MATEMÁTICA - GOPEM · Partes da esfera Fuso esférico R a ... figura. O volume resultante é: ` Solução: ... Uma esfera maciça de raio R foi dividida em 12 partes iguais como

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Disciplinas Autores

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I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71




1EM

_V_M

AT

_030

CilindroChama-se de cilindro a reunião de todos os seg-

mentos paralelos e congruentes a um segmento de reta, que tem uma das extremidades contidas num círculo pertencente a um plano, de forma que todos os segmentos estejam num mesmo semiespaço. (Assim, as bases serão círculos paralelos).

A

B

( )α

A

B

( )α

Elementos

B’

B

C’A’

A

CO

O’

h

círculos de centros O e O’ – bases

'AA – geratriz

'OO – eixo

BB’CC’ – seção meridiana

h – altura

Cilindro circular retoÉ todo cilindro formado pela rotação completa

de um retângulo em torno de um eixo que contém um dos lados.

RO

O’

g h h2 Rπ

R

R

g = h

Fórmulas

Área lateral (Sl)

Sl = 2πRh

Área total (ST)

ST = 2πR(R + h)

Volume (V)

V = πR2 . h

Sólidos de revolução


2 EM

_V_M

AT

_030

Caso particular

Cilindro equilátero

É o cilindro reto cuja altura é igual ao diâmetro da base, assim a seção meridiana é um quadrado.

2Rh

h = 2R

ConeDada uma circunferência contida em um plano,

se de um ponto V fora do plano traçarmos segmen-tos que ligam V a pontos da circunferência, o sólido formado será um cone.

( )α

V

( )α

ElementosV

ABO

h

círculo de centro O – base

VA – geratriz (g), se o cone for reto

VO – eixo

VAB – seção meridiana

h – altura

OA – raio da base

Cone circular retoÉ todo cone formado pela rotação completa de

um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um dos seus catetos.

h

R

g g

Planificação

g

R

h g

R

g2 = h2 + R2

Fórmulas

Área lateral (Sl)

Sl = R . g


3EM

_V_M

AT

_030

Área total (ST)

ST = R(R + g)

Volume (V)

3hR

V2 .π

=

R R R R

h h h h= + +

Cone equiláteroÉ todo cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro

da base; assim, a seção meridiana é um triângulo equilátero.

g

R

g = 2R

A planificação da superfície lateral é um semi-círculo.

EsferaA esfera é o sólido gerado pela rotação completa

de um círculo em torno do seu diâmetro.

R

Definição do volume da esfera

d

α

s

dd QP

rs

β

O

sd

esferaanticlépsidra

S

P Q

SPQ é isósceles:

SP = d PQ = d

Área da seção na esfera (círculo)

s2 = (r2 – d2)

Áreas da seção na anticlépsidra (coroa circular)

r2 – d2 = (r2 – d2)

Áreas iguais Volumes iguais

(Princípios de Cavalieri)

Então:

Vesfera = Vanticlépsidra = Vcilindro – 2Vcone =

π−π3

r.r2r2.r2

2

Vesfera = 4 r3 3

Dedução de área da esfera

r

r + xx

Ax


4 EM

_V_M

AT

_030

xV

Ax.AV =→=

33 r34

)xr(34

V π−+π=

33 r)xr(34

V −+π=

322 xrx3xr334

V ++π=

22 xrx3xr334

xV ++π=

Para x = 0

222 r400.r3r334

A π=++π=

Fórmulas

Área da esfera

S = 4πR2

Volume da esfera

3R4V

3π=

Partes da esfera

Fuso esférico

R

a

Área do fuso

2R4.360°

SF πα= α em graus

Cunha esférica

R

a

Volume da cunha

a p=

°

34 RV .

360 3

( em graus)

Seção de uma esfera

r

dR

R = raio da esfera

r = raio da seção

d = distância do centro à seçãor

dR R2 = d2 + r2

Calota esférica

h

R

O plano divide a esfera em dois segmentos esféricos e a superfície esférica em duas calotas esféricas.

Área da calota

S = 2 R . h


5EM

_V_M

AT

_030

Segmento esférico

Volume do segmento

)hR3(h.31

V 2 –π=

Teorema de GuldinA área da superfície gerada pela rotação com-

pleta de uma linha de comprimento l em torno de um eixo é dada por:

eixo

xcm

l

S = 2π . l . xcm

onde xcm é a distância do centro de massa da linha ao eixo.

O volume do sólido gerado pela rotação com-pleta de uma figura plana (superfície) de área S em torno de um eixo é dada por:

eixo

xcm

S

V = 2π . S . xcm

onde xcm é a distância do centro geométrico (ou de massa) da superfície ao eixo de rotação.

Um cilindro reto com diâmetro da base igual a 6cm é 1. seccionado por um plano oblíquo a ela, que determina, no cilindro, alturas entre 2cm e 8cm, como indicado na figura. O volume resultante é:

Solução: `

2cm 2cm

8cm

6cm

6cm

8cm 8cm

2cm

2VV cil

F ⇒ VF =π . 3 10

2

2 .

