MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 1 - pcna.com.br .Produtos Notáveis ----- 32 1.9.4. Divisão

  • View
    214

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 1 - pcna.com.br .Produtos Notáveis ----- 32 1.9.4. Divisão

  • E-books PCNA

    Vol. 1

    ELEMENTAR

    CAPTULO 1 ARITMTICA E EXPRESSES ALGBRICAS

    MATEMTICA

  • Pgina | 1

    1 MATEMTICA ELEMENTAR CAPTULO 1

    SUMRIO

    Apresentao ------------------------------------------------- 3

    Captulo 1 ------------------------------------------------------4

    1. Aritmtica e Expresses Algbricas -----------------4

    1.1. Ordem e Precedncia dos Clculos --------------4

    1.2. Operaes com Nmeros Fracionrios -------- 5 1.2.1 Soma e Subtrao ------------------------------------- 5

    1.2.1.1. Denominadores iguais -------------------------- 6 1.2.1.2. Denominadores diferentes --------------------- 6

    1.2.2 Multiplicao de Fraes ---------------------------- 8 1.2.3. Diviso de Fraes ----------------------------------- 9

    1.3. Expresses Algbricas -----------------------------9 1.3.1 Simplificao de Fraes Algbricas -------------- 11

    1.4. Potenciao ----------------------------------------- 12 1.4.1. Propriedades ---------------------------------------- 12

    1.5. Radiciao ------------------------------------------- 16 1.5.1. Propriedades ---------------------------------------- 16

    1.6. Racionalizao de denominadores ----------- 19

    1.7. Logaritmo -------------------------------------------- 23 1.7.1. Propriedades --------------------------------------- 25

    1.8. Polinmios ------------------------------------------ 27 1.9.1. Adio e Subtrao de Polinmios ---------------- 27 1.9.2. Multiplicao de Polinmios --------------------- 30 1.9.3. Produtos Notveis --------------------------------- 32 1.9.4. Diviso de Polinmios ---------------------------- 33 1.9.5. Raiz de um Polinmio ----------------------------- 35 1.9.6. Fatorao de Polinmios ------------------------- 42

  • Pgina | 2

    2 MATEMTICA ELEMENTAR CAPTULO 1

    EXERCCIOS PROPOSTOS ----------------------------- 45

    GABARITO -------------------------------------------------- 47

  • Pgina | 3

    3 MATEMTICA ELEMENTAR CAPTULO 1

    Apresentao

    Ao chegar UFPA, voc tem a possibilidade de cursar gratuitamente cursos de nivelamento em Cincias Bsicas (Fsica, Qumica e Matemtica). Assistindo s aulas no prprio ambiente em que cursar sua graduao, isso auxiliar voc a adquirir o conhecimento necessrio para enfrentar melhor o programa curricular do seu curso.

    Ento seja Bem-vindo ao Curso de Nivelamento em Matemtica Elementar do PCNA. Este o primeiro de uma srie de cinco E-books que vo lhe acompanhar durante o curso, o professor utilizar este material como apoio s suas aulas e fundamental que voc o leia e acompanhe as atividades propostas.

    A srie E-books PCNA-Matemtica foi desenvolvida com o propsito de apresentar o contedo do curso de Matemtica Elementar, fornecendo tambm ferramentas para facilitar o ensino e a aprendizagem do Clculo Diferencial e Integral que voc ir encontrar em breve na sua graduao.

    Neste fascculo voc ir encontrar o contedo de Aritmtica e Expresses Algbricas. bom lembrar que no se pode aprender Clculo sem alguns pr-requisitos, que muitas das vezes no valorizamos por acharmos simples e descomplicados, todavia, ateno e compreenso se fazem necessria.

  • Pgina | 4

    4 MATEMTICA ELEMENTAR CAPTULO 1

    Captulo 1

    1. Aritmtica e Expresses Algbricas

    O estudo de clculo exige muito mais que o conhecimento de limite, derivada e integral. Para que o aprendizado seja satisfatrio o domnio de tpicos de aritmtica e lgebra essencial. Soma de frao, potenciao e at mesmo produtos notveis podem passar despercebidos pelos alunos que estudaram o ensino fundamental a algum tempo e no lembram.

    Este captulo aborda tais assuntos de forma sinttica e com exemplos detalhados para melhor entendimento do leitor. Ao fim do captulo o leitor ser capaz de realizar as operaes aritmticas e algbricas, tais como potenciao e radiciao, resolver problemas de logaritmo utilizando suas propriedades, analisar problemas com mdulo e reconhecer polinmios.

    1.1. Ordem e Precedncia dos Clculos

    Sempre que voc se deparar com uma expresso numrica para resolver voc deve respeitar a seguinte ordem de prioridade:

    a) Agrupamentos prvios pelo uso de trao de fraes, radical, parnteses, chaves e colchetes. No caso de agrupamentos com mltiplos por parnteses resolver do interno ao externo;

    b) Potenciao e radiciao;

    c) Multiplicao e diviso;

    d) Adio e subtrao.

    Exemplos:

    1) 2 + 1 2 6

    2 5 + 3 =

    2 + 2 3 5 + 3 =

  • Pgina | 5

    5 MATEMTICA ELEMENTAR CAPTULO 1

    2 + 2 15 + 3 = 8

    Note que neste exemplo no existem parnteses, chaves ou colchetes, portanto a ordem de resoluo deve ser primeiramente multiplicao e/ou diviso e depois as somas e subtraes. Nos exemplos 2 e 3, com a presena de parnteses, as operaes dentro dos parnteses tm prioridade. De forma semelhante, no exemplo 4, com a presena do radical, este deve ser resolvido primeiro.

