Matemática Financeira e Informática de Gestão

Pedro Cosme da Costa VieiraFaculdade de Economia do Porto

Setembro 2008

2 P. C. C. Vieira

Preâmbulo Por definição, a Matemática Financeira reúne os modelos matemáticos usados na

resolução dos problemas e tratamento das teorias da Economia Financeira. Assim, considera

principalmente os modelos dos instrumentos financeiros. Neste curso de carácter introdutório

vou apenas considerar instrumentos simples.

Na primeira parte do texto abordo os instrumentos financeiros denominados sem risco,

i.e., os contratos de mutuo e as obrigações. Considero ainda rendas a taxa fixa e contratos de

compra e venda a crédito.

Na segunda parte do texto introduzo instrumentos financeiros com risco. Considero

que a rentabilidade futura do activo é desconhecida e, por isso, modelizada com recurso a

modelos estatísticos. Considero ainda modelos de investimento com risco e medidas de

desempenho (VAL e TIR). A premência de considerar logo no primeiro ano do curso os

instrumentos financeiros com risco força a introdução, apesar de superficial, de alguns

conceitos estatísticos fundamentais na sua modelização. Apesar de, na óptica dos

especialistas, faltar a este texto rigor e profundidade na apresentação dos conceitos

estatísticos, assumo as falhas pela vantagem de não me desviar do pretendido: introduzir

modelos para os instrumentos financeiros com risco. Nas disciplinas de Estatística, os

conceitos estatísticos serão retomados e tratados com todo o rigor que merecem. Agradeço a

ajuda do Paulo Sousa e da Adelaide Figueiredo neste ponto programático.

Na terceira parte do texto, apresento a essência da programação em R que é uma

poderosa ferramenta a utilizar na Matemática Financeira.

O programa que apresento é arriscado porque introduz, logo no primeiro ano, modelos

relativamente complexos e que usam conceitos que apenas serão rigorosamente explicados em

disciplinas de anos posteriores. Considerei obrigatório correr este risco para tentar ultrapassar

as dificuldades que redução do curso a três anos lectivos criou. Por isso, se o propósito correr

menos bem pede-se compreensão, assegurando que vou estar atento aos estímulos e

reprimendas que irão surgindo e usa-los como motivação para o melhorar do programa desta

disciplina.

MFIG 3

Índice

Capítulo 1. Taxa de juro, capitalização e desconto 51. Taxa de juro

Componentes da taxa de juro

Taxa de inflação.

Remuneração real.

O risco.

2. Capitalização

Capitalização simples

Capitalização composta

3. Desconto – Valor presente

4. Pagamento da dívida – Rendas

Renda perpétua.

Renda de duração limitada.

Taxa de juro implícita no contrato

5. Preços correntes e preços constantes

6. Análise de investimentos

Valor actual líquido do investimento

Necessidades de financiamento.

Taxa interna de rentabilidade

Break-even point

Capítulo 2. Risco e sua diversificação 301. Conceitos estatísticos básicos

Noção de variável estatística

Noção de variável aleatória

Variáveis discretas

Variáveis contínuas

4 P. C. C. Vieira

Função de Distribuição

Distribuição Normal

Estimação do valor médio

Estimação do desvio padrão

2. Diversificação do risco

Associação entre variáveis

Variáveis discretas

Variáveis contínuas

Soma de variáveis estatísticas (diversificação do risco)

Distribuição da soma.

Média da soma.

Variância e desvio padrão da soma.

Método de Monte Carlo - Simulação.

3. Números índice

Índice simples como valor relativo a uma base

Índice de cabaz fixo (de Laspeyres)

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

Taxa de variação

Capítulo 3. Programação – Introdução à linguagem R 621. Objectos.

Constantes.

Expressões.

Vectores.

2. Operações com vectores.

Reciclagem.

Sequências.

Sequências de números aleatórios.

Indexação - Acesso a elementos do vector.

Filtragem de vectores.

3. Funções.

Execução repetida – comando for( ).

Bibliografia 76

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Capítulo 1. Taxa de juro, capitalização e desconto

1. Taxa de juroA taxa de juro, do lado de quem empresta, traduz a recompensa que alguém recebe por

adiar o consumo de hoje para o futuro. Do lado de quem pede emprestado, traduz o custo a

pagar por poder antecipar o consumo do futuro para hoje. Assim, a taxa de juro é o preço do

crédito. Normalmente, a taxa de juro refere-se a um período de tempo, e.g., um ano.

Por exemplo, um lavrador empresta ao vizinho 100kg de milho que lhe paga a taxa de

juro de 1% por semana. Então, ao fim de uma semana, o vizinho entregará a 101kg de milho.

Também podemos pensar a taxa de juro como o preço de um bem futuro em relação a

um bem presente. Se considerarmos que o bem presente é a unidade de valor (a moeda), então

o preço do bem futuro será menor que a unidade. Se, inversamente, considerarmos que o bem

futuro é a unidade de valor (a moeda), então o preço do bem presente será maior que a

unidade.

Ex.1.1. Eu tenho 10 galinhas que posso comer (galinhas de hoje) ou emprestar a um

vizinho meu que me dá 11 galinhas daqui a um ano (galinhas do futuro). i) Qual é a taxa de

juro? ii) qual é o preço das galinhas do futuro relativamente às galinhas do presente?

R. i) A taxa de juro resolve 11 = 10.(1 + r) r = 10%. ii) Compro 11 galinhas do

futuro com 10 unidades “monetárias” (10 galinhas de hoje) pelo que preço de cada galinha do

futuro será de 0,909 unidades “monetárias” (i.e., galinhas de hoje).

Como vivemos numa economia com moeda, os empréstimos são principalmente feitos em

moeda. Supondo que o preço de cada galinha são 5€, eu (vendo no mercado as 10 galinhas e)

empresto 50€ ao meu vizinho e este devolve-me daqui a um ano 55€ (e eu compro no

mercado 11 galinhas).

Devo notar que, apesar de eu emprestar dinheiro (que não é consumível), estou a

prejudicar o consumo presente de bens ou serviços pois poderia comprar (e consumir) no

6 P. C. C. Vieira

presente mas apenas compro (e consumo) quando obtiver o dinheiro de volta (no futuro). Em

contrapartida, a quem eu empresto, não podia comprar bens e serviços para consumir no

presente mas passa a poder comprar. Em termos reais, considerando o empréstimo de galinhas

ou de moeda, o resultado final é o mesmo: troquei 10 galinhas de hoje por 11 galinhas do

futuro. No primeiro caso o preço do bem futuro é menor relativamente ao preço do bem

presente enquanto que no segundo caso a minha quantidade de dinheiro é maior no futuro. Em

ambos os casos temos uma taxa de juro de 10%.

A pertinência da troca entre bens presentes por bens futuros tem a sua principal

justificação no ciclo de vida humana: o indivíduo tem necessidade de consumir durante todos

os 80 anos da sua vida mas apenas é produtivo entre os 25 anos e os 65 anos (ver, fig. 1.1).

Fig. 1.1 – Relação entre rendimento e consumo ao longo da vida

Na infância/juventude o indivíduo consome e não produz, comprando “bens do

presente” e vendendo “bens do futuro” (i.e., endivida-se). Na meia-idade, o indivíduo entrega

os “bens do futuro” que vendeu em criança (i.e., amortiza as dívidas), consome “bens do

presente” e vende “bens do presente” para comprar “bens do futuro” (i.e., poupa). Quando se

reforma, consome os “bens do futuro” comprados durante a meia-idade (i.e., gasta o

poupado), (ver, fig. 1.2).

Analisemos o exemplo do ciclo de vida do indivíduo da Fig. 1.2 em termos

monetários. A criança pede emprestados 75000 Euros (aos pais) para gastar em consumo e

investir em capital humano; na meia-idade trabalha para poder consumir, pagar a dívida

contraída em criança mais os juros (aos pais) e poupar 100000 Euros (emprestar a um filho).

Quando se reforma, recebe o dinheiro poupado na meia-idade (do filho) mais os juros para

gastar em consumo.

MFIG 7

Fig. 1.2 – Rendimento, consumo, endividamento e poupança ao longo da vida

Outra razão para trocar entre bens presentes por bens futuros é o capital aumentar a

produtividade do factor trabalho (e de outros factores). Mesmo que eu durasse para sempre,

podia pedir dinheiro emprestado para estudar (o que aumentaria o meu salário futuro, com o

qual amortizava a dívida).

Componentes da taxa de juro

Quando o empréstimo é em moeda, denomina-se a taxa de juro por taxa de juro

nominal. Esta taxa pode ser dividida em três componentes.

i) Taxa de inflação. Os preços variam ao longo do tempo. Por exemplo, há um ano a

gasolina custava 1,30€/l e agora custa 1.50€/l. Apesar de nem todos os bens ou serviços

aumentarem de preço (e.g., o das chamadas telefónicas tem diminuído), em média, a

tendência é haver aumento. A subida geral dos preços denomina-se por inflação e quantifica-

se como uma taxa. Se, por exemplo, a taxa de inflação for de 2.8% ao ano, se eu empresto 100

Euros hoje, para poder comprar, em média, daqui a um ano a mesma quantidade de bens e

serviços, tenho que receber 102.80€.

Tenho eu uma soma de dinheiro que permite comprar um cabaz de bens e serviços, se

eu emprestar esse dinheiro, havendo inflação, quando daqui a um ano for reembolsado,

preciso de uma maior soma de dinheiro para poder comprar essa mesmo cabaz de bens ou

serviços (melhor dizendo, comprar um cabaz de bens ou serviços que me permita atingir o

mesmo nível de utilidade, ver na Microeconomia I os índices de Laspeyres e de Paasche).

O preços que observamos denominam-se por “preços correntes” enquanto que quando

nos referimos aos preços corrigidos da inflação falamos de uma análise a “preços constantes”.

8 P. C. C. Vieira

A teoria económica afiança que a componente da taxa de juro que corrige a subida

média dos preços (i.e., a inflação) não tem relevância na afectação dos recursos escassos.

ii) Remuneração real. Neutralizando a inflação, a taxa de juro remanescente

quantifica a variação no poder aquisitivo de quem empresta. Assim, traduz, em percentagem,

quanto vai aumentar o recheio do seu cabaz. Como quantifica o aumento de quantidades reais

(i.e., com importância económica), denomina-se esta componente por taxa de juro real. A

existência desta componente resulta, principalmente, de

a) É preferível consumir hoje a consumir no futuro. Na microeconomia, quando

estudamos a influência da taxa de juro na poupança, apresentamos o princípio de que o ser

humano prefere consumir no presente. Então, o agente económico vai exigir o reembolso de

uma quantidade de dinheiro que lhe permita consumir no futuro um cabaz melhor que o que

podia consumir no presente. Este princípio tem como efeito que a taxa de juro real seja

positiva.

b) O capital é produtivo. O capital é um conjunto de bens que tornam o factor

trabalho (e demais factor) mais produtivo. Por exemplo, um agricultor se utilizar uma enxada

em vez das mãos consegue cultivar mais terra e produzir mais bens. Assim, quem pedir

emprestado dinheiro para comprar bens de capital, pode devolver o dinheiro acrescido de uma

parcela e ainda poderá ter uma vantagem. Como vivemos num mundo em que existem

recursos escassos, a concorrência entre os investidores faz com que o capital seja remunerado

com uma taxa de juro real positiva.

iii) O risco. A taxa de juro também remunera a não existência de conhecimento

público e perfeito quanto ao que vai acontecer no futuro.

a) Incumprimento da obrigação. Consideramos que os agentes económicos

respeitam as obrigações assumidas. Isto é, que o dinheiro emprestado no presente será

devolvido no futuro acrescido dos juros. No entanto, nem sempre isso acontece (mesmo que o

devedor seja sério pode, por exemplo, morrer).

Em termos simples, podemos modelizar o risco como a probabilidade de o dinheiro

mais os juros nunca serem pagos. Neste modelo “tudo ou nada” que é denominado na teoria

económica por “lotaria”, vamos assumir que existe a probabilidade p de a pessoa não cumprir

o acordo (havendo perda total) e a probabilidade complementar (1–p) de cumprir. Sendo que

se emprestou a quantidade Q à taxa de juro r, em média (em termos esperados) será recebida a

quantidade Q’:

MFIG 9

Para que a quantidade recebida Q’ seja, em média, igual a Q, será necessário que

exista uma componente na taxa de juro que compense o risco de incumprimento.

Por exemplo, se houver uma probabilidade de 2.5% de o dinheiro (e juros) não ser

devolvido, a componente da taxa de juro que cobre este risco será de 2.564%.

Se os agentes económicos forem avessos ao risco, a componente da taxa de juro que

cobre o risco terá que ser superior ao risco.

b) Regularização do consumo. Como se eu consumir pouco morro de fome, como o

rendimento varia ao longo da vida, eu fico melhor se transferir recursos de quando tenho

muito para quando tenho pouco. Então, relativamente ao seu rendimento médio, o indivíduo

consome mais que o seu rendimento (endividando-se) quando tem pouco dinheiro e consome

menos que o rendimento (aforrando algum dinheiro e pagando as dividas feitas no passado)

quando tem muito dinheiro. Desta forma, está disponível para pagar uma taxa de juro real

positiva quando tem pouco dinheiro e receber uma taxa de juro real negativa quando tem

muito dinheiro. O valor médio do rendimento é um cálculo realizado sem conhecimento

perfeito pelo que a regularização do consumo também é uma resposta ao risco de haver

alterações no rendimento (e.g., fazer face ao risco de ser despedimento ou de ficar doente).

c) Erro na previsão da inflação. Quando num contrato é prevista uma taxa de juro

nominal, apesar de apenas a componente real ter relevância económica, como existe erro na

antecipação da taxa de inflação, existe um risco (i.e., a taxa de juro real é desconhecida) que é

tanto maior quanto maior for a taxa de inflação. É esta uma das principais razões porque os

bancos centrais têm como mandato a manutenção do nível de preços (i.e., uma taxa de

inflação baixa).

No sentido de ultrapassar o risco de previsão da taxa de inflação, realizam-se contratos

com taxa de juro variável. Por exemplo, contrata-se a taxa de juro real mais a taxa de risco de

incumprimento e deixa-se para o fim do contrato a determinação da “correcção monetária”.

Outra modalidade muito seguida em Portugal é a taxa de juro ser a EURIBOR (que inclui a

taxa de inflação e a taxa de juro real sem risco) mais o Spread que traduz a taxa de risco de

incumprimento (normalmente indicada em pontos percentuais acima da EURIBOR).

Taxa EURIBOR. É uma sigla que representa a taxa de juro a que os bancos sem risco

(first class credit standing) emprestam euros entre si (também denominado por cedência de

liquidez). A informação é recolhida (pelas 10h45) por um painel de 44 bancos representativos

10 P. C. C. Vieira

do mercado do Euro. Em Portugal a Caixa Geral de Depósitos é a única instituição que

pertence ao painel. Apesar de o prazo dos empréstimos interbancários ser de 1, 2 ou 3

semanas, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12 meses, a EURÎBOR é uma taxa anualizada ( i.e.,

x% ao ano), havendo uma para cada prazo.

A título ilustrativo, apresento na Fig 1.2 a evolução da EURIBOR média diária para

um prazo de 3 meses, anualizada, no primeiro semestre de 2008. Apresento na Fig. 1.3 a

evolução da EURIBOR com o prazo dos empréstimos (no dia 30-6-2008), que tem a ver com

o risco de previsão da evolução do mercado (quanto a taxas de inflação e de juro real).

4,250

4,500

4,750

5,000

1-1-08 20-2-08 10-4-08 30-5-08 Data

Taxa de juro

Fig. 1.2 – Evolução da EURIBOR a 3 meses no primeiro semestre de 2008

4,000

4,250

4,500

4,750

5,000

5,250

5,500

1S 2S 3S 1M 2M 3M 4M 5M 6M 7M 8M 9M 10M 11M 12M

Taxa

Prazo

Fig. 1.3 – Evolução da EURIBOR do dia 30-6-2008 com o prazo do contrato

MFIG 11

Como a EURIBOR quantifica a taxa de juro de empréstimos entre instituições sem

risco, esta taxa de referência apenas incorpora a taxa de inflação prevista pelos agentes

económicos e a taxa de juro real de mercado razão pela qual os contratos realizados com

instituições ou indivíduos com risco de incumprimento têm uma taxa de juro superior à

EURIBOR, i.e., têm um Spread positivo.

