MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

ConcursosPbSicos , Bruno Viliar

MATEMTICA E

RACIO CNIO LGICO

QUANTITATIVO

Teoria e treinamento prtico

e d ; i t o r a Gjupa MTODOEditorl

SAO PAULO

EDITORA MTODO Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional

Rua Dona Brigida, 701, Vila Mariana - 04111-081 - So Paulo - SP Tel.: (11) 5C80-0770 / (21) 3543-0770 - Fax: (11) 5080-0714

Visite nosso site: [email protected] com.br

Capa:Marcelo S. Brando

Foto de Capa:Rodolfo Clx (otosclix terra.com.br)

CIP-BRASIL. CATALOGAO NA FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ

Vi!lar, BrunoMatemtica e raciocinio lgico quantitativo: teoria e treinamento prtico / Bruno Villar. - Rio

de Janeiro: Forense; So Paulo: MTODO, 2009.

Bibliografia1. Matemtica - Problemas, questes, exercicios. 2. Lgica simblica e matemtica -

Problemas, questes, exerccios. 3. Servio pblico - Brasi! - Concursos. II. Ttulo, lil. Srie.

09*5251. CDD: 510CDU: 51

ISBN 978-85-309-3053-0

A Editora Mtodo se responsabiliza pelos vicias; do produto no que concerne sua edio (impresso e apresentao a fim ide possibilitar ao consumidor bem manuse-lo e l-lo). Os vcios relacionados atualizao da obra, aos conceitos doutrinrios, s concepes ideolgicas e referncias indevidas so de responsabilidade do autor e/ou atuazador.Todos os direitos reservados. Nos termos da Lei que resguarda os direitos autorais, proibida a reproduo total ou parcial de qualquer forma ou por qualquer meio, eletrnico ou mecnico, inclusive atravs de processos xerogrficos, fotocpia e gravao, sem permisso por escrito do autor e do editor.

Impresso no Brasil Prnted in Brazil

2010

http://www.ediiorametodo.coin.br

Agradeo a Deus e aos mesfres pela iluminao m s momentos de escrita dessa humilde obrai

Dedico minha famlia e aos meus amigos: Joo Neto, Ranilson Menezes, Falco e Juliana Pinho, por todo o apoio fornecido e as palavras de carinho.

Agradeo tambm a Rafael Barreto, Pedro Barreto\ Cesar Tavolieri, Renato Saraiva, Isaas do Canno

Filho e Vauledir Ribeiro Santos.

Gostaria de dedicar esse frabalho especialmente aos meus queridos ahmos e Editora Mtodo^

por transformar esse projeto em realidade,

APRESENTAO

Leva tempo para algum ser bem-sucedido porque o xito no mais do que

a recompensa natural pelo tempo gasto em fazer algo direito. - Joseph Ross

Esta obra em como objetivo eliminar os medos e dificuldades em relao matemtica e ao raciocnio lgico quantitativo.

O raciocnio lgico quantitativo a matemtica cobrada por situaes problemas; a matemtica, por sua vez, poder ser vista, a partir da leitura desta obra, como uma matria de aplicao de frmulas.

Tivemos a preocupao de apontar todas as dicas e truques usados e explicados em sala de aula, expondo as matrias de maneira clara e objetiva, trazendo as questes mais cobradas em concursos pblicos, voltadas para o que pedem o CESGRANRIO, CESPE, FCC, NCE, ESAF, entre outros.

Fique atento a essas dicas, pois elas tm a finalidade de ajudar a ganhar tempo na resoluo das questes das provas e de entender como cada assunto cobrado pelas bancas de concursos. Leia cada questo comentada com calma, questionando-se, e depois faa o treinamento do concursando. Se ;errar, relaxe a mente e tente de novo, pois Matemtica uma questo de prtica (Bruno Villar).

Para qualquer dvida ou sugesto: [email protected]: www.brunovillar.blogspot.com

B r u n o V il l a r

mailto:[email protected]://www.brunovillar.blogspot.com

SUMRIC

- introduo... ...................................................................... ........................ 1- Representao de um conjunto........ j.............................................. 1- Relao de pertinncia ....................... i.............................................. 2- Reao de incluso..............................;.............................................. 2- Subconjunto ................................. ........................................................ 3

- Operaes de conjuntos........................ i............................................... 3- Unio .......................................................i.............................................. 3

- Jnterseco ............................................. .............................................. 4- Diferena ..... .......................................... 1.............................................. 4- Reunio de elementos ...................... i .............................................. 5

- Treinamento comentado................ .................................................. 5- Treinamento do concursando.......... i............................................... 9

- Critrios de dtvisibidade...................... l............................................... 11

- Nmeros p rim os..................................... ................................................. 14- Reconhecimento de nmero primo J................................................. 14

~ Conjuntos numricos ............................ ............ .................................... 15- Conjunto dos nmeros naturais (N) .L............................................ 15

- Treinamento comentado.................. ;............................................... 15- Treinamento do concursando.......... i............................................... 18

~ Conjunto dos nmeros inteiros (Z) ............................................... 22

X MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruna Villar

- Conjunto dos nmeros racionais (Q ) ................................ 23- Conjunto dos nmeros irracionais (l ou Q') ................... 25- Conjunto dos nmeros reais (R) ......................................... 25

- Treinamenio finai do captulo .......................................................... 26

- Mnimo Mltiplo Comum {M.M.C) ...................................................... 31- Clculo do M.M.C. - Mtodo simplificado .................................... 31- Problemas envolvendo o M.M.C. .............. ...... ................ ............... 33

- Treinamento comentado................ ........................................ 33- Treinamento do concursando ....... ........... ..................................... 39

- Mximo Divisor Comum (M .D .C )......................................................... 41- Clculo do M.D.C.................................................................................... 41- Problemas.............................................................................................. 43

- Treinamento comentado .................... ................................... 44- Treinamento do concursando.......................................... .............. 46

- Frao .......................................................................................................... 48- Noo de frao ...................................................... ............................ 48- Operaes de fraes.................. ....................................................... 49

- Treinamento comentado ........................ .......................... . 51- Treinamento do concursando........................................................ 55- Treinamento final do captulo .... .................................................... 58

- Equao do 1 g r a u ......................... ................................. ..................... 63- Clculo de uma equao do 1. grau ............................................. 63

- Problemas envolvendo equao do 1. grau ................................ 65- Treinamento comentado ........................................................ 66- Treinamento do concursando......................................................... 77

- Sistema de equaes do 1 , g ra u ........................................................ 80- Clculo de um sistema de equao com duas variveis................ 80

- Treinamento comentado ......................................................... 82- Treinamento do concursando......................................................... 87

SUMRIO XI

1

- Equao do 2 g ra u ....................................... 90

- Resoluo de uma equao do 2 grau .. 91- Equaes incompletas................................ 91

- Equao completa ...................................... 92- Treinamento comentado.......................... 99- Treinamento do concursando .................. 103- Treinamento finai do captulo ................. 106

| g B T i m f f M M N ^ E I R A - BSICA-';:;-.::

Ir

Razo.............................................. .............................................................. 113- Razes especiais ................................................................................. 113

- Treinamento comentado.................................................................. 114- Proporo.............................................................................................. 114

- Propriedade fundamental da proporo....................................... 115- Treinamento comentado ................................................................. 115- Treinamento do concursando......................................................... 121

Nmeros proporcionais.......................................................................... 124- Nmeros diretamente proporcionais.............................................. 124- Nmeros inversamente proporcionais ........................................... 124- Diviso em partes proporcionais..................................................... 124- Diviso em partes diretamente proporcionais ............................. 124

- Treinamento comentado.................................................................. 125- Diviso em partes inversamente proporcionais............................ 126

- Treinamento comentado...... ......... ................................................. 126~ Treinamento do concursando.......................................................... 128

Diviso composta .................................................................................... 131- Treinamento comentado.................................................................. 131- Treinamento do concursando.................. ..... .................................. 133

Grandezas................................................................................................... 134- Grandezas diretamente proporcionais ............................................ 134- Grandezas inversamente proporcionais.......................................... 135- Regra de trs simples......................................................................... 135- Passos utilizados na resoluo de uma regra de trs simples .... 136

- Treinamento comentado.................................................................. 136- Treinamento do concursando.......................................................... 139

xn MATEMTICA E RACiOClNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

- Regra de trs com posta.......................... ............................................... 141- Treinamento comentado.................. ............................................... 142- Treinamento do concursando ............. :..r............................ 145

i- Porcentagem ............................... .............. ............................................... 147

- Treinamento comentado.................................................................. 150- Treinamento do concursando.......... ............................................... 154

- Transformao de frao em porcentagem................................... 157- Treinamento comentado................. i.............................................. 158

- Operaes comerciais......................................................................... 159- Treinamento comentado.............. .................................................. . 160- Treinamento do concursando......... ,.............................................. 162

- Desafios de porcentagem................... i............................................. 163

~ Juros Sim ples............................................ ............................................... 167- Noes iniciais (Nomenclatura atual) i....................... ...................... 167- Capitalizao Simples {juros simples) i............................................. 167

- Treinamento bsico comentado.....;......... ..................................... 168- Treinamento comentado................. i.......... ................................... 169- Treinamento do concursando..........i...................................... ....... 174

- Juros Compostos .................................. ;............................................. 176- Treinamento comentado................. ;....... ................... .................. 177- Exerccio do concursando................ ............................................... 179- Treinamento finai do captulo ......... ............................................... 181

- Funo polinomial do 1. grau ................ ;........................................... 189- Definio ................................................... .... :..................................... 189

- Treinamento comentado....... ........................................................... 189

- Construo do Grfico ...................................................................... 191- Treinamento comentado ................... ............................................... 192- Treinamento do concursando.......................................................... 197

- Funo poiinoma do 2 grau ou quadrtica ................................. 198

- Definio ............................................... ............................................... 198- Grfico ................................................... ............................................... 198

- Zero e Equao do 2 G rau ............. ............................................... 199

- Coordenadas do vrtice da parbola ............................................. 200

SUMRIO XIII

- Treinamento comentado...................;...................... ...................... 201- Treinamento do concursando...........;............................................ 204- Treinamento final do captulo ..........i............................................. 205

Seqncias numricas ......................................................................... 211- Treinamento comentado ............... ..... ............................................. 212- Treinamento do concursando....... .....i..,.,......................................... 215

Progresses Aritm ticas.............. ............i.............................................. 216- Clculo da razo ................................................................................. 216- Frmula do termo geral de uma P.A. i............................................. 217

- Treinamento comentado............... ..................... .............................. 217- Soma dos "n" primeiros termos de uma P.A................................... 219

- Treinamento comentado.......- Treinamento do concursando

219222

Progresses Geomtricas................................ ....................................... 224- Clculo da constante da RG............. ....L........................................... 224

~ Frmia do termo geral ...................... ;............................................. 225- Treinamento comentado.............. ;............................................. 225

- Soma dos "n" primeiros termos de uma RG..................................... 226- Soma idos infinitos termos de uma RG........................................

