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MATEMÁTICA Ensino Fundamental, 9º Ano Equação do 2º grau resolução

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MATEMÁTICAEnsino Fundamental, 9º Ano

Equação do 2º grau resolução

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Tem-se observado que uma abordagem das equações do segundo grau apenas pela aplicação direta da fórmula de Bhaskara termina por provocar dificuldades posteriores. Os alunos acabam tomando-a como método único e, quando “esquecem a fórmula”, não são capazes de resolver o problema. Assim, é recomendável que, nessa etapa, os alunos sejam incentivados a resolver equações de segundo grau utilizando a fatoração e o processo de completar quadrados, que, além de serem métodos eficazes podem dar significado à fórmula de Bhaskara. (Base Curricular Comum para as redes públicas do estado de Pernambuco , Matemática, 2008, página 99.)

BASE CURRICULAR COMUM PARA AS REDES PÚBLICAS DO ESTADO DE PERNAMBUCO - MATEMÁTICA

No trabalho com a Álgebra é fundamental a compreensão de conceitos como a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, 1998, página 84)

CONTEÚDOS PROPOSTOS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA NO QUARTO CICLO:

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RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU

SINTAM-SE TODOS CONVIDADOS A RESOLVER ALGUMAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU

VOCÊS SÃO CAPAZES DE ME RESPONDER QUAL É O NÚMERO QUE ELEVADO AO QUADRADO DÁ 25?

PENSARAM NO NÚMERO 5 NÃO FOI?

PARABÉNS!!!!

EXISTE OUTRO NÚMERO QUE RESPONDE A ESSA PERGUNTA SABIAM?

É O NÚMERO -5, OBSERVEM:

VAMOS CHAMAR ESSE NÚMERO DESCONHECIDO (INCÓGNITA) DE X, LOGO TEMOS A EQUAÇÃO:

X² = 25

PARA X = 5 TEMOS: 5² = 5 . 5 = 25

PARA X = - 5 TEMOS: (-5)² = (-5) . (-5) = 25

OBSERVE QUA A EXPRESSÃO X² = 25 É UMA EQUAÇÃO E COMO O EXPOENTE DA INCÓGNITA É 2, DIZEMOS QUE ELA É DO 2º GRAU E CONSEGUENTEMENTE POSSUI COMO SOLUÇÃO DOIS NÚMEROS.

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OS NÚMEROS 5 E -5 SÃO DENOMINADOS SOLUÇÃO OU RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU DADA

NOTE AINDA QUE A EQUAÇÃO X² = 25 PODE SER ESCRITA ASSIM: X² - 25 = 0

RAIZ OU SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA É O VALOR QUE, QUANDO ATRIBUÍDO À INCÓGNITA, TRANSFORMA A EQUAÇÃO EM UMA SENTENÇA VERDADEIRA.

VEJA COMO PODEMOS RESOLVÊ-LA:

x² - 25 = 0

Adicionando + 25 aos dois membrosx² - 25 + 25 = 0 + 25

x² = 25

Extraindo a raiz nos dois membros√x² = ± √25

x = ± 5

Logo temos:

X’ = - 5 ou X” = + 5

De modo geral, uma equação do tipo x² = c, em que c ≥ 0, tem como

raízes √c e -√c

OBSERVE QUE AS RAÍZES ENCONTRADAS SÃO OPOSTAS.

Geralmente identificamos a primeira raiz por x’(lê-se xis linha) e a segunda por x” (lê-se xis duas linhas).

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AGORA OBSERVE COM ATENÇÃO:

QUAL É A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO X² + 36 = 0?

RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:

X² + 36 = 0

Adicionando – 36 aos dois membrosX² + 36 - 36 = 0 - 36

X² = - 36

√x² = ± √-36

Não existe no conjunto dos números reais, ou seja, não existe um número real cujo quadra-do é um número negativo.

