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Matemática (EJA)

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Text of Matemática (EJA)

  • Parmetros na Sala de Aula

    MatemticaEducao de Jovens e Adultos

    P A R M E T R O Spara a Educao Bsica do Estado de Pernambuco

  • Parmetros para aEducao Bsica do

    Estado de Pernambuco

  • Parmetros para aEducao Bsica do

    Estado de Pernambuco

    Parmetros na sala de aula

    MatemticaEducao de Jovens e Adultos1

    1 importante pontuar que, para todos os fins, este documento considera a educao de idosos como parte integrante da EJA. Apenas no se agrega a palavra Idosos Educao de Jovens e Adultos porque a legislao vigente ainda no contempla essa demanda que, no entanto, conta com o apoio dos educadores e estudantes de EJA.

    2013

  • Eduardo CamposGovernador do Estado

    Joo Lyra NetoVice-Governador

    Ricardo DantasSecretrio de Educao

    Ana SelvaSecretria Executiva de Desenvolvimento da Educao

    Ceclia PatriotaSecretria Executiva de Gesto de Rede

    Lucio GenuSecretrio Executivo de Planejamento e Gesto (em exerccio)

    Paulo DutraSecretrio Executivo de Educao Profissional

    Undime | PE

    Horcio Reis Presidente Estadual

  • GERNCIAS DA SEDE

    Shirley MaltaGerente de Polticas Educacionais de Educao Infantil e Ensino Fundamental

    Raquel QueirozGerente de Polticas Educacionais do Ensino Mdio

    Cludia AbreuGerente de Educao de Jovens e Adultos

    Cludia GomesGerente de Correo de Fluxo Escolar

    Marta LimaGerente de Polticas Educacionais em Direitos Humanos

    Vicncia TorresGerente de Normatizao do Ensino

    Albanize CardosoGerente de Polticas Educacionais de Educao Especial

    Epifnia ValenaGerente de Avaliao e Monitoramento

    GERNCIAS REGIONAIS DE EDUCAO

    Antonio Fernando Santos SilvaGestor GRE Agreste Centro Norte Caruaru

    Paulo Manoel LinsGestor GRE Agreste Meridional Garanhuns

    Sinsio Monteiro de Melo FilhoGestor GRE Metropolitana Norte

    Jucileide AlencarGestora GRE Serto do Araripe Araripina

    Josefa Rita de Cssia Lima SerafimGestora da GRE Serto do Alto Paje Afogados da Ingazeira

    Anete Ferraz de Lima FreireGestora GRE Serto Mdio So Francisco Petrolina

    Ana Maria Xavier de Melo SantosGestora GRE Mata Centro Vitria de Santo Anto

    Luciana Anacleto SilvaGestora GRE Mata Norte Nazar da Mata

    Sandra Valria CavalcantiGestora GRE Mata Sul

    Gilvani PilGestora GRE Recife Norte

    Marta Maria LiraGestora GRE Recife Sul

    Patrcia Monteiro CmaraGestora GRE Metropolitana Sul

    Elma dos Santos RodriguesGestora GRE Serto do Moxot Ipanema Arcoverde

    Maria Dilma Marques Torres Novaes GoianaGestora GRE Serto do Submdio So Francisco Floresta

    Edjane Ribeiro dos SantosGestora GRE Vale do Capibaribe Limoeiro

    Waldemar Alves da Silva JniorGestor GRE Serto Central Salgueiro

    Jorge de Lima BeltroGestor GRE Litoral Sul Barreiros

    CONSULTORES EM MATEMTICA

    Abrao Juvencio de AraujoAntnio Jos Barbosa SantosCarlos Eduardo Ferreira MonteiroCristiane de Arimata RochaJorge Henrique DuarteJos Ivanildo Felisberto de CarvalhoLzaro Laureano dos Santos

    Lcia de Ftima Duro FerreiraMarilene Rosa dos SantosMonica Maria Campelo de MeloRegina Celi de Melo AndrRogrio da Silva IgncioRoss Alves do Nascimento

  • Reitor da Universidade Federal de Juiz de ForaHenrique Duque de Miranda Chaves Filho

    Coordenao Geral do CAEdLina Ktia Mesquita Oliveira

    Coordenao Tcnica do ProjetoManuel Fernando Palcios da Cunha Melo

    Coordenao de Anlises e PublicaesWagner Silveira Rezende

    Coordenao de Design da ComunicaoJuliana Dias Souza Damasceno

    EQUIPE TCNICA

    Coordenao Pedaggica GeralMaria Jos Vieira Fres

    Equipe de OrganizaoMaria Umbelina Caiafa Salgado (Coordenadora)

    Ana Lcia AmaralCristina Maria Bretas Nunes de Lima

    Las Silva Cisalpino

    Assessoria PedaggicaMaria Adlia Nunes Figueiredo

    Assessoria de LogsticaSusi de Campos Ewald

    DiagramaoLuiza Sarrapio

    Responsvel pelo Projeto GrficoRmulo Oliveira de Farias

    Responsvel pelo Projeto das CapasCarolina Cerqueira Corra

    RevisoLcia Helena Furtado Moura

    Sandra Maria Andrade del-Gaudio

    Especialistas em Matemtica/EJAAdriana Lenira Fornari de Souza

    Bernardo Fernandes CruzGlauco da Silva Aguiar

    Josely do Nascimento Khner Cmara dos SantosMarcelo Cmara dos Santos

    Maria Isabel Ramalho OrtigoZlia Granja Porto

  • SUMRIO

    APRESENTAO ......................................................................................................................................... 11

    INTRODUO ............................................................................................................................................13

    1. PALAVRAS INICIAIS ................................................................................................................................15

    2. DIVISO DOS BLOCOS DE CONTEDOS EM TPICOS ...........................................................18

    3. ORIENTAES METODOLGICAS GERAIS .................................................................................. 22

    4. GEOMETRIA ........................................................................................................................................... 25

    5. ESTATSTICA E PROBABILIDADE ...................................................................................................... 47

    6. LGEBRA E FUNES .........................................................................................................................66

    7. GRANDEZAS E MEDIDAS ....................................................................................................................86

    8. NMEROS E OPERAES ............................................................................................................... 103

  • APRESEntAO

    Em 2013, a Secretaria de Educao do Estado comeou a disponibilizar os Parmetros

    Curriculares da Educao Bsica do Estado de Pernambuco. Esses parmetros so fruto

    coletivo de debates, propostas e avaliaes da comunidade acadmica, de tcnicos

    e especialistas da Secretaria de Educao, das secretarias municipais de educao e de

    professores das redes estadual e municipal.

    Estabelecendo expectativas de aprendizagem dos estudantes em cada disciplina e em

    todas as etapas da educao bsica, os novos parmetros so um valioso instrumento de

    acompanhamento pedaggico e devem ser utilizados cotidianamente pelo professor.

    Mas como colocar em prtica esses parmetros no espao onde, por excelncia, a educao

    acontece a sala de aula? com o objetivo de orientar o professor quanto ao exerccio

    desses documentos que a Secretaria de Educao publica estes Parmetros em Sala de

    Aula. Este documento traz orientaes didtico-metodolgicas, sugestes de atividades

    e projetos, e propostas de como trabalhar determinados contedos em sala de aula. Em

    resumo: este material vem subsidiar o trabalho do professor, mostrando como possvel

    materializar os parmetros curriculares no dia a dia escolar.

    As pginas a seguir trazem, de forma didtica, um universo de possibilidades para que sejam

    colocados em prtica esses novos parmetros. Este documento agora faz parte do material

    pedaggico de que vocs, professores, dispem. Aproveitem!

    Ricardo DantasSecretrio de Educao de Pernambuco

  • IntRODUO

    Aps a publicao dos Parmetros Curriculares do Estado de Pernambuco, elaborados em

    parceria com a Undime, a Secretaria de Educao do Estado de Pernambuco apresenta os

    Parmetros Curriculares na Sala de Aula.

    Os Parmetros Curriculares na Sala de Aula so documentos que se articulam com os

    Parmetros Curriculares do Estado, possibilitando ao professor conhecer e analisar propostas

    de atividades que possam contribuir com sua prtica docente no Ensino Fundamental,

    Ensino Mdio e Educao de Jovens e Adultos.

    Esses documentos trazem propostas didticas para a sala de aula (projetos didticos,

    sequncias didticas, jornadas pedaggicas etc.) que abordam temas referentes aos

    diferentes componentes curriculares. Assim, junto com outras iniciativas j desenvolvidas

    pela Secretaria Estadual de Educao, como o Concurso Professor-Autor, que constituiu um

    acervo de material de apoio para as aulas do Ensino Fundamental e Mdio, elaborado por

    professores da rede estadual, os Parmetros Curriculares na Sala de Aula contemplam todos

    os componentes curriculares, trazendo atividades que podem ser utilizadas em sala de aula

    ou transformadas de acordo com o planejamento de cada professor.

    Alm disso, evidenciamos que as sugestes didtico-metodolgicas que constam nos

    Parmetros Curriculares na Sala de Aula se articulam com a temtica de Educao em

    Direitos Humanos, eixo transversal do currculo da educao bsica da rede estadual de

    Pernambuco.

    As propostas de atividades dos Parmetros Curriculares na Sala de Aula visam envolver os

    estudantes no processo de ao e reflexo, favorecendo a construo e sistematizao

    dos conhecimentos produzidos pela humanidade. Ao mesmo tempo, esperamos que este

    material dialogue com o professor, contribuindo para enriquecer a sua prtica de sala de

    aula, subsidiando o mesmo na elaborao de novas propostas didticas, fortalecendo o

    processo de ensino-aprendizagem.

    Ana SelvaSecretria Executiva de Desenvolvimento da Educao

    Secretaria de Educao do Estado de Pernambuco

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    15

    1. PALAVRAS InICIAIS

    Os Parmetros na Sala de Aula de Matemtica para a Educao de Jovens e Adultos das Redes

    Pblicas do Estado de Pernambuco tm como objetivo auxiliar o professor na elaborao,

    execuo e avaliao de seu projeto de ensino. Trata-se, portanto, de um documento que

    pretende contemplar diferentes perfis de estudantes de EJA. Assim, o professor que trabalha,

    por exemplo, com classe predominantemente jovem ou formada por trabalhadores do

    campo deve contemplar essas especificidades em seu planejamento didtico.

    Eles foram elaborados tomando como base o documento Parmetros para a Educao

    de Jovens e Adultos do Estado de Pernambuco. Aquele documento, alm de apresentar

    as Expectativas de Aprendizagem que estabelecem as aprendizagens bsicas que os

    estudantes devem construir, discute o papel da Matemtica na Educao Bsica, aspectos

    sobre a sua relao com a sala de aula e, em particular, consideraes importantes sobre o

    fazer Matemtica em sala de aula. Assim, fundamental que aquele documento acompanhe

    sistematicamente o trabalho com estes Parmetros na Sala de Aula.

