GABARITO

1Matemática E

01) 19

an = 2 . n + 9a5 = 2 . 5 + 9 ⇒ a5 = 10 + 9 ⇒ a5 = 19

02) 55

Temos a sequência de Fibonacci(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)

Para obter o próximo termo, soma-se os dois anteriores. Logo, (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55).

03) A

a10 = 3 . 10 + 2a10 = 30 + 2a10 = 32

a5 = 3 . 5 + 2a5 = 15 + 2a5 = 17

Temos, a10 – a5 = 32 – 17 = 15, que é um múltiplo de 5.

04) D

Temos uma razão de 1500, ou seja, r = 1500. Logo, an = a1 + (n – 1) . ra7 = 33 000 + (7 – 1) . 1500a7 = 33 000 + 6 . 1500a7 = 33 000 + 9000a7 = 42000

05) D

Temos uma razão de 0,5 km, ou seja, r = 0,5 ou r = 12

. Logo, an = a1 + (n – 1) . r

10 = 3 + (n – 1) . 12

10 = 3 + n2

– 12

7 = n2

– 12

Matemática E – Semiextensivo – v.1

Exercícios

06) D

Observando somente as camadas cinzas, temos 4 ladrilhos na 1a ca-mada, 20 ladrilhos na 2a camada, 36 ladrilhos na 3a camada, ou seja, a1 = 4, a2 = 20, a3 = 36, ... a10 = ?

Note que a razão é 16, ou seja, r = 16. Logo, an = a1 + (n – 1) . r

a10 = 4 + (10 – 1) . 16a10 = 4 + 9 . 16a10 = 4 + 144a10 = 148

07) B

Note que:

I. C = 4 ⇒ C = 3 . 1 + 1II. C = 7 ⇒ C = 3 . 2 + 1III. C = 10 ⇒ C = 3 . 3 + 1

C = 3 . Q + 1

Onde 1, 2, 3 são a quantidade de quadrados nos respectivos desenhos.

08) 8 e 5

(1 – x, 2x – 18, –2x + 19)

Utilizando a propriedade da média aritmética, temos:

( ) ( )1 2 192

− + − +x x = 2x – 18

1 – x – 2x + 19 = 4x – 36–3x + 20 = 4x – 367x = 56x = 8

Substituindo na sequência dada, temos:

(1 – 8, 2 . 8 – 18, –2 . 8 + 19) ⇒ (–7, –2, 3)

Logo, a razão é –2 – (–7) = –2 + 7 = 5 ⇒ r = 5

7 = n−12

14 = n – 1 ⇒ n = 15

GABARITO

2 Matemática E

09) C

(x, 1, y, 14

, z)

Usando a propriedade da média aritmética, temos:

114

2

+= y

542

y=

y = 58

x y+2

= 1

x + y = 2

x + 58

= 2

x = 2 . 58

x = 118

y z+=

214

y + z = 2 . 14

y + z = 12

58

+ z = 12

z = 12

– 58

z = –18

Logo, x + y + z = 118

+ 58

+ −

18

= 168

– 18

= 158

10) C

Como no segundo dia ele correu 1 km, e ele sempre aumenta 300 m a cada dia, então no primeiro dia ele correu 1000 – 300 = 700 m.

Temos a1 = 700 m, r = 300 m. Logo, no décimo dia (a10), temos:

a10 = 700 + (10 – 1) . 300a10 = 700 + 9 . 300a10 = 700 + 2700a10 = 3400 m

12) E

I. Múltiplos de 11 entre 100 e 1000. (110, 121, ..., 990)

an = a1 + (n – 1) . r 990 = 110 + (n – 1) . 11 880 = 11n – 11 891 = 11n

n = 89111

n = 81 (verdadeira)

II. (1, 3 + x, 17 – 4x) Pela propriedade da média aritmética, temos:

17 4 12− +x = 3 + x

17 – 4x + 1 = 6 + 2x 18 – 6 = 6x 12 = 6x x = 2 (verdadeira)

III. (a – b, 5a – 2b, ...) Temos que a razão desta sequência é: r = (5a – 2b) – (a – b) r = 5a – 2b – a + b r = 4a – b

11) A

Sabemos que a2 = 250 e a5 = 400. Utilizando a fórmula genérica an = ak + (n – k) . r, temos:

a5 = a2 + (5 – 2) . r400 = 250 + 3r150 = 3rr = 50

Como r = 50, então a1 = a2 – r ⇒ a1 = 250 – 50 = 200.Logo, a1 = 200.

