Exercícios de Números Complexos com Gabarito

1) (UNIFESP-2007) Quatro números complexos

representam, no plano complexo, vértices de um

paralelogramo. Três dos números são z1 = –3 –3i, z2 = 1 e z3

= –1 + (2

5)i. O quarto número tem as partes real e

imaginária positivas. Esse número é

a) 2 + 3i.

b) 3 + (11/2)i.

c) 3 + 5i.

d) 2 + (11/2)i.

e) 4 + 5i.

2) (Mack-2008) Sendo i

2 = -1, o número complexo

2

1 itgx, com x não nulo e -

2

< x <

2

, tem módulo

igual a

a) 2

1 cotgx

b) 2

1secx

c) 2

1gxcot

d) 2

1 xsec

e) 2

1xsec

3) (UFC-2007) Ao dividir 1-i 3 por –1 + i, obtém-se um

complexo de argumento igual a:

a) /4

b) 5/12

c) 7/12

d) 3/4

e) 11/12

4) (VUNESP-2007) Considere os números complexos w = 4

+ 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i

indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de

um triângulo é |z| e a base é a parte real de z w, determine

a de modo que a área do triângulo seja 90 cm2.

5) (FUVEST-2006) Determine os números complexos z que

satisfazem, simultaneamente, |z| = 2 e Im

i

iz

1= 2

1

Lembretes: i2 = -1; se w = a + bi,

com a e b reais, então |w| = 22 ba e Im (w) = b.

6) (UNIFESP-2006) Os números complexos z1, z2 = 2i e z3 =a

3 +ai, onde a é um número real positivo, representam no

plano complexo vértices de um triângulo eqüilátero. Dado

que |z2 - z1| = 2, o valor de a é:

a) 2

b) 1

c) 3

d) 2

3

e) 2

1

7) (Mack-2006) Se z = x + yi (i

2 = -1) é tal que |z + i | = |z +

2|, então os pontos de coordenadas (x; y), x e y reais,

percorrem

a) uma hipérbole.

b) uma circunferência.

c) uma elipse.

d) uma reta.

e) uma parábola.

8) (PUC-SP-2006) Sabe-se que o polinômio f = x

4 + 3x

3 -

3x2 - 11x - 6 admite a raiz -1 com multiplicidade 2 e que

outra de suas raízes é igual ao módulo de um número

complexo z cuja parte imaginária é igual a -1. A forma

trigonométrica de z pode ser igual a

a) 2.(cos 6

11

+ i.sen 6

11

)

b) 2.(cos 6

5

+ i.sen 6

5

)

c) 2.(cos 3

5

+ i.sen 3

5

)

d) 2.(cos 3

4

+ i.sen 3

4

)

e) 2.(cos 4

7

+ i.sen 4

7

)

9) (Vunesp-2006) A figura representa, no plano complexo,

um semicírculo de centro na origem e raio 1. Indique por

Re(z), Im(z) e |z| a parte real, a parte imaginária e o módulo

de um número complexo z = x + yi, respectivamente, onde i

indica a unidade imaginária. A única alternativa que contém

as condições que descrevem totalmente o subconjunto do

plano que representa a região sombreada, incluindo sua

fronteira, é

a) Re(z) 0, Im(z) 0 e |z| 1.

b) Re(z) 0, Im(z) 0 e |z| 1.

c) Re(z) 0 e |z| 1.

d) Im(z) 0 e |z| 1.

e) Re(z) 0 e |z| 1.

10) (UFRJ-2005) Um jantar secreto é marcado para a hora

em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem

representadas pelos números complexos z e w a seguir:

z =

2isen

2cos

, w = z2, sendo um número

real fixo, 0 < < 1 .

Determine a hora do jantar.

11) (IBMEC-2005) Considere a equação x2 - 2cos()x + 1 =

0, com 0 .

a) Determine os valores de para os quais esta equação

admite raízes reais.

b) Resolvendo em C a equação dada, determine, em função

de , suas raízes e represente-as no plano Argand-Gauss

abaixo.

12) (UERJ-2005) João desenhou um mapa do quintal de sua

casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de

coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de

uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oeste-

leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse

sistema, é a representação de um número complexo z = x +

iy , x IR, y IR e i2 = 1.

Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d do cofre à

origem, João escreveu a seguinte observação no canto do

mapa:

x1 + iy1 = (1+i)9

Calcule:

a) as coordenadas (x1, y1);

b) o valor de d.

13) (Vunesp-2005) Considere os números complexos z = 2 -

i e w = -3 -i, sendo i a unidade imaginária.

a) Determine z w e |w - z |.

b) Represente z e w no plano complexo (Argand-Gauss) e

determine b IR, b 0, de modo que os números

complexos z, w e t = bi sejam vértices de um triângulo, no

plano complexo, cuja área é 20.

