Matemática - Rumoaoita - somatorios

Autor: Filipe R. S. Moreira – (ITA – SP) Revisão: Thiago da Silva sobral – (ITA – SP) Nível intermediário SOMATÓRIOS Muitas vezes precisamos escrever somas de muitas parcelas, às vezes até infinitas delas e para isso usamos uma notação muito especial que facilita a nossa vida.

1. Notação: ∑=

=+++n

kkn aaaa

121 ...

2. Propriedades de somatórios:

• Seja c uma constante real, então: ∑∑==

=n

kk

n

kk acca

11

Dem.: ∑∑==

=+++=+++=n

kknn

n

kk acaaaccacacaca

12121

1

)...(...

• ∑∑∑===

±=±n

kk

n

kk

n

kkk baba

111

)(

Dem.:

∑∑

∑

==

=

±=

=+++±+++=±++±+±=±

n

kk

n

kk

nnnn

n

kkk

ba

bbbaaababababa

11

212122111

)...()...()(...)()()(

• ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=± ∑∑∑

===

n

kk

n

kk

n

kkk bacbac

111

)(

Dem.: Análoga às outras.

• nn

k∑=

=1

1

Dem.: nnkn

k

vezesnn

k∑∑==

=+++=+++==1

000

1

1...11...211

3. Técnicas para computar somas: a-) Perturbação de somatórios: Esta é uma técnica muito legal e prática e para ser usada devidamente é necessário que se ganhe um tempo estudando opções que melhor satisfaçam os problemas. Basta acrescentar ao somatório o próximo termo e assim reescrever o somatório de forma conveniente para que termos se cancelem e facilite o cálculo. Vamos ver alguns exemplos!!

Vamos calcular ∑ . Como foi dito, temos que escolher o melhor somatório para perturbar, nesse caso

vamos perturbar a soma dos cubos. =

n

k

k1

2

∑∑∑∑====

++++=++=+=++n

k

n

k

n

k

n

k

kkkkknk0

23

1

3

0

33

1

3 )133(1)1(1)1()1( = 1 + ∑ + 3 + 3 +

= + 3 = - 3

=

n

k

k1

3 ∑=

n

k

k1

2 ∑=

n

k

k1

∑=

n

k 1

1 ∑=

n

k

k1

3 ⇒+++ 133 23 nnn ∑=

n

k

k1

2 nnn 23 23 ++ ∑=

n

k

k1

Autor: Filipe R. S. Moreira – (ITA – SP) Revisão: Thiago da Silva sobral – (ITA – SP) Nível intermediário

Mas, é soma de P.A, assim, ∑ =∑=

n

k

k1 =

n

k

k1 2

)1( +nn . Logo, 3∑ = - 3=

n

k

k1

2 nnn 23 23 ++2

)1( +nn

Então, = ∑=

n

k

k1

2

632 23 nnn ++ .

Outro exemplo, vamos resolver Para isso, vamos perturbar ∑=

n

k

kk1

! ∑=

n

k

k1

!

⇒++=++=++=+=++ ∑∑∑∑∑∑======

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

kkkkkkknk111101

!!1!)1(1!)1(1!)1()!1(!

1)!1(!!!1)!1(!1111

−+=⇒++=++⇒ ∑∑∑∑====

nkkkkknkn

k

n

k

n

k

n

k

.

Treinando:

1-) ∑ =

n

k

kk1

2

2-) Prove que = 0. 2

11

3

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡− ∑∑

==

n

k

n

k

kk

3-) Calcule o resto da divisão de ∑ por 2002. =

++n

k

kkk1

2 !)13(

4-) Calcule em função de n. ∑∑==

++−n

k

n

k

kk1

2

1

22 )1(2)2(3

Desafio: Calcule por perturbação de somatórios ∑ . =

n

k

kxsen1

)(

b-) Operador diferença: Essa é uma técnica muito interessante e poderosa que resolve muitos tipos de somatórios. Basta descobrir uma função contínua no intervalo que compreende o intervalo da soma, que quando aplicado o

resulte no somatório que queremos calcular. )(kfΔDef.: . )()1()( kfkfkf −+=Δ

Calculando ∑ temos que: =

Δn

k

kf1

)(

. )1()1()(1

fnfkfn

k

−+=Δ∑=

Dem.: =))1()2((...))1()(())()1(()(1

ffnfnfnfnfkfn

k

−++−−+−+=Δ∑=

)1()1( fnf −+ .

Observa-se então o porquê de essa ser uma técnica muito poderosa, temos uma fórmula pronta para resolver qualquer somatório, desde que se descubra uma função que quando aplicado o )(kfΔ encontre-se a “cara” do

somatório que queremos. Vamos ver alguns exemplos: Vamos calcular o mesmo somatório anterior: ∑=

n

k

kk1

!

Solução: Seja assim, !)( kkf = !)11(!!!)1(!)!1()( kkkkkkkkkkf =−+=−+=−+=Δ


Logo, . 1)!1()1()1(!)(11∑∑==

−+=−+==Δn

k

n

k

nfnfkkkf

Vamos calcular ∑ . Seja f(k) = cos((k+b)x). =

n

k

kxsen1

)( )(kfΔ = cos((k+1)+b)x – cos((k+b)x) =

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

−22

2122 xsenxbksen . Fazendo 021 =+ b , temos b = -1/2.

