MATEMÁTICA FINANCEIRA - Prof. Roberto César · PDF fileMatemática Financeira Professor: Roberto César Faria e Silva Página 2 1. Conceitos Antes de adentrarmos aos estudos da matemática

Roberto César Faria e Silva

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Aluno: ____________________

SUMÁRIO

1. CONCEITOS _____________________________________________________ 2

2. JUROS SIMPLES __________________________________________________ 3

Taxa Efetiva e Proporcional _______________________________________ 10

Desconto Simples _______________________________________________ 12

Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora __________________________ 13

Desconto Racional ou Por Dentro __________________________________ 16

3. Juros Compostos ________________________________________________ 19

Taxa Equivalente, Nominal, Aparente e Real _________________________ 25

Taxa Bruta e Líquida _____________________________________________ 26

Série de Pagamentos

Pagamentos Iguais Postecipados __________________________________ 29

Pagamentos Iguais Antecipados ___________________________________ 32

Pagamento Diferido _____________________________________________ 35

Série de Depósitos

Renda Postecipada ______________________________________________ 38

Renda Antecipada _______________________________________________ 39

4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO _____________________________________ 42

5. HP 12-C __________________________________________________________

6. EXCELL (WINDOWS) ________________________________________________

7. CALC (LINUX) _____________________________________________________

REFERÊNCIAS ______________________________________________________

Matemática Financeira

Professor: Roberto César Faria e Silva Página 2

1. Conceitos

Antes de adentrarmos aos estudos da matemática financeira é importante

entender o que ela representa e seus conceitos.


Tempo

O tempo é um dos fatores principais na matemática financeira, o capital é

sempre ajustado em função deste.

O período de tempo vem sempre acompanhado de uma unidade de medida.

Exemplo: 1 ano

4 trimestres

12 meses

Juros

Os juros tem como função, fazer com que o capital mantenha ao longo do

tempo seu poder de compra.

Exemplo: Se hoje eu compro um produto por R$ 100 reais, daqui à um ano eu

consigo comprar este produto pelos mesmos R$ 100 reais, é lógico que não

pois o valor das coisas muda com o decorrer do tempo, e para o dinheiro não

perder seu poder de compra deve ser reajustado, e a forma de “reajuste” são

os juros.

Os juros normalmente são dados em percentuais acompanhados do período.

Exemplo: 5 % a.m. = cinco por cento ao mês.

60 % a.a. = Sessenta por cento ao ano.

A matemática financeira estuda a variação do capital (dinheiro) no decorrer

do tempo, mediante a uma taxa de juros.

É uma remuneração sobre o capital. Um reajuste que acontece em função

do tempo.



A matemática financeira estuda a capitalização dos juros sob duas formas, que

são:

Juros Simples

Juros Compostos

2. JUROS SIMPLES

Exemplo: Um capital de R$ 100,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de

10% ao mês, durante 5 meses.

Tabela 1: Capitalização usando juros simples

Mês Saldo no início do Mês

Juros mensais Saldo no final do Mês

1 R$ 100,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 110,00

2 R$ 110,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 120,00

3 R$ 120,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 130,00

4 R$ 130,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 140,00

5 R$ 140,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 150,00

Dica:

1) A unidade de medida do tempo deve ser sempre a mesma da unidade de

medida da taxa de juros.

2) Para se fazer os cálculos devemos usar os juros em linguagem decimal e

nunca em percentual.

5% = 5 = 0,05

100

É um regime de capitalização onde os juros só incidem sobre o capital.

10% = 10 = 0,10

100

Saldo no início do mês – no primeiro mês corresponde ao capital aplicado

nos outros meses corresponde ao saldo do mês anterior.



Pela Tabela 1 podemos perceber que os juros só incidem sobre o capital e não

sobre os juros ou o saldo do final do mês anterior; sendo assim, no final dos 5

meses foram pagos R$ 50,00 de juros ( R$ 10,00 por mês vezes os 5 meses) e

o saldo final (montante) foi de R$ 150,00 (R$ 100,00 do capital mais R$ 50,00

de juros.

Pode-se então concluir que o valor dos juros é igual ao capital multiplicado pela

taxa e multiplicado pelo numero de meses, ou seja:

E que o saldo no final do período (montante) é igual ao capital inicial mais os

juros.

