiciários que trabalham em uma Unidade do Tribunai Regional Federal, é verdade que:I. 60% dos técnicos são casados;II. 40% dos auxiliares| não são casados;III. o número de técnicos não casados é 12.Nessas condições, o total de(A) auxiliares casados é 10.(8) pessoas não casadas é 30.(C) técnicos é 35.(D) técnicos casados é 20.(E) auxiliares é 25.

6. (VUNESP2009) Um eletricista usou 60% de um rolo de fio de cobre para fazer umadeterminada ligação. Em seguida, usou 25% da quantidade de fio que restou no rolo para fazer 10 ligações iguais, utilizando 80 cm de fio em cada uma. Esse rolo tinha, inicialmente, uma quantidade de fio igual a(A) 94 m.(B) 80 m.


(C) 66 m.(D) 40 m.(E) 32 m.

í7. (UFPR 2009) Segundo dados do IBGE, no ano de 2000, a população de São José

do Pinhais era de 204.316 habitantes. Estima-se que no ano de 2009 essa população supere a marca de 280.000 habitantes, o que representa um crescimento:(A) inferior a 28%.(B) entre 28% e 30%.(C) entre 30% e 33%.(D) entre 33% e 36%.(E) superior a 36%.

8. (ANA ESAF 2009) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% deáguas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d’água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre sí nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após se encontrarem,(A) 41%(B) 35%(C) 45%(D) 49%(E) 55%

(CESPE) Fazendo o seu balanço anual de despesas, uma famHía de classe média verificou que os gastos com moradia foram o dobro dos gastos com educação; os gastos com alimentação foram 50% superiores aos gastos com educação; e, finalmente, os gastos com alimentação e educação, juntos, representaram o triplo dos gastos com saúde. Julgue em certo (C) ou errado(E) os itens abaixo.Com base na situação hipotética acima, juigue os itens que se seguem.

09. Os dados apresentados permitem concluir que os gastos com saúde foram superiores a R$ 15.000,00.

10. É possível que essa família tenha gasto um total de R$ 36.000,00 com o item moradia e um total de R$ 28.000,00 com o item alimentação.

11. Os gastos com alimentação foram 80% superiores aos gastos com saúde.

12. Se os gastos com saúde foram superiores a R$ 10.000,00, é correto afirmar que os gastos com educação foram superiores a R$ 12.000,00.

13. Admitindo-se que a família não contraiu dívidas durante o ano em que foi efetuado o balanço, é correto concluir que sua renda anual foi superior a 6 vezes os seus gastos com saúde.


14. (FCC) Certo dia, devido a fortes chuvas, 40% do total de funcionários de certo setor de uma Unidade do Tribunal Regional Federal faltaram ao serviço. No dia seguinte, devido a uma greve dos ônibus, compareceram ao trabalho apenas 30% do total de funcionários desse setor. Se no segundo desses dias faltaram ao serviço 21 pessoas, o número de funcionários que compareceram ao serviço no dia da chuva foi:(A) 18(B) 17(C) 15(D) 13 (£) 12

15. Uma certa quantidade de dados cadastrais está armazenada em dois disquetes e em discos compactos (CDs). A razão entre o número de disquetes e de discos compactos, nessa ordem, é 3/2. Em relação ao total desses objetos, a porcentagem de(A) disquetes é 30%.(B) discos compactos é 25%.(C) disquetes é 60%.(D) discos compactos é 30%.(E) disquetes é 75%.

GABARITO

1 - c 2 - A 3 - D4 - C 5 - E 6 - B7 - E 8 - A 9 - E

10 - E 11 - C 12 - C13 - C 14 - A 15 - C

Transformação de fração em porcentagem

Para transformar fracão em porcentagem é necessário multiplicá-la por 1 0 0 .

Exemplo:1/5 corresponde a que percentual?

1 .1 0 0 = ^ = 2 0 %5 5

158 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Vfflar

2/3 corresponde a que percentual?

1 . 1 0 0 = ^ = 6 6 ,6 6 %3 l 3

Treinam ento com entado

1. (TRE-PJ) Em uma seção do tribunal havia certo número de processos a serem arquivados. O número de processos arquivados por um funcionário correspondeu a 1/4 do totai e dos arquivados por outro correspondeu a 2/5 do número restantes. Em relação ao número inicial, a porcentagem de processos que deixaram de ser arquivados foi:(A) 35%(B) 42%(C) 45%(D) 50%(E) 52%

RESOLUÇÃO:1.a etapa: 1/4 do totai. '

1/100 = 25%

Logo, na primeira etapa foram feitos 25% do totai.

2.a etapa: 2/5 do número restante.Se na primeira já foram feitos 259b do total, logo resta 100- 25 = 75%.

1501 7 5 -2 .7 5 5 5

= 30

Total parcial: 25 + 30 = 55%. Restante: 100 - 55 =45%.

Resposta: letra C.

2. (MF 2009 ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participante com três ou mais graduações. Assim, qual o número mais próximo do percentual de participantes com duas graduações?(A) 40%


(B) 33%(C) 57%(D) 50%(E) 25%

RESOLUÇÃO:

Matemática: 1/4 = 259b

Geoiogía: 2/5 = 40% '

Economia: 1/3 = 33,3%

Biologia: 1/4 = 2590

Química: 1/3 — 33,3%

Totai de percentual: 25 + 40 + 33,3 + 25 + 33r3 = 156,66%.

A questão informa que ninguém faz 3 cursas ou mais. Logo 156,66 - 100 - 56,66% é o excesso. Assim, a porcentagem mais próxima é 57%.

Resposta: letra C.

Operações comerciais

Para dar inicio aos estudos sobre lucro ou prejuízo, deve-se observar que o preço inicial sempre corresponde a 100% (ou preço base).

Primeiro vamos estudar o lucro ou ágio.Essas palavras representam o aumento do percentual.

Exemplos:

10% de lucro = 1 0 0 + 10 = 110%

15% de lucro = 100 + 1 5 =115%

Agora, vamos estudar o desconto ou prejuízo.

10% de desconto = 100 - 10 = 90%

25% de prejuízo = 100 - 25 = 75%

160 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno V7//ar


1. Um televisor foi comprado numa liquidaçao por R$ 570,00, já deduzidos os 5% de abatimentp. Qual o vaíor do televisor antes do abatimento?(A) RS 600,00(B) RS 650,00(C) RS 570,00(D) RS 700,00(E) R$ 620,00

RESOLUÇÃO:O preço inicial será x e corresponde a 100%.O televisor foi vendido com 5% de desconto, por isso corresponde a 95% do preço inicial. Lembre-se: 5% de desconto = 95% (100 - 5%).

Preço Percentual

570X . 1 0 0

95x = 570 10095x = 57000X = 57000 = goo

95

Resposta: letra A.

2. Em dezembro de 2006, um comerciante aumentou em 40% o preço de venda de um microcomputador. No mês seguinte, o novo preço foi diminuído em 40% e, então, o micro passou a ser vendido por R$ 1 411,20. Assim, antes do aumento de dezembro, tal micro era vendido por(A) R$ 1411,20(B) RS 1 590,00(C) RS 1 680,00(D) RS 1 694,40(E) RS 1 721,10

RESOLUÇÃO.Cuidado não é porque o aumento e o desconto foram o mesmo que o preço se mantém. O aumento foi sòbre 100% e o desconto sobre o aumento.

rCap. 4 ~ MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA 161

1.3 etapa: aumento de 40%.Preço inicial: 100%40% de aumento = 100 + 40 = 140%.

2.a etapa: redução de 40%.Cuidado, pois a redução é sobre os 140%.

40% de 140 = f o o ’140 = = 56

140 - 56 = 84 % (valor restante, em reiação ao total). 84% de x correspondem a R$ 1411,20.

Preço Percentual

1411,20 84

x 100

84x 84x

X =

Resposta: íetra C.

3. (TRF FCC) Uma pessoa comprou um microcomputador de valor X reais, pagando por ele 85% do seu valor. Tempos depois, vendeu-o com lucro de 20% sobre o preço pago e nas seguintes condições: 40% do total como entrada e o restante em 4 parcelas iguais de R$ 306,00 cada. O número X é igual a(A) 2 200(B) 2 150(C) 2 100(D) 2 050(E )2 000

RESOLUÇÃO:1.a etapa:O computador foi comprado por 85% de x.A venda foi com 20% sobre o preço de compra.Percentual de venda: 85 + 17 (20% de 85) = 102% de x.

= 1411,20.100 = 141120

I f U m = 1680 84

1 62 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÕGICO QUANTITATIVO - Bmno Vitlar

2.° etapa: descobrir o preço de venda.40% do total .como entrada e d restante em 4 parcelas iguais de R$ 306,GO cada. Conclusão: 60<& do preço de venda é igual a 1224 (4.306 = 1224).A variável y é preço de venda.

Preço Percentual

1224 60

y : 100

60y = 1224.100 60y = 122400

y - 122400 - 2040 60

Conciusão: 2040 é o preço de venda e corresponde a 102% de x.

Preço Percentual.2040 102

X 100

102x = 2040.100 102x = 204000 x = Ip lQOO _ 2Q00

Resposta: letra E.


1. (IBGE 2009) Certa loja ofereceu, de 1 a 10 de fevereiro, 20% de desconto em todas as mercadorias, em relação ao preço cobrado em janeiro. Pensando em vender mais, o dono da loja resolveu aumentar o desconto e, de 11 a 20 de fevereiro, este passou a ser de 30% em relação ao preço de janeiro. Uma pessoa pagou no dia 9 de fevereiro, R$ 72,00 por certa mercadoria. Quanto ela pagaria, em reais, pela mesma mercadoria se a compra fosse feita em 12 de fevereiro?(A) 27,00(B) 56,00(C) 61,20


(D) 63,00(E) 64,80

2. (UFRB) Após um aumento1'de 5,5%, o aluguel de Cristiano passou a custar R$348,15. Qual era o valor do aluguel de Cristiano antes desse aumento?(A) RS 325,00.(B) RS 330,00.(C) RS 336,00.(D) RS 340,00.(E) RS 328,00

3. (FCC) Um comerciante comprou 150 caixas de papelão a R$ 1,00 cada uma. Vendeu1/3 do total a R$ 1,50 cada e as restantes a R$ 1,80 cada. A sua porcentagem de lucro nessa transação foi de:(A) 62%(B) 62,5%(C) 65%(D) 65,5%(E) 70%

4. Duas lojas têm o mesmo preço de tabela para um mesmo artigo e ambas oferecem dois descontos; sucessivos ao comprador: uma, de 20% e 20%; e a outra, de 30% e 10%. Na escolha da melhor opção, um comprador obterá, sobre o preço de tabela, um ganho de(A) 34%(B) 36%(C) 37%(D) 39%(E) 40%

GABARITO

1 - D 2 - B3 - E 4 - G

Desafios de porcentagem

1. (MPU 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia neces-


sária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser iguai a(A) R$ 25,00.(B) R$ 30,00.|(C) RS 40,00.(D) R$ 50,00.(E) RS 60,00.

RESOLUÇÃO:1.a Etapa: Construir a primeira relação.Resumo: Contatados 60% dos associados, contribuíram com R$ 60,00 e verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura.x - total de associados e y = fundo destinado à nova pintura

I: 60% de x.60 = 75% de y. Obs.: 60% - 0,6 e 75% « 0,75 I: 0,6x.60 = 0,75y I: 36x =* 0,75y

2.° Etapa: construir a segunda relação.Resumo: o restante dos associados contribuiu com uma quantia z.Se na primeira etapa 60% dos associados contribuíram, então faltam 40%.Se na primeira etapa foram arrecadados 75% do tota), então faltam 25% de y.

II: 40% de x.z - 25% de yII: 0,4.xz '=' 0,25y '

Comparando as duas relações:I: 36x = 0,75y e II: 0,4.xz = 0,25y

Se dividirmos a primeira relação por 3, o segundo termo de ambas as expressões será igual.

I: 36x = 0,75y (:3)I: 12x = 0,25 yII: 0,4.xz = 0,25y , ^

0,25y = 0,25y0,4xz = 12x

0,4.v 4 X

Resposta: letra B.

Cap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEiRA BÁSICA 1 65

r2. (TRT) Em uma papelaria, o preço de certo tipo de caneta é o triplo do preço

de certo tipo de lapiseira. Uma pessoa comprou 6 dessas canetas e algumas dessas lapiseiras e, ao receber a conta para pagar, verificou que os números de canetas e lapiseiras pedidos haviam sido trocados, acarretando com isso um aumento de 50°/o sobre o vaior a ser pago. O número de lapiseiras compradas era(A) 6(B) 8(C) 10(D) 12(E) 14

RESOLUÇÃO:C = caneta e L = lapiseira.C.^ ,V:''

1.° relação: uma pessoa comprou 6 dessas canetas e algumas dessas lapiseiras e, ao receber a conta para pagar.x = quantidade desconhecida e y = valor pago.

I: 6C + xL = y

2.a relação: verificou que os números de canetas e lapiseiras pedidos haviam sido trocados, acarretando com isso um aumento de 50% sobre o valor a ser pago.Não esqueça: 50% de aumento - 100 + 50 - 150% = 1,5.

A quantidade de elementos foi trocada, por isso temos: ll: xC + ÕL = 1,5y

Podemos fazer uma suposição de que a lapiseira custa R$ 1,00.C = 3 L . T 'C = 3.1 = 3. Vamòs substituir esses valores nas expressões. l:6C + xL = y tl: xC + 6L = 1,5yi: 6.3 + x.1 = y II: 3x + 6.1 = 1,5y1: 18 + x = y II: 3x + 6 = 1,5y

Agora temos um sistema de equações.

.f — 18 3x—\,5y = — 6


Resolvendo o sistema:

J.r—j ' “ —18(.—1,5) [ 3 x - } , 5 y =1-6(1)

+ -l,5x + 1,5y = 27 3x +-1,5y.= -6

1,5x = 21x = l i

1,5

Resposta: letra E.

3. (TRT 2.3 região - 04) Do total de técnicos judiciários que executam certa tarefa, sabe-se que 1/5 são do sexo feminino e 10% ido número de homens trabalham no setor de R.H. (recursos humanos). Se 54 desses técnicos são do sexo masculino e não trabaiham no setor de R.H., quantas mulheres executaram tal tarefa?(A) 15(B) 18(C) 20(D) 25(E) 27

RESOLUÇÃO:Devemos nessa questão ter um pouco de atenção.

Sexo feminino = 1/5 do total = 20% do total.Sexo masculino = 4/5 do total —80% do total.

Relação dos homens:Se 10% do número de homens trabalham no setor de R.H. (recursos humanos), então 90% não trabalham nesse setor.90% dos homens correspondem a 54. .

Homens Percentual

5 4 v;; 90

V;Vi;'-; :x 100


90x = 54.100 90x = 5400 • ; ' ' x = M 90 _ qo homens.

90

O número de homens corresponde a 80% do total.

Total Percentual

60 80

X / /.20'

80x = 60.20 80x ss 1200x = 1^00 = -|5 mulheres.

80

Resposta: íetra A.

JUROS SÍMFLES

Noções iniciais (Nomenclatura atual)

Juros (J): é a importância que se recebe ou se paga, com o com pensação, quando se empresta ou se toma emprestada certa quantia por certo tempo.

Capital (C): é a quantia que se empresta, também chamada de principal.

M ontante (M): é a som a do capital em pregado com o juro obtido, M = C + J

Taxa (i): é a taxa percentual referente a um intervalo de tem po, em que os juros são calculados.

Tempo (t): é o período durante o qual o capital fica aplicado. O tempo pode ser dado em dias, m eses ou anos.

Capitalização Simples (juros simples)

Quando os juros, nos vários períodos, são calculados sobre o valor do capital inicial, d izem os que a capitalização é feita no regim e de juros sim ples.

168 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar. . _ !

/**! » >

Tem os então que: J =

J = juros C ~ capital i = taxa t = tempo

Observações:1) A taxa e o tempo devem estar no mesmo período de referência.

2) Usando a fórmula: J = -yjj— não é preciso transformar o percentual.

3) Os juros são diretamente proporcionais ao capital aplicado(c), à taxa de mercado (i) e ao tempo da operação.

4) Podem-se usar taxas proporcionais em juros simples.

Cálculo do montante: M = C + J ou M = C(l+in)

Treinamento básico comentado

1. Calcule os juros de R$ 6000,00 aplicados durante 10 meses, à taxa de 2% ao mês, a juros simples.

RESOLUÇÃO:Deve-se primeiro retirar os dados.

C — 6000i - 2% t = 10, CJ± ■:

■ íoo ...■ _ 6000.2.10 120000

100 100

2. Calcule os juros simples do capital de R$ 4000,00, empregados à taxa de 6,5 %a.a., em 8 meses.

RESOLUÇÃO:Deve-se primeiro retirar os dados.C ss 4000


i = 6,5% a.a. t = 8 meses

Nesse caso, temos taxa e tempo com períodos diferentes.

Meses Ano

12

8 \ X

12x = 8.1j£_ - 2 ano.

12 12 C.iJ 100

4000.6,5.2 52000100.3 300 166,66

3. Calcular o montante do capitai de R$ 1800,00 colocado a juros simples, à taxa de 5% a.a*, durante 720 dias.

RESOLUÇÃO:Deve-se primeiro retirar os dados.

C = 1800.i = 5% a.a.t = 720 dias = 2 anos.

i „100

, _ 1800.5.2 _ 180001 íõõ ' “iôT 18nCuidado: a questão pediu o montante! M = C + JM = 1800 + 180 — -1980


1. (TCE-Pi) Durante o mês de abril, um capital de R$ 20000,00, foi colocado no open market (sistema de juros simples) pelo prazo de 24 dias, tendo produzido

_______________ MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO -Bruno Villar

um montante de R$ 24800,00. A ta x a a m ,a i ;esteve aplicado foi: juros simples a que esse capitai(A) 30%(8) 80%(C) 120%(D) 360%{£} 720%

RESOLUÇÃO:C = 20000 M = 24800 J = M - CJ = 24800 - 20000 « 4800

í = ?t - 24 diasj - cjj

4800

100200-00-.Í.24

1-00- ■ " •24.200i = 4800 48001 = 4800

‘ = 4800 “ 1% {taxa ao dia- P°is o tempo utilizado está em dia)1% ao dia = 360% ao ano. '

Resposta: íetra D.

2- (CONTADOR-RECÍFE) Um capita! é aplicado a íjuros simpfes a uma taxa ri* w: í S ’“aoto ,empo— -»üs LTeUi%d0%3/:(A) 3 meses e meio(B) 4 meses (O) 4 meses e 10 dias(D) 4 meses e meio(E) 4 meses e 20 dias

RESOLUÇÃO:

O juro total é de 14% e,o juro mensa! é de 3%.

Taxa . tempo = taxa total


3.t — 14 14t - - j - = 4,66666... = 4 meses e 20 dias.

Obs.:0,6666...

20 dias

3. Uma loja de eletrodomésticos vende uma teíevísãò por RS 1500,00 à vista. A prazo, a loja vende por R$ 1800,00, sendo R$ 300,00 de entrada e o restante após 1 ano. Sabendo-se que a loja opera com juros simples, a taxa de juros cobrada, ao ano, é de:(A) 10,00%(B) 16,66%(C) 20,00%(D) 25,00%(E) 40,00%

nessa questão!RESOLUÇÃO;Devemos ficar atentos

C = 1500 - 300 = 1200 M = 1800 - 300 = 1500

Cuidado: a dívida de hoje é R$ 1500,00, mas como foi feito um pagamento de R$300,00, então a quantia financiada é R$ 1200,00.

J = 1500 - 1200 = 300, = au_

100300 = 1200Í.1

10012i = 300

300 = 25% a.a.12

Resposta: Íetra D.

4. Uma loja vende seus produtos com pagamentos em duas prestações mensais iguais, sem juros. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto, um desconto de 10% é concedido se

1 7 2 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

o cliente pagar à vista. Na realidade essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de:(A) 10%(B) 20%(C) 11,11%(D) 25%(E) 15%

RESOLUÇÃO:Nesse caso, podemos atribuir um valor base para o produto, que será R$ 100,00.

Sè o pagamento for realizado à vísta, serão pagos R$ 90,00 (10% de desconto). Podemos concluir que a dívida reaf de hoje é R$ 90,00 e não R$ 100,00.

Pagamento parcelado: R$ 50,00 (hoje) + R$ 50,00 (em 30 dias).

Capital: 90 - 50 = 40.0 valor de hoje é 90, porém há um pagamento de,50, logo o vaior devido é 40.Esse valor de 40 que não foi pago irá gerar um pagamento de 50 daqui a 30 dias, já que no pagamento parcelado não há'desconto.

M = 50J = 50 -4 0 = 10. t = 1 mês. j „ C.i.t

100

10 = .40.*. 1 100

40i = 10.100

1 - _ 25% ao mês.40

5. (FCC) Um capital com juros correspondentes a 5 meses, eleva-se a R$ 74.825,00.O mesmo capital, com juros correspondentes a 8 meses, eleva-se a R$ 75.920,00. Qual foi a taxa anual de juros empregada?(A) 4%(B) 5%(C) 6%(D) 7%(E) 8%

rCap. 4 ~ MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA 173

RESOLUÇÃO:C + 5J = 74825 C + 8J ~ 75920

Podemos observar que a diferença entre as equações é: 3J = 1095

j = i ^ p - = 365

C + 5J = 74825 C + 5.365 = 74825 C + 1825 = 74825 C = 74825 - 1825 :C = 73000

C = 73000 t = 1 mês J = 365:i - ?

j _ C.i.t100

o5c = 73000./. 1 . 100

730i = 365

i = U I = 0,5% a.m ;

0,5% . 12 = 6% ao ano

Resposta: íetra C.

6. (CEF) Um capital foi aplicado a juro simples e, ao completar um período de 1ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 4 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de 3(A) 2%(8) 2,2%(C) 2,5%(D) 2,6%(E) 2,8%


: I

RESOLUÇÃO:

1 -ss 1,4 — 140%5

C = 100% e J - 40%T = 1 ano e 4 meses ~ 16 meses.Taxa . tempo = taxa total (juros totais)16i = 40

i = — = 2,5% ao mês 16

Resposta: letra C.


1. (FCC) Um capital acrescido dos seus juros, durante 24 meses, perfaz um totaí equivalente a seus 4- A taxa de juros (anual) a que foi empregada é de:(A) 24%(B) 26%(C) 28%(D) 30%(E) 32%

2 ge pessoa deseja obter um rendimento de R$ 27000,00, dispondode R$ 90000,00 de capital, que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de 5 meses?(A) 10%(B) 3%(C) 5%(D) 8%(E) 5,5%

3. (TFC-ESAF) Um capital é aplicado a juros simples à taxa de 4% ao mês por quarenta e cinco dias. Calcule os juros como porcentagem do capital aplicado.(A) 4%(B) 4,5%(C) 6%(D) 5%(E) 6,12%

Gap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA 175

4. {TRT 2.3 região - 04) Uma pessoa tem R$ 20.000,00 para apücar a juros simples.Se aplica R$ 5.000,00 à taxa mensal de 2,5% e R$ 7.000,00 à taxa mensal de1,8%, então, para obter um juro anua! de R$ 4.932,00, deve aplicar o restante à taxa mensal de:(A) 2%(B) 2,1%(C) 2,4%(D) 2,5%(E) 2,8%

5. (CEF) Um capital de R$ 15 000,00 foi aplicado a juro simples à taxa bimestralde 3%, Para que seja obtido um montante de R$ 19 050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de:(A) 1 ano e 10 meses.(B) 1 ano e 9 meses.(C) 1 ano e 8 meses.(D) 1 ano e 6 meses.(E) 1 ano e 4 meses.

6. (CEF) Numa aplicação a juro simples um capital produz em 2 meses o montantede R$ 5 460,00. Se aplicado à mesma taxa mensal, o mesmo capital produziria,

o montante de R$ 5 850,00. O valor desse capital éao final de 5 meses,(A) R$ 5 280,00(B) R$ 5 200,00(C) R$ 5 180,00(D) R$ 5 100,00(E) R$ 5 008,00

7. (TRT 4.3 região - 06) Uma pessoa tem R$ 2.000,00 para investir. Se aplicar % dessaquantia a juros simples, ã taxa mensal de 5%, então, para obter um rendimento mensal de R$ 90,00, deverá investir o restante à taxa mensal de:(A) 1%(B) 2%(C) 3%(D) 4%(E) 5%

8. (BESC) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 jou em dois pagamentos deR$ 80,00 cada um: o primeiro no ato da compra, è o segundo, um mês após a compra. Os que optam peio pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a:(A) 14,29%;(B) 13,33%; '*(C) 9,86%;(D) 7,14%;(E) 6,67%.


í

9. (Banco do Brasil) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duasparcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?(A) 6%; '(B) 5%;

- (C) 4%;(D) 3%;(E) 2%,

10. Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$7200.00. Sabe-se que, o dobro deste capitai fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de RS40000.00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi:(A) RS 24000,00;(B) RS 20800,00;(C) R$ 15200,00;(D) R$ 12500,00;(E) R$ 10400,00.

11. (TRF 2006/ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias.(A) RS 2.000,00(B) RS 2.100,00(C) R$ 2.120,00(D) RS 2.400,00(E) RS 2.420,00

GABARITO

1 - D 2 ~ B 3 - C

4 - A 5 - D 6 ~ B

i n 00 1 > 9 - B

0 1 m 1 >

Juros Compostos

Em juros compostos, diferentemente do que ocorre com juros simples, os juros a partir do segundo período são calculados sobre o montante do período anterior, daí a conhecida frase “juros sobre juros” . Temos gora que:

rM = C (1 + i)‘


Observações:1) Os juros são capitalizados exponencialmente (progressão geométrica).

2) A expressão capitalização está diretamente ligada a juros compostos (a não ser que no problema fale em capitalização simples).

3) A taxa e o tempo, obrigatoriamente, obedecem ao período da capitalização. Caso não seja dado, adotaremos o período da taxa.

4) A fórmula de juros compostos pouco utilizada: J = C [(1+ i)1 - 1].

Treinamento comentado ____ ___

1. (UFiWG) A quantia de R$ 15000,00 é emprestada a uma taxa de juros de 20% ao mês. Aplicando-se juros compostos, o valor que deverá ser pago para quitação da dívida, três meses depois, é:(A) R$ 24 000,00 <B> R$ 25 920,00(C) R$ 40 920,00(D) R$ 42 000,00(E) R$ 48 000,00

RESOLUÇÃO:C =15000

í = 20% = 0,2

t = 3

M = C (1+ i)1 M = 15000 (1 + 0,2)3M = 15000 (1,2)3 \ V

: M = 1500.1,728 •M = 25920

obs: 1,23 = (1,2}( 1,2)( 1,2) = 1,728

Resposta: letra B.

178 MATEMÁTICA E RACiOClNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

2. (CEF) Num regime de capitalização composta, o montante Wl, resultante da aplicação de um capitai C à taxa porcentual i, por n períodos, é dado pela lei M = C.(1+i). Assim, dados M, C e n, a taxa i pode ser calculada pela expressão:(A) i = (M!CYnt ((B) i = (M-C)/C)™(C) i = (M1BI - Cm)ICím

~ (D) i - (MM - CN)/C"(E) i = ((M+C)/C)"

RESOLUÇÃO:Toda vez que a questão solicitar a taxa, em juros compostos, iremos "sair" por essa fórmula:

Nesse caso devemos desenvolver a fórmula.

Í K = M i

& C"Resumindo temos:

iM l - 1 = (M'/N - C,/N)/C,/N ô '

Reposta: letra D.

3. {CESPE/UNB) Determinada quantia é investidaj à taxa de juros compostos de20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicadadeve-se esperar:

log5(A) ---------- trimestreslogl,05

Iog2(B) ---------- trimestres

logl,05

(C) trimestres logl,2

loc2(D) — - — trimestres Iogl,2

(E) trimestreslogI,2


RESOLUÇÃO:Quando a questão solicitar o tempo, utilizaremos a seguinte fórmula:

t = lo g C logW

Cuidado: a questão envolve taxa nominal.taxa não coincide com o período da capitalização, a taxa éQuando o período da

dita nominaL Ex.: 120% a.ar com capitalização mensal. 24% a.b, com capitalização mensal.

Em Taxa Nominal devem-se usar taxas proporcionais.Exemplo: 120% a.a. com capitalização mensal. Na verdade a taxa real é de 10%.

Agora que sabemos o que é taxa nominal, vamos responder a questão.í = 20% ao ano, capitalizados trimestralmente = 5% ao i = 0,05M = 2C (o montante é o dobro do capital)

trimestre

c = c

r _ _ l ° o ~ Iog''log

ando

1 - IW - i+0.05log log

Exercício do concun.