X = √-36

Logo, ESSA EQUAÇÃO NÃO TEM SOLUÇÃO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

VEJA AINDA ESSA OUTRA EQUAÇÃO:

2X² - 18 = 0 RESOLVENDO-A TEMOS:

2X² - 18 + 18 = 0 + 18 Adicionando + 18 aos dois membros

2X² = 18Dividindo os dois membros por 22X² = 18

2 2

X² = 9

Extraindo a raiz nos dois membros

Extraindo a raiz nos dois membros

√x² = ± √9

X1 = - 3 ou X2 = + 3

Observe que podemos indicar também a primeira e a segunda raiz da equação por X1 e X2, respectivamente.

De modo geral, uma equação do tipo ax² + c = 0, com a ≠ 0, pode ser transformada na equação ax² = - c, e esta em x² = - c . a

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VAMOS TENTAR RESOLVER O SEGUINTE PROBLEMA :

Luís tem um terreno na forma de um quadrado. Ele pretende comprar um terreno de 90 m² que faz divisa com o que ele já possui. Desse modo, ele ficaria com um terreno retangular de 414 m². Qual é a medida do lado do terreno de formato quadrado de Luís?

REPRESENTANDO O NOVO TERRENO DE LUÍS POR UMA FIGURA :

Problema extraído do livro de Matemática: Bianchini/Edwaldo Bianchini, 7 ed.,São Paulo, Moderna, 2011, página 115.

X

X

90 m²

EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS:

A área do terreno na forma de um quadrado corresponde a X².

Luís pretende comprar um terreno de 90 m²

Após a compra Luís ficará com um terreno de 414 m².

X² + 90 = 414

X² + 90 = 414

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RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:

X² + 90 = 414

Adicionando - 90 aos dois membrosX² + 90 - 90 = 414 - 90

X² = 324

√X² = ± √324

X = ± 18

X’ = - 18 OU X’’ = + 18

Extraindo as raízes nos dois membros

COMO A MEDIDA DO LADO DEVE SER UM NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS:

O LADO DO QUADRADO MEDE 18 m.

OBSERVE QUE A EQUAÇÃO X² + 90 = 414 FOI REDUZIDA AO TIPO

X² = C

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AGORA OBSERVE A EQUAÇÃO: X² - 4X = 0

QUAIS SÃO SUAS RAÍZES?INICIANDO A RESOLUÇÃO TEMOS:

X² - 4X = 0 Fatorando o primeiro membro:Colocando o fator comum em evidência.

X.( X – 4) = 0Qual a condição necessária para que o produto entre dois ou mais fatores seja igual?

UM DOS FATORES DEVE SER IGUAL A ZERO!!!!!

LOGO TEMOS:

X = 0

X – 4 = 0

OU

Adicionando + 4 aos dois membros

X – 4 + 4= 0 + 4 X = 4

PORTANTO AS RAÍZES SÃO:

X’ = 0 OU X’’= 4

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RESOLVA O PROBLEMA:Jeny deseja construir dois pomares, uma na forma de um losango e o outro na forma de um paralelogramo conforme indicam as figuras ao lado:

Admitindo que a diagonal maior do losango mede 3x e a menor 2x e que o paralelogramo mede de altura 2x e sua base mede x + 5.

Para que Jeny construa esses pomares com áreas iguais, qual deve ser o valor de x?

Para iniciarmos a resolução do problema devemos lembrar de como se calcula as áreas do losango e do paralelogramo.

Área do losango: A = D . d 2

Área do Paralelogramo: A = B . h

D= diagonal maior d = diagonal menor

B = baseh = altura

VAMOS AGORA EQUACIONAR O PROBLEMA.

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PARA QUE OS POMARES TENHA ÁREAS IGUAIS ADMITIMOS:

ÁREA DO LOSANGO ÁREA DO PARALELOGRAMO=

LOGO: D . d 2 B . h=

PELO ENUNCIADO DO PROBLEMA SABEMOS QUE:D = 3x d = 2x B = x + 5 h = 2x ENTÃO:

3X . 2X = (X + 5) . 2X 2

Resolvendo a operação indicada no numerador

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição no segundo membro.