Taxa de desconto do banco central. A quantidade de moeda papel em circulação, e a

sua taxa anual de aumento, é uma decisão política. No entanto, como a moeda papel não é

“comestível”, quando aumenta a sua quantidade, também aumenta a procura de bens e

serviços pelo que os preços aumentam, i.e., ocorre o fenómeno da inflação. No sentido de

controlar o nível geral de preços, é necessário os decisores políticos controlarem a quantidade

de moeda em circulação, i.e., a liquidez, operação que é levada a cabo pelo banco central da

zona monetária (por exemplo, o BCE para a zona Euro) através da absorção de liquidez (i.e.,

aceita depósitos) e a cedência de liquidez (i.e., empresta dinheiro) dos bancos comerciais.

Para desincentivar os bancos recorrerem aos seus serviços e amortecer as flutuações de

mercado (e não para cobrir o risco), o banco central “cobra” um spread de 1 ponto percentual:

se, por exemplo, o BCE fixar a taxa de desconto em 4%, então aceita depósitos à taxa de 3.5%

e empresta dinheiro à taxa de 4.5% (denominada por Janela de Desconto) garantido por

“activos bons” (não empresta a bancos falidos). Além disso, os bancos não podem usar

sistematicamente o banco central para a obtenção de liquidez porque, num sistema LIFO (last

in, first out) de contabilização dos créditos, ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1 ponto

percentual e ao fim de 120 dias aumenta outro ponto percentual. Somando estas duas razões

(a necessidade de dar garantias boas e ser a taxa muito crescente com o prazo), a taxa de

desconto é menos importante como indexador do mercado de crédito que a taxa EURIBOR.

Proporcionalidade do tempo.

Como as questões económicas justificativas da existência da taxa de juro são

proporcionais ao período de tempo que o agente económico adia o consumo ou usa o capital,

então a taxa de juro será proporcional ao tempo do contrato.

Resumindo, a taxa de juro nominal, i, virá dada pela composição de três parcelas: a

taxa de juro real, r, a taxa de inflação, , e a taxa de incumprimento, p:

12 P. C. C. Vieira

Para valores de i, r, e p pequenos (i.e., próximos de zero), é aceitável aproximar a

taxa de juro nominal pela soma das parcelas (a taxa de juro real, a taxa de inflação e a taxa de

incumprimento):

Ex.1.2. Determine a taxa de juro a cobrar quando a taxa de inflação prevista é de

2.800% ao ano, a taxa de juro real é de 1.800% ao ano e a probabilidade de incumprimento é

de 3.500% ao ano.

R. Em termos aproximados, será 2.800% + 1.800% + 3.500% = 8.100%. em temos

exactos teremos (1 + 2.800%) . (1 + 1.800%) / (1 – 3.500%) – 1 = 8.446% ao ano.

Ex.1.3. Uma determinada instituição de crédito usa a técnica de Credit Scoring na

determinar da probabilidade de incumprimento (ver tabela). Somando o efeito das três

variáveis, se o score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp (i.e., pontos percentuais), se 80 < score ≤

120, o spread será de 1.75 pp enquanto que se score > 130, o banco não concede crédito.

Determine o spread para um casal que ganha 2000€/mês, tem um património de 100M€, um

tem 26 anos e outro 30 anos, e pretende pedir 175M€ para comprar uma casa avaliada em

250M€ (que custa 225M€). Assume-se uma prestação mensal de 6€ por cada mil€ de

empréstimo.

Variável Score

PJA: Proporção dos juros e amortizações no rendimento mensal p = 100PJA

PDP: Proporção das dívidas no património p = 25PDP

IM: Idade média do casal p = IM

R. Como o Score p = 100x6x175/2000 + 25.[175/(50 + 250)] + 28 = 95.1 está no

intervalo ]80, 130], o Spread será de 1.75pp.

2. Capitalização A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. Por exemplo,

a taxa de juro nominal acordada pode ser 5% ao ano (i.e., por cada ano). Se a duração do

contrato for de vários anos mas os juros forem pagos no final de cada ano, como estamos

sempre a voltar à situação inicial, não há qualquer problema algébrico. Esta é a situação dita

normal.

MFIG 13

Se os juros são pagos apenas no fim do contrato, no fim de cada ano o devedor passará

a acrescer à sua dívida os juros que não são pagos, havendo capitalização dos juros (ao fim de

cada ano, acrescentam-se os juros ao capital em dívida). Assim, haverá lugar ao pagamento de

juros dos juros vencidos e não pagos durante a vigência do contrato.

i) Capitalização simples

Na capitalização simples, apesar de os juros irem ficando em dívida, desprezam-se os

juros sobre os juros vencidos no fim de cada ano. Sendo que é acordado um empréstimo de V

unidade monetárias durante n períodos a uma taxa de juro por cada período de i (por cento)

com capitalização simples, apenas no fim do tempo contratado é que se calculam os juros

multiplicando o número de anos pela taxa de juro anual: j = n.i, Valendo a dívida, no fim do

prazo, V.(1 + n.i).

Ano Capital inicial Juro do ano Capital final1 V V.i V.(1 + i)2 V.(1+i) V.i V.(1 + 2.i)... ... ... ...n V.(1+(n–1).i) V.i V.(1 + n.i)

Tabela 1.1. – Capitalização simples

Ex.1.4. Foi acordado um empréstimo de 10M€ a 3 anos à taxa média EURIBOR a 3

meses acrescida de um spread de 2 pontos percentuais e que os juros seria pagos no fim do

período acordado, capitalizados de forma simples. Sendo que durante a vigência do contrato a

média da EURIBOR foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente, determine

qual a quantia a pagar no fim do contrato.

R. Os juros serão 10M€.(5.754% + 6.217% + 6.765%) = 1873.60€ e o total será 11873.60€.

ii) Capitalização composta

Sendo que o contrato prevê que o juro apenas é pago no final do período do contrato,

então o cálculo dos juros deve incluir os juros dos juros que entretanto passaram a estar em

dívida (passaram a ser capital). Se é acordado um empréstimo de V euros que será devolvido

ao fim de n períodos acrescido de um juro à taxa de i (por cento) por cada ano, então a divida

aumenta a cada ano. Para o caso da taxa de juro ser igual em todos os anos, teremos:

14 P. C. C. Vieira

Ano Capital inicial Juros do ano Capital final Taxa se juroacumulada

1 V + V.i = V.(1+ .i) (1+ i) – 12 V.(1 + i) + V.(1 + i).i = V.(1 + .i).(1 + .i) (1 + i)2 – 13 V.(1 + i)2 + V.(1 + i)2.i = V.(1 + i).(1 + i) .(1 + i). (1 + i)3 – 1… … … … …n V.(1 + i)n (1 + i)n – 1

Tabela 1.2 – Capitalização composta, taxa de juro anual fixa

Ex.1.5. Calcule o total a pagar num empréstimo a 5 anos em que o capital emprestado

é de 25M€, a 5% ao ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta.

Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.

R. O valor final a pagar será de 25000.(1 + 5%)5 = 31907,04€. A taxa de juro da

duração total do contrato será (1+5%)5 –1 = 27,628% enquanto que com capitalização simples

seria 25%.

Ex.1.6. Calcule a capitalização composta para exemplo o Ex.1.4.

R. O valor final a pagar será de 11992.78€. Podemos usar o Excel na resolução deste

problema escrevendo as fórmulas D2: =B2*C2; E2: =B2+D2; B3: =E2 e depois copiando em

coluna:

Período de tempo fraccionário. Na tabela 1.2 usada para obter a expressão da taxa de

juro acumulada de forma composta, o número de anos é inteiro. No entanto, como a função

potência é uma função de variável real, em termos matemáticos, podemos extrapolar o

conceito de capitalização a fracções do ano. Por exemplo, sendo a taxa de juro de 5% ao ano,

se o empréstimo durar apenas 3 meses, a taxa de juro do contrato será (1 + 5%)0.25 – 1 =

1,227% (supondo que 3 meses correspondem a 0.25 anos).

Ex.1.7. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa

média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital apenas no fim do prazo acordado.

Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?

R. A taxa mensal será (1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796% 465.80€ de prestação mensal.

MFIG 15

O cálculo dos juros com capitalização simples é uma aproximação à capitalização

composta em que não são tomados em conta os termos de ordem elevada (i2, i3, etc.) e que

representam os juros dos juros. Quando a taxa de juro do período, i, é pequena e o número de

períodos também são poucos, então os juros capitalizados de forma composta são

aproximadamente iguais aos capitalizados pela forma simples:

A primeira aproximação é válida quando é pequeno (i.e., o número de períodos e a

taxa de juro i são pequenos) enquanto que a segunda aproximação é válida quando a taxa de

juro i é pequena.

Valor Futuro. O total a pagar pelo devedor no final do prazo acordado denomina-se

por valor futuro do capital emprestado.

Ex.1.8. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por

4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos, qual a

taxa de juro desta aplicação?

R. O valor futuro dos 4.05€ serão os 5.00€ pelo que a taxa de juro será 7.277%/ano:

,

Ex.1.9. No sentido de comprar um apartamento daqui a 5 anos, um indivíduo fez hoje

um plano de poupança em que deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.

Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano, determine o valor futuro daqui a 5 anos deste

plano de poupança (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?

R. Como valor futuro dos 1000€ depositados no início do mês i é

, o valor futuro total valerá

que, resolvido no Excel, resulta em 66395.68 €.

Inserir a série dos meses na coluna A escrevendo 1 em

A2, seleccionar A2 e usar o comando Editar, Preencher, Série,

Série nas colunas, tipo linear, incremento 1, limite 60.

C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiar em coluna;

C62: =Soma(B2:B61)]

16 P. C. C. Vieira

Taxa de juro instantânea.

Já vimos que, apesar de a taxa de juro i ser anualizada, é possível usá-la em contratos

em que os juros são calculados (e pagos) relativamente a períodos com duração inferiores a

um ano (ver. Ex.1.7). Vamos supor que eu tenho um capital e quero receber os juros a cada

fracção T do ano. Então a taxa de juro j pago no fim de cada período será .

E.g., se empresto 100mil€ a 5% ao ano, recebo semanalmente 96.61€ (tendo o ano 52.143

semanas). O total de juros k pagos durante a totalidade do ano vem dado por:

Vamos agora imaginar que a duração do período considerado vai diminuindo,

passando de meses para semanas, dias, …, segundos, então a grandeza k vai diminuindo (mas

não cai a zero porque 1/T vai aumentado) e aproximando-se de uma taxa de juro denominada

por instantânea (i.e., para um período de duração infinitesimal) que se calcula como:

Apesar de a taxa de juro ser instantânea, as suas unidades continuam “percentagem

por ano”. Em oposição à taxa de juro instantânea, a taxa de juro “normal” (em que o juro é

pago ao fim do ano) denomina-se por taxa de juro média e, partindo da taxa de juro

instantânea, obtém-se pela operação inversa à logaritmização: .

O interesse conceptual da taxa de juro instantânea é a possibilidade de usar taxas de

juro em modelos económicos com tempo contínuo.

3. Desconto – Valor Presente (ou actual)

Na apresentação da capitalização composta (i.e., no cálculo do Valor Futuro de uma

soma de dinheiro) foi referido que o número de períodos do contrato de empréstimo pode ser

um número real qualquer. Então, pelo menos algebricamente, podemos ter um número

negativo de períodos. Neste ponto vamos ver qual o significado económico de o período de

tempo ser negativo.

Quando o n é positivo, representa a distância temporal entre o presente (em que é feito

o empréstimo) e o instante futuro em que é pago o reembolso do capital mais os juros: se, e.g.,

emprestamos 100€ em 2008 a uma taxa de juro 5% ao ano, em 2028 vamos receber a quantia

de 100 x 1.0520 = 265.33€.

Quando o n é negativo, representa a distância temporal entre o presente (que é pago o

reembolso do capital mais os juros) e o instante passado em que é foi feito o empréstimo: para

MFIG 17

receber 100€ em 2008, a uma taxa de desconto de 5% ao ano, tive que depositar no ano de

1988 a quantia de 100 x 1.05–20 = 37.69€. Em termos algébricos, em vez de um número

negativo de períodos posso dividir pela taxa de juro: 100 / 1.0520 = 37.69€.

O n é negativo também permite eu traduzi capital que vou ter no futuro para as

“unidades” do presente. Por exemplo, no meu emprego, vou receber daqui a dez anos 100€ de

prémio. Para uma taxa de juro de 6% ao ano, em termos de valor presente, esses 100€ valem

apenas 100€ x 1.06–10 = 55.84€.

Ex.1.10. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio

de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a taxa de desconto é de

5% ao ano, qual será o valor actual (i.e., o valor descontado ao presente) dessa soma de

dinheiro?

R. Os 10000€ valem no presente = 2313.77€.

Em termos conceptuais, a capitalização e o desconto são economicamente idênticos. A

diferença é que na capitalização estamos no presente e pretendemos saber o valor equivalente

em termos de dinheiro do futuro da soma de dinheiro que temos no presente (andar para a

frente no tempo) enquanto que no desconto estamos no futuro e queremos saber o valor

equivalente em termos de dinheiro do presente da soma de dinheiro que vamos ter no futuro

(andar para trás no tempo).

Em termos financeiros, o desconto também permite recordar qual foi o crédito V

concedido no passado (há n período atrás) que justifica o reembolso X no presente, tendo sido

contratada a taxa de juro por período i. Assim, trata-se da mesma expressão da capitalização

composta mas explicitada em ordem ao reembolso:

Ex.1.11. Uma vítima do regímen nazi depositou em 1940 todo o capital que tinha num

banco. Sendo que esse banco foi obrigado a devolver o capital depositado com juros à taxa de

3.5% anual e a família recebeu 1milhão€ em 2008, qual terá sido o capital depositado?

R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = 96395.38€.

18 P. C. C. Vieira

4. Pagamento da dívida – Rendas

Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida. Primeiro, que são

pagas prestações periódicas correspondentes aos juros dessa fracção de tempo e o capital é

pago no fim do prazo contrato. Segundo, que o capital mais os juros são pagos apenas no final

do prazo contrato. Vamos agora explorar uma outra possibilidade: que são entregues

prestações ao longo do tempo que correspondem aos juros da fracção de tempo e a uma

(pequena) amortização do capital de forma que no final do prazo não sobre nenhum capital

para pagar. Este tipo de pagamento denomina-se por renda.

Em termos estilizados, uma renda transforma um determinado stock de dinheiro (o

capital inicial) num rendimento. As prestações podem ser regulares ou irregulares, constantes

ou variáveis, podem começar a ser pagas imediatamente ao depósito do capital ou haver

diferimento de alguns períodos, terem duração limitada ou serem perpétua (a expressão

matemática tem interesse no cálculo das rendas de duração limitada).

Por exemplo, O Jardel aos 26 anos de idade ganhava muito dinheiro. Então, poderia

ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e receber em pagamento, a partir dos 35

anos, 600 prestações mensais de 10000€ cada.

Podemos emprestar um capital que recuperamos na forma de uma renda (e.g., saiu-nos

a lotaria); pedir um capital que pagamos na forma de uma renda (e.g., um empréstimo para

comprar casa); pagar uma renda que recebemos no final na forma de um capital (e.g., para

comprar um barco a pronto); receber uma renda que pagamos no fim na forma de um capital

(para podermos viver à custa de uma herança que vamos receber no futuro); ou receber uma

renda que pagamos na forma de renda (e.g., para financiar os estudos).

Em termos conceptuais, para compararmos activos temos que referir todos os valores

ao mesmo instante de tempo. Assim, podemos, em simultâneo, ter que capitalizar umas

parcelas e descontar outras parcelas.

Ex.1.12. Voltemos ao exemplo da

aplicação financeira do Jardel. Determinamos

no Excel que a taxa de juro implícita é de

4.857% ao ano. Haverá uma entrega de

+1500M€ e 600 de –10M€.

C2: =B2/(1+$E$1)^(A2-312) e copiamos em

coluna e C710: =Soma(C2:C709). Depois

usamos a ferramenta “atingir objectivo” definindo C710 para 0 por alteração de E1.

MFIG 19

Ex.1.13. Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de

150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar?

R. Usando o Excel, resulta que a prestação mensal é de 720.29€.

B2: =E$3; C2: =B2/(1+$E$1)^A2 e

depois copiamos ambas em coluna. C603:

=Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.

Usamos a ferramenta “atingir

objectivo” definindo C603 para 0 por

alteração de E3.

Qualquer que fosse o período para o qual

capitalizássemos ou descontássemos as

entregas e os recebimentos, a soma dos valores daria sempre zero.

i) Renda perpétua.