VF = 45πcm3

Pedro e João pretendem descobrir qual o copo cilíndrico 2. que possui mais volume: o copo 1 com 3cm de raio e 6cm de altura ou o copo 2 com 6cm de raio e 3cm de altura. Qual o copo que eles acharam com o maior volume? Justifique.

Solução: `

Copo 1: V = π . 32. 6 = 54πcm3

Copo 2: V = π . 62. 3 = 108πcm3

Logo, o copo 2 possui o maior volume.

Calcule o volume do sólido formado pela rotação de 3. um triângulo de catetos 15cm e 20cm em torno da hipotenusa.

Solução: `

15

20

x

y

y2 = 152 + 202 y = 25

25 . x = 15 . 20 x = 12


6 EM

_V_M

AT

_030

h

h

1

2

Vx h x h

Vx

h h

Vx

y

F F

F

= + ⇒ = +

=

π π π

π

. . . . .( )

..

21

22

2

1 2

2

3 3 3

3⇒⇒ =

=

V

V cm

F

F

π

π

..

123

25

1 200

2

3

Rodrigo foi à feira e observou que o caldo-de-cana esta-4. va sendo vendido em copos cilíndricos com raio da base r e altura h por R$1,00, e em copos cônicos com raio da base r e altura h por R$0,50. Qual tipo de copo é mais vantajoso para Rodrigo tomar o caldo? Justifique.

Solução: `

Copo cilíndrico: = π 2V r . h

Copo cônico: π=

2r . hV

3Copo cilíndrico = 3 copos cônicos; assim é mais vantajoso tomar o caldo em um copo cilíndrico.

Uma esfera maciça de raio R foi dividida em 12 partes 5. iguais como na figura. Calcule a área total de uma dessas partes.

R

R

Solução: `

A área total será a área do fuso mais a área lateral (dois semicírculos).

3R

12R4

12SS

22esfera

fusoπ=π==

22

lateral R2R.2S π=π=

23

lateralfusototal R3RSSS π+π=+=

3R4S

2

totalπ=

Calcule a área da menor calota formada por um plano 6. que secciona uma esfera distando 5cm do centro e formando uma região de área igual a 144 cm2.

Solução: `

5

h

R

O

r

r2 = 144

r2 = 144

r = 12cm

R2 = 52 + r2

R2 = 25 + 122

169R2 =R = 13cm

h + 5 = R

h + 5 = 13

h = 8

S = 2 R . h

S = 2 . 13 . 8

S = 208 cm2

João cortou uma laranja de formato esférico e com 10cm 7. de diâmetro, formando uma região circular com 16 cm2. Qual a distância dessa região ao centro da laranja?

Solução: `

2R = 10

R = 5

r2 = 16

r = 4

5x

4

O

52 = 42 + x2

x = 3cm


7EM

_V_M

AT

_030

(Unificado) Um recipiente com a forma de um cilindro 1.

reto, cujo diâmetro da base mede 40cm e altura 100π cm,

armazena um certo líquido que ocupa 40% de sua ca-pacidade. O volume do líquido contido nesse recipiente é, em litros, aproximadamente igual a:

16a)

18b)

20c)

30d)

40e)

(Unirio) Considere um cilindro equilátero de raio R. Os 2. pontos A e B são pontos da secção meridiana do cilindro, sendo A o ponto médio da geratriz.

B

A

Se amarrarmos um barbante esticado do ponto A ao ponto B, sua medida deverá ser:

R 5a)

R 1 2+ πb)

R 1 3 2+ πc)

R 4 2+ πd)

2 2Re)

(Rural) Um caminhão pipa carrega 9,42 mil litros d’água. 3. Para encher uma cisterna cilíndrica com 2 metros de diâmetro e 3 metros de altura são necessários, no mínimo:

10 caminhões.a)

100 caminhões.b)

1 caminhão.c)

2 caminhões.d)

4 caminhões.e)

Aumentando-se em 6 unidades o raio de um cilindro, 4. o seu volume aumenta Y unidades. Se tivéssemos aumentado em 6 unidades a altura do cilindro inicial, o seu volume teria aumentado igualmente Y unidades. Se a altura original é 2, o raio original é:

2a)

4b)

6c)

6πd)

8e)

A área total do prisma triangular regular inscrito num 5. cilindro reto de 10cm de altura e de 25 2πcm de base é:

375

2a) cm2

375 3

2b) cm2

300 3c) cm2

375 3d) cm2

675 3e) cm2

A área lateral de um cilindro de revolução é metade da 6. área da base.

Fr

Se o perímetro de sua secção meridiana é 18m, o volume vale:

8a) πm3

10b) πm3

12c) πm3

16d) πm3

20e) πm3


8 EM

_V_M

AT

_030

Um cilindro reto, com diâmetro de base igual a 6cm, é seccio-7. nado por um plano oblíquo a ela, que determina, no cilindro, alturas entre 2cm e 8cm, como indicado na figura.