GABARITO

3Matemática E

Logo, temos:

a4 = a – b + (4 – 1) . (4a – b) a4 = a – b + 3 . (4a – b) a4 = a – b + 12a – 3b a4 = 13a – 4b (Verdadeira)

IV. (82, 76, 70, ...) Temos, nesse caso, que a razão r = –6. Logo: 22 = 82 + (n – 1) . (–6) 22 = 82 – 6n + 6 22 = 88 – 6n 6n = 88 – 22 6n = 66 n = 11 (Verdadeiro)

14) A

Uma P.A. de 5 termos pode ser representada como sendo:

(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)

Somando todos os termos da sequência, deverão ser obtidos 100 pães. Logo:

x – 2r + x – r + x + x + r + x + 2r ⇒ 5x = 100 ⇒ x = 20

Do enunciado, temos x x r x r+ + + +27

= x – 2r + x – r,

ou seja: ( )20 20 20 27

+ + + +r r = 20 – 2r + 20 – r

60 3

7+ r

= 40 – 3r

60 + 3r = 280 – 21r

24r = 220 ⇒ r = 556

Como queremos saber quanto vale a maior parte, logo:

x + 2r = 20 + 2 . 556

=

= 20 + 553

= 60 55

3+

= 1153

13) A

(x + 2y, 3x – 5y, 8x – 2y, 11x – 7y + 2z) Sabe-se que o último termo é igual a –127, logo pode-

mos reescrever a sequência: (x + 2y, 3x – 5y, 8x – 2y, –127).

Utilizando a propriedade da média aritmética nos três primeiros termos, temos:x 2y 8x 2y+ + −

2 = 3x – 5y

9x = 6x – 10y3x = –10y

Logo temos: y = –310x

. Podemos substituir na última

sequência que encontramos, obtendo assim:

x x x+−

−

−

−

−

2310

3 5310

8 2310

. , . , .x x x −

, 127 ⇒

25

92

435

127x x x, , ,−

Utilizando agora a propriedade da soma dos termos equidistantes, temos:25

12792

435

x x x− = + ⇒ 2 635

513110

x x−=

20x – 6350 = 655x655x = –6350x = –10

Sabendo que x = –10, substituimos em 3x = –10y, e temos que y = 3.Por fim, temos que 11x – 7y + 2z = –127, logo:11 . (–10) – 7 . 3 + 2z = –127–110 – 21 + 2z = – 127–131 + 2z = –1272z = 4 ⇒ z = 4

Temos então o produto x . y . z = (–10) . 3 . 2 = –60

15) D

(2, 9, 16, ..., K)K = 2 + (n – 1) . 7K = 2 + 7n – 7K = –5 + 7n (I)

(382, 370, 358, ..., K)K = 382 + (n – 1) . (–12)K = 382 – 12n + 12K = 394 – 12n (II)

Igualando as equações I e II, temos:

–5 + 7n = 394 – 12n19n = 399n = 21

Substituindo n = 21 em I ou II, temos:

K = –5 + 7 – 21K = –5 + 147K = 142

GABARITO

4 Matemática E

16) fevereiro de 2011.

Sequência da empresa A:(12 000, 11 400, 10 800, 10 200, 10 200, 9600, ...), r = –600

Logoan = 12 000 + (n – 1) . (–600)an = 12 000 – 600n + 600an = 12 600 – 600n (I)

Sequência da empresa B:(300, 600, 900, 1200, 1500, 9600, ...), r = 300

Logoan = 300 + (n – 1) . 300an = 300 + 300n – 300an = 300n (II)

Como desejamos saber o período em que a aplicação é igual, vamos igualar I e II. Temos: 12600 – 600n = 300n 12600 = 900n n = 14

Logo, como a1 é em janeiro de 2010, temos que a14 é fevereiro de 2011.

18) D

Resolução

x

x + 3x – 3

(x – 3, x, x + 3)

Pelo teorema de Pitágoras temos:

(x + 3)2 = x2 + (x – 3)2

x2 + 6x + 9 = x2 + x2 – 6x + 9x2 – 6x – 6x = 0x2 – 12x = 0x . (x – 12) = 0x = 0 ou x – 12 = 0 ⇒ x = 12

Note que x = 0 não é solução, pois teríamos (–3, 0, 3), e não existe medida negativa.

Logo, com x = 12, temos (9, 12, 15) e ainda 9 + 12 + 15 = 36

17) 07

1 2 3 4 5 6 7 8

3 km 248 km

Temos:248 = 3 + (8 – 1) . r248 = 3 + 7r245 = 7rr = 35

Logo podemos completar o desenho acima:

1 2 3 4 5 6 7 8

3 km 38 km 73 km 108 km 143 km 178 km 213 km 248 km

Com isso podemos observar que as alternativas verdadeiras são 01 02 04 = 07.