- Treinamento comentado.............. i..........................................- Treinamento do concursando............ i..........................................

226227228

- Treinamento final do captulo ..... .J .............................................. 229

mm

Princpio'Fundamentai de Contagem (PFC) ................................... 233- Treinamento comentado ................... i..... ......................................... 234- Treinamento do concursando..... .......................... .......................... 245Fatorial ......................................... .....i.......................................... 247- Treinamento bsico ........................ .....1............................................ 248- Treinamento comentado.............. ............................ ....................... 249Combinao.......................................................................................... 252- Treinamento comentado.............................................................. 253

XIV MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno Viliar

- Treinamento do concursando........................................................... 259- Permutao ............................................................................................ 261~ Permutao sem repetio de elementos..................................... 261

- Treinamento comentado.................................................................. 262- Permutao com elementos repetidos.......................................... 262

- Treinamento comentado....... ........................................................... 263- Permutao circular.......................................... ................................. 263

- Treinamento comentado................................................................... 263- Treinamento do concursando....... .............. ..................................... 264

- Probabilidade ....................................................................................... 267- Conceitos iniciais ................................................................................ 267- Probabilidade de ocorrer um evento P(A) .................................... 268

- Treinamento comentado .................................................................. 268- Probabilidade da unio de dois eventos: regra da adio ou regra

do "ou".................................................................................................... 269- Treinamento comentado...........i....................................................... 270

- A probabilidade de dois eventos P (A O B): regra da multiplicao ou regra do "e".................................................... ..................... 271

- A probabilidade de dois eventos............... .................................... 271- Probabilidade condicional ................................................................. 275

- Treinamento comentado........................... ...................................... 27S- Treinamento do concursando......................................................... 278

- Distribuio binomial das probabilidades.............. ....................... 279- Treinamento comentado.......................... ....................................... 279- Treinamento do concursando ......................................................... 280- Treinamento do concursando......................................................... 281

- Sistema mtrico decimal ............................................................ 287

- M e tro .................................................................................................... 287

- Mltiplos e submltiplos do m e tro ....................................................... 287

- Medidas de te m p o .................................................................................. 288- Mltiplos e submltiplos do segundo................................................ 289

- Medidas de massa.................................................. ............................ . 289- Quilograma ..................................................................................... 289

SUMRIO XV

- Mltiplos e submltipios do g ram a................................................. 290

- Superfcie e rea ....................................................................................... 290- Metro quadrado ................................................................... ................ 290

- Medidas de v o lu m e ................................................................................. 290- Metro cbico ......................................................................................... 291- Mltiplos e submitlplos do metro cbico ..................................... 291

- Treinamento comentado................................................................... 291- Treinamento do concursando.......................................................... 292

- Figuras planas ................... .......... ............................................................. 294- Tringulo ................................................................................................ 294- Quadrado............................................................................................... 295- Retngulo .............................................................................................. 295- Trapzio .................................................................................................. 296- Circunferncia ....... ............................................................................... 296- rea do crculo ..................................................................................... 297

- Figuras espaciais ...................................................................................... 297~ Prisma ......... .................................................................... ....................... 297- reas ....................................................................................................... 297- Paraleleppedo ...................................................................................... 298- Cubo ....................................................................................................... 299- Cilindro................................................................................................... 299- C one........................................................................................................ 300~ Pirmides................................................................................................ 302- Esfera ...................................................................................................... 303

- Treinamento comentado .................................................................. 303- Treinamento final do captulo ................ .......................................... 305

- M a tr iz ........ .................................................................................................. 311

- Introduo............................................................................................ 311

- Notao geral....................................................................................... 312

- Forma genrica de uma matriz........................................................ 313- Construo de uma matriz a partir de uma lei de formao...... 315

- Treinamento Comentado ................................................................ 315

XVI MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno W/ar

Classificao das m atrizes........................ ............................................. 316

- Operaes envolvendo matrizes.......... ;....................................'........ 316

- Igualdade de matrizes..................... ................................................... 319

Operaes de matrizes........................................................................... 319

r Adio ............................ ........................ .............................................. 319- Multiplicao de um nmero real por uma m atriz..................... 320

- Multiplicao ......................................... i.............................................. 320- Treinamento comentado.................... i................. ........................... 322- Treinamento do concursando.......................................................... 326

Determinantes................................................... ........................................ 328

- Determinante de 1.3 o rdem .................. ............................................. 328

- Determinante de 2.a ordem ................i............................................. 328- Treinamento comentado..................... ......................................... . 329

- Determinante de matriz de 3.a ordem ........................................... 330- Treinamento comentado..................... ........................................... . 331

Propriedades dos determ inantes........... ............................................. 332

- 1. Matriz Transposta ........................................................................... 332

- 2. Fila Nula ............................................. ............................................ 332

- 3. Multiplicao de uma fila por uma constante .......................... 332

- 4. Multiplicao de uma Matriz por uma constante...................... 333

- 5. Filas paralelas iguais ........................ ............................................. 334

- 6. Filas paralelas proporcionais .................... ............ ...................... 334

- 7. Troca de filas paralelas.. ............................. .................................. 334

- 8. Produto de Matrizes......................... .............................................. 334

- 9. Matriz triangular............................... .............................................. 335- Treinamento comentado.................... ............................................. 335- Treinamentodo concursando ............................................................ 342

Matriz inversa {A'1) ............................... ...... ............................................. 344

- Mtodo do concursando..................... 4 ........................................... 344- Treinamento do concursando..............J............................................ 345

Noes de geometria p lan a ......................:............................................ 346

- ngulos....................... ........................................................................... 346

- Tringulos ................... .......................................................................... 348

- Semelhana de Tringulos ................................................................. 349

- Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo .................................... 350

SUMRIO XVII

- Teorema de Ptgoras: a2 = b2 + c2 ................................................... 350

- Quadrilteros ............... ............................~......................................... 351- Paraieiogramo ......................................... ............................................ 351- Paraieiogramos Notveis............ ................ ..................................... 351- Polgonos reguiares............................ .....1......................................... 352- Principais polgonos reguiares......................................................... 352

- Treinamento comentado ..... .............. .....i.......................................... 356

- Estio FCC - Raciocnio lgico quantitativo...................................... 361

- Estilo ESAE - Raciocnio quantitativo 373

C O NJUNTO S

INTRODUO

No existe uma definio de conjunto, pois se trata de um conceito primitivo. Mas podemos dizer que conjunto uma reunio de elementos que possuem uma propriedade comum.

Representao de um conjunto

1. Enumerao dos elementos Exemplo: A = (0, 1,2, 3, 4}

2. Diagrama de Venn Exemplo:

3. Uso de uma propriedadeExemplo: o conjunto = (janeiro, junho, julho} pode ser represen

tado da seguinte forma:A = (x/x ms do ano cujo nome comea pela letra j }

MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Brnno Vtilar

Essa propriedade usada deve ser uma propriedade comum e que permita a outra pessoa descobrir os elementos.

Conjunto vazioi um conjunto que no possui elementos. E representado por { } ou 0 .

Cuidado: {0 } essa forma representa um conjunto unitrio.

Conjunto unitrio: um conjunto que ipossui apenas um elemento.

Relao de pertinncia

Essa relao utilizada para sabermos se um elemento pertence ou no a um conjunto qualquer.

Smbolos: e pertence e no pertence.Esses smbolos s podem ser usados na relao de elementos.

Exemplo:

Dado o conjunto A = {.0, 1, 2, 3, 4,j 5}, temos as seguintes relaes:

1 e A e 7 A

A ordem elemento - smbolo - conjunto (1 e A)

Relao de incluso

Essa relao usada para saber se um conjunto est contido no outro.

Smbolos: cr est contido e

Cap. 1 - CONJUNTOS 3

Essa relao usada somente entre conjuntos, por isso:1

4 MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

A U 8

Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e o conjunto B - {3, 4, 5}. Determine o conjunto A U B.

Resposta: A U B {I, 2, 3, 4, 5}

Interseco

Dados os conjuntos Ae B, define-se como interseco deles o conjunto representado por A n B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B , simultaneamente, ou seja: A n B = {x/x e A e x e B}.

a r \ B

Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e o conjunto B = {3, 4, 5}. Determine o conjunto A n B.

Resposta: A n B = {3}

Diferena

Dados os conjuntos A e B , define-se como diferena entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que no pertencem a B, ou seja, A - B = (x/x e A e x B}.


A-B

Considere o conjunto A = (1, 2, 3} e o conjunto B - (3, 4, 5}. Determine o conjunto A - B .

Resposta: A - B = {1,2}

Reunio de elementos

n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B)

Esse tipo de questo pode ser respondido pelo diagrama lgico.

Treinamento comentado

1. Uma empresa divide-se unicamente em dois departamentos A e B. Sabe-se que19 funcionrios trabalham em A, 13 funcionrios trabalham em B e existem 4 funcionrios que trabalham em ambos os departamentos. O total de funcionrios dessa empresa :(A) 24(B) 28(C) 30(D) 34(E) 38

RESOLUO:. degrau: resumo do enunciado.

A = 19, B = 1 3 e A e B = 4

2 degrau: montagem do diagrama.

Dica: sempre comear pela interseco.


AB

Concluso:Somente A = 15 *Somente B = 9A e B ao mesmo tempo = 4Total: 15 + 9 + 4 = 28. Resposta: ietra B.

2. (FCC) Uma pesquisa com os funcionrios de uma empresa sobre a disponibilidade de horrio para um dia de jornada extra (sbado e/ou domingo) mostrada na tabela abaixo:

Disponibilidade quantidade de funcionriosApenas sbado 25No sbado 32No domingo 37

Dentre os funcionrios pesquisados, o tota dos que manifestaram jornada extra apenas no domingo igual a:(A) 7(B) 14(C) 27(D) 30(E) 37

RESOLUO:1 degrau: resumo do enunciado.

Apenas no sbado 25, no sbado 32 e no domingo 37.Como no sbado so 32 e apenas no sbado 25, logo 7 trabalham sbado e domingo.

D

Sendo assim, somente no domingo 30. Resposta: letra D.

C ap .1 -C O N JU N T O S 7

3. (CESPE) Considere que os livros L, IVl e N foram indicados como referncia bibliogrfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatosque se preparam para esse concurso usando esses livros revelou que:

10 candidatos utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N;90 utilizaram o livro L;20 utilizaram os ivros L e M;25 utilizaram os livros M e N ;15 utilizaram os trs iivros.

Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itensseguintes.1) Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L

e M.2) Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses

livros.3) Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses

livros.4) O nmero de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi

inferior a 105.

