MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 1º Ano Inequação logarítmica

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Ensino Médio, 1º Ano

Inequação logarítmica

Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica

Uma colônia de bactérias, que já possui 100000 bactérias, aumenta a

quantidade das mesmas a uma taxa de 20% ao dia.

Com base nessas informações, podemos estabelecer uma equação que

expresse a quantidade de bactérias em função do tempo, em dias:

y = 100 000 (1 + 0,2)∙ t

y = 100 000 (1,2)∙ t


Podemos, assim, obter t em função de y, aplicando logaritmo aos dois

membros da equação anterior:

log1,2 y = log1,2 [100 000 (1,2)∙ t]

Aplicando, então, as propriedades dos logaritmos, teremos:

log1,2 y = log1,2 100 000 + log1,2 (1,2)t

log1,2 (1,2)t = log1,2 y − log1,2 100 000

t log∙ 1,2 1,2 = log1,2 y .

100 000

t = log1,2 y .

100 000


Com essa expressão matemática, é possível prever o que acontecerá

em relação à quantidade de bactérias da colônia em determinada

quantidade de dias, se as condições não forem modificadas.

Por exemplo:

Se não for aplicado nenhum antibiótico em 10 dias, a quantidade de

bactérias y será tal que:

log1,2 y > 10

100 000


Inequações como essa, que têm a variável no logaritmando ou na base

de um logaritmo, são chamadas de inequações logarítmicas.

Assim:

Inequação logarítmica é toda inequação que apresenta a variável no

logaritmando ou na base de um logaritmo.


Exemplos:

log2 (3x + 4) > 5

log3 (2x − 5) ≤ log3 (5x + 1)

log4 x + log4 (x + 2) < 8

log5 (x² − 4) − log5 (x + 2) ≥ log5 (2x + 1)

log (x + 3) + log (4x − 5) > log (2x − 7) + log (3x + 2)


A resolução de uma inequação logarítmica baseia-se nas seguintes

propriedades das funções logarítmicas:

• loga b > loga c se, e somente se, b > c, com a > 1;

• loga b > loga c se, e somente se, b < c, com 0 < a < 1.

Vamos, então, resolver algumas inequações logarítmicas como

exemplo.


• log3 (2x − 6) < log3 4

Primeiro, vejamos a condição de existência:

2x − 6 > 0

2x > 6

x > 3

Agora, aplicando a primeira propriedade, vista no slide anterior (pois a

base do logaritmo é maior que 1), teremos que:


2x − 6 < 4

2x < 4 + 6

2x < 10

x < 5

Temos, então que:

x > 3 (condição de existência) e x < 5

Logo:

S = {x R | 3 < x < 5}


• log0,5 (2x − 8) > log0,5 6

A condição de existência será:

2x − 8 > 0

2x > 8

x > 4

Aplicando, agora, a segunda propriedade das funções logarítmicas (pois

a base é maior que 0 e menor que 1), teremos que:


2x − 8 < 6

2x < 6 + 8

2x < 14

x < 7

Temos, então que:

x > 4 (condição de existência) e x < 7.

Logo:

S = {x R | 4 < x < 7}


• log2 (x² − 1) ≥ log2 3

Observando a condição de existência:

x² − 1 > 0

D = 0² − 4 1 (− 1)∙ ∙

D = 4

x = − 0 2 2 1∙

x’ = − 2 = − 1 e x” = 2 = 1 2 2


Portanto:

x < − 1 ou x > 1

Aplicando, agora, a primeira propriedade das funções logarítmicas

(pois a base é maior que 1), teremos:

x² − 1 ≥ 3

x² − 1 − 3 ≥ 0

x² − 4 ≥ 0

D = 0² − 4 1 (− 4)∙ ∙D = 16


x = − 0 4 2 1∙

x’ = − 4 = − 2 2

x” = 4 = 2 2

Assim:

x ≤ − 2 ou x ≥ 2


Temos, então que:

x < − 1 ou x > 1 (condição de existência) e x ≤ − 2 ou x ≥ 2.

A solução da inequação será dada então pela interseção entre essas

duas soluções. Ou seja:

Assim:

S = {x R | x ≤ − 2 ou x ≥ 2}


• log3 (4x − 1) > − 2

Primeiro a condição de existência:

4x − 1 > 0

4x > 1

x > 1 . 4


Agora, vamos transformar − 2 em logaritmo de base 3, assim:

log3 a = − 2

a = 3− 2

a = 1 . 32

a = 1 . 9

Portanto:

− 2 = log3 1 . 9


Desta forma, teremos:

log3 (4x − 1) > log3 1 . 9

Aplicando a primeira propriedade das funções logarítmicas (pois a base

do logaritmo é maior que 1), teremos:

4x − 1 > 1 . 9

O que resulta em:

9 (4x − 1) > 1∙


Daí, vem:

36x − 9 > 1

36x > 1 + 9

36x > 10

x > 10 . 36

x > 5 . 18


Temos, então:

x > 1 (condição de existência) e x > 5 . 4 18

Logo:

S = {x R | x > 5/18}


O conhecimento da resolução de inequações logarítmicas pode servir

para determinar o domínio de algumas funções. Veja um exemplo:

• Determine o domínio da função:

f(x) = log0,5 (x − 2)

Como se trata de uma raiz quadrada, então:

log0,5 (x − 2) ≥ 0


Verificando a condição de existência:

x − 2 > 0

x > 2

Transformando o 0 em um logaritmo de base 0,5, teremos que:

log0,5 a = 0

a = (0,5)0

a = 1

Portanto:

log0,5 (x − 2) ≥ log0,5 1


Aplicando, agora, a segunda propriedade das funções logarítmicas

(0 < 0,5 < 1), teremos:

x − 2 ≤ 1

x ≤ 1 + 2

x ≤ 3

Temos, então:

x > 2 (condição de existência) e x ≤ 3

Logo:

D(f) = {x R | 2 < x ≤ 3}


ATIVIDADES PROPOSTAS

1) Resolva as inequações:

a) log12 (x + 9) > log12 144

b) Log8 x ≥ 2

c) Log3 (log3 x) < log3 81

d) Log2 (x + 1) + log2 3 > log2 4

e) Log0,2 (x + 3) ≤ 1


2) Determine o domínio das seguintes funções:

a) f(x) = log (x + 3)

b) g(x) = 1 . log2 x

c) h(x) = log4 x − 2

d) i(x) = log (1 − 2x)


LINKS

http://www.fund198.ufba.br/expo/eq-ine.pdf

http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-logaritmica/

https://www.youtube.com/watch?v=eGDHbkrX2b8

https://www.youtube.com/watch?v=tr5pucDmuRI










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