Matemática FundamentalConjuntos Numéricos

Giovanni Spavier

Conjunto dos Números Naturais

• São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}

• Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero:

• N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}

Leitura e Escrita de Números

•O nº pode ser lido indicando a classe:

vinte e cinco mil trezentos e vinte e sete unidades.

Ordem = É a posição que cada nº ocupa na leitura.

O nº pode ser lido indicando a ordem de cada algarismo: Duas dezenas de milhar, cinco milhares, três centenas, duas dezenas e sete unidades.

Classe = grupo de 3 algarismos a contar da direita

Conjunto dos Números Inteiros• São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos

(negativos).• São representados pela letra Z: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}• O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos. Eles são:

Inteiros não negativosSão todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …}

Inteiros não positivosSão todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} Inteiros não negativos e não-nulosÉ o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}Z*+ = N*

Inteiros não positivos e não nulosSão todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.

Conjunto dos Números Racionais

• Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, também conhecidas como dízimas periódicas.

• Os racionais são representados pela letra Q.

Conjunto dos Números Racionais• Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

• Assim, como exemplo podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 ,... • Números decimais exatos são racionais

– 0,1 = 1/10 – 2,3 = 23/10 ...

• Números decimais periódicos são racionais. – 0,1111... = 1/9 – 0,3232 ...= 32/99– 2,3333 ...= 21/9– 0,2111 ...= 19/90

• Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

3,14159265...Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências)

2,252 Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula.

2,252525...

Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

= {Todos os racionais sem o zero}

= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}

= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}

= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}

= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}

Conjunto dos Números Racionais

Conjunto dos Números Irracionais

• É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número ∏ (Pi) (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 ….

• Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o Pi.Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)

• São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

Conjunto dos Números Reais

• É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).

• Representado pela letra R.

Frações

Traço da fração indica operação divisão.

Denominador (divisor), representa o número de partes iguais em que se supõe dividida a Unidade.

Numerador (dividendo),representa o número de partes que estão a ser consideradas.

Exemplo: leitura de frações

Quatro sextos

dois sextos Um quarto

Dois oitavos

Quatro dezesseis avos

Números inteiros e fracionários

Número racional inteiro, porque onumerador é múltiplo do denominador.

Número racional fracionário, porque o nu- merador não é múltiplo do denominador.

O número fracionário cinco meios pode ser representado por:

Um numeral decimalUma fração

ou 5:2 =2,5

Frações próprias são as fraçõesonde os denominadores sãomaiores que os numeradores.

LUNATMAT

Frações Próprias , Impróprias e Decimais.

Frações impróprias são fraçõesonde os numeradores são maioresque os denominadores.

Denominam-se frações decima- is, todas as frações que apresen-tam potências de 10 no denomi-nador.

Frações decimais Números decimais

Exemplos:

O que são números racionais?

• Número racional é todo número que pode ser escrito na forma de uma fração. Exemplos:

Como fazer a transformação?

• Frações em decimais: basta dividir o numerador pelo denominador.

• OBS.: se o resultado for uma dízima periódica (divisão que não acaba nunca = 0,3333...) é melhor trabalhar com a fração. Exemplos:

Como fazer a transformação(cont.)• Decimais em porcentagem: basta multiplicar

por 100. Exemplos:

Dica: para multiplicar por números múltiplos de 10 (100, 1000, etc), basta deslocar a virgula para a direita (número de casas igual a quantidade de zeros do múltiplo).

Como fazer a transformação(cont.)

• Porcentagem em Frações: basta escrever a porcentagem na forma de fração e depois simplificar a fração. Exemplos:

Simplificar por 25

Simplificar por 20

Atividade:

Fração Decimal Porcentagem

0,4

35 %

0,6

45 %

0,8

Copie e complete o quadro abaixo, fazendo as respectivas transformações

51

82

43

0,2 20 %

40 %2 / 5

7 / 20 0,35

0,25 25 %

60 %3 / 5

9 / 20 0,45

0,75 75 %

80 %4 /5

Percentagens

Num inquérito de rua foram interrogadas 100 pessoas sobre um determinado assunto.

Percentagens

Cada uma podia responder SIM, NÃO ou SEM OPINIÃO.

Quantas pessoas responderam NÃO?Qual a percentagem das que responderam sim?Qual a percentagem das que responderam SEM OPINIÃO?

Percentagem como uma parte de um todo.

Formas diferentes de escrever uma percentagem

Uma percentagem pode ser apresentada sob a forma de razão ou sob a forma de numeral decimal.

Por exemplo:

Na resolução de um problema de percentagens temos sempre, pelo menos, três valores.

Resolução de problemas calculando percentagens

As percentagens são muitas vezes utilizadas para representarem uma parte de um todo.

= 71,43%

Outra forma de utilização da percentagem éindicar uma variação de uma grandeza.

Por exemplo:Num bairro havia, em 1974 , 1012 eleitores, e, em 2005 , 1998 eleitores.A variação do número de eleitores pode ser indicada sob a forma de percentagem.

2.º variação relativa:

9743,01012986

1.º variação absoluta:

1998 - 1012 = 986

Ou seja, a percentagem de aumento de eleitores foi de aproximadamente 97,43% .

Uma forma de procederconsiste em calcularsucessivamente:

2.º variação relativa:

9743,01012986

1.º variação absoluta: 1998 - 1012 = 986

Ou seja, a percentagem de aumento de eleitores foi de aproximadamente 97,43% .

As percentagens para estabelecer comparação

Para comparar percentagens calcula-se a diferença relativa.

referência de valor

referência de valor - comparação de valor relativa Diferença

As percentagens para estabelecer comparação

R$ 80,00

6,045

4580

R$ 45,00

4375,080

8045

+ 60%

- 43,75%

Em termos relativos diz-se que:• As botas custam mais 60% do que os sapatos.• Os sapatos custam menos 43,75% do que as botas.

referência de valor

referência de valor - comparação de valor relativa Diferença

O ESSENCIAL

Escrever uma percentagem

Uma percentagem pode ser escrita sob a forma de numeral decimal ou sob a forma de fração.

O ESSENCIAL

Aplicar uma percentagem a um número

5% de 10 kg = 0,05 x 10 kg = 0,5 kg

O ESSENCIAL

Determinar o valor inicial ou de referência conhecendo o valor final e a percentagem

Com o aumento de 5,5% que obteve no seu ordenado, Ana ganha agora 1213,25 reais. Quanto ganhava antes do aumento?

Antes do aumento a Ana ganhava x .

Ana ganhava 1150 reais.

O ESSENCIAL

Calcular uma percentagem conhecendo os valores inicial e final

Antônio ganhava 1100 reais e agora ganha 1200. Quanto foi a percentagem de aumento?

1200 - 1100 = 100

d.) c. 4( 0909,01100100

O ordenado do Antônio sofreu um aumento de, aproximadamente, 9,09% .

As percentagens para estabelecer comparação

Para comparar percentagens calcula-se a diferença relativa.

referência de valor

referência de valor - comparação de valor relativa Diferença

O ESSENCIAL

Usar as percentagens para estabelecer comparações

R$ 1000,00R$ 999,00 R$ 5,00R$ 4,00

25,04

1

4

45

Em termos relativos pode afirmar-se que a bola custamais 25% que a boneca.

d.) c. (40010,0999

9991000

Em termos relativos o colar custa mais 0,1% do que os brincos.

Repare que é muito diferente aumentar 1 real a R$ 999,00 do que aumentar 1 real a R$ 4,00 .