    Da mesma maneira que os Parmetros Curriculares, os Parmetros em Sala de Aula se

    organizam por etapas de escolarizao: Ensino Fundamental (F1 a F4) e Ensino Mdio (M1

    a M3). importante que, independente da etapa em que o professor lecione, ele conhea

    as orientaes dos outros anos e das outras etapas, para se apropriar da lgica interna de

    construo dos conceitos matemticos.

    Dentro de cada etapa de escolarizao, assim como nos Parmetros, os conceitos

    matemticos aparecem divididos em cinco blocos de contedos: Geometria, Estatstica e

    Probabilidade, lgebra e Funes, Grandezas e Medidas e Nmeros e Operaes. preciso

    ressaltar que essa diviso tem funo meramente didtica, para facilitar a compreenso das

    expectativas. Costuma-se dizer que a Matemtica forma um corpo e, dessa maneira, cada

    um desses blocos atua como um sistema nesse corpo. Em outras palavras, mesmo que

    se estude cada sistema em sua individualidade, preciso saber como esses sistemas se

    articulam para fazer o corpo funcionar.

    Isso significa que os blocos de contedos no devem ser trabalhados de maneira estanque,

    mas que o estudante deve compreender que eles se relacionam para formar o corpo da

    Matemtica. Seja qual for a organizao temporal da escola (bimestres, etapas, ciclos etc.)

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    16em cada um desses momentos importante que todos os cinco blocos estejam presentes

    no trabalho em sala de aula. Nos Parmetros na Sala de Aula, frequentemente so sugeridas

    articulaes entre diferentes blocos de contedos. O diagrama a seguir ilustra essa situao.

    Figura 1: Diagrama de articulao entre as subreas da Matemtica

    Nos Parmetros na Sala de Aula de Matemtica, as Expectativas de Aprendizagem de cada

    bloco de contedos aparecem agrupadas em tpicos de contedos. Da mesma forma que

    no caso dos blocos, a diviso em tpicos objetiva somente facilitar a compreenso das

    diferentes articulaes. Durante o ano letivo, esses tpicos devem ser sistematicamente

    retomados e os conceitos ampliados a cada retomada. No se deve esgotar determinado

    tpico em um perodo do ano escolar. Alm disso, os tpicos devem ser entendidos como

    relacionados entre si, e no como se cada um deles fosse relativo a determinado conceito.

    Por exemplo, em Geometria, desenhar figuras obtidas por simetrias, do tpico Construes

    Geomtricas, no pode ser percebido como dissociado de figuras congruentes, do tpico

    de Congruncia e Semelhana. preciso ressaltar que em alguns anos ou etapas de

    escolarizao alguns tpicos podem no estar presentes. Por exemplo, o tpico Geometria

    Analtica no aparece nas Fases do Ensino Fundamental.

    Com a escolha dessa abordagem, os Parmetros em Sala de Aula buscam evidenciar ao

    professor o processo temporal de construo dos conceitos matemticos escolares. Assim,

    no momento de elaborar seu planejamento, deve-se primeiro escolher o bloco de contedos

    para, em seguida, escolher o tpico a ser trabalhado e, a partir da, selecionar a etapa de

    escolarizao. Por exemplo, utilizando o sumrio do documento, o professor pode escolher

    o bloco de Geometria, em seguida o tpico de Construes Geomtricas nos anos iniciais

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    17do ensino fundamental. A partir da, basta identificar a fase de escolarizao. Ressaltamos a

    importncia de, ao escolher o tpico de construes geomtricas na Fase 2, por exemplo, o

    professor se aproprie do modo como esse tpico foi trabalhado nas etapas anteriores e de

    como ele ser explorado nas posteriores.

    A seguir apresentada a diviso dos blocos de contedos em tpicos.

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    18

    2. DIVISO DOS BLOCOS DE COntEDOS EM tPICOS

    GEoMEtriA

    Figuras geomtricas: percepo das figuras geomtricas, seu reconhecimento e

    nomenclatura, relaes entre figuras planas e espaciais, ngulos, polgonos e no polgonos,

    quadrilteros, circunferncia e crculo, vetores.

    Construes geomtricas: desenho de figuras geomtricas planas e espaciais,

    composies que utilizam desenhos de figuras geomtricas, utilizao de instrumentos de

    desenho, planificao de figuras espaciais, ampliaes e redues, vistas e perspectivas,

    representao de simetrias.

    Semelhana e congruncia: reconhecimento de figuras planas congruentes,

    reconhecimento da congruncia em transformaes isomtricas, semelhana em

    ampliaes e redues de desenho de figuras planas, conservao de medidas de ngulos

    e proporcionalidade de medidas de lados homlogos em figuras poligonais, razo de

    semelhana, tringulos semelhantes, escalas, relaes mtricas no tringulo retngulo.

    Localizao espacial: localizao de objetos no espao, reconhecimento e descrio

    e comparao de caminhos, paralelismo e perpendicularismo, sistema de coordenadas

    cartesianas.

    Propriedades e relaes: classificao de polgonos, relaes entre elementos de prismas

    e pirmides, propriedades dos tringulos e quadrilteros, diagonais e ngulos de polgonos,

    classificao e propriedades dos ngulos, razes trigonomtricas no tringulo retngulo,

    polgonos inscritos, teorema de Tales, diagonais de figuras espaciais, leis do seno e do

    cosseno, propriedades de poliedros e corpos redondos.

    Geometria analtica: projees ortogonais no plano cartesiano, reta dos pontos de

    vista algbrico e geomtrico, coeficientes da equao de uma reta, posies relativas de

    retas, distncia entre dois pontos no plano cartesiano, circunferncia dos pontos de vista

    algbrico e geomtrico.

    EstAtsticA E ProbAbilidAdE

    Coleta e organizao de dados: elaborao de problemas e planos de pesquisas, coleta

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    19e organizao de dados, categorizao, populao e amostra, anlise de dados coletados,

    tipos de variveis, frequncia absoluta e frequncia relativa.

    Representao de dados: construo de tabelas e grficos, identificao e interpretao

    de informaes apresentadas em tabelas e grficos, comparao e converso de diferentes

    representaes de dados, elementos constitutivos de grficos, agrupamento de dados em

    classes.

    Medidas estatsticas: mdia, moda, mediana e quartil, comparao de conjuntos de

    dados por meio de medidas de tendncia central, frequncias acumuladas, amplitude,

    desvio mdio, varincia e desvio padro.

    Probabilidade: eventos determinsticos e aleatrios, resultados possveis de um

    experimento, clculo de probabilidades.

    lGEbrA E FunEs

    Regularidades: sequncias numricas e de figuras, regularidades com nmeros naturais.

    Problemas algbricos: resoluo e elaborao de problemas de partilha, resoluo e

    elaborao de problemas de transformao, resoluo e elaborao de problemas

    envolvendo sistemas de duas equaes e duas incgnitas, resolver e elaborar problemas

    envolvendo equaes de segundo grau, resolver e elaborar problemas envolvendo funo

    afim.

    Funes: relao de variao entre grandezas, associao de textos em linguagem

    natural a grficos, continuidade e domnio, varivel dependente e varivel independente,

    crescimento e decrescimento.

    Funes notveis: proporcionalidade e funo linear, funo afim, progresso aritmtica

    e funo afim, zero, coeficientes angular e linear de funo afim, funo definida por mais

    de uma sentena polinomial de primeiro grau, funo quadrtica, funo quadrtica e

    movimento uniformemente variado, funo exponencial, crescimento e decrescimento

    das funes afim, quadrtica e exponencial, progresso geomtrica e funo exponencial,

    transformao no grfico de funes lineares, quadrtica e exponencial em funo da

    variao dos parmetros da sua expresso algbrica, funo seno e funo cosseno,

    transformao no grfico das funes seno e cosseno em funo da variao dos

    parmetros da sua expresso algbrica, funes trigonomtricas e movimento circular.

    Equaes, inequaes e sistemas: determinao de valores em igualdades, valores que

    tornam igualdades e desigualdades verdadeiras, propriedades da invarincia das igualdades,

    resoluo de equaes e inequaes de primeiro e de segundo graus, representao grfica

    de inequaes e sistemas de inequaes do primeiro grau, sistemas de primeiro grau,

    resoluo de equaes de segundo grau.

    Clculo algbrico: adio e subtrao de monmios, multiplicao de binmios por

    monmios ou binmios, produtos notveis, multiplicao e diviso de monmios,

    fatorao de expresses algbricas.

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    20GrAndEzAs E MEdidAs

    Noo de grandeza: ideia de grandeza, necessidade de unidades de medidas, relao

    entre unidade e nmero, comparao de grandezas, compreenso das grandezas

    comprimento, rea, massa, volume, capacidade, temperatura etc., instrumentos para

    medir grandezas, sistemas de medidas padro, erro de medio, converso de medidas,

    grandezas compostas.

    Grandezas geomtricas: comprimento e sua medida, permetro e sua medida, distncia

    entre dois pontos, estimativas, rea e sua medida, comparao de medidas, volume e

    sua medida, reas de figuras poligonais, escalas, capacidade, ngulos e suas medidas,

    independncia entre permetro e rea, rea das faces de uma figura espacial, equivalncia

    de reas, comprimento da circunferncia e rea do crculo, de setor e de coroa circular,

    medidas agrrias, princpio de Cavalieri, volume de slidos geomtricos.

    Outras grandezas: tempo, massa, temperatura: ideias, comparao, estimativas, medidas

    e instrumentos de medida; intervalos de tempo; leitura de horas; calendrios; distino

    massa-peso; grandezas compostas; capacidade de memria do computador.

    Sistema monetrio: cdulas e moedas do nosso sistema monetrio; comparao de

    valores monetrios; equivalncias entre cdulas e moedas; outros sistemas monetrios;

    significado de troco.

    nMEros E oPErAEs

    Nmeros: nmeros no cotidiano; contagem de colees; leitura e escrita de nmeros;

    composio e decomposio de nmeros; agrupamentos; estimativa; nmeros ordinais;

    arredondamentos; nmeros racionais: significados e representaes e equivalncias;

    nmeros pares e mpares; sistema de numerao decimal; nmeros primos e compostos;

    mltiplos e divisores; divisibilidade; nmeros negativos; decomposio em fatores; mnimo

    mltiplo comum e mximo divisor comum; nmeros em notao cientfica; conjuntos

    numricos; nmeros irracionais e reais; propriedades dos nmeros.

    Relaes de ordem: comparao de nmeros; construo de sequncias numricas;

    ordenao de nmeros; associao de nmeros a pontos da reta numrica; simtrico e

    valor absoluto de um nmero; intervalos na reta numrica.