14) (Vunesp-2005) Seja o número complexo z = 10 + 10i,

no qual i = 1 A forma trigonométrica que representa

este número é

a) 10

2isen

2cos

b) 10

4isen

4cos

c) 10 10

6isen

6cos

d) 10 2

2isen

2cos

e) 10 2

4isen

4cos

15) (Mack-2004) As representações gráficas dos complexos

1 + i , (1 + i)2, -1 e (1 - i)

2, com i

2 = -1, são vértices de um

polígono de área:

a) 2

b) 1

c) 2

3

d) 3

e) 4

16) (Unifesp-2004) Considere, no plano complexo,

conforme a figura, o triângulo de vértices z1 = 2, z2 = 5 e z3

= 6 + 2i.

A área do triângulo de vértices w1 = iz1, w2 = iz2 e w3 = 2iz3

é:

a) 8

b) 6

c) 4

d) 3

e) 2

17) (Unicamp-1988) Identifique o lugar geométrico dos

pontos z = x + iy do plano complexo tais que Re( z

1

) = 4

1

.

Determine a equação cartesiana e faça o gráfico desse

lugar.

18) (Fuvest-1978) O número complexo z0 e seu inverso

z

1 têm o mesmo módulo. Conclui-se que:

a) z e z

1são conjugados

b) z + z

1= i

c) este módulo é 2

d) z e z

1são reais

e) z2 = 1

19) (Fuvest-1984) Os números complexos z e w têm 12

5 e

3

como argumentos, respectivamente. Ache u e v reais

tais que zw = u + iv, sabendo que | zw | = 10.

20) (FGV-1991) Dentre todos os números complexos, z =

atisfazem a inequação

|z -

21) (Mack-2005) Dados os complexos z e w, tais que 2z +

w = 2 e z + w = i

2i1

, i2 = -1, o módulo de w é igual a:

a) 5

b) 2 2

c) 3

d) 6

e) 3 3

22) (ITA-2005) Seja z C com |z| = 1. Então, a expressão

wa

wz1

assume valor

a) maior que 1, para todo w com |w| > 1.

b) menor que 1, para todo w com |w| <1

c) maior que 1, para todo w com w z.

d) igual a 1, independente de w com w z.

e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|.

23) (FGV-2005) Admita que o centro do plano complexo

Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de

ponteiros, como indica a figura:

Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento,

às 11h 55 sua ponta estará sobre o número complexo

a) -1 + 3 i

b) 1 + 3 i

c) 1 - 3 i

d) 3 - i

e) 3 + i

24) (PUCCamp-1998) Sejam x e y os números reais que

satisfazem a igualdade i(x 2i) + (1 yi) = (x + y) i, onde

i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z

= (x + yi)2 é igual a:

a) 25

b) 5 5

c) 5

d) 2 5

e) 5

25) (Unirio-1998) Sejam z1 e z2 números complexos

representados pelos seus afixos na figura acima. Então, o

produto de z1 pelo conjugado de z2 é:

a) 19 + 10i

b) 11 + 17i

c) 10

d) -19 + 17i

e) -19 + 7i

26) (Vunesp-1995) Seja L o afixo do número complexo a =

8 +i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy.

Determine o número complexo b, de módulo igual a 1, cujo

afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo

LOM é reto.

27) (UEL-1995) Seja z um número complexo de módulo 2 e

argumento principal 120o. O conjugado de z é:

a) 2 - 2i 3

b) 2 + 2i 3

c) -1 - i 3

d) -1 + i 3

e) 1 + i 3

28) (UEL-1995) Seja o número complexo z = 2

342

i1

2.i

. A

imagem de z no plano complexo é um ponto do plano que

pertence ao

a) eixo imaginário.

b) eixo real.

c) 2o quadrante.

d) 3o quadrante.

e) 4o quadrante.

29) (Mack-1997) A solução da equação |z| + z - 18 + 6i = 0

é um complexo z de módulo:

a) 6

b) 8

c) 18

d) 12

e) 10

30) (Mack-1996) Considere todos os complexos z tais que

|z| = 1. O imaginário puro w, onde w = 1+2.z, pode ser:

a) 3 i

b) 2 i c) i

d) -2i

e) -3i

31) (FGV-1995) Seja o número complexo z=(x-2i)

2, no qual

x é um número real. Se o argumento principal de z é 90°,

então 1/z é igual a:

a) -8

i

b) -8i

c) 4i

d) -1 + 4i

e) 4 - i

32) (Fatec-1997) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do

número complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.

É verdade que:

a) o argumento principal de z é 6

5

b) a parte imaginária de z é i.

c) o conjugado de z é 3 + i.

d) a parte real de z é 1.

e) o módulo de z é 4.