1. (CEF) Um capital de o de R$ 1.200,00, à compostos:

R$ 2.000,00 foi aplicado à tax taxa de 2% a.m. por 30 dias

a de 3% a.m. por 60 dias, e . Se a aplicação foi a juros

(A) O montante total recebido foi de RS 3.308,48(8 ) O montante total recebido foi de RS 3.361,92(C) O montante total recebido foi de R$ 4.135,64(D A diferença positiva (E) A diferença positiva

entre os montantes recebidos foi de R$ 897,80 entre os montantes recebidos foi de R$ 935,86

2. (Banco do Brasil) Se aplicarmos R$ 25 000,00 a juros compostos, rendendo a 7% a cada bimestrej Quanto teremos após 3 anos?(A) 25 000 (1,70)°(B) 25 000 (1,70)’°

180 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATiVO - Bruno Viltar

(C) 25 000 (0.70)3(D) 25 000 (1,07),B(E) 25 000 (0,70)'°

I3. (BACEN) Um capitai de R$ 4.000,00, aplicado a 2% ao mês, durante três meses,

na capitalização composta, gera um montante de:(A) RS 6.000,00(B) RS 4.240,00(C) RS 5.500,00(D) RS 4.244,83(E) RS 6.240,00

4. (BC) Um capital de R$ 1000,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 30%ao mês. O montante, após 2 meses, era:(A) RS 1600,00(B) RS 1630,00(C) RS 1670,00(D) RS 1690,00(E) R$ 1720,00

5. (BC) Um capital de R$ 8000,00 foi aplicado a juros compostos durante 2 meses,obtendo-se no final do prazo um montante de R$ 12.500,00. A taxa mensa! de juros desse investimento está compreendida entre:(A) 1% e 10%(B) 10% e 20%(C) 20% e 30%(D) 30% e 40%(E) 40% e 50%

6. (BC) Apliquei a metade de um capital “C” a juros compostos, à taxa de 40% aobimestre durante 4 meses e a outra metade a juros simples, durante o mesmo prazo. Para que os montantes dos investimentos sejam iguais, a taxa mensal do segundo investimento deverá ser:(A) 24%(B) 23,5%(C) 23%(D) 22,5%(E) 22%

7. (CEF) Um capital de R$ 2 500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regimede capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serio(A) RS 98,00(B) R$ 101,00


(C) RS 110,00(D) RS 114,00(E) RS 121,00

8. (CEF) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2 000,00 em 05/06/97 e R$ 3 000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de(A) RS 5 320,00(B) RS 5 480,00(C) RS 5 620,00(D) RS 5 680,00(E) R$ 5 720,00

GABARITO

1 - D 2 - D 3 - D4 - D 5 - C 6 - A7 - B 8 - E

Treinamento final do capítulo______________________________________

1, (ICIVIS-SP-) Um capita! de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, durantetrês meses. Os montantes correspondentes obtidos segundo a capitalização simples e composta, respectivamente, valem:(A) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45(B) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00(C) RS 2.185,45 e RS 2.480,00(D) RS 2.785,45 e R$ 2.480,00(E) RS 6.180,00 e R$ 4.394,00

2. (VUNESP) Trezentos detentos foram transferidos de um presídio superlotado edistribuídos em -outras duas penitenciárias, em quantidades diretamente proporcionais ao número de vagas disponíveis em cada uma. Se a penitenciária A tinha 420 vagas disponíveis e se a penitenciária B recebeu 100 detentos, então o número de vagas disponíveis na penitenciária B era(A) 230.(B) 210.(C) 200.(D) 180.(E) 170.

"*1^


3. Numa viagem de navio, só existem passageiros de cinco nacionalidades: brasileira, argentina, canadense, portuguesa e francesa, e não existem pessoas com dupla nacionalidade.Sabe-se que: j30% dos passageiros são argentinos;

_ 95% dos passageiros não são canadenses;65% dos passageiros não são franceses;O percentual de passageiros brasileiros é iguai ao percentual de passageiros portugueses desse navio. Com base em todas as informações dadas, podemos garantir que o percentual de passageiros desse navio que são brasileiros é:(A) 10%(B) 15%(C) 20%(D) 25%(E) 30%

4. (BNB/2003) Uma loja oferece uma motocicleta por R$ 4.000,00 à vista ou por 50%deste valor à vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.200,00 após 4 meses. Qual é a taxa de juros simples mensal! cobrada?(A) 0,025% ao mês(B) 0,150% ao mês(C) 1,500% ao mês(D) 2,500% ao mês(E) 5,000% ao mês

5. (ÂFRE-CE/2006) Qual o capitai que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% aomês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?(A) R$ 20.000,00.(B) R$ 20.100,00.(C) R$ 20.420,00.(D) RS 22.000,00.(E) R$ 21.400,00.

6. Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00.Sabe-se que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi:(A) RS 24.000.00;(B) RS 20.800,00;(C) R$ 15.200.00;(D) R$ 12.500,00;(E) RS 10.400.00.


I ~ ~

7. (TRF-ESAF/ 2006) Um Indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje. Considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos.(A) RS 1.380,00(B) RS 1.371,00(C) RS 1.360,00(D) RS 1.349,00(E) RS 1.344,00

8. (FCC) O preço de um aparelho eletrodoméstico é P reais. Como eu só possuoX reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$154,00 para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo é(A) RS 254,00(B) RS 242,00(C) RS 237,00(D) RS 220,00(E) RS 210,00

9. (FCC) O preço para a execução de um trabalho de prótese dentária é o resultadoda adição do custo lho no qual o valor

10. (FCC) Se a razão entre dois números é 4/5 e sua deles é(A) primo.(B) divisível por 5.(C) múltiplo de 7.(D) divisível por 6.(E) múltiplo de 9.

11. (FCC) Dois sócios constituíram uma empresa com! capitais iguais, sendo que o primeiro fundou a empresa e o segundo foi admitido 4 meses depois. No fim de um ano de atividades, a empresa apresentou um lucro de R$ 20 000,00. Eles receberam, respectivamente,(A) RS 10.500,00 e R$ 9.500,00(B) RS 12.000,00 e RS 8.000,00(C) R$ 13.800,00 e RS 6.200,00

do material com o valor da mão-de-obra. Em certo traba- da mão-de-obra foi orçado em 80% do custo do material,

o protético fez um desconto de 5% ao cliente, que pagou R$ 513,00. O preço estipulado pela mãò-de-obra desse trabalho foi de(A) R$ 389,00(B) RS 300,00(C) R$ 285,00(D) RS 270,00(E) RS 240,00

soma é igual a 27, o menor


(D) RS 15.000,00 e RS 5.000,00(E) RS 16.000,00 e RS 4.000,00

12. (TRE FCC 2(^04) Um totai de 141 documentos devem ser catalogados por três técnicos judiciários. Para cumprir a tarefa, dividiram os documentos entre si, em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 24, 36 e 42 anos.

. Nessas condições, o número de documentos que coube ao mais jovem foi(A) 78(B) 63(C) 57(D) 42(E) 36

13. (TRE FCC 2004) Certo dia, um técnico judiciário constatou que, de cada 8 pessoas que atendera, 5 eram do sexo feminino. Se, nesse dia, ele atendeu a 96 pessoas, quantas eram do sexo masculino?(A) 30(B) 32(C) 34(D) 36(E) 38

14. Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, o técnico de 30 anos recebeu(A) 2 micros a mais do que o de 24 anos.(B) 4 micros a menos do que o de 36 anos.(C) 4 micros a menos do que o de 24 anos.(D) 6 micros a menos do que o de 36 anos.(E) 9 micros a menos do que o de 24 anos.

15. (FCC 2008) Em uma partida entre Flamengo e Corinthians, o número de torcedores do Flamengo está para o número de torcedores do Corinthians assim como 3 está para 4. Sabendo-se que, no jogo, a soma de torcedores dos dois times é igual a 25235, o número de torcedores do Corinthians presente no estádio é igual a(A) 14580(B) 14560(C) 14520(D) 14480(E) 14420

16. (FCC 2008) Três pessoas organizaram um negócio entrando com capitais5x _— e — (jc é natural positivo e os valores estao em reais). Ao finai do primeiro


f '

mês de negócio, o sócio que recebeu a menor parcela do lucro total ganhou R$ 1600,00. Sabendo que os três sócios repartem o lucro proporcionalmente ao capital que cada um investiu no negócio, o lucro total do negócio ao final do primeiro mês, em reai£, foi de(A) 7.100,00(B) 7.000,00(C) 6.900,00(D) 6.800,00 {£) 6.700,00

17. (IRB ESAF/2004) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado.(A) 30%(B) 31,3%(C) 32,2%(D) 33,1%(E) 34%

18. (FCC 2008} Após um aumento de 15% no preço da gasolina, um posto passou a vender o litro do combustível por R$ 2,599. O preço do litro de gasolina antes do aumento, em reais, era igual a(A) 2,31(B) 2,26 <C) 2,23(D) 2,21(E) 2,18 -

19. (FCC) A cada dia o trânsito de São Paulo mata em média 4,3 pessoas („.). São2 pedestres, 1,3 motociclistas, 0,8 condutor/passageiro, e 0,2 ciclistas mortos por dia.(Adaptado do O Estado de São Paulo, 8/09/08)De acordo com os dados, dentre as pessoas mortas diariamente com o trânsito de São Paulo, a porcentagem de motociclistas é de, aproximadamente,

(A) 34%(B) 32%(C) 30%(D) 28%(E) 26%

20. Considere que uma máquina específica seja capaz de montar um livro de 400 páginas em 5 minutos de funcionamento ininterrupto. Assim sendo, outra máquina, com 50% da capacidade operacional da primeira, montaria um livro de 200 páginas após funcionar ininterruptamente por um período de(A) 2 minutos e 30 segundos.

1 86 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar. : ; |

(B) 5 minutos.(C) 6 minutos e 15 segundos.(D) 7 minutos.(E) 7 minutos| e 30 segundos.

21. (IRB-2006/ESAF) Um capital de 1000 unidades monetárias foi aplicado durante um mês a 3% ao mês, tendo o montante ao fim do mês sido reapiicado no segundo mês a 4% ao mês e o montante ao fim do segundo mês sido reapiicado no terceiro mês a 5% ao mês. Indique o montante ao fim do terceiro mês.(A) 1.170(B) 1.124,76(C) 1.120(D) 1.116,65(E) 1.110

22. (AFRE-CE/2006) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?(A) RS 20.000,00.(B) R$ 20.100,00.(C) RS 20.420,00.(D) RS 22.000,00.(E) R$ 21.400,00.

23. (FCC) Certo dia, dois técnicos judiciários do Tribunal Regional do Trabalho efetuaram a manutenção de X microcomputadores. Para a realização dessa tarefa, eles dividiram os X micros entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos no serviço público: 8 e 12 anos. Se o técnico com maior número de anos de serviço fez a manutenção de 16 micros, então X é um número(A) ímpar.(B) menor do que 10.(C) divisível por 6.(D) maior do que 30.(E) quadrado perfeito.

24. Uma loja vende um aparelho de televisão por R$ 500,00 à vista ou então a prazo, com 20 % de entrada mais uma parcela de R$ 440,00 dois meses após a compra. A taxa mensal de juros compostos do financiamento, na forma de-cimal, é dada por:

(A) (1 ,0 8 )*-1 ;

(B) (1,10)’ -1;

(C) (1,125)*-1;

(D) (1 ,2 5 )*-1 ;

(E) (1 ,12 )*-1 .


25. (CESGRANRIO) Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar um montante de R$ 18.634,00, após 3 anos, a uma taxa composta de 10% a.a.?(A) 14.325,00(B) 14.000,00(C) 13.425,00(D) 12.000,00(E) 10.000,00

GABARIT O

1 - a : 2 - B

CÚi

4 - D ; 5 - B 6 - E

7 - A | 8 - E 9 - E

10 - D 11 - B 12 - B

13 - D 14 - E 15 - E

16 - E! 17 - D 18 - B

19 - C 20 - B 21 - B

22 ~ B 23 - C 24 - B25 - B

!

\

FUNÇÕES

FUNÇÃO POLINOM IAL DO 1.° GRAU

Definição

Chama-se função polinomial do 1.” grau, ou função afim, qualquer função / de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ^ 0 .

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1.° grau: f(x) = 5x - 3 , onde a = 5 e b = -3 f(x) = ~2x ~ 7, onde a = -2 e b = -7 f(x) = 1 Ijc, onde a ™ 11 e b = 0


1. (Unisínos-RS) Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dadopela função f{x) = — — , em que x é o número de residências e f(x) é o

í 00 + 2.t número de carteiros.Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, o número de residências desse bairro, que as receberam é:(A) 300


(B) 340(C) 400(D) 420(E) 500

RESOLUÇÃO:Resumo: x é o número de residências e f(x) é o número de carteiros, x = ? e f(x) = 6

22xfíx)

6 =

500 + 2 *22.v

500+2.V22x = 6(500 + 2x)22x = 3000 + 12x22x - 12x = 3000lOx = 3000

x = ^222 = 300 10

Resposta: letra A.

2. Na produção de peças, uma indústria tem um variável de R$ 0,50 por unidade produzida produzidas:

custo fixo de RS 8,00 mais custo Sendo x o número de unidades

a) escreva a lei da função que fornece o custo j total de peças;

RESOLUÇÃO:«O valor de a é 0,50, pois é o fator de aumento por unidade e b = 8, pois b representa o Valor fixo ou custo fixo.F(x) = 0,50x + 8 •

b) calcule o custo de 100 unidades;

RESOLUÇÃO:F(x) = 0,50x + 8 F(100) = 0,50.100 + 8 F(100) = 50 + 8 = 58

Cap. 5 -F U N Ç Õ E S 191

Construção do Gráfico

O gráfico de uma função poiinomial do l.° grau, y — ax -f ± 0 , é uma reta.

Se a > 0 a função é chamada de crescente, e se a < 0 í decrescente.

Exemplos:a > 0

a < 0

b, com a

função é

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

1 92 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil/ar. !

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo òonstante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y — a . 0 + b ^ b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do

-ponto em que a reta corta o eixo Oy.


1. Encontre a lei da função dos gráficos abaixo:

RESOLUÇÃO:O gráfico nos apresenta as seguintes conclusões:Na função polinomial do 1.° grau temos os pontos (2,5) e (0,3) e b = 3 {ponto onde a reta toca o eixo Oy).

O coeficiente angular pode ser encontrado pela fórmula: a = — ——X i — Xl

r Cap. 5 - FUNÇÕES 193

5 - 3 _ 2 _ .3 2 - 0 2

A função polinomial do 1.a grau tem a forma f(x) — ax + b. Logo a função do gráfico é: f(x) = x + 3.

RESOLUÇÃO: ■:O gráfico nos apresenta as seguintes condusões:Na função polinomial do grau temos os pontos (3,7) e (0,1) e b = 1 (ponto onde a reta toca o eixo Oy),

O coeficiente angular pode ser encontrado pela fórmula: a = -*'2 ’1; ■ ■; X i — X i

A função polinomial do 1.a grau tem a forma f(x) == ax + b. Logo a função do gráfico é: f(x) = 2x + 1.


2. A depreciação de um equipamento industriai ocorre segundo uma função do1.° grau. O equipamento vaie hoje R$ 8.000,00 e daqui a 6 anos, R$ 5.000,00. Coloque (C) para afirmação correta e (E) para afirmação errada.( ) o gráfico abaixo representa a depreciação do equipamento.

( ) a função que representa a depreciação do equipamento é y = -50Gx + 8.000. ( ) a função que representa a depreciação do equipamento é crescente.( ) daqui a 5 anos o valor do equipamento será ide R$ 5.000,00.( ) daqui a 2 anos o valor do equipamento seráíde R$ 7.000,00.( ) daqui a 15 anos o equipamento não terá valor.

RESOLUÇÃO:Resumo do texto: O equipamento vale hoje R$ 8.000,00 e daqui a 6 anos, R$5.000,00.Conclusão: b = 8000 (valor de hoje, logo x = 0} e temos os pontos (0, 8000) e (6, 5000)

(C) o gráfico abaixo representa a depreciação do equipamento.

O gráfico está correto, pois a reta é decrescente, toca o eixo Oy no ponto 8000 e possui o ponto 6,5000.

(C) a função que representa a depreciação do equipamento é y = -500x + 8.000.

A função tem a forma f(x) = ax + b ou y = ax + b.Pontos: (0, 8000) e (6, 5000)

n nnru’

O 6->x

8.000 = *

5.000

0 6 x

rCap. 5 -F U N Ç Õ E S 195

5000-8000 3000 -a = 6 - 0 .. = - — = - 5 0 0

b = 8000.

(E) a função que representa a depreciação do equipamento é crescente.

A função é decrescente, pois o vaior de o é negativo.

(E) daqui a 5 anos o valor do equipamento será de R$ 5.000,00.

f(x) = -SOOx + 8.000

f(5) « -500.5 + 8000

f(5) = -2500 + 8000

f(5) = 5500

(C) daqui a 2 anos o valor do equipamento será de R$ 7.000,00.

f(x) = -SOOx + 8.000

f(2) = -500.2 + 8000 'f{2) ás -1000 + 8000

f(2) = 7000

(E) daqui a 15 anos o equipamento não terá valor.

f(x) = -500x + 8.000

f(15) = -500.15 + 8000

f(15) = -7500 + 8000

f(15) « 500 ;

No Brasil, a estabilidade econômica e a competição: globat mudaram a pauta das negociações entre patrões e empregados. Bom para todo mundo. Nos últimos anos, o número de greves no país caiu bem abaixo dos picos alcançados nas décadas anteriores e ficou maior a taxa de participação do setor público no total de paralisações. Esses números estão representados nas tabelas abaixo.

í / V ; . . riúmét o de paraü jaçõesV-/:':..;-

1989 1990 1995 1996 2004 2005 2006

2.193 1.952 1.056 1.258 302 299 300

196 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VMar

1

■ localização dás greves 1996 . 2ÕÒ5em empresas privadas 69% 45%

em estatais e no governo 31% 55%

Acerca das informações do texto acima, julgue o item que se segue.

3. Em um sistema de coordenadas cartesíanas xOy, em que, no eixo Ox, representam-se os anos e, no eixo Oy, os números de paralisações ocorridas em cada ano, o gráfico resultante corresponde a uma. função polinomial no intervalo 1989 < X < 2006.

RESOLUÇÃO:Função polinomial do 1.° grau possui uma relação linear, ou seja, a diferença dos valores de y é constante. Exemplo:

X 4

11

Podemos observar na relação acima què sempre que x aumenta;uma unidade o valor de y aumenta duas unidades, logo possui uma relação linear (crescimento ou decrescimento constante).

Quanto aos dados fornecidos pela questão,'deve-se ter cuidado, pois os valores de x (tempo) aumentam de forma desproporcional. =

2193 - 1952 = 241

1258 -1056 = 202Entre 1898 e 1990 o aumento foi de 241 e entre 1995 e 1996 foi de 202, veja que o x aumentou uma unidade e o y não manteve o padrão. Podemos concluir que a tabela abaixo não representa uma função polinomial do 1 ° grau.

número de paralisações .1989 1990 1995 1996 2004 2005 20062.193 1.952 1.056 1.258 302 299 300

Item errado.

Cap. 5 — FUNÇÕES 197


1. (VUNESP) Por uma mensagem dos Estados Unidos para o Brasil, via fax, a Empresa de Correios e Telégrafos (ECT) cobra R$ 1,37 peia primeira página e R$0,67 por página que segue, completa ou não. O número mínimo de mensagens para que o preço ultrapasse o valor de R$ 10,00 é de:(A) 8(B) 10(C) 12(D) 14(E) 16

2. (Cesgranrio) O gráfico abaixo apresenta o preço de custo de determinado tipo de biscoito produzido por uma pequena fábrica, em função da quantidade produzida.

Se o preço final de cada pacote eqüivale a 8/5 do preço de custo, um pacote de Q,5kg é vendido, em reais, por:(A) 0,90(B) 1,20(C) 1,24 ’(D) 1,36(E) 1,44

3. O gráfico abaixo relaciona a quantidade, em quilogramas, de gás carbônico lançado no ar por um caminhão a diesei, em função da distância percorrida, em quilômetros.

Para transportar melões de Mossoró, no Rio Grande do Norte, até a capital paulista, um caminhão percorre aproximadamente 2.780 km. Quai é, em kg, a quantidade aproximada de CQ2 emitida pelo caminhão durante essa viagem?(A) 784


; i(B) 868(C) 959(D) 1.246(E) 1.568

GABARITO

■1 - D 2 - E

3 ~ E

FUNÇÃO POLINOMXAL DO 2 .° GRAU OU QUADRÁTICA

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2.° grau, qualquer função / de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ^ 0 .

Vejamos alguns exemplos de função quadrática:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 - 1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2 ,b = 3 e c = 5

f(x) = -x2 + 8x, onde a = - l , b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = -4, b = 0 e c - 0

Gráfico

O gráfico de uma ftmção polinomial do 2 .° grau, y = ax2 + bx + c, com a ^ 0 , é uma curva chamada de parábola.

Obs.: ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2 .° grau ax2 + bx + c - 0 , as quais são dadas pela chamada formula de Bhaskara:


f (x) = 0 => ax2 +bx + c ~ 0=$ x =■b±sb2 —4 .a.c

2 .a

Temos:

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende dovalor obtido para o radicando A = b2 — 4 .a.c, chamado discriminante, asaber:

«.quando A é positivo, há duas raízes reais e distintas;° quando A é zero, há só uma raiz real;» quando A é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas gráficos:

A y

4a V

Cap. 5 - FUNÇÕES 201

rA V a < 0 j4a

•>x

Dica:Ponto do vértice (Xv, Yv). Xv é o valor de x do vértice e Yv o valor de y do vártice,Se a > 0, então Xv representa o ponto de mínimo e Yv o valor mínimo.Se a < 0, então Xv representa o ponto de máximo e Yv o vaior máximo.Sempre que a questão pedir o vaior máximo ou mínimo, então calcularemos o Yv.

À = b2 - 4 ac


1. (CEF) Uma certa indústria fabrica um único tipo de produto, que é vendido ao preço unitário de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indústria, em reais, é calculada pela expressão R(x) = 80,00Dx - 8.000x2, então, para que

NÃO ESQUEÇA:


seja gerada uma receita mensal de R$ 200.000,00, cada unidade do produto fabricado deve ser vendida por:(A) R$ 6,00 .(B) RS 5,50 |(C) R$ 5,00(D) R$ 4,50(E) RS 4,00

RESOLUÇÃO:A questão quer saber qual deve ser o Valor de x para que seja gerada uma receita de 200.000,00.80.000X - 8.000X2 = 200.000

Podemos dividir todos os termos da equação por 1,000, pois ambos os termos sãò divisíveis por 1.000. '80.000X - 8.000x2 = 200.000 (: 1.000)80x - 8X2 = 200-8x2 + 80x - 200 = 0 (. -1)8X2 - 80x + 200 = 0

Podemos dividir todos os termos da equação por 8, pois ambos os termos são divisíveis por 8.8x2 - 80x + 200 = 0 {: 8)

'X2 - lOx + 25 = 0

x, = x 2 = 5

Resposta: letra C.

2. (PUC-MG) O valor máximo da função f{x) = -Xa 2x + 2 é:

(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5 (É) 6

RESOLUÇÃO:A questão pediu o vaior máximo, logo devemos calcular o Yv. f{x) = -x2 + 2x + 2

rCap. 5 -F U N Ç Õ E S 203

A = b2 - 4ac A = (2)2 - 4.(-1).2 A = 4 + 8 A =12

4 £7 4 .( - l ) -4

3. Um jogador de futebol chuta uma bola que descreve uma trajetória de acordo com a função y = -2xz + 16x, onde y é a altura, em metros, e x é a distância horizontal percorrida pela bola, também em metros. Qual a altura máxima atingida pela bola e a distância horizontal do ponto de partida até o ponto onde a bola toca o chão pela primeira vez?(A) 32m e 4m(B) 32m e 8m (C> 256m e 4m(D) 8m e 2m(E) 256m e 2m

RESOLUÇÃO:A questão fez dois pedidos: o vaíor máxímo (Yv) e o ponto onde a bola toca no

204 MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil/ar

Vamos calcular a altura máxima.

y = -2x2 + :16>j. a = -2, b = 16 e c = 0

A = b2 - 4ac A = (16)2 - 4.(-2}.0 A = 256 + 0 A = 256

Yv - - A . = -2 5 6 = ^256 = 32 m 4a 4( —2) - 8

Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, o ponto onde a bola toca o chão.-2x2 + lõx = 0

Resposta: letra B.


1. (CEFET-PR) O maior valor que y pode assumir na expressão y = -x2 + 2x é:(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5

2. Uma bola é lançada de uma certa altura h, expressa em metros, com a trajetóriana forma h = -St1 + 18t + 21, sendo o tempo t expresso em segundos. Qual a altura máxima atingida peia bola?(A) 16m (8) 32m(C) 48m(D) 64m(E) 80m


I 13. (FGV-SP) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C =

2xz - 100x + 5000. O valor do custo mínimo é:(A) 3250(B) 3750(C) 4000(D) 4500(E) 4950

4. (TRE) O cientista Galileu GalHei (1564-1642) estudou a trajetória de corpos lançados do chão sob certo ângulo, e percebeu que eram parabólicas. A causadisso, como sabemos, é a atração gravitaciona! da terra agindo e puxando devolta o corpo para o chão. Em um lançamento desse tipo, a altura y atingida pelo corpo em relação ao chão variou em função da distância horizontal x ao ponto de lançamento de acordo com a seguinte equação:

5.v 5 x -y = ___ — (x e y em metros)

A altura máxima em relação ao chão atingida pelo corpo foi:

(A J ^ m

<B )fm

(C) ~m 4

(D) 2,0 m

(E) 1,0 nf

GABARITO

<I 2 - C

3 - B

UI■sf


1. (FCC) Durante um treinamento da guarda municipal, uma bola foi lançada verticalmente para cima a partir do solo. A relação entre a altura h da bola em relação ao solo (em metros) e o tempo t (em segundos) respeita a equação h(t) = -5t3 + lQt. Depois de quantos segundos, contados a partir do lançamento, a bola retorna ao solo?(A) 3,5(B) 3,0


(C) 2,5(D) 2,0(E) 1.5

2. (FCC) Para ajudar a proteger o centro ecológico municipal, foram coletados dados e construído o gráfico de uma função de segundo grau que relaciona o numero de visitantes (n) ao desgaste do solo, por área (A), do parque.

O domínio da função é de zero a 100 pessoas, e o vértice da parábola que representa a função, tem abscissa 100.Qual das equações abaixo representa a função?;(A) A{n) = "0,002n2 + 0,4n(B) A{n) = 0,002n! - 0,4n(C) A{n) - -0,02n2 + 0,4n(D) A{n) = 0,02n2 - 0,4n(E) A(n) = -0,2n2 + 4n

3. (FCC) Depois de várias observações, um agricultor deduziu que a função que melhor descreve a produção (y) de um bem é suma função do segundo grau y = ax2 + bx + c, em que x corresponde à quantidade de adubo utilizada. O gráfico correspondente é dado pela figura abaixo.

0 10


Tem-se, entao, que: ;(A) a = -3, b = 60 e c;= 375(B) a = -3, b - 75 e cj = 300(C) a = -4, b * 90 e c = 24b(D) a = -4, b = 105 e c = 180(E) a = -6, b = 120 e c = 150

4. (CESGRANRIO) O Programa de Fazendas Marinhas da Ilha Grande oferece treina-

üm fazendeiro investiu U$ 50.000,00 na montagem de uma fazenda marinha, mais U$ 9,000,00 em sementes de vieira. Se todas as vieiras cultivadas forem vendidas, todos os custos serão cobertos e o fazendeiro lucrará, em dólares,(A) 137.500,00(B) 128.500,00(C) 97.500,00(D) 82.250,00(E) 40.250,00

5. (CESGRANRIO) O Gráfico I apresenta a variação na cotação do barril tipo leve americano, durante cinco dias do mês de julho.

208 MATEMÁTICA E RACiOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Wfar

Gráfico I - PETRÓLEO (barril tipo leve americano)

Observe, agora, o Gráfico il, no quai a variação na cotação do barril tipo teve americano, no mesmo periodo, é considerada linear, constituindo uma função de 1.° grau.

Gráfico II - PETRÓLEO (barril tipo leve americano)

Se a variação na cotação do barril tipo leve americano tivesse ocorrido como apresentado no Gráfico H, o preço do barri! no dia 16/7 seria x dólares mais alto. Pode-se concluir que x é igual a(A) 1,98(B) 2,08(C) 2,28(D) 2,48(E) 2,68


r ~ : -------------- '—

6. (CESPE) Em Economia, a demanda por x unidades de um produto ao preço unitário de p unidades monetárias (u.m,) é dada por uma equação envolvendo essas variáveis, chamada equação de demanda. Também a oferta de x unidades de um produto ao preço unitário de p u.m. é dada por uma equação, chamada equação de oferta. Considerando que as equações de oferta e de demanda de um certo produto são dadas por p - 2x ~ 1 e 2p + x = 12, respectivamente, julgue os itens subsequentes.

01. A quantidade demandada deverá ser menor que 12 unidades, se o preço unitário for maior ou iguai a 1 u.m.

02. Se nenhuma quantidade do produto for oferecida, então o preço por unidade deverá ser maior que 2 u.m.

03. O preço do produto tende a subir, se a demanda aumentar de 6 para 10 unidades.

04. O preço de equilíbrio, isto é, quando a oferta e a demanda coincidem, ocorre quando apenas duas unidades são disponíveis.

05. O gráfico abaixo pode representar corretamente as equações de oferta e demanda consideradas.

GABARITO

1 - D 2 - A 3 - A4 - 8 5 - D 6 - C-E-E-C-C

SEQUENCIAS NUMÉRICAS

SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS

A seqüência numérica pode ser representada de três formas:

1 .a) Por formulai de recorrênciaSão dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo (aj) e

a outra para calcular cada termo a partir do antecedente (an ]).Exemplo:Determine o quarto termo da seqüência que obedece à seguinte fór

mula de recorrência:a. = 4 e a = a . + 31 n n - 1

RESOLUÇÃO:a , - 4 a2 = a, + 3 = 4 +' 3 = 7 a3 = a, + 3 = 7 + '3 = 10 a = a, + 3 = 10 + 3 = 13

2.a) Expressando cada termo em função de uma posição Exemplo:Escreva os três primeiros termos da seqüência que obedecem à lei

a = 2 n.


RESOLUÇÃO:

a. = 23 = 8

3.a) Expressando a séquência a partir de uma íei de formação Exemplo:Escreva a seqüência dos números primos em ordem crescente.


1. (FCC) Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.

O número de circunferências que compõem a 100.° figura dessa sucessão é(A) 5 151(B) 5 050(C) 4 950(D) 3 725(E) 100

RESOLUÇÃO:Essa seqüência de circunferência é chamada de números triangulares.

S = {2, 3, 5, 7, 11...}

Na questão queremos o 100.° número da figura,

t ioo = ioo(ioo+t) - ^Qtí.ioi _ 50.101 =2 ; Í ;

5050

Resposta: letra B.

Cap. 6 - SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 213

2. (FCC) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem auma lei de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão, obtém-se um número compreendido entre(A) 150 e 170(B) 130 e 150(C) 110 e 130(D) 90 e 110(E) 70 e 90

■ RESOLUÇÃO:

1.° 0

. 2.° 0 + 1 “ 1 "

: 3." 1.3 = 3 :

4.° 3 + 1 — 4

5 “ 4.3 = 12

6.° 12 + 1= 13

I P 13.3 = 39

8.° 39 + 1 = 40

9.° 40.3 = 120

■ 10. ° 120 - \- 1 = 121

Assim, 4 0 + 121 —161.