    Operaes: resoluo e elaborao de problemas envolvendo diferentes ideias das

    operaes aritmticas; representao simblica das operaes aritmticas; realizao de

    operaes por meio de clculo mental; propriedades das operaes; operaes inversas;

    expresses aritmticas; resoluo de operaes por meio dos algoritmos formais.

    Porcentagem: resoluo e elaborao de problemas envolvendo a determinao de

    porcentagens; relao entre porcentagens e suas representaes decimais e fracionrias;

    juros simples e compostos; determinao de taxa percentual.

    Combinatria: princpio multiplicativo; ideias de permutao, arranjo e combinao.

    Proporcionalidade: proporcionalidade direta e inversa entre grandezas; escalas; diviso

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    21em partes proporcionais; taxa de variao.

    A seguir, apresentamos um quadro que mostra como os tpicos de contedos so

    trabalhados em cada ano de escolarizao.

    Quadro 1: Distribuio dos blocos de contedos/tpicos ao longo dos anos de escolarizao

    Blocos de contedos/TpicosAnos de escolarizao - EJA

    F-1 F-2 F-3 F-4 M-1 M-2 M-3

    GEOMETRIA

    Figuras geomtricas

    Semelhana e congruncia

    Construes geomtricas

    Localizao no espao

    Propriedades

    Geometria analtica

    ESTATSTICA E PROBABILIDADE

    Coleta e organizao de dados

    Representao de dados

    Medidas estatsticas

    Probabilidade

    ALGEBRA E FUNES

    Regularidades

    Problemas algbricos

    Funes

    Equaes, inequaes e sistemas

    Clculo algbrico

    Funes notveis

    GRANDEZAS E MEDIDAS

    Noo de grandeza

    Grandezas geomtricas

    Outras grandezas

    Sistema monetrio

    NMEROS E OPERAES

    Nmeros

    Operaes

    Relaes de ordem

    Porcentagem

    Proporcionalidade

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    22

    3. ORIEntAES MEtODOLGICAS GERAIS

    Durante muito tempo o ensino de Matemtica foi caracterizado pelo engavetamento e

    pelo isolamento, dois aspectos inter-relacionados. A prpria dinmica do nosso sistema de

    ensino leva ao isolamento do professor, na medida em que ele deve se preocupar com o que

    acontece unicamente nos anos de escolaridade em que ele ensina, o que, muitas vezes, no

    permite que ele tome conhecimento de como a Matemtica se desenvolve nas outras fases.

    Muitas vezes nos perguntamos (ou nossos estudantes nos perguntam) por que estamos

    ensinando tal contedo. Como esse contedo se articula dentro da construo do edifcio

    da Matemtica escolar? Pensando nisso, os Parmetros na Sala de Aula de Matemtica foram

    estruturados de forma que o professor possa identificar, em cada tpico, como os conceitos

    so ampliados, aprofundados e relacionados em cada ano de escolarizao. Mas para que

    isso tenha sucesso, importante que o professor considere esse aspecto no momento

    de preparar as suas aulas. No pode ser esquecida tambm a necessidade de extrapolar a

    prpria etapa de escolarizao. Por exemplo, o professor que leciona nas Fases 3 e 4 do

    ensino fundamental precisa se apropriar de como os conceitos foram trabalhados nas Fases

    1 e 2 e de como eles sero explorados no ensino mdio, para conseguir perceber o papel

    desses conceitos na sua etapa de ensino.

    J o fenmeno do engavetamento faz com que determinados conceitos sejam explorados

    unicamente em um determinado perodo. Ou seja, abrimos a gaveta de certo contedo,

    trabalhamos esse contedo em sala de aula e, em seguida, a fechamos para abrir outra; essa

    gaveta somente ser reaberta no momento da avaliao. Isso provoca uma fragmentao

    no prprio processo de aprendizagem, por parte do estudante, que termina por elaborar a

    concepo que a Matemtica um aglomerado de contedos cristalizados que ele deve

    empilhar em sua mente. Esse fenmeno bastante influenciado pelo apoio exclusivo no

    livro didtico que, por sua prpria natureza, apresenta os conceitos em captulos, unidades,

    tpicos, subtpicos etc.

    Por isso fundamental que o professor, ao trabalhar com os Parmetros na Sala de Aula

    de Matemtica, priorize a organizao conceitual desse documento, e que o livro didtico

    assuma o papel de auxiliar o professor e os estudantes no processo de aprendizagem.

    Para isso ser necessrio, muitas vezes, trabalhar etapas posteriores do livro, depois voltar

    para outra parte, e assim sucessivamente. Da mesma forma, os captulos do livro didtico

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    23no sero trabalhados em sua totalidade, pois a organizao dos Parmetros prioriza a

    retomada progressiva de conceitos, e no o esgotamento dos conceitos em um captulo

    ou ano escolar. Por exemplo, o trabalho com fraes, na maioria dos livros didticos de

    Matemtica, fica restrito a um dos captulos do livro. Nos Parmetros de Matemtica, por sua

    vez, esse trabalho realizado durante todo o ano letivo, sempre com a ideia de retomada e

    de ampliao do conceito.

    Alm disso, nunca demais retomar alguns princpios fundamentais para que a aprendizagem

    da Matemtica na escola seja bem sucedida.

    PrincPios FundAMEntAis PArA o sucEsso dA APrEndizAGEM dA

    MAtEMticA

    (i) O primeiro valorizar todo o conhecimento que o estudante traz de suas prticas

    sociais. Como vimos no documento dos Parmetros, ningum chega escola com a

    cabea vazia para ser cheia com conhecimentos escolares, particularmente estudantes de

    EJA. Ao contrrio, os novos conhecimentos so sempre construdos de forma significativa

    quando so confrontados com aqueles que vm do cotidiano dos estudantes. Dessa

    maneira, muito importante que o professor busque sistematicamente levar o estudante

    a explicitar esses conhecimentos, e que eles sejam utilizados como ponto de partida para

    a construo das novas aprendizagens.

    (ii) Outro princpio fundamental da aprendizagem em Matemtica diz respeito ao sentido

    que o estudante precisa elaborar para os conceitos matemticos aprendidos na escola.

    Essa elaborao de sentido passa, muitas vezes, pela contextualizao dos problemas

    que ele deve enfrentar. preciso ressaltar, porm, que colocar goiabas no enunciado de

    um problema no garante, necessariamente, que a contextualizao seja bem sucedida.

    Contextualizar um problema significa criar uma situao em que o sujeito no veja de

    imediato a sua soluo. Se assim fosse, teramos um exerccio, em que bastaria aplicar

    um conhecimento j aprendido, e no um problema, que demanda que o estudante

    crie hipteses de soluo, teste a validade dessas hipteses, reformule-as, e assim por

    diante. por meio desse tipo de raciocnio, prprio da atividade matemtica, que os

    conceitos so elaborados e articulados entre si. Para uma melhor compreenso da ideia

    de contextualizao adotada neste documento importante revisitar os Parmetros

    Curriculares para a Educao de Jovens e Adultos do Estado de Pernambuco.

    (iii) Finalmente, no podemos nos esquecer de um elemento fundamental, que diferencia

    a Matemtica de outras disciplinas, os registros de representao. Se em Geografia

    podemos aprender o que uma ilha estando em uma delas, em Qumica podemos sentir

    o odor de uma substncia, em Cincias podemos acompanhar o crescimento de um

    vegetal, em Matemtica no podemos ver uma grandeza ou medir um binmio. Os

    objetos matemticos so construes mentais, abstratas, e no permitem o acesso direto

    a eles; temos acesso somente a representaes desses objetos. Por exemplo, podemos

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    24ter acesso ao objeto parbola por meio de sua figura, de sua equao, de sua definio,

    mas uma parbola no existe no mundo fsico. Da mesma forma, o nmero dois no existe

    solto na natureza, uma construo terica que elaboramos em nossa mente. Somente

    temos acesso s representaes do nmero dois, tais como, dois (lngua materna), 2

    (algarismos arbicos), ni (japons), er (mandarim) etc.

    Mas no podemos nos esquecer que, antes de ter acesso ao registro que representa um

    objeto matemtico preciso que ele seja construdo em nossa mente. Inverter esse processo

    leva ao fracasso da aprendizagem, na medida em que um mesmo objeto matemtico pode

    ser representado de diferentes maneiras, e uma mesma representao pode estar associada

    a diferentes objetos. Por exemplo, a frao 1/2 pode estar representando uma parte em duas,

    ou a porcentagem 50%, ou a probabilidade de sair cara no lanamento de uma moeda.

    Dessa forma, em sala de aula, dois aspectos no podem ser esquecidos, e nessa ordem.

    Primeiro deve ser elaborada, pelo estudante, a construo conceitual. Em seguida, ele deve

    ser sistematicamente estimulado a representar aspectos do conceito que ele elaborou.

    Mas preciso ressaltar que o refinamento dos registros de representao um processo

    longo e gradual. No se deve esperar que o estudante, em seus primeiros contatos com

    um conceito, utilize o rigor da linguagem matemtica. a partir de seus prprios registros

    de representao, que ele vai percebendo a necessidade de adotar registros cada vez mais

    universais. Em outras palavras, a aprendizagem em Matemtica exige a ocorrncia de trs

    momentos distintos e ordenados:

    (1) Primeiro, o estudante deve FAZER MATEMTICA; depois,

    (2) deve desenvolver REGISTROS DE REPRESENTAO PESSOAIS para, em um ltimo

    momento,

    (3) apropriar-se dos REGISTROS FORMAIS.

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    25

    4. GEOMEtRIA

    4.1 FiGurAs GEoMtricAs

    4.1.1 FASES 1 e 2

    F1

    Expectativas de aprendizagem

    Descrever e classificar figuras espaciais apresentadas em diferentes disposies,

    nomeando-as (cubo, bloco retangular ou paraleleppedo, pirmide, cilindro e cone).

    Descrever e classificar figuras planas, apresentadas em diferentes disposies,

    nomeando-as (quadrado, tringulo, retngulo, losango e crculo).

    Descrever informalmente caractersticas de prismas (incluindo a associao de cubos

    a blocos retangulares) e pirmides, reconhecendo faces e vrtices.

    Descrever informalmente caractersticas de uma figura plana, identificando nmero

    de lados e de vrtices (por exemplo, identificar o nmero de vrtices - ou pontas

    de um quadrado).

    Descrever, comparar e classificar figuras planas ou espaciais por caractersticas

    comuns, apresentadas em diferentes disposies.

    Reconhecer quadrados, retngulos e tringulos em diferentes disposies (por

    rotao e/ou translao).

    Relacionar a representao de figuras espaciais a objetos do mundo real.