33) (Cesgranrio-1995) O lugar geométrico das imagens dos

complexos z, tais que z2 é real, é:

a) um par de retas paralelas.

b) um par de retas concorrentes.

c) uma reta.

d) uma circunferência.

e) uma parábola.

34) (ITA-2004) Considere todos os números z = x + iy que

têm módulo 2

7

e estão na elipse x2 + 4y

2 = 4. Então, o

produto deles é igual a

a)9

25

b)16

49

c)25

81

d) 7

25

e) 4

35) (FGV-2004) a) Determine, no plano de Argand-Gauss, o

lugar geométrico dos números complexos z representados

pela equação: 025 zwzz , sendo w = - 2 + 5i.

b) De todos os números complexos z de módulo 3,

determine aqueles que satisfazem a igualdade

| z - 2i | = 3 . | i - 2|

36) (Cesgranrio-1994) A figura mostra, no plano complexo,

o círculo de centro na origem e raio 1, e as imagens de

cinco números complexos. O complexo 1/z é igual a:

a) z

b) w

c) r

d) s

e) t

37) (Fatec-2003) Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo

do número complexo z, no plano de Argand-Gauss.

Se -z é o complexo conjugado de z, então

a) z = - 2 + 2 3 i

b) z = - 2 + 2 3 i

c) z = - 2 + 3 i

d) z = - 2 + 3

3

i

e) z = - 2 + 3

3 i

38) (Vunesp-2003) Considere a variável complexa z dada

por z = x + i y, onde i é o número imaginário 1 , e seja

z o complexo conjugado de z.

a) Dada a equação (z - a)( z - a) = r2, onde r e a R,

calcule e responda a qual configuração geométrica ela

corresponde.

b) Escreva a equação do círculo x2 + y

2 = R

2, R R, em

variáveis complexas.

39) (Fatec-2003) Na figura abaixo, os pontos A, B e C

são as imagens dos números complexos z1 , z2 e z3, no

plano de Argand-Gauss.

Se Iz1I = Iz2I = Iz3I = 3 e = 60o , então z1 + z2 +

z3 é igual a

a) i)33(

b) i33

c) i)33(

d) i33

e) 3i3

40) (Mack-1996) A representação gráfica dos complexos

x+yi tais que 1 | x+yi | 2, onde x y 0, define uma

região de área:

a)

b) 2

c) 32

d) 2

e) 34

41) (UEL-2002) Na figura abaixo, o ponto P representa um

número complexo z no plano de Argand-Gauss. Qual dos

números abaixo é z, sabendo-se que OP= 13 ?

a) - 9 + 4i

b) 2 + 3i

c) 2 - 3i

d) 13

e) - 13 i 42) (Unicamp-1997) Um triângulo eqüilátero, inscrito em

uma circunferência de centro na origem, tem como um de

seus vértices o ponto do plano associado ao número

complexo 3 + i.

a) Que números complexos estão associados aos outros dois

vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse triângulo.

b) Qual a medida do lado desse triângulo?

43) (Unitau-1995) O módulo de z=36i

1

é:

a) 3.

b) 1.

c) 2.

d) 1/36.

e) 36.

44) (UNIUBE-2001) Considere os números complexos z = x

+ iy, em que x, y e IR e i2 = -1, que têm módulo igual a 3

e cujas representações geométricas encontram-se sobre a

parábola y = x2 -1, contida no plano complexo. Se w é a

soma desses números complexos, então |w| é igual a

a) 3 b) 3

c) 2

d) 6

45) (UFC-2002) Sabendo que cos = 23

e que sen =

21

, podemos afirmar corretamente que

cos( + 2

) + sen( + 2

) é igual a:

a) 0

b) 21

23

c) 21

23

d) 21

23

e) 21

23

46) (PUC-SP-2002) Geometricamente, o módulo de um

número complexo z é dado pela distância da origem O do

plano complexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o

complexo z = 3 + 2i, considere o triângulo ABO, cujos

vértices A e B são os respectivos pontos imagem de z e z.i.

É verdade que esse triângulo é

a) eqüilátero.

b) escaleno.

c) retângulo e isósceles.

d) retângulo e não isósceles.

e) isósceles e não retângulo.

47) (Fuvest-1998) Dentre os números complexos z = a + bi,

não-nulos, que têm argumento igual a 4

, aquele cuja

representação geométrica está sobre a parábola y = x2 é:

a) 1 + i

b) 1 – i

c) – 1 + i

d) 2 + 2i

e) – 2 + 2i

48) (Vunesp-2006) Se a, b, c são números inteiros positivos

tais que c = (a + bi)2 - 14i, em que i

2 = -1, o valor de c é

a) 48.

b) 36.

c) 24.

d) 14.

e) 7.

49) (UFPB-2006) Sejam x e y elementos quaisquer do

conjunto G = { nimg | m , n

Z }, onde 1i .