RESOLUO:Jdegrau: resumo do enunciado.

10 candidatas utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N;90 utilizaram o livro L;20 utilizaram os livros L e M;25 utilizaram os livros M e N ;,15 utilizaram os trs livros.

2. degrau: construo do diagrama.

8 MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTiTATIVO - Bruno Villar

Vamos agora encontrar a interseco dos conjuntos.

Podemos observar que o espao L e N no foi fornecido, mas pode ser cal-

Falta encontrar o espao somente M. Agora, iremos subtrair o total de elementos pelos elementos utilizados. 200 escolheram pelo menos um livro.

M = 200 - 15 - 60 - 10 - 5 - 10 - 20 = 80

Concluso:

Somente L - 10.

Somente M = 80.

Somente N == 20.

Somente L e M = 5.

Somente L e N = 60.

Somente M e N = 10.

Os trs livros = 15.


1) Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M.

Item errado, foram 5.

2) Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros.

Nesse caso, devemos somar todos que usaram somente L ou somente M ou somente N.Resultado: 10 + 80 + 20 =110, item certo.

3) Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros.

Nesse caso, pelo menos 2, podem ser 2 ou 3 livros.Resultado: 5 + 60 + 10 + 15 = 90. Item certo.

4) O nmero de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105.

Nesse caso, todos que usaram o livro M. Se fosse somente M a resposta seria 80. Resultado: 80+ 5 + 10 + 15 = 110. Item errado.

Treinamento do concursando

1. (CESPE) Suponha que, dos usurios da Internet no Brasil, 10 milhes naveguempor meio do Internet Explorer, 8 milhes, por meio do IVJoziila e 3 milhes, por ambos, Mozilla e Internet Explorer. Nessa situao, o nmero de usurios que navegam pelo Internet Explorer ou pelo R/Jozilia igual a 15 milhes.

2. Em uma cidade h apenas trs jornais: X, Y e Z, Uma pesquisa de mercado sobrea preferncia de leitura da populao da cidade revelou que: 150 leem o jornal X; 170 leem o jornal Y; 210 leem o jornal Z; 90 no leem jornal algum; 10 leem os trs jornais; 40 leem os jornais X e Y; 30 leem os jornais X e Z; 50 leem os jornais Y e Z . O total de pessoas entrevistadas foi 510. y .

3. Considere que um conjunto de empregados de uma empresa tenha respondidointegralmente ao teste apresentado e tenha sido verificado que 15 deles fizeram uso da opo s vezes", 9 da opo raramente e 13 da opo sempre. Alm disso, 4 desses empregados usaram as opes s vezes" e "raramente, 8 usaram as opes s vezes e "sempre, 4 usaram as opes raramente e sempre, e 3 usaram s vezes, "sempre e raramente". Nessa situao, correto afirmar que menos de 30 empregados dessa empresa responderam ao teste.


4. Denota-se respectivamente por A e B o conjunto de todos os atletas da delegao olmpica argentina e brasileira em Atenas, e por M o conjunto de todos os atletas que iro ganhar medalhas nessas Olimpadas. O diagrama mais adequado para representar possibilidades de interseco entre os trs conjuntos :

< 0 2 3

O o >M

GABARITO

01 - c 02 - C

03 - C 0 -A 1 m


CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE

possve! esabelecer algumas regras que permitem verificar se umnmero natural qualquer divisvel por outro, de critrios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um nmero divisvel por 2 quando o0, 2, 4, 6 ou 8. Os nmeros divisveis por 2 pares.

1.540, 1.908.764...

Essas regras so chamadas

Exemplo: 22,

* Divisibilidade por 3

algarismo da unidade for so denominados nmeros

Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 3.

Exemplo: 123 divisvel por 3, pois 1+2+3 = 6, que divisvel por 3.


Um nmero divisvel por 4 quando o nmero formado pelos dois algarismos'da direita for divisvel por 4 ou terminar em 00.

Exemplo: 124 termina em 24, que divisvel por 4.


Um nmero divisvel por 5 quando o ltimo algarismo da unidade for 0 ou 5.

Exemplo: 15,.125, 1:050...


Um nmero divisvel por 6 quando for divisvel por 2 e 3 ao mesmo tempo.

Exemplo: 180 divisvel por 2 e por 3, logo tambm divisvel por 6.

12 MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno Vrilar

8 Dvisibilidade por 7

Para descobrir se um nmero divisvel por 7, devemos realizar o seguinte processo: (

Retirar o algarismo da direita e subtrair o dobro do algarismo da direita pelo nmero restante; se o resultado obtido for divisvel por 7, ento o nmero divisvel por 7.

Exemplo:245O ltimo algarismo da direita o cinco.24 - 2.5 = 24 - 10 = 14, que divisvel por 7.No esquea: dobrar multiplicar por 2.

Dvisibilidade por 9

Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 9.

Exemplo: 135 divisvel por 9, pois 1 + 3 + 5 = 9, que divisvel por 3.

Dvisibilidade por 10

Um nmero divisvel por 10 quando o ltimo algarismo da unidade for 0.

Exemplo: 120, 1.450.

Esses critrios servem de auxlio na parte de simplicao de frao.Simplificar dividir os termos de uma frao por um mesmo n

mero.

Exemplo: = -y8 4

Somente permitido simplificar em dupla, ou seja, dividir o nmero de cima e o de baixo por um mesmo nmero.

Exemplo: - l f l - = ^6 6 3


Como escolhemos os nmeros 14 e 6 para simplificar, o nmero 10 deve ser mantido, pois no h outro nmero para simplificar em dupla.


Para descobrir se um nmero divisvel por 11, devemos realizar o seguinte processo:

Retirar o algarismo da direita e subtra-lo do nmero restante; se o resultado obtido for divisvel por 11, ento o nmero divisvel por 11.

Exemplos:

a) 12112 1 = 11

b) 1331133 1 = 132

Se, ainda assim, voc no tiver certeza de que o nmero divisvel por 11, poder repetir o processo com o resultado obtido:

13213 - 2 = 11


Um nmero divisvel por 13 quando o qudruplo (4 vezes) do ltimo algarismo, somado ao nmero sem o ltimo algarismo, resultar em um nmero divisvel por 13. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 13.Este critrio semelhante quele dado antes para a divisibilidade por 7, com a diferena de que, nesse caso, utilizamos a soma em vez da subtrao.

Exemplo: 11711 + 4.7 = 11 + 28 - 3939 divisvel por 13, logo 117 divisvel por 13.



Um nmero divisvel por 15 quando for divisvel por 3 e 5 ao mesmo tempo. j

Exemplo: 180 divisvel por 3 e por 5, logo tambm por 15.

NMEROS PRIMOS

So nmeros que possuem apenas dois divisores: o 1 e o prprio nmero.

Exemplos de nmeros primos:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...

SE LIGUE!O nmero 2 o nico nmero primo par.O nmero 1 no primo.

Reconhecimento de nmero primo

Esse mtodo garante se o nmero primo ou no.

Exemplo:

O nmero 103 primo?

Vamos aprender o processo de reconhecer- se um nmero primo.

1. Passo: calcular a raiz quadrada do nmero.

V3 = 10O nmero 103 no possui raiz quadrada exata, logo, passou pela

primeira etapa.

2. Passo: dividir o nmero 103 pelos nmeros primos menores que 10 (resultado da raiz), os quais so: 2, 3, 5 e 7.


103 : 2 = No.O nmero 103 termina em 3, logo no divisvel por 2.

103 : 3 = No.A soma dos algarismos de 103 1 + 0

por 3.+ 3 = 4 e 4 no divisvel

103 : 5 = No.O nmero 103 termina em 3, logo no e divisvel por 5.

103 : 7 = No.10 - 2.310 - 6 = 4 4 no divisvel por 7.

Como o nmero 103 no divisvel por nenhum dos nmeros, ento podemos garantir que ele um nmero primo.

CONJUNTOS NUMRICOS

Conjunto dos nmeros naturais (N)

Os nmeros naturais so usados para quantificar e ordenar os elementos de uma coleo e tambm como cdigo para identificar pessoas, bem como nmeros de telefones, RG etc. O conjunto dos nmeros naturais pode ser representado da seguinte maneira:

N = (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

SE LIGUE! |O conjunto dos nmeros naturais cobrado em questes que envolvem contagem de nmeros de pginas ou dias da semana. ;


1. (CEF-2004) Um livro tem 300 pginas, numeradas de 1 a 300. A quantidade de vezes que o algarismo 2 aparece na numerao das pginas desse livro :(A)160

16 MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Brvno W/ar

(B)154(C)150(D)142 {E)140

RESOLUO:De 1 a 99, o algarismo 2 aparece 20 vezes.Obs.: 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25/26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.

Vamos dividir o intervalo de 1 a 300 em centenas.1 a 99 = 20100 a 199 = 20200 3 299 = 100 + 20 = 120

Cuidado: no intervalo de 200 a 299, temos 100 nmeros e o algarismo 2 vem semprena primeira posio, por isso aparece 100 vezes.No podemos esquecer de que o algarismo 2 tambm vai aparecer na segunda eterceira posies {200 a 299), logo mais 20 vezes.

Resposta: 20 + 20 + 120 = 160.

2. (TRF/FCC) Um tcnico, responsvel pela montagem de um livro, observou que, na numerao de suas pginas, haviam sido usados 321 algarismos. O nmero de pginas desse livro era:(A) 137(B)139(C)141(D)143(E)146

RESOLUO:

Nmeros Quantidade de algarismos

a 9 (9 nmeros de um algarismo) 1 .9 = 9

10 a 99 {90 nmeros de dois algarismos) 2 . 90 = 180

Podemos concluir que utilizamos 180 algarismos para escrever 99 nmeros (1 a 99).Se escrevermos at o nmero. 99, ento o prximo nmero ser 100; passaremos, assim, a usar 3 algarismos em cada nmero.

rCap. 1 - CONJUNTOS 17

Tnhamos 321 e gastamos 189, logo: 321 - 189 = 132.No esquea de que agora iremos escrever nmeros de 3 algarismos (100,101,102...) , ;

x nmero de 3 algarismos.

3.x = 132 'x= 132 = 4 4

344 nmeros de 3 algarismos.

Resposta: 99 + 44 = 143.

SELiGUE! -A frmuia : o nmero de algarismos do nmero vezes a quantidade de nmeros, sendo o resultado o total de algarismos.Exemplo:De 10 a 99 temos 90 nmeros de 2 algarismos cada.2 . 90 = 180 (total de algarismos utilizados).

3. (FCC) Se o dia 08 de maro de um certo ano foi uma tera-feira, ento o dia 30 de juiho desse mesmo ano foi{A} uma quarta-eira.(8) uma quinta-feira.(C) uma sexta-feira.(D) um sbado.{) um domingo.