Se a renda durar para todo sempre (i.e., nunca mais se recebe o capital), então em

qualquer período, a renda vale sempre o mesmo (pois receberemos sempre o mesmo número

de pagamentos futuros) pelo que estamos, em termos algébricos, numa situação idêntica a um

empréstimo em que, no fim de cada período (i.e., postecipada), são pagos apenas os juros.

Se a renda anual é R, o capital é V e a taxa de juro i, teremos

Também poderíamos obter este resultado descontando as diversas prestações ao

presente que é uma série geométrica de razão (1 + i):

Ex.1.15. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma

taxa de juro de 5%, qual será o valor presente do terreno?

R. V = 50/0.407% = 12278.58€

ii) Renda de duração limitada.

Com o conhecimento da expressão da renda perpétua podemos agora determinar o

valor de uma renda de duração limitada compondo rendas perpétuas. Supondo que recebemos

a renda entre o presente e o período N (no fim de cada período) então o resultado é

20 P. C. C. Vieira

equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e pagar uma renda perpétua a

começar no período N, que descontamos ao presente.

Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada), teremos que

capitalizar um período:

Ex.1.16. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que

o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%,

qual será o valor presente do terreno?

R. V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300) = 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€

Ex.1.17. Suponha que o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou mensalmente

100mil€ (i.e., 120 prestações). Supondo ainda que com essa poupança pretende receber uma

renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações). Assumindo uma taxa de

juro anual de 4%, de quanto vai ser a renda que recebe?

R. Vamos somar rendas perpétuas com taxa de juro mensal i = 1.041/12–1 = 0.327%.

Em referência ao instante inicial (quando fez 25 anos), teremos

Obrigações a taxa fixa

Uma obrigação de taxa fixa consiste num activo que condensa uma entrega inicial e

recebimentos futuros. Apesar de no momento em que se faz a entrega inicial serem

conhecidas todas as características do contrato, o valor da obrigação altera-se no decurso do

tempo. As principais razões para a alteração do preço da obrigação são o recebimento que

eventualmente ocorram, de o tempo que decorre até ao recebimento diminuir (equivalente à

capitalização dos juros) e da alteração da taxa de juro de mercado para o remanescente do

prazo.

MFIG 21

Ex.1.18. Uma obrigação a 10 anos de valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e.,

serão pagos 100€ daqui a 10 anos) vai ser vendida em leilão. i) Supondo um investidor que

quer ser remunerado a uma taxa média para este prazo e risco da empresa de 7.5%, determine

o preço máximo que o investidor está disponível para pagar pela obrigação. ii) Passados 5

anos, qual será o valor da obrigação? Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em

um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação? iii) Se o investidor adquiriu a

obrigação a 45€, qual a taxa de juro que pensava receber e qual receberá se vender a

obrigação depois da desvalorização?

R. i) Vamos descontar os 100€ ao presente: .

ii) Decorridos 5 anos, só faltam outros 5 anos para o recebimento pelo que a obrigação valerá

os 100€ descontados apenas 5 anos: . O aumento da taxa de juro

desvaloriza a obrigação em 4.5% passando a valer . iii) A taxa de

juro era de e passa a ser ligeiramente inferior:

.

iii) Taxa de juro implícita no contrato

TAEG : Taxa de juro anual efectiva (equivalente) global

Por vezes, os contratos de compra a crédito, é acordado não tanto o valor do bem ou a

taxa de juro mas qual o plano de pagamento das prestações e de outros custos. No sentido de

informar o cliente, o vendedor tem que obrigatoriamente afixar o preço do bem no caso de

pagamento à vista e a taxa de juro implícita no contrato incluindo todas as despesas do

comprador.

Ex.1.19. Um televisor Tal-Tal tem o

preço a pronto pagamento de 1190 Euros mas

o comprador pode comprar a crédito “pagando

na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais

de 100€. Ocorrerá uma verificação do

cumprimento do contrato ao fim do primeiro

ano que importa no pagamento de 50€.”. i)

Determine a TAEG deste contrato de crédito.

ii) Se a taxa EURIBOR for de 5.5%/ano, qual

é a probabilidade de incumprimento implícita no contrato de crédito?

22 P. C. C. Vieira

R. Podemos resolver facilmente este problema no Excel com a ferramenta “atingir

objectivo”, definir a célula C15 para 0 alterando E2. resulta que a TAEG = 10.386%:

C2: =B2*(1+$E$2)^(-A2) e copiar em coluna.

C15: =Soma(C2:C14)

ii) A probabilidade implícita de incumprimento resolve:

Ex.1.20. Um anúncio dizia “Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€

mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”. Confirme a TAEG.

R. O valor cobrado é 29.46%. Em termos mensais resolvemos no Excel a expressão:

5. Preços correntes e preços constantes

Como, afiança a teoria económica, a inflação (i.e., a subida generalizada dos preços e

dos salários) não tem consequência na afectação dos recursos escassos, que é afectada apenas

pela alteração dos preços relativos. Então, interessará retirar a inflação (previsional se a

análise for feita para o futuro) da análise de equivalência das somas de valores dinheiro

obtidas em instantes de tempo diferentes. Por exemplo, precisamos saber se a renda de 56mil€

mensais (ver Ex. 1.17) dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.

Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de “preços

correntes” e variam ao longo do tempo. Por exemplo, em termos aproximados, há um ano a

gasolina custava 1.00€ e agora custa 1.50€. Os preços corrigidos da inflação denominam-se

de “preços constantes” ou “preços reais”.

A taxa de inflação é calculada com base no índice de preços (ao consumidor) que

traduz a evolução da despesa dispendida na aquisição de um cabaz de bens e serviços

representativo das compras dos consumidores (índice de cabaz fixo: Laspeyres). O índice de

preços ao consumo é calculado pelo Instituto Nacional de Estatística, INE, com periodicidade

mensal. Apesar de ser um índice de cabaz fixo, este sofre mudanças de base de vez em

quando (aproximadamente de 10 em 10 anos). O INE disponibilizados vários índices de

preços sectoriais, regionais, do PIB e dos consumos industriais.

Sendo que IPT e, IPT+1 são o índice de preços no início do período T e T+1,

respectivamente, calculamos a taxa de inflação durante o período T, T , que traduz a alteração

percentual do índice de preços, por:

MFIG 23

Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia 128.7 e em 2006 passou a valer 131.4, então a

taxa de inflação entre estes dois anos foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

Sendo que o preço corrente do ano 2005 de um bem é p2005 e passa a ser em 2006 p2006,

podemos retirar o aumento generalizado dos preços (i.e., a inflação) descontando p2006, um

período para trás usando a taxa de inflação como taxa de desconto:

.

Se, por exemplo, em termos correntes tivéssemos p2005 = 1.25€ e p2006 = 1.30€, o preço

de 2006 na base de 2005 valeria: . Quer isto dizer que,

em termos reais, o preço deste bem aumentou entre 2005 e 2006.

Se o “ano base” for mais no futuro que o ano em consideração, então capitalizamos o

preço. Por exemplo, se quiséssemos o preço constante do período T em referência ao período

T+1, teremos: .

Para transformar preços correntes do período T+n em preços constantes em referência

ao período T, sabida a taxa de inflação para cada um dos n–1 períodos, temos:

Como a taxa de inflação é calculada a partir do índice de preços, pode-se transformar

os preços correntes em preços constantes utilizando directamente o índice de preços. Se

quisermos transformar os preços correntes do período J em preços constantes com base no

ano T, então teremos:

Apresentamos agora um exemplo de transformação do Salário Mínimo Nacional a

preços correntes, SMN, em preços constantes de 1974 (contos) e de 2006 (Euros). Calculei o

IPC compatibilizando uma série do EuroStat com uma série do Banco Mundial.

E3: =C4*$B$4/B4; F3: =D4*$B$36/B4 e copiava ambas em coluna.

24 P. C. C. Vieira

A B C D E FPreços correntes Preços constantes

Ano IPC Escudos Euros $ de 1974 € de 20061974 4,54 3300 16,46 3300 491,281975 5,466 3300 16,46 2741 408,051976 6,464 4000 19,95 2809 418,241977 8,217 4500 22,45 2486 370,141978 10,082 5700 28,43 2567 382,121979 12,464 7500 37,41 2732 406,71980 14,536 9000 44,89 2811 418,471981 17,449 10700 53,37 2784 414,461982 21,416 10700 53,37 2268 337,691983 26,792 13000 64,84 2203 327,951984 34,642 15600 77,81 2044 304,361985 41,34 19200 95,77 2109 313,91986 46,163 22500 112,23 2213 329,421987 50,503 25200 125,7 2265 337,251988 55,342 27200 135,67 2231 332,191989 62,321 30000 149,64 2185 325,351990 70,653 35000 174,58 2249 334,811991 78,673 40100 200,02 2314 344,51992 85,708 44500 221,97 2357 350,921993 91,536 47400 236,43 2351 349,991994 96,04 49300 245,91 2331 346,951995 100 52000 259,37 2361 351,461996 103,121 54600 272,34 2404 357,861997 105,08 56700 282,82 2450 364,691998 107,452 58900 293,79 2489 370,481999 109,721 61300 305,76 2536 377,612000 112,814 63800 318,23 2568 382,232001 117,764 67000 334,19 2583 384,532002 122,095 69768 348 2594 386,212003 126,117 71492 356,6 2574 383,132004 129,623 73296 365,6 2567 382,182005 132,717 75121 374,7 2570 382,562006 135,501 77366 385,9 2592 385,9

Tabela 1.3. - Salário Mínimo Nacional a preços correntes e a preços constantes

Ex.1.21. No exercício 1.17, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa

renda mensal a preços correntes de 55889€ até aos 85 anos. Prevendo-se uma taxa de inflação

de 3% ano, i) determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse renda (faltam 50

MFIG 25

anos). ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma a preços constantes de

agora.

R. i) Vamos descontar esse valor ao presente com a taxa de inflação como taxa de

desconto: (corresponde a apenas 23% da primeira prestação).

ii) Actualmente o Figo tem na conta bancária

mil€. Capitalizamos a série dos depósitos porque foram iniciados há 10 anos.

Podemos usar agora o Excel para calcular a renda a preços correntes. Resulta que, a preços

constantes, a renda é de 30842€ por mês mas a preços correntes vai aumentando 3% ao ano

até atingir 135208€.

B3: =$E$2*(1+$E$3)^A3;

C3: =B3*(1+$E$4)^-A3 e depois

copiamos em coluna; C603:

=Soma(C2:C602) e usamos a ferramenta

“Atingir objectivo”, definir a célula C603

para o valor 0 por alteração da célula E2.

Podemos também fazer a análise a preços constantes retirando a taxa de inflação da taxa de

juro nominal. A taxa de juro real mensal será .

Então, a preços constantes, resolve-se:

6. Análise de investimentos Em termos abstractos, um investimento é uma entrega de recursos em períodos mais

próximos do presente que permite ter recebimentos mais afastados para o futuro. Em termos

gerais, a análise do investimento será uma conta corrente que contabiliza as entregas e os

recebimentos (em que as entregas têm sinal negativo e os recebimentos têm sinal positivo)

com referência a um mesmo instante de tempo. Neste sentido, será necessário capitalizar uns

valores e descontar outros valores.

Sendo que a análise é financeira, interessa saber as entregas e os recebimentos em

dinheiro (i.e., saber o cash flow). Chamamos à atenção que não se tem em conta o “valor de

liquidação” nem o “valor contabilístico” mas o de “continuar em operação”.

26 P. C. C. Vieira

Valor actual líquido do investimento

Como o valor do investimento é uma agregação de entregas e recebimentos que se

verificam em instantes diferentes do tempo, temos que os referir todos ao mesmo instante

temporal usando capitalização (do presente para o futuro) ou desconto (do futuro para o

presente).

Dividindo o tempo em períodos e sendo que em cada período de tempo são feitas

entregas, Et, e recebimentos, Ft, e existe uma taxa de juro (de desconto) para todos os períodos

igual a i por período, então podemos agregar todos os movimentos no instante presente, t0,

descontando todos os valores ao presente:

Nesta expressão consideramos que o investimento dura para sempre (um horizonte

temporal infinito). No entanto, a aversão ao risco aconselha a limitar a análise a um máximo

de 10 anos (sendo excepção os grandes investimentos como, por exemplo, barragens

hidroeléctricas). Um horizonte temporal muito dilatado potencia os erros de previsão (da taxa

de desconto e das entregas e recebimentos futuros) e, por outro lado, o facto de desconto

faz tornar essas parcelas menos importantes.

Depois de “conhecermos” todas as entregas e recebimentos futuros, podemos descontar o

saldo de cada período para o presente. Como o futuro não é de facto conhecido, a análise que

fazemos é previsional.

Ex.1.22. Sobre um investimento são previstas as seguintes entregas e recebimentos (mil €):

Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Entregas 100 50 25 20 10Recebimentos

15 25 35 45 55 65 75 65

i) Somando as entregas e os recebimentos qual o saldo do investimento?

ii) Determine, para uma taxa de remuneração do capital de 10%, qual será o Valor

Actual Líquido deste investimento.

R: i) Os recebimentos excedem as entregas em 175 mil €.

ii) Posso usar o Excel para calcular o VAL que é positivo (VAL = 2921€).

MFIG 27

B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois copiar em linha; B7: =Soma(B6:L6).

A taxa de juro usada no desconto dos valores futuros é elevada porque os

recebimentos são incertos (enquanto que as entregas são certas). Usando a taxa de juro para

compensar o risco do negócio, o VAL do investimento é comparável a um activo sem risco

(e.g., dinheiro). A taxa de desconto incorpora as características e expectativas do investidor

em relação ao risco, inflação, etc., podendo ser diferente de investidor para investidor. Para o

mesmo investidor, como os investimentos têm risco diferente, então a taxa de juro utilizada

será diferente.

Necessidades de financiamento. Se o investimento consistir em apenas uma entrega

inicial, é obvio que essa quantia traduz a necessidade de financiamento. Se, pelo contrário, o

investimento decorrer ao longo de alguns períodos (que é a situação mais normal), então

teremos ver em cada período quais as necessidades totais de capital. Para referirmos as

entregas e recebimentos a cada período teremos que capitalizar os saldos.

Ex.1.23. Voltando ao Ex.1.21, calcule as necessidades máximas de financiamento

desse investimento.

R. Usando o Excel, determina-se que são de 233710€ e correm no 4º ano.

C5: =B5; C6: =B6*(1+$B$1)+C5 e depois copiar em linha; B7: =VAL(B1;C5:L5) + B5

A função financeira VAL(taxa de desconto; série de valores) calcula o valor actual

liquido assumindo que os valores estão no fim do período enquanto que eu tenho assumido

que ocorrem no princípio (por isso, na expressão de B7 avancei um período para a frente).

28 P. C. C. Vieira

Sendo o VAL positivo, havendo disponibilidade financeira e não havendo alternativa

melhor, então será de implementar o investimento.

Taxa interna de rentabilidade

No geral, num investimento as entregas são feitas mais próximas do presente e os

recebimentos verificam-se mais afastados no futuro. Assim sendo, o VAL do investimento

decresce (de forma monótona) com o aumento da taxa de juro/desconto. Desta forma, existe

uma taxa de juro denominada por Taxa Interna de Rentabilidade, TIR, que torna nulo o VA

do investimento.

Ex.1.24. Com o modelo implementado para resolver o Ex.1.22, aplicava-se a

ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula B7 para o valor 0 por alteração da célula B1:

Como a Taxa Interna de Rentabilidade não explicita qual é o risco do negócio, então

pode ser simplesmente comparada com a taxa de juro de referência do investidor ou usada

para escolher uns investimentos relativamente a outros. Haverá necessidade de propor um

spread que avalie o risco e compensar a TIR deste spread.

Break-even point

O break-even point é definido como o instante temporal (por a nossa análise ser

temporal) em que as necessidades de financiamento atingem zero. (os valores presentes dos

recebimentos igualam as entregas). Sob o pressuposto de que num investimento as entregas

são feitas mais próximas do presente e os recebimentos mais afastados no futuro, a partir do

break-even point existe ganho para o investidor.

Ex.1.25. Verifique o break-even point do investimento descrito na ex. 1.21.

R. Observando o modelo implementado para resolver o Ex.1.22, verifica-se que o

break-even point é de 10 anos

MFIG 29

Comparando dois investimentos, será preferível o que tem um break-even point menor

porque será menor o risco já que é mais difícil prever os acontecimentos mais distantes no

tempo (as quantidades e preços dos bens produzidos e os preços dos inputs).