GABARITO

5Matemática E

19) E

C1 = Prestações de 480C2 = Prestações de 390

14 580 480 1

1

− <nSaldo devedor

de C após n prestações

22 460 390

2

− nSaldo devedor

de C após n prestações

14 580n – 480n < 12 460 – 390n14 580n – 12 460 < 480n – 390n2120 < 90n212090

< n

Como n é um número natural, logo n ≥ 24, ou seja, 2 anos.

20) B

(10, 14, 18, ... , a8) r = 4a8 = 10 + (8 – 1) . 4a8 = 10 + 7 . 4a8 = 10 + 28a8 = 38

S8 = ( ).10 38 8

2

4

+

S8 = 48 . 4S8 = 192

21) B

(500, 520, 540, ... , a20) r = 20a20 = 500 + (20 – 1) . 20a20 = 500 + 19 . 20a20 = 500 + 380a20 = 880

S20 = ( ).500 880 20

2

10

+

S20 = 1380 . 10S20 = 13 800

22) D

Sequência da quantidade de palitos.(4, 20, ... , a50) r = 8a50 = 4 + (50 – 1) . 8a50 = 4 + 49 . 8a50 = 4 + 392a50 = 396

S50 = ( ).4 396 50

2

25

+

S50 = 400 . 25S50 = 10 000

23) a) x = 5 ou x = 12

b) 7 575.

a) Pela propriedade da média aritmética, temos:

2 4 112

2x x+ + = 6x ⇒ 2x2 + 5 + x = 12 x

2x2 – 11x +5 = 0

Resolvendo por Bháskara:

x = −− ± −

=±( ) . .

.

11 121 4 2 5

2 211 81

4

x = 11 9

4

204

5

24

12

±= =

= =

↗

↘

x

x

’

’’

x = 5 ou x = 12

b) Para x = 12

temos a progressão.

(32

, 3, 92

, ..., a100) r = 32

a100 = 32

+ (100 – 1) . 32

a100 = 32

+ 99 . 32

a100 = 32

+ 2972

a100 = 3002

a100 = 150

S100 =

32

150 100

2

50

+

.

S100 = 303

250

25

.

S100 = 303 . 25 S100 = 7575

24) C

(1, 2, 3, 4, 5, ..., a150)a150 = 1 + 149 . 1a150 = 150

S150 = ( ).1 150 150

2

75

+

S150 = 151 . 75S150 = 11 325

GABARITO

6 Matemática E

25) B

(a1, a2, ... , 600021a� ) r = 100

6000 = a1 + (21 – 1) . 100 ⇒ 6000 = a1 + 20 . 1006000 = a1 + 2000 ⇒ a1 = 4000

S21 = ( ) .6000 4000 212+ ⇒

10 000 212

. ⇒ S21 = 105 000

26) D

S

a

a20

1

20

10480

5480

5 20

2

=

=

⇒ =

+( ).

480 = (5 + a20) . 10 480 = 50 + 10a20

430 = 10a20

a20 = 43

Usando a fórmula do termo geral, temos:a20 = a1 + (20 – 1) . r43 = 5 + 19r ⇒ 38 = 19r ⇒ r = 2

Por fim: a10 = a1 + (10 – 1) . 2 a10 = 5 + 9 . 2 a10 = 5 + 18 a10 = 23

27) E

(51, 61, 71, ... , 341) r = 10341 = 51 + (n – 1) . 10 ⇒ 341 = 51 + 10n – 10341 = 41 + 10n ⇒ 300 = 10nn = 30

S30 = ( ).51 341 30

2

15

+ ⇒ S30 = 392 . 15 ⇒ S30 = 5880

28) D

Sequência de blocos: (1, 2, 3, ..., an)Observe que an = n, pois a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, ...Logo:

Sn = ( ) .a a nn1

2+ ⇒ 210 =

( ) .12+n n

⇒ 420 = n + n2

n2 + n – 420 = 0Por Bháskara:

n = − ± − −1 1 4 1 420

2 1

2 . . ( )

. ⇒ n = − ±1 1681

2

n = − ±

= =

=−

=−

1 412

402

20

422

21

↗

↘

n

n

’

"

Como não temos quantidade negativa, logo n = 20.

29) D

Do enunciado tiramos a sequência: (3, 5, 7, ... an), r = 2an = 3 + (n – 1) . 2an = 3 + 2n – 2an = 1 + 2n

Sn = a a nn1

2

+( ) . ⇒ 483 = 3 1 2

2

+ +( )( .n n

483 = ( ) .4 22+ n n =

4 22

2n n+ ⇒ 483 = 2n + n2

n2 + 2n – 483 = 0

Resolvendo pela fórmula de Bháskara, temos:

n = − ± − −2 4 4 1 483

2 1

. . ( )

. ⇒ − ±2 1936

2

n = − ±= =

=−

=−

2 442

422

21

462

23

↗

↘

n

n

’

"

Como não tem uma quantidade negativa, logo n = 21.

