MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 1 - pcna.com.br · Produtos Notáveis ----- 32 1.9.4. Divisão de ... 2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 ... de fazer o jogo de sinais

E-books PCNA

Vol. 1

ELEMENTAR

CAPÍTULO 1 – ARITMÉTICA E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

MATEMÁTICA

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1 MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 1

SUMÁRIO

Apresentação ------------------------------------------------- 3

Capítulo 1 ------------------------------------------------------4

1. Aritmética e Expressões Algébricas -----------------4

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos --------------4

1.2. Operações com Números Fracionários -------- 5 1.2.1 Soma e Subtração ------------------------------------- 5

1.2.1.1. Denominadores iguais -------------------------- 6 1.2.1.2. Denominadores diferentes --------------------- 6

1.2.2 Multiplicação de Frações ---------------------------- 8 1.2.3. Divisão de Frações ----------------------------------- 9

1.3. Expressões Algébricas -----------------------------9 1.3.1 Simplificação de Frações Algébricas -------------- 11

1.4. Potenciação ----------------------------------------- 12 1.4.1. Propriedades ---------------------------------------- 12

1.5. Radiciação ------------------------------------------- 16 1.5.1. Propriedades ---------------------------------------- 16

1.6. Racionalização de denominadores ----------- 19

1.7. Logaritmo -------------------------------------------- 23 1.7.1. Propriedades --------------------------------------- 25

1.8. Polinômios ------------------------------------------ 27 1.9.1. Adição e Subtração de Polinômios ---------------- 27 1.9.2. Multiplicação de Polinômios --------------------- 30 1.9.3. Produtos Notáveis --------------------------------- 32 1.9.4. Divisão de Polinômios ---------------------------- 33 1.9.5. Raiz de um Polinômio ----------------------------- 35 1.9.6. Fatoração de Polinômios ------------------------- 42

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS ----------------------------- 45

GABARITO -------------------------------------------------- 47

Página | 3


Apresentação

Ao chegar à UFPA, você tem a possibilidade de cursar gratuitamente cursos de nivelamento em Ciências Básicas (Física, Química e Matemática). Assistindo às aulas no próprio ambiente em que cursará sua graduação, isso auxiliará você a adquirir o conhecimento necessário para enfrentar melhor o programa curricular do seu curso.

Então seja Bem-vindo ao Curso de Nivelamento em Matemática Elementar do PCNA. Este é o primeiro de uma série de cinco E-books que vão lhe acompanhar durante o curso, o professor utilizará este material como apoio às suas aulas e é fundamental que você o leia e acompanhe as atividades propostas.

A série “E-books PCNA-Matemática” foi desenvolvida com o propósito de apresentar o conteúdo do curso de Matemática Elementar, fornecendo também ferramentas para facilitar o ensino e a aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral que você irá encontrar em breve na sua graduação.

Neste fascículo você irá encontrar o conteúdo de Aritmética e Expressões Algébricas. É bom lembrar que não se pode aprender Cálculo sem alguns pré-requisitos, que muitas das vezes não valorizamos por acharmos simples e descomplicados, todavia, atenção e compreensão se fazem necessária.

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Capítulo 1

1. Aritmética e Expressões Algébricas

O estudo de cálculo exige muito mais que o conhecimento de limite, derivada e integral. Para que o aprendizado seja satisfatório o domínio de tópicos de aritmética e álgebra é essencial. Soma de fração, potenciação e até mesmo produtos notáveis podem passar despercebidos pelos alunos que estudaram o ensino fundamental a algum tempo e não lembram.

Este capítulo aborda tais assuntos de forma sintética e com exemplos detalhados para melhor entendimento do leitor. Ao fim do capítulo o leitor será capaz de realizar as operações aritméticas e algébricas, tais como potenciação e radiciação, resolver problemas de logaritmo utilizando suas propriedades, analisar problemas com módulo e reconhecer polinômios.

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos

Sempre que você se deparar com uma expressão numérica para resolver você deve respeitar a seguinte ordem de prioridade:

a) Agrupamentos prévios pelo uso de traço de frações, radical, parênteses, chaves e colchetes. No caso de agrupamentos com múltiplos por parênteses resolver do interno ao externo;

b) Potenciação e radiciação;

c) Multiplicação e divisão;

d) Adição e subtração.

Exemplos:

1) 2 + 1 × 2 −6

2 × 5 + 3 =

2 + 2 − 3 × 5 + 3 =

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2 + 2 − 15 + 3 = −8

Note que neste exemplo não existem parênteses, chaves ou colchetes, portanto a ordem de resolução deve ser primeiramente multiplicação e/ou divisão e depois as somas e subtrações. Nos exemplos 2 e 3, com a presença de parênteses, as operações dentro dos parênteses têm prioridade. De forma semelhante, no exemplo 4, com a presença do radical, este deve ser resolvido primeiro.

2) ( 2 + 1). 2 −6

2 . (5 + 3) =

3 . 2 −6

2 . 8 =

6 − 3 . 8 = 6 − 24 = −18

3) (( 2 + 1) . 2 −6

2) . (5 + 3) =

( 3 . 2 −6

2) . 8 =

( 6 − 3) . 8 = 3 . 8 = 24

4) 12

4 + 2 . √7 + 2 =

12

6 . √9 =

2 . 3 = 6

1.2. Operações com Números Fracionários

1.2.1 Soma e Subtração

Para a soma ou a subtração de duas frações deve-se observar se os denominadores são iguais ou diferentes. Os

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procedimentos de cálculo variam de acordo com os denominadores apresentados.

1.2.1.1. Denominadores iguais

Neste caso, os numeradores devem ser somados ou subtraídos, de acordo com os sinais operatórios, e o valor do denominador mantido. Exemplos:

1) 2

5+

4

5 =

6

5

2) 2

3 +

5

3−

4

3 = =

2 + 5 − 4

3=

3

3 = 1

3)28

10−

3

10+

5

10=

28 − 3 + 5

10=

30

10= 3

4) 9

8+

2

8−

1

8 =

9 + 2 − 1

8=

10

8

1.2.1.2. Denominadores diferentes Neste caso, deve-se determinar com antecedência

o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre todos os denominadores das frações envolvidas, de modo a igualar os denominadores e aplicar a regra acima. Exemplo:

1) 2

3+

9

4 = ?

Solução: O MMC é obtido a partir da fatoração simultânea dos denominadores, como segue abaixo:

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4,3 2

2,3 2

1,3 3

1,1 2.2.3 12

O MMC então é igual a 12. Prossegue-se adotando o MMC como denominador comum para as duas frações. Novos numeradores são obtidos para ambas as frações dividindo-se o MMC pelo antigo denominador e multiplicando este resultado pelo antigo numerador, como exemplificado a seguir:

2 9 (12 3) 2 (12 4) 9 8 27 35

3 4 12 12 12 12

2) 2

5+

8

9−

7

12 = ?