2cm

6cm

8cm

O volume resultante, em cm3, é:

7 3πa)

30πb)

8 3πc)

45πd)

10 3πe)

(Mackenzie) A razão entre a área total e a área lateral 8. de um cilindro equilátero é:

1

2a)

1b) 3

2c)

2d)

3e)

(UFPA) Qual é a razão entre os volumes de um cilindro 9. de um cubo nele inscrito?

2πa)

πb)

π2

c)

π8

d)

π4

e)

(UFC) O raio de um cilindro circular reto é aumen10. tado de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume desse cilindro sofrerá aumento de:

2%a)

4%b)

6%c)

8%d)

(F.C.CHAGAS) Dois recipientes cilíndricos têm altura de 11. 40cm e raios da base medindo 10cm e 5cm. O maior deles contém água até 1/5 de sua capacidade.

10 5

h

Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando a altura h, de:

32cma)

24cmb)

16cmc)

12cmd)

10cme)

(Cesgranrio) Um bloco cilíndrico de volume 12. V deforma-se quando submetido a uma tração T, conforme indicado esquematicamente na figura. O bloco deformado, ainda cilíndrico, está indicado por linhas tracejadas. Nesse processo, a área da secção reta diminui 10% e o com-primento aumenta 20%.

T T

O volume do bloco deformado é:

0,90Va)

Vb)

1,08Vc)

1,20Vd)

1,80Ve)

(PUC) Um copo cilíndrico tem 18cm de altura, raio da 13. base de 2cm e metade do seu volume ocupado por bebida. Coloca-se no copo uma pedra de gelo que tem a forma de um cubo de 2cm de aresta. Se o gelo ficar completamente submerso, o nível de bebida subirá, aproximadamente:

0,3cma)

0,6cmb)

1,2cmc)

1,8cmd)

2,0cme)


9EM

_V_M

AT

_030

(UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60cm de altura e 14. base com 20cm de raio sobre uma superfície plana horizontal, contém água até a altura de 40cm, conforme indicado na figura.

60cm

40cm

20cm

{ } Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a:

10 2a)

10 23b)

10 12c)

10 123d)

(FCC) Um cone circular reto tem altura de 8cm e raio da 15. base medindo 6cm. Qual é, em cm2, sua área lateral?

20a) π

30b) π

40c) π

50d) π

60e) π

(Unificado) A é um ponto não pertencente a um plano 16. P. O número de retas que contém A e fazem um ângulo de 45º com P é igual a:

0a)

1b)

2c)

4d)

infinito.e)

(Unificado) A partir de um triângulo retângulo são cria-17. dos dois cones de revolução, separadamente, girando-se o triângulo ao redor de cada cateto. Sabendo-se que a hipotenusa mede 3 5cm e que o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, calcule o cateto maior.

(Unificado) No desenho abaixo, dois reservatórios de 18. altura h e raio r, um cilíndrico e outro cônico, estão to-talmente vazios e cada um sendo alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão.

H H

R R

Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isso ocorra com o reservatório cônico será de:

2ha)

1h 30b)

1hc)

50mind)

30mine)

(PUC) Um triângulo equilátero ABC, de lado igual a 19. 2cm, efetua uma revolução em torno da reta que contém o vértice A e é paralela ao lado BC. O volume assim gerado é de:

4a) πcm3

6b) πcm3

3 3πc) cm3

4 3πd) cm3

10 3

3

πe) cm3

Planificando-se a superfície lateral de um cone reto, 20. obtém-se um setor circular de 288° e raio de 10cm, conforme a figura. O volume desse cone é:

10

o

10

288

256a) πcm3

128b) πcm3


10 EM

_V_M

AT

_030

64c) πcm3

130d) πcm3

32e) πcm3

(UFPA) Um cone equilátero tem área de base 421. πcm2. Qual sua área lateral?

2a) πcm

4b) πcm

8c) πcm

16d) πcm

32e) πcm

(Fatec) Suponham-se dois cones retos, de modo que a 22. altura do primeiro é quatro vezes a altura do segundo e o raio da base do primeiro é a metade do raio da base do segundo. Se V1 e V2 são, respectivamente, os volumes do primeiro e do segundo cone:

Va) 1 = V2

Vb) 1 = 2V2

2c) V1 = 3V2

2d) V1 = 2V2

2e) V1 = V2

(FCC) Num cone reto, o raio da base tem a mesma 23. medida da altura e a área da base é 36π cm2. O volume desse cone, em centímetros cúbicos, é:

72a) π

56b) π

48c) π

42d) π

36e) π

(FCC) Um pedaço de cartolina é formado por um se-24. micírculo de raio 20cm. Com essa cartolina, um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa?

10 3a) cm

3 10b) cm

20 2c)

20cmd)

10cme)

(Unirio) Uma tulipa de chopp tem a forma cônica, como 25. mostra a figura a seguir. Sabendo-se que sua capacidade é de 100πml, a altura h é igual a:

10 cm

h

10cm

20cma)

16cmb)

12cmc)

8cmd)

4cme)

(Unificado) A razão entre os volumes de uma esfera de 26. raio “R” e um cilindro equilátero de raio “2R’ é:

3/4a)

2/3b)

1/2c)

1/6d)

1/12e)

Os raios de uma semiesfera e de um cilindro de revo-27. lução são iguais à altura desse cilindro, como mostra a figura:

Se a área lateral do cilindro mede 12πcm2, então a área total da semiesfera, em cm2, é igual a:

24a) π

20b) π

18c) π

16d) π

12e) π

(UFF) Na figura, estão representados três sólidos de 28. mesma altura h – um cilindro, uma semiesfera e um pris-ma – cujos volumes são V1, V2 e V3, respectivamente.

2r

2r r r

h


11EM

_V_M

AT

_030

A relação entre V1, V2 e V3 é:

Va) 3 < V2 < V1

Vb) 2 < V3 < V1

Vc) 1 < V2 < V3

Vd) 3 < V1 < V2

Ve) 2 < V1 < V3

(UERJ) Uma esfera maciça de metal foi colocada dentro 29. de uma caixa cúbica de plástico, sem folgas (fig. A) e o espaço vazio preenchido com água. Uma outra caixa, igual à primeira, foi preenchida por 64 esferas congruen-tes maciças e do mesmo metal, sem folga (fig. B), e no espaço vazio colocou-se água.

Fig. A Fig. A Fig. B

VISTA FRONTAL

Sejam VA e VB, respectivamente, os volumes de metal contidos nos cubos correspondentes às figuras A e B. Sobre os volumes VA e VB e as suas respectivas superfícies de contato com a água, SA e SB, pode-se concluir que:

Va) A > VB e SA > SB

Vb) A < VB e SA < SB

Vc) A = VB e SA = SB

Vd) A = VB e SA < SB

Uma esfera de raio 8 é seccionada por um plano, distante 30. 5 do seu centro. O raio da secção é:

11a)

23b)

39c)

47d)

A região R da figura está limitada por três semicírculos: 31.

y

-2 -1 0 1 2 x

Se R efetua uma volta completa em torno do eixo x, ela gera um sólido de volume:

12a) π

8b) π

4c) π

2d) π

πe)

Determine a área do fuso e o volume da cunha de 30º de 32. uma esfera cujo círculo máximo tem 36πcm2 de área.

(Cesgranrio) Uma laranja pode ser considerada uma 33. esfera de raio R, composta por 12 gomos exatamente iguais.

A superfície total de cada gomo mede:

2Ra) 2

4Rb) 2

34

2π Rc) R2

3Rd) 2

43

2πRe) R2

(PUC) Uma esfera de raio R34. 1, um cilindro circular reto com o raio da base igual a R2 e com altura 2R2 e um cone reto de base circular com o raio R3 e altura 2R3 têm todos o mesmo volume. Vale, então, que:

2 331

32 3R R R= =a)

R R R13

23

33 2= =b)

2 331 2

33R R R= =c)

3 231

32 3R R R= =d)

R R R13

23

32 2= =e)

(UFF) O rebite R é obtido pela rotação, em torno do eixo 35. E, da região do plano formado por 2 arcos de circunfe-rência centrados em O e O’ e um retângulo, conforme a figura abaixo:

20mm 50mm 10mm

20mm10mmeixo E`

R

Determine o volume do rebite.


12 EM

_V_M

AT

_030

Calcule a área do sólido gerado pela revolução do tri-36. ângulo equilátero (A) (B) (C), de 4m de lado, em torno da paralela ao lado (B) (C), traçada por (A).

Um hexágono regular de 37. 6 3 2m de área sofre uma rotação completa em torno de uma reta de seu plano que não o atravessa, passando por um de seus vértices e formando ângulos iguais com os dois lados que formam esse vértice. Calcular a área do sólido gerado.

Calcular a área do sólido gerado pela revolução de um 38. hexágono regular de 2m de lado em torno de uma reta de seu plano, paralela a um de seus lados e distante 4 3m de seu centro.

Um quadrado de 2m de lado sofre revolução em torno 39. de uma reta de seu plano, pertencente a um de seus vértices e perpendicular à diagonal que chega a esse vértice. Calcular a área do sólido gerado.

Calcular o volume gerado pela revolução de um semi-40. hexágono regular (A) (B) (C) (D) em torno da diagonal (A) (D), sabendo que a área do sólido gerado é igual a 8 3 2π m .

Calcular a área total e o volume do sólido gerado pela 41. revolução de um círculo de 2dm de raio, em torno de uma tangente.

Calcular a área e o volume do sólido gerado pela revo-42. lução de um retângulo de 3m de base e 4m de altura, em torno de uma reta de seu plano que passa por um de seus vértices e que é perpendicular à diagonal que chega a esse vértice.

(Associado) Na figura abaixo, sobre a superfície lateral 1. de um cilindro reto de altura igual a 10m e raio da base igual a 2m, estica-se um barbante de A até B.

A

C B

D

E

F

Sabe-se que AD e BC são diâmetros paralelos, que E é o ponto médio do arco AED e que o segmento FE é perpendicular à base do cilindro. Pede-se a área AEF limitada pelo barbante, pelo arco AE e pelo segmento FE.

O caminho mais curto entre uma formiga (F) e um torrão 2. de açúcar (T) sobre a superfície de um copo cilíndrico, já está traçado. Veja a figura.

F

60 T

r r O

8cmR = cm 18

π

O problema é que a formiga tem, no máximo, 5s para chegar ao torrão, caso contrário ele fica com uma mosca. Qual deve ser, então, a velocidade média mínima da formiga para que ela não perca o seu doce?

(UERJ) Um paraquedista está no ponto A situado a 3. 800m do solo e, devido a condições técnicas, é obrigado a seguir uma trajetória que está sempre na superfície lateral do cilindro C de revolução, cujo raio r da base é

igual a 200

πm.

x y O

C

B (0, ,0)

A

800m

400 π

solo

Determine o comprimento do menor caminho percorrido pelo paraquedista para atingir o ponto de pouso B

(0;π

400 ;0).

Um cilindro com eixo horizontal de 15m de comprimento 4. e diâmetro interno de 8m contém álcool. A superfície livre do álcool determina um retângulo de área 90m2. Qual o desnível entre essa superfície e a geratriz de apoio do cilindro?

Sup. do álcool

6ma)

7b) m

4 7−( )c) m

4 7+( )d) m

4 7−( )e) m ou 4 7+( ) m

Calcule o volume do sólido localizado entre os planos da 5. figura, sabendo que é parte de um cilindro circular reto e a base desse cilindro é o circulo contido em a.


13EM

_V_M

AT

_030

2cm

2cm45

Um cilindro circular reto de raio R e altura h = 2R é 6. cortado por um plano paralelo ao seu eixo.

XX

X

X

R/2

2 R

Sendo R

2 a distância do eixo ao plano secante, calcule

o volume do menor segmento cilíndrico resultante dessa secção.

Uma chaminé cilíndrica de volume 7. 6

5

π m3 será revestida

por tijolos de dimensões, em cm, 20 x 10 x 5.

10cm

20cm

Considerando a figura como a chaminé vista de cima, cujo revestimento nos dá ideia de forma hexagonal, pode-se afirmar que a quantidade aproximada de tijolos necessária para revesti-la será de:

1 200a)

2 400b)

3 600c)

9 600d)

12 000e)

(Fafi-BH) Um hangar da aeronáutica tem a forma da 8. figura a seguir. Considere o polígono ABEF como um

quadrado de lado 4m, BC = 20m e EGF um semicírculo de diâmetro EF .

A B

C

DG

EF

O volume desse hangar, em m3, é:

320 + πa)

16

3320

π+b)

40 8 2+( )πc)

1 280

3

πd)

40 8 +( )πe)

(Fuvest) A uma caixa d’água de forma cúbica, com 1 9. metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4cm de diâmetro e 50m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio. Solta-se água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?

90cma)

92cmb)

94cmc)

96cmd)

98cme)

(Cesgranrio) Estamos pintando uma caixa d’água cilín-10. drica, cuja altura é igual ao diâmetro da base. Sabemos que foram necessários 16 litros de tinta para pintar a tam-pa (considerada como um disco com o mesmo diâmetro da base da caixa). Para completar a pintura interna, o número de litros de tinta a ser ainda gasto será de:

160a)

64b)

48c)

80d)

96e)

(Fuem–PR) A figura a seguir mostra um prisma de base 11. hexagonal regular de altura 10cm; o cilindro interior também tem altura 10cm e raio r = 2cm. O hexágono tem lado de 4cm.


14 EM

_V_M

AT

_030

Qual o volume exterior ao cilindro e interior ao prisma?

360 40−( )πa) cm3

320πb) cm3

80πc) cm3

720 40−( )πd) cm3

240 3 40−( )πe) cm3

Seccionando-se dois cilindros circulares retos de mesmo 12. raio R por um plano a 45°, montamos um sólido com a forma de um “joelho”, como se mostra na figura.

3R

3R

Seu volume é:

5 3πRa) 10

33πRb)

3 3πRc)

4 3πRd)

6 3πRe)

Um cilindro equilátero, de raio 3cm, está inscrito num 13. prisma triangular reto cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s, s > 0. Sabendo-se que a razão entre os volumes do cilindro e do prisma é π

4,

podemos afirmar que a área lateral do prisma vale:

144cma) 2

12πb) cm2

24cmc) 2

π5

d) da área lateral do cilindro.

5

3e) da área lateral do cilindro.

(UFRJ) Mário e Paulo possuem piscinas em suas casas. 14. Ambas têm a mesma profundidade e bases com o mes-mo perímetro. A piscina de Mário é um cilindro circular reto e a de Paulo é um prisma reto de base quadrada. A companhia de água da cidade cobra R$1,00 por metro cúbico de água consumida.

Determine qual dos dois pagará mais para encher a) de água a sua piscina.

Atendendo a um pedido da família, Mário resolve duplicar o perímetro da base e a profundidade de sua piscina, mantendo, porém, a forma circular.

Determine quanto Mário pagará pela água para en-b) cher a nova piscina, sabendo-se que anteriormente gastava R$50,00.

(Unificado) Um salame tem a forma de um cilindro 15. reto com 40cm de altura e pesa 1kg. Tentando servir um freguês que queria meio quilo de salame, João cortou um pedaço, obliquamente, de modo que a altura do pedaço variava entre 22cm e 26cm. O peso do pedaço é de:

600ga)

610gb)

620gc)

630gd)

640ge)

Um copo cilíndrico tem 6cm de altura e uma circunfe-16. rência da base medindo 16cm. Um inseto está do lado de fora do copo, a 1cm do topo, enquanto, do lado de dentro, a 5cm do topo, está uma gota de mel. A gota e o inseto encontram-se em geratrizes do cilindro, que são simétricas em relações ao eixo do cilindro. A menor distância que o inseto deve andar para atingir a gota de mel é:

10cma)

14cmb)

65 5+( )c) cm

89 1+( )d) cm

4 5e) cm

(Fatec) A fim de que não haja desperdício de ração e 17. seus animais estejam sempre bem nutridos, um fazendei-ro construiu um recipiente com uma pequena abertura


15EM

_V_M

AT

_030

na parte inferior, que permite a reposição automática da alimentação, conforme mostra a figura abaixo.

2m

4m

6m

Cilindro

Cone

A capacidade total de armazenagem do recipiente, em metros cúbicos, é:

840

3π π+a)

24πb)

28πc)

48πd)

impossível de ser determinada, pois faltam infor-e) mações.

(UFMG) Um tanque de água tem a forma de um cone 18. circular reto, com seu vértice apontado para baixo. O raio do topo é igual a 9m e a altura do tanque é de 27m.

h

Pode-se afirmar que o volume V da água no tanque, como função da altura h da água, é:

Va) =πh3

27

Vb) =πh3

9

Vc) =πh3

3

Vd) = 3 3πh

Ve) = 9 3πh

(PUC) Considere um cilindro circular reto inscrito em um 19. cone circular reto com 10cm de raio e 24cm de altura. Expresse o volume desse cilindro como uma função do raio da base do cilindro.

Explicite o domínio da função.

A geratriz de um cone circular reto forma, com o eixo 20. desse cone, um ângulo de 45°. Sabendo-se que o pe-rímetro de sua secção meridiana mede 2cm, podemos afirmar que a área total desse cone vale:

π

32 2 2−( )a) cm2

π 2 1−( )b) cm2

π 3 1−( )c) cm2

π

22 1−( )d) cm2

π 5 1−( )e) cm2

O desenvolvimento da superfície lateral de um cone reto 21. é um setor circular de raio a e ângulo central igual a 60°. O volume desse cone é:

a3

6⋅ πa)

π 35 3⋅ ab)

1

33πac)

πa

6

3

d)

1

3 635

3

πa

e)

As figuras abaixo representam um cone de revolu22. ção, seus elementos e a planificação de sua superfície lateral.

V V

h gβ

α

r

OO

AA

Expresse b em função de a.


16 EM

_V_M

AT

_030

Sejam M e N pontos situados nas geratrizes VMA e 23. VNB de um cone equilátero, cuja secção meridiana é o triângulo VBA, como se vê na figura abaixo.

V

8

M

A B

N

6

Lembrando que a superfície lateral do cone é planificável e supondo que VM = 8 e VN = 6, então o menor caminho de M até N mede:

10a)

14b)

21

2c)

19

2d)

7 2e)

Considere o triângulo ABC, retângulo em A. Sejam V24. a, Vb, e Vc os volumes dos sólidos de revolução gerados

pelo triângulo ao girar em torno das retas BC

, AC

e AB

, respectivamente. Prove que:

1 1 12 2 2

Va VbVc( ) ( ) ( )

= +

O volume gerado pela revolução de um hexágono regular 25. de lado a em torno de um de seus lados é igual a:

9

23π

aa)

7

23π

ab)

5

23ρ

ac)

3

23π

ad)

3 3πae)

(UFF) A figura representa um cone de volume 26. 36πcm3, contendo 3 cilindros cujos volumes V1, V2 e V3 estão, nes-sa ordem, em progressão geométrica de razão 1/27.

V1

V2

V3

Sabe-se que cada um dos cilindros tem a altura igual ao raio de sua base. Determine o raio da base do cone.

(UERJ) Uma linha poligonal fechada de três lados limita 27. um triângulo de perímetro . Se ela gira em torno de um dos seus lados, gera uma superfície de área S igual ao produto de pelo comprimento da circunferência descri-ta pelo baricentro G da poligonal. A figura abaixo mostra a linha (ABCA) que dá uma volta em torno de BC.

e

3cm

4cm

G

C

Esboce a figura gerada e indique o cálculo da área a) de sua superfície.

Calcule a distância b) r do baricentro G dessa linha ao eixo de rotação.

(UFRJ) Dois cones circulares retos têm bases tangentes 28. e situadas no mesmo plano, como mostra a figura. Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do outro.

r s

Sendo r o menor dentre os raios das bases, s o maior e

xr

s= , determine x.


17EM

_V_M

AT

_030

Calcular o volume de um cone, conhecendo a área lateral 29. S e distância d do centro da base a uma geratriz.

(UFRJ) Uma certa quantidade de material radioativo é 30. compactado, tomando a forma de um cubo de aresta igual a uma unidade. Pretende-se revesti-lo com uma camada isolante, de espessura e formato tais que cada ponto da superfície externa do sólido a ser obtido diste exatamente uma unidade do cubo radioativo. Determine o volume ocupado pelo isolante.

(UFRJ) Ping Oin recolheu 4,5m31. 3 de neve para construir um grande boneco de 3m de altura, em comemoração à chegada do verão no Polo Sul.

O boneco será composto por uma cabeça e um corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir.

Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π por 3.

Calcule, usando a aproximação considerada, os raios das duas esferas.

A superfície de uma esfera pode ser calculada por meio da 32.

fórmula: 4. π .R2, onde R é o raio da esfera. Sabe-se que 34

da superfície do planeta Terra são cobertos por água e 13

da superfície restante é coberto por desertos. Considere o planeta Terra esférico, com seu raio de 6 400km e use π igual a 3.

A área dos desertos, em milhões de quilômetros quadrados, é igual a:

122,88a)

81,92b)

61,44c)

40,96d)

Uma pessoa resolveu jogar boliche numa pista de gelo. 33. Em certa jogada, devido ao peso, a bola afundou par-cialmente. Ao retirá-la, o jogador verificou que ela havia deixado um buraco com 12cm de diâmetro e 2cm de profundidade. Qual o volume da bola?

Na figura abaixo, há um círculo de raio R e uma reta (e) 34. que contém o seu centro — ambos do mesmo plano. Fez-se uma rotação de uma volta desse círculo ao redor da reta (e). O menor arco AB nele assinalado descreveu a superfície de uma calota esférica, cuja área pode ser calculada mediante a fórmula 2πRm, sendo m a projeção ortogonal do arco AB sobre a reta (e).

e B

A

(medida da projeção ortogonal de AB sobre e)O

R

c

m

Calcule o comprimento da corda AB, do círculo ori-a) ginal, em função de R e m.

Demonstre que a área da calota esférica, gerada b) pelo arco AB, é equivalente à área plana, limitada por uma circunferência de círculo cujo raio tem a mesma medida da corda AB.

Uma esfera de raio R e um cone de raio R e altura 2R 35. estão sobre o mesmo plano a. Calcule a distância de a, a que se deve passar um plano b // a, de modo que se obtenham secções equivalentes no cone e na esfera.

32Ra)

23Rb)

25R

c)

52R

d)

Uma esfera é cortada por dois planos paralelos, afasta-36. dos de 9cm. As intersecções dos planos com a esfera são círculos de raios iguais a 3 6cm e 9cm. A superfície da esfera, em cm2, é:

360a) π

270b) π

240c) π

180d) π

90e) π

Três esferas de raio “r” se tangenciam e tangenciam um 37. plano “a”. Uma quarta esfera de mesmo raio é colocada sobre as outras três, tangenciando-as externamente. A distância do centro dessa quarta esfera ao plano “a” é:

32r

a)

3 63

b) r


18 EM

_V_M

AT

_030

r( )6 32

+c)

r( )2 6 33

+d)

r( )2 32

+e)

Que fração da área da Terra pode ser vista por um 38. observador situado a 20km do solo? Suponha a Terra esférica com raio 6 300km.

1315

a)

1628

b)

1632c)

1

6 280 d)

1

6 320 e)

Uma calota esférica de 5m de altura é equivalente a um 39. fuso de 45º, pertencente a mesma esfera. Calcular o volume da esfera.

Em uma pirâmide de base quadrada, as faces laterais 41. são triângulos equiláteros e todas as oito arestas são iguais a 1.

Calcule a altura e o volume da pirâmide.a)

Mostre que a esfera centrada no centro da base b) da pirâmide e que tangencia as arestas da base, também tangencia as arestas laterais.

Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com c) cada face lateral da pirâmide.

Um trapézio retângulo de altura h tem bases respecti-42. vamente iguais a 2h e h. Calcular o volume e a área do sólido gerado pela revolução do trapézio em torno do lado oblíquo às bases.

Calcular o volume e a área do sólido gerado pela revo-43. lução de um triângulo de lados respectivamente iguais a 10m, 17m e 21m, em torno do seu maior lado.

De um ponto (M) exterior a um círculo de 4,5m de raio, 44. traça-se uma tangente MA de comprimento igual ao dobro da distância de (M) à circunferência do círculo. Calcular a área e o volume do sólido gerado pela revo-lução do triângulo: MAO – (O) é o centro do círculo dado – em torno do segmento MO.

Um paralelogramo (A) (B) (C) (D), de área S, sofre ro-45. tação completa em torno de uma reta de seu plano, que dista x de seu vértice (A) e y de seu vértice (C). Calcular o volume do sólido gerado nessa revolução.

Um quadrado de 2m de lado, sofre uma rotação parcial 46. em torno de uma reta de seu plano, distante 5m de seu centro, gerando um sólido de 40m3 de volume. Determinar a amplitude da rotação desenvolvida pelo quadrado.

A que distância de um dos lados de um quadrado de 47. 4m de lado se deve traçar uma reta – coplanar com o quadrado – para que o volume do sólido gerado pela revolução do quadrado em torno da reta seja igual a 128πm3.

Calcular o volume gerado pela revolução da figura inte-48. rior a um quadrado de 8cm2 de área, e exterior ao círculo inscrito no quadrado, em torno da reta pertencente a um dos vértices do quadrado e paralela à diagonal que não contém esse vértice.

Dado um quadrado ABCD de 8cm49. 2 de área, considere os quatro triângulos equiláteros, exteriores ao quadrado e construídos sobre seus lados, e calcule o volume do sólido gerado pela revolução da figura em torno da reta formada pelos vértices R e S dos triângulos equiláteros ABR e BCS, considerados.

Maria queria saber o volume de seu bambolê. Enrolou 50. um barbante e viu que o diâmetro da circunferência formada era de 3cm. Se a distância do centro da circun-

Um copinho de sorvete, em forma de cone, tem 10cm 40. de profundidade e 4cm de diâmetro no topo.

São colocadas no copinho duas conchas semi-esféricas de sorvete. Cada concha tem 4cm de diâmetro. Admita que o sorvete derreta para dentro do copinho.

Podemos, assim, afirmar que:

o sorvete transborda.a)

o sorvete não transborda.b)

os dados são insuficientes.c)

os dados são incompatíveis.d)


19EM

_V_M

AT

_030

ferência formada pelo barbante ao centro do bambolê é de 48,5cm, qual o valor encontrado por Maria?

São dados um triângulo equilátero ABC, de 51. 18 3cm de perímetro, o círculo a ele cinscunscrito e a tangente ao círculo, tendo por contato com o círculo o ponto A’, diametralmente oposto ao vértice A. Calcule as áreas S1 e S2 das áreas geradas na revolução do círculo em torno da tangente, respectivamente, pelos arcos BA’C e BAC.


20 EM

_V_M

AT

_030

A1.

B2.

C3.

C4.

B5.

D6.

D7.

C8.

C9.

D10.

A11.

C12.

B13.

D14.

E15.

E16.

6cm17.

D18.

A19.

B20.

C21.

A22.

A23.

A24.

C25.

E26.

E27.

E 28.

D29.

C30.

B31.

1232. πcm2 e 24πcm3

E33.


21EM

_V_M

AT

_030

A34.

11 00035. πmm3

236 3mπ36.

32 3 2π m37.

96 3 2π m38.

16 2 2π m39.

6440. πm3

St dm V dm= =16 162 2 2 3π π; 41.

S m V m= =70 602 3π π; 42.

52π1. m2

2m/s2.

200 173. m

E4.

3 3πcm5.

34 3 3R6

π −

6.

B7.

E8.

C9.

D10.

E11.

D12.

A13.

14.

Mário a)

R$400,00b)

A15.

A16.

B17.

A18.

VR= 12

5

2π19. ( )10 3−R cm Dom (V) R R R= { }/0 10

B20.

E21.

b π a= 2 sen22.

A23.

Demonstração.24.

A25.

3cm26.

27.

3

45

2cm

4S 2 . .x 2 .(5 4). 36 cm

2= π = π + = πla)

43

b) cm

x = −5 12

28.

VSd=3

29.

133

π30. + 6 un. de volume

E31. r = 0,5m

D32.

4 000 m

3

3π33.

34.

AB Rm= 2a)

AB Rm= 2b) 2 = 2Rm

S = 2πRm . .. S = π(2Rm)

S = πAB Rm= 22 que é a área do círculo cujo raio mede AB Rm= 2.

C35.

A36.

D37.

C38.

332 000m

3π39.

B40.

41.

H = 22

26

, V=a)


22 EM

_V_M

AT

_030

Basta mostrar que à distância do centro às arestas b) laterais é igual à distância do centro às arestas da base, isto é, igual à metade da aresta da pirâmide.

36

c)

V h S h= =76

2 4 23 2π π; 42.

V m S m= =488 2163 2π π; 43.

S m V m= =1895

1625

2 3π π; 44.

πS x y( )+45.

2rad46.

2m47.

8 4 3π π( )− cm48.

32 2 3 3π( )+ cm49.

8734

23π

cm50.

S cm

S cm

12

22

24 2 3 3

24 4 3 3

= −

= +

π π

π π

( )

( )

51.


23EM

_V_M

AT

_030


24 EM

_V_M

AT

_030


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MATEMÁTICA - GOPEM · Partes da esfera Fuso esférico R a ... figura. O volume resultante é: ` Solução: ... Uma esfera maciça de raio R foi dividida em 12 partes iguais como