Como J = C.i.t

M = C + C.i.t

M = 1.C + C.i.t

M = C . (1) + C . (i.t)

Juros mensais – No caso de juros simples os juros são aplicados sempre

sobre o capital.

Saldo no final do mês – corresponde ao saldo no início do mês mais os juros

mensais.

J = C.i.t

M = C + J

M = C . (1+ i.t)



Gráfico 1: Capitalização usando juros simples

O Gráfico 1 foi montado a partir dos dados da Tabela 1, podemos perceber um

gráfico linear, o que significa que no regime de juros simples o capital cresce

de forma linear ou em progressão aritmética.

Convenção:

Exercícios

1) Um capital de R$ 500,00 é aplicado durante 7 meses a uma taxa de juros

simples de 3% ao mês. Calcule os juros e o montante desta aplicação.

C = Capital M = Montante J = Juros i = Taxa t = Tempo



2) Calcule os juros resultantes de uma aplicação de R$ 800,00 durante 2 anos

a uma taxa de juros simples de 6% ao mês.

3) Qual o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida

a partir de uma aplicação de um principal de R$ 1.000,00, com uma taxa de 2%

ao semestre (juros simples).

4) Determinar que valor que deve ser aplicado a juros simples, a uma taxa de

10% ao ano para produzir R$ 100.000,00 em 15 meses.



5) determine qual o tempo que um capital de R$ 800,00 deve ser aplicado para

resultar em um montante de R$ 1.520,00, a uma taxa de juros simples de 9%

ao mês.

6) Qual o tempo que devo aplicar um capital para ele triplicar de valor, com

uma capitalização simples de 2% ao mês.

7) Uma pessoa aplicou em um banco o capital de R$ 1.200,00 por um ano e

resgatou R$ 1.776,00, qual a taxa da aplicação (juros simples).



8) (Técnico em contabilidade CRC 2001) uma pessoa aplica R$ 4.000,00 por

sete meses e R$ 6.000,00 por um ano à mesma taxa de juros simples. Se “n” é

o numero de meses que esta pessoa deve aplicar R$ 10.000,00 à mesma taxa

de juros anterior para que o montante obtido seja igual ao da soma das duas

aplicações iniciais, então calcule o valor de “n”.



9) (Técnico em contabilidade CRC 200) em uma aplicação financeira, recebeu-

se de juros o correspondente a 1/5 do valor aplicado, num período de quatro

meses. Sabendo-se que o regime é de capitalização simples, calcule a taxa de

juros quadrimestral desta aplicação.

10) (CREA/Assistente Administrativo/2004) Sabendo-se que 60% de um capital

foi aplicado durante três meses, a uma taxa de 12% a.m. O restante foi

aplicado a uma taxa de 15% a.m. durante 6 meses. Sendo o montante total

recebido de R$ 945,60, calcule o valor do capital aplicado (juros simples).



Taxa Efetiva

São exemplos de taxa efetiva:

3% ao mês, com capitalização mensal.

20 % ao ano, com capitalização anual.

Normalmente costuma-se dizer apenas, 3% a.m. ou 20% a.a., ou seja, a taxa

efetiva é a que se usa na calculadora, no momento de se fazer as contas.

Taxas Proporcionais

Pode-se dizer que duas taxas são proporcionais se a razão entre elas for igual

a razão entre seus períodos.

Exemplo: 24% ao semestre = 4% ao mês

24 = 6 → 6 = 6 4 1

Exercícios

1) Determine a taxa mensal proporcional a 20% ao ano.

É a taxa onde a sua unidade de medida coincide com a unidade de medida

do tempo (período de capitalização).

( i1 / i2 ) = ( n1 / n2 )



2) Determine a taxa anual proporcional a 3% ao mês.

3) Quais as taxas bimestrais e semestrais proporcionais a taxa de 5% ao

semestre?

4) João aplicou R$ 1.000,00 durante seis meses a uma taxa de 8% ao ano;

qual o valor que João irá resgatar.