Solução:

5,9,12 2

5,9,6 2

5,9,3 3

5,3,1 3

5,1,1 5

1,1,1 2 2 3 3 5 180

2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127

5 9 12 180 180 180 180 180 180 180

2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127

5 9 12 180 180 180 180 180 180 180

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OBS: Para efetuar a soma de frações com denominadores diferentes podemos utilizar qualquer múltiplo comum. A forma mais simples de encontrar um múltiplo comum é multiplicar todos os denominadores. 3)

2

5+

8

9−

7

12 =

(9 . 12) . 2 + (5 . 12) . 8 − (5 . 9). 7

5 . 9 . 12

=108 . 2 + 60 . 8 − 45 . 7

540=

216 + 480 − 315

540 =

=381

540=

3 . 127

3 . 180=

3

3 .

127

180= 1 .

127

180=

127

180

1.2.2 Multiplicação de Frações

O produto de duas ou mais frações é o produto dos seus numeradores dividido pelo produto dos seus denominadores. Observe que nos exemplos abaixo nós simplesmente multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. Em certos casos, é possível simplificar. Exemplos:

1) 1

10 .

3

5 =

1 . 3

10 . 5 =

3

50

2) 3

14 .

21

15=

3 . 21

14 . 15 =

63

210 =

3 . 21

10 . 21 =

3

10 .

21

21=

3

10 . 1 =

3

10

3) 10 .5

3 +

2

5−

1

4 =

50

3+

2

5−

1

4=

(5 . 4). 50 + (3 . 4 ). 2 − (3 . 5 ). 1

3 . 5 . 4

=1000 + 24 − 15

60=

1009

60

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4) 10 . (5

3 +

2

5) −

1

4 = 10 (

5 . 5 + 3 . 2

3 . 5 ) −

1

4= 10. (

25 + 6

15) −

1

4=

= 10 .31

15−

1

4=

310

15−

1

4=

4 . 310 − 15 .1

15 . 4=

1240 − 15

60=

1225

60

= 245

12

1.2.3. Divisão de Frações No caso de divisão entre frações procede-se multiplicando

a primeira fração pelo inverso da segunda: 𝑎𝑏𝑐𝑑

=𝑎

𝑏 ÷

𝑐

𝑑 =

𝑎

𝑏 ×

𝑑

𝑐 =

𝑎×𝑑

𝑏×𝑐

Exemplos:

1)

1725

=1

7 ÷

2

5=

1

7 ×

5

2 =

5

14

2)

172

=1

7÷ 2 =

1

7 ∙

1

2 =

1

14

3)4

23

= 4 ÷2

3 =

4

1 ∙

3

2 =

12

2 = 6

4)2

13

−

132

= 2 ∙ 3 −1

3∙

1

2 = 6 −

1

6 =

36 − 1

6 =

35

6

Nos casos acima a primeira fração deve ser mantida e é multiplicada pela inversa da segunda fração.

1.3. Expressões Algébricas

Recebe o nome de expressão algébrica a expressão matemática na qual se faz uso de letras, números e operações

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aritméticas. As letras constituem a parte variável da expressão, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. Continuam válidas todas as regras da aritmética. Exemplos:

1) 2 𝑥

3−

7

𝑥 =

𝑥. (2 𝑥) − 3 . 7

3 . 𝑥 =

2 𝑥2 − 21

3 𝑥

2) 2 𝑥 + 𝑦

𝑥−

4 𝑥

𝑦=

𝑦. (2 𝑥 + 𝑦) − 𝑥 . ( 4 𝑥)

𝑥 . 𝑦=

2 𝑥 𝑦 + 𝑦2 − 4𝑥2

𝑥 𝑦

Observe nos exemplos que os denominadores são

diferentes, portanto fazemos o MMC entre eles, como estamos em um caso algébrico o MMC é, simplesmente, a multiplicação entre eles.

É comum necessitar simplificar as expressões algébricas para a resolução de problemas. Técnicas como agrupamento, evidência do fator comum, etc., são normalmente adotadas para a simplificação e/ou fatoração das expressões. Exemplos:

Utilize as técnicas de agrupamento e evidência dos fatores comuns para simplificar as expressões algébricas abaixo: 1) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦 = (𝑥 − 3 . 𝑥) + (2 . 𝑦 + 𝑦) = = 𝑥(1 − 3) + 𝑦 (2 + 1) = −2 𝑥 + 3 𝑦

Nesse exemplo foram agrupados todos os termos com “x” em um parênteses e todos os termos com “y” em outro. Quando as operações são algébricas podemos somar ou subtrair termos semelhantes, nesse caso “x” e “3x” são semelhantes, logo podemos subtraí-los. 2) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 + (−3). (𝑥 + 𝑦) =

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𝑥 + 2 𝑦 + (−3 𝑥 − 3 𝑦) = (𝑥 − 3 𝑥) + (2 𝑦 − 3𝑦) = 𝑥(1 − 3) + 𝑦(2 − 3) = −2 𝑥 − 𝑦 3) 𝑥 − (2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦 ) = 𝑥 − (2 𝑦 + 𝑦 − 3𝑥) = 𝑥 − (3 𝑦 − 3 𝑥) = 𝑥 + 3𝑥 − 3 𝑦 = 4𝑥 − 3𝑦

4) 𝑥 + 2 (𝑦 − (3 𝑥 + 𝑦)) =

𝑥 + 2 ( 𝑦 + (−1) (3𝑥 + 𝑦)) =

𝑥 + 2 ( 𝑦 + (−3𝑥 − 𝑦)) =

𝑥 + 2 ( 𝑦 − 𝑦 − 3𝑥) = 𝑥 + 2(−3𝑥) = 𝑥 − 6𝑥 = −5𝑥

A fatoração consiste em representar um número ou uma expressão algébrica como produto, respetivamente, de outros números ou de outras expressões algébricas. Exemplos: 1) 6 𝑎 𝑏 − 12 𝑏 = 6 ∙ 𝑏 ∙ (𝑎 − 2) 2) 9 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 = 3 ∙ 𝑥 ∙ (3 − 𝑦) 3) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑦 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦 (𝑎 + 𝑏) = = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑥 + 𝑦) 1.3.1 Simplificação de Frações Algébricas

Para simplificar frações algébricas devemos seguir a seguinte regra: fatorar o numerador e o denominador e assim, dividir o numerador e denominador em seus fatores comuns.

Fique atento: Só podemos simplificar os fatores (termos) que estejam multiplicando tanto o numerador quanto o denominador.

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Exemplos:

1) 2𝑥 − 4𝑦

2𝑥=

2 ∙ (𝑥 − 2𝑦)

2 ∙ 𝑥=

2

2∙

𝑥 − 2𝑦

𝑥=

= 1 ∙ 𝑥 − 2𝑦

𝑥=

𝑥 − 2𝑦

𝑥

2) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥

𝑎 + 𝑏=

𝑥 (𝑎 + 𝑏)

𝑎 + 𝑏= 𝑥 ∙

𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏= 𝑥 ∙ 1 = 𝑥

1.4. Potenciação

A potenciação equivale a uma multiplicação de fatores iguais. Podemos dizer também que é a quantidade de vezes que o número será multiplicado por ele mesmo. De um modo geral, sendo 𝑎 um número real e 𝑛 um número natural 𝑛 ≥ 2 definimos:

𝒂𝒏 = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ … ∙ 𝒂 = 𝒑 (𝒏 𝒗𝒆𝒛𝒆𝒔 𝒐 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓 𝒂) 𝒂𝒏 = 𝒑

Onde: 𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒; 𝑛 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒; 𝑝 = 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 Exemplos: 1) 24 = 2×2×2×2 = 16 2) (−2)2 = (−2)×(−2) = 4 3) 33 = 3×3×3 = 27 4) (−3)3 = (−3)× (−3)×(−3) = −27 Um erro muito comum ocorre quando o aluno confunde e ao invés de multiplicar o um número n vezes por ele mesmo acaba multiplicando a base pelo expoente. Não esqueça também de fazer o jogo de sinais.