30) D

Em um triângulo equilátero, todos os ângulos internos medem 60°. Logo:

60 = ( ) .a a1 10 10

2+

⇒ 60 = (a1 + a10) . 5

a1 + a10 = 12

Como o exercício pede a soma dos extremos, ou seja, a1 + a10, temos então a1 + a10 = 12°

31) C

Sabemos que a1 = 3. Somando-se os dois primeiros termos, ou seja, n = 2, temos 3 . 22 = 3 . 4 = 12.

Como a1 = 3, logo a2 = 9, pois a1 + a2 = 12Temos assim que a razão r = a2 – a1 = 9 – 3 = 6Logo R = 6.

32) B

Temos a soma dos n primeiros termos dada por Sn = 2n2. Logo se n = 1, temos a1 = 2.Pela fórmula da soma de uma P.A.

Sn = ( ) .a a nn1

2+

2n2 = ( ) .22+a nn

4n2 = (2 + an) . n4 2nn

= 2 + an

4n = 2 + an

an = 4n – 2

GABARITO

7Matemática E

33) A

Temos que n = 24, S24 = 3960 e S15 = 3960 – 2160, S15 = 1800.

Utilizando a fórmula do termo geral:a15 = a1 + (15 – 1)ra15 = a1 + 14r (I)

S15 = ( ) .a a1 15 152

+

1800 = ( ) .a a1 15 152

+

a1 + a15 = 240a15 = 240 – a15 (II)

Substituindo (II) em (I), temos:240 – a1 = a1 + 14r2a1 = 240 – 14r (1)

Utilizando o mesmo raciocínio acima para a24, temos:a24 = a1 + 23r (III)

S24 = ( ) .a a1 24 242

+

3960 = ( ) .a a1 24 242

+

a1 + a24 = 330a24 = 330 – a1 (IV)

Substituindo (IV) em (III), temos:330 – a1 = a1 + 23r2a1 = 330 – 23r (2)

Montando um sistema linear de equações com (1) e (2), temos:

2 240 14

2 330 23

2 240 14

2 330 231

1

1

1

a r

a r

a r

a r= −= −

⇒= −

− =− +

=− +0 90 9r

Logo: 9r – 90 = 0 9r = 90 ⇒ r = 10

Substituindo r = 10 na equação (1), temos:2a1 = 240 – 14 . 10 ⇒ 2a1 = 240 – 1402a1 = 100 ⇒ a1 = 50

34) a) –5, 8, –11, 14, –17, 20 b) S = – 3014

a) a

a

a

a

11

22

33

1 2 3 1 5

1 2 3 2 8

1 2 3 3 11

= − + =−= − + == − + =−

( ) .( . )

( ) .( . )

( ) .( . )

444

55

66

1 2 3 4 14

1 2 3 5 17

1 2 3 6 20

= − + == − + =−= − + =

( ) .( . )

( ) .( . )

( ) .( . )

a

a

A sequência é(–5, 8, –11, 14 –17, 20)

b) Vamos dividir essa sequência em duas:  •  Uma positiva (8, 14, 20, ... a1003) (I)  •  Outra negativa (–5, –11, –17, ... a1004) (II)

Resolvendo (I), temos: a1003 = 8 + (1003 – 1) . 6 a1003 = 8 + 1002 . 6 a1003 = 8 + 6012 a1003 = 6020

Logo a soma:

S1003 = ( ). .8 6020 10032

6028 10032

+= = 3014 . 1003

Resolvendo a (II), temos: a1004 = –5 + (1004 – 1) . (–6) a1004 = –5 + 1003 . (–6) a1004 = –5 – 6018 a1004 = –6023

Logo a soma:

S1004 = ( ). .− −=−5 6023 1004

26028 1004

2 =

S1004 = –3014 . 1004

Somando as duas partes: 3014 . 1003 + (–3014 . 1004) = 3014 . (1003 –1004) = 3014 . (–1) = –3014

35) a) b = 6/5 e r = 12/5 b) a20 = 239/5 c) S20 = 500

a) S1 = a1 = b +1 (I) S2 = 4b + 2, mas S2 = a2 + a1 a2 + b + 1 = 4b + 2 a2 = 3b + 1 (II) S3 = 9b + 3, mas S3 = S2 + a3 9b + 3 = 4b + 2 + a3 a3 = 5b + 1 (III)

