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Matemática e relações
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APOSTILA DE FSICA E MATEMTICAAPLICADA
WILLI PENDL JUNIOR
1
REVISO
Potncia: representao simplicada de uma multiplicao de fatoresiguais.
Notao: an a a base, n o expoente; a e n no podem ser simultaneamentenulos.
Signicado: an = a:a:a::::::a| {z }n vzes
Exemplos numricos: 34 = 3:3:3:3 = 81; 23 = 2:2:2 = 8;23
3=
23 :
23 :
23 =
827
Propriedades:1-) a1 = a2-) 0n = 0; n 6= 03-) 1n = 14-) (an)m = (am)n = an:m
5-) an:am = an+m
6-) am
an = amn; a 6= 0
7-) an = 1an ; a 6= 0 (Obs.: Este um caso particular da propriedade 6quando m = 0).8-) (a:b)m = am:bm; Vale tambm:
ab
m; desde que b 6= 0
9-) amn = n
pam
Consequncias:1-) a0 = 1 se a 6= 02-) Se am = an ) m = n; a 6= 0 e a 6= 1
3-) Se a > 0, b > 0 e am = bm )
a = b se m mpara = b se m par
4-) Se a > 0 e am > an )
m > n se a > 1m < n se 0 < a < 1
Monmios e Polinmios
Monmio: expresso matemtica de um nico termo, no possui operaode adio ou subtrao.Polinmio: expresso matemtica que apresenta termos combinados em
adio e subtrao.Operaes entre monmios: A adio ou subtrao s pode ser efetuada
quando se tem termos semelhantes.Exemplos:m:n2 + m2:n = m:n2 + m2:n (no possvel efetuar, os termos no so
semelhantes)
2
a+ b2 + c+ a+ 2b2 + 3c = 2a+ 3b2 + 4c (observe que os termos que foramagrupados possuem o mesmo expoente, por isso so chamados de semelhantes)Multiplicao: S pode ser efetuada multiplicando os termos numricos e
aplicar propriedades de potncias na parte algbrica.Exemplos:2x:3a = 6xa (a parte algbrica no foi efetuada, no so termos semelhantes)5x2:y:4y2:3x:z = 60x3y3z (foi efetuado o produto nos termos numricos e
na parte algbrica utilizou-se propriedades de potncia para efetuar a multipli-cao).
Operaes entre monmios e polinmios
Adio: idntica a adio entre monmios, isto , s podemos reduzir ostermos semelhantes.Exemplo:3x+
x2 + 5x+ 6
= 3x+ x2 + 5x+ 6 = x2 + 8x+ 6
Multiplicao: a aplicao da propriedade distributiva.Exemplo:3x:
x2 5x+ 2
= 3x3 15x2 + 6x
a :a2 5a+ 6
= a: 1a25a+6 =
aa25a+6
a2 7a+ 2: 3a = (a2 7a+ 2): 13a =
a2
3a 7a3a +
23a =
a3
73 +
23a
Multiplicao entre polinmios: aplica-se a propriedade distributivaExemplo:x2 + 3x+ 1
:x2 5x 3
=x2 + 3x+ 1
x2
x2 + 3x+ 1
5x
x2 + 3x+ 1
3 =
x4 + 3x3 + x2 5x3 15x2 5x 3x2 9x 3 =x4 2x3 17x2 14x 3
Produtos Notveis
Alguns produtos envolvendo expresses algbricas apresentam um padro,uma regularidade, uma forma comum em seus resultados. Por isso so conheci-dos como produtos notveis.
Abaixo esto relacionadas as formas mais usuais de produtos notveis.(a+ b)
2= a2 + 2ab+ b2 (quadrado da soma)
(a b)2 = a2 2ab+ b2 (quadrado da diferena)(a+ b) (a b) = a2 b2 (diferena entre dois quadrados)(a+ b)
3= a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (cubo da soma)
(a b)3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3 (cubo da diferena)(a+ b)
a2 ab+ b2
= a3 + b3 (soma de dois cubos)
(a b) a2 + ab+ b2
= a3 b3 (diferena de dois cubos)
(x+ a) (x+ b) = x2 + xb+ ax+ ab = x2 + (a+ b)x+ ab
Exerccios
3
1-) Desenvolver os produtos notveis.a-)
2x3 + 5
2=
b-)2x3 7
2=
c-)3x5 4
3x5 + 4
=
d-) (x+ 2) (x+ 4) =e-) (x+ 2) (x 4) =f-) (5x+ 3)3 =g-)
x2 3
3=
h-) (x+ 1) x2 x+ 1
=
i-) (x 4) x2 + 4x+ 16
=
j-)x 23
2=
Frao
Propriedade Fundamental: Se em uma frao multiplicarmos ou di-vidirmos o numerador e o denominador por um mesmo nmero, o valor nose altera.Exemplos:
25 =
410 =
615 =
820 =
1025 = :::
x2+xx2 =
2x+22x =
3x3+3x2
3x3 =(x+1)(x1)x(x1) = :::
Simplicar uma frao signica determinar a frao mais simples equivalente frao dada. Podemos dizer que a frao simplicada tem como numerador edenominador, fatores primos entre si.Fatores primos entre si so aqueles cujo divisor comum o nmero 1.
Operaes com fraes
Adio ou subtrao: para somar ou subtrair uma frao com denomi-nadores diferentes necessrio reduzir ao mesmo denominador. A reduo aomesmo denominador obtida atravs do mnimo mltiplo comum (mmc). Emseguida divide o valor comum pelo denominador da primeira frao e multiplicao resultado obtido pelo numerador. Esse processo deve ser efetuado para todasas fraes.
Exemplos:
23 +
15 =
(25)+(13)15 =
10+315 =
1315
32
25 +
14 =
(310)(24)+(15)20 =
308+520 =
2720
Multiplicao: para multiplicar uma frao por outra basta efetuar o pro-duto do numerador da primeira pelo numerador da segunda frao e o produtodo denominador da primeira pelo denominador da segunda frao.
4
Exemplos:23
15 =
2135 =
215
32
37
14 =
331274 =
956
45 6 =
4651 =
245 (observe que o denominador da segunda frao 1)
Diviso: para dividir uma frao por outra frao deve-se conservar aprimeira e multiplicar pelo inverso da segunda frao.
Exemplos:
3457
= 34 75 =
3745 =
2120
561311
= 56 1113 =
511613 =
5578
Conjuntos
Conceito e notaes: Um dos conceitos da Matemtica o de conjuntos.No entanto, um conceito primitivo, isto , tem o sentido usual de coleo outotalidade de elementos. Portanto, no precisa ser denido a partir de outrosconceitos matemticos.Os objetos que constituem um conjunto so chamados elementos do con-
junto. Os conjuntos so indicados em geral pelas letras maisculas do alfabetolatino. A notao usual para um conjunto consiste em escrever seus elementosseparados por vrgula e entre chaves. Assim, o conjunto A cujos elementos soas letras a; b; c; indicado por:
A = fa; b; cg
Para expressar o fato de que a letra a elemento do conjunto A, escrevemos:
a 2 A (a pertence a A)
Da mesma forma, a notao d =2A (d no pertence a A), signica que aletra d no elemento do conjunto A.Subconjunto: Dados dois A e B, dizemos que A subconjunto de B quando
todo elemento de A elemento de B.A notao,
A B ( A est contido em B),
indica que A um subconjunto de B. Se A no subconjunto de B, escreve-mos:
A * B ( A no est contido em B)Exemplos:Se A = f1; 2; 3g e B = f0; 1; 2; 4; 3g, ento A B, pois todo elemento de A
elemento de B: Por outro lado, se A = f2; 4; 5g e B = f1; 4; 5g, ento A * B,pois 2 2 A e 2 =2 B:
5
Operaes com conjuntos
Considere os subconjuntos A e B de um mesmo conjunto E. Podemos con-siderar as seguintes operaes: unio, interseco, diferena, complementao eproduto.Unio: Tambm chamada de reunio de A e B o conjunto dos elementos
E que pertencem a A ou a B:A unio de A e B ser indicada pela notao: A [ B (l-se A unio B).
Assim escrevemos:
A [B = fx 2 E=x 2 A ou x 2 Bg
Exemplos:A = f4; 5; 3g e B = f0; 3; 1g ) A [B = f4; 5; 3; 0; 1gA = f2; 0;1g e B = f1; 0; 5g ) A [B = f2; 0;1; 5gInterseco: A interseco dos conjuntos A e B o conjunto dos elementos
de E que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos. A interseco de A eB ser indicada pela notao: A\B (l-se A interseco B). Assim escrevemos:
A \B = fx 2 E=x 2 A e x 2 Bg
Diferena: A diferena A B o conjunto dos elementos de E, que per-tencem a A e no pertencem a B: A diferena indicada pela notao:
AB = fx 2 E=x 2 A e x =2 Bg
Exemplos:A = f4; 5; 3; 1g e B = f2; 4; 1g ) AB = f5; 3gA =
0; 1;1; 12
e B =
2; 4; 0; 12
) AB = f1;1g
Complementao: Se A est contido em B, a diferena B A recebe onome de complementar de A em relao a B: A notao CBA indica o comple-mentar de A em relao a B: Assim escrevemos:
CBA = B A = fx 2 E=x 2 B e x =2 Ag
Exemplos:A = f4; 5; 6g e B = f0; 1; 2; 4; 5; 6; 7g ) CBA = B A = f0; 1; 2; 7gA = f1; 2; 3g e B = f0; 1; 4; 3; 6; 2g ) CBA = B A = f0; 4; 6g
Conjuntos numricos
Dentre os conjuntos numricos destacamos:N = f0; 1; 2; 3; 4; :::g conjunto dos nmeros inteiros naturais.N = f1; 2; 3; 4; :::g conjunto dos nmeros inteiros naturais sem o zero.Z = f0;1;2;3;4; :::g conjunto dos nmeros inteiros.Z = f1;2;3;4; :::g conjunto dos nmeros inteiros sem o zero.