1.4.1. Propriedades Considere 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos, 𝑛 e 𝑚 inteiros:

1) Potência de expoente nulo e igual a 1:

𝑎0 = 1 𝑒 𝑎1 = 𝑎

2) Potência de base igual a 1:

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1𝑛 = 1

3) Potencia de expoente negativo:

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

4) Multiplicação de potências de mesma base:

𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

5) Divisão de potências de mesma base:

𝑎𝑛

𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚

6) Multiplicação de potências de expoentes iguais:

𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛

7) Divisão de potências de expoentes iguais:

𝑎𝑛

𝑏𝑛= (

𝑎

𝑏)

𝑛

8) Potência de uma potência:

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎)𝑛.𝑚

Exemplos:

Nos exemplos a seguir, observe o uso das propriedades da potência nas expressões.

1)

24

2+

42

22+ (−3)−3 =

24−1 + (4

2)

2

+1

(−3)3=

23 + 22 +1

−27=

8 + 4 −1

27=

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8.27 + 4.27 − 1

27=

216 + 108 − 1

27=

323

27

2)

(−3)−2 − (−3

7)

−3

=

1

(−3)2−

1

(−37

)3 =

1

(−3)2− (−

7

3)

3

=

1

(−3)2−

73

(−3)3=

=1

9− (−

343

27) =

346

27

3)

𝑥3 𝑦 ( 𝑥 𝑦)−2 =

𝑥3 𝑦

(𝑥 𝑦)2 =

𝑥3𝑦

𝑥2 𝑦2=

𝑥3−2 𝑦1−2 =

𝑥1 𝑦−1 = 𝑥

𝑦

4)

(𝑥3 +𝑥2

𝑥−3) . 𝑥−3 =

𝑥3. 𝑥−3 +𝑥2. 𝑥−3

𝑥−3=

𝑥3−3 + 𝑥 2−3−(−3) =

𝑥0 + 𝑥2 = 𝑥2 + 1

5)

2𝑥

3𝑥 . 6𝑥 =

(2

3 . 6)

𝑥

=

(12

3)

𝑥

=

4𝑥 = (22)𝑥 = 22𝑥

6)

2𝑥

3−2𝑥=

2𝑥 . 32𝑥 =

2𝑥 . (32)𝑥 =

2𝑥 . 9𝑥 =

(2 . 9) 𝑥 = 18 𝑥

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7)

(𝑎2

𝑏3)

−3

. 𝑎 + 𝑏 =

𝑎−3.2

𝑏−3.3 . 𝑎 + 𝑏 =

𝑎−6. 𝑎1

𝑏−9+ 𝑏 = =

𝑎−5

𝑏−9+ 𝑏 =

𝑏9

𝑎5+

𝑏

1=

𝑏9 + 𝑎5. 𝑏

𝑎5

8)

𝑎2. (𝑎

𝑏)

−3

.𝑎

𝑏2=

𝑎2 . 𝑎−3

𝑏−3 .

𝑎

𝑏2=

𝑎2. 𝑎−3. 𝑎

𝑏−3. 𝑏2=

𝑎2−3+1

𝑏−3+2=

𝑎0

𝑏−1=

1

𝑏−1 = 𝑏1 = 𝑏

Nos exemplos abaixo, determine o valor de 𝑥:

9) 3𝑥 = 9 → 3𝑥 = 32 ∴ 𝑥 = 2

10)

2𝑥 + 2𝑥+1 = 24 → 2𝑥 + 2𝑥 ∙ 21 = 24 → 2𝑥 ( 1 + 21) = 24 → 3 ∙ 2𝑥 = 24 →

2𝑥 =24

3 → 2𝑥 = 8 → 2𝑥 = 23 ∴ 𝑥 = 3

11) 6𝑥−2 + 5 ∙ 6𝑥−1 = 6𝑥 − 5

6𝑥

62+ 5 ∙

6𝑥

6− 6𝑥 = −5

6𝑥 + 5. 62 ∙6𝑥

6− 62. 6𝑥 = −62 ∙ 5

6𝑥 ∙ (1 + 30 − 36) = −36 ∙ 5 6𝑥 ∙ (−5) = −36 ∙ 5 → 6𝑥 = 36 →

6𝑥 = 62 ∴ 𝑥 = 2

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1.5. Radiciação

A radiciação é uma operação matemática inversa da

potenciação, ou seja,

𝒔𝒆 √𝒂𝒏

= 𝒃 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒃𝒏 = 𝒂

Onde o símbolo √ é o radical; 𝑛 ≠ 0; a = radicando; b=raiz;

n=índice.

Exemplos:

1)

√164

= 𝑏 ⇔ 𝑏4 = 16 ⇔ 𝑏4 = (2)4 ⇔ 𝑏 = 2

Logo √164

= 2

2)

√−273

= 𝑏 ⇔ 𝑏3 = −27 ⇔ 𝑏3 = (−3)3 ⇔

𝑏 = −3 𝑙𝑜𝑔𝑜 √−273

= −3

3)

√−16 = 𝑏 ⇔ 𝑏2 = −16

Como não existe um número que elevado a um expoente par seja

um número negativo então

√−16 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑖𝑎𝑠

Obs.: Não existe raiz de um radicando negativo se o índice for

par.

1.5.1. Propriedades Sejam 𝑛 ≠ 0 e 𝑚 ≠ 0

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1) Raiz de radicando nulo:

√0𝑛

= 0

2) Raiz de índice unitário nulo:

√𝑎1 = 𝑎

3) Produto de radicais de mesmo índice:

√𝑎𝑛

. √𝑏𝑛

. √𝑐𝑛

= √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛

4) Divisão de radicais com mesmo índice:

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛

5) Potência de uma raiz:

( √𝑎𝑛

)𝑚 = √𝑎𝑚𝑛

6) Raiz elevada a expoente igual ao seu índice:

( √𝑎𝑛

)𝑛 = 𝑎

7) Raiz de uma raiz:

√ √𝑎𝑛𝑚

= √𝑎𝑛.𝑚

8) Multiplicação de raiz por uma constante

𝑎 √𝑏𝑛

= √𝑎𝑛𝑏𝑛

A raiz é apenas uma forma de representar a potenciação

com expoente fracionário. Assim, toda raiz pode ser escrita em

forma de potência como:

√𝑎𝑚 𝑛

= 𝑎 𝑚𝑛

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Exemplos: 1) Utilizando as regras da potenciação, demonstre as seguintes

regras da radiciação:

𝑎) √0𝑛

= 0

√0𝑛

= 01

𝑛⁄ = 0

𝑏) √𝑎1

= 𝑎

√𝑎1 = 𝑎1

1⁄ = 𝑎1 = 𝑎

𝑐) √𝑎𝑛

. √𝑏𝑛

. √𝑐𝑛

= √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛

𝑎1

𝑛⁄ . 𝑏1

𝑛⁄ . 𝑐1

𝑛⁄ = (𝑎. 𝑏. 𝑐)1

𝑛⁄ = √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛

𝑑) ( √𝑎𝑛

)𝑚 = √𝑎𝑚𝑛

( √𝑎𝑛

)𝑚 = (𝑎1

𝑛⁄ )𝑚

= 𝑎1.𝑚

𝑛⁄ = 𝑎𝑚

𝑛⁄ = √𝑎𝑚𝑛

𝑒) √ √𝑎𝑛

𝑚

= √𝑎𝑛.𝑚

√ √𝑎𝑛𝑚

= √𝑎1

𝑛⁄𝑚

= (𝑎1

𝑛⁄ )1

𝑚⁄

= 𝑎1

𝑛⁄ .1 𝑚⁄ =

= 𝑎1

𝑛.𝑚⁄ = √𝑎𝑛.𝑚

Nos exemplos abaixo calcule as raízes indicadas: 2)

√−273

. √108 = √(−3)33 . √22. 33 = (−3). √22. 32. 3

= (−3). 2. 3 . √3 = −18 . √3

3)

√356 ∙

√3

√33 =

35

6⁄ ∙ 31

2⁄

31

3⁄=

356

+12

31

3⁄=

38

6⁄

31

3⁄= 3

86

−13 = 3

66 = 31 = 3

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Simplifique as expressões abaixo, considerando 𝑎 > 0

4) √𝑎 . √𝑎 = 𝑎1

2⁄ . 𝑎1

2⁄ = 𝑎1

2+

1

2 = 𝑎1 = 𝑎

5) √𝑎3

. √𝑎3

= 𝑎1

3⁄ . 𝑎1

3⁄ = 𝑎1

3+

1

3 = 𝑎2

3⁄ = √𝑎23

6) √𝑎3

. √𝑎23= 𝑎

13⁄ . 𝑎

23⁄ = 𝑎

1

3+

2

3 = 𝑎3

3⁄ = 𝑎

7) (√𝑎3 )3

= (𝑎3

2⁄ )3

= 𝑎3.3

2 = 𝑎9

2⁄ = √𝑎9 = √𝑎8. √𝑎 = 𝑎4√𝑎

1.6. Racionalização de denominadores

Racionalização de denominadores é o processo para a

obtenção de uma fração com denominador racional equivalente a

uma anterior que possuía um ou mais radicais no denominador.

Ou seja, é eliminação do radical do denominador.

A técnica consiste em multiplicar os termos desta fração

por uma expressão com radical, denominada fator racionalizante.

1° Caso: O denominador é um radical de incide 2

(raiz quadrada)

Neste caso o denominador tem a forma √𝑎 .

O fator racionalizante de √𝑎 é √𝑎 pois:

√𝑎 ∙ √𝑎 = 𝑎12 ∙ 𝑎

12 = 𝑎

12

+12 = 𝑎1 = 𝑎

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Exemplos:

1) 30

√2=

30

√2 ∙

√2

√2=

30 ∙ √2

√2 ∙ √2=

30 √2

212 ∙ 2

12

= 30 √2

2 = 15 √2

2) 3

4 √6=

3

4√6 ∙

√6

√6=

3 ∙ √6

4 ∙ √6 ∙ √6=

3 √6

4 ∙ 612 ∙ 6

12

=3 √6

4 ∙ 6 =

√6

8

3) √𝑎

3

√𝑎 =

√𝑎3

√𝑎 ∙

√𝑎

√𝑎 =

𝑎13 ∙ 𝑎

12

𝑎12 ∙ 𝑎

12

= 𝑎

56

𝑎=

√𝑎56

𝑎

2° Caso: Quando no denominador há um número

somado ou diminuído à uma raiz quadrada

Neste caso o denominador tem as formas:

𝑎 + √𝑏 ou 𝑎 − √𝑏

O fator integrante de (𝑎 + √𝑏) é (𝑎 − √𝑏) e o fator integrante

de (𝑎 − √𝑏) é (𝑎 + √𝑏) pois:

(𝑎 + √𝑏) ∙ (𝑎 − √𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑎 − 𝑎 ∙ √𝑏 + 𝑎 ∙ √𝑏 − √𝑏 ∙ √𝑏 = 𝑎2 − 𝑏

Exemplos:

1) 3

4 + √5=

3

4 + √5 ∙

4 − √5

4 − √5=

3 ∙ (4 − √5)

42 − (√5 ∙ √5)=

Página | 21


=12 − 3 √5

16 − 5 =

12 − 3 √5

11

2) 5

2 − √3=

5

2 − √3 ∙

2 + √3

2 + √3=

5 ∙ (2 + √3)

22 − √3 ∙ √3=

=10 + 5 √3

4 − 3 =

10 + 5 √3

1 = 10 + 5 √3

3) √𝑎 − 𝑏

√𝑎 + 𝑏=

√𝑎 − 𝑏

√𝑎 + 𝑏 ∙

√𝑎 − 𝑏

√𝑎 − 𝑏=

=(√𝑎 − 𝑏) ∙ (√𝑎 − 𝑏)

(√𝑎 + 𝑏) ∙ (√𝑎 − 𝑏)=

=√𝑎 ∙ √𝑎 − 𝑏 √𝑎 − 𝑏√𝑎 + 𝑏2

(√𝑎)2

− 𝑏2=

𝑎 − 2 𝑏 √𝑎 + 𝑏2

𝑎 − 𝑏2

3° Caso: O denominador é um radical de índice

genérico 𝒏

Neste caso o denominador tem a forma √𝑎𝑛

.

O fator racionalizante de √𝑎𝑛

é √𝑎𝑛−1𝑛= 𝑎

𝑛−1

𝑛 pois:

√𝑎𝑛

∙ √𝑎𝑛−1𝑛= 𝑎

1𝑛 ∙ 𝑎

𝑛−1𝑛 = 𝑎

(1𝑛

+𝑛−1

𝑛)

= 𝑎1+𝑛−1

𝑛 = 𝑎𝑛𝑛 = 𝑎1 = 𝑎

Página | 22


Exemplos:

1) 5

√53 =

5

513

∙ 5

23

523

=5 √5

3

513

+23

=5 √5

3

51= √5

3

2) 1

√3 √33 =

1

312 ∙ 3

13

=1

3(

3+2 6

)∙ =

1

35 6

=

=1

35 6

∙3

16

316

=3

16

35+1

6

=√36

3

3) 2 + √2

4

√34 =

2 + √24

314

∙3

34

334

=(2 + √2

4) ∙ √334

3(

1+3 4

)=

=2 ∙ √27

4+ √2

4∙ √27

4

31=

2 √274

+ √544

3

4° Caso: O denominador é um radical de incide genérico 𝒏 e radicando elevado a uma potência genérica 𝒎 Neste caso o denominador tem a forma √𝑎𝑚𝑛

com 𝒎 < 𝒏

O fator racionalizante de √𝑎𝑚𝑛 é √𝑎𝑛−𝑚 =

𝑛 𝑎

𝑛−𝑚

𝑛 pois:

√𝑎𝑚𝑛 ∙ √𝑎𝑛−𝑚𝑛

= 𝑎𝑚𝑛 ∙ 𝑎

𝑛−𝑚𝑛 = 𝑎

(𝑚𝑛

+𝑛−𝑚

𝑛)

= 𝑎𝑚+𝑛−𝑚

𝑛 = 𝑎𝑛𝑛 = 𝑎1

Exemplos:

1) 21

√725 = 21

725

∙ 7

35

735

=21 √735

7(

25

+35

)=

21 √735

7= 3 √735

2) 1

√373 = 1

√33 ∙ 33 ∙ 33 =

1

√333∙ √333

∙ √33

=

Página | 23


=1

3 ∙ 3 ∙ √33 =

1

32 ∙ √33

=

1

32 ∙ √33

=

1

32 ∙ 313

∙3

23

323

=

=3

23

32 ∙ 3(

13

+23

)=

√323

32 ∙ 31=

√323

33=

√93

27

1.7. Logaritmo

O logaritmo de um número positivo 𝑎 na base 𝑏, positiva e

diferente de 1, é o expoente 𝑐 que se deve elevar 𝑏 para obter 𝑎.

𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏𝑐 = 𝑎

onde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1.

𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜; 𝑏 = 𝑏𝑎𝑠𝑒; 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜.

A notação do logaritmo decimal, de base igual a 10, é:

log 𝑎 = log10 𝑎

A notação do logaritmo natural, de base igual ao número

de Euler 𝑒 ≅ 2.71828, é:

ln 𝑎 = log𝑒 𝑎

Nota: Não devemos confundir logaritmo natural e logaritmo

neperiano. Algumas vezes ambos são tratados como sinônimos,

mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a um logaritmo na

base 1 𝑒⁄ .

Exemplos: 1) log 100 = 𝑥 → 10𝑥 = 100 → 10𝑥 = 102 ∴ 𝑥 = 2 2) log 0,1 = 𝑥 → 10𝑥 = 0,1 → 10𝑥 = 10−1 ∴ 𝑥 = −1

Página | 24


3) 𝑙𝑜𝑔2 4 = 𝑥 → 2𝑥 = 4 → 2𝑥 = 22 ∴ 𝑥 = 2

4) 𝑙𝑜𝑔2 (1

32) = 𝑐 → 2𝑐 =

1

32→ 2𝑐 =

1

25→ 2𝑐 = 2−5

∴ 𝑐 = −5 5) 𝑙𝑜𝑔3 1 = 𝑥 → 3𝑥 = 1 → 3𝑥 = 30 ∴ 𝑐 = 0

6) 𝑙𝑜𝑔14

(2√2) = 𝑥 → (1

4)

𝑥

= 2 √2 →

(1

22)

𝑥

= 2 ∙ 212 → (2−2)𝑥 = 2

(1+12

)→

2−2𝑥 = 232 ∴ −2𝑥 =

3

2 → 𝑥 = −

3

2

7) ln1

𝑒= 𝑐 → 𝑒𝑐 =

1

𝑒→ 𝑒𝑐 = 𝑒−1 ∴ 𝑐 = −1

8) ln 𝑒 = 𝑐 → 𝑒𝑐 = 𝑒 → 𝑒𝑐 = 𝑒1 ∴ 𝑐 = 1 9) Calcule o valor de log 1,4 usando a definição de logaritmo e as

aproximações: 2 = 100,301 e 7 = 100,845. Solução:

log 1,4 = 𝑥 → 10𝑥 = 1,4 → 10𝑥 =14

10→

10𝑥 =2 ∙ 7

10 → 10𝑥 = 2 ∙ 7 ∙ 10−1 →

10𝑥 = 100,301 ∙ 100,845 ∙ 10−1 → 10𝑥 = 100,301+0,845−1 10𝑥 = 100,146 ∴ 𝑥 = 0,146 → log 1,4 = 0,146

Página | 25


1.7.1. Propriedades 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0.

𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏0 = 0

2) Logaritmo da base é 1.

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏1 = 1

3) Logaritmo de um produto

𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐

4) Logaritmo de um quociente

𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑎

𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐

5) Logaritmo de uma potência

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

6) Mudança da base b para a base c

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏

7) Igualdade de logaritmos de mesma base

𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑦

8) Relações entre potências e logaritmos de mesma base.

log𝑏 𝑏𝑎 = 𝑎 𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎

Exemplos:

1) 𝑙𝑜𝑔(0,1 ∙ √10) = 𝑙𝑜𝑔 0,1 + 𝑙𝑜𝑔 √10 = 𝑙𝑜𝑔10−1 + 𝑙𝑜𝑔1012

= −1 +1

2= −

1

2

Página | 26


2) 𝑙𝑜𝑔2 (1

16) = 𝑙𝑜𝑔2 1 − 𝑙𝑜𝑔2 16 == 𝑙𝑜𝑔2 20 − 𝑙𝑜𝑔2 24 = 0 − 4

= −4

3) 2𝑙𝑜𝑔2 4 = 4

4) 4𝑙𝑜𝑔2 4 = (22)𝑙𝑜𝑔2 4 = 22.𝑙𝑜𝑔2 4 = 2𝑙𝑜𝑔2 42= 2𝑙𝑜𝑔2 16 = 16

5) 𝑒−3 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑒𝑙𝑛 𝑥−3= 𝑥−3

6) 3 ln(𝑎) + ln(𝑏) − ln (𝑒) = ln (𝑎3 ∙ 𝑏

𝑒)

Resolva as equações abaixo: 7) log√2 𝑥 = −3

Solução:

(√2)−3

= 𝑥 → 𝑥 =1

(√2)3 → 𝑥 =

1

√23→

𝑥 =1

2 √2→ 𝑥 =

1

2 √2∙

√2

√2 → 𝑥 =

√2

4

8) 3 ln 𝑥 = 2 Solução:

ln 𝑥 =2

3 → 𝑒

23 = 𝑥 → 𝑥 = √𝑒23

9) 2 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 4 Solução: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥2 = 𝑙𝑜𝑔2 22 ∴ 𝑥2 = 4 ∴ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 (−2)2 = (2)2 = 4

Como o logaritmando 𝑥 não pode ser negativo, só 𝑥 = 2 é solução da equação. 10) 3 𝑒4𝑥+8 = 1

Página | 27


Solução:

𝑒4𝑥+8 =1

3

Para isolar a variável 𝑥 na equação é necessário aplicar o logaritmo ln nos dois lados da equação, então:

ln(𝑒4𝑥+8) = ln (1

3) → 4𝑥 + 8 = ln 1 − ln 3 →

4𝑥 + 8 = 0 − ln 3 → 4𝑥 = −8 − ln 3 →

𝑥 = −8 − ln 3

4 ∴ 𝑥 = −2 −

1

4ln 3

1.8. Polinômios

Define-se um polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛 a expressão

algébrica na seguinte forma:

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ +𝑎1𝑥 + 𝑎0

Em que os coeficientes 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1e 𝑎0 são números

reais e 𝑛 é um número inteiro. O grau do polinômio é grau de seu

termo (monômio) de maior potência.