Considere as seguintes proposições e assinale com V a(s)

verdadeira(s) e com F, a(s) falsa(s).

( ) Se y 0 , o quociente

yx

G.

( ) O produto x y G.

( ) A soma yx

G.

A seqüência correta é:

a) VFF

b) FVF

c) FFV

d) VVF

e) VFV

f) FVV

50) (FMTM-2005) Sendo p e q números reais tais que 2

<

p+q < , e i a unidade imaginária, se os números

complexos z1 = sen (p +q) + [log (p-q)]i e z2 = 2

1

são

iguais, então q é igual a

a) 6

35

b) 12

69

c) 6

65

d) 12

65

e) 15

65

51) (Fuvest-1983)

-

52) (UFSCar-2005) Sejam i a unidade imaginária e an o n-

ésimo termo de uma progressão geométrica com a2 = 2a1.

Se a1 é um número ímpar, então 10321 aaaa i...iii é

igual a

a) 9i ou - 9i.

b) - 9 + i ou - 9 - i.

c) 9 + i ou 9 - i.

d) 8 + i ou 8 - i.

e) 7 + i ou 7 - i.

53) (Cesgranrio-1998) Dados os números complexos z1=

1+i, z2 = 1-i e z3 =42

31

z

z

pode-se afirmar que a parte real de z3

vale:

a) 2

1

b) 4

1

c) - 4

1

d) - 2

1

e) -1

54) (UEL-1996) Seja o número complexo z = x + yi, no qual

x, y R. Se z.(1 - i) = (1 + i)2, então:

a) x = y

b) x - y = 2

c) x.y = 1

d) x + y = 0

e) y = 2x

55) (Mack-1996) O complexo z = (a + bi)

4 é um número

real estritamente negativo. Então pode ocorrer:

a) a + b = 0.

b) a + 2b = 0.

c) 2a + b = 0.

d) a + 4b = 0.

e) 4a + b = 0.

56) (ITA-1996) O valor da potência

93

i1

2

é:

a) 2

i1

b) 2

i1

c) 2

i1

d) 2 93.i

e) 2 93 + i

57) (Uneb-1998) Se i é a unidade imaginária, então i

25 + i

39

- i108

+ i.i50

é igual a:

a) -1 - i

b) -1 + i

c) 1 - i

d) 1 + i

e) 0

58) (FEI-1997) Se a = 1 + 2i, b = 2 - i e 0

c

b

b

a

então o

número complexo c é:

a) 2i

b) 1 - 2i

c) 2 - i

d) 1 + 2i

e) 3i

59) (Fatec-1995) O conjugado do número complexo z=(1 -

i-1

)-1

é igual a:

a) 1 + i

b) 1 - i

c) 2

1 (1 - i)

d) 2

1 (1 + i)

e) i

60) (UFC-1997) Se i representa o número complexo cujo

quadrado é igual a 1, determine o valor numérico da soma

1 + i + i2 + i

3 + ... + i

27.

61) (UEL-1994) A forma algébrica do número complexo z =

i2

3i1

é:

a) 2

1 3i

b) 3

5 + (

3

7i)

c) 5

1 + (

5

7i)

d) 5

1 + 7i

e) 5

3 + (

5

4i)

62) (FEI-1996) Se z

2i

= 1 + i, então o número complexo z é:

a) 1 2i

b) 1 + i

c) 1 i

d) 1 + i

e) 1 + 2i

63) (FEI-1994) Escrevendo o número complexo z =

i1

1

i1

1

na forma algébrica obtemos:

a) 1 i

b) i 1

c) 1 + i

d) i

e) 1

64) (Vunesp-2004) Considere os números complexos w = 2i

e z = (1 + i).

Determine:

a) z2 e (w

2 z + w), onde z indica o conjugado de z.

b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w2|) é

uma progressão geométrica, determinando todos os seus

termos e a sua razão.

65) (Fuvest-2004) Considere a

equação z2 = z + (- 1) z , onde α é um número real e z

indica o conjugado do número complexo z.

a) Determinar os valores de para os quais a equação tem

quatro raízes distintas.

b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação

quando = 0.

66) (Fatec-2002) Sabe-se que os números z1 = log(x - y) +

(y + 10)i e z2 = y - xi, nos quais x e y são números reais, são

complexos conjugados. É verdade que

a) z1 + z2 = 1

b) z1 - z2 = i

c) z1.z2 = 122

d) |z1 + z2| = 2 e) |z1 - z2| = 11

67) (Vunesp-2001) Considere os números complexos

z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), onde i é a unidade imaginária e x

é um número real. Determine:

a) o número complexo z1.z2 em função de x;

b) os valores de x tais que Re (z1.z2) Im (z1.z2), onde Re

denota a parte real e Im denota a parte imaginária do

número complexo.

