MATEMÁTICA FINANCEIRA - Apostila FGV

8/6/2019 MATEMTICA FINANCEIRA - Apostila FGV

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FGV Management

Gesto Empresarial

Matemtica Financeira

Prof. Carlos Alexandre S

[email protected]

Realizao FundaoGetulio VargasFGV Management


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Todos os direitos reservados Fundao Getulio Vargas

S, Carlos AlexandreMatemtica Financeira 1a Rio de Janeiro: FGV

Management Cursos de Educao Continuada.54p.

Bibliografia

1. Matemtica Financeira 2. Administrao I. Ttulo

Coordenao Executiva do FGV Management: Prof. Ricardo Spinelli de Carvalho

Coordenador Geral da Central de Qualidade: Prof. Carlos LongoCoordenadores de rea: Profa. Sylvia Constant Vergara.

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Sumrio

MATEMTICA FINANCEIRA ......................................................................................................... ........ .1

1. PROGRAMA DA DISCIPLINA ...............................................................................................................3

1.1 EMENTA......................................................................................................................................................31.2 CARGAHORRIATOTAL.................................................................................................................................31.3 OBJETIVOS...................................................................................................................................................31.4 CONTEDOPROGRAMTICO............................................................................................................................31.5 METODOLOGIA.............................................................................................................................................41.6 CRITRIOSDEAVALIAO..............................................................................................................................41.7 BIBLIOGRAFIARECOMENDADA.........................................................................................................................4CURRICULUMRESUMIDODOPROFESSOR..................................................................................................................4

2. PRINCIPAIS CONCEITOS ......................................................................................................................6

EXERCCIOS.......................................................................................................................................................8

3. JUROS SIMPLES ............................................................................................................................ ........ .9

3.1 FRMULAS GENRICAS..................................................................................................................................93.2 TAXAS PROPORCIONAIS................................................................................................................................103.3 FRMULAS DERIVADAS................................................................................................................................113.4 DESCONTODE TTULOSE DUPLICATAS........................................................................................................... 11

3.5 USANDOA CALCULADORA FINANCEIRA...........................................................................................................13EXERCCIOS: ....................................................................................................................................................15

4. JUROS COMPOSTOS ............................................................................................................................17

4.1 FRMULAS GENRICAS................................................................................................................................174.2 TAXAS EQUIVALENTES.................................................................................................................................184.3 FRMULAS DERIVADAS................................................................................................................................194.4 USANDOA CALCULADORA FINANCEIRA...........................................................................................................204.5 JUROS SIMPLESVS. JUROS COMPOSTOS..........................................................................................................21EXERCCIOS: ....................................................................................................................................................22

5. FLUXO DE CAIXA .................................................................................................................................24


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5.1 VALORATUALDEUM FLUXODE CAIXA.........................................................................................................245.2 A TAXA INTERNADE RETORNO.....................................................................................................................255.3 SRIES UNIFORMES.................................................................................................................................... 27....................................................................................................................................................................28....................................................................................................................................................................28

5.4 EQUIVALNCIADE FLUXOSDE CAIXA.............................................................................................................295.5 USANDOA CALCULADORA FINANCEIRA...........................................................................................................30.....................................................................................................................................................................32EXERCCIOS.....................................................................................................................................................33

6. SISTEMAS DE AMORTIZAO .................................................................................................... ....35

6.1 O SISTEMA PRICE.......................................................................................................................................35....................................................................................................................................................................36....................................................................................................................................................................37

6.2 SAC SISTEMADE AMORTIZAES CONSTANTES...........................................................................................37....................................................................................................................................................................39

6.3 CASOS PARTICULARES................................................................................................................................. 39....................................................................................................................................................................40....................................................................................................................................................................42....................................................................................................................................................................42

EXERCCIOS.....................................................................................................................................................42

7. SOLUO DOS EXERCCIOS .............................................................................................................44

CAPTULO 2 .....................................................................................................................................................44CAPTULO 3 .....................................................................................................................................................44CAPTULO 4 .....................................................................................................................................................47

....................................................................................................................................................................47....................................................................................................................................................................49

....................................................................................................................................................................50

....................................................................................................................................................................51CAPTULO 5 .....................................................................................................................................................51....................................................................................................................................................................51


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1. Programa da disciplina

1.1 Ementa

Juros Simples. Conceito de juros simples. Desconto de Ttulos e Duplicatas. Valor de face evalor de mercado. Juros compostos. Conceito de juros compostos. Valor do dinheiro notempo. Valor presente e valor futuro. Valor presente lquido e taxa interna de retorno. Taxade desconto. Valor e custo. Problemas da TIR. Equivalncia de taxas de juros. Perodos decapitalizao. Taxas anuais, mensais e dirias. Equivalncia de fluxas de caixa.Perpetuidades e anuidades. Sistemas de amortizao. Tabela price e SAC.

1.2 Carga horria total

24 horas aula

1.3 Objetivos

Expor os fundamentos da matemtica financeira. Estudar as principais caractersticas dossistemas de juros simples e dos juros compostos e suas principais aplicaes prticas. Focaras aplicaes do sistema de juros compostos nos fluxos de caixa e dos fluxos de caixa nossistemas de amortizao. Introduzir o aluno na utilizao da calculadora financeira HP-12C.Dar ao aluno base para cursos mais avanados.

1.4 Contedo programtico

Principais ConceitosJuros Simples

Frmulas GenricasTaxas Proporcionais

Frmulas DerivadasDesconto de Ttulos e Duplicatas

Juros CompostosFrmulas Genricas

Taxas EquivalentesFrmulas Derivadas


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Juros Simples vs. Juros CompostosFluxo de Caixa

Valor Atual de um Fluxo de CaixaA Taxa Interna de Retorno

Sries UniformesEquivalncia de Fluxos de CaixaSistemas de Amortizao

O Sistema PriceSAC Sistema de Amortizaes Constantes

1.5 Metodologia

Aps um captulo introdutrio onde so expostos os principais conceitos que sero

desenvolvidos ao longo do curso, o programa se divide em quatro tpicos que se interligamem ordem crescente de complexidade, cada um servindo de base ao que ser exposto nocaptulo seguinte.Sempre que possvel, exposto como os problemas concernentes ao assunto abordado resolvido analiticamente e como a calculadora pode ser utilizada para resolver o mesmo

problema. Quando a soluo analtica muito complexa e envolve problemas complicadosde potenciao, logaritmos ou interpolaes, o aluno poupado e o programa expe apenas asoluo por meio da calculadora.Ao longo da exposio, so resolvidos exemplos para fixar os conceitos expostos. Ao finalde cada captulo so enunciados alguns exerccios cujas solues encontram-se no final daapostila.

1.6 Critrios de avaliao

Ao final do curso, os alunos sero avaliados por meio de prova individual, sem consulta.Nesta prova, algumas questes podem exigir a soluo analtica; em outras, ser permitido ouso da calculadora. Somente sero abordados assuntos contidos na apostila.

1.7 Bibliografia recomendada

PUCCINI, Abelardo Matemtica Financeira - Editora Saraiva

Curriculum resumido do professor

Carlos Alexandre S, Formado em Engenharia Civil pela PUC-RJ, Curso de Administraode Empresas pela UFERJ, Curso de administrao industrial pela Universidade da Holanda,Diretor Superintendente da Metalfab Industria e Comercio, Diretor Superintendente daRefinaria de Sal Ita (Grupo Noralage), Diretor Financeiro da STL-Sistemas de Transportes

Ltda. (Grupo Bozano Simonsen), Diretor Financeiro da Hiborn do Brasil (produtos Lillo),Diretor Financeiro da Montana Participaes Ltda. (subsidiria da Western Energy Co.),


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Professor do Instituto Brasileiro de Executivos Financeiros, Professor do IBMEC - InstitutoBrasileiro de Empresas do Mercado de Capitais, Scio da Cash Flow SolutionsConsultoria., Professor convidado da Fundao Getlio Vargas.


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2. Principais Conceitos

Suponhamos que duas empresas, a empresa A e a empresa B, tenham a receber R$100 cada. A empresa A deve receber seus R$ 100 em 30 dias e a empresa B, em 360dias. Ser que os R$ 100 da empresa A valem o mesmo que os R$ 100 da empresa B?

Claro que no! Os R$ 100 da empresa A valem mais do que os R$ 100 da empresa B.Isto porque o valor do dinheiro varia no tempo. o chamado valor temporal do dinheiro.A matemtica financeira a cincia que estuda o valor do dinheiro no tempo.

