Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 9º Ano Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º

Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Fundamental, 9º AnoRazões trigonométricas dos ângulos

de 30º, 45º e 60º

Matemática, 9º Ano do Ensino FundamentalRazões trigonométricas dos ângulos de 30o, 45o e 60o

Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º

Objetivos:

1. Definir os conceitos das razões trigonométricas fundamentais de um ângulo agudo;

2. Identificar figuras geométricas conhecidas associadas aos ângulos notáveis: 30º, 45º e 60º;

3. Calcular os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis.

4. Aplicar em situações do cotidiano.


Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º

Trigonometria

A palavra trigonometria vem do grego trigōnon, que significa triângulo, mais metron, que significa medida.

De modo simples, podemos dizer que a trigonometria é o ramo da Matemática que estuda as razões entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, tomando como referência os possíveis valores de um dos seus ângulos agudos.

As aplicações da trigonometria remetem a diversos campos de conhecimentos: todas na engenharia, na astronomia e nas ciências naturais, especialmente na matemática, na física e na química.


Razões trigonométricas fundamentais

De um modo resumido, podemos seguir a seguinte linha de raciocínio:

Dado um ângulo agudo , isto é, um ângulo cuja medida ,Podemos construir naturalmente um triângulo retângulo no qual um de seus ângulos agudos mede :

o900

Note que dois possíveis triângulos retângulos assim produzidos são automaticamente semelhantes.(use o caso de semelhança AAA)

Isto significa que embora suas medidas não precisam ser unicamente determinadas, as razões que elas induzem são únicas devido à proporcionalidade obtida a partir da razão de semelhança entre os dois triângulos retângulos.


Razões trigonométricas fundamentais

Deste modo, associados ao ângulo , definimos as seguintes razões:

ab

retângulotriângulodohipotenusaânguloaoopostocatetosen

)(

As três razões acima estabelecidas são chamadas de razões trigonométricas fundamentais de um ângulo agudo e são chamadas respectivamente de seno, cosseno e tangente do ângulo .

ac

retângulotriângulodohipotenusaânguloaoadjacentecateto

)cos(

cb

ânguloaoadjacentecatetoânguloaoopostocatetotg

)(

AB

C

a

b

c


Problema

Dois amigos, João e Pedro, estavam caminhando no centro de Recife quando João olhou para cima e viu um prédio bastante alto em comparação aos outros e perguntou a Pedro se ele saberia dizer aproximadamente a altura do prédio.Pedro então lhe respondeu:

- Se eu tivesse um teodolito em mãos e uma trena te responderia com certeza qual é altura do prédio.

Teodolito: ferramenta utilizada para medir ângulos e inclinações.

Imagem: Pablo Alberto Salguero Quiles / Disponibilizado por Alberto Salguero / Teodolito: ferramenta utilizada para medir ângulos e inclinações Museo Geominero de Madrid (España) / GNU Free Documentation License.

Imagem: Flickr / Trena: ferramenta utilizada para medir comprimentos e distâncias / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic.

Trena: ferramenta utilizada para medir comprimentos e distâncias.


Problema

João duvidou, dizendo que era impossível fazer essa medição somente com esses dois instrumentos.

No mesmo momento, Pedro falou:

- João, acho que do ponto em que estamos, vejo o topo do prédio sob um ângulo de 45º .

Então, caminhou em direção ao prédio contando os passos até chegar em um ponto onde ele achou que enxergava o topo do prédio sob um ângulo de 60º - ao todo foram 20 passos largos.

Pedro disse: - Meus passos largos medem aproximadamente 1 metro. Se eu tivesse o teodolito e a trena, essas medidas seriam mais exatas.


Problema

- João, se você concordar com essas medidas aproximadas posso te calcular a altura do prédio. Você concorda?

João concordou e os dois foram para uma lanchonete, pediram dois sucos e começaram a fazer as contas.

Pedro pegou um guardanapo e fez o seguinte desenho:

20 m

x

y


Solução

- João, observe que não sabemos a distância y do ponto B até o prédio e muito menos a altura x do prédio.

- Mas conhecemos a distância entre os pontos A e B, bem como os ângulos sob os quais visualizamos o topo do prédio nestes pontos.

)60()60( oo

tgxy

yxtg

yxtg o

20)45(

xtg

tgxtg o

oo

)60(20)60()45(

Agora, utilizando a trigonometria podemos calcular a altura do prédio x.

