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Programação 2011. Introdução.
Juros Simples.
Juros Compostos.
Equivalência de Capitais (Valor Presente e Valor Futuro)
Fluxos de Caixa equivalentes.
Taxas de Juros (Equivalentes, nominais, efetivas e reais).
Inflação e poder de compra.
Séries Uniformes
Sistemas de Amortização.
Análise de Investimentos.
22
• Objetivos do curso
– Apresentar os principais conceitos de Matemática Financeira a partir do estudo do comportamento do dinheiro no tempo.
– Fornecer as principais ferramentas matemáticas para as demais disciplinas do curso de Formação em Finanças.
• Metodologia
– Apresentação de conceitos (expositiva / participativa)
– Análise de situações financeiras (expositiva / participativa)
– Resolução de exercícios com a HP 12-C e Excel.
33
Regras do Jogo
Critério de avaliação
Avaliação Individual (80%)
Avaliações em grupo (20%)
44
Introdução
5
Conceitos Fundamentais
Valor Presente ou Principal: é o quanto vale uma quantia hoje. Muitas
vezes é o valor inicial de uma operação.
Representado por VP ou PV
Valor Futuro ou Montante: é o valor de uma quantia numa data futura.
Representado por FV ou VF
Juros: Remuneração paga a quem possui os recursos financeiros, ou seja,
custo do dinheiro. Os Juros são geralmente expressos sob a forma de uma
taxa por tempo.
Conceitos Fundamentais
Prazo: Tempo de duração de uma operação financeira.
Representado por n ou t
Juros: Remuneração paga a quem possui os recursos financeiros, ou
seja, custo do dinheiro. Os Juros são geralmente expressos sob a
forma de uma taxa por tempo.
Taxa de juros – expressa a razão entre os juros recebidos (ou
pagos) e o capital inicial empregado. Normalmente é
representada por i ou r.
1) Pode ser expressa na forma percentual ou decimal.
2) Sempre referida a uma unidade de tempo.
Introdução
Turma 6 – Prof. Ivail Muniz. 6
Introdução
• Operação básica: Empréstimo
Capital inicial(PRINCIPAL)
+Capital inicial
Tempo
Juros
77
IntroduçãoExemplo 1.
• Marcos tomou um empréstimo de $ 20 000,00. Um ano depois pagou $ 27 000,00. Qual o valor dos juros pagos? Qual a taxa de juros da operação?
88
Conceito de Juros
É indiferente receber R$ 1.000,00 hoje
ou daqui a seis meses?
R$ 210 = juros
R$ 1.000 = capital inicial
1 semestre
Recebimento hoje
Recebimento daqui a 6 meses
Opções
tempo
capital inicial
= R$ 1.000
99
Erros comuns:
Achar que $ 27000,00 valem mais que $ 20 000,00.
Achar que R$ 1000,00 têm sempre o mesmo valor que
R$1000,00.
Somar quantias referidas a épocas diferentes. O que é
melhor: comprar em 3 de R$1000,00 ou 6 de R$510,00?
10
Introdução
Os três grande segredos da Matemática Financeira.
1) Como transportar o dinheiro no tempo.
2) Dinheiro e tempo – amigos inseparáveis.
(ao longo do tempo o valor do dinheiro muda devido à
inflação, alternativas de investimento, etc.)
3) Somar/subtrair quantias somente se estiverem na mesma
época.
1111
Fator de Atualização
Um aliado importante: Fator de atualização.
Uma quantia, ao ser aumentada de uma taxa i, fica multiplicada por (1+ i).
Atenção!
Taxa = i
Fator = (1 + i)C C.(1 + i)
Taxa i
. (1 + i)
12
Fator de AtualizaçãoExemplo 2.
1313
Juros Compostos x
Juros Simples
Juros Simples e Juros Compostos
• Regime de Capitalização – refere-se à forma como os juros são calculados.
– Juros simples – a taxa de juros incidirá apenas sobre o principal inicialmente aplicado.
– Juros compostos – a taxa de juros incidirá sobre o saldo devedor (principal mais os juros acumulados até aquele período)
151515
Juros compostos Regime de Juros compostos
Suponha que Sr. Inocêncio tenha depositado R$1.000,00 em um banco
que lhe paga juros de 10% a.a., no regime de juros COMPOSTOS. Para tal,
a aplicação deverá permanecer no banco por 5 anos. Qual o saldo dessa
aplicação ao fim dos 5 anos?
AnoSaldo no
Início Juros Saldo no Fim
1 R$ 1.000,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00 0,10 x 1.100 = 110 R$ 1.210,00
3 R$ 1.210,00 0,10 x 1.210 = 121 R$ 1.331,00
4 R$ 1.331,00 0,10 x 1.331 = 133,10 R$ 1.464,10
5 R$ 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 R$ 1.610,51
1616
Juros compostosUm capital inicial C0 , aplicado a uma taxa i durante n períodos, transforma-se em um capital Cn dado por:
n
0n)i1.(CC
De outro modo,
n
)i1.(VPVF
17
Juros compostos Regime de Juros compostos
Suponha que Sr. Inocêncio tenha depositado R$1.000,00 em um banco
que lhe paga juros de 10% a.a., no regime de juros COMPOSTOS. Para tal,
a aplicação deverá permanecer no banco por 5 anos. Qual o saldo dessa
aplicação ao fim dos 5 anos?
AnoSaldo no
Início Juros Saldo no Fim
1 R$ 1.000,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00 0,10 x 1.100 = 110 R$ 1.210,00
3 R$ 1.210,00 0,10 x 1.210 = 121 R$ 1.331,00
4 R$ 1.331,00 0,10 x 1.331 = 133,10 R$ 1.464,10
5 R$ 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 R$ 1.610,51
1818
Juros compostosUm capital inicial C0 , aplicado a uma taxa i durante n períodos, transforma-se em um capital Cn dado por:
n
0n)i1.(CC
De outro modo,
n
)i1.(VPVF
1919
Juros compostos
No sistema de Juros compostos:
A taxa incide sobre o SALDO DEVEDOR do período anterior.
o crescimento do capital investido/devido é exponencial ao
longo do tempo (o montante cresce em P.G. - Progressão
Geométrica)
2020
Juros compostos
Cristina tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros de 12% ao
mês. Qual será a dívida de Cristina quatro meses depois? E após 1
semestre? Após quanto tempo a dívida de Cristina triplica?
Exemplo 1.
2121
Exemplo 2.Juros compostos
2222
Uma empresa aplica R$ 250.000,00 em um investimento que
proporciona juros de 2% a.m., durante 6 meses. Depois dos 6 meses,
recebe a oferta de um investimento que rende juros de 5% ao
bimestre, e aplica o montante da aplicação anterior por mais 6
meses nesse novo investimento.
a) Qual o montante após 1 ano dessa dupla aplicação?
b) Qual a taxa de juros anuais da operação?
c) Qual a rentabilidade, em reais, da operação?