Mas do enunciado, temos a3 = 7, logo: 5b + 1 = 7 5b = 6 b = 6/5

Substituindo b = 6/5 nas equações I, II e III, temos:a1 = b + 1

a1 = 65

+ 1

a1 = 115

a2 = 3b + 1

a2 = 3 . 65

+ 1

a2 = 235

a3 = 5b + 1

a3 = 5 . 65

+ 1

a3 = 7

Para obter r, basta a2 – a1 ou a3 – a2,

Logo: r = a2 – a1 = 235

– 115

= 125

GABARITO

8 Matemática E

b) a20 = a1 + (20 – 1) . r

a20 = 115

+ 19 . 125

a20 = 115

+ 2285

⇒ a20 = 2295

c) S20 = b . 202 + 20

S20 = 65

. 400 + 20

S20 = 6 . 80 + 20 S20 = 500

36) 160

(5, 10, 20, ...) q = 2a6 = a1 . q

n – 1

a6 = 5 . 26 – 1 ⇒ a6 = 5 . 25 ⇒ a6 = 5 . 32a6 = 160

37) D

Seja a P.A. (6, 12, ..., a5) e a P . G. (6, 12, ..., a5). Temos as razões r = 6 e q = 2, respectivamente.

P.A. a5 = 6 + (5 – 1) . 6 a5 = 6 + 4 . 6 a5 = 6 + 24 a5 = 30

P.G. a5 = 6 . 25 – 1

a5 = 6 . 24

a5 = 6 . 16 a5 = 96

38) C

Analisando matemáticamente o desenho, note que os triângulos cinzas comportam-se em uma progressão geométrica, (1, 3 , 9, ... ) de razão 3.Logo a figura 4 deve possuir 27 triângulos cinzas.

39) E

Temos uma P.G. (2, 5 ... ) onde a razão q = 5/2.Temos que a3 = a2 . q = 5 . 5/2 = 25/2 = 12,5.

40) C

Note a sequência (10x, 10x + 1, 10x + 2, ...); ela pode ser escrita da seguinte forma: (10x, 10x . 101, 10x + 1 . 101, ...), sempre o termo anterior multiplicado por uma constante 101, ou seja, q = 10.

41) B

a5 = a1 . qn – 1

1 = a1 . −

−110

5 1

⇒ 1 = a1 . −

110

4

1 = a1 . 1

10 000 ⇒ a1 = 10 000

42) B

Os dias e a quantidade de contaminados formam uma uma P.G. (1, 2, 4, 8, ... , 512), com q = 2.Logo512 = 1 . 2n – 1

2 29 1=

−n

9 = n – 1n = 10

43) 49, 56 e 64 anos

Seja x a idade da filha do meio, logo (x – 7, x, x + 8). Como as idades formam uma P.G., pela propriedade da média geométrica temos:

x x−( ) +( )7 8. = x(x – 7) . (x + 8) = x2

x 2 + 8x – 7x – 56 = x 2

x = 56

Logo as idades são 49, 56 e 64 anos.

44) B

an = (–3)–n

a4 = (–3)–4

a4 = 13

4

−

a4 = 13

4

4( )−

a4 = 181

45) 31

01. Pela definição de P.G. oscilante, temos que q < 0.02. Como a P.G. é oscilante e o a1 > 0, temos que: a1, a3, a5 > 0 e a2, a4 < 0. Logo o termo médio (a3) é positivo.

04. (45

, x, y, z, 120

)

z2 = 120

. y

z2 = y20

(I)

y . 45

= x2

y = 54

2x (II)

De (II) em (I), temos:

z2 =

5420

2x

z2 = 580

2x

zx

2

2

580

= ⇒ zx

=2

116

⇒ zx

aaz

= ⇒ =14

14

4

GABARITO

9Matemática E

08. (45

, x, y, z, 120

)

Pela propriedade dos termos equidistantes:

45

. 120

= x . z

125

= x . z (I)

Substituindo (I) abaixo, pela média geométrica: x . z = y2

125

= y2 ⇒ y = 15

Utilizando a média geométrica novamente, temos:

45

. y = x2

45

. 15

= x2

x2 = 425

⇒ x = 25

Como a P.G. é oscilante, logo x = –25

Logo a1 + a2 + a3 = 45

+ x + y = 45

– 25

+ 15

= 35

.

16. Como a P.G. é oscilante e vimos na alternativa 02, temos que a4 < 0.

46) B

(a1, a2, a3, 16 875), q = 3 cmLogo:a4 = a1 . q

4 – 1 ⇒ 16 875 = a1 . (3a1)3

16 875 = a1 . 27a13 ⇒ a1

4 = 16 875

27

a1 = 6254 ⇒ a1 = 5Temos assim (5, 75, 1125, 16 875).Logo 5 + 75 + 1125 = 1205 = 5 . 241

47) E

A sequência (an) é dada por:a1 = 1000 + 0,1 . 1000 = 1000 + 1 . 100a2 = 1000 + 2 . 0,1 . 1000 = 1000 + 2 . 100   an = 1000 + n . 0,1 . 1000 = 1000 + n . 100Assim, (an) é uma P.A. de razãor = a2 – a1 = 100.

