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Matemática Financeira

Problemas de revisão adaptados à disciplina de pós-graduação da Fundação Universitária Iberoamericana (FUNIBER)

Conteúdos: leis financeiras de capitalização, de desconto e suas propriedades;

equivalência de capitais; capitalização simples e composta; desconto; rendas e

empréstimos.

1. Verifique se os capitais (100,2017) e (140,2023) são equivalentes entre si de acordo com a lei

financeira de capitalização 𝐿(𝑡, 𝑝) = 1 + 0,1(𝑝 − 𝑡) com 𝑝 = 2025. R: não

2. Pretende-se substituir o capital (1250,2019) por um equivalente ao do ano 2021 utilizando a lei de

capitalização 𝐿(𝑡, 𝑝) = 1 + 0,05(𝑝 − 𝑡)2 com 𝑝 = 2023. R:1875

3. Tomando 𝑝 = 2019, determine a quantia equivalente à do ano 2019 do capital (3250,2017) a partir

da lei :

a) L(t, p) = 1 + 0,04(p − t) R: 3510

b) L(t, p) = (1 + 0,04)p−t R: 3515

4. O desconto gerado por um capital de 100 unidades monetárias foi de 34,39 unidades monetárias.

Calcule o tempo para o qual o desconto adveio da lei:

a) 𝐴(𝑧) = 1 − 0,1𝑧. R: 3,439

b) 𝐴(𝑧) = (1 − 0,1)𝑧. R: 4

5. Pretendendo substituir os capitais (475,2021), (365,2023) e (285,2027) por um único equivalente a

estes com vencimento em 2025 utilizando 𝐿(𝑡, 𝑝) = 1 + 0,05(𝑝 − 𝑡)2com 𝑝 = 2029. R.1866

6. Obtenha a quantia e vencimento médio da soma financeira dos capitais (125,2016), (250,2018),

(450,2019) e (750,2021) a partir das seguintes leis:

a) 𝐿(𝑡, 𝑝) = 1 + 0,05(𝑝 − 𝑡) com 𝑝 = 2022. R: 1575 e 2019,5

b) 𝐴(𝑡, 𝑝) = 1 − 0,05(𝑡 − 𝑝) com 𝑝 = 2014. R: 1575 e 2019,5

c) 𝐿(𝑡, 𝑝) = (1 + 0,06)𝑝−𝑡com 𝑝 = 2022. R: 1575 e 2019,47

7. Numa operação financeira os capitais de uma prestação são (200,2016), (400,2019) e (150,2021) e

os da contraprestação são (100,2017), (200,2019), (300,2020) e (X,2022). Calcule a quantia X

atendendo à lei financeira 𝐿(𝑧) = (1 + 0,04)𝑧. R:187,89

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8. Calcule o saldo financeiro pelos métodos retrospectivo e prospectivo transcorridos 4 anos de

vigência do plano de poupança que consiste na entrega de 152 unidades monetárias no final de

cada ano para receber 1957 unidades monetárias no final de 10 anos a partir da lei, 𝐿(𝑧) =

(1 + 0,055)𝑧. R:660

9. Considere em 2014 a seguinte operação financeira sendo as prestações

(100,2016), (50,2019), (225,2022) e as contraprestações (75,2018), (𝑋, 2019), (100,2021). Utilizando

a lei 𝐴(𝑧) = 1 − 0,03𝑧, calcule:

a) o valor de X; R:191,18

b) o saldo financeiro no ano 2020 pelo método prospectivo; R: -112,2

c) o saldo financeiro no ano 2019 pelo método retrospectivo; R: -108,24

10. Calcule o juro gerado por um capital de 2000 unidades monetárias durante os seguintes intervalos

de tempos utilizando o regime de juro simples com i=5%:

a) 2 meses; R:16,6

b) 2 anos; R: 200

c) 3 trimestres; R: 75

d) 1 semestre; R: 50

e) 40 dias. R: 11,1 (comercial) e 10,96 (civil).

11. Um capital C é colocado durante 180 dias sob o regime de capitalização simples a 5% de juro.

Calcule a quantia em causa dado que a diferença entre o juro do ano comercial e juro do ano civil é

de 35 unidades monetárias. R: 102200

12. Dois capitais X e Y aplicados em capitalização simples às taxas de 5% e 6% anuais respectivmente

produzem igual juro ao fim de 1 ano. Determine as quantias em causa sabendo que a diferença

entre si é de 150 unidades monetárias. R: 750 e 900.

13. Dados os capitais (125,2017), (150,2019) e (300,2021) e a lei de capitalização simples 𝐿(𝑧) = 1 +

0,05𝑧, calcule o vencimento médio. R: 1,4

14. Utilizando a lei de capitalização composta, determine o número de anos necessários para duplicar

um capital à taxa de 8% ao ano. R:9

15. Obtenha a taxa de juro nominal correspondente à taxa anual de 5% utilizando a capitalização

composta num ano fraccionado em:

a) Semestres; R:0,04939

b) Quadrimestres; R:0,04919

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c) Trimestres. R:0,04909

16. Desejando substituir os capitais (300,2019), (400,2022) e (150,2025) por um único de 900 unidades

monetárias, determine o respectivo vencimento utilizando a lei 𝐿(𝑧) = (1 + 0,03)𝑧. R: 1,7

17. Calcule o valor descontado e o desconto de um capital de 500 unidades monetárias no prazo de 2

anos a partir da lei de desconto comercial 𝐴(𝑧) = 1 − 0,08z. R: 420 e 80

18. Um indivíduo aplicou anualmente uma determinada quantia durante 15 anos num plano de

poupança o qual garante rentabilidade anual de 5%. Assumindo que no final do referido período

recebe 32 368 unidades monetárias, calcule a quantia anual admitindo esta é:

a) Pós-paga; R: 1500

b) Pré-paga. R: 1428,56

19. Uma entidade assumiu o compromisso em pagar 60 000, 80 000 e 120 000 unidades monetárias

daqui a 5, 8 e 18 meses respectivamente. Entretanto, decidiu alterar os prazos e quantias pagando

hoje 40 unidades monetárias e o remanescente dentro de 10 meses. Determine o valor a ser pago

em regime de juro simples tendo em conta a taxa anual de 25% e mês 8 como data focal. R:

204 576,748

20. Determine o valor de um determinado bem pago a crédito em 12 prestações iguais no valor de

300 000 à taxa de juro mensal de 2%. R: 3 172 602,37

21. Admitindo a compra de um terreno por 30 000 000 unidades monetárias com entrada inicial de 15%

do custo e 24 prestações mensais à taxa de juro de 2,5%. Calcule o valor pago em cada mês. R: 1

425 776,92

22. Um crédito de 8 000 000 unidades monetárias a ser reembolsado em 24 prestações mensais de 120

000 unidades monetárias às quais acrescem outras duas prestações de igual valor após 8 e 16

meses. Tomando a taxa de juro composta de 3,2% mensal, determinar o valor daquelas duas

prestações. R: 4 351 340,66

23. Calcule o valor a ser investido à taxa de juro simples anual de 5,1% em 15 de Fevereiro para poder

sacar 7 000 unidades monetárias em 9 de Maio, 15 500 unidades em 20 de Junho e 10 000

unidades em 23 de Dezembro. R: 31 726, 96

24. Em 15 de Dezembro de 2013 depositou-se 15 000 unidades monetárias. Em 28 de Janeiro do ano

seguinte retirou-se 9 500 unidades daquele depósito e em 11 de Março desse mesmo ano efetuou-

se um novo depósito de 10 000 unidades monetárias. Considerando o ano comercial e taxa de juro

simples anual de 12,48%, calcule o valor que terá sido sacado em 9 de Maio de 2014 e o juro do

investimento. R: 16 125,90 e 625,90 .

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25. Transcorridos 3 anos de um contrato de empréstimo de 73 600 unidades monetárias com 10

prestações anuais de 10 000 unidades monetárias, determine segundo a lei 𝐿(𝑧) = (1 + 0,06)𝑧 o

montante atual ainda por vencer utilizando os métodos prospectivo e restrospectivo. R: 55 822,78

26. Em 2006 efetuou-se uma operação financeira com prestações (100,2006), (55,2007), (140,2010)

(160,2012) e contraprestações (120,2008) 𝑒 (375,2011). Utilizando a lei financeira 𝐴(𝑧) =1

1+0,1𝑧

e tomando 2006 como ano de referência, calcule o saldo financeiro em 2009 a partir dos métodos

prospectivo e retrospectivo. R: 65

27. Considere um empréstimo de 300 000 unidades monetárias a ser amortizado em 8 anos sendo que

nos primeiros 2 existe carência total e nos seguintes segue o método francês. Tomando a taxa de

juro anual de 7%, obtenha:

a) a anuidade; R: 72 058,56

b) as cotas de amortização nos 5º e 6º anos; R: 54 973,13 e 58 821,25

c) o capital vivo no princípio do 6º ano. R: 189 104,43

28. Um empréstimo de 150 000 unidades monetárias com duração de 8 anos obedece às seguintes

condições: os primeiros 2 anos são de carência total e taxa de juro anual de 6%; nos seguintes 3

pagam-se somente as cotas de juros à taxa anual de 7%; durante os anos remanescentes o

empréstimo é amortizado em anuidades constantes à taxa de juro anual de 8%. Calcule:

a) a anuidade; R: 65 399,17

b) o capital vivo ao final do 1º e 5º anos; R: 159 000 e 168 540

c) as cotas de amortização do 4º e 6º anos; R: 0 e 116 624

29. Admitindo um empréstimo de 4 100 000 unidades monetárias reembolsável e em 4 anuidades

constantes sendo a primeira um ano após a data de tomada do empréstimo e taxa de juro anual de

21,5%, determine:

a) anuidade; R: 1 629 015

b) juros vencidos nos 1º e 3º anos; R: 881 500 e 525 514,60

c) amortizações respeitantes aos 1º e 4º anos. R: 747 515,20 e 1 340 753,30

30. Tomando um empréstimo de 20 000 000 unidades monetárias reembolsável em mensalidades

constantes durante 15 anos vencendo-se juros à taxa anual de 19,5%. Supondo que a primeira

prestação se vence um mês após a data de empréstimo, calcule:

a) valor de cada prestação; R: 321 329

b) valor do juro e amortização do 1º mês; 299 125 e 22 204

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c) capital em dívida após pagamento da 36ª prestação; 18 951 132

d) juros englobados na 37ª e 145ª prestações. R: 283 433 e 133 028

31. Considere um empréstimo de 3 000 000 unidades monetárias pago em trimestralidades constantes

englobando juros à taxa de 21,5% e durante 2 anos. Sabendo que a 1ª prestação vence-se 3 meses

após celebração da data de contrato, elabore o respectivo quadro de amortização.

Francisco Dias

Fevereiro 2015