    Relacionar faces de cubos, blocos retangulares, outros prismas e pirmides a figuras

    planas.Orientaes para o ensino

    Nesta primeira fase de EJA, as atividades propostas em sala de aula devem criar

    situaes em que o estudante possa perceber que as figuras geomtricas esto

    associadas a objetos do mundo real e que podem ser representadas, seja por meio

    de um desenho, de uma construo em papel ou de um nome. importante que o

    professor inicie o trabalho com as figuras geomtricas espaciais (bloco retangular e

    cubo) uma vez que possibilitam fcil associao com diferentes objetos do dia a dia

    do estudante. So as figuras espaciais que daro origem s figuras planas, na medida

    em que objetos do mundo real so associados a figuras espaciais. Utilizando caixas de

    papelo de vrios tamanhos e formas, por exemplo, o estudante poder estabelecer

    diversas relaes entre elas, descrevendo suas caractersticas e aspectos comuns e

    diferentes. importante deixar que eles manipulem livremente as caixas, percebendo

    as relaes que estabelecem e propor questionamentos como Para que servem as

    caixas? (perceber as trs dimenses das caixas) Em que essas caixas so iguais? Em

    que so diferentes?

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    264.1.1 FASES 1 e 2

    F1

    Orientaes para o ensino (continuao)

    O professor pode propor, por exemplo, que o estudante separe essas caixas em grupos

    com caractersticas em comum. Como vocs separaram esses grupos? Podemos

    formar grupos diferentes destes? Posteriormente, o professor deve trabalhar com

    outros slidos (pirmide, esfera), representados por caixas, objetos ou conjuntos de

    slidos geomtricos. importante propor atividades em que o estudante possa separar

    os slidos geomtricos em colees de objetos com caractersticas em comum,

    questionando com ele os critrios escolhidos para a formao das colees (objetos

    que podem ser empilhados, os que possuem pontas, que possuem o mesmo nmero

    de faces etc.). Ao final de cada trabalho, importante que o professor faa um registro,

    em um cartaz, por exemplo, das concluses obtidas pelos estudantes, para que os

    conceitos possam ser revistos e ampliados, na medida em que acontecerem novas

    descobertas. Trabalhar com materiais de manipulao pode ser um facilitador para a

    percepo dos elementos das figuras espaciais. Por exemplo, construir figuras espaciais,

    utilizando canudos, para que o estudante perceba as relaes entre vrtices e arestas.

    O trabalho com as figuras geomtricas planas (tringulo, quadrado, retngulo e crculo)

    deve vir associado ao trabalho com as figuras geomtricas espaciais. Comparar uma

    figura espacial com uma plana permite estabelecer diferenas entre esses tipos de

    figuras e perceber a existncia de figuras planas nas figuras espaciais. Pode-se propor,

    por exemplo, atividades como carimbar com as faces dos slidos ou desmontar as

    caixas, pedindo ao estudante que descubra a que caixa pertence uma planificao

    apresentada pelo professor. Pode-se apresentar representaes de figuras planas nos

    mais diferentes materiais (cartolina, EVA, Tangram etc.), para que o estudante investigue

    suas caractersticas. Assim como foi feito com as figuras espaciais, importante propor

    atividades em que o estudante possa organizar figuras planas em colees com

    caractersticas em comum, questionando sobre os critrios escolhidos para a formao

    das colees. Pode-se propor, tambm, que o estudante identifique uma determinada

    figura plana em um conjunto de figuras, como, por exemplo, identificar um tringulo

    entre figuras apresentadas em diferentes disposies. fundamental que as figuras poligonais sejam apresentadas em posies diferentes

    daquelas prototpicas, ou seja, que apresentam os lados paralelos s bordas do papel.

    Isso evitar que o estudante somente reconhea determinadas figuras nessas posies;

    por exemplo, deixar de reconhecer um quadrado em que os lados no sejam paralelos

    s bordas do papel, associando unicamente ao losango. Para isso, pode-se trabalhar

    com figuras transformadas por rotao (giro em torno de um ponto) e/ou translao

    (deslizamentos), para evitar que o estudante crie a ideia que as figuras geomtricas

    s existem em determinada posio no plano. O professor deve nomear as figuras

    geomtricas espaciais e planas, durante todo o trabalho em sala de aula, para familiarizar

    o estudante com a nomenclatura apropriada e facilitar a expresso das ideias. Uma

    atividade interessante a construo de maquetes, de uma casa, por exemplo, para

    que o estudante perceba a presena das figuras geomtricas ao nosso redor e, nesse

    caso, nas construes humanas. A internet tambm um recurso importante que

    pode ser explorado pelo professor com vdeos e jogos interativos, disponvel em vrios

    sites educativos.

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    274.1.1 FASES 1 e 2

    F1

    Avaliao das aprendizagens

    Descrever e classificar figuras espaciais apresentadas em diferentes disposies,

    nomeando-as.

    Descrever e classificar figuras planas, apresentadas em diferentes disposies,

    nomeando-as.

    Descrever informalmente caractersticas de prismas e pirmides, reconhecendo faces

    e vrtices.

    Descrever informalmente caractersticas de uma figura plana, identificando nmero

    de lados e de vrtices.

    Descrever, comparar e classificar figuras planas ou espaciais por caractersticas

    comuns, apresentadas em diferentes disposies.

    F2

    Expectativas de aprendizagem

    Analisar e comparar figuras planas e espaciais por seus atributos (por exemplo: nmero

    de lados ou vrtices, nmero de faces, tipo de face etc.).

    Associar a planificao de figuras espaciais a suas representaes.

    Associar ngulo a giro ou mudana de direo e reconhecer ngulo de um quarto de

    volta, de meia volta e de uma volta.

    Caracterizar quadrados pelos seus lados e ngulos.

    Caracterizar retngulos pelos seus lados e ngulos.

    Classificar tringulos quanto aos lados (escaleno, equiltero e issceles) e quanto aos

    ngulos (acutngulo, retngulo e obtusngulo).

    Reconhecer retas paralelas, concorrentes ou perpendiculares.

    Descrever e classificar figuras planas e espaciais.

    Diferenciar reta, semirreta e segmento de reta.

    Reconhecer a caracterizao de um polgono e suas denominaes (tringulo,

    quadriltero, pentgono, hexgono e octgono).

    Reconhecer ngulos retos.Orientaes para o ensino

    importante iniciar o trabalho retomando as aprendizagens realizadas na fase anterior.

    Aqui, o trabalho de diferenciao entre cubo e bloco retangular pode ser consolidado,

    tomando por base a descrio de suas caractersticas (tipos de faces, nmero de

    vrtices), sem perder de vista que cubos tambm so blocos retangulares. O estudante

    dever consolidar a ideia de que todas as faces do cubo so quadradas, enquanto

    no paraleleppedo existem faces retangulares que no so quadradas. Pirmides e

    prismas com diferentes bases tambm devem ser objetos de estudo e, nessa fase,

    importante que, por meio de debates e reflexes coletivas, o estudante identifique

    as caractersticas iguais e diferentes entre essas figuras, inclusive nomeando-as.

    Nesse momento, o estudante j deve consolidar tambm a ideia de que as faces

    laterais de uma pirmide so tringulos e as dos prismas retos so retngulos. Para

    o trabalho com ngulos, importante recuperar o que o estudante j sabe sobre o

    conceito, na medida em que jovens e adultos trabalhadores utilizam essa ideia em

    suas atividades profissionais. Pode-se pedir que ele explicite para o grupo ou classe

    como se faz para determinar, por exemplo, ngulos retos, ngulos dede 60 etc.

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    284.1.1 FASES 1 e 2

    F2

    Orientaes para o ensino (continuao)

    importante, tambm, trabalhar ngulo como giro (a polia de uma mquina que realiza

    um giro de 90 em 20 segundos, por exemplo) e mudana de direo (um avio que

    navega com proa de 90 e muda sua direo para a proa de 120, por exemplo). Atividades

    envolvendo movimentao no espao podem contribuir para a elaborao dessa ideia.

    Por exemplo, utilizando um mapa, o professor pode solicitar que o estudante descreva

    como sair de uma cidade e chegar a outra, realizando mudanas de direo. Se tiver

    acesso a recursos tecnolgicos, o professor pode utilizar programas de geometria

    dinmica, como o software livre GeoGebra, para identificar e reconhecer ngulo de um

    quarto de volta, de meia volta e de uma volta. O estudo da reta, semirreta e segmento

    de reta pode ser proposto nesta fase de escolaridade e deve ser feito de forma que

    o estudante perceba que a reta um elemento terico que no pode ser medido,

    pois no tem comeo nem fim. Essa elaborao importante, na medida em que as

    representaes da reta (em papel ou em outro suporte) so finitas. A semirreta deve ser

    percebida como uma parte da reta, que tem comeo, mas no tem fim, e o segmento

    como a parte da reta que tem comeo e fim e, portanto, pode ser medido. Tambm

    aqui, atividades com softwares de geometria dinmica podem auxiliar bastante nesse

    entendimento. A consolidao da ideia de ngulo permite, nessa fase, reconhecer

    retas paralelas, concorrentes e perpendiculares (que se encontram formando quatro

    ngulos de 90). Uma propriedade importante a ser percebida pelo estudante que

    se duas retas do mesmo plano (coplanares) so perpendiculares a uma terceira reta

    tambm pertencente ao mesmo plano, ento elas so paralelas entre si.

    O trabalho com os tringulos se amplia com a diferenciao dos tipos de tringulos,

    classificando-os pela medida dos lados (escaleno, equiltero e issceles) e quanto

    aos ngulos (acutngulo, retngulo e obtusngulo). Devem-se propor atividades de

    identificao e desenho dos diferentes tipos de tringulos e em diferentes posies.

    Atividades de construo de tringulos com palitos ou canudos podem contribuir para

    que o estudante perceba a desigualdade triangular (para que um tringulo exista, cada

    um dos lados deve ter medida maior que a soma das medidas dos outros dois lados).

    Nessa fase, tambm esperado que o estudante diferencie os quadrilteros, de acordo

    com suas caractersticas, reconhecendo que o quadrado tambm pode ser classificado

    como retngulo e como losango. Para isso, fundamental que o professor explore

    os desenhos de quadrilteros em diferentes posies, que no somente aquelas em

    que seus lados so paralelos s bordas da folha de papel. Recorrendo s prticas

    profissionais dos estudantes, o professor pode colocar em debate a questo da rigidez

    do tringulo. Alguns nomes das figuras planas j so de domnio do estudante, como

    tringulos e alguns quadrilteros. Para abordar a nomenclatura dos demais polgonos,

    pode-se pedir que o estudante consulte um dicionrio, para identificar o significado

    de prefixos como penta, hexa etc., associando-os a pentgonos, hexgonos etc. Um

    trabalho interessante que pode ser proposto ao estudante o de desenhar vrias retas,

    algumas paralelas e outras transversais, em uma folha de papel, e depois pedir para que

    destaquem, colorindo os polgonos gerados escrevendo seus respectivos nomes.