Desconto Simples

A Figura 1 mostra como funciona o dinheiro no tempo, se eu tiverum capital de

R$ 100,00 (hoje – Tempo 0) e aplicar por um mês (Tempo 1) receberei um

montante de R$ 110,00, ou seja R$ 10,00 de juros. No entanto se tiver que

pagar uma duplicata que vai vencer no “mês que vem” (Tempo 1) no valor de

R$ 110,00 e quiser antecipar este pagamento em um mês, pagando hoje

(Tempo 0), irei pagar o valor de R$ 100,00, ou seja, irei obter um desconto de

R$ 10,00.

Figura 1: Dinheiro no Tempo

Para o estudo da matemática financeira iremos estudar o desconto simples de

duas maneiras:

Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora

Desconto Racional ou por dentro

Convenção:

R$ 100,00 R$ 110,00

0 1

(Capital) Valor Presente

(Montante) Valor Futuro

Tempo

Desconto

Capitalização (Juros)

Desconto, normalmente, é o que se deixa de pagar quando antecipamos

um pagamento.

D = Desconto



Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora

No regime de juros simples este desconto é feito aplicando diretamente o

desconto sobre o montante e multiplicando pelo período (tempo)

Para exemplificar imagine a seguinte situação:

João tem um boleto para pagar com vencimento para daqui a 2 meses, o valor

do boleto é de R$ 100,00, no boleto tem a seguinte informação: conceder 10%

de desconto para cada mês de antecipação. Caso João queira pagar o boleto

hoje qual seria o desconto.

Concluímos então que:

M = 100 i = 0,01 t = 2 D = M.i.t D = 100 x 0,01 x 2 D = 20

O desconto que João obteve é de R$ 20,00

Também podemos concluir que o valor que deverá ser pago (Capital = Valor

presente) é igual ao valor do título (Montante = Valor futuro) menos o desconto.

Ou seja:

C = M - D C = 100 – 20 C = 80

O valor que João irá pagar é de R$ 80,00

Desconto comercial é o desconto que é dado diretamente sobre o valor do

título (Montante = Valor futuro).

D = M.i.t

C = M - D



E se fosse perguntado qual a taxa que João teve de desconto. Podemos

analisar da seguinte forma:

Se pegarmos o valor pago e dividirmos pelo valor do título (Capital/Montante)

chegaríamos a uma relação percentual.

C 80 0,8 M 100

Se pegarmos o valor total que iriamos pagar (100% = 1) e subtrairmos o valor

que foi pago (0,8) chegaremos ao desconto (0,2 = 20%)

1- 0,8 = 0,2 = 20%

Mas os 20% foi o desconto obtido em 2 meses, então se dividirmos os 20%

(0,2) pelos 2 meses, chegaremos a taxa de desconto que é de 0,1 (10%).

i 1 -80 1 - 80 x 1 0,1 100 100 2 2

Se substituirmos os números por suas letras pode chegar a seguinte fórmula

para se calcular a taxa:

i 1 - 80 x 1 100 2

Exercícios

1) Uma loja descontou uma Nota Promissória no valor de R$ 10.000,00, com

90 dias antes do seu vencimento á uma taxa de 7% ao mês. Qual o desconto e

o valor resgatado?

i = 1 – C x 1 M t

2



2) Um título de R$ 7.500,00 foi pago por R$ 5.000,00. Calcule o prazo de

antecipação, sabendo que a taxa foi de 5% a.m.

3) Uma duplicata de R$ 5.000,00 foi resgatada por R$ 4.100,00, faltando seis

meses para o seu vencimento. Calcule a taxa de desconto anual.

4) Um título foi resgatado por R$ 500,00, 10 meses antes do vencimento,

sabendo-se que a taxa de desconto é de 5% a.m. Qual o valor do título e do

desconto.

5) Um título de R$ 850,00 teve um desconto de R$ 60,50 para ser pago 2

meses antes do vencimento, qual foi a taxa do desconto?



Desconto Racional ou Por Dentro

Imagine a seguinte situação:

Uma loja compra um produto por R$ 100,00 e vende com um lucro de 50%, ou

seja: por R$ 150,00. O dono da loja resolve pegar este produto para ele e sabe

que o preço de venda é de R$ 150,00 e que o lucro é de 50%, então ele pega o

Preço de R$ 150,00 e desconta os 50% (do lucro) e paga R$ 75,00 pelo

produto.

Esta conta está certa?

Apesar de aplicar a mesma taxa (50%) nos deparamos na seguinte situação:

R$ 75,00(Valor pago) - R$ 100,00(Preço de compra) = - R$ 25,00, ou seja, a

loja teve prejuízo.

O desconto é o mesmo, mas o valor não em um está aplicando o desconto

sobre R$ 100,00 e no outro estou aplicando sobre R$ 150,00.

Então o desconto seria igual aos juros, aplicado sobre o capital.

J = C.i.tentão

Se analisarmos o problema anterior podemos constatar que o preço de custo é

de R$ 100,00, e que o preço de venda é de R$ 150,00, ou seja, o desconto

máximo que se pode dar para não ter prejuízo é de R$ 50,00.

R$ 150,00 (preço de venda) –R$100,00 (Preço de compra) = R$ 50,00

O preço de venda neste caso equivale ao montante, o custo seria o capital e o

lucro seria o desconto. Sendo assim podemos concluir que:

No desconto racionala taxa de desconto que é dada, é sobre o capital e não

sobre o montante.

R$ 100,00 R$ 150,00 R$ 75,00

- 50% + 50%

D = C.i.t



Podemos também dizer que:

D = C.i.t e C = M - D

D = (M - D).i.t

D = M.i.t – D.i.t

D + D.i.t = M.i.t

D.(1) + D.(i.t) = M.i.t

D.(1+i.t) = M.i.t

Exercícios

1) O portador de um boleto no valor de R$ 1.500,00, referente a um

empréstimo adquirido a uma taxa de 6% ao mês, resolveu pagar este boleto 60

dias antes do vencimento. Calcule o valor do desconto e o valor pago.

2) Um lojista recebeu uma duplicata de R$ 8.000,00 um mês antes do

vencimento. Considerando a taxa de desconto racional de 3% a.m. qual foi o

valor recebido?

C = M - D

D = M.i.t (1+i.t)



3) Um título de R$ 4.000 recebe um desconto por dentro de R$ 1.142,86 à taxa

de 8% a.m. Calcule o tempo de antecipação.

4) Um título teve R$ 3.600,00 de desconto pelo pagamento antecipado de um

semestre, sabendo que foi descontado por dentro à 15% a.m. Calcule o valor

pago.

5) Um título foi pago por 1/3 de seu valor, sabendo que a taxa de desconto por

dentro é de 5% ao mês, calcule o tempo de antecipação.



3. Juros Compostos

Exemplo: Um capital de R$ 100,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de

10% ao mês, durante 5 meses.

Tabela 1: Capitalização usando juros compostos

Mês Saldo no início do Mês

Juros mensais Saldo no final do Mês

1 R$ 100,00 R$ 100,00 x 0,10 = R$ 10,00 R$ 110,00

2 R$ 110,00 R$ 110,00 x 0,10 = R$ 11,00 R$ 121,00

3 R$ 121,00 R$ 121,00 x 0,10 = R$ 12,10 R$ 133,10

4 R$ 133,10 R$ 133,10 x 0,10 = R$ 13,31 R$ 146,41

5 R$ 146,41 R$ 146,41 x 0,10 = R$ 14,64 R$ 161,05

Pela Tabela 1 podemos perceber que os juros incidem sobre o capital e

também sobre os juros ou o saldo do final do mês anterior; sendo assim, no

final dos 5 meses foram pagos R$ 61,05 de juros contra R$ 50,00 reais dos

juros simples, isto acontece porque no sistema de juros compostos os juros

incidem também sobre os juros do mês anterior.

É um regime de capitalização onde os juros incidem sobre o capital e sobre

os juros gerados pelo capital.

10% =10 = 0,10

100

Saldo no início do mês – no primeiro mês corresponde ao capital aplicado

nos outros meses corresponde ao saldo do mês anterior.

Juros mensais – No caso de juros compostos os juros são aplicados sempre

sobre o saldo do final do mês anterior, ou seja, o capital acrescido dos juros.

Saldo no final do mês – corresponde ao saldo no início do mês mais os juros

mensais.



Gráfico 2: Capitalização usando juros compostos

Se continuarmos a tabela 2 podemos construir oGráfico 2, podemos perceber

um gráfico exponencial, o que significa que no regime de juros compostos o

capital cresce de forma exponencial ou em progressão geométrica.