Note que:

e, da equação obtemos que

x

y20 m


Solução - Pronto! – disse Pedro, resolvemos o problema.Descobrimos que:

- Opa! – disse João.- Pronto nada! Eu ainda não sei a altura do prédio e não temos nenhuma tabela trigonométrica por aqui.- E agora? Como você sai dessa?

)45()60()60()45(20

oo

oo

tgtgtgtgx

Como a trigonometria é uma ferramenta muito útil para resolver diversos problemas, podemos encontrar nos livros e manuais tabelas, contendo as razões trigonométricas de todos os valores dos ângulos agudos. Essas tabelas são chamadas de tabelas trigonométricas.

Tabela de Razões Trigonométricas

Ângulo (graus) Seno Cosseno Tangente Ângulo (graus) Seno Cosseno Tangente

12345678910

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

4142434445

0,017450,034900,052340,069760,087160,104530,121870,139170,156430,17365

0,190870,207910,224950,241920,258820,275640,292370,309020,325570,34202

0,358370,374610,390730,406740,422620,438370,453990,469470,484810,50000

0,515040,529920,544640,559190,573580,587790,601820,615660,629320,64279

0,656060,669130,682000,694660,70711

0,998950,999390,998630,997560,996190,994520,992550,990270,987690,98481

0,981630,978150,974370,970300,965930,961260,956300,951060,945520,93969

0,933580,927180,920500,913550,906310,898790,891010,882950,874620,86603

0,857170,848050,838670,829040,819150,809030,798640,788010,777150,76604

0,754710,743140,731350,719340,70711

0,017460,034920,052410,069930,087490,105100,122780,140540,158380,17633

0,194380,212560,230870,249330,267950,286750,305730,324920,344330,36397

0,383860,404030,424470,445230,466310,487730,509530,531710,554310,57735

0,600860,624870,649410,674510,700210,726540,753550,781290,809780,83910

0,869290,900400,932520,965691,00000

4647484950

51525354555657585960

61626364656667686970

71727374757677787980

818283848586878889

0,719340,731350,743140,754710,76604

0,777150,788010,798640,809030,819150,829040,838670,848050,857170,86603

0,874620,882950,891010,898790,906310,913550,920500,927180,933580,93969

0,945520,951060,956300,961260,965930,970300,974370,978150,981630,98481

0,987690,990270,992550,994520,996190,997560,998630,999390,99985

0,694660,682000,669130,656060,64279

0,629320,615660,601820,587790,573580,559190,544640,529920,515040,50000

0,484810,469470,453990,438370,422620,406740,390730,374610,358370,34202

0,325570,309020,292370,275640,258820,241920,224950,207910,190870,17365

0,156430,139170,121870,104530,087160,069760,052340,034900,01745

1,035531,072371,110611,150371,19175

1,234991,279941,327041,376381,428151,482651,539861,600331,664281,73205

1,804051,880731,962612,050302,144512,246042,355852,475092,605092,74748

2,904213,077683,270853,487413,732054,010784,331484,704635,144555,67128

6,313757,115378,144359,5143611,4301014,3007019,0811028,6363057,29000



E agora, como Pedro sai dessa?

Como podemos calcular e sem o auxílio de uma tabela trigonométrica?

Para responder essa pergunta, recorremos aos nossos conhecimentos da geometria plana:

Por exemplo, conhecemos algum triângulo retângulo com ângulos agudos de 30º, 45º ou 60º (se um ângulo agudo for 30º , o outro será de 60º).

Conhecendo tais triângulos e suas medidas poderemos facilmente calcular as tangentes desses ângulos e resolver o problema.

Assim, comecemos pensando como produzir um triângulo retângulo com um ângulo agudo de 45º (consequentemente o outro ângulo agudo é de 45º ).

)60( otg )45( otg


Quadrados!

Esse é fácil!Desenhe um quadrado, digamos que a medida de seus lados seja 1 dm.

Note que temos 4 ângulos retos e 4 lados medindo 1 dm.

Agora, traçando uma de suas diagonais, obtemos dois triângulos isósceles de lados 1 dm e base medindo .

Logo, os ângulos da base desses triângulos retângulos isósceles serão congruentes e, portanto, medem 45º .

2

O mesmo raciocínio poderia ser feito para um quadrado de lado qualquer.

Faça você agora, supondo que o quadrado tenha lado 2 dm.

2. .

. .

45

.

1

12

45

.


Quadrados!

Pronto, agora com as medidas do triângulo retângulo isósceles ao lado, podemos calcular os valores de seno, cosseno e tangente de 45º .