Figura 1 - O valor temporal do dinheiro

Em matemtica financeira, os seguintes termos possuem os seguintes significados:

Principal, Capital Inicial ou Valor Presente

Chamamos de principal, capital inicial ou valor presente quantia tomada emprestada ou

investida e sobre a qual incidiro juros.Juros

Chamamos de juros remunerao recebida por quem aplicou ou paga por quem tomoudinheiro emprestado. Os juros so, portanto, sempre expressos em unidades monetrias.Se, por exemplo, uma pessoa aplicou R$ 100 em um papel de renda fixa e, ao final de umcerto tempo, resgatou este investimento por R$ 110, os juros recebidos foram R$ 10.

Montante, Valor de Resgate ou Valor Futuro

Chamamos de montante soma do principal mais juros. No exemplo acima, o montanterecebido pelo aplicador foi R$ 110, ou seja, a soma do principal de R$ 100 com os juros deR$ 10.


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R$ 100 R$ 100

30 dias

360 dias


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Taxa de Juros

Chamamos de taxa de juros relao entre os juros recebidos ou pagos em umdeterminado perodo de tempo e o principal q eu deu origem a estes juros. Assim, se uminvestidor aplicou R$ 100 em uma aplicao de renda fixa e recebeu juros de R$ 10 aofinal de um ano, a taxa de juros deste investimento foi 10% ao ano. V-se assim que a taxade juros est sempre relacionada a um perodo, seja ele o dia, o ms, o ano, etc. A taxa de

juros pode ser expressa em notao percentual (10% ao ano, por exemplo) ou em notaodecimal (0,10 ao ano, por exemplo). Estas duas expresses so, evidentemente,equivalentes j que 10100 = 0,10.

Os juros podem ser capitalizados no regime de juros simples, no regime de juros contnuosou no regime de juros compostos. No Brasil, apenas os regimes de juros simples e de juroscompostos so usados.

Juros Simples

No regime de juros simples, os juros incidem exclusivamente sobre o principal.Juros Compostos

No regime de juros compostos, ao final de cada perodo de capitalizao, os juros seincorporam ao principal e passam a render juros tambm.

Perodo de Capitalizao

Chamamos de perodo de capitalizao ao tempo que, uma vez decorrido, faz com que osjuros sejam devidos ou incorporados ao principal e passem, por sua vez, a render jurostambm. A taxa de juros sempre relacionada a um determinado perodo de capitalizao.Assim, quando uma taxa anual (10% a.a., por exemplo), o perodo de capitalizao o

ano; quando a taxa mensal (1% a.m., por exemplo), o perodo de capitalizao o ms, eassim por diante. Quando o perodo a que se refere a taxa de juros diferente do perodode capitalizao, isto deve ser mencionado, tal como na expresso taxa de 10% ao ano,capitalizados mensalmente, e assim por diante.

Taxa Efetiva

Chamamos de taxa efetiva quela cujo perodo de capitalizao igual unidade de tempona qual est expresso o perodo da operao. So exemplos de taxas efetivas 12% ao anocapitalizados anualmente, 3% ao ms capitalizados mensalmente, e assim por diante.

Taxa Nominal

Chamamos de taxa nominal quela expressa em uma unidade de tempo diferente daunidade de tempo dos perodos de capitalizao. As taxas nominais so geralmentefornecidas em termos anuais. So exemplos de taxas efetivas 12% ao ano capitalizadosmensalmente, 2% ao ms capitalizados diariamente, e assim por diante.

Taxas Proporcionais

Duas ou mais taxas de juros so ditas proporcionais quando ao serem aplicadas a ummesmo principal durante um mesmo prazo de tempo no regime de juros simples,

produzem um mesmo montante. V-se, portanto, que o conceito de taxas proporcionaisest estreitamente ligado ao regime de juros simples. So exemplos de taxas proporcionais:1% ao ms e 12% ao ano.


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Taxas Equivalentes

Duas ou mais taxas de juros so ditas equivalentes quando ao serem aplicadas a ummesmo principal durante um mesmo prazo de tempo no regime de juros compostos,

produzem um mesmo montante. V-se, portanto, que o conceito de taxas equivalentes estestreitamente ligado ao regime de juros compostos. So exemplos de taxas equivalentes:1% ao ms e 12% ao ano.

Exerccios

1. Qual a diferena entre principal e montante ?

2. Qual a diferena entre juros e taxa de juros ?

3. Qual a diferena entre taxa efetiva e taxa nominal ?

4. Qual a diferena entre regime de juros simples e regime de juros compostos ?

5. Qual a diferena entre perodo de capitalizao e prazo da operao?

6. Qual a diferena entre taxa proporcional e taxa equivalente ?


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3. Juros Simples

3.1 Frmulas Genricas

A expresso mais elementar de toda a matemtica financeira; aquela que deu origem a todasas outras expresses, a frmula dos juros simples. Como foi dito no captulo anterior, noregime de juros simples, os juros incidem exclusivamente sobre o principal. A formula dos

juros simples :

J = P x i x n

Onde:

J = juros

P = principal

i = taxa de juros expressa na mesma unidade de tempo do perodon = perodo

Como corolrio desta expresso, temos a frmula do montante. Como o montante asoma do principal com os juros, temos que:

M = P + P x i x n

Colocando P em evidncia, temos:

M = P x [1 + (i x n)]

Exemplos

1. Quanto renderia de juros R$ 100 aplicados durante 12 meses, a 1% ao ms no regimede juros simples?

Resposta:

J = ?

P = R$ 100

i = 1% ou 0,01 ao ms

n = 12

J = P x i x n = 100 x 0,01 x 12 = R$ 12


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2. Quanto receberia um investidor que houvesse aplicado R$ 200 durante 2 anos, a 20%ao ano no regime de juros simples?

Resposta:M = ?

P = R$ 200

i = 20% ou 0,20 ao ano

n = 2 anos

M = P x [1 + (i x n)] = 200 x [1 + (0,2 x 2)] = R$ 280

3.2 Taxas ProporcionaisNo apenas as frmulas acima, mas todas as frmulas em matemtica financeira pressupemtaxas efetivas de juros, ou seja, taxas expressas em uma unidade de tempo igual ao perodode capitalizao. Assim, se o perodo de capitalizao for o ms, a taxa dever ser expressaem X% ao ms, se a capitalizao for trimestral, a taxa dever ser expressa em X% aotrimestre, e assim por diante. Acontece que no isto que ocorre na prtica. Na prtica,freqentemente, a taxa de juros expressa em uma unidade de tempo (geralmente o ms ouo ano) e o perodo n, em outro. Assim temos que converter a taxa nominal dada, em umataxa proporcional, ou seja, uma taxa de juros referida unidade de tempo do perodo n ,mas que produza o mesmo efeito da taxa efetiva dada.

ExemploQual seria o montante devido por uma empresa que houvesse tomado emprestado R$100.000 por dois meses, para liquidao de principal e juros no final da operao, a umataxa de juros de 24% ao ano no regime de juros simples?

Resposta

V-se no enunciado acima que o perodo n dois meses e a taxa de juros est referidaao ano. Ento, antes de aplicarmos a frmula do montante, temos que calcular a taxa de

juros para dois meses que seja proporcional a 24% ao ano. Isto feito pela frmula:

bimestrepor4%ou0,0412x100

2x24

i p == esta a taxa de juros que vai entrar na frmula do montante. Assim temos que:

M = ?

P = R$ 100.000

i = 0,04 por bimestre

n = 1 bimestre

Donde:

M = P x [1 + (n x i)] = 100.000 x [1 + (1 x 0,04)] = R$ 104.000


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Na prtica, as taxas nominais de juros so, quase sempre, referidas ao ms ou ao ano, e operodo n, em dias. Nestes casos, para calcular os juros no regime de juros simples,usamos as frmulas abaixo que j convertem as taxas efetivas em taxas proporcionais:

3.000

nxixPJ= (no caso de taxas mensais expressas na notao percentual) ou

36.000

nxixPJ= (no caso de taxas anuais expressas na notao percentual)

3.3 Frmulas Derivadas

A partir da frmula dos juros simples, podemos deduzir as seguintes frmulas derivadas:

PrincipalO principal pode ser expresso por duas frmulas

nxi

JP= ou

( )nxi1

MP

+=

Taxa de Juros

A taxa de juros pode ser expressa por duas frmulas

P

nxJi = ounxP

P-Mi =

Perodo

O perodo de aplicao pode ser expresso por duas frmulas

ixP

Jn = ou

ixP

P-Mn =

3.4 Desconto de Ttulos e DuplicatasAtualmente no Brasil o regime de juros simples utilizado principalmente em trs situaes:

Desconto de ttulos e duplicatas,

Operaes em moeda estrangeira

Juros de mora.

O desconto uma modalidade de emprstimo de curto prazo para capital de giro, concedidoatravs de adiantamento, mediante a cobrana de uma taxa de desconto, feito sobre ttulos ounotas promissrias de crdito com recebimento futuro. Os juros so cobradosantecipadamente, na data de liberao dos recursos, com base na taxa de juros (tambmchamada de taxa de desconto) e no prazo a decorrer de cada ttulo.