68) (Fuvest-2003) Nos itens abaixo, z denota um número

complexo e i a unidade imaginária (i2 = -1). Suponha z i.

a) Para quais valores de z tem-se 2

iz1

iz

?

b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os

quais iz1

iz

é um número real.

69) (Vunesp-2003) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então z , o

conjugado de z, será dado por

a) - 3 - i.

b) 1 - 3i.

c) 3 - i.

d) - 3 + i.

e) 3 + i.

70) (AFA-1999) Os valores reais de x, para os quais a parte

real do número complexo z =

x i

x i

2

é negativa, pertencem

ao conjunto (intervalo)

a)

.

b) 0

.

c) 11,

.

d) 2 2,

.

71) (FAZU-2001) O quociente i2i8

é igual a:

a) 3 + 2i

b) 2 + 2i

c) 1 + 2i

d) 2 + i

e) 2 + 3i

72) (Vunesp-1999) Considere o número complexo z = i,

onde i é a unidade imaginária. O valor de

z4 + z

3 + z

2 + z + 1/z é:

a) -1.

b) 0.

c) 1.

d) i.

e) -i.

73) (Unicamp-1999) Dado um número complexo z = x + iy,

o seu conjugado é o número complexo z = x - iy.

a) Resolva as equações: z. z = 4 e z 2 = z2.

b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geométricos

que representam as soluções dessas

equações.

74) (Unicamp-1998) Se z = x+iy é um número complexo, o

número real x é chamado parte real de z e é indicado por

Re(z), ou seja, Re(x+iy) = x.

a) Mostre que o conjunto dos pontos que satisfazem à

equação Re( 2z2iz

) = 21

, ao qual se acrescenta o ponto

(2,0), é uma circunferência.

b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 0) e é

tangente àquela circunferência.

75) (UNIUBE-2001) Sejam a e b dois números naturais tais

que 3 a 20 e 21 b 40. Se i é a unidade imaginária

dos complexos, ou seja, i2 = -1 , então, o número de pares

ordenados distintos (a, b) tais que i(ia + i

b) = 2 é igual a

a) 25.

b) 84.

c) 21.

d) 42.

76) (UFSCar-2001) Sejam x, y

N e z = x + yi um número complexo.

a) Calcule o produto (x + yi).(1 + i).

b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi).(1 + i) =

2.

77) (IBMEC-2001) Sendo n ∈ IN, quais valores f(n) = in + i

-

n assume, sendo i a unidade imaginária?

a) 0 ou 1

b) 0 ou i

c) 0 ou 2i

d) 0,2 ou –2

e) 0,1 ou –1

78) (Mack-2002) Se os pontos que representam os

complexos z = a + bi e w = c + di, com a.b.c.d ≠ 0,

pertencem a

uma mesma reta que passa pela origem, então wz

é sempre

igual a:

a) ca

b) 1-2ca

c) a.(c - 1)

d) 2ac

e) 2ac

79) (Fuvest-2000) a) Determine todas as soluções, no

campo complexo, da equação z = iz2, onde i é a unidade

imaginária, isto é, i2 = - 1 e z é o conjugado de z.

b) Represente essas soluções no plano complexo, usando o

sistema de coordenadas desenhado abaixo.

80) (Vunesp-2002) Seja z = x + yi um número complexo,

com x e y números reais e i a unidade imaginária.

a) Determine, em função de x e y, a parte real e a parte

imaginária de 2z – i + z , com z indicando o conjugado de

z.

b) Determine z que seja solução da equação 2z – i + z = 0.

81) (FGV-2002) No conjunto dos números complexos:

a) Resolva a equação z4 = 1

b) Obtenha o número z, tal que z . (1 + i) = 3 – i, onde i é a

unidade imaginária.

82) (Fuvest-1997) Sendo i a unidade imaginária (i2 = 1)

pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais

(a+i)4 é um número real?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) infinitos

83) (Fuvest-1995) a) Determine os números complexos z

tais que z+ z =4 e z. z =13, onde z é o conjugado de z.

b) Resolva a equação x45x

3+13x

2-19x+10=0, sabendo que

o número complexo z=1+2i é uma das suas raízes.

84) (Fuvest-1995) Sabendo que é um número real e que a

parte imaginária do número complexo 2ii2

é zero, então

é:

a) -4.

b) -2.

c) 1.

d) 2.

e) 4.

85) (VUNESP-2009) O número complexo z = a + bi é vértice

de um triângulo eqüilátero, como mostra a figura.

Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3 ,

determine z2.

86) (FUVEST-2008) A figura na página de respostas

representa o número = 2

31 i

no plano complexo,

sendo i = 1- a unidade imaginária. Nessas condições,

a) determine as partes real e

imaginária de

1

e de 3.

b) represente

1

e de 3 na figura ao lado.

c) determine as raízes complexas da equação z3 - 1 = 0

87) (VUNESP-2008) Considere o número complexo z = cos

6

+ isen 6

. O valor de z3 + z

6 + z

12 é:

a) –i.

b) 2

1

+ 2

3

i

c) i –2.

d) i.

e) 2i.