30 P. C. C. Vieira

Capítulo 2. Risco e sua diversificação

Já referi que, quando alguém empresta um capital, tem como objectivo receber mais

tarde esse capital que emprestou acrescido dos juros mas existe sempre uma probabilidade de

não receber nem uma coisa nem outra (no todo ou em parte). Também na análise de um

investimento, porque é baseada em previsões quanto ao desempenho futuro do negócio (e.g.,

preços dos inputs, preços e quantidades dos outputs, depreciação do capital, falhas e

descobertas tecnológicas) que têm naturalmente associados erros de previsão, a medida

calculada a priori na avaliação pode, a posteriori, vir a concretizar-se de forma menos

favorável. No sentido de compreendermos o risco, controlá-lo e utilizá-lo na tomada de

decisão, vamos neste capítulo apresentar a modelização estatística do risco.

1. Conceitos estatísticos básicosA Estatística é um capítulo da matemática que surgiu quando no desenvolvimento das

ciências se tornou necessário descrever, organizar e relacionar objectos e fenómenos

demasiado difíceis (e mesmo impossíveis) de apreender com as ferramentas conceptuais da

matemática clássica (i.e., com funções reais com variáveis reais). Porque na descrição perfeita

do fenómeno seria necessário identificar e avaliar muitas variáveis para as quais não existe

informação completa, a estatística vai reduzir a dimensão do fenómeno considerando,

primeiro, poucas variáveis e, segundo, apenas avaliando as variáveis de forma difusa.

Notar que os conceitos estatísticos são aqui apresentados de forma simplificada,

pretendendo-se apenas usa-los na modelização do risco. Estes mesmos conceitos serão

tratados com todo o rigor nas disciplinas de Estatística. A redução do curso para 3 anos tornou

impossível, como seria desejável, que Estatística precedesse este ponto programático.

Por exemplo, quando se constrói um avião, é necessário colocar bancos adequados

para acomodar os deficientes motores. Em vez de se tentar saber para todos os voos futuros

quantos deficientes motores irão viajar (o que é impossível), “como, em média, 3% dos

MFIG 31

viajantes são deficientes motores, num avião com 200 lugares, serão suficientes 10 lugares

especiais”. Apesar de não sabermos no concreto de um voo particular quantos deficientes vão

viajar, a estatística, partindo de informação pouco pormenorizada, permite prever que em 19

de cada 20 viagens, esses 10 lugares mais largos serão suficientes (ver Fig. 2.1).

0%

5%

10%

15%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Percentagem de viagens

Número de deficientes

Fig. 2.1 – Percentagem de viagens que se prevê terem determinado número de deficientes

Outro exemplo clássico de gestão do risco é o seguro de vida. Se o segurador

soubesse a priori quantos anos faltavam para o segurado morrer, calculava facilmente um

preço anual de cobertura (i.e., o prémio) que lhe permitisse ter, pelo menos, um lucro normal

(capitalizava os prémios).

Ex.2.1. Um indivíduo com 35 anos e que vai morrer aos 85 anos pretende fazer um

seguro de vida em que a viúva recebe 1000€ quando morrer. Sendo que é possível a

seguradora aplicar sem risco os prémios recebidos a uma taxa de juro de 4% ao ano e pretende

lucrar um ponto percentual, determine quanto deverá ser o prémio anual.

R. Estamos em presença de uma renda antecipada que dura 50 anos a uma taxa de 3%

ao ano, o prémio anual resolve.

Mas, como o segurador não sabe a priori com que idade o segurado, precisa de utilizar

outra fonte de informação.

i) Noção de variável estatística

Uma primeira metodologia para diminuir a complicação de um objecto é descrevê-lo

com apenas algumas variáveis.

32 P. C. C. Vieira

Por exemplo, para nos descreverem de forma perfeita uma pessoa que vamos buscar

ao aeroporto seriam necessárias muitas variáveis. No entanto, como é suficiente uma

descrição grosseira, concentrarmo-nos apenas em algumas variáveis distintivas: e.g., no sexo,

na cor da pele e do cabelo, na altura, na idade e no peso: “é uma mulher de pele morena,

cabelo louro, com 1.75 metros, 50 anos de idade e 70kg de peso”.

As variáveis seleccionadas têm que ser informativas, i.e., quando avaliadas não podem

assumir valores iguais para todos os indivíduos (e.g., não interessa dizer que a pessoa tem

duas pernas).

Assim, as variáveis estatísticas descrevem características parcelares dos objectos. Têm

que ser características passíveis de medição (ou de classificação).

As variáveis podem ser cardinais, ordinais ou categóricas. As variáveis cardinais são

comparáveis em ordem (1500cc é mais do que 1000cc) e em magnitude (1500cc é mais 500cc

que 1000cc). As variáveis ordinais são comparáveis em ordem (“bom estado” é melhor do que

“estado razoável”) mas não em magnitude. Por fim, as variáveis categóricas não são possíveis

de comparar (azul não é comparável com vermelho). Também podemos classificar as

variáveis em quantitativas (que traduzem quantidades) e qualitativas (que traduzem

qualidades).

De todas as variáveis estatísticas possíveis de utilizar, por questões de poupança,

apenas se consideram as estritamente necessárias para descrever o fenómeno/objecto com o

detalhe pretendido.

Ex.2.2. Uma instituição de crédito ao consumo pretende descrever os clientes (para

distribuir pelos gestores de contas). Identifique algumas variáveis que considera relevantes na

descrição dos clientes (e fáceis de obter).

R. Nível de escolaridade, se está empregado, o rendimento mensal, estado civil, idade,

se tem casa própria.

ii) Noção de população / variável aleatória

Identificadas as variáveis estatísticas que caracterizam cada indivíduo, a estatística irá

responder (parcialmente) ao problema de não conhecermos a priori que valor vão assumir

essas variáveis num indivíduo particular. Por exemplo, para quem compra casa a crédito, o

seu esforço financeiro de um determinado mês depende do rendimento e da taxa de juro

EURIBOR (que indexa a prestação). No entanto, no dia da compra essas grandezas não são

conhecidas, e.g., no futuro 240º mês de vigência do contrato de crédito.

MFIG 33

Em termos conceptuais vou preencher a falta de informação relativamente a um

indivíduo particular assumindo que o meu indivíduo vai ser uma escolha aleatória da

população a que pertence e da qual eu conheço os “valores médios”. No exemplo dos aviões,

não sei se um cliente particular é deficiente motor ou não mas sei que cada cliente pertence a

uma população em que 3% dos indivíduos são deficientes motores (ver Fig. 2.1). Apesar de

fisicamente, uma variável aleatória descrever que é intrinsecamente aleatório, por exemplo, a

face que resulta de atirar uma moeda ar, podemos, em termos conceptuais, imaginar que

temos um processo aleatório ou apenas informação imperfeita sobre um fenómeno

determinístico (i.e., não aleatório). Vamos utilizar a “experiência estatística” de extracção

aleatória de um indivíduo de uma população para explicar o conceito de variável aleatória.

iii) Caracterização da população / da variável aleatória.

Sendo que descrevemos os indivíduos por uma variável estatística, caracterizamos

cada um pela medida que essa variável assume. Como o nosso modelo vai assumir que o

indivíduo desconhecido é retirado aleatoriamente de uma população, não será possível nem

relevante caracterizar cada um dos indivíduos. Será suficiente ter alguma informação que

caracterize a população.

a) Variáveis discretas

Frequência relativa. No caso de a variável assumir um número pequeno de valores

(i.e., uma variável discreta com poucos valores possíveis), eu posso caracterizar a população

pela percentagem de indivíduos que assumem cada um dos valores possíveis. Por exemplo, eu

posso dizer que os Portugueses, 47% dos indivíduos são homens e 53% são mulheres. Haverá

exemplos em que o número de casos possíveis é muito grande mas em que alguns casos (ou

classes) concentram a quase totalidade dos indivíduos (No exemplo dos aviões, os valores

abaixo de 15 concentram mais de 99.9% das “viagens”, ver Fig. 2.1).

Noção de extracção aleatória e de probabilidade

Entende-se que ocorre uma extracção aleatória quando a escolha do indivíduo é feita

de forma independente das suas características. Por exemplo, na escolha de um número do

Euro-milhões é escolhida uma bola sem ter em atenção nenhuma das suas características (i.e.,

o seu número).

34 P. C. C. Vieira

O conceito de probabilidade associa-se à ideia de que eu vou retirar aleatoriamente um

indivíduo de uma população. Em termos numéricos é igual à frequência relativa dos valores

observados na população. Por exemplo, eu posso dizer que a probabilidade de numa viagem

haver 6 deficientes motores é de 15.8% (ver Fig.2.1). Quer esta grandeza dizer que, apesar de

numa viagem específica “sair” um número qualquer de deficientes motores, se eu repetisse a

extracção aleatória de muitas viagens, por exemplo, 500 milhares de milhões de vezes, então

em 15.8% das vezes na viagem haveria 6 deficientes motores.

Esta frequência relativa teórica, que em termos conceptuais se obtém pela repetição

um número infindável de vezes da “experiência aleatória” (nas mesmas condições), é uma

interpretação clássica do conceito de probabilidade (de ocorrência).

A soma da probabilidade de todos os casos possíveis é um.

Ex.2.3. Quando se atira um dado ao ar, qual é a probabilidade de sair um 3? E caso se

atirem dois dados, qual é a probabilidade de somarem 3 pontos?

R. Trata-se de uma “população teoricamente conhecida”: existem 6 casos possíveis e

uma possibilidade de sair 3 pelo que a probabilidade é 1/6.

ii) Existem 36 casos possíveis, (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), … e

duas possibilidades de somar 3 pontos, (1;2) e (2;1), pelo que a probabilidade é 2/36 = 1/18.

Uso da informação populacional. Sendo que eu tenho um modelo (por exemplo, de

cálculo do prémio de um seguro de vida em função da idade de morte) onde posso

transformar a informação sobre o indivíduo no resultado que pretendo mas não sei a priori

essa informação (i.e., a idade de morte), terei que utilizar em sua substituição a informação

que tenho da população de onde o indivíduo vai ser extraído. Mas agora, como terei que

calcular um valor para cada elemento da população, vou também ter como resultado uma

população (e não apenas um número normal).

Ex.2.4. Um indivíduo com 35 anos pretende fazer um seguro de vida em que a viúva

recebe 1000€ quando ele morrer. Assuma-se que a seguradora capitaliza os prémios à taxa de

3% ao ano. Assuma-se que a probabilidade de o indivíduo morrer com 65 anos é de 70% e de

morrer com 85 anos é de 30%. Determine, se o prémio anual for de 50€, qual será o lucro

anual da seguradora (dado pela diferença entre o prémio e a entrega necessária para

capitalizar nos 1000€)?

MFIG 35

R. A renda necessária deveria resolver . Se morrer aos 85

anos, a entrega deverá ser de 37.73€ pelo que o lucro será de 12.27€/ano; Se morrer aos 65

anos, a entrega deverá ser 49.53 pelo que o lucro será de 0.47€/ano. Então, o lucro será uma

extracção aleatória de uma população em está associado a 70% dos indivíduos um lucro de

0.47€/ano e a 30% dos indivíduos 12.27€/ano. Podemos também dizer que o lucro é uma

variável aleatória com 70% de probabilidade de se concretizar como 0.47€/ano e com 30% de

probabilidade de se concretizar como 12.27€/ano.

Ex.2.5. Estender o ex.2.4 assumindo as probabilidades do quadro.

R. Em C4: 1000*0,03/(1-1,03^-(A4-35))/1,03; D4: = $B$1-C4 e copiava em coluna:

O resultado de substituir a informação do individuo (que não temos) pela informação

que temos sobre a população não permitirá ter uma resposta perfeita de qual deverá ser o

prémio anual mas, ainda assim, permite realizar cálculos algébricos e obter resultados que

apesar de incertos podem melhorar a minha capacidade de decisão. Deve-se ter sempre em

mente que, derivado de haver concorrência no mercado de seguros, será impraticável a

seguradora impor um prémio que, seja qual for a posteriori a idade de morte, o lucro seja

positivo (existindo sempre o risco de segurador ter prejuízo no contrato).

Caracterização da população / Estimação das probabilidades. Obtenho as

probabilidades de cada classe observando todos os “indivíduos” que formam a população.

Existem fenómenos em que esta operação é (teoricamente) possível, e.g., quando se retira

uma carta de um baralho de 40 cartas, a probabilidade de sair uma em particular (e.g., o ás de

copas) é de 2.5%. No entanto, na generalidade das situações não é possível observar todos os

indivíduos. Por exemplo, eu não posso observar para todos os indivíduos o tamanho de

sapatos que usam. Também, quando o nosso indivíduo vai ser concretizado no futuro, parte

dos indivíduos (os do futuro) ainda não existem.

36 P. C. C. Vieira

Nos casos em que não é possível avaliar, por questões teóricas ou económicas, as

propriedades de todos os indivíduos da população, teremos que nos contentar em estimar as

propriedades recorrendo a uma amostra que contém apenas uma (pequena) parte dos

indivíduos. A estimação terá associado um “pequeno” erro que resulta de os indivíduos de

duas amostras não serem necessariamente os mesmos, erro esse que decresce com o aumento

do tamanho da amostra.

A estatística permite prever qual será a ordem de grandeza do erro de assumir a

estimativa como se fosse o parâmetro.

Por exemplo, apresento na figura 2.2 a frequência relativa com que saíram os

números até 10 numa simulação feita no R. A amostra consiste em 10000 extracções

aleatórias de um número de entre 49 igualmente possíveis (do Euro-milhões). Podemos

observar que, apesar de a probabilidade teórica de obter cada um dos números é 2.04% (i.e.,

1/49), a estimativa calculada com uma amostra (de 10000 “indivíduos”) não é exactamente

este valor. Foi usado como comando table( as.integer( runif(10000, 0, 49.5))).

1,6%1,7%1,8%1,9%2,0%2,1%2,2%2,3%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frequência relativa

Número

Fig.2.2 - Frequência relativa numa amostra com 10000 números

b) Variáveis contínuas

Frequência relativa (em intervalos). Quando o domínio da variável estatística é

contínuo (i.e., um número real), existe uma quantidade infinita de casos possíveis pelo que a

probabilidade de um ocorrer um caso particular é zero. Se pensarmos em termos de variável

aleatória, a probabilidade da variável assumir um valor particular é zero. Por exemplo, a

probabilidade de encontrar uma pessoa que tenha exactamente 1.7643454323456434 metros

de altura (ou qualquer outro número exacto) é zero. Uma estratégia para ultrapassar este

problema é dividir o domínio possível em intervalos e quantificar a frequência relativa dos

MFIG 37

indivíduos em cada um dos intervalos. Por exemplo, fazemos uma divisão da EURIBOR nas

classes [0 a 2%]; ]2% a 3%]; ]3% a 4%]; ]4% a 5%]; ]5% a 8%], e maior que 8%.

Vamos assumir, sem perda de generalidade, que a característica de todos os indivíduos

de cada classe é valor médio da classe. Esse princípio não pode ser utilizado nas classes não

limitadas (e.g., a classe “maior que 8%”).

Densidade de probabilidade. Se o comprimento de uma classe diminuir (e.g., for

dividida ao meio) a probabilidade de cada uma das classes diminui até que, quando tiverem

comprimento infinitesimal, a probabilidade se aproxima de zero (também será infinitesimal).

No sentido de construir uma medida que ultrapasse este enfraquecimento, dividimos a

probabilidade pelo comprimento da classe. Essa nova medida denomina-se por densidade de

probabilidade e existe como uma grandeza “grande” mesmo quando atribuída a um ponto.

Ex.2.6. Supondo que a probabilidade de a EURIBOR atingir determinado valor (de

um intervalo) é [0 a 2%] 5%; ]2% a 3%] 15%; ]3% a 4%] 30%; ]4% a 5%]

35%; ]5% a 8%] 12% e ]8% a 11%] 3%, determine as respectivas densidades de

probabilidade.

R. [0 a 2%] 2.5%; ]2% a 3%] 15%; ]3% a 4%] 30%; ]4% a 5%] 35%;

]5% a 8%] 4% e ]8% a 11%] 1%.

Função de Distribuição. Como num problema concreto as densidades de

probabilidade da população são estimadas usando uma amostra, a divisão dos indivíduos

pelas várias classes obriga a recolher amostras grandes. Como, as probabilidades são

previsões a priori sobre a concretização a posteriori do fenómeno em estudo, os valores

próximos serão praticamente equivalentes. Então, é teoricamente aceitável relacionar as

densidades de probabilidade dos pontos (ou classes) vizinhos ajustando uma função contínua:

a função de distribuição. A forma funcional dessa f.d. terá uma justificação teórica para ser

aplicada a um problema concreto, e é caracterizada por alguns (poucos) parâmetros

(normalmente, um ou dois). Desta forma, a estimação das densidades de probabilidade dos

vários intervalos (e, nos limite, dos infinitos pontos) traduz-se na estimação de apenas um ou

dois parâmetros.