Resposta: letra À.

3. (FCC) Em relação à disposição numérica seguinte, assinale a alternativa que preenche a vaga assinalada pela interrogação:

2 8 5 6 8 ? 11

(A) 1(B) 4(C) 3(D) 29(E) 42

2 14 MATEMÁTICA E RACIOClNÍO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno VMar

1

RESOLUÇÃO:Temos duas seqüências:2-5-8-11. Essa Seqüência aumenta de três em três.8-6-? Essa seqüência diminui de dois em dois.

~ Considerando a segunda seqüência dessa forma, o número que preenche é o 4.

Resposta: letra B.

4. (CEF CESGRANRIO)

" , 2 ;

■ a2 = 3

Gn = Qn-\ ~~ ün-2 ,

Qual é o 70.° termo da seqüência de números (an) definida acima?(A) 2(B) 1(C) -1(D )-2(E) -3

RESOLUÇÃO:

a« = 2 ' V;'R:./ : : ■ - ’■!■a2 = 3 ... \ .:a3 = a2 - a, = 3 - 2 = 1■a4 = a3 - a, ~ 1 - 3 - -2as = at - a3 = -2 - 1 ~ -3a6 - a5 - a., = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1 . . ' . ^ j ..a7 = ae - a5 = -1 - (-3) ~ -1 + 3 = 22, 3, 1, -2, -3, -1, 2, 3, 1 ...

Podemos observar que a seqüência mantém o padrão a cada 6 termos.

70 [6 10 114 - ;

O 4.° termo da seqüência é -2. Resposta: letra D.

Cap. 6 -S E Q Ü Ê N C IA S NUMÉRICASj : :

Treinam ento do concursando

215

(NCE) Na série de Fibonacci, cada termo a partir do seus dois termos precedentes. Sabendo-se que os definição, são 0 e 1, o sexto termo da série è:

(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(E) 6

terceiro é igual à soma de dois primeiros termos, por

2. (FCC) Considere a seqüência: (16, 18, 9, 12, 4, 8, 2, X)Se os termos dessa seqüência obedecem a uma lei de formação, o termo X deve ser igual a(A) 12(B) 10

(C) 9(D) 7(E)5

3. (FCC) Abaixo apresentam-se as três primeiras linhas de uma tabela compostapor mais de 20 linhas. O padrão de organização observado mantém-se para a tabela toda.

1 j 2 4 8 161 3 9 27 811 i 4 16 64 256

Nessa tabela, o número localizado na 7.° linha e 3,a coluna é

(A) 64(B) 49(C) 36(D) 8(E) 7

4. (FCC) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: 9, 16, 25, 36,(A) 45(B) 49(C) 61

216 MATEMÁTICA ê RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

(D) 63(E) 72

5. (FCC) Assinald a alternativa que substitui a letra x.

(A) 29(B) 7(C) 6(D) 5(E) 3

GABARITO

; ! O 2 - D 3 - A

4 - B 5 ~.C

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Progressão aritmética é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecedente som ado de uma constante razão.

Exem plos:a) (3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) razão = 2b) (8 , 4 , 0, -4 , -8 , -12 , ...) razão = -4

Cálculo da razão

A razão é a diferença de um termo da P.A. pelo termo anterior.

Cap. 6 - SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 2 17

Exem plo:

1. Quanto vale a razão de cada P.A.?

a) (5 , 8 , 11, 14, ...) ,

b) (7 , 4 , 1, -2 , ...)

RESOLUÇÃO:a) (5r 8r 17, 14, ...)r = 8 - 5 = 3 ou r = 11 - 8 = 3 ou r = 14 - 11 = 3

b) (7, 4, 1,-2, ...) r = 4 - 7 = -3

Fórmula do termo geral de uma P.A.

a n = a l + ( n - l) .r ou a n = a 1 + (k - l).r

SE LIGUE!a, é o primeiro termo

n é o número de termos

r é a razão ■ an é o enésímo termo

Treinamento com entado

1. Dada a P.A. (-8, -5, -2, 1, determine o vigésimo termo.

RESOLUÇÃO:r = -5 - {-8} = -5 + 8 = 3

a, = '8

2 18 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO ~ Bruno W /ar

an = a 1 + (n > 1).‘r

aJ0 = a, + (20 -|1).r a20= -8 + (20 - 1)3

- a,0= -8 + 19.3

a,0=49

2. (Cesgranrio) "O consumo de eletricidade para a produção de alumínio é altamente intensivo, porém vem decrescendo sistematicamente. Enquanto que, em 1950, a indústria consumia 24.000kwh/t, as modernas fundições de hoje consomem 13.000kwh/t”Balanço mineral brasileiro - 2001, dísponível em http://www.dnpm.gov.br (adaptado)Considere que o consumo de eletricidade para a produção de alumínio tenha de- crescido em progressão aritmética, década após década, chegando a 13.0Q0kwh/í em 2000. Desse modo, o consumo de eletricidade para a produção de alumínio na década de 80, em kwh/t, era:(A) 22.000(B) 19.400(C) 18.600(D) 17.400(E) 15.600

RESOLUÇÃO:1950: a, = 24000

1960:1970: a3 1980: a4 1990: a52000: a ,= 13000 6

Vamos primeiro encontrar a razão:

a6 = a, + (6 - 1).r 13000 = 24000 + 5r -5r = 24000 - 13000 -5r = 11000 (-1)

5r = -11000

http://www.dnpm.gov.br

Cap. 6 -S E Q U Ê N C iA S NUMÉRICAS 219

r ~ -11000 — -2200 5

Agora, vamos encontrar o a,:

a. = a, + (4 - 1).(-2200) a. ~ 24000 + 3.{-2200) a ,« 24000 - 6600

a, = 19400

Resposta: letra B.

Soma dos “n” primeiros termos de uma P.À

(a , + a j . n


1. (Uneb) Um pai fez depósitos mensais na caderneta de poupança de seu filho. No primeiro mês o depósito foi de R$ 10,00, no segundo mês foi de R$ 15,00, no terceiro mês foi! de RS 20,00 e assim por diante, depositando R$ 5,00 a mais do que havia depositado no mês anterior. Feito o 24.° depósito, o total depositado por ele era:(A) R$ 1630,00(B) R$ 1620,00(C) R$ 1615,00(D) R$ 1610,00(E) R$ 1600,00

RESOLUÇÃO: >A questão pediu o montante depositado após o 24° depósito, logo a soma dos 24 primeiros termos da P.A.

c _ (a i + «24).2424 9


Temos o valor de aJ( mas precisamos calcular o termo aK. a, = 10 (1.° depósito) r = 5 (aumento do depósito)

aJ4 ~ a, + (24 - 1).5= 10'+' 23.5

374 = 10 + 115a,4- 125

r (a, íi2.,).24“b2-; 2:-

5-= (10 + 125).12

2-1= 135.12

s i - 1620

Resposta: letra B.

2. (FCC) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 1200,00 e vai devolvê-fa com juros que totalizam R$ 750,00. O pagamento será feito em 10 prestações, sendo cada uma delas maior que a anterior em RS 10,00. O valor da primeira prestação deverá ser:(A) RS 130,00(B) RS 140,00(C) RS 150,00(D) RS 160,00(E) RS 170,00

RESOLUÇÃO:S)0 = 1200 750 = 1950r = 10 (aumento na prestação)

_ (a, +a ,o).10 10 ^

Nesse caso devemos oíhar com cuidado, pois não temos o valor de a, nem de aí0.A solução é colocar aID em função de at.

aio = a, + oo - D-r : :a)O= a , + 9.10a)0 = a, + 90 ; V

rCap. 6 - SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 221

(a ,+ a lo).10~10 yj.

S)0= (a, + a, + 90).5

1950 = (2a, + 90) .5

1950 = 10a, + 450

-10a, =450 - 1950

-10a, = -1500 (-1) 10a, -1 5 0 0

1 10

3. (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética.Em uma penitenciária que albergava 1.000 detentos, foi traçado um plano de fuga. Para que os fugitivos não fossem pegos pelos policiais que faziam a ronda do lado de fora, as fugas aconteceram em intervalos de 15 minutos, da seguinte forma: à 0 hora de domingo, 1 detento fugiu; 15 minutos depois, 3 detentos fugiram, à 0 hora e 30 minutos, outros 5 detentos fugiram, e assim sucessivamente. Quando restavam 424 detentos ainda dentro da penitenciária se preparando para a fuga, o plano foi descoberto e nenhum destes conseguiu se evadir.Nessa situação, o último conjunto de detentos que conseguiu se evadir era formado por mais de 50 elementos.

RESOLUÇÃO:.. a, = 1 '■

1 a3 = 3r ~ 3 - í = 2

an = a, + (n-1).r an = 1 + (n - 1}.2

S = 1000 - 424 = 576n '■ ■

■ s = +

5?6 ... [! + ! + (« -1 )2 ].»2

= (2 + 2 /7 -2 )»1

222 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar

576 = n2 : ■? ■ n2 = 576 ■'n = ^576 n = 24

Agora vamos descobrir quantas pessoas tinha o grupo aJ4.

a„ = a, + (n - 1).ra,4 ~ 1 + (24 - 1).2

a2.5 = 1 + 23.2 a24 = 1 -f- 46

Item errado.


1. Em um restaurante, os preços de três pratos estão em progressão aritmética derazão R$ 12,00. Se o primeiro e o segundo prato custam juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro custam juntos:(A) RS 54,00(B) RS 60,00(C) RS 66.00(D) R$ 68,00(E) RS 70,00

2. (FCC) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua coleção de bolas de gude e formou uma seqüência de “T" (a iniciai de seu nome), conforme a figura:

ooooo

ooooooooo

oooooooDooooo


1 : j : HSupondo que o guri conseguiu formar 10 “T" completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía:(A) exatamente 41 boias de gude.(B) menos de 220 bolas de gude.(C) pelo menos 230 bolas de gude.(D) mais de 300 bolas de gude.(E) exatamente 300 bolas de gude.

3. (CEF) Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um depósito inicial deR$ 120,00 e, a partir dessa data, fez depósitos mensais nessa conta em cada mês depositando R$ 12,00 a mais do que no mês anterior. Ao efetuar o 19;° depósito, o total depositado era de(A) RS 3.946,00(B) RS 4.059,00(C) R$ 4.118,00(D) RS 4.277,00(E) RS 4.332,00

4. (Vunesp) Um estacionamento cobra R$ 4,00 pela 1.a hora. A partir da 2.3, cujovalor é de R$ 3,00, até a 12.a hora, cujo valor é de R$ 0,80, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado cinco horas nesse local, quanto gastará seu proprietário?(A) RS 14,68 ;(B) RS 10,98(C) RS 13,36(D) RS 9,36(E) n.d.a

5. (CESGRANRIO) O gráfico abaixo mostra as variações do “risco-Brasil” nos dias9, 10 e 11 de janeiro.

A EVOLUÇÃO DO RISCO-BRASIL

(em pontos centesimais)

284

282277

9/01 10/01 11/01

Segundo reportagem ipublicada no Jornal O Globo de 12 de janeiro de 2006, a confiança dos investidores estrangeiros no país vem aumentando e, em conseqüência, reduziu-se gradativamente o chamado “risco-Brasil". ;Se a variação linear observada de 10/01 para 11/01 se repetisse nos dias subsequentes, em que dia de janeiro o “risco-Brasil" atingiria um valor inferior a 200 pontos centesimais?(A) 21

224 MATEMÁTiCA E RACIOCÍNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar |

(B) 22(C) 23(D) 24(E) 25

6. (CESGRANRIO)“Modelo de Gestão do abastecimento está preparado para a expansão da Petrobras (...) A carga a ser processada nas refinarias da Petrobras no Brasil e no exterior deverá passar dos atuais 2 milhões de barris por dia para 2,5 miihões em 2012 (...)."

Noticia publicada em 07 maio 2008.Disponívei em: http://www.agenciapetrobrasdenoticias.com.br/

Se, de 2008 a 2012, a carga processada diariamente pelas refinarias da Petrobras aumentar, anualmente, em progressão aritmética, quantos milhões de barris diários serão produzidos em 2011?(A) 2,375(B) 2,250(C) 2,200(D) 2,125(E) 2,100

GABARITO

1 - c 2 - C 3 - E

•ti I > 5 - 8 6 _ A

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Progressão geométrica é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante, chamada razão (q).

Exemplos:(2, 4, 8 , 16, ...) q = 2 (1, 1/2, 1/4, 1/8) q - 1/2

Cálculo da constante da P.G.

Cln

q = Cln - 1

http://www.agenciapetrobrasdenoticias.com.br/


Fórmula do termo geral

a = a. . q n ' 1 ou a = a. . q n ‘ kn 1 * n k *


1. Qual é o primeiro termo de uma P.G. de razão 2, sabendo-se que o sétimo termoé 64?

RESOLUÇÃO:a, « 7 r = 2

. a7 = 64

an = 3 .-qn

a7 = a1.q7*1 64 = ar 2ú64 = 64a,a, - 1

2. Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último 486, calcular a razãodessa P.G.

RESOLUÇÃO:a, = 2a, = 486 q = ?

ac =486 = 2.qs 2q5 = 486q= = 486

2q5 = 243

V ■ ■Dica: 243 - 35

q5= 35 q = 3

226 MATEMÁTICA E RACIOClNJO LÓGICO QUANTíTATiVO - Bruno Villar-------------------- ------------------------------------- ; ]

3. (CESPE) Em algumas experiências com animais, é importante que as idades deies sejam conhecidas tão exatamente quanto possívef. Além disso, tanto quanto for possível, essas experiências devem ser feitas com animais de diferentes idades.A partir dessas informações, considere que, em determinada experiência, diversos animais tenham sido escolhidos de modo que as suas idades formassem uma progres-

. são geométrica. Sabendo-se que o animal mais jovem escolhido para a experiência tinha 2 semanas de vida e o quinto animal mais jovem tinha 162 semanas de vida, é correto concluir que a razão da progressão geométrica formada pelas idades dos animais escolhidos para a experiência é igual a(A) 32(B) 17(C) 3(D) 2

RESOLUÇÃO:a, = 2 a5 = 162

a5 = a,.q5"162 = 2.q4 2q’ =162q«= 162

2q4 = 81q’ = 34 •q = 3

Resposta: letra C.

Soma dos V primeiros termos de uma P.G.

s = M g " - 1 )

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

Cap. 6 - SEQUêNCIAS NUMÉRICAS 227


1. Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (3, 6, 12, ...}

RESOLUÇÃO:

a' = ! 2 q = 3 = 2

a ,(q " -l)s =q-1

í 103 ( 2 - 1 ). !0 2-1 S50= 3.(1024 - 1) 5«j” 3*1023 Sl0 = 3069

2. (TRT/SC - 05) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira isemana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número tota! de árvores dessa plantação é:(A) menor que 824(B) igual a 1024(C) íguaf a 1030(D) igual á 1320(E) maior que 1502

RESOLUÇÃO:a, = i ; ;

\=22 _ 2 H 1s = aifo” - 1) • ■

n !q -l : ; ■

q « 1(2I0-1) ;,0 . 2-1

S,0= 1.(1024 - 1)S,0= 1.1023 = 10231023 (doentes) + 7 (não adoeceram) = 1030

Resposta: letra C.

Treinamento do concursando_____________________ _____

2 2 8 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

1

1. Em um determinado jogo, o prêmio pago ao acertador é 10 vezes o valor da aposta. José resolve, então, jogar e apostar R$ 2,00 na 1.° vez, e nas rodadas seguintes aposta sempre o dobro da aposta anterior. José acerta somente na 8.a vez e não joga mais. Considerando-se o montante que José investiu até a 8.a jogada e o que ganhou, o seu lucro, em reais, foi de:(A) 256(B) 510(C) 1350(D) 2050(E) 2560

2. No dia 1.° de dezembro, uma pessoa enviou pela internet uma mensagem parax pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia 1.° enviou-a para outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também a enviou para outras duas novas pessoas. E assim sucessivamente. Se, do dia 1.° até o final do dia 6 de dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é:(A) 12(B) 24(C) 52(D) 63(E) 126

3. (CESGRANRiO) Mauro fez quatro depósitos mensais em sua caderneta de poupança, sempre dobrando o valor em relação ao mês anterior. Se, ao todo, Mauro depositou R$ 300,00, o valor, em reais, depositado no último mês foi(A) 80,00(B) 120,00(C) 140,00(D) 160,00(E) 200,00

GABARITO

Dl 2 - A3 - D

Cap. 6 - SEQÜÊNCIAS NUMÉRICASj : = -

Treinamento final do capítulo________________

229

1. (CESGRANRIO CEF 2008)

Torneira 1>a 2." 3.a 4.a 50.a 51.3L-^nn 3 q 3 s u s

IQm . l,5m , l,5m . 1,5m l,5m

Em um caminho retilineo há um canteiro formado por 51 roseiras, todas enfileiradas ao iongo do caminho, como ilustrado. A distância entre quaisquer duas roseiras consecutivas é 1,5 m. Nesse caminho, há ainda uma torneira a 10,0 m da primeira roseira. Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para isso, utiliza um regador que, quando cheio, tem capacidade para molhar 3 roseiras.Dessa forma, Gabriel enche o regador na torneira, encaminha-se para a 1.a roseira, molha-a, caminha até a 2.a roseira, molha-a e, a seguir, caminha até a 3,a roseira, molhando-a também, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fica vazio, Gabriel voita è torneira, enche o regador e repete a rotina anterior para as três roseiras seguintes. No momento em que acabar de regar a ultima das roseiras, quantos metros Gabriel terá percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez?(A) 1666,0(B) 1581,0(C) 1496,0(D) 833,0(E) 748,0

2, (CESGRANRIO) Nos últimos seis anos, o brasileiro vem trocando o cheque pelo “dinheiro de plástico” e, cada vez mais, efetua pagamentos utilizando cartões de crédito e de débito. O gráfico abaixo apresenta o número de transações efetuadas com cartões no Brasil, de 2000 a 2006.

Fonte: Federação Brasileira de Bancos / Associação Brasileira de Empresas de Cartões de Crédito.

Os dados acima mostram um aumento linear no número de transações, de 2000 a 2003. Se esse ritmo tivesse sido mantido nos anos seguintes, o número de transa-

2 30 MATEM ATI CA E RACIOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

ções com cartões teria sido, em 2006, x bífhões menor do que realmente foi. Pode-se concluir que x é igual a:

(A) 1,2(B) 1,6 l(C) 2,2

. (D) 2,7(E) 3,1

3. (CESGRANRIO) Em 15 partidas que certo time de futebol disputou em um campeonato, houve x empates, y derrotas e z vitórias. Se x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 2, quantos jogos esse time venceu?(A) 5(B) 6(C) 7(D) 8(E) 9

4. (CESGRANRIO) A reciclagem de pneus vem aumentando no Brasil. Segundo dados da Associação Nacional das Empresas de Reciclagem de Pneus e Artefatos de Borracha, publicados na Revista Veja de 21 de janeiro deste ano, foram recicladas, no Brasil, 241 mil toneladas de pneus em 2006 e serão recicladas 280 mil toneladas em 2008. Se o aumento linear observado de 2006 para 2008 se mantiver nos próximos anos, quantos milhares de toneladas de pneus serão reciclados em 2014?(A) 375(B) 397(C) 403(D) 514(E) 526

5. (CESGRANRIO) Uma seqüência de números (at, a^ a3,~.) é tal que a soma dosn primeiros termos é dada pela expressão Si, = 3n2 + n.O valor do 51.° termo é(A) 300(B) 301(C) 302(D) 303(E) 304

6, (FCC) Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundoum certo critério.


figura 1

oo

© © © ©©

figura 2 figura 3 figura 4©o©0©

080000©00O

Se tal critério for mantido para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 15 deverá ser(A) 69(B) 67(C) 65(D) 63(E) 61

7. (FCC) Observe a seguinte seqüência de figuras formadas por “triângulos”:

IA A A A A A AA A A A A

figura 1

A A A A A A A A

figura 2

A A A A A A

figura 3

Continuando a seqüência de maneira a manter o mesmo padrão, é correto concluir que o número de utriângulosn da figura 100 é(A) 403(B) 401(C) 397(D) 395(E) 391

8. (FCC) A sucessão dos números naturais pares é escrita sem que os algarismos sejam separados, ou seja, da seguinte forma:

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 2 6 2 8

Nessa sucessão, o algarismo que deve ocupar a 127(A) 0(B) 2

posição é o

1(C) 4(D) 6(E) 8

!9. (CESGRANRIO) “HBio” é um processo de produção de diesel, a partir de óleos

vegetais, utilizado pela Petrobras. No final de 2007, a produção de diesel por esse processo era de 270 mif m3/ano. A expectativa é de que, em 2012, esta produção chegue a 1,05 milhão m3/ano. Supondo-se que tal expectativa se cumpra e que o aumento anual na produção “HBio” de diesel se dê linearmente, formando uma progressão aritmética, quantos milhões de m3 serão produzidos em 2009?(A) 0,560(B) 0,574(C) 0,582(D) 0,660(E) 0,674

10. (CESGRANRIO) Leia o texto abaixo para responder á questão 10.“A expectativa de vida do brasileiro aumentou (...), seguindo uma tendência mundial. (...) Para os brasileiros nascidos em 2004, a expectativa de vida é de 71,7 anos. (...) O aumento reflete melhorias nos serviços de saúde pública e de saneamento (.„). Em 1980, a expectativa de vida no Brasil era de 62,6 anos.(...) Os dados regionais mais uma vez, confirmam as desigualdades entre as unidades da federação. Enquanto no primeiro colocado, o Distrito Federal, um bebê nascido em 2004 terá esperança de viver 74,6 anos, um bebê nascido em Alagoas, no mesmo ano, terá uma esperança bem abaixo da média nacional: 65,5 anos."Se, de 1980 a 2004, a expectativa de vida dos brasileiros tivesse aumentado linearmente, um brasileiro nascido em 1990 teria uma expectativa de vida, em anos, de, aproximadamente:

2 3 2 ' MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(A) 65,9(B) 66,4(C) 67,1(D) 67,3(E) 68,1

G A B A R I T O

1 - B 2 - D 3 - C

4 - B 5 - E 6 - D7 - B 8 - B 9 - C10 - B

ANALISE COMBINAT0RIA E PROBABILIDADE

Esse tópico sempre deixa as pessoas com medo, pois muitas acham difícil* Para ser sincero, não é possível ensinar Análise Combinatória, mas sim mostrar os casos mais cobrados. Mas como assim, não tem como aprendermos? Acontece que, nesse assunto, quando se muda uma palavra, muda-se a questão.

Nas minhas aulas, as perguntas são as seguintes: como vou saber quando é arranjo, combinação, princípio fundamental de contagem ou permutação? Nisso poderei ajudar com algumas dicas e macetes de interpretação. Tenho certeza de que, depois desse capítulo, vocês irão des- mistificar muitas coisas sobre Análise Combinatória, como, por exemplo: não é necessário estudar arranjo, porque todas as questões sobre esse assunto podem ser respondidas pelo princípio fundamental de contagem, que será nossa base.

Princípio Fundam ental de Contagem (PFC)

É o total de possibilidades de o evento ocorrer.

Princípio multiplicativo: P,.P2.P3........Pn. (regra do **e”)

Princípio aditivo: Pt + P2 + P3 + ... + Pn. (regra do “ou”)

Como saber que a questão pode ser resolvida pelo PFC? E simples!

Toda escolha sucessiva é calculada pelo PFC.

234 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÕGiCO QUANTITATIVO - Bruno W lar


1. Apesar de todos os caminhos levarem a Roma,: eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ír da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, quaf a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B?(A) Oito(B) Dez(C) Quinze(D) Dezesseis(E) Vinte

RESOLUÇÃO:Observa-se que temos uma sucessão de escolhas:Primeiro de A para B e depois de B para Roma.Primeira possibilidade: 3 (A para B).Segunda possibilidade: 5 (B para Roma).Perceba que as possibilidades estão ligadas pelo conectivo "e" logo um princípio multiplicativo. .

Assim, 35 = 15 possibilidades.

Resposta: letra C.

2. Uma fábrica produz três modelos de carros. Para cada modelo, o cliente deve escolher entre sete cores diferentes, cinco tipos de estofamento e vidrosbrancos ou verdes. Além disso, o cliente ipode adquirir, opcionalmente, olimpador do vidro traseiro. A quantidade de maneiras distintas em que esta fábrica pode montar carros para atender a todas as possíveis escolhas de seus clientes é:(A) 60(B) 70(C) 140(D) 210(E) 420

RESOLUÇÃO:Temos uma sucessão de escolhas, logo RFC.Sempre que ficar subtendida a expressão "e depois" é multiplicação.

rCap. 1 - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 235

Primeira possibilidade: Modelo = 3.Segunda possibilidade: Cor = 7.Terceira possibilidade: Estofámento = 5.Quarta possibilidade: Vidros = 2.Quinta possibilidade: Limpador de vidro = 2 (com ou sem limpador).

Assim, 3.7.5.2.2 - 420 possibilidades.

Resposta: letra E.

3, (UNEB) Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automático, mas se esqueceu da senha. Lembrava que não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo era 8, o segundo era par, o terceiro era menor que cinco e o quarto e último era ímpar. Qual o maior número de tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a senha?(A) 13(B) 60(C) 75(D) 78(E) 80

RESOLUÇÃO:Primeira possÍbÍlidade:!8. Apenas um número Segunda possibilidade: Par (2, 4, 6, 8) = 4.Terceira possibilidade: Menor que cinco (1, 2, 3, 4) ~ 4.Quarta possibilidade: ímpar (1, 3, 5, 7, 9) ~ 5.

Resumo: .

1 : \ \;A /4 | - ' j r . - .: 5

1.a possibilidade: 2.a possibilidade 3.° possibilidade 4.a possibilidade

Sendo assim, 1.4.4.5 = 80 possibilidades.

Resposta: letra E. \

FIQUE ESPERTO! Você deve ter se perguntado: por que na primeira possibilidade o número é 1 e não 8? Não esqueça de que as possibilidades representam a quantidade de elementos. Desta forma, como só temos um elemento, temos apenas uma possibilidade.

236 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGíCO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar. !

4. (INSS) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma seqüência de 5 símbolos distintos, formada por duas ietras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não lembrava da ordem da seqüência em que eles aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer p(ara acessar o arquivo é:(A) 115(B) 120(C) 150(D) 200(E) 249

RESOLUÇÃO:Temos que ter cuidado, pois ele sabe os elementos da seqüência, mas não sabe a ordem.Não se esqueça: distintos = sem repetição.

5 4 1

: 2.3 ' 3-‘1 •••••• 4.a ■ 5.°Possibilidade Possibilidade Possibilidade Possibilidade Possibilidade

Na primeira possibilidade, temos 5 escolhas, e como os termos são distintos, cada casa diminui uma possibilidade.Logo: 5.4.3.2.1 = 120

Resposta: letra B.

6. (CESPE TRT-DF - 2005) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem.0 1 - 0 número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior

a 650.000.

0 2 - 0 número de processos que podem ser codificados por esse sistema utiíizando- se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.

0 3 - 0 número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000.

RESOLUÇÃO:O nosso protocolo é formado por duas ietras e três algarismos (L ^ A ^ A ^ .Algarismos = 10 (0, 1, 2 /3 ,4 , 5,6, 7, 8, 9).Letras = 26 (fornecida pela questão).

íCap. 7 - ANÀLiSE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 2 37

Vamos resolver o item 01.O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a650.000.Nessa questão não há restrição.

26 26 10 /u -.' 10 '■ : 0■j*

Possibilidade2 a

Possibilidade3.* ■■

Possibilidade Possibilidade5.a

Possibilidade

Resultado: 26.26.10.10.10 = 676.000 possibilidades. Item certo.

Vamos resoiver o item 02.O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.Nesse item temos a restrição de letras iguais nas duas primeiras posições, ou seja, a segunda letra é igual à primeira. Por isso não podemos escolher a segunda letra.

26 ' 1 ■■■■. 10 ; -..10':.'.' 10I a

Possibilidade......... 2.**;Possibilidade :

3.aPossibilidade Possibilidade Possibilidade

Resultado: 26.1.10.10.10 = 26.000 possibilidades. Item errado.

Vamos resoiver o item 03.O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é superior a470.000.Nesse item a restrição é hão repetir elementos (letras e algarismos).

26 25 10 9 ... 81.a

Possibilidade' 2-a

Possibilidade3.3

Possibilidade4 a

Possibilidade5.a

Possibilidade

Resultado: 26.25.10.9.8 = 468.000 possibilidades. Item errado.

7. (UEFS) Para garantir a segurança de seus moradores, a administração de um condomínio pensou em contratar vigilantes para ocuparem as cinco guaritas construídas na sua área. Devido aos altos custos, só foi possível contratar quatro vigilantes, sendo que um deles deve ficar na guarita próxima à entrada do condomínio e que, nos demais postos, deve ficar, no máximo, um vigilante.

238 'MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

INessas condições, o número máximo de maneiras distintas para distribuir essesvigilantes é:(A) 24(B) 58 ,(C) 72(D) 96(E) 120

RESOLUÇÃO:Temos 4 vigilantes e 5 guaritas, sendo que na guarita da entrada é obrigatório ter um vigilante.Fique atento, cada vez que escolho um vigilanteidiminui uma possibilidade.

Vamos escolher a guarita D para ficar vazia.

1,3 possibilidade: Entrada = 4 (vigilantes)2.a possibilidade: Guarita À = 3 ■3.a possibilidade: Guarita B ~ 24.a possibilidade: Guarita C = 1

4Entrada - Guarita A Guarita B Guarita C

Resultado: 4.3.2.1 = 24 possibilidades, porém esse resultado é a quantidade de possibilidades de ficar vazia a guarita D, mas a questão deixou livre a guarita que vai ficar vazia.

5.a possibilidade: Guarita vazia (pode ser A ou B

Resultado final: 43.2.1.4 = 96 possibilidades. Resposta: letra D.

ou C ou D) = 4

8. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais e)es podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a:

(A) 2(B) 4(C) 24(D) 48(E) 120

rCap. 7 - ANÁLISE COMBIN ATÓRIA E PROBABILIDADE 239

RESOLUÇÃO:Nesse caso a nossa restrição é ficarem duas muiheres juntas. Sem restrição a resposta será 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades.