88) (Vunesp-2006) Seja z = 1 + i um número complexo.

a) Escreva z e z3 na forma trigonométrica.

b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor

grau, que tem z e |z|2 como raízes e coeficiente dominante

igual a 1.

89) (Cesgranrio-1982) O menor inteiro n > 0, de modo que

n

i2

1

2

3

seja real positivo, é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 8

e) 12

90) (Unicamp-2005) Um número complexo z = x + iy, z 0

pode ser escrito na forma trigonométrica: z = |z|(cos+

isen), onde |z| = 22 yx

, cos = x/|z| e sen = y/|z|.

Essa forma de representar os números complexos não-nulos

é muito conveniente, especialmente para o cálculo de

potências inteiras de números complexos, em virtude da

fórmula de De Moivre:

[|z|(cos+ isen)]k = |z|k(cosk+ isenk) que é válida para

todo kZ . Use essas informações para:

a) Calcular 12

i3

b) Sendo z = 2

2

+ i 2

2

, calcular o valor de 1 + z + z2 +

z3 + … + z15.

91) (Mack-1996) Na figura a seguir, P e Q são,

respectivamente, os afixos de dois complexos z1 e z2. Se a

distância OQ é 22 , então é correto afirmar que:

a) z2 = 3z1.

b) z2 = 2z1.

c) z2 = z13.

d) z2 = z12.

e) z2 = 3z13.

92) (ITA-1995) Seja z um número complexo satisfazendo

Re(z) > 0 e (z + i)2+|z' + i|

2 = 6, onde z' é o conjugado de z.

Se n é o menor natural para o qual zn é um imaginário puro,

então n é igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

93) (FEI-1995) O módulo do número complexo (1 + i)

-3 é:

a) 2 b) 1

c) -3

d) 4

2

e) 0

94) (UFC-1999) Considere o número complexo z = (1+i).(

3 i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro

positivo n, tal que zn seja um número real positivo.

a) 6.

b) 12.

c) 18.

d) 24.

e) 30.

95) (UFMG-2003) Sejam n um número inteiro positivo e z

um número complexo tal que |z| = 1 e 1 + z2n

0.

CALCULE a parte imaginária de 2n

n

z1

z

.

96) (AFA-1999) A representação trigonométrica do

conjugado do número complexo z = (1 + 3 i)5, sendo i a

unidade imaginária e k Z, é

a) 32cos(/3 + 2k) - 32i.sen(/3 + 2k).

b) 32cos(5/4 + 10k) - 32i.sen(5/4 + 10k).

c) 32cos(5/6 + 10k) - 32i.sen(5/6 + 10k).

d) 32cos(5/3 + 10k) - 32i.sen(5/3 + 10k).

97) (UECE-2002) O valor de a , no intervalo

2,0

, para o

qual o número complexo x = cosa + i .sena é tal que

i23

21x2

, satisfaz:

a) 3

< a < 2

b) 6

< a < 3

c) 6

< a < 4

d) 10

< a < 5

98) (Fuvest-1994) a) Se z1=cos1+isen1 e z2=cos2+isen2,

mostre que o produto z1z2 é igual a cos (1+2)+isen(1+2).

b) Mostre que o número complexo z=cos48°+isen48° é raiz

da equação z10

+z5+1=0.

99) (Fuvest-1996) Dado o número complexo z = 3 +i qual

é o menor valor do inteiro n 1 para o qual zn é um número

real?

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

100) (VUNESP-2010) As soluções da equação z

3 = i, onde z

é um número complexo e i2 = -1, são:

a) iz2

1

2

2 ou z = -i.

b) iz2

1

2

3 ou z = -i.

c) iz2

1

2

3 ou z = -i.

d) iz2

1

2

2 ou z = -i.

e) iz2

3

2

1 ou z = -i.

101) (Vunesp-1990) O diagrama que melhor representa as

raízes cúbicas de -i é:

a)

b)

c)

d)

e)

102) (Mack-1998) Se 3 + 4i é raiz cúbica de um complexo

z, então o produto das outras raízes cúbicas de z é:

a) 24 + 7i

b) -24 - 7i

c) - 7 - 24i

d) - 7 + 24i

e) 7 - 24i

103) (ITA-1998) Considere, no plano complexo, um

polígono regular cujos vértices são as soluções da equação

z6 = 1. A área deste polígono, em unidades de área, é igual

a:

a) 3 b) 5

c)

d) 2

33

e) 2

104) (UFPE-1996) As soluções complexas da equação z

6 = 1

são vértices de um polígono regular no plano complexo.