Também podemos utilizar a função distribuição cumulativa F(x) que quantifica a

probabilidade de ocorrência de um valor X menor ou igual a x: F(x) = p(X x). Então, a

38 P. C. C. Vieira

diferença F(b) – F(a) quantifica a probabilidade de ocorrência de um valor dentro do intervalo

]a, b], em que ser aberto ou fechado é numericamente irrelevante.

Distribuição Normal. É a distribuição mais importante porque é “a distribuição

limite” que resulta de somarmos acontecimentos independentes (depois veremos o que este

conceito representa). É caracterizada por dois parâmetros, o valor médio, , e o desvio

padrão, e tem a forma de um sino (ver Fig. 2.3 para uma população com = 0 e = 1).

Desta forma, são mais prováveis serem observados os valores próximos da média. A

probabilidade de o indivíduo extraído cair dentro do intervalo ] –; + ] é de 68% e de

cair dentro do intervalo ] – 2; +2] é de 95%.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

-3 -2 -1 0 1 2 3x

Densidade de probabildiade

Fig.2.3 – Distribuição N(0, 1), i.e., normal com média zero e desvio padrão unitário

Apesar de a expressão analítica da função densidade de probabilidade da Distribuição

Normal ser muito complicada (tem forma exponencial) é muito importante porque caracteriza

bem os fenómenos que resultam da soma de sub-fenómenos independentes.

Estimação do valor médio.

Em termos económicos, o valor médio quantifica a “componente sem risco” do

fenómeno que estamos a analisar. É a medida que contém mais informação pelo que, se

tivermos que atribuir apenas um valor a um indivíduo particular (desconhecido), será esta

medida a que deve ser utilizada (ou outra medida de tendência central como, por exemplo, a

mediana). Prova-se que, se os indivíduos forem igualmente representativos, o melhor

estimador do valor médio é a média aritmética dos indivíduos da amostra.

MFIG 39

Média aritmética. Obtemos a média aritmética dos indivíduos da amostra, também

denominada por média aritmética simples, somando os valores que a variável estatística

assume para todos os indivíduos que conhecemos (em principio, um valor diferente para cada

indivíduo) e dividindo a soma pelo número de indivíduos. Havendo n indivíduos na amostra

teremos a média aritmética simples pelo somatório:

Fica a nota de que, sob o pressuposto de que os indivíduos são igualmente

representativos, a média aritmética simples é o melhor estimador do valor médio da

população porque minimiza a soma dos quadrados dos desvios (é o estimador dos mínimos

quadrados). Este assunto é tratado de forma aprofundada na disciplina de Métodos

Econométricos e de Previsão e na disciplina de Estatística II.

Ex.2.7. Um barco de investigação capturou em Janeiro de 1990 na zona pesqueira da

Terra Nova 10 bacalhaus cujo peso foram 15.5, 17.9, 21.3, 13.1, 9.5, 7.9, 3.5, 19.1, 23.3 e 7.2.

Sendo que em Janeiro de 2008 foram pescados outros 10 bacalhaus (usando a mesma técnica)

cujo peso foram 10.4, 12.2, 11.1, 13.6, 9.2, 12.6, 6.1, 13.2, 12.3 e 13.4, que poderá dizer

quanto à evolução da população de bacalhau?

R. Estima-se que em Janeiro de 1990 o peso médio unitário dos bacalhaus era de

13.83kg e em Janeiro de 2008 era de 11.41kg. Assim, as estimativas apontam no sentido da

diminuição do peso médio unitário da população de bacalhau.

Por exemplo, para obter uma estimativa do preço médio de uma habitação (em Euros

por m2), posso utilizar a amostra das habitações avaliadas pelos bancos e comunicado ao INE,

para as 5 regiões de Portugal Continental. No 1º trimestre de 2004 tínhamos, em média, no

Norte 1000 €/m2, no Centro 1010 €/m2, em Lisboa e Vale do Tejo 1356 €/m2, no Alentejo

1073 €/m2 e no Algarve 1373 €/m2 (Fonte: www.ine.pt).

Ex.2.8. No sentido de ver da viabilidade de lançar uma linha de produtos de limpeza

para os simpatizantes do FCP, pretende-se saber, em média, qual o seu consumo mensal deste

tipo de produtos. Determine a despesa média usando a amostra obtida num inquérito de rua

cujos resultados foram os apresentados no quadro seguinte:

40 P. C. C. Vieira

i Simpatiza Consumo i Simpatiza Consumo i Simpatiza Consumo1 Não 15€ 6 Sim 15€ 11 Sim 26€2 Sim 17€ 7 Sim 11€ 12 Não 12€3 Sim 18€ 8 Não 29€ 13 Sim 15€4 Não 13€ 9 Não 31€ 14 Sim 13€5 Sim 21€ 10 Sim 18€ 15 Sim 23€

R. A estimativa para o valor médio será (17+18+21+15+11+18+26+15+13+23)/10 =

17,70€.

Propriedades da média aritmética simples (e do valor médio da população)

Sendo que para todos os indivíduos a variável assume o mesmo valor a, a média

aritmética é esse mesmo valor:

A média o produto da constante a por uma variável X é igual ao produto da constante

pela média aritmética da variável (corresponde a uma mudança de escala):

A média da soma da constante a com a variável X é igual à soma da constante com a

média da variável:

A média da soma de duas variáveis é a soma das médias das variáveis:

Média aritmética ponderada – amostragem estratificada

Cada indivíduo da amostra representa uma parte do total de indivíduos que formam a

população. E existem situações em que uns indivíduos representam mais indivíduos que

outros. Estes casos acontecem na amostragem estratificada em que a extracção não é

MFIG 41

perfeitamente aleatória mas tem em atenção algumas propriedades (facilmente observáveis)

dos indivíduos, como por exemplo, a região em que são inquiridos.

Vejamos um exemplo ilustrativo da importância deste conceito. Nos finais de 1999,

recolheu-se uma amostra aleatória na China, Hong-Kong e Macau (total de 3 amostras),

tendo-se observado que 0.59; 5.90 e 11.01 indivíduos em cada cem eram proprietários de um

carro de passageiros, respectivamente. Como os indivíduos não foram escolhidos

aleatoriamente (pois separamo-los por regiões), não podemos usar a média aritmética simples

das três amostras para estimar o valor médio dessa variável na China unificada. Isto porque a

amostra da China representa 1.253 milhões de habitantes, a de Hong-Kong representa 6.607

milhões e a de Macau representa 0.434 milhões. Assim sendo, a reunião da informação das

três regiões para estimar o valor médio de veículos por cem habitantes na China unificada

deverá ser calculada como uma média ponderada usando como ponderador o número relativo

de indivíduos que cada amostra representa:

Este exemplo representa uma amostragem estratificada porque se vai estratificar a

população segundo uma variável (e.g., idade, localização) e vai-se recolher uma amostra de

cada estrato i da população.

Se seleccionarmos uma amostra de cada estrato e cada estrato tiver a importância wi,

então o valor médio da população é melhor calculada (i.e., o erro será menor) se utilizarmos a

média aritmética ponderada da amostra:

As propriedades da média aritmética ponderada são idênticas à da média aritmética

simples pelo que não se apresentam aqui, podendo a sua prova ser usada como exercício.

Ex.2.9. Supondo que (dados fictícios) perguntamos a portugueses e a espanhóis se

preferiam o Obama (ao McCain) e 32% dos portugueses e 72% dos espanhóis responderam

afirmativamente. Obtenha uma estimativa (boa) para as preferências dos ibéricos.

R. Como a Espanha tem 5 vezes mais população, então um inquirido em Espanha

representa 5 vezes mais pessoas que um inquirido em Portugal pelo que as preferências

médias são .

42 P. C. C. Vieira

Ex.2.10. Supondo que (dados fictícios) no Norte existem 1.5 milhões de casas, no

Centro 1.25 milhões de casas, em Lisboa e Vale do Tejo 2.0 milhões de casas, no Alentejo 0.5

milhões de casas e no Algarve 1.5 milhões de casas, estime o preço médio das casas em

Portugal Continental (Norte 1000 €/m2, Centro 1010 €/m2, Lisboa e Vale do Tejo 1356 €/m2,

Alentejo 1073 €/m2 e no Algarve 1373 €/m2).

R.

Média aritmética calculada com dados agrupados em classes

Por vezes não temos acesso directo aos valores medidos em cada indivíduo da amostra

mas apenas à frequência relativa para cada intervalo do domínio da variável estatística. Isto

acontece, por exemplo, quando recorremos a fontes que disponibilizam a informação já

agregada por intervalos, como o Instituto Nacional de Estatística, INE. Muitas vezes, é um

imperativo legal que os dados sejam fornecidos agrupados em classes para ser mantido o

anonimato dos indivíduos.

No caso de os dados estarem agrupados por classes, a “melhor” média é a média

aritmética ponderada em que os valores de cada classe são o ponto médio do intervalo e os

pesos são as frequências relativas de cada classe.

Ex.2.11. Voltando ao ex.2.5, verifique se o lucro médio corresponde ao lucro da idade

média de morte.

R. C4: = 1000*0,03/(1-1,03^(-(A4-35))); D4: = $B$1-C4; E4: =D4*B4; F4: =B4*A4

e copiava em coluna. A11: =Soma(F4:F10); E11: = Soma (E4:E10).

Assumindo a idade média de morte (i.e., 74.10 anos), o lucro anual seria 6.22€

enquanto que o lucro médio “verdadeiro” é 1.43€. Neste modelo, assumir a idade média de

morte resulta num lucro enviesado para cima (demasiado optimista).

MFIG 43

Média geométrica simples

Quando as variáveis estatísticas são expressas em taxas (e.g., a taxa de juro ou de

inflação), faz todo o sentido calcular a média geométrica (da taxa mais um) e não a média

aritmética da taxa. Exemplo da não pertinência da aplicação da média aritmética é que, se

uma variável vale 100 e sobe 10% seguido de uma descida de 10%, passará a valer 99:

100 → 100(1 +10%) = 110 → 110(1 –10%) = 99

Em termos algébricos, a média geométrica vem dada por:

Aplicando a esta expressão a função logaritmo nepereano (que também se denomina

de logaritmo natural) em que o produto se transforma em soma e a potência em produto,

, resulta que o logaritmo da média geométrica é a média aritmética

dos logaritmos:

Em termos de taxas em que , teremos a média geométrica da taxa como:

.

Sendo que xt é pequeno, então pelo que a média aritmética é

aproximadamente igual à média geométrica (é o caso de aplicação da Capitalização Simples).

Podemos facilmente estender o conceito de média ponderada à média geométrica (nem

sempre os índices aparecem abaixo da linha porque ficariam muito pequenos):

Ex.2.12. Sendo conhecidas as taxas de juros anualizadas de cada mês, determine a

taxa de juro média anual.

R. B3: =1+B2 e copiava em linha; N3: =Produto(B3:M3)^(1/12); N2: =N3-1; N1:

=Média(B2:M2).

44 P. C. C. Vieira

Verificar que é em tudo equivalente a uma capitalização (composta). Em B4:

=B3^(1/12), N4: =Produto(B6:M6)-1.

Distribuição t-student. Apesar de não ser relevante para o nosso objectivo, faz-se

notar que quando o fenómeno que estudamos (i.e., a população de onde vai ser extraído o

indivíduo) segue lei normal mas precisamos de estimar o valor médio com o recurso a uma

amostra, como existe um erro na estimação, (i.e., a estimativa não corresponde exactamente

ao verdadeiro valor da população), então a distribuição estimada tem maior dispersão que a da

distribuição Normal. Para modelizar essa “nova” realidade de ser usada a função distribuição

t-student. Se a amostra for grande, (>30 elementos), não existe diferença significativa entre a

Distribuição Normal e a Distribuição t-student.

Estimação do desvio padrão.

Em termos económicos, o desvio padrão, , é uma medida do risco de assumirmos o

valor médio da população como se fosse o valor associado ao indivíduo. Assim, o desvio

padrão é uma medida da heterogeneidade da população (a variabilidade em torno do valor

médio). Como já referi, na Distribuição Normal, 68% dos indivíduos estão em ] –; + ]

e 95% em ] – 2; +2].

Fica como nota que o melhor estimador do desvio padrão com base numa amostra

com indivíduos igualmente representativos é a raiz quadrada do desvio quadrático médio. Esta

medida, em termos de população, é denominada por Variância.

Sendo o valor médio da população, então a variância, 2, vem dada pela expressão:

O desvio padrão virá dado por

Propriedades do desvio padrão

a) Se os indivíduos forem todos iguais, o desvio padrão é zero.

MFIG 45

b) O desvio padrão do produto da constante a pela variável X é igual ao produto da

constante pelo desvio padrão da variável:

c) O desvio padrão da soma de uma constante com uma variável X é igual ao desvio

padrão da variável X.

Estimação. Quando a nossa fonte de informação é uma amostra, o que será o caso

mais frequente, o melhor estimador para o desvio padrão é o desvio padrão amostral mas

descontado de um grau de liberdade (perdido na estimação do valor médio - conceito a

desenvolver em Estatística). Então, em termos algébricos, dividimos a soma dos desvios

quadráticos dos indivíduos relativamente à média amostral por (n – 1) e achamos a sua raiz

quadrada:

A esta expressão pode ser dada outra forma:

Em termos algébricos, as propriedades do desvio quadrático médio, S2, e da sua raiz

quadrada, S, são as mesmas que as da variância e do desvio padrão, respectivamente.

Ex.2.13. Voltando ao Ex.2.7 (foram pescados em Janeiro de 1990 bacalhaus cujo peso

foram 15.5, 17.9, 21.3, 13.1, 9.5, 7.9, 3.5, 19.1, 23.3, 7.2 e, em Janeiro de 2008, 10.4, 12.2,

11.1, 13.6, 9.2, 12.6, 6.1, 13.2, 12.3 e 13.4) no sentido de estudar a viabilidade de pesca de

arrasto (pescar todos juntos) i) que poderá dizer quanto à evolução da heterogeneidade dos

46 P. C. C. Vieira

peixes? ii) Sendo que a distribuição dos pesos dos peixes é normal, qual a estimativa da

percentagem de peixes do banco de pesca que tem elevado valor comercial (mais de 15kg)?

R. Acrescentaria ao Ex.2.7, D2: =(B2-B$12)^2 e copiava em linha e coluna. B13:

=(Soma(D2:D11)/(Contar(B2:B11)-1))^0,5 e copiava em linha. Podia também usar a função

=DesvPad(B2:B11), ii) B16: = 1-Dist.Norm($B$15;B12;B13;VERDADEIRO).

A média de peso da população de bacalhau diminuiu e a sua heterogeneidade também.

A percentagem de peixes com elevado valor comercial diminuiu de 43.0% para 6.2%.

Desvio padrão ponderado e estimado com dados agrupados

Como referimos no cálculo da média amostral, quando os indivíduos têm diferente

representatividade (peso), também devemos calcular a variância (e o desvio padrão) usando a

distância média quadrática ponderada. Havendo n indivíduos (ou estratos) em que a

representatividade do indivíduo (ou estrato) i é wi, obtemos uma boa estimativa para o desvio

padrão usando a seguinte expressão:

Ex.2.14. Suponha que sou intermediário de legumes. Compro os legumes a 0.50€/kg,

pago 75€ pelo transporte e o preço de venda é desconhecido mas tem distribuição normal com

média 0.60€/kg e desvio padrão de 0.15€/kg. i) Determine qual vai ser o meu lucro de

intermediar 1000kg de legumes. ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.

R. i) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte = 1000[N(0.60, 0.15) – 0.50] – 75

L = N(600, 0.15x1000) – 575 = N(25, 150)

MFIG 47

ii) No Excel teríamos A1: =Dist.Norm(0;25;150;Verdadeiro) 43.38%

2 – Diversificação do risco Neste ponto vou mostrar como a estatística nos pode ajudar a controlar o risco de uma

actividade económica. Em termos matemáticos, trata-se de operações de soma de variáveis

estatísticas.