M, i M, R,

P, p2

9.

Vamos observar que uma posição (Pl) será ocupada petas duas muiheres, pois elas devem permanecer juntas.

1.a possibilidade: Moça 1 = 22.° possibilidade: Moça 2 = 13.a possibilidade: Rapaz 1 = 34.a possibilidade: Rapaz 2 = 25.a possibilidade: Rapaz 3 = 1

Resultado: 2.1.3.2.1 = 1 2 possibilidades, porém nessa ordem.Temos 4 posições para permutar (trocar) entre si.6.*1 possibilidade: Posição = 4 Resultado finai: 12.4 = 48 possibilidades.

Resposta: letra D.

(MPOG 2000 ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é iguaf a:

(A) 6(8 ) 12

(C) 24(D) 36(E) 48

RESOLUÇÃO:Você deve ter se perguntado:; não é a mesma questão?Não! O enunciado é o mesmo, porém a pergunta é diferente.Nossa restrição é: somente as moças fiquem todas juntas, nesse caso os rapazes não podem ficar todos juntos. Por isso teremos duas situações.

2 40 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar

l .a Situação:

V ,p, P; p4

1.n possibilidade: Moça 1 = 22.a possibilidade: Moça 2 = 13.n possibilidade: Rapaz 1 = 34.3 possibilidade: Rapaz 2 = 25.a possibilidade: Rapaz 3 = 1

Resultado!: 2.1.3.2.1 = 12 possibilidades.

2.a Situação:

K, r 3 IVl, *3

P, P3 P3 P,

1.3 possibilidade: Moça 1 = 22.* possibilidade: Moça 2 = 13.-1 possibilidade: Rapaz 1 = 34.° possibilidade: Rapaz 2 = 25.-’ possibilidade: Rapaz 3 = 1

Resultado 2: 2.1.3.2.1 = 12 possibilidades.Temos 1.a situação ou 2.° situação. Regra do “ou" (soma).Resultado final: 12 + 12 = 24 possibilidades.

Resposta: letra C.

10. (AFRE MG 2005 ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:(A) 420(B) 480(C) 360(D) 240(E) 60

rCap. 7 -A N Á LIS E COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 241

RESOLUÇÃO:Nessa questão temos duas restrições: a última posição deve ser ocupada por Ana ou Beatriz ou Carla ou Denise,-. e Denise não pode ocupar a primeira posição.

1.a Situação: Ana sendo a última.

5 5 4Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada nem por Ana e nem por Denise (restrição da questão), logo 5 possibilidades.A posição 2 não pode ser ocupada por Ana e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição; porém pode ser ocupada por Denise, por isso 5 possibilidades.A posição 3 não pode ser ocupada por Ana, nem pela pessoa da posição V e a da posição 2, logo 4 possibilidades.A posição 4 pode ser ocupada por Ana (nossa suposição), logo apenas uma possibilidade.

Resultado 1 = 5.5.4.1 = 100 possibilidades.

2.a Situação: Beatriz sendo a última.

5 ■ 5' 4 1Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada nem por Beatriz e nem por Denise (restrição da questão), logo 5 possibilidades.A posição 2 não pode ser ocupada por Beatriz e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição; porém pode ser ocupada por Denise, por isso 5 possibilidades.A posição 3 não pode ser ocupada por Beatriz, nem pela pessoa da posição 1 e a da posição 2, lògo 4 possibilidades.A posição 4 pode ser ocupada por Beatriz (nossa suposição), logo apenas uma possibilidade.Resultado 2 - 5.5.4.1 = 100 possibilidades.

3.a Situação: Carla sendo a última.

5 5 4 | 1Posição 1 Posição 2 Posição 3 j Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada nem por Carla e nem por Denise (restrição da questão), logo 5 possibilidades.


A posição 2 não pode ser ocupada por Caria e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição; porém pode ser ocupada por Denise, por isso 5 possibilidades.A posição 3 nãb pode ser ocupada por Carla, nem pela pessoa da posição 1 e a da posição 2, fogo 4 possibilidades.A posição 4 pode ser ocupada por Caria (nossa suposição), logo apenas uma possibilidade.


4.a Situação: Denise sendo a última.

6 5 4 1Posição 1 Posição 2 Posiçãí 3 Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada por Denise (restrição da questão) e como éía já está na última posição, logo 6 possibilidades.A posição 2 não pode ser ocupada por Denise e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição, logo 5 possibilidades.A posição 3 não pode ser ocupada por Denise, nem pela pessoa da posição 1 e a da posição 2, logo 4 possibilidades.A posição 4 pode ser ocupada por Denise (nossa! possibilidade.


suposição), logo apenas uma

Temos: a 1.a situação ou a 2* situação ou a 3.a situação ou a 4.a situação. Resultado final: 100 + 100 + 100 + 120 = 420 possibilidades.

Resposta: letra A.

11. (CEFET-BA) Segundo o texto, a travessia internacional mais alta do mundo está a 4370 metros de altitude. Considerando! os algarismos 0, 3, 4 e 7, se colorarmos em ordem crescente todos os algarismos, não nulos, de algarismos distintos, formados por esses algarismos, então a posição do número 4370 é:(A) 30.(B) 36.(C) 40.(D) 41.(E) 42.

íCap. 7 - ANÁLISE COMBINATÒRIA E PROBABILIDADE 243

RESOLUÇÃO:Temos que contar as possibilidades.

I.3 situação: um número de um algarismo.Possibilidade: 3, 4, 7 = 3.Obs.: o zero não contaj pois o número 07 é um número de um algarismo.

2.° situação: um número de dois algarismos.

V 3 ■ ■ I .. 3 ;1 ° algarismo 2.° algarismo

O zero não pode ser usado como primeiro algarismo, por isso só temos as seguintes possibilidades: 3, 4, 7.

pode-se usar o zero e devemosNo segundo algarismo excluir o algarismo que escolhemos para a primeira posição, logo 3 possibilidadesl

Resultado 2: 3.3 = 9 possibilidades.

3.a situação: um número de três algarismos.

3 3 i; 21.° aigarismo 2° algarismo 3.° algarismo ;

O 1.° algarismo não pode ser o zero, logo 3 possibilidades.O 2.° algarismo pode ser o zero, porém não podemos contar o algarismo da posição 1.O 3.° algarismo não pode ser nem o primeiro aigarismo e nem o segundo algarismo, logo 2 algarismos.

Resultado 3: 3.3.2 - 18 possibilidades.

4'.a situação: um número de quatro algarismos, menor que 4370.Vamos começar com o que 4370,

numero 3 na primeira posição, pois o número 3074 é menor

1 3 2 i.1.° algarismo 2.° algarismo 3.° algarismo 4.° algarismo

A primeira posição só pode ser ocupada pelo algarismo 3, logo apenas uma possibilidade.'A segunda posição não pode ser ocupada pelo algarismo da primeira posição, logo3 possibilidades.

244 MATEMÁTICA E RACiOClNlO LÓGICO QUANT1TATÍVO - Bruno Villar

Na terceira posição devemos excluir os dois algarismos anteriores, logo 2 possibilidades.Na quarta posição devemos excluir os três algarismos anteriores, logo 1 possibilidade.

Resultado 4: 1.3.2.1 = õ possibilidades.

Até agora temos 3 4* 9 + 18 + 6 = 36 possibilidades.Começando com o algarismo 4, temos:4037, 4073, 4307. Logo temos mais três posições.Temos 39 possibilidades de números menores que 4370, logo ele estará na 40.a posição.

Resposta: letra C.

12. (MPU 2004 ESAF) Paulo possui, três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a Jado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a(A) 20.(B) 30.(C) 24.(D) 120.(E) 360.

RESOLUÇÃO:

Essa questão é para fechar com chave de ouro os casos de princípio fundamental de contagem.

Temos 6 ' quadros, porém os quadros de Gotuzo devem estar em ordem cronológica e podem estar juntos ou não.

Total de possibilidades: 6.5.43,2.1 = 720 possibilidades.

No caso da inversão da seqüência dos quadros de Gotuzo temos.

3 2 : 1l.a pOSÍÇãO; 2.a posição 3.a posição

Temos 6 possibilidades de troca da seqüência dos quadros de Gotuzo.


100Logo: = Como queremos apenas uma seqüência, G1-G2-G3, teremos 1206

possibilidades.Resposta: 120, pois cada seqüência dos quadros de Gotuzo aparece 120 vezes.

Resposta: letra D.


1. (CESGRANRIO) Ao se inscrever em determinado concurso, cada candidato recebiaum número de inscrição composto de 6 dígitos numéricos. O primeiro dígito identificava a cidade onde era feita a inscrição e os demais correspondiam ao número de identificação do candidato. Por exemplo, na cidade identificada pelo dígito “2", o primeiro inscrito receberia o número de inscrição “2.00001”, o do segundo seria "2.00002” e assim sucessivamente, até o número “2.99999". Seguindo esse critério, qual o número máximo de candidatos que poderiam se inscrever numa mesma cidade?(A) 9.999(B) 59.049(C) 99.999(D) 531.441(E) 999.999

2. (CESGRANRIO) Em certa universidade, o número de matricula dos estudantes é formado por 7 dígitos, repetidos ou não. Os números seguem um padrão: o primeiro dígito não pode ser zero, o antepenúltimo indica em que semestre (primeiro ou segundo) foi iniciado o curso e os dois últimos, o ano da matrícula. Por exemplo, “4234.207” é um número de matrícula atribuído a um estudante que iniciou seu curso no segundo semestre de 2007. Se dois estudantes matriculados num mesmo ano devem ter, obrigatoriamente, números de matrícula diferentes, qual é o número máximo de estudantes que podem ser matriculados em 2008?(A) 6.046(B) 9.000(C) 10.080(D) 18.000(E) 20.000

3. (CESPE) Uma concessionária oferece aos clientes as seguintes opções para aaquisição de um veículo: 4 cores externas, 4 cores internas, 4 ou 5 marchas, com ou sem ar condicionado, com ou sem direção hidráulica, com ou sem vidros e travas elétricas. Desse modo, são, no máximo, 128 as opções distintas para a escolha de um veículo.


14. (CESGRANRIO) Em uma fábrica de bijuterias são produzidos coiares enfeitados

com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a

As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem iser de cores diferentes?(A) 612(B) 556(C) 448(D) 392(E) 336

5. (ENEM CESGRANRIO) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se. o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas;para a paisagem é(A) 6(B) 7(C) 8(D) 9(E) 10

6. (CESPE) Considere que as senhas dos clientes de um banco têm 8 dígitos, sem repetições, formadas pelos algarismos de 0 a 9. Nessa situação, o número máximo de senhas que podem ser cadastradas nesse banco é inferior a 2 * 106.

7. (CESPE) Considere que o BB oferece cartões de crédito Visa e MasterCard, sendo oferecidas 5 modalidades diferentes de cartão de cada uma dessas empresas. Desse modo, se um cidadão desejar adquirir um cartão Visa e um MasterCard, ele terá menos de 20 possíveis escolhas distintas.

figura.

Cap. 7 - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 247

8. (Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco/lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti ficjuem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:(A) 16(B) 24(C) 32(D) 46(E) 48

9. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos paraoito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem- se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente,(A) 1112 e 1152.(B) 1152 e 1100.(C) 1152 e 1152.(D) 384 e 1112.(E) 112 e 384.

10. (Anal. Orçamento MÀRE 99 ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições^ o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é(A) 518 400(B) 1 440 ^(C) 720(D) 120(E) 54

GABARITO

01 - C 02 - D 03 - E04 - D 05 - B 06 - C07 -E 08 - E 09 -C10 - A

Fatorial

O fatorial será muito utilizado nas questões de permutação e análise combinatória.

248 MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

Sendo n ura número natural, chama-se de ní (Lê-se: n fatoriai) a expressão:

n! = n (n |- 1) (n - 2) (n - 3 ) ........ 2.1, com n > 2

Exemplos: 5! - 5.43.2.1 = 120 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

CUIDADO:0) = 1 1! = 1

* rvDicas:01. Tenha cuidado: 2! = 2, pois 2.1 - 2. Agora 3! não é igual a 3, pois 3.2.1 = 6.02. Você não precisa desenvolver o número até 1.Exemplo: 51 = 5.4.3!. Nesse caso, se parar antes de um/você deve colocar o fatoriai.

Treinamento básico

1. Simplifique as expressões abaixo:

a) 1! = 2 £ * = 7.6 » 423!

b) 121 = = -10.9.8 * 7207!

P ! 12.11.10.9.8.7.6.^c) — = ---------- e---------- 1 = 12.11.10.9.8.7.6 = 39.991.6805! ^

10! 10.9.8.7.^' 10.9.8.7 5040d) ------ - -r---------- i = ---------- = ------ = 2106L4! ^'.43.2.1 - 4.3.2.1 24

No caso da letra d, no denominador deve se conservar os termos menor e maior.

Cap. 7 —ANÁLISE COMBiNATÓRiA E PROBABILIDADE 2 49

Também pode ser usado o seguinte processo:

10-9.8.7 = K r W - 7 = 5.3.4.7 420 ?)n4 .3 .2.1 ■ 2 . 1.1 2

Esse processo é o método da simplificação. Para simplificar, devemos dividir os termos por um mesmo número.

. 1 2! I 2 . l l . Y e » „ 1 2 . 1 1 1320) ------- = ----------- = ------ = ---- = 66101.2 í Y»t2.l 2 2


1. (CESPE) Considere que, para ter acesso à sua conta corrente via Internet, um correntista do BB deve cadastrar uma senha de 8 dígitos, que devem ser escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Se o correntista decidir que todos os algarismos de sua senha serio diferentes, então o número de escolhas distintas que ele terá para essa senha é igual a 81.

RESOLUÇÃO:O correntista possui uma senha de 8 dígitos distintos.

10 ■ '. ' ;S .. .' V 31.» ‘

posição posiçãoy ] :v3XK.v posição posição

5 . » ■posição

.v;;.V;:6.aposição

7*posição

8.aposição

1.° posição: 10 possibilidades (0 a 9 algarismos), e como a questão menciona que devem ser elementos distintos, retira-se um elemento de cada posição posterior.Resultado: 10.9.8.7.6.5.4.3.

Agora vamos comparar o resultado obtido como o resultado do enunciado.

10.9.8.7.6.5.4.3 = 8!10.9.0:7t6.5.4t5 = 8^6^h43.2,1. Cortando os termos iguais, obtemos o seguinte resultado: 10.9 = 2.1. Questão errada.

2. (CESPE PF 2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Nemeia, capturar a corça de Cerineía e capturar o javali de Erimanto.

250 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Vtilar

Considere que a Hércuies seja dada a escolha! de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados,: e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que isomente um trabaiho seja executado de cada vez-, Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue Í3S itens subseqüentes.

0 1 - 0 número máximo de possíveis listas que Hércuies poderia preparar é superior a 12.10!.

0 2 - 0 número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Nemeia" na primeira posição é inferior a 240.990.56.30.

0 3 - 0 número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” na primeira posição e "capturar o javali de Erimanto" na terceira posição é inferior a 72.42.20.6.

0 4 - 0 número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia" e "capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em quaiquer ordem, é inferior a 61.8!.

RESOLUÇÃO:0 1 - 0 número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior

a 12.10!.

Como não temos restrição, a escolha é livre. Não esqueça: não há repetição de tarefa, por isso cada posição diminui uma escolha.

12 11 10 9 8 7 6 5 4 /;3 .■; 2 1

P, P3 P< PS P6 > 7 ; Pa P9 P,o P„ P.*

Resultado: 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 12!

Comparação: 12! é maior que 12.10!?+2 . 11 . 101 > +2. WJ. Cortando os termos comuns, temos: 11 > 1 . item correto.

0 2 - 0 número máximo de possíveis Üstas contendo o trabalho "matar o leão de Nemeia" na primeira posição é inferior a 240.990.56.30. ,

Para a primeira posição só há uma possibilidade, pois tem que ser a de "matar o ieão de Nemeia", íogo sobram apenas 11 posições.

1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Pi P2 p3 P, P5 p« p7 PB P9 P,o Pn P,i

Resultado: 11!


Comparando: 11! é inferior a 240.990.56.30

11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 < 240.990.5630 9903660.24 < 240.9903630 24 < 240, Item correto.

0 3 - 0 número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos "capturar a corça de Cerineia" na primeira posição e "capturar o javáíí de Erimanto" na terceira posição é inferior a 72.42.20.6.

Temos duas posições definidas nessa ordem:P,: "capturar a corça de Cerineia''P : "capturar o javali de Erimanto"

1 10 1 i 9 8. 7 6 5 !' 4 3 2 1

p, P; p3 p, Ps P6 P7 PB P9 P« Pu P«

Resultado; 10i 10! < 72.42,20.610.9,8.7.6.5.43.2.1 < 72.42.20.6 10.7-2:42.20,6 < -72:42.20^10 < 6. Item errado.

0 4 - 0 número máximo de possíveís üstas contendo os trabalhos "capturar a corça de Cerineia” e "capturar o javali de Erimanto" nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6!.8!.

Nesse caso a restrição são os trabalhos "capturar a corça de Cerineia" e "capturar o javali de Erimanto" sem ordem. Por isso temos que ter cuidado, pois pode ser CE ou EC.

10 9 8 7 6 5 4 3 | 2 1 2 1

P, P2 p3 ■ P, P5 Pfi P7 p8 ; P. P,o Pn P,2

Resultado: 10L2!O 10! é devido à restrição de duas posições e o 2! é porque os dois últimos trabalhos não possuem ordem, por isso 2 possibilidades.10L2! < 6I.81. Item correto.

252 MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VMar

Combinação

Dados n elementos distintos, chama-se de combinação simples desses n elementos, (tomados p a p, a qualquer agrupamento de p elementos distintos, escolhidos entre os n elementos dados e que diferem entre si -pela natureza de seus elementos.

Fórmula:

n\Cn>P = ~T/-------Ti com n - Pp \ ( n - p ) \

Exemplos:, , „ 5! 5! 5.4.M 20(a) C. — ------------ = ------ = -----r—- = — = 1 0

5’2 21(5-2)! 21.31 2 .1 .^ 2

MÉTODO DO CONCURSANDO!

C = ■iAÍ - . - .V. V 2! ■■ ■ 2.1 ■ 2

Esse método ajuda muito. Vamos ã dica: n = 5 (base) e p - 2 (quantidade de casas que vamos andar).

Podemos resumir assim: P cosas .

(C) c„, =

7 .\ .5

12. 11. 10.9.8 12. 11. 10.9.8 12" 11 10" 9“ 8 '■5

(b) C7’3 7 3!5 7‘5 - 35

!2>5 5! .. 5.43.2.1 5 4 -3 -26 .11 .2 .3.2------------- = 6.11.23.2 - 792

1.1.1.1

^ ^3i,29

Nesse caso vamos simplificar o número, pois a conta será grande se andarmos 29 casas.

Cap. 7 - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 2 53

C — C31,29 3! ,2

Para simplificar é só fazer n - p: 31 - 29 = 2. O resultado será o p da segunda combinação. "

C31. - 31-3Q _ 3 1 -3(T _ 3 L 1 5 = 31.15 = 465 2.1 ~ 2 ” 1

*Dica:C = 1 C ,= n C „ « 1rui n,I n,0


*Dica:; As questões que envolvem combinação pedem escolha de grupos ou comissões.A combinação é uma escolha de grupos de pessoas, coisas, objetos ou pontos. Logo é uma escolha de um subgrupo a partir de um grupo fornecido. v/' .' ' ■■'v ■ '

Caso 01

1. (ANA) O número de dupias que podem ser formadas a partir de 6 jogadores de tênis é:(A) 12 (8) 15(C) 27(D) 30(E) 36

RESOLUÇÃO:Temos 6 pessoas e queremos escolher uma dupla. Logo, essa questão é resolvida por combinação.n = 6 (total de pessoas) e p = 2 (nossa escolha).

Cfi 2 = = 3.5 = 15 possibilidades.

Resposta: letra B.

254 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Wlar

2. (CESPE BB 2007} Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade totaí de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70,

RESOLUÇÃO:Temos 12 pessoas e queremos escolher uma düpla. Logo, essa questão é resolvida por combinação.

n - 12 (total de pessoas) e p = 2 (nossa escolha).

= 66 possibilidades. Item correto.

3. Quantos triângulos podem ser formados a partir de 8 pontos distintos coplanares?

RESOLUÇÃO:Pontos coplanares: são pontos no mesmo plano.

n = 8 e p - 3 ( o triângulo é formado por 3 pontos).

C = = 8.7.6 = 3 3 6 - 56 possibilidades!3 3! 3.2.1 6

Resposta: 56.

Caso 02

1. (Técnico de controle interno Piaut 2002 ESAR) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem très meninos e duas meninas é dado por:(A) 5.400(B) 6.200(C) 6.800(D) 7.200(E) 7.800

Cap. 7 -A N Á LIS E COMBiNATÓRIA E PROBABILIDADE 255

RESOLUÇÃO:São duas escolhas de grupos: meninos e meninas {regra do "e" ~ multiplicação). Na escolha do grupo dos méninos temos: n = 10 (totai) e p = 3 (escolha).

10.9.8 10.9.8 7206C. « - 120

3.! 3.2.1

Na escolha do grupo de meninas temos: n - 1 0 e p = 2.

C 109 _ 90 = 90 = 4 5 m 2! 2.1 2

Resultado total: 120.45 = 5400.

Resposta: ietra A.

2. Doze professores, sendo 4 de Matemática, 4 de Geografia e 4 de Inglês, participaram de uma reunião com o objetivo de formar um comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se compor essa comissão é:(A) 12(B) 36(C) 48(D) 64(E) 108

RESOLUÇÃO:Temos que ter cuidado, pois temos a impressão de que devem ser escolhidas 9pessoas de 12, porém não. é dessa forma.A comissão deve ter 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. Por isso devemos calcular separado!

Matemática n — 4 e p - 3 C„ * 4 , 1 = 4 JObs.: 4 - 3 - 1 . Utilizando 0 processo de redução.

Geografia, n = 4 e p = 3

= 4/1 ~ 4Obs.: 4 - 3 = 1. Utilizando o processo de redução.

256 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Víllar

Inglês.n = 4 e p = B .■é« = 4 , i ' =4|Obs.: 4 3 = 1. Utilizando o processo de redução.

Temos um grupo de matemática "e" geografia "e" inglês (regra do "e"). Resultado final: 4.4.4 = 64 possibilidades.Resposta: letra D.

Caso 03

1. (TRT/SC - 05) Em um edifício residencial, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas?(A) 64(B) 126(C) 252(D) 640(E) 1260

RESOLUÇÃO:Resumo do enunciado:Dentre 10 pessoas uma será o síndico e 4 serão do conselho fiscal, hão podendo ocorrer acumulação de cargos. Temos duas situações.

l.n Situação: primeiro escolhendo o síndico e depois o conselho.Síndico: n = 10 e p = 1.

Cio, i ” 10Conselho: n = 9 e p = 4. Pois a pessoa que foi escolhida não pode concorrer ao cargo do conselho fiscal.

9.S.7.6 9.8.7.6 3024 ^■ . r . = ■----------= — —;— = --------- =1269/> 4! 4.3.2.1 24

A nossa escolha é um síndico e 4 conselheiros (regra do "e").

Resultado: 10.126 =-1260 possibilidades.Resposta: letra E.

Para o seu treinamento, a 2.n situação seria primeiro escolher o conselho e depoiso síndico.


2. (CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.

RESOLUÇÃO:Temos três escoihas:O funcionário mais novo recebe 3 tarefas e o restante 2 tarefas.

I .3 escoiha: n = 7 e p = 3

C., = 7.6.5 — 7.6.5 = 2J_0 = 35 possibilidades,i 7'3 3! 3.2.1 ; 6

2.n escoiha: n = 4 e p = 2O n ficou igual a 4, pois três tarefas foram escolhidas na primeira possibilidade.

4.3 4 3 12 ■C., = — = ---- = — ~ 6 possibilidades.

•u 2! 2.1 2

3.8 escoiha: n = 2 e p = 2 . .C22 = 1 possibilidade.

Temos a 1.° escolha, depois a 2? e depois a 3.a (regra "e").

Resultado final: 35.6.1 =210 possibilidades. Item errado.

Caso 04

1. Dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer uma salada. Se cada salada é composta de cínco frutas diferentes, então o número de saladas diferentes que se pode preparar escolhendo pelo menos 5 frutas diferentes é:(A) 8(B) 56(C) 93(D) 120(E) 6720

RESOLUÇÃO:A expressão pelo menos tem o mesmo significado de mínimo. Por isso, quando dizemos peio menos 5, queremos dizer que há no mínimo 5 escoihas, logo podemos escolher 5 ou 6 ou 7 ou 8 (total).

258 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vtfar

1

Escolhendo 5 frutas:C = C = 8.7.6 8.7.6 = 336 = 55 '

“ 03 |3! 3.2.1 6

Escolhendo 6 frutas:

3.7 8.7 56C_ = C„,= ~ = — = — = 28 2 ! 2.1 28.6 B,2

Escolhendo 7 frutas: C,7 = Cej = 8

Escolhendo 8 frutas: C„„ = 1

Resultado: 56 + 28 + 8 + 1 = 93 possibilidades. !f

Resposta: letra C.

2. (AFC 2005 ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas; o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas è igual a:(A) 286(B) 756(C) 468(D) 371(E) 752

RESOLUÇÃO:No grupo deve ter pelo menos duas meninas, logo no mínimo duas meninas. O total de escolha é 6 crianças, porém devemosi ter pelo menos duas meninas.1.a possibilidade: 2 meninas e 4 meninos.2.a possibilidade: 3 meninas e 3 meninos.3.a possibilidade: 4 meninas e 2 meninos.

1.° possibilidade: 2 meninas e 4 meninos.Meninas: n = 4 e p = 2.,;


Meninos: n = 7 e p = 4.

c = r = - ü £ = 35 ■:1A :J 3! 3.2.1 6

Resultado da l.a possibilidade: 6.35 = 210.

2.a possibilidade: 3 meninas e 3 meninos.

Meninas: n = 4 e p = 3.C„ = C4J= 4

Meninos: n = 7 e p = B.C =35V“7.3

Resultado da 2.a possibilidade: 4.35 ~ 140.

3.a possibilidade: 4 meninas e 2 meninos.

Meninas: n = 4 e p = 4.

C,4 = 1

Meninos: n = 7 e p = 2.

q , . « = « . « = 21.2 ! 2.1 2

Resultado da 3.a possibilidade: 1.21 =21.

Resultado final: 210 +

Resposta: letra D<


140 + 21 =371.

1. (ESAF) Uma empresa possui vinte funcionários, dos quais dez sao homens e dezsão mulheres. Desse modo, o número de comissoes de cinco pessoas que sepodem formar com(A) 1650(B) 165(C) 5830(D) 5400(E) 5600

três homens e duas muiheres é:

260 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar. . !

2. Dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer uma salada. Se cada salada é composta de cinco frutas diferentes, então o número de saladas diferentes que se pode preparar é:(A) 8 '(B) 10(C) 56

' (D) 120(E) 6720

3. (CESPE) Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. Nessa situação, a quantidade de comissões que é possível formar, constituídas por 3 vice-presidentes e 3 diretores, é superior a 105.

4. (CESPE) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários.

5. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoaspodem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?(A) 25(B) 35(C) 45(D) 55(E) 65

6. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiraspodemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da comissão?

(A ) C zo.io

< B > C1S,o(C) CJ01S(D ) C 15,

(E) C2B, a

7. (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética.Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de espanhol, uma empresa contratou 4 professores americanos e 3 espanhóis.Nessa situação, sabendo que cada funcionário fará exatamente um curso de cada língua estrangeira, um determinado empregado disporá de exatamente 7 duplas distintas de professores para escolher aqueles com os quais fará os seus cursos.

8. (CESPE) Uma empresa está oferecendo 2 vagas para emprego, sendo uma para pessoas do sexo feminino e a outra para pessoas do sexo masculino. Considerando-se que se candidataram às vagas 9 homens e 7 mulheres, entãoo número de opções distintas para a ocupação dessas vagas é igual a(A) 126


(B) 63(C) 32(D) 16

9. (CESPE) O Banco do Brasil S.A. (BB) patrocina as equipes masculina e feminina de vôlei de quadra e de praia. Segundo o portal www.bb.com.br, em 2007, o voleibol brasileiro mostrou mais uma vez a sua hegemonia no cenário internacional com a conquista de 56 medalhas em 51 competições, tanto na quadra quanto na praia. Nesse ano, o Brasil subiu ao lugar mais aito do pódio por 31 vezes e conquistou, ainda, 13 medalhas de prata e 12 de bronze.Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes.

01 - Considerando que o treinador de um time de vôlei disponha de 12 jogadores, dosquais apenas 2 sejam ievantadores e os demais estejam suficientemente bem treinados para jogar em qualquer outra posição, nesse caso, para formar seu time de 6 atletas com apenas um ou sem nenhum levantador, o treinador poderá fazê-lo de 714 maneiras diferentes.

02 - Caso se deseje selecionar 5 medalhas, entre as conquistadas pelo voleibol brasileiro em 2007, de modo que 2 sejam de ouro, 2 de prata e 1 de bronze, a quantidade de possibilidades diferentes de se formar esses conjuntos será superior a 450 mil.

03 - Considerando-se que o treinador de um time de vôlei tenha à sua disposição 12jogadores e que eies estejam suficientemente treinados para jogar em qualquer posição, nesse caso, a quantidade de possibilidades que o treinador terá para formar seu Ume de 6 aíletas será inferior a 103.

GABARITO

01 - D 02 - C 1 03 - C

04 - E 05 - D 1 06 - D

07— E 0 8 - 8 | 09 - C-E-C

Permutação

E a troca de posição de elementos de uma seqüência.