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    294.1.1 FASES 1 e 2

    F2

    Avaliao das aprendizagens

    Associar a planificao de figuras espaciais a suas representaes.

    Caracterizar quadrados e retngulos pelos seus lados e ngulos.

    Classificar tringulos quanto aos lados e quanto aos ngulos.

    Reconhecer retas paralelas, concorrentes ou perpendiculares.

    Descrever e classificar figuras planas e espaciais.

    Diferenciar reta, semirreta e segmento de reta.

    Reconhecer a caracterizao de um polgono e suas denominaes.

    Reconhecer ngulos retos.

    4.1.2 FASES 3 e 4

    F3

    Expectativas de aprendizagem

    Associar slidos a suas planificaes.

    Classificar tringulos quanto s medidas dos lados (escaleno, equiltero e issceles) e

    dos ngulos (acutngulo, retngulo e obtusngulo).

    Diferenciar polgonos e no polgonos e reconhecer polgonos regulares.

    Identificar elementos de prismas e de pirmides (vrtices, arestas e faces).

    Reconhecer a circunferncia como lugar geomtrico dos pontos do plano que so

    equidistantes de um ponto dado, tomado como centro.

    Reconhecer e nomear polgonos considerando o nmero de lados (tringulo,

    quadriltero, pentgono, hexgono, octgono etc.).Orientaes para o ensino

    Nesta fase importante que o professor d continuidade s aprendizagens realizadas

    nas duas fases anteriores, inclusive retomando algumas das atividades realizadas.

    preciso, contudo, que o professor parta das ideias que o estudante j traz de suas

    aprendizagens e experincias cotidianas. Para isso, sugere-se que o professor questione

    os conhecimentos do estudante em relao a slidos geomtricos, planificaes de

    slidos, caractersticas de tringulos e de quadrilteros, por exemplo. Trabalhos de

    planificaes so importantes para se compreender as caractersticas pertinentes s

    figuras espaciais e tambm s planas. Pode-se pedir, por exemplo, a um estudante

    que trabalhe na construo civil, que explique aos colegas como ele corta as tbuas

    (planas) que utilizar na forma de concretagem de uma viga (espacial). Pode-se pedir

    que o estudante desenhe vrios tringulos para, em seguida, estabelecer aspectos

    comuns e diferentes entre eles. Aps este momento, o professor poder classificar

    os tringulos quanto s medidas de seus lados e de seus ngulos. O estudante deve

    classificar as figuras pelo nmero de lados ou vrtices e reconhec-las como tringulo,

    quadriltero, pentgono, hexgono, octgono etc. Um contexto interessante a

    observao de obras de arte elaboradas com figuras geomtricas diversas. No trabalho

    com a circunferncia, pode-se pedir que algum estudante explique como faria para

    demarcar um canteiro ou um ptio circular. A partir da, pode ser elaborada a ideia de

    que essa marcao corresponde a um lugar geomtrico formado por todos os pontos,

    que mantm uma mesma distncia at um ponto fixo, o centro da circunferncia.

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    304.1.2 FASES 3 e 4

    F3

    Avaliao das aprendizagens

    Associar a planificao de figuras espaciais a suas representaes.

    Classificar tringulos quanto s medidas dos lados e dos ngulos.

    Diferenciar polgonos e no polgonos e reconhecer polgonos regulares.

    Identificar elementos de prismas e de pirmides.

    Reconhecer e nomear polgonos considerando o nmero de lados.

    F4

    Expectativas de aprendizagem

    Associar slidos a suas planificaes.

    Diferenciar crculo e circunferncia e reconhecer seus elementos e as relaes entre

    esses elementos.Orientaes para o ensino

    Nesta fase, as relaes entre as representaes de figuras espaciais e suas planificaes

    devem ser consolidadas. Para tanto, importante que o professor retome algumas

    atividades realizadas nas fases anteriores. Por exemplo, ele pode solicitar que os

    estudantes tragam diferentes embalagens para abri-las e fech-las. Nesse momento,

    o professor pode explorar as diferenas entre prismas retos e pirmides, para que o

    estudante perceba a existncia de faces triangulares nas pirmides e retangulares nos

    prismas retos. Tambm, nessa fase, o estudante deve classificar os diferentes tipos de

    tringulos. Pode-se, por exemplo, solicitar que eles tragam recortes de jornais e revistas

    de objetos triangulares para, a partir deles, agruparem os tringulos, de acordo com suas

    caractersticas. A ideia de crculo e circunferncia pode ser trabalhada, comparando-se

    figuras como um bambol e a tampa de uma lata de leite em p, em que o bambol

    representa uma circunferncia e a tampa representa um crculo, por exemplo. Pode-

    se pedir ao estudante que, com um barbante, mea o contorno de objetos circulares

    variados, como a tampa de uma panela, um CD e a tampa de um pote. Depois, com o

    auxlio de uma calculadora, o estudante deve dividir este valor pela medida do dimetro

    (dobro do raio) dos respectivos crculos medidos e anotar este nmero para uma

    discusso em sala. Lembramos que no deve haver rigor quanto s medidas e nem com

    a determinao exata do centro por onde passa o dimetro. O principal a reflexo

    sobre a descoberta do nmero e o comprimento da circunferncia. A histria de como o nmero foi descoberto um fator interessante para a sua compreenso. preciso, entretanto, que o estudante reconhea que a medida obtida na diviso uma

    aproximao do valor de , na medida em que se trata de um nmero irracional. Nesse momento, importante formalizar alguns elementos da circunferncia, tais como

    centro, raio, dimetro e corda, e perceba a relao entre raio e dimetro. Avaliao das aprendizagens

    Associar slidos a suas planificaes.

    Diferenciar crculo e circunferncia e reconhecer seus elementos e as relaes entre

    esses elementos.

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    314.1.3 MDULOS 1, 2 e 3

    M1

    Expectativas de aprendizagem

    Determinar a medida de ngulos de polgonos regulares inscritos na circunferncia.

    Compreender e aplicar o teorema de Tales na resoluo de problemas.

    Reconhecer as razes trigonomtricas (seno, cosseno e tangente) no tringulo

    retngulo e utiliz-las para resolver e elaborar problemas.

    Reconhecer, classificar e identificar propriedades dos poliedros (prismas, pirmides,

    tronco de pirmide, poliedros regulares, poliedros de Plato e relao de Euler).

    Reconhecer, classificar e identificar propriedades dos corpos redondos (cilindro,

    cone, tronco de cone e esfera)..Orientaes para o ensino

    Nesta etapa de escolarizao, o estudante j deve dominar plenamente as propriedades

    dos tringulos. Dessa forma, deve-se partir dessas propriedades para estabelecer as

    medidas dos ngulos internos e externos de polgonos regulares inscritos. A partir

    da decomposio do polgono em tringulos issceles, com seu vrtice no centro

    da circunferncia, o estudante dever perceber que o ngulo do vrtice desses

    tringulos obtido pela diviso de 360 pelo nmero de ngulos do polgono, que

    corresponde ao ngulo central. A partir da, ele perceber que a medida do ngulo

    interno do polgono corresponde ao suplemento da medida do ngulo central, e que

    a medida do ngulo externo a mesma do ngulo central. importante ressaltar que

    o objetivo no o estabelecimento de frmulas, mas que o estudante se aproprie das

    relaes envolvidas. O uso de softwares de geometria dinmica, como o software livre

    GeoGebra, por exemplo, pode contribuir bastante para essa compreenso. O trabalho

    pode ser iniciado pela explorao do quadrado, do tringulo e do hexgono (aqui

    importante chegar relao entre o lado do hexgono e o raio da circunferncia).

    Posteriormente, o trabalho com os ngulos pode ser estendido a outros polgonos

    regulares inscritos. O conceito de semelhana deve ser o ponto de partida para o

    trabalho com o teorema de Tales e para o estabelecimento das razes trigonomtricas

    no tringulo retngulo. Tambm aqui a utilizao do GeoGebra pode contribuir

    bastante, na medida em que o estudante poder manipular os elementos geomtricos

    e, a partir da observao das medidas representadas, chegar s relaes desejadas. O

    trabalho com poliedros e corpos redondos (cone e cilindro) deve ser estreitamente

    ligado s planificaes. Ao montar e desmontar as figuras espaciais, importante que

    o estudante estabelea as relaes entre seus elementos constitutivos. Por exemplo,

    observar que em uma pirmide de base pentagonal obtemos cinco vrtices na base

    mais um no topo da pirmide, totalizando seis vrtices. J, no caso do prisma de

    base pentagonal, obtemos cinco vrtices em cada uma das bases, totalizando dez

    vrtices. importante que o estudante construa a ideia de poliedro regular. Entretanto,

    a relao de Euler deve surgir no trabalho didtico como um aspecto interessante,

    mas sem que haja a preocupao em decorar a relao nem tampouco explor-la em

    atividades de avaliao. No trabalho com polgonos regulares inscritos, importante

    relacionar as propriedades dos ngulos em logomarcas comerciais, smbolos, etc.,

    incluindo polgonos estrelados formados pela composio de polgonos regulares.

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    324.1.3 MDULOS 1, 2 e 3

    M1

    Orientaes para o ensino (continuao)

    O trabalho com o teorema de Tales pode ser relacionado a atividades das prticas

    sociais do estudante; por exemplo, na determinao das medidas da madeira

    necessria para a construo de uma escada. Muitos objetos do cotidiano podem ser

    associados s figuras espaciais, tais como luminrias, mbiles etc. Estabelecer relaes

    entre os objetos do mundo real e aqueles abstratos da geometria permite que o

    estudante perceba a presena dos conhecimentos matemticos em sua vida cotidiana.

    No trabalho com as razes trigonomtricas, o trabalho com o teodolito, instrumento

    bastante utilizado na construo civil, pode ajudar bastante na construo do conceito.

    Pode-se, inclusive, construir uma simplificao do teodolito, utilizando um transferidor,

    e solicitar que os estudantes utilizem esse instrumento para determinar, por exemplo,

    a medida de alturas inacessveis.Avaliao das aprendizagens

    Determinar a medida de ngulos de polgonos regulares inscritos na circunferncia.

    Aplicar o teorema de Tales na resoluo de problemas.

    Reconhecer as razes trigonomtricas (seno, cosseno e tangente) no tringulo

    retngulo e utiliz-las para resolver problemas.

    Reconhecer, classificar e identificar propriedades dos poliedros (prismas, pirmides,

    tronco de pirmide, poliedros regulares, poliedros de Plato).

    Reconhecer, classificar e identificar propriedades dos corpos redondos (cilindro,

    cone, tronco de cone e esfera).

