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Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

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Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

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Page 1: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

Ensino Superior

Matemática Básica

11.2 – Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

Amintas Paiva Afonso

Page 2: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

TEOREMA DE PITÁGORAS

A

B C

CATETO

CATETO

HIPOTENUSA

2 2(CATETO) (CATETO) 2(HIPOTENUSA)

3

45 512

1320

21 29

Page 3: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS

qq=

CatetoOpuestoasen

Hipotenusa

CatetoAdyacentea

cosHipotenusa

Hipotenusasec

CatetoAdyacentea

Hipotenusa

cscCatetoOpuestoa

CatetoAdyacentea

cotCatetoOpuestoa

CatetoOpuestoa

tanCatetoAdyacentea

CATETO

OPOSTO

A

CATETO ADJACENTE A

HIPOTENUSA

SENO COSSENO

TANGENTE COTANGENTE

SECANTE COSSECANTE

Page 4: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

12

35

H2 2 2H 12 35

TEOREMA DE PITÁGORAS

H 1369 37

sen

cos

tan 12373537

1235

cot

sec

csc 3512

37353712

EXEMPLO :

EXEMPLO :

Sabendo que é um ângulo agudo tal que sen=2/3.....

23

Page 5: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

PROPRIEDADES DAS RAZÕES TRIGOMOMÉTRICAS DE

ÂNGULOS AGUDOS

1sen

csc

1

cossec

1tan

cot

EXEMPLOS

o

1A)

sen36ocsc 36 o

1B)

cos 17osec 17

sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1

D)sen2 csc 2 1o oC)tan 49 cot 49 1

oE)cos 63 sec 1 o63

F) tan 2 cot 1 2

Page 6: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

PROPRIEDADES DAS RAZÕES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS COMPLEMENTARES

ÀS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO TANGENTE E COTANGENTE; SECANTE E COSSECANTE DENOMINAMOS :CO-RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

PROPRIEDADE:

“AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÂNGULO AGUDO SÃO RESPECTIVAMENTE IGUAIS ÀS CO-RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

DE SEU ÂNGULO COMPLEMENTAR”

sen cos

cos

tan

sen

cot a

b ccot

sec

csc

tan

csc

sec

Page 7: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

EXEMPLOSoA)sen25 oB) tan 43 oC)sec 60

ocos 65ocot 47ocsc 30

...............

...............

...............

o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90

oD)sen cos 20 o O20 90 o70

E) tan 5 cot o5 90 o15

F)sen5

cos

5 2

2 5

3

rad10

Page 8: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

TRIÂNGULOS NOTÁVEIS

1 2

3

o30 (

)

O601

1

2

o45

o45

(

)

3

4

5

o37

o53

(

)

osen30 12

otan 60 3

osec 45 2 ocot 37 43

otan 30 1

3

3x

333

osen45 1

22

x2

22

Page 9: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

))

((o30

o37 o45

4 3

4

3 3

3 3

CALCULAR : cot

83 3

cot4

Page 10: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

HHsen

H cos

L sec L tan

L

5

o62

o5sen62

o5 cos 62

8

8 tan8 sec

CASO1 – DADOS: HIPOTENUSA E ÂNGULO AGUDO

CASO 2 – DADOS: CATETO ADJACENTE E ÂNGULO AGUDO

Page 11: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

L

L cot

L csc k

o24

ok csc 24

ok cot 24

EXEMPLO

)

)

mCalcular L e M termos de

m y ;

L

CASO 3 – DADOS: CATETO OPOSTO E ÂNGULO AGUDO

Page 12: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

SOLUÇÃO

m

m tanLL m tan

m

cot L m tan m cot

L m cot m tan L m (cot tan ) NOTA: DESCOMPOSIÇÃO DE UM VETOR

F

yF

xF X

Y

xF F cos

yF Fsen

Page 13: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

ÁREA DO TRIÂNGULO

A B

C

ab

c

abS senC

2

bcS senA

2

acS senB

2

EXEMPLO

5m

8m

O60

o(5)(8)S sen60

2

(5)(8) 3S ( )

2 2 210 3m

Page 14: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

ÂNGULOS VERTICAIS

Os ângulos verticais são ângulos agudos contidos em um plano vertical e formados por duas linhas imaginárias chamadas horizontal e visual

ÂNGULO DE ELEVAÇÃO

ÂNGULO DE DEPRESSÃO

HORIZONTAL

VISUAL

VISUAL

))

Page 15: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

UMa pessoa observa em um mesmo plano vertical dois ovnis voando a uma mesma altura com ângulos de elevação de 530 e 370 se a distância entre os ovnis é de 70m. A que altura estão os ovnis?

EXEMPLO:

SOLUÇÃO

) ) o37O53

70

12k 12k

) O539k

) o37

16k

+

9k +70 = 16k k = 10 H = 120

=H

Page 16: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

ÂNGULOS HORIZONTAISOs ângulos horizontais são ângulos agudos contidos em um plano horizontal, se determinam tomando como referência os pontos cardinais norte (N), sul (S), leste (L) e oeste (O).

DIREÇÃOA direção de B em relação a A é

E30N o N60E o

A direção de C em relação a A é oS56 O S34O o

o

o

CURSOO curso de Q em relação a P

o47

O curso de M em relação a P o27 ao leste do sul

al oeste del norte

N

S

EO

O30

O56A

B

C

EO

S

N

P

Qo47

o27

M

)(

()

Page 17: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

ROSA NÁUTICA

Gráfico que contém 32 direções notáveis, cada direção forma entre elas um ângulo cuja medida é 'o1511

No gráfico adjunto só se mostran 16 direções notáveis, cada uma forma entre elas um ângulo cuja medida é 'o3022

N

S

EO

NNE

ENE

NNO

ONO

OSO

SSO

ESE

SSE

NENO

SO SE

Page 18: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

As outras 16 direções obtemos traçando as bissetrizes dos 16 ângulos que se mostram no gráfico anterior.

E

NE

NNNE

ENENE41E

E41NE

NE41N

N41NE

NNO

NO41N

N41NO

NOO41NO

ONONO41O

O

Quanto mede o ângulo entre as direções

NE1/4N y NO1/4O ?

Rpta.o90

Page 19: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

Um inseto parte de um ponto F e percorre 40 km na direção N530O logo percorre 402 km na direção SO, finalmente percorre 60 km para o leste. A que distância se encontra o inseto de F?

EXEMPLO:

SOLUÇÃON

S

EO

o53 )

o45

o45

4040 2

60

x

o37

24

3216

40 20 12

16

OBSERVE QUE O TRIÂNGULO DE COR

VERMELHA É NOTÁVEL

X = 20

F

Page 20: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DA METADE DE UM ÂNGULO AGUDO (método gráfico)

2

2

a

bc

c))

(

) 2

tan2

b

c a

c a

b

+

Page 21: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos

EXEMPLO :

Sabendo que: tan 8=24/7, calcule tan2SOLUÇÃO

8

24

7

25

425

24tan 4

25 7

24

tan 432

3tan 4

4

4 2

3

4

5

5

3tan 2

9 1

tan 23

(

Page 22: Matematica Unidade 16 - Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos