MATEMÁTICA

E. E. DONA ANTÔNIA VALADARES

Introdução ao conceito de funções

Prof.: Alexsandro de Sousa

A ideia de função no cotidianoRelação entre duas grandezas

Quantidade de pães de queijo Preço (R$)

1 1,50

2 3,00

3 4,50

4 6,00

5 7,50

...

n 1,50n

FER

NA

ND

O F

AV

OR

ETTO

/CID

Noção intuitiva de funçõesQuando existe uma função? Quando uma grandeza variável depende de outra.

O que é a função? A “regra” que associa essas duas grandezas.

Exemplo:

O perímetro (P) do quadrado é função da medida do seu lado (l ).

l é a medida do lado

Perímetro: P = l + l + l + l

Perímetro: P = 4l

DEPENDE DEP l

Lei e variáveis da função

P = 4 l

LEI DA FUNÇÃO

VARIÁVEL DEPENDENTEVARIÁVEL INDEPENDENTE

O perímetro (P ) é FUNÇÃO da medida ( l ) do lado.

Por que dependente e independente?

l = 1 cm

P = 4 cm

P = 4 l

l = 1,5 cm

P = 6 cm

l = 2 cm

P = 8 cm

P E R Í M E T R O ( P ) D E P E N D E D A M E D I D A ( l ) D O L A D O .

Definição de função

Dados dois conjuntos, A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como

associar cada elemento x ϵ A a um único elemento y ϵ B.

NOTAÇÃO

f: A BLê-se: f é uma função de A em B.

SIGNIFICADO

A função f transforma um elemento x de A em um elemento y de B.

Representação comum: y = f(x)

Lê-se: y é igual a f de x.

Voltando ao exemplo do perímetro

A contém as

possíveis medidas

para o lado (l) do

quadrado.

B contém, entre

outros, valores do

perímetro (P) do

quadrado.P = 4 l

As variáveis independentes são representadas pela

letra x.

As variáveis dependentes são representadas pela

letra y.

Portanto, a função perímetro pode ser

reescrita como:

y = 4xou

f(x) = 4x

“Entra”

variável INDEPENDENTE

“Sai”

variável DEPENDENTE

l = 1l = 1,5l = 2l = 5l = 9,

etc.

A

P = 4P = 6P = 8

P = 20P = 36,

etc.

B

Domínio – Contradomínio – ImagemO conjunto A, que

contém os valores de x,é chamado de DOMÍNIO (D) da função f.

O conjunto B, que contém os valores

de y, é chamado de CONTRADOMÍNIO

(CD) da função f.

EXEMPLOS:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

LEI DA FUNÇÃO:

y = 2x

O conjunto imagem Im(f) é composto somente pelos valores de CD que foram

obtidos pela lei da função:

2 4 6 8 10

12345

A

123456789

10

B

Domínio e contradomínio igual a IR

D = IR e CD = IR f: IR IR

Exemplo: Seja a função f: IR IR

Definida pela lei: y = x2

IR IR

IR+

Os valores de x ϵ D = IRpodem ser positivos ou negativos.

Mas os valores de y obtidos pela lei da função são todos

POSITIVOS.

CD = IR,mas

somente os positivos

pertencem à imagem (Im).

Portanto:D = IR

CD = IR

Im = IR+

Domínio de uma função realCUIDADO: Nem sempre o domínio D é o conjunto IR.

Quando não está especificado, o domínio de uma função real será o subconjunto mais

amplo de IR para o qual são possíveis as operações indicadas pela lei da função.

O domínio D dessa função será o conjunto IR com exceção do número 3,

pois x = 3 torna nulo o denominador da fração.

Portanto:D(f) = IR – {3}

ou

D(f) = {x ϵ IR | x ≠ 3}

1( )

3f x

x

EXEMPLO:

Domínio de uma função real

O domínio D será o conjunto IR com exceção dos valores de x menores que 3,

pois em IR não existe raiz quadrada de número negativo.

