Matematica Unidade 10 Seja

Matemtica e Suas Tecnologias Matemtica 1

Mdulo 1 Unidade 10

Teorema de PitgorasPara incio de conversa...

Certamente, voc j deve ter ouvido falar no Teorema de Pitgoras.

Pois bem, nesta unidade, ele ser o centro das atenes, mas vamos tentar

fazer isso da forma mais natural possvel, afinal esse famoso teorema uti-

lizado em muitas situaes prticas. A ideia apresentar, discutir e utilizar

o teorema de Pitgoras para resolver problemas e relacion-lo a algumas

atividades de trabalho, como na situao abaixo:

Observe o trabalhador, preparando a estrutura de um telhado:

Mdulo 1 Unidade 102

Para que no haja falhas na construo, necessrio que se calculem as medidas das

peas com preciso. Qual a sua sugesto para determinarmos a medida correta da pea de

ligao, mostrada na figura acima?

Objetivos de aprendizagem Definir o conceito de ngulo reto;

Reconhecer tringulos retngulos.

Aplicar o Teorema de Pitgoras.

Seo 1O ngulo Reto e o Tringulo Retngulo

Voc j ouviu falar de um tringulo retngulo? Lembra-se dele? Tringulos retngulos

so aqueles que possuem um ngulo de 90, o chamado ngulo reto.

Figura 1: Os tringulos retngulos so aqueles que apresentam um de seus ngulos com 90.

O Teorema de Pitgoras vlido para qualquer tringulo retngulo. Antes, portanto,

de falarmos nele, vamos lembrar o que caracteriza um tringulo retngulo. Comecemos com

a questo do ngulo. Imagine uma formiguinha andando sobre um aro circular. Imagine tam-

bm que voc estivesse no centro do aro e pudesse olhar este deslocamento a partir desse

ponto de vista, como no desenho:


Figura 2: Os trs crculos representam voc observando a trajetria circular de uma pequena formigui-nha andando sobre um aro.

Ao realizar o movimento de giro com a cabea para acompanhar o movimento da

formiguinha, voc est executando uma variao do seu ngulo de viso. Ao percorrer todo o

aro, a formiguinha ter dado uma volta de 360. Sendo assim, se ela percorrer metade do aro

ter percorrido metade do caminho, ou mudado sua direo em 180.

Se percorrer 1/4 da volta, ter formado um ngulo de 90. Este ngulo conhecido como

ngulo reto. Voc j utilizou esse conceito, quando trabalhou com retas perpendiculares.

Observe ao seu redor e veja as formas que possuem ngulos retos. Perceba que o n-

gulo reto muito utilizado pelo homem em suas construes, em mveis e na arte.

Agora que voc j relembrou o ngulo reto, voltemos para o tringulo retngulo.

Como foi dito, trata-se de um tringulo que possui o ngulo de 90.

Alguns instrumentos podem ser utilizados para medir e traar ngulos de 90; um de-

les o esquadro.

Mdulo 1 Unidade 104

Figura 3: diferentes tipos de esquadros, utilizados para se desenhar um ngulo de 90

Observe que, apesar de servirem a propsitos semelhantes, o esquadro de desenho e

o de pedreiro possuem certa diferena. Os esquadros de desenho encontrados no mercado

possuem a forma de tringulo retngulo. Os lados deste tipo de tringulo possuem nomes

especiais (veja a figura).

Figura 4: esquema de um tringulo retngulo com os nomes de seus lados

As propriedades deste tipo de tringulo foram estudadas pelos povos antigos. Voc

j ouviu falar sobre a relao estabelecida por Pitgoras e seus discpulos, envolvendo as

medidas dos catetos e da hipotenusa de um tringulo retngulo? Isto ocorreu h mais de

2000 anos na Grcia e voc vai estudar essa relao na seo 2. Antes, porm, vamos nossa

situao-problema inicial.

Situaoproblema

O seguinte problema foi retirado de um manuscrito alemo de Peter van Halle, escrito

em 1568. Ns o transcrevemos, adaptando suas unidades de medida para nossas medidas


atuais. Esta uma tpica situao-problema que envolve, para a sua soluo, a aplicao do

Teorema de Pitgoras.

H uma torre com 10 metros de altura e em volta da torre h um canal com 3 metros de largura.