6
Z += f0; 1; 2; 3; 4; :::g conjunto dos nmeros inteiros no negativos.Z = f0;1;2;3;4; :::g conjunto dos nmeros inteiros no positivos.Z + = f1; 2; 3; 4; :::g conjunto dos nmeros inteiros positivos.Q =
ab = a 2 Z ; b 2 Z
conjunto dos nmeros racionais, isto , o conjuntode todos os nmeros da forma ab onde a e b so nmeros inteiros, com b 6= 0:Obs.: um nmero chamado de racional desde que possa ser escrito na
forma de frao. Uma dzima peridica um nmero racional, um nmerodecimal nito tambm um nmero racional.I = conjunto dos nmeros irracionais, nmeros que no podem ser escritos
na forma de frao.Exemplos: = 3; 1415:::p2 = 1; 41:::
e = 2; 718:::R = Q [ I conjunto dos nmeros reais, isto , a unio do conjunto Q dos
nmeros racionais e do conjunto I dos nmeros irracionais.Considere os conjuntos:A = fx 2 Z= 2 x 2g e B = fx 2 R= 2 x < 2gEscreve os elementos dos conjuntos A e B.A = f2;1; 0; 1; 2gO conjunto B no pode ser escrito da mesma maneira que o conjunto A,
pois existem innitos nmeros entre -2 e 2. Como representar B?O conjunto B denominado conjunto denso, representa um intervalo. B
pode ser escrito de trs maneiras:1-) Notao simblica ou conjunto:B = fx 2 R= 2 x < 2g
2-) Notao na reta real
-2 2
bola cheiasignica que o ponto pertence ao conjunto. bola vaziasignica que o ponto no pertence ao conjunto.
3-) Notao de colchetes[ ; ] colchete fechando no extremo signica que o ponto pertence ao con-
junto.] ; [ colchete aberto no extremo signica que o ponto no pertence ao
conjunto.
Obs.: Se o extremo for +1 ou 1 o extremo sempre colchete aberto.portanto temos:
B = [2; 2[Exerccios
7
1-) Representar os conjuntos nas trs notaes.A = fx 2 R = 1 x 4gB = fx 2 R = 4 < x 0gC = fx 2 R = x 1 ou x > 2gD =]1;1] [ [3;+1[E =]1;3[[[1;+1[F = fx 2 R = x 2g
Par Ordenado
Conjunto formado por elementos em que cada elemento um par e esto emuma ordem determinada.Notao: (a; b) elemento onde a o primeiro termo e b o segundo termo.Consequncia da denio: (a; b) = (c; d)() a = c e b = d
Plano Cartesiano
formado por duas retas perpendiculares entre si, no cruzamento entre elas,denominamos origem do sistema cartesiano. A reta vertical recebe o nome deeixo das ordenadas ou simplesmente eixo y, a reta horizontal recebe o nome deeixo das abscissas ou eixo x.
(a,b)
a x
b
y
Produto cartesiano: O conjunto de todos os pares ordenados (a; b) coma 2 A e b 2 B recebe o nome de produto cartesiano de A por B, nesta ordem:Indicamos o protuto cartesiano de A e B pela notao: AxB (l-se A cartesianoB ou A vezes B). Assim:
AxB = f(a; b) =a 2 A e b 2 Bg
Exemplos:A = f0; 1g e B = f3; 4g ) AxB = f(0; 3) ; (0; 4) ; (1; 3) ; (1; 4)gA = f5; 1g e B = f4g ) AxB = f(5; 4) ; (1; 4)g
8
Valor absoluto de um nmero real
Seja x um nmero real. O valor absoluto ou mdulo de x o nmero jxj talque:
jxj =
x; se x 0x; se x < 0
Exemplos:a-) j4j = 4b-) j5j = (5) = 5c-) j0j = 0d-)
12 = 12 = 12Propriedades:Sejam x e y dois nmeros reais quaisquer. So vlidas as seguintes pro-
priedades:1-) jxj 02-) jxj x3-) jxj x4-) jxj a () x a ou x a5-) jxj a () a x a; (a > 0)6-) jx+ yj jxj+ jyj7-) jx yj = jxj jyj8-) jx yj jjxj jyjj
Equaes do 1 grau: uma equao do primeiro grau tem a forma geraldada por:
ax+ b = 0 (a 6= 0), a soluo geral obtida isolando-se a varivel x.
ax+ b = 0) x = ba ; (a 6= 0)
Exemplos:a-) 4x 8 = 0) 4x = 8) x = 84 = 2b-)
x+13
x59
= 0)
x+13
=x59
) 9 (x+ 1) = 3 (x 5)
9x+ 9 = 3x 15) 9x 3x = 15 9) 6x = 24) x = 246 = 4Inequaes do 1 grau: uma inequao do primeiro grau uma expresso
que tem a forma dada por: ax + b 0, ou ax + b 0, (a 6= 0) : Neste casotemos uma desigualdade, ou seja a soluo desta inequao ser um intervalo.A soluo destas desigualdades podem ser resumidas:
ax b)
x ba se a > 0x ba se a < 0
ax b)
x ba se a > 0x ba se a < 0
Obs.: quando o coeciente de x negativo o sinal da desigualdade muda.
Exemplos:
9
a-) 4x 8 0) 4x 8) x 84 ) x 2 :: . S = fx 2 R=x 2g
b-) 5x3 0) 5x 3) x 35 ) x 35 :
: . S =x 2 R=x 35
c-) 4x+ 1 0) 4x 1) x 14 ) x
14 :
: . S =x 2 R=x 14
d-) 5x+ 3 0) 5x 3) x 35 ) x
35 :
: . S =x 2 R=x 35
Exerccios
1-) Resolver cada uma das desigualdades abaixo:a-) j2x+ 1j > 5 f-) 2 < 4x+13 0b-) jx+ 2j < 1 g-) 22x+3 8 h-) (x+ 3) (x 2) > 0d-) 3x22x+7 0 i-)
x2 9x+ 14
x2 9
> 0
e-) (x2)(3x+5) 4 j-) (x 2) (3 x) (x+ 1) (x+ 2) < 0
Exerccios Extras
1-) Resolver cada uma das desigualdades abaixo:
a-) j3x 2j < 2 f-) (4x+ 5) (3x+ 2) (5x+ 1) 0b-) j2x 7j 4 g-) (x+ 2) (x 3) (x+ 1) 0c-) j2x 5j 32 h-) (x 2) (x+ 3) (x 1) 0d-) j3x 1j 13 i-) (x+ 3) (x+ 2)
x+ 13
< 0
e-) jx+ 3j > 1 j-) (3x+ 1) (3x 2) > 0
Relaes
Relaes so subconjuntos de produtos cartesianos, cujos elementos satis-fazem a uma certa sentena matemtica.
Smbolo: T : A! B (l-se: relao de nome T de A em B)
Exemplos:a-) Dados A = f0; 1; 2g e B = f4; 6g, representar o produto cartisiano dos
pares ordenados que satisfaam a sentena matemtica: x+ y > 5, onde x 2 Ae y 2 B:
AxB = f(0; 4) ; (0; 6) ; (1; 4) ; (1; 6) ; (2; 4) ; (2; 6)gOs pares ordenados que satisfazem x+ y > 5 so: (0; 6) ; (1; 6) ; (2; 4) ; (2; 6)Estas solues formam uma relao entre A e B, que se indica por:R = f(x; y) =x+ y > 5; (x; y) 2 AxBg
b-) Dados os conjuntos A = B = f2; 3; 4g, pede-se:b1-) determinar o produto cartesiano AxBAxB = f(2; 2) ; (2; 3) ; (2; 4) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 4) ; (4; 2) ; (4; 3) ; (4; 4)g
b2-) representar o produto cartesiano acima que satisfaz a relao: R =f(x; y) =x = y 1; (x; y) 2 AxBgOs pares ordenados que satisfazem R so: (2; 3) ; (3; 4) :
10
Exerccios
1-) Determine os pares que formam a relao:a-) R1 = f(x; y) 2 NxN= y = 15 2xgb-) R2 =
(x; y) 2 NxN= y = 13x2
c-) R3 =
(x; y) 2 NxN= y = 12xx
d-) R4 =
(x; y) 2 NxN= y =
p50 x
e-) R5 =
(x; y) 2 ZxZ= x2 + y2 = 25
Funes
Sejam X e Y dois conjuntos reais no vazios. Diz-se funo de X em Y aoconjunto de pares ordenados (x; y), tal que x 2 X e y 2 Y , e que cada x 2 Xesteja em um e somente um par ordenado. O conjunto X chamado Domnioe o conjunto Y Contra domnio da funo.Um dos conceitos mais importantes, e mais difceis de assimilar no estudo das
funes, o conceito de domnio da funo, porm normalmente o estudante fazconfuso com o conceito de conjunto imagem e contradomnio. Para entenderos trs conceitos vamos considerar o seguinte exemplo:Dados os conjuntos A = f2;1; 0; 1; 2g e B = f2;1; 0; 1; 2; 3; 4; 5g e a
funo f : A! B, denida por f (x) = x+ 1:
-2-1012
-2-1012345
A B
f(x)=x+1
A gura acima mostra a relao entre os dois conjuntos atravs do diagramade echas, tambm chamado de diagrama de Venn.Domnio: so os possveis valores de x, que fazem com que a funo exista.A partir da gura fcil observar que na notao de echas o domnio da
funo o conjunto de partida das echas, ou seja:
Domf(x) = A
11
Contra domnio: o conjunto B denominado contra domnio da funo,ou seja:
CD(f(x)) = B
Na representao de echas o conjunto de chegada.Imagem: o conjunto B apresenta alguns elementos que esto diretamente
relacionados com elementos do conjunto A, estes elementos formam o conjuntoimagem, ou seja:
Imf(x) = f1; 0; 1; 2; 3g
Na representao de echas, o conjunto imagem formado pelos elementosatingidos pelas echas.
Determinao do domnio de uma funo
Quando estudamos funes importante saber o seu domnio, ou seja, qual o campo de validade da sentena. Para isso no podemos deixar de observar:1-) no existe diviso por zero ) denominador 6= 0Neste caso os valores de x que fazem com que o denominador seja nulo devem
ser eliminados, ou melhor, no pertencem ao domnio da funo.Exemplo:Determine o domnio da funo: f(x) = x+1x+3Para encontrar o domnio da funo, impor o denominador igual do denom-
inador ser zero, resolver a equao.x+3 = 0) x = 3 (este valor de x deve ser excludo do domnio da funo).
Assim,
Domf(x) = fx 2 R= x 6= 3g
2-) em R no existe raiz de ndice par de um nmero negativo,portanto o radicando deve ser maior ou igual a zero.Exemplo:a-) Determine o domnio da funo: R! R : f(x) =
px+ 1
Impondo a condio que o radicando deve ser maior ou igual a zero vem:x+1 0) x 1 (qualquer valor maior ou igual a 1, satisfaz a condio
do radicando ser maior ou igual a zero). Assim,
Domf(x) = fx 2 R= x 1g
b-) Determine o domnio da funo: R! R : f(x) = 3px+ 1
Neste exemplo o ndice do radical mpar, ou seja no existe nenhumarestrio quanto a obter a raiz cbica de um nmero negativo, sendo assimtemos:
12
Domf(x) = R
De um modo geral possvel escrever:
f(x) = npp(x)
Se n for par: Domf(x) = fx 2 R= p(x) 0gSe n for mpar: Domf(x) = R
3-) combinao do caso 1 e caso 2: neste tipo de funo necessrioanalisar as duas situaes.Exemplo:Determine o domnio da funo: R! R : f(x) =
px+1x2
Para facilitar o entendimento primeiro ser analisado o numerador da fraoe em seguida o denominador. Aps encontrar cada uma das solues ser feitaa interseco dos dois conjuntos.Numerador:
px+ 1
x+ 1 0) x 1 (qualquer nmero maior ou igual a 1 soluo)Denominador: x2 = 0) x = 2 (qualquer nmero diferente de 2 soluo)Desta forma o domnio da funo ser dado por:
Domf(x) = fx 2 R= x 1 e x 6= 2gExerccios
1-) Determine o domnio das funes abaixo:a-) f(x) =
p2x 3 g-) f(x) =
p2x+ 3
b-) f(x) = 3px 4 h-) f(x) =
px 1 +
px+2px+3
c-) f(x) = 3x2x1 i-) f(x) =x+2px2+9
d-) f(x) = 1px+3
k-) f(x) =px+4x+4
e-) f(x) = 1x+2 +4
x+5 f-) f(x) =p3x+1
3p2x5
Funes usuais e seus grcos
Chamamos grco de uma funo f o conjunto de todos os pontos (x; f(x))do plano cartesiano para qualquer x pertencente ao domnio de f(x).Funo constante: uma funo f de R em R constante se f(x) = k
(x 2 R; k um nmero real positivo, negativo ou nulo).representao grca:
13
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
f(x) = k; k > 0
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
f(x) = k; k < 0
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
f(x) = k; k = 0
Na funo f (x) = k; temos:
Domf(x) = RImf(x) = fkg
Funo am ou do 1grau: uma funo f de R em R funo do 1 grauou am se, a cada x 2 R, associa o elemento (ax+ b) 2 R; com a 6= 0, e podeser representada por o f(x) = ax+ b:
representao grca:
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
f(x) = ax+ b, se a > 0 f(x) crescente
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
f(x) = ax+ b, se a < 0 f(x) decrescente
Na funo do primeiro grau temos:
Domf(x) = R
14
x=x2-x1
y=y2-y1
y2
y1
x2x1(-b/a,0)
(0,b)
Imf(x) = R
O coeciente a da funo f(x) = ax + b denominado coeciente angular,e b denominado coeciente linear. Os interceptos nos eixos x e y podem serencontrados da seguinte maneira:Se x = 0 temos: f (0) = a:0 + b) f (0) = b, ou seja, o par ordenado (0; b)
o ponto onde o grco corta o eixo y.Quando f (x) = 0 temos: 0 = ax+ b ) ax = b ) x = ba , ou seja, o par
ordenado ba ; 0
o ponto onde o grco corta o eixo x.
Se A (x1; y1) e B (x2; y2) so pontos conhecidos, ento o coeciente angularda reta ax+ b que contm A e B dado por:
a = yx =y2y1x2x1
O valor de a mede a inclinao da reta ax+ b.
Exerccios
1-) Em cada funo, determine: (a) o ponto onde a reta corta o eixo x e eixoy, (b) esboar o grco a partir da soluo de (a).a-) f(x) = 2x+ 4b-) f(x) = 3x 2c-) f(x) = 4 2xd-) y = 5 xe-) f(x) = 2x2-) D os valores de x que satisfazem as desigualdades abaixoa-) (x+ 3) (x 2) > 0b-)
x2 9x+ 14
x2 9
> 0
c-) (x 2) (3 x) (x+ 1) (x+ 2) 0
15
-4 -2 2 4
10
20
30
x
y
Figure 1: grco da funo f(x) = x2 + 2x 3; a > 0
3-) Encontre a equao da reta que passa pelos pontos P1 e P2.a-) P1(2; 3) e P2(5;3)b-) P1(2;3) e P2(5;3)c-) P1(2; 3) e P2(5;5)d-) P1(1; 0) e P2(7;3)4-) Encontre a equao da reta que contm o ponto P e tem inclinao
(coeciente angular) a.
a-)
P (0; 0)a = 3
b-)
P (3; 8)a = 2 c-)
P (3; 5)a = 0; 5
d-)
P (0; 5)a = 0; 2 e-
)
P (0; 20)a = 2
f-)
P (8; 8)a = 1 g-)
P (2; 1)a = 5
Funo quadrtica ou do 2 grau: uma funo f de R em R funo do2 grau ou quadrtica se, a cada x 2 R, associa o elemento
ax2 + bx+ c
2 R;
com a 6= 0, e pode ser representada por o f(x) = ax2 + bx+ c:onde:a = coeciente de x2
b = coeciente de xc = termo independente de xrepresentao grca:Os grcos acima mostram que a concavidade depende do sinal de a, ou seja,
se a > 0 a concavidade voltada para cima, porm quando a < 0 a concavidade voltada para baixo.A funo quadrtica f(x) = ax2 + bx + c; com a 6= 0, pode anular para
valores convenientes de x 2 R. Os valores para os quais f(x) = 0 recebem onome de zeros da funo quadrtica, ou simplesmente razes.
16
-4 -2 2 4
-25
-20
-15
-10
-5
xy
Figure 2: grco da funo f(x) = x2 + x+ 2; a < 0
Considere a funo f(x) = ax2 + bx + c; para encontrar as razes devemosimpor ax2 + bx + c = 0. Esta uma equao do segundo grau que pode serresolvida atravs da frmula de Bhskara:
x = bp
2a ; onde = b2 4 a c
Logo, os zeros da funo quadrtica so as razes da equao do segundograu. Assim:a-) quando > 0; f(x) = ax2 + bx+ c possui duas razes reais e distintas.b-) quando = 0; f(x) = ax2 + bx+ c possui duas razes reais e iguais.c-) quando < 0; f(x) = ax2 + bx+ c no possui razes reais.A parbola que representa a funo do segundo grau dividida em duas
partes simtricas por uma reta perpendicular ao eixo das abscissas: eixo desimetria. A interseco da parbola com o eixo de simetria recebe o nome devrtice (V ) da parbola. Considere a gura abaixo:O vrtice da parbola dado pelas coordenadas xv e yv do ponto V . Como
o eixo de simetria divide o grco em duas partes simtricas fcil perceber quea abscissa do vrtice (xv) a mdia aritmtica das razes:
xv =x1+x2
2 = b2a
A ordenada (yv) obtida substituindo (xv) na expresso: f(x) = ax2+bx+c;o que resulta:
yv = 4a
Portanto:
V = b2a ;
4a
17
-4-2 2 4
10
20
30
x
y
Desta forma fcil concluir que o vrtice assume o valor mnimo da funoquadrtica quando a > 0, por outro lado tem valor mximo quando a < 0.Portanto temos:
Domf(x) = RImf(x) =
y 2 R= y 4a , se a > 0
ou
Imf(x) =y 2 R= y 4a , se a < 0
Exerccios
1-) Em cada funo encontre: (a) as coordenadas do vrtice (xv; yv), (b) ospontos onde a parbola corta o eixo x e o eixo y, (c) esboce o grco de f(x),(d) os valores de x para os quais f(x) > 0, (e) domnio e conjunto imagema-) f(x) = x2 5x+ 4 b-) f(x) = x2 + 2x+ 3c-) f(x) = x2 4x+ 4 d-) f(x) = x2 4
2-) Encontre o valor de x que satisfaz as desigualdades abaixo:a-) x2 5x+ 4 0 b-) x2 + 2x+ 3 0c-) x2 4x+ 4 > 0 d-) x2 + 4 < 0Obs.: a funo quadrtica possui um eixo de simetria, desta forma dizemos
que a funo simtrica.Se f uma funo par, isto , se f(x) = f(x) para todo x no domnio
de f , ento o grco de f simtrico em relao ao eixo y. Se f uma funompar, isto , se f(x) = f(x) para todo x no domnio de f , ento o grcode f simtrico em relao origem. Grande parte das funes no clculo noso pares nem mpares.Funo modular: uma funo f de R em R modular se, a cada x 2 R
associa o nmero jxj ;e pode ser representada por f(x) = jxj, onde:
jxj =
x; se x 0x; se x < 0
Obs.:px2 = jxj
18
Duas funes denem a funo f(x) = jxj:
1-) f(x) = x; se x 0 2-) f(x) = x; se x < 0
representao grca: representaogrca:
-2 0 2 4
1
2
3
4
5
x
y
grco de f(x) = x, se x 0
-4 -2 0 2
1
2
3
4
5
x
y
grco de f(x) = x, se x < 0
Construindo os dois grcos em um nico plano cartesiano, obtemos o grcode f(x) = jxj.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
y
Figure 3: grco de f(x) = jxj
Observando o grco da funo modular, verica-se que ele representa areunio de duas semi-retas de mesma origem: o ponto (0; 0). Assim temos:
Domf(x) = RImf(x) = R+
19
Equao modular: uma equao modular quando a incgnita (ou varivel)se apresenta em mdulo. A equao jxj = a, a 2 R+ modular, logo:
jxj = a)
8
Funo exponencial: dado um nmero a, tal que 1 6= a > 0, a funof : R ! R, denida por f(x) = ax, chamada funo exponencial de base a,onde x o expoente:
f(x) = ax, a 2 R+ e a 6= 1Obs.: Ao denirmos uma funo exponencial de base a, impomos que a 2
R+ e a 6= 1 porque:1-) Se a = 1 ) f(x) = 1x = 1; para todo x 2 R. Ento f(x) = 1 uma
funo constante de R em R.
2-) Se a = 0) f(x) = 0x, o que no existe para determinados valores de x,como por exemplo:Se x = 2) f(x) = 02 = 102 , que no existe3-) Se a < 0) f(x) = ax nem sempre existe, como por exemplo:Se a = 4 e x = 12 ) f(x) = (4)
12 =
p4 =2 R
Representao grca1-) f(x) = 2x, neste exemplo a > 1 2-) f(x) =
12
x, neste exemplo
0 < a < 1
-4 -2 0 2 4
2
4
6
8
10
x
y
-4 -2 0 2 4
2
4
6
8
10
x
y
Obs.: Se a > 1 a funo crescente, enquanto que para 0 < a < 1 a funo decrescente.