Deste modo, temos que:

Logo, observando que o triângulo retângulo isósceles de lados 1 dm e base dm tem os dois ângulos agudos medindo 45º, podemos calcular os valores de seno, cosseno e tangente de 45º .

2

22

21)45(

hipotenusaopostocatetosen o

22

21)45cos(

hipotenusaadjacentecatetoo

111)45(

adjacentecatetoopostocatetotg o

1

12

45


Triângulos Equiláteros!

Como um quadrado é um quadrilátero equilátero, tentemos alguma coisa no triângulo equilátero!

Desenhe um triângulo equilátero, digamos que a medida de seus lados seja agora 2 dm.

Note que temos 3 ângulos agudos congruentes e medindo 60º .

Agora, traçando uma de suas alturas, obtemos dois triângulos retângulos de catetos medindo 1 dm e dm.

Logo, as hipotenusas desses triângulos retângulos medem 2 dm.

3

Assim, observando que cada um desses triângulos retângulos tem um dos ângulos agudos medindo 60º e, consequentemente, outro ângulo agudo medindo 30º, podemos calcular os valores de seno, cosseno e tangente de 30º e 60º.

60 6060 60

.60

30

3

1

2



De modo análogo, calculamos os valores de seno, cosseno e tangente de 60º.

Deste modo, com as medidas do triângulo retângulo ao lado, podemos calcular os valores de seno, cosseno e tangente de 60º.

Logo, temos que:

23)60(

hipotenusaopostocatetosen o

21)60cos(

hipotenusaadjacentecatetoo

313)60(


. 60

30

3

1

2



Agora, focalizando no ângulo de 30º, obtemos:

23)30cos(

hipotenusaopostocatetoo

21)30(

hipotenusaadjacentecatetosen o

33)30(


O mesmo raciocínio poderia ser feito para um outro triângulo equilátero qualquer, tomando uma outra medida para seus lados.

Agora, suponha que o triângulo equilátero tenha um lado medindo 1 dm e calcule os valores de seno, cosseno e tangente desses ângulos.

. 60

30

3

1

2


Tabelas das Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis: 30º, 45º e 60º

Coletando os resultados obtidos anteriormente, somos capazes de produzir uma pequena tabela trigonométrica para os ângulos 30º, 45º e 60º:

30o 45o 60o

sen

cos

tg

22

22

1 333

21

23

23

21

Pronto, como essa tabela em mãos podemos retornar ao problema:


De volta ao problema:

Com a tabela em mãos, Pedro substituiu os valores e obteve o seguinte resultado:

30o 45o 60o

sen

cos

tg

22

22

1 333

21

23

23

21

13310

1313320

133120

)45()60()60()45(20

oo

oo

tgtgtgtgx

Usando , Pedro obteve que 73,13 mx 23,4773,23,17


Dica Legal!

Aqui vai uma dica legal para vocês. Não é politicamente correta, mas ajuda muito.

30o 45o 60o

sen

cos

tg

Comece escrevendo a tabela em branco.

Na primeira linha escreva 1, 2 e 3.

Na segunda linha escreva 3, 2 e 1.

Tire as raízes quadradas de todos.

Divida todos por 2.

Para a tangente, divida o valor do seno pelo valor do cosseno!

21 3

23 1

21 3

23 1

22

21

23

22

23

21

133 3

Ficou alguma dúvida?

Antes de resolver alguns problemas e exercícios, vamos assistir a um vídeo do youtube para revisar o que acabamos de aprender!

Clique no link a baixo para assistir ao filme:


http://www.youtube.com/watch?v=mba6Ea0jE_0

Hora do Filme!

Imagem: (a) gnokii / Pipoca / Creative Commons Public Domain Dedication. (b) Chris / Tira de filme / GNU Free Documentation License.




Exercícios Resolvidos

1. (UCSal-BA) Na figura abaixo tem-se o triângulo ABC, cujos ângulos internos têm as medidas indicadas.

Se M é o ponto médio de e AC= 10 cm, qual é a medida do segmento

AB?AM

C

A BM


Solução

Como no triângulo retângulo ABC temos que a hipotenusa AC mede 10 cm, usamos a razão trigonométrica:

cmABABABACABo 35

23

1010)30cos(

Agora, como M é o ponto médio do segmento , concluímos que a medida do segmento é dada por:

ABAM

cmAMABAM2

352

C

A BM



Solução

2. Um paralelogramo tem lados de medida 8 cm e 12 cm, e um de seus ângulos internos mede 120º. Calcule sua área.

234834123423

8)60( cmAreahhsen o

Deste modo, concluímos que a área do paralelogramo é 2348 cmsen

8 cm

12 cm

h



3. (UNIPAR-PR) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem a e 3a, respectivamente, então o cosseno do ângulo oposto ao menor lado é:

a) b) c) d) e)

Solução

1010

322

31

32 22

axaxaax 228)3( 22222

)(3

223

22)cos( bLetraaa

Assim, calculamos que:

x

a3a



4. (UNISAL-BA) Na figura abaixo, tem-se um trapézio isósceles cujos lados têm medidas indicadas.

