2

SSuummáárriioo

1. Introdução 3

2. Juros 4 2.1 Juros simples 4 2.2 Juros compostos 5 2.3 Equivalência de capitais 7 3. Taxas de juros 11 3.1 Taxas equivalentes 11 3.2 Taxa de juros nominal 12 3.3 Taxa de juros efetiva 13 3.4 Taxa de juros bruta e líquida 14 3.5 Taxa de juros real 14 4. Fluxos de caixa 18 4.1 Série mista 18 4.2 Séria uniforme - prestação 19 4.3 Sistemas de amortização 22 5. Desconto 28 5.1 Desconto por fora 28 5.2 Desconto por dentro 31 5.3 A relação entre taxa efetiva e taxa de desconto 34 6. Avaliação de projetos: abordagens de apoio à decisão de investimento 36 6.1 Considerações iniciais 36 6.2 Payback 38 6.3 Valor presente líquido 40 6.4 Índice de lucratividade 41 6.5 Taxa interna de retorno 42 6.6 Valor presente líquido anualizado 43 Anexos: tabelas de cálculos 48

3

1. IInnttrroodduuççããoo

Os conceitos da matemática financeira abordados neste e-book são

importantes a todo indivíduo, seja para utilização em sua vida profissional ou na

pessoal. Perguntas como “será mais vantajoso pagar um bem a prazo ou aceitar o

desconto oferecido pelo vendedor e pagar à vista?” podem ser resolvidas utilizando-se

os conhecimentos que serão aqui apresentados.

Entre os conceitos mais importantes, destaca-se a compreensão do valor do

dinheiro no tempo - objeto de estudo da matemática financeira. Seja num país com

economia inflacionária ou não, abdicarmos de um dinheiro hoje para utilizarmos num

tempo futuro implica em perda de oportunidades. Desta forma, o indivíduo racional

vai exigir uma remuneração por não utilizar seu dinheiro hoje para fazê-lo no futuro.

A matemática financeira estuda exatamente esta relação entre o valor do

dinheiro hoje e no futuro, identificando o custo desta postergação: os juros.

4

22.. JJuurrooss

O que são juros?

Remuneração paga ao investidor pelo tomador de recursos.

Remuneração do capital, a qualquer título.

É uma unidade de medida. Pode ser: a.a. (ao anoa.m. (ao mês), a.d. (ao dia) ou

em outro tempo determinado.

onde: J = juros P = principal ou capital inicial

I = taxa de juros

Exemplo

Principal = $1.000 Taxa = 8% (0,08) (observar nota abaixo) Juros = 1.000 x 0,08 = $80

Nota: 8% = 8 por cento = 100

8 = 0,08. É importante sempre observar esse

detalhe.

Os juros podem ser simples ou compostos, conforme veremos a seguir.

2.1 Juros Simples

Calcula-se o valor futuro com base no principal inicial, sendo o juro uma

percentagem fixa deste capital inicial.

J = P . i

5

onde:

F = valor futuro ou capital no tempo n

P = principal ou capital inicial

i = taxa de juros

n = número de perídos

Exemplo

Calcule quanto valerá $100,00 daqui a 3 meses, aplicado a juros simples de 10% ao mês? P = 100 i = 10% a.m. = 0,10 n = 3 F = ? J1 = 100 x 0,10 = 10 J2 = 100 x (0,10 x 2) = 20 J3 = 100 x (0,10 x 3) = 30 F = 100 + (100 x (0,10 x 3)) = 130

P P i n

F = P + (P.i.n) = P + Pin F = P (1 + in)

2.2 Juros Compostos

Enquanto nos juros simples o cálculo é sempre com base no valor principal ou

inicial, nos compostos os juros se capitalizam ao principal e aos juros acumulados, para

geração de futuros juros.

onde: F = valor futuro no tempo n P = principal ou capital inicial i = taxa de juros n = número de períodos

F = P(1+in)

F = P(1+i)n

6

Exemplo

Um investidor aplicou $100,00 no banco a uma taxa composta de 10% ao ano. Quanto terá daqui a 3 anos? P = 100,00 i = 10% a.a. = 0,10 n = 3 anos F = ? F1 = 100(1 + 0,10) = P(1 + i)

F2 = F1(1 + i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2

F3 = F2(1 + i) = P(1 + i)2(1 + i) = P(1 + i)3

F = P(1 + I)n

F = 100 (1 + 0,10)3 = 133,10

Na HP 12C:

Marcar juros compostos na calculadora, clicando em [f] [EEX]. Aparecerá um

“C” no visor, indicando que os cálculos terão por base juros compostos.

P = PV (present value) = 100,00 i = i (interest) = 10 (a calculadora assume 0,10) n = n (number of periods) F = FV (future value) = ?

[f] [REG] [100] [PV] [3] [n] [10] [i] [FV]

Fazendo isso, aparecerá na tela a resposta: 133,10

Resumindo, enquanto nos juros simples a base de cálculo é sempre o valor

principal, nos juros composto, o cálculo é sempre com base no valor já corrigido.

Notar também que a relação nos juros compostos é exponencial e nos juros simples

uma reta. Logo, podemos traçar o gráfico a seguir, que representa a relação de um

mesmo capital inicial corrigido ao longo do tempo, utilizando a metodologia dos juros

simples (linha tracejada) e dos juros compostos (linha contínua).

7

Figura 1: Representação gráfica – juros simples x compostos

Conforme se pode notar, no gráfico e nos exemplos anteriores, no tempo = 1, o

montante (valor futuro) encontrado é igual tanto nos juros simples como no

composto. Já no tempo compreendido entre 0 (zero) e 1, o montante encontrado é

menor quando aplicada a metodologia de juros compostos, invertendo-se após

ultrapassado o primeiro período.

2.3 Equivalência de Capitais

Dois capitais são equivalentes quando seus valores, comparados na mesma

data, são iguais.

Atenção: Só podemos comparar valores em datas iguais. Qualquer data pode ser

usada, desde que a mesma para todos os capitais.

Exemplo

Calcular o valor presente dos capitais abaixo e verificar se, a juros compostos de 10%, os capitais são equivalentes:

8

Capital Mês de vencimento

a $2.000 1

b $2.250 2

c $2.420 3

d $2.662 4

Trazendo a valor presente (no tempo zero): a) [f] [REG] [2000] [FV] [1] [n] [10] [i] [PV] ou F = P (1 + i)n

=> P = )1( i

Fn

= F/(1+i)n = 2000 /(1+0,10)1 = 1818,18

b) [f] [REG] [2250] [FV] [2] [n] [10] [i] [PV] ou P = F / (1 + i)2 = 2250 / 1,102 = 1859,50 c) [f] [REG] [2420] [FV] [3] [n] [10] [i] [PV] ou P = F / (1 + i)3 = 2250 / 1,103 = 1818,18 d) [f] [REG] [2662] [FV] [4] [n] [10] [i] [PV] ou P = F / (1 + i)4 = 2662 / 1,104 = 1818,18

Conclusão: Pa = Pc = Pd P

Os capitais a, c, d são equivalentes.“b” não é equivalente a nenhum dos capitais a, c, d.

9

Exercícios Juros Simples 1) Determine o valor do montante acumulado em 12 meses, a partir de um principal de $10.000, aplicado a uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros simples. 2) Determinar o valor que deve ser aplicado para produzir um montante de $10.000, a uma taxa de juros de 1,5% ao mês, no prazo de dois semestres, no regime de juros simples. 3) Determinar o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, com uma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples. 4) Determinar o valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que faz um principal de $1.000 se transformar num montante de $1.250, num prazo de 2 meses. 5) Uma instituição estrangeira oferece a seus clientes uma taxa de rentabilidade de 1,2% ao mês, a juros simples. Determinar o valor da renda de uma aplicação de $10.000, efetuada nessa instituição, por um prazo de 18 dias. Juros Compostos 6) Apliquei $9.630,00 no fundo DI em 01.03.01. O fundo rendeu 1,21% ao mês, durante 2 meses. Quanto terei após este período, antes do recolhimento do IR? 7) Supondo-se uma aplicação que rende 1,34% ao mês, e que recolhe IR somente no resgate, quanto terei bruto, após 6 meses, dada uma aplicação inicial de $15.000? 8) Qual a rentabilidade acumulada no quadrimestre, para o CDI, dólar e IBOVESPA, dada a tabela abaixo?

Indicador Jan Fev Mar Abr Acum CDI 1,44 1,44 1,44 1,49 Dólar 0,75 -1,88 -1,20 1,10 Bovespa -3,29 7,64 0,47 -3,74

9) Determinar o valor do investimento inicial que deve ser realizado no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1,25% ao mês, para produzir um valor acumulado de $1.000 no final de dois anos. 10) Uma aplicação de $1.000 produz um valor acumulado de $1.150 no final de 10 meses em um fundo de investimento. Determinar a taxa média de rentabilidade mensal desse investimento. 11) Determinar o número de anos necessários para fazer um capital dobrar de valor com a taxa de juros de 15% ao ano, no regime de juros compostos. 12) Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de $100, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros:

a)12,6825% ao ano b) 6,1520% ao semestre c) 1,00% ao mês

10

Equivalência de Capitais 13) Verificar se a juros compostos de 1,31% ao mês, os conjuntos de capitais A e B são equivalentes.