    4.2 sEMElHAnA E conGrunciA

    4.2.1 FASES 1 e 2

    F1

    Expectativas de aprendizagem

    Reconhecer pares de figuras iguais (congruentes) apresentadas em diferentes

    disposies (por translao, rotao ou reflexo), e descrever a transformao com

    suas prprias palavras.

    Identificar eixos de simetria em figuras planas.Orientaes para o ensino

    Deslocar figuras poligonais simples em diferentes posies um bom caminho para se

    entender o conceito de congruncia. No primeiro momento o estudante deve tentar

    explicar com suas prprias palavras o que ocorreu com a figura. Ele deve ser questionado

    sobre a manuteno das caractersticas ou no das figuras, quando passam por alguma

    transformao de translao, rotao ou reflexo (no h a necessidade trabalhar

    estes nomes). Nesta fase, o entendimento do que aconteceu mais importante que

    simplesmente decorar os nomes das transformaes. O estudante deve reconhecer

    que em uma situao de reflexo, os pontos simtricos das duas figuras tm a mesma

    distncia ao eixo de simetria, ou que em uma translao os pontos da figura simtrica

    so obtidos pelo deslocamento em uma mesma direo e distncia dos pontos da

    figura original. O papel quadriculado muito til nas construes de eixos de simetria.

    Nesta fase, deve-se trabalhar com figuras planas que j tenham sido exploradas no

    tpico de figuras geomtricas.

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    334.2.1 FASES 1 e 2

    F1

    Avaliao das aprendizagens

    Reconhecer pares de figuras iguais (congruentes) apresentadas em diferentes

    disposies (por translao, rotao ou reflexo), e descrever a transformao com

    suas prprias palavras.

    Identificar eixos de simetria em figuras planas.

    F2

    Expectativas de aprendizagem

    Analisar se duas figuras so congruentes por sobreposio.

    Reconhecer eixos de simetria de figuras planas.Orientaes para o ensino

    Como na fase anterior, o estudante deve reconhecer que em uma situao de reflexo,

    os pontos simtricos das duas figuras tm a mesma distncia ao eixo de simetria, ou que

    em uma translao os pontos da figura simtrica so obtidos pelo deslocamento em

    uma mesma direo e distncia dos pontos da figura original. Trabalhar com quadrados

    e tringulos equilteros desenhados em diferentes posies em papel quadriculado,

    pode auxiliar na compreenso dos eixos de simetria. Alguns recursos podem ser

    utilizados para se entender figuras congruentes por superposio. O estudante pode

    recortar e posicionar as figuras uma sobre a outra ou entender que fazendo as devidas

    transformaes trabalhadas na fase anterior, junto com o aprendizado dos eixos de

    simetria, possvel observar se as figuras mantm as mesmas caractersticas e se so

    ou no congruentes.Avaliao das aprendizagens

    Analisar se duas figuras so congruentes por sobreposio.

    Reconhecer eixos de simetria de figuras planas.

    4.2.2 FASES 3 e 4

    F3

    Expectativas de aprendizagem

    Perceber que duas figuras so congruentes quando a razo de semelhana entre elas

    igual a 1.

    Reconhecer polgonos semelhantes.Orientaes para o ensino

    O trabalho envolvendo noes de semelhana e congruncia deve ser realizado sem

    o recurso a formalizaes. Inicialmente, propostas envolvendo reproduo de figuras,

    bem como, ampliao e reduo de figuras desenhadas sobre malha quadriculada

    podem ser teis para que o estudante perceba as caractersticas que se mantm

    inalteradas quando reproduzimos, ampliamos ou reduzimos uma figura, mantendo as

    medidas dos ngulos. O estudante deve compreender que duas figuras poligonais so

    congruentes, quando a razo de semelhana for igual a um. Caso haja costureiras

    entre os estudantes, pode ser interessante pedir que ela explique para o grupo classe

    como faz para cortar peas de roupas de manequins diferentes, a partir de um mesmo

    molde. O estudante deve compreender que duas figuras so congruentes se elas

    preservam a mesma medida dos lados e ngulos. Quando dividimos as medidas

    dos lados correspondentes de duas ou mais figuras e o resultado obtido 1, temos

    figuras congruentes. Quando obtemos resultados diferentes de 1, mas as razes so

    constantes temos polgonos semelhantes, desde que os ngulos sejam mantidos.

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    344.2.2 FASES 3 e 4

    F3

    Orientaes para o ensino (continuao)

    Para que o estudante visualize isso, o professor pode usar uma figura projetada pelo

    datashow ou retroprojetor; afastando ou aproximando o equipamento da parede

    (sempre seguindo a mesma linha), o estudante poder perceber que os ngulos da

    figura permanecem com as mesmas medidas, mas que seus lados ficam ampliados

    ou reduzidos de uma mesma razo. importante que o estudo de semelhana

    e congruncia seja proposto de modo articulado ao trabalho com construes

    geomtricas. Avaliao das aprendizagens

    Perceber que duas figuras so congruentes quando a razo de semelhana entre elas

    igual a 1.

    Reconhecer polgonos semelhantes.

    F4

    Expectativas de aprendizagem

    Reconhecer as condies necessrias e suficientes para se obter tringulos

    semelhantes.

    Resolver e elaborar problemas utilizando as propriedades da semelhana de figuras

    planas (por exemplo, envolvendo escalas).

    Utilizar a semelhana de tringulos para estabelecer as relaes mtricas no tringulo

    retngulo (inclusive o Teorema de Pitgoras) e aplic-las para resolver e elaborar

    problemas.

    Utilizar as propriedades da semelhana para obter ampliaes ou redues de figuras

    planas (por exemplo, utilizando malhas).Orientaes para o ensino

    Nesta etapa, os estudantes j possuem conhecimentos suficientes para compreender

    a noo de semelhana de tringulos. Vale lembrar que, sempre que necessrio, o

    professor poder fazer breves revises de contedos anteriores. O papel quadriculado

    continua sendo um timo recurso para se trabalhar com semelhana. O estudante pode,

    inicialmente, desenhar um tringulo qualquer na malha quadriculada para, em seguida,

    construir tringulos maiores e menores que o tringulo inicial, mantendo-se os ngulos.

    Na continuidade do trabalho, ele pode dividir as medidas dos lados correspondentes e,

    com isso, poder observar que este nmero se repete, ou seja, a razo a mesma; os

    tringulos so semelhantes. Por meio de diferentes atividades de ampliao e reduo

    de tringulos, o estudante pode notar algumas propriedades importantes, como, por

    exemplo, que todos os tringulos equilteros so semelhantes entre si. Aps o estudo

    com tringulos, ele pode trabalhar com figuras planas variadas e aplicar a mesma ideia

    de semelhana. Na sequncia, o estudante deve ser levado a concluir que duas figuras

    poligonais so semelhantes se e somente se seus ngulos tm a mesma medida e seus

    lados possuem medidas proporcionais. As relaes mtricas no tringulo retngulo

    devem ser abordadas, a partir do estudo de semelhana. Por exemplo, o estudante

    pode construir tringulos retngulos semelhantes e verificar relaes mtricas entre

    seus lados. Na abordagem do teorema de Pitgoras, importante retomar as prticas

    profissionais dos estudantes.

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    354.2.2 FASES 3 e 4

    F4

    Orientaes para o ensino (continuao)

    Caso haja algum estudante que trabalhe na construo civil, ele pode explicar para os

    colegas como faz para construir ngulos retos na marcao de uma obra, momento

    em que constri um tringulo retngulo pitagrico (de lados 3, 4 e 5) com cordas.

    Trabalhando com a histria do matemtico Pitgoras, o estudante poder compreender

    que, a partir do tringulo retngulo cujos lados medem 3, 4 e 5, pode construir tringulos

    semelhantes, respeitando a razo constante entre os lados.Avaliao das aprendizagens

    Reconhecer as condies necessrias e suficientes para se obter tringulos

    semelhantes.

    Resolver e elaborar problemas utilizando as propriedades da semelhana de figuras

    planas.

    Utilizar a semelhana de tringulos para estabelecer as relaes mtricas no tringulo

    retngulo (inclusive o Teorema de Pitgoras) e aplic-las para resolver e elaborar

    problemas.

    Utilizar as propriedades da semelhana para obter ampliaes ou redues de figuras

    planas.

    4.2.3 MDULOS 1, 2 e 3

    M1

    Expectativas de aprendizagem

    Utilizar a semelhana de tringulos para estabelecer as relaes mtricas no tringulo

    retngulo (inclusive o teorema de Pitgoras) para resolver e elaborar problemas.Orientaes para o ensino

    Tambm aqui o conceito de semelhana de tringulos deve ser retomado, para o

    estabelecimento das relaes mtricas em um tringulo retngulo. importante

    ressaltar que essas relaes devem ser estabelecidas por meio do pensamento dedutivo,

    e no somente serem apresentadas ao estudante para que ele memorize. Isso pode

    ser evitado se no forem atribudas representaes rgidas para o registro simblico

    dessas relaes. Por exemplo, muito prejudicial levar o estudante a associar a2=b2+c2

    expresso do teorema de Pitgoras. No caso desse teorema, importante que seja

    estabelecida a sua recproca, ou seja, se os lados de um tringulo retngulo obedecem

    a essa relao, ento esse tringulo ser retngulo. A compreenso da terna pitagrica

    (tringulos cujos lados derivam de 3, 4 e 5) permitir resolver rapidamente problemas

    envolvendo o teorema de Pitgoras. O recurso a situaes presentes no mundo do

    trabalho do estudante de EJA pode contribuir bastante para a compreenso das relaes

    mtricas no tringulo retngulo. muito comum trabalhadores da construo civil

    determinarem ngulos retos nos canteiros de obra, utilizando uma corda dividida em

    segmentos de trs, quatro e cinco partes (a terna pitagrica). Dessa forma, importante

    recuperar esse conhecimento e fazer com que esses estudantes compreendam em

    que medida, usando esse recurso, eles sempre obtm um ngulo reto (recproca do

    teorema de Pitgoras). Tambm interessante recorrer histria da matemtica para

    dar sentido a essas relaes. Pode-se fazer uma reflexo, por exemplo, sobre como os

    egpcios construam pirmides de base quadrada sem que tivessem os instrumentos

    atuais. Como eles determinavam a medida da altura das pirmides?

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    364.2.3 MDULOS 1, 2 e 3

    M1

    Avaliao das aprendizagens

    Construir modelos de slidos a partir de planificaes.

    Desenhar figuras obtidas por simetria de translao, rotao e reflexo.

    4.3 construEs GEoMtricAs

    4.3.1 FASES 1 e 2

    F2

    Expectativas de aprendizagem

    Construir modelos de slidos a partir de planificaes.