Domf(x) = RImf(x) = R+
Equaes e inequaes exponenciais: so equaes onde a incgnita parte do expoente. A soluo obtida atravs das propriedades de potnciao.A primeira preocupao obter potncias de mesma base, assim possveligualar os expoentes, obtendo assim uma equao conhecida.Exemplos:a-) 2x = 32) 2x = 25 ) x = 5) S = f5gb-) 45x3 = 32) 22(5x3) = 25 ) 10x 6 = 5) x = 1110 ) S =
1110
c-) 92x3 > 243)
322x3
> 35 ) 34x6 > 35 ) 4x 6 > 54x > 11) x > 114 ) S = fx 2 R = x >
114 g
21
Exerccios
1-) Resolver as equaes e inequaes abaixoa-) 5
p4x = 1p
8b-) 5 4
p2x = 160
c-) 83x =3p32x4x1 d-) 4
x = 0; 25
e-)916
2x1=43
x+1f-)9x+1
x1= 3x
2+x+4
g-)h5x1
x2ix+1> 1 h-)
h93x
x2ix1 1i-) 2x = 10
Logartmos: Sendo a e b nmeros reais tais que a > 0, b > 0 e b 6= 1,chamamos de logartmo de a na base b o expoente real x ao qual se eleva a baseb para se obter a:notao: logb a = x, bx = a, a > 0, b > 0 e b 6= 1a o logaritmandob a basex o logartmoObs.:1-) se b = 10, dizemos que x o logartmo decimal de a e neste caso,
escrevemos:
x = log a
Os logartmos decimais podem ser calculados com o auxlio de uma tbuade logartmos, porm esses clculos so obtidos atravs de uma calculadoracientca.2-) se b = e (e = 2; 718281), dizemos que x o logartmo natural de a e
escrevemos:
x = ln a
Exemplos:log2 16 = x, 2x = 16) 2x = 24 ) x = 4) S = f4glog 1
28 = x,
12
x= 8) 2x = 23 ) x = 3) S = f3g
Consequncias da denio:1-) logb 1 = 0, b0 = 12-) logb b = 1, b1 = b3-) logb b
m = m, bm = bm4-) blogb a = aPropriedades:1-) logartmo do produto: sendo a, b e c nmeros reais positivos e a 6= 1,
temos:loga (b c) = loga b+ loga c2-) logarmo do quociente: sendo a, b e c nmeros reais positivos e a 6= 1,
temos:
22
logabc
= loga b loga c
3-) logartmo da potncia: sendo a e b nmeros reais positivos, a 6= 1 eum nmero real m, temos:
loga bm = m loga b
4-) mudana de base: sendo a > 0, a 6= 1, b > 0; c > 0 e c 6= 1; temos:loga b =
logc blogc a
Obs.: loga b > loga c)
b > c se a > 1b < c se 0 < a < 1
Exerccios
Aplicando as propriedades de logartmos resolver os exerccios abaixo1-) Se log 2 = x, calcule log 50 em funo de x.2-) Sendo log(a+ b) = m e (a b) = 100, calcule log
a2 b2
em funo de
m.3-) Sendo log 2 = a e log 3 = b, calcule em funo de a e b:a-) log 16 =b-) log 40 =c-) log 25; 6 =d-) log6 54 =e-) log 5 =f-) log 3
p12 =
g-) log8
93p25
=
4-) Utilizando o conceito de logartmo e com auxlio de uma calculadora,resolver as seguintes equaes:a-) 2x = 10b-) 2x = 30c-) 32x = 125d-) 102x = 25x
e-) 12 (1 + x)30 = 20f-) (log2 x) (ln 2) = 1g-) ln 4
px = 12 ln
p15 116 ln (x+ 2)
4
h-) 23x+1
32x1 = 5x
i-) 7 32x+1 = 43x2Funo logartmica: chamamos de funo logartmica de base a (0 < a 6= 1)
a funo que associa cada elemento x 2 R+ ao seu logartmo nessa base:f : R+ ! R = y = loga x, e pela denio de logartmo vem: ay = x:
Representao grca1-) f(x) = log2 x, neste exemplo a > 1 2-) f(x) = log 12 x, neste exemplo
0 < a < 1
23
-2 2 4 6 8
-4
-2
2
4
x
y
-2 2 4 6 8
-4
-2
2
4
x
y
Os grcos da funo logartmica mostram que:Se a base > 1, a funo crescente, enquanto que 0 < base < 1 a funo
decrescente.
Domf(x) = R+Imf(x) = RExerccios
1-) Esboar o grco de f(x) nos seguintes casos:a-) f(x) = ax, com a > 1b-) f(x) = k + ax, com a > 1c-) f(x) = k ax, com a > 1d-) f(x) = b+ k ax, com a > 1e-) f(x) = ax2 + bx+ c, com > 0, a > 0, c > 0 e x1 < 0f-) f(x) = ax2 + bx+ c, com > 0, a < 0 e b = 0g-) f(x) =
ax2 + bx+ c, com > 0, a > 0, e x1 x2 < 02-) Calcule:
a-) (x25x)(3x)(4x)(x2) 0
b-)x2 5x+ 2 > 2
c-)x2 7x+ 8 < 2
Funo inversa: sendo f uma de A! B, a funo de B ! A, representadapor g(x) = f1(x), chamada inversa de f . A funo inversa mais usual y = 1xRepresentao grca
Domf(x) = R
Imf(x) = R
Para saber se uma funo possui inversa necessrio vericar se a funo biunvoca, ou seja: Imf(x) = Cd(f(x)) e qualquer x1 6= x2 () f(x1) 6= f(x2).Desta forma conclui-se que:
Domf(x) = Imf1(x)Domf1(x) = Imf(x)
24
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Obs.: para obter a funo inversa de f(x), basta reescrever a funo tro-cando de lugar as variveis x e y, e em seguida expressar y em funo de x.Exemplo:Se f(x) = 2x+ 1, encontre f1(x).Domf(x) = R e a Imf(x) = Ry = 2x+ 1) x = 2y + 1) 2y = x 1) y = x12 :
:: f1(x) = x12Representao grca
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Exerccios
1-) Dada uma funo de R+ ! R+, denida por f(x) = x2:a-) Determinar f1(x).b-) Esboar os grcos de f(x) e f1(x) em um mesmo plano cartesiano.
2-) Determinar o domnio e o conjunto imagem da funo real f(x) = 3x1x+2 .
3-) Dada a funo f(x) = 52xx+1 , determine:
25
a-) Domnio de f(x)b-) f1(x)c-) Domnio de f1(x)d-) Imagem de f(x)
4-) Esboce em um mesmo plano cartesiano as funes: f(x) = 2x e g(x) =log2 x, o que se pode concluir?
Funo composta: a funo composta f g denida como (f g) (x) =f (g (x)). O domnio de f g o conjunto de todos os x do domnio de g tal queg(x) est no domnio de f .Note que, para x no domnio de g, primeiro determinamos g(x) (que deve
estar no domnio de f) e ento, em segundo lugar, determinamos f(g(x)).Para a funo composta g f , invertemos a ordem, determinando primeiro
f(x) e, em seguida g(f(x)). O domnio de g f o conjunto de todos os x nodomnio de f tais que f(x) est no domnio de g.Exemplos:a-) Se f(x) = x2 1 e g(x) = 3x+ 5, determine:(f g) (x) e o domnio de f g.(f g) (x) = f(g(x)))denio de f g
= f(3x+ 5))denio de g= (3x+ 5)
2 1)denio de f= 9x2 + 30x+ 24
O domnio tanto de f como de g R. Como para cada x em R (o domniode g) o valor g(x) est em R (domnio de f), o domnio de f g tambm R.
b-) Se f(x) = x2 16 e g(x) =px, determine:
b1-) (f g) (x) e o domnio de f g.b2-) (g f) (x) e o domnio de g f .Primeiramente vamos determinar o domnio da funo f e da funo g.Domf(x) = R, e Domg(x) = fx 2 R = x 0gb1-) (f g) (x) = f(g(x)))denio de f g
= f(px))denio de g
= (px)
2 16)denio de f= x 16
Se considerarmos apenas a expresso nal (x 16), poderamos ser levadosa crer que o domnio de f g R, pois x 16, denida para todo real x.Todavia, pela denio da funo composta f g o domnio o conjunto detodos os x que esto no domnio de g, ou seja:
Dom(f g)(x) = fx 2 R = x 0g
b2-) (g f) (x) = g(f(x)))denio de g f= g(x2 16))denio de f=px2 16)denio de g
26
Pela denio da funo composta gf o domnio o conjunto de todos os xque esto no domnio de f , tal que f(x) = x216 est em [0;+1[ equivalente desigualdade:
x2 16 0) (x 4) (x+ 4) 0 ou seja,(x 4) 0) x 4(x+ 4) 0) x 4Montando o varal temos:
4 4- + +- - ++ - +
Portando temos:
Dom(g f)(x) = fx 2 R = x 4 ou x 4gExerccios
(a) Determine (f g) (x) e o domnio de (f g) (x). (b) Determine (g f) (x)e o domnio de (g f) (x).a-) f(x) = x2 3x g(x) =
px+ 2
b-) f(x) =px 2 g(x) =
px+ 5
c-) f(x) =p25 x2 g(x) =
px 3
d-) f(x) = x3x+2 g(x) =2x
Fatorao
Fatorar transformar uma expresso algbrica em uma multiplicao (pro-duto). Destacamos a seguir os principais casos de fatorao que devem ser uti-lizados de acordo com as caractersticas da expresso algbrica a ser fatorada.1-) Fator comum: um fator comum em todos os termos da expresso
Exemplos:
ax+ bx+ cx = x (a+ b+ c)4x3 12x2 + 8x = 4x (x 1) (x 2)
2-) Agrupamento: agrupar termos semelhantes que aparecem na ex-presso. Termos semelhantes so as expresses que apresentam as mesmas var-iveis com os mesmos expoentes.
Exemplos:
ax+ bx+ ay + by = x (a+ b) + y(a+ b) = (x+ y) (a+ b)x3 + 2x2 9x 18 = x2(x+ 2) 9 (x+ 2) = (x+ 2)
x2 9
3-) Diferena entre dois quadrados: na fatorao teremos o produto da
soma pela diferena dos mesmos termos.