Convenção:

Fórmulas:

Valor Futuro Taxa

Valor Presente Tempo

VP = Valor Presente VF = Valor Futuro J = Juros i = Taxa n = Tempo

VF = VP x (1+i) n

VP = VF.

(1+i) n

n = Log (VF/VP)

Log (1+i)

i = (VP/VF)𝐧 - 1



Exercícios

1) Determine o valor futuro de um capital de R$ 3.000,00 durante dez meses a

uma taxa de 3% ao mês.

2) Uma quantia de R$ 800, aplicada a uma taxa de juros compostos de 2,5%

a.m., durante 30 meses, resulta em qual montante.

3) Determine o valor acumulado no final de 24 meses, com juros compostos de

2% ao mês, a partir de um investimento inicial de R$ 3.500,00 (Principal).



4) Determine os juros resultantes de uma aplicação de R$ 1.300,00 durante 3

meses a uma taxa de 2% ao mês.

5) João aplicou R$ 2.000,00 na caderneta de poupança por um ano e meio,

sabendo que a taxa de juros desta aplicação é de 0,5% a.m., quanto João

ganhou de juros.

6) Calcule o capital que aplicado a uma taxa de 8% ao mês, durante 15 meses,

resulta em um montante de R$ 15.860,85.

7) Uma pessoa resgatou após um ano R$ 743,17 da caderneta de poupança;

sabendo que a taxa de juros é de 0,5% a.m. Determine o valor aplicado.



8) Durante quanto tempo um capital de R$ 2.000,00 deve ser aplicado a uma

taxa de juros compostos de 4% a.m. para resultar um montante de R$

3.202,06.

9) Por quantos meses (aproximadamente) se deve aplicar um capital a uma

taxa de juros compostos de 0,06 a.m. para que este capital triplique de valor.

10) Um capital de R$ 750,00 foi aplicado por seis meses e resultou em R$

1.257,83. Qual era a taxa da aplicação.



11) R$ 1.103,61 foi resgatado de quinze meses de aplicação. Sabendo-se que

o valor inicial era R$ 400,00 calcule a taxa desta aplicação.

12) Um capital foi aplicado durante 30 meses a uma taxa de juros simples de

5% e rendeu um montante “X”. Qual deveria ser a taxa de juros compostos

desta aplicação para render o mesmo montante no mesmo período.

13) Se um certo capital for aplicado por um único período a uma determinada

taxa de juros, em qual das modalidades de juros, simples ou composta, se

obterá o maior rendimento?

http://www.matematicadidatica.com.br/JurosCompostosExercicios1.aspx#anchor_ex5





Taxas Equivalentes

Pode-se dizer que duas taxas são equivalentes se aplicadas a um mesmo

capital, durante o mesmo intervalo de tempo, resultarem em montantes iguais.

Exemplo: 24% ao semestre = 3,65% ao mês

(1+0,24)1 = ( 1+ i2 )6 → 1,24 = ( 1+ i2 )

6

√ = 1 + i2 → 1,0365 = 1+ i2

i2 = 1,0365 - 1 → i2 = 0,0365 → i2 = 3,65%

Taxa Nominal

É a taxa em que sua unidade de medida não coincide com a unidade de tempo

do período de capitalização.

São exemplos de taxa nominal:

12% ao semestre, com capitalização mensal.

24% ao ano, com capitalização bimestral.

Obs.: A taxa nominal apesar de ser bastante utilizada não representa uma taxa

efetiva, por isto não deve ser utilizada nos cálculos financeiros com juros

compostos.

Taxa Aparente

É a taxa que vigora nas operações financeiras, sem levar em consideração a

inflação do período.

Taxa Real

É a taxa que leva em consideração a inflação do período.

( 1 + i1 )n = ( 1 + i2 )

n



Taxa Bruta

É a taxa obtida em uma aplicação financeira onde são considerados o valor da

aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o imposto de renda

descontado.

Taxa Líquida

É a taxa obtida em uma aplicação financeira onde são considerados o valor da

aplicação e o valor do resgate líquido, levando em conta o imposto de renda

descontado.

Exercícios

1) Determine a taxa anual equivalente a 4% a.m.

2) Determine a taxa mensal equivalente a 12% a.a.