Exemplo 3.
Juros compostos
23
Carlos aplicou uma determinada quantia em um fundo de
investimentos de modo que após 1 ano e meio o capital aplicado
aumentou de 150%. Qual a taxa média de juros mensais desse
investimento?
Exemplo 4.
Juros compostos
2424
João investiu um capital, nos seis primeiros meses do ano à taxa
de 5% a.m. Querendo que o seu capital inicial tenha um
rendimento de 120% ao final desse ano, determine a taxa de juros
dos próximos seis meses para garantir a rentabilidade desejada?
Exemplo 5.Juros compostos
25
Um investidor pagou R$ 100.000,00 por um título de renda fixa,
com um prazo de 60 meses e taxa de juros de 18% a.a. Dois anos
depois precisando dos recursos aplicados, vendeu o título no
mercado. Determine o valor recebido pelo investidor, sabendo-se
que, no momento da venda, a taxa de juros era de 25% a.a.
Exemplo 6.Juros compostos
26
Observações:
– Para a correta utilização dessa fórmula, a taxa de juros i e oprazo n devem estar referenciados a uma mesma unidade detempo; Ex: 2% a.m, num prazo de 1 ano, significa n=12)
– O prazo (n) pode ser fracionário; por exemplo, se as taxasforem mensais, n = 0,5 corresponde a 15 dias;
– Antes de utilizar a HP, verifique se os registradores financeirosestão limpos;
Juros compostos
27
Juros Simples
Regime de Juros Simples
Suponha que Sr. Inocêncio tenha depositado R$1.000,00 em um banco
que lhe paga juros de 10% a.a., no regime de juros SIMPLES. Para tal, a
aplicação deverá permanecer no banco por 5 anos. Qual o saldo dessa
aplicação ao fim dos 5 anos?
Ano Saldo no Início Juros Saldo no Fim
1 R$ 1.000,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.200,00
3 R$ 1.200,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.300,00
4 R$ 1.300,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.400,00
5 R$ 1.400,00 0,10 x 1.000 = 100 R$ 1.500,00
28
00nC.i.nCC
VP.i.nVPVF
De outro modo,
Um capital inicial C0 , aplicado a uma taxa i durante n períodos, transforma-se em um capital Cn dado por:
Juros Simples
29
• Jéssica deseja pagar uma dívida inicial de R$ 3000,00 com 10 diasde atraso. Se a taxa cobrada é de 6% ao mês, no sistema de jurossimples, determine o valor do pagamento para quitação. E se oatraso fosse de 30 dias? E de 50 dias?
Exemplo 1.
Juros Simples
30
Manoel toma um financiamento bancário de R$ 100.000,00 com
vencimento em 1 semestre, a uma taxa de 3% a.m., no regime de
juros simples. Qual o valor a ser pago na data do vencimento?
Um principal igual a 2/3 do Montante foi aplicado a juros simples
por um período de 2 meses. Qual taxa mensal obtida na operação?
Exemplo 2.
Exemplo 3.
Juros Simples
3131
os juros de cada período são calculados com base no
CAPITAL INICIAL(PRINCIPAL).
o crescimento do capital investido é LINEAR ao longo do
tempo (crescem em P.A. - Progressão Aritmética).
Juros e tempo são proporcionais – Regra de três!
No sistema de Juros simples:
Juros Simples
32
Juros mistos (Convenção Linear)
).1.()1.(s
riiVPVF n
Incidência de Juros compostos durante os períodos inteiros de
capitalização, seguida da incidência de juros simples durante os
períodos fracionários (não inteiros) de capitalização.
33
Juros mistos (Convenção Linear)
Há duas formas de se calcular:
1 – Considerar juros compostos durante os 3 meses e 10 dias. Esta é
a chamada convenção exponencial. O montante é
5200*(1+0,06)^(3+10/30) = 6314,75 reais
2 –Considerar juros compostos em três meses, e depois juros
simples nos dez dias seguintes aplicados a este valor. Esta é a
chamada convenção linear, usada quando nos cobram juros. O
montante é 5200*(1+0,06)^3*(1+10/20), o que resulta em 6
317,15 reais. Essa é a convenção Linear.
Qual é o montante de um principal de R$ 5200,00 a juros de 6%
ao mês após 3 meses e 10 dias de aplicação?
Exemplo 6.
34
Equivalência de Capitais.
Equivalência de Capitais
O dinheiro varia no tempo
R$ 1.000,00 hoje não são iguais a R$ 1.000,00 daqui a um
mês!
Por que?
Para deslocar o dinheiro no tempo, precisamos ter uma
Com ela, o dinheiro “anda para frente”, ou seja, é capitalizado.
Com ela, o dinheiro “anda para trás”, ou seja, é descontado.
36
• Dois ou mais capitais são equivalentes se têm o mesmo valorquando referidos à mesma mesma época (comparados em umamesma data focal – data de comparação).
• Se dois (ou mais) capitais forem equivalentes em umadeterminada data focal, serão também equivalentes emqualquer outra data focal.
Equivalência de Capitais
37
0 1 2 3
C1
n
C2
C3
Cn
....
n
n
i
C
i
C
i
C
i
C
)1(...
)1()1()1( 3
3
2
2
1
1
Para obter o valor futuro (após n períodos), basta multiplicar o presente por
n
i1
VP VF
n períodos
nix 1
n
)i1.(VPVF
Para obter o valor presente,(voltando n período) basta dividir o futuro por
ni1
VP VF
n
i1
n períodos
Equivalência de Capitais
38
Francisco pegou uma quantia emprestada em Janeiro, a juros de
5% ao mês, com o compromisso de pagar tudo até JUNHO. Para
seu espanto, sua dívida em Abril era de R$ 11 576,25. Sabendo
que não efetuou nenhum pagamento da dívida nesse período,
responda aos itens abaixo
JAN FEV MAR ABR MAI JUN
11 576,25
a) Qual foi o valor do empréstimo feito por Francisco?
b) Preencha a tabela acima com os valores da dívida a cada mês
Equivalência de Capitais
Exemplo 1.
39
Uma duplicata no valor de R$ 50.000,00 a ser paga daqui a 2
meses e outra de R$ 75.000,00 a ser paga daqui a 6 meses
devem ser liquidadas por um pagamento único a ser efetuado
daqui a 4 meses. Calcule este pagamento, à taxa de juros de
5% ao mês.
Exemplo 2.
Equivalência de Capitais
40
Júlio tomou um empréstimo de R$ 3000,00 a juros mensais de
5%. Dois meses após, pagou R$ 750,00 e, um mês após esse
pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último
pagamento?