6X² = 2x² + 10x 2

Simplificando a fração 3x² = 2x² + 10x

Adicionando -2x² - 10x aos dois membros

3x² - 2x² - 10x = 2x² + 10x - 2x² - 10x

Resolvendo as operações indicadas

x² - 10x = 0

Fatorando o primeiro membro:Colocando o fator comum em evidência.

x . ( x – 10) = 0

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X – 10 + 10 = 0 + 10 Adicionando + 10 aos dois membros e resolvendo as operações indicadasX = 10

x . ( x – 10) = 0

A condição necessária para que o produto entre dois ou mais fatores seja igual a zero é que um deles deve ser igual a zero.

LOGO TEMOS:

X = 0

X – 10 = 0

OU

COMO AS MEDIDAS DAS DIMENSÕES DO LOSANGO E DO PARALELOGRAMO DEVEM SER UM NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS:

Para que Jeny construa esses pomares com áreas iguais, o valor de x deve ser 10.

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De modo geral, uma equação do tipo ax² + b = 0, quando fatorada, recai na equação x.(ax + b) = 0.

ax² + bx = 0 = x.(ax + b) = 0

x’ = 0

ax + b = 0 x’’ = - b , com a≠0

a

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QUERO VER AGORA SE VOCÊS CONSEGUEM RESOLVER ESSA EQUAÇÃO:

(X + 1)² = 16Resolvendo mentalmente:

Pense em um número que elevado ao quadrado é igual a 16.

4 e -4 elevados ao quadrado é igual a 16.

PARABÉNS!!!!!! É ISSO MESMO!!!!!

Assim temos: X + 1 = 4 ou X + 1 = - 4

X + 1 = 4

Adicionando - 1 aos dois membros e resolvendo a operação indicada no segundo membro.X + 1-1 = 4-1

X = 3 Aplicando o mesmo procedimento anterior.

X + 1-1 = - 4-1

X = - 5

Logo 3 e – 5 são as raízes da equação (x + 1)² = 16:

verificação: ( 3 + 1)² = 4² = 16

( -5 + 1)² = (-4)² = 16

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AGORA VEJA QUE CURIOSO:

Desenvolvendo o binômio do primeiro membro da equação (X + 1)² = 16 temos:

( X + 1)² = ( X + 1). ( X + 1) = 16

X² + 2X + 1 = 16

Adicionando - 16 aos dois membrosX² + 2X + 1 - 16 = 16 - 16

X² + 2X - 15 = 0

Observa que (x+1)² é um dos produtos notáveis (quadrado da soma de dois números quaisquer) e também pode ser resolvido de maneira prática: quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Assim a equação (X+1)² = 16 é igual a equação X² + 2X - 15 = 0

Logo 3 e – 5 são raízes das duas equações

Verificação da equaçãoX² + 2X - 15 = 0

3² + 2. 3 – 15 = 9 + 6 – 15 = 0

(-5)² + 2. (-5) – 15 = 25 – 10 – 15 = 0

Quais são as raízes da equação dada?

Agora resolvam em seu caderno, com o auxílio do professor, a equação: (2x + 6)² = 36

As raízes são 0 e -6

PARABÉNS!!!!!!!!!

VAMOS VER OUTRO MODO DE RESOLVER A EQUAÇÃO ( X + 1)² = 16 :

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( X + 1)² = 16

Extraindo as raízes nos dois membros√( X + 1)² = ± √16

X + 1 = ± 4

X + 1 = 4

X + 1 = - 4

X + 1 - 1 = 4 - 1

X + 1 - 1 = - 4 - 1

X = 3 X = - 5

Logo as raízes são 3 e - 5

De modo geral, para encontrar as raízes de equações do tipo (ax + b)² = k, com k ≥ 0 e a ≠ 0 fazemos:

ax + b = √k x = - b + √k a

ax + b = - √k x = - b - √k a

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Problema envolvendo uma equação do tipo (ax + b)² = k, com k ≥ 0 e a ≠ 0 :

Petrúcio Filho desenhou a planta de um terreno em forma de um quadrado, conforme figura abaixo, e propôs o seguinte desafio a seu irmão Petrus:

Sabendo que a área do terreno é de 81 m², qual é a medida dos lados desse terreno?

x + 6

x + 6

Equacionando o problema:

Como a área do terreno é de 81 m² temos:

Lembre-se: para calcular a área de um quadrado basta elevar um dos lados ao quadrado.