3) Uma pessoa recebeu em um ano dois aumentos salariais consecutivos,

sabendo que o primeiro foi de 5% e o segundo de 6%, sabendo-se que a

inflação no período foi de 10% determine:

a) A taxa aparente de aumento que esta pessoa teve.

b) A taxa real de aumento que esta pessoa teve.

4) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 durante um ano e resgatou R$ 1.5000,00,

sabendo-se que o imposto de renda é de 27% calcule:

a) A taxa bruta.

b) a taxa líquida.



Exercícios Complementares

1) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?

2) Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado?

3) Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante?

4) Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?

5) R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros composto em um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa mensal?

6) (CONCURSO BANCO DO BRASIL) Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta.

Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão:

7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?

8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação?

9) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses.

10) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% a.m., sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 19752.

11) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% a.m.?

12) Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774 de juros. Determine a taxa de aplicação.

Respostas:

1) J= R$ 3.362,96

2) C= R$ 20.801,91

3) i = 2,25% a.m.

4) n = 41,18 meses

5) i = 2,79698 a.m.

6) R$ 101,00

7) 44,22 a.t.

8) 7,18 a.m.

9) R$ 12.100,72

10) R$ 15.000,00

11) 13 meses

12) 2,5 a.m.










Série de Pagamentos

Na maioria das vezes quando fazemos um financiamento, o pagamento não

ocorre de uma única vez no final do período; ele ocorre gradativamente (em

parcelas) durante o período financiado. Isto também acontece quando

tentamos juntar dinheiro para comprar algo, o dinheiro não surge de uma única

vez, fazemos depósitos várias vezes no decorrer do período.

Pagamentos Iguais Postecipados

Chamamos de pagamentos quando fazemos qualquer financiamento ou

empréstimo e temos que pagar as parcelas (prestações).

O termo postecipado significa que esta parcela será paga no final do período.

Ex.:Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais

Data da compra da moto 01 de Janeiro

Pagamento da 1ª parcela 01 de Fevereiro

Pagamento da 2ª parcela 01 de Março

Pagamento da 3ª parcela 01 de Abril

De forma gráfica podemos demonstrar da seguinte forma:

Jan Fev Mar Abr

Fórmula:

PMT = Prestação

VP

PMT

PMT = VP .

1 - (1+i) -n

i



Exercício Resolvido

José financiou uma moto no valor de R$ 2.000,00 em 5 prestações mensais

iguais á uma taxa de 2% a.m. Calcule o valor da prestação?

Exercícios

1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações. Determine o valor de cada prestação?

PMT = VP .

1 - (1+i) -n

i

PMT = 2.000,00 .

1 - (1+0,02) -5

0,02

PMT = 2.000,00 .

1 - (1,02) -5

0,02

PMT = 2.000,00 .

1 - 0,905731

0,02

PMT = 2.000,00 .

0,094269

0,02

PMT = 2.000,00 .

4,71345 PMT = 424,32



2) Uma empresa fez um financiamento para compra de maquinário junto ao

BNB. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 100.000,00 a taxa

contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos. Calcule o

valor da prestação mensal.

3) Uma pessoa compra um veículo de R$ 38.000 financiado à uma taxa de 4%

ao mês para pagar de 12 vezes. Calcule o valor das prestações?

4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou durante seis meses parcelas de

R$ 922,99, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês. Calcule o valor da moto.

5) Determine o valor que um pessoa deverá pegar emprestada para pagar

prestações mensais de R$ 298,94, durante três anos com uma taxa de 1,7%

a.m.



Pagamentos Iguais Antecipados

O termo antecipado significa que esta parcela será paga no início do período,

ou seja, a primeira parcela será paga no ato do financiamento.

Ex.:Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais


Pagamento da 1ª parcela 01 de Janeiro

Pagamento da 2ª parcela 01 de Fevereiro

Pagamento da 3ª parcela 01 de Março


Jan Fev Mar

Fórmula:

VP

PMT

PMT = VP .(1+i) -1.

1 - (1+i) -n

i





iguais, sendo a primeira prestação paga no ato do financiamento, a taxa

cobrada foi de 2% a.m. Calcule o valor da prestação?

Exercícios

1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações, sendo a primeira no ato da compra. Determine o valor de cada prestação?