Permutação sem repetição de elementos

P = n!n

*Dica: todas as questões de permutação simples podem ser resolvidas pelo princípio fundamental de contagem (PFC).

http://www.bb.com.br

262 MATEMÁTICA E RACIOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar. . !

Treinamento comentado________________

1. Quantos anagramas tem a palavra rato?I ....... , j ................

RESOLUÇÃO:■ 1.a opção:

Anagrama é a troca das letras de uma palavra.A palavra rato não possui letras comuns, logo 4 elementos distintos.P4 = 4! = 4.3.2.1 - 24 possibilidades.

■ :■ Resposta: 24. ■. .

2.° opção:

4 3 1

1,° possibilidade 2.a possibilidade 3.a possibilidade 4.a possibilidade

Resultado: 4.3.2.1 = 24

2. Quantos anagramas tem a palavra vida, começando por vogal?

RESOLUÇÃO:Restrição: começar por vogai.

2 .3... '■ i 2 '■ .■

l.a possibilidade 2.a possibilidade 3.a possibilidade 4 a possibilidade

A 1.° possibilidade é igual a 2, pois temos duasj vogais. Sobram 3 possibilidades, logo temos:

2-P3 ■. ■ [ ■■■Resultado: 2.3.2.1 = 12 possibilidades.

Permutação com elementos repetidos

a lp !% L .

n: total de elementos.

Cap. 7 -A N Â U S E COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 263

a ,p ,x . . . = repetição de cada elemento.


1. Quantos anagramas tem a palavra concurso?

RESOLUÇÃO:A palavra concurso tem 8 elementos, mas a letra O e C -aparecem duas vezes.

f n 2-2 — 8?L0g0'jP. -2!2! 10080.

2. (CESPE) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.

RESOLUÇÃO:Totai de 7 faixas, sendó 3 verdes e 3 amarelas.

'3'3 = _ZL = 140 3! 3!P i

ítem certo.

Permutação circular

P = — ou (n-1)!

Essa fórmula é utilizada para pessoas agrupadas em um formato circular, n = total de pessoas


1. (CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os superior a 102.

participantes da reunião é

2 64 MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno V?//ar

1

RESOLUÇÃO:É um caso ciássico de permutação circular.

! .(6 - 1)! = 5! = 5.43.2.1 = 120 possibilidades.

Item certo.


1. (CESPE) Um trabalhador dispõe de 3 linhas de ônibus para ir de sua casa atéo terminal de ônibus no centro da cidade e, a partir dai, ele dispõe de 5 linhasde ônibus para chegar ao seu iocal de trabalho.Nessa situação, considerando-se que o trabalhador possua as mesmas opções para fazer o percurso de retorno do trabalho para casa e entendendo-se um trajeto de ida e volla ao trabalho desse trabalhador como uma escolha de quatro linhas de ônibus - de sua casa ao centro, do centro ao trabalho, do trabalho ao centro e do centro de volta para casa então o trabalhador dispõe de, no máximo, 30 escolhas distinlas para o seu trajeto de ida e volta ao trabalho.

2. (CESPE) Um juiz deve sortear 5 homens e 6 mulheres para formar o corpo dejurados no tribunal do júri, entre 10 homens e 13 mulheres convocados. Nessa situação, o número de possibilidades diferentes de se formar o corpo de jurados é inferior a 1.970.

3. Dois casais devem posar, em fila, para uma fotografia. De quantos modos podem fazê-lo, se cada casal deve permanecer junto?(A) 1(B) 2(C) 4(D) 6(E) 8

4. (CGU ESAF 2006) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões?(A) 2800(B) 2980(C) 3006(D) 3003(E) 3005

Cap. 7 - ANÁLISE C0MB1NATÓRIA E PROBABILIDADE 265

5. (CGU ESAF 2006} Ágata é decoradora e precisa atender ao pedido de um excêntrico cliente, Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então ó número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:(A) 6720(B) 5760(C) 4320(D) 3600(E) 56

6. (Transpetro CESGRANRIO 2006) Em um posto de observação foi montado um sinaleiro de formato pentagonal e em cada um de seus vértices foram colocadas duas lâmpadas de cores distintas, escolhidas entre 5 vermelhas e 5 verdes. Convenciona-se que, para a transmissão de uma mensagem, não pode ser acesa mais do que uma lâmpada por vértice, e que o número mínimo de vértices iluminados deve ser três.Se, cada vez que um conjunto de lâmpadas é aceso, transmite-se uma mensagem,o total de mensagens que podem ser transmitidas por esse sinaleiro é(A) 192(B) 128(C) 64(D) 32(E) 16

7. (CESGRANRiO) Um restaurante oferece cinco ingredientes para que o cliente escolha no mínimo 2 e no máximo 4 para serem acrescentados à salada verde. Seguindo esse critério, de quantos modos um cliente pode escolher os ingredientes que serão acrescentados em sua salada?(A) 25(B) 30(C) 36(D) 42(E) 50

8. (FUNRIO) O número de anagramas da palavra CHUMBO que começam pela letra C é(A) 120(B) 140(C) 160(D) 180(E) 200

9. (FUNRIO) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Arthur e Felipe, que,

266 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VtUar

sabe-se, não se relacionam um com o outroj Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? .(A) 70 !(B) 35

- (C) 55(D) 45(E) 40

10. (FUNRIO) Num avião, uma fila tem sete poltronas dispostas como na figura abaixo:

corredor | |J jj "| corredor

Os modos de Pedro e Ana ocuparem duas poltronas dessa fila, de modo que nao haja um corredor entre eles, são em número de(A) 10(B) 8(C) 6(D) 9(E) 7

11. (CESPE) De acordo com informações apresentadas no endereço eletrônico www. trtrio.gov.br/Administrativo, em fevereiro de 2008, havia 16 empresas contratadas para atender à demanda de diversos serviços; do TRT/1.3 Região, e a quantidade de empregados terceirizados era igual a 681.Com base nos dados do texto, a quantidade de maneiras distintas para se formar uma comissão de representantes dos empregados terceirizados, composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário,; de modo que nenhum deles possa acumular cargos, é(A) inferior a 682.(B) superior a 682 e inferior a 104.(C) superior a 104 e inferior a 681*103.(D) superior a 681*103 e inferior a 341*106.(E) superior a 341*106.

12. (ESAF MTE) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a:(A) 120(B) 1220(C) 870

Cap. 7 - ANÁLISE COMBINATÔRIA E PROBABILIDADE 267

(D) 760(E) 1120

13. (VUNESP) Uma criança dispõe de 10 lápis de cores diferentes e, para pintar um desenho, precisa utilizar pelo menos 4 cores diferentes. No entanto, a professora lançou um desafio para ver quem consegue pintar, da melhor maneira possível esse desenho, usando no máximo 7 cores diferentes. Nessas condições, o nú mero de maneiras distintas de pintor esse desenho é(A) 210.(B) 420.(C) 548.(D) 664.(£) 792.

14. (CESPE) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhasdistintas que podem mas admitindo-se a(A) 26a x 10 x 9 x 8.(B) 263 x 1G3.(C) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8.(D) 26 x 25 x 24 * 10".

ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, repetição de algarismos, é igua! a

GABARITO

01 - E 02 - E 03 - E

04 - D 05 - A 06 - A

07 - A 08 - A 09 - C

10 - A 11 - E 12 - E

13 - E 14 - D

Probabilidade

A probabilidade tem como finalidade 0 esiudo da possibilidade ou chance de acontecer um determinado evento.

Conceitos iniciais

Experimento Aleatório: é aquele experimento que, quando repetido em iguais condições, pode fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados

268 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTiTATiVO - Bruno W /ar. : [

explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço amostrai (E): é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experiróento aleatório.

Exemplo:Espaço amostrai da moeda: {cara, coroa}Espaço amostrai do baralho {52 cartas}Evento: é o resultado desejado.

Probabilidade de ocorrer um evento P(A)

P(A) = --------SSílto-------espaço amostrai

0 < P(A) <1P(A) = 0 (evento impossível)P(A) = 1 (evento certo)

P ( /í) = 1 -P(A)P (/I) é a probabilidade de não ocorrer o evento A.


1. (CEF) A tabela abaixo apresenta dados parciais sobre a folha de pagamento de um Banco

Faixa salarial, em reais Número de empregados

300 - 500 52

500 - 700 30

700 - 900 25

900 - 1100 20

1100 - 1300 16

1300 - 1500 13

Total 156

Cap. 7 -A N Á LIS E COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 269

Um desses empregados foi sorteado para receber um prêmio. A probabilidade de esse empregado ter seu satário na faixa de R$ 300,00 a R$ 500,00 é(A) 1/3(B) 2/5(C) 1/2(D) 3/5(E) 7/10

RESOLUÇÃO:Descobrir o espaço amostrai e o evento. Espaço amostrai: 156 (total de funcionários). Evento: 52 (pessoas na faixa de 300 a 500).

52 5 2 * _ 1~ 156 "" 156^ ” 3

Resposta: letra A.

2. Uma uma contém 50 bolinhas, numeradas de 1 a 50. Retirando-se uma bolinha ao acaso, determine a probabilidade de retirar uma bola contendo um múltiplo de 15.

RESOLUÇÃO:Espaço amostrai: 50.Evento: 3 (múltiplos de 15: 15, 30 ou 45).

P(A) = —5 0 V ■ ■

Probabilidade da união de dois eventos: regra da adição ou regra do “ou”

No caso de um sorteio e duas chances você ganha com uma possibilidade ou com a outra. Por isso regra do “ou”.

Dados os eventos A e B, a probabilidade de que ocorram A ou B é igual a:

a) se os eventos forem não mutuamente exclusivos (A ^ B possuem elementos comuns)

P(A U B ) = P(A) + P(B) - P(A B)

2 70 MÁTEMÂTiCA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viitar

b) se os eventos forem mutuamente exclusivos (disjuntos) P(A U B ) = 'P (A ) + P(B)

ITreinamento com entado

1. Em uma urna há 12 bolas verdes, 18 bolas amarelas, 20 bolas brancas e 15 bolas pretas. Retirando»se uma bola ao acaso, determine a probabilidade de retirar uma bola branca ou preta.

..RESOLUÇÃO:'Espaço amostrai: 12 + 18 + 20 + 15 = 65 bolas (total de bolas). Evento: 20 + 15 = 35 (branca ou preta).

P(A VJ B) = P(A) + P(B). Não temos elementos comuns.

P(A O B) = — = = —65 65 13

2. (CESPE) Em um concurso público, régistrou*se a inscrição de 1Q0 candidatos. Sabe-se que 30 desses candidatos inscreveram-se para o cargo de escriturário, 20, para o cargo de auxiliar administrativo, e apenas 10 candidatos se inscreveram para os dois cargos. Os demais candidatos jinscreveram-se em outros cargos.Julgue os itens a seguir, considerando que um candidato seja escolhido aleatoriamente nesse conjunto de 100 pessoas.01 - A probabilidade de que o indivíduo escoihido seja candidato ao cargo de auxiliar

administrativo é superior a 1/4.02 - A probabilidade de que o indivíduo escolhido iseija candidato ao cargo de escriturário

ou ao cargo de auxiliar administrativo é iguai a 1/2.

RESOLUÇÃO:Espaço amostrai: 100. ; 'Evento auxiliar: 20.Evento escriturário: 30. ’ ■Evento auxiliar e escriturário: 10 (elementos comuns).

01 - A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de auxiliar administrativo é superior a 1/4.

P(A) = = -20— — ~ I t e m errado.100 100 5 '

C ap .7 -A N Á LIS E COMBINATÓRIAE PROBABILIDADE 271

02 - A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de es- criturário ou ao cargo de auxiliar administrativo é igual a 1/2.P(A U 8) = P(A) + PCB) - P(A n B)

P( AUB) = ü + - ^ - ü = i “100 100 100 100 100

3. Quando Ligia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível do qleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é de 0,11 e a probabilidade de ela pedir ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a:(A) 0,25(B) 0,35(C) 0,45(D) 0,15 f(E) 0,65

RESOLUÇÃO:Vamos utilizar a probabilidade complementar, na qual ela poderá pedir uma coisa ou outra.

P(A n B) = 0,28 + 0,11 - 0,04 = 0,35

A chance.de acontecer pelo menos um pedido é 0,35. A probabilidade de não acontecer nenhum desses pedidos é 1 - 0,35 = 0,65.

Resposta: letra E.

A probabilidade dé dois eventos P (A n B): regra da multiplicação ou regra do “e”

P(A n B) = P(A).P(B)

Dica: É a probabilidade de 2 sorteios!


1. Se uma moeda nao viciada é lançada duas vezes; qual a probabilidade de que ambos os resultados sejam cara?


RESOLUÇÃO:1.° sorteio:Espaço amostrál: 2 (cara ou coroa)Evento: 1 (cara)

' P(A) = i2 ■

2.° sorteio:Espaço amostrai: 2 (cara ou coroa)Evento:1 (cara)

P{B) = i2 ■■:••••••

p(A n B) = 1 . 1 - 12 2 4

Resposta: 1 ’ ' :4

2. Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

RESOLUÇÃO:Nesse caso temos sorteios sucessivos, e como a; questão não mencionou, serão considerados sem reposição de bolas. /

1.° sorteio: uma bola vermelha.Espaço amostrai: 30 (total de bolas).Evento: 10 (vermelhas).

P(A) = — = i ü l = —30 30 3

2.° sorteio: uma bola azul.Espaço amostrai: 29 (como é sem reposição, há redução de 30 para 29). Evento: 20 (azuis).

Cap. 7 — ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 273

3. (BNB) Um globo contém 9 bolas numeradas com algarismos distintos de 1 a 9. Sorteiam-se, ao acaso, com reposição, três bolas do globo. Qual a probabilidade de que o resultado do sorteio seja a seqüência 3,3,3?(A) 3

RESOLUÇÃO:São três sorteios e tanto o evento como o espaço amostrai são iguais.

1 sorteio.Espaço amostrai = 9.Evento ~ 1 {bola 3).

Resposta: letra C.

4. {ESAF WIRE 2002) Em um grupo de cinco crianças, duas delas não podem comer doces. Duas caixas de doces serão sorteadas para duas diferentes crianças (uma caixa para cada). A probabilidade de que as duas caixas de doces sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem comer doces é:(A) 0,10(B) 0,20(C) 0,25(D) 0,30(E) 0,60

RESOLUÇÃO:Vão acontecer dois sorteios e como é as caixas são pára crianças distintas/ logo ocorrerá uma redução do espaço amostrai.

1.° sorteio: uma criança que come doce.Espaço amostrai: 5 (totaí de crianças).Evento: 3 (crianças que comem doce).

(B) 1/27(C) 1/729(D) 3/103(E) 0,009

Cómo 1.° sorteio = 2.° sorteia = 3.° sorteio.

P(A) = 35


2.° sorteio: uma criança que come doce.Espaço amostrai: 4 (pois uma criança foi sorteada).Evento: 2 (poij suposição, uma criança que come doce foi sorteada). P(B) = ! - I

4 2P(A n B) = 3 .1 = _3_ ou 0,3

5 2 10

Resposta: letra D.

5. (MPOG ESAF 2002) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:(A) 1/6(B) 1/3(C) 2/3(D) 4/5(E) 5/6

RESOLUÇÃO:Evento: o juiz ver a face vermelha e a outra, mostrada ao jogador, ser amarela.Temos três cartões, logo:

Primeiro evento: P(A)Espaço amostrai: 3 (todos os cartões)Evento: 1 (cartão vermelho-amarelo)P(A) 3

Segundo evento: P(B)Espaço amostrai: 2 (vermelho-amareio ou-amarelo ou vermelho) Evento: 1

PÍB) = 1p(a n B ) = i | = | :

Resposta: letra A.

Cap. 7 - ANÁUSE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 275

Probabilidade condicional

Antes da realização de um experimento, é necessário que já se tenha alguma informação sobre, o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostrai se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.

P(A/B) =P{AÇ]B)

P(B)

Dica: Probabilidade condicional -P(A/B)- será a probabilidade de ocorrência de um evento "A", sabendo que já ocorreu o evento "B'r. .


(MPU/2004) Carlos Isabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa, Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em i Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que à probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje emParis é 1/7. Carlos está hoje em Paris.

então recebe um telefonema de Ana, informando que ela Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos

agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:(A) 1/7(B) 5/7(C) 1/3(D) 4/7(E) 2/3

RESOLUÇÃO:Aqui temos um caso de probabilidade condicionai, pois queremos a probabilidade de Beatriz estar era Paris, sabendo que Ana já se encontra lá.P(B)(evento já ocorrido): Ana estar hoje em Paris é 3/7. P(B): evento já ocorrido.Ana e Beatriz estarem hoje em Paris é 1/7. P(A O B)

PfA/B) — 0 B) 1/7 X( } P(B) 3/7 3

Resposta: letra C.


2. (SERPRO ESAF 2001) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésío ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de( 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é:(A) 5%(B) 8%(C) 10%(D) 15%(E) 18%

RESOLUÇÃO:Como queremos saber a probabilidade de ele ter ido de avião, sabendo que eie chegou atrasado, íogo temos uma probabilidade condicional.

P ( A / B ) = M M-P(fi)

P(B): chegar atrasado. ■P(A fY B): ir de avião e chegar atrasado.

Descobrindo P(B).-r 8,5% chegar atrasado.

Navio yS40% J ■

^ 91,5% não chegar atrasado. '

< 1% chegar atrasado. ;■ V--À

99% não chegar atrasado.

Conclusões: .Navio e atrasado: 40%.8,5% = 0,34.Navio e não chegar atrasado: 40%.91,5% = 0,366.Avião e atrasado: 60%.1% = 0,06.Avião e não chegar atrasado = 60%.99% = 0,594.

P(B) - 0,34 + 0,06 = 0,40 (chegar atrasado pode ser de avião ou navio).P(A P> B) = 0,06 (ir de avião e chegar atrasado).

P(A/B) = = M É = o,15 ou 15%P(B) 0,40

Resposta: letra C.

Cap. 7 - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 2 77

3. (SERPRO 2001 ESAF) O gerente de marketing de uma fábrica de software planeja colocar no mercado um novo programa de análise de dados. Historicamente, 40% dos programas novos lançados pela fábrica são bem sucedidos. Antes do lançamento no mercado a fábrica tem por norma reaiizar uma pesquisa de mercado que resulta num reíatório com uma conclusão favorável ou desfavorável ao novo produto.No passado, 80% dos programas bem sucedidos receberam relatórios favoráveis e 30% dos programas mal sucedidos também receberam relatórios favoráveis. O novo programa de análise de dados que a ftrma pretende lançar no mercado recebeu relatório favorável. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que seja bem sucedido.(A) 32%(B) 64%(C) 80%(D) 12%(E) 24%

RESOLUÇÃO:Resumo do enunciado:

80% favoráveis.Bem sucedidos

40% 20% não favoráveis.

30% favoráveisMal sucedidos

60%' 70% não favoráveis.

Conclusão, total;Bem sucedidos é favoráveis: 40%.80% = 0,32.Bem sucedidos é não favoráveis: 4090.20% = 0,08. Mal sucedidos e favoráveis: 60%.30% = 0,18. - Mal sucedidos e não favoráveis: 60%.70% = 0,42.

Total de favoráveis: 0,32 + 0,18 = 0,50 (P(B)) Bem sucedido e favóráv .

P{B) 0,50

Resposta: letra B,



1. (Analista MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante, (A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Rflaria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia quaiquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?

(A) 0,15(B) 0,25(C) 0,30(D) 0,20(E) 0,40

2. (AFC-STN-2000 ESAF) Uma companhia preocupada com sua produtividade costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários, A partir da experiência, verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado o curso de treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por outro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha freqüentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% freqüentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente admitido na companhia, a probabilidade de que efe não cumpra sua quota de produção é(A) 11,70%(B) 27,40%(C) 35%(D) 83%(E) 85%

3. (AFC-SFC 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é:(A) 10%(B) 30%(C) 40%(D) 70%(E) 82,5%

Cap. 7 -A N Á LIS E COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 279r4. (SERPRO 96) Uma clínica especializada trata apenas de três tipos de doentes:

dos que sofrem de problemas cardíacos, dos que têm cálculo renal e dos hipertensos. Temos que 50% dos pacientes que procuram a clinica são cardíacos, 40% são portadores de cálculo renal e apenas 10% são hipertensos. Os problemas cardíacos são curados em 80% das vezes, os problemas de cálculo renal em 90% das vezes e os hipertensos em 95% das vezes. Um enfermo saiu curadoda clínica. Qual

(A) 43.1%(B) 42,1%(C) 45,1%(D) 44,1%(E) 46,1%

GABARITO

01 - E 02 - B

03 - B 04 - B

Distribuição binomial das probabilidades

É o cálculo da probabilidade de uma série de um mesmo evento, que possui uma relação de sucesso e fracasso. Aqui, a quantidade de acontecimentos desejados é inferior ao totai de lançamentos ou sorteios.

Exemplos:1.° Lança-se 7 moedas. Determine a probabilidade de sair 4 caras.Nesse caso temos 7 sorteios, porém queremos 4 caras. Logo queremos

o seguinte resultado: 4 caras (sucesso) e 3 coroas (fracasso).

Fórmula: P(de “s ” eventos sucesso) = [CM] x [P(■?)"] x [P(F)f] Cns: combinação de n tomada a p. S: sucesso F: fracasso.


1. Uma moeda honesta será lançada sete vezes. Qual a probabilidade de se verificar exatamente cinco vezes o resultado cara?

280 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno ViHar

RESOLUÇÃO:n = 7 resultados. 5 = 5 (sucessds). F= 2 (fracassos).Probabilidade do sucesso:

Probabilidade do fracasso: —•

P(5 caras) =21

= 0,1640 ou 16,40%,2 ) U ; 32 4 128


1. (ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética?(A) 0,98%(B) 1%(C) 2,94%(D) 1,30%(E) 3,96%

2. (ESAF 2009) Ao se jogar um dado honesto três vezes, quai o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?(A) 35%(B) 17%(C) 7%(D) 42%(E) 58%

G A B A R I T O

01 - c 02 - A

j :



1. (PETROBRAS) Segundo Mma reportagem publicada na Revista Veja de 11 de janeiro de 2006, um instituto internacional especializado no estudo do stress ouviu 1.200 brasileiros para saber se há relação entre cansaço e uso freqüente de equipamentos eletrônicos. O quadro abaixo apresenta os percentuais de respostas "SIM” e "NAO", referentes a algumas das perguntas feitas aos entrevistados. Quando o uso de eletrônicos é reduzido você...

Pergunta Pergunta SIM NÃO

[ fica menos tenso? 68% 32%

(I fica menos ansioso? 38% 62%

ilt tem menos insônia? 22% 78%

IV apresenta meihoria na concentração? 18% 82%

Considere que todos os entrevistados que responderam “SIM" à pergunta ÍV tenham respondido US!M" também à pergunta l!l. Sorteando-se ao acaso um dos entrevistados, a probabilidade de que a pessoa sorteada tenha respondido “SIM" à pergunta Iti e “NÃO” à pergunta IV será de:(A) 1/25(B) 4/25(C) 3/10(D) 1/5(E) 3/5

2. (Anal. Orçamento WÍARE 99 ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?(A) 25%(B) 37,5%(C) 42%(D) 44,5%(E) 50%

3. (TFC 1995) Um casal pretende ter quatro Filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é:(A) 3/8(B) 1/2(C) 6/8(D) 8/6(E) 8/3

2 82 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W lar

4. (TRT-SC) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a:(A) 3% i(B) 5%(C) 17%

“(D) 20%(E) 25%

5. Um número é escolhido ao acaso dentre os números 1, 2, 3, ..., 300. A probabilidade de que o número escolhido seja divisível por 3 ou por 5 é:(A) 1/15(B) 1/5(C) 1/3(D) 7/15(E) 8/15

6. Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. A probabilidade condicional de que tenha ocorrido pelo menos uma face 6, dado que a soma obtida foi 9, é:(A) 1/9(B) 1/6(C) 11/36(D) 1/3(E) 1/2

7. (CESPE) Em uma loteria, com sorteios duas vezes por semana, são pagos milhões de reais para quem acerta os seis números distintos sorteados. Também há premiação para aqueles que acertarem cinco ou quatro dos números sorteados. Para concorrer, basta marcar entre seis e quinze!números dos sessenta existentes no volante e pagar o vaior correspondente ao tipo da aposta, de acordo com a tabela abaixo. Para o sorteio de cada um dos seis números, são utilizados dois globos, um correspondente ao algarismo das dezenas e o outro, ao algarismo das unidades. No globo das dezenas, são sorteadas bolas numeradas de zero a cinco e, no das unidades, de zero a nove. Quando o zero é sorteado nos dois globos, considera-se, para efeito de premiação, que o número sorteado foi o 60. Além disso, após o sorteio de cada número, as bolas sorteadas retomam aos seus respectivos globos.

quantidade de números escolhidos no volante tipo da aposta valor (em R$)

6 A6 1,007 A7 7,00

8 A8 28,009 A9 84,00


quantidade de números escolhidos no volante tipo da aposta valor (em R$)

10 A10 210,0011 Al 1 462,0012 A12 924,0013 A13 1.719,0014 A14 3.003,0015 A15 5.005,00

Internet; <http:ZAvww.caixa.cam.br;>. Acesso em jul72003 (com adaptações)

Acerca do texto acima e das informaçoes nele contidas; julgue os itens subseqüentes,1 - Para efeito de prémiação, os números passiveis de serem sorteados são lados os

inteiros positivos compreendidos no intervalo {1, 60).2 - Para o primeiro número que è sorteado, a probabilidade de que o seu algarismo das

dezenas seja igual! a 3 é igua! à probabilidade de que o seu algarismo das unidades seja igual a 5.

3 - Em determinado concurso, a probabilidade de que o primeiro número sorteado sejao 58 é superior a 0,02.

8. Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é:(A ) 0,10(B) 0,12(C) 0,15(D) 0,20(E) 0,24

9. (CESPE) Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.01 - A probabilidade; de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários

é inferior a 0,005.02 - As chances de ;que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de pro

fessor é superior a 80%.0 3 - 0 número de possíveis grupos contendo 1 processo de professor, 1 de bancário

e 1 de médico é inferior a 55.

10. Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual ai 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a:(A) 0,40

2 84 MATEMÁTICA 5 RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Vtllar--------------------- . [

(B) 0,45(C) 0,50(D) 0,04(E) 0,95 j

11. Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a - probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois

dados?(A) 7/36(B) 5/18(C) 5/9(D) 1/4(E) 1/9

12. Um grupo de pessoas, das quais 60% eram do sexo masculino, participou de um estudo sobre alimentação. O estudo constatou, dentre outras coisas, que 40% dos homens e 20% das mulheres consumiam regularmente carnes com excesso de gordura. Uma pessoa que participou do estudo será escolhida ao acaso. A probabilidade de que esta pessoa não consuma carnes com excesso de gordura é de(A) 30%(B) 32%(C) 48%(D) 68%(E) 70%

13. (CESPE) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.

estado em que ocorreu o

acidente

total de vítimas fatais

. V-i v'.: ; v: v; exo masculino

sexofeminino

Maranhão 225 ; 81Paraíba 153 42Paraná 532 142Santa Catarina 188 42

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os cilados acima.01 - A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente

ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2.

Cap. 7 - ANÁLISE COMBiNATÓRiA E PROBABILIDADE 2 85

02 - A chance de que esse relatório corresponda a uma vitima do sexo feminino ésuperior a 23%.

03 - Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexomascuiino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná e superior a 0,5.

04 - Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidenteque não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão è superior a 0,27.

05 - A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vitima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%.

14. (AFTN 98 ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é:(A) (0,1)7 (0,9)3(B) (0,1 (0,9)7(C) 120 (0,1)7 (0,9)3(D) 120 (0,1) (0,9)7(E) 120 (0,1)7 (0,9)

15. (IVÍPU 2004.2 ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três deías de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras ~ e apenas essas — em sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a(A) 1/3(B) 1/5(C) 9/20(D) 4/5(E) 3/5

16. (ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é:(A) 50(B) 10(C) 20(D) 40(E) 70


GABARITO

01 - A 0 2 - B 03 - A

Ú4 - B 05 - D 06 - E

07 - C-C-E 0 8 - D 09 - C-C-E

10 - B 11 - B 1 2 - D

13 - C-E-E-C-E 14 - C 15 - A

16 - E

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que* em 1791, época da Revolução Francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Sürgia o sistema métrico decimal.

METRO

A palavra metro vem do grego metron e significa “o que mede”. Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Polo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotadojoficialmente em 1928.

MÚLTIPLOS E SUBMULTIPLOS DO METRO

Além da unidade fundamentai de comprimento - o metro - existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

288 MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTiTATiVO - Bruno Villar

M últip losU nid ad e

Fundam ental,S ubm últip los

quilômetro hectõmetro decãmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hpn dam ; m dm cm mm

I.OOOm lOOm lOm 0,1 m 0.01 m 0,001 m

------------- > Cada casa multiplica por 10.<í------------- Cada casa ,divide por 10.

Exemplo:Transforme 1,5 hm em cm.

km hm dam m dm cm mm

De hm para cm temos 4 casas. — -------1,5.10000 = 15000 cm.

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto que os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: mícron (fi) = 1 0 - 6 mangstrõn (À) = 10 - 10 m.

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9,5.10i2 km.

O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistema métrico decimal. São utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé = 30,48 cm

Polegada = 2,54 cm

Jarda = 91,44 cm

Milha terrestre = 1.609 m

Milha marítima * 1.852 m

MEDIDAS DE TEMPO

Segundo: o Sol tbi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Cap. 8 - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 289

I :

Múltiplos e submúltiplos do segundo

Quadro de unidades

i M B I t m r n m m m mminutos hora dia

min d

60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo: décimo de segundo centésimo de segundo milésimo de segundo

CUIDADO: nunca escreva 2,40h como forma de representar 2h40min, pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.

Observe:

402,40h = 2h'+ ——h - 2 h e 24 minutos

: .■ ' ' = ! f f

4 1— 6)3 “ minutos = 24 minutos

MEDIDAS DE MASSA

Quilograma

A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.

O quilograma (kg) e a massa de 1dma de água destilada à temperatura de 4°C.

Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.

290 MÀTEMATfCA E RACÍOClNJO LÓGíCO QUANTITATIVO - Bruno W /ar

Múltiplos e snbmúJíipJos do grama

Múltiplos-■■■ r -

Unidade • principal /Sübmúítlplos V.. .