A sequência (bn) é dada por:b1 = 1000 . (1, 10)1

b2 = 1000 . (1, 10)2

     bn = 1000 . (1, 10)n

Logo, (bn) é uma P.G. de razão:

q = aa2

1

= 1,10

48) E

Observe que:

a

a

a

a

121

22

33

44

1 2 1

3 2 1

7 2 1

15 2 1

= = −= = −= = −= = −

Logo an = 2n – 1Como queremos a13, teremos:a13 = 213 – 1

49) E

Note que na sequência (972, –324, 108, …) temos

razão q = –13

, pois é uma P.G.

Logo = a5 = 972 . −13

4

a5 = 972 . 181

a5 = 12

Na sequência (–51, –44, –37, …), onde r = 7, pois é P.A., temos:a22 = (–51) + 21 . 7a22 = (–51) + 147a22 = 96

Na sequência 14

, x, 9, 54, ...

, onde é uma P.G.

temos pela média geométrica, que:

x = 149.

x = 94

x = 32

Temos que a nova progressão formada é 32

, 12, 96

.

Como: 122 = 32

. 96

144 = 144, essa progressão satisfaz a propriedade da média geométrica, logo é uma P.G.

Temos que:

q = 9612

⇒ q = 8.

GABARITO

10 Matemática E

50) C

Três números positivos estão em P.A., logo (x – r, x, x + r), sendo x – r, x, x + r = 30 3x = 30 x = 10

Temos nossa P.A.: (10 – r, 10, 10 + r). Como oito no enunciado, formamos uma P.G. adicionando, respecti-vamente, 4, –4 e –9.

Logo nossa P.G. é (14 – r, 6, 1 + r). Podemos aplicar a propriedade da média geométrica. Logo:

( ).( )14 1− +r r = 6(14 – r) . (1 + r) = 3614 + 14r – r – r2 = 36– r2 + 13r – 22 = 0r2 – 13r + 22 = 0

Aplicando Bháskara:

r = −− ± −⇒

±⇒ =

±( )13 169 882

13 812

13 92

r

r' = 2 r" = 11

Como os números da P.A. devem ser positivos, logo R ≠ 11. Temos assim que R = 2.

Logo (10 – r, 10, 10 + r) = (8, 10, 12)

51) A

Temos uma P.A. (a, b, 2a + b). Aplicando a propriedade da média aritmética, teremos:a a b+ +2

2 = b ⇒ 3a + b = 2b ⇒ b = 3a

Temos, também uma P.G. (3a, 27, 3b). Substituindo b = 3a, teremos (3a, 27, 33a).

Aplicando a média geométrica tem-se:

3 33a a. = 2734a = 272

34a = (33)2

3 34 6a=

4a = 6

a = 64

⇒ a = 32

⇒ a = 1,5

52) = 15

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

2 = h2 + �4

2

2 = h2 + �2

16

h2 = 2 – �2

16

h2 = 1516

2�

h = 1516

154

2� �=

Do enunciado tiramos a progressão geométrica:

�

�

��

, ,.

, ,.

hh

hh2

2 4

⇒

Aplicando a propriedade da média geométrica temos:

. � . h4

= h2

2 . h h4

2=

�2

4 = h

� �2

4

15

4=

= 15

GABARITO

11Matemática E

53) C

A partir da figura, vamos construir uma tabela.

54) 3069

P.G. (3, 6, 12, ...)

Sn = a qq

n1 1

1( )−−

S10 = 3 2 12 1

3 1024 11

10. .−( )

−⇒

−( )

S10 = 3 . 1023S10 = 3069

56) A

Sabendo que a1 = 1, temos:

SK = aK K

1 3 13 1

1 3 12

. .−( )−

⇒−( )

SK = 3 12

K −

55) A

Sabemos que S5 = 2325. Queremos saber o valor de a1. Logo:

S5 = a qq

15 11

( )−−

2325 = a152 1

2 1. −( )

−2325 = a1 . (32 –1)

a1 = 232531

a1 = 75

57) D

Temos (1, 2, 4, 8, ..., 2048), onde essa sequência é uma P.G. de razão 2.Temos aí:2048 = 1 . 2n –1

2 211 1=

−n

11 = n – 1n = 12

Logo tem-se 12 termos, ou seja, 12 meses (1 ano).Em 1 ano, o valor guardado é:

S12 = 1 2 12 1

4096 11

12. −( )

−⇒

−

S12 = 4095

Como ele guardará até os 21 anos do filho, logo temos 4095 . 21 = 85 995.

58) Falso.