Associação entre variáveis

Até este ponto, assumimos a existência de apenas uma variável estatística. No entanto,

no geral usamos várias variáveis estatísticas na caracterização de um indivíduo (no exemplo

da pessoa usamos a cor da pele, do cabelo, etc.). Algumas variáveis estatísticas são

independentes (e.g., a cor do cabelo e o peso) enquanto que outras, sem deixarem de ser

aleatórias, são dependentes (e.g., a altura e o peso: os indivíduos mais altos são, em média, os

mais pesados). No sentido de poder realizar operações algébricas com variáveis aleatórias (já

o fizemos com uma variável aleatória e constantes), vamos ver como se modeliza a associação

entre variáveis estatística (Nota: A definição de independência de variáveis é dada em

Estatística I).

Variável discreta: Frequências relativas / probabilidades cruzadas (de classes)

A informação será semelhante à situação em que apenas temos uma variável estatística

discreta (ou dividida em classes), mas agora serão classes conjuntas. Colocamos as

percentagens de indivíduos em cada quadro de forma que o total some 100%. Por exemplo,

podemos cruzar a cor da pele com a cor de cabelo (duas variáveis qualitativas):

Pele \ Cabelo Louro Castanho EscuroLoura 5% 3% 1%Morena 9% 45% 15%Mulata 0% 2% 12%Escura 0% 1% 7%

Outro exemplo em que dividimos duas variáveis contínuas em classes é o cruzamento

da altura com o peso:

Altura \ peso ]0.0; 40.0] ]40.0; 80.0] ]80.0; 120.0] Total

48 P. C. C. Vieira

]0.5; 1.0] 10.6% 0.2% 0.0% 10.8%]1.0; 1.5] 13.9% 40.0% 0.1% 54.0%]1.5; 2.0] 0.3% 25.8% 9.1% 35.2%Total 24.8% 66.0% 9.2% 100.0%

Nas tabelas que cruzam duas variáveis, a soma horizontal das frequências /

probabilidades quantifica a percentagem de indivíduos que pertencem à correspondente classe

das alturas enquanto que a soma vertical quantifica a percentagem de indivíduos que

pertencem à correspondente classe dos pesos. Cada uma das linhas (e das colunas) traduz uma

função distribuição de uma variável condicionada a um determinado valor da outra variável.

Esta função distribuição tem que ser corrigida para somar 100%. Por exemplo, a função

distribuição do peso para as pessoas que têm altura no intervalo ]1.5; 2.0] obtêm-se dividindo

os da linha correspondente por 35.2%:

Peso ]0.0; 40.0] ]40.0; 80.0] ]80.0; 120.0]]1.5; 2.0] 0.85% 73.30% 25.85%

Variáveis contínuas: Covariância e coeficiente de correlação linear

A covariância é uma medida que condensa num só número a associação entre duas

variáveis estatísticas. A covariância entre estas duas variáveis, (x, y) ou cov(x, y), vem

definida pela expressão seguinte.

Os indivíduos podem representar apenas instantes de tempo diferentes, caso em quem

podemos trocar o índice i por t. Por exemplo, a covariância entre a taxa EURIBOR

(desconhecidas) em dois dias consecutivos.

Notar que a variância é um caso particular desta expressão: 2 = (x, x).

O valor da covariância é crescente com a variância das variáveis estatísticas de onde a

sua interpretação económica ser difícil. Pode ser um valor negativo, zero ou positivo.

No sentido de retirar à covariância o “efeito de escala” das variâncias das variáveis,

divide-se pelos desvios padrão das variáveis resultando no coeficiente de correlação linear

de Pearson, (x, y), ((x) representa o desvio padrão da variável estatística x):

MFIG 49

Costuma-se designar por o coeficiente de correlação linear populacional (entre as

variáveis aleatórias X e Y) e por r o coeficiente de correlação amostral (entre as

características x e y observadas nos indivíduos de uma amostra)

O valor do coeficiente de correlação linear de Pearson pertence ao intervalo [–1; 1]. Se

for próximo de zero, traduz que não existe relação linear entre as variáveis. Se for próximo de

+1, traduz a existência de uma relação linear positiva forte (por exemplo, quanto maior a

altura, maior será, em média, o peso) enquanto que se for próximo de –1, a relação linear

continua forte mas negativa (por exemplo, quanto maior o peso, menor será, em média, a

esperança de vida).

O valor do coeficiente de correlação de Pearson tem ainda outro significado. O seu

valor ao quadrado, conhecido por R2, quantifica quanto eu posso reduzir na variância de uma

variável por conhecer a concretização da outra variável. Por exemplo, na população a

variância do peso é 400, (o desvio padrão é 20 kg). Se eu souber que o entre a altura e o

peso é 0.7, se eu conhecer a altura da pessoa, reduzo a variância do peso para 51% (i.e., o

desvio padrão diminui para 14.28kg).

Contrariamente ao coeficiente de correlação linear que mede a associação entre duas

variáveis, o R2 pode a modelos lineares com uma variável explicadas e várias variáveis

explicativa (a aprofundar em Métodos Econométricos e de Previsão).

Propriedades da covariância e do coeficiente de correlação linear

a) A covariância (e o coeficiente de correlação linear) entre duas constantes ou entre

uma variável estatística e uma constante é zero:

b) Multiplicando uma das variáveis por uma constante diferente de zero, a covariância

vem multiplicada e o coeficiente de correlação linear mantém-se (a menos do sinal):

c) Somando uma constante (diferente de zero) a uma das variáveis, a covariância e o

coeficiente de correlação linear mantém-se:

50 P. C. C. Vieira

d) A covariância e o coeficiente de correlação são comutativos:

Estimação da covariância e do coeficiente de correlação linear

Sendo económico usar uma amostra em vez da população, obtém-se uma estimativa

para o coeficiente de correlação calculando a área de cada ponto em referência ao ponto

médio e dividindo por n–1.

No caso de termos dados agrupados, substituímos cada classe pelo valor médio do

intervalo e fazemos um cálculo ponderado.

Ex.2.15. Relativamente aos dados do quadro das alturas e dos pesos, determine a

covariância e o coeficiente de correlação entre estas duas variáveis. Que pode dizer acerca do

grau de associação?

ii) Existe uma forte associação linear entre o peso e a altura

MFIG 51

Soma de variáveis estatísticas (diversificação do risco)

A soma de variáveis estatísticas é muito relevante no contexto da matemática

financeira porque modeliza o comportamento estatístico das carteiras de activos partindo-se

das propriedades estatísticas individuais dos activos que a constituem (que será aprofundado

na disciplina de Finanças Empresariais).

Distribuição da soma. Se as variáveis estatísticas tiverem distribuição normal, então

a soma também terá distribuição normal. Se não tiverem, a soma será mais próxima da

distribuição normal que as distribuições das parcelas. Se somarmos mais de 30 variáveis

aleatórias com distribuição desconhecida que sejam pouco correlacionadas, podemos assumir

que a resultante tem distribuição normal.

Média da soma. Sendo que existem duas variáveis estatísticas, x e y, a soma z = x + y

terá como valor médio a soma dos valores médios de cada variável estatística. Em termos de

estimação, :

Variância e desvio padrão da soma. A variância da soma é igual à soma das

variâncias de cada variável mais duas vezes a covariância. O desvio padrão será obtido pela

raiz quadrada da variância. Em termos de uma amostra teremos (sendo idêntico em termos da

população):

Ex.2.16. Suponha que sou intermediário de legumes. Tenho que encomendar os

legumes antes de saber o seu preço que tem distribuição normal com média 0.50€/kg e desvio

padrão 0.10€/kg. Pago 75€ pelo transporte. O preço de venda ainda é desconhecido mas tem

distribuição normal com média 0.60€/kg e desvio padrão 0.15€/kg. A correlação entre o preço

52 P. C. C. Vieira

de compra e de venda é de 0.5. i) Determine qual vai ser o meu lucro de intermediar 1000kg

de legumes. ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.

R. i) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte

. A covariancia é negativa porque o preço de compra é multiplicado por –1.

ii) No Excel usaria A1: =Dist.Norm(0;25; 217.9;Verdadeiro) 45.43%

Ex.2.17. Sendo que x e y representam a taxa de remuneração mensal de dois activos

financeiros, determine a taxa de remuneração mensal da carteira z com a proporção k por

cento de x e (1 – k) por cento de y, ( i.e., ).

Se a correlação entre as rentabilidades dos activos for menor que 1 (o que acontece

sempre), então a variabilidade da carteira, para cada remuneração, é menor que a média das

variabilidades de cada activo:

Esta propriedade estatística traduz o conceito financeiro de diversificação de risco

pela construção de uma carteira de activos não perfeitamente correlacionados.

Notar que usei a notação das grandezas amostrais, sem perda de generalidade.

Extensão à soma de m variáveis. Quando se somam m variáveis estatísticas, o valor

médio obtém-se pela soma dos m valores médios e a variância obtém-se pela soma das m

variâncias mais duas vezes as covariâncias entre todos os pares de variáveis. Para o caso de

três variáveis teremos:

Ex.2.18. Para quem compra casa a crédito, é importante saber o rendimento disponível

depois de paga a prestação da casa nos mês futuros onde se desconhecem o rendimento e a

prestação. Vamos supor que o rendimento segue distribuição segue a distribuição R= N(1250,

250) com tendência de aumentar 0.1% ao mês e que a prestação é P = V.(EURIBOR +

0.5/prazo)/12 em que a EURIBOR segue distribuição N(0.03, 0.01). O coeficiente de

correlação linear entre a EURIBOR e o rendimento é –0.2. i) Determine a evolução do

MFIG 53

rendimento disponível. ii) Para um prazo de 50 anos, qual será o montante que garante que em

90% dos primeiros 60 meses do contrato o rendimento disponível é maior que 750€?

R. i) Como RD = R – P = N(1250, 250)x1.001t – V.[N(0.03, 0.01) + 0.5/prazo]/12 são apenas

somas de variáveis aleatórias e produtos por constantes, resulta uma distribuição normal com

Média = 1250 x1.001t– V.(0.03+0.5/prazo)/12

Desvio padrão = [(250x1.001t)2 + 2x0.2x250 x1.001t xVx0.01/12+ (Vx 0.01/12)2]0,5

ii) Com o modelo implementado no Excel resulta que o crédito não pode ultrapassar 57070€:

B2: =1250*1,001^A2-$F$1*0,04/12

C2: =((250*1,001^A2)^2+2*0,2*250*1,001^A2*$F$1*0,01/12+($F$1*0,01/12)^2)^0,5

D2: =DIST.NORM(750;B2;C2;VERDADEIRO)

F2: =MÉDIA(D2:D61)

E depois copio em coluna. Finalmente, uso a ferramenta “atingir objectivo”, definir a célula

F2 para o valor 0,1 por alteração da célula F2.

Ex.2.19. Potenciais clientes com idade A = N(40, 10) anos pretendem fazer um seguro

de vida em que alguém recebe 1000€ quando ele morrer que será com a idade M = N(75, 15)

e que M não está correlacionado com A. Supondo que a seguradora capitaliza os prémios à

taxa 3% ao ano e que prevê arranjar 1000 clientes não correlacionados entre si, determine, o

prémio anual (antecipado e igual para todos) de forma que o lucro médio menos o desvio

padrão do lucro seja positivo (traduz uma probabilidade de 85% do lucro ser positivo).

R. A duração do individuo será D = M – A = N(75 – 40, (102+152)) = N(35, 18.03). A

prestação será e o lucro = P – V que é

uma variável aleatória de distribuição com forma funcional desconhecida ma com média Mi e

desvio padrão DPi. Como vou somar o lucro de 1000 indivíduos não correlacionados, resulta

uma distribuição normal N(1000Mi, 10000.5DPi).

54 P. C. C. Vieira

Usando o Excel (avaliando as durações por anos) determino Mi e desvio padrão DPi

para um dado prémio. Resolvendo o modelo para um lucro médio menos o desvio padrão

igual a zero, obtenho 61.790 € para o prémio anual e um VA para o negócio de N(13. 371 €,

13.371€).

Calculava a dens. de probabilidade da duração, B2: =DIST.NORM(A2; 35;18,03;FALSO)

O Lucro em função da duração, C2: =$G$1-1000*0,03/(1-1,03^(-A2))/1,03

Calculava a média e o d.p. ponderados do lucro, D2: =C2*B2; E2: =B2*(D2-$D$73)^2

copiava em coluna; D73: =SOMA(D2:D71)/$B$73 e copiava em linha.

Calculava para os 1000 indivíduos, D74: =1000*D73; E74: =1000^0,5*E73; F74: =D74-E74

Utilizava a ferramenta “atingir objectivo”, definir a célula F74 para o valor 0 por alteração da

célula G1.

Na coluna B deveríamos ter probabilidades e temos densidades de probabilidade o que

é equivalente quando os espaçamentos entre valores são unitários (ou idênticos).

A distribuição normal não se aplica perfeitamente à duração de vida porque esta não

pode ser menor que zero nem maior que 70 anos (o que justifica que a probabilidade total

tenha somado apenas 94.77%). No entanto, em termos pedagógicos, a este nível a questão é

pouco relevante.

Interessante experimentar que quanto mais seguros fizer, mais baixo poderá ser o

prémio.

Método de Monte Carlo - Simulação.

Em modelos complicados, da manipulação algébrica das variáveis estatísticas não

resultam distribuições com formas funcionais conhecidas. Uma alternativa muito poderosa é

usar a simulação. Nesta metodologia conhecemos as funções distribuição de onde vão ser

retirados os indivíduos e o modelo que transforma os valores individuais particulares nos

resultados pretendidos. Então, vamos extrair de forma aleatória indivíduos e aplicar o modelo

MFIG 55

de forma a obter resultados pontuais com os quais vamos construindo um histograma da

função distribuição dos resultados ou, sendo suficiente, obtendo estimativa para o valor médio

e para o desvio padrão dos resultados.

Como a soma de variáveis aleatórias resulta na distribuição normal, também podemos

usar como produto da simulação a média e o desvio padrão dos diversos resultados pontuais.

Simulação dos resultados no Excel. O Excel não é uma ferramenta muito adequada à

implementação do Método de Monte Carlo porque apenas tem um “gerador de números”

aleatórios da distribuição uniforme no intervalo [0, 1]. Assim, nos exemplos que vamos

implementar vai ser utilizada essa distribuição usando a função Aleatório() de que resulta um

número do intervalo [0, 1]. Para usar a distribuição uniforme no intervalo [a, b] uso a

expressão a + b*Aleatório(). Se disser que “a variável X tem média 10 e a sua variabilidade é

de 10%”, usarei no Excel a expressão =10*(1+2*(Aleatório()-0.5)*0.1). Neste caso assumo

a distribuição uniforme contínua:

Distribuição uniforme contínua. Nesta distribuição todos os valores do domínio têm

a mesma (densidade de) probabilidade de ocorrência. Podemos referir a distribuição uniforme

dizendo, por exemplo, que a variável vale 5 2, caso em que o domínio (de f.d.p. positivo) é

[3, 7], e a densidade de probabilidade é 0.25. Fica a nota (a retomar no exercício final de R)

que quando a variação é 1, o desvio padrão é 0.577 (mais exactamente, (1/3)0.5). O melhor

estimador para a média da d.u. é a média amostral e da amplitude da d.u é o desvio padrão

amostral a multiplicar por 3.464.

Na parte final da disciplina será apresentada a linguagem de programação R que é de

fácil aprendizagem e tem poderosos “geradores de números aleatórios” para funções de

distribuição com diversas formas funcionais.

Ex.2.20. Na análise de um investimento a um horizonte temporal de 10 anos existem

várias variáveis fundamentais que não são perfeitamente conhecidas: As quantidades

vendidas, o preço de venda e os custos de produção. Em termos médios prevêem-se os

seguintes valores:

56 P. C. C. Vieira

Sendo que existe uma variabilidade de 10% nas previsões, qual será a variabilidade

do lucro?

R. Coloco num quadro abaixo os valores médios (e.g., em C17:L20) e escrevo na

célula C2: =C17*(1+2*(ALEATÓRIO()-0,5)*0,1) e depois copio em linha e em coluna para

C2:L5. Agora, sempre que carregar em F9, obtenho outra simulação.

Para obter uma “amostra” de VALs selecciono B14 e copio o valor (colar

especial+valor) para outro lado e repito a operação mudando de célula e teclando F4.

Apresento nas figuras seguintes os resultados estatísticos de 1000 réplicas do modelo e que

indica que o lucro segue distribuição normal com média 22.5 e desvio padrão 32.6.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

-100 -50 0 50 100 150Lucro

Ex.2.21. Na análise da viabilidade financeira da construção de um reactor nuclear de

água pesada utilizou-se uma simulação em que foi assumida uma vida útil de 70 anos com re-

construção no ano 40 de laboração e desmantelamento no ano 65.