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

- kg hg dag 9 dg cg mg

1.000g lOOg 10g ig | 0.19 0,01 g 0,001 g

Observe que cada unidade de volume dade imediatamente inferior.

Exemplos: 1 dag = 10 g1 g = 10 dg

é dez vezes maior que a uni-

Cada casa multiplica por 10Í — Cada casa divide por 10.

SUPERFÍCIE e a r e a

Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.

Metro quadrado

A unidade fundamental da superfície chama-se metro quadrado.O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de

um quadrado com 1 metro de lado.

M últip losU nidade

Fundam entaiSubm últíp los

quilômetro hectõmetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetroquadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado

km* hm 1 dam 1 m3 dm 2 cm2 m m !

1.OOO.OOOm3 lO.OOOm1 lOOm1 1m 3 0,01 m 3 0,0001 m3 0,000001 m3

----------- >- Cada casa multiplica por 100.----------- Cada casa divide por 100.

MEDIDAS DE VOLUME

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais me

Cap. 8 - SISTEMA MÉTRiCO DECIMAL 291

didas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

IVtultiplos. V Unidade fu n d a m e n ta l. ■- Submúltiplos

quilômetrocúbico

hectõmetrocúbico

decâmetrocúbico metro cúbico decímetro

cúbicocentímetro

cúbicomilímetro

cúbico

km3 hmJ j . dam3 m 1 : dm 3 cm3 m m 1

1,000.000.000m3 1.000.000m3 l.OOOm3 1m3 0,001 mJ 0,000001 m3 0,000000001m3

lem3 = 1 ml ldm3 — 1 litro


1. (INSS) Um terreno de1 km2 será dividido em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2, será de:(A) 1.000(B) 2.000(C) 20.000(D) 100.000(E) 200.000

RESOLUÇÃO:

. km2; hm2.: ' dam2 ' dm2 cm2 mm2

- — ——— í»- Cada casa muitiplica por 100. De km2 pára m2 temos 3 casas.1.1000000 = 1 000 000 m2 1000000 : 5 = 200000 m2


12. (TRT 4.3 região - 06) Sabe-se que enchendo 72 garrafas, cada uma com capacidade

de 0,80 L, é possíve! engarrafar todo o líquido de um reservatório. Se o volume de cada garrafa fosse 900 cm1, o número de garrafas utilizadas seria:(A) 640(B) 90(C) 86

~ (D) 64(E) 48

RESOLUÇÃO:0,8 I = 800 ml 900 cm3 = 900 ml72.800 = 57600 (quantidade total de mi) x = 57600 ~ 64

900


1. (TRE 2002 PI) O volume de uma caixa d’água é de 2,760m\ Se a água nela contida está ocupando os 3/5 de sua capacidade, quantos decaiitros de água devem ser colocados nessa caixa para enchê-la completamente?(A) 331,2(B) 184(C) 165,6(D) 110,4(E) 55,2

2. (FCC) Numa casa de material para construção há 80 caixas de azulejos, com 50unidades em cada caixa. Se cada azulejo ocupa uma área de 500 cm2, quantos metros quadrados há nas 80 caixas?(A) 100 mz(B) 150 m2(C) 120 m2(D) 160 m2(E) 200 m2

3. (FCC) Uma transfusão de sangue é programada para que o paciente receba 25gotas de sangue por minuto, Se a transfusão se estendeu por 2 horas e 12 minutos, e cada gota injeta 0,1 ml de sangue, quantos ml de sangue o paciente recebeu?(A) 330


(B) 530(C) 880(D) 1900(E) 3300

4. (INFRAERO) A dose diária recomendada de um remédio líquido é de 40 gotas.Uma gota desse medicamento pesa 5x10*2 gramas. Então, num frasco contendo 80 gramas desse remédio, temos medicamento suficiente para um tratamento de no máximo:(A) 40 dias(B) 30 dias(C) 20 dias(D) 15 dias(E) 10 dias

5. Um quinta! pode ser ladrilhado com 200 ladrilhos de 250 cm2 de área, cada um.Quantas lajotas de 400 cm2, cada uma, são necessárias para recobrir o mesmo quintal?(A) 135(B) 125(C) 120(D) 112(E) 100

6. Pedro possui um terreno de 800 m2 e quer construir nele um canteiro que ocupe 20% da metade da área do terreno. Para isso contratou um jardineiro que cobrou R$ 25,00 por m2 de canteiro construído. Quanto Pedro gastará,em reais?(A) 2 400,00<B) 2 300,00(C) 2 250,00(D) 2 120,00(E) 2 000,00

GABARITO

1 - D 2 - E 3 - A

<1 5 - B 6 - E


FIGURAS PLANAS

Triângulo

DiCA: No triângulo retângulo temos a seguinte relação.

A = a metade do produto dos catetos.

A = i L

No triângulo equilátero (todos os lados iguais)

_ N 3A

/ V 3 (altura do triângulo equilátero)


Q uadrado

É uma figura que possui 4 lados iguais e lados opostos paralelos.

L

L

L

L = lado A - L2

Perímetro = 4 L ;

Retângulo

É uma-figura que possui 4 lados e os lados opostos são iguais.

L

A = a.b Perímetro = 2a


Trapézio

É uma figura que possui 4 lados e um par de lados opostos paralelos (bases db trapézio).

base menor

altura

base maior

A =(b + B).h

Circunferência

É um conjunto de pontos equidistantes a um ponto central, chamado de centro da circunferência.

D - diâmetro r = raioC — comprimento da circunferência 7i = 3,14159...

Relação: D = 2r C = 2r.it

I 7

Área do círculo


A - v2. k

FIGURAS ESPACIAIS

Prisma

Obs.: as faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Áreas

Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (AF): área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral (AL): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

No prisma regular, temos:a) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;

b) área total (AT): soma da área lateral com a área das bases.

298 MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viliar. ; ; 1

AT = AL + 2AB

A área da base depende da figura que forma a base dó prisma.Exemplo:Prisma de base quadrangular. 'AB = L2 . . . . . . .O quadrado possui 4 lados, por isso teremos 4 retângulos.AL = 4.L.h (altura do prisma)

Paralelepípedo

Paralelepípedo retângido

Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Área lateral: Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL = ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc = AL = 2(ac + bc)

Área total: AT = 2(ab + ac + bc)

Cap. 8 - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 2 99

Volume: a.b.cObs.: c " h (altura do paralelepípedo)

Então, o volume e c é dado por:

V = abc

Cubo

de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b

Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a = bc) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadradas.

Área lateral: AL = 4a2

Área total: 6 a2

Volume: V = a.a;

Cilindro


1Areas

Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

— - (3^ r

th.....^ 1

■2 71 r-

O

fh

i->1

Assim, a área lateral do cilindro reto, cuja altura é /z, e cujos raios dos círculos das bases são r, é um retângulo de dimensões: Al = 2.7c .r.h

b) área da base (AB): área do círculo de raio r: Ab — 7i .r 2

c) área total (AT): soma da área lateral com as áreas das bases AT = AI + 2AB = 2.71 .r.h + 27C.r2 = 2.7C .r (h + r)

Cone

Cone circular

Dado um círculo C, contido num plano a, e um ponto V (vértice) fora de a, chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos VP, P e C .

Cone reto

Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado

Cap. 8 ~ SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 301

pela rotação completa de um triângulo retângulo em tomo de um de seus catetos.

A

De acordo com a figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: g2 = h2 + R~

Áreas

Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento / = 2 % R:

Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): área do setor circular gl g.2xR

Az = xRg

b) área da base (AB): área do circulo do raio R Ag — tuR

c) área total (A^): soma da área lateral com a área da base At = A l + A b = tu Rg + tu R 2 A r = x R {g + R )

__ 1Volume: VCone

.r2,7t .h


Pirâmides

Dados um polígono convexo R, contido em um plano a, e um ponto V (vértice) forá de a, chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos VP,PeC. v

Classificação

tetraedro

Areas

Numa pirâmide temos as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base (A^): área do polígono convexo (base da pirâmide)

c) área totai (Aj.): união da área lateral com a área da base

A r = A l + A b

Cap. 8 -S IS TE M A M É TR IC O DECIMAL 303

Volume

O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes "iguais: .ab.h

ab — área da base h = altura

Esfera

A esfera pode ser definida como “um solidogeométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro”; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma;

Fórmulas:Área total: 4n r-

Volume:


1. (CESGRANRIO) Em um terreno de 800 m2 será consthJÍda uma casa que ocupará uma área retangular de 25 m de comprimento por 15 m de largura. A área livre do terreno, em m2, será de(A) 575(B) 525(C) 475(D) 425(E) 375

304 MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO ~ Bruno Vsllar

1

RESOLUÇÃO:Área da casa - 25.15 = 375 m2 Área livre = 800 [- 375 = 425 m2 Resposta: letra D.

2. (CESGRANRIO)

Uma bola de borracha perfeitamente esférica tem 2,6 cm de raio, A altura mínima h, em cm, de uma embalagem cilíndrica na qual é possível acomodar 3 bolas, como mostra a figura acima, é de:

(A) 7,8(B) 9,8(C) 12,6(D) 14,6(E) 15,6

RESOLUÇÃO:A altura de cada bola é o dobro do ralo.Altura da bola: 2.2,6 = 5,2.A altura do cilindro é 3.altura da bola.Altura do cilindro = 35,2 = 15,6.

3. (CESGRANRIO) Uma seringa de forma cilíndrica tem 8 cm de comprimento e 1,6 cm de diâmetro. A quantidade, em mililitros, de remédio líquido que essa seringa contém quando cheia até 50% de sua capacidade é, aproximadamente, de:(A) 2 <B) 4(C) 8(D) 12(E) 16

Cap. 8 - SISTEMA MÉTRiCO DECIMAL 305

RESOLUÇÃO:D = 2r R = 0,8 cm h = 8 cmV = % .i .hV = 3,14.(0,8)2.8V = 16,07O volume é a metade da capacidade totai: 8,035 - 8 Resposta: letra C.

Treinamento final do capitulo

1. (CESPE) Considere uma saia na forma de um paraleiepípedo retângulo, com alturaiguai 3 m e julgue os itens que se seguem.01 - Se as medidas dos lados do retângulo da base são 3 m e 5 m, então o volume da sala é superior a 44 m3.

02 - Se as medidas dos lados do retângulo da base são 4 m e 5 m, então a área total do paraleiepípedo é inferior a 93 m2.

03 — Se as medidas dos lados do retângulo da base são 6 m e 8 m, então a medida da diagonal desse retângulo é inferior a 9 m.04 - Supondo que o perímetro do retângulo da base seja igual a 26 m e que as medidas dos lados desse retângulo sejam números inteiros, então a área máxima possível para o retângulo da base é superior a 41 m2.05 - Se as medidas dos lados do retângulo da base são 3 m e 4 m, então a medida da diagonal do paraleiepípedo é inferior a 6 m.

2. (CESGRANRIO) Um terreno retangular de 1.000 m2 é tal que seu comprimento mede15 m a mais do que sua largura. O perímetro desse terreno, em metros, é(A) 40(B) 65(C) 130(D) 220(E) 400

3. (CESGRANRIO) Um aquário de forma cúbica estava parcialmente cheio de águaquando uma pedra de 750 cm3 de volume foi colocada em seu interior. Assim, o nível da água subiu 0,3 cm. Qual é, em cm, a medida da aresta desse aquário?(A) 30(B) 40

306 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO ~ Bruno VMar---------------------.---------------------------------- - . !

(C) 50(D) 60(E) 70

í4. (CESGRANRIO) Se um terreno retangular tem? 51 m2 de área e 6m de largura,

_ então seu perímetro, em metros, é:(A) 30,5(B) 29,5(C) 29(D) 28,5(E) 28,0

5. (CESGRANRIO) Um reservatório de forma cúbica de 4m de aresta está cheio de água até % de sua capacidade. Quantos metros cúbicos de água há nesse reservatório?(A) 12(B) 24(C) 32(D) 40(E) 48

6. (CESGRANRIO) Um livro de 350 páginas tem 2cqi de espessura. Dentre os valoresabaixo, o que representa com mais precisão a espessura aproximada de cada página, em milímetros, é:(A) 0,046(B) 0,057(C) 0,066(D) 0,070(E) 0,082

7. (CESGRANRIO) Vinte caixas iguais, em forma de paralelepípedo, estão empilhadas, como mostra a figura.


Se a piiha de caixas tem 50 cm de altura, 60 cm de comprimento e 40 cm de largura,dimensões de cada caixa?quais sao, em cm, as

(A) 4, 5 e 6(B) 5, 10 e 20(C) 5, 20 e 30(D) 6, 6 e 10(E) 10, 20 e 30

8. (FCC) Numa região ná área rural foram delimitados cinco terrenos retangulares, todos com a mesma largura de 200 m. Os comprimentos dos terrenos são diretamente proporcionais a 5, 6; 7, 8 e 9, respectivamente e a soma das medidas dos dois menores comprimentos é de 2 200 m.

Representação de um terreno qualquer

largura 200 m

comprimento

Qual é, em km, a soma das medidas de todos os lados dos cinco terrenos?(A) 16(B) 15(C) 14 (O) 9

<E)6

9. (VUNESP) Uma parede que tem 7,2 m2 de área foi revestida com azulejos quadrados, medindo cada um 40 cm de lado. O número mínimo desses azulejos para revestir toda a parede é igual a(A) 20.(B) 30.(C) 45.(D) 60.(E) 90.

308 MATEMÁTICA E RACiOCÍNlO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Vtllar

‘ ' ~ l10. (VUNESP) As medidas internas da carroceria de certo caminhão são de 1 me

tro de altura, 6 metros de comprimento e 3 metros de largura. Esse caminhão transportará tijolos cujas medidas são mostradas na figura.

| TJJOLO

10 cm

20 cm 10 cm

Adote: 1 m3 = 1 000 000 cm3Capacidade = Produto das medidas do paralelepípedo O número total de tijolos que esse caminhão suporta carregar é igual a(A) 9 000.(B) 9 100.(C) 9 200.(D) 9 300.(E) 9 400.

11. (CESGRANRIO)

i— 15 cm— |

15 cm | ____________________________________________________

A

A figura acima representa a planta de uma escada de cinco degraus, construída na portaria de um prédio. A distância, em metros, entre os pontos A e B , marcados na figura, é:(A) 0,75(B) 1,44(C) 1,69(D) 1,80(E) 1,95

12. (CESGRANRIO) Um reservatório de água em forma de paralelepípedo tem 2,5 m de profundidade, 3,0 m de largura e 7,2 m de comprimento. Para aumentar em 10,8 m3 a capacidade desse reservatório, mantendo-se inalterados seu comprimento e sua largura, será necessário aumentar a profundidade, em metros, em(A) 0,5(B) 0,9(C) 1,2(D) 2.4(E) 3,0

rGABARITO


1 - C-E-C-E-E 2 - C 3 - C4 - C 5 - E õ - B

7 - E 8 - A 9 - C

10 - A 11 - E 12 - A

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

MATRIZ

Introdução

Um exemplo de

Exemplo:

matriz é o boletim.

1,3 UNIDADE 2.a UNIDADE 3.a UNIDADE

PORTUGUÊS! 7 4 8

MATEMÁTICA ; 4 5 : 3

HiSTÓRIA 6 õ 5

GEOGRAFIA i 4 7 9

Podemos observar que as linhas representam as matérias e as colunas representam a unidade.

Qual a nota de português na 3.a unidade?

UNIDADE 2.a UNIDADE 3.a UNIDADE

PORTUGUÊS: 7 4 8

MATEMÁTICA 4 5 3

HISTÓRIA 6 6 5

GEOGRAFIA ; 4 7 9

312 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar. !

Nesse caso, queremos o elemento da primeira linha (português) e terceira coluna (3.a unidade).

Resposta: 8 .

Transformando o boletim em uma matriz, temos:,7 4 8"4 5 J)6 6 5

,4 7 9,

As linhas são contadas de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita.

í . 1 2 * 3 *

'7 4 8 ' i."

4 5 3 2.®

6 6 5 3 .“

V A 7 9, 4.’

Colunas

Linhas

Notação geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

a n a i2 a i3 * a !a

a 2! ^ 2 2 a 23 a 2n

=a 31 a 32 a 33 ■ a 3n

a mí a m2 a m3 * a m n .

Cap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO 313

Exemplo:

3 x

A =

é uma

3 2 '0 8

2 -7

Dica:A n rxn {lê-se:m por n) é a ordem da matriz, ou seja, a quantidade de linhas e colunas que a matriz possui.Aij é representação da posição do elemento da matriz. Nesse caso, T representa a linha e "j" representa a coluna.

Exemplo: na matriz A, temos:

Ó elemento a2] = O e a33 = -7

Forma genérica de uma matriz

Exemplos:

a) construa a forma genérica da matriz A3

Clu anA = áz\ Ü22

a-> t an

Vamos aprender a construção: Primeiro devemos observar a quantidade de linhas e depois a quan

tidade de colunas. A matriz A3x, possui três linhas e duas colunas.

Vamos agora construir a primeira linha!

SE LIGUE!Temos duas colunas, logo devemos andar duas casas da esquerda para direita (--------►)..A quantidade de casas que vamos andar da esquerda para direita depende da quantidade de colunas.

314 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATiVO - Bruno Villar

Na primeira iinha temos:

[Clu üu]

INão esqueça de que na primeira linha começamos pelo an (elemento

da_l.a linha e l.a coluna).

Na segunda linha temos:

Clu £7j2

íh, CI22

1.a linha

2 .a linha

Não esqueça de que na segunda linha começamos pelo a21 (elemento da 2 .° Iinha e I.a coluna)

Na terceira linha temos:Clu Ü12

Ü21 Clzi

&31 Ch2

Não esqueça de que na terceira linha começamos pelo a3} (elemento da 3.a linha e 1.° coluna).

b) construa a forma genérica da matriz À4x3:

Nesse caso, temos 4 linhas e 3 colunas.:

SE LIGUE! "Temos 3 colunas, nesse caso devemos andar três casas da esquerda para direita.

Vamos juntos iniciar a construção!

1.a linha: [<2 u Cln

2 .a linha: [#21 Ü22 CI2 3 ]

3.a linha: [Ou # 33]

4.a linha: [&* 1 CI*j Cln]

Cap. 9 - RAClOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO

I .. :.

(Xw Ct\2 Cli 3

Clix Cll2 & 2 3

Matriz A , , =4x3 Ch\ Q yl Chi

ÜAl a ai Cl43_

Construção de uma matriz a partir de uma lei de formação

Treinamento Comentado

RESOLUÇÃO1.° passo: construir a matriz genérica.A matriz A possuí 2 linhas e 2 colunas.

A ==au cia

ÍIjí - Qzi

2? passo: aplicar a lei de formação.

ar i +ian ~ 1 + 1 a)2~ 1 + 2

a2i = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4

3.° passo: substituir òs elementos pelos números obtidos/

A = 2 3 3 4

315

[9 'XResposta: A = ~ ^

316 MATEMÁTICA E RACiOClNlO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil/ar

2. Construa a matriz B3x2 com by = 2i — j

RESOLUÇÃO: j

1.° passo: construir a matriz genérica,A matriz A possui 3 linhas e 2 colunas.

Clu ãl2

£721 Ol2

t f 31 Ch2

2.° passo: aplicar a lei de formação.

b„ = 2 . 1 - 1 = 2 - 1 = 1bw = 2 . 1 - 2 = 2 - 2 = 0b,, = 2 . 2 - l = 4 - 1 = 3 b,2 = 2 . 2 - 2 = 4 - 2b3! = 2 . 3 - 2 = 4b., = 2 . 3 - 3 = 6 - 3 = 3

3.° passo: substituir os elementos pelos números obtidos.

1 0A = 3 2

4 3

CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES

Operações envolvendo matrizes

M atriz linha: E toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha.

Por exemplo, a matriz A — [4 7 -3], do tipo 1 x 3 .

M atriz coluna: E toda matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna.

Por exemplo, A = H \ do tipo 2 x 1


M atriz quadrada: Matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n.

Por exemplo, a matriz B = de ordem 2 .

1 0 4 9 é do tipo 2 x 2 , isto é, quadrada

SE LIGUE!A diagonal principal é formada peios efementos a..* sendo i - j, e na diagonal secundária temos I j = n + 1. Êxemplo:

diagona! principal t = j

diagonal secundária i + j - n + 1

Observe a matriz a seguir:

A , =

ordem da matriz

diagonal principal

diagona! secundária

an = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1

a3! = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + l ( 3 + 1 = 3 + 1 ) .

M atriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos.É representada por 0

Exemplo: 0 ,- =

m x n.

0 0 00 0 0


Matriz identidade: Matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, sendo que os demais são nulos.

É representada por I , sendo n á ordem da matriz.

Por exemplo:

w - 0} ’ 0 1

b ) I ,

1 0 0

o \ 0 0 o \

Matriz transposta: Matriz A1 obtida a partir da matriz A, trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas.

Por exemplo:

Se A =

2 - í2 3 0

_2, então A1 = 3-1 -2 1

0 1

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A‘ é do tipo n x m.Note que a l.a linha de A corresponde à l.a coluna de A1 e que a 2.a

linha de A corresponde à 2.a linha.

Matriz simétrica: Matriz quadrada de ordem n, de forma que A - A*.

Por exemplo:

Cap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO 3 19

Condições para matriz ser simétrica:

1) Ser uma matriz quadrada;2) A l .a linha é igual à l .a coluna, a 2.a linha é igual à 2.a coluna e assim

sucessivamente.;,.

Exemplo: al2 = a2J

M atriz oposta: A matriz -A é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os elementos de A.

Por exemplo:

A

-A =

-2 3

3 0

2 -3

-3 0

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A somente se, todos os iguais:

e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e elementos que ocupam a mesma posição forem

2 0 2 cSe A = , B =

-l b -1 3e A = B , então c = 0 e b = 3

OPERAÇÕES DE MATRIZES

Adição

A soma de matrizes só pode ser realizada entre matrizes de mesma ordem, ou seja, com o mesmo número de linhas e de colunas.

Nesse caso, a soma será feita com a soma dos elementos correspondentes.


1

Exemplos:

1 4 + 2 -1 1 + 2 4 + (-l) 3 3'0 7 0 3 0 + 0 7 + 2 0 9

2 3 0 3 1 1 _„2+3 3 + 1 0+1 _ 5 4 10 1 -1 1 -1 2 0 + 1 l + (-l) -1 + 2 1 0 1

SE LIGUE!A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Multiplicação de um número real por uma matriz

Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b,, = xaj,.

SE LIGUE! ■■ ' • .Nesse caso, multiplicamos por os elementos da matriz peio número real.B = x . Ax = número real •

Observe o seguinte exemplo:

2 7 3.2 3.7 6 21

-1 0 3.(-I) 3.0 -3 0

Multiplicação

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos.

A condição de multiplicação de matrizes é que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.


A matriz produto terá o número de linhas de A(m) e o número de colunas de B(n):

então não existe o produto

Se e B2*5-Se Aj x l e

Se e B2 x.=

como se obtém cada C..:Sj

matriz A = 1 2 e B = -1 3

3 4 4 2para entender

SE LÍGUEÍ

A = 1 2 e B ~A 3

3 4 4 2

: Na primeira matriz dividimos os elementos em linhas e a segunda matriz em colunas.

Depois, multiplicamos os elementos correspondentes, conforme desenho abaixo.

l.a linha e l.a coluna

A =11 2| pr 3 l.(-l) + 2.43 4 *)4 2

l.a linha e 2.a coluna

A

c„

11 2| -1 3

3 4 4 . 2

l . ( - l) + 2.4 I1.3 + 2.2I

2 .a linha e 1 " coluna

A =1 2 -1 3 l.(-l) + 2.4 1.3+ 2.2

13 4( 4 2 3.(-l) + 4.4


2 .a linha e 2 .a coluna

A —1 2 -1 313 4| 4 2

l.( - l) + 2.4 13 + 2.2

3.(-l) + 4.4 13.3 + 4.2

7 7A.B =

13 17

Observe que:

A.B1-1 3| 1 2 (-1). 1 + 3.3 (-1 ).2 + 3.4] 8 10

|4 2| 3 4 4.1 + 2.3 14.2 +2.4 10 16

Portanto, A.B s* B.A , ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.


1. (CESGRANRIO) Uma rede distribuidora é composta de 4 lojas instaladas numa mesma cidade. Na matriz M4i7 abaixo, cada elemento representa a quantidade de latas de certo tipo de lubrificante vendida na loja i no dia j da semana, de 12 a 18 de março. Assim, por exemplo, o elemento mn corresponde às vendas da loja 1 no dia 14 (terceiro dia da semana) e o e elemento m4?, às vendas da loja 4 no dia 18 (sétimo dia da semana).

75 83 79 91 : 84 79 113128 114 123 109 114 123 142

103 98 121 111 119 112 136

169 168 154 148 162 171 189

De acordo com as informações acima, qual a quantidade (otal de íatas de lubrificante que esta rede distribuidora vendeu no dia 15/03?(A) 459(B) 463(C) 477(D) 479(E) 485


RESOLUÇÃO:Nessa questão é cobrada a posição do elemento (a„)

Resumo: eiemento m|f representa a quantidade de iatas de certo tipo de lubrificante vendida na loja i no dia j da semana de 12 a 18 de março.

O dia 15 será representado pela 4.a coluna, e as linhas representam as lojas.Agora, é sò somar os elementos da quarta coluna.

75 83 79 91 84 79 11312S 114 123 109 ! 14 123 142103 98 ! 21 111 í 19 112 136169 168 154 148 162 171 189

Resposta: 91 + 109 +111 + 148 = 459. Letra A.

2. (AFC-SFC/2001) A matriz S = s , de terceira ordem; é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a, e B = (bt}). Sabendo-se que a(] j- P + j2 e que bfJ = 2ljt então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a:(A) 12(B) 14 CO) 16(D) 24(E) 32

RESOLUÇÃO:

Devemos apenas aplicar a lei de formação. a;j = i \+ f e b.j■:= 2lj

“*13 “ ^ 1 3 + ^ 1 3 e ^31 ~~ ^ 3 5 ^31

A,, = (1)2 + (3)2 Ai3 = 1 + 9 Ai3 = 10

: A3] = (3)2 + (I)2 A31 = 9 + 1 A3, = 10

813 = 2 x 1 x 3 = 6 . s831 = 2 x 3 x 1 - 6

Com isso, chegaremos a:

**i3 ^ i3 + S13. - 1 0 + 6

S 31 = A 31 + B 3 i S 3 t = 1 0 + 6

S!3 + S31 = 16 + 16 = 32

Resposta: Letra E.


1

SE LIGUE!Esse tipo de questão geralmente pede a soma dos elementos, produto ou a razão (divisão dos números).

3. (Técnico MPU Admínistrativa/2004-ESAF) Sejam as matrizes

*1 4 r~A = 2 6

3 3e B = [ 1 3 4 5

1 2 3 4_

e seja xy o elemento genérico de uma matriz X tal que X = (A.B)S isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B . Assim, a razão entre xJt e x,2 é igual a(A) 2(B) 1/2(C) 3(D) 1/3(E) 1

RESOLUÇÃO:

Vamos encontrar a matriz X.

f l 4 li 63 3

Vamos encontrar a 1.3 linha.

*12 *n ■ *>•«X = [ 1.1 + 4.1 1.3 +-4.2 1.4 + 4.3 15 + 4.4]X = [ 1 + 4 3 + 8 4 + 12 5 + 16]X = [ 5 11 16 21]

Vamos encontrar a 2.3 linha. •

23

1 ■ 1 | 3 I 4 | 5 1 2 3 40

*71 *22 *23 * 2-1

X = [ 2.1 + 6.1 2.3 + 6.2 2.4 + 6.3 2. 5 + 6.4]X = [ 8 18 > 26 ; ' 34]

Cap. 9 - RACIOCiNÍO LÓGICO QUANTITATIVO 325

Vamos encontrar a 3a linha.

1 42 63 3

1 | 3 4 | 5 1 2 3 4

X 3 ! X 32 X 33 X 3-t

X = [ 3.1 + 3.1 3.3 + 3.2 3.4 + 3.3 3. 5 + 3.4]X = [ 6 15 21 27]

5 11 16 21'5 18 26 346 15 21 27

(A.B)' =

5 8 611 18 1516 26 21 21 34 27

Agora, encontraremos os elementos Xj, e xI2.

X =

X =

X = 8

' 5 8 611 18 Í5

_16_ 26 212\ 34 27

16

* 5 JL 611 18 1516 26 2121 34 27

16A razao é a divisão dos números: — = 2.8

Resposta: Letra A.

326 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar. . [

Treinamento do concursando ___ ___________________ _

1, O gerente de um depósito de bebidas decidiu montar matrizes com dados sobre as vendas de latas de refrigerantes e de cervejas; Em cada elemento m,, / indica a semana (1 ,2 , 3 ou 4} em que foram efetuadas as vendas e j, o tipo dfe bebida (1 para refrigerante e 2 para cerveja), A matriz abaixo apresenta dados sobre as vendas do mês de março.