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No caso da Duplicata, o emitente do ttulo, ao negocia-lo obrigado a endoss-lotransferindo para a instituio financeira seus direitos creditcios. Apesar desta transfernciade direitos creditcios, a empresa emitente continua responsvel pela liquidez do ttulonegociado de tal forma que no pagando o sacado, a instituio financeira poder debitar seu

valor na conta corrente do emitente.O valor que consta no ttulo, e pelo qual ele ser liquidado na data de seu vencimento, chamado de valor de face do ttulo. J o valor pelo qual o ttulo foi negociado denominadovalor de mercado. V-se, portanto, que o valor de mercado igual ao valor de face menos os

juros calculados com base na taxa de desconto.

Exemplos:

1. No dia 7/3/00 uma empresa descontou uma duplicata de R$ 5.000,00 de valor de face,com vencimento para o dia 03/04/00, a uma taxa de desconto de 3% ao ms. Calcular ovalor lquido recebido pela empresa, sem levar em considerao o desconto referenteao IOF1.

Resposta:

Donde:

Lquido Recebido = R$ 5.000 R$ 135 = R$ 4.865

2. No dia 09/10/00, uma empresa descontou com o Banco Beta uma Nota Promissria deR$ 50.000, com vencimento em 16/10/00, a uma taxa de desconto de 2% a.m. Qual foi ojuro pago pela empresa e qual o lquido recebido, sem levar em considerao o IOF?

Resposta:

P = 50.000

i = 3% ou 0.03 ao ms

T = 7 dias

Lquido Recebido = R$ 50.000 R$ 350 = R$ 49.650

3. Uma empresa comprou com um de seus fornecedores matrias primas no valor de R$25.000. O contrato de fornecimento previa juros de mora de 2% ao ms em caso deatraso de pagamento. Qual a taxa de permanncia diria (ou seja, quais os jurosdirios) prevista no contrato?

1 Toda operao de crdito feita com uma instituio financeira, com exceo das operaes em moedaestrangeira, est sujeita ao desconto na fonte, referente ao IOF, uma alquota de 0,0041% ao dia, incidentesobre o principal da operao.


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135,003.000

27x3x5.000

3.000

diasdeNxDescontodeTaxaxTtulodoValorJuros ===

3503.000

7x3x50.000

3.000

diasdeNxDescontodeTaxaxTtulodoValorJuros ===


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Resposta:

P = 25.000

i = 2% ou 0,02 ao ms

t = 1 dia

16.67R$3.000

1x2x25.000

3.000

txixPaPermanncideTaxa ===

Veja bem que a taxa de desconto diferente da taxa efetiva. Suponhamos que umttulo com valor de face de R$ 100 e vencimento para 30 dias fosse negociado auma taxa de desconto de 4% a.m. O valor recebido seria, portanto, R$ 96. A taxaefetiva ms desta operao seria [(100 96) 1] x 100 = 4,17% a.m., portantoligeiramente superior taxa de desconto Isto porque, nas operaes de desconto,os juros so cobrados antecipadamente (ou na cabea como se diz no jargo demercado) e no no final do perodo de capitalizao (veja exerccio n. 6).

3.5 Usando a Calculadora Financeira

3.5.1 Solucionando Problemas de Juros Simples

Na calculadora HP12C, as seguintes teclas possuem os seguintes significados:

n = perodo

i = taxa de juros

PV = principal , capital inicial ou valor presente

FV = montante, valor de resgate ou valor futuro2

Alm disto, importante saber que a calculadora HP12C trata os problemas financeiroscomo um fluxo de caixa. Assim, se o valor presente uma sada (como no caso de umaaplicao), o valor futuro uma entrada (representada pelo resgate da aplicao) e se o valor

presente uma entrada (como no caso de um emprstimo), o valor futuro uma sada

(representada pelo pagamento do emprstimo). O grfico abaixo ilustra o problema:

2As notaes PV e FV vm do ingls Present Value e Future Value.


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PV

FV

n


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Esta explicao importante para entender porque, na HP12C, quando o PV positivo o FV negativo, e vice-versa.

Quando o visor da calculadora HP12C exibe um c, isto significa que ela est no modo dejuros compostos; quando o c no exibido, a calculadora est no modo de juros simples.Para alternar entre o modo de juros simples e juros compostos, pressione sucessivamente asteclas STO e EEX. No entanto, importante notar, que, no modo de juros simples, acalculadora pressupe sempre perodos singulares, ou seja, menores ou iguais a 1. Assim,

para calcularmos a taxa mensal, por exemplo, primeiro calculamos a taxa anual e depoisdividimos por 12; para calcularmos a taxa diria, primeiro calculamos a taxa mensal edepois dividimos por 30, e assim por diante.

Para resolver, com o auxlio da calculadora financeira, problemas envolvendo juros (simplesou compostos), entra-se com trs dados e pressiona-se a tecla do dado procurado; a respostaser exibida no visor.

3.5.2 Calculando o n. de dias entre duas datas

Na prtica, ao se resolver um problema de matemtica financeira, geralmente, a primeiracoisa que se calcula o perodo n expresso em dias. Para achar, com o auxlio de umacalculadora financeira, o nmero de dias entre duas datas, a primeira providncia certificar-se de que a calculadora est ajustada para trabalhar com datas na notao que usamos noBrasil, ou seja, dd/mm/aa. Na calculadora HP12C, isto feito pressionando, em seqncia,as teclas g e 4, de forma a ativar a funo D.MY (do ingls day/month/year). O visor

de cristal lquido exibir ento, na parte inferior, D.MY.Em seguida entra-se com a data mais antiga na forma dd.mmaaaa. Veja bem que, entre odia e o ms, existe uma vrgula. J entre o ms e o ano, no existe qualquer elementoseparador. Aps entrar com a primeira data, pressione Enter. Entre ento com a data maisrecente e pressione, em seqncia as teclas g e EEX. A funo DYS ser, ento,ativada e o nmero de dias entre as duas datas, exibido no visor.

Exemplo

Calcule o nmero de dias que existe entre os dias 1/1/2.000 e 15/10/2.000

Soluo

Pressione as teclas da calculadora HP12C na seguinte seqncia:

Digitando MostraComentrio


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Enter1.012000 1.012000

15.102000 288g EEXEste o n.o de diasentre as duas datas


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3.5.3 Solucionando Problemas de Juros Simples

Para resolver, com o auxlio da calculadora financeira, problemas envolvendo juros simples,certifique-se, antes de tudo, de que a mquina est no modo de juros simples. Depois entrecom trs dados e pressione a tecla do dado procurado; a resposta ser exibida no visor.

Exemplo:

Qual a taxa de juros mensal que transforma, em um ano, um principal de R$ 100 em ummontante de R$ 120?

Resposta

n = 12 meses

i = ?PV = -R$ 100

FV = R$ 120

A seqncia de teclas a ser pressionadas :

Digitando Visor Comentrio

Exerccios:

1. Qual o montante acumulado em 12 meses, a uma taxa de 0,02 ao ms, no regime dejuros simples, a partir de um principal de R$ 10.000?

2. Qual o principal necessrio para se ter um montante de R$ 10.000 em 24 meses a umataxa de 4% ao trimestre?

3. Em quanto tempo um capital dobra a juros simples de 2% ao ms?

4. Um cliente adquiriu de uma empresa mercadorias no valor de R$ 2.500 para

pagamento em 03/02/00. O contrato de fornecimento previa juros de mora de 3% ao


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1,00

-100,00PVCHS

n Perodo singular

Principal

FV 120,00 Montante

i 20,00Taxa de juros anual

g i 1,67 Taxa de juros mensal


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ms em caso de atraso de pagamentos. Quanto o cliente pagaria de encargosmoratrios caso pagasse as mercadorias adquiridas em 21/02/00?

5. Quanto receberia em seis meses um aplicador que houvesse investido R$ 100.000 a12% ao ano no regime de juros simples?

6. Qual a taxa efetiva ms, sem levar em considerao a incidncia do IOF, de uma taxade desconto de 4% ao ms?

7. Qual a taxa efetiva ms de uma taxa de desconto de 4% ao ms, levando emconsiderao a incidncia do IOF de 0,0041% ao dia?

8. Quanto estaria cobrando de taxa mensal de juros de mora um fornecedor quepropusesse uma taxa de permanncia de R$ 2,50 por dia de atraso em uma compra deR$ 2.500?


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4. Juros Compostos

4.1 Frmulas Genricas

Como j vimos no primeiro captulo, no regime de juros compostos, ao final de cada perodode capitalizao, os juros se incorporam ao principal e passam a render juros tambm.Suponhamos que um principal P seja aplicado a uma taxa i, no regime de juroscompostos, ao longo de trs perodos de capitalizao. Ao final do 1o perodo, o montanterecebido seria M = P x (1 + i), j que n, ou seja, o nmero de perodos, seria 1.