Conjunto A Conjunto B Capital Mês de vencimento Capital Mês de vencimento $3.000 1 $3.150 1 $3.200 2 $3.000 2 $3.420 3 $3.300 3 $3.700 4 $3.850 4

Respostas 1) $11.440,00 2) $8.474,58 3) 50 meses 4) 12,50% am 5) $72,00 6) $9.864,46 7) $16.247,13 8) CDI = 5,77%, dólar = 1,34%, IBOVESPA = -7,16% 9) $742,20 10) 1,41% am 11) 5 anos 12) a = b = c = $161,22 13) A = $12.880,34 B = $12.860,53 => não são equivalentes.

11

33.. TTaaxxaass ddee JJuurrooss

3.1 Taxas Equivalentes

Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas ao mesmo capital durante um

mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

ia = taxa de juros anual is = taxa de juros efetiva semestral it = taxa de juros efetiva trimestral im = taxa de juros efetiva mensal id = taxa de juros efetiva diária (dia útil)

Nota: O Banco Central do Brasil determina que o ano tem 252 dias úteis.

Dicas Para armar a fórmula corretamente, você tem que colocar o “elevado” (a potência) na taxa que tiver o prazo menor. O valor elevado será quantas vezes ele estiver inserido no maior. Assim, para calcular a taxa equivalente ao mês, tendo-se uma taxa anual, basta fazer: Passo 1 – Armar a equação básica: (1 + taxa mês) = (1 + taxa ano) Passo 2 – Responder à pergunta: o que é menor, mês ou ano? Como temos 12 meses em 1 ano, vamos colocar a potência em (1 + taxa mês), que vai ficar (1 + taxa mês)12.

E assim faremos para todos os diferentes prazos, utilizando sempre este raciocínio.

(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + im)12 = (1 + id)252

12

Exemplo

1. Qual a taxa de juros anual equivalente a uma taxa de juros mensal de 1%? (1 + im)12 = (1 + ia) (1 + 0,01)12 = (1 + ia) 1,0112 = 1 + ia ia = 1,1268 – 1 ia = 0,1268 = 12,68% a.a. 2. Qual a taxa de juros mensal equivalente a uma taxa de juros anual de 8,25%? (1 + im)12 = (1 + ia) (1 + im)12 = (1 + 0,0825) = 1,0825 12 12 im) (1 = 12 1,0825 1 + im = 1,08251/12 = 1,0066 im = 1,0066 - 1 = 0,0066 = 0,66% a.m.

Dicas 1. Quando você tem a variável, para a qual deseja encontrar o resultado, embaixo da potência, como no caso acima, onde (1 + im)12, você tem que soltar a variável de dentro do parêntese. A solução do problema é você fazer a operação inversa, tirando, no caso, a raiz 12. Se você tirar a raiz 12 de um lado da equação, você terá que tirar do outro lado também. 2. n x = x1/n. Logo 12 0825,1 = 1,08251/12

3.2 Taxa de Juros Nominal

É a taxa de juros na qual a unidade de referência temporal não coincide com a

unidade de tempo de capitalização.

Exemplo

Se você entrar no site do Banco Central do Brasil (WWW.bcb.gov.br) encontrará na Home Page, do lado direito, o seguinte dado:

13

Dado de 05/04/2010

Essa Taxa Selic Diária é a Taxa Nominal, a que “está no nome”, a “que é apresentada”. Entretanto, quem aplicou apenas por um dia, vai ganhar apenas o equivalente a um dia dessa taxa. Da mesma forma que essa taxa embute também a inflação, não podendo ser considerada uma taxa real. Outro exemplo é a taxa de juros da caderneta de poupança: TR + 6% a.a., capitalizada mensalmente. Esta é a taxa apresentada, a Taxa Nominal. A taxa efetivamente paga é TR + 6 ÷ 12 = TR + 0,5% a.m. E você já aprendeu que 12 meses de 0,5% composto será diferente de 6% a.a.

3.3 Taxa de Juros Efetiva

É a taxa de juros efetivamente paga pela aplicação de um capital.

Exemplo

Como vimos acima, a taxa de juros nominal da caderneta de poupança é TR + 6% a.a., capitalizada mensalmente, o que significa TR + 0,5% a.m.. Pergunta-se, portanto: qual a taxa efetiva desta aplicação? 6% 12 = 0,5% a.m. = 0,005 (1 + ia) = (1 + 0,005)12 ia = (1 + 0,005)12 – 1) = 0,0617 = 6,17% a.a. ou, na HP 12C: [f] [REG] [1,005] [ENTER] [12] [yx] [1] [-] [100] [x]

14

3.4 Taxa de Juros Bruta e Líquida

A taxa de juros bruta não considera o imposto de renda retido. Já a taxa de juros

líquida, leva em conta o imposto de renda retido na fonte pela instituição financeira.

Exemplo

Sabendo-se que a alíquota de imposto de renda sobre uma aplicação financeira é de 20% sobre o rendimento, qual a taxa bruta e líquida de uma aplicação no valor de $1.000,00, com resgate bruto de $1.014,10? Taxa bruta = ($1.014,10 $1.000,00) - 1 = 1,0141 = 1,41% Rendimento = $1.014,10 – $1.000,00 = $14,10 Imposto de renda = $14,10 x 20% = $2,82 Rendimento líquido = $14,10 – $2,82 = $11,28 Taxa líquida = $11,28 $1.000,00 = 0,01128 = 1,128%

3.5 Taxa de Juros Real

A taxa de juros real desconta o efeito da inflação, ou de outro indexador

utilizado.

Exemplo

Sabendo-se que a Taxa DI (popularmente chamado de CDI) em 2000 foi 17,31%, e que o IPCA foi 6,0%, pergunta-se: qual a taxa de juros real da economia? (1 + iR) (1 + inflação) = (1 + iN) (1 + iR) (1 + 0,06) = (1 + 0,1731) (1 + iR) = 1,1731 / 1,06 = 1,1067 iR = 10,67%

15

Dicas Preste bastante atenção para não errar. Repare que o correto é multiplicar e não

somar o indexador com a taxa de juros real.

Exemplo com aplicação prática

Um gerente oferece a você duas possibilidades de investimento, ambas com

prazo de vencimento de 1 ano e de emissão da mesma instituição financeira. (A) título

prefixado em 10% a.a. e (B) título que rende IGPM + 5,3%. Sabendo-se que a

expectativa de inflação para o período é de 4,2%, qual deve ser o título escolhido?

IGPM + 5,3% = 10,0%

(1 + IGPM) (1 + 0,053) = (1 + 0,10)

Para solucionar o problema, você deve descobrir se 5,3% é uma boa taxa (x),

com base em uma expectativa de IGPM de 4,2%. Substituindo...

(1 + 0,042) (1 + x) = (1 + 0,10)

(1 + x) = 0,042) (10,10) (1

= 1,0557

x = 0,0557 = 5,6%

Como o título paga somente IGPM + 5,3%, e dado que a taxa que iguala a 10%

(com uma expectativa de IGPM de 4,2%) é de 5,6%, portanto maior do que 5,3%,

dentre as duas opções apresentadas, o investidor racional deveria escolher o título A,

prefixado em 10%.

16

Dicas 1. Em tese, a rentabilidade de ambos os títulos deve ser igual. Se A render mais do que B, todo vai preferir aplicar no titulo A, sendo a recíproca verdadeira. 2. Lembrando que não se soma! 3. No fundo, o que você quer saber é se 5,3% é um cupom desejável. Cupom é esse adicional que o título paga, além da simples correção do título pela inflação. 4. Quando um título rende indexador + cupom, como é o caso de um título que rende IPCA + x (NTN-B1, por exemplo), primeiro o título deve ser corrigido pelo indexador, para depois ser aplicada a taxa do cupom.

Exercícios

1) Qual a rentabilidade média mensal do CDI, dólar e IBOVESPA, em 1999, sabendo-se que a rentabilidade acumulada no ano para cada índice foi de: a) CDI = 25,12%, b) dólar = 48,13%, c) Ibovespa = 150,90%? 2) Quanto terei na poupança, após 7 meses, supondo-se uma TR mensal de 0,15% e valor aplicado de $1.400? (obs.: A caderneta de poupança rende 6% ao ano, capitalizada mensalmente) 3) Qual a taxa diária equivalente a uma aplicação mensal, com 22 dias úteis, com rendimento de 1,20%? 4) Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em 4 meses. Qual seria o rendimento de 11 meses? 5) Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% ao ano, capitalizada mensalmente. Calcular a taxa efetiva equivalente para os seguintes prazos: a) 180 dias, b) 3 meses, c) 5 trimestres, d) 7 semestres. 6) A que taxa nominal ao ano, capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta em um montante de $23.000 em 7 meses? 7) Dada a taxa efetiva de 48% ao ano, determinar a taxa equivalente ao: a) mês, b) trimestre, c) ao dia útil. (obs.: De acordo com o Banco Central do Brasil, 1 ano = 252 dias úteis.) 8) Calcular o montante para um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses abaixo:

1 A NTN-B é um título de emissão do Tesouro Nacional e paga juros semestrais e o principal no vencimento.

17

Prazo Taxa nominal Capitalização

a 3 meses 48% a.s. mensal b 2 anos 18% a.a. mensal c 17 dias 9% a.m. diária (dias úteis)*