(10, 5, 2,5 , 1,25 , 0,625 , ...), q = 12

S∞ = aq

1

1− =

10

112

1012

−= = 10 . 2 = 20

GABARITO

12 Matemática E

59) A

...

Observem que as áreas formam uma progressão geométrica de razão 2. Logo:

S10 = 1 2 12 1

10. −( )

− = 1 . (1024 – 1) = 1023

60) E

Observe que os termos da soma são termos de uma

P.G. infinita (10, 1, 110

, 1102

, ...) de razão q = 110

. Logo:

S∞ = aq

1

1−

S∞ = 10

1110

10910

−= ⇒ S∞ = 100

99

61) D

Temos a sequência de pessoas (2, 4, 8, ...), logo a de valor arrecadado por dia é (6, 12, 24, ...), onde q = 2.

Sn = a qq

n1 1

1( )−−

6138 = 6 2 12 1. n−( )

−6138 = 6 . (2n – 1)1023 = 2n – 11024 = 2n

2 210=

n

n = 10

62) C

Note que o menino preencheu até a nona casa por completo, logo:

S9 = 1 2 12 1

2 11

9 9. −( )

−=

−

S9 = 512 – 1S9 = 511

Mas observe que 511 grãos preenchem 9 casas exata-mente. Como ele começou a preencher a décima casa, logo o mínimo é de 512.

63) 05

01. Correto.

Sn = ( ) .a a nn1

2+

440 = 3

2+( )x n.

(I)

an = a1 + (n – 1) . r ⇒ x = 3 + (n – 1) . 2 x = 3 + 2n – 2 ⇒ x = 1 + 2n

n = x −12

(II)

Substituindo (II) em (I):

440 = 3

12

23 1

4

+( ) −

=

+( ) −( )xx

x x. .

1760 = x2 + 2x – 3 x2 + 2x – 1763 = 0

Pela fórmula de Bháskara:

x = − ±2 70562

x = − ± =

=−

2 842

41

43

↗

↘

x

x

’

’ Logo, x = 41

04. Correto. Utilizando a fórmula genérica, an = ak . q

n – k, temos;

a = a . q

= 15 . q

= q

= q

6 33

3

3

595

1351

2713

3

q=

an = a1 . qn – 1

a3 = a1 . q2

15 = a1 . 13

2

15 = a1 . 19

15 .9 = a1

a1 = 135

GABARITO

13Matemática E

64) 18 08. Como (x, y, 10) é uma P.A., logo, pela propriedade da média aritmética, temos:

x+102

= y ⇒ x + 10 = 2y ⇒ x = 2y – 10 (I)

Como (x, y, 18) é uma P.G., utilizaremos a proprie-dade da média geométrica. Logo:

x . 18 = y2 (II)

Substituindo (I) em (II) temos: 18(2y – 10) = y2

36y – 180 = y2

y2 – 36y + 180 = 0

Por Bháskara temos:

y = −− ±

=± =

=( ) ’

"36 576

236 24

2

30

6

↗

↘

y

y

Como as progressões são crescentes, logo y = 6. Substituindo em (I):

x = 2 . 6 – 10 x = 12 – 10 ⇒ x = 2 Logo: x . y = 2 . 6 = 12

67) 14

02. Receita: P.G. ⇒ (nov.): 300

(dez.): 300 . 65

= 360

(jan.): 300 . 65

= 432

(fev.): 432 . 65

= 518,4

Despesa: P.A. ⇒ (nov.): 350 (dez.): 350 + 55 = 405 (jan.): 405 + 55 = 460 (fev.): 460 + 55 = 515

Logo, em fevereiro de 2003, a receita é maior que a despesa, ou seja, 518,4 > 515.

04. A P.G. de aumento anual de massa é (4, 2, 1, 12

,

....) Logo:

S∞ = 4

112

412

−= = 4 . 2 = 8

Assim, o rapaz só alcançaria 68 kg se ele vivesse infinitamente. Como isso não ocorre, logo ele nunca alcançará 68 kg.

66) 13

01. Sabemos que r = a2 – a1 = a3 – a2 = ... Logo: x + 10 – x = x2 – (x + 10) 10 = x2 – x – 10 x2 – x – 20 = 0

Pela fórmula de Bháskara temos:

x = −− ±

=± =

=−

( ) ’

"1 812

1 92

5

4

↗

↘

x

x

Como x < 0, do enunciado, logo x = –4. Temos assim a sequência (–4, 6, 16, ...) de r = 10.

a20 = (–4) + 19 . 10 a20 = –4 + 190 a20 = 186

04. 11024

= 2 . 12

1

−n

12048

= 12

1

−n

1

2

1

211 1= −n

11 = n – 1 n = 12

65) 09

01. Falsa. Se a distância da 7ª à 10ª placa é de 1200 m, logo a distância entre placas subsequentes é de 400 m. Temos assim, que a distância entre a 1ª e a 20ª placa é de 19 . 400 = 7600 m.