No primeiro perodo a taxa de juros incidiu apenas sobre o principal P. J no segundoperodo, como os juros do primeiro perodo se incorporaram ao principal e passaram a renderjuros, o novo principal passou a ser P x (1 + i) e, conseqentemente, o novo montante, [P x(1 + i)] + [P x (1+ i)] x i. Colocando a expresso P x (1 + i) em evidncia, teremos P x (1 + i)x (1 + i), ou seja, P x (1 + i) 2. Repetindo o mesmo raciocnio teremos que o montante noterceiro perodo seria P x (1 + i) 3, e assim sucessivamente. Assim teramos que:

1o Perodo M = P x (1 + i)

2o Perodo M = [P x (1 + i)] + [P x (1+ i)] x i = P x (1 + i) 2

3o Perodo M = [P x (1 + i) 2 ] + [P x (1 + i) 2] x i = P x (1 + i) 3

.....................................................................................................................................................n Perodo M = P x (1+i) n

Caso a taxa de juros estivesse expressa na notao percentual, a frmula acima adquiriria aseguinte forma:

n

+= 100i

1xPM

Exemplo

Quanto resgataria um investidor que tivesse aplicado R$ 100 por 12 meses a uma taxa de1% a.m. a juros compostos?

Resposta.

M = ?

P = R$ 100

i = 0,01 a.m.

n = 12 meses


17


22/59

M = P x (1 + I)n = 100 x (1+0,01)12 = R$ 112,68

Como corolrio da frmula do montante, temos que a frmula para se achar o principal, uma

vez conhecidos o montante, a taxa de juros e o perodo :

( ) ni1

MP

+=

Exemplo

Qual o principal seria necessrio investir em uma aplicao que rendesse 2% a.m.a juroscompostos, para que ao final de 6 meses se pudesse resgatar R$ 250?

Resposta

P = ?M = R$ 250

i = 0,02 a.m.

n = 6 meses

( ) ( )222R $

0,021

250

i1

MP

+=

+=

6n

4.2 Taxas Equivalentes

Tambm no regime de juros compostos as frmulas pressupem taxas efetivas de juros, ouseja, taxas expressas em uma unidade de tempo igual ao perodo de capitalizao. Na prtica,o que acontece quase sempre a taxa de juros ser expressa em meses ou anos e o perodon, em dias. Assim temos que converter a taxa nominal dada, em uma taxa equivalente, ouseja, uma taxa de juros referida unidade de tempo do perodo n , mas que produza omesmo efeito da taxa efetiva dada.

Exemplo

Qual seria o montante devido por uma empresa que houvesse tomado emprestado R$100.000 por dois meses, para liquidao de principal e juros no final da operao, a umataxa de juros de 24% ao ano no regime de juros compostos?

Resposta

V-se no enunciado acima que o perodo n dois meses e a taxa de juros est referidaao ano. Ento, para transformarmos a taxa nominal em uma taxa equivalente, temos queelevar a expresso (1+ i) por um perodo n que represente o resultado da diviso de doismeses por um ano (2 12 = 0,1667), ou seja, o inverso do nmero de vezes que o perodo dedois meses est contido no perodo de um ano. Isto feito pela frmula:

M = P x (1 + i)n = 100.000 x (1 + 0,24)0,1667= R$ 103.650,23


18


23/59

Decompondo a expresso (1 + 0,24) 2 / 12, observamos que esta expresso a forma sintticada expresso [(1 + 0,24) 1 / 12] 2, ou seja, primeiro a expresso foi elevada a 1/12, e, em

seguida, elevada a 2. Na prtica, isto quer dizer que, primeiro encontramos a taxaequivalente ms da taxa nominal de 24% ao ano; em seguida encontramos a taxa

equivalente bimestral.Como j dissemos, na prtica, as taxas nominais de juros so, quase sempre, referidas ao msou ao ano, e o perodo n, em dias. Nestes casos, para calcular as taxas equivalentes,usamos as frmulas abaixo que j convertem as taxas efetivas em taxas equivalentes, e ondeo perodo n expresso em dias:

[(1 + n) n / 30 1] (no caso de taxas mensais expressas na notao decimal) ou

[(1 + n) n / 360 1] (no caso de taxas anuais expressas na notao decimal) ou

[(1 + n) n / 30 1] x 100 (no caso de taxas mensais expressas na notao percentual) ou

[(1 + n) n / 360 1] x 100 (no caso de taxas anuais expressas na notao percentual)

Exemplo

1. Qual a taxa equivalente para 15 dias taxa efetiva de 24% ao ano?

Resposta

[(1 + 0,24)15 / 360 1 ] = 0,009 ou

[(1 + 0,24)15 / 360 1 ] x 100 = 0,9 %

2. Qual a taxa equivalente para 7 dias taxa efetiva de 4% ao ms?

Resposta[(1 + 0,04) 7 / 30 1 ] = 0,0092 ou

[(1 + 0,04) 7 / 30 1 ] x 100 = 0,92 %

4.3 Frmulas Derivadas

A partir da frmula dos juros compostos, podemos deduzir as seguintes frmulas derivadas:

Principal

O principal pode ser expresso pela frmula

ni)(1

MP

+=

Taxa de Juros

A taxa de juros pode ser expressa pela frmula

1-nP

Mi =


19


24/59

Perodo

O perodo de aplicao pode ser expresso pela frmula

i)(1log

Plog-Mlog

+=n

Como se pode ver, algumas frmulas derivadas so de difcil aplicao por envolveremcomplexas operaes de potenciao. Antigamente, estas frmulas eram resolvidas com oauxlio de tabelas financeiras. Hoje, com o advento das calculadoras financeiras, estas tabelasficaram completamente obsoletas e anacrnicas.


4.4.1 Solucionando Problemas de Juros Compostos

Para resolver, com o auxlio da calculadora financeira, problemas envolvendo juros (simplesou compostos), entra-se com trs dados e pressiona-se a tecla do dado procurado; a respostaser exibida no visor.

ExemploQual a taxa de juros mensal que transforma, em um ano, um principal de R$ 100 em ummontante de R$ 120?

Resposta

n = 12 meses

i = ?

PV = -R$ 100

FV = R$ 120

A seqncia de teclas a ser pressionadas :


A taxa procurada 1,531% ao ms.


20

1

-100PVCHS

n Perodo

Principal

FV 120 Montante

i 1,531 Taxa de juros procurada


25/59

4.5 Juros Simples vs. Juros Compostos

No regime de juros simples, o montante evolui conforme uma progresso aritmtica cujarazo seja i. Sua evoluo , portanto, linear.

Figura 2 - Juros Simples

J no regime de juros compostos, o montante evolui conforme uma progressogeomtrica cuja razo seja 1 + i. Sua evoluo , portanto, exponencial.

Figura 3 - Juros Compostos

A primeira vista fica a impresso que, se a taxa de juros e o prazo forem os mesmos, omontante produzido pelo regime de juros compostos sempre maior do que o montanteproduzido pelo regime de juros simples. No entanto, nem sempre isto o que acontece.

Exemplo

Dois investidores aplicaram R$ 100.000 cada, para resgatar em 6 meses. Ambos aplicarama uma taxa de juros de 10% ao ano. O primeiro investidor aplicou no regime de juros

simples; o segundo, no regime de juros compostos. Em sua opinio, qual das duasaplicaes rendeu mais no perodo?

Resposta

1 investidorM = P x [1 +( i x n)] = 100.000 x [1 + (0,10 x 0,5)] = R$ 105.000


21

Tempo

Montante

Tempo

Montante


26/59

2 investidor

M = P x (1 + i)n = 100.000 x (1 + 0,10)0,5R$ 104.880

O abaixo ilustra o que aconteceu.

Figura 4 - Juros Simples vs. Juros Compostos

Se o prazo de resgate das duas aplicaes fosse um ano, ambas teriam rendido omesmo, ou seja, teriam rendido juros de R$ 10.000. Se o prazo de resgate fosse

superior a um ano, o investidor que houvesse aplicado a juros compostos terialucrado mais. Como o prazo de resgate foi inferior ao perodo de capitalizao (umano), o investidor que aplicou a juros simples ganhou mais.

Concluso

Todas as vezes que o prazo de resgate for inferior ao perodo de capitalizao, o regime dejuros simples produz um montante superior ao montante produzido pelo regime de juros

compostos.

Exerccios:1. Qual o montante acumulado em 12 meses, a uma taxa de 2% ao ms, no regime de juros

compostos, a partir de um principal de R$ 10.000?

2. Qual o principal necessrio para se ter um montante de R$ 10.000 em 24 meses a umataxa de 4% ao trimestre, capitalizados pelo sistema de juros compostos?