Calcule o perímetro deste polígono.

105) (Mack-1997) As representações gráficas dos

complexos z tais que z3 = 8 são os vértices de um

triângulo:

a) inscrito numa circunferência de raio 1.

b) que tem somente dois lados iguais.

c) eqüilátero de lado 2.

d) eqüilátero de altura 2 3 .

e) de área 3 3 .

106) (UFC-2003) A área do polígono cujos vértices são as

representações geométricas das raízes do polinômio

p(x) = x6 - 1 é:

a) 2

33

b) 3

32

c) 2

23

d) 3

22

e) 4

33

107) (Fuvest-2001) No plano complexo, cada ponto

representa um número complexo. Nesse plano, considere o

hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade

imaginária, como um de seus vértices.

a) Determine os vértices do hexágono.

b) Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6,

cujas raízes sejam os vértices do hexágono.

108) (ITA-2002) Seja a equação em C z

4 – z

2 + 1 = 0. Qual

dentre as alternativas abaixo é igual à soma de

duas das raízes dessa equação?

a) 2 3

b) – 2

3

c) 2

3

d) – i

e) 2i

109) (Unicamp-1998) a) Qual é o valor de na equação z3

– 5z2 + 8z – = 0 de modo que z = 3 seja uma raiz dessa

equação?

b) Para esse valor de , ache as três raízes z1, z2, z3 dessa

equação.

c) Ache o volume do sólido obtido quando a região

triangular cujos vértices são os pontos z1, z2, z3 gira em

torno da reta de equação x = 1.

Gabarito

1) Alternativa: B

2) Alternativa: D

3) Alternativa: E

4) Resposta: 3cm

5) -2i e -2

6) Alternativa: B

7) Alternativa: D

8) Alternativa: A

9) Alternativa: E

10) 21h.

Resolução: z = i , w = ( i )2 = -

2. Como < 1, então

2

< de forma que o módulo de w é menor que o módulo de

z, ou seja, w representa a extremidade do ponteiro das horas

e z representa a extremidade do ponteiro dos minutos.

Sendo jantar, entendemos que o horário é 21h (a mesma

posição dos ponteiros também representaria 9h, que não

condiz com jantar)

11) a) 0 ou .

b) cos i.sen

12) a) (1+i)

9 = 16+16i = (16, 16)

b) d = 16 2

13) a) z w = -7 + i e |w - z| = 5

b) b = 7.

14) Alternativa: E

15) Alternativa: E

16) Alternativa: B

17) (x-2)

2 + y

2 = 0

18) Alternativa: A

19) u = -5 2 e v = 5 2

20) 12 + 16i

21) Alternativa: B

22) Alternativa: D

23) Alternativa: A

24) Alternativa: C

25) Alternativa: B

26) b = 3

1

- i

3

8

27) Alternativa: C

28) Alternativa: A

29) Alternativa: E

30) Alternativa: A

31) Alternativa: A

32) Alternativa: A

OBS: b) é falsa pois a parte imaginária de z é 1 e não i.

33) Alternativa: B

34) Alternativa: B

35) a) O lugar geométrico pedido é uma circunferência de

centro (–2; 5) e raio 2.

b) Os números são ii2

1

2

35;

2

1

2

35

36) Alternativa: E

37) Alternativa: D

38) a) existem duas opções para (x - a)2 + y

2 = r

2: o ponto

de coordenadas (a; 0) se r = 0 ou a circunferência de centro

(a; 0) e raio |r|, se r 0.

b) x2 + y

2 = R

2 |z| = R

2 z. z = R

2, onde z = x + iy.

39) Alternativa: A

40) Alternativa: C

(a área pedida é metade de uma coroa circular de raios 1 e

2....)

41) Alternativa: C

42) a) - 3 +i e -2i

b) 2 3 43) Alternativa: B

44) Alternativa: C

45) Alternativa: C

46) Alternativa: C

47) Alternativa: A

48) Alternativa: A

49) Alternativa: F

50) Alternativa: D

51) Se / = i então = i. Substituindo, temos que - =

i - = (i-1) = i.

Então = i/(i-1) = (1-i)/2 e = i = (1+i)/2 e + = 1.

52) Alternativa: E

53) Alternativa: A

54) Alternativa: D

55) Alternativa: A

56) Alternativa: C

57) Alternativa: C

58) Alternativa: D

59) Alternativa: D

60) Soma = 0

61) Alternativa: C

62) Alternativa: D

63) Alternativa: E

64) a) 2i e -4 + 6i

b) |z| = 2 ,|w| = 2 e a seqüência é (1, 2 , 2, 2 2 , 4),

que é uma progressão geométrica de razão 2 .