560 810715 915615 760540 800

Em abril, foram vendidas 350 latas de cerveja a mais e 220 latas de refrigerante a menos que em março. Sabe-se, também, que as vendas de refrigerantes foram menores nas três primeiras semanas do mês, quando comparadas ao mês anterior, e que, na 3.a semana, foram vendidas mais de 800 latas de cerveja. Dentre as opções abaixo, a única que pode representar a matriz referente às vendas do mês de abril é

a)

780 635 500 870 460 890

560 915b)

725 1000c)

530 940

900 735 515 980 610 1040

640 800 480 775 600 765

d)

495 880620 1040 515 950580 765

e)

570 810715 915615 1110

750 800

2, (Técnico MPU Administrativa/2004-ESAF) A matriz S - sy, de terceira ordem, é amatriz resultante da soma das matrizes A - (aSJ) e B = (bI}). Sabendo-se que (a ) = i2 + jz e que b = i*, então a razão entre os elementos s^ e s1z determinante da matriz S é igual a(A) 1(B) 3(C) 4(D) 2(E) 6

3. (AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz (W podeser representado por m , onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = x , de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aJ e B = (b(J). Sabendo-se que ai; = P e que b(J = (i - j)2, então o produto dos elementos x31 e x„ é igual a:(A) 16

Cap. 9 - RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO 327

(B) 18(C) 26(D) 65(E) 169

4. Genericamente, qualquer elemento de uma matriz IVJ pode ser representado por m,j,onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s,., de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ) e B - Sabendo-se que (afj) = i* + j3 e què {bi}) = (I + j}2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é igual a:(A) 1/5(B) 2/5(C) 3/5(D) 4/5(E) 1

5. {Técnico IWPU Adminlstrativa/2004-ESAF) A matriz S = s , de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (afJ).e 8 = (b ). Sabendo-se que (afi)

== i!, então a razão entre os elementos s,= i* + j* e que bSJ da matriz S é igual! a(A) 1(B) 3(C) 4(D) 2(E) 6

6. (ESAF/AFTN/1998) Sejam as matrizes

A

e s., determinante

~1 0* , B =' 3 / 5 - 7 / 8 ' * 0 ! 0, c =

-° K 4 /7 25/4_ 3 /7 |—29/4

e seja X a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y, se a matriz Y é dada por Y - {AB) + C, então o valor de X é:(A) -7/8(B) 4/7(C) 0(D) 1(E)2

7. (TFC/1997) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2 x 3), (3 x 4) e (4 x 2), então a expressão [A . (B . C)]? tem ordem igual a:(A) 2 x 2(B) 3 x 3(C) 4 x 4(D) 6 x 6(E) 12 x 12

328

GABARITO

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Villar

“ 1

1 - A 2 - D 3 - D4 - E 5 - D 6 - C7 - A

DETERMINANTES

Toda matriz quadrada está associada a um número real, ao qual damoso nome de determinante.

Determinante de 1." ordem

Dada uma matriz quadrada de l.a ordem M = [a ], o seu determinante é o número real an:

det M = [an] = a,(

Exemplos:A — [ 4 ] det A = 4

B = [ -7 ] det B = -7

SE LIGUE!O determinante da matriz de ordem 1 é o próprio elemento.

Determinante de 2.a ordem

No caso da matriz quadrada de 2 .a ordem, temos que o determinante será: Det = diagonal principal (DP) - diagonal secundária (DS)



1. Calcule o determinante das seguintes matrizes:

A)1 34 7

RESOLUÇÃO:

B)12 5

21 7

RESOLUÇÃO:105

2 J T

84

Det A - 84 - 105 = -21

C)'3 0

31 9

RESOLUÇÃO:

0

M■A

27

Det A = 27 - 0 = 27

330 MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Wíar

Determinante de matriz de 3.a ordem

O cálculo do determinante de 3 .a. ordem pode ser feito por meio de um dispositivo pijático, denominado Regra de Sarnts.

Acompanhe como aplicamos essa regra para:

a n a i2 a i3

D = a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

1.° passo: repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

a i l a i2 a i3 a í l a !2

D = a 2l a 22 a 23 a 2l a 22

a 31 a 32 a 33. a 31 a 32

2.° passo: calculamos a diagonal principal e as diagonais paralelas.

Obs.: Os números que estão no traço devem ser multiplicados.Depois devemos somar os resultados obtidos e obter a diagonal

principal resultante.

3.° passo: encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Obs.: Os números que estão no traço devem ser multiplicados.


Depois de obter a diagonal secundária e suas paralelas, devemos somar os resultados obtidos e obter a diagonal secundária resultante.

Det A “ diagonal principal resultante - diagonal secundária resultante


1. Calcule o determinante das seguintes matrizes:

A)1 4 52 1 3 9 8 5

RESOLUÇÃO:A matriz é de 3,a ordem, logo devemos aplicar a Regra de Sarrus.

1.° passo: calcular a diagonal principal.

Ll

Soma da diagonal principal ~ 5 + 40 + 84 = 129

2:° passo: calculara diagonal secundária.

45 24 '40

5oma da diagonal secundária: 45 + 24 + 40 = 109

Det: 129 - 109 = 20


P R O P R I E D A D E S D O S D E T E R M I N A N T E S

Esse tópico é muito cobrado pelas bancas de concursos, fique atento!f

1. Matriz Transposta

Se M é uma matriz quadrada de ordem n e M l é sua transposta, então: det(Ml) = det(M).

SE LIGUE!Se uma questão pedir o determinante da transposta, o cálculo do determinante pode ser realizado sem encontrar a transposta.

2. Fila Nula

Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então: det(M) “ 0

1 4 0'4 - 7 05 8 0

Observe que os elementos da terceira coluna são nulos, logo det A = 0

3. Multiplicação de uma fila por uma constante

Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M.

det (k vezes uma fila de M) = k.det(M)

SE LIGUE!Se o determinante da matriz A for igual a 3, então, se multiplicarmos uma fila por4, o determinante da matriz A passa a ser: 3 . 4 — 12.Cada vez que multiplicarmos uma fila por um número k/o determinante será k vezes o determinante da matriz A.


4. Multiplicação de uma Matriz por uma constante

Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k,o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de IvL

det (k.M) = kn det(M)

Nesse caso, devemos observar a ordem da matriz e o valor da constante (k).

Exemplo:(SERPRO/1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possuí determinanteigual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a:(A) 5(B) 10(C) 20(D) 40(E) 80

RESOLUÇÃO:A matriz A é de ordem 3, logo n = 3Queremos a matriz 2A, logo K = 2

SE LIGUE!K é o número antes da letra da matriz. Como assim?

Exemplo:

4B, K = 4 ' . ;';V

3 A, K = 3 i

Det KA = Kn. detA K r

Det 2A = 23 . 5 = 2 . 2 . 2 . 5 = 40


5. Filas paralelas iguais

Se uma matriz M de ordem n > 2 -tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais, então: det(M) = 0

A 1 51 5

Podemos observar que a primeira e a segunda linhas são iguais, logo o detA = 0.

6. Filas paralelas proporcionais

Se uma matriz M de ordem n > 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então: det(M) = 0

7. Troca de filas paralelas

Seja A uma matriz de ordem n > 2, se trocarmos de posição duas filas paralelas, obteremos uma nova matriz B, j tal que: det(A) = -det(B)

8. Produto de Matrizes

Seja A e B matrizes quadradas de ordem n, então; det(A . B) = det(A) . det(B)

Se A e B são matrizes quadradas, podemos calcular o determinante de cada uma e depois realizar o produto dos determinantes obtidos.

A = 1

_°

Det A -

Det B =

52 e

1 50 2

3 52 1

3 5 2 1

— 2 — 0 = 2

= 3 - .10 = -7

Det (A . B) = 2 . -7 = -14

Cap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO 335

9. Matriz triangular

O determinante é cipai.

’ 1 2 1' R )\4 5 ÍO 0 ^ 8

A =

Matriz triangular é

igual ao produto dos elementos da diagonal prin-

uma matriz que possui os iiúmeros abaixo ou cimada diagonal principal iguais a zero.

Det A = 1 . 4 . 81= 32

T r e i n a m e n t o c o m e n t a d o

1. (Técnico IV1PU/2GÜ4} O determinante da matriz X=

inteiros positivos tais que a > 1 e b > 1, é:(A) -60a(B) 0(C) 60a(D) 20ba2 •(E) a(b - 60)*

2 2 b 00 —a a —a0 0 5 b0 0 0 6

, onde a e b são

RESOLUÇÃO:

X =

2 2 b 00 —a a —a0 0 5 b0 0 0 6

Nésse caso, a matriz X é uma matriz triangular.

Não esqueça!O determinante da matriz triangular é igual ao produto dos eiementos da diagonal principal.

Det X = 2 . -a . 5 . 6 = -60a

Resposta: Letra A.

336 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viílar

2. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:(A) -2(B) -1/2(C)'4(D) 8(E) 10

RESOLUÇÃO:O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz.

Det A = 2n = 2 (ordem da matriz)

det K A = Kn . det A

Det 2A = 22 . 2 = 4 . 2 = 8

Resposta: Letra D.

3. (AFC/STN 2005-ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira coluna da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:(A) -x-6(B) -xB(C) x3(D) -1(E) 1

RESOLUÇÃO;Resumo: A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz 8 são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira coluna da matriz A.Conclusão: A primeira coluna da matriz B = terceira coluna da matriz A.Se trocarmos a posição da primeira e da terceira colunas de B, então a matriz B será igual à matriz A.


Nesse caso, a propriedade cobrada é a troca de posições de filas paralelas.

Det A = x3Det B = -x3 (troca a posição da fila, então troca o sinal. Não esqueça de que, quando trocamos a posição das colunas da matriz B, as matrizes A e B se tornaram iguais).

Det (A . B) = x5 . -x3 = -x6

Resposta: Letra B.

5. (Téc. MPU Controle lnterno/2004-ESAF) Considere as matrizes X ="a 2 3 t

onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então,Y = 2 b 6 5 3 c

1 2 32 4 65 3 7

o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a:(A)0(B) a + b(C) a(D) a + c(E) a + b + c

RESOLUÇÃO:Det (X . Y) = det X . det Y

:1.° passo: calcular o determinante da matriz X.

338 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vítlar

SE LIGUE!A matriz X possui a primeira e a segúnda iinha proporcionais.

1 2 3'2 4 6 ■5.-3 7^

' ? 4 f*{1, 2, 3) é proporcionai (2,4, 6), pois a divisão entre eles é constante: y = 2,

0 determinante de Matriz que possui filas paraieias proporcionais é nulo.

6. (BNB/2002-FCC) Dadas as matrizes A »

(A) det(A) = det(B)(B) det(B) = 2.det(A)(C) det(A) = 2.det(B)(D) del(A) = -2.det(B)(E) del{A) * - de{(B)

a b C a 5 15 3 2 e B = b 3 22 4 6 Lc 2 3.“a", "b’ e “c”, temos

de determinantes

RESOLUÇÃO:Nesse caso, temos que observar com cuidado!

Agora, como visualizar a propriedade?

a b c a 5 1A = 5 3 2 e B - b 3 2

2 4 6 c 2 3

Observe que:1.a linha de A = l.a coluna de B2.a linha de A = 2 a coluna de B,3.a linha de A = ao dobro da 3.a coluna de B

Conclusão: a linha de um é a coluna do outro, assim como uma fila é o dobro da outra. ■■■■

Vamos calcular a matriz transposta de B:

B =a 5 1 b 3 2 c 2 3

a b c 5 3 21 2 3

Cap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGICO Q U A N T IW IV O 339

Agora, vamos comparar a matriz A com a Matriz B':

0 b c r 0 b GA = 5 3 2 B* = 5: 3 2

2 4 6 2 3

Conclusão: a 3.a iinha de A é igual ao dobro da terceira linha de BV

Se a terceira linha de B' for multiplicada por 2, então as matrizes serão iguais.

Se uma fila for multiplicada por k, o determinante será K.det da matriz.

Det(A) = 2.det(B)

Resposta: Letra C.

07. {TFC/CGU-ESAF/2008) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por z , onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A “ (a;i), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (x(J) e Y = (ytI). Sabendo-se que (xy) = iine que y!} = (i - j)a, então a potência dada por e o determinante da matriz Xsão, respectivamente, iguais a:

(A) V2 e 2

(B) 2 e 0

(C) e 1

(D) ~V2 e 0

(E) 4 Í e 0

RESOLUÇÃO: ;

1.° passo: vamos calcular os elementos au e a)2.

(x()) = ix „ = 2m -

ytj = (i-j}2y2, = (2 - 2)2 = o2 = o

a = V2 + 0 = V 2


a i2 ^12 ^12

y ^ o - j ) *y„=( i - 2)2 = (-1 )2 = 1

al2 = 1 + 1 = 2

(a32)a'2 = (V2 )2 = 2

Nesse caso, já descobrimos a resposta, pois só uma aiternativa possui o 21

Resposta: Letra B.

08. {APO-MP-ESAF/2G05) O menor complementar de um elemento genérico de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coiuna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y - y„, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = {al}) e B ~ (b,j). Sabendo-se que (a J - {i + j)2 e que bf] = i3, então o menor complementar do elemento V23 é igual a:(A) 0(B) -8(C) -80(D) 8 <E) 80

RESOLUÇÃO:Menor complementar, processo:1.° passo: retirada da linha e da coluna a que pertencem o elemento. 2° passo: calcular o determinante dos elementos que sobraram.

Vamos agora encontrar a matriz Y.

Matriz Y = matriz A + matriz B

Construção da matriz A:

C l i } C I \2 £7i3

A = Clv Cln ü i

Ck 1 Cln a 33


Aplicando a iei de formação: (a,.) - (i + j ) 2

a,, — (1 + 1}2 = 22 = 4 -aJ2 = (1 + 2)2 = 32 = 9aI3 = (1 + 3)2 = 42 =16

a2! = (2 + 1 }2 - 32 =9a; j= (2 + 2)2 = 42 = 16a23 = {2 + 3}2 = 52 = 25a35 = (3 + 1 }2 = 42 = 16a3, = (3 + 2}3 = 52 = 25a„ = (3 + 3}2 = õ2 = 36

A =4 9 16'9 16 2516 25 36

Construção da matriz B:

bu biz bn

s = b-.i b u b i

b v b r. b i

Aplicando a leí de formação: b.} = P

b = I 2 = 1 11 1 1b„ = 11 = i b „ = i 2 = ib,, = 2! = 4

bJ; = 2! = 4

ba = 2! = 4

b3, = 3= = 9

b3J = 3J = 9

b„ = 3! = 9

B =1 1 14 4 49 9 9

342 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Brvno Villar

1

X = A + B

4 9 16' i ' 1 : 1 ;;i‘ 10 ■17"x = 9 16 25 4 4 4 13 20 29

' 16 25 36 9 9 9 25 34 45

Agora, vamos calcular o menor complementar y23:Menor complementar y,3 significa dizer que devemos retirar a 2.a iinha e a 3.3 coluna da matriz X.

5 ' 10= 170 ~ 250 = -80

25 34

Resposta: Letra C.

SE LIGUE!Poderíamos simplificar o cálculo da seguinte forma:

Ou Ú\2

«2!----Qt

Cln Ün

Calculando apenas os elementos que sobraram!

Treinamentodo concursando

*l 2 3' h 2 3 ' ' 1 2 3 '

01. (SERPRO/1996) As matrizes: X « 2 4 6 , Y 2 5 6 e Z = 2 5 6

5 3 7 _5 3 15 J 0 25 30

apresentam, respectivamente, determinantes iguais a:(A) 0, 0 e 0(B) 1, 1 e 1(C) 0, 1 e 1(D) 2, 3 e 4(E) -1, -1 e -1


02. (AFC-STN/2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a(A) 1/3 %(B) 3(C) 9(D) 27(E) 81

03. (ESAF-ANA/2009) O determinante da matriz B =

(A) 2bc + c - a(B) 2b - c(C) a + b + c ■(D) 6 + a + b + c <E) 0

2: I 0a b c

4 + a 2 + b c

04. (MPOG ESAF/2008) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a:(A) 10*(B) 10s

(C) 10ÍD(D) 10®(E) 10a

05. (EFAZ-APOFP/SP ESAF/2009) O determinante de uma matriz 3 por 3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1.a tinha por 2 e os três elementos da 2? coluna por -1, o determinante será:(A) -X2(B) -2x(C) 4x2(D) x3(E) '2x-

06. (MF ESAF/2009) Sèja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica:(A) multiplicado por -1 ;(B) multiplicado por -16/81(C) multiplicado por 2/3(D) multiplicado por 16/81(E) multiplicado por -2/3

3 44 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar, j

07. (Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B = 21/4A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2 1/z, então o determinante da matriz B é igual a:(A) T n(B) 2 '12 I(C) 2(D) 1(E) 2-,M

GABARITO

1 - A 2 - E 3 - E

4 - D 5 - C 6 - E

7 - D

MATRIZ INVERSA (A 1)

Condições para uma matriz admitir inversa:1) ser quadrada;2) seu determinante deve ser diferente de zero.

Dica: A . A'' ~ IDet A . det A'1 = 1

O produto de uma matriz pela sua inversa resulta em uma matriz identidade.

Na matriz identidade, os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e o restante dos elementos é igual a zero.

SE LIGUE!Det A . det A-' = 1

Método do concursando

Esse método serve exclusivamente para uma matriz de ordem 2.


1) Determine a matriz inversa da matriz A = 2 4 1 3

RESOLUÇÃO:1.° passo: calcular o determinante da matriz A.

Det A = 2 4 1 3 = 6 - 4 = 2

2.° passo: calcular a matriz adjunta de A { A }.

h

ad - b

— c a

A matriz adjunta é obtida pélá troca da posição dos elementos da diagonal principal e pela troca do sinal dos elementos da diagonal secundária.

A = 3 - 4 -1 2

3.° passo: aplicar a fórmula: A'1 = — , Matriz adjunta ( A ) : , : ■ det/i ■■■■:

1 > ' 3 - 4 ' i - 4 ‘ 3 2

“ 4"2 f 3 /2 - 2 '

2 ' - r ; 2 _i - 1 K

1, 2

2;; 2 .

" [ - 1 /2 l


1. (AFC/97) Considerando-se as matrizes A 2 43 l e B l l

1 2 a soma dos

elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a:(A) -10(B) -2(C) 1(D) 2 (Ê) 10


r 1 n02. (Oficial de Chancelaria/2002) Dada a matriz % H e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual a:(A) -1(B) 0(C) 1/2(D)-1(E) 2

GABARITO

1 - B 2 - A:

NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA

Ângulos

Definição

Angulo é o nome da região formada por duas semirretas de mesma origem.

AÔB ou ângulo a

Ângulo agudo

E aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto (90°).


Ângulo obtuso

É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso. -<

Ângulos complementares: â + ê = 90°

O complemento de um ângulo â é: 90 - â

Ângulos suplementares: â + ê — 180°

O suplemento de um ângulo â: é 180° -â

Ângulos opostos; pelo vértice

- a e y são opostos pelo vértice.- 0 e P são opostos pelo vértice.

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes.

Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal

Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados:

348

t

MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bmna Villar

Ângulos correspondentes são congruentes, ou seja, iguais. Conclusão: a = a, b = p, c = y, d = 0

Ângulos opostos pelos vértices são congruentes, ou seja, iguais. Conclusão: a = c, b — d, a = y, p = 0

Ângulos alternos são congruentes, oü seja, iguais.Alternos internos: c = a, d = pAlternos externos: a » y, b = 0

Ângulos colaterais

Ângulos colaterais internos: c + p = 180°, d + a = 180°Ângulos colaterais externos: a + 0 = 180°, b + y = 180°

Triângulos

Classificação em relação aos lados

a) Equilátero: tem os três lados iguais e os três ângulos iguais (60°).

rCap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATiVO 349

SE LIGUE!Os ângulos internos são iguais a 60°

A aitura é igual: ’4

b) Isósceles: tem dois lados iguais e dois ângulos iguais.

SE LIGUE!No triângulo isósceles os ângulos internos da base são iguais.

c) Escaleno: os três lados são diferentes e também os três ângulos.

Semelhança de Triângulos

Dois triângulos ABC e A’ B’ C’ são dito semelhantes, se:

1) os ângulos correspondentes forem congruentes (A = A’, B = B’ e C = C5)

''a b c '2) os lados correspondentes forem proporcionais

ka' b' c\


Os triângulos semelhantes têm proporcionais os lados, a altura e a área.

SE LIGUE! !A área deles está na razão de k2, sendo k a constante de proporcionalidade.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

a: hipotenusa b e c: catetosh: altura relativa à hipotenusa m e n: projeções dos catetos sobre a hipotenusa

Relações métricas

1) bc = a.h2) c2 = a.m3) b2 = a.n4) h2 = m.n

Teorema de Pitágoras: a2 — b2 + c2

Tabela trigonométrica

X sen x COS X tg X

0° 0 1 0 :

30°1 £ A2 2 3 ;

Cap. 9 ~ RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO 351

X sen x COS X tg x ;

45°2

£2

i 1

60° A2

1

2V3 |

O 0 1 0 " í

Quadriláteros

O quadrilátero é o polígono de quatro lados.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°.

Paralelogramo

É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Os ângulos opostos são congruentes.

Paralelogramos Notáveis

Retângulo: é o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes e de medida igual a 90°.

Losango: é o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.

3 5 2 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viüar

As diagonais são perpendiculares entre si, ou seja. formam 90°.

Quadrado: é o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos iguais entre si.

Trapézio: é o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si.

Polígonos regulares

São polígonos convexos que possuem lados iguais e ângulos internos iguais e ângulos externos iguais.

Principais polígonos regulares:

- Triângulo equilátero- Quadrado

D C


- Pentágono (5 triângulos equíláteros)- Hexágono (6 triângulos equíláteros)

Fórmulas:

Número de diagonais: ^

Soma dos ângulos internos: (n - 2). 180° Soma dos ângulos externos: 360°

TriânguloÉ uma figura de 3 lados.

base x altura

Dica:No triângulo retângulo temos a seguinte relação.

No triângulo equilátero (todos os lados iguais)

a - M4

h = t l L (altura do triângulo equilátero)

354 MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bmna Villar

QuadradoÉ uma figura que possuí 4 lados iguais e os lados opostos são pa

ralelos.I

L

L L

L

L = lado A = L2

Perímetro = 4L

RetânguloÉ uma figura que possui 4 lados e os lados opostos são iguais.

a

A = a.bPerímetro = 2a + 2b

TrapézioÉ um figura que possui 4 lados e um par de lados opostos paralelos

(bases do trapézio).

base menor

altura

base maior


_ (b + B )h

CircunferênciaE um conjunto de pontos é equidistantes a um ponto central, o qual

é chamado de centro da circunferência.

D = diâmetro r = raioC = comprimento da circunferência íc = 3,14159... r

Relação:D = 2r C = 2r. n

Área do Círculo

A = r2 . k

356 MATEMÁTICA E RACiOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar


1. (AFTN 1998/ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a hipotenusa um ângulo de 45°. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a soma das medidas aos catetos é igual a:(A) 8 cm2(B) 16 cm(C) 4 cm(D) 16 cm1(E) 8 cm

RESOLUÇÃO:Nesse caso, temos um triàngulo-retãngulo-isósceles.

A medida do ângulo b é 45° e do ângulo c é 90° (ângulo reto), logo o ângulo a mede 45°. Conclusão: o triângulo que possui dois ângulos iguais é isósceies, logo:■ b e c são iguais.

! f = s

b.c = 8.2

B.C = 16

Como b = c, temos:

b.b = 16 b2= 16

b = VTób = 4

Conclusão: c = 4 ;

Resposta: 4 + 4 = 8 cm. Letra E.


2. (Analista de Recursos Financeiros SERPRO 2001 ESAF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m, A área do segundo triângulo será igual a:(A) 6 m2(B) 12 m2(C) 24 m2(D) 48 m2(E) 60 m3

RESOLUÇÃO:T1 tem medidas: 6,8 e 10, logo o perímetro é 6 + 8 + 10 > 24 O perímetro de T2 é 12.

' ' 71 24A razão sera: —- = — = 2. T2 12

TI = 2 . T2

Conclusão: as medidas de T2 serão a metade de T1. As medidas dè T2 = 3, 4, 5.

SE LIGUE!- 3, 4 e 5 são as medidas do triângulo retângulo clássico.- 3 e 4 são os ca tetos e 5 é a hipotenusa.- A área do triângulo retângulo é o produto dos catetos.

3. (AFC 2005 ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede V2cm e um outro mede 2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a

(A) 3-” 3(B) 2~v2(C) 1(D) 2V 2(E) 3^

3 58 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna W /ar

RESOLUÇÃO:Temos que ângulo formado entre dois lados é 45°.Vamos aplicar a fórmlila da área em função dos lados e ângulo formado entre eles.

2 2 2 1

4. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y, onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A+X é igual a 45°, segue-se que:(A) Y = -2X(B) Y = X(C) Y = (3,/2)/2X(D) Y = 2X(E) Y = 31,ZX

RESOLUÇÃO:

A+X

Os catetos são A + X e A + Y , é a tangente é a divisão entre os catetos.

tg,f go __ cateto oposto _ A + X cateto adjacente A + Y


Tg 45° = 1

A + XA + Y

A + X = A + Y

Conclusão: x = y

Resposta: Letra B,

5. (ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1 e T2, é igual a 8. Sabe-se que a área do é igual a(A) 4 m2(B) 16 m3(C) 32 ms(D) 64 m3(E) 2 m2

triângulo T1 é igual a 128m:í Assim, a área do triângulo T2

RESOLUÇÃO:A razão entre eles é 8 A razão da área é k2

QUESTÕES FINAIS

ESTILO FCC - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

1. Uma aranha demorou 20 dias para cobrir com sua teia a superfície total de umajanela. Ao acompanhar o seu trabalho, curiosamente, observou-se que a área da região coberta peta teia duplicava a cada dia. Se desde o inicio ela tivesse contado com a ajuda de outra aranha de mesma capacidade operacional, então, nas mesmas condições, quantos dias seriam necessários para que, juntas, as duas revestissem toda a superfície de tal janela?(A) 10(B) 12 -(C) 15(D) 18(E) 19

2. Indagado sobre a quantidade de projetos desenvolvidos nos últimos 10 anos emsua área de trabalho, um Analista Legislativo que era aficionado em matemática respondeu o seguinte: "O total de projetos é igual ao número que, no crípto- grama matemático abaixo, corresponde à palavra ESSO”.

(S O )3 = E S S O

Considerando que, nesse criptograma, íeíras distintas equívaiem a algarismos distintos escolhidos de 1 a 9, então, ao decifrar corretamente esse enigma, conclui-se que a quantidade de projetos à qual ele se refere é um número(A) menor que 5.000.(B) compreendido entre 5.000 e 6.000.(C) compreendido entre 6.000 e 7.000.(D) compreendido entre 7.000 e 8.000.(E) maior que 8.000.

362 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Brvno Vitlar

3. Em um jantar em homenagem a um político se reúnem 16 pessoas, incluindo ohomenageado. Todas essas pessoas são deputados ou senadores, cada qual Filiado ao partido X ou ao partido Y. Com relação a esses comensais, sabe-se que: f- há mais membros do partido X que do Y;- o número de deputados filiados ao partido Y é maior que o número de deputados

filiados ao partido X;- dos filiados ao partido X, o número de senadores èl menor que o número de de

putados;- apenas um dos membros do partido Y é senador.

Nessas condições, é correto afirmar que, nesse jantar,: o total de

(A) deputados é 11.(B) senadores é 6.(C) deputados filiados ao partido X é 4.(D) senadores filiados ao partido X é 6.(E) deputados filiados ao partido Y é 5.

4. Segundo dados de uma pesquisa, em 2006 cinco deputados - cujas fetras iniciaisdos nomes eram A, B, C, D e E - encaminharam ã Mesa da Câmara 9, 12, 14,15 e 18 projetos, não respectivamente. Constam também nessa pesquisa as seguintes informações:- tais deputados tinham 28, 36, 42, 45 e 56 anos de idade e eram filiados ao PT,

PSDB, PFL, PSOL e PTB, não necessariamente nesta ordem;- o deputado mais idoso era filiado ao PSDB;- o deputado mais jovem era filiado ao PSOL e a letra inicial do seu nome não é

B;- o deputado filiado ao PT tinha 42 anos e a letra inicial do seu nome não é D e

nem C;- tanto o deputado cujo nome começa por E, que apresentou 18 projetos, como o

deputado cujo nome começa por C, que apresentou 15 projetos, não eram filiadosao PSDB e nem ao PFL;

- o deputado cujo nome começa por D apresentou 12 projetos: dois a menos que o filiado ao PTB, cuja letra iniciai do nome não é B; ;

- o deputado cuja letra inicial do nome é A não era filiado ao PSDB;- o deputado que tinha 36 anos não foi aquele que apresentou 14 projetos;- o deputado cuja letra inicial do nome é D não tinha 56 anos.

Com base nas afirmações dadas, é correto afirmar que o deputado filiado ao

(A) PTB tinha 36 anos.(B) PSDB apresentou 12 projetos.(C) PSOL tem por inicial de seu nome a letra C.(D) PFL tinha 45 anos.(E) PT apresentou 15 projetos.

Cap. 10 - QUESTÕES FINAiS 363

(FCC) Considere que, em um determinado instante, P passageiros aguardavam seu voo em uma sala de embarque de certo aeroporto. Na primeira chamada, embarcaram os idosos, que correspondiam à metade de P; na segunda, embarcaram as mulheres não idosas, cuja quantidade correspondia à metade do número de passageiros que haviam ficado na sala; na terceira, embarcaram alguns homens, em quantidade igual à metade do número de passageiros que ainda restavam na sala. Se, logo após as três chamadas, chegaram à sala mais 24 passageiros e, nesse momento, o total de passageiros na sala passou a ser a metade de P, então na

(A) primeira chamada i embarcaram 34 passageiras.(B) primeira chamada i embarcaram 36 passageiros.(C) segunda chamada embarcaram 16 passageiros.(D) segunda chamada embarcaram 18 passageiros.(E) lerceira chamada embarcaram 12 passageiros.

6. (FCC) O esquema abaixo representa a multiplicação de um número natural F por8, resultando em um número G.

OOIOx 8

08020

Os círcuios são algarismos, que satisfazem às seguintes condições:- são distintos entre si;- são diferentes de zero;

- o algarismo das centenas de F é maior que o algarismo das centenas de G.

Determinando corretamente esses cinco algarismos, verifica-se que o algarismo

(A) dos milhares de F é 3. (8 ) das centenas de F é 3.(C) das unidades de F é 8.(D) das centenas de G é 5.(E) das unidades de G é 6.