3. Em quanto tempo um capital dobra a juros compostos de 2% ao ms?

4. Quanto receberia em seis meses um aplicador que houvesse investido R$ 100.000 a 12%ao ano no regime de juros compostos?


22

Tempo

Montante

R$ 105.000

R$ 104.880

6 meses

1 ano

Juros Simples

Juros Compostos


27/59

5. Qual a taxa de juros mensal que transformaria um principal de R$ 10.000 em ummontante de R$ 12.000 em 12 meses, no sistema de juros compostos?

6. Qual a taxa equivalente ms, no regime de juros compostos a 50% a.a.?


23


28/59

5. Fluxo de Caixa

Em matemtica financeira, chamamos de fluxo de caixa a uma seqncia de entradas esadas de dinheiro em diferentes momentos do tempo. Para melhor visualizao dos

problemas envolvendo fluxo de caixa, este representado por um grfico conforme a figura

abaixo. Neste grfico, o eixo horizontal representa a escala do tempo, as setas para cima, asentradas, e as setas para baixo, os desembolsos.

Figura 5 - Fluxo de Caixa

Em um fluxo de caixa, as entradas e sadas podem ser iguais ou no. Da mesma forma, osintervalos de tempo entre as entradas e as sadas podem ser regulares ou no. importantenotar que, nas frmulas envolvendo fluxos de caixa, as entradas possuem, sempre, sinal

positivo e as sadas, sinal negativo.

O estudo do fluxo de caixa especialmente importante porque, baseados nestes fluxos queso feitos os planos de amortizao de pagamentos. Tambm usamos os fluxos de caixa para

avaliar uma empresa, um projeto ou mesmo decidir entre vrias opes de investimento, quala mais interessante do ponto de vista financeiro.

5.1 Valor Atual de um Fluxo de Caixa

O valor atual de um fluxo de caixa igual soma algbrica dos valores atuais de suasentradas e sadas. A taxa de juros usada para trazer a valor presente estas entradas e estassadas chamada de taxa de desconto. Em um mesmo fluxo de caixa, a taxa de desconto sempre a mesma para todas as parcelas, sejam elas entradas ou sadas.

Exemplo


24

tempo


29/59

Qual o valor atual do fluxo de caixa representado no grfico abaixo, considerando umataxa de desconto de 2% ao ms, capitalizados pelo regime de juros compostos?

Soluo:

1.922,3-0,02)(1

2.000-

i)(1

MP

2n

11 =+

=+

=

4.528,60,02)(1

5.000i)(1

MP5n

22 =+

=+

=

2.461,0-0,02)(1

3.000-

i)(1

MP

10n

33 =+

=+

=

Donde

VP = P1 + P2 + P3 = - 1.922,34 + 4.528,65 2.461,04 = 145,27

5.2 A Taxa Interna de RetornoImaginemos um fluxo de caixa conforme o mostrado na figura abaixo, no qual tanto o valordas prestaes, quanto o intervalo das sadas, constante.


25

2.000

5.000

3.000

2 meses 3 meses 5 meses

10.000

- 2.310

0 1 2 3 4 5 ms


30/59

Vamos calcular qual o valor presente deste fluxo de caixa para taxas de desconto de 3% a.m.e 7% a.m.

n Prestao 3% 7%

0 10.000 10.000 10.000

1 (2.310) (2.242,72) (2.158,88)

2 (2.310) (2.177,40) (2.017,64)3 (2.310) (2.113,98) (1.885,65)

4 (2.310) (2.052,41) (1.762,29)

5 (2.310) (1.992,63) (1.647,00)

Total (1.550) (579,14) 528,54

Observa-se que, neste caso, o valor presente do fluxo de caixa passou de um valor negativo(menos 579,14) para um valor positivo (mais 528,54) quando a taxa de desconto passou de3% a.m. para 7% a.m. Isto quer dizer que, neste caso, a medida em que a taxa de descontovai aumentando, o valor negativo do fluxo de caixa vai se reduzindo, vira zero e, a partirdeste ponto, passa a ser positivo e passa a crescer com a taxa de desconto. O grfico abaixoilustra a evoluo do valor presente do fluxo de caixa acima em funo da variao da taxade desconto.


26

(2.000)

(1.500)

(1.000)

(500)

0

500

1.000

1.500

Taxa de Des conto

ValorPresente

1% 3% 5%

9%7%


31/59

Figura 6 - Valor Presente vs. Taxa de Desconto

Verifica-se no grfico acima, que neste caso, existe uma taxa de desconto, em torno de 5%a.m., que zera o valor presente do fluxo de caixa. A esta taxa de desconto que zera o

valor presente do fluxo de caixa, chamamos de Taxa Interna de Retorno ou TIR.

5.3 Sries Uniformes

Chamamos de sries uniformes de pagamentos (ou de recebimentos) a um fluxo de caixacujas sadas (ou entradas) possuam valores constantes e ocorram em intervalos regulares detempo, conforme o grfico abaixo:

Figura 7 - Sries Uniformes

As sries uniformes so a forma mais simples de fluxo de caixa. Para resolver problemasenvolvendo sries uniformes, utilizamos as mesmas teclas n, i, PV e FV, usadas noclculo de juros compostos, e mais a tecla PMT para dar entrada ou calcular o valor dassadas (ou entradas) peridicas.

Exemplo 1:

Qual o valor atual de uma srie uniforme composta de 4 sadas anuais no valor de R$ 80,cuja taxa de desconto fosse 8%?

Soluo

n = 4

i = 8% a.a.PMT = 80,00


27

0

1 2 3 4 5

tempo

0

1 2 3 4

tempo

PV= ?

R$ 80,00


32/59

PV = ?

Digitando Visor

Exemplo 2:

Qual a taxa interna de retorno de uma srie uniforme composta de 4 sadas anuaisno valor de R$ 80, e cujo valor presente fosse R$ 300?

Soluo

n = 4

i = ?

PMT = 80,00

PV = 300,00

Digitando Visor

Comentrio


28

i

CHS

n

PV

PMT

4,00

8,00

0

1 2 3 4

tempo

R$ 300

R$ 80,00

CHS

n

PV

PMT

4,00

i 2,63 2,63 % a.a.


33/59

5.4 Equivalncia de Fluxos de Caixa

Dois ou mais fluxos de caixa so ditos equivalentes quando, se descontados a uma mesmataxa, produzem um mesmo valor presente.

Exemplo:

Calcular o valor presente dos fluxos de caixa abaixo, para uma taxa de desconto de 8% a.a.

Soluo:

1.000,01,08

1.080,00

1,08

80,00

1,08

80,00

1,08

80,00NPV

4321=+++=

1.000,0

1,08

301,92

1,08

301,92

1,08

301,92

1,08

301,92NPV

4322=+++=

Como os valores presentes dos dois fluxos, quando descontados a uma taxa de 8% a.a., soiguais a R$ 1.000, estes fluxos so ditos equivalentes, a uma taxa de 8% a.a. importante,no caso de fluxos equivalentes, especificar a taxa de desconto que os faz equivalentes. Isto

porque dois ou mais fluxos s so equivalentes a uma determinada taxa de desconto! Noexemplo acima, quando descontado a uma taxa de 0% a.a., o primeiro fluxo produz um valor

presente de R$ R$ 1.240,00, enquanto que o segundo, R$ 1.207,68.

Uma propriedade importante dos fluxos equivalentes que os montantes destes fluxos, em

qualquer data, obtidos mesma taxa que os faz equivalentes, so iguais.Exemplo:


Ano Fluxo 1 Fluxo 201 80,00 301,922 80,00 301,92

3 80,00 301,924 1.080,00 301,92

Total 1.240,00 1.207,6

29


34/59

Obter o montante dos dois fluxos do exemplo acima, no final do 4 ano, a uma taxa de 8%a.a.

Soluo:

FV1 = (80 x 1,083

) + (80 x 1,082

) + (80 x 1,08) + 1.080 = 1.360,49FV2 = (301,92 x 1,08 3) + (301,92 x 1,08 2) + (301,92 x 1,08) + 301,92 = 1.360,49


Na calculadora HP12C, as seguintes teclas so usadas na soluo de problemas relacionadosao fluxo de caixa:

Para dar entrada na taxa de desconto, utiliza-se a prpria tecla .

Exemplo 1:

Qual o valor presente descontado, a uma taxa de 8% a.a., do fluxo de caixa abaixo? Qualsua taxa interna de retorno?

Ano Fluxo0 (17.000,00

1 (3.000,00)2 6.000,003 7.000,004 8.000,005 (5.000,00)6 15.000,00

Total 10.000,00


30

PMT Valor Presnte Descontado de um fluxo de caixa

IRR Taxa Interna de Retorno

CF0

Entrada ou Sada no momento 0

CFj

Entrada ou Sada no momento j.

