MATEMÁTICA

ENEM 200929 de agosto

PROF. MARCELO CÓSER

Essa apresentação pode ser “baixada” em http://www.marcelocoser.com.br.

DESAFIO DO NOVO ENEM:

Aliar habilidades/competências a conteúdos específicos do Ensino Médio.

01) (ENEM) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para 2050. Com base nas informações acima, écorreto afirmar que, no período de 2000 a 2050:

a) taxa de crescimento populacional da China seránegativa.

b) a população do Brasil duplicará.

c) a taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a dos EUA.

d) a população do Paquistão crescerá mais de 100%.

e) a China será o país com a maior taxa de crescimento populacional do mundo.

%4747,0212

212311

%4141,0283116

283283397

INDONESIA

EUA

Taxa

Taxa

x

02) (SIMULADO ENEM) As condições de saúde e a qualidade de vida de uma população humana estão diretamente relacionadas com a disponibilidade de alimentos e a renda familiar. O gráfico I mostra dados da produção brasileira de arroz, feijão, milho, soja e trigo e do crescimento populacional, no período compreendido entre 1997 e 2003. O gráfico II mostra a distribuição da renda familiar no Brasil, no ano de 2003. Considere que três debatedores, discutindo as causas da fome no Brasil, chegaram às seguintes conclusões:

Debatedor 1 – O Brasil não produz alimento suficiente para alimentar sua população. Como a renda média do brasileiro é baixa, o País não consegue importar a quantidade necessária de alimentos e isso é a causa principal da fome.

Debatedor 2 – O Brasil produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar toda sua população. A causa principal da fome, no Brasil, é a má distribuição de renda.

Debatedor 3 – A exportação da produção agrícola brasileira, a partir da inserção do País no mercado internacional, é a causa majoritária da subnutrição no País.

Considerando que são necessários, em média, 250 kg de alimentos para alimentar uma pessoa durante um ano, os dados dos gráficos I e II, relativos ao ano de 2003, corroboram apenas a tese do(s) debatedor(es):

A) 1. B) 2. C) 3. D) 1 e 3. E) 2 e 3.

03) (ENEM) O número de atletas nas Olimpíadas vem aumentando nos últimos anos, como mostra o gráfico. Mais de 10.000 atletas participaram dos Jogos Olímpicos de Sydney, em 2000. Nas últimas cinco Olimpíadas, esse aumento ocorreu devido ao crescimento da participação de:

a) homens e mulheres, na mesma proporção. b) homens, pois a de mulheres vem diminuindo a cada Olimpíada. c) homens, pois a de mulheres praticamente não se alterou. d) mulheres, pois a de homens vem diminuindo a cada Olimpíada. e) mulheres, pois a de homens praticamente não se alterou.

04) (ENEM) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999. O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é:

ATENÇÃO PARA A PERGUNTA!

Área plantada (em hectare), Produção (em toneladas) e

Produtividade (em kg/hectare) são conceitos diferentes, basta

analisar suas respectivas unidades.

Produtividadeno período

Produçãono período

O conceito de ÁREA PLANTADA deve ser obtido a partir da Produtividade e da Produção:

Em 1995, a Produtividade foi de 1.500 kg/hectare. Ou seja, cada hectare em média produziu 1.500 kg (1,5 toneladas). Como foram produzidas 30.000 toneladas de algodão, a área plantada foi de 30.000/1,5 = 20.000 hectares.

Dessa forma, a ÁREA PLANTADA é obtida da divisão da Produção (em kg) pela Produtividade (em kg/hectare).

20.000480.00099

24.0002,560.00098

20.0002,550.00097

16.0002,540.00096

20.0001,530.00095

Área Plantada

(em hectare)

Produtividade(em t/hectare)

Produção (em t)

Matemática e suas Tecnologias

Conhecimentos numéricos: operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem.

Conhecimentos geométricos: características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo.

Conhecimentos de estatística e probabilidade: representação e análise de dados; medidas de tendência central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade.

Conhecimentos algébricos: gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e do 2.º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

Conhecimentos algébricos/geométricos: plano cartesiano; retas; circunferências; paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações.

ESTATÍSTICA

Medidas de tendência central

- Médias

- Moda

- Mediana

Desvios e Variância

A MÉDIA de um conjunto de valores é o valor que, aplicado a todos os elementos, resulta no mesmo que o total do conjunto de valores distintos.

Por exemplo, 4 alunos contribuem com R$ 10, R$ 12, R$ 16 e R$ 18 cada um para uma campanha beneficente. O total arrecadado com as quatro contribuições foi R$ 56. Dessa forma, a contribuição média foi R$ 14, já que quatro pagamentos de R$ 14 equivalem a quatro pagamentos distintos de R$ 10, R$ 12, R$ 16 e R$ 18.

Outro exemplo: um colégio adota média aritmética ponderada das notas dos trimestres para decidir pela aprovação ou não do aluno. A média exigida é 7 e os trimestres têm peso 1, 2 e 3, respectivamente. Peso n indica que determinado valor é multiplicado por n (como se fosse repetida n vezes). Se um aluno obteve notas 6, 9 e 5 nos trimestres, sua média foi

56

639

6539261

321555996

321

,

PESOSDOSSOMA

PESOPESOPESO

04) (ENEM) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada. A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é, em km/h, de:

A) 35B) 44C) 55D) 76E) 85

hkmM /44100400.4

100801703606504040303015205

05) (ESPM) As notas da prova de Matemática numa classe foram distribuídas conforme a tabela abaixo. A média aritmética dessa distribuição é:

a) 5,15b) 5,45c) 5,75d) 6,00e) 6,15

8Acima de 7, até 10

20Acima de 5, até 7

12De zero até 5

Número de AlunosNotas

45540

21882012

5886205212 ,,,

M

ATENÇÃO: nem toda média é aritmética.