    Desenhar figuras obtidas por simetria de translao, rotao e reflexo.Orientaes para o ensino

    Nesta fase, a rgua (graduada ou no) assume papel importante no desenho de figuras

    poligonais. Alguns estudantes provavelmente j utilizam instrumentos de desenho em

    suas prticas profissionais, e o professor pode solicitar que eles explicitem para os

    colegas que instrumentos utilizam e como o fazem. Atividades de comunicao, em

    que um estudante deve redigir um texto (descrevendo uma figura, por exemplo) para

    que outro estudante possa realizar o mesmo desenho, uma proposta interessante

    e que ajuda no trabalho de reconhecimento das propriedades das figuras planas. A

    associao entre a representao de uma figura espacial e a sua planificao pode

    ser mais bem compreendida por meio de atividades em que o estudante seja levado

    a construir modelos de slidos a partir de suas planificaes. Nessa fase, importante

    que o estudante reconhea que o cubo pode ter planificaes diferentes. Ao desenhar

    figuras por simetria de translao, rotao e reflexo, muito importante que o

    estudante compreenda as propriedades envolvidas nessas transformaes. Alguns

    estudantes intuitivamente possuem estes conceitos, tais como aqueles que trabalham

    com marcenaria; eles podero auxiliar os colegas nas construes. O professor pode

    trabalhar com papel quadriculado e utilizar softwares livres de geometria dinmica.Avaliao das aprendizagens

    Construir modelos de slidos a partir de planificaes.

    Desenhar figuras obtidas por simetria de translao, rotao e reflexo.

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    374.3.2 FASES 3 e 4

    F2

    Expectativas de aprendizagem

    Construir, utilizando instrumentos de desenho (ou softwares), retas paralelas, retas

    perpendiculares e ngulos notveis (por exemplo: 90, 60, 45, 30).Orientaes para o ensino

    bem provvel que jovens e adultos trabalhadores faam uso de alguns instrumentos

    de desenho em seu dia a dia. Pedreiros, marceneiros, costureiras e outros profissionais

    constroem frequentemente retas paralelas, perpendiculares e ngulos, em seus

    trabalhos. Por isso, importante que o professor recupere as estratgias utilizadas por

    esses estudantes em sua vida profissional e as coloque em discusso para o grupo

    classe. Nesse momento, ser possvel levar o estudante a compreender as propriedades

    dessas figuras geomtricas. Os ngulos de 90, 60, 45, 30 so facilmente construdos

    com o auxlio dos esquadros. O professor deve buscar outros recursos, como dividir um

    ngulo de 90 em dois de 45, como, por exemplo, por meio da bissetriz ou dobrando o

    papel. Para facilitar o entendimento, pode-se usar um software de geometria dinmica

    ou dobraduras. O trabalho com construes geomtricas deve ser proposto de modo

    articulado com o as prticas sociais e culturais do estudante. A articulao com Artes

    Plsticas sempre estimulante.Avaliao das aprendizagens

    Construir, utilizando instrumentos de desenho, retas paralelas, retas perpendiculares e

    ngulos notveis (por exemplo: 90, 60, 45, 30).

    4.4 locAlizAo no EsPAo

    4.4.1 FASES 1 e 2

    F1

    Expectativas de aprendizagem

    Descrever caminhos recorrendo a termos, tais como paralelos, transversais,

    perpendiculares, direita, esquerda.

    Identificar e descrever a localizao e a movimentao de objetos no espao,

    identificando mudanas de direes e considerando mais de um referencial.Orientaes para o ensino

    Os estudantes j trazem consigo alguns termos que utilizam com alguma frequncia,

    tais como ruas paralelas e transversais, virar direita ou esquerda. Se pedirmos ajuda

    de como podemos fazer para chegar ao centro da cidade, logo teremos vrias opes

    e muitos desses termos sero bastante usados. Quando nos deslocamos de um lugar

    a outro, passamos por vrias ruas e nem nos damos conta de quantos conhecimentos

    de Matemtica utilizamos. Um bom modo de exercitar esses termos pedir que

    o estudante descreva o trajeto realizado de casa ou do trabalho para chegar at a

    escola. Um bom software gratuito que pode ser utilizado para reforar as ideias de

    deslocamento e mudanas de direes o LOGO. importante, nesta fase, trabalhar

    bem os referenciais, pois o que direita para um pode ser esquerda para o outro.Avaliao das aprendizagens

    Identificar e descrever a localizao e a movimentao de objetos no espao,

    identificando mudanas de direes e considerando mais de um referencial.

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    384.4.1 FASES 1 e 2

    F2

    Expectativas de aprendizagem

    Localizar pontos ou objetos, usando pares ordenados de nmeros e/ou letras, em

    desenhos representados em malhas quadriculadas.

    Descrever e construir deslocamentos que utilizem medidas de ngulos.Orientaes para o ensino

    Inicialmente, podemos trabalhar localizaes de pontos ou objetos, de forma ldica,

    com auxlio de jogos, como, por exemplo, o jogo de Batalha Naval. Este jogo pode

    ser construdo pelo estudante com o auxlio de malhas quadriculadas. Podemos,

    tambm, pedir para que ele localize uma determinada rua em um guia de ruas (por

    exemplo, aqueles presentes nas pginas amarelas). Inicialmente fala-se o nome da

    rua, mas sem indicar as coordenadas. Depois de muito procurar, o professor discute

    sobre como o estudante pode encontrar, com mais facilidade, a rua desejada, por meio

    das coordenadas. Para deslocamentos, pode-se trabalhar com dinmicas em que os

    estudantes escolhem dois colegas que sero vendados e girados. Depois, os demais

    vo dando as coordenadas de como eles devem se deslocar pela sala para chegar,

    seguindo o caminho mais curto, em um ponto pr-determinado. Alguns termos devero

    ser utilizados, tais como, um quarto de volta, girar 90 para direita ou esquerda. Ganha

    quem conseguir entender os comandos e chegar primeiro ao lugar determinado.Avaliao das aprendizagens

    Localizar pontos ou objetos, usando pares ordenados de nmeros e/ou letras.

    Descrever e construir deslocamentos que utilizem medidas de ngulos.

    4.4.2 FASES 3 e 4

    F3

    Expectativas de aprendizagem

    Associar pares ordenados a pontos no plano cartesiano.Orientaes para o ensino

    O uso da malha quadriculada um bom meio para o entendimento de pontos no

    plano cartesiano bem como para retomar exemplos de localizao trabalhados em

    fases anteriores. Neste trabalho, importante levar o estudante a perceber as ideias de

    pontos de referncia e deslocamentos. Ele precisa ter clareza de que a posio de um

    objeto no plano est associada a duas referncias, e o trabalho com mapas, malhas

    e croquis pode contribuir bastante nesse sentido. O jogo "Batalha Naval" pode ser um

    timo recurso didtico, e contribuir, de forma ldica, para a sistematizao dessas

    ideias. O papel quadriculado pode ser usado para favorecer o trabalho com os eixos

    (vertical e horizontal), com a criao da escala e com localizao de pontos, tendo

    estes eixos como referncia. Neste momento, o estudante pode ser levado a lidar com

    a representao de pontos como um par ordenado ( importante que o professor

    coloque em discusso por que par? Por que ordenado?), conhecendo os termos

    "abscissa" e "ordenada". O dicionrio pode ser sugerido para a compreenso desses

    termos. Mapas podem ser utilizados para que o estudante busque a localizao de um

    lugar. O trabalho com localizao do espao deve, sempre que possvel, ser proposto

    articulado com o estudo de mapas (Geografia) ou com o uso do GPS.Avaliao das aprendizagens

    Associar pares ordenados a pontos no plano cartesiano.

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    394.5 ProPriEdAdEs dAs FiGurAs GEoMtricAs

    4.5.1 FASES 3 e 4

    F3

    Expectativas de aprendizagem

    Classificar polgonos como regulares e no regulares.

    Compreender as propriedades dos quadrilteros e utiliz-las para classific-los.

    Determinar, sem uso de frmula, o nmero de diagonais de um polgono.

    Perceber a relao entre ngulos internos e externos de polgonos.

    Reconhecer a condio de existncia do tringulo quanto medida dos lados.

    Reconhecer ngulos complementares, suplementares e opostos pelo vrtice.

    Reconhecer que a soma dos ngulos internos de um tringulo mede 180 e utilizar

    esse conhecimento para resolver e elaborar problemas.

    Reconhecer, em situaes de ampliao e reduo de figuras planas, a conservao

    dos ngulos e a proporcionalidade entre os lados correspondentes.

    Utilizar a Lei Angular de Tales para determinar a soma das medidas dos ngulos

    internos de polgonosOrientaes para o ensino

    importante que o estudo de propriedades geomtricas parta dos conhecimentos

    que o estudante traz, tanto de suas aprendizagens anteriores como de suas vivncias

    sociais e culturais. O trabalho com os polgonos pode partir do estudo de figuras

    planas regulares e no regulares; mosaicos, quadros geomtricos, faixas decorativas,

    ladrilhamentos so exemplos teis para a observao de figuras, em que o estudante,

    com suas prprias palavras, discuta aspectos iguais e diferentes entre elas. Com isso,

    o estudante pode chegar concluso de que existe uma regularidade em algumas

    figuras, tais como, a mesma medida de lados e ngulos. A partir da, o professor

    pode formalizar o conceito de polgonos regulares. O estudante deve perceber que

    existem caractersticas comuns e diferentes entre os quadrilteros, e que eles recebem

    o nome de paralelogramo, retngulo, quadrado, losango e trapzio. Propostas

    que envolvam a construo de tringulos (por exemplo, com canudos e linha ou

    com palitos de sorvete e tachinha) tambm contribuem para a compreenso de

    propriedades importantes, como, por exemplo, a rigidez do tringulo. Por meio de

    construes com estes materiais, o estudante poder perceber que esta propriedade

    s verificada nos tringulos. Nesse momento, importante articular com as

    prticas sociais dos estudantes, por exemplo, chamando a ateno para o fato de se

    colocar uma trave diagonal em portes de madeira, formando dois tringulos, para

    que o porto no se deforme. Os canudos tambm podem ser utilizados para que

    o estudante perceba a condio de existncia de um tringulo. Empiricamente ele

    pode perceber, por exemplo, que s possvel formar um tringulo se a soma das

    medidas dos canudos menores for maior que a medida do canudo maior. As figuras

    planas devem ser apresentadas ao estudante, em diferentes posies e no apenas

    naquela em que um dos lados esteja na posio horizontal em relao margem do

    papel. O trabalho com slidos tambm importante para que o estudante quantifique

    os vrtices, as faces e as arestas e estabelea a relao entre esses elementos. Na

    sequncia, o professor pode sugerir que ele represente outros polgonos e desenhe

    suas diagonais. Com isso, ele poder ser levado a perceber que polgonos convexos

    com o mesmo nmero de lados possuem sempre um mesmo nmero de diagonais.