Nj N de vezes que uma mesma entrada, ou sada, se repete deforma sucessiva

i


35/59

Soluo:

Digitando Visor

Comentrio

Exemplo 2:

Qual o valor presente descontado, a uma taxa de 8% a.a., do fluxo de caixa abaixo? Qualsua taxa interna de retorno?

Ano Fluxo0 (17.000,001 (3.000,00)2 6.000,003 6.000,004 6.000,00

5 6.000,006 15.000,00


31

CHS g CF0

- 17.000,00

CHS g CFj - 3.000,00

g CFj

g CFj

g CFj

CHS g CFj

g CFj

6.000,00

7.000,00

8.000,00

- 5.000,00

15.000,00

i

f NPV 2.852,95

f IRR 11,90

Fluxo inicial

Fluxossubseqe

8,00 % a.a.

Valor Presente

11,90 % a.a.


36/59

Total 10.000

Soluo:

Digitando Visor

Comentrio


32

CHS g CF0

- 17.000,00

CHS g CFj - 3.000,00

Fluxo inicial

g CFj

g Nj

g CFj

6.000,00

4,00

15.000,00

i

f NPV 8.075,47

f IRR 17,53

8,00 % a.a.

Valor Presente

17,53 % a.a.

N de fluxos iguais econsecutivos


37/59

Exerccios

1. Qual a taxa interna de retorno do fluxo de caixa representado no grfico abaixo ?

2. Qual o valor presente do fluxo de caixa abaixo descontado a uma taxa de 5% a.m.

n Prestao

0 10.000

1 (2.310)

2 (2.310)

3 (2.310)

4 (2.310)

5 (2.310)

Total (1.550)

3. Qual a taxa interna de retorno de uma srie uniforme composta de 6 prestaes iguaismensais e sucessivas de R$ 105, e R$ 500 de valor presente?

4. Uma empresa solicitou a um banco um emprstimo de R$ 50.000 para pagamento em12 meses. O banco props o plano de amortizao abaixo. Qual a taxa de juros embutidano plano de amortizao proposto pelo banco?

n Prestao

1 4.000


33

2.000

5.000

3.000

2 meses 3 meses 5 meses


38/59

2 4.000

3 4.000

4 4.000

5 5.000

6 5.0007 5.000

8 5.000

9 6.000

10 6.000

11 6.000

12 6.000

5. No dia 20/01/2.000 uma empresa fez um emprstimo de R$ 100.000. O plano depagamento do emprstimo previa amortizao de 50% do principal e juros no dia

21/02/2.000 e liquidao do saldo devedor e juros no dia 20/03/2.000. A taxa de juroscobrada pelo banco foi de 24% a.a. Qual o valor total das prestaes pagas nas duasdatas?

6. Quais seriam os valores das prestaes do emprstimo acima se a empresa pagasseapenas juros no dia 20/02/2.000 e amortizasse integralmente o principal da operao nofinal do contrato?

7. Uma empresa tomou emprestado R$ 100.000. O plano de amortizao previsto pelobanco previa uma comisso flat de 3% pagos na cabea e 12 prestaes iguais mensaise sucessivas no valor de R$ 9.455,96. O banco alega que a taxa do emprstimo 2% aoms. Voc concordaria com isto?

8. Caso a empresa pudesse optar, o que sairia mais barato para ela em termos de taxa dejuro, o esquema de pagamento proposto acima ou 12 pagamentos mensais, iguais esucessivos de R$ 9.748,71, sem a comisso flat?


34


39/59

6. Sistemas de Amortizao

Chamamos de amortizao a qualquer pagamento feito para liquidar, total ou parcialmente, oprincipal de um emprstimo ou de um financiamento. J uma prestao a soma de uma

amortizao com os juros devidos sobre o saldo devedor. Depreende-se da que, emmatemtica financeira, o conceito de amortizao est ligado a) idia de emprstimo oufinanciamento (ou seja, no se liquida um investimento; um investimento resgata-se) e b) idia de liquidao, ainda que parcial, do principal.

Os dois modelos sistemas de amortizao mais usados, no Brasil so:

1. Sistema Price, tambm conhecido como Tabela Price;

2. SAC Sistema de Amortizaes Constantes.

6.1 O Sistema PriceO sistema Price um sistema de amortizao em que as prestaes possuem valorconstante e ocorrem em intervalos regulares de tempo. No sistema Price, normalmente astaxas de juros so definidas em termos anuais e as prestaes so mensais. Como as

prestaes possuem valor constante, e como estas prestaes englobam amortizao ejuros, conclumos que, a cada prestao, os juros decrescem (j que o saldo devedor sereduz a cada que a parcela de amortizao cresce. A tabela abaixo, representando aamortizao, pelo sistema Price, de uma obrigao de R$ 10.000 em 5 parcelas, a juros de26,44% a.a., ilustra o problema:

Observa-se que, na medida em que a dvida vai sendo amortizada (e que, portanto, o saldodevedor vai sendo reduzido), os juros vo decrescendo e a parcela da prestao referente amortizao vai crescendo de forma que o valor total da prestao no se altere.


35

Ms Amortizao Juros Prestao Saldo

0 10.000,00

1 1.922,57 197,43 2.120,00 8.077,43

2 1.960,53 159,47 2.120,00 6.116,90

3 1.999,24 120,76 2.120,00 4.117,66

4 2.038,71 81,29 2.120,00 2.078,96

5 2.078,96 41,04 2.120,00 0,00


40/59

Figura 8 - Sistema de Amortizao "Price"

Exemplo 1:Quanto pagaria de prestao uma pessoa que comprasse um lap-top no valor deR$ 3.300, em quinze prestaes mensais, iguais e sucessivas, a uma taxa de jurosde 65 % ao ano?

Soluo:

n = 15 meses

i = 65 % a.a.

PV = 3.300

PMT = ?

Digitando Visor

Comentrio

Exemplo 2:

Quanto estaria pagando de juros uma pessoa que comprasse um lap-top no valor de R$3.300, em quinze prestaes mensais, iguais e sucessivas de R$ 295 mais um sinal de R$

295?Soluo:


36

1.800

1.850

1.900

1.9502.000

2.050

2.100

2.150

1 2 3 4 5

Amortizao Juros

Enter

PV 3.300,00

- 302,26

1/ x

Prestao

Principal

PMT

Y x

- x i Taxa equivalentemensal

n 15,00 N de prestaes


41/59

n = 15 meses

i = ?

PV = 3.300 295 = 3.005

PMT = 295

Digitando Visor

Comentrio

6.2 SAC Sistema de Amortizaes ConstantesO SAC um sistema de amortizao em que as parcelas referentes amortizao so sempreconstantes e ocorrem em intervalos regulares de tempo. Como as amortizaes possuemvalor constante, a cada prestao os juros decrescem (j que o saldo devedor se reduz a cadaamortizao) enquanto que o valor total da prestao cresce. A tabela abaixo, representandoa amortizao, pelo sistema SAC, de uma obrigao de R$ 10.000 em 5 parcelas, a jurosde 26,44% a.a., ilustra o problema:


37

PV 3.005,00

- 295,00 Prestao

Principal

CHS

3.300

295

15 x 295

n N de prestaes

PMT

i 5,28% a.m.


42/59

Observa-se que, na medida em que a dvida vai sendo amortizada (e que, portanto, o saldodevedor vai sendo reduzido) os juros vo decrescendo e, como o valor da amortizao constante, o valor da prestao diminui.

1.900

1.950

2.000

2.050

2.100

2.1502.200

2.250

1 2 3 4 5

Amortizao Juros

Figura 9 - Sistema de Amortizaes Constantes

Evidentemente, os fluxos de caixa decorrentes de uma mesma dvida sendo amortizada auma mesma taxa de juros e com um mesmo nmero de prestaes, diferindo um do outroapenas pelo fato de um ser amortizado no sistema price e o outro no sistema SAC, soequivalentes para esta mesma taxa de juros.

Exemplo 1:

Calcular o valor das prestaes de uma compra de R$ 15.000, sabendo-se que o contratoprev a amortizao em trs parcelas iguais, mensais e sucessivas de R$ 5.000, acrescidosde juros de 2% a.m.