A medida do ângulo assinalado é:

a) 60º b) 45º c) 30º d)22º 30’ e) 15º

4

22

6


Solução

Usando o fato de que o trapézio é isósceles, obtemos que:

o6021)cos(

Assim temos que a resposta correta é a letra (a).

2 2

6

4

2 2

6

4

.1


Agora é a sua vez!

Use a tabela das razões trigonométricas fundamentais dos ângulos notáveis

30o 45o 60o

sen

cos

tg

22

22

1 333

21

23

23

21

e resolva os seguintes problemas:


Exercícios Propostos

1. (MACK-SP) Na figura, determine o valor de AB:

A

BC

D

50 m

50 m



2. (VUNESP-SP) Na figura, os pontos C, D e B são colineares e os triângulos ABD e ABC são retângulos em B. Se a medida do ângulo ADB é 60º e a medida do ângulo ACB é 30º, demonstre que:

a) AD=AC b) CD=2.DB

BC

A



3. (UFPI-PI) Se um triângulo retângulo possui um ângulo interno que mede 30º, é sempre correto afirmar que:

a) o cateto oposto a esse ângulo mede a metade da hipotenusa.

b) o maior cateto mede o dobro do menor cateto.

c) o triângulo é isósceles.

d) o cateto oposto a esse ângulo mede o dobro da hipotenusa.

e) O cateto adjacente a esse ângulo mede a metade da hipotenusa.



4. Utilizando as razões trigonométricas dos ângulos notáveis, mostre que a altura h de um triângulo equilátero de lado é dada por: .

23

h

5. Determine a medida do lado BC do seguinte triângulo:A

C

6


Respostas

1. AB= 75 m

3. (a) o cateto oposto a esse ângulo mede a metade da hipotenusa.

5. 236 BC

(2) e (4) são demonstrações e podem ser encontradas em textos sobre trigonometria. Confira no seu livro!


Nesta aula você aprendeu!

Podemos associar a um ângulo , um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos e, consequentemente, três razões trigonométricas fundamentais.

Quando o ângulo agudo for um dos três ângulos 30º, 45º ou 60º podemos facilmente deduzir os valores de seno, cosseno e tangente destes, chamados ângulos notáveis.

Aprendeu uma dica para lembrar dos valores das razões trigonométricas fundamentais dos ângulos notáveis e aplicou estes valores para resolver diversos problemas do cotidiano.

o900

Referências Bibliográficas:

[1] Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C. Temas e problemas Elementares. Rio de Janeiro: 2a edição SBM, 2005.

[2] Iezzi, G. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 3, Atual Editora.

[3] Carmo, M. P. do, Trigometria e Números Complexos, SBM.

[4] Machado, A. dos S. Matemática temas e metas: trigonometria e progressões. São Paulo: Atual, 1986.

[5] Giovanni, J. R. &. Bonjorno, J. R. Matemática 1: Conjuntos, funções, trigonometria: ensino médio, São Paulo: FTD, 1992. [6] Dante, L. R. Contexto & Aplicações: ensino médio: volume único. São Paulo: Editora Ática, 2001


Tabela de Imagensn° do slide

direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso

6a Pablo Alberto Salguero Quiles /

Disponibilizado por Alberto Salguero / Teodolito: ferramenta utilizada para medir ângulos e inclinações Museo Geominero de Madrid (España) / GNU Free Documentation License.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Teodolito_Museo_Geominero_de_Madrid_(España).jpg

25/09/2012

6b Flickr / Trena: ferramenta utilizada para medir comprimentos e distâncias / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stanley_PowerLock_tape_measure.jpg?uselang=pt-br

26/09/2012

21a gnokii / Pipoca / Creative Commons Public Domain Dedication

http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Popcorn.svg&page=1&uselang=pt-br

27/09/2012

21b Chris / Tira de filme / GNU Free Documentation License.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Filmstreifen.svg

27/09/2012

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Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 9º Ano Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º