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    404.5.1 FASES 3 e 4

    F3

    Orientaes para o ensino (continuao)

    A representao dessas quantidades, em uma tabela, por exemplo, auxilia o estudante

    a perceber regularidades em relao a este aspecto. Aps isso, o professor poder

    retomar o estudo dos ngulos dos tringulos, conduzindo o estudante a perceber

    empiricamente a lei angular de Tales. Uma sugesto interessante solicitar que ele

    desenhe um tringulo qualquer; em seguida, com o auxlio de uma tesoura, sugerir que

    ele recorte os ngulos e cole-os, juntando seus vrtices sobre um ponto. Facilmente,

    ele perceber que a soma das medidas dos ngulos equivale a 180. importante

    chamar a ateno do estudante para este fato, que uma caracterstica comum a todos

    os tringulos, qualquer que seja ele. A partir do estabelecimento deste fato, verificado

    de modo emprico pelo prprio estudante, o professor poder propor problemas e

    desafios que envolvam esta relao. O estudante tambm poder usar esta relao para

    estabelecer a soma das medidas dos ngulos internos de outros polgonos, dividindo-

    os em vrios tringulos. Na continuidade, o estudo envolvendo relaes entre ngulos

    de polgonos poder ser estendido, no sentido de levar o estudante a perceber relaes

    entre o ngulo interno e o ngulo externo dessas figuras. Prosseguindo o trabalho, o

    estudante dever perceber relaes entre os ngulos de duas retas concorrentes (ngulos

    opostos pelo vrtice, suplementares ou complementares). Por meio da comparao de

    polgonos, pode-se chegar a uma concluso sobre o nmero de diagonais que eles

    possuem, sem a necessidade do uso de frmulas (com o auxilio de tabelas, buscando

    regularidades). A relao entre os ngulos internos e externos de fcil visualizao

    pelo estudante, quando apresentada na forma de ngulos suplementares, isso , que

    formam um ngulo de 180. Aps utilizar a lei angular de Tales para a soma dos ngulos

    internos de um tringulo, podemos fazer o mesmo para outros polgonos. Podemos

    recortar os ngulos internos de um polgono convexo qualquer e coloc-los juntos,

    para se chegar concluso de que se a soma das medidas dos ngulos internos de um

    tringulo mede 180, a de um quadriltero mede 360, a de um pentgono mede 540

    e assim sucessivamente. Com isso, o estudante ir perceber que aumentamos a soma

    dos ngulos internos de 180 quando adicionamos um lado ao polgono, o que leva

    possibilidade de formar mais um tringulo. Trabalhando figuras poligonais desenhadas

    em um papel quadriculado, o professor pode pedir ao estudante que amplie e reduza

    as figuras como queira; depois pode-se analisar em grupo o que aconteceu com as

    figuras. Algumas figuras ficaro deformadas o que caracteriza que a proporcionalidade

    em todos os lados no foi considerada. Com isso, o estudante pode concluir que para

    as figuras manterem as propriedades de semelhana, devem-se preservar os ngulos e

    utilizar segmentos proporcionais.Avaliao das aprendizagens

    Classificar polgonos como regulares e no regulares.

    Compreender as propriedades dos quadrilteros e utiliz-las para classific-los.

    Determinar, sem uso de frmula, o nmero de diagonais de um polgono.

    Reconhecer a condio de existncia do tringulo quanto medida dos lados.

    Reconhecer ngulos complementares, suplementares e opostos pelo vrtice.

    Reconhecer que a soma dos ngulos internos de um tringulo mede 180 e utilizar

    esse conhecimento para resolver problemas.

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    414.5.1 FASES 3 e 4

    F3

    Avaliao das aprendizagens (continuao)

    Reconhecer, em situaes de ampliao e reduo de figuras planas, a conservao

    dos ngulos e a proporcionalidade entre os lados correspondentes.

    Utilizar a Lei Angular de Tales para determinar a soma das medidas dos ngulos

    internos de polgonos

    F4

    Expectativas de aprendizagem

    Compreender as relaes entre os ngulos formados por retas paralelas cortadas por

    uma transversal.

    Compreender, sem uso de frmula, a relao entre o nmero de lados de um polgono

    e a soma dos seus ngulos internos.

    Diferenciar crculo e circunferncia e reconhecer seus elementos e as relaes entre

    esses elementos.

    Reconhecer as relaes entre as medidas dos ngulos formados pela interseo de

    duas retas.

    Reconhecer que todo polgono regular inscritvel em uma circunferncia.

    Reconhecer as razes trigonomtricas (seno, cosseno e tangente) no tringulo

    retngulo e utiliz-las para resolver e elaborar problemas.Orientaes para o ensinoNesta etapa, o professor deve retomar os contedos trabalhados em fases anteriores. Aps uma reviso das propriedades de ngulos opostos pelo vrtice e de ngulos complementares e suplementares, possvel ampliar para as relaes entre os ngulos formados quando uma reta corta um feixe de retas paralelas. Nesta fase, o professor deve retomar o trabalho com representao de figuras, sistematizando as propriedades da semelhana e levando o estudante a realizar ampliaes e redues de figuras planas. As razes trigonomtricas no tringulo retngulo (seno, cosseno e tangente) aparecem nessa fase. Uma atividade interessante sugerir que o estudante construa alguns tringulos semelhantes a um dado tringulo retngulo e que estabelea relaes de proporcionalidade entre as medidas de seus lados, expressando suas concluses. Posteriormente, podem ser retomadas as ideias que o estudante tem sobre crculo e circunferncia, conduzindo-o a diferenciar estas figuras e a estabelecer relaes entre elas. O estudo dos ngulos central e inscrito e suas relaes podem ser propostos na continuidade. Propostas envolvendo construes (com rgua e compasso) ajudam na percepo de propriedades. Desenhar polgonos inscritos na circunferncia tambm constitui uma atividade interessante. importante, aqui, que o estudante perceba relaes entre o ngulo do polgono inscrito com o ngulo central.Avaliao das aprendizagens Compreender as relaes entre os ngulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Compreender, sem uso de frmula, a relao entre o nmero de lados de um polgono e a soma dos seus ngulos internos. Diferenciar crculo e circunferncia e reconhecer seus elementos e as relaes entre esses elementos. Reconhecer as relaes entre as medidas dos ngulos formados pela interseo de duas retas. Reconhecer as razes trigonomtricas (seno, cosseno e tangente) no tringulo retngulo e utiliz-las para resolver problemas.

  • PARMETROS PARA A EDUCAO BSICA DO ESTADO DE PERNAMBUCO

    424.5.2 MDULOS 1, 2 e 3

    M1

    Expectativas de aprendizagem

    Determinar a medida de ngulos de polgonos regulares inscritos na circunferncia.

    Compreender e aplicar o teorema de Tales na resoluo de problemas.

    Reconhecer as razes trigonomtricas (seno, cosseno e tangente) no tringulo

    retngulo e utiliz-las para resolver e elaborar problemas.

    Reconhecer, classificar e identificar propriedades dos poliedros (prismas, pirmides,

    tronco de pirmide, poliedros regulares, poliedros de Plato e relao de Euler).

    Reconhecer, classificar e identificar propriedades dos corpos redondos (cilindro,

    cone, tronco de cone e esfera).Orientaes para o ensino

    Nesta etapa de escolarizao, o estudante j domina plenamente as propriedades

    dos tringulos. Dessa forma, deve-se partir dessas propriedades para estabelecer as

    medidas dos ngulos internos e externos de polgonos regulares inscritos. A partir

    da decomposio do polgono em tringulos issceles, o estudante perceber que

    o ngulo do vrtice desses tringulos obtido pela diviso de 360 pelo nmero de

    ngulos do polgono, ou seja, o ngulo central. A partir da, poder perceber que a

    medida do ngulo interno do polgono corresponde ao suplemento do ngulo central,

    e que a medida do ngulo externo a mesma do ngulo central. importante ressaltar

    que o objetivo no o estabelecimento de frmulas, mas que o estudante se aproprie

    das relaes envolvidas. O uso de softwares de geometria dinmica, como o software

    livre GeoGebra, por exemplo, pode contribuir bastante para essa compreenso. O

    trabalho pode ser iniciado pela explorao do quadrado, do tringulo e do hexgono

    (aqui importante chegar relao entre o lado do hexgono e o raio da circunferncia).

    Posteriormente, o trabalho com os ngulos deve ser estendido a outros polgonos

    regulares inscritos. O conceito de semelhana deve ser o ponto de partida para o

    trabalho com o teorema de Tales e para o estabelecimento das razes trigonomtricas

    no tringulo retngulo. Tambm aqui, a utilizao de softwares de geometria dinmica

    pode contribuir bastante, na medida em que o estudante poder manipular os elementos

    geomtricos e, a partir da observao das medidas representadas, chegar s relaes

    desejadas. O trabalho com poliedros e corpos redondos deve ser estreitamente ligado

    s planificaes. Ao montar e desmontar as construes geomtricas importante

    que o estudante estabelea as relaes entre seus elementos constitutivos. Por

    exemplo, observar que em uma pirmide de base pentagonal, obtemos cinco vrtices

    na base mais um no "topo" da pirmide, totalizando seis vrtices. J, no caso do prisma

    de base pentagonal, obtemos cinco vrtices em cada uma das bases, totalizando dez

    vrtices. importante que o estudante construa a ideia de poliedro regular. Entretanto,

    a relao de Euler deve surgir no trabalho didtico como um aspecto interessante,

    mas sem que haja a preocupao em decorar a relao tampouco explor-la em

    atividades de avaliao. No trabalho com polgonos regulares inscritos, importante

    relacionar as propriedades dos ngulos em logomarcas comerciais, smbolos etc.,

    incluindo polgonos estrelados formados pela composio de polgonos regulares. O

    trabalho com o teorema de Tales pode ser relacionado a atividades das prticas sociais

    dos estudantes; por exemplo, na determinao das medidas da madeira necessria

    para a construo de uma escada.

  • PARMETROS NA SALA DE AULA DE MATEMTICA

    434.5.2 MDULOS 1, 2 e 3

    M1

    Orientaes para o ensino (continuao)

    Muitos objetos do cotidiano podem ser associados s figuras espaciais, tais como

    luminrias, mbiles etc. Estabelecer relaes entre os objetos do mundo real e

    aqueles abstratos da geometria permite que o estudante perceba a presena dos

    conhecimentos matemticos em sua vida cotidiana. No trabalho com as razes

    trigonomtricas, o recurso ao teodolito, instrumento bastante utilizado na construo

    civil, pode ajudar bastante na construo do conceito. Pode-se, inclusive, construir