Exemplos:
27
a2 b2 = (a b) (a+ b)x2 9 = (x 3) (x+ 3)x2 3 =
x
p3 x+
p3
4-) Trinmio do quadrado perfeito: na fatorao teremos a soma ou adiferena de uma expresso elevada a um expoente n.
Exemplos:
a2 2ab+ b2 = (a b)2
a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2
9x2 + 12x+ 4 = (3x+ 2)2
25x6
4 5x3 + 1 =
5x3
2 12
= 145x3 2
25-) Trinmio do segundo grau: a forma geral do trinmio do segundo
grau ax2 + bx + c = a (x x1) (x x2), onde x1 e x2 so razes da equaoax2 + bx+ c = 0
Exemplos:
x2 + 6x+ 8 = (x+ 4) (x+ 2)x2 7x+ 10 = (x 2) (x 5)2x2 + 12x+ 16 = 2 (x+ 4) (x+ 2)6-) Soma de cubos: a soma de cubos pode ser fatorada pela frmula:a3 + b3 = (a+ b)
a2 ba+ b2
Exemplos:x3 + 27 = (x+ 3)
x2 3x+ 9
x3 + 8 = (x+ 2)
x2 2x+ 4
7-) Diferena de cubos: para fatorar uma diferena de cubos usamos a
frmula:a3 b3 = (a b)
b2 + ba+ a2
Exemplos:x3 27 = (x 3)
x2 + 3x+ 9
x3 8 = (x 2)
x2 + 2x+ 4
Exerccios
1-) Fatorar as expresses:a-) a3x+ a2y =b-) 15x2y 20xy2 + 10x2y2 =c-) mx+mb+ xy + by =d-) 6axy2 + 9y2 2ax 3 =e-) 2ax 3bx+ 6ay 9by =f-) m2 + 14am+ 49a2 =g-) n2 10n+ 25 =h-) y2 2
p3y + 3 =
i-) 2x2 2x 24 =
28
j-) x3 + 27 =k-) x3 125 =l-) 6x2y2 8x2y + 15xy2 =m-) x(x 4) + 6(x 4) =n-) sin(x) + cos(x) + sin(x) cos(x) + 1
Simplicao
escrever uma expresso, um nmero de uma forma mais simples.Exemplo: 6x3 = 2x)neste exemplo tanto o numerador como o denominador
foram simplicados por 3.
3x2+9x3x =
3x(x+3)3x = x+3) neste exemplo foi feita a fatorao no numerador
e em seguida tanto o numerador como o denominador foram simplicados por3x:
x24x27x+10 =
(x+2)(x2)(x2)(x5) =
x+2x5 ) agora a fatorao foi feita tanto no numer-
ador como no denominador aparecendo o termo comum (x 2) que permitiu asimplicao.Obs.: Para simplicar uma expresso primeiramente efetuar a fatorao no
termo que for necessrio para em seguida simplicar o termo comum.
Exerccios
1-) Simplicar as expresses abaixo.a-) 10x
410x2x5x2 = j-)
6x29x15x
b-) x216x+4 = k-)
x225x2+10x+25
c-) x29
x26x+9 = l-)20x3yz2
35xy2z2
d-) (x+3)2
x29 = m-)x2+2xy+y2
x2+xy3x3ye-) 2x2
(x1)2 = n-)x+6
x336xf-) 41x +
51+x = o-)
5x10x22x
g-) x3x +10x
(3x)2 = p-)x27x+10
x24h-) x1x+1 +
x+1x1 =
i-) yzx+w y2z2x2w2 =
2-) (UFRGS) Se a = x+y2 ; b =xy2 e c =
pxy, onde x e y so nmeros reais
tais que xy>0, ento uma relao entre a2; b2 e c2 :a-) a2 + b2 c2 = 0:b-) a2 b2 c2 = 0:c-) a2 + b2 + c2 = 0:d-) a2 b2 + c2 = 0:e-) a2 = b2 = c2:
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
29
Introduo:Nos computadores so utilizados programas que auxiliam na realizao das
mais diversas atividades. Entre os programas instalados no computador podemosdestacar as planilhas eletrnicas como, por exemplo, o Excel.Essas planilhas possibilitam organizar as informaes, realizar clculos, escr-
ever frmulas, alm de oferecer recursos avanados para a construo de grcose tabelas. A organizao dos dados nestas planilhas feita atravs de tabelascompostas por linhas e colunas que denominamos de MATRIZ, que pode serrepresentada de duas maneiras:
0@ 1 4 2 1210 7 5 78 36 9 11
1A ou24 1 4 2 1210 7 5 7
8 36 9 11
35Cada nmero que compe uma matriz chamado elemento ou termo. No
exemplo acima a matriz do tipo 3x4, ou de ordem 3x4 e l-se matriz trs porquatro.
Denio de Matriz
Uma matriz de ordem (ou tipo) mxn toda tabela numrica com m nelementos dispostos em m linhas e n colunas, sendo m e n nmeros naturais ediferentes de zero.Exemplos:
9 3 45 7 6
matriz de ordem 2x3 (l-se dois por trs)
0@ 15419
1A matriz de ordem 3x1 (l-se trs por um)1 19 3 51
matriz de ordem 1x4 (l-se um por quatro).
Representao genrica de uma matriz
Para indicar cada elemento da matriz, utilizamos uma letra minscula acom-
panhada de dois ndices. Na matriz A =
0@ 1 4 2 1210 7 5 78 36 9 11
1A, por exem-plo:
O 4 est na primeira linha na segunda coluna, indicamos por: a12 (l-se aum dois).
30
O 5 est na segunda linha na terceira coluna, indicamos por: a23 (l-sea dois trs).
Genericamente, uma matriz A com m linhas e n colunas pode ser represen-tada por:
A =
0BBBBBBBB@
a11 a12 a13 a14 ::: a1j ::: a1na21 a22 a23 a24 ::: a2j ::: a2na31 a32 a33 a34 ::: a3j ::: a3n: : : : : : : :ai1 ai2 ai3 ai4 ::: aij ::: ain: : : : : : : :
am1 am2 am3 am4 ::: amj ::: amn
1CCCCCCCCAcom m 2 N e n 2
N
De maneira abreviada, a matriz A pode ser escrita da seguinte maneira:A = (aij)mxn ou A = (aij) ; i 2 f1; 2; 3; ::::;mg e j 2 f1; 2; 3; :::ng.
Matriz Quadrada
Uma matriz de ordem mxn quadrada quando o nmero de linhas igualao de colunas, isto , m = n. Nesse caso, diz-es que a matriz do tipo nxn ou,simplesmente, quadrada de ordem n.Exemplo:Matriz quadrada de ordem 3.0@ 2 3 53 9 4
0 2 1
1ANesse caso, m = n = 3.Em uma matiz quadrada A de ordem n, os elementos:
a11; a22; a33; a44; ::::; ann; ou seja, aqueles em que i = j formam a diag-onal principal.
aij tal que i+ j = n+ 1 formam a diagonal secundria.
Determinantes
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, podemos associar a ela umnmero, chamado determinante, obtido a partir de operaes envolvendo to-dos os elementos de A.Indicamos o determinante da matriz quadrada A, abaixo, por detA:
A =
0@ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
1A detA=a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
31
Observe que a notao de matriz diferente da notao para o determinantede uma dada matriz. A matriz pode ser escrita com () ou [] ; enquanto que odeterminante escrito entre duas barras jj.
OBS.: NO CONFUNDIR COM A REPRESENTAO DEM-DULO.
Determinantes de algumas matrizes
Determinante de uma matriz de ordem 1:O determinante de uma matriz de ordem 1, ou seja, A = (a11)1x1, o prprio
elemento a11. Indicamos esse determinante por detA=ja11j = a11.Exemplos:
B = (7), ento detB = 7
C = 15
, ento detC = 15
Determinante de uma matriz de ordem 2:
O determinante de uma matriz quadrada A =
a11 a12a21 a22
igual
diferena entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto doselementos da diagonal secundria.
detA =
a11 a12a21 a22 = a11 a22 a21 a12
Exemplo:
Dada a matriz A =
9 25 1
, determine o valor do detA.
detA =
9 25 1 = 9 (1) 5 2 = 9 10 = 19
Determinante de uma matriz de ordem 3
Dada a matriz A =
0@ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
1A, podemos obter o detA por meiodo seguinte clculo:detA = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a32 a21 a13 a22 a31
a11 a23 a32 a12 a21 a33Para obter os produtos acima, utilizamos uma regra prtica conhecida como
regra de Sarrus:
repetimos a 1a e a 2a coluna direita da matriz. Em seguida, efetuamosas multiplicaes conforme as indicaes das setas no esquema:
a11& a12& .a13& .a11 a12a21 .a22& .a23&
&.a21& a22
.a31 a32. a33.&&a31&
&a32&
a13a22a.31 a11a23a.32 a12a21a
.33
&a11a22a33 &a12a23a31 &a13a21a32
32
o sinal do produto dos elementos indicados pelas setas que vo da esquerdapara direita mantido.
o sinal do produto dos elementos indicados pelas setas que vo da direitapara a esquerda trocado.
o determinante a soma dos resultados obtidos.
Exemplo:
Utilizando a regra de Sarrus, obtenha o determinante da matrizA =
0@ 1 0 47 2 101 5 6
1A.Soluo:
detA=
8
1& 0& . 4& . 1 . 07 . 2& . 10& . 7& 2. 1 . 5 . 6& 1& 5&50 0 12 0 140
= 12+0+140+
8 50 + 0 = 86
Exerccios:1-) Utilizando a regra de Sarrus, calcule os determinantes a seguir:
a-)
4 2 37 0 18 5 3
b-)
3 5 13 2 121 1 1
c-)1 0 00 1 00 0 1
d-)1 a 1
5 + a a2 23 2 5
Respostas: a-) -99; b-) 50; c-) 1; d-) 3a2 + 29a+ 6
2-) Sejam a =
5 3 10 2 15 1 1
, b =1 0 02 5 747 12 3
e c = j23j, determine ovalor de:a-) a+ b cb-) b2 4ac
c-)
a 2 71 b 602 5 c
Respostas: a-) -11; b-) 1404; c-) -20033-) Sabendo que A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3 e aij =1 + i; se i = j2i j2; se i 6= j , calcule detA.Resposta: 181
4-) Encontre o conjunto soluo da equao
x 2 13 6 19 x 5
= 14Resposta: S = f28; 1g
33
5-) Sejam as matrizes A =
5 2y 3
e B =
0@ 0 2 2y 5 122y 5 4
1A. Para qualvalor de y detA=detB?Resposta: y = 15386-) (Fatec-SP) O trao de uma matriz quadrada a soma dos elementos de
sua diagonal principal. Se os nmeros x e y so tais que a matriz
0@ 2 1 03 x 41 1 y
1Atem trao igual a 4 e determinante igual a -19, determine o valor do produtoxy.Resposta: -3.