Portanto:D(f) = {x ϵ IR | x ≥ 3}

( ) 3f x x

EXEMPLO:

Domínio de uma função real

REGRAS GERAIS PARA DETERMINAR O DOMÍNIO:

- A expressão do denominador deve ser DIFERENTE DE ZERO:

DENOMINADOR ≠ 0

- O radicando de uma raiz de índice n (com n par) deve ser MAIOR OU IGUAL A ZERO:

RADICANDO 0

1+3x=f(x)a)

Solução:

Como esta função não apresenta nenhuma restrição para os

valores de x, temos R)f(D

R)f(D

Solução:

Como esta função não apresenta nenhuma restrição para os

valores de x, temos

3

1+2x²=f(x)b)

Domínio de uma função real

Domínio de uma função real

R)f(D

3x

6x2

06x2

}3x|Rx{)f(Dou}3{R)f(D

5+x=f(x) 3a)

6-2x

3-2x=f(x)b)

1x

)1(.1x

0x1

}1x|Rx{)f(D

3x

18x6

)1x(18x6

0x618

}3x|Rx{)f(D

6x-18=f(x)c)

x1

3x=f(x)

d)

Domínio de uma função real

0)x(v)x(v

)x(u)x(f

4x

6x3)x(f

2

Determine o DOMÍNIO da função

par. é n onde0)x(u)x(u)x(f n

6 x24)x(f Determine o DOMÍNIO da função

par. é n onde

0)x(v)x(v

)x(u)x(f

n

10x2

1x)x(f

Determine o DOMÍNIO da função

Como saber se o gráfico é de uma função?

Condição para ser função: Para cada valor x ϵ D, existe um ÚNICO valor y ϵ CD.

CONSEQUÊNCIAS:

É FUNÇÃO, POIS para cada valor de x...

... u

m ú

nic

o v

alo

r y

NÃO É FUNÇÃO, POIS para este valor de x...

... e

xist

em D

OIS

va

lore

s d

e y

É GRÁFICO DE FUNÇÃO quando qualquer reta perpendicular ao eixo x intersecta o gráfico em um único ponto.NÃO É GRÁFICO DE FUNÇÃO quando existe pelo menos uma reta perpendicular ao eixo x que intersecta o gráfico em mais de um ponto.

Reconhecendo gráficos que representam funções

Estes gráficos representam uma função?

2 Gráfico de uma função

Reconhecendo gráficos que representam funções

Estes gráficos representam uma função?

2 Gráfico de uma função

Domínio e imagem no gráficoO conjunto domínio e o conjunto imagem podem

ser obtidos pela projeção do gráfico nos eixos.

Domínio: D(f) = {x ϵ IR| 2 ≤ x ≤ 4} = [2, 4]

Imagem: Im(f) = {y ϵ IR| 1 ≤ y ≤ 5} = [1, 5]

Função crescente

Quanto MAIOR o valor de x, MAIOR o valor de y.

Exemplo: y = 2x + 1

x = -2 y = -3

x = -1 y = -1

x = 1 y = 3

x = 2 y = 5

x: cresce y: cresce

Função decrescente

Quanto MAIOR o valor de x, menor o valor de y.

Exemplo: y = -2x + 4

x = 1 y = 2

x = 2 y = 0

x = 3 y = -2

x = 4 y = -4

x: cresce y: decresce

Construção de Gráficos

Para construir o gráfico de uma função dada no plano cartesiano devemos:

• Construir uma tabela com valores.• A cada par ordenado associar um ponto do

plano cartesiano.• Esboçar o gráfico.

Construção de Gráficos

2 Gráfico de uma função

Valor máximo e valor mínimo

x

Valor máximo e valor mínimo

x

Positiva para x > −2

Negativa para x < −2

Nula para x = −2

Estudo do sinal da função

Estudo do sinal

Análise gráfica

Função épositiva: f(x) > 0

ouy > 0

Função é negativa:

f(x) < 0 ou

y < 0

DECRESCENTE

DECRESCENTE

CRESCENTE

CONSTANTE

MÁXIMO

MÍNIMO

ZEROS DA FUNÇÃO