RESOLUO:

Tera Quarta Quinta Sexta Sbado j Domingo Segunda1 ; 2 3 4 5 . 1 6 7

Maro: 24 (contando dia 8)Abrii: 30Maio: 31Junho: 30Julho: 30Total de dias = 145

18 MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

Vamos dividir 145 por 7, pois a semana tem 7 dias.145 1.7 v05 205 ! .

Nesse caso temos 20 semanas e 5 dias.O dia 5 representa o sbado pela tabela iniciai. Resposta: letra D.


1. (TRT 6.a regio - 06) Se X o menor nmero natural que tem cinco algarismose Y o maior nmero natural que tem quatro algarismos distintos, a diferena X - Y um nmero:(A) divisvel por 4(B) mltiplo de 6(C) maior que 150(D) quadrado perfeito(E) primo

2. (TRF) Um tcnico, responsvel pela montagem de um iivro, observou que, nanumerao de suas pginas, haviam sido usados 225 algarismos. O nmero de pginas desse livro era:(A) 111(B) 124(C) 141(D) 143(E) 146

3. (TRF-1.3 REGIO-2006) Assinale a alternativa que completa a srie seguinte:C3, 6G, L10, ...(A) C4(B) 13M(C) 91(D) 15R(E) 6Y

4. (CEF) No diagrama abaixo tem-se o algoritmo da adio de dois nmeros naturais,no qual alguns algarismos foram substitudos pelas letras X, Y, Z e W.1 2 X 5 Y + Z 3 0 21 7 4 W 1

Cap. 1 - CONJUNTOS 19I

Determinando-se; esses algarismos para que a soma seja verdadeira. Verifica-se que(A) X + Z = W(B) Y - W = X(C) X = 2(D) Y = 8(E) Z = 4

5. (INSS) Um motorista parou em um posto para abastecer seu caminho com leodiesel. Ele pagou com uma nota de R$ 100,00 e recebeu R$ 5,75 de troco. Se o litro do leo diesel custava R$ 1,45, quantos litros ele comprou?(A) 55(B) 58(C) 65(D) 75

20 MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno Wlar

(B) par.(C) divisvel por 3.(D) mitiplo de 7.(E) quadrado perfeito

9. (FCC) X9 e 9X representam nmeros naturais de dois algarismos. Sabendo-se que X9+9X-10Q o nmero natural de dois algarismos ZW, correto dizer que Z - W igual a(A) 5(B) 4(C) 3(D) 2(E) 1

10. (PM-2007) Uma lesma encontra-se no fundo de um poo de 15 metros de profundidade. Suponha que durante o dia ela suba exatamente 3 metros e noite, quando est dormindo, ela escorrega exatamente 1 metro pela parede do poo* Nessas condies, quantos dias essa lesma levaria para ir do fundo ao topo desse poo?(A) 10(B) 9(C) 6(D) 7


(D) 87(E) 54

13. (TRT 4.a regio - 06) Seja N um nmero inteiro cujo produto por 9 iguai a um nmero natural em que todos os afgarismos so iguais a 1. A soma dos algarismos de N :

(A) 27(B) 29(C) 33(D) 37(E) 45

14. (PM-20G7) Observe que na sucesso seguinte, os nmeros foram colocados obedecendo a uma lei de formao:

4 8 S X 7 14 11

4 12 10 y 28 84 82

Os nmeros X e Y, obtidos segundo essa lei, so tais que X + Y igual a(A) 40(B) 42(C) 44 (O) 46(E) 48

15. (TRT FCC 2006) Se um Hvro tem 400 pginas numeradas de 1 a 400, quantas vezes o algarismo 2 aparece na numerao das pginas desse livro?

(A) 160(B) 168(C) 170(D) 176(E) 180

GABARITO

1 - A 2 - A 3 - D

4 - A 5 - C 6 - D

7 - D 8 - E 9 - E

10 - C 11 - C 12 - C

13 - D 14 - A 15 - E

22 MATEMTICA E RACIOClNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

Conjunto dos nmeros inteiros (Z)

Os nmeros inteiros - que podem ser: positivos ou negativos - so usados para reprejsentar ganhos ou perdas, para representar o oposto de um nmero ou o sentido contrrio que se deve dar a uma dada trajetria.

O conjunto dos nmeros inteiros podei ser representado assim:Z = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,

Subconjuntos de Z

Conjunto dos nmeros inteiros no nulosZ* = -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos nmeros inteiros no negativosZ = {0, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos nmeros inteiros positivos Z \= {1, 2, 3, ...}

Conjunto dos nmeros inteiros no positivos Z- {, -3, -2, -1, 0}

Conjunto dos nmeros inteiros negativos Z-* = -3, -2, -1}

Operaes com nmeros inteiros

A) Adio de nmeros inteiros.

A .l) Nmeros com sinais iguais.Nesse caso conserva-se o sinal e somm-se os nmeros.

Exemplos:5 + 3 = 8 -4 - 3 = -7 -12 - 25 = -37


Voc deve se perguntar: menos com menos no mais? Essa regra s utilizada na multiplicao ou diviso de nmeros inteiros.

A.2) Nmeros com sinais diferentes.Nesse caso conserva-se o sinal do nmero maior e efetua-se a sub

trao dos nmeros.

Exemplos:5 - 3 = 2 -4 + 2 - -2 |12 - 35 = -23

B) Multiplicao ou diviso de nmeros inteiros

Nesse caso lisamos o quadro de sinais:

~ - = +

- + = -

Exemplos:3.4 '124. (-7) = -28 (-12).(-3) = 36

positivo e, com sinais di-Resumo: com sinais iguais, o resultado ferentes, o resultado negativo.

Conjunto dos nmeros racionais (Q)

Os nmeros racionais (Q) podem ser representados em forma fracionria ou decimal, so usados em problemas que envolvem as partes de um todo, um quociente, a razo entre dois nmeros inteiros etc.

Chama-se de nmero racional todo nmero que pode ser colocado na forma de frao p/q, com p Z, q Z*.


:|'Todo nmero inteiro racional.Ex: -2, -5, 0, 1, 2.

*Todo nmero- decimal exato racional.Ex: 0,5 racional, pois pode ser colocado na forma 5/10.

*Todo nmero decimal peridico racional.Ex: 0,444=4/9 0,5555=5/9

*Dica: Transformar uma dzima peridica em fraao.

A) Dzima peridica simples.Nesse caso, para cada algarismo do nmero que se repete embaixo

colocamos um 9.

a) 0,444...Nessa dzima, temos apenas um algarismo que se repete, o 4.0 444 ^U * 7 T T -----

9

b) 0,243243243243...Nessa dzima, temos trs algarismos que se repetem.

0,243243243243... = M L 999

B) Dzima peridica composta.nmero pnp

Nesse caso devemos usar a frmula: ^----- qPP PP

PNP: parte no peridica, ou seja, no se repete.PP: parte peridica, isto , se repete.

Para cada algarismo que se repetir colocamos um 9 e para cada algarismo que no se repetir colocamos um 0.

Exemplos:

a) 0,45555...

C ap .1-C O N JU N TO S 25

0 algarismo que se repete o 5; parando no primeiro algarismo, temos o nmero 45 formado.

1 PP e 1 PNP

4 5 - 4 ^ 90 90

b) 0,2434343...O nmero que se repete o 43, logo o nmero formado 243.2 PP e 1 PNP

2 4 3 -2 = 241 990 990

c) 0,21424242...O nmero que se repete o 42, logo o nmero formado 2142.2 PP e 2 PNP

2142-21 = 2121 9900 9900

Conjunto dos nmeros Irracionais (I ou Q)

Os gregos antigos reconheciam uma espcie de nmero que no nem inteiro nem fracionrio, posteriormente identificado como irracional.

Qual o resultado da operao

4 l + V3= V5 Errado

j l . S = 46 Certo

Conjunto dos nmeros reais (R)

De forma mais abrangente a esse universo de conjuntos numricos, temos o conjunto dos nmeros reais. O conjunto dos nmeros reais formado pela unio dos racionais com os irracionais. R = Q u Q \

26 MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno VMar

Treinamento final do captulo

1. (CEF CESGRANRIO 2008) Escrevendo-se todos os nmeros inteiros de 1 a 1111,quantas vezes o [algarismo 1 escrito?(A) 481(B) 448(C) 420(D) 300(E) 289

2. (CEF FCC 2004) Uma pessoa, ao efetuar a multiplicao de 2 493 por um certonmero inteiro, encontrou o produto 668 124. S ento notou que, ao copiar os nmeros para efetuar a operao, ela trocou, por engano, o algarismo das dezenas do multiplicador, escrevendo 6 aoj invs de 3. Assim, o verdadeiro produto seria(A) 643 194(B) 618 264(C) 598 274(D) 593 334(E) 568 404

3. Considere um nmero N com exatamente dois algarismos diferentes de zero, eseja P o conjunto de todos os nmeros distintos de dois aigarismos formados com os algarismos de N, incluindo o prprio N. A soma de todos os nmeros do conjunto P, qualquer que seja N, divisvel por(A) 2(B) 3(C) 5 (0) 7(E) 11

4. (FCC) Sendo x e y nmeros naturais, o resultado da diviso de x por y, obtidocom auxlio de uma calculadora, foi a dt2ima peridica 3,333.Dividindo-se y por x nessa calculadora, o resultado obtido ser igual a(A) 1,111...(B) 0,9(C) 0,333...(D) 0,3(E) 0,111...

5. (FCC TRF 2006) Ao dividir o nmero 762 pon um nmero inteiro de dois algarismos, Natanael enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como resultado, obteve o quociente 13 e o resto 21. Se no tivesse se enganado e efetuasse corretamente a diviso, o quociente e o resto que ele obteria seriam, respectivamente, iguais a(A) 1 e 12


(B) 8 e 11(C) 10 e 12(D) 11 e 15(E) 12 e 11

6. (FCC) Observe a seqncia de contas:

1 2 + 3 . 5 - 1 = 1 6

2 2 - 4 . 5 - 2= -20

3 2 + 5 . 5 - 3 = 244 2 - 6 . 5 - 4 -32

5 2 + 7 . 5 - 5 = 32

Mantendo-se o padrao indicado, o resultado da conta correspondente linha 437 ser

(A) 1934(B) 1782(C) 1760(D) 1750(E) 2630

7. (FCC) O nmero i 0,0202 pode ser lido como(A) duzentos e dois milsimos.(B) duzentos e dois dcimos de milsimos.(C) duzentos e dois centsimos de milsimos.(D) duzentos e dois centsimos.(E) duzentos e dois dcimos de centsimos.

8. (CESGRANRIO) Observando o calendrio de um certo ano, Gabriel percebeu que havia dois mess consecutivos que totalizavam 60 dias, Se esse ano comea em uma segunda-feira, ento termina em uma i(A) segunda-feira.:;(B) tera-feira.(C) quarta-feira.(D) quinta-feira.(E) sexta-feira.

