Geometria, para que te quero?

Como o GPS

localiza com

exatidão qualquer ponto da superfície terrestre?

“

”

Grandes questionamentos nem sempre têm soluções complexas, têm, muitas vezes, ideias simples, porém geniais. Com conhecimentos básicos de geometria, muita imaginação e criatividade, cálculos aparentemente impossíveis de serem realizados foram feitos por mentes brilhantes que por aqui já passaram e deixaram seus feitos documentados ou gravados no imaginário popular, passando de geração em geração, até serem registrados por terceiros.

A TERRA É REDONDA?

O bibliotecário e diretor da Biblioteca de Alexandria, Eratóstenes de Cirênia (276 – 194 a.C.), conhecia um fato curioso que chamava a atenção dos habitantes de Siena (atual Aswân). Ao meio-dia do primeiro dia do verão, era comum ver pessoas olhando a superfície da água de um velho poço para ver refl etida a luz do sol.

Em um desses dias, em Alexandria, observando a sombra gerada por uma coluna, Eratóstenes pensou: “Se é fato que, nesse momento, um poço profundo em Siena está refl etindo a luz do sol, e sendo a Terra plana, as colunas daqui de Alexandria não eram para gerar sombra. Há alguma coisa errada. Se existe sombra, só há uma explicação: a Terra é redonda.”

Raios solares

Poço em Siena

Coluna emAlexandria

Sombrada coluna

nº8MatemáticaProf. João Mendes

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SE A TERRA É REDONDA, QUAL É O COMPRIMENTO DA MAIOR CIRCUNFERÊNCIA DA TERRA?

Não satisfeito com a dedução de que a Terra era redonda, Eratóstenes decidiu calcular o comprimento da maior circunferência da Terra. Para isso, ele, atleta que era, e um grupo de amigos, contam alguns historiadores, caminharam de Alexandria até Siena e estimaram a distância percorrida em 5000 estádios (cerca de 800 km). De volta à Alexandria e com o conhecimento de que Alexandria e Siena ficavam praticamente sobre um mesmo meridiano, Eratóstenes imaginou os prolongamentos da coluna (em Alexandria) e o do poço (em Siena) se encontrando no centro da Terra e aguardou ansiosamente o primeiro dia do verão do ano seguinte, quando estimou em 1

50 de um círculo o ângulo que

os raios solares formavam com a coluna. Veja o seguinte modelo matemático compatível com os

dados conhecidos por Eratóstenes.

Raios solares

Poço em Siena

O (centro da Terra)

Coluna emAlexandria

Sombrada coluna

800 km

b

a = 1 de 360º50

Nesse esquema, os ângulos alternos internos de retas

paralelas, a e b, são congruentes, ou seja, b = 1

50 de 360°.

Com isto, Eratóstenes concluiu que a distância de Alexandria

a Siena (5000 estádios, 800 km) era 1

50 do comprimento

da maior circunferência da Terra. Ele encontrou, assim, o comprimento de 250000 estádios (cerca de 40000 km) para a circunferência da Terra, algo em torno de 15% a mais que o real. O erro ocorreu por duas razões: a distância entre Siena e Alexandria não era exatamente 5000 estádios, nem as duas cidades se localizavam no mesmo meridiano.

COMO MEDIR O RAIO DA TERRA?

Eratóstenes, assim como Aristóteles, Arquimedes e outros estudiosos gregos estimaram um perímetro para a circunferência máxima da Terra e, consequentemente, o seu raio. Não se sabe ao certo quem, mas foi na antiga Grécia que alguém idealizou o seguinte processo para o cálculo do raio da Terra.

Em uma praia, do alto de uma torre vertical, um observador olha para um ponto P da linha do horizonte. Os olhos desse observador estão a uma altura h do solo, enquanto o raio visual e a linha vertical da torre formam um ângulo de medida θ.

hP

θ

Conhecendo o fato de que toda reta tangente a um círculo é perpendicular ao raio no ponto de tangência, pode-se criar o seguinte modelo matemático, no qual o ponto C representa o centro da Terra, e R, o raio.

R

h

O

θ

R

P

C

Com esse modelo e os conhecimentos rudimentares de trigonometria, uma vez conhecidos h e θ, o cálculo da medida R do raio da Terra é relativamente simples. Veja:

senR

R hR sen h sen R h sen R senθ θ θ θ θ=

+→ ⋅ + ⋅ = → ⋅ = −( )1

Daí, Rh sen

sen=

⋅−

θθ1

.

COMO UM NAVEGADOR, EM ALTO-MAR, PODE DETERMINAR A SUA LATITUDE?

A medida em grau do menor arco de circunferência, sobre a superfície terrestre, que liga um ponto à linha do equador é a latitude do ponto.

Para o cálculo da latitude de um ponto sobre a superfície terrestre, ao norte e ao sul da linha do equador, podem ser tomadas como referências as estrelas Polaris e Sigma Octantis, respectivamente. Essas estrelas, consideradas pontos do eixo de rotação da Terra, estão tão distantes da Terra que os raios de luz delas provenientes e que incidem sobre nosso planeta são considerados paralelos. Assim, olhando para uma dessas estrelas, de todos os pontos da Terra de onde é possível visualizá-la, os raios visuais serão paralelos ao eixo de rotação da Terra.