As médias aritméticas não se aplicam a todas as situações.

Por exemplo, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. No entanto, esses três aumentos acumulados não equivalem a um aumento de 90%, muito menos a três aumentos de 30%. Só utiliza-se média aritmética quando os valores são acumulados via adição.

A MODA de um conjunto de valores corresponde ao valor que ocorre mais vezes.

Por exemplo, a tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa realizada com 280 pessoas. A moda é ir ao dentista uma vez por ano.

1016473910563Número de pessoas

5 ou mais43210

Número de visitas ao dentista por ano

A MEDIANA de um conjunto de valores é utilizada para contornar situações onde a média émuito afetada por valores discrepantes.

Por exemplo, um aluno obteve os seguintes números de faltas nos meses entre março e dezembro, respectivamente: 3, 4, 16, 9, 3, 10, 2, 4, 6 e 3. A média mensal de faltas ésimples de ser obtida: 6 faltas por mês, já que o total de faltas nos 10 meses foi 60.

No entanto, três meses destoam dos demais. Em maio, junho e agosto obteve 16, 9 e 10 faltas. Se excluirmos esses valores da análise, a nova média será de aproximadamente 3,57 faltas por mês.

Se ordenarmos os valores, a mediana será o termo central (para um número ímpar de termos) ou a média dos termos centrais (para um número par). No caso, as faltas são

16109644333242

44

O conceito de mediana é especialmente para análise de índices geográficos.

RECORTE DO JORNAL CORREIO DO POVO DO DIA 11/01/2007

PORTUGUÊS FÍSICA INGLÊS

MÉDIA+ DESVIO- DESVIO

NÚMERO DE QUESTÕES QUE A MAIORIA DOSCANDIDATOS ACERTOU NA PROVA

Por exemplo, em 2009 a prova de matemática teve uma média de 10,3578 acertos por candidato e desvio padrão de 4,1685. Logo, a maioria dos candidatos acertou entre 6 e 14 questões.

06) (FGV) Dois atiradores X e Y obtiveram, numa série de 20 tiros num alvo da forma indicada na figura, os resultados indicados na tabela abaixo. Com base nos desvios padrão das séries de tiros, decida qual é o atirador com desempenho mais regular.

33536Y14564X010203050ATIRADOR

RESULTADO

n

MxMxMx n22

22

1 ...

62,1420

260126104262052630626504

2620

52020

01104205306504

22222

x

xM

2 2 2 2 2

6 50 3 30 5 20 3 10 3 0 520 2620 20

6 50 26 3 30 26 5 20 26 3 10 26 3 0 2618

20

y

y

M

VARIAÇÃO PERCENTUAL

FATOR DE VARIAÇÃO

O FATOR DE VARIAÇÃO é obtido somando ou subtraindo a variação desejada a 100%. A variação é obtida a partir da MULTIPLICAÇÃO pelo fator de variação.

Exemplos:

+ 15% f = 1,15+ 234% f = 3,34-23% f = 0,77

Ainda, a idéia de um fator decimal para porcentagem se mostra útil para equacionar problemas. Por exemplo, 23% de determinado valor corresponde a 0,23V.

07) (CÓSER) A meta para a inflação no primeiro trimestre de 2009 em certo país era de 15%. Se a inflação em janeiro foi de 6% e em fevereiro foi de 5%, qual deverá ser a inflação em março para que a meta seja atingida?

%,

,,,

,,,,

33

0331051061

151151051061

MAR

MAR

TRIMESTREMARFEVJAN

f

fffff

Variações percentuais são acumuladas a partir da multiplicação dos fatores de variação correspondentes.

08) (CÓSER) No primeiro bimestre de 2009, as ações de certa companhia valorizaram 21%. Qual foi a valorização percentual mensal média?

Temos que duas variações acumuladas devem equivaler a uma variação de 21%. O fator de variação correspondente a um aumento de 21% é 1,21. Assim, dois fatores desconhecidos multiplicados devem resultar em 1,21.

2

1,211,21

121 111,21 1,1100 10

10%

f ff

f

No exemplo dado anteriormente, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. O aumento mensal médio pode ser calculado por:

%56,292956,1175,2175,2

45,125,120,133

ff

fff

09) (ENEM) Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, realizada recentemente pelo IBGE, mostra alguns itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias com rendas mensais bem diferentes. Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e R$ 6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente:

a) dez vezes maiores. b) quatro vezes maiores. c) equivalentes.d) três vezes menores. e) nove vezes menores.

33% de 400 é 0,33*400 = 132.9% de 6.000 é 0,09*6000 = 540.

Aproximadamente quatro vezes maiores.

10) (ENEM) Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos professores. A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades, mas não com o índice proposto. Pode-se afirmar que:

a) o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades é insuficiente para cobrir os gastos adicionais. b) o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõecobrirá exatamente os gastos adicionais. c) a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais. d) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas. e) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas.

AUMENTO CORRETO: 5% de 40% do gasto = 0,05 * 0,4 * G = 0,02G + 2%

x