( x + 6)² = 81

Extraindo as raízes nos dois membros√( X + 6)² = ± √81

X + 6 = ± 9

X + 6 = 9

X + 6 = - 9

X + 6 - 6 = 9 - 6

X + 6 - 6 = - 9 - 6

X = 3

X = - 15

As raízes da equação (x + 6)² = 81 são 3 e – 15, mas apenas 3 satisfaz o problema:

O lado do quadrado mede x + 6, substituindo as raízes encontradas temos: 3+ 6 = 9

-15 + 6 = - 9

Como a medida do lado do quadrado deve ser um número positivo, Petrus conclui:

O quadrado tem lados medindo 9 metros.

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OBSERVE ATENTAMENTE A MULTIPLICAÇÃO ABAIXO:

( x + a ) . ( x + b ) Multiplicando os binômios temos:

x² + bx + ax + a.bFatorando: colocando o fator comum em evidência

x² + ( a + b ) . x + ab

Podemos observar que:

( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab

Dizemos que ( x + a ) . ( x + b ) é a forma fatorada da expressão x² + ( a + b). x + ab

Fatorar significa escrever uma adição algébrica na forma de uma multiplicação.

Observe que na expressão x² + ( a + b). x + ab o coeficiente de x é dado pela soma a + b e o terceiro termo que é independente da incógnita x, é dado pelo produto a.b

Utilizando a observação acima, escreva a expressão x² + 6x + 9 na forma fatorada.

Como o coeficiente de x da expressão x² + ( a + b). x + ab é dado pela soma a + b e o termo independente da incógnita x, é dado pelo produto a.b , temos:

a + b = 6 e a . b = 9

Calculando mentalmente encontramos: a = 3 e b = 3

Então:

x² + 6x + 9

( x + 3 ) . ( x + 3)

Como ( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab

3 + 3 3 . 3

VAMOS AGORA UTILIZAR ESSE MODO DE FATORAR PARA RESOLVER ALGUMAS EQUAÇOES DO 2º GRAU:

Observe que x² + 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito: x² + 6x + 9 = ( x + 3)²

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Resolva a equação x² + 10x + 25 = 0

Já sabemos que ( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab

Então: a + b = 10 e a . b = 25

Calculando mentalmente: a = 5 e b = 5

Logo, x² + 10x + 25 = ( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0

1º modo de resolução:

( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0

x + 5 = 0 x + 5 = 0 ou

x + 5 - 5 = 0 - 5 x + 5 - 5 = 0 - 5

X’ = - 5 X’’ = - 5

Adicionando – 5 aos dois membros

Para que o produto entre dois fatores seja igual a zero, um dos fatores deve ser zero

2º modo de resolução:

( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0

( x + 5 )² = 0 Extraindo as raízes nos dois membros

√( x + 5)² = ± √0

( x + 5 ) = ± 0

x + 5 = 0

x + 5 - 5 = 0 - 5

x = - 5

Tem duas soluções iguais, logo:

São duas soluções iguais

Logo as raízes são x’ = - 5 ou x ‘’ = - 5

VEJAMOS MAIS UMA EQUAÇÃO:

Verificação: (-5)² + 10 . (-5) + 25 = 25 – 50 + 25 = 0

Perceba que essa equação é da forma ax² + bx + c = 0, onde a = 1, b = 10 e c = 25.

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

Resolva a equação x² - 8x + 16 = 81:

x² - 8x + 16 = 81

Observe que x² - 8x + 16 é um trinômio quadrado perfeito e tem a seguinte fatoração: ( x – 4 )²

Logo x² - 8x + 16 = ( x – 4 )² = 81

( x – 4 )² = 81

√( X - 4)² = ± √81

x – 4 = + 9 x – 4 = - 9ou

Adicionando + 4 aos dois membrosx – 4 + 4 = + 9 + 4 x – 4 + 4 = - 9 + 4

x’ = 13 x’’ = - 5

Extraindo as raízes nos dois membros

Verificação:

13² - 8 . 13 + 16 = 169 – 104 + 16 = 65 + 16 = 81

(-5)² - 8.(-5) + 16 = 25 + 40 + 16 = 81

Lembrem-se dos produtos notáveis: quadrado da soma de dois números quaisquer e quadrado da diferença de dois números quaisquer:( a + b )² = a² + 2ab + b²( a – b )² = a² - 2ab + b²

Lembre-se também como esses produtos notáveis são fatorados de maneira prática:

√a² + 2ab + √b²

( a + b )²VAMOS CONTINUAR RESOLVENDO EQUAÇÕES:

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

Quais são as raízes da equação 9x² + 24x + 16 = 169:

Observe que 9x² + 24x + 16 é um trinômio quadrado perfeito que corresponde ao produto notável quadrado da soma de dois números onde fatorando temos :

√9x² + 24x + √16

( 3x + 4 )² = 169

√( 3X + 4)² = ± √169

Extraindo as raízes nos dois membros

3x + 4 = ± 13

3x + 4 = + 13 ou 3x + 4 = - 13

3x + 4 = + 13 Adicionando – 4 aos dois membros3x + 4 - 4 = + 13 - 4

3x = 9Multiplicando os dois membros por 1\31 . 3x = 9 . 1

3 3

3x = 93 3

x = 3Aplicando o mesmo procedimento em 3x + 4 = - 13, temos x = - 17 3

Logo as raízes da equação original são x’ = 3 ou x’’ = - 17 3

Observação: Faça a verificação em seu caderno

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

Vamos agora resolver uma equação do 2º grau da forma ax² + bx + c = 0 utilizando o Método de Completar Quadrados criado pelo matemático árabe Al-Khowarizmi.

Considere a equação x² + 6x + 8 = 0

x² + 6x + 8 = 0

Adicionando – 8 aos dois membrosx² + 6x + 8 - 8 = 0 - 8

x² + 6x = - 8 Adicionando 9 aos dois membros para formar um Trinômio Quadrado Perfeito no primeiro membrox² + 6x + 9 = - 8 + 9Trinômio quadrado perfeito

( x + 3 )² = 1

√( X + 3)² = ± √1

x + 3 = 1

x + 3 = -1

x + 3 – 3 = 1 - 3 x = -2

x + 3 – 3 = -1 - 3 x = -4

Logo as raízes são:x’ = -2 ou

x’’ = -4

Dica: Para entender melhor esse método de completar quadrados ver sua interpretação geométrica no site http://solucoesdematematicaonline.blogspot.com.br/2014/08/o-metodo-de-completamento-de-quadrados.html

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

Vamos resolver o seguinte problema:

Em um triângulo ABC, a medida da altura relativa à base BC excede a medida de BC em 1 cm. Esse triângulo tem 15 cm² de área.

Qual a medida desse altura?

Equacionando o problema:

Vamos representar a medida, em centímetros, da altura relativa a BC por h e a medida de BC por h – 1.

A

B h - 1 C

h

Área de um triângulo== base . altura

2

Então temos:15 = (h – 1) . h 2

Vamos simplificar essa expressão

Problema retirado do livro MATEMÁTICA Ideias e desafios, de Iracema e Dulce, 17ª Edição, página 90, Saraiva, Sâo Paulo, 2012

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

15 = (h – 1) . h 2

Multiplicando os dois membros por 2 e simplificando15. 2 = (h – 1) . h . 2

2

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação a subtração)

30 = (h – 1) . h

30 = h² - h

Adicionando – 30 aos dois membros30 – 30 = h² – h – 30

h² – h – 30 = 0

Equação do 2º grau completa

Resolvendo as operações indicadas

Vamos resolver a equação h² – h – 30 = 0 utilizando uma fórmula de um famoso matemático Hindu chamado Bhaskara.