Exemplo 3.
Equivalência de Capitais
41
Um equipamento está a venda por R$ 20.000,00 de entrada e
R$ 20.000,00 após 6 meses. Um comprador propõe dar uma
entrada e pagar R$ 25.000,00 como segunda parcela, porém
somente depois de 8 meses após a compra. Neste caso, qual o
valor da entrada, considerando uma taxa de juros de 2% ao
mês?
Exemplo 4.
Equivalência de Capitais
42
Arthur tomou um empréstimo de R$ 10.000,00 a juros mensais de
6% ao mês. No primeiro mês, pagou R$ 3.000,00; no segundo mês
pagou R$ 5.000,00 e no quarto mês quitou a dívida. Qual o valor
desse último pagamento?
Exemplo 5.
Equivalência de Capitais
43
Uma empresa comprou um equipamento no valor de R$
200.000,00. O fornecedor ofereceu duas opções de
pagamento:
I – Pagamento à vista com 5% de desconto;
II – Pagamento a prazo em 4 vezes sem juros, para (30, 60, 90 e
120).
Suponha que a empresa tenha o dinheiro para pagar à vista, e
que a que tem disponível um taxa de investimento de 2% ao
mês.
Qual a melhor opção para a empresa?
Exemplo 6.
Equivalência de Capitais
44
Uma empresa tem 3 dívidas cujos valores de face e prazo são
R$ 100.000,00 a vencer em 180 dias; R$ 220.000,00 a vencer
em 240 dias e R$ 370.000,00 a vencer em 540 dias. Ela deseja
liquidar todos os pagamentos daqui a 360 dias. Qual o valor do
pagamento, considerando uma taxa de juros de 15% a.a.?
(considere o ano comercial)
Exemplo 7.
Equivalência de Capitais
45
Uma pessoa abre uma conta em uma instituição financeira que
paga 2% a.m sobre o saldo credor, depositando R$ 15.000,00.
Após 6 meses, necessitando de dinheiro retira R$ 7.000,00. Nos
dois meses seguintes, deposita, sendo R$ 1.000,00 no primeiro e
R$ 2.000,00 no segundo. Trinta dias após o último depósito, o
correntista efetua um saque de R$ 5.000,00. Qual é o saldo desta
conta, um ano após a sua abertura, considerando que nenhum
saque ou depósito fora efetuado desde o último saque?
Equivalência de Capitais
Exemplo 8.
46
Taxas de Juros e Descontos
“Este assunto causa uma confusão
considerável, pois as taxas são cotadas das
maneiras mais diversas possíveis. Algumas
vezes a maneira pela qual a taxa é cotada é
resultado de alguma tradição, outras vezes é
determinado pela legislação. Infelizmente, às
vezes as taxas são cotadas de maneira
deliberadamente enganosa para confundir
tomadores de empréstimos e investidores.”
Ross, Westerfield e Jordan
47
Taxas Equivalentes
• Duas taxas são equivalentes se, aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo período de tempo, proporcionarem o mesmomontante.
• Se a taxa de juros relativamente a um determinado período de tempo é igual a i, a taxa de juros equivalente a n períodos de tempo é I, tal que
n)i1(1 I
48
• Considere uma taxa de juros de 5% a.m. Determine as taxasbimestral, semestral e anual equivalentes.
• Taxa bimestral.
• Taxa semestral.
• Taxa anual.
Taxas Equivalentes
Exemplo 1.
49
Taxas nominais e efetivas
• Exemplos:
– 12% a.a. capitalizados mensalmente 1% a.m.
– 24% a.a. capitalizados trimestralmente 6% a.t.
– Clássicos de Mercado no Brasil: Tabela Price e Taxa Over
Um erro muito comum é achar que juros de 5% a.m equivalem a jurosde 12x5% = 60% ao ano.
Taxas como 5% ao mês e 60% ao ano são ditas taxas proporcionais, poisa razão entre elas é igual à razão dos períodos aos quais elas se referem.
Taxas proporcionais não são taxas equivalentes!
Um (péssimo) hábito do Mercado é o de anunciar taxas proporcionaiscomo se fossem equivalentes.
50
Taxas nominais e efetivas
• Exemplos:
– 12% a.a. capitalizados mensalmente 1% a.m.
– 24% a.a. capitalizados trimestralmente 6% a.t.
– Clássicos de Mercado no Brasil: Tabela Price e Taxa Over
Taxas Nominais
não condizem com os juros efetivamente pagos
precisam ser interpretadas e devidamente convertidas para
TAXAS EFETIVAS, pois essas correspondem aos juros
efetivamente pagos
Taxas nominais são taxas proporcionais e não equivalentes.
5151
Taxas nominais e efetivas
Caderneta de Poupança rendendo 6% ao ano, capitalizadosmensalmente. Qual a taxa anual equivalente?
A (falsa) taxa de _____ ao ano é dita taxa nominal.
A taxa (verdadeira) de ______ ao ano é dita taxa efetiva.
Exemplo 2.
5252
Taxas nominais e efetivas
Um dos exemplos mais clássicos que podemos adotar para exemplificar a utilização de taxas nominais é a tradicional Caderneta de Poupança. Ela oferece atualmente ao aplicador (poupador) uma rentabilidade de 6% ao ano, capitalizados mensalmente, mais a TR. Ou seja, a poupança tem um rendimento que é definido por uma taxa nominal, pois mesmo com a TR igual a zero, a poupança não renderá 6% ao ano.
53
Taxas nominais e efetivas
54
Taxas nominais e efetivas
Qual a taxa anual equivalente a uma taxa nominal de 15% ao ano,
capitalizados bimestralmente?
Um empresário necessitando de capital de giro, resolve captar
recursos. O Banco “A” cobra em seus financiamentos uma taxa de
34% a.a., capitalizados anualmente, enquanto a taxa do Banco “B”
é 30% a.a., capitalizados mensalmente (tabela price, por
exemplo). Qual é a menor taxa de financiamento para o
empresário?
Exemplo 3.
Exemplo 4.
55
Inflação e poder de compra
Inflação: perda do poder de compra por parte de uma
moeda
Correção Monetária: atualização (incremento – em geral)
do valor do dinheiro no tempo a fim de manter o poder
de compra daquela quantia.
Correção Monetária e Inflação: conceitos irmãos
Jamais confunda Juros com Correção Monetária!!!
56
Inflação e poder de compraConsidere:
• Inflação de 5% ao ano;
• Investimento com retorno de 15,5% a.a (chamada taxa nominal)
Você tem R$ 100,00.
20 pizzas de R$ 5,00
Você tem R$ 115,50.
Mas a pizza custa R$5,25
Quantas pizzas agora?
22 pizzas
Aumento de 10% no poder de compra.
