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MatemáticaFinanceira

(Juros Simples x Juros Compostos)

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Taxa de Juros

FORMA PORCENTUALFORMA PORCENTUAL

• Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital.Ex.: 12% ao ano.

FORMA UNITÁRIAFORMA UNITÁRIA

• Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do capital.Ex.: 0,12 ao ano.

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JUROS SIMPLES

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CÁLCULO DO JURO

- Ao valor aplicado;

- Ao tempo de aplicação.

- Ao valor aplicado;

- Ao tempo de aplicação.

JURO SIMPLES

• A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional:

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CÁLCULO DO JURO

• FÓRMULA BÁSICA:

J = C . i . nJ = C . i . nJ = C . i . nJ = C . i . n

onde: J = JuroC = Capital inicial (Principal) i = Taxa de Juros (na forma unitária) n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)

EXEMPLO

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MONTANTE

JURO SIMPLES

• Montante é a soma do juro mais o capital aplicado.

M = C + J

onde:C= principaln= prazo de aplicaçãoi = taxa de juros

M = C(1 + in) = C. FATOR

EXEMPLO

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TAXA PROPORCIONAL

JURO SIMPLES

A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2

(referida ao período n2) se:

2

1

2

1

n

n

i

i

Ou, do mesmo modo, se:

Ou ainda:

2

2

1

1

n

i

n

i

EXEMPLO

1221 .nin.i

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TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas de juros são equivalentes se:

• aplicadas ao mesmo capital;

• pelo mesmo intervalo de tempo.

=> Ambas produzem o mesmo juro.

No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes.

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JURO EXATO

Juro Exato é aquele em que:

• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.

• é adotada a convenção do ano civil.

EXEMPLO

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JURO COMERCIAL

Juro comercial é aquele em que:

• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.

• é adotada a convenção do ano comercial (360 dias):

EXEMPLO

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JUROS COMPOSTOS

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Juros Compostos

Juros Simples:• Apenas o capital inicial rende juros;• O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa.

Juros Compostos:• O Juro gerado pela aplicação, em um período, será incorporado;• No período seguinte, o capital mais o juro passa a ge-rar novos juros;• O regime de juros compostos é mais importante, por-que retrata melhor a nossa realidade.

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Diferença entre os regimes de capitalização

Co= 1000,00i= 20 % a.a.n= 5 anos

nJuro por Período Montante Juro por período Montante

0 0 1000,00 0 1000,001 1000 x 0,2 = 200 1200,00 1000 x 0,2 = 200 1200,002 1000 x 0,2 = 200 1400,00 1200 x 0,2 = 240 1440,003 1000 x 0,2 = 200 1600,00 1440 x 0,2 = 288 1728,004 1000 x 0,2 = 200 1800,00 1728 x 0,2 = 346 2074,005 1000 x 0,2 = 200 2000,00 2074 x 0,2 = 414,80 2488,80

Juros Simples Juros Compostos

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GRÁFICO COMPARATIVO: JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

1800,00

2000,002074,00

2488,80

1400,001200,001000,00

1600,001200,00

1440,00

1000,00

1728,00

0,00

500,00

1000,00

1500,00

2000,00

2500,00

3000,00

1 2 3 4 5 6

TEMPO (ANOS)

MO

NT

AN

TE

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Uma questão: Será que, pelo que vimos no gráfico anterior, podemos então concluir que os montantes gerados, sob as mesmas condições e sobre o mesmo capital, a juros simples e a juros compostos ou são iguais ou o montante dos juros compostos será maior?

Para ajudar na resposta, vamos incluir na tabela e no gráfico anterior mais uma linha. Vamos calcular os dois montantes para um prazo de 15 dias após o início da aplicação, ou seja, após meio mês.

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JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOSMontante Montante

0 1000,00 1000,000,5 1000 x 1,1 = 1100 1000 x 1,2^0,5= 1095,451 1000 x 1,2 = 1200 1000 x 1,2 = 12002 1000 x 1,4 = 1400 1000 x 1,2^2 = 14403 1000 x 1,6 = 1600 1000 x 1,2^3 =17284 1000 x 1,8 = 1800 1000 x 1,2^4 =20745 1000 x 2,0 = 2000 1000 x 1,2^5 = 2488,8

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GRÁFICO COMPARATIVO: JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

1600,00

1800,00

2000,00

1200,001100,00

1000,00

1400,001095,45

1200,00

1000,00

1440,00

2488,80

2074,00

1728,00

0,00

500,00

1000,00

1500,00

2000,00

2500,00

3000,00

1 2 3 4 5 6 7

TEMPO (ANOS)

MO

NT

AN

TE

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Montante

O cálculo do montante, em juros compostos é dado pela fórmula:

n)i.(CM 1

M = montante ao fim de “n” períodosC = capital inicialn = número de períodosi = taxa de juros por período, efetivaF = fator de correção da taxa i

n C.FM

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ExemploUma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado sob taxa efetiva 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido ? Resolução: C = 1.000

i = 2% a .m.n = 10 meses

Temos:

$1.218,99M

2)1.000.(1,0M

C.FM

i)C.(1M

10

10 0

n

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Valor Atual e ValorNominal

• O Valor Atual corresponde ao valor da aplicaçãoem uma data inferior à do vencimento.• O Valor Nominal é o valor do título na data do seu vencimento.