* 1 ano = 252 dias úteis

9) O PIB de um país dobrou em 10 anos. Qual foi a taxa média de crescimento anual? 10) Uma pessoa precisa de $10.000 por 2 anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições: a) juros nominais de 5,25% ao ano capitalizados trimestralmente; b) taxa nominal de 5,375% ao ano capitalizada semestralmente; c) juros simples de 5,5% ao ano. Qual é a melhor oferta? 11) Um cliente deseja ter, ao final de 12 meses, o equivalente a $100.000 para comprar seu apartamento. Sabendo que a rentabilidade líquida do seu investimento nos últimos 15 meses foi de 23,37%, e que não há perspectiva de alteração da taxa de juros, nem da rentabilidade da aplicação onde ele pretende investir, que valor deve aplicar hoje? 12) Devido a meu passivo em dólar, procuro me basear na desvalorização do real para medir a performance das minhas aplicações. No ano passado apliquei em um fundo cambial que rendeu 14,97% no ano. Sabendo que a desvalorização do real neste ano fora de 9,85% e que o título do governo americano rendeu em média no ano 4,75%, o que teria sido melhor: aplicar no fundo cambial ou no título do governo americano? Obs.: Meu dinheiro está no Brasil e eu teria que converte-lo ao dólar para aplicar no título do Tesouro Americano. Respostas 1) a) 1,885% a.m., b) 3,329% a.m., c) 7,967% a.m. 2) $1.465,03 3) 0,0542% a.d. 4) $14.043,78 5) a) 54,33%, b) 24,23%, c) 195,89%, d) 1.985,24% 6) 101,90% a.a. 7) a) 3,32% a.m., b) 10,30% a.t., c) 0,1557% a.d. 8) a) $2.519,42, b) $2.859,01, c) 2.011,66 9) 7,18% a.a. 10) A é ligeiramente melhor que C, que é melhor que B. 11) $84.534,18 12) Aplicar no título do governo americano.

18

44.. FFlluuxxoo ddee CCaaiixxaa

Fluxo de caixa é uma seqüência de pagamentos ou recebimentos efetuados a

intervalos de tempo iguais.

4.1 Série Mista

Diz-se que a série é mista quando os pagamentos são de valores variados,

conforme diagrama abaixo:

123 117

85 85

26

0 1 2 3 4 5 6

-34

-100

Dicas 1. Setas para baixo indicam valores desembolsados e setas para cima, valores recebidos. 2. Valores desembolsados têm sinal negativo e valores recebidos têm sinal positivo.

Exemplo

Qual o valor presente da série abaixo, dado que a taxa de juros por período é de

1,5%?

19

100 50 75

0 1 2 3

P = F / (1 + i)n

P1 = 100 / (1 + 0,015)1 = 98,52

P2 = 50 / (1 + 0,015)2 = 48,53

P3 = 75 / (1 + 0,015)3 = 71,72

P = 98,52 + 48,53 + 71,72 = 218,77

4.2 Série Uniforme - Prestação

Diz-se que a série é uniforme quando os pagamentos ou recebimentos são de

valores iguais, conforme demonstrado no diagrama a seguir:

35 35 35 35 35 35

0 1 2 3 4 5 n

Para os cálculos dos valores presentes, futuros e dos pagamentos, são utilizadas

as fórmulas que se seguem:

Quando o objetivo é conhecer o valor da prestação (PMT), tendo como dada o

Valor Futuro (F), as fórmulas utilizadas são:

PMT = F1 - i) (1 n

i

20

F = PMTi

i n 1)1(

Caso a variável conhecida seja o Valor Presente (P), deve-se utilizar a fórmula

abaixo para encontrar o valor dos pagamentos mensais (PMT):

P = PMT n

n

iii

)1(1)1(

PMT = P1)1(

)1(

n

n

iii

Exemplo

Ao comprar uma geladeira, verifiquei que seu preço à vista era $942,69, e que poderia pagar em 5 prestações iguais, sendo a primeira daqui a 30 dias. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pela empresa era de 2% a.m., qual o valor da prestação a ser paga?

P = PMT n

n

iii

)1(1)1(

942,69 = PMT 5

5

)02,01(02,01)02,01(

= 200,00

Para utilizar a fórmula do Valor Futuro, é necessário, no problema apresentado, levar o Valor Presente (942,69) a Valor Futuro, utilizando-se a fórmula de juros compostos, conforme demonstrado a seguir: F = P (1 + i)n = 942,69 x (1 + 0,02)5 = 1.040,81

F = PMTi

i n 1)1(

PMT = F1 - i) (1 n

i = 1.040,81 x 1 - 0,02) (1

02,05

= 200,00

21

Na HP 12C: [f] [REG] [2] [i] [5] [n] [942,69] [CHS] [PV] [PMT]

Dicas 1. CHS = change signal (trocar sinal). Ao apertar essa tecla, o número troca de sinal. Neste caso, como trata-se do valor inicial, ele é considerado como um desembolso, daí ficar com sinal invertido. Caso a variável conhecida fosse o Valor Futuro, não haveria necessidade de apertarmos a tecla [CHS]. 2. Observe se o visor da sua HP 12C não aparece “BEG”. Caso positivo, isso significa que a máquina vai considerar que a primeira prestação será paga no ato da compra. Para que a sua calculadora assuma que as prestações serão pagas no final de cada período, é necessário apertar as teclas [g] [END]. 3. Será muito difícil você calcular o valor da taxa de juros e da quantidade de pagamentos utilizando as fórmulas fornecidas acima. Essas contas requerem a utilização do conceito de logaritmo para sua solução. Nestes casos, a utilização da calculadora financeira é fundamental.

Exemplo

Um vendedor oferece duas modalidades de pagamento para um automóvel que vale R$ 40.000,00 caso seja pago no ato da compra. Se o cliente desejar, ele pode dar um sinal de R$ 10.000,00 e financiar o restante em 36 prestações de 1.000,00 por mês. Qual a taxa mensal de juros cobrada no financiamento? P = $40.000,00 - $10.000,00 = $30.000,00 N = 36 PMT = $1.000,00 i = ? [f] [REG] [36] [n] [30000] [CHS] [PV] [1000] [PMT] [i] E aparecerá no visor o valor da taxa de juros, que é igual a 1,02% a.m.

22

4.3 Sistemas de Amortização

4.3.1 Pagamento no Final

Há diversos títulos no mercado que pagam os juros mais o principal aplicado

(amortização) no vencimento da operação. Esse é o caso do conhecido CDB

(Certificado de Depósito Bancário), por exemplo.

Exemplo

Suponha uma aplicação de R$ 100,00 pelo período de um ano a uma taxa de 10% a.a. Qual o valor a ser resgatado no vencimento? F = P (1 + i)n F = 100 x (1 + 0,10)1 = 110,00 110,00 1 -100,00

4.3.2 Pagamento Periódico de Juros e Principal no Final

Os títulos de longo prazo normalmente pagam juros periódicos. Assim também

funcionam as operações de leasing.

Exemplo

Suponha um título de renda fixa de valor de face R$100,00 e que paga juros anuais de 5% a.a. sobre o valor de face e devolve o principal (amortiza) no vencimento, que ocorrerá daqui a 10 anos. $105 $5 $5 $5 $5

23

1 2 3 4 10 -$100

4.3.3 Sistema de Amortização Francês - SAF

O SAF se caracteriza por ser um sistema de prestações iguais, sucessivas e

periódicas. Como veremos a seguir, nesse sistema, cada prestação é composta de

juros mais amortização, sendo que o valor dos juros decresce a cada prestação,

enquanto o valor da amortização vai decrescendo. A vantagem do SAF para quem está

tomando emprestado o dinheiro é que o valor da prestação é constante, permitindo

que o mesmo possa programar suas finanças pessoais.

A metodologia do SAF é utilizada em operações de financiamento imobiliário e

de crédito direto ao consumidor.

PMT PMT PMT PMT PMT

1 2 3 4 n

P

Para o cálculo das prestações, são utilizadas as mesmas fórmulas de PMT, já

apresentadas no item 3.2.

Exemplo

Supondo um empréstimo de $1.000,00, que cobra juros de 8% a.a., para ser pago em 4 prestações, calcular o valor dos juros, da amortização e da prestação, pelo modelo SAF.

24

P = PMT n

n

iii

)1(1)1(

1000 = PMT 4

4

)08,01(08,01)08,01(

= 301,92

Anos

Saldo no início do

ano (A) = (F)

Juros do ano - 8%

(B)

Saldo no final do ano antes

do pagamento

(C)

Pagamentos no final do ano

Saldo no final do ano, após o pagamento (F) = (A – E)

Total - PMT (D)

Juros

(B)

Amort

(E) = (D–B) 0 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08 2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,40 3 538,40 43,07 581,48 301,92 43,07 258,85 279,56 4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00

Soma dos pagamentos

1.207,68

207,68

1.000,00

Tabela Price

A Tabela Price é o método de amortização baseado nas tabelas de Richard Price.

A princípio, ela foi idealizada pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No

entanto, a partir da 2ª revolução industrial, sua metodologia de cálculo foi aproveitada

para cálculos de amortização de empréstimo.

Trata-se de um caso particular do Sistema de Amortização Francês. Seu cálculo é

idêntico ao exemplo anterior, sendo que a taxa informada é diferente do período a

que se refere o cálculo dos juros. Por exemplo, a taxa informada é de 10% ao ano,

com pagamento de juros mensais. Nesse caso, basta apurar a taxa efetiva e efetuar os

cálculos.