Essa taxa é chamada de taxa de juros real!
1 ano
57
Taxa real e taxa aparente Efeito Fisher:
Relação entre taxa de retorno real, nominal(aparente) e inflação
A taxa nominal de um investimento representa a variação percentual
da quantidade de dinheiro que você possui;
A taxa real de um investimento representa a variação do quanto você
pode comprar com o dinheiro, ou seja, a variação percentual do poder
aquisitivo.
rji 111 Nominal
58
Taxa real e aparente - o efeito da Inflação
Uma pessoa emprestou R$ 1.000,00 por um mês, combinando receber
R$ 1.100,00 em um mês. Se a inflação naquele mês for de 2%, qual a
taxa real de juros nesta operação?
Ao final de um ano, João teve um aumento de salário de 20%. Mas a
inflação mensal foi de 0,5% a.m. Qual o aumento real do poder de
compra de João em um ano?
Exercício 1.
Exercício 2.
59
Seja uma aplicação que paga 1,2% a.m. Levando-se em conta o
Imposto de Renda (20%) pago na fonte e uma inflação mensal de
0,5%, calcule a taxa real de juros da aplicação.
Refaça o exercício anterior para o caso da poupança, supondo
que esta tenha um rendimento mensal de 0,6%.
E se a poupança render os mesmos 0,6% contra 1% de inflação?
Taxa real e nominal - o efeito da Inflação
Exercício 3.
60
Descontos
• As operações de desconto representam a antecipação dorecebimento ou pagamento de valores futuros, representadospor títulos (nota promissória, duplicata etc.).
• O desconto é a diferença entre o valor nominal de um título(o seu valor no vencimento) e o valor pago antecipadamente(valor descontado).
VPVFD
61
Desconto Bancário
6262
Desconto Bancário
É calculado aplicando-se a taxa de desconto sobre o valor
nominal (valor futuro) do título, no regime de juros simples
A taxa de juros implícita da operação é sempre maior que a
taxa de desconto e cresce com o tempo!
ndVFVP 1
A diferença VF – VP é chamada de desconto.
63
Joana quer descontar uma nota promissória de R$ 5.000,00, com vencimento em 90 dias, em um banco cuja taxa de desconto é 4% aomês. Quanto Joana receberá hoje? Qual taxa mensal de juros que Joana está pagando?
Resolução:VP = VF.(1- d.n)
VP = 5000*(1 - 0,04*3) = 4 400,00
Logo Joana receberá agora 4400 reais para pagar 5000 reais em 90 dias. Se i é a taxamensal de juros, 5000=4400.(1+i)3. Daí, i 4,35%.
De outro modo:
Desconto = VF*n*d=5000*3*0,04 = 600Valor Resgatado = VF – D = 5000 – 600
= 4 400,00
Desconto BancárioExemplo 1.
64
Desconto Bancário
65
Rita, uma micro empresária, deseja antecipar os valores dos cheques querecebeu de seus clientes, que somavam R$ 5.000,00 ao todo. Antes defalar com o gerente do BIGBANK, acessou o site desse banco, obtendo asseguintes informações
a) Qual o valor do resgate com o desconto?
b) Qual taxa mensal de juros que Rita realmente está pagando?
Desconto BancárioExemplo 2.
66
Desconto racional composto
nd1VPVF
O desconto racional composto é exatamente uma operaçãoinversa da capitalização composta.
A taxa de desconto é igual à taxa anunciada.
nd1
VFVP
67
Desconto racional composto
Joaquim tem uma aplicação para resgate de R$ 1.500,00 em 4
meses e deseja antecipar a retirada. Determine o valor de
resgate, a uma taxa de 6% ao mês no regime de desconto
racional composto.
Exemplo 3.
68
Desconto racional composto
Marcos pegou um financiamento no IVABANK, para pagar em 30 parcelas
de R$ 477,34, que vencem dia 04 de cada mês. Após pagar 26 parcelas,
deseja pagar as 4 restantes no dia 04 de novembro de 2010. Para saber
quanto deveria pagar a quitar a dívida, Iranildo acessa o site do BANCO,
no dia 04, e imprime a tabela abaixo .
Como poderíamos ter certeza que os valores da tabela, calculados pelo
BANCO, estão corretos, se a taxa desse financiamento foi de 2,24% ao
mês?
Exemplo 4.
69
Um banco efetua descontos de promissórias, dois meses antes do
vencimento, à taxa de 4% ao mês, mas exige que 10% do valor da
face da promissória sejam aplicados em um CDB (certificado de
depósito bancário) que rende 3% nesses dois meses. Determine a
taxa mensal de juros para quem toma financiamento nesse banco.
Descontos
Exemplo 5. (Especial)
70
Séries Uniformes
“Quase todos os financiamentos a consumidores (veículos,empréstimos consignados, imobiliários,...) têm comocaracterística uma série de prestações constantes, geralmentemensais” (Ross, 2008, p. 134)
71
Séries Uniformes
• Série é uma sequência de quantias (pagamentos, prestações,
termos, etc) referidas a épocas diversas.
• A Série é dita uniforme quando as quantias possuem o mesmo valor
e estão igualmente distribuídos no tempo. As séries uniformes,
também chamadas de Anuidades, podem ser:
Postecipadas;
Antecipadas;
Diferidas.
“Quase todos os financiamentos a consumidores (veículos, empréstimosconsignados, imobiliários,...) têm como característica uma série de prestaçõesconstantes, geralmente mensais” (Ross, 2008, p. 134)
72
Séries Uniformes Se a primeira prestação for paga um mês após a compra(final do
período), as prestações são ditas postecipadas.
Se a primeira for paga no ato da compra, as prestações são ditas
antecipadas.
PMT
VP
PMTPMT
1 2 ... n
PMT
0
PMT
VP
PMTPMT
1 2 ... n -1
PMT
0
PMT
7373
Séries Uniformes
0
1 2 3 4 n-1 n
PMT
iPV
0
1 2 3 4 n-1 n
PMTi
PV
0 1 2 3 4 n-1
n
PMT
i FV
0 1 2 3 4 n-1
n
PMTi
FV
7474
i.i1
1i1.PMT
)i1(
PMTPV
n
nn
1j
j
n – 10 1 n2 3
P PPP P
n1n32 )i1(
P
)i1(
P...
)i1(
P
)i1(
P
)i1(
PPV
i
1)i1(.
)i1(
PPV
n
n
Séries Uniformes
75
i1
P'P
• Se a primeira for paga no ato da compra (prestações antecipadas) basta dividir o valor de cada prestação postecipada por (1+ i).
n – 20 1 2 n – 1 n0
P’ P’P’P’ P’P`
Séries Uniformes
7676
Séries Uniformes
Um bem, cujo preço à vista é R$ 20.000,00, é vendido em seis
prestações mensais iguais. Se os juros são de 5% a.m. determine
as prestações:
a) sendo a primeira um mês após a compra;
b) com a primeira no ato da compra.
c) com a primeira dois meses após a compra.