Assim, xkkf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

21cos)( e ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=Δ

2)(2)( xsenkxsenkf .

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=Δ∑

= 2cos

21cos

21)1(cos

21)1(cos)(

1

xxnxxnkfn

k

( )⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−22

12 nxsenxnsen

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇒ ∑=

2

221

)(1 xsen

nxsenxnsenkxsen

n

k

.

Treinando:

1-) Calcule . ∑=

ℜ∈+n

k

xakxa1

,)cos(

2-) Prove que ∑=

=++

44

0

11cos)12cos(

12

k ksen .

3-) Sejam S = e º87sinº82sin...º12sinº7sinº2sin 44444 +++++T = . Determine S + T. º88cosº83cos...º13cosº8cosº3cos 44444 +++++ 4-) Calcule os mesmos somatórios do item anterior agora com a técnica do operador diferença. c-) Soma de derivadas: Existem alguns somatórios que o termo geral é parecido com a derivada de uma função que sabemos

somar. Por exemplo, temos a soma em que os termos são da forma são muito parecidos com

que é a derivada de que é uma PG e que a soma é conhecida. Para calcular o somatório

basta dividir o termo geral por x, integrar o termo geral resultante, que vai se tornar uma PG, somar

essa PG, derivar a resposta e depois multiplicar por x. Isto é possível porque a soma das derivadas é a derivada da soma. Vale salientar que para que essa técnica funcione sempre, é necessário que a função com a qual se parece o termo geral do nosso somatório, seja contínua no intervalo que compreende o intervalo do somatório Vejamos:

∑=

n

k

kk1

2 kkx

1−kkx kx

∑=

n

k

kkx1

1,)1()1(12

12

1

1

1

1

1

≠−

++−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==++

+

=

=

−

=

∑∑∑ x

xxxnnx

dxx

xxdx

dx

xdxkxxkx

nn

nn

k

kn

k

kn

k

k .


Para o caso particular de x = 2 temos a seguinte expressão: . 22)1(2 1

1

+−= +

=∑ n

n

k

k nk

Obs.: É bom ficar claro que , até porque não faz sentido o cálculo de uma soma em que todos os termos fossem zero pois o resultado seria trivial.

0≠x

d-) Soma de números binomiais: Esta técnica envolve um conhecimento prévio de raízes da unidade. Essa associação é usada, porque

temos algumas informações sobre os binomiais, por exemplo sabemos que (basta somar os

números das linhas do triângulo de pascal) e sabemos que na equação ,

= 0. Para a demonstração dessa propriedade, basta calcular o

somatório abaixo e para isso basta substituir x por

n

k kn

20

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∞

=

CZZ n ∈= ,1

)1...)(1(1

0

21

=

−− ++++−=− ZZZZZ nnn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

nπ2 na expressão encontrada no exemplo de soma de

senos em PA e também no exercício proposto de soma de cossenos em PA. Acompanhe o raciocínio abaixo:

Vejamos: ∑ ∑ ∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1

0

1

0

1

0

1

0

2sin2cos2sin2cos2 n

k

n

k

n

k

n

k nki

nk

nki

nk

nkcis πππππ

= ( ) ( ) ( ) ( ) .,02sin1sin2cos1sin Zn

nsen

nni

nsen

nn∈∀=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−π

πππ

ππ

Vejamos um exemplo para a melhor compreensão.

?30

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∞

=k kn

Seja CZcisZ ∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ,

32π ...

3210)11( +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

nnnnn

lembrando que

...3210

)1( 2 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

nZ

nZ

nnZ n

ZZZZ ===

.134 ...

3210)1( 22 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

nZ

nZ

nnZ n

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+++++

=

...741

)1(...630

3)1()1()11( 22 nnnZZ

nnnZZ

zero

nnn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=

...852

)1( 2 nnnZZ

zero

= ⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∞

=0 33

k kn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∞

=0 3k kn

3)1()1()11( 2 nnn ZZ +++++

=3

)()()11( 2 nnn ZZ −+−++ . Da figura: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

3)( 2 πcisZ e ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=−

3)()( 2 πcisZZ .

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∞

=0 3k kn

3))60()60(cos()6060(cos)11( nnn isenisen −+−++++ =

= ( ) ( )3

))60()60(cos()6060(cos)11( nisennnisennn −+−++++ =

= 3

3cos22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+πnn

. OBS.: Há uma propriedade importante sobre soma de binomiais. Veja:


⇒Absorção: ∑∑==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ s

rk

s

rk kn

kn

kn

11

.

Dem.: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−−−−

−=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑∑∑∑==== 1

1))!1()1(()!1(

)!1()!(!

!kn

kn

knkn

kn

knkn

kn s

rk

s

rk

s

rk

s

rk

Treinando:

1-) Calcule ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+0 13k kn

2-) Calcule ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+0 14k kn

3-) Calcule k

k

kkn

830

∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4-) Calcule k

k

kkkn

16)168(24

2

0

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

∞

=

4. Desafio final:

Para resolver essa questão não é necessário o conhecimento de nenhuma das técnicas acima mostradas, porém é preciso bastante raciocínio e domínio das propriedades de somatórios.

Prove que: 6

1 2

12

π=∑

∞

=k k.

Sugestão: Calcule ∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

n

k nk

1

2

12cot π

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