PMT = VP . (1+i) -1.

1 - (1+i) -n

i

PMT = 2.000 x (1+0,02) -1.

1 - (1+0,02) -5

0,02

PMT = 2.000,00 x (1,02) -1.

1 - (1,02) -5

0,02

PMT = 2.000 x 0,980392.

1 - 0,905731

0,02

PMT = 1.960,78.

0,094269

0,02

PMT = 1.970,78 .

4,71345 PMT = 416,00





contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos, sendo a

primeira prestação paga no momento de assinatura do contrato. Calcule o valor

da prestação mensal.


ao mês para pagar de 12 vezes, sendo a primeira parcela á vista. Calcule o

valor das prestações?

4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou durante seis meses parcelas de

R$ 896,10, sendo a primeira á vista, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês.

Calcule o valor da moto.



a.m. (pagamento antecipado).



Pagamento Diferido

O termo diferido significa que a primeira parcela só será paga após um período

(carência).

Ex.: Comprei uma moto e financiei em 3 parcelas iguais, com a primeira

prestação para 90 dias.


Pagamento da 1ª parcela 01 de Abril

Pagamento da 2ª parcela 01 de Maio

Pagamento da 3ª parcela 01 de Junho


Jan Fev Mar Abr Mai Jun

Fórmula:

VP

PMT

PMT =VP . (1+i) k-1.

1 - (1+i) -n

i

k

PMT = Prestação





iguais, sendo a primeira prestação paga após 3 meses, a taxa cobrada foi de

2% a.m. Calcule o valor da prestação?

Exercícios

1) Uma TV custa R$ 800,00 á vista sabendo-se que a loja cobra uma taxa de juros de 1,5% a.m. caso queira pagar em 5 prestações, sendo a primeira com 120 dias. Determine o valor de cada prestação?

PMT =VP . (1+i) k-1.

1 - (1+i) -n

i

PMT =2.000 x (1+0,02) 2.

1 - (1+0,02) -5

0,02

PMT =2.000,00 x (1,02) 2.

1 - (1,02) -5

0,02

PMT =2.000 x 1,0404.

1 - 0,905731

0,02

PMT = 2.080,80

0,094269

0,02

PMT = 2.080,80.

4,71345

PMT =441,46





contratada foi de 0,8% a.m. e o período de pagamento foi de 3 anos, sendo 1

ano de carência. Calcule o valor da prestação mensal.


ao mês para pagar de 12 vezes, sendo a primeira parcela com 6 meses.

Calcule o valor das prestações?

4) Uma pessoa comprou uma moto e pagou em seis parcelas de R$ 900,00,

sendo a primeira com 90 dias, sabendo que a taxa é de 0,03 ao mês. Calcule o

valor da moto.



a.m. (carência de 6 meses).



Série de Depósitos

É quando se poupa dinheiro por um período pensando em um gasto futuro.

Renda Postecipada

Chamamos de renda postecipada quando fazemos depósitos durante um

período e no ato do último depósito faço o saque.

Ex.: No dia 01/01 planejei fazer uma viajem dia 01/04 para isto pretendo fazer

uma economia a partir do próximo mês para que no dia 01/04 possa retirar o

valor total.

Data da programação 01 de Janeiro

1ª Economia 01 de Fevereiro

2ª Economia 01 de Março

3ª Economia 01 de Abril

Retirada 01 de Abril


Jan Fev Mar Abr

Fórmula:

VF

PMT

VF = PMT x (1 + i) n - 1

i



Renda Antecipada

Chamamos de renda postecipada quando fazemos depósitos durante um

período sendo o primeiro depósito imediato e a retirada acontece um período

após o ultimo depósito.

Ex.: No dia 01/01 planejei fazer uma viajem dia 01/04 para isto pretendo fazer

uma economia a partir do próximo mês para que no dia 01/04 possa retirar o

valor total.