V = valor atualN = valor nominali = taxa de jurosn = número de períodos que antecedem o vencimento do título

ni

NV

)1(

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Exemplo

a) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 me-ses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros com-postos corrente for de 2,5% a.m. ?

Resolução:

n = 5 Meses

N=1.131,40V

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N = 1.131,40i = 2,5 % a.m.n = 5 meses

00,000.1$

131408,1

40,131.1

)025,1(

40,131.1

)1(

5

V

V

i

NV

n

Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não esta-rei fazendo mau negócio.

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Exemplob) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a1 ano, com valor nominal de $ 1.344,89. Foi-lhe proposta a tro-ca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valorde $ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca proposta é vantajosa.

Resolução:

N=1.344,89N*=1.080,00

0 3 12

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ExemploO valor atual na data focal zero da letra de câmbio que venceem 12 meses é dado por:

112 12

1

1

1344, 89(1 ) (1, 025)

1.344, 891.000, 00

1,344889

$1.000, 00

NV

i

V

V

Calculemos agora o valor atual na data zero, da letra que venceem 3 meses:

23 3

* 1080, 00(1 ) (1, 025)N

Vi

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Comparando os dois valores atuais constatamos que:

12 VV

89,002.1$

076891,1

00,080.1

2

2

V

V

Ou seja, o título que vence em 3 meses tem um valor atual umpouco maior que o que vence em 12 meses. Portanto, a trocaseria vantajosa.

TAXAS COMPOSTAS

Os diversos tipos de taxas para juros compostos.

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TAXA NOMINALÉ uma taxa “simbólica” para juros compostos e usada apenas como referência para cálculos rápidos da taxa efetiva. É fácil determinar quando a taxa é nominal, pois ela estará sempre referida a uma unidade de tempo, distinta da unidade que define o período de capitalização. Ex: 24% ao ano, com capitalização mensal.

TAXA EFETIVAÉ a taxa de juros compostos que já está referida à mesma unidade de tempo que o período de capitalização. Ex: 1% ao mês, com capitalização mensal; 24% ao ano, com capitalização anual; 0,5% quinzenal, com capitalização quinzenal.

Importante: A passagem da taxa nominal para a taxa efetiva (que é a usada na fórmula dos juros compostos) é feita de modo proporcional, como nos juros simples, por convenção, para facilitar os cálculos.

24% ao ano, com capitalização mensal

TAXA NOMINAL

24%:12 = 2% ao mês, com capitalização mensal

TAXA EFETIVA

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Exemplo: Um capital de R$ 5000,00 foi investido, capitalizado trimestralmente, sob taxa de 20% ao ano. Obtenha o montante final dessa aplicação, sabendo-se que ela foi feita por um prazo de 2 anos.

20% ao ano, com capitalização trimestral

TAXA NOMINAL

20%:4 = 5% ao trimestre

TAXA EFETIVA

7387,27 (1,05) x 5000 M 8

2 anos = 8 trimestres

Lembre-se: Você nunca poderá usar a TAXA NOMINAL nos cálculos com juros compostos.

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TAXAS EQUIVALENTES

São taxas efetivas, que geram montantes iguais, aplicadas ao mesmo capital e no mesmo prazo.

Exemplo: 4% ao mês é equivalente a 8,16% ao bimestre. Veja, por exemplo, que se aplicarmos essas duas taxas sobre um capital de R$ 1000,0, para um investimento de um ano, vão gerar os seguintes montantes:

4% ao mês

1601,03 (1,04) x 1000 M 12 8,16% ao bimestre

1601,03 (1,0816) x 1000 M 6

Na prática, quando queremos determinar uma taxa que seja equivalente a outra, com capitalização distinta, usamos apenas os fatores de correção, já que ao igualar os montantes, os capitais (que são iguais) serão cancelados. Vejamos dois exemplos disso.

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EX. 1: Qual a taxa bimestral equivalente a 15,9693% ao ano?

Como um ano tem 6 bimestres, é claro que o fator bimestral (procurado), elevado ao expoente 6, terá de ser igual ao fator anual, vejamos:

a.b 2,5% procurada taxa

1,025 1,159693 F

1,159693 F F F

6b

6ba

6b

EX. 2: Qual a taxa mensal equivalente a 0,05% ao dia?

1,51% mensal taxa

1,0151 (1,0005) F

F F30

m

30dm