MFIG 57

C17: =C16+D17*(1-$B$8)-J17*K17 D17: =$B$4/5

F17: =E17*(1+2*(ALEATÓRIO()-0,5)*$I$3)

G17: =F17*$B$2*24*365*$B$5/1000000*(1+2*(ALEATÓRIO()-0,5)*$I$4)

H17: =-G17*$B$6*(1+2*(ALEATÓRIO()-0,5)*$I$5)

I17: =SE(C16>0;-C16*$B$10;-C16*$B$11) J17: =G17+H17+I17

K17: =SE(J17>0;$B$13;1) L17 =J17*(1-K17)

Não apresentamos aqui a estrutura detalhada do modelo que terá que ser consultada

directamente na folha de Excel.

Para os valores considerados para os parâmetros do modelo, realizaram-se 1000

réplicas e obtiveram-se os VAL apresentados no gráfico seguinte.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

-100 -50 0 50 100 150 200VAL

58 P. C. C. Vieira

A observação da figura indica que o VAL é compatível com a distribuição Normal

tendo média 51.28 milhões de Euros e desvio padrão 45.94 milhões de Euros. Assim sendo, a

probabilidade de o projecto ter um VAL negativo é de 13,2%, que determinamos usando a

função do Excel =DIST.NORM(0;51,28;45,94;VERDADEIRO).

3) Números índiceQuando nos referimos ao índice de preços, temos em mente um número que agrega

todos os preços dos bens e serviços transaccionados no mercado. O índice, ao conter

informação agregada, torna possível e facilita a comparação entre grupos heterogéneos.

Índice simples como valor relativo a uma base

O índice simples consiste na relativização do valor de uma variável estatística

(normalmente a média), relativamente ao valor do período base. Normalmente, o valor do

índice na base é normalizado a um, cem, mil ou dez mil. Todos os valores da variável

estatística são proporcionalmente transformados em relação ao valor do período base. A base

também pode ser um país, uma região ou mesmo um indivíduo: e.g., relativizar a performance

média dos alunos em relação à performance do melhor aluno.

No quadro seguinte apresento a título de exemplo a relativização do produto per

capita em dólares correntes com paridade de poder de compra dos países e candidatos da EU,

da EFTA, do Norte de África e os USA no ano de 2001 (fonte: Banco Mundial). O país base é

Portugal Incluímos a que corresponde o valor 100 para o índice:

País Pibpc Índ. País Pibpc Índ. País Pibpc Índ.Luxemb. 53780 296,3 Finland 24430 134,6 Slovak 11960 65,9U S A 34320 189,1 Sweden 24180 133,2 Estonia 10170 56,0Ireland 32410 178,6 U K 24160 133,1 Poland 9450 52,1Iceland 29990 165,2 France 23990 132,2 Croatia 9170 50,5Norway 29620 163,2 Cyprus 21190 116,7 Lithuania 8470 46,7Denmark 29000 159,8 Spain 20150 111,0 Latvia 7730 42,6Switzerl. 28100 154,8 Portugal 18150 100,0 Bulgaria 6890 38,0Netherl. 27190 149,8 Greece 17440 96,1 Turkey 5890 32,5Austria 26730 147,3 Slovenia 17130 94,4 Romania 5830 32,1Belgium 25520 140,6 Czech 14720 81,1 Tunisia 6390 35,2Germany 25350 139,7 Malta 13160 72,5 Algeria 6090 33,6Italy 24670 135,9 Hungary 12340 68,0 Morocco 3600 19,8

MFIG 59

Como o índice é um ratio, não tem unidades. Por exemplo, relativamente aos dados da

tabela anterior, o índice para Marrocos, Im, vem dado pela expressão seguinte onde se cortam

as unidades uma com a outra:

Como os índices são os valores originais multiplicados por uma constante, o ratio

entre períodos/grupos mantém-se qualquer que seja a base.

Índice de cabaz fixo (de Laspeyres)

Na construção deste índice de síntese existe uma ponderação dos indivíduos (ou

estrato) que é constante para toda a série. Se aplicado a uma série temporal, os ponderadores

são os correspondentes ao ano base.

Sendo xk,t é o valor da variável aleatória para o indivíduo k no período t e sendo wk,base

a importância económica (peso) relativa do indivíduo k (em que o somatório dos pesos é um)

no período base, então obtemos o índice de Laspeyres para o instante de tempo t, primeiro,

calculando a média ponderada dos indivíduos de cada período:

Segundo, normalizando os valores relativamente ao período base, e.g., a 100:

No cálculo do índice de preços ao consumidor utiliza-se como peso de cada tipo de

mercadoria a sua importância relativa na despesa total das famílias. Primeiro, são escolhidas

as grandes rubricas da despesa (alimentação, vestuário e calçado, habitação, etc.) e é

construído para cada rubrica um índice ponderado de Laspeyres. Depois, atribuindo um peso

relativo a cada rubrica, é determinada o IPC como a média ponderada dos índices das

rubricas. A importância das componentes da despesa (i.e., o cabaz de consumo) obtém-se por

inquéritos às famílias o que, ficando muito caro, só se faz a intervalos de tempo grandes.

No cálculo do índice de mercado bolsista utiliza-se como peso de cada título a

capitalização bolsista e o volume diário de transacção (liquidez). Do total de empresas cotadas

são escolhidas as de maior peso (por exemplo, o PSI20, o CAC40 e o NASDAQ100 são

construídos como uma média ponderada das 20, 40 e 100 empresas cotadas mais importantes,

respectivamente).

60 P. C. C. Vieira

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

Como já referido, a grande vantagem do índice de Laspeyres é a não necessidade de

recalcular os pesos relativos dos grupos em cada período. No entanto, no decorrer do tempo, a

representatividade de cada grupo evolui de forma que o índice de Laspeyres vai perdendo

capacidade de representar a evolução agregada da realidade considerada. No sentido de

ultrapassar este problema, regularmente as séries mudam de base (e.g., a cada 20 anos).

Quando se muda de base, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo

tramo da série para 100 (ou 1, 10, etc.) e são alterados os pesos relativos dos grupos

agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).

Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se

necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base. A redução não é realmente

uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações

dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série.

No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo

menos) durante um período. Devemos usar os períodos de sobreposição para calcular o valor

do “salto” em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma

mudança de base.

Sendo que existe uma série com dois tramos: o

tramo 1 tem como base o ano 1 que é calculado até ao

ano 11 e o tramo 2 tem como base o ano 11 e é calculado

entre o ano 11 e o ano 20 (existe sobreposição no ano

11), pretendemos “corrigir” a mudança de base. Para

compatibilizar os dois tramos à base do tramo 1, calcula-

se o ratio no ano sobreposto (100 para 128,8) e corrige-se

o tramo 2 multiplicando-o por este valor (1,288).

Podemos mudar qual é o ano a que corresponde o

valor 100 (sem alterar os pesos para a nova base)

dividindo toda a série pelo valor que o índice tem no ano

pretendido (e multiplicando pelo valor que se pretende

como base, e.g. 100).

3.2.5 Taxa de variação

Ano Tramo 1 Tramo 2 Série1 100,0 100,02 101,8 101,83 106,7 106,74 107,4 107,45 112,6 112,66 119,5 119,57 120,8 120,88 123,5 123,59 125,6 125,610 124,6 124,611 128,8 100,0 128,812 103,6 133,413 109,8 141,414 109,7 141,315 112,1 144,416 118,0 152,017 124,3 160,118 129,0 166,219 132,8 171,020 133,0 171,3

MFIG 61

Construído o índice agregado, pode interessar transformá-lo numa taxa de variação.

Por exemplo, construído o IPC (índice de preços no consumo) podemos determinar qual foi a

taxa de inflação.

Normalmente a taxa de variação refere-se a um determinado período, por exemplo, a

inflação do último ano. Sendo t o instante actual, It-1 o valor do índice há um “ano” e Rt-1 a

taxa de variação do índice durante o último ano, teremos:

Esta taxa de variação chama-se taxa de variação homóloga por serem considerados

no seu cálculo instantes do período idênticos. Por exemplo, a taxa de inflação homóloga anual

em 15 de Setembro de 2008 compara o índice de preços no dia 15 de Setembro de 2008

contra o dia 15 de Setembro de 2007.

A taxa de variação média é a média (para um ano) das taxas homólogas com

intervalo de análise deslizante (por exemplo, calculada para cada mês). Sendo que a unidade

de referência é o ano civil. Podemos ainda calcular a taxa de variação acumulada como a

variação que ocorreu desde o início do ano até ao dia em consideração.

A taxa de variação mensal anualizada é uma taxa de um mês para outro (homologa

no sentido que compara, e.g., o dia 15 de Março com o dia 15 de Fevereiro) transformada em

unidades por ano, Txa = (1 + Txm)12 – 1.

Ex.2.22. Conhecido, em termos mensais, a evolução do índice de preços ao

consumidor, determine a taxa de inflação i) homóloga de Dezembro e ii) mensal anualizada.

Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ag Set Out Nov Dez386,0 386,2 386,9 389,6 390,4 393,3 393,9

100,0 100,6 101,1 101,3 101,3 101,6 102,1

R. Primeiro compatibilizamos as séries multiplicando a de baixo por 3.939. i) A taxa

de inflação anual homónima de Dezembro é M4: M2/A2 – 1 = 4.19%. ii) A mensal

anualizada obtém-se B3: (B2/A2)^12-1 e copiar em linha.

62 P. C. C. Vieira

Capítulo 3. Programação – Introdução à linguagem R

Em termos de formação académica, a aprendizagem de uma linguagem de

programação justifica-se porque desenvolve a capacidade de raciocínio e análise do aluno e é

uma vantagem comparativa na luta pelos empregos melhor remunerados. A opção pelo R

deve-se a ser uma linguagem simples mas que, por ter muitas rotinas em livrarias previamente

implementadas, permite escrever programas para realizar tarefas computacionalmente

complexas. Além disso, é um software de distribuição gratuita (procurar R-project).

Quando iniciamos o software R, aparece-nos o “ambiente de trabalho” que

inicialmente refere a versão, as condições de utilização e finaliza com uma linha (a “linha de

comando”) que começa com o carácter “>” e o cursor a vermelho (ver Fig. 3.1).

Fig. 3.1. – O ambiente de trabalho do R

MFIG 63

Neste ponto programático não se pretende transformar o aluno num programador mas

dar apenas a essência do que é o R.

O que escrevermos na linha de comando, depois de fazermos “Enter” (assumiremos a

partir de agora, que se faz sempre Enter no fim de escrever os comandos), vai ser processado

pelo R. Por exemplo, se escrever (2+7+5)/5, aparece o resultado [1] 2.8. O número [1] não

tem, para já, significado.

Se executarmos o comando q(), saímos do R. (faz uma pergunta a que dizemos sim).

Se “andarmos” com as setas para cima e para baixo, percorremos os comandos que

escrevemos anteriormente (e que ficaram gravados: é o workspace). Podemos apagar os

pbjectos do workspace usando o menu Misc + Remove all objects ou executar o comando

rm(list=ls(all=TRUE)).

1. Objectos. O R é uma linguagem por objectos. Um objecto pode ser uma variável, uma constante,

um vector, uma matriz, uma tabela de dados, uma função, um modelo, etc. Cada objecto tem

um nome formado por letras (as maiúsculas são diferentes das minúsculas), por números e

pelo carácter ponto, “.”, não podendo ter espaços.

Constantes. Eu posso criar a constante X executando X <- 45 (que é diferente do

objecto x). Para ver o conteúdo de um objecto, executo o seu nome. Se executar X, aparece

[1] 45. Se atribuir outra vez outro valor a X, o valor anterior será destruído e substituído.

Também poderia fazer a criação/atribuição executando X = 45.

Expressões. Posso executar “expressões” e ver o resultado ou colocar o resultado

numa constante. Nas expressões posso ter números, operadores algébricos (+, –, /, *) e

potenciação (^). Posso ainda usar outros objectos e funções.

Se executar i <- ((X*2 + 5^2)^2) / log(1.05) e depois i, aparece [1] 271058.7.

Ex.3.1. Emprestei 1000€ a uma taxa anual de 5%/ano. Quanto dinheiro receberei ao

fim de 10 anos (capitalização composta)?

Taxa.de.juro.anual<-0.05

Capital.inicial<-1000

Prazo<-10

Capital.final<-Capital.inicial*(1+Taxa.de.juro.anual)^Prazo

Capital.final

64 P. C. C. Vieira

[1] 1628.895

Vectores. Um vector é uma “constante” multidimensional. Para dar a indicação de que

vou criar um vector, usa o “comando” c(valor1, valor2). Os vectores têm um “modo” (se são

números reais, complexos, valores lógicos, palavras, etc.) onde todas as dimensões do vector

têm que ser do mesmo “modo”. Além disso, têm o tamanho que traduz a dimensão do espaço

vectorial. Por exemplo, se eu, durante um empréstimo a 3 anos capitalizado, a taxa de juro dos

anos fosses 3.7%, 4.1% e 4.9%, poderia guardar essas taxas num vector executando

Juros<-c(0.037,0.041,0.049)

Se quiser saber quantos elementos tem o vector executo length(Juros).

2. Operações com vectores. Eu posso usar os vectores na expressões algébricas que o R vai calcular a expressão

para cada um dos elementos e retorna como resultado outro vector.

Por exemplo, emprestei 5000€, recebo os juros no fim de cada ano e as taxas de juro

são as guardadas no vector Juros (já criado). Obtenho os juros recebidos nos 3 anos

executando o comando 5000*Juros, de que resulta [1] 185 205 245.

Nota. Uma constante é um vector de dimensão unitária.

Se eu executar operações com dois vectores, as operações vão ser realizada entre os

elementos de igual índice. Por exemplo, se eu executar v1 <- c(4, 6, 87), depois v2 <- c(34,

32.4, 12) e finalmente v1 + v2 , resultará [1] 38.0 38.4 99.0.

Se eu aplicar funções a vectores, a função é aplicada a cada elemento do vector. Por

exemplo, se eu executar v1^0.5, resultará [1] 2.000000 2.449490 9.327379.

Ex.3.2. Um banco personaliza as taxas de juro dos depósitos dos seus clientes. i) Crie,

para 10 clientes, um hipotético vector de taxas de juro, um vector de saldos e calcule os juros

a pagar a cada cliente. iii) Capitalize esses saldos com a taxa de juro respectiva a 5 anos.

i) Tx.juros<- c(4.5, 5.1, 4, 3.6, 3, 5, 4.6, 4.8, 3.6, 5)/100

Saldos<- c(10, 150, 45, 20, 100, 75, 15, 67, 9, 2)*1000

Juros <- Saldos*Tx.juros

ii) Capital.final<- Saldos*(c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) + Tx.juros)^5

Ex.3.3. Quero saber, em função do prazo, qual é o capital final de emprestar 1000€ a

uma taxa anual de 4%. Experimente 1, 2, 5 e 10 anos.

MFIG 65

R. Vou usar as potencialidades do R relativamente a “operações” com vectores.

Anos <- c(1, 2, 5, 10)

Tx.juro.anual<-0.04

Capital.final <- 1000*(1+Tx.juro.anual)^Anos

Capital.final

[1] 1040.000 1081.600 1216.653 1480.244

Reciclagem. Se realizar operações com dois vectores de tamanhos diferentes, o vector

mais pequeno vai ser “reciclado” até ficar com o tamanho do maior. Por exemplo, se executar

v3 <- c(1, 2, 3, 4), depois v4 <- c(10, 2) e v3 + v4, resultará [1] 12 4 13 6. É como se o

vector v4 fosse (10, 2, 10, 2). Se, numa operação com vectores, usar uma constante, esta vai

ser reciclada at+e ficar com o tamanho do vector. No ex.3.2 bastaria executar

Capital.final<- Saldos*(1 + Tx.juros)^5

Nota. Se os tamanhos não forem múltiplos um do outro, o R imprime um aviso.

Sequências. Quando os elementos do vector são uma série, podemos usar o operador

“:” para criá-lo. Por exemplo, se executar v5 <- 1:10 e depois v5, o resultado é [1] 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10. Fazendo operações algébricas com este gerador de séries, posso criar series

mais complicadas. Por exemplo se executar v5<- (1+0.05)^-(1:10) e depois v5, o resultado é

o factor que desconta à taxa anual de 5% os valores futuros ao presente, [1] 0.9523810

0.9070295 0.8638376 0.8227025 0.7835262 0.7462154 0.7106813 0.6768394 0.6446089

0.6139133. Devemos ter cuidado com a precedência do operador “:” pelo que se aconselha a

usar parênteses: -(1:10) é diferente de -1:10.

Se eu quiser, por exemplo, um vector de dimensão 10 com 5 em todos os elementos,

posso fazer v <- (1:5)*0 + 5.

Ex.3.4. Como criar num vector a sequência (10, 10.5, 11, 11.5, 12)?

R. v <- 10 + (0:4)/2.

Ex.3.5. Num investimento, apliquei 1000€ e recebi 250€, 350€, 450€ a intervalos de

um ano. Sendo que a taxa de desconto é de 4.5% ao ano, qual o VAL deste investimento?

Cash.flow<-c(-1000, 250, 350, 450)

Taxa.de.desconto<-0.045

Desconto<-(1+Taxa.de.desconto)^-(0:3)

66 P. C. C. Vieira

Vai<-Cash.flow*Desconto

Vai

[1] -1000.0000 239.2344 320.5055 394.3335

Va<-sum(Vai)

Va

[1] -45.9266

Ex.3.6. Apliquei 5000€ a 10 anos. Sendo que as taxas de juro foram 3.1%, 3.7%,

4.1%, 3.9%, 4.2%,4.3%, 4.5%, 3.9%, 3.5%, 3.2%, quanto dinheiro recebi no fim do prazo?

Terei que capitalizar os 10 anos multiplicando as taxas de todos os anos. Para isso uso

a função logaritmo, somo os resultados e aplico a função exponencial:

Tx.juro<-c(3.1, 3.7, 4.1, 3.9, 4.2,4.3, 4.5, 3.9, 3.5, 3.2)/100

Capitaliza<-5000*exp(sum(log(Tx.juro+1)))

Capitaliza

[1] 7287.484

Ter dividido por 100 é igual a ter dividido pelo vector

c(100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100)

Sequências de números aleatórios. O R (contrariamente ao Excel) tem geradores de

números aleatórios de muitas funções de distribuição. Se quiser colocar num vector uma

sequência com 1000 números aleatórios que seguem Distribuição Normal com, por exemplo,

média 10 e desvio padrão 5, basta executar va<-rnorm(10000, mean=10, sd=5). Depois,

posso usar este vector nas minhas simulações.

Indexação - Acesso a elementos do vector. Quando pretendo aceder um elemento do

vector, uso o índice do elemento que eu quero, entre parênteses rectos. E.g., se quisesse saber

a taxa de juro do 2º ano, executava Juros[2]. Posso aceder para o valor desse elemento ou

atribuir-lhe um valor (ou cria-lo desde que o vector já exista). E.g., para acrescentar o 4º ano à

série fazia Juros[4] <- 0.043.

Também posso querer o valor que tem determinada característica: que tem maior

valor, max(Juros), o valor mínimo, min(Juros). E posso saber o índice desse elemento com

os comandos which.max(Juros) ou which.min(Juros), respectivamente.

MFIG 67

Se quiser aceder a vários elementos, uso um vector com os seus índices. E.g., se quiser

a taxa de juro do 1º e o 2º ano, executo Juros[c(1,2)]. Notar que tenho que usar o comando de

vector c(). Posso também usar o gerador de séries executando Juros[1:2].

Ex.3.7. i) Crie um vector com 1000 número aleatórios que seguem lei normal com

média 100 e desvio padrão 50. i) Determine a diferença entre a média dos primeiros 500

valores para os últimos 500 valores. iii) Determine a média dos 100 maiores valores e dos 100

menores valores (use o comando sort( ) para ordenar de forma crescente).

i) serie<-rnorm(1000, mean=100, sd=50)

ii) diferenca<- mean(serie[1:500])-mean(serie[501:1000])

diferenca

iii) ordenados<-sort(serie)

media.menores <- mean(ordenados[1:100])

media.maiores<- mean(ordenados[901:1000])

media.menores

media.maiores

Ex.3.8. Num vector estão os salários anuais de determinado trabalhador que se quer

rformar (crie aleatoriamente o vector com 40 elementos com média 600 e d.p. 200).

Determine o valor da sua reforma que será 2.2% por cada ano da média dos maiores 10 anos

dos últimos 15. (nota: colocando a expressão entre parêntesis, atribui-se a variável e

visualiza-se imediatamente o resultado).

salarios<-rnorm(40, mean=600, sd=200)

s.medio<- mean(sort(salarios[26:40])[6:15])

(reforma<-s.medio*length(salarios)*2.2/100)

Filtragem de vectores. Pode acontecer eu precisar retirar do vector os elementos que

obedecem a determinado critério. Por exemplo, quero os elementos que são maiores que zero.

Para isso uso uma condição no índice: X[X>0]. Reparar que o que está no índice é um vector

com a mesma dimensão de X mas em que os elementos são TRUE ou FALSE.

68 P. C. C. Vieira

Fig. 3.2. – Exemplo de uma filtragem de um vector

Nota: posso usar como comparações maior >, maior ou igual >=, menor <, menor ou

igual <=, igual == (dois iguais), diferente !=. Pode ainda usar-se o “ou” de várias condições

com o carácter | ou o “e” com o carácter &. Por exemplo, se quiser os valores maiores que 0 e

menores ou iguais a 5 executo X[X>0 & X<=5]. Para negar uma condição uso o carácter !.

Ex.3.9. Suponha que as notas de um disciplina seguem lei normal com média 11.47

valores e desvio padrão de 3.51 valores. i) Crie um vector com 250 “indivíduos”. ii) Retire

para outro vector os alunos com nota superior ou igual a 9,5 valores e calcule a percentagem

de passados. iii) Substitua os valores maiores que 20 por 20 e os menores que zero por zero.

iv) arredonde as notas v) avalie a percentagem de alunos que teve 10 valores.

i) notas <- rnorm(250, mean=11.47, sd=3.51)

ii) passados <- notas [notas>=9.5]

length(passados)/length(notas)

iii) passados[passados > 20] <- 20

passados[passados < 0] <- 0

iv) passados <- trunc(passados)

v) length(passados [passados == 10])

Ex.3.10. Suponha que se prevê que a EURIBOR do próximo ano segue lei normal

com média 5% e desvio padrão 3 pontos percentuais mas que nunca poderá ser menor que

0.25% nem maior que 10%. i) Crie um vector com 1000 “indivíduos” com estas

características substituindo os valores por estas taxas limite. ii) extraia 2000 e retirando os

“errados”.

i) tx.prox.ano <- rnorm(1000, mean=0.05, sd=0.03)

tx.prox.ano [tx.prox.ano < 0.0025] <- 0.0025

tx.prox.ano [tx.prox.ano > 0.1] <- 0.1

MFIG 69

ii) tx.prox.ano <- rnorm(2000, mean=0.05, sd=0.03)

tx.prox.ano <- tx.prox.ano [tx.prox.ano >= 0.0025 & tx.prox.ano < 0.1]

tx.prox.ano <- tx.prox.ano [1:1000]

Atribuição de nomes às dimensões. Cada vector tem outro “vector escondido” que

pode conter nomes. Assim, posso ter um vector cujas dimensões são número e ter no “vector

escondido” um nome para cada dimensão. Por exemplo, tenho um vector com as taxas de

inflação mensais anualizada (que são números) e quero também guardar o nome dos

respectivos meses. Então usaria duas atribuições: primeiro, atribuía as taxas e, segundo,

atribuía os nomes dos meses:

Inflacao <- c(0.041, 0.039, 0.037, 0.031, 0.028, 0.032)

names(Inflacao) <- c(“Jan08”, “Fev08”, “Mar08”, “Abr08”, “Mai08”,”Jun08”)

Quando executasse Inflacao, apareceriam não só as taxas como os nomes:

3. Funções.

Eu posso criar uma função que tem uma variável de entrada (que também pode ser um

vector) e tem um resultado de saída (que pode ser uma variável ou um vector). Por exemplo,

quero dividir as notas dos alunos em “reprovou” ou “passou”. Para isso escrevo num editor de

texto a função:

Classifica <-function(nota){

if(nota >= 9.5) decisao<- ”passou” else decisao<- ‘reprovou’

decisao}

Depois copio estas linhas de comando e executo-as no R. Depois eu posso usar essa

para classificar se os alunos passaram ou reprovaram. Na sintaxe da função, antes de escrever

o comando de saída (i.e., decisao}) é obrigatório mudar de linha.

70 P. C. C. Vieira

A função começa sempre pelo objecto que a vai conter, o sinal de atribuição e o

comando function seguido do nome das variáveis dentro de parênteses rectos. Depois, abrem-

se chavetas que apenas se fecham quando escrevermos o comando a dar o resultado (que tem

que ser na última linha). Pode ser necessário abrir e fechar chavetas dentro da função.

A execução condicionada usa o comando if(condição) Caso sim else Caso não.

Ex.3.11. i) Escreva uma função que tem como variáveis o capital inicial, a taxa de juro

e o prazo e retorna o capital final (capitalização composta). ii) Determine o capital final se

aplicados 1000€ à taxa de juro anual de 5% durante 30 anos. iii) Experimente usar a função

para determinar qual o capital final para três situações diferentes (a taxa de juro ser 4%, 5%

ou 6%). iv) acrescente uma condição de forma que, se o capital for maior que 50000€, a taxa

de juro é maior em 0.5pp e acrescente na saída a taxa de juro. Experimente a função.

i) cc <-function(cap.ini, t.juro, prazo){

resultado<-cap.ini*(1+t.juro)^prazo

resultado}

ii) Executava o comando cc(1000, 0.05, 30) e resultava [1] 4321.942.

iii) cc(1000, c(0.04,0.05,0.06) ,30) e resultava [1] 3243.398 4321.942 5743.491.

iv) cc <-function(cap.ini, t.juro, prazo){

if(cap.ini < 50000) tx<- t.juro else tx<-t.juro+0.005

cap.final<-cap.ini*(1+tx)^prazo

resultado<-c(cap.ini, tx, prazo, cap.final)

names(resultado)<-c(“Cap.ini”, “Tx.juro”, “Prazo”, “Cap.final”)

resultado}

MFIG 71

Ex.3.12. i) Escreva uma função que tem como variáveis o rendimento disponível do

agregado familiar, se é “casado” ou “solteiro”, o capital pedido, a taxa de juro e o prazo.

Resulta que o empréstimo é concedido se for casado e o esforço (prestação a dividir pelo

rendimento) for menor ou igual a 30% ou se for solteiro e o esforço for menor ou igual a 35%.

ii) Experimente a função para um rendimento de 1000€, “casado”, pedido de 50000€ à taxa de

5%/ano durante 50 anos

i) A prestação resolve

conc.credito <-function(rendimento, est.civil, capital, tx.juro, prazo){ tx.juro.mensal=(1+tx.juro)^(1/12)-1 encargo=capital*tx.juro.mensal/(1-(1+ tx.juro.mensal)^(-prazo*12)) esforço=encargo/rendimento if(est.civil==”casado”)

{if(esforço<=0.3) decisao <-“Conceder” else decisao <- “Não conceder”} else

{if(esforço<=0.35) decisao <-“conceder” else decisao <- “Não conceder”} Resultado <- c(encargo, esforço, decisao) names(Resultado) <- c(“Encargo mensal”, “Esforço”, “Decisão”) Resultado}

ii) conc.credito(1000,"casado",50000,0.05,50)

Execução repetida – comando for( ). As funções que apresentei executam uma

porção de computações sobre as variáveis de dimensão unitária. Por vezes mesmo estas

funções processam informação quando substituímos as variáveis unitárias por vectores (ver o

exemplo do exercício Ex.3.6. i). No entanto, na generalidade das vezes isso não acontece

sendo necessário repetir os cálculos para cada um dos elementos. Para isso usamos for( ).

Ex.3.13. A taxa de juro futura é uma variável aleatória de distribuição normal com

determinada média e d.p. i) Escreva uma função que, com o capital, a média da taxa de juro

anual, o seu desvio padrão e o prazo em anos, determina a prestação mensal média e o seu

72 P. C. C. Vieira

desvio padrão (sorteando um vector com 10000 taxas de juro). ii) Experimente para 50000€, a

30 anos, taxa média de 5% e d.p. de 2 pontos percentuais.

i) prestacao <-function(capital, media, desv.padrao, prazo){taxas<- rnorm(10000, mean=media, sd= desv.padrao)prest<-0for(i in 1:10000){

tx.juro.mensal<- (1+taxas[i])^(1/12)-1prest[i] <-capital*tx.juro.mensal/(1+(1+ tx.juro.mensal)^(-prazo*12))}

c(mean(prest),sd(prest))}

ii) prestacao(50000,0.05,0.02,30) e resulta [1] 168.91631 79.17766.

Nota. Como vão ser executados vários comandos dentro do ciclo for( ) é necessário

usar chavetas (abrir no princípio do ciclo e fechar no fim). Usei indentamento dos comandos

executados dentro do ciclo for( ) para tornar mais fácil a leitura dos comandos. Os objectos

(variáveis, vectores, etc.) criados dentro da função são destruídos no fim da execução.

Ex.3.14. Faça uma função que implemente o exercício Ex.2.20 assumindo que as

vendas, em média, iniciais são 50 unidades e crescem à taxa de 5% ao ano e aumentam 5% ao

ano, que o risco das vendas, do preço, do custo fixo e do custo variável é relativo e a taxa

segue distribuição normal e a variabilidade é 6%. ii) Realize uma simulação. iii) Estime o erro

de cálculo.

VAL <- function(vendas,varia){ n<-10 capital<-500 preco.venda<-5 custo.var<-0.25 tx.desc<-0.1 custo.fixo<-25 custo.var<-3 amortiza<-0 VA<-0 capital <- capital*0.8^(0:9) amortiza<-capital*0.2 for(i in 1:10000){ vendas.l<-vendas* rnorm(n, mean=1, sd=varia) preco.l<- preco.venda * rnorm(n, mean=1, sd=varia) custo.fixo.l<-custo.fixo* rnorm(n, mean=1, sd=varia) custo.var.l<- custo.var* rnorm(n, mean=1, sd=varia) cash.flow<-(vendas.l*(preco.l-custo.var.l)-custo.fixo.l)*0.75+amortiza*0.25 VA[i]<- sum(cash.flow*(1+ tx.desc)^(-(1:10))) – capital[1] } hist(VA)

MFIG 73

resultado<- c(mean(VA), sd(VA))names(resultado) <- c(“VA médio”, “Desv. Padrão VA”)resultado}

ii) Para realizar uma simulação, primeiro criava um vector com as vendas executando

vendas<-50*1.05^(0:9) (em média, aumentam 5% ao ano) e depois executava

VAL(vendas,0.06), vindo o resultado:

Estes valores são idêntico a quando, no Excel, usamos a distribuição uniforme com

amplitude 10% (resultou a média 22.5 e o desvio padrão 32.6). Isto acontece porque o

desvio padrão da distribuição uniforme em [–1, 1] é 0.577350. O comando hist(VA) faz com

que também apareça um histograma de frequências dos 10000 Valores Actuais Líquidos

calculados (i.e., da variável VA):

iii) Se realizarmos outra simulação, os resultados serão ligeiramente diferentes o que

traduz o permite avaliar “erro do método de Monte Carlo”. Por exemplo, realizando 10

simulações:

res.med<-0

res.d.p<-0

for (i in 1:10){

74 P. C. C. Vieira

r<- VAL(vendas,0.06)

res.med[i]<-r[1]

res.d.p[i]<-r[2]}

res.med

[1] 22.52484 22.80492 23.30868 23.25012 22.73774 22.85894 22.51734

[8] 22.23785 23.08483 22.30041

res.d.p

[1] 32.98340 32.99688 33.14808 33.44520 33.16775 33.15001 33.03617

[8] 33.32537 32.74045 32.94507

E depois, calculava o erro absoluto (medido pelo desvio padrão destes 10 valores) e o

relativo (d.p. a dividir pelo valor médio do resultado) do resultado médio e do desvio padrão:

c(sd(res.med), sd(res.med)/mean(res.med))

[1] 0.2614978 0.01157774

c( sd(res.d.p), sd(res.d.p)/mean(res.d.p))

[1] 0.3665184 0.01109789

O erro de cálculo andará próximo de 1.1%. Se o erro fosse demasiado grande, para o

diminuir, aumentávamos o número de réplicas (e.g., de 10000 para 20000) ou repetíamos

(e.g., 100 vezes com um ciclo) a simulação com as 10000 réplicas e achávamos a média

(neste caso, o erro “das médias” das 100 simulações seria 100 = 10 vezes menor que o erro

de cada simulação individual).

MFIG 75

Bibliografia

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Venables, W. N.; D. M. Smith & R Development Core Team, 2008, An Introduction to R,

PDF disponível em r-project, http://cran.r-project.org/doc/manuals/R-intro.pdf