Sistemas lineares
As equaes escritas na forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ::::+ anxn = b, em quea1; a2; a3; :::; an so nmeros reais, so chamadas equaes lineares. Nessasequaes:
a1; a2; a3; :::; an so os coecientes das incgnitas;
x1; x2; x3; :::; xn so as incgnitas;
b o termo independente.
No caso particular, quando b = 0, temos uma equao linear homognea.Exemplo:Na equao: 5x 4y + z 12 t = 2 temos:
5; 4; 1 e 12 so os coecientes;
x; y; z e t so as incgnitas;
2 o termo independente.
Obs.: Em uma equao linear no h termos do tipo: xy, x2, xyz, etc..., ouseja, cada termo tem apenas uma incgnita, cujo expoente 1.
Denominamos de sistema linear m x n, o conjunto S de equaes linearesde m equaes com n incgnitas. Representamos esse conjunto genericamenteda seguinte forma:
S =
8>>>:a11x1 + a12x2 + a13x3 + ::::+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ::::+ a2nxn = b2::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ::::+ amnxn = bm
34
onde:
a11; a12; :::::; a1n; a21; a22; ::::; a2n; :::; am1; am2; ::::; amn so os coecientedas incgnitas;
x1; x2, x3; :::; xn so as incgnitas;
b1; b2, b3; :::; bm so os termos independentes.
Exemplos:x y = 12x+ 3y = 0
sistema linear 2x2, com duas equaes lineares e duas incg-
nitas (x e y).8>>:3x+ 3y = 21x 3y = 5
___________4x = 16
=)
35
x = 4Para encontrar o valor de y vamos proceder da mesma maneira, porm iremos
multiplicar a segunda linha por (1):x+ y = 7
x 3y = 5 =)
x+ y = 7 (1)x 3y = 5 A segunda linha foi multipli-
cada por (-1) =)
x+ y = 7x+ 3y = 5 somando agora membro a membro temos:8>>>:
x+ y = 7x+ 3y = 5
___________4y = 12
=) y = 3
Logo a soluo do sistema dado : S = f(4; 3)g:
Resoluo de sistemas lineares pela regra de Cramer
A regra de Cramer, uma das regras mais tradicionais para resolver sistemasde equaes lineares, apresenta vantagens e desvantagens sobre outros mtodos.A grande vantagem que ela fornece os valores das incgnitas diretamente comoquociente de dois determinantes.Considere o sistema de trs equaes lineares com trs incgnitas:8
O valor de cada incgnita o quociente de cada um desses determinantespor D, ou seja:
x = DxD y =DyD z =
DzD
A regra de Cramer pode ser usada para qualquer sistema n x n; com D 6= 0:Exemplo: Resolva o sistema
2x 5y = 23x+ 2y = 16
pela regra de Cramer:
a-) Encontrar o determinante da matriz dos coecientes do sistema: D = 2 53 2 = 19 6= 0
b-) Encontrar o determinante da matriz da incgnitas, substituindo os ter-mos independentes:
Dx =
2 516 2 = 76 Dy = 2 23 16
= 38O valor de x obtido por: x = DxD =
7619 = 4
O valor de y obtido por: y = DyD =3819 = 2
O conjunto soluo : S = f(4; 2)g:
Exerccios1-) Usando a regra de Cramer, resolva os sistemas lineares abaixo:
a-)
3x y = 15x+ 2y = 4
Resposta: S = f( 611 ;711 )g:
b-)
x y = 42x+ 5y = 1
Resposta: S = f(3;1)g:
c-)
3x 4y = 1x+ 3y = 9
Resposta: S = f(3; 2)g:
d-)
2x+ y = 43x 2y = 1 Resposta: S = f(1; 2)g:
e-)
8
O sistema dado no sistema linear. Fazendo 1x = m e1y = n, o sistema
toma a forma de um sistema linear 2 x 2 nas incgnitas m e n:m+ n = 3
2m 3n = 1 =) D = 1 12 3
= 5Dm =
3 11 3 = 10
Dn =
1 32 1 = 5 =) m = DmD = 105 = 2 e n = DnD = 55 = 1
Ento:1x = m =)
1x = 2 ) x =
12 e
1y = n =)
1y = 1 ) y = 1; logo a soluo
: S = f( 12 ; 1)g:2-) Resolva usando a regra de Cramer:
a-) 1
x +1y = 4
3x +
2y = 9
Resposta: S = f(1; 13 )g:
b-) 3
x 2y = 3
6x +
3y = 8
Resposta: S = f(3; 12 )g:
Radicais
npam ) n denominado ndice e am o radicando lembrar que: n
pam = a
mn
Operaes: adio e diferena; deve ser efetuada somente para termosidnticos.Exemplos:adio:
pa+ 3
pa+ 5
pa = (1 + 3 + 5)
pa = 9
pa
diferena:pab 4
pab 7
pab = (1 4 7)
pab = 10
pab
multiplicao: aplica-se a seguinte regra:
npa: mpb = m:n
pam:bn
Racionalizao
Racionalizar tornar racional, isto , retirar a raiz. Normalmente racionaliza-se o denominador de uma frao para podermos trabalhar com denominadoresinteiros. O princpio usado para a eliminao das razes fazer com que oexpoente do radicando que igual ao ndice, pois n
pan = a: Alguns tipos de
racionalizao:1-) ap
b= ap
b
pbpb= a
pb
b
2-) Se n > p, anpbp
= anpbp
npbnp
npbnp
= anpbnp
b
3-) abpc+d
= a(bpc+d)
(bpcd)
(bpcd)
=a(bpcd)
(bpc)2d2
=a(bpcd)
b2cd2
4-) abpc+d
pe= a
(bpc+d
pe)
(bpcd
pe)
(bpcd
pe)
=a(bpcd
pe)
(bpc)2(d
pe)
2 =a(bpcd
pe)
b2cd2e
Exerccios
38
1-) Racionalizar o denominador.a-)
p3p5=
b-) 35p22
=
c-)p2
(2p3p2)
=
d-) 3(p23) =
e-) 5(5+
p3)
=
f-) 7p2p
3+p5=
2-) Simplique as expresses:a-)
p80 +
p20 =
b-) 3p5 +
p45 2
p20 =
c-) 2p150 4
p54 + 6
p24 =
d-)3p24 3
p81
3pp
9+ 3p3=
e-)5
r16
4
q18 3
p5 +
p9 =
f-) 2+p3
1p5+ 2
p3
1+p5=
g-) 11p2 1p
2+1=
h-) 1p2+ 1p
18 1p
8=
39
Relaes mtricas e trigonomtricas em um tringulo retngulo
Considere o tringulo de vrtices ABC.
B
C
A
a
b
c
n
m
h
onde:a = hipotenusab = catetoc = catetoh = alturam = projeo do cateto b na hipotenusan = projeo do cateto c na hipotenusaRelao de Pitgoras:
a2 = b2 + c2
possvel mostrar que:
b2 = a mc2 = a nh2 = m n
Considere agora o tringulo retngulo de lados a, b e c, conforme mostra agura:Chamamos:
seno de um ngulo: quociente entre o cateto oposto ao ngulo e a hipotenusa.Assim:
sen = ca e sen =ba
cosseno de um ngulo: quociente entre o cateto adjacente ao ngulo e ahipotenusa. Assim:
cos = ba e cos =ca
40
a
b
B
C A
c
tangente de um ngulo: quociente entre o cateto oposto ao ngulo e ocateto adjacente. Assim:
tg = cb e tg =bc
cotangente de um ngulo: quociente entre o cateto adjacente ao ngulo eo cateto oposto. Assim:
cotg = bc e cotg =cb
cossecante de um ngulo: quociente entre a hipotenusa e o cateto opostoao ngulo. Assim:
cossec = ac e cossec =ab
secante de um ngulo: quociente entre a hipotenusa e o cateto adajacenteao ngulo. Assim:
sec = ab e sec =ac
Comparando as relaes anteriores possvel concluir:sen = coscos = sentg = cotgtg = cotgtg = 1cotgsec = cossecsec = cossecA soma dos ngulos internos de um tringulo 180; ou seja:+ + A = 180 como A = 90 vem: + = 90
Exerccios
1-) Dado um tringulo equiltero de lado l, determinar:sen30 =cos30 =
41
tg30 =cot30 =cossec30 =sec30 =sen60 =cos60 =tg60 =2-) Dado um tringulo retngulo isceles de cateto igual a l, Determinar:sen45 =cos45 =tg45 =Monte a tabela abaixo com os resultados obtidos anteriormente:
seno cosseno tangente30
45
60
3-) Mostre que:sen2+ cos2 = 1tg = sencoscogt = cossen
sec = 1cos
cossec = 1sen
cotg = 1tg
1 + tg2 = sec2
1 + cotg2 = cossec2
cos2 = 11+tg2
sen2 = tg2
1+tg2
Funes Trigonomtricas: Considere a circunferncia de centro O e raio r =1. Ocomprimento da circunferncia 2.
Funo seno: Dado um nmero real , seja A sua imagem no ciclo. De-nominamos seno de ( e indicamos sen) a ordenada OA0 do ponto A emrelao ao sistema XOY . Denominamos funo seno a funo f : R ! R queassocia a cada real o real OA0 = sen, isto :
42
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
C
DA' A
360o=2
270o=3 / 218
0o=
Y 90o= / 2
X0o
tg
sen
O Bcos
f() = sen
Propriedades:
A imagem da funo seno o intervalo [1; 1], isto , 1 sen 1 paratodo real.
Se do primeiro ou segundo quadrante, ento sen positivo.
Se do terceiro ou quarto quadrante, ento sen negativo.