Exemplo 1.
77
Uma empresa contrai um empréstimo no valor de $ 100.000,00,
com um banco, que lhe ofereceu três possibilidades de
financiamento. Determinar o valor das prestações, sabendo-se que
o financiamento deve ser pago em 24 prestações mensais e iguais,
com um taxa de 2% a.m., se
a) a primeira prestação for paga um mês após a compra;
b) a primeira prestação for paga três meses após a compra;
c) uma entrada de 15% for dada, e o financiamento iniciado quatro
meses após a compra.
Séries UniformesExemplo 2.
78
Os computadores de sua empresa precisam ser trocados a cada 2 anos a
um custo de R$ 25.000,00. Estime o valor a ser depositado mensalmente
em um fundo pré-fixado (taxa de 1,25% a.m.) a fim de cobrir tais
gastos.
Obs. A aplicação no fundo se dá no início do período.
Séries UniformesExemplo 3.
79
Séries UniformesExemplo 4.
80
Uma micro empresa compra um equipamento em 24 prestações mensais
de R$ 500,00, com a primeira sendo paga um mês após a compra, e 4
semestrais de R$ 1.500,00, sendo a primeira semestral paga 6 meses
após a compra. A taxa acertada foi de 1,5% ao mês. Determine o valor
do equipamento à vista.
Uma empresa deseja reprogramar o pagamento dos 3
compromissos abaixo em 12 parcelas mensais e iguais vencendo a
primeira hoje. Determine o valor mensal do refinanciamento,
considerando uma taxa de juros composta de ganho real de 2%
para o financiado com uma inflação anual estimada em 6,0% a.a.
1) NP de R$ 1.500,00 a vencer em 10 meses
2) Empréstimo de R$ 400,00 com 6 meses de prazo contraído há 2
meses a 5% de juros ao mês;
3) NP de R$ 2.000,00 com vencimento em 1 ano.
Séries UniformesExemplo 5.
81
Séries UniformesExemplo 6.
82
Um empresário tomou um financiamento de $ 75.000,00, para ser pago em 15
prestações mensais, iguais e postecipadas a uma taxa de 1% a.m.
Imediatamente após o nono pagamento, o empresário propôs uma
renegociação ao banco, que REFINANCIOU O SALDO DEVEDOR em 12 prestações
mensais iguais, todas de mesmo valor, a serem pagas três meses após essa data
do refinanciamento. Determinar o valor das novas prestações mensais,
sabendo que a taxa de juros da operação aumentou 50% em relação à taxa do
financiamento anterior.
Séries Uniformes - Perpetuidades.
Definição: trata-se de uma extrapolação da anuidade até o infinito
VP (perpetuidade) = PMT / i
PMT
VP
PMTPMT
1 2 3 ...
PMT
0 ...
83
Séries Uniformes - Perpetuidades.“Eterno enquanto ...”
84
Exemplo
Determinar o valor do investimento necessário para garantir
recebimento mensal postecipado de R$ 10.000,00, sabendo-se
que a taxa de juros é de 1% a.m.
Exercícios Complementares
Uma micro empresa compra um equipamento em 24 prestações
mensais de R$ 500,00, com a primeira sendo paga um mês após
a compra, e 4 semestrais de R$ 1500,00, sendo a primeira
semestral paga 6 meses após a compra. A taxa acertada foi de
1,5% ao mês. Determine o valor do equipamento à vista
Exercício 1
Séries Uniformes
85
Numa compra efetuada, o cliente teve o saldo devedor financiado em 3
prestações quadrimestrais de R$ 5.000,00. Contudo, para evitar esta
concentração nos desembolsos, o cliente solicitou a transformação do
financiamento em 12 prestações mensais. Se a taxa de juros da loja for
de 2% a.m., qual o valor das prestações mensais?
Exercícios ComplementaresSéries Uniformes
Exercício 2
86
A empresa Beta quer alugar um equipamento, cujo preço à vista é
de R$ 300.000,00. As condições do fornecedor são: 36 prestações
mensais e iguais, sendo o valor residual após o pagamento da 36ª
prestação igual a R$ 51.274,19. Se a taxa do financimento é de
1,5% a.m., determine o valor da prestação mensal?
Exercícios ComplementaresSéries Uniformes
Exercício 3
87
Na compra de um carro zero, a família AFOBADA, está prestes a fazer o seguinte negócio:
Valor do carro À vista: R$ 30.000,00
Valor do carro da família = R$ 14.000,00. (em bom estado de conservação, e com baixo
custo de manutenção)
Taxa do financiamento = 1,5% ao mês.
Número de prestações = 48 mensais, com a primeira para daqui a 30 dias.
TAC – Taxa de abertura de crédito = 800,00 (pode ser paga à vista ou somada ao valor a
ser financiado).
Especialistas dizem que uma família não deve comprometer mais de 30% da renda
familiar com um financiamento.
Determine:
a) o valor da prestação, se a família pagou o TAC à vista;
b) o valor da prestação, se a família optou por financiar a TAC junto com o saldo devedor;
c) Se a renda mensal da família é de R$ 1500,00, a opção de compra do carro é
recomendável?
d) De quanto deveria ser a renda mensal para que a prestação representasse apenas 20% da
Renda mensal dessa família?
Séries UniformesExercício 4.
88
Júlia tem duas alternativas para obter uma copiadora:
a) Alugá-la por R$ 360,00 ao ano, ficando a manutenção por conta do
locador;
b) Comprá-la por R$ 1500,00. Nesse caso, Julia ficará responsável pelas
despesas de manutenção, que são de R$ 50,00 por ano, nos dois
primeiros anos, e de R$ 80,00 por ano, nos anos seguintes. Considere
que a máquina tem vida econômica de 5 anos, com valor residual de
R$ 200,00(venderá a máquina nesse preço).
Se a taxa mínima de atratividade é de 7% ao ano, qual deve ser a
opção de Júlia?
Exercícios ComplementaresSéries Uniformes
Exercício 5 – Alugar ou comprar?
89
0 1
- 50
5
- 50 - 80 120
2 3
-1500
4
- 80
0 1 2 3
P
5
P P PP
4
ALUGAR OU COMPRAR? – Fluxos que ajudam!Exercício 5 – Alugar ou comprar?
90
Qual é a quantia que uma pessoa que acabou de completar 30 anos
de idade deve depositar mensalmente num fundo de investimento
que rende 1% a.m., de modo a assegurar uma renda mensal após sua
aposentadoria de $ 5.000,00 durante 30 anos? Suponha que a
aposentadoria desta pessoa ocorra aos 55 anos e que as prestações
pagas e recebidas ocorram no final de cada mês.
