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Matemática Frações Algébricas

Matemática Frações Algébricas. Frações Algébricas, equações fracionarias e literais Observe e resolva as seguintes situações: Tony distribuiu 100 chocolates

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MatemáticaFrações Algébricas

Frações Algébricas, equações fracionarias e literais

Observe e resolva as seguintes situações:Tony distribuiu 100 chocolates entre x pessoas, em quantidades iguais que quantidades de chocolate cada pessoa recebeu?

Resposta:

Sonia colocou diversas caixas de sorvete com dimensões x, y e z em um congelador com V metro cúbicos de volume. Qual é o numero máximo de caixas que ela pode colocar no congelador

Resposta:

Frações Algébricas

Exemplos:

O quociente de dois polinômios escritos na forma fracionaria, com uma ou mais variáveis ou incógnitas no denominador (diferente de zero) chama-se fração algébrica

Lembre-se de que o denominador de uma fração algébrica NÃO PODE SER IGUAL A ZERO, pois não existe divisão por zero.

A fração algébrica é valida para qualquer numero real, exceto o 3, que tornaria o denominador da fração igual a zero.Assim: U = {x IR x 3}

A fração algébrica é valida para qualquer numero real, exceto o 2 e – 2, que tornaria o denominador da fração igual a zero. Assim: U = {x IR x - 2 e x 2 }

Frações Algébricas EquivalentesObserve que, multiplicando ou dividindo os termos de uma fração algébrica por um polinômio não-nulo, obtemos uma fração algébrica equivalente

Exemplos:

3 𝑥𝑥+𝑦

3 𝑥𝑘𝑥𝑘+ 𝑦𝑘

Multiplica-se

Por KOnde K é zero

12𝑥 24 𝑎+8𝑏

Divide-se

Por 2

6𝑥 22𝑎+4𝑏

Frações Equivalentes

Simplificação de fração algébricaPara simplificar uma fração algébrica devemos dividir os seus termos por um divisor comum, diferente de zero, a fim de obter um fração equivalente mais simples. Como exemplo, simplificaremos as seguintes expressões algébricas

12𝑎𝑏2𝑐18𝑎𝑏5

Solução: fatoramos os termos da fração e, em seguida cancelamos os termos iguais

¿2 .2.3 .𝑎 .𝑏 .𝑏 .𝑐

2 .3 .3 .𝑎 .𝑏 .𝑏 .𝑏 .𝑏.𝑏 FORMA FATORADA//

////

////

2𝑐3𝑏3

Ficamos com: Forma simplificada

SoluçãoFatoramos os termos da fração e. em seguida, cancelamos os termos iguais:

𝑥 2+2 𝑥𝑦+𝑦 2𝑥2+𝑦 2

𝑥 2+2 𝑥𝑦+𝑦 2𝑥 2− 𝑦 2

(𝑥+𝑦 )2(𝑥+𝑦 ) . (𝑥− 𝑦 )

(𝑥+𝑦 ) . (𝑥+ 𝑦)(𝑥+𝑦 ) . (𝑥− 𝑦 )//

(𝑥+𝑦 )(𝑥− 𝑦 )

=

==

Fração Algébrica Simplificada

Mais um exemplo:Fatoramos os termos da fração e. em seguida, cancelamos os termos iguais:

4 𝑥−4𝑎6𝑎2−6𝑥 2

4 𝑥−4𝑎6𝑎2−6𝑥 2

2 .2 (𝑥−𝑎 )2 .3 . (𝑥2− 𝑦2 )

−2 .2 (𝑥−𝑎)2 .3 (𝑎+𝑥 ) . (𝑎− 𝑥 )

//−2

3 . (𝑎−𝑥 )=

==

Fração Algébrica Simplificada

//

Observação:Só podemos simplificar os termos de uma fração após transforma-los em produtos:

(𝑥+𝑦 )+(𝑥+𝑦 )(𝑥+𝑦 )−(𝑥− 𝑦 )

Nesse caso não há simplificação

(𝑥+ 𝑦 ) .(𝑥+ 𝑦 )(𝑥+𝑦 ) . (𝑥−𝑦 )

Nesse caso há simplificação

MultiplicaçãoSoma e Subtração

Cuidado:Vale a pena uma atenção especial antes de

simplificar.