Data da programação 01 de Janeiro

1ª Economia 01 de Janeiro

2ª Economia 01 de Fevereiro

3ª Economia 01 de Março

Retirada 01 de Abril


Jan Fev Mar Abr

Fórmula:

VF

PMT

VF = PMT x ((1 + i) n - 1) x (1 + i)

i



Exercícios

1) João e Maria pretendem juntar dinheiro para comprar um apartamento, para

isto abrem uma caderneta de poupança e fazem depósitos de R$ 1.000,00 todo

mês, sabendo-se que a taxa de juros da caderneta de poupança é de 0,7%

a.m., e que eles fizeram 50 depósitos.

a) Calcule o valor arrecadado considerando a renda postecipada?

b) Calcule o valor arrecadado considerando a renda antecipada?

2) Desejando viajar no final do ano Beatriz resolve depositar R$ 400,00 no final

de cada mês durante 6 meses, tendo uma taxa é de 0,03 a.m., quanto beatriz

deverá juntar?

3) Desejando viajar no final do ano Beatriz resolve depositar R$ 400,00 no

inicio de cada mês durante 6 meses, tendo uma taxa é de 0,03 a.m., quanto

beatriz deverá juntar?



4) Desejando comprar um carro quanto Pedro deve depositar no final de cada

mês para juntar R$ 20.000,00 no período de 2 anos á uma taxa de 1,5% a.m.?

5) Desejando comprar um carro quanto Pedro deve depositar no inicio de cada

mês para juntar R$ 20.000,00 no período de 2 anos á uma taxa de 1,5% a.m.?

6) Pensando em comprar um violão novo Artur depositou dia 01/01 R$ 200,00;

dia 01/02 depositou R$ 180,00 e dia 01/03 R$ 140,00, sabendo que a taxa de

juros que o banco pagou para Artur foi de 2% a.m. Quanto ele resgatou no

banco dia 01/05?



4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos

periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que

cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento

dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os

juros são sempre calculados sobre o saldo devedor

Sistema de Pagamento Único

O devedor paga o montante = capital + juros compostos da dívida em um único

pagamento ao final de n períodos. O montante pode ser calculado pela fórmula:

Uso comum: letras de câmbio, títulos descontados em bancos, certificados a

prazo fixo com renda final.

Exemplo: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 50.000,00 em 3 meses a

uma taxa de 10% a.m.


Mês Juros Amort. Capital

Prestação Sd. Devedor

0 Financiamento 50.000,00

1 5.000,00 0,00 0,00 55.000,00

2 5.500,00 0,00 0,00 60.500,00

3 6.050,00 50.000,00 66.550,00 0,00

VF = VP x (1+i) n



Exercício: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 15.000,00 em 5 meses a

uma taxa de 3%. Monte uma tabela para o sistema de pagamento único.




Sistema de Pagamentos Variáveis

O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua

condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os

juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período.

Uso comum: Cartões de crédito


uma taxa de 10% a.m. No primeiro mês ela pode pagar R$ 15.000,00, no

segundo mês ela paga R$ 20.000,00 e o restante no terceiro mês.

Sistema de Pagamentos Variáveis




1 5.000,00 10.000,00 15.000,00 40.000,00

2 4.000,00 16.000,00 20.000,00 24.000,00

3 2.400,00 24.000,00 26.400,00 0,00



Sistema Americano

O devedor paga o principal em um único pagamento no final do período e

realiza o pagamento dos juros do saldo devedor do período no final de cada

período.



Sistema Americano




1 5.000,00 0,00 5.000,00 50.000,00

2 5.000,00 0,00 5.000,00 50.000,00

3 5.000,00 50.000,00 55.000,00 0,00

Exercício: Uma pessoa fez um financiamento de R$ 15.000,00 em 5 meses a

uma taxa de 3%. Monte uma tabela para o sistema Americano.

Sistema Americano



Sistema de Amortização Constante (SAC)

O devedor paga o Principal em n pagamentos sendo que as amortizações são

sempre constantes e iguais.

Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação





Sistema de Amortização Constante (SAC)




1 5.000,00 16.666,67 21.666,67 33.333,33

2 3.333,33 16.666,67 20.000,00 16.666,67

3 1.666,67 16.666,67 18.333,33 0,00

5. HP 12-C

6. EXCELL (WINDOWS)

7. CALC (LINUX)

REFERÊNCIAS

Documents

MATEMÁTICA FINANCEIRA - Prof. Roberto César · PDF fileMatemática Financeira Professor: Roberto César Faria e Silva Página 2 1. Conceitos Antes de adentrarmos aos estudos da matemática