    2) ( 2 + 1). 2 6

    2 . (5 + 3) =

    3 . 2 6

    2 . 8 =

    6 3 . 8 = 6 24 = 18

    3) (( 2 + 1) . 2 6

    2) . (5 + 3) =

    ( 3 . 2 6

    2) . 8 =

    ( 6 3) . 8 = 3 . 8 = 24

    4) 12

    4 + 2 . 7 + 2 =

    12

    6 . 9 =

    2 . 3 = 6

    1.2. Operaes com Nmeros Fracionrios

    1.2.1 Soma e Subtrao

    Para a soma ou a subtrao de duas fraes deve-se observar se os denominadores so iguais ou diferentes. Os

  • Pgina | 6

    6 MATEMTICA ELEMENTAR CAPTULO 1

    procedimentos de clculo variam de acordo com os denominadores apresentados.

    1.2.1.1. Denominadores iguais

    Neste caso, os numeradores devem ser somados ou subtrados, de acordo com os sinais operatrios, e o valor do denominador mantido. Exemplos:

    1) 2

    5+

    4

    5 =

    6

    5

    2) 2

    3 +

    5

    3

    4

    3 = =

    2 + 5 4

    3=

    3

    3 = 1

    3)28

    10

    3

    10+

    5

    10=

    28 3 + 5

    10=

    30

    10= 3

    4) 9

    8+

    2

    8

    1

    8 =

    9 + 2 1

    8=

    10

    8

    1.2.1.2. Denominadores diferentes Neste caso, deve-se determinar com antecedncia

    o mnimo mltiplo comum (m.m.c.) entre todos os denominadores das fraes envolvidas, de modo a igualar os denominadores e aplicar a regra acima. Exemplo:

    1) 2

    3+

    9

    4 = ?

    Soluo: O MMC obtido a partir da fatorao simultnea dos denominadores, como segue abaixo:

  • Pgina | 7

    7 MATEMTICA ELEMENTAR CAPTULO 1

    4,3 2

    2,3 2

    1,3 3

    1,1 2.2.3 12

    O MMC ento igual a 12. Prossegue-se adotando o MMC como denominador comum para as duas fraes. Novos numeradores so obtidos para ambas as fraes dividindo-se o MMC pelo antigo denominador e multiplicando este resultado pelo antigo numerador, como exemplificado a seguir:

    2 9 (12 3) 2 (12 4) 9 8 27 35

    3 4 12 12 12 12

    2) 2

    5+

    8

    9

    7

    12 = ?

    Soluo:

    5,9,12 2

    5,9,6 2

    5,9,3 3

    5,3,1 3

    5,1,1 5

    1,1,1 2 2 3 3 5 180

    2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127

    5 9 12 180 180 180 180 180 180 180

    2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127

    5 9 12 180 180 180 180 180 180 180

  • Pgina | 8

    8 MATEMTICA ELEMENTAR CAPTULO 1

    OBS: Para efetuar a soma de fraes com denominadores diferentes podemos utilizar qualquer mltiplo comum. A forma mais simples de encontrar um mltiplo comum multiplicar todos os denominadores. 3)

    2

    5+

    8

    9

    7

    12 =

    (9 . 12) . 2 + (5 . 12) . 8 (5 . 9). 7

    5 . 9 . 12

    =108 . 2 + 60 . 8 45 . 7

    540=

    216 + 480 315

    540 =

    =381

    540=

    3 . 127

    3 . 180=

    3

    3 .

    127

    180= 1 .

    127

    180=

    127

    180

    1.2.2 Multiplicao de Fraes

    O produto de duas ou mais fraes o produto dos seus numeradores dividido pelo produto dos seus denominadores. Observe que nos exemplos abaixo ns simplesmente multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. Em certos casos, possvel simplificar. Exemplos:

    1) 1

    10 .

    3

    5 =

    1 . 3

    10 . 5 =

    3

    50

    2) 3

    14 .

    21

    15=

    3 . 21

    14 . 15 =

    63

    210 =

    3 . 21

    10 . 21 =

    3

    10 .

    21

    21=

    3

    10 . 1 =

    3

    10

    3) 10 .5

    3 +

    2

    5

    1

    4 =

    50

    3+

    2

    5

    1

    4=

    (5 . 4). 50 + (3 . 4 ). 2 (3 . 5 ). 1

    3 . 5 . 4

    =1000 + 24 15

    60=

    1009

    60

  • Pgina | 9

    9 MATEMTICA ELEMENTAR CAPTULO 1

    4) 10 . (5

    3 +

    2

    5)

    1

    4 = 10 (

    5 . 5 + 3 . 2

    3 . 5 )

    1

    4= 10. (

    25 + 6

    15)

    1

    4=

    = 10 .31

    15

    1

    4=

    310

    15

    1

    4=

    4 . 310 15 .1

    15 . 4=

    1240 15

    60=

    1225

    60

    = 245

    12

    1.2.3. Diviso de Fraes No caso de diviso entre fraes procede-se multiplicando

    a primeira frao pelo inverso da segunda:

    =

    =

    =

    Exemplos:

    1)

    1725

    =1

    7

    2