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Se, por exemplo, de um ponto A ao norte da linha do equador, um navegador, utilizando um sextante, mira a estrela Polaris sob um ângulo de 40º com o plano horizontal, a latitude do ponto A é 40º norte.

eixo derotação

linha do equadorcentro da

Terra

planohorizontal

raio visual donavegador ao mirara estrela Polaris

A

40º

Observe que o plano horizontal formando um ângulo θ = 40° (alternos internos de retas paralelas) com o eixo de rotação, o ângulo central α é tal que α = θ = 40°(α e θ são complementos do mesmo ângulo β).

40º

A

BC

α

β

θ

Assim, o arco AB� = α = 40° (ângulo central), mostrando que a latitude de A é 40°.

COMO O GPS LOCALIZA COM EXATIDÃO QUALQUER PONTO DA SUPERFÍCIE TERRESTRE?

O Sistema de Posicionamento Global (GPS) foi criado para fins militares. No entanto, hoje, qualquer civil tem acesso a esse sistema, e seu uso é praticamente indispensável na localização de endereços, rotas, rastreamento de veículos, pessoas ou animais. Mas como se dá o funcionamento do GPS?

Com um período de 12 horas (tempo para dar uma volta), orbitando em torno da Terra, a uma altitude de 20200 km, existem 24 satélites enviando sinais para os receptores GPS. Quando o receptor GPS detecta um dos satélites, a distância entre eles é calculada. Com isso, já se sabe que o receptor se encontra na superfície de uma esfera cujo centro é o satélite e cujo raio é a distância calculada. Sabendo que o receptor está na superfície da Terra, as possíveis posições ficam restritas à circunferência que representa a intersecção dessa esfera com a Terra (note que o satélite não fica obrigatoriamente acima do receptor).

Quando o receptor detecta um segundo satélite, a distância entre eles é calculada e uma segunda esfera é formada, gerando uma segunda circunferência com as possíveis posições do receptor. Agora, as possíveis posições do receptor estão reduzidas a dois pontos, intersecções das duas circunferências determinadas.

Um terceiro satélite é detectado e, de modo análogo, uma terceira circunferência é gerada na superfície da Terra com as possíveis posições do receptor.

A posição do receptor é a intersecção das três circunferências geradas, respectivamente, nas três esferas pela superfície da Terra.

Matemática. Manuel Paiva – Textos diversos, coletados e adaptados.

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EXERCÍCIOS

1. Em certo momento, do observatório astronômico A, a Lua é vista no zênite, isto é, na vertical, sob um ângulo β, e, no observatório B, a Lua é vista na linha do horizonte, conforme as figuras seguintes.

O R

R

B

A L

α

Terra

Lua

Figura 1

A

T

T’

L LuaβTerra

Figura 2

Um estudante de astronomia, que já conhece a medida R do raio da Terra e a medida α do ângulo central AOB� , que é igual à medida do arco AB�, está interessado em determinar a medida r do raio da Lua. Para isso, ele estimou em β a medida do ângulo de visão da Lua (TÂT), a partir do observatório A. Já usando o cosseno de α na figura 1,

ele encontrou AL = R

cosR

α− .

Com base nessas informações e considerando a distância AL = d, a medida r do raio da Lua é igual a:

A) d sen

sen

⋅

−

β

β2

12

B) d ⋅

−

cos

cos

β

β2

12

C) d

sen

⋅

−

cosβ

β2

12

D) 2

2

12

d sen

sen

⋅

−

β

β

E) 2

2

12

d ⋅

−

cos

cos

β

β

2. Em uma noite de lua cheia, Paulo e Renata realizaram a seguinte experiência: Paulo fechou um dos olhos, e Renata segurou uma moeda de 2,5 cm de diâmetro entre a Lua e o olho aberto de Paulo, de modo que o jovem visse a moeda coincindindo com a imagem do disco lunar. A seguir, mediram a distância entre a moeda e o olho aberto de Paulo, obtendo 290 cm. Sabendo que a distância da Terra à Lua é 4 · 105 km, os jovens estimaram a medida do diâmetro da Lua.

Com esses dados, a melhor estimativa para a medida do diâmetro da Lua, em quilômetros, é:A) 3,30 · 103 B) 3,35 · 103

C) 3,40 · 103 D) 3,45 · 103

E) 3,50 · 103

3. (UFSCar-SP) Os satélites de comunicação são posicionados em sincronismo com a Terra, o que significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio da Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades na Terra, separadas pela maior distância possível em que um sinal pode ser enviado e recebido, em linha reta, por esse satélite.

Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a distância de:

A) 6 3RB) 7 3R

C) 8 3R

D) 10 2R

E) 11 2R

4. (Cesgranrio-RJ) Supondo a Terra esférica de centro C, o comprimento (perímetro) do paralelo PP’, mostrado na ilustração, é metade do comprimento da linha do equador EE’.

A latitude desse paralelo é:A) 30ºB) 40ºC) 45ºD) 60ºE) 70º

5. Consideremos a Terra como uma esfera de centro C e raio R. Qualquer plano secante à superfície terrestre e perpendicular ao seu eixo de rotação determina nessa superfície uma circunferência chamada de paralelo terrestre.

Sejam A e B dois pontos distintos de um paralelo de raio R 3

3.

Se um navio, indo de A até B, sobre esse paralelo, percorre 120º, então a medida α do ângulo ACB� é:

A) 30º B) 150ºC) 90º D) 60ºE) 120º

GABARITO (V. 7)

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D A D D A

Professor Colaborador: Fábio Coelho

OSG: 43716/11 - A.J - REV.: AR