Para resolver a equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0 usamos a fórmula de Bhaskara:

x = - b ± √ b² - 4.a.c 2.a ou x = - b ± √∆ , em que ∆ = b² - 4.a.c 2.aUma condição para a existência de soluções reais é que o discriminante da equação seja maior ou igual a zero. Logo:

Observação: A expressão b² - 4ac representada pela letra grega delta(∆) é chamada discriminante da equação

∆ < 0, então a equação NÃO POSSUI RAIZ REAL∆ > 0, então a equação tem DUAS RAÍZES REAIS DIFERENTES∆ = 0, então a equação DUAS RAÍZES REAIS IGUAIS

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS:

h² – h – 30 = 0 Observe que a = 1, b = -1 e c = - 30x = - b ± √∆ 2.a

Inicialmente vamos calcular o valor de nosso discriminante (∆):

∆ = b² - 4.a.c TEMOS

Substituindo os coeficientes a, b e c por seus respectivos valores

∆ = (-1)² - 4. 1 .(- 30)

∆ = 1 + 120 = 121 Resolvendo as operações indicadas

∆ > 0, a equação possui DUAS RAÍZES DIFERENTES

APLICANDO A FÓRMULA DE BHASKARA:

Substituindo a, b e ∆ por seus respectivos valores

x = - (-1) ± √121 2.1

Resolvendo as operações indicadas

x = 1 ± 11 2 ASSIM:

x’ = 1 + 11 2

x’’ = 1 - 11 2

ou

x’ = 12 = 6 2

x’’ = - 10 = - 5 2

As raízes da equação são x’ = 6 ou x” = - 5

Como h representa a medida de uma altura, logo h > 0.

Portanto, a raiz -5 não é conveniente.

Conclusão: O triângulo ABC tem 6 cm de altura

Observação: Faça a verificação em seu caderno.

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

VAMOS RESOLVENDO ALGUMAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS UTILIZANDO A FÓRMUÇA DE BHASKARA:

A) X² + 14X + 49 = 0

APLICANDO A FÓRMULA DE BHASKARA:

x = - b ± √∆ 2.a

x = - 14 ± √0 2.1

x = -14 ± 0 2

∆ = b² - 4.a.c

∆ = (14)² - 4. 1 . 49

∆ = 196 - 196 = 0

∆ = 0, a equação possui DUAS RAÍZES IGUAIS

Observe que a = 1, b = 14 e c = 49

Inicialmente vamos calcular o valor de nosso discriminante (∆):

x = -14 = - 7 2

Logo as raízes são x’ = -7 ou x” = -7, ou seja, a equação tem uma única raiz real: x = -7

B) -5X² + 12X - 14 = 0

∆ = b² - 4.a.c

∆ = (12)² - 4. (-5) . -14

∆ = 144 - 280 = -136

∆ < 0, a equação NÃO TEM COMO SOLUÇÃO UM NÚMERO REAL

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

Vamos agora resolver uma equação do 2ª grau utilizando um método criado por um matemático Francês chamado Albert Girard

Albert Girard(1595-1632) demonstrou em seu livro Invention nouvelle em l’algèbra a relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação:

1ª Relação: SOMA DAS RAÍZES 2ª Relação: PRODUTO DAS RAÍZES

X’ + X” = - b ou S = - b .

a a

Observação: Ver demonstração dessas relações no site http://www.brasilescola.com/matematica/estudando-as-relacoes-girard.htm

X’ . X” = c ou P = c . a a

Observe que quando o a = 1 temos X’ + X” = - b e X’ . X” = C

Vamos resolver a equação 2x² - 10x + 12 = 0 utilizando as relações de Girard:

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

Na equação 2x² - 10x + 12 = 0 temos a = 2, b = - 10 e c = 12

Segundo Girard:

X’ + X” = - b....

a eX’ . X” = c ..

a

Assim:

X’ + X” = - (-10)....

2 X’ + X” = 5..

X’ . X” = 12 ..

2 X’ . X” = 6..

Podemos encontrar as raízes da equação interpretando essas duas expressões encontradas:

X’ + X” = 5.. X’ . X” = 6..

As expressões nos mostram que existem dois números que somados dá 5 e multiplicados dá 6

QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS?

Os números são 2 e 3 PARABÉNS!!!