A funo seno peridica e seu perodo 2. imediato que, se sen =OA0 e k 2 Z, ento sen (+ k 2) = OA0 pois e + k 2 tm amesma imagem A no ciclo. Temos, ento, para todo real:
sen = sen (+ k 2)
e, portanto, a funo seno peridica. Seu perodo o menor valor positivode k 2, isto , 2.Representao grca:
Exerccios
1-) Determinar o perodo e a imagem e fazer o grco de um perodo completodas funes dadas.a-) f : R! R dada por f(x) = senxb-) f : R! R dada por f(x) = 2senxc-) f : R! R dada por f(x) = sen2xd-) f : R! R dada por f(x) = senx2e-) f : R! R dada por f(x) = 1 + senxf-) f : R! R dada por f(x) = sen (x 90o)g-) f : R! R dada por f(x) = sen (2x 60o)Funo cosseno: Dado um nmero real , seja A sua imagem no ciclo.
Denominamos cosseno de ( e indicamos cos) a abscissa OB do ponto A emrelao ao sistema XOY . Denominamos funo cosseno a funo f : R ! Rque associa a cada real o real OB = cos, isto :
43
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
Figure 4: f() = sin()
f() = cos
Propriedades:
A imagem da funo cosseno o intervalo [1; 1], isto , 1 cos 1para todo real.
Se do primeiro ou quarto quadrante, ento cos positivo.
Se do segundo ou terceiro quadrante, ento cos negativo.
A funo cosseno peridica e seu perodo 2. imediato que, se cos =OB e k 2 Z, ento cos (+ k 2) = OB pois e +k2 tm a mesmaimagem A no ciclo. Temos, ento, para todo real:
cos = cos (+ k 2)
e, portanto, a funo cosseno peridica. Seu perodo o menor valorpositivo de k 2, isto , 2.Representao grca:cos
Exerccios
44
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
Figure 5: f() = cos ()
1-) Determinar o perodo e a imagem e fazer o grco de um perodo completodas funes dadas.a-) f : R! R dada por f(x) = jcosxjb-) f : R! R dada por f(x) = cos2xc-) f : R! R dada por f(x) = 1 + 2 cos(x)d-) f : R! R dada por f(x) = 2cos (x 60o)e-) f : R! R dada por f(x) = 2cos (x+ 60o)f-) f : R! R dada por f(x) = cos (x 30o)Funo tangente:Dado um nmero real , 6= 2 +k, seja A sua imagem
no ciclo. Consideremos a reta OA e seja D sua interseco com o eixo dastangentes. Denominamos tangente de ( e indicamos tg) a medida algbricado segmento CD.Denominamos funo tangente a funo f : R ! R que associa a cada real
; 6= 2 + k o real CD = tg, isto :
f() = tg
Note que, para = 2 + k, o ponto A est em = 90
2
ou = 270
32
e, ento, a reta OA ca paralela ao eixo das tangentes, e neste caso no
existe o ponto D, a tg no denida.Propriedades:
O domnio da funo tangente Dom (tg) = 2 R = 6= 2 + k
45
A imagem da funo tangente R, isto , para todo y real existe um real tal que y = tg.
Se do primeiro ou terceiro quadrante, ento tg positiva.
Se do segundo ou quarto quadrante, ento tg negativa.
A funo tangente peridica e seu perodo . imediato que, se tg =CD e k 2 Z, ento tg (+ k ) = CD pois e + k tm imagenscoincidentes ou diametralmente opostas no ciclo trigonomtrico, assim,para todo real e 6= 2 + k:
tg = tg (+ k )
e, portanto, a funo tangente peridica. Seu perodo o menor valorpositivo de k , isto , .Representao grca:
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
Figure 6: f() = tg
NMEROS COMPLEXOS
Introduo: A soluo da equao x2 = 1 no conjunto dos nmeros reais o conjunto vazio. Durante o sculo XV interpretar o resultado da raiz quadradade um nmero negativo foi um grande obstculo para os matemticos da poca.Raaele Brambeli foi um dos primeiros a expor uma teoria sobre as razes
quadradas de nmeros negativos, em seu tratado de lgebra, publicado em1572 na cidade de Bologna. Raaele mostrou que tratava-se de um novo entematemtico.Conjunto dos nmeros complexos: Chama-se conjunto dos nmeros
complexos, o conjunto dos pares ordenados (x; y) de nmeros reais e indicadopor C = f(x; y) =x; y 2 Rg para os quais valem as seguintes denies:
46
Igualdade: dois pares ordenados so iguais, se e somente se, apresentamprimeiros termos iguais e segundos termos iguais.
(a; b) = (c; d), a = c e b = d
Adio: chama-se soma de dois pares ordenados a um novo par orde-nado cujos primeiros e segundos termos so, respectivamente, a soma dosprimeiros termos e a soma dos segundos termos dos pares dados.
(a; b) + (c; d) = ((a+ c) ; (b+ d))
Multiplicao: chama-se produto de dois pares ordenados a um novopar ordenado cujo primeiro termo a diferena do produto dos primeirostermos menos o produto dos segundos termos dos pares dados e cujossegundo termo a soma dos produtos do primeiro termo de cada par pelosegundo do outro.
(a; b) (c; d) = ((a c b d) ; (a d+ c b))
O conjunto dos nmeros complexos ser indicado por C. Cada elemento(x; y) 2 C ser indicado por z, onde x = parte real de z = Re(z), y = parteimaginria de z = Im (z).Exemplos1-) Dados z1 = (3; 2) e z2 = (1; 4) calcular:a-) z1 + z2 = (3; 2) + (1; 4) = (4; 6)b-) z1 z2 = (3; 2) (1; 4) = ((3 1 2 4) ; (3 4 + 2 1)) = (5; 14)c) z2 z1 = (1; 4) + (3;2) = (2; 2)
Exerccios
1-) Determinar x 2 R e y 2 R para que se tenha:a-) (2x; 4) = (3; 4y)b-) (x 1; y + 2) = (2; 0)2-) Dados z1 = (1; 2) e z2 = (3;4) calcular:a-) z1 + z2b-) z1 (z2)c-) z2 z1d-) z1 z2
Forma Algbrica
O elemento neutro da multiplicao no conjunto dos nmeros reais onmero 1, ou seja:
1 x = x 1 = x 8x 2 R
47
O nmero complexo (1; 0) o elemento neutro da multiplicao no conjuntodos nmeros complexos.Exemplo:(1; 0) (x; y) = ((1 x 0 y) ; (x 0 + 1 y)) = (x; y) 8 (x; y) 2 C(x; y) (1; 0) = ((x 1 y 0) ; (y 1 + x 0)) = (x; y) 8 (x; y) 2 CSendo k 2 R e (x; y) 2 C, denimos:
k (x; y) = (kx; ky)
Em particular:
0 (x; y) = (0 x; 0 y) = (0; 0)1 (x; y) = (1 x; 1 y) = (x; y)
Notando que (1; 0) (x; y) = (x; y) e 1 (x; y) = (x; y), vamos identicar onmero complexo (1; 0) com a unidade real 1, ou seja:
(1; 0) = 1
Chama-se unidade imaginria o nmero complexo (0; 1) que indicamos pori. Assim:
(0; 1) = i
Note que:i2 = i i = (0; 1) (0; 1) = (0 0 1 1; 0 1 + 1 0) = (1; 0)
= 1 (1; 0) = 1 1 = 1ou seja, a propriedade bsica da unidade imaginria :
i2 = 1
Assim, um nmero cuja raiz quadrada 1 i = (0; 1).Dado um nmero complexo qualquer z = (x; y), temos:
z = (x; y) = (x+ 0; 0 + y) = (x; 0) + (0; y) = x (1; 0) + y (0; 1) = x 1 + y i =x+ i y
Assim, todo nmero complexo z = (x; y) pode ser escrito sob a forma:
z = x+ i y
chamada forma algbrica onde:x = parte real de zy = parte imaginria de z.Se y = 0 temos z = x+ i 0 = x, ou seja, z real (R C).Se x = 0 e y 6= 0 temos z = 0 + i y = i y e dizemos que z imaginrio
puro.Igualdade: a+ bi = c+ di() a = c e b = dAdio: (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d) i
48
Multiplicao: (a+ bi) (c+ di) = a (c+ di) + bi (c+ di)= ac+ adi+ bci+ bdi2
= ac+ adi+ bci bd= (ac bd) + (ad+ bc) i
Exemplos:Colocar na forma algbricaa-) 3 (1; 2) = (3; 6) = 3 + 6ib-) 2 (1; 4) = (2;8) = 2 8ic-) 12 (3;5) =
32 ;
52
= 32 +
52 i
Exerccios
1-) Dados z1 = 3 + 2i e z2 = 1 4i, calcular:a-) z1 + z2 =b-) z1 z2 =c-) z1 z2 =
2-) Efetuar:
a-) (3 i) + (2 i) (1 + 2i) =b-) (2 + 3i) i+ (1 i) i2 =c-) (2 + 3i)2 =d-) (3 i)2 =e-) (i)2 =f-) (1 + 2i) + (3 5i) =g-) (5 2i) + (2 + 8i) =h-) (1 + 2i) (3 5i) =i-) (2 3i) (3 + i) =3-) Determinar x 2 R e y 2 R de modo que: (x+ 2i) + (3 yi) = 5 i
4-) Determinar k 2 R de modo que o nmero complexo z = (k + i) (2 ki)seja:a-) nmero realb-) imaginrio puro
5-) Determinar x 2 R e y 2 R de modo que:a-) 3 + 5yi = x 15ib-) (3 + yi) + (x 2i) = 7 5i
Conjugado de um nmero complexo
Chama-se conjugado do nmero complexo z = x+ yi ao nmero complexoz = x yi, isto ,
z = x+ yi() z = x yiExerccios
49
1-) Sendo z = x+ yi, mostrar que z + z = 2x.2-) Provar que se z1 e z2 so dois nmeros complexos quaisquer, ento
z1 + z2 = z1 + z2.3-) Determinar z 2 C tal que z + 2zi = i 1.4-) Determinar o nmero complexo z, tal que 2z + iz + 1 i = 0:5-) Sendo z = x+ yi, mostrar que z z = x2 + y2.6-) Determinar os nmeros complexos z, tais que: z z + (z z) = 13 + 6i.
Diviso: Dados os nmeros complexos z1 = a + bi e z2 = c + di 6= 0,vamos obter o nmero complexo z = x+ yi tal que z = z1z2 .
Devemos ter z z2 = z1, isto :(x+ yi) (c+ di) = a+ bi(cx dy) + (dx+ cy) i = a+ biDa denio de igualdade temos:
cx dy = a) x = a+dycdx+ cy = b) y = bdxc
d a+dyc
+ cy = b
da+ d2y + c2y = cby
c2 + d2
= cb da
y = cbdac2+d2
Analogamente temos:cx d
bdxc
= a
c2x bd+ d2x = acx
c2 + d2
= ac+ bd
x = ac+bdc2+d2 onde c2 + d2 6= 0
Portanto:
z =ac+bdc2+d2
+cbdac2+d2
i
Observar que:
z chamado quociente de z1 por z2:
z existe e nico.