65) a) 4

3

e 2

1

b)

66) Alternativa: C

67) a) (2x - 2) + (x + 4)i

b) x 6

68) a) i

5

3

5

4

b) São os complexos de módulo 1, exceto z = i, ou seja, os

complexos da forma z = a + bi, com a2+b

2 = 1 (seus afixos

pertencem à circunferência de centro na origem e raio 1).

69) Alternativa: A

70) Alternativa: D

71) Alternativa: A

72) Alternativa: E

73) a) S1 = {z C | z=x+yi e x2+y

2 = 4, x, y R } e S2 =

{z C | z = ou z = i, R }

b) S = { -2, 2, -2i, 2i }

OBS: Note que S1 é uma circunferência de raio 2 centrada

na origem (complexos com módulo 2) e S2 são os eixos

coordenados (abscissa e ordenada)

74) a) Se z = x+iy, então z+2i = x+i(y+2) e z-2 = (x-2)+iy.

Então, dividindo 2z2iz

encontramos

22 y2)(x

xy2)2)(y(xi2)y(y2)x(x

e assim a parte

real é 22 y2)(x

2)y(y2)x(x

. Fazendo 22 y2)(x

2)y(y2)x(x

= 21

de onde se chega em x2+(y+2)

2 = 8 para x2 e y0. Note

que x2+(y+2)

2 = 8 seria a equação da circunferência de

centro (0,-2) e raio 2 2 se não tivéssemos x2 e y0.

Assim, acrescentando-se o ponto (2,0) temos a

circunferência.

b) y = x+2

75) Alternativa: A

76) a) (x-y) + (x+y)i

b) x = 1 e y = -1

77) Alternativa: D

78) Alternativa: A

79) a) 0, i, i21

2

3 , i

21

2

3

b)

80) a) Sendo z = x + yi e w = 2z – i + z tem-se: w = 2(x +

yi) - i + (x – yi) = 3x + (y – 1)i

Então: Re(w) = 3x e Im(w) = (y - 1)i

b) 2z – i + z = 0 Û 3x + (y – 1)i 3x = 0 e y – 1 = 0 x

= 0 e y = 1. Então: z =0 + 1i = i

81) a) S = { 1, –1, i, – i }

b) 1 – 2i

82) Alternativa: C

83) a) Z = 2+3i ou Z = 2-3i

b) { 1, 2, 1+2i, 1-2i }

84) Alternativa: B

85) Resposta: -72 +72 3 i

86) a) Re( -1

) = 21 e Im(

-1) =

2

3 ;

Re(3) = 1 e Im(

3) = 0

b)

c) 1; i2

3

21 ; i

2

3

21

87) Alternativa: D

88)

a) z = 2

44cos

isen

e z3 = 2 2

4

3

4

3cos

isen

b) x

3 - 4x

2 + 6x - 4

89) Alternativa: E

90) a) 4096

b) 0

91) Alternativa: C

92) Alternativa: B

93) Alternativa: D

94) Alternativa: D

95) A parte imaginária é zero.

96) Alternativa: D

97) Alternativa: D

98) a) z1.z2 = (cos1+isen1) (cos2+isen2) = cos1.cos2 +

isen1.cos2 + isen2.cos1 -sen1.sen2 = cos(1+2) +

isen(1+2)

b) se z= cos48o+isen48

o então z

10 = cos480

o+isen480

o =

cos120o+isen120

o = - cos60

o+isen60

o

z5 = cos240

o+isen240

o = - cos60

o-isen60

o

daí, z10

+z5+1 = - cos60

o+isen60

o- cos60

o-isen60

o + 1 = - 2

1

- 21

+1 = 0. Como z verificou a equação, então ele é raiz.

99) Alternativa: C

100) Alternativa: C

101) Alternativa: B

102) Alternativa: D

103) Alternativa: D

104) Perímetro = 6

105) Alternativa: E

106) Alternativa: A

As raízes do polinômio p(x) = x6 - 1 são as raízes sextas da

unidade. As raízes sextas da unidade são números

complexos cujo módulo é igual a 1 e, portanto, suas

representações geométricas são pontos eqüidistantes sobre a

circunferência de raio 1 e centro na origem. Como 1 é uma

destas raízes, a representação geométrica destas raízes

coincide com os vértices do hexágono regular (veja figura

abaixo) inscrito na circunferência de raio 1 e centro na

origem. A área de um hexágono regular inscrito em uma

circunferência de raio r é 6. 4

3r 2

. Como neste caso r =1, a

área deste hexágono é 2

33 .

107) a) (0,1), (0,-1), ( 3 /2, 1/2), (- 3 /2, 1/2), ( 3 /2, -

1/2), (- 3 /2, -1/2)

b) qualquer k(x6+1) serve portanto os coeficientes são do

tipo k,0,0,0,0,0,k com k0.

108) Alternativa: E

109) a) = 6

b) z1 = 3, z2 = 1 + i, z3 = 1 – i

c) V = 3

8