Exercício 6 – Previdência Privada.
Exercícios ComplementaresSéries Uniformes
9191
A tabela abaixo mostra o valor de um carro com k anos de uso, com 0 k 5, bemcomo os gastos anuais de manutenção e operação. O valor do carro refere-se ao iníciodo ano e os gastos são efetuados ao longo do ano. Os valores estão calculados apreços de hoje e considera-se uma taxa de juros de 6% a.a.
Você decidiu comprar um carro novo, usá-lo por algum tempo, vendê-lo e comprarnovamente um carro novo, vendê-lo, etc. Por quanto tempo você deve usar o carroantes de vendê-lo?
ÉpocaValor
(milhares de reais)
Manutenção
(milhares de reais)
Operação
(milhares de reais)
0 20 - -
1 16 1,0 1,2
2 14 1,6 1,2
3 12 1,6 1,2
4 9 2,4 1,4
5 8 2,0 1,6
Exercício 7 – Determinação da vida econômica de um bem!
Exercícios ComplementaresSéries Uniformes
92
Sistemas de Amortização.
Sistemas de Amortização
Existem várias formas para se pagar um empréstimo;
Algumas ficaram conhecidas com o tempo ou por serem simples
de se entenderem ou por serem racionais;
Estudaremos alguns exemplos aqui.
Quando se paga parceladamente um débito, cada pagamento
efetuado tem (geralmente) uma dupla finalidade:
1) Parte quita os juros.
2) Parte amortiza (abate) a dívida.
94
Sistemas de Amortização
Época Prestação Amortização Juros Saldo Devedor
0 - - - 100
1 30
2 30
3 40
Ricardo tomou um empréstimo de $ 100,00 a juros de 10% ao mês.
Quitou-o em três meses, amortizando 30% da dívida inicial no
primeiro mês, 30% e 40% nos dois meses seguintes e pagando a cada
mês os juros.
Exemplo 1.
95
Sistemas de Amortização mais utilizados
• Sistema Francês (tabela Price)
• Sistema de Amortizações Constantes
• Sistema Bullet.
• Sistema Americano
96
Suponha que você precise tomar emprestado R$ 1.000,00:
Principal: R$ 1.000,00 Taxa de Juros: 8% a.a. Prazo: 4 anos
Plano A Pagamento único no fim do prazo
Plano B Pagamento periódico dos juros, com amortização total ao fim do prazo
Plano C Prestações iguais
Plano D Amortizações constantes
Planos Equivalentes de Pagamentos
Características
Comparação entre sistemas de amortização.
97
Principal: R$ 1.000,00 Taxa de Juros: 8% a.a. Prazo: 4 anos
Ano Plano A Plano B Plano C Plano D
0 -R$ 1.000,00 -R$ 1.000,00 -R$ 1.000,00 -R$ 1.000,00
1 R$ 0,00 R$ 80,00 R$ 301,92 R$ 330,00
2 R$ 0,00 R$ 80,00 R$ 301,92 R$ 310,00
3 R$ 0,00 R$ 80,00 R$ 301,92 R$ 290,00
4 R$ 1.360,49 R$ 1.080,00 R$ 301,92 R$ 270,00
Planos Equivalentes de Pagamentos
Características
O Plano A é conhecido como Sistema Bullet.
O Plano B é conhecido como Sistema de Amortização Americano (S.A.A.)
O Plano C é conhecido como Sistema de Amortização Francês (S.A.F.) ou, no
Brasil, Sistema Price
O Plano D é conhecido como Sistema de Amortizações Constantes (S.A.C.)
Comparação entre sistemas de amortização.
98
Sistemas de amortização Francês (PRICE)
• Prestações constantes
• Equivale a uma série uniforme de pagamentos
• Juros decrescentes
• Amortizações crescentes
• Inicialmente deve-se calcular o valor da prestação
99
Sistema de amortização Francês (Price)
Calcule o valor da prestação e monte a planilha de financiamento para um
financiamento de R$ 100.000,00 em 5 prestações mensais com uma taxa de
juros de 10% am utilizando o Sistema PRICE.
Mês Prestação Amortização Juros Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
Exemplo 2.
100
Sistemas de Amortização Constante SAC
• Amortizações constantes
• Juros decrescentes
• Prestações decrescentes
• Inicialmente deve-se calcular o valor das amortizações
101
Sistema SAC
Mês Prestação Amortização Juros Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
Calcule o valor da prestação e monte a planilha de
financiamento para um valor financiado de R$ 100.000,00 em 5
prestações mensais com uma taxa de juros de 10% am
utilizando o SAC.
Exemplo 3.
102
Sistema SAC
Um caminhão no valor de R$ 300.000,00 foi adquirido pelo
sistema SAC, em 5 prestações anuais, a uma taxa de 10% ao
ano. Construa a planilha de amortização abaixo.
Exemplo 4.
103
Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5
Valor do
Principal Início
(R$ mil)
-
Amortização
(R$ mil)
-
Valor do
Principal Final
(R$ mil)
225
Juros Pagos
Final (R$ mil)
-
Uma empresa adquiriu um financiamento, no início de 2011, no valor de
$ 500.000,00 em um banco de desenvolvimento, se comprometendo a
pagar em 5 prestações anuais, a uma taxa de juros de 6% a.a. No
entanto, a empresa só começará a pagar as prestações no início de
2013, pois conseguiu negociar com a instituição de fomento esse
período de carência. Montar as tabelas de amortização nos seguintes
sistemas: Americano, SAC e price. Refaça o problema, mas agora
considerando que a taxa no período de carência seja subsidiada pelo
governo sendo, portanto, menor que a taxa do financiamento, e igual a
3% a.a
Exemplo 5 – Financiamento com carência (BNDES)
Sistemas de Amortização
104104
Análise de Investimentos
“Se tens o dom de ler as sementes do tempo, edizer quais hão de germinar e quais não, falai.
William Shaskespare
Análise de Investimentos
A análise de investimentos consiste em determinar se o projeto é atrativo do ponto de vista financeiro ao investidor.
O investidor, ao aplicar recursos em determinado projeto, deseja ma rentabilidade no mínimo igual ao seu custo de oportunidade.
O custo de oportunidade é o retorno disponível ao investidor em uma alternativa de investimento com nível de risco comparável.
Análise de Investimentos
106
Métodos de análise de investimento
Critérios de cálculo de valor e decisão de investimento
Processo de cálculo
Critério de decisão
Métodos analisados
Valor Presente Líquido (VPL)
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Análise de Investimentos
107
Valor Presente Líquido (VPL)
Critério do Valor Presente Líquido
Projetar os
Fluxos de
Caixa
Futuros
Determinar a
Taxa de
Desconto
Calcular o
VPL
Fatores de Risco!