9. (CESGRANRIO) Os anos bissextos tm, ao contrrio dos outros anos, 366 dias. Esse dia a mais colocado sempre no final do ms de fevereiro, que, nesses casos, passa a terminar no dia 29. O primeiro dia de 2007 caiu em uma

/i


segunda-feira. Sabendo que 2007 no ano bissexto, mas 2008 ser, em que dia da semana comear o ano de 2009?(A) Tera-feira.(B) Quarta-feira, j(C) Quinta-feira.(D) Sexta-feira.() Sbado.

10. (FCC) A figura indica um quadrado de 3 linhas e 3 colunas contendo trs smbolos diferentes:

inha

coiuna

Sabe-se que:- Cada smboio significa um nmero;

- A soma dos correspondentes nmeros representados na 1.a linha 16;

- A soma dos correspondentes nmeros representados na 3.a coluna 18;

- A soma de todos os correspondentes nmeros no quadrado 39;

Nas condies dadas, o valor numrico do smbolo :

(A) 8


12. (FCC) Uma pessoa tem R$ 14,00 em sua carteira apenas em cdulas de 1, 2 e 5 reais, sendo menos uma de cada valor. Se X o total de cdulas que ela possui, quantos so os possveis valores de X?(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E)8

13. (FCC PM iViARANHAO 2006) Um refeitrio dispe de 102 lugares, alguns em mesas de 2 lugares e outros em mesas de 4 lugares. Se o nmero de mesas de 2 lugares um mltiplo de 7, ento o nmero total de mesas pode ser mltiplo de(A) 17(B) 15(C) 14(D) 10(E) 8

14. (TRT FCC 2006) Uma pessoa dispe apenas de moedas de 5 e 10 centavos, totalizando a quantia de R$ 1,75. Considerando que ela tem pelo menos uma moeda de cada tipo, o total de moedas que ela possui poder ser no mximo igual a(A) 28(B) 30(C) 34(D) 38(E) 40

15. De quantos modos possvel formar um subconjunto, com exatamente 3 elementos, do conjunto {1,2,3,4,5,6} no qual NAO haja elementos consecutivos?(A) 4(B) 6(C) 8(D) 18(E) 20

16. (ESAF) Em um grupo de 30 crianas, 16 tm olhos azuis e 20 estudam canto. O nmero de crianas deste grupo que tm olhos azuis e estudam canto (A) exatamente 16.(B) no mnimo 6.(C) exatamente 10.(D) no mximo 6.(E) exatamente 6.

30 MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno W/ar

17. (ESAF) X e Y so dois conjuntos no vazios; O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possu 256 subconjuntos. Sabe-se, tambm, que o conjunto Z = X H Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o nmero de elementos do conjunto P = Y - X igual a:(A) 4(B) 6(C) 8(D) vazio(E) 1

18. (ESAF) Uma escola de idiomas oferece apenas trs cursos: um curso de Alemo, um curso de Francs e um curso de Ingls. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar No corrente ano, 50% dos alunos esto matriculados no curso de Alemo, 30% no curso de Francs e 40% no de ingls. Sabendo-se que 5% dos alunos esto matriculados em todos os trs cursos, o nmero de alunos matriculados em mais de um curso igual a(A) 30(B) 10(C) 15(D) 5(E) 20

19. (ESAF) Qual a frao que d origem dzima 2,54646... em representao decimal?(A) 2.521 / 990(B) 2.546 / 999(C) 2.546 / 990(D) 2.546 / 900(E) 2.521 / 999

GABARITO

1 - B 2 - D 3 - E

4 - D 5 - C 6 - C

7 - 8 8 - B 9 - C

10 - E 11 - D 12 - B

13 - D 1 4 - C ; 15 - A

1 6 -B 17 - B 18 - A

1 9 - A

MLIIPliOS E DIVISORES

MINIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.)

O M.M.C. o menor mltiplo comum de dois ou mais nmerosnaturais, diferentes de zero.

Exemplo: Mltiplos de Mltiplos de

4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24...}6 = {6, 12, 18, 24, 30...} |:

O M.M.C. 12 (menor mltiplo comum)

Clcuo do M.M.C. - Mtodo simplificado

Objetivo: procurar nmeros comuns.

L) Calcule p M.M.C. dos nmeros abaixo:

A) 2 e 3

2, 3

1, 31, 1

Processo prtico.Existe algum nmero que divide 2 e 3 ao mesmo tempo?

32 MATEMTICA E RACIOCNIO LG1CO QUANTITATIVO - Bruno Viiiar

Se a resposta for no, ento o M.M.C. o produto desses nmeros. Logo, o M.M.C. de 2 e 3 6 (2.3 = 6).

B) 5 e 8 Existe algum nmero que divide 5 e 8 ao mesmo tempo?

'No! Logo, o M.M.C 5.8 = 40.

C) 4 e 10

4, 10 2

2, 5

Existe algum nmero que divide 4 e 10 ao mesmo tempo?Sim! O nmero 2. Nesse caso, continuamos a diviso, pois temos

um nmero comum.

Existe algum nmero que divide 2 e 5 ao mesmo tempo? No!Logo o M.M.C. 2.2.5 = 20.

Obs.: Como no h nmero comum para 2 e 5, e pelo outro nmero2 ser comum, podemos dizer que o M.M.C. ser o produto dos termos comuns com os termos que no so comuns.

D) 100 e 120Nesse caso, podemos cortar o nmero 0, pois ambos os nmeros

terminam em 0.

Existe algum nmero que divide 10 e 12 ao mesmo tempo? Sim! O nmero 2.

10, 12

5, 6

Existe algum nmero que divide 5 e 6 ao mesmo tempo?No! No h nmero comum (no esquea de que realizamos o

processo at encontrar os nmeros que no possuem nmero divisvel comum).

Cap. 2 - MLTIPLOS E DIVISORES 33

M.M.C = 2.5.6 = 60, porm o M.M.C. 600 (acrescentando no final o algarismo 0, que foi cortado inicialmente).

E) 6, 8 e 10No caso de termos trs nmeros, devemos procurar os nmeros co

muns em dupla.

Existe algum nmero que divide 6 e 8 ao mesmo tempo?Sim! O nmero 2.

6, 8, 10

3, 4, 5

Existe algum nmero que divide 3 e 4 ao mesmo tempo? No!



Logo o M.M.C. 3.4.5.2 = 120.

Problemas envolvendo o M.M.C.

Os problemas que envolvem o M.M.C. possuem as seguintes caractersticas:

- Situao repetitiva (cclica), isto , mantm o padro.

- Afirma um encontro e pergunta sobre o prximo encontro.

Treinamento com entado

1. (TRT 24.a regio - 03) Numa frota de veculos, certo tipo de manuteno feita no veculo A a cada 3 dias, no veculo B a cada 4 dias e no veculo C a cada6 dias, inclusive aos sbados, domingos e feriados. Se no dia 2 de junho de 2003 foi feita a manuteno dos trs veculos, a prxima vez que a manuteno dos trs ocorreu no mesmo dia foi em:(A) 05/06/03(B) 06/06/03


(D) 14/06/03(E) 16/06/03

RESOLUO:Situao repetitiva: cada 3, cada 4 e cada 6 dias.

3, 4 e 6

Existe algum nmero que divide 3 e 4 ao mesmo tempo? No!Existe agum nmero que divide 4 e 6 ao mesmo tempo? Sim! O nmero 2.

3, 4, 6 23, 2, 3

No conta o nmero repetido, logo consideramos apenas 2 e 3.


M.M.C = 2.2.3 = 12 dias.02/06 + 12 dias = 14/06. .

Resposta: letra D. : v

2. (FCC) Vivaldo costuma sair com duas garotas: uma a cada 6 dias e a outra a cada 9 dias. Quando as datas coincidem, ele adia os encontros com ambas para 6 e 9 dias depois, respectivamente. Se em 18/05/98 ele adiou os encontros com duas, em virtude da coincidncia das datas, a prxima vez que eie teve de adiar os encontros foi em:(A) 15/06/98(B) 12/06/98(C) 10/06/98(D) 06/06/98(E) 05/06/98

RESOLUO:Situao repetitiva. "

6, 9


6, 9 3 : A .2, 3 :

rCap. 2 - MLTIPLOS E DIVISORES 35


M.M.C = 2.3.3 = 18 dias. * '18/05 + 18 = 36/05, porm maio s tem 31 dias. Logo estamos em 05/06 (36-37 = 5)

Cuidado: Devemos observar se o ms de 30 ou 31 dias!Resposta: letra E.

3. (FCC) Sistematicamente, Fbio e Cintia vo a um mesmo restaurante: Fbio a cada 15 dias e Cntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provvel encontro dos dois nesse restaurante acorrer em:(A) 9 de dezembro: de 2004(B) 10 de dezembro de 2004(C) 8 de janeiro de 2005(D) 9 de janeiro de 2005 () 10 de janeiro de 2005

RESOLUO:Situao repetitiva,

15 e 18


15, I8|35 6


M.M.C. = 3.5.6 = 90 dias.

Fique esperto!90 dias no significam 3 meses, pois temos 30 e 31 dias.

Incio: 10/10/2004! + 3 (meses)10/01/2005

Outubro 1 Novembro 31 dias 30 dias

Dezembro Janeiro31 dias /


1

Temos 2 meses de -31 dias, por isso devemos retirar dois dias, isto , o excesso.

10/01/2005 y -2 (dias)08/01/2005

Resposta: letra C.

04. (PM-2006) A verificao do funcionamento de trs sistemas de segurana feita periodicamente: o do tipo A a cada 2 horas e meia, o do tipo B a cada 4 horas e o do tipo C a cada 6 horas, inclusive aos sbados, domingos e feriados. Se em 15/08/2001, s 10 horas, os trs sistemas foram verificados, uma outra coincidncia no horrio de verificao dos trs ocorreu em:(A) 22/08/2001 s 22 horas.(8) 22/08/2001 s 10 horas.(C) 20/08/2001 s 12 horas.(D) 17/08/2001 s 10 horas.(E) 15/08/2001 s 22 horas e 30 minutos.

RESOLUO:Situao repetitiva.Nesse caso temos que transformar o tempo, pois no podemos calcular o M.M.G de 2h30 (duas horas e meia).

A - 2h e 30 = 150 minutos B = 4h = 240 minutos C = 6h = 360 minutos

150,240,360Temos todos os nmeros terminando em 0, logo podemos calcular com 15, 24 e 36.

15, 24 e 36

Existe algum nmero que divide 15 e 24 ao mesmo tempo? No!Existe aigum nmero que divide 15 e 36 ao mesmo tempo? NolExiste algum nmero que divide 24 e 36 ao mesmo tempo? Sim! O nmero 12.