7. Regina e Roberto viajaram recentemente e voltaram três dias antes do dia depois do dia de antes de amanhã. Hoje é terça-feira. Ém que dia Regina e Roberto voltaram?(A) Quarta-feira(B) Quinta-feira(C) Sexta-feira(D) Sábado(E) Domingo


8. (FCC) Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade operacional, sãocapazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, ser funcionarem ininterruptamente10 horas por dia. Nessas condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é

• (A) 100(B) 200(C) 400(D) 600(E) 800

9. (FCC) Três analistas judiciários - Aurélio, Benício e Custódio - foram incumbidos de implantar um sistema informatizado de processamento de informações. Sabe-se que, individualmente, Aurélio levaria 3 horas para cumprir tal tarefa, enquanto que, sozinho, Benício levaria 6 horas. Então, considerando que, juntos, os três gastaram 1 hora e 30 minutos para implantar o sistema, quantas horas Custódio, sozinho, levaria para implantá-lo?(A) 2(B) 4(C) 6(D) 8(E) 10

10. Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mesmo tipo e, ao longo de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80 desses micros ele recebeuo que havia pagado pelos 94 que havia comprado, e cada um dos 14 micros restantes foi vendido pelo mesmo preço de venda de cada um dos outros 80. Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcentagem de lucro do comerciante nessa transação foi de(A) 17,5%(B) 18,25%(C) 20%(D) 21,5%(E) 22%

11. A tabela abaixo permite exprimir os valores de certas grandezas em relação a um valor determinado da mesma grandeza tomado como referência. Os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades derivadas das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser obtidos direta ou indiretamente dos valores apresentados e têm seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados.

Cap. 10 - QUESTÕES FINAIS 365

(Fonte: Quadro Geral de unidades de Medida, 2 .a ed. INM ETRO. Brasília, 2000)

NOME r. s Im b o l oFATOR PELO QUAL A UNIDADE É

MULTIPLICADAtera T 10,3 = 1 000 000 000 000

giga G IO” = 1 000 000 000

mega M 10s = 1 000 000

quilo k 10J = 1 000

hecto h 101 = 100

deca da 10 =. 10

deci d 10 1 = 0,1

cerni c 103 = 0,01

mili m 10J = 0,001

micro P 10* = 0,000 001

nano n 10 9 = 0,000 000 001

pico P 10'" = 0,000 000 000 001

Assim, por exemplo, se a unidade de referência fosse a grama (g), teríamos 35 mg = 35.10'3g = 0,035 g. Considerando o byte (b) como unidade de referência, a expressão(0,005 Gb) x (0, i 2 b) g equivalente a

0,25 Mb

(A) 2,4 \ib(B) 2,4 cb(C) 0,24 mb(D) 0,24 nb(E) 0,024 _dab

12. Cinco amigos — Américo, Basilio, Carlito, Dante e Eliseu - cotizaram-se para comprar um presente de casamento, contribuindo com R$ 50,00, R$ 60,00, R$ 80,00, R$ 100,00 e R$ 150,00, não necessariamente na ordem dada de seus nomes. Sabe-se que:

- Suas profissões são analista judiciário, professor, advogado, dentista e médico; suas idades são 25, 28, 30, 32 e 33 anos, não respectivamente;

- O analista judiciário. Que não è Basilio, tem 30 anos e contribuiu com RS 50,00;

- O advogado contribuiu com menos de R$ 150,00;

- Dante, que não tem 30 anos, contribuiu com R$ 60,00;

~ Aquele que tem 32 anos não é advogado e nem dentista;

- Eliseu tem 33 anos, é médico e contribuiu com mais de R$ 60,00;

- Américo é dentista e contribuiu com R$ 80,00;

- Aquele que tem 25 anos não é professor e nem advogado;

- Nem Basilio e nem Carlito têm 32 anos.


Com base nessas informações, é correto afirmar que:(A) Américo tem 28 anos

• (B) Basilio contribuiu com R$ 150,00(C) Cariilo é analista judiciário(D) Dante tem 25 anos(E) Eliseu contribuiu com R$100,00

13. Assinale a alternativa correspondente ao número de cinco dígitos no qual o quinto dígito é a metade do quarto e um quarto do terceiro dígito. O terceiro dígito é a metade do primeiro e o dobro do quarto. O segundo dígito é três vezes o quarto e tem cinco unidades a mais que o {quinto.(A) 17942(B) 25742 <C) 65384(D) 86421(E) 97463

14. Juntam-se 64 cubos de madeira idênticos, de aresta icm, formando um cubo maior, de aresta 4cm. Em seguida, cada das seis faces do cubo maior é pintada. Após a secagem da tinta, separam-se novamente os 64 cubos menores e n deles são escolhidos, de maneira aleatória. O menor valor de n para que se possa afirmar com certeza que pelo menos um dos cubos sorteados não teve nenhuma de suas faces pintadas é:(A) 57(B) 56(C) 49(D) 48<E) 9

15. Josué foi incumbido de tirar cópias de um conjunto de informações sobre legislação trabalhista, que deverão ser entregues a 11 pessoas. Se 8 dessas pessoas deverão receber apenas um conjunto e as restantes solicitaram dois conjuntos a mais do que elas, a quantidade exata de conjuntos de que Josué deverá tirar cópias é um número compreendido entre(A) 30 e 35(B) 25 e 30(C) 20 e 25(D) 15 e 20(E) 10 e 15

16. Uma pessoa dispõe apenas de moedas de 5 e 10 centavos, totalizando a quantia de R$ 1,75. Considerando que ela tem pelo menos uma moeda de cada tipo, o total de moedas que ela possui poderá ser n o máximo igual a(A) 28(B) 30(C) 34(D) 38(E) 40

Cap. 1 0 -Q U E S TÕ E S FINAIS 3 67

17. Um feirante comprou maçãs de dois fornecedores: um deles as vendeu na base de 5 maçãs por R$ 2,00 e o outro na base de 4 por R$ 3,00. Se ele comprou a mesma quantidade de maçãs de cada um desses fornecedores, então, para não ter lucro e nem prejuízo, pode revender todas as maçãs que comprou na base de(A) 18 unidades por R$ 25,00.(B) 20 unidades por R$ 23,00.(C) 32 unidades por RS 24,00.(D) 36 unidades por R$ 25,00.(E) 40 unidades por R$ 23,00.

18. Certo dia, Zeus e Fnda foram incumbidos de arquivar alguns processos e, para tal, resolveram dividir o total entre si na razão inversa de suas respectivas idades: 24 e 32 anos. Se Zeus gastou 2 horas para cumprir totalmente a sua parte na tarefa, então, considerando que Frida foi 25% mais eficiente do que ele no cumprimento da sua, o tempo que ela levou para arquivar todos os processos que lhe couberam foi(A) 15 minutos.(8 ) 1 hora e 12 minutos.(C) 1 hora e 36 minutos.{D) 1 hora e 45 minutos.(E) 2 horas e 8 minutos.

19. Considere a seguinte seqüência de cálculos:11a = 121

111* = 12.321I 1112 = 1.234.321I I 111z « 123.454.321

A soma dos algarismos do número que se obtém calculando111 111 111z é

(A) um quadrado perfeito.(B) maior que 100.(C) menor que 70.(D) divisível por 5.(E) um número primo.;

20. Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração.Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras que compõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma:

(IN)2 = MOON


Sabendo que tal segredo é um número maior que 5.000, então a soma M + O + O + N é igual a(A) 16(B) 19(C) 25 1(D) 28(E) -31

21. Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 2/5 deveriam ser analisados e 4/7 referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre(A) 10 e 50(B) 60 e 100(C) 110 e 160(D) 150 e 170(E) 180 e 220

22. No arquivo morto de um setor de uma Repartição Pública há algumas prateleiras vazias, onde deverão ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 processos, que serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar que o total de processos do lote é um número(A) par(B) divisível por 5(C) múltiplo de 3(D) quadrado perfeito(E) primo

23. Certo dia, Matilda e Neto, funcionários de um setor do Tribunal Regional do Trabalho, receberam, cada um, um lote de documentos para análise e emissão de pareceres. Sabe-se que:- os dois lotes tinham iguais quantidades de documentos;- Matilda gastou 2 horas e 15 minutos para examinar todos os documentos de seu

lote;- nesse dia, na execução de suas respectivas tarefas, a capacidade operacional de

Neto foi 80% da de Matilda.

Com base nessas informações e considerando que ambos iniciaram suas respectivas tarefas quando eram decorridos 31/72 do dia e que trabalharam ininterruptamente até concluí-las, então Neto completou a análise e a emissão de pareceres dos documentos do seu lote às

(A) 12 horas, 20 minutos e 15 segundos

Cap. 10 -Q U E S TÕ E S FINAIS 369

(B) 12 horas, 48 minutos e 30 segundos(C) 13 horas, 8 minutos e 45 segundos(D) 13 horas, 18 minutos e 30 segundos(E) 13 horas, 40 minutos e 15 segundos

24. Suponha que, no instante em que a água de um bebedouro ocupava os 5/8 de sua capacidade, uma mesma garrafa foi usada sucessivamente para retirar toda a água do seu interior. Considerando que tal garrafa eqüivale a 3/4 de litro e foram necessárias 45 retiradas de garrafas totalmente cheias d’água até que o bebedouro ficasse completamente vazio, a capacidade do bebedouro, em metros cúbicos, era(A) 0,054(B) 0,06(C) 0,54(D) 0,6(E) 5,4

25. Um comerciante comprou certo artigo com um desconto de 20% sobre o preço de tabela. Em sua loja, ele fixou um preço para tal artigo, de modo a poder vendê-lo dando aos clientes um desconto de 25% e a obter um lucro de 40% sobre o preço fixado. Nessas condições, sabendo que pela compra de uma unidade desse artigo um cliente terá que desembolsar R$ 42,00, o seu preço de tabela é(A) R$ 20,00(B) R$ 24,50(C) R$ 30,00(D) RS 32,50(E) R$ 35^00

26. Ao concorrer à licitação na modalidade Pregão, é contratada a empresa que oferecer o menor preço pelos seus serviços. Sabe-se que, das empresas cadastradas para concorrer ã licitação em tal modalidade, para a contratação de empresa especializada para fornecimento de doses de vacina contra a gripe, apenas três {X, Y e Z) foram julgadas habilitadas a participar da fase de lances. Encerrado o Pregão, com relação aos três últimos lances feitos para o valor da dose da vacina, observou-se que:- valor do lance de X excedia o de Y em R$ 1,46;- a razão entre o valor do lance de Y e o valor do de Z era, nesta ordem, igual a

4/5;- os valores dos lances de X e Z totalizavam R$ 24,50.

Considerando que a Pregoeira encaminhou ao licitante que apresentou o lance mais vantajoso uma contraproposta de preço no valor de RS 9,50, então a diferença entre o valor do lance e o da contraposta é de

(A) RS 0,98(B) RS 0,94

370 MATEMÁTICA E RACIOCÍNSO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(C) R$ 0,82(D) RS 0,74

- (E) RS 0,72

27. Um funcionário de uma empresa foi incumbido de tirar uma única cópia de cada uma das 50 páginas de um texto. Ele cumpriu essa tarefa em duas etapas: primeiramente, usou uma impressora para tirar 151 cópias e depois, para tirar as cópias restantes, usou outra impressora cuja capacidade operacional era 40% maior que a da primeira. Se a primeira impressora gastou t minutos para tirar as 15 cópias, o tempo total gasto pelas duas impressoras para tirar as 50 cópias é equivalente a(A) 2t(B) 5U3(C) 81/3(D) 101/3(E) 8t

28. Certo dia, Aíéa e Aimar, funcionários de uma unidade do TRT, receberam 50 petições e 20 processos para analisar e, para tal, dividiram entre si todos esses documentos: as petições, em quantidades diretamente proporcionais às suas respectivas idades, e os processos, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se Aléa tem 24 anos de idade e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que Aimar tem 36 anos de idade e lá trabaiha há 12 anos, é correto afirmar que(A) Aléa deve analisar 5 documentos a mais do que Aimar.(B) Aléa e Aimar devem analisar a mesma quantidade dei documentos.(C) Aimar deve analisar 20 petições e 5 processos.(D) Aléa deve analisar 10 petições e 20 processos.(E) Aimar deve analisar 30 petições e 15 processos.

29. Certo dia, Eurídice falou a Josué:- Hoje é uma data curiosa, pois é dia de nosso aniversário, sua idade se escreve ao contrário da minha e, além disso, a diferença entre as nossas idades é igual ao nosso tempo de serviço no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos.

Considerando que Josué tem mais de 20 anos, Eurídice tem menos de 70 anos e é mais velha do que Josué, então, com certeza, a soma de suas idades, em anos, é um número(A) maior que 100.(B) quadrado perfeito.(C) múltiplo de 11.(D) divisível por 9.(E) menor que 100.

30. Um Técnico Judiciário recebeu dois lotes de documentos para arquivar: um, contendo 221 propostas de licitações e outro, contendo 136 processos. Para executar tal tarefa, recebeu as seguintes instruções:

Cap. 10 - QUESTÕES FiNAIS 371

- todas as propostas de licitações deverão ser colocadas em pastas amarelas e todos os processos em pastas verdes;

- todas as pastas deverão conter o mesmo número de documentos;

- deve ser usada a menor Quantidade possível de pastas.

Se ele seguir todas as instruções que recebeu, então;

(A) usará 17 pastas amarelas para guardar todas as propostas de licitações.(B) usará 13 pastas verdes para guardar todos os processos.(C) o número de pastas amarelas que usar excederá o de verdes em 6 unidades.(D) cada uma das pasias ficara com 8 documentos.(E) serão necessárias 21 pastas para acomodar todos os documentos dos dois lotes.

31. Um funcionário de uma unidade do TRT recebeu a incumbência de tirar algumas cópias de certo comunicado. Sabe-se que ele iniciou a execução dessa tarefa em uma segunda-feira, na qual tirou parte das cópias requisitadas, e que a cadadia subsequente tirou 3/2 da quantidade tirada no o serviço na sexta-feira dessa mesma semana e

dia anterior. Se ele concluiu na quarta-feira ele tirou 72

cópias, o total de cópias que ihe foram solicitadas era(A) 484(B) 422(C) 392(D) 384(E) 322

32* Certo dia, no início do expediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas filas diante de um balcão, onde dois Técnicos Judiciários - Casimiro e Domi- tila - prestariam atendimento ao público externo. Para que, naquele momento,as duas filas ficassem com o mesmo número de seguintes procedimentos:

pessoas, foram adotados os

primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas Havia na fila de Domitila;em seguida, da fila -de Domitila para a de Casimiro^ foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fífa de Casimiro.

Se, após esses dois j procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, então, inicialmente, o número de pessoas na fila de

(A) Casimiro era 18. ;(B) Domitila era 14.(C) Casimiro era 20.(D) Domitila era 15.(E) Casimiro era 24.

33. Um Técnico Judiciário iniciou a digitação de um texto quando eram decorridos 4/9 de certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 61/96 do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho

372 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

apenas por 55 minutos, quando, então, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de(A) 2 horas e 30 minutos.(B) 2 horas e 45 mirptos.(C) 3 horas e 20 minutos.(D) 3 horas e 40 minutos.(E) 3 horas e 45 minutos.

34. Uma pesquisa revelou que, nos anos de 2006, 2007 e 2008, os totais de processos que deram entrada em uma Unidade do TRT aumentaram, respectivamente, 10%, 5% e 10%, cada qual em relação ao ano anterior. Isso eqüivale a dizer que, nessa Unidade, o aumento cumulativo das quantidades de processos nos três anos foi de(A) 25%(B) 25,25%(C) 26,15%(D) 26,45%(E) 27,05%

35. Num dado momento, observou-se que o volume de água no interior da caixa d’água de um edifício ocupava 1/3 de sua capacidade e que, se lã fossem colocados mais 0,24m3 de água, o volume de água na caixa passaria a ocupar os 2/5 de sua capacidade. Considerando que não foi colocada água no interior da caixa, então, no momento da observação, o número de litros de água que seriam necessários para enchê-la era(A) 1.800(B) 2.400(C) 2.500(D) 3.200(E) 3.600

36. Três Técnicos Judiciários - Alberico, Benivaldo e Corifeu - devem arquivar 340 processos e, para executar esta tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe se que:- Aiberico tem 36 anos;

- Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem, em 12 anos;

- caberá a Corifeu arquivar 90 processos.

Nessas condições, é correto afirmar que(A) as idades dos três somam 105 anos.(B) Benivaldo deverá arquivar 110 processos.(C) Corifeu tem 28 anos.(D) Alberico deverá arquivar 120 processos.(E) Benivaldo tem 35 anos.


GABARITO

1 - E 2 - B 3 - A

4 - C 5 - C 6 - A

7 - E 8 - E 9 - C

1 0 - A 11 - A 12 - C

13 - D 14 - A 15 - D

16 - C 17 - E 18 - B19 - A 20 - A 21 - D

22 - E 23 - C 24 - A

2 5 - 8 26 - D 27 - C

2 8 - B 29 - A 30 - D

31 - E 32 - A 33 - B

34 - D 35 - C 36 - B

ESTILO ESAF - RACIOCÍNIO QUANTITATIVO

1. (ANA-ESAF/2009) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% deáguas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto, desemboca um afluente, que tem um volume d'água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após se encontrarem.{A} 41%<B) 35%(CJ 45%(D) 49%(E) 55%

2. (ANA-ESAF/2009) Uma uma possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?(A) 11,53%(B) 4,24%(C) 4,50%(D) 5,15%(E) 3,96%

3. (ANA-ESAF/2009) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três

374 MATEMÀ+ICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vi liar

pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética?(A) 0,98%(B) 1% ' ,(C) 2,94%(D) 1,30%(E)~3,96%

SfDica: questão de probabilidade binomial (relação de sucesso e fracasso).

4. (STN ESAF/2008) Dois eventos A e B são ditos jeventos independentes se e somente se:(A) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for Tiula.(B) a ocorrência de B aiterar a probabilidade de ocorrência de A.(C) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.(D) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.(E) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.

5. (STN-ESAF/2008) Ana possuí em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira docloset quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana poderealizar de modo que a terceira caixa retirada sejà a de número 20 é igual a:(A) 681.384(B) 382.426(C) 43.262(D) 7.488(E) 2.120

6. (STN-ESAF/2008) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças decabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos.Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a:(A) 0(B) 10/19(C) 19/50(D) 10/50(E) 19/31


7. (MPOG-ESAF/2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua novanamorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saía com sua namorada vestiftdo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter á certeza de obter um par de mesma cor é igual a:(A) 30(B) 40(C) 246(D) 124(E) 5

8. (MPOG-ESAF/2008) ÍBeatriz aposentou-se e resolveu participar de um curso deartesanato. Em sua primeira aula, ela precisou construir uma caixa retangular aberta na parte dé cima. Para tanto, Beatriz colou duas peças retangulares de papelão, medindo 200cm2 cada uma, duas peças retangulares, também de papelão, medindo 3GGcm2 cada uma e uma outra peça retangular de papelão medindo 600cm2. Assim, o volume da caixa, em litros, é igual a:(A) 48(B) 6(C) 36(D) 24 <E) 12

9. (MPOG ESAF/2GG8) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas.Retirando-se, aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a:(A) 1/10 ‘(B) 8/5(C) 11/120(D) 11/720(E) 41/360

10. (WlPU-ESAF/2004) Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre,- 20 alunos praticam vôlei e basquete;- 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete;- 21 alunos não praticam nem futeboi nem vôlei;- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que

praticam só võíei.- 17 alunos praticam futeboi e vôlei;- 45 aiunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é iguaí a(A) 93

376 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO — Bruno Villar

(B) 99(C) 103(D) 110(E) 114 J

11. (ESAF) Uma loja de doces trabalha apenas com dois tipos de balas, a saber: balas de chocolate e balas de café. Cada bala de chocolate custa R$ 0,50 e cada bala de café custa R$ 0,20. Sabe*se que um quilograma (kg) de balas de chocolate eqüivale, em reais, a dois quilogramas de balas de café. Sabe-se, também, que uma bala de café pesa 8 gramas. Assim, o peso, em gramas, de uma bala de chocolate é igual a

(A) 5(B) 8(C) 15(D) 6(E) 10

12. (ESAF) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, não necessariamente nessa ordem, formam uma fila. O carro que está imediatamente antes do carro azul é menos veloz do que o que está imediatamente depois do carro azul. O carro verde é o menos veloz de todos e está depois do carro azul. O carro amarelo está depois do carro preto. As cores do primeiro e do segundo carro da fila, são, respectivamente,

(A) amarelo e verde.(B) prelo e azul.(C) azul e verde.(D) verde e prelo.(E) preto e amarelo.

13. (ESAF) Sete meninos, Armando, Bernardo, Cláudio, Délcio, Eduardo, Fábio e Gelson, estudam no mesmo colégio e na mesma turma de aula. A direção da escola acredita que, se esses meninos forem distribuídos em duas diferentes turmas de aula, haverá um aumento em suas respectivas notas. A direção propõe, então, a formação de duas diferentes turmas: a turma T1 com 4 alunos e a turma T2 com 3 alunos. Dada as características dos alunos, na formação das novas turmas, Bernardo e Délcio devem estar na mesma turma. Armando não pode estar na mesma turma nem com Bernardo, nem com Cláudio. Sabe-se que, na formação das turmas, Armando e Fábio foram colocados na turma T1. Então, necessariamente, na turma T2, foram colocados os seguintes alunos:

(A) Cláudio, Délcio e Gelson(B) Bernardo, Cláudio e Geison(C) Cláudio, Délcio e Eduardo(D) Bernardo, Cláudio e Délcio(E) Bernardo, Cláudio e Eduardo

Cap. 10 - QUESTÕES FiNAIS 377

14. (ESAF) Em uma cidade, ãs 15 horas, a sombra de um poste de 10 melros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 metros.Por interpolação e extrapolação iineares, calcuie quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia.

(A) 20m(B) 35m(C) 65m(D) 50m(E) 45m

SfDica: regra de três simples!

15. (ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher?(A) 52%(B) 48%(C) 50%(D) 44%(E) 56%

16. (ESAF) Considerando os dados da questão anterior, qual a porcentagem das mulheres adultas que são fumantes?(A) 7/13(B) 40%(C) 4/13(D) 60%(E) 9/13

17. (ESAF) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos:(A) nenhum dos 3 valerá nada.(B) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta.(C) apenas a bicicleta valerá algo.(D) a bicicleta valerá mais que o carro.(E) a bicicleta valerá mais que a moto.


18. (ESAF/2009) A e 8 são os lados de um retângulo í. Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzir-se o lado B em 20%, obtém-se o retângulo li. Se, ao invés disso, aumentar-se o iado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o retângulo III.Pode-se afirmar qu£:(A) os três retângulos têm a mesma área.(B).o retângulo III tem a maior área.(C) o retângulo II tem a maior área.(D) o retângulo I tem a maior área.(E) os retângulos II e III têm uma área igual, maior que a do retângulo I.

19. (ESAF) Num acampamento escolar com crianças que supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida suficiente para exatamente 60 dias. Passados 20 dias, chegaram inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram 10 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 50 dias, a contar do início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida havia acabado, quantas eram elas?(A) 20(B) 60(C) 30(D) 120(E) 10

20. (ESAF) Marcelo Augusto tem cinco filhos: Primus, Secundus, Tertius, Quartus e Quintus. Ele sorteará, entre seus cinco filhos, três entradas para a peça Júlio César, de Shakespeare. A probabilidade de quei Primus e Secundus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Tertius e Quintus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que sejam sorteados Secundus, Tertius e Quartus, é igual a(A) 0,500(B) 0,375(C) 0,700(D) 0,072(E) 1,000

21. (ESAF) Ana e Júlía, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana — a filha de olhos azuis —, em número de anos completados, é igua!(A) à idade de Júlia mais 7 anos.(B) ao triplo da idade de Júlia.(C) à idade de Júlia mais 5 anos.(D) ao dobro da idade de Júlia.(E) ã idade de Júlia mais 11 anos.


22. (ESAF) A receita bruta total de uma empresa é diretamente proporcionai ao quadrado da terça parte das quantidades vendidas. Sabe-se que quando são

a 40. Assim, quando se vendervendidas 6 unidades, a receita total bruta é iguai3 unidades, a receita bruta será iguai a:(A) 10 '•(B) 20(C) 30(D) 40(E) 50

23. (ESAF) De dez contas de um arquivo, quatro cbntêm erro de apropriação, um auditor seleciona, aleatoriamente e sem reposição, duas contas entre

Se as

contas selecionadas contenhacinco, a probabilidade de que apenas uma das erro de apropriação é igual a:(A) 10%(B) 20% '(C) 30%(D) 40%(E) 60%

24. (ESAF) A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 30, e o seu produto igual a 360. O produto entre o primeiro e o terceiro termo desta mesma progressão é igual a:(A) 18(B) 20(C) 26(D) 36(E) 40 '

25. (ESAF) Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe Uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a:(A) 6/25 (8) 6/13(C) 7/13(D) 7/25(E) 7/16

26. Um grupo de amigos formado por três meninos (entre eles Caio e Beto) e seis meninas (entre elas Ana e Beatriz), compra ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema.Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo ; pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque,


querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a:(A) 1.920 |(B) 1.152(C) 960(D)'540(E) 860

27. Ana foi visitar Bia, que mora a uma distância de 150km de sua casa. Ana percorreu esta distância em seu automóvel, com uma determinada velocidade média, gastando x horas para chegar à casa de Bia. Ana teria percorrido os mesmos 150km em duas horas a menos, se a velocidade média de seu automóvel fosse aumentada em 20km/h (quilômetros por hora). Com estas informações, pode-se concluir que Ana percorreu os 150km a uma velocidade média, em quilômetros por hora, igual a:(A) 25(B) 30(C) 40(D) 35(E) 50

28. Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é iguai a:(A) 24.360(B) 25.240(C) 24.460(D) 4.060(E) 4.650

29. Em uma prova de natação, um dos participantes desiste de competir ao completar apenas 1/5 do percurso total da prova. Mo entanto, se tivesse percorrido mais 300 metros, teria percorrido 4/5 do percurso total da prova. Com essas informações, o percurso total da prova, em quilômetros, era igual a:(A) 0,75(B) 0,25(C) 0,15(D) 0,5(E) 1

30. Em uma caixa há oito bolas brancas e duas azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Depois, sem haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, também o acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola é azul. Dado que essa segunda bola é azul, a probabilidade de que a primeira bola extraída seja também azul é:(A) 1/3


(B) 2/9(C) 1/9(D) 2/10(E) 3/10

GABARITO

1 - A 2 - E 3 - C4 - D 5 - A 6 - B7 - E 8 - B 9 - C

1 0 - 8 11 - E 12 - B

13 - D 14 - E 15 - A16 - C 17 - E 18 - D

1 9 - A 20 — C 21 - D

22 - A 23 - E 24 - D

25 - E 26 - A 27 - B

28 - A 29 - D 30 - C

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO · 6/8/2003 · Matemática - Problemas, questões, ... O raciocínio lógico quantitativo é a matemática cobrada por situações

Text of MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO · 6/8/2003 · Matemática - Problemas, questões,...

RACIOCÍNIO QUANTITATIVO LÓGICO ANPAD-FEV-2003

Bruno Villar - Matemática e Raciocínio Lógico Quantitativo - Ano 2010

Raciocínio Lógico-Quantitativo

Matemática - Raciocínio Lógico - Tabela Verdade

Módulo IV: Lógico Matemática

Raciocínio Lógico Quantitativo - Cloud Object Storage · Raciocínio Lógico – Proposição – Prof. Edgar Abreu 5 Já proposições compostas terão mais do que 2 possibilidades

Raciocinio Lógico Quantitativo

Aula 0 0 Curso: Raciocínio Lógico-Quantitativo ATRFB · 2015. 10. 22. · Curso: Raciocínio Lógico-Quantitativo p/ ATRFB Teoria e Questões comentadas Prof. Custódio Nascimento

Raciocínio Lógico Quantitativo - UTFPRpaginapessoal.utfpr.edu.br/.../RaciocinioLogico_2020.pdf · 2020-07-03 · Raciocínio Lógico Quantitativo Notas de Aula Prof.a Paula Francis

Processos seletivos FGV | PROCESSOS SELETIVOS · 6.5 Provas de Matemática (Raciocínio Lógico e Quantitativo) e Inglês: 605.1 As Provas de Matemática (Raciocínio Lógico e Quantitativo)

Matemática e Raciocínio Lógico - Aula 01

Resumo para Teste ANPAD - Raciocínio Lógico & Quantitativo

LÓGICO MATEMÁTICA 1 PARTE 1.pdf

01 - raciocínio lógico-quantitativo

DISCIPLINA: Noções lógico matemática 1º

E-book Raciocínio Lógico Quantitativo

matemática e raciocínio lógico quantitativo - ano 2010 Bruno villar

RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA · PDF fileCESPE (UNB) - RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO - TÉCNICO E ANALISTA Conteúdo Detalhamento dos tópicos Capítulo ¤%OPNQPQN@O ¤J FHB@O

Raciocínio Lógico e Matemática Financeira Prof. Edgar …€¦ · Edital RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO: Conceitos básicos de raciocínio lógico: sentenças abertas; proposições

Lógico matemática

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

Apostila Matemática e Raciocínio Lógico

Matemática e Racicocínio Lógico

Prova Resolvida Raciocínio Lógico Quantitativo e …nio Lógico Quantitativo e Estatística Prof. Guilherme Neves | Prof. Guilherme Neves 5 37. (ANAC 2016/ESAF) Os valores a seguir

Decisão Questão RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO 17 ...RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO 17 ANULADA inscricao nome Objetiva LPor Info RLog 3160184 ALAN RODRIGUES PEREIRA DE ARAUJO

Matemática e Raciocínio Lógico

Raciocínio Lógico-Quantitativo p/ Receita Federal · PDF fileRaciocínio Lógico-Quantitativo p/ Receita Federal Auditor-Fiscal e Analista Tributário AULA 00 | Regra de Três, Porcentagem

Raciocínio Lógico Quantitativo - UTFPRpaginapessoal.utfpr.edu.br/paulabenevides/raciocinio-logico-quant... · Raciocínio Lógico Quantitativo Notas de Aula Prof.a Paula Francis

RESULTADO FINAL DETALHADO - fgv.br Final... · Raciocínio Lógico-quantitativo e Noções de Esta 13 Noções de Economia e de Matemática Financei 11 Noções de Direito Constitucional

Matemática e Raciocínio Lógico Prof. Edgar Abreu · QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES ..... 39. 9 Matemática e Raciocínio Lógico MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO ... PARA GABARITAR

Documents

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO · 6/8/2003 · Matemática - Problemas, questões, ... O raciocínio lógico quantitativo é a matemática cobrada por situações

Text of MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO · 6/8/2003 · Matemática - Problemas, questões,...