4.3.4 Sistema de Amortização Constante: SAC

Enquanto no SAF o valor das prestações é constante, no SAC as prestações vão

decrescendo ao longo do tempo, assim como os juros, mantendo-se constantes

25

apenas as amortizações. Neste sistema, calcula-se primeiro a amortização e os juros,

para encontrar a prestação total numa segunda etapa, conforme veremos logo a

seguir.

Utilizada nas operações de financiamentos imobiliários e nos financiamentos de

longo prazo de um modo geral.

Exemplo

Repetindo os dados do exemplo utilizado no SAF: Supondo um empréstimo de $1.000,00, que cobra juros de 8% a.a., para ser pago em 4 prestações, calcular o valor dos juros, da amortização e da prestação, pelo sistema SAC. Valor das amortizações: $1.000,00 ÷ 4 = $250,00 (D)

Anos

Saldo no início do

ano (A) = (F)

Juros do ano – 8%

(B)

Saldo no final do ano antes do pagamento

(C)

Pagamentos no final do ano

Saldo no final do ano, após o pagamento

(F)=(C-E) Amort.

(D) Juros

(B) Total

(E)=(D+B)

0 1.000,00 1 1.000,00 80,00 1.080,00 250,00 80,00 330,00 750,00 2 750,00 60,00 810,00 250,00 60,00 310,00 500,00 3 500,00 40,00 540,00 250,00 40,00 290,00 250,00 4 250,00 20,00 270,00 250,00 20,00 270,00 0,00

Soma dos pagamentos

1.000,00

200,00

1.200,00

Exercícios 1) Determinar o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, sucessivas e iguais a $1.000, sendo a primeira daqui a 30 dias. 2) O preço à vista de um equipamento é igual a $11.400. Uma loja o está anunciando por $1.400 de entrada e mais quatro prestações trimestrais de $2.580. Determinar a taxa efetiva trimestral de juros cobrada na parte financiada. 3) Um principal de $10.000 deve ser liquidado em quatro prestações semestrais, iguais e sucessivas, sendo a primeira no ato da compra. Determinar o valor dessas prestações para uma taxa de 1,5% ao mês, a juros compostos.

26

4) O financiamento de um principal de $1.000 pode ser amortizado no prazo de quatro anos, com uma taxa de 8% ao ano. Elaborar 3 planos diferentes de pagamentos:

a) Pagamento no final do 4o ano; b) Pagamento dos juros no final de cada ano e o principal ($1.000) no final do 4o ano, junto com o último pagamento; c) Pagamento de 4 prestações iguais, sendo a primeira no final do 1º ano; d) Comparar o plano D com os três anteriores. Calcular o Valor Presente.

Anos Plano A Plano B Plano C Plano D

0 1 330 2 310 3 290 4 270

Soma 1.200 5) Você foi a uma loja comprar roupas que totalizaram $600,00. A vendedora lhe oferece os seguintes planos de pagamento. Compare e veja qual o mais vantajoso, dado que seu dinheiro no banco rende 2% ao mês:

a) Pagamento à vista com 10% de desconto; b) Pagamento em 4 vezes, sendo a primeira prestação no ato da compra; c) Pagamento em 3 vezes, sem entrada, ou seja, a primeira prestação em 30 dias.

6) Uma pessoa deposita mensalmente $120 durante 13 meses em uma aplicação que rende juros efetivos de 4% ao mês. Se pretende resgatar o capital por meio de 3 saques mensais iguais e consecutivos, o primeiro um mês depois do último depósito, calcular o valor de cada saque. 7) Uma pessoa deposita mensalmente $280 em uma aplicação que paga juros efetivos de 1% ao mês. No futuro pretende resgatar o investimento por meio de 5 saques semestrais de $14.253,54, o primeiro iniciando 6 meses após o último depósito. Quantos depósitos serão necessários? 8) Uma dívida de $1.500.000 contratada a juros nominais de 16% ao ano, capitalizados trimestralmente, será amortizada pela tabela Price em 8 anos, por meio de pagamentos trimestrais. Determinar:

a) o saldo devedor ao fim do 3o ano; b) o saldo devedor imediatamente antes do 15o pagamento; c) a distribuição do 20o pagamento em juros e amortização da dívida; d) o total de juros pagos no período.

9) Um financiamento de $500.000 será pago pelo sistema SAC em 5 parcelas mensais a juros efetivos de 4% ao mês. Calcular:

a) a amortização do 4o mês; b) a soma dos juros pagos no 2o e no 3o mês; c) o saldo devedor logo após o pagamento da 3a prestação.

10) Quero ter $1.000.000 ao me aposentar. Sabendo que

a) taxa de juros mensal média, líquida de imposto de renda, esperada para os próximos 20 anos é de 0,80%; b) pretendo me aposentar daqui a 19 anos; e c) minha idéia é fazer aplicações mensais iguais,

27

pergunta-se: quanto tenho que depositar mensalmente para atingir minha meta? Respostas: 1) $11.255,08 2) 1,27196% a.t. 3) $2.844,27 4) a) $1.360,49, b) $80 / $80 / $80 / $1080, c) $301,92, d) $1.000,00 5) A 6) $747,73 7) 115 8) a) $100.000, b) $28.000, c) $200.000 9) a) $100.000,00, b) $28.000,00, c) $200.000,00 10) $1.552,86

28

55.. DDeessccoonnttoo

Desconto é a diferença entre o valor nominal de um título na data de seu

vencimento e o valor líquido pago, na data em que é efetuado o desconto. Em outras

palavras:

Valor nominal = valor de resgate ou valor definido para um título em sua data

de vencimento.

Valor descontado = valor nominal - desconto

Tipos de descontos:

Os descontos, simples ou compostos, podem ser classificados em:

Comercial, bancário ou por fora; e

Racional ou por dentro.

Chamamos os descontos de simples ou compostos, em função do regime de juros

(simples ou composto) utilizado nos cálculos.

5.1 Desconto por Fora (Comercial ou Bancário)

Sendo o mais utilizado no sistema financeiro para operações de curto prazo, é

calculado sobre o valor nominal (valor de face) do título.

5.1.1 Desconto por fora no regime de juros simples:

D = N.d.n .

29

Onde: D = desconto

N = valor nominal = valor futuro

d = taxa de desconto

n = número de períodos

VF = N – D

VF = N – Ndn => VF = N(1 – dn) .

Onde: VF = Valor descontado (ou liberado) por fora

Dicas

Em termos matemáticos, o “d” é a mesma coisa que o “i” estudado até agora. Usa-se

essa notação “d” devido ao termo “taxa de desconto”.

Exemplo

Determinar o valor do desconto simples e do valor descontado de um título de $100.000, com vencimento para 90 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 2,1% a.m.. n = 90 dias = 3 meses d = 2,1% a.m. = 2,1% x 3 = 6,3% no trimestre D = $100.000,00 x 6,3% = $6.300,00 VF = 100.000,00 – 6.300,00 = $93.700,00

5.1.2 Desconto por fora no regime de juros compostos

Neste tipo de desconto, os cálculos são realizados usando-se uma taxa de juros

compostos postecipada.

30

É tradição os bancos fornecerem a taxa de desconto nominal ao mês. Para

calcular a taxa de desconto que será fornecida ao cliente, o banco converte a taxa de

juros para o prazo do desconto e, a seguir, postecipa a taxa de juros convertida,

transformando a taxa de juros postecipada em taxa mensal de desconto.

VF = N(1 – d) n

Dado que: DF = N – VF DF = N – N(1 – d)n

DF = N [1 – (1 – d)n]

Este tipo de desconto (composto por fora) é raramente empregado no Brasil,

não apresentando uso prático.

Exemplo

Um título de valor nominal de $150.000,00 é negociado mediante uma

operação de desconto composto “por fora” 2 meses antes de seu vencimento, com uma taxa de desconto de 6% a.m.. Determinar o valor descontado e o desconto da operação. N = 150.000 VF = ? n = 2 meses DF = ? d = 6% a.m. DF = N [1 – (1 – d)n] DF = 150.000,00 [1 – (1 – 0,06)2] DF = $17.460,00 VF = N(1 – d)n VF = 150.000,00(1 – 0,06)2 VF = $132.540,00

31

5.2 Desconto por Dentro (ou Racional)

Difere-se do desconto por fora pois, enquanto este utiliza para base de cálculo o

valor futuro do título, o desconto por dentro é calculado sobre o valor atual do

mesmo. Também é por vezes chamado de desconto financeiro.

5.2.1 Desconto racional no regime de juros simples

Utiliza-se para o cálculo do desconto racional no regime de juros simples a

mesma fórmula de juros simples, apenas com notação diferente.

