Matemática e suas Tecnologias Geometria Plana

Ensino Médio, 1º Série

Ângulos

Você sabia que...

...a reta é um conjunto infinito de pontos?...é usual representar os pontos por letras maiúsculas (A,B,C,...,M,N,...)

E as retas por letras minúsculas (r,s,t,...)?Obs: Nos conjuntos numéricos, a convenção é inversa: as letras

Maiúsculas designam conjuntos e as letras minúsculas os seuselementos.

...Por dois pontos distintos A e B, passa uma única reta r ou AB?

Reta: r ou ABSemi-retas: ou CA e ou CB

A E eP Ɇ r

A C B

•P

r | | |

C D m(PQ) = 3(lê-se: a medida de PQ é igual a 3)

A P u u u Q B

r | | | | | |

u

1cm

...Na figura estão definidas as semi-retas CA e, CB cuja origem comum é o ponto C?... A reta ou AB é o suporte das semi-teras CA ou CB?

... A poção de uma reta r, definidas por dois de seus pontos P e Q, é chamada segmento, e é representada por ou PQ?

... Medir um segmento é compará-lo com outro tomado como unidade?... O número, resultante da medida de um segmento, é também chamado de

distância entre os dois pontos? T... É comum dizer-se que o segmento PQ mede 3cm?

...isto significa que o resultado da medida é 3, adotando-se o centímetro como unidade?

... neste caso, usando a notação (representação) simplificada, podemos escrever - MN ≡ RS

... os segmentos definidos na mesma reta (isto é, que têm na mesma reta suporte) são denominados colineares?

(adotando-se a mesma unidade)?

MN ≡ RS (lê-se: MN é congruente a RS)

M N R S

r | | | | | |

... É usual representar-se a medida do segmento de extremos P e Q.Simplesmente por PQ ao invés de m (PQ)?

... Os segmentos da figura seguinte são chamados congruentes, porque apresentam a mesma medida (adotando-se a mesma unidade)?

Segmentos colineares: AB, CD e EF

A B C D E F

r | | | | | |

... os segmentos da figura a seguir são consecutivos, porque, considerados dois a dois, só possuem um extremo em comum?

M

N

P

Q

Segmentos consecutivos:

MN ᵔ NP = (N)NP ᵔ PQ = (P)

... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos?... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta,

γ – gama, ...)?... um plano contém uma infinidade de retas?

... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares?

Plano (α)

(α)

r ⊂ αs ⊂ αt ⊂ α

r, s e t São coplanares

r s t

... as retas coplanares que não tem ponto em comum são denominadas paralelas? ...as retas concorrentes ou incidentes são coplanares e apresentam somente um

ponto em comum?... duas retas representadas pelo mesmo conjunto de pontos são chamadas

coincidentes (ou não-distintas)?

... traçando uma reta, no chão de sua casa, e outra no teto, elas não se encontram, e, entretanto, pode não ser paralelas? Examine a figura seguinte

r ⊂ αs ⊂ α

r ᵔ s = øRetas paralelas: r e s r // s

Retas concorrentes: p e q { p ᵔ q = {A} Retas coincidentes: u e t { u ᵔ t = u ᵕ t

(α)r s

U

t

p

qA

... qualquer reta de um plano divide esse plano em regiões, denominadas semiplanos?

... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos?

(α)

(β)

r

s

(α1) (α2)

r

r é a origem comum dos semiplanos(α1) e (α2)

... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos?

M

N

P

Q

Segmentos consecutivos:

MN ᵔ NP = (N)NP ᵔ PQ = (P)

... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos?... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta,

γ – gama, ...)?... um plano contém uma infinidade de retas?

... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares?

Plano (α)

(α)

r ⊂ αs ⊂ αt ⊂ α

r, s e t São coplanares

r s t

POSTULADO – TEOREMA As sentenças (matemáticas ou não) podem ser classificadas em dois grupos:

Postulados (ou Axiomas) - sentenças que são aceitas como verdadeiras sem prova. São evidentes por si mesmas.

M •

•

•

P

r

B

A

s

Exemplos:1 - "A reta é ilimitada nos dois sentidos."2 - "Por um ponto passa uma infinidade de retas."3 - "Por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta."