Soluo:

PMT1 =5.000 + P1 x [(1+0,02) 1] = 5.000 + 15.000 x 0,02 = R$ 5.300

PMT2 = 5.000 + P2 x [(1+0,02) 1]= 5.000 + 10.000 x 0,02 = R$ 5.200

PMT3 = 5.000 + P3 x [(1 + 0,02) 1] = 5.000 + 5.000 x 0,02 = R$ 5.100

Ms Amortiza Juro Presta Saldo0 15.001 5.000 300 5.300 10.002 5.000 200 5.200 5.0003 5.000 100 5.100


38

M s Am ortizao Juros Prestao Saldo

0 10.000,00

1 2.000,00 197,42 2.197,42 8.000,00

2 2.000,00 157,94 2.157,94 6.000,00

3 2.000,00 118,45 2.118,45 4.000,00

4 2.000,00 78,97 2.078,97 2.000,00

5 2.000,00 39,48 2.039,48 0,00


43/59

Exemplo 2:

Qual a taxa de juro anual de um financiamento de R$ 15.000, amortizado pelo sistema SAC,

em trs parcelas mensais e sucessivas no valor de R$ 5.331,57, R$ 5.221,04 e R$ 5.110,52respectivamente?

Soluo:

Digitando Visor

Comentrio

6.3 Casos Particulares

6.3.1 Amortizao com Carncia

Independente de o sistema de amortizao ser do tipo Price ou SAC , algumas vezes previsto um perodo de carncia antes que as prestaes passem a ser devidas, conformemostra o esquema abaixo:


39

g CF0

15.000,00

- 5.331,57

- 5.221,04

- 5.110,52

Fluxo inicial

CHS g CFj

CHS g CFj

CHS g CFj

f PV 2,21

1a prestao

2a prestao

3a prestao

Taxa mensal

Y x

- x Taxa equivalente anual

+

Carncia


44/59

Figura 10 - Amortizao com Carncia

Nestes casos, para calcularmos os elementos deste fluxo de caixa (valordas prestaes, taxa de retorno, etc), trazemos o fluxo inicial at a data final

do perodo de carncia pela taxa de desconto, e a partir da, tratamos oproblema como um fluxo a intervalos regulares.

Exemplo:

Qual deveria ser o valor das prestaes de um financiamento de R$ 12.000,amortizado pelo sistema francs, que preveja uma carncia de 6 meses aps aqual vencer-se-o 6 prestaes iguais mensais e sucessivas, calculadas a umataxa de 2% a.m.?

Soluo:

A soluo consiste em transportar o fluxo inicial de R$ 12.000 at o perodo 6, auma taxa de 2% a.m. Isto pode ser feito pela frmula:

M = P x (1 + I) n = 12..000 x 1,02 6 = 13.513,95

A partir deste ponto, tratamos o problema como um fluxo de caixa a intervalosregulares, conforme o abaixo:

Digitando Visor

Comentrio

6.3.2 Amortizao com Prestaes Intermedirias

Algumas vezes, (como acontece no caso de compra de imveis, por exemplo) o plano deamortizao prev, alm das prestaes regulares, prestaes intermedirias.


40

13.513,95PV 13.513,95

- 2.412,59 Valor da prestao

Principal

n N de prestaes

PMT

i Taxa de juro


45/59

Na verdade, tudo se passa como se fossem dois fluxos de caixa fundidos em um s; e naverdade, muitas vezes so, como no caso da compra de imveis, onde as prestaes regularesrepresentam o fluxo de pagamentos da construo e as parcelas intermedirias, o fluxo de

pagamentos da chamada cota de terreno.

Quando no se conhece o principal dos dois fluxos, para que se possa definir o valor dasparcelas normais, preciso que se conhea antes o valor das parcelas intermedirias, e vice-

versa.Exemplo:

Uma imobiliria deseja vender um terreno por R$ 100.000 financiado em 24 prestaesmensais, iguais e sucessivas mais 4 parcelas semestrais, iguais e sucessivas .Qual deve ser ovalor das prestaes intermedirias caso a imobiliria haja decidido que o valor das

prestaes normais no possa exceder a R$ 4.000, considerando uma taxa de juros de 2%a.m.?

Soluo:

1 Clculo do valor presente das parcelas normais

Digitando Visor

Comentrio


41

100.000

4.000 4.000PMT = ?

n N de prestaes


46/59

2 Clculo do valor das parcelas intermedirias

As parcelas intermedirias devero amortizar o saldo de R$ 100.000 R$75.665,70 = R$ 24.344,30. A taxa de juros equivalente no semestre a 2% a.m. :

I semestre = [(1 + i mensal) 6 1] x 100 = (1,02 6 1) x 100 = 12,62%

Ento, temos que:

Digitando Visor

Comentrio

Na verdade, a parcela a ser paga semestralmente ser a soma da prestao normal mais aparcela intermediria, ou seja, R$ 12.119,24.

Exerccios

1. Um emprstimo de R$ 100.000 foi amortizado em 4 prestaes mensais, iguais esucessivas de R$ 26.581,40 cada. Qual o valor da amortizao do principal e dos juros

pagos em cada uma das quatro prestaes?

2. No exemplo acima, qual seria o valor de cada prestao caso o emprstimo fosse pelosistema de amortizao constante?

3. Um cliente quer comprar um apartamento que custa, a vista, R$ 150.000,00. Aimobiliria est disposta a financiar o apartamento em 5 anos, a juros de 1,5% ao ms.Caso o cliente se disponha a pagar 60 prestaes de R$ 2.000,00, qual deveria ser o valordas prestaes intermedirias a serem pagas semestralmente?

4. Uma loja de eletrodomsticos est fazendo uma promoo de Natal pela qual quemcomprar uma geladeira at o dia 31/12 s comea a pagar em maio. Um cliente quer


42

PV

4.000,00

75.665,70 Valor Presente

PrestaesCHS

i Taxa de juro

PMT

24.344,30 PV - 24.344,30

8.119,24 Valor da prestao

Principal

n N de prestaes

CHS

i Taxa de juro

PMT


47/59

comprar uma geladeira que custa R$ 1.000,00 para pagar em oito prestaes iguais,mensais e sucessivas, vencendo-se a primeira em maio. Qual deveria ser o valor das

prestaes caso a loja cobre uma taxa de juros de 2,5% a.m.?


43


48/59

7. Soluo dos Exerccios

Captulo 2

1) O principal a quantia aplicada ou captada e sobre a qual incidiro juros. O montante igual ao principal mais os juros.

2) Juro a remunerao, recebida ou paga, por quem aplicou ou captou recursos; portanto, sempre expresso em unidades monetrias. Taxa de Juros a relao entre osjuros, pagos ou recebidos, e o principal, em um determinado perodo. A taxa de jurospode ser expressa em notao decimal ou percentual.

3) Taxa efetiva aquela expressa em uma unidade de tempo igual do perodo decapitalizao. Exemplo: 2% ao ms, capitalizados mensalmente. J a taxa efetiva aquela expressa em uma unidade de tempo diferente do perodo de capitalizao.Exemplo: 20% ao ano, capitalizados mensalmente.

4) No regime de juros simples, os juros incidem somente sobre o capital. J no regime de juros compostos, ao final de cada perodo de capitalizao, os juros produzidosincorporam-se ao principal e passam a render juros tambm.

5) Perodo de capitalizao o perodo decorrido o qual os juros passam a ser devidos ouincorporam-se ao principal. Prazo da operao o perodo decorrido o qual o principal eos juros tornam-se integralmente devidos.

6) Duas taxas so proporcionais quando, aplicadas sobre um mesmo principal por ummesmo perodo de tempo, no regime de juros simples, produzem o mesmo montante.Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo principal por um

mesmo perodo de tempo, no regime de juros compostos, produzem o mesmo montante.Portanto, o que difere o conceito de taxas proporcionais do conceito de taxasequivalentes o regime de capitalizao.

Captulo 3

1) M = ?

P = R$ 10.000

i = 0,02 ao ms, ou 2% ao ms

n = 12 meses


44


49/59

M = P x [1 + (i x n)] = 10.000 x [1 + (0.02 x 12)] = R$ 12.400

2) M = R$ 10.000P = ?

i = 0,04 ou 4% ao trimestre

n = 24 meses

Calculo da taxa proporcional

mese24em32%ou0,323

24x0,04ip ==

Clculo do principal

7.575,7R$1)]x(0,32[1

10.000

n)]x(i[1

MP =

+=

+=

Uma soluo mais simples e mais elegante consiste em utiliza a frmula do principalfazendo i igual taxa efetiva e n igual ao nmero de trimestres contidos no perodode 24 meses (24 3 = 8, donde n=8). Assim teramos que:

7.575,7R$8)]x(0,04[1

10.000

n)]x(i[1

MP =

+=

+=

3) M = 2P

P = P

i = 0,02 ou 2% a.m.

n = ?

mese500,02

1

0,02xP

P-2P

ixP

P-M ====n

Uma soluo mais simples e mais elegante consiste em utilizar a frmula da taxaproporcional. Neste caso, a taxa proporcional a 2% a.m. que dobra o principal 100%.Dividindo as duas taxas proporcionais, encontramos o perodo. Assim temos que 100%2% = 50 meses.


45


50/59

4) P = 2.500

i = 0,03 ou 3% a.m..

n = 18 diasJ = ?