Formulário:

DR = P.d.n

onde: DR = Desconto racional

P = Capital inicial ou Valor Descontado

d = taxa de juros utilizada para descontar o título

Sabendo-se que o desconto é igual ao valor nominal menos o valor descontado,

tem-se:

DR = N - VR

onde: VR = Valor descontado racional

N = Valor nominal

Relembrando a fórmula de juros simples, onde F = P(1 + in), e sendo F = N, então:

VR = P = dn

N1

Substituindo, encontra-se:

32

DR = N - dn

N1

= dn

NdnN

1

)1( = dn

NNdnN

1

DR = dn

Ndn1

Dado que DR = N - VR, logo VR = N - DR

Substituindo, encontra-se:

VR = N - dn

Ndn1

= dn

NdndnN

1

)1( = dn

NdnNdnN

1

VR = dn

N1

Exemplo

Ao descontar um título pela modalidade de desconto racional no regime de juros simples, me foi concedido um desconto de 10%. Sabendo-se que o valor atual do mesmo é de $53.422,05, qual o valor do desconto? N = 53.422,05 DR = P.d.n DR = 53.422,05 x 0,20 x 1 = $10.684,41

5.2.2 Desconto racional no regime de juros compostos

No regime de juros compostos, a fórmula a ser utilizada é a mesma para cálculo

de valor futuro e presente de juros compostos, onde: F = P(1 + i)n, trocando-se apenas

as notações. Desta forma: i = d; F = N e P = VR. Assim sendo:

33

VR = ndN

)1(

Dado que DR = N - VR, e substituindo-se, tem-se:

DR = N - ndN

)1(

Logo:

DR = N

ni)1(11

Exemplo

Um título que vence em final de outubro de 2011, foi descontado 3 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 6% a.m., pelo regime de juros compostos por dentro. Sabendo-se que o valor nominal do título é de $200.000,00, qual o valor do desconto e qual o valor que será recebido pelo detentor deste título?

VR = ndN

)1( = 3)06,01(

200000

= $167.923,86

DR = 200.000,00 - 167.923,86 = $32.076,14 Dicas Para não confundir a cabeça com tanta fórmula, vale apenas entender bem a diferença entre desconto racional ou por dentro e desconto comercial/bancário ou por fora. Ficando esse conceito bem claro para você, utilize as fórmulas normais de juros simples e compostos para aplicar em problemas de desconto por dentro. Sei que notações diferentes podem confundir, daí que a compreensão é muito importante pois, através dela, e estando as fórmulas básicas de juros simples e compostos, demonstradas no início deste livro, fixadas, qualquer problema de matemática financeira pode ser encaminhado.

34

Para Fixar

Para fixarmos o conceito de por dentro x por fora, vamos fazer uma analogia com a cobrança de ICMS no Brasil e de imposto de vendas (sales tax) nos Estados Unidos. Enquanto lá o imposto é cobrado por dentro, sobre o valor líquido, aqui no Brasil, o ICMS é cobrado por fora, sobre o valor cheio, valor pago pelo consumidor.

5.3 Relação entre Taxa de Juros Efetiva e Taxa de Desconto

Taxa de desconto é a taxa nominal concedida sobre o título. Taxa de juros é a

taxa efetiva cobrada no título.

Exemplo

Ao pesquisar sobre um aparelho de DVD, o vendedor me mostrou as seguintes opções:

i. Pagar em 3 prestações iguais de $333,00; ou ii. Pagar à vista com 15% de desconto.

Sabendo-se que a taxa de juros cobrada no financiamento é de 5,2% ao mês,

pergunta-se:

a) Qual o valor do desconto concedido? b) Qual a melhor opção? c) Qual a taxa efetiva, cobrada pela empresa, para quem decide comprar a prazo?

PMT = 333,00 n = 3 i = 5,2% a.m. D = 15% por fora Na HP 12C: [f] [REG] [3] [n] [333] [PMT] [5,2] [i] [FV] FV = 1.051,85 Na HP 12C: Sem ter mexido na calculadora, basta apertar [PV] PV = 903,45 D = 1051,85 x 15% = $157,78 (respondido o item “a”) Valor à vista = 1051,85 – 157,78 = $894,08 Como $894,08 < $903,45 => vale à pena pagar à vista. (respondido o item “b”)

35

Taxa efetiva: Na HP 12C: [f] [REG] [3] [n] [894,08] [CHS] [PV] [1051,85] [FV] [i] i = 5,57% a.m. (respondido o item “c”)

Exercícios Desconto Simples 1) Determinar a taxa mensal de desconto “por dentro” (ou taxa de rentabilidade) usada numa operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é de $10.000 e cujo valor do principal é de $9.750? 2) Determinar o valor de um desconto simples de um título de $1.000, com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de 1,2% ao mês. 3) Determinar o valor do desconto simples de um título de $1.000, com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês. 4) Determinar o valor da taxa mensal de desconto “por fora” usada numa operação de desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de $10.000 e com valor do principal igual a $9.750. (Compare com o exercício número 1) 5) Um título com 39 dias a decorrer está sendo negociado com uma rentabilidade de 1,2% ao mês. Assumindo o ano comercial com 360 dias, determinar a taxa de rentabilidade do título, no período. Desconto Composto 6) Um título com o valor de $10.000, com 60 dias para seu vencimento descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto “por fora” igual a 1,2% a.m.. Determinar o valor presente do título e o valor do desconto, expresso em $. 7) Uma promissória de $22.000 teve um desconto comercial de $1.200,00. Se a taxa de juros embutida na operação é de 48% ao ano, calcular o prazo da operação, a taxa mensal de desconto e a taxa de desconto efetiva. (Obs.: Trabalhar com mês de 30 dias corridos.) 8) Uma duplicata de $55.900, com vencimento em 60 dias, sofreu um desconto financeiro de $989. Qual seria o valor do desconto se a duplicata fosse descontada com base no desconto comercial? 9) A taxa de desconto “por fora” para um período de 60 dias no Banco Kapta é de 5,0% ao mês. O Banco Phi oferece a mesma taxa de desconto, porém “por dentro”. Determinar qual banco deve ser escolhido para descontar o título? 10) Um investidor deseja resgatar seu CDB prefixado que vale $150.000,00 no vencimento, que ocorrerá daqui a 183 dias úteis. Sabendo-se que a taxa de desconto oferecida pelo banco pelo título é de 12% ao ano, quanto irá receber o investidor sem descontar o imposto de renda? (Obs.: (i) 1 ano = 252 dias úteis; (ii) aplica-se nestes casos o desconto racional).

36

Respostas 1) 1,282% 2) $23,44 3) $30 4) 1,25% a.m. 5) 1,56% 6) PV = $9.761,44 e D = $238,56 7) n = 49 dias; TC = 3,32% a.m., Te = 5,48% 8) $997,79 9) Banco Kapta. 10) $138.149,59

37

66.. AAvvaalliiaaççããoo ddee PPrroojjeettooss:: aabboorrddaaggeennss ddee aappooiioo àà

ddeecciissããoo ddee iinnvveessttiimmeennttoo

6.1 Considerações iniciais

A maioria das empresas só dispõe de uma quantia fixa para fins de dispêndios de

capital. Inúmeros projetos poderão disputar essa quantia limitada. Então, a empresa

precisa racioná-los, apropriando fundos aos projetos que possam maximizar os

retornos a longo prazo.

Este capítulo abordará as principais técnicas utilizadas para avaliação de um

projeto, ou seja, trata dos conceitos e terminologia básicos de projetos, da

disponibilidade de fundos e das abordagens de decisões.

Um dos pontos que deve ser mencionado antes de entrarmos a fundo nos

métodos de decisão é o fato de que ao avaliar o retorno de um projeto, devemos fazê-

lo à luz de seu fluxo de caixa projetado e não de seu lucro contábil. Isso se dá porque o

fator mais importante para uma empresa é o caixa e não o lucro. Para o cálculo do

lucro são computados itens como depreciação e amortização, por exemplo, que não

têm impacto no caixa da empresa. Sabemos de muitas empresas que quebram por

falta de caixa, enquanto muitas perduram durante algum tempo mesmo com prejuízo

contábil.

38

Tipos de Projetos

Projetos independentes

Não competem entre si, de tal modo que a aceitação de um deles não elimina a

consideração dos outros. Se uma empresa tiver fundos ilimitados para investir, todos

os projetos independentes que satisfizerem seu critério mínimo para investimento

podem ser implementados.

Projetos mutuamente excludentes

Aqueles que possuem a mesma função. A aceitação de um grupo de projetos

mutuamente excludentes elimina a consideração de todos os outros projetos do

grupo.

6.2 Período de Payback

O período de payback refere-se ao número de anos necessários para se

recuperar o investimento inicial.

Vantagens e desvantagens do uso de períodos de payback:

Vantagens:

Considera fluxos de caixa, em vez de lucros contábeis.

Dá alguma consideração implícita à época dos fluxos de caixa, e assim ao

fator tempo no valor do dinheiro.

Medida de risco, pois reflete a liquidez do projeto e o risco de recuperar o

investimento.

39

Desvantagens:

Incapacidade de especificar o período de payback de acordo com o objetivo

de maximização da riqueza do acionista.

Não considera integralmente o tempo no valor do dinheiro.

Não considera fluxos de caixa que ocorrem após o período de payback.

Exemplo

Com base na Tabela 1, calcular o período de payback para os projetos A e B e,

com base neste critério, definir qual deve ser preferido.

Tabela 1

Projeto A Projeto B _____________________ _____________________ Investimento Inicial $42.000 $45.000

Ano

LAIR $

Fluxo Caixa $

LAIR $

Fluxo Caixa $

1 7.700 14.000 21.250 28.000 2 4.760 14.000 2.100 12.000 3 5.180 14.000 550 10.000 4 5.180 14.000 550 10.000 5 5.180 14.000 550 10.000

Média

5.600

14.000

5.000

14.000 Projeto A: Inv. Inic. = $42.000 Saídas $ = 5 x 14.000 PaybackA = 42.000 – 14.000 – 14.000 – 14000 = 0 => 3 anos Projeto B: Inv. Inic = $45.000 Saídas $ = 28.000, 12.000, 3 x 10.000 PaybackB = 45.000 – 28.000 – 12.000 – 10.000/2 = 0 => 2,5 anos PaybackB < PaybackA => B é preferível a A.

40

6.3 Valor Presente Líquido

VPL ou VAL (Valor Atual Líquido) ou NPV (Net Present Value)

Critério de decisão

Se VPL 0, deve-se aceitar o projeto, caso contrário, deve-se rejeitá-lo.

Exemplo

Com base na tabela 1 utilizada anteriormente, e sabendo que o custo de capital

para a empresa Project é de 18,25% a.a., calcular o VPL dos projetos A e B e definir qual deve ser o preferido.

VPL = Investimento Inicial -

5

15)1(

n

n iF

VPLA = 42000 –

5

15)1825,01(

14500n

n

VPLB = 45000 - 1)1825,01(28000

- 2)1825,01(12000

- 3)1825,01(10000

- 4)1825,01(10000

- 5)1825,01(10000

VPLA = $1.533,62 VPLB = $2.747,74 Na HP 12C: Projeto A: [f] [REG] [42000] [CHS] [g] [CF0] [14500] [g] [CFj] [5] [g] [Nj] [18,25] [i] [f] [NPV] Projeto B: [f] [REG] [45000] [CHS] [g] [CF0] [28000] [g] [CFj] [12000] [10000] [g] [CFj] [g] [CFj] [3] [g] [Nj] [18,25] [i] [f] [NPV]

VPL = Valor presente das entradas de caixa – Investimento inicial

41

Ambos os projetos são aceitáveis, porém, dado que VPLB > VPLA => B é preferível a A.

6.4 Índice de Lucratividade

Às vezes denominado de índice de custo-benefício, o índice de lucratividade

mede o retorno relativo ao valor atual por $1,00 investido. A diferença do IL para o

VPL é que o VPL dá a diferença monetária entre o valor atual dos retornos e o

investimento inicial.

Critério de decisão

Se IL 1, deve-se aceitar o projeto; caso contrário, rejeitá-lo.

Obs.: Se uma empresa tiver fundos ilimitados, provavelmente a classificação

pelo VAL seria a preferida, ao passo que nos casos de racionamento de capital,

provavelmente a classificação com base no IL seria mais útil, já que os IL’s indicam o

retorno por dólar proveniente de um projeto.

Exemplo

Com base na tabela 1, e sabendo-se que o custo de capital da empresa Project é de 18,25% a.a., calcular o índice de lucratividade dos projetos A e B e definir, com base neste critério, qual deve ser preferido. Projeto A: Valor Presente das entradas de caixa = 43.533,62 Investimento Inicial = 42.000

IL = Valor presente das entradas de caixa

Investimento inicial

42

ILA = 43.533,62 / 42.000 = 1,0365 ILA > 0 => aceitar A Projeto B: Valor Presente das entradas de caixa = 47.747,74 Investimento Inicial = 45.000 ILB = 47.747,74 / 45.000 = 1,0611 ILB > 0 => aceitar B ILB > ILA => B é preferível a A

6.5 Taxa Interna de Retorno (TIR)

Ou Internal Rate of Return (IRR, na HP 12C)

Assim como o VPL, a TIR é uma técnica muito usada para se avaliar alternativas

de investimento. É interessante notar que o mesmo conceito é utilizado para o cálculo

do rendimento de um título de renda fixa e de uma carteira de investimentos.

A TIR é definida como a taxa de desconto que leva o valor presente das

entradas de caixa a se igualarem ao investimento inicial referente a um projeto. Em

outras palavras, é a taxa de desconto que, aplicada aos cálculos do projeto, faz com

que o VPL seja igual a zero.

Quando não se dispõe de uma calculadora financeira, a TIR é calculada por

tentativa-e-erro.

Critério de decisão

Se TIR custo de capital, aceitar o projeto, caso contrário, rejeitá-lo.

Exemplo

Com base na Tabela 1, calcular a TIR dos projetos A e B e, sabendo-se que o custo de capital da empresa Project é 18,25% a.a., definir qual dos projetos é preferível.

43

Na HP 12C:

Projeto A [f] [REG] [42000] [CHS] [g] [CFo] [14000] [g] [CFj] [5] [g] [Nj] [f] [IRR] TIRA = 19,86% Projeto B Na HP 12C: [f] [REG] [45000] [CHS] [g] [CFo] [28000] [g] [CFj] [12000] [g] [CFj] [10000] [g] [CFj] [3] [g] [Nj] [f] [IRR] TIRB = 21,65% Dado que TIRA e TIRB > custo capital => ambos são aceitáveis. Porém, TIRB > TIRA => B é preferível a A, de acordo com este critério.

Dicas Se o VPL de um projeto for negativo, então a TIR desse projeto será sempre menor que o custo de capital que foi utilizado para o cálculo de seu VPL.

Observação: No caso de haver conflito entre dois projetos A e B, dado que, por

exemplo, a TIR do projeto A é maior que a TIR do projeto B e o VPL do projeto B é

maior que a do projeto A, então aceitar o projeto que tem o maior VPL. Não adianta

ter um retorno alto se o fluxo financeiro for pequeno. Trocando em miúdos, é

preferível ganhar 10% de $1 milhão ($100.000) a ganhar 15% de $100.000 ($15.000).

6.6 Comparação entre Projetos com Vidas Desiguais: Método do Valor Presente

Líquido Anualizado

Até agora, estudamos projetos mutuamente excludentes e com vidas iguais.

Entretanto, na vida real, nem sempre o problema se apresenta desta forma. Neste

caso, a técnica mais utilizada para comparar projetos com vidas desiguais é o método

do Valor Presente Líquido Anualizado (VPLA).

44

O método do valor presente líquido anualizado transforma o valor atual líquido

de projetos de vidas desiguais num montante anual que pode ser usado para escolher

o melhor projeto.

VPLAj = ni

j

FVPAVPL

,

Sendo FVPAj,n = n

n

iii

)1(1)1(

VPLAj = 1)1(

)1(*

n

nj

iiiVPL

Dicas 1. FVPAj,n = Fator que multiplica o PMT para encontrar o P (item 3.2 deste livro). O FVPAj,n pode ser encontrado no Material Complementar, disponibilizado no final deste livro. 2. O que se pretende, na verdade, é encontrar a prestação (PMT) correspondente ao VPL calculado, distribuindo esse VPL ao longo da vida útil do projeto, dado um determinado custo de capital (i).

Observação: É esperado levantar dúvidas com relação à validade de algum método

que satisfaça a análise de projetos com vidas desiguais. O VPL Anualizado, entretanto,

é a melhor opção. É passível de questionamento caso a opção escolhida seja o de vida

menor. Há de se supor, entretanto, que ao terminar a vida do projeto, o investidor

tem a oportunidade de fazer outro projeto.

Exemplo

Uma empresa estuda a adoção de três projetos, cujos fluxos de caixa encontram-se descritos na Tabela 2 abaixo. Calcular os Valores Presentes Líquidos Anualizados dos projetos e, com base neste critério e em um custo de capital de 15,0% a.a., informar qual deve ser o preferido.

45

Tabela 2

Projeto

A B C Inv. Inicial $10.000 $12.000 $15.000

Ano Entradas de caixa 1 1.000 5.000 3.800 2 5.000 6.000 3.800 3 5.000 7.000 3.800 4 4.000 3.800 5 3.000 3.800 6 3.800 7 3.800 8 3.800

Projeto A: VPLA = $1.716 Na Tabela anexa: FVAA15,5 = 3,352 VPLAA = 1716 ÷ 3,352 = 512

ou VPLAA = 1)15,01(

)15,01(15,0*17165

5

= 512

ou na HP 12C: [f] [REG] [10000] [CHS] [g] [CF0] [1000] [g] [CFj] [5000] [g] [CFj] [2] [g] [Nj] [4000] [g] [CFj] [3000] [g] [CFj] [15] [i] [f] [NPV] [CHS] [PV] [5] [n] [PMT] Projeto B: VPLB = 1.487 VPLAB = 1487 ÷ 2,283 = 651 Projeto C: VPLC = 2.052 VPLAC = 2052 ÷ 4,487 = 457 Resposta: VPLAB > VALAA > VPLAC => B é o projeto preferível do ponto de vista do VPLA.

46

Exercícios 1) A empresa Cheiro da Terra está avaliando uma máquina nova para fabricar velas aromáticas. O ativo requer um investimento inicial de $24.000 e gerará uma entrada de caixa após o imposto de renda de $5.000 ao ano por oito anos. Para cada uma das taxas de retorno exigidas listadas abaixo:

(a) calcule o valor presente líquido; (b) indique se a máquina deve ser aceita ou rejeitada; e (c) explique sua decisão. 1. Taxa de retorno exigida é 10% 2. Taxa de retorno exigida é 12% 3. Taxa de retorno exigida é 14%

2) Uma empresa pode adquirir um ativo fixo por um investimento inicial de $13.000. Se o ativo rende uma entrada de caixa anual após o imposto de renda de $4.000 por 4 anos, e sabendo que o custo do capital para a empresa é de 10% ao ano:

a) Determine a taxa interna de retorno do projeto; b) Determine o valor presente líquido do ativo; c) Determine o índice de lucratividade; d) Indique se o projeto deve ser aceito ou rejeitado.