15, 24 36125, 2, 3|

Csp. 2 - MLTIPLOS E DiVISORES 37




M.M.C = 5.2.3.12 = 360 (no esquea de colocar 0 no finai). Sendo assim, 3600. 3600 minutos = 60 horas = 2 dias e 12 horas.

incio: 15/08/2001, s 10 horas

15/08/2001 s 10 horas2__________ _1217/08/2001 s 22h

No temos essa resposta, e agora? Tenha calma, pois a questo no pediu o prximo encontro, que seria essa resposta, e sim pediu outra coincidncia. Por isso devemos jogar dois dias e 12 horas at encontrar uma alternativa.

17/08/2001 s 22h +2__________+1219/08/2001 34h, o dia s tem 24 horas. Logo estamos em: 20/08/2001 slOh.

Novamente no temos essa alternativa!

20/08/2001 s 10 h.+2_______________________ -1-12

22/08/2001 s / 22h

Agora temos a resposta, letra A.

5. Um executivo querendo se organizar, precisa agrupar uma srie de pastas que esto em seu poder. Percebese que se montar grupos de 3 pastas, fica 1 sobrando, caso agrupe de 4 em 4 pastas, sobram 2. Montando grupo de 5 pastas, restam 3 e, caso agrupe de 6 em 6 pastas, restam 4. Quantas pastas tem o executivo, sabendo-se que so menos de 100?(A) 56(B) 57(C) 58(D) 59(E) 60

38 MATEMTICA E RACIOClNiO LGICO QUANTJTATiVO - Bruno Villar

RESOLUO:3 em 3 pastas sobra 1

4 em 4 pastas sobram 2



Podemos observar que para completar o grupo precisamos de 2 pastas.3 -1= 2

4-2 = 2

5-3 - 2

6-4 = 2

x + 2 mltiplo de (3, 4, 5, 6) = 60.

x + 2 = 60

x 60 - 2

x = 58

6. Quantos mltiplos de 3 ou 7 temos de 1 a 1000?

RESOLUO:Devemos ter cuidado, pois precisamos calcular a quantidade de mltiplos de 3, 7 e21 (M.M.C. de 3 e 7)

n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n B)

Mltiplos de 31000 : 3 = 333 mltiplos de 3.

Mltiplos de 7 ..1000 : 7 = 142 mltiplos de 7. '

Mltiplos de 21 (o elemento comum)1000:21 =47 mltiplos de 21.

Resposta: 333 + 142 - 47 = 428.



1. (TTN) Numa corrida de automveis, o primeiro corredor d a volta completa napista em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas tero dado cada um, at o momento em que passaro juntos na linha de chegada?(A) 66, 60, 55(B) 62, 58, 54(C) 60, 55, 50(D) 60, 45, 40(E) 40, 36, 32

2. Numa pista circular trs ciclistas saem juntos d um mesmo ponto. O primeirocompleta cada volta em: 1 min 30 segundos, o segundo em 1 min 40 segundos e o terceiro, em 1 min 50 segundos. O tempo gasto pelos trs ciclistas para se encontrarem novamente de(A) 2h 20min(B) 2h 25min(C) 2h 35min {D} 2h 40min(E) 2h 45min

3. (FCC) Uma determinada cidade realiza periodicamente duas festas: a festa dauva e a festa do tomate. A festa da uva acontece a cada 15 meses e a festa do tomate, a cada 18 meses. Se as duas aconteceram juntas em abril de 1998, ento quando elas acontecero novamente?(A) 10/1998(B) 6/2005(C) 8/2004(D) 10/2005(E) 10/2004

4. (PM-2001/ FCC) Trs policiais trabalham no regime de planto. Jos tira um planto de 6 em 6 dias, Flavo de 8 em 8 dias e Felipe de 10 em 10 dias, inclusive sbado, domingos e feriados. Se no dia 12/06/02 eles trabalharam juntos, a prxima coincidncia de datas em seus plantes ser, novamente, em:(A) 12/10/2002(B) 10/10/2002(C) 11/08/2002(D) 12/08/2002(E) 12/12/2002

5. Em uma caixa h um certo nmero de laranjas. Se contarmos as laranjas de 12em 12, de 20 em 20, ou de 25 em 25, encontraremos sempre o mesmo nmero de laranjas. Qual a menor quantidade possvel de laranjas que h na caixa?(A) 120

40 MATEMTICA E RACiOClNiO LGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil!ar

(B) 220(C) 300(D) 420(E) 600

6. (TRE) Um mdico receitou dois remdios a um paciente: um para ser tomado -a cada 12 horas e outro a cada 15 horas. Se s 14 horas no dia 10/10/2000o paciente tomou ambos os remdios, ele voltou a tom-los juntos novamente s:(A) 17h do dia 11/10/2000(B) 14h do dia 12/10/2000(C) 18h do dia 12/10/2000(D) 2h do dia 13/10/2000(E) 6h do dia 13/10/2000

7. (TJ) Dois vigilantes de um prdio pblico fazem ronda, um em cada bloco, respectivamente em 10 e 12 minutos. Se ambos iniciaram a ronda s 18 horas, daro inicio nova ronda, simultaneamente, s:(A) 19h e 30(B) 19h(C) 20h e 30(D) 21h(E) 21h e 30

8. Trs funcionrios fazem plantes nas sees em que trabalham: um a cada 10dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sbados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os trs estiveram de planto, a prxima data em que houve coincidncia no dia de seus plantes foi:(A) 18/11/02(B) 17/09/02(C) 18/08/02(D) 17/07/02(E) 18/06/02

9. Alberto foi ao mdico e este lhe receitou quatro medicamentos, A, B C e D, quedevem ser tomados da seguinte forma: O medicamento A deve ser tomdo de 3 em 3 horas, o medicamento B de 6 em 6 horas, o medicamento C de 5 em 5 horas, e o medicamento D de 4 em 4 horas. Se Alberto tomou todos os medicamentos juntos, s 10 horas da manh de uma sexta-feira, quando estar ingerindo todos os medicamentos juntos novamente?(A) s 10 horas da manh de domingo.(B) s 10 horas da noite de domingo.(C) s 10 horas da manh de segunda-feira.(D) s 10 horas da noite de segunda-feira.(E) s 12 horas da manh de tera-feira.


10. Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho d uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul d uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas ter dado o mais lento at o momento em que ambos voltaro a estar lado a lado no ponto de partida?(A) 6(B) 7(C) 8(D) 9(E) 10

GABARITO

01 - A 02 - E 03 - A0 4 - 8 05 - C 06 - E

0 7 - 8 08 - E 09 - B10 - D

MXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)

Divisor de um nmero natural no nulo.E o nmero natural que o divide exatamente.

Exemplo:2 divisor de 8 ou 8 divisvel por 2 .

Todo nmero inteiro no nulo divisvel por 1 e ele mesmo, porisso todo nmero possui pelo menos dois divisores.

Dois nmeros naturais (diferentes de zero) sempre tm divisores comuns, sendo o M.D.C. o maior divisor comum entre eles.

Exemplo:M.D.C. (6 , 12) = 6 .M.D.C. (4, 10) = 2.

Clculo do M.D.C.*

Dica: utilizar apenas nmero comum, Isto , que divide todos os nmeros ao mesmo tempo.


FIQUE LIGADO!No M.M.C buscamos um nmero que divida pelo menos a dupia, porm no M.D.C s pode ser utilizpdo um nmero qe divida todos os nmeros ao mesmo tempo.

1.) Calcule o M.D.C. dos nmeros abaixo.

A) 36 e 90Procurar um nmero que divida 36 e 90 ao mesmo tempo.Existe algum nmero que divide 36 e 90 ao mesmo tempo? Sim! O

nmero 18.

36, 902, 5

18

Existe algum nmero que divide 2 e 5 ao mesmo tempo? No! No M.D.C. s multiplicamos os termos comuns.Nesse caso o M.D.C. 18.

B) 72 e 120Existe algum nmero que divide 72 e 120 ao mesmo tempo? Sim!

O nmero 6 .Obs.: Vamos utilizar nmeros comuns menores. Quanto maior for o

nmero comum utilizado, menor ser a conta.

72, 120 12, 20Existe algum nmero que divide 12 e 20 ao mesmo tempo? Sim! O

nmero 4.

12, 203, 5

Existe algum nmero que divide 3 e 5 ao mesmo tempo? No! M.D.C. = 6.4 = 24.Obs.: 6 e 4 so nmeros divisveis comuns.

Cap. 2 - MLTIPLOS E DIVISORES 43rC) 121 e 143Existe algum nmero que divide 121 e 143 ao mesmo tempo? Sim!

O nmero 11.Obs.: Se tiver dificuldade de encontrar o

meros primos, usando os critrios de divisibilidade.

11 I

nmero, comece pelos n-

121, 14311 13

Existe algum nmero que divide 11 e 13 Nesse caso o M.D.C. 11.

D) 15, 20 e 45Existe algum nmero que divide 15, 20 e

O nmero 5.

15, 20, 45 3, 4, 9

Existe algum O M.D.C. 5.

ao mesmo tempo? No!

45 ao mesmo tempo? Sim!

nmero que divide 3, 4 e 9 ao mesmo tempo? No!

E) 5 e 7Existe algum nmero que divide 5 e 7 a mesmo tempo? No!O M.D.C. ser 1 (pois todos os nmeros so divisveis por 1,

ento quando os ser 1).

Problemas

nmeros no possurem o divisor comum, o M.D.C

NOO: . 'Os problemas envolvendo M.D.C so sobre diviso de coisas ou objetos de tamanhos diferentes em partes iguais e no maior tamanho possvel.


FIQUE ESPERTO!H questes que escrevem "menor quantidade" no lugar de "maior tamanho possvel". Lembre-se: para que a quantidade seja a menor possvel, o tamanho deve sero maior possvel]Nas questes de M.D.C. s temos duas perguntas sobre elemento (tamanho ou

-quantidade) ou sobre arrumao (quantidade de iotes, caixas etc.).


1. (Pr-tcnico) Cortando-se dois fios de 345m e 330m em pedaos iguais e do maior tamanho possvel, o nmero de pedaos obtidos :(A) 15(B) 22(C) 35(D) 38(E) 45

RESOLUO:Diviso de coisas de tamanhos diferentes em partes iguais e no maior tamanho possvel.

330 e 345

Existe algum nmero que divide 330 e 345 ao mesmo tempo? Sim! O nmero 5. :

330, 345 5 66, 69


66, 69 3 \ ' ;22, 23

Existe algum nmero que divide 22 e 23 ao mesmo tempo? Nol

O M.D.C 3.5 = 15.

15 o tamanho de cad pedao.Porm, como a questo pediu a quantidade de pedaos, a resposta 22 + 23 =45.

