Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 1º Ano Medidas de dispersão: desvio médio, desvio-padrão e variância

Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Médio, 1º AnoMedidas de dispersão:

desvio médio, desvio-padrão e variância

MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância

Há situações em que as medidas de tendência central - Média, Moda e Mediana - não são suficientes para caracterizar uma determinada coleta de dados. Nesse caso, é conveniente utilizar as medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância, pois expressam o grau de dispersão de um conjunto de dados. Portanto, nesta aula, estudaremos essas medidas de dispersão. Antes, porém, revisaremos a média aritmética, para uma melhor compreensão desse tópico.

INTRODUÇÃO

MÉDIA ARITMÉTICA (MA)

A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando-se os valores de todos os dados e dividindo-se essa soma pelo número de dados apresentados.

Por exemplo: Qual a média aritmética entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10?

REVISA

NDO


SOLUÇÃO

MA = (2 + 4 + 6 + 8 + 10)/5MA = 30/5

MA = 6

Note que somamos os cinco números e dividimos pelo total deles, ou seja, por cinco.

REVISA

NDO


MEDIDAS DE DISPERSÃO

DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO


Para compreendermos melhor esses conceitos relativos à Estatística, vamos explicá-los a partir da seguinte situação-problema:


Considere a distribuição numérica cujos resultados constam na lista abaixo:

1, 6, 4, 10, 9

SITUAÇÃO-PROBLEMA


A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é:

MA = (1 + 6 + 4 + 10 + 9)/5MA = 30/5 MA = 6

A média aritmética é 6.

MÉDIA ARITMÉTICA


DESVIOChama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a média aritmética desses valores. Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é 6. Portanto, temos:

desvio do valor 1 1 - 6 = -5 desvio do valor 6 6 - 6 = 0 desvio do valor 4 4 - 6 = -2 desvio do valor 10 10 - 6 = 4 desvio do valor 9 9 - 6 = 3

Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3.


A partir da situação com a distribuição dos números 1, 6, 4, 10, 9, considerando que a média aritmética entre eles é igual a 6 e que os desvios, em relação à média, são -5, 0, -2, 4 e 3, vamos definir as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.


DESVIO MÉDIO


Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios.

No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será:

DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3)/5DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3)/5DM = 14/5DM = 2,8

O desvio médio é 2,8.


O módulo garante que o valor seja positivo.EXs.: )a +3 = 3)b -3 = 3

VARIÂNCIA


Chama-se variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios dessa distribuição.

Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo a variância será:

V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²)/5V = (25 + 0 + 4 + 16 + 9)/5V = 54/5V = 10,8

A variância é 10,8.


DESVIO PADRÃO


Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:

DP = V

No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8, portanto o desvio padrão será: DP = 10,8 3,28.

O desvio padrão é 3,28.


OBSERVAÇÕES:

Quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;

quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;

o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.


EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine:

a) o desvio médio;b) a variância;c) o desvio padrão.


SOLUÇÃO

A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:

MA = (2+4+6+12)/4 = 24/4 = 6

a) DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-6)/4 = 12/4 = 3

b) V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²)/4 = 56/4 = 14

c) DP = 14 = 3,74



2º) Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine: a) a média aritmética; b) o desvio médio;c) a variância;d) o desvio padrão.

JOGADORES LANÇAMENTOS ACERTOS

MÁRCIO 10 arremessos de cada jogador

6MURIEL 4JONAS 8EDSON 2

ROMUALDO 7


SOLUÇÃO

d) DP = 4,64 = 2,15

a) MA = (6+4+8+2+7)/5 = 27/5 = 5,4

b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5

DM = 1,92c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5 V = 4,64



3º) No quadro a seguir, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas, em um período de quatro dias. Determine o desvio padrão do consumo dos carros desses taxistas.

Taxistas segunda terça quarta quinta

I 10 9 23 12

II 16 18 8 32III 25 17 30 10


SOLUÇÃO

Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos, antes, calcular a média aritmética e a variância.Calculando a média aritmética de consumo dos carros dos três taxistas, temos:

MAI = (10+9+23+12)/4 = 13,5MAII = (16+18+8+32)/4 = 18,5MAIII = (25+17+30+10)/4 = 20,5


Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos três taxistas.

VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4 31,25

VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4 74,75

VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4 58,25

SOLUÇÃO

Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a menor dispersão.


SOLUÇÃO

Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o consumo dos carros dos três taxistas.

DPI = 31,25 5,59 litros

DPII = 74,75 8,64 litros

DPIII = 58,25 7,63 litros

Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio padrão é o menor.



4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor opção? Por quê?

Oferta 1 Oferta 2

Média Salarial 890,00 950,00

Mediana 800,00 700,00

Desvio Padrão 32,00 38,00


SOLUÇÃO

Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja, a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1 é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005.

IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004.

GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003.

PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.


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