3) A empresa Sucesso e Participações Ltda. obteve a seguinte estimativa para um projeto a longo prazo que está considerando. O investimento inicial será $18.250 e espera-se que o projeto renda entradas de caixa após o imposto de renda de $4.000 ao ano, por sete anos. A empresa tem uma taxa de retorno exigida de 10%.

a) Determinar o valor presente líquido do projeto. b) Determinar o índice de lucratividade para o projeto. c) Determinar a taxa interna de retorno para o projeto. d) Você recomendaria a aceitação ou rejeição do projeto? Justifique sua resposta.

4) A Companhia Agulhas Negras está considerando um dispêndio de capital que requer um investimento inicial de $42.000 e retorno de entradas de caixa após o imposto de renda de $7.000 ao ano, por 10 anos. A empresa estabeleceu um padrão de payback mínimo de 8 anos. a) Determine o período de payback para este projeto. b) A empresa deveria aceitar o projeto? Justifique. 5) Os Empreendimentos Vida Nova desejam selecionar a melhor entre três máquinas possíveis. Espera-se que cada máquina atenda à necessidade de capacidade adicional de extrusão de alumínio. As três máquinas – A, B e C – têm riscos idênticos. A empresa planeja usar um custo de capital de 12% para avaliar cada uma. Abaixo são fornecidos o investimento inicial e as entradas de caixa anuais durante a vida de cada máquina. Máquina

47

A B C Inv. Inicial $42.000 $65.000 $100.500

Ano Entradas de caixa 1 12.000 10.000 30.000 2 12.000 20.000 30.000 3 12.000 30.000 30.000 4 12.000 40.000 30.000 5 12.000 30.000 6 12.000

a) Calcule o VPL para cada máquina durante sua vida. Classifique as máquinas em ordem decrescente com base no VPL. b) Utilize o método do valor atual líquido anualizado para calcular o VPLA de cada máquina. Classifique as máquinas em ordem decrescente com base no VPLA. c) Compare e contraste suas respostas em a e b. Qual máquina você recomendaria para a empresa comprar? 6) A Fábrica de Sapatos S.A., está avaliando uma máquina nova. O investimento inicial de $20.000 será depreciado durante sua vida normal de 5 anos. A máquina gerará lucros após o imposto de renda de $6.000 ao ano, em cada um dos cinco anos em que irá operar. a) Determine a taxa interna de retorno da máquina. b) Determine o período de payback para a máquina. Respostas 1) (1) a) $2.674,63, b) 838,20, c) – 805,68; (2) e (3) A máquina deve ser aceita somente no caso das taxas de retorno “a” e “b”, pois somente nestes casos o VPL > 0. 2) a) 8,86%, b) - $320,54, c) 0,98, d) Rejeitar. 3) a) $1.223,68, b) 1,0671, c) 12,0%, d) Aceitar porque VPL>0, IL>1 e TIR> custo de capital. 4) a) 6 anos, b) sim, pois 6 < 8 5) a) A: $7.336,89, B: $6.646,58, C: 7.643,29 b) A: $1.784,52, B: $2.188,28, C: $2.120,32 => B > C > A c) Comprar B. 6) 3,4 anos.

48

MMaatteerriiaall CCoommpplleemmeennttaarr

n

Fatores de Valor Presente de uma Anuidade de $1 Descontada a i% para n Períodos: FVPAi,n = Σ 1/(1 + i)t t=1

Período 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1

,990

,980

,971

,962

,952

,943

,935

,926

,917

,909

2 1,970 1,942 1,913 1,886 1,859 1,833 1,808 1,783 1,759 1,736

3 2,941 2,884 2,829 2,775 2,723 2,673 2,624 2,577 2,531 2,487

4 3,902 3,808 3,717 3,630 3,546 3,465 3,387 3,312 3,240 3,170

5 4,853 4,713 4,580 4,452 4,329 4,212 4,100 3,993 3,890 3,791

6

5,795

5,601

5,417

5,242

5,076

4,917

4,767

4,623

4,486

4,355

7 6,728 6,472 6,230 6,002 5,786 5,582 5,389 5,206 5,033 4,868

8 7,652 7,326 7,020 6,733 6,463 6,210 5,971 5,747 5,535 5,335

9 8,566 8,162 7,786 7,435 7,108 6,802 6,515 6,247 5,995 5,759

10 9,471 8,983 8,530 8,111 7,722 7,360 7,024 6,710 6,418 6,145

11

10,368

9,787

9,253

8,760

8,306

7,887

7,499

7,139

6,805

6,495

12 11,255 10,575 9,954 9,385 8,863 8,384 7,943 7,536 7,161 6,814

13 12,134 11,348 10,635 9,986 9,394 8,853 8,358 7,904 7,487 7,013

14 13,004 12,106 11,296 10,563 9,899 9,295 8,745 8,244 7,786 7,367

15 13,865 12,849 11,938 11,118 10,380 9,712 9,108 8,560 8,061 7,606

16

14,718

13,578

12,561

11,652

10,838

10,103

9,447

8,851

8,313

7,824

17 15,562 14,292 13,166 12,166 11,274 10,477 9,763 9,122 8,544 8,022

18 16,398 14,992 13,754 12,659 11,690 10,828 10,059 9,372 8,756 8,201

19 17,226 15,679 14,324 13,134 12,085 11,158 10,336 9,604 8,950 8,365

20 18,046 16,352 14,878 13,590 12,462 11,470 10,594 9,818 9,129 8,514

49

21

18,857

17,011

15,415

14,029

12,821

11,764

10,836

10,017

9,292

8,649

22 19,661 17,658 15,937 14,451 13,163 12,042 11,061 10,201 9,442 8,772

23 20,456 18,292 16,444 14,857 13,489 12,303 11,272 10,371 9,580 8,883

24 21,244 18,914 16,936 15,247 13,799 12,550 11,469 10,529 9,707 8,985

25 22,023 19,524 17,413 15,622 14,094 12,783 11,654 10,675 9,823 9,077

30

25,808

22,396

19,601

17,292

15,373

13,765

12,409

11,258

10,274

9,427

35

29,409

24,999

21,487

18,665

16,374

14,498

12,948

11,655

10,567

9,644

40

32,835

27,356

23,115

19,793

17,159

15,046

13,332

11,925

10,757

9,779

45

36,095

29,490

24,519

20,720

17,774

15,456

13,606

12,108

10,881

9,863

50

39,196

31,424

25,730

21,482

18,256

15,762

13,801

12,233

10,962

9,915

n

Fatores de Valor Presente de uma Anuidade de $1 Descontada a i% para n Períodos: FVPAi,n = Σ 1/(1 + i)t t=1

Período 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%

1

,901

,893

,885

,877

,870

,862

,855

,847

,840

,833

2 1,713 1,690 1,668 1,647 1,626 1,605 1,585 1,566 1,547 1,528

3 2,444 2,402 2,361 2,322 2,283 2,246 2,210 2,174 2,140 2,106

4 3,102 3,037 2,974 2,914 2,855 2,798 2,743 2,690 2,639 2,589

5 3,696 3,605 3,517 3,433 3,352 3,274 3,199 3,127 3,058 2,991

6

4,231

4,111

3,998

3,889

3,784

3,685

3,589

3,498

3,410

3,326

50

7 4,712 4,564 4,423 4,288 4,160 4,039 3,922 3,812 3,706 3,605

8 5,146 4,968 4,799 4,639 4,487 4,344 4,207 4,078 3,954 3,837

9 5,537 5,328 5,132 4,946 4,772 4,607 4,451 4,303 4,163 4,031

10 5,889 5,650 5,426 5,216 5,019 4,833 4,659 4,494 4,339 4,192

11

6,207

5,938

5,687

5,453

5,234

5,029

4,836

4,656

4,486

4,327

12 6,492 6,194 5,918 5,660 5,421 5,197 4,988 4,793 4,611 4,439

13 6,750 6,424 6,122 5,842 5,583 5,342 5,118 4,910 4,715 4,533

14 6,982 6,628 6,302 6,002 5,724 5,468 5,229 5,008 4,802 4,611

15 7,171 6,811 6,462 6,142 5,847 5,575 5,324 5,092 4,876 4,675

16

7,379

6,974

6,604

6,265

5,954

5,668

5,405

5,162

4,938

4,730

17 7,549 7,120 6,729 6,373 6,047 5,749 5,475 5,222 4,990 4,775

18 7,702 7,250 6,840 6,467 6,128 5,818 5,534 5,273 5,033 4,812

19 7,839 7,366 6,938 6,550 6,198 5,877 5,584 5,316 5,070 4,843

20 7,963 7,469 7,025 6,623 6,259 5,929 5,628 5,353 5,101 4,870

21

8,075

7,562

7,102

6,687

6,312

5,973

5,665

5,384

5,127

4,891

22 8,176 7,645 7,170 6,743 6,359 6,011 5,696 5,410 5,149 4,909

23 8,266 7,718 7,230 6,792 6,399 6,044 5,723 5,432 5,167 4,925

24 8,348 7,784 7,283 6,835 6,434 6,073 5,746 5,451 5,182 4,937

25 8,422 7,843 7,330 6,873 4,646 6,097 5,766 5,467 5,195 4,948

30

8,694

8,055

7,496

7,003

6,566

6,177

5,829

5,517

5,235

4,979

35

8,855

8,176

7,586

7,070

6,617

6,215

5,858

5,539

5,251

4,992

40

8,951

8,244

7,634

7,105

6,642

6,233

5,871

5,548

5,258

4,997

45

9,008

8,283

7,661

7,123

6,654

6,242

5,877

5,552

5,261

4,999

51

50

9,042

8,304

7,675

7,133

6,661

6,246

5,880

5,554

5,262

4,999

n

Fatores de Valor Presente de uma Anuidade de $1 Descontada a i% para n Períodos: FVPAi,n = Σ 1/(1 +