Análise de Investimentos
108
Cálculo do Valor Presente Líquido
Para calcular o valor presente líquido (VPL) ou “net present value”
(NPV) de um projeto, devemos trazer a valor presente todos os fluxos
de caixa a uma determinada taxa de juros (custo de oportunidade). O
VPL é dado pela soma de todos os valores presentes, e é dado pela
expressão abaixo.
Onde:
FCn = fluxo de caixa no tempo n
i = custo de oportunidade
n = tempo
Análise de Investimentos
Valor Presente Líquido (VPL)
109
Critério do Valor Presente Líquido
Análise de Investimentos
O VPL é uma medida de quanto valor é criado ou adicionado hoje para se realizar o investimento.
Um investimento deve ser aceito se possui VPL maior que zero.
Se o VPL é maior que zero então o projeto remunera à taxa do custo de oportunidade e ainda gera valor.
Um investimento é melhor do que outro se o seu VPL é maior;
Valor Presente Líquido (VPL)
110
Valor Presente Líquido (VPL)
Ano Fluxo de Caixa
0 -100.000,00
1 30.000,00
2 30.000,00
3 50.000,00
4 70.000,00
Uma mineradora deseja realizar um investimento de $100.000,00
em um projeto com prazo de 4 anos. A empresa tem custo de
oportunidade de 15% a.a. e deseja determinar se o projeto é viável
financeiramente através do VPL e da TIR.
Exemplo 1.
Análise de Investimentos
111
Valor Presente Líquido (VPL)
VPL na HP – 12C
Ano Fluxo de Caixa
0 -100.000,00
1 30.000,00
2 30.000,00
3 50.000,00
4 70.000,00
Análise de Investimentos
Exemplo 1.
112
Valor Presente Líquido (VPL)
Um estudante está analisando a possibilidade de fazer um projeto
de investimento. Determinar sua viabilidade através do VPL,
considerando um custo de oportunidade de 1% a.m..
Mês FC VP
0 (750,00) (750,00)
1 (500,00) (495,05)
2 0,00 0,00
3 0,00 0,00
4 100,00 96,10
5 200,00 190,29
6 300,00 282,61
7 300,00 279,82
8 300,00 277,04
9 400,00 365,74
TOTAL 246,55
Análise de Investimentos
Exemplo 2.
113
Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 3A.
Você dispõe de R$ 10.000,00 para investimento. A seguir estão
duas oportunidades e você precisa se decidir por uma delas, tendo
em vista sua limitação de capital. Sabendo que a taxa de mercado
para um negócio de risco e prazo semelhantes é 4% a.a., tome sua
decisão!
114
Análise de Investimento – Caso 1.
Taxa 4,00%
Ano Investimento A Investimento B
0 -R$ 10.000,00 -R$ 10.000,00
1 R$ 2.000,00 R$ 3.000,00
2 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00
3 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00
4 R$ 3.000,00 R$ 3.000,00
5 R$ 5.000,00 R$ 2.500,00
VPL
Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 3A.
115
Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 3B.
Você dispõe de R$ 10.000,00 para investimento. A seguir estão
duas oportunidades e você precisa se decidir por uma delas, tendo
em vista sua limitação de capital. Sabendo que a taxa de mercado
para um negócio de risco e prazo semelhantes é 10% a.a., tome
sua decisão!
116
Análise do investimento – Caso 2.
Taxa 10,0%
Ano Investimento A Investimento B
0 -R$ 10.000,00 -R$ 10.000,00
1 R$ 2.000,00 R$ 3.000,00
2 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00
3 R$ 2.500,00 R$ 3.000,00
4 R$ 3.000,00 R$ 3.000,00
5 R$ 5.000,00 R$ 2.500,00
VPL
Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 3.
117
Valor Presente Líquido (VPL)
O banco avenida deseja financiar um equipamento industrial cujo preço à
vista é R$ 400.000,00. O financiamento será concedido no dia 1º de Abril,
devendo ser liquidado em três prestações mensais de R$ 180.000,00, que
vencem a cada 60 dias corridos, a contar da data de sua aquisição.
Determinar sob a ótica do financiador qual o VPL desse fluxo de caixa
para uma taxa de desconto de 4% ao mês.
Análise de Investimentos
Exemplo 4.
118
Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 5.
119
A empresa IMJ está avaliando a compra de uma loja. O
investimento inicial é de $500.000,00, e os prognósticos
simplificados de lucro desse investimento são de R$ 150.000,00 ao
fim de cada ano. Suponha que a empresa, depois de receber os 6
retornos anuais, venderá a loja por $ 400.000,00 ao fim do sexto
ano, do jeito que ela estiver. A taxa que você exige para um
negócio desse porte é 25% ao ano.
a) VPL e TIR desse negócio.
b) Suponha que o investimento inicial aumentasse em 20%. A
viabilidade do negócio mudaria?
c) E se a taxa exigida para o negócio aumentasse para 30%?
d) Qual o valor limite de investimento no primeiro ano,
mantendo-se os fluxos estimados, que viabiliza o projeto?
Valor Presente Líquido (VPL)
Análise de Investimentos
Exemplo 6.
120
Para um certo empreendimento, o seguinte fluxo de caixa é
estimado.
Necessita-se de R$ 20.000,00 para realizá-lo e, como os donos só
possuem a metade, fez-se um contrato com uma companhia de
investimentos, que ficou de emprestar o resto a juros de 8% ao ano
sobre o saldo devedor e amortização constante em 8 anos. A taxa
mínima de atratividade é de 10% ao ano. Examinar o
empreendimento sob a ótica do projeto e do acionista.
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8
FC (R$) 8000 7400 6800 6200 5600 5000 4400 3800
Valor Presente Líquido (VPL)
A agropecuária Mimosa na mesa Ltda. estuda a possibilidade de aquisição
de novas matrizes de gado leiteiro. O investimento inicial estava orçado
em R$ 40.000,00. Contabilmente, vamos admitir que a depreciação das
matrizes possa ser feita em um horizonte de cinco anos. No fim da vida
útil, seriam vendidos por R$ R$ 6.000,00 para abate. A alíquota de
Imposto de Renda da empresa é igual a 25% e seu custo de capital é igual
a 36% a.a. As receitas incrementais associadas ao investimento estão
estimadas em R$ 60.000,00, com crescimento previsto em R$ 5.000,00 por
ano. Sabe-se que os custos variáveis são estimados em 40% das receitas e
os custos fixos em R$ 15.000,00 por ano. Pede-se analisar a viabilidade do
investimento com base no valor presente líquido.
Exercício 7 (Olhando para o futuro ... Aprofundamento).