ExemploCalcule z tal que z = 2+3i1+i .Soluo:fazendo z = x+ yi temos:(x+ yi) (1 + i) = 2 + 3ix+ xi+ yi y = 2 + 3i(x y) + (x+ y) i = 2 + 3i
x y = 2x+ y = 3
)somando membro a membro vem: x = 52 e y =12 portanto:
50
z = 52 +12 i
Obs.:Sabendo que z = x+ yi e z z = (x+ yi) (x yi) = x2 + y2Podemos efetuar a diviso de z1 por z2 6= 0, de um modo mais prtico:multiplicamos o numerador (z1) e o denominador (z2) pelo conjugado do
denominador, isto :
z1z2
= z1z2z2z2
Exemplo:Encontre z = 2+3i1+iSoluo:z = 2+3i1+i =
2+3i1+i
1i1i
= 22i+3i+312+12 =
5+i2 =
52 +
12 i, portanto:
z = 52 +12 i
Exerccios
1-) Dado z 6= 0, chama-se inverso multiplicativo de z, o nmero complexo 1z .Assim, dado z = 2 + 3i, obter o inverso multiplicativo de z.2-) Colocar na forma algbrica o nmero complexo: 11+2i2i .3-) Dado z = 1+ii , obter z.4-) Determinar x 2 R de modo que o nmero complexo z = 2xi1+2xi seja
imaginrio puro.5-) Determinar a 2 R de modo que o nmero complexo z = 1+2i2+ai seja real.6-) Sendo u e v dois nmeros complexos tais que u2 v2 = 2+16i e u+ v =
5 + i, calcular u v?
Plano Argand-Gauss
A cada nmero complexo z = (x; y) associamos o vetor !z = x!i +y!j , onde!i ;!j uma base otonormal do R2. O conjunto C dos nmeros complexos
um espao vetorial sobre C e sobre R.O plano cartesiano XOY , conjunto dos vetores !z = x!i + y!j o plano
Argand-Gauss. Cada ponto P = (x; y) a extremidade do vetor (P O) docomplexo. Os vetores !z = x!i + y!j , associados a z, so os vetores cartesianosou raio-vetores.onde:OX - eixo realOY - eixo imaginrio
Mdulo de um nmero complexo:z = a+ bi denido como:
jzj = =pa2 + b2
51
O
P(a,b)
a
b
X
Y
Exemplos:Se z = 2 + i, calcule jzj.jzj = j2 + ij =
p22 + 12 =
p5
Se z =p3 i, calcule jzj.
jzj =p3 i =qp32 + (1)2 = 2
Argumento: chama-se argumento de um nmero complexo z = a+ bi, nonulo a medida (0 < 2) do ngulo formado por !OP com o eixo real OX.
O
P
a
b
z = a + bi X
Y
P
O-a
b
z = -a + biX
Y
P
O-a
-b
z = -a - biX
Y
P
O a
-b z = a - bi
X
Y
Observe que:
cos = a e sen =b
onde = jzj e 0 < 2
52
Exemplos:1-) Sendo z =
p3 + i calcule o valor de .
temos: a =p3 e b = 1
= jzj = 2cos =
p32 sen =
12 portanto = arg(z) =
6
2-) Sendo z = 1 + i calcule o valor de .temos: a = 1 e b = 1 = jzj =
p2
cos = 1p2=
p22 sen =
1p2=p22 portanto = arg(z) =
34
Note que:
A condio z 6= 0, garante 6= 0.
A restrio 0 < 2 elimina a congruncia e as relaes cos e senxam o quadrante ao qual pertence.
Exerccios
1-) Determinar o mdulo, o argumento e represente gracamente os seguintesnmeros complexos.a-) z = 2 + 2
p3i
b-) z = 3ic-) z = 2 + 2id-) z = 3e-) z =
p6
p2i
2-) Provar que se z1 e z2 so dois nmeros complexos quaisquer, entojz1 z2j = jz1j jz2j
3-) Determinar o mdulo dos seguintes nmeros complexos:a-) z = (2 i) (1 + i)b-) z = 2+3i1ic-) z = (12i)
2
i
4-) Dado z = 1 p3i, representar no plano Argand-Gauss o complexo z.
Qual o argumento z?
Forma Trigonomtrica
Consideremos um nmerocomplexo z = a+ bi, no nulo. Temos:jzj = =
pa2 + b2
a = cos b = senPortanto podemos escrever z = cos + isenou
53
z = (cos + isen)
que denominada forma trigonomtrica (ou polar) de z.Exemplos:1-) Escrever na forma trigonomtrica os seguintes nmeros complexos:a-) z =
p3 + i
Soluo:
= jzj =qp
32
+ 12 = 2
cos =p32
sen = 12
= 6 :
:. z = 2cos
6
+ isen
6
b-) z = 2iSoluo:
= jzj =q
(0)2+ 22 = 2
cos = 0sen = 12
= 2 :
:. z = 2cos
2
+ isen
2
c-) z = 2Soluo:
= jzj =q
(2)2= 2
cos = 1sen = 0
= 0 ::. z = 2 (cos (0) + isen (0))
d-) z = 2Soluo:
= jzj =q
(2)2 = 2cos = 1sen = 0
= ::. z = 2 (cos () + isen ())
Exerccios
1-) Escrever na forma algbrica os seguintes nmeros complexos:a-) z = 2
cos
34
+ isen
34
b-) z =
cos
116
+ isen
116
c-) z = 4
cos
4
+ isen
4
d-) z = 2
cos
56
+ isen
56
e-) z =
p2cos
43
+ isen
43
2-) Escrever na forma trigonomtrica os seguintes nmeros complexos:a-) z = 1 +
p3i
b-) z = 2 + 2ic-) z =
p2
p6i
d-) z = (1 + i) if-) z = 12
p32 i
g-) z = 5+5i22i3-) Sendo z = (cos + isen), mostrar que:a-) zz2+2 real.
b-) iz+iz imaginrio puro.
54
Forma exponencial de um nmero complexo
Dado o nmero complexo z = (cos + isen) na forma trigonomtrica, elembrando da identidade de Euler:
ei = cos + isen
podemos escrever ento:
z = ei
Dados os nmeros complexos: z1 = 1ei1 e z2 = 2e
i2
igualdade de complexos:z1 = z2 ) 1ei1 = 2ei2 ) 1 = 2 e 1 = 2 ou 1 = 2 + 2k; k 2 Z.
adio de complexos:z1+ z2 = 1e
i1 + 2ei2
multiplicao de complexos:z1 z2 = 1ei1 2ei2 = 1 2ei(1+2)
diviso de complexos:z1z2
= 1ei1
2ei2
= 12ei(12)
conjugado de complexos:z1 = 1e
i(1) = 1ei1
Funes trigonomtricas - continuao
Funo cotangente: Dado um nmero real , 6= k, seja A sua imagemno ciclo. Consideremos a reta OA e seja C sua interseco com o eixo dascotangentes. Denominamos cotangente de ( e indicamos cotg) a medidaalgbrica do segmento BC.Denominamos funo cotangente a funo f : R ! R que associa a cada
real ; 6= k o real BC = cotg, isto :
f() = cotg
Note que, para = k, o ponto A est em = 0 ou = 180 () e, ento,a reta OA ca paralela ao eixo das cotangentes, e neste caso no existe o pontoC, a cotg no denida.Propriedades:
O domnio da funo cotangente Dom (cotg) = f 2 R = 6= kg
A imagem da funo cotangente R, isto , para todo y real existe um real tal que y = cotg.
55
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
CA
360o=2
270o=3 / 218
0o=
Y90o= / 2
X0o
O
B
Se do primeiro ou terceiro quadrante, ento cotg positiva.
Se do segundo ou quarto quadrante, ento cotg negativa.
A funo cotangente peridica e seu perodo .
Representao grca:
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
Figure 7: f() = cot()
Funo secante: Dado um nmero real , 6= 2 + k, seja A sua imagemno ciclo. Consideremos a reta s tangente ao ciclo em A e seja S sua intersecocom o eixo dos cossenos. Denominamos secante de ( e indicamos sec) aabscissa OS do ponto S.Denominamos funo secante a funo f : R! R que associa a cada real ;
6= 2 + k o real OS = sec, isto :
f() = sec
56
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
s
A
360o=2
270o=3 / 218
0o=
90o= / 2
0o
O
Note que, para = 2 + k, o ponto A est em = 90
2
ou = 270
32
e, ento, a reta s ca paralela ao eixo dos cossenos, e neste caso no existe
o ponto S, a sec no denida.Propriedades:
O domnio da funo secante Dom (sec) = 2 R = 6= 2 + k
A imagem da funo secante R ]1; 1[, isto , para todo real y, comy 1 ou y 1, existe um real tal que y = sec.
Se do primeiro ou quarto quadrante, ento sec positiva.
Se do segundo ou terceiro quadrante, ento sec negativa.
A funo cotangente peridica e seu perodo 2.
Representao grca:
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
Figure 8: f() = sec
57
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
C
s
A
360o=2
270o=3 / 218
0o=
90o= / 2
0o
O
Funo cossecante: Dado um nmero real , 6= k, seja A sua imagemno ciclo. Consideremos a reta s tangente ao ciclo em A e seja C sua intersecocom o eixo dos senos. Denominamos cossecante de ( e indicamos cossec) aordenada OC do ponto C.Denominamos funo cossecante a funo f : R! R que associa a cada real
; 6= k o real OC = cossec, isto :
f() = cossec
Note que, para = k, o ponto A est em = 0 ou = 180 () e, ento,a reta s ca paralela ao eixo dos senos, e neste caso no existe o ponto C, acossec no denida.Propriedades:
O domnio da funo cossecante Dom (cossec) = f 2 R = 6= kg
A imagem da funo cossecante R ]1; 1[, isto , para todo real y, comy 1 ou y 1, existe um real tal que y = cossec.
Se do primeiro ou segundo quadrante, ento cossec positiva.
Se do terceiro ou quarto quadrante, ento cossec negativa.
A funo cossecante peridica e seu perodo 2.
Representao grca:
Exerccios
1-) Sabendo que senx = 45 e2 < x < , calcular as demais funes circulares
de x.2-) Sendo senx = 13 e 0 < x