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CICLO TRIGONOMÉTRICO
MATEMÁTICAProf. Leonardo
www.mat1ano.wordpress.com
CICLO TRIGONOMÉTRICO
1. Arcos e ângulos
Considerando uma circunferência de centro O e raio R e dois pontos distintos A e B, os quais a dividem em duas partes.
A
B
O
X
Os pontos A e B são as extremidades do arco AXB.
O ângulo AOB é chamado de ângulo central, pois o seu vértice está no centro da circunferência.
Temos que:
med (AOB) = med (AXB)
2. Medidas de arcos e ângulos
Para se medir arcos e ângulos usaremos as unidades grau e radiano.
I. Grau: Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada um desses arcos mede 1º.
II. Radiano: Um arco mede 1 radiano(rad) se o seu comprimento for igual ao raio da circunferência.
3. Comprimento de um arco
Dado um arco de comprimento L cujo o ângulo central correspondente, EM RADIANOS, mede α, inscrito numa circunferência de raio R, temos que:
radR
Para se transformar um arco de grau para radiano e vice-versa usamos a relação:
radouradπ 14,3180180
Exemplos:
1. Transformar em radianos:
a) 120º b) 315º
rad32
180.120
x
x120
rad180)a.1
rad47
180.315
x
x315
rad180)b.1
2. Transformar em graus:
rad3
)c
rad45
)b
rad52
)a
725180.2
rad52
)a.2
2254
180.5rad
45
)b.2
603
180rad
3)c.2
3. Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m. Calcule a distância percorrida por um atleta ao dar 6 voltas completas nessa pista? 14,3Adote
m9426.157:serádistânciaa
,voltas6dáatletaoComo
.m157C
25.14,3.2Colog,R2Cé
nciacircunferêdaocomprimentO
.R2Dpois
,m25Rentão,m50DSe
4. Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que o seu comprimento é 31,4 m. 14,3Adote
m514,3.24,31
R,Logo
2C
Rentão ,R2C Como
5. Determine o comprimento de um arco que subtende um ângulo central de 45º numa circunferência de raio 60 cm. 14,3 Adote
cm1,47L14,31515L 604
Lentão,R.LComo
.4
,sejaou,rad4
obtemos radianosem45ndoTransforma.5
6. Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia?
8091804
então ,rad94
RL
,Logo
.raio de cm9 de nciacircunferê numa 4C
22R.2C ocompriment
de arco um em dotransforma é aro O.6
3. As funções Seno, cosseno e Tangente no Ciclo trigonométrico
É uma circunferência orientada de raio unitário (R = 1 u.c.) na qual se tem como sentido positivo o anti-horário e se escolhe um ponto A qualquer com origem dos arcos.
Este ciclo será centrado no plano cartesiano de modo que o eixo das abcissas passe pelo ponto A.
O ponto A terá como coordenadas o ponto(1, 0).
Esses eixos vão dividir o ciclo em quatro partes iguais chamadas de quadrantes.
A(1,0)
+
_
B(0,1)
A’(- 1,0)
B’(0,- 1)
0
R = 1
Como o ciclo é dividido em 4 partes iguais, então cada parte vale 90º ou .rad
2
Qº4x360x270se
Qº3x270x180se
Qº2x180x90se
Qº1x90x0se
:que temos ,ciclo
no qualquer arco um x Sendo
1º Q2º Q
3º Q 4º Q
0º
90º
180º
270º
360º
4. Arcos côngruos
Dois arcos são côngruos quando tem a mesma origem e a mesma extremidade no ciclo trigonométrico.Por exemplo:
1. Considerando os arcos de 30º, 390º, 750º, - 330º, - 690º.
Todos eles tem a mesma origem e a mesma extremidade. Portanto, eles são côngruos.Eles diferem entre si de um número inteiro de voltas completas, pois
30º + 360º = 390º,
30º + 2.360º = 750º,
30º - 360º = - 330º
30º - 2.360º = - 690º
Então podemos representar o arco de 30º e todos os seus arcos côngruos pela expressão
ZK,K.36030x
.,360
cosexp
,
ZKKαxporelea
côngruosarostodosressar
sepodegrausαmedearcoumse
.,2
cosexp
,
ZKπKαxporelea
côngruosarostodosressar
sepoderadianosαmedearcoumse
3600
mindet
αexde
principalaçãoeraαsendo
παexde
principalaçãoeraαsendo
20
mindet
5. Determinação do quadrante.
Dados os arcos abaixo, determine o quadrante ao qual eles se encontram.
rad3
16)frad
225
)e
rad4
37)d2535)c
1190)b752)a
Exercícios:
1. Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos abaixo:
Zk,k6
x)a
)Zk.(4
k8
x)d
)Zk(,.k24
x)c
Zk,2
k32
x)b
2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de:
rad4
19)d rad
745
)c 2580)b 1910)a
3. Dados os arcos AB e AC, que medem respectivamente, 60º e 130º, dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de origem A cujas extremidades são os pontos médios dos arcos AB e AC.
)radianosem(,2k3613
xe2k6
xe )grausem(,k36065x
ek36030x sãocosardessesgeral
ressãoexpatotanPor .65mede AEarcooe30medeADarcoo
então),E(65éACdemetadeae),D(30éABdemetadeaComo
4. Quais são os arcos positivos menores que 1500º e côngruos a 150º ?
1230,870,510,150x,totanPor
.15001590x4k
1230x3k
870x2k
510x1k
150x0k
paraentão,k360150x
FIM !!!