Análise de Investimentos
121
Taxa interna de retorno (TIR)
A taxa interna de retorno (TIR) ou “internal rate return (IRR)” mede o
retorno do projeto. É a taxa de Juros que torna o VPL de um fluxo de
caixa igual a Zero. A TIR pode ser obtida através da equação:
Critério da TIR
1) Se a TIR for maior que o retorno exigido (Custo de oportunidade do capital
para investimentos com riscos semelhantes), o investimento deve ser aceito.
2) Em casos “normais”, TIR maior que o retorno exigido representa VPL
positivo para o investimento
Análise de Investimentos
122
Ano Investimento
0 - 100
1 60
2 60
Análise de Investimentos
Taxa interna de retorno (TIR)
Exemplo 1.
123123
TIR(-100;60;60) = 13,07% a.a.
Qual o significado dessa taxa?
Que 13,07% é a taxa que zera o VPL. (Ponto de equilíbrio econômico)
Que 13,07% é o máximo que eu posso exigir de retorno. Se eu
consigo mais do que isso em outro investimento, porquê investir
nesse?
Ano Investimento
0 - 100
1 60
2 60
Análise de Investimentos
Exemplo 1.
Taxa interna de retorno (TIR)
124
VPL= 0
0)TIR1(60)TIR1(601002
E se fossem 3, 4, 5, ou mais fluxos de caixa?
Equações polinomiais de grau 3, 4, 5, ... Como resolvê-las?
FUNÇÃO TIR : EXCEL E HP 12C
Análise de Investimentos
Exemplo 1.
Taxa interna de retorno (TIR)
125125
Análise de Investimentos: TIR
GRÁFICO DO PERFIL DE VALOR PRESENTE LÍQUIDO.
TIR(-100;60;60) = 13,07%
Ano Investimento
0 - 100
1 60
2 60
Análise de Investimentos
126
Ano Investimento A
0 -R$ 10.000,00
1 R$ 2.000,00
2 R$ 2.500,00
3 R$ 2.500,00
4 R$ 3.000,00
5 R$ 5.000,00
TIR 13,05%
VPL R$ 0,00
Revisitando o problema anterior.
Análise de Investimentos
Exemplo 2.Taxa interna de retorno (TIR)
127
Considere os fluxos de caixa apresentados a seguir para dois
investimentos mutuamente excludentes:
a) Calcule a TIR de cada investimento;
b) Calcule o VPL de cada investimento às taxas de 5%, e 15%
c) Explique porquê o investimento A é melhor à uma taxa de retorno baixa,
enquanto que o contrário ocorre com o investimento B.
Ano Fluxo de Caixa Ano Fluxo de Caixa
0 R$ (100,00) 0 R$ (100,00)
1 R$ 50,00 1 R$ 20,00
2 R$ 40,00 2 R$ 40,00
3 R$ 40,00 3 R$ 50,00
4 R$ 30,00 4 R$ 60,00
Análise de Investimentos
Exemplo 3.
Taxa interna de retorno (TIR)
128
Determine o VPL, TIR, PAYBACK E payback descontado, assumindo uma
taxa de 2% ao mês, de cada caso abaixo.
Análise de Investimentos
Análise de Investimentos
Exercício 1.
129
Vantagens da TIR
Nas condições de fluxos de caixa convencionais e para
projetos independentes, leva ao mesmo resultado do VPL
Fácil de ser compreendida e comunicada.
O VPL necessita da estimativa de uma taxa de desconto, já a
TIR pode ser calculada mesmo sem essa taxa
Análise de Investimentos: TIR&VPL
Análise de Investimentos
130
Análise de Investimentos
Desvantagens da TIR
Pode levar a decisões erradas quando na comparação de projetos
mutuamente excludentes
Em fluxos não convencionais:
Pode apresentar uma visão míope
Pode apresentar taxas múltiplas
Análise de Investimentos: TIR
131
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Um investidor comprou um apartamento na planta em set de 2009,
pagando uma entrada e mais 28 parcelas mensais, e 28 taxas de
decoração, conforme o fluxo apresentado no próximo slide. Em Fevereiro
de 2011 repassa o apartamento, recebendo pelo empreendimento R$
94.000,00. Desse valor, paga 19.000,00 de comissão. Determine a TIR
desse investimento. Compare essa taxa com as taxas anuais disponíveis no
mercado em 2009 e 2010, avaliando o investimento realizado.
Exercício 2.
Análise de Investimentos
132
Análise de Investimentos: TIR
Qual a interpretação? Qualquer TIR onde o VPL é Positivo?
Moral da história: Fluxos não convencionais
atormentam a TIR. VPL é a solução!
Análise de Investimentos
133
Taxa interna de retorno (TIR)
Análise de Investimentos
Problemas com a TIR.
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
0 10 20 30 40 50 60
Taxa de Desconto (%)
Va
lor
Pre
sen
te L
íqu
ido
($)
VPL
Positivo
VPL
Negativo
TIR
VPL
Negativo
134
Considere as duas alternativas de investimento abaixo
O custo de oportunidade para ambas é de 8%
VPLA = 655,16 e VPLB = 641,79
TIRA = 28% e TIRB = 45%
AlternativaInvest.
Inicialt1 t2 t3 t4
A (1.000) 300 300 300 1.200
B (1.000) 1.000 300 300 300
Análise de Investimentos
Projetos mutuamente excludentes
135
Projetos mutuamente excludentes
-600
-400
-200
-
200
400
600
800
1.000
1.200
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60%
TMA
VP
L TIR B = 45%
TIR A = 28%
Região de aceitação
de A
Região de rejeição de ambosRegião de
aceitação de B
A
B
Análise de Investimentos
136
Uma empresa tem dois projetos de investimentos mutuamente
excludentes. Determinar a melhor alternativa, sabendo-se que a
empresa não avaliou com precisão seu custo de oportunidade.
Exercício 3.
Ano Fluxo A Fluxo B Fluxo B - A
0 - 450,00 -700,00 -250,00
1 100,00 150,00 50,00
2 125,00 200,00 75,00
3 150,00 225,00 75,00
4 175,00 250,00 75,00
5 250,00 350,00 100,00
TIR 19,29% 17,43% 13,78%
TAXA 10% VPL A = 131,67 VPL B = 158,77
TAXA 15% VPL A = 54,45 VPL B = 46,55
Projetos mutuamente excludentes
Análise de Investimentos
137
Análise de Investimentos
Exercício 4.
138
Analise a viabilidade dos projetos abaixo, considerando que são
mutuamente excludentes, considerando que a empresa não avaliou
com precisão seu custo de oportunidade.
ANO PROJETO A PROJETO B
0 -450 -700
1 100 150
2 125 200
3 150 225
4 175 250
5 250 350
Projetos mutuamente excludentes