45R$18x0,03x2.500

30

18xixPnxixPJ ====

30

5) M = ?

P = R$ 100.000

i = 0,12 ou 12% a.a.

n = 6 meses

M = P x [1 + (i x n)] = 100.000 x [1 + (0,12 x 0,5)] = R$ 106.000

6) Quem descontasse um ttulo com vencimento em 30 dias a uma taxa de desconto de 4%a.m. receberia 96% do valor de face deste ttulo. Assim, temos que:

M = 1,00P = 0,96

i = 0,04 ou 4% a.m.

n = 1 ms

a.m4,17%ou0,04171x0,96

0,96-1,00

nxP

P-M ===i

Uma soluo mais simples e mais elegante, no caso de o perodo de capitalizao serigual ao prazo da operao, consiste em utilizar a frmula:

a.m4,17%ou0,04171-0,96

1,001-

P

Mi ===


46


51/59

7)

a.m4,30%ou0,04301-0,00123-0,96

1,001-

0,0041% )x(30-P

Mi === 3

Captulo 4

1)


2) Primeiro, vamos calcular o valor presente das prestaes para, depois, subtra-lo do fluxoinicial.

Assim, temos que:

3A taxa efetiva maior do que a taxa de desconto porque, no caso de desconto, os juros socobrados na cabea.


47

CHS g CF0

- 2.000

CHS g CFj

- 0,04438

0g CFj

2 g Nj

g CFj

2,00

3.000,00

4,00

f IRR

- 5.000

Fluxo inicial


0 g CFj

4 g Nj

0

1 g Nj 1,00


52/59


O valor presente deste fluxo de caixa praticamente zero.

3)Digitando Visor

Comentrio

Resposta: 7,03%

4)

Digitando Visor

Comentrio


48

CHS PMT - 2.310,00

5,005 n

5,005 i

PV 10.001,10

105 CHS PMT 105,00

6,006 n

PV 500,00500

i 7,03

CHS g CF0

Fluxo inicial


53/59

5) Valor da primeira prestao:

n. de dias entre 20/01/00 e 21/02/00 = 32

J = 100.000 x [(1 + 0,24) (32 / 360) 1] = R$ 1.930,50

PMT1 = R$ 50.000,00 + R$ 1.930,50 = R$ 51.930,50

Valor da segunda prestao

n. de dias entre 21/02/00 e 20/03/00 = 28

J = 50.000 x [(1 + 0,24) (28 /360) 1] = R$ 843,58

PMT 2 = R$ 50.000,00 + R$ 843,58 = R$ 50.843,58

Abaixo, mostramos a planilha desta operao:

Data Juros Principa Presta Saldo20/01/0 100.000,021/02/0 1.930,5 50.000,0 51.930,5 50.000,0020/03/0 843,58 50.000,0 50.843,5

6) Valor da primeira prestao:

n. de dias entre 20/01/00 e 21/02/00 = 32

PMT1 = 100.000 x [(1 + 0,24) (32 / 360) 1] = R$ 1.930,50


49

- 50.000

2,686

4.000 g CFj

4 g Nj

g CFj

4,00

5.000,00

6.000

4,00

f IRR


6.000 g CFj

4 g Nj

4.000,00

4 g Nj 4,00

2,686 % ao ms


54/59

Valor da segunda prestao

n. de dias entre 21/02/00 e 20/03/00 = 28

J = 100.000 x [(1 + 0,24) (28 / 360) 1] = R$ 1.687,16

PMT2 = R$ 100.000,00 + R$ 1.687,16 = R$ 101.687,16

Abaixo, mostramos a planilha desta operao:

Data Juros Principa Presta Saldo20/01/0 100.000,021/02/0 1.930,5 1.930,50 100.000,020/03/0 1.687,1 100.000, 101.687,

7)


V-se portanto que a taxa efetiva de juros no 2% ao ms, como afirma o banco, mas sim2,5% ao ms.


50

100.000

3.000

12 x 9.455,96

CHS g CF0

9.455,96 g CFj

12 g Nj

f IRR

Fluxo inicial


9.455,96

12,00

2,50 2,50 5 a.m.

Prestao


55/59

8)

Digitando Visor

Comentrio

Observa-se portanto que, do ponto de vista de taxa de juros, os dois planos deamortizao se equivalem.

Captulo 5

1) Vamos calcular, inicialmente, a taxa de juros desta operao. Por se tratar de uma srieuniforme, podemos utilizar as seguintes teclas da calculadora

Digitando Visor

Comentrio

Agora, temos que:

1a prestao)

Juros = 100.000 x [(1 + 0,025) 1] = 2.500,00

Amortizao = 26.581,40 2.500,00 = 24.081,40

2a prestao)

Juros = (100.000 24.081,40) x [(1 + 0,025) 1] = 1.897,97Amortizao = 26.581,40 1.897,97 = 24.683,44


51

CHS g CF0

9.748,71 g CFj

12 g Nj

f IRR

Fluxo inicial


9.748,71

12,00

2,50 2,50 a.m.

Prestao

100.000,00

PV

26.581,40

4 n

i

Fluxo inicial


26.581,40

4,00

2,50 2,50 a.m.

Prestao

100.000,00

CHS PMT


56/59

3a prestao)

Juros = (100.000 24.081,40 24.683,44) x [(1 + 0,025) 1] = 1.280,88

Amortizao = 26.581,40 1.280,88 = 25.300,52

4a prestao)

Juros = (100.000 24.081,40 24.683,44 25.300,52) x [(1 + 0,025) 1] = 648,37

Amortizao = 26.581,40 648,37 = 25.933,03

A planilha e o grfico abaixo ilustram o plano de amortizao;

No Juros Amortiza Presta Saldo100.000,0

1 2.500,0 24.081,40 26.581,4 75.918,602 1.897,9 24.683,44 26.581,4 51.235,163 1.280,8 25.300,52 26.581,4 25.933,034 684,37 25.933,03 26.581,4

Tota 6.363,2 100.000,00 106.363,Nota: Pequenas diferenas observadas na tabela acima so devidas a arredon-

damentos na terceira casa decimal direita da vrgula.

22.500

23.000

23.500

24.000

24.500

25.000

25.500

26.000

26.500

27.000

1 2 3 4

2)

1a prestao)

Juros = 100.000 x [(1 + 0,025) 1] = 2.500,00

Amortizao = 25.000,00 + 2.500,00 = 27.500,00

2a prestao)

Juros = (100.000 25.000) x [(1 + 0,025) 1] =1.875,00Amortizao = 25.000 + 1.875,00 = 26.875,00


52


57/59

3a prestao)

Juros = (100.000 50.000) x [(1 + 0,025) 1] =1.250,00

Amortizao = 25.000 + 1.250,00 = 26.250,00

4a prestao)

Juros = (100.000 75.000) x [(1 + 0,025) 1] = 625,00

Amortizao = 25.000 + 625,00 = 25.625,00

A planilha e o grfico abaixo ilustram o plano de amortizao:

No Juros Amortiza Presta Saldo100.000,0

1 2.500,0 25.000,00 27.500,0 75.000,002 1.875,0 25.000,00 26.875,0 50.000,003 1.250,0 25.000,00 26.250,0 25.000,004 625,00 25.000,00 25.625,0

Tota 6.250,0 100.000,00 106.250,

23.500

24.000

24.500

25.000

25.500

26.000

26.500

27.000

27.500

28.000

1 2 3 4

3)

Clculo do valor presente das 60 prestaes de R$ 2.000,00:



53

60,00

- 2.000,00PMTCHS

n No de perodos

2.000 Prestao

i 1,5 Taxa de juros


58/59

O saldo devedor a ser coberto pelas prestaes intermedirias , portanto, R$ 100.000,00

menos R$ 78.760,54, ou seja, R$ 21.239,46.Clculo da taxa equivalente

Ie = [(1 + 0,015) 6 1] x 100 = 9,34% ao semestre

Assim temos que:


O valor das prestaes intermedirias semestrais ser, portanto, R$ 3.359,23 + R$ 2.000,00 =R$ 5.359,23.

4)

Para calcular o valor das prestaes, calculamos o valor corrigido do principal no ms deabril.

PV = 1.000,00 x (1 + 0,025) 4 = R$ 1.103,81

Para calcular o valor das prestaes, procedemos conforme abaixo:



54

PV 78.760,54 Valor Presente

10,00

21.239,46

PMT

n No de perodos

21.239,46 Saldo devedorPV

- 3.359,23 Prestao

i 9,34 Taxa de juros

1 2 3

1.000PV

PMT

8,00

1.103,81

PMT

n No de perodos

1.103,81 Saldo devedorPV

153,81 Prestao

i 2,50 Taxa de juros


59/59

55

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - Apostila FGV