2𝑎𝑎+𝑏

2𝑎𝑎+𝑏 //

Essa simplificação é INCORRETA, pois “a” não é um fator comum a todos os termos

O MDC e MMC de monômios e polinômios

Vale a pena...

...lembrar!!

MDC = Máximo Divisor ComumO MDC de dois números naturais é o produto dos fatores comuns, cada um com o seu menor expoenteExemplo:Determine o MDC de 168 e 180

Precisamos fatorar os dois números

168 284 242 221 3

7 7 1

Fatorando, temos:

168 = 23 . 3 . 7

180 290 245 315 3

5 5 1

180 = 22 . 32 . 5

Pegando os fatores comuns de menor expoente temos:

22 . 3Portanto o MDC de 168 e

180 é:

2 . 2 . 3 = 12

MMC = Mínimo Múltiplo ComumO MMC de dois números naturais é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um com o seu MAIOR expoenteExemplo:Determine o MMC de 168 e 180 Precisamos fatorar

os dois números

168 284 242 221 3

7 7 1

Fatorando, temos:

168 = 23 . 3 . 7

180 290 245 315 3

5 5 1

180 = 22 . 32 . 5

Pegando os fatores comuns e não-comuns de maior expoente temos:

23 . 32 + 5 . 7Portanto o MMC de 168

e 180 é:

2520

O MDC e o MMC dos monômiosO MDC e o MMC de dois ou mais monômios são obtidos de forma análoga ao utilizado para números inteiros

O MDC é o produto dos fatores comuns (numéricos e literais), cada um com o seu menor expoente

O MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns (numéricos e literais), cada um com o seu maior expoente

Exemplo:

Determine o MDC e o MMC dos monômios 80a3b2c4 e 128b5c3d

Exemplo 1:Determine o MDC e o MMC dos monômios 80a3b2c4 e 128b5c3d

Fatorando os monômios temos:80a3b2c4 = 24 . 5 . a3 b2 c4 128b5c3d = 27 . b5 c3 d

Depois de fatorar temos:

MDC (80a3b2c4 ; 128b5c3d) = 24 . b2 c3

MMC (80a3b2c4 ; 128b5c3d) = 27 . 5 . a3 . b5 c4 . d

Fatores comuns de menor expoente

Fatores comuns e não-comuns de maior expoente

= 16 b2c3

= 640 a3b5c4d

O MDC e o MMC dos PolinômiosNo caso dos polinômios, primeiro fatoramos, para depois aplicar regras semelhantes as utilizadas no caso dos monômios

Exemplo:

Determine o MDC e o MMC dos polinômios;x2 – 9 x2 + x – 12 x2 – 6x + 9

Fatorando os polinômios temos:

x2 – 9 (x + 3) . (x – 3) = A diferença de dois quadradosLEMBRAM NÉ?

x2 + x – 12 = (x + 4) . (x – 3)

x2 - 6x + 9 = (x – 3)2 ou (x - 3) . (x - 3)

O produto de Stevin, Lembram também!!!

O quadrado da diferença de dois termos

O MDC e o MMC dos PolinômiosDetermine o MDC e o MMC dos polinômios;

x2 – 9 x2 + x – 12 x2 – 6x + 9

Depois de Fatorado temos:

x2 – 9 (x + 3) . (x – 3) = x2 + x – 12 = (x + 4) . (x – 3) x2 - 6x + 9 = (x – 3)2 ou (x - 3) . (x - 3)

MDC: (x – 3)

MMC: (x – 3) . (x + 3) . (x + 4)

(x – 3)2 . (x + 3) . (x + 4)(2x - 6x – 9) . (x2 + 7x + 12)

MDC:

MMC:Produto de Stevin