Assim as raízes são x’= 2 ou x”= 3

VERIFICAÇÃO:

2. 2² - 10 . 2 + 12 = 8 – 20 + 12 = 0

2. 3² - 10 . 3 + 12 = 18 – 30 + 12 = 0

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

Vamos resolver a equação x² + 8x + 15 = 0 utilizando as relações de Girard:

X’ + X” = - b....

a eX’ . X” = c ..

a

Assim:

X’ + X” = - 8....

1 X’ + X” = - 8

X’ . X” = 15 ..

1 X’ . X” = 15

Na equação x² + 8x + 15 = 0 temos a = 1, b = 8 e c = 15

As expressões nos mostram que existem dois números que somados dá - 8 e multiplicados dá 15

QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS?Os números são -3 e - 5

Assim as raízes são x’= - 3 ou x”= -5

VERIFICAÇÃO:(-3)² + 8 . (-3) + 15 = 9 – 24 + 15 = 0

(-5)² + 8 . (-5) + 15 = 25 – 40 + 15 = 0

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

ATIVIDADES DE FIXAÇÃO:

1)Resolva as seguintes equações:

a) X² - 225 = 0b) X² + 19 = 100c) 3X² - 13 = 35

2) Determine as raízes destas equações:

a) X² - 8X = 0b) 2X² + 10X = 0c) 3t² - t = 0

3)Determine os valores reais de x que verificam as equações:

a) (X + 3)² = 64b) (X - 5)² = 121c) (X + 11)² = 324

4) Resolva a equação x² - 10x + 21 = 0 utilizando:

a) Fatoraçãob) Completamento de quadradoc) Fórmula de Bhaskarad) Relação de Girard

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GABARITO DAS ATIVIDADES DE FIXAÇÃO:

1) :

a) x’= -15 ou x”= 15b) x’= -9 ou x”= 9c) x’= -4 ou x”= 4

2)

a) x’= 0 ou x”= 8b) x’= 0 ou x”= -5c) t’= 0 ou t”= 1\3

3

a) x’= 5 ou x”= -11b) x’= 16 ou x”= -6c) x’= 7 ou x”= -29

4) x’= 3 ou x”= 7

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SUGESTÃO DE ATIVIDADEPESQUISA NA INTERNET:Pesquisar problemas em disciplina como Física, Química e Biologia que utilizem em suas resoluções equações do 2º grau como ferramenta.

Observação: Os físicos estabelecem leis que podem determinar a altura h que um objeto atingi em cada instante t, e utilizam a fórmula h = vt – gt² , onde h = altura, v = velocidade inicial do corpo, 2g = aceleração da gravidade e t = tempo decorrido.Considerando h= 20m, v = 25m/s e g= 10m/s² temos:

20 = 25 – 10t² que simplificando é igual a t² – 5t + 4 = 0 2 EQUAÇÃO DO 2º GRAU

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MATEMÁTICA, 9º AnoEquação do 2º grau resolução

BIBLIOGRAFIA-Parâmetros para a Educação Básica de Pernambuco, 2012.-PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, 1998, página 84)-Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.-Iracema Mori, Dulce Satiko Onaga,Matemática: ideias e desafios, 9º ano,17.ed.-São Paulo: Saraiva, 2012.-Mazzieiro, Alceu dos Santos, Descobrindo e aplicando a matemática: 9º ano,Belo Horizonte: Dimensão, 2012.-Projeto Araribá, matemática obra coletiva, 8ª série, 1 ed.,São Paulo, Moderna, 2006.-Bigode, Antônio José Lopes, Matemática hoje é feita assim, 8ª série, São Paulo, FTD, 2000.-Bonjorno, José Roberto, Matemática: fazendo a diferença, 8ª série, 1 ed, São Paulo, FTD, 2006.-Giovanni, José Ruy, Matemática pensar e descobrir: o + novo, 8ª série ,São Paulo, FTD, 2002.-www.somatematica.com.br-http://tvescola.mec.gov.br/- http://www.brasilescola.com/matematica/estudando-as-relacoes-girard.htm-www. matematicoteca.blogspot.com.br/2011/08/tipos-de-matrizes.html-http://solucoesdematematicaonline.blogspot.com.br/2014/08/o-metodo-de-completamento-de-quadrados.html