i)t t=1

Período 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30%

1

,826

,820

,813

,806

,800

,794

,787

,781

,775

,769

2 1,509 1,492 1,474 1,457 1,440 1,424 1,407 1,392 1,376 1,361

3 2,074 2,042 2,011 1,981 1,952 1,923 1,896 1,868 1,842 1,816

4 2,540 2,494 2,448 2,404 2,362 2,320 2,280 2,241 2,203 2,166

5 2,926 2,864 2,803 2,745 2,689 2,635 2,583 2,532 2,483 2,436

6

3,245

3,167

3,092

3,020

2,951

2,885

2,821

2,759

2,700

2,643

7 3,508 3,416 3,327 3,242 3,161 3,083 3,009 2,937 2,868 2,802

8 3,726 3,619 3,518 3,421 3,329 3,241 3,156 3,076 2,999 2,925

9 3,905 3,786 3,673 3,566 3,463 3,366 3,273 3,184 3,100 3,019

10 4,054 3,923 3,799 3,682 3,570 3,465 3,364 3,269 3,178 3,092

11

4,177

4,035

3,902

3,776

3,656

3,544

3,437

3,335

3,239

3,147

12 4,278 4,127 3,985 3,851 3,725 3,606 3,493 3,387 3,286 3,190

13 4,362 4,203 4,053 3,912 3,780 3,656 3,538 3,427 3,322 3,223

14 4,432 4,265 4,108 3,962 3,824 3,695 3,573 3,459 3,351 3,249

15 4,489 4,315 4,153 4,001 3,859 3,726 3,601 3,483 3,373 3,268

16

4,536

4,357

4,189

4,033

3,887

3,751

3,623

3,503

3,390

3,283

17 4,576 4,391 4,219 4,059 3,910 3,771 3,640 3,518 3,403 3,295

18 4,608 4,419 4,243 4,080 3,928 3,876 3,654 3,529 3,413 3,304

52

19 4,635 4,442 4,263 4,097 3,942 3,799 3,664 3,539 3,421 3,311

20 4,657 4,460 4,279 4,110 3,954 3,808 3,673 3,546 3,427 3,316

21

4,675

4,476

4,292

4,121

3,963

3,816

3,679

3,551

3,432

3,320

22 4,690 4,488 4,302 4,130 3,970 3,822 3,684 3,556 3,436 3,323

23 4,703 4,499 4,311 4,137 3,976 3,827 3,689 3,559 3,438 3,325

24 4,713 4,507 4,318 4,143 3,981 3,831 3,692 3,562 3,441 3,327

25 4,721 4,514 4,323 4,147 3,985 3,834 3,694 3,564 3,442 3,329

30

4,746

4,534

4,339

4,160

3,995

3,842

3,701

3,569

3,447

3,332

35

4,756

4,541

4,345

4,164

3,998

3,845

3,703

3,571

3,448

3,333

40

4,760

4,544

4,347

4,166

3,999

3,846

3,703

3,571

3,448

3,333

45

4,761

4,545

4,347

4,166

4,000

3,846

3,704

3,571

3,448

3,333

50

4,762

4,545

4,348

4,167

4,000

3,846

3,704

3,571

3,448

3,333

n

Fatores de Valor Presente de uma Anuidade de $1 Descontada a i% para n Períodos: FVPAi,n = Σ 1/(1 +

i)t t=1

Período 31% 32% 33% 34% 35% 36% 37% 38% 39% 40%

1

,763

,758

,752

,746

,741

,735

,730

,725

,719

,714

2 1,346 1,331 1,317 1,303 1,289 1,276 1,263 1,250 1,237 1,224

3 1,791 1,766 1,742 1,719 1,696 1,673 1,652 1,630 1,609 1,589

4 2,130 2,096 2,062 2,029 1,997 1,966 1,935 1,906 1,877 1,849

53

5 2,390 2,345 2,302 2,260 2,220 2,181 2,143 2,106 2,070 2,035

6

2,588

2,534

2,483

2,433

2,385

2,339

2,294

2,251

2,209

2,168

7 2,739 2,677 2,619 2,562 2,508 2,455 2,404 2,355 2,308 2,263

8 2,854 2,786 2,721 2,658 2,598 2,540 2,485 2,432 2,380 2,331

9 2,942 2,868 2,798 2,730 2,665 2,603 2,544 2,487 2,432 2,379

10 3,009 2,930 2,855 2,784 2,715 2,649 2,587 2,527 2,469 2,414

11

3,060

2,978

2,899

2,824

2,752

2,683

2,618

2,555

2,496

2,438

12 3,100 3,013 2,931 2,853 2,779 2,708 2,641 2,576 2,515 2,456

13 3,129 3,040 2,956 2,876 2,799 2,727 2,658 2,592 2,529 2,469

14 3,152 3,061 2,974 2,892 2,814 2,740 2,670 2,603 2,539 2,478

15 3,170 3,076 2,988 2,905 2,825 2,750 2,679 2,611 2,546 2,484

16

3,183

3,088

2,999

2,914

2,834

2,757

2,685

2,616

2,551

2,489

17 3,193 3,097 3,007 2,921 2,840 2,763 2,690 2,621 2,555 2,492

18 3,201 3,104 3,012 2,926 2,844 2,767 2,693 2,624 2,557 2,494

19 3,207 3,109 3,017 2,930 2,848 2,770 2,696 2,626 2,559 2,496

20 3,211 3,113 3,020 2,933 2,850 2,772 2,698 2,627 2,561 2,297

21

3,215

3,116

3,023

2,935

2,852

2,773

2,699

2,629

2,562

2,498

22 3,217 3,118 3,025 2,936 2,853 2,775 2,700 2,629 2,562 2,498

23 3,219 3,120 3,026 2,938 2,854 2,775 2,701 2,630 2,563 2,499

24 3,221 3,121 3,027 2,939 2,855 2,776 2,701 2,630 2,563 2,499

25 3,222 3,122 3,028 2,939 2,856 2,776 2,702 2,631 2,563 2,499

30

3,225

3,124

3,030

2,941

2,857

2,777

2,702

2,631

2,564

2,500

35

3,226

3,124

3,030

2,941

2,857

2,777

2,702

2,632

2,564

2,500

54

40 3,226 3,124 3,030 2,941 2,857 2,777 2,702 2,632 2,564 2,500

45

3,226

3,124

3,030

2,941

2,857

2,777

2,702

2,632

2,564

2,500

50

3,226

3,124

3,030

2,941

2,857

2,777

2,702

2,632

2,564

2,500

n

Fatores de Valor Presente de uma Anuidade de $1 Descontada a i% para n Períodos: FVPAi,n = Σ 1/(1 + i)t t=1

Período 41% 42% 43% 44% 45% 46% 47% 48% 49% 50%

1

,709

,704

,699

,694

,690

,685

,680

,676

,671

,667

2 1,212 1,200 1,188 1,177 1,165 1,154 1,143 1,132 1,122 1,111

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6

2,129

2,091

2,054

2,018

1,983

1,949

1,917

1,885

1,854

1,824

7 2,219 2,176 2,135 2,096 2,057 2,020 1,984 1,949 1,916 1,883

8 2,283 2,237 2,193 2,150 2,109 2,069 2,030 1,993 1,957 1,922

9 2,328 2,280 2,233 2,187 2,144 2,102 2,061 2,022 1,984 1,948

10 2,360 2,310 2,261 2,213 2,168 2,125 2,083 2,042 2,003 1,965

11

2,383

2,331

2,280

2,232

2,185

2,140

2,097

2,055

2,015

1,977

12 2,400 2,346 2,294 2,244 2,196 2,151 2,107 2,064 2,024 1,985

13 2,411 2,356 2,303 2,253 2,204 2,158 2,113 2,071 2,029 1,990

14 2,419 2,363 2,310 2,259 2,210 2,163 2,118 2,075 2,033 1,993

15 2,425 2,369 2,315 2,263 2,214 2,166 2,121 2,078 2,036 1,995

55

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19 2,435 2,378 2,323 2,270 2,220 2,172 2,126 2,082 2,040 1,999

20 2,436 2,379 2,324 2,271 2,221 2,173 2,127 2,083 2,040 1,999

21

2,437

2,379

2,324

2,272

2,221

2,173

2,127

2,083

2,040

2,000

22 2,438 2,380 2,325 2,272 2,222 2,173 2,127 2,083 2,040 2,000

23 2,438 2,380 2,325 2,272 2,222 2,174 2,127 2,083 2,041 2,000

24 2,438 2,380 2,325 2,272 2,222 2,174 2,127 2,083 2,041 2,000

25 2,439 2,381 2,325 2,272 2,222 2,174 2,128 2,083 2,041 2,000

30

2,439

2,381

2,326

2,273

2,222

2,174

2,128

2,083

2,041

2,000

35

2,439

2,381

2,326

2,273

2,222

2,174

2,128

2,083

2,041

2,000

40

2,439

2,381

2,326

2,273

2,222

2,174

2,128

2,083

2,041

2,000

45

2,439

2,381

2,326

2,273

2,222

2,174

2,128

2,083

2,041

2,000

50

2,439

2,381

2,326

2,273

2,222

2,174

2,128

2,083

2,041

2,000