Algum precisa fazer uma escada que passe por cima da gua at ao topo da torre.

A pergunta : que comprimento deve ter a escada?

Citado por Marjolein Kool

Adaptado de Fonte: www.malhatlantica.pt/mathis/Problemas/Pitagoras/Pitagoricos.htm .

Voc consegue perceber o tringulo retngulo na situao-problema acima?

Aprofundaremos agora o estudo do Teorema de Pitgoras para que voc consiga solu-

cionar a situao-problema proposta!

Mdulo 1 Unidade 106

Seo 2O Teorema de Pitgoras

A demonstrao do teorema sobre tringulos retngulos atribuda a Pitgoras. Esse

teorema diz que o quadrado sobre a hipotenusa de um tringulo retngulo igual soma dos

quadrados sobre os catetos. Na verdade, esse teorema j era conhecido pelos babilnios mais

de um milnio antes, mas sua primeira demonstrao pode ter sido dada por Pitgoras e, por

isso, o teorema leva seu nome. Embora no se tenha certeza sobre o mtodo utilizado por ele,

algumas evidncias indicam que pode ter sido feita por decomposio, da seguinte maneira:

Denotemos por a e b os catetos e por c a hipotenusa de um tringulo retngulo.

Consideremos dois quadrados de lados a + b:

Decompe-se o primeiro quadrado em cinco partes da seguinte forma (veja a figura

a seguir):


quatro tringulos retngulos com mesmas medidas que o tringulo dado, e

um quadrado de lado c (sobre as hipotenusas dos tringulos):

Decompe-se o segundo quadrado em seis partes: quatro tringulos retngulos com

mesmas medidas ao tringulo dado, um quadrado de lado a (sobre um dos catetos) e um

quadrado de lado b (sobre o outro cateto), conforme a figura a seguir:

Tnhamos dois quadrados geometricamente iguais (de lados a+b). Ambos contm

quatro tringulos geometricamente iguais ao tringulo retngulo dado. Se retirarmos esses

quatro tringulos dos dois quadrados iniciais, o que sobra de rea em um ser igual ao que

sobra de rea no outro.

Mdulo 1 Unidade 108

Isto significa que a rea do quadrado de lado c igual a soma das reas dos quadrados

de lado a e b. Logo:

c2 = a2 + b2

Resumindo!

Seja um tringulo retngulo qualquer com medidas a, b e c, como mostra o desenho:


Na construo de alguns telhados, podem ser encontradas estruturas, chama-

das tesouras, como as da figura a seguir.

Observe um esquema de uma tesoura e responda as perguntas a seguir:

a) Quantos tringulos retngulos podem ser observados?

b) Se a pea A (inteira) mede 8m e a pea B mede 1,8m , possvel que a pea C mea 5m, sabendo que o ngulo formado pelas peas A e B reto? Justi-fique.

c) Calcule a medida da pea C.

Mdulo 1 Unidade 1010

Resolva agora um problema parecido com o de Per Van Halle, apresentado na

situao-problema desta seo. Uma escada possui 6 metros e dever ser posicionada

de tal forma que fique afastada 2 metros de uma torre. Qual a altura mxima que a

escada dever atingir na torre?

Um pedreiro, quando precisa de um ngulo reto, na maioria de vezes para fazer

a locao de uma obra, utiliza linhas e estacas da seguinte maneira:


a) Como se pode garantir que o tringulo assim construdo retngulo? Justi-fique sua resposta matematicamente.

b) Se o pedreiro modificar as medidas das linhas para: EF=90cm e EG=1,20m, qual deve ser a distncia entre as estacas F e G para que ele tenha certeza de haver construdo um ngulo reto?

Momento de reflexo

Qualquer tringulo retngulo que possui lados com medidas 3, 4 e 5 para seus dois

catetos e hipotenusa, respectivamente, retngulo. Na verdade, essa afirmativa no verda-

deira apenas para essas medidas, mas para qualquer combinao dessas trs medidas, multi-

plicadas por qualquer nmero. Por exemplo, se multiplicamos essas medidas por 2, teremos

6, 8 e 10, e temos tambm um tringulo retngulo. Experimente para outras multiplicaes

e veja se realmente isso verdade. Aproveite para registrar suas concluses e suas dvidas.