Cap. 2 - MLTIPLOS E DIVISORES 45rSE LIGUE!Os nmeros que no possuem divisor comum representam a quantidade de pedaos.

Resposta: 45, pois a questo pediu o total de pedaos. Letra E.

2. Duas tbuas devem ser cortadas em pedaos de mesmo comprimento, sendo esse comprimento o maior possvel. Se uma tbua tem 90 centmetros e a outra tem 126 centmetros, quai deve ser o comprimento de cada pedao se toda a madeira deve ser aproveitada?(A) 36 cm(B) 12 cm(C) 18 cm(D) 9 cm(E) 90 cm

RESOLUO:90 126Existe algum nmero que divide 90 e 126 ao mesmo tempo? Sim) O nmero 6.

90, 126 15, 21

Existe agum nmero que divide 15 e 21 ao mesmo tempo? Sim! O nmero 3.

15, 2135, 7

Existe agum numero que divide 5 e 7 ao mesmo tempo? No!

M.D.C = 6.3 = 18. .Quantidade de pedaos: 5 + 7 = 12.

Resposta: 18 (tamanho de cada pedao). Letra C.

3. (T.R.E) Uma repartio pblica recebeu 143 microcomputadores e 104 impressoras para distribuir a algumas de suas sees. Esses aparelhos sero divididos em lotes, todos com igual quantidade de aparelhos. Se cada lote deve ter um nico tipo de aparelho, o menor nmero de lotes formados dever ser:(A) 8

46 MATEMTICA E RAClOClNiO LGiCO QUANTITATIVO - Brvno Villar

(B) 11(C) 19(D) 20(E) 21

RESOLUO:104 e 143Existe algum nmero que divide 104 e 143 ao mesmo tempo? Sim! O nmero 13.

104, 1 4 311, 8

13

O total de lotes : 11 + 8 -1 9 . Resposta: letra C.


1. (T.R.T) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidosde analgsico e 156 comprimidos de antibiticos. Dever distribu-ios em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possvel de um nico tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes devero receber a mesma quantidade de medicamento, o inmero de recipientes necessrios para essa distribuio :(A) 24(B) 16(C) 12(D) 8(E)4

2. (TRE-BA) Todos os funcionrios de um Tribunal devem assistir a uma palestrasobre Qualidade de vida no trabalho", que ser apresentada vrias vezes, cadavez para um grupo distinto. Um tcnico foi incumbido de formar os grupos,obedecendo aos seguintes critrios:

- todos os grupos devem ter igual nmerp de funcionrios;- em cada grupo, as pessoas devem ser do mesmo sexo;~ o total de grupos deve ser o menor possvel.

Se o total de funcionrios composto de 225: homens e 125 mulheres, o nmero de palestras que deve ser programado (A) 10(B) 12(C) 14


(D) 18(E) 25

3. (FCC) No almoxarifado de,certa empresa havia dois tipos de canetas esferogrficas: 224 com tinta azu! e 160 com tinta vermelha, Um funcionrio foi incumbido de empacotar todas essas canetas do modo que cada pacote contenha apenas caneta com tinta de mesma cor. Se todos os pactes devem conter igual nmero de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poder obter ;

(A) 8(B) 10(C) 12(D) 14(E) 16

4. (TRT-SP) Dispe-se de dois lotes de boletins informativos distintos: um, com 336unidades, e outr, com 432 unidades. Um tcnico judicirio foi incumbido de empacotar todos os boletins dos lotes, obedecendo as seguintes instrues:

- Todos os pacotes devem conter a mesma quantidade de boletins;- Cada pacote deve ter um nico tipo de boletim;

Nessas condies, o menor nmero de pacotes que ele poder obter :

(A) 12(B) 16(C) 18(D) 24(E) 32

5. (VUNESP) Em um colgio de So Paulo, h 120 alunos na 1.a srie do EnsinoMdio, 144, na 2:.a e 60, na 3.a. Na semana cultural, todos esses alunos sero organizados em ; equipes com o mesmo nmero de elementos, sem que se misturem alunos de sries diferentes. O nmero mximo de alunos que pode haver em cada equipe iguai a(A) 7.(B) 10.(C) 12.(D) 28.(E) 30.

6. (VUNESP 2009) m um presdio h 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo nmero de integrantes, sendo esse nmero o maior possvel, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados(A) 5 grupos.(B) 8 grupos.(C) 10 grupos.

48 MATEMTICA E RACIOCNIO LGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(D) 12 grupos.(E) 13 grupos.

GABARITO

01 - A 02 - C 0 Ui 1 n

04 - B 05 - C 06 - A

FRAO

uma diviso de dois nmeros inteiros a e b, com b ^ 0 .

-7- ou a : b b

Temos: a = numerador e b = denominador

Noo de frao:

-;. " ' ' '

SE LIGUE!O numerador representa a quantidade de partes utilizadas. Por isso o numerador nesse caso 3, pois so 3 partes pintadas.O denominador representa o total de partes. Por isso o denominador 4, pois o quadrado foi dividido em 4 quadrados iguais.

Cuidado:

^ = indeterminao.

Cap. 2 - MLTIPLOS E DIVISORES 49r

Operaes de fraes

Adio ou subtrao

Adio ou subtrao de denominadores iguais.

Processo: Conservar o denominador e somar ou subtrair os numera- dores.

Adio ou subtrao de denominadores diferentes.

Processo:1. Tirar o M.M.C. dos denominadores.2 Colocar o resultado do M.M.C. no denominador da nova frao e

dividir o denominador da nova frao pelo denominador de cada frao. Multiplicar, ento, pelo numerador da respectiva frao.

1. Tirar o M.M.C. dos denominadores.M.M.C. de 5 e 8 = 40 (no possui divisor comum, logo o produto

deles o M.M.C.).

2. Colocar o resultado do M.M.C. no denominador da nova frao e dividir o denominador da nova frao pelo denominador de cada frao. Multiplicar, ento, o resultado pelo numerador da respectiva frao.

Exemplos:1 + 6 = 74 4 4

1 + 2 + 1 3 + 2 + 4 _ _35 55 5 5

8.2 + 5.3 16 + 15 3140 40 40

50 MATEMTICA E RACiOCiNIO LGICO QANTITATIVO - Brvno W/ar

CUIDADO:Nesse caso no cortamos o denominador, s cortamos o denominador quando estamos calculando uma equao fracionria.

Multiplicao

a.cb ' d b.d

Exemplos:

2 _ 3.2 7 5.7

6_

37

? ? 2.40 80 de 40 = 4 . 40 = ------ = =16.5 5 5 5

SE LIGUEIAs expresses do e de entre dois nmeros representam o sinal de multiplicao. Simplificao: Processo de diviso de uma frao peo mesmo nmero, isto , dividiro numerador e o denominador por um mesmo inmero.

2 , n 2.40 9 40 2.8 164 de 40= ----- rs - ---- - -1 6 .5 5 : 5 1 i

Antes de multiplicar verifique se possvel simplificar, pois diminui o clcuo.

Diviso

a_. c_ b ' d

d_ __ a.d c b.c

Processo: conservar a primeira frao e multiplicar pelo inverso da segunda.

1 = 217_ 4 3 *4

1.73.2

C ap .2 -M LTIPLOS E DIVISORES 51rTreinamento comentado

(TRT 6.3 regio2006) Certo dia, do total de documentos entregues em diferentes setores de uma unidade

52 MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno Viar

Tempo gasto: final - incio.

56 _ 48 _ 5 .56,-3 ,48 ^ 2 8 0 -1 4 4 _ 136T 5 15 15 15

J 36 [151 9 horas '

Numerador da frao.

Tempo gasto: 9h e h, ou seja, 9h e 4 minutos. 1 5 . ' :

Obs.: . 60 = ~ 4 minutos. No esquea: Ih = 60 minutos.15 15

9h e 4 minutos - lh e 50 mim (almoo) ~ 7h 'e i 4 minutos.

Resposta: letra C.

3. Uma torneira enche um tanque em 3 horas e outra torneira enche o mesmo tanque em 2 horas. Se as duas forem abertas juntas, em quanto tempo esse tanque ficar completamente cheio?(A) 40 minutos(B) 1 hora e 12 minutos(C) 2 horas(D) 2 horas e 15 minutos(E) 3 horas

RESOLUO:1.a opo:Como as torneiras gastam tempos diferentes para encher o mesmo tanque, ento, temos velocidades diferentes.Tendo como base 1 hora (a base ser o numerador e o tempo total o denominador da frao).

Torneira 1 :1 3

Torneira 2: J_2


6 h = 1 e I h = 1 hora e 12 minutos 5 56 [5_I 1

2.a opo:Essa frmula s pode ser utilizada para duas torneiras. Caso a questo envolva trs torneiras, aplicamos a frmula com duas e depois esse resultado com a torneira que sobrou.

4. Uma torneira capaz de encher um tanque por completo em 2 horas. A vlvula deste tanque capaz de esvazi-lo por completo em 5 horas. Estando0 tanque vazio, ambas foram abertas simultaneamente. Depois de 3 horas de funcionamento a vlvula entupia por completo. Aps o entupimento, o tanque transbordar em:(A) 20 minutos(B) 15 minutos(C) 12 minutos(D) 10 minutos(E) 6 minutos

RESOLUO:Nesse caso as torneiras trabalham juntas por 3 horas.

1 . I = 5 .3 -2 .3 _ 1 5 -6 _ 92 5 10 10 10

produto dos tempos soma dos tempos

2-3 = 6 h = 1h e 12 minutos

Porm, se uma torneira estiver enchendo e a outra esvaziando:

produto dos tempos diferena dos tempos


Logo falta para o tanque estar completo.

Velocidade . tempo = tanque cheio

bs.: ~ (o numerador a base {uma hora) e o denominador o tempo total da

torneira que enche). > '

i,= 2 10

Fazendo uma proporo temos:

lOt = 2

2 2 "120 ' t = h = . 60 ----- = 12 minutos.10 10 10

Resposta: letra C.

5. Trabalhando sozinho, Carlos construiria um muro em 15 dias. Tendo trabalhado apenas 1 dia, Carlos foi substituido por Pedro; que trabalhou sozinho 6 dias. Finalmente Carlos juntou-se a Pedro e, em mais 2 dias de trabalho conjunto, terminaram o muro. Em quanto tempo Pedro construiria o muro trabalhando sozinho?(A) 8 dias(B) 10 dias(C) 12 dias(D) 18 dias(E) 20 dias

RESOLUO:Carlos trabalhou um dia sozinho;

Pedro trabalhou seis dias sozinho;

Carlos e Pedro juntos mais 2 dois.

Concluso: Carlos trabalhou no total 3 dias e Pedro trabalhou 8 dias.