Exemplos:

O polinômio 𝑏(𝑥) = 3 − 5𝑥2 + 𝑥 é um polinômio de 2º grau

completo.

O polinômio 𝑐(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 é de 3º grau, com coeficientes 𝑎2 =

𝑎0 = 0.

1.9.1. Adição e Subtração de Polinômios

Para adicionar ou subtrair dois polinômios devemos somar

ou subtrair os termos de mesmo grau.

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Exemplos:

1) Sejam os polinômios:

𝑝(𝑥) = 5 − 3𝑥2 − 𝑥 + 2𝑥3

𝑞(𝑥) = 4𝑥 − 2 + 𝑥4 − 6𝑥2

a) Calcule 𝑟(𝑥) = 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)

Solução:

𝑟(𝑥) = [ 5 − 3𝑥2 − 𝑥 + 2𝑥3] + [4𝑥 − 2 + 𝑥4 − 6𝑥2]

(Organize por ordem decrescente do grau)

𝑟(𝑥) = [ 2 𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 5] + [𝑥4 − 6𝑥2 + 4𝑥 − 2]

(Agrupe os termos de mesmo grau)

𝑟(𝑥) = 𝑥4 + 2 𝑥3 − 3 𝑥2 − 6 𝑥2 − 𝑥 + 4𝑥 + 5 − 2

𝑟(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 + (−3 − 6)𝑥2 + (−1 + 4)𝑥 +

+ (5 − 2)

𝑟(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 9𝑥2 + 3𝑥 + 3

b) Calcule 𝑠(𝑥) = 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)

Solução:

𝑠(𝑥) = [ 5 − 3𝑥2 − 𝑥 + 2𝑥3] − [4𝑥 − 2 + 𝑥4 − 6𝑥2]

𝑠(𝑥) = [ 2 𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 5] − [𝑥4 − 6𝑥2 + 4𝑥 − 2]

𝑠(𝑥) = 2 𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 5 − 𝑥4 + 6𝑥2 − 4𝑥 + 2

𝑠(𝑥) = −𝑥4 + 2 𝑥3 − 3 𝑥2 + 6 𝑥2 − 𝑥 − 4𝑥 + 5 + 2

𝑠(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 + (−3 + 6)𝑥2 + (−1 − 4)𝑥 + (5 + 2)

Página | 29


𝑠(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 7

2) Calcule 𝑟(𝑥) = 2 𝑝(𝑥) − 3 𝑞(𝑥), onde

𝑝(𝑥) = −2𝑥2 + 5𝑥 − 2

𝑞(𝑥) = −3𝑥3 + 2𝑥 − 1

Solução:

𝑟(𝑥) = 2 (−2𝑥2 + 5𝑥 − 2) − 3(−3𝑥3 + 2𝑥 − 1)

𝑟(𝑥) = −4𝑥2 + 10𝑥 − 4 + 9𝑥3 − 6𝑥 + 3

𝑟(𝑥) = 9𝑥3 − 4𝑥2 + (10 − 6)𝑥 + (−4 + 3)

𝑟(𝑥) = 9𝑥3 − 4𝑥2 + 4𝑥 − 1

No caso de adição e subtração de dois polinômios podemos

organizar o polinômio por ordem decrescente do grau de seus

monômios, e efetuar estas operações como usualmente fazemos na

forma:

Exemplos:


𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥 + 5 − 3𝑥2 e

𝑞(𝑥) = −6𝑥2 − 𝑥4 + 4𝑥 − 2

a) Calcule a Soma: 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)

Página | 30


Solução:

+

+2𝑥3 −3𝑥2 −𝑥 +5−𝑥4 −6𝑥2 +4𝑥 −2−𝑥4 +2𝑥3 −9𝑥2 +3𝑥 +3

b) Calcule a Subtração: 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)

−

+2𝑥3 −3𝑥2 −𝑥 +5−𝑥4 −6𝑥2 +4𝑥 −2 𝑥4 +2𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 +7

1.9.2. Multiplicação de Polinômios Para multiplicar dois polinômios, utiliza-se a propriedade

distributiva da multiplicação:

(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑 + 𝑓) =

= (𝑎𝑐) + (𝑎𝑑) + (𝑎𝑓) + (𝑏𝑐) + (𝑏𝑑) + (𝑏𝑓)

Exemplos:

1) Sejam os polinômios 𝑝(𝑥) = −𝑥 + 𝑥3 e 𝑞(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥3.Calcule

𝑠(𝑥) = 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥)

Solução:

𝑠(𝑥) = (−𝑥 + 𝑥3)(𝑥5 − 𝑥3)

𝑠(𝑥) = (−𝑥). (𝑥5) + (−𝑥). (−𝑥3) + (𝑥3)(𝑥5) + (𝑥3)(−𝑥3)

𝑠(𝑥) = −𝑥. 𝑥5 + 𝑥. 𝑥3 + 𝑥3. 𝑥5 − 𝑥3. 𝑥3

Página | 31


𝑠(𝑥) = −𝑥6 + 𝑥4 + 𝑥8 − 𝑥6

𝑠(𝑥) = 𝑥8 + (−1 − 1) 𝑥6 + 𝑥4

𝑠(𝑥) = 𝑥8 − 2 𝑥6 + 𝑥4


𝑝(𝑥) = 2𝑥 − 1

𝑞(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥

Calcule 𝑟(𝑥) = 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥)

Solução:

𝑟(𝑥) = (2𝑥 − 1). (−𝑥2 + 3𝑥)

𝑟(𝑥) = (2𝑥). (−𝑥2) + (2𝑥). (3𝑥) + (−1). (−𝑥2) +

+(−1). (3𝑥)

𝑟(𝑥) = −2. 𝑥 . 𝑥2 + 6. 𝑥. 𝑥 + 1. 𝑥2 − 3. 𝑥

𝑟(𝑥) = −2𝑥3 + 6𝑥2 + 𝑥2 − 3𝑥

𝑟(𝑥) = 2𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥

3) Dado a figura abaixo, expressar o polinômio que representa a

área formada nas regiões I e II.

I II

A x E 5x + 1 B

C F D

3x

Página | 32


Solução:

Sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto de seus

lados. O retângulo ABCD é formado pela soma das áreas I e II. Sua

área é calculada pelo produto de AD por AB.

