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Matemática

Função de 2º Grau

Professor Dudan

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Matemática

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FUNÇÃO DE 2º GRAU

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

f(x)=ax2+bx+cO gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola.

Exemplos de funções quadráticas:

f(x) = 3x² – 4x + 1, onde a = 3, b = – 4 e c = 1

f(x) = x² – 1, onde a = 1, b = 0 e c = – 1

f(x) = – x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0

f(x) = – 4x², onde a = – 4, b = 0 e c = 0

→ Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

concavidade voltada para cima concavidade voltada para baixo

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→ Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente “c” na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o corta.

→ A análise do coeficiente "b" pode ser orientada pela analise de uma reta “imaginária” que passa pelo “c” e pelo vértice. Assim:

Nos exemplos acima, se a reta “imaginária” for crescente, b > 0, caso contrário, b < 0, e no caso em que o vértice e o “c” coincidem, teremos b = 0 e uma simetria em relação ao eixo Y.

Atenção!

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ∆ , chamado discriminante:

Se ∆ > 0, há duas raízes Se ∆ = 0, há duas raízes Se ∆ < 0, não há raiz real.reais e distintas; reais e iguais;

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Exemplo:

1. Complete as lacunas:

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2. Determine o valor de K para que a função f(x) = x² – kx + 9 tenha raízes reais e iguais.

Zero ou Raiz da Função

Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Para determinar as raízes, aplica-se a chamada fórmula de Bhaskara:

=− ± − = −x b b a ca

sendo b a c4 .2

, 4. .2

2

Exemplo:

3. Encontre as raízes de x² – 5x + 6.

SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:

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4. Determine a soma e o produto das raízes das funções abaixo.

a) f(x) = x² + 5x + 6 b) y = – x² – 4 c) f(x) = 6x² – 4x + 1

Vértice da Parábola

O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos. Observe:

Para determinar o ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto de mínimo (quando a > 0):

V(XV,YV)

XV = −b2a

YV = −Δ4a

Atenção: Xv é o ponto médio das raízes reais.

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Exemplo:

5. Determine o vértice da parábola f(x) = 2x² – 8x + 5.

6. A função que define o lucro de uma empresa é L(x) = – 2x² + 32x + 10, sendo x o número de peças vendidas e L o lucro em milhares de reais. Determine:

a) Qual é o lucro na venda de 10 peças?

b) Quantas peças devem ser vendidas para obter o lucro máximo?

c) Qual é o lucro máximo?

7. A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é:

a) f(x) = –2x2 – 2x + 4b) f(x) = x2 + 2x – 4c) f(x) = x2 + x – 2d) f(x) = 2x2 + 2x – 4e) f(x) = 2x2 + 2x – 2

8. Considere a função f: ℜ → ℜ definida por

O valor de f(π) + f( 2 ) – f(1) é

a) π2+2 π -2

b) 2π + 2 2 – 2

c) π2 – 2

d) 2π + 1

e) 2 2 – π + 1

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9. Baseado no gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, e c∈! , pode-se afirmar que:

a) a> 0,  Δ < 0 b) a> 0,  Δ = 0 c) a> 0,  Δ > 0 d) a< 0,  Δ > 0 e) a< 0,  Δ = 0

10. A função f(x) = Ax2 + Bx + C, A≠ 0 tem como gráfico a figura abaixo. Podemos então concluir que:

a) A > 0, B2 < 4AC, C > 0b) A > 0, B2 = 4AC, C > 0c) A > 0, B2 > 4AC, C > 0d) A < 0, B2 < 4AC, C < 0e) A > 0, B2 < 4AC, C < 0

11. O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y= – 40x2 + 200x, onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a:

a) 6,25 m, 5sb) 250 m, 0sc) 250 m, 5sd) 250 m, 200se) 10.000 m , 5s

12. Na parábola y = 2x² – (m – 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é:

a) 3b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Gabarito: 7. D 8. C 9. C 10. C 11. C 12. A