3 8Carlos: , Pedro: - , t representa o tempo sozinho.15 /


3 8 + - = i (muro completo) 15 /

3/ + 15.8 = 1.15/15/

3t + 120 = 15t 3t - 15t = -120 -12t = - l 20(-l)

12t= 120

Resposta: letra B.


1 . Uma torneira enche; um tanque em 9 horas e um ralo esvazia o tanque, comple-tamente cheio, em 12 horas. Se a torneira e o rafo forem abertos juntos, em quanto tempo esse tanque ficar completamente cheio?(A) 12 horas(B) 24 horas(C) 30 horas(D) 36 horas(E) 56 horas

2. Uma torneira enche um tanque em 2 horas, outra torneira enche, o mesmo tanque, em 3 horas e uma terceira torneira enche o mesmo tanque em 6 horas. Se as trs torneiras forem abertas juntas em quanto tempo esse tanque ficar completamente chio?(A) 30 minutos(B) 1 hora(C) 2 horas(D) 2 horas e 10 minutos(E) 3 horas

3. (TRT 22.a regio 04) Para encher um tanque com gua dispes-se de duas torneiras ! e II. Considere que, abrindo*se apenas l, o tanque estaria cheio aps 12 minutos, enquanto que il sozinha levaria 15 minutos para ench-lo. Assim sendo, se i e li fossem abertas simultaneamente, o tanque estaria cheio em:(A) 6 minutos e 10 segundos(B) 6 minutos e 15 segundos


(C) 6 minutos e 25 segundos(D) 6 minutos e 30 segundos(E) 6 minutos e 40 segundos

4. (TRF-2007) Trabalhando ininterruptamente, dois tcnicos judicirios arquivaramum lote de processo em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa

.em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado que o outro fosse capaz de realiz-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um perodo de:(A) 6 horas(B) 6 horas e 54 minutos(C) 6 horas e 54 minutos(D) 7 horas e 12 minutos(E) 8 horas e meia

5. (FCC) Trabalhando individualmente, o funcionrio A capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionrio B em 6 horas e o funcionrio C em 5 horas. Nessas condies, se trabalharem juntos na execuo dessa tarefa, o esperado que ela seja cumprida em, aproximadamente:(A) 1 hora e 40 minutos(B) 2 horas 2 minutos e 2 segundos(C) 2 horas e 20 minutos(D) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos(E) 2 horas e 54 minutos

6. (FCC) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos 5/18 de um dia eretornou sua casa decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de casa durante um perodo de:(A) 14 horas e 10 minutos.(B) 13 horas e 50 minutos.(C) 13horas e 30 minutos.(D) 13 horas e 10 minutos.(E) 12 horas e 50 minutos

7. (FCC) Suponha que a jornada de trabalho de uma pessoa seja de 8 horas dirias.Certo dia, ela chegou ao trabalho quando eram decorridos 11/36 do dia, saiu para almoar s 12 horas e 15 minutos e retornou ao trabalho s 13 horas. Se foi para casa quando eram decorridos 2/3 do mesmo dia, ento sua jornada:(A) foi integralmente cumprida(B) foi excedida em 10 minutos(C) foi excedida em 5 minutos(D) deixou de ser cumprida, pois faltaram 10 minutos(E) deixou de ser cumprida, pois faltaram 5 minutos

8. (FCC-2Q01)Certo dia, Jairo comentou com seu colega Luiz:Hoje eu trabalhei o equivalente a 4/9 do dia, enquanto voc trabalhou apenas o equivalente a 7/20 do dia.


Com base nessa informaao, quanto tempo Jairo trabalhou a mais que Luiz?(A) 1 hora e 50 minutos.(B) 2 horas e 16 minutos.(C) 2 horas e 48 minutos.(D) 3 horas e 14 minutos.(E) 3 horas e 36 minutos.

9. (TRF) Operando ininterruptamente, uma mquina capaz de tirar X cpias deum texto em 6 horas, enquanto que, nas mesmas condies, outra copiadoraexecutaria o mesmo servio em 4 horas. Se essas duas mquinas operassem juntas, que frao das X cpias elas tirariam aps 2 horas de funcionamento ininterrupto?(A) 5/12(B) 1/2(C) 7/12(D) 2/3(E) 5/6

10. (TRF-1.a Regio) Certo dia, um tcnico judicirio trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitao de um texto. Se ele conclui essa tarefa quando eram decorridos 11/16 do dia, ento ele iniciou a digitao do texto s:(A) 13h e 40 min(B) 13h e 20 min(C) 13h(D) 12h e 20 min(E) 12h e 10 mn

11. Para encher um tanque com gua dispes-se de duas torneiras I e N. Considere que, abrindo-se apenas l, o tanque estaria cheio aps 12 minutos, enquanto que I! sozinha levaria 15 minutos para ench-lo. Assim sendo, se I e li fossem abertas simultaneamente por cinco minutos, em quanto tempo a torneira ! sozinha gastar para terminar de encher o tanque?(A) 1 minuto e 40 segundos(B) 2 minutos(C) 2 minutos e 20 segundos(D) 3 minutos(E) 4 minutos

12. (CESPE) Considere-se que, entre os condenados a penas alternativas em 2006, 1/4 est sendo punido por crimes contra a honra, 1/8 por furto e, 1/13 por uso de drogas. Nessa situao, menos da metade dos condenados a penas alternativas em 2006 praticaram outros crimes cuja punio a pena alternativa.

13. Suponha que, em trs meses, o porto de Aratu tenha exportado 1.200.000 toneladas de produtos, do seguinte modo: desse totai 1/8 foi exportado no primeiro ms; no segundo ms, 1/3 a mais do que foi exportado no primeiro ms; e o

58 MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO - Bruno VWar-------------- ;---------------------- ------------ - [

restante, no terceiro ms. Com base nessas informaes, jufgue os itens que se seguem.( ) No terceiro ms, foram exportados mais que do total exportado nos 3 meses.( ) No primeiroj ms, foram exportadas mais de 175.000 toneladas.

( ) No segundo ms, o total exportado foi inferior a 250.000 toneladas.

GABARITO

01 - E 02 - D 03 - B

04 - E 05 - E 06 - B

07 - E 08 - B 09 - A

10 - D 11 - B 12 - E

13 - E-E-C

Treinamento final do captulo

1. (CEF CESGRANRIO 2008) Quantos nmeros mltiplos de 7 ou de 11 h entre 1e 1000?(A) 90(B) 142(C) 220(D) 229(E) 232

2. (UNB) Um mdico receitou ao paciente trs medicamentos distintos, para seremtomados, cada um, em intervalos de 1h 20min, 1h 30mtn e 2h. Se meia-noite ele tomou os trs medicamentos, ento ele voltar, novamente, a tom-los ao mesmo tempo s:(A) 10 h 20 min(B) 12 h 00 min(C) 13 h 20 min(D) 13 h 50 min(E) 14 h 30 mi

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO · 6/8/2003 · Matemática - Problemas, questões, ... O raciocínio lógico quantitativo é a matemática cobrada por situações

Text of MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO · 6/8/2003 · Matemática - Problemas, questões,...

Raciocínio Lógico Quantitativo - UTFPR

Bruno Villar - Matemática e Raciocínio Lógico Quantitativo - Ano 2010

Aula 0 0 Curso: Raciocínio Lógico-Quantitativo ATRFB · 2015. 10. 22. · Curso: Raciocínio Lógico-Quantitativo p/ ATRFB Teoria e Questões comentadas Prof. Custódio Nascimento

Questões de raciocínio lógico – Aula 1 · PDF filenas áreas de Matemática, Matemática Financeira, Raciocínio Lógico e Esta- ... Questões de raciocínio lógico – Aula

Rciocínio Lógico Quantitativo para AFRFB

A Educação Matemática no Contexto da Etnomatemática … · 2015. 8. 20. · tempo em que estimula o raciocínio lógico-quantitativo e introduz de modo informal conceitos de probabilidade

Lógico matemática

Resumo para Teste ANPAD - Raciocínio Lógico & Quantitativo

Apostila matemática e raciocínio lógico

Matemática e Raciocínio Lógico Prof. Edgar Abreu · QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES ..... 39. 9 Matemática e Raciocínio Lógico MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO ... PARA GABARITAR

RESULTADO FINAL DETALHADO - fgv.br Final... · Raciocínio Lógico-quantitativo e Noções de Esta 13 Noções de Economia e de Matemática Financei 11 Noções de Direito Constitucional

RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA · PDF fileCESPE (UNB) - RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO - TÉCNICO E ANALISTA Conteúdo Detalhamento dos tópicos Capítulo ¤%[email protected] ¤J [email protected]

Matemática e Raciocínio Lógico

Raciocínio Lógico Quantitativo - Cloud Object Storage · Raciocínio Lógico – Proposição – Prof. Edgar Abreu 5 Já proposições compostas terão mais do que 2 possibilidades

Raciocínio Lógico Quantitativo · Raciocínio Lógico Quantitativo aProf Paula Francis Benevides 96 AULA 12 17.EXERCÍCIOS GERAIS 1) Construa os argumentos utilizando lógica proposicional

RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

Decisão Questão RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO 17 ...RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO 17 ANULADA inscricao nome Objetiva LPor Info RLog 3160184 ALAN RODRIGUES PEREIRA DE ARAUJO

DISCIPLINA: Noções lógico matemática 1º

Aula 01 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática

Raciocínio Lógico-Quantitativo p/ Receita Federal · PDF fileRaciocínio Lógico-Quantitativo p/ Receita Federal Auditor-Fiscal e Analista Tributário AULA 00 | Regra de Três, Porcentagem

E-book Raciocínio Lógico Quantitativo

Raciocínio Lógico Quantitativo - UTFPRpaginapessoal.utfpr.edu.br/paulabenevides/raciocinio-logico-quant... · Raciocínio Lógico Quantitativo Notas de Aula Prof.a Paula Francis

RACIOCÍNIO QUANTITATIVO LÓGICO ANPAD-FEV-2003

Raciocínio Lógico Quantitativo - UTFPRpaginapessoal.utfpr.edu.br/.../RaciocinioLogico_2020.pdf · 2020-07-03 · Raciocínio Lógico Quantitativo Notas de Aula Prof.a Paula Francis

3 - Raciocínio Lógico e Quantitativo - Cópia.pdf

Raciocínio Lógico-Quantitativo

matemática e raciocínio lógico quantitativo - ano 2010 Bruno villar

Processos seletivos FGV | PROCESSOS SELETIVOS · 6.5 Provas de Matemática (Raciocínio Lógico e Quantitativo) e Inglês: 605.1 As Provas de Matemática (Raciocínio Lógico e Quantitativo)

Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística

Documents

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO · 6/8/2003 · Matemática - Problemas, questões, ... O raciocínio lógico quantitativo é a matemática cobrada por situações

Text of MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO · 6/8/2003 · Matemática - Problemas, questões,...