Assim temos:

3𝑥. (𝑥 + 5𝑥 + 1) =

3𝑥(6𝑥 + 1) =

18𝑥2 + 3𝑥

Podemos efetuar a multiplicação de dois polinômios como

usualmente fazemos esta operação com números reais na forma:

×

2𝑥 −1−𝑥2 +3𝑥

6𝑥2 − 3𝑥 −2𝑥3 + 𝑥2

−2𝑥3 + 7𝑥2 − 3 𝑥

1.9.3. Produtos Notáveis Alguns produtos são utilizados frequentemente e são

chamados de produtos notáveis. Eis alguns deles:

a) Produto da soma pela diferença de dois termos:

(𝑥 + 𝑎). (𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 𝑎2

b) Quadrado da soma de dois termos:

(𝑥 + 𝑎)2 = (𝑥 + 𝑎). (𝑥 + 𝑎) = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

Página | 33


c) Quadrado da diferença de dois termos:

(𝑥 − 𝑎)2 = (𝑥 − 𝑎). (𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2

d) Cubo da soma de dois termos:

(𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3

e) Cubo da diferença de dois termos:

(𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 − 𝑎3

Exemplos:

1) (𝑘 − 5)2 = 𝑘2 − 2. 𝑘. 5 + 52 = 𝑘2 − 10𝑘 + 25

2) (2 𝑡 + 3)2 = (2 𝑡)2 + 2. (2 𝑡). (3) + 32 = 4 𝑡2 + 12 𝑡 + 9

3) (3 − 2𝑥)(3 + 2𝑥) = (3)2 − (2𝑥)2 = 9 − 4𝑥2

4) 9𝑦2 + 𝑥2 − 6𝑦𝑥 = (3 𝑦)2 − 2. (3𝑦). (𝑥) + (𝑥)2 = (3𝑦 − 𝑥)2

1.9.4. Divisão de Polinômios Para dividir dois polinômios 𝑎(𝑥) e 𝑏(𝑥), o processo é

semelhante ao da divisão de dois números reais. Os termos do

quociente 𝑞(𝑥) são escolhidos de modo que os termos de maior

grau dos dividendos ao longo da operação sejam eliminados. O

resto 𝑟(𝑥) é o dividendo que tem grau menor que o divisor.

Página | 34


𝑎(𝑥) = 𝑏(𝑥). 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)

𝑎(𝑥)

𝑏(𝑥)= 𝑞(𝑥) +

𝑟(𝑥)

𝑏(𝑥)

Exemplos:

Calcule

1) 𝑓(𝑥)/(𝑔(𝑥), sendo:

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1

Solução:

𝑥3 − 2𝑥 | 𝑥 + 1

−𝑥3 − 𝑥2 𝑥2 − 𝑥 + 1

−𝑥2 − 2𝑥

+𝑥2 + 𝑥

−𝑥

+𝑥 + 1

1

Sabendo que:

(𝑥3 − 2𝑥) = ( 𝑥2 − 𝑥 + 1). (𝑥 + 1) + 1

Tem-se:

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

(𝑥3 − 2𝑥)

(𝑥 + 1)= (𝑥2 − 𝑥 − 1) + (

1

𝑥 + 1)

2) 𝑝(𝑥) = 𝑓(𝑥)/(𝑔(𝑥), sendo :

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 + 8𝑥 + 4 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2

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Solução:

𝑥3 + 5𝑥2 + 8𝑥 + 4 | 𝑥 + 2

−𝑥3 − 2𝑥2 𝑥2 + 3𝑥 + 2

3𝑥2 + 8𝑥 + 4

−3𝑥2 − 6𝑥

2𝑥 + 4

−2𝑥 − 4

0

𝑝(𝑥) =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝑥2 + 3𝑥 + 2

1.9.5. Raiz de um Polinômio Raízes ou zeros de um polinômio 𝑝(𝑥) são os valores de 𝑥

que tornam 𝑝(𝑥) = 0, ou seja, os valores que “zeram” a equação.

Um polinômio de grau 𝑛 tem 𝑛 raízes que podem ser reais

ou complexas, distintas ou repetidas.

Se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes de polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛,

então 𝑝(𝑥1) = 0, 𝑝(𝑥2) = 0, … 𝑝(𝑥𝑛) = 0.

• Um polinômio de 10 grau na forma

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

tem uma raiz 𝑥1 que pode ser calculada como

𝑎𝑥1 + 𝑏 = 0 → 𝑥1 =−𝑏

𝑎

Página | 36


• Um polinômio de 20 grau na forma

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

tem duas raízes 𝑥1 e 𝑥2 que podem ser calculadas pela fórmula de

Bhaskara.

𝑥 =−𝑏 ± √∆

2 𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆= 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐

Se ∆> 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e distintas

Se ∆= 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e iguais

Se ∆< 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes complexas

Graficamente, os zeros reais do polinômio 𝑝(𝑥) são as

interseções do gráfico da função 𝑝(𝑥) com o eixo 𝑥.

Caso 1: Raízes reais distintas

Página | 37


Caso 2: Raízes reais iguais

Caso 3: Raízes complexas

Exemplos:

Verifique se 𝑥 = −3 é raiz dos polinômios abaixo:

1) 𝑝(𝑥) = 3 𝑥 + 9

Solução:

𝑝(−3) = 3. (−3) + 9 = −9 + 9

Página | 38


𝑝(−3) = 0

Portanto 𝑥 = −3 é raiz de 𝑝(𝑥).

2) 𝑟(𝑥) = 𝑥2 + 6 𝑥 + 9

Solução:

𝑟(−3) = (−3)2 + 6. (−3) + 9

𝑟(−3) = 9 − 18 + 9

𝑟(−3) = 0

Portanto 𝑥 = −3 é raiz de 𝑟(𝑥).

3) 𝑠(𝑥) = 𝑥3 + 9𝑥

Solução:

𝑠(−3) = (−3)3 + 9(−3)

𝑠(−3) = −27 − 27 = −54 ∴ 𝑠(−3) ≠ 0

Portanto 𝑥 = −3 não é raiz de 𝑠(𝑥).

Encontre as raízes dos polinômios abaixo:

4) 𝑝(𝑥) = 3𝑥 − 6

𝑝(𝑥) = 3𝑥 − 6 = 0

Solução:

3𝑥 − 6 = 0 ∴ 3𝑥 = 6 ∴ 𝑥 =6

3 ∴ 𝑥 = 2

Página | 39


5) 𝑠(𝑡) = 6 𝑡 + 18

Solução:

𝑠(𝑡) = 6𝑡 + 18 = 0

6𝑡 + 18 = 0

6𝑡 = −18 ∴ 𝑡 =−18

6 ∴ 𝑡 = −3

6) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3 𝑥 + 2

Solução:

𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0

Usando Bhaskara: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3 e 𝑐 = 2,

∆= (−3)2 − 4.1.2 = 9 − 8 = 1

∆> 0 ; raízes reais distintas

𝑥 =−(−3) ± √1

2.1=

3 ± 1

2 ∴

𝑥1 =3 + 1

2=

4

2= 2

𝑥2 =3 − 1

2=

2

2= 1

7) 𝑔(𝑥) = 4𝑥2 + 16𝑥 + 16

Solução:

4𝑥2 + 16𝑥 + 16 = 0

Usando Bhaskara: 𝑎 = 4, 𝑏 = 16 e 𝑐 = 16,

∆= (16)2 − 4.4.16 = 0

∆= 0 ; raízes reais iguais

Página | 40


𝑥 =−(16) ± √0

2.4=

−16 ± 0

8 ∴

𝑥1 =−16 + 0

8= −2

𝑥2 =−16 − 0

8= −2

8) 𝑝(𝑡) = 𝑡2 − 2 𝑡

Solução:

𝑡2 − 2 𝑡 = 0

• Usando Bhaskara: 𝑎 = 1, 𝑏 = −2 e 𝑐 = 0,

∆= (−2)2 − 4.1.0 = 4

𝑡 =−(−2) ± √4

2.1=

2 ± 2

2

∴

𝑡1 =2 + 2

2= −2

𝑡2 =2 − 2

2= 0

Como o polinômio é incompleto (𝑐 = 0) podemos resolvê-

lo diretamente na forma:

𝑡2 − 2 𝑡 = 0

𝑡 . (𝑡 − 2) = 0

Para um produto ser zero um dos dois fatores deve ser

zero, assim:

Página | 41


{𝑡 = 0

𝑜𝑢 𝑡 − 2 = 0

𝑡1 = 0

𝑡2 − 2 = 0 → 𝑡2 = 2

9) 𝑝(𝑥) = 4𝑥2 − 16

Solução:

4𝑥2 − 16 = 0

• Usando Bhaskara: 𝑎 = 4, 𝑏 = 0 e 𝑐 = −16,

∆= (0)2 − 4.4. (−16) = 256

𝑡 =−(0) ± √256

2.4=

0 ± 16

8 =

± 16

8 ∴

𝑥1 =+16

8= 2

𝑥2 =−16

8= −2

• Como o polinômio é incompleto (𝑏 = 0) podemos resolvê-lo

diretamente na forma:

4𝑥2 − 16 = 0

𝑥2 =16

4 → 𝑥2 = 4

√𝑥2 = √4

|𝑥| = 2 ∴ 𝑥1 = 2 𝑜𝑢 𝑥2 = −2

Página | 42


10) 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥

Solução:

𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 = 0

𝑥 ( 𝑥2 − 𝑥 − 6) = 0

{𝑥 = 0 → 𝑥1 = 0

𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

Usando Bhaskara para resolver a equação: 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0:

∆= (−1)2 − 4 .1. (−6) = 25

𝑥 =−(−1) ± √25

2.1=

1 ± 5

2 ∴

𝑥2 =1 + 5

2= 3

𝑥3 =1 − 5

2= −2

Assim:

𝑥1 = 0 ; 𝑥2 = 3 ; 𝑥3 = −2

1.9.6. Fatoração de Polinômios Considere o polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ +𝑎1𝑥 + 𝑎0

Se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes de 𝑝(𝑥) então, 𝑝(𝑥) pode ser fatorado

como:

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1)(𝑥 − 𝑥𝑛)

onde 𝑎𝑛 é o coeficiente do termo de maior grau do polinômio.

Página | 43


Se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes de 𝑝(𝑥) então, 𝑝(𝑥) é divisível

(resto igual a zero) por (𝑥 − 𝑥𝑖) com 𝑖 = 1, … , 𝑛 , onde 𝑥𝑖 é cada

uma de suas raízes.

Exemplos:

Fatores os polinômios abaixo:

1) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

Solução:

Devemos primeiro encontrar as raízes do polinômio.

𝑥 =−(−3) ± √(−3)2 − 4.1.2

2.1 ∴ 𝑥 =

3 ± 1

2

𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = 1

Para 𝑔(𝑥) tem-se que 𝑎𝑛 = 1, 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 1, então:

𝑔(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)

2) 𝑘(𝑥) = −8𝑥 + 2𝑥2 + 6

Solução:

Raízes:

𝑥 =−(−8) ± √(−8)2 − 4.2.6

2.2 ∴ 𝑥 =

8 ± 4

4

𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = 1

para 𝑘(𝑥) tem-se que 𝑎𝑛 = 2, 𝑥1 = 3 e 𝑥2 = 1:

Página | 44


𝑘(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

𝑘(𝑥) = 2𝑥2 − 8𝑥 + 6 = 2 (𝑥 − 3)(𝑥 − 1)

3) Fatore e simplifique a expressão

2𝑥2 + 4𝑥 + 2

𝑥 + 1

Solução:

Para faturar o numerador 2𝑥2 + 4𝑥 + 2, calculamos as raízes.

𝑥 =−(4) ± √(4)2 − 4.2.2

2.2 ∴ 𝑥 =

−4 ± 0

4

𝑥1 = −1 ; 𝑥2 = −1

Tem-se que 𝑎𝑛 = 2, 𝑥1 = −1e 𝑥2 = −1

2𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 2(𝑥 − (−1))(𝑥 − (−1))

2𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 2 (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)

Calculando a expressão:

2𝑥2 + 4𝑥 + 2

𝑥 + 1=

2𝑥2 + 4𝑥 + 2

𝑥 + 1=

2 (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)

𝑥 + 1= 2(𝑥 + 1)

Página | 45


EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Aqui estão questões relacionadas ao capítulo estudado. É

importante o esforço para resolver todas as questões. Em caso de

dúvidas os monitores do programa estão prontos para lhe ajudar.

Bons estudos!

1) Três atletas correm numa pista circular e gastam,

respectivamente, 144 s, 120 s e 96 s para completar uma volta

na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante.

Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira

vez, no local da largada. Nesse momento, quantas voltas o

atleta MAIS VELOZ estará completando?

2) Se A =

xy

yx ,

5

2x e

2

1y , então determine o valor de A.

3) Determine

3

1.

5

4

3

2

4) Determine o valor numérico da expressão

ax

xaxa

2

para

a=5

3 e x =

5

4.

5) Quanto devemos adicionar ao quadrado de x + 2 para

encontrarmos o cubo de x - 3?

Página | 46


6) Determine a quarta parte da diferença entre os quadrados dos

polinômios x2 + 2x - 1 e x2 - 2x + 1.

7) Se A = 5x2 - 2, determine o valor de A2 - 3A + 1.

8) (F.Carlos Chagas) Dado o polinômio P(x) x3 – 2x2 + mx – 1,

onde m R, se P(2) = 3 . P(0), então P(m) é igual a:

a) –5 b) –3 c) –1 d) 1 e) 14

9) (Cescem-SP) Se os polinômios f 2x3 – (p – 1)x + 2 e g qx3 +

2x +2 são idênticos, então o valor da expressão p2 + q2 é:

a) 13 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1

10) (UFMG) O valor da expressão E(x) =

x1

11

11

1

para x =

2

1 é

a) 5/8 b) ½ c) 3/8 d) 3/11 e) 5/11

11) (UFMG) Os polinômios P(x) = px2 + q(x) – 4 e Q(x) = x2 + px

+ q são tais que P(x + 1) = Q(2x) para todo x real.

Os valores de p e q são:

a) p = 1 e q = -4 b) p = 2 e q = 4 c) p = 4 e q = -4 d) p = 4 e q = 0 e) p = -4 e q = 0

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GABARITO

1) 15 voltas.

2) – 1/2.

3) 14/15.

4) 5/7.

5) 𝑥3 − 10𝑥2 + 23𝑥 − 31.

6) 𝑥2(2𝑥 − 1).

7) 25𝑥4 − 35𝑥2 + 11.

8) Letra B.

9) Letra B.

10) Letra A.

11) Letra D.

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MATEMÁTICA ELEMENTAR – CAPÍTULO 1 - pcna.com.br · Produtos Notáveis ----- 32 1.9.4. Divisão de ... 2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 ... de fazer o jogo de sinais