(α)

•

• B

A

r

(α)

2.1 – DEFINIÇÃOÂngulo é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem

(α)

OA

B

EI

Ângulo AOB = OA ᵕ OB

I Região internaE Região externa

2.2 – ÂNGULOS CONGRUENTESSão aqueles que podem coincidir por superposição

BA

C

E

F D

ABC ≡ DEF

(lê-se: o ângulo ABC é congruenteao ângulo DEF)

2. 3 – BISSETRIZ DE UM ÂNGULOÉ a semi-reta que divide o ângulo em dois outros congruentes

Obs.: É comum assinalar os ângulos congruentes com igual número de traços

B

A

CO

OC (bissetriz) AOC ≡ COB

2. 4 – RETAS PERPENDICULARES: ÂNGULO RETODuas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam quatro ângulos

congruentes.Denomina-se ângulo reto a qualquer um desses ângulos. Representa-se por r ou ( )

Obs.: Se os ângulos não forem congruentes (DEB e DEO), as retas são oblíquas.

D

E B

C

OA

BOD ≡ DOA ≡ AOC ≡ COB ≡ 1r

CD AB (lê-se: CD é perpendicular a AB)DE AB (lê-se: DE é oblíqua a AB)

2.5 – MEDIDA DE ÂNGULOS (Sistema sexagésima)

Grau 0 1° = 1r/90

Minuto ‘ 1’ = 1°/60

Segundo “ 1” = 1’/60

2.6 – ÂNGULOS COVEXOS São aqueles cuja medida está compreendida entre 0° e 180°.

Entre os ângulos convexos, distinguimos:

2. 7 – ÂNGULOS CÔNCAVOS (ou NÃO-CONVEXOS) São aqueles cuja medida está compreendida entre 180° e 360°

C

B

A

E

F

D H G

I

Reto Agudo Obtuso

ABC = 90° 0° < DEF < 90° 90° < GHI < 180°

AOB > 180°

A

B

O

2.8 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES REPLEMENTARES Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°

(1 reto).Neste caso, cada um deles diz-se complemento do outro.

Exemplo: O complemento de 28° é 62°, porque 28° + 62° = 90°.Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°

(2 retos).Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°

(4 retos).Daí, representando a medida de um ângulo por x, teremos:

Complemento 90° - x

Suplemento 180° - x

Replemento 360° - x

2.9 – ÂNGULOS ADJACENTES dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo vértice e um lado comum,

compreendido entre os não-comuns

115°35°

30°

C

B

A

OD

AOB e BOC ; lado comum: OB

AOC e BOD ; lado comum: OB

AOC e COD ; lado comum: OC

Da figura acima você conclui que:AOC + COD = 180°

De um modo geral, podemos dizer:Teorema: “Dois ângulos adjacentes, que têm os lados não comuns em

linha reta, são suplementares.”

2.10 - ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P. V.)Dois ângulos são opostos pelo vértice, quando o lado de um deles são as semi-retas

opostas dos lados do outro

2.11 – TEOREMA

"Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes." Na figura acima temos: a = b ; c = d

C B

DA

O

d

b

c

a

AOC e BOD

AOD e BOC

2. 12 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS1 – reduza à fração de grau: a) 20° 36 b) 45° 12'

2 – Reduza à 4'48" a segundos.

60’ → 1°Solução: a) → x = 36/60 = Logo: 20° 36' = 20° + 0,6° = 20,6°

36’ → x

Observação: 1° → 60’

Da proporcionalidade , concluímos que 0,1° = 6’ 0,1° → x

b) pela observação, resulta: 12’ = 0,2° assim: 45° 12’ = 45° + 0,2° = 45,2°

1’ → 60”Solução: → x = 240” Logo: 4'48" = 240" + 48" = 248"

4’ → x

3.1 ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS

Dois ângulos de lados paralelos são:Congruentes - se ambos forem agudos, retos ou obtusos

Suplementares - se ambos retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso

a ≡ b c ≡ d

e

bc

d

f

e + f 180°

a

3.2- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARESDois ângulos de lados perpendiculares são:

Congruentes - se ambos agudos, retos ou obtusos Suplementares - se ambos forem retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso

n

m

p

q

m = n p + q = 180°

3 - DUAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL

Região externa

Região externa

Região interna

b t

a

r

A

c

e

sh

B

f

g

Paralelas: r e sTransversais: t

Os pares de ângulos (um com vértice em A e outro em B) são definidos da seguinte forma:

Do mesmo lado da transversal

Ambos na região interna: Colaterais Internos (d;e) (c;f)

Ambos na região externa: Colaterais Externos (a;h) (b;g)

Uma na região interna e outro na externa: Correspondentes (a;e) (b;f) (d;h) (c;g)

Em lados opostos da transversal

Ambos na região interna: Alternos Internos (c;e) (d;f)

Ambos na região externa: Alternos Externos (a;g) (b;h)

Conclusões: Do conhecimento dos ângulos opostos pelo vértice (2.10 e 2.11) e dos de lados

paralelos (3.1), resulta que, na fig. 22:

a=c=e=g b = d =f = h

CorrespondentesAlternos internosAlternos externos

Congruentes

Colaterais internoColaterais externos

Suplementares