08. Falsa. Observe que a sequência forma uma P.G. de razão q = 0,98, pois:

a2 = a1 – 2

100 . a1

a2 = a1 . 12

100−

a2 = a1 . 98100

a2 = a1 . 0,98

Logo, daqui a 9 meses, (ou seja, no mês 10), temos: a10 = 98 . (0,98)10 –1

a10 = 98 . (0,98)9

a10 = 100 . 0,98 . (0,98)9

a10 = 100 . (0,98)10

GABARITO

14 Matemática E

08. P.A. ⇒ (x, 5, y), logo x y+2

= 5 ⇒ x = 10 – y (I)

P.G. ⇒ (x, 4, y), logo x . y = 42 ⇒ x . y = 16 (II)

Substituindo (I) em (II): (10 – y) . y = 16 10 – y2 = 16 y2 – 10y + 16 = 0

Por Bháskara temos: y' = 2 y" = 8

Logo, substituindo em (I), temos: y = 2 ⇒ x = 8 y = 8 ⇒ x = 2

Como a P.A. é crescente, temos: x = 2 e y = 8, (2, 5, 8). A soma dos 10 primeiros termos a10 = 2 + 9 . 3 a10 = 2 + 27 ⇒ a10 = 29

S10 = 2 29 102

31 102

+( )=

. .

S10 = 155

68) B

A primeira sequência, temos (100, 250, 400, ...), ou seja, uma P.A. de razão r = 150.Logo:a9 = 100 + 8 . 150a9 = 100 + 1200a9 = 1300

S9 = 100 1300 92

1400 92

+( )=

. .

S9 = 6300

Logo eu tenho R$ 6300,00 para receber. Como a segunda proposta forma uma P.G. de razão q = 2 e primeiro termo a1 = 100, temos assim:

6300 = 100 2 12 1

100 2 11

. .n n−( )

−=

−( )

6300 = 100 . (2n – 1)63 = 2n – 164 = 2n

2 26=

n

n = 6

69) B

Observe que o raio da circunferência é metade da diagonal. Logo:

a1 = 4 cm ⇒ d = 4 2 ⇒ r = 2 2 ⇒ A = (2 2)2π = 8πa2 = 2 cm ⇒ d = 2 2 ⇒ r = 2 ⇒ A = ( 2)2π = 2π

a3 = 1 cm ⇒ d = 2 ⇒ r = 22

⇒ A = 22

2

π =

14π

Onde d é a diagonal do quadrado (e ainda o diâmetro da circunferência), r é o raio da circunferência e A é a área circunferência (A = πr2).

Logo as áreas formam uma P.G. de razão q = 14

.

(8π, 2π, 14π, ...)

S∞ = 8

114

834

323

π π π

−= =

70) A

x x x x x2

3 9 2712− −( )−( )−( )− −...

Multiplicando a equação por (–1), temos:

− + +( )+( )+( )+=

x x x x x

Soma inita de uma P G com q

2

13

3 9 27 ...

inf . .

� ��������������� ��������������− 1

2

Logo: S∞ = aq

x x x1

1 113

23

32−

=−= =

–x2 + 32x

= 12

–2 3

2

2x x+ = 12

–2x2 + 3x = 12x2 – 3x + 1 = 0

Por Bháskara temos:  x' = 12

x" = 1

71) A

A sequência é uma P.G. infinita de razão q = 12

. Vamos

considerar seu primeiro termo e a10 seu décimo termo.

S∞ = aq

1

1−

64 2 = a a1 1

112

12

−=

2a1 = 64 2 ⇒ a1 = 32 2

GABARITO

15Matemática E

Logo, a10 = a1 . qn – 1

a10 = 32 2 . 12

9

a10 = 32 2 . 1512

a10 = 32 2512

⇒ a10 = 216

72) B

x y x y x y

Analisando um caso menor para entender o geral transformando esses radicais em expoente fracionário, teremos:

y x y x y x1 21 2 1 2 1 2 1 2

// / / /

( )( )( )

1 2/

Temos o seguinte:

x y x y x y12

14

18

116

132

164. . . . .

Se generalizarmos, essa sequência continua: reagru-pando-se os valores de x e somando-se os expoentes (mesma base multiplicando, soma-se os expoentes), temos:

12

18

132

12

1141

4

+ + + ⇒ =−=∞

P G initade razão

S

. . inf

...

11234

23

=

Da mesma maneira para os expoentes de y:

14

116

164

14

114

1434

13

+ + + ⇒ =−= =∞... S

Logo: x y23

13.