Momentode

reflexo


Momentode

reflexo

Voltando conversa inicial...

Os conceitos de ngulo, ngulo reto e rea foram trabalhados nesta unidade com o in-

tuito de entendermos um teorema famoso da Matemtica, o Teorema de Pitgoras. Pudemos

verificar concretamente que esse teorema - apresentado, na maioria das vezes, com uma lin-

guagem estritamente algbrica: a2 = b2 + c2 - possui uma interpretao geomtrica que relacio-

na a rea dos quadrados que esto sobre os lados do tringulo retngulo - a rea do quadrado

sobre a hipotenusa igual soma das reas dos quadrados que esto sobre os catetos.

A importncia do Teorema de Pitgoras d-se pelas

muitas questes que ele permite resolver em nosso dia a

dia, como o caso mostrado no problema inicial desta uni-

dade. Para relembrar, a ideia era calcular a medida da pea

de ligao da estrutura do telhado.

Poderamos calcular a medida, fazendo:

a2 = b2 + c2

Onde a a medida da pea de ligao (hipotenusa

do tringulo retngulo) e b e c so as medidas dos catetos,

150cm e 200cm, respectivamente. Assim teremos:


a2 = 1502 + 2002

a2 = 22500 + 40000

a2 = 62500

a 62500=

a = 250cm

O barato de Pitgoras

Conta a histria que Pitgoras nasceu na Ilha de Samos, no mar Egeu, e criou uma

sociedade mstica secreta, denominada Escola Pitagrica, cujos membros tentavam explicar

racionalmente o mundo. Na Filosofia dos membros dessa Escola, os nmeros tinham um pa-

pel fundamental.

No site Domnio Pblico, voc poder assistir ao vdeo O barato de Pitgoras. Assim,

poder ampliar o que j sabe sobre o assunto.

Veja o endereo:

(http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_

action=&co_obra=146434)

Referncias

Imagens

http://www.sxc.hu/photo/789420

http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id=1220957 IvanProle.


Bibliografia consultada

IMENES, M. Luiz; LELIS, M. Descobrindo o Teorema de Pitgoras. So Paulo: Scipione. 2000.

PAIVA, M. A. V.; FREITAS, R. C. O. Matemtica. In: SALGADO, Maria Umbelina Caiafa; AMA-RAL, Ana Lcia.. (Org.). ProJovem. Ed. Brasilia DF: Governo Federal/Programa Nacional de Incluso de Jovens, 2006, v. 1,2,3,4

PAIVA, M. A. V.; FREITAS, R. C. O. Matemtica. In: SALGADO, Maria Umbelina Caiafa; AMA-RAL, Ana Lcia.. (Org.). ProJovem Urbano. Ed. Brasilia DF: Governo Federal/Programa Na-cional de Incluso de Jovens, 2008, v. 1,2,3,4,5,6.


Anexo Mdulo 1 Unidade 10

O que perguntam por a?

Exerccio 01


Exerccio 02


Situao-problema

A escada medir aproximadamente 208,8 ps.

Pergunte aos alunos se sabem quanto vale a medida 1 p. Peam que investi-

guem e socializem com seus colegas.

1 p = 12 polegadas.

1 polegada = 2,54 centmetros, aproximadamente.

Logo, 1 p = 12 x 2,54 cm = 30,48 centmetros, aproximadamente

Atividade 1

a) 6 tringulos retngulos

b) S possvel se a pea B no estiver exatamente no meio. Se estiver no meio no poder. Observe:

52 = 25; 42 = 16; 1,82 = 3,24. 16 + 3,24 = 19,24, este valor menor que 25; logo,

o tringulo no pode ser retngulo, podendo at afirmar que ele ser obtusngulo.

c) A pea C medir aproximadamente 4,4m, considerando que a pea B est no meio da pea A.

Atividade 2

A torre mede 5,66 m, aproximadamente.

Atividade 3

a) 1002 = 802 + 602

Logo, o tringulo retngulo e o ngulo mede 90.

b) As estacas F e G devero estar 150cm (1,20m) distantes uma da outra.


Anexo Exerccio 01

Resposta: Letra